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PHYSIQUE / Unité :4

Evolution temporelle

des systèmes

mécaniques

I- Etude énergétique du pendule élastique horizontal

1 - Travail d’une force non constante La plupart des forces ne sont pas constantes. C’est le cas par exemple de la force de rappel d’un ressort.

- On considérée la force de rappel d’un ressort comme constante sur un déplacement élémentaire dx.

- Le travail élémentaire, noté dW, de force �⃗� durant un déplacement élémentaire dx a pour expression

dW=�⃗�.𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗

- La force de rappel s’écrit alors : �⃗� =-k .x. 𝑖 . Cette force est toujours colinéaire au vecteur 𝑖 , mais sa valeur

dépend de x et son sens change au cours du mouvement selon le signe de x.

Son déplacement se décompose en déplacements élémentaires 𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ colinéaires au vecteur𝑖, que l’on

peut donc noter 𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑥. 𝑖 donc dW=�⃗�.𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗=-k .x. 𝑖. 𝑑𝑥. 𝑖=-k .x. 𝑑𝑥

Le travail global WAB (�⃗�) de la force �⃗� est la somme de ses travaux

élémentaires dW, ce que l’on note

WAB (�⃗�) =∑ dW =∑ �⃗�. 𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗=∑ −k . x. 𝑖 . 𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗=− ∑ k . x. 𝑑𝑥

Or, k x dx représente l’aire du rectangle bleu sur la figure suivante.

Donc, la somme infinie ∑ k . x. 𝑑𝑥 est

égale à l’aire Algébrique du trapèze rose.

On peut calculer l’aire de ce trapèze de manière géométrique ou

analytique.

Méthode analytique

WAB(�⃗�)=− ∑ k . x. 𝑑𝑥=− ∫ k. x. 𝑑𝑥𝑥𝐵

𝑥𝐴

=−𝑘. [1

2. 𝑥2]

𝑥𝐴

𝑥𝐵

=1

2. 𝑘. (𝑥𝐴

2 − 𝑥𝐵2)

Le travail de la force appliquée par un ressort

de raideur lors d’un déplacement de

l’abscisse xA à l’abscisse xB de cette extrémité

libre est : WAB(�⃗�) =1

2. 𝑘. (𝑥𝐴

2 − 𝑥𝐵2)

Méthode géométrique

L’aire d’un rectangle est donnée par la formule suivante :

S=Longueur . largeur

WAB(�⃗�) est la moitié de l’aire de rectangle ABCD :

WAB(�⃗�) =− ∑ k . x. 𝑑𝑥=−1

2. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷

WAB(�⃗�) =−1

2. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=−

1

2. 𝑘. (𝑥𝐵

+ 𝑥𝐴 ).(𝑥𝐵

− 𝑥𝐴 )=

1

2. 𝑘. (𝑥𝐴

2 − 𝑥𝐵2)

2 - Energie potentielle élastique d’un ressort Cette énergie est la part d’énergie liée à la déformation du ressort.

L’énergie potentielle élastique d’un ressort a pour expression : 𝐸𝑃;𝑒 =1

2. 𝑘. 𝑥

2 + 𝑘

On choisit naturellement une énergie potentielle élastique nulle pour la position du ressort où la déformation est

nulle x=0, soit 𝐸𝑃;𝑒 = 0𝐽 donc K’ = 0 J.

3 - Energie cinétique L'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement réel. L’énergie

cinétique d’un corps a pour expression : 𝐸𝑐 =1

2. 𝑚. �̇�

2

4 - L’énergie mécanique L’énergie mécanique d’un système solide–ressort constitué d’un ressort horizontal d’axe (x’x), de raideur k, et

d’un solide de masse m a pour expression : Em=𝐸𝑐 + 𝐸𝑃;𝑒=1

2. 𝑚. �̇�

2+1

2. 𝑘. 𝑥

2

L’énergie mécanique d’un système qui n’est soumis à aucun frottement se conserve : elle est constante au cours

du temps.

L’amplitude des oscillations reste constante au cours du temps, le régime est périodique de période To.

Dans la position x = 0,

𝐸𝑐=1

2. 𝑚. �̇�𝑚

2 et 𝐸𝑃;𝑒 = 0𝐽 donc 𝐸𝑚=1

2. 𝑚. �̇�𝑚

2

Dans la position x = xm ,

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𝐸𝑐=0𝐽 et 𝐸𝑃𝑒=1

2. 𝑘. 𝑥𝑚

2 donc 𝐸𝑚=1

2. 𝑘. 𝑥𝑚

2

L’énergie mécanique d’un système qui est soumis à des forces de frottement

L’amplitude des oscillations décroît au cours du temps, le régime est pseudopériodique de pseudo-période T

(voire apériodique si les frottements sont importants). L’énergie mécanique du système diminue au cours

du temps, elle est dissipée par transfert thermique.

II- Etude énergétique d’un pendule de torsion

1 – Travail de couple de torsion Le travail de couple de torsion appliquée par le fil de torsion de constante C lors d’un déplacement de l’abscisse

A à l’abscisse B est : WAB(𝐶) =1

2. 𝐶. (𝐴

2 − 𝐵2 )

2 – Energie potentielle de torsion Cette énergie est la part d’énergie liée à la déformation du fil.

L’énergie potentielle de torsion a pour expression : 𝐸𝑃;𝑡 =1

2. 𝐶.

2 + 𝑘′

On choisit naturellement une énergie potentielle de torsion nulle pour la position où la déformation de file est

nulle =0, soit 𝐸𝑃;𝑡 = 0𝐽 donc k' = 0 J.

3- Energie cinétique L'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement réel. L’énergie

cinétique d’un corps a pour expression : 𝐸𝑐 =1

2. 𝐽∆. �̇�

2

4- L’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un système : Em=𝐸𝑐 + 𝐸𝑃;𝑡=1

2. 𝑚. �̇�

2+1

2. 𝐶. 𝜃

2

L’énergie mécanique d’un système qui n’est soumis à aucun frottement se conserve : elle est constante

au cours du temps.

L’amplitude des oscillations reste constante au cours du temps, le régime est périodique de période To.

Dans la position = 0,

𝐸𝑐=1

2. 𝑚. �̇�𝑚

2 et 𝐸𝑃;𝑡 = 0𝐽 donc 𝐸𝑚=1

2. 𝑚. ̇𝑚

2

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Dans la position = m ,

𝐸𝑐=0𝐽 et 𝐸𝑃𝑡=1

2. 𝑘. 𝑚

2 donc 𝐸𝑚=

1

2. 𝑘. 𝑚

2

L’énergie mécanique d’un système qui est soumis à des forces de frottement

L’amplitude des oscillations décroît au cours du temps, le régime est pseudopériodique de période T

(voire apériodique si les frottements sont importants). L’énergie mécanique du système diminue au cours

du temps, elle est dissipée par transfert thermique.

III- Étude énergétique d’un pendule pesant.

1-Énergie cinétique d’un pendule pesant

L’énergie cinétique d’un pendule pesant effectuant un mouvement oscillatoire est : 𝐸𝑐 =1

2. 𝐽∆. �̇�

2

Avec J∆ est le moment d’inertie du pendule par rapport à l’axe ∆ exprimé en kg.m2 ;

�̇� est la vitesse angulaire du pendule en rad/s

2- Énergie potentielle de pesanteur L’énergie potentielle de pesanteur d’un pendule pesant est donnée par la relation

suivante : Epp = mgz+C

M : la masse du pendule en (kg),

g: intensité de pesanteur en (m/s2 ),

z : l’altitude du centre d’inertie G du système sur l’axe (O,z) d’un repère

orthonormé orienté vers le haut .

C : une constante qui dépend de l’état de référence choisi où l’énergie potentielle

est nulle (Epp,réf = 0 )

A partir de la figure ci-contre OG=OO’+O’G O’G=OG-OO’

Avec O’G=z et cos()=𝑂𝑂′

𝑂𝐺 OO’=OG.cos()

z=OG-OG.cos()=OG(1- cos() )

Epp = mg OG[1- cos() ]+C

Pour des faibles oscillations (θ ⩽ 15°) on peut écrire l’approximation 1-cosθ ≃ 𝜃2

2(rad)

Epp = 1

2 . mg OG. 𝜃2+C

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3- Expression de l'énergie mécanique

Expression de l'énergie mécanique du pendule pesant :

Em = Epp + Ec == m g z + 1

2. 𝐽∆. �̇�

2 = m g OG(1-cos) + 1

2. 𝐽∆. �̇�

2

Diagramme des énergies

Énergie potentielle de pesanteur en fonction de θ Les énergies en fonction de z

Les énergies en fonction de t Cas d’un système qui n’est soumis à aucun

frottement

Cas d’un système qui est soumis à des forces de

frottement

Remarque Dans le cas de pendule simple OG=l et J=ml

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