Embed Size (px)
Citation preview
6.3 NekoneEnA Eada a jeji souEet, nekoneEn5 geometrickh Eada
ozohy zahrnujici uc'ivo: pojem nekoneEn6 Fady a jejiho souEtu, konvergentni nekoneEn6 iady a divergentni nekoneEn6 fady, nekoneEnd geometrickd fada a jeji souEet, re61n6 Eislo jako souEet konvergentni nekoneEn6 fady, pie- vod racion6lniho Eisla dan6ho periodickjrm desetinnjrm rozvojem na tvar zlomku, Glohy na aplikace vzorce pro souEet konvergentni nekoneEn6 fady ([I] str. 282 - 287).
Pojem nekoneEn6 Eady a jejiho souEtu, konvergentni ne- koneEn6 Eady a divergentni nekoneEn6 Eady
1. Jak se definuji pojmy nekoneEnb fada a souEet nekoneEn6 fady? Ktere neko- neEn6 fady se nazjrvaji konvergentni a kter6 divergentni?
OdpovCd Je-li dbna posloupnost (an):'l, pak vj.raz (symbol)
00
a1 + a2 + . . . f a , + . . . neboli an, n= 1
se nazj.vb nekoneEn6 Fada, pIiEemi Eisldm a l , az, . . . , a,, . . . se pak Pika Eleny nekoneEn6 Fady.
m
Pro zavedeni pojmu souztu nekoneEnE iady an uvaiujeme posloupnost (sn);==, n=l
s n-tjrm Elenem
n
sn = a1 + a2 + . . . + an neboli s = x a k .
00
Cislo sn se nazj.vb n-t4 EdsteEnjr souEet nekoneEnk Fady a, a posloupnosti n=l
m (s,),=, se fikb posloupnost EBsteEngch souEti~ nekoneEn6 fady. M&li po- sloupnost (s,):=~ limitu (vlastni neb0 nevlastni), nazj.vbme tuto limitu souEtem
m
nekoneEn6 Fady an a z n d se s. Tedy:
Je-li posloupnost (s,):=~ konvergentni, tj. kdyi s E R, Iikbme, i e nekoneEn6 fada m
an je konvergentni. Je-li posloupnost (s,):=, divergentni, t j , kdyi s = +co, n=l
m
anebo s = -co, anebo s neexistuje, Eikbme, i e nekoneEn6 fada x an je di-
[.!3ynpu! noy3!q~urapur mypp al;paao~d .e (N 3 y 016 T+Yzs B YZS nq?od@ apelygz BU aped!:d A) yapa~s@ alaupeqpo (a '(p .qz azolp A
0-[ auqopqo ap[ndn$sod (3 "ez azop A 0-[ auqopqo a?[ndn$sod (q '("2 :~o~vN]
- u (I-) = (a z u
'(z 4- u)(1 +u)u = "0 (q '(I - uz)u = Uv (v T=Y
:"v 1 poj q3Ju~auoyau &?nos ?u?aqy? 93-u aqa2Jn .g 00
3 Lpofiqaauoyau old us Lqjnos ?u?aaq3 93-u aqaZrn .e 00
5. Uiitim vEty z filohy 4 dokaite, i e jsou divergentni nekoneEn6 fady:
Pozndmka. Podminka lim a, = 0 je pouze nutnou, nikoliv vSak postaEujici pod- n-m
. .
minkou konvergence nekoneEn6 iady a,. Viz nbledujici vjrznamn? pfiklad.
O0 1 6. NekoneEnA fada x - se nazjivb harmonick6 Pada. Dokaite, i e tato ne-
n=l n
koneEnA Tada je divergentni, aEkoliv spliiuje nutnou podminku konvergence: 1
lim 1 = 0. n-ma n
1 1 * . R s h n i Posloupnost (s,),, = (1 + 5 + . . . + -) Ehtetnjrch souttd har-
n=l monickd iady je rostouci, nebot! s,+l - sn > 0 pro kaid6 n E N. Dile lze do- kbzat matematickou indukci, ie pro souEet prvnich n = 2" Elenfi harmonick6
m fady plati: s , = S p n > 1 + - pro kaid6 m E N a odtud plyne, i e posloup-
2 nost je neomezenb. Harmonickb fada tedy je divergentni, piiEemi s =
7. NekoneEna fada pfifazena aritmetick6 posloupnosti s diferenci d, tj. nekoneEna 00 00
fada tvaru x a, = x a1 + (n - l )d , se nazjrvj nekoneEn6 aritmetickzi n=l n=l
Pada s diferenci d. Dokaite, i e pro ni plati v6ta: NekoneEnA aritmetick6 Eada vBdy diverguje s vjijimkou piipadu, kdy d = 0 a zArovefi a1 = 0.
8. Dokaite, i e dan6 nekoneEn6 Tady jsou konvergentni, tj. maji koneEn6 souEty:
[Na'vod: UrEete souEty danjrch fad na zbkladf: visledkd Gloh 2b a 3c.I
NekoneEn6 geometrickii Fada a jeji souEet
9. K te r j nekoneEn6 fada se naz+b geometrickA? Kdy je nekoneEna geometrickj Fada konvergentni a jakjr vzorec plati pro jeji souEet?
Odpov&f NekoneEni iada pfifazenb geometrickk posloupnosti s kvocientem q, tj. M M -. -.
nekoneEni fada tvaru x a, = a1("", se nazjvd nekoneEnd geometrickd n= 1 n= 1
Tada s kvocientem q. 0 jeji konvergenci plati vsta: Je-li al = 0, nekoneEnb geome- 00
trickb fada C olqn-' je konvergentni pro kaid6 q E R a m6 souEet s = 0. Je-li n=l
66
-.
a1 # 0, nekoneEnb geometrickb iada x alqn-' je konvergentni, prbvivi: kdyi plati n= 1
191 < 1 Eili q E (-1; 1) a jeji souEet s je dbn vzorcem
Pozncimka. Pfi ddkazu tohoto vzorce se vychbzi z toho, i e n-tjr EbteEnjr sou- Eet nekoneEn6 geometrickk fady piedstavuje souEet prvnich n Elenfi geometrickh posloupnosti (viz nbledujici Glohu 10). Je l i a1 # 0 a Iql 2 1, lze dokbzat, i e ne- koneEnb geometrickb fada je divergentni (pfi ddkazu se uvaiuji piipady: q > 1, q = 1, q = -1, q < -1).
00
10. Dokazte vaorec pro souEet konvergentni geometrickk fady x alqn-l, pro n=l
a1 # 0 a (ql < 1 (uvedenjr v Gloze 9). qn - 1
[Ncivod: Za pfedpokladu, i e Iql < 1, urEete s = lim s,, kde sn = a1 . - 12-00 a - 1
(viz v6tu c) v Gloze 81 kap. 6.1). Dble uiijte toho, i e za uvedenkho pfedpokladu je lim qn = 0 (viz v6tu uvedenou v Gloze 48 kap. 6.2).] n-DJ
11. UrEete souEty nekonetnjrcli geometrickjrch fad:
12. UrEete souEty nekoneEnjrch fad:
[Ndvod: Dan4 nekoneEnk iady vyjufete ve tvaru souEtu dvou konvergentnich ne- koneEnjlch geometrickjrch fad.]
13. UrEete souEty nekoneEnjrch fad (souvisejicich s geometrickou fadou):
[Ncivod: Vyjdete z piislu9njrch n-tjrch EbteEnjrch souEtd t6chto fad odvozenjrch v Glohbch 113a, b a 114d kap. 6.1 a uiijte limit posloupnosti urEenjrch v Glohbch 26c a 25c kap. 6.2.1
00
14. UrEete konvergentni nekoneEnou geornetrickou fadu alqn-l , jejii prvni n=l
Elen je a1 = 25 a kterri m& souEet s = 62,5.
w
15. UrEete konvergentni nekoneEn6 geometrickc5 fady x alqn-l, pro nBi plati: n= 1
a) fada mb souEet s = 9 a souCet druhjrch mocnin vSech jejich Elenfi je sf = 40,5,
b) fada m i souEet s = 4 a souEet tfetich mocnin vsech jejich Elend je s' = 192.
[Ndvod: Ukajte, ie pro konvergentni nekoneEnou geometrickou fadu jsou nekoneE- nk fady druhgch i tfetich mocnin vgech Elend op6t konvergentni geometrickk fady, a uiijte pro n6 vzorce pro souEet geometrickk Pady.]
w
16. UrEete konvergentni nekoneenou geometrickou fadu alqn-l, jejif souEet n=l
2 3 je s = 2 - a kterb mb souEet prvnich p6ti Elenfi s5 = 2 - .
3 4 00
17. a) UrEete konvergentni nekoneEnou geometrickou fadu x alqn-', kteri mb n=l
1. Elen a1 = 1 a kaidjr jeji Elen je tfikr6t vEt8i nei souEet vSech Elenfi za nim nkledujicich. VypoEtBte t6f souEet s t6to nekoneEnk Pady.
w
b) UrCete vSechny konvergentni nekoneEn6 geornetrickk fady x algn-l, n=l
v nichi kafdJi Elen je desetinhobkem souEtu vSech Elend za nim nkle- dujicich. Stanovte t6i souEty s t6chto nekoneEnjrch Pad.
[Ndvod: Aplikujte uvedenou vlastnost Elend a, na Elen al.]
18. Zjistgte, pro kter6 hodnoty parametru x E R jsou dan6 nekoneEn6 iady kon- vergentni geometrickc5 iady a urCete jejich souEty:
19. Stanovte, pro kter6 hodnoty parametru x E R Ize zlomek 1
povaiovat 1 + sin x
za souEet konvergentni nekoneEn6 geometricke fady, a urEete tuto fadu.
20. fieSte rovnice s neznbmou x E R:
R e h 6 Eislo jako souEet konvergentni nekoneEn6 Pady, pzevod racion5lniho Eisla dan6ho periodickjrm desetin- njrm rozvojem na tvar zlomku
21. Kaid6 reiln6 Eislo a > 0 vyjbdfen6 desetinnjrm rozvojem a = ao,ala2. . .an. . . (kde a0 E N, an E (0 , 1 , 2 , . . . , 9 ) , n E N) 1ze t6i vyj6dfit ve tvaru nekoneEn6
al an an iady a0 + - + - + . . . $ - + . . ., kterd konverguje k Eislu a. Dokaite. 10 102 lon
a1 a2 CQ
Reieni (dGkaz). Posloupnost (s,),, = (a0 + - + - + . . . + 5) EBs 10 lo2 lon n=l
a1 a2 an teEnjrch souEtd nekoneEn6 fady a0 + - + - + . . . + - je neklesajici a shora 10 102 10n
omezenb Eislem a0 + 1, a proto podle ;ity a); lilohy 28 < kap. 6.2 je konvergentni, pfiEemi lim sn = lim an,d = a. Odtud plyne dokazovank tvrzeni:
n-a, n-00
22. Kaid6 racion&lni Eislo a > 0, kter6 je dan6 periodickjrm desetinnjrm rozvojem ao,alaz. . .an. . ., lze jeho vyj&dfenim nekoneEnou konvergentni iadou podle vQty z Glohy 21 a uiitim vzorce pro souEet konvergentni geometrickg iady t6i
P pfev6st na tvar zlomku - s celoEiselnjrm Eitatelem i jmenovatelem. Pieved'te 4
takto na tvar zlomku racionalni Eisla dan& periodickjrmi rozvoji:
a) 0 , a (ryze periodickjr rozvoj s periodou 43),
b) 1,3= (neryze periodickjr rozvoj s pfedperiodou 3 a periodou 45).
Reieni.
23. Racionblni Eisla dan& periodickfmi rozvoji
a) 0,8, b) 0,49, c) 0 , 4 2 8 , d) 6,W, e) 6,2'5
vyj&dfete ve tvaru zlomkfi s celoEiselnfmi Eitateli a jmenovateli. Na zikladE FeSenfch liloh se pokuste formulovat obecne pravidlo o pfevodu periodickeho desetinnkho rozvoje racionblniho Eisla a E (0; 1) na zlomek s celoEiselnfm Eitatelem i jmenovatelem.
olohy na aplikace souEtu konvergentni geometrickc5 Eady
24. oloha Goldbachova: UrEete souEet vSech racionblnich Eisel, kter& lze zapsat
ve tvaru zlomku 1
(n + 1)"' ' kde n E N , m E N - (1).
[Nduod: Pro kaid6 n = 1, 2, 3, . . . nechte postupng probihat m = 2, 3, a seEt6te takto vznikl6 konvergentni geometrick6 fady.]
Pozndmka. NQledujici i~lohy ukazuji, jak se pouiivb souEta konvergentnich ne- koneEnjrch geometrickjrch fad v geometrii. Potfebn6 geometrickb pojmy a vzorce rnfiie Etenrii. nal6zt v 9. kapitole.
25. UrCete d6lku kiivky spir6lov6ho tvaru (obr. 6.15), kterb je sloiena z nekoneEnE mnoha polokruinic takovjrch, i e polomBr prvni (nejvEtSi) polokruinice je r (IABI = T ) a polomBr kaidk nbsledujici polokruinice je dvakrbt menSi nei
r T polomBr piedchbzejici polokruinice (IBCI = -, [CDl = -, . . . ).
2 4 fles'eni. Po1omF:ry sestrojovanjrch polokruinic tvoii geometrickou posloupnost ur-
1
Eenou rekurentng: T I = T , r,+l = :T, (n E N), a proto take d6lky tgchto polo- ,G
1 1 kruinic piedstavuji geometrickou posloupnost: l I = Tr, ln+l = -1 - -Trn. (ObF:
2 n - 2 1
posloupnosti maji kvocient q = - .) D6lka s kiivky je rovna souEtu konvergentni 00
2
nekoneEn6 geornetrickb fady 1,: n=1
Dospgli jsme tak k zajirnavkmu v-jsledku, i e spirblovb kiivka mb tut6i d6lku jako kruinice o polomEru r.
Obr. 6.15
26. ZjistEte vzd6lenost koncovdho bodu X spir6lovk kiivky z piedchozi lilohy 25 od jejiho poE6teEniho bodu 0. Regen;. V obr. 6.15 vidime, ie od poEbteEniho bodu 0 je bod A vzdblen o 21-
1 vpravo, od bodu A je vzdblen bod B o T vlevo, od bodu B je bod C vzdblen o - r 2
vpravo atd. Proto koncov? bod X je od bodu 0 ve vzdblenosti s' dan6 souEtem konvergentni nekoneEn6 geometrickk fady:
27. UrEete kiivku spir8lovdho tvaru, kter6 je sloiena z nekoneEnG mnoha Etvrt- kruinic o polomErech:
1 3 8) TI =TiTn+l = ~ T n i b) TI = T, r,+l = -rn (n E N).
4
28. Do Etverce o stran8 ddlky a je veps6n kruh, do nEho pak Etverec, do toho opEt kruh (obr. 6.16) atd. do nekonefna. VypoEtEte:
a) soueet obvodb a souEet obsahb vSech tBchto Etvercb,
b) souEet obvodb a souCet obsahb vSech tEchto kruhb.
Obr. 6.16 Obr. 6.17
29. Ke Etverci ABCD o strang dblky a pfipojime pravolihljr trojlihelnik C B E shodnjr s trojlihelnikem DAB (obr. 6.17). Na pfimce B E sestrojime postupnQ
a liseEky BB1, B1B2, B2B3, . . ., Bn-1 B,, . . . o dblkfich lBBll = ;, lBl B2l =
,L
a a a = - IB2B3 1 = 8, . . ., lBn-l Bn I = - . . .. A obdobnE na piimce C E
4 ' 2n ' sestrojime postupnE GseEky CC1, C1C2, C2C3, . . . , Cn-lCn, . . . o d61k6ch
U U U ICCll = 5, kde u = a d , IC1C21 = -, IC2C3J = 8, . . ., JCn-1CnI =
71. 4
- - - - 2n' " "
a) Dokaite, i e pro n -+ cu body Bn i Cn dospEji do t6hoi bodu X = E .
b) UrEete ddlku lomen6 E&ry BC1B1C2B2 . . . CnBn . . . E.
c) UrEete souEet obsahb vSech pravofihljrch trojlihelnikd CBC1, BB1 C1, ClBlC2, BlB2C2, . . ..
30. Do rovnostrannbho trojlihelniku AIBICl o stran5 ddlky a je veps6n kruh K1, do nBho rovnostrannjr trojlihelnik A2B2C2, do toho opGt kruh K2 (obr. 6.18) atd. do nekoneEna. UrEete: a) souEet obsahb vSech tEchto trojlihelnikb, b) sou- Eet obsahfi vSech tgchto kruhb.
Obr. 6.18 Obr. 6.19
31. Do rovnostrannkho trojfihelniku AIBICl o stran6 dblky a je veps&n kruh K1. Sestrojme kruh K2 dotjrkajici se kruhu K1 a stran AIC1, BlCl dankho rovnostrannkho trojfihelniku, obdobnG sestrojme kruh Kg dotjrkajici se kruhu K2 a stran AIC1, BICl dankho trojfihelniku (obr. 6.19), atd. do nekoneEna. Obdobn6 sestrojme posloupnosti kruhd K2, K3, . . . pii vrcholech A1, B1. UrEete souEet obsahd vgech t6chto kruhd (K1 a trojic kruhd K2, K3, . . .) a porovnejte je s obsahem dankho rovnostrannbho trojfihelniku.
32. Je d&n rovnostrannjr trojfihelnik ABC o strang dblky a. Nad jeho vjrSkou C D sestrojime drub$ rovnostrannjr trojfihelnik DEC, nad jeho vjrgkou EF tieti rovnostrannjr trojfihelnik FEG (obr. 6.20) atd. do nekoneEna. VypoEtGte souCet obsahd vSech t6chto trojiihelnikii.
Obr. 6.20 Obr. 6.21
33. Do kruhu o polom6ru T je vepsbn pravidelnjr Sesti&elnik, do n6ho kruh, do to- ho op6t pravidelnjr Sestiiihelnik (obr. 6.21) atd. do nekoneEna. UrEete: a) sou- Eet obsahfi vSech t6chto kruhd, b) souCet obsahd vgech t6chto gestilihelnikd.
34. Do krychle o hran6 dklky a je vepsbna koule, do ni krychle, do tk op6t koule atd. do nekoneEna. VypoEtBte: a) souEet povrchd vSech t6chto krychli, b) sou- Eet povrchd vSech techto kouli.
35. Do pravidelnkho Etyibokkho jehlanu o podstavnk hran6 (stran6 podstavy) dklky a a vjrSce v je vepsbn pravidelnjr Ctyibokjr jehlan, jehoi podstava je v polovin6 vjr5ky prvniho (dankho) jehlanu a vrchol leii ve stfedu jeho pod- stavy (obr. 6.22). Do druhkho (vepsankho) jehlanu je obdobn6 vepsbn tfeti jehlan atd. do nekoneEna. VypoEt6te souEet S objemd vSech t6chto jehland a rozdil s - Vl, kde Vl je objem prvniho (dankho) jehlanu.
72
Obr. 6.22
36. Do rovnostrann6ho kuiele o polomBru podstavy T je vepsAna koule, nad ni druhb koule, nad tou tfeti atd. do nekoneEna. VypoEtBte: a) souEet povrchd vgech ti5chto kouli, b) souEet objemd vgech tBchto kouli.
b) Je-li q = 1, pak pro vSechna n E N je bn = 1, an = a l , a tedy lirn qn = 1 n-w
a lirn an = a l . n- w
1 c) Je-li q > 1 Eili q E (1, +m), pak lirn - = lirn (i)n = 0, a tedy (podle v6ty
n-w qn n-w
z Clohy 42 s piihl6dnutim k tomu, i e q > 0) je lirn qn = +oo a lirn a , = + m , n-w 71-05
pokud je a1 > 0, lirn an = -m, pokud a1 < 0. 71-00
d) Je-li q 5 -1 Eili q E (-oo, -I), takie lirn qn neexistuje a takk lirn an ne- n-w n- w
existuje. Pondmka. Limity urEen6 v jednotlivjrch piipadech lilohy 48 si mdiete t k i ov6Pit pfimj.m uiitim definice vlastni a nevlastni limity posloupnosti.
49. Na zBlad6 v6ty z Clohy 48 plyne:
a) lirn ( ; I n = 0, posloupnost je konvergentni, n- w
b) lirn 2" = +oo, posloupnost je divergentni, n-m
2 lim - = 0, posloupnost je konvergentni,
C, n-+m 3n-1
d) lirn (-2)"" neexistuje, posloupnost je divergentni. n-w
51. Obdobnfrn zpfisobem jako v liloze 50 dostAvAme: 1 7
- 1 - 1 c ) O , d ) 3 , e ) 1 6 , f ) g) -oo, h ) E . 3
l + 2 + . . .+2" 2n - 1 52. lirn = lim 4 . - = 0 (obdobnkm postupem jako v 610-
n-w 1 + 5 + . . . + 5 n n-oo 5 n - 1 h h h 50, 51).
54. Obdobnjrm postupem jako v liloze 53 dostAvAme: a) 0, b) 0.
6.3 NekoneEnA 5ada a jeji souEet, nekoneEnA geometrickA Fada
e) s2k = x [(2m)2 - (2m - I ) ~ ] = x ( 4 m - 1) = k(2k + 1), k t N,
sn = (-1)" . "(n pro kaidC n E N. 2
5. a) lirn (-1)" neexistuje, b) lirn n = +m, n-m n-w
c) lim (-l)n n neexistuje, a proto nekoneEn6 fady jsou divergentni. n-m
7. a) Pro d # 0 je lirn an = lirn [a1 + (n - l)d] = + m neb0 -m, tj. lirn an # 0, n-m n-m n-m
takie nekoneEnk aritmetickb fada je pak divergentni.
b) Pro d = 0 je lirn an = a l , takie lirn an # 0, kdyi a1 # 0, a tedy ne- n- w n-m
koneEnb aritmetickk iada je pak divergentni; lirn an = 0, kdyi a1 = 0, pak n-w
s = lirn sn = 0, a tedy nekoneEnk aritmetickb iada jenom v tomto speciklnim n-m
piipad6 je konvergentni.
n 8. a) s = lim sn = lim - = 1,
n-m n-m n + l
b) s = lirn sn = lirn n ( n + 3 ) - - - 1 n-m n-m 4 (n+ l ) ( n + 2) 4 '
qn - 1 10. Protoie q # 1, je sn = a1 - , a protoie 141 < 1, je lim qn = 0, takie s =
q - 1 n-m
- qn - 1 - lim sn = lirn a1 - = - . a1 lim (qn - I) = - a1 ( 0 - 1 ) = -
n-m n-w q - 1 q - 1 n-m 9 - 1 1 - q '
1 13, a) s = am sn = = &' ~ ~ e b o t Pro
71-05
141 < 1 je lirn qn = 0, lim nqn = 0, n-m n-m
q b) uiitim vjrsledku a): s = - (1 - d2 '
1 n =3(nebdt lim - = o , lim - = 0 ) .
n-m n-m 2n n-m 2n
428
F Z + XF .(m+(;) n (I- loo-) 3 x 0 .- z < 1x1 old - "'2 = s (a
I +x .(m+ '5) n (1- 'm-) 3 x .b '1- > x oqau 1 < x old - = s (3 1
I-1 .o1'1 = s lalnos em 'e 3 :ep; e~palq :-- = 6 1)
00 1 y-ed '(OIS!~ ?rqeal aholnuau aqo~oqg) (0) - a 3 o = To oqau Lo = s qapos
1 =u
1 1 c) a1 = log x, x > 0, q = --; je Iql = - < 1, a tedy pro vSechna x > 0:
2 2 2 3 - log x = 2, feSeni: x = 10 . 3
R d) a1 = 1, q = sin2x; pro 191 = sin2x < 1 Eili sin x # f 1 % x # (2k + 1) b , k E Z Y
R (pak cos x # 0): sin 22 = 1, FeSeni: x = (4k + 1) -, k E Z.
4
1 1 1 f) a l = x , q = - ; p r o / q l = - < l * j x l > - o x E ( - m , - i ) U ( i , + c o ) :
22 21x1 2 2x2 1 1
= 33: - 1, feSeni: x = 1 (x = - nevyhovuje podmince 1x1 > -) . 22 - 1 4 2
3 3 g) a1 = 1, q = --; pro Iql = - < 1 u 1x1 > 3 u x E ( - m , - 3 ) ~ ( 3 , + m ) :
x 1x1
3 3 h) a1 = 1, q = -; pro 141 = - < 1 % 1x1 > 3 * x E (-m, -3) U (3, +m):
x 1x1 . . x
s = - PeSeni: x = 6 (x = 2 nevyhovuje podmince 1x1 > 3). x - 3 '
x - 2x2 - i) a1 = (1 - 2x)x, q = x2; pro 191 = x2 < 1 u 1x1 < 1 u x E (-1; 1): - -
1 - x 2 2 = -- 2 1 5 , dv6 feSeni: xl = - , x2 = - - .
3 4 1
j) a1 = 2", q = 2-I = - < 1; pro vSechna x E R: 2 . 2" = d10.2" - 4, dvi! 2
ieSeni: xl = 1, x2 = -1.
Obecne'prawidlo: Periodickjl desetinnjl rozvoj racionalniho Eisla a E (0; 1) lze pievdst na tvar zlomku, jehoi Eitatel je roven rozdilu pfirozenkho Eisla tvoiendho Eislicemi piedperiody i periody a piirozenkho Eisla tvofenkho Eislicemi piedperiody a jehoi jmenovatel je pfirozenk Eislo tvofend tolika devitkami, kolik desetinnjrch mist ma perioda, a tolika nulami, kolik desetinnjrch mist ma piedperioda.
(viz lilohu 8).
430
IEP '=u
.VZJ9 = ISP = (b) . :s 3 = ,s (q ',JY~ = 1st. = 1-u E m I-u m
Z Z z 'VeW =V-. - .P = - . P = ISP = ww nw I-u 03
'[=u 96 P , 96 8 8
',"gELOL0 = ,WE - - V .,WX - = IS - = IS- + 1s = IT. z I1 T.1 6 I-u (!)
E+
+ 1s = ("'+&Sf ZS)C+ IS = S '- zT - - (V!) .x= (.t) .x= 1s rg zWX Z z z
1 =u
- F .6 - E. 5 = 1s- = z='X ZWX P I P 1-u m
1=u E 6- - - -.-= 1~5 = (b) lSx=s (2 .Og
P E
z VZW P P 1-u T: 00
1=u Z P 0- = w- .z= ISZ=
ZT: ZI m
q-1 .gp - .(I+zy)W = - - - I w
- 1." - . 'ZW = Irgr31 'ID = IT391 :am!~uzO (q M
'3 = x * 1331 = 1x31 'laal = lxal 1=u z mcZL
:~pa? V- .gp~ = - n . z = 11331~ = (') .lU331 = l"331 mg = ,S = I-u m
r=u Z mcu
= 1x31 'w = , . z = I~aalz = 1-ZL (4) . 11*k71 3 = iuaa1 -!I = = 1x.I (e '6.
03
.z - ,, - 'SZ = I-u 05
'=u gp-z ,(gpfZ)2),'= - .TO=
Z I -u
I=u
zy-z '(zy+z)ot.= - .lo= z
1=u Z 'JXZ = - .p=
JX
z 'JX = - . z = I1z = JX
M
v 1 2r rd3 36. Polom6ry vepsanjrch kouli (v fezu v obr. 6.16): el = Q = - = - . -a = -
3 3 2 3 ' 1 1
7.1 Kombinatorika 2. a) Provedeme rozklad mnoiiny vSech Etvercd ve vznikl6m obrazci na podmnoiiny
A1, Az, A3, A4 takov6, i e Ai (i = 1, 2, 3, 4) obsahuje vSechny Etverce o stra- 2 2 n6 delky i . Zfejm6 plati: \All = 4' = 16, lAzl = (4- 1) = 3 = 9, lA3l =
= (4 - 2)' = 22 = 4, (A41 = (4 - 3)2 = 1' = 1, Protoie mnoiiny A1, A2, A3, A4 jsou navzajem disjunktni, podle kombinatorick6ho pravidla souEtu je poEet vSech jejich prvkii (tj. celkovjl poEet Etvercd ve vznikl6m obrazci) roven souEtu 1 6 + 9 + 4 + l = 30.
b) ZobecnBnim postupu feSeni lilohy a) dosttivame, i e poEet vSech Etvercd je roven 1
souEtu n2 + (n - 1)' + . . . + l2 = ; n(n + 1) (2n + 1) (viz Glohu 45a v kap. 1.1
v 1. dilu na str. 16).
3. Abychom j i s t 6 vytahli 14 kuliEek stejn6 barvy, musime uvaiovat nejmkn6 pfiznivjl pfipad, kdy vytahneme 10 biljrch, 10 Eernjrch, 12 zelenjrch kuliEek a z Eervenjlch, modrjrch neb0 ilut9ch kuliEek vytahneme 2 . 13 kuliEek dvou barev a 14 kuliEek zbjivajici barvy. Protoie mnoiiny kuliEek r8znpch barev jsou disjunktni, podle kom- binatorickkho pravidla souEinu hledanp nejmenSi poEet vytajenjlch kuliEek je dan souttem 10 + 10 + 12 + 2 . 13 + 14 = 72.
4. Z definice sjednoceni mnoiin a definice mnoiin plyne, i e plati (viz t6i Venndv diagram v obr. V 7.1): A = (A - B) U B, pfiEemi (A - B) n B = 0. A odtud podle kombinatorick6ho pravidla souEtu dostAvAme: 1A( = [(A - B) U B( = JA - BJ + (BI * +- IA - BI = 1Al - IBI (pro B c A).
5 , a) Z definice sjednoceni, rozdilu a prdniku mnoiin plyne (viz Venndv diagram v obr. V 7.2): A U B = A U (B - A) = A U [B - ( A n B)], piiEemi (An B) C B. Odtud podle kombinatorickkho pravidla souEtu spolu s uiitim v6ty odvozen6 v Gloze 4 dostBvame: JA U BI = IAl + IB - (An B)I = IAl+ IBI - IA n BI. Pozncimka. Modifikovanf ddkaz vyuiivajici toho, i e pro kaZd6 dv6 mnoii- ny A ,Bpla t iA-B=AnBt , B-A=AtnB,v iz [ l lstr . 34-35as t r . 288-289.
