Konvergentni niziPosebna klasa na nizi se takanare~enite konvergentni nizi. So niv se povrzani mnogu svojstva na objektite koi se prou~uvaat vo analizata.

Defincija.Za nizata velime deka e konvergentna ako postoi realen broj takov {to za sekoj pozitiven realen broj , postoi priroden broj , i ako ,

Za realniot broj velime deka e granica na nizata i pi{uvame .

Defincija.Nizata velime deka e konvergentna ako postoi realen broj , takov {to vo sekoja negova okolina se nao|aat beskone~no mnogu to~ki a samo kone~no mnogu to~ki se nadvor od nea. Neprekinatost vo to~ka

Poimot neprekinatost mo`e da se tretira kako lokalno svojstvo, odnosno svojstvo na funkcija vo to~ka. Sekako deka pospecifi~ni svojstva se dobivaat koga toj e ispolnet na mno`estva. Toa }e bide predmet na interes vo narednite delovi. Del od tie svojstva }e bidat osnova za doka`uvawe na osnovnite teoremi na ovie izlo`uvawa.

Defincija.Neka i . Za funkcijata velime deka e neprekinata vo to~kata , ako za proizvolen pozitiven broj postoi pozitiven realen broj takov {to koga , toga{ .

Vo toj slu~aj pi{uvame .

Definicija.Neka i . Za funkcijata velime deka e neprekinata vo to~kata , ako za sekoj niza vo intervalot pridru`enata niza konvergira kon .Ednostrana neprekinatost.To~ki na prekin i nivna klasifikacija

Paralelno so poimot neprekinatost, od prakti~ni pri~ini se opredeluva poimot i ednostrana neprekinatost i se vr{i klasifikacija na to~kite vo koi dadena funkcija e prekinata. Kako {to }e vidime postojat razli~ni, t.e. to~ki od razli~en tip vo koi funkciite se prekinati.

Defincija.Za funkcijata velime deka e neprekinata od desno vo to~kata , ako za sekoe postoi pozitiven realen broj taka {to , , . Vo toj slu~aj pi{uvame

Za velime deka e neprekinata od levo ako za sekoj postoi pozitiven realen broj taka {to koga , , . Vo toj slu~aj pi{uvame . Jasno e deka e to~na slednata teorema:

Teorema. Funkcijata e neprekinata ako i samo ako e neprekinata i od levo i od desno.

Spored opredelbata na leva i desna granica na funkcija, ako ili , i i se kone~ni, toga{ velime deka fukcijata e prekinata,t.e. ima prekin od prv vid.

Dokolku granica ne postoi, ili funkcijata e beskone~na vo okolina na to~kata toga{ velime deka to~kata e to~ka na prekin od vtor vid. Defincija na izvod

Prethodnite primeri naveduvaat na toa, da za dadena funkcija vo dadena to~ka da se razgleduva narasnuvaweto na funkcijata , t.e. . Od prethodnite razgleduvawa, gledame deka vo problemi od razli~na priroda potrebno e da se razgleduva koli~nikot , kade . U{te pove}e potrebno e da se razgleduva grani~nata vrednost na posledniot koli~nik vo to~kata .

Defincija.Neka i . Ako postoi granicata

,

ja narekuvame prv izvod na funkcijata vo to~kata i ja ozna~uvame so . Primeri na izvodi od nekoi elementarni funkcii

1., odnosno , za bilo koj

2. , t.e. , za bilo koe

3. , t.e. , za bilo koe

4. , t.e. , za bilo koe .

5. , t.e. , za bilo koe

6. , t.e. ,

7. , t.e. , za sekoj .

8. , t.e. , .Teorema na Ferma

Neka funkcijata opredelena na otvoreniot interval ima lokalen ekstrem vo nekoja to~ka , . Ako vo to~kata postoi izvod , toga{ .

Dokaz. ]e pretpostavime deka vo to~kata ima lokalen maksimum(slu~ajot koga ima lokalen minimum se razgleduva potpolno analogno). Bidej}i to~kata e to~ka na lokalen maksimum, postoi taka {to i . Funkcijata ima izvod vo to~kata , pa spored toa, ima lev i desen izvod vo .

Ako , toga{ i , pa spored toa i , odnosno leviot izvod e nenegativen.

Ako , toga{ i , pa spored toa i , odnosno desniot izvod e nepozitiven.

Uslovite ,, se ispolneti ako i samo ako . Teorema na Rol

Neka funkcijata e opredelena i neprekinata na segmentot , diferencijabilna na intervalot i . Postoi barem edna to~ka vo koja .

Dokaz. ]e pretpostavime deka ne e konstantna funkcija(ako e konstantna funkcija na intervalot , toga{ za , pa za to~ka mo`e da izbereme bilo koja od intervalot za koja e ispolnet zaklu~okot od teoremata).

Sekoja neprekinata funkcija na segmentot ja dostignuva svojata najmala i svojata najgolema vrednost, t.e. postojat realni broevi i i to~ki takvi {to .

Sekako deka ne e mo`en slu~ajot i , bidej}i vo toj slu~aj i od uslovot , dobivame deka za sekoe .

Spored toa ili , t.e. ili ili . Vo prviot slu~aj, t.e. vo slu~ajot , to~kata e to~ka na lokalen minimum i spored teoremata na Ferma, . Vo ovoj slu~aj . Vo vtoriot slu~aj, t.e. vo slu~ajot , to~kata e to~ka na lokalen maksimum, pa spored teoremata na Ferma, . Vo ovoj slu~aj Tejlorova formula za proizvolna funkcija

Definicija. Neka e neprekinata funkcija koja ima -izvodi na . Polinomot

od -ti stepen go narekuvame Tejlorov polinom za funkcijata po stepenite na kade .

Teorema.Funkcijata e neprekinata, ima -vi izvod koj e kone~en vo site to~ki od i . Toga{ za i za site to~ki od intervalot va`i formulata

Lokalni ekstremi

Postojat funkcii koi se opredeleni na nekoe mno`estvo koi ne se ograni~eni nitu od gore nitu od dolu, t.e. nema nitu najmala nitu najgolema vrednost. Me|utoa mo`e da se slu~i, vo nekoi podmno`estva od mno`estvoto taa da ima nekoi od ovie svojstva.

Neka i e to~ka za koja postoi , takva {to koga ,

.

Toga{ ja narekuvame lokalen maksimum na funkcijata na mno`estvoto , a samiot realen broj to~ka na lokalen maksimum.

Ako e ispolnet uslovot , toga{ ja narekuvame strog lokalen maksimum, a to~kata , to~ka na strog lokalen maksimum.

Sli~no i pretohdno, neka i e to~ka za koja postoi , takva {to koga ,

.

Toga{ ja narekuvame lokalen minimum na funkcijata na mno`estvoto , a samiot realen broj to~ka na lokalen minimum.

Ako e ispolnet uslovot , toga{ ja narekuvame strog lokalen minimum a to~kata to~ka na strog lokalen minimum. Monotoni funkcii

Bidej}i nizite se specijalen vid na funkcii(so definciona oblast ) i kaj niv e opredelen poimot monotonost. Na sli~en na~in i vo ovaa situacija, t.e. i za realni funkcii od edna realno nezavisna promenliva mo`e da se vovede poimot monotonost. Definciite se potpolno analogni kako i kaj nizite. Pri toa klasata na monotoni funkcii vo specijalni slu~ai imaat golema va`nost vo teorijata na funkciite i vo srodni matemati~ki disciplini.

Definicija. Neka i .

a)Ako , i toga{ funkcijata ja narekuvame monotono raste~ka.

b)Ako , i toga{ funkcijata ja narekuvame monotono opa|a~ka.

v)Ako , i toga{ funkcijata ja narekuvame neopa|a~ka.

g)Ako , i toga{ funkcijata ja narekuvame neraste~ka. Zabele{ka. Za funkciite koi poseduvaat edna od pogornite osobini, ~esto se upotrebuva terminot monotoni funkcii. Za funkciite koi poseduvaat edno od svojstvata a) i b) velime deka se strogo monotoni funkcii.

Ograni~eni funkcii

Kaj nizite realni broevi go razgledavme mno`estvoto od ograni~eni nizi. Analogno i kaj funkciite mo`e da se razgleduvaat ograni~eni funkcii.

Defincija. Neka i . Za funkcijata velime deka e ograni~ena ako postojat , takvi {to .

Sli~no kako i kaj nizi, mo`e da se razgleduva i ograni~ena od gore i ograni~ena od dolu funkcija.

Defincija. Neka i . Za funkcijata velime deka e ograni~ena od gore, ako postoi realen broj takov {to za sekoj .

Defincija.Neka i . Za funkcijata velime deka e ograni~ena od dolu, ako postoi realen broj takov {to za sekoj . Inverzna funkcija

Vo prethodniot del vovedovme poim za inverzno preslikuvawe. Vo ovoj del }e go razgledame ovoj poim vo smisla na specijalnioot vid na preslikuvawa koj {to go prou~uvame, t.e. inverzna funkcija na funkcija od edna realno nezavisna promenliva. Neka i . Kako i vo delot preslikuvawa, neka . Postojat pove}e na~ini na voveduvawe na poimot za inverzna funkcija.

Mo`eme da pretpostavime deka e funkcija koja e injektivno preslikuvawe, t.e. ako , toga{ . Vo slu~aj na mno`estvoto vrednosti na funkcijata , mo`eme da opredelime funkcija takva {to ako i samo ako . Funkcijata ja narekuvame inverzna funkcija na funkcijata pri {to . Neprekinatost na inverzna funkcija

^esto se postavuva pra{aweto za postoewe na inverznata funkcija za dadena funkcija i ako taa e neprekinata kakva e inverznata funkcija.Tvredeweto koe sleduva go razre{uva pra{aweto {to e postaveno a vo isto vreme e i eden kriterium za postoewe na inverzna funkcija.

Teorema.Funkcijata e monotona i neprekinata na . Postoi inverzna funkcija koja e isto taka neprekinata i monotona.

Izvod od inverzno zadadena funkcija

Kako {to vidovme vo prethodniot del postojat funkcii koi se opredeluvaat kako inverzni funkcii na nekoi elementarni funkcii. Prirodno e da se postavi pra{aweto za postoewe na nivniot izvod, ako funkciite so koi se definirani imaat izvod.

Teorema.Neka e monotna i neprekinata na i neka e nejzinata inverzna funkcija. Ako i postoi i ne e ednakov na nula. Toga{ funkcijata ima izvod vo to~kata i .

Ekstremi

Tehnikata razviena vo prethodniot del ni ovozmo`uva da opredeluvame ekstremi na funkcija na daden interval. Vo teoremata na Ferma vidovme deka funkcija koja {to ima izvod vo dadena to~ka i koja e to~ka na lokalen ekstrem, izvodot vo taa to~ka e nula. Postojat funkcii koi vo dadena to~ka imaat lokalen ekstrem a ne se diferencijabilni. Eden klasi~en takov primer e sledniot.

Teorema. Neka e fun kcija opredelna na intervalot .To~kata e takva {to postoi takov {to na funkcijata ima izvod.

a) Ako za , a za , , toga{ funkcijata ima lokalen maksimum vo to~kata , koj e ednakov na .

b) Ako za , a za , , toga{ funkcijata ima lokalen minimum vo to~kata , koj e ednakov na .

v)Ako za sekoe , (ili ) toga{ funkcijata nema lokalen ekstrem.

Teorema.Neka e funkcija opredelena na intervalot , e stacionarna to~ka i postoi okolina na vo koja ima prv izvod. Ako postoi vtor izvod , toga{

a)ako , toga{ vo to~kata funkcijata ima lokalen minimum ednakov na

b)ako , toga{ vo to~kata funkcijata ima lokalen maksimum ednakov na

Teorema na Lagran`

Neka funkcijata e definirana i neprekinata na segmentot i diferencijabilna na intervalot . Postoi barem edna to~ka takva {to va`i ravenstvoto .

Teorema.Neka funkcijata e neprekinata na intervalot i i diferencijabilna na . Ako za sekoj , toga{ e konstantna funkcija na .

Teorema. Ako i se funkcii koi se neprekinati na , diferencijabilni na i za sekoj , toga{ za nekoja konstanta .

Tejlorova formula za polinom

Za polinomot }e gi presmetame prvite -izvodi (ostanatite izvodi se ednakvi na nula na mno`estvoto realni broevi ). Pri toa

,

,

Teorema na Ko{i

Neka funkciite i se definirani i neprekinati na segmentot i diferencijabilni na , pri {to za sekoj , . Toga{, postoi barem edna to~ka takva {to va`i ravenstvoto

. Tangenta. Normala. Subtangenta. Subnormala

Vo vovedot na ovoj del vidovme deka eden od motivite za voveduvawe na izvod na dadena funkcija vo dadena to~ka e problemot da se opredeli tangenta vo taa to~ka. Pri toa, od ravenkata na sekanta kon grafikot na koj minuva niz to~kite i , e

,

i nea ja narekuvame sekanta. Vo grani~niot slu~aj, koga (dokolku postoi ) ravenkata na sekantata preminuva vo prava koja ja narekuvame tangenta kon vo to~kata . Spored toa ravenkata na tangentata e

. (1)

Geometriski gledano, dobienata prava e grani~en slu~aj na sekantite koga se pribli`uva kon vo evklidova geometriska smisla(vo ramnina kako rastojanie me|u to~ki).

Pravata koja e normalna na pravata (1) i minuva niz to~kata ja narekuvame normala kon vo . Nejzinata ravenka e

. Lopitalovo pravilo

Vo mnogu razgleduvawa, vo najrazli~ni zada~i i problemi, se doa|a do situacija funkcija da e opredelena vo okolina na to~ka , osven mo`ebi vo to~kata . Na primer, funkcijata mo`e da e od oblik , pri {to i vo nekoja okolina na to~kata . Vo toj slu~aj vrednosta ne e opredelena.Dokolku vo vakov slu~aj se primeni teoremata za granica od koli~nik, bi dobile neopredelen izraz . Me|utoa vo mnogu zada~i kako teoretski taka i prakti~ni od korist da se opredelat vakvite granici, pred se dali tie postojat. Koga se raboti za diferencijabilni funkcii, eden od na~inite za opredeluvawe na vakvite granici e takanare~enoto Lopitalovo pravilo. Lopitalovoto pravilo e neposredna posledica od teoremata na Lopital.

Teorema. Neka se neprekinati funkcii, i se diferencijabilni na i na . Ako i postoi granicata , toga{ postoi i granicata i e ednakva na .

Pravila za presmetuvawe na izvodi

Teorema.Neka imaat kone~ni izvodi i vo to~kata . Toga{

a) ima izvod vo to~kata i .

b) ima izvod vo to~kata i .

v) ima izvod vo to~kata i .

g)Ako , toga{ ima izvod vo to~kata i .

d) ima izvod vo to~kata i . Izvod od slo`ena funkcija

Teorema. Neka i se funkcii za koi , pri {to ima izvod vo to~kata a ima izvod vo to~kata . Toga{ ima izvod vo to~kata i Granica na funkcija

Postojat pove}e razli~ni vidovi granici na funkcija. Vo ovoj del }e gi opi{eme site niv i }e razgledame nekoi elementarni osobini na funkciite vo okolina na nivnata granica.

Defincija. Neka i e to~ka od intervalot , t.e. . Za realniot broj velime deka e granica za funkcijata vo to~kata ako za sekoj pozitiven realen broj postoi pozitiven realen broj takov {to koga , , .

Vo toj slu~aj pi{uvame . Ednostrani granici

Defincija. Neka . Za realniot broj }e velime deka e desna granica za funkcijata vo to~kata , ako za sekoj realen broj postoi realen broj takov {to koga , . Za realniot broj }e velime deka e granica od levo za funkcijata vo to~kata , ako za sekoj pozitiven realen broj , postoi pozitiven realen broj , takov {to, koga , .

Vo ovie slu~ai voveduvame oznaki i . Parametarski zadadena funkcija

Koristej}i gi operaciite kompozicija i inverzija na funkcii, neposredno mo`e da se dojde do eden nov oblik na zadavawe na funkcii, t.e. na parametarski zadadeni funkcii. Neka prepostavime deka ,t.e. funkciite i imaat ista definicona oblast .Za realnata promneliva od mno`estvoto }e ja koristime oznakata i }e ja narekuvame parametar. Jasno e deka parametarot e nezavisno promenliva za sekoja od funkciite i . Neka vovedeme oznaka i . Neka pretpostavime deka za funkcijata postoi inverzna funkcija . Za elementite na mno`estvoto ja koristime oznakata . Vo toj slu~aj mo`eme da ja opredelime kompozicijata , t.e. . Neka vovedeme oznaka . Za funkcijata velime deka e parametarski zadadena so , ili mnogu po~esto se koristi oznakata . Neprekinatost na parametarski zadadena funkcija

.

Teorema. Ako e funkcija zadadena so parametarskite ravenki, pri {to postoi inverzna funkcija i funkciite i se neprekinati funkcii, toga{ e neprekinata funkcija. Izvod od parametarski zadadena funkcija

Teorema.Neka e funkcija koja e opredelena so parametarskite ravenki , kade i postojat vo to~kata i . Funkcijata ima izvod vo to~kata i

.