SadržajSadržajSadržajSadržaj::::

•••• Nizovi brojevaNizovi brojevaNizovi brojevaNizovi brojeva

− Pojam niza − Limes niza. Konvergentni nizovi − Neki važni nizovi. Broj e.

•••• Limes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcije

− Definicija limesa − Računanje limesa − Jednostrani limesi

•••• Neprekinute funkcije i limesiNeprekinute funkcije i limesiNeprekinute funkcije i limesiNeprekinute funkcije i limesi

− Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema li mesu − Asimptote − Svojstva neprekinutih funkcija

Niz brojevaNiz brojevaNiz brojevaNiz brojeva

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Neka je S neki skup brojeva. Funkciju a : N →→→→ S zovemo ninininizzzzom om om om

brojeva iz Sbrojeva iz Sbrojeva iz Sbrojeva iz S.

Umjesto da se piše a(n), što je uobi čajeno kod funkcija, piše se a n. Elementi a 1, a2,…, an,… se zovu članovi niza. Element a n se zove op ći član niza.

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Napisati prvih pet članova niza čiji je op ći član 1++++

====n

nan .

RješenjeRješenjeRješenjeRješenje:::: .65

,54

,43

,32

,21

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Naći opći član niza, čiji su članovi ,...78

,56

,34

,2

RješenjeRješenjeRješenjeRješenje: : : : Prvi član ima u brojniku 2, drugi član ima u brojniku 4, tre ći

član ima u brojniku 6, itd. U nazivniku je broj za je dan manji nego u brojniku.

Prema tome .12

2−−−−

====n

nan

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Naći opći član niza ,...222,22,2

RješenjeRješenjeRješenjeRješenje: : : : ,...2,2,2,2 1615

87

43

21

4321 ================ aaaa Tako je .2 2

12n

n

na−−−−

====

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Kažemo da niz realnih brojeva (a n)

raste ako je a n+1 ≥≥≥≥ an, za svaki n ∈∈∈∈ N,

strogo raste ako je a n+1 > an, za svaki n ∈∈∈∈ N,

pada ako je a n+1 ≤≤≤≤ an, za svaki n ∈∈∈∈ N,

strogo pada ako je a n+1 <<<< an, za svaki n ∈∈∈∈ N.

Niz zovemo monotonim ako raste ili pada.

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Dokazati da strogo pada niza čiji je op ći član 2,1

12

≥≥≥≥−−−−

==== nn

an .

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Kažemo da je niz realnih brojeva (a n)

ograničen odozgor ako postoji M ∈∈∈∈ R, takav da je a n ≤≤≤≤ M , za svaki n ∈∈∈∈ N,

ograničen odozdol ako postoji m ∈∈∈∈ R, takav da je a n ≥≥≥≥ m , za svaki n ∈∈∈∈ N,

ograničen ako je ograni čen odozdol i odozgor,

neneneneograničen ako nije ograničen.

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Ispitati ograni čenost niza čiji je op ći član 1,1 ≥≥≥≥++++==== n

nn

an .

RješenjeRješenjeRješenjeRješenje:::: Budu ći da je brojnik ve ći od nazivnika, svaki član niza je ve ći

od 1. Niz strogo pada, pa je prema tome a 1 najve ći element. Dakle niz je ograni čen i odozgo i odozdo.

Limes niza. Konvergentni nizovi.Limes niza. Konvergentni nizovi.Limes niza. Konvergentni nizovi.Limes niza. Konvergentni nizovi.

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Kažemo da niz (an) realnih brojeva konvergirakonvergirakonvergirakonvergira k L , ako za svaki εεεε > 0 postoji n 0 ∈∈∈∈ N tako da

n > n 0 ⇒⇒⇒⇒ | an – L | < εεεε.

U tom slu čaju kažemo tako ñer da niz ima limes a 0, i pišemo Lann

====∞∞∞∞→→→→

lim . Za niz

koji ima limes kažemo da je konvergentankonvergentankonvergentankonvergentan. Za niz, koji nema limes tj. koji ne konvergira, kažemo da divergdivergdivergdivergirairairaira, odnosno da je divergentandivergentandivergentandivergentan.

Prema ovoj definiciji, u proizvoljno maloj okolini l imesa nalaze se svi članovi niza osim njih kona čno mnogo. Dakle vrijedi sljedeca tvrdnja

TTTTvrdnja:vrdnja:vrdnja:vrdnja: Ako niz konvergira, onda je on ograni čen.

Prema tome neograni čen niz nema limes.

PrimjPrimjPrimjPrimjer:er:er:er: Ispitati konvergenciju niza n

an1==== .

RjeRjeRjeRješšššenjeenjeenjeenje:::: Niz konvergira i 01

lim ====∞∞∞∞→→→→ nn

.

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjer:::: Ispitati konvergenciju niza: nn qa ==== .

RjeRjeRjeRješšššenjeenjeenjeenje:::: Ako je |q| > 1, onda je niz nn qa ==== neograni čen, pa divergira. Ako

je q = 0, onda je svaki član niza jednak 0, pa niz konvergira, i limes mu je 0 . Ako je 0 < |q| < 1, niz n

n qa ==== konvergira i 0lim ====∞∞∞∞→→→→

n

nq . Ako je q=1, onda niz

konvergira i limes je 1, a ako je q = - 1, onda imamo niz -1,1,-1,1,-1,1,... Unutar proizvoljno male okoline oko 1 se doduše nalazi besk onačno mnogo članova niza, no i izvan nje se nalazi beskona čno mnogo članova. Tako 1 nije limes. Sličnim razmatranjem zaklju čujemo da niti -1 ne može biti limes. Neki drugi broj ne moze biti limes jer postoji interval oko njega u k ojem se ne nalazi niti jedan član niza.

Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja: Monoton i ograni čen niz realnih brojeva konvergira.

Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja:Tvrdnja: Neka su nizovi (a n) i (b n) konvergentni, i neka je 0lim aann

====∞∞∞∞→→→→

i

0lim bbnn

====∞∞∞∞→→→→

. Tada vrijedi sljede će:

1. Niz (an ± bn) konvergira i

(((( )))) 00limlimlim bababa nn

nn

nnn

±±±±====±±±±====±±±±∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

.

2. Niz (an · bn) konvergira i

(((( )))) 00limlimlim bababa nn

nn

nnn

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

.

3. Niz ( λλλλ· an) konvergira i

(((( )))) 0limlim aaa nn

nn

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

λλλλλλλλλλλλ .

4. Ako je b n ≠≠≠≠ 0 za svaki n ∈∈∈∈ N i b 0 ≠≠≠≠ 0, niz (a n / bn) konvergira i

0

0

lim

limlim

ba

b

a

ba

nn

nn

n

n

n========

∞∞∞∞→→→→

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

.

Neki važni nizoviNeki važni nizoviNeki važni nizoviNeki važni nizovi

Razmotrit ćemo sada neke važne limese.

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Može se dokazati da vrijede sljede ći limesi:

• 1lim ====∞∞∞∞→→→→

nn

n .

• 1lim ====∞∞∞∞→→→→

nn

a , za a >>>> 0.

• 0!

lim ====∞∞∞∞→→→→ n

an

n, za a ∈∈∈∈ R.

• Broj e: en

n

n====

++++∞∞∞∞→→→→

11lim .

Limes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcijeLimes funkcije

U daljnjem tekstu koristimo i podrazumijevamo sljede će oznake i pretpostavke:

Neka je funkcije f: DDDD(f)⊆⊆⊆⊆RRRR →→→→ RRRR. Kada govorimo o limesu funkcije y=f(x) u to čki x=a, tada za domenu DDDD(f) podrazumijevamo sljede će:

� ako je a ∈∈∈∈RRRR tada postoji barem jedan realan broj δδδδ>>>>0 takav da je skup (a-δδδδ,a+δδδδ) \ {a} sadržan u domeni DDDD(f);

� ako je a = + ∞∞∞∞ tada postoji barem jedan realan broj M >>>>0 takav da je interval (M, +∞∞∞∞) sadržan u domeni DDDD(f);

� ako je a = - ∞∞∞∞ tada postoji barem jedan realan broj m<0 takav da je interval (-∞∞∞∞,m) sadržan u domeni DDDD(f).

Kada pišemo x=a, a ne navedemo da je a ∈∈∈∈RRRR,,,, tada podrazumijevamo da to čka a može biti i ±±±±∞∞∞∞.

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x=a∈∈∈∈R, ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:

∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x≠a, |x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε.

U tom slu čaju pišemo )(lim xfLax →→→→

==== ili f(x) →→→→ L kad x →→→→ a.

Ako nejednakosti |x-a| < δδδδ, |f(x)-L| < εεεε napišemo u intervalnom obliku, tada definiciju limesa možemo napisati u drugom obliku:

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x=a∈∈∈∈R, ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:

∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x≠a, x∈∈∈∈ (a-δδδδ, a+δδδδ) ⇒⇒⇒⇒ f(x)∈∈∈∈ (L-εεεε, L+εεεε).

Ako to čka a nije kona čna, odnosno, ako je a= ±±±±∞∞∞∞, tada za limes funkcije imamo sljede će definicije:

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x=∞∞∞∞, ako za svaki εεεε > 0 postoji M > 0 tako da vrijedi:

∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x > M ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε.

U tom slu čaju pišemo )(lim xfLx ∞∞∞∞→→→→

==== ili f(x) →→→→ L kad x →→→→ ∞∞∞∞.

Definicija:Definicija:Definicija:Definicija: Za realan broj L ∈∈∈∈ R kažemo da je limeslimeslimeslimes funkcije y=f(x) u to čki x = -∞∞∞∞, ako za svaki εεεε > 0 postoji m < 0 tako da vrijedi:

∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x < m ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε.

U tom slu čaju pišemo )(lim xfLx −∞−∞−∞−∞→→→→

==== ili f(x) →→→→ L kad x →→→→ -∞∞∞∞.

TvrdnjaTvrdnjaTvrdnjaTvrdnja A A A A:::: Realan broj L je limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, ako i samo ako za svaki niz (x n) iz DDDD(f), takav da x n ≠≠≠≠ a i x n →→→→ a, vrijedi Lxf n

ax n

====→→→→

)(lim .

Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Neki osnovni limesi su

a)a)a)a) za sve p > 0, 01

lim ====∞∞∞∞→→→→ px x

; -0.2 -0.1 0.1 0.2

x

-200000

-100000

100000

200000

300000

400000

fHxL = 1êx2,1êx3

b)b)b)b) za sve p > 0, 0lim0

====→→→→

p

xx ;

-10 -5 5 10x

-100

-50

50

100

150

fHxL = x5,x4,x3,x2

c)c)c)c) ex

x

x====

++++±∞±∞±∞±∞→→→→

11lim .

-10 -5 5 10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

TvrdnjaTvrdnjaTvrdnjaTvrdnja B B B B:::: Ako za funkciju y=f(x) postoji limes u to čki x=a, tada je on jedinstven.

Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. neka funkcija y=f(x) ima dva limesa )(lim1 xfL

ax →→→→==== , )(lim2 xfL

ax →→→→==== . Tada po definiciji limesa za svaki εεεε > 0 postoje δδδδ1 >

0 i δδδδ2 > 0 takvi da vrijedi ∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x≠a,

|x-a| < δδδδ1 ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L 1| < εεεε /2 i |x-a| < δδδδ2 ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L 2| < εεεε/2.

Sada za δδδδ=min{ δδδδ1, δδδδ2} i za sve x takve da je |x-a| < δδδδ imamo:

| L1 - L2 | = | L1 – f(x) + f(x) - L 2 | ≤≤≤≤ |f(x)-L 1| + |f(x)-L 2| < εεεε/2 + εεεε/2 = εεεε,

odakle zbog toga što je εεεε > 0 proizvoljan slijedi da je L 1 = L2. Q.E.D.

Navest ćemo jedan primjer nepostojanja limesa dane funkcije u točki x=a.

Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Neka je funkcija y=f(x) definirana kako slijedi

====

≠≠≠≠====.0 za5

,0 za,1

sin)(x

xxxf 0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

Tada ne postoji limes ove funkcije u to čki x=0. Zaista, neka su (a n) i (b n) dva niza definirana na sljede ći način:

an =1

π

2+2 n π

i bn =1

3 π2

+2 n π, nε N

Nije teško provjeriti da je f(a n) = 1 i f(b n) = -1, n∈∈∈∈N, odnosno da vrijedi

an →→→→ 0, f(an) →→→→ 1 i b n →→→→ 0, f(b n) →→→→ -1, kad n →→→→ ∞∞∞∞.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-1

1

2

3

4

5

Ako bi postojao limes L funkcije y=f(x) u to čki x=0 tada bi po TvrdnjiA istovremeno imati da je L=1 i L=-1,

što po TvrdnjiB nije mogu će.

Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Sljedeće funkcije nemaju limes u to čki x=a:

•••• 3

1)(

−−−−====

xxf u točki x=3; -2 2 4 6 8

-20

-15

-10

-5

5

10

15

•••• xtgxf ====)( u točki x= ππππ/2; 1.5 2 2.5

-60

-40

-20

20

40

60

•••• 21

cos)(x

xf ==== u točki x=0; - 1 - 0 . 5 0 . 5 1

- 1

- 0 . 5

0 . 5

1

•••• xcthxf ====)( u točki x=0; -10 -5 5 10

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Ako je funkcija y=f(x) definirana u to čki x=a, odnosno, ako je a ∈∈∈∈DDDD(f), te ako postoji limes )(lim xfL

ax →→→→==== tada se postavlja pitanje da li je L jednako f(a)? O

tome govori sljede ći primjer.

Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Neka je funkcija y=f(x) definirana kako slijedi

====≠≠≠≠====

.0 za3

,0 za,)(

2

x

xxxf

Tada vrijedi )(lim)0(0

xffx →→→→

≠≠≠≠ . Zaista, nije teško vidjeti da postoji )(lim0

xfx →→→→

i da je

0)(lim0

====→→→→

xfx

. S druge strane, iz definicije ove funkcije znamo da je f(0)=3, pa

zaklju čujemo da je )(lim)0(0

xffx →→→→

≠≠≠≠ .

Računanje limesa Računanje limesa Računanje limesa Računanje limesa

U nastavku ćemo prezentirati neke metode ra čunanja limesa, a koje se temelje na svojstvima limesa funkcija s obzirom na algebarsk e operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i potenciranja funk cija. Ova svojstva su iskazana u sljede ćem rezultatu.

Tvrdnja C:Tvrdnja C:Tvrdnja C:Tvrdnja C: Neka postoje limesi funkcija y=f(x) i y=g(x) u to čki x=a. Tada su istinite sljede će jednakosti:

1. [[[[ ]]]] ),(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→→→→→→→→→→

±±±±====±±±±

2. [[[[ ]]]] ),(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→→→→→→→→→→

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅

3. ,0)(lim je ako ,)(lim

)(lim

)()(

lim ≠≠≠≠====

→→→→→→→→

→→→→

→→→→xg

xg

xf

xgxf

axax

ax

ax

4. [[[[ ]]]] .0 oblika nije strana desna ako,)(lim)(lim 0)(

)(lim xg

ax

xg

ax

axxfxf

→→→→

====→→→→→→→→

Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA i svojstava konvergentnih nizova , ali ove jednakosti možemo dokazati direktno. Neka je )(lim1 xfL

ax →→→→==== , )(lim2 xgL

ax →→→→==== . Tada po

definiciji limesa za svaki εεεε > 0 postoje δδδδ1 > 0 i δδδδ2 > 0 takvi da vrijedi

|x-a| < δδδδ1 ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L 1| < εεεε /2 i |x-a| < δδδδ2 ⇒⇒⇒⇒ |g(x)-L 2| < εεεε/2.

Sada za δδδδ=min{ δδδδ1, δδδδ2} i za sve x takve da je |x-a| < δδδδ imamo:

| [f(x) + g(x)] – [L 1 + L2] | = | [f(x) – L 1] + [g(x) – L 2] | ≤≤≤≤ |f(x)-L 1| + |g(x)-L 2|

< εεεε/2 + εεεε/2 = εεεε,

odakle slijedi da postoji limes funkcije f+g u to čki x=a i da je jednak L 1 + L2. Time je dokazana prva jednakost u ovoj tvrdnji. Q.E.D.

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: 21

111

11

lim1

====++++

====++++→→→→ xx

.

Uvijek treba uvrstiti broj kojem teži x u funkciju čiji limes ra čunamo. Ako dobijemo kao rezultat realan broj, onda je upravo taj broj limes. Uvrštavanjem možemo dobiti ∞∞∞∞ ili - ∞∞∞∞ kao jedan od članova. U tom slu čaju imamo ova pravila:

∞∞∞∞ + ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞, ∞∞∞∞ ±±±± a = ∞∞∞∞, -∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ = -∞∞∞∞, -∞∞∞∞ ±±±± a = -∞∞∞∞,

∞∞∞∞ ⋅⋅⋅⋅ ∞∞∞∞ = ∞∞∞∞, 0====∞∞∞∞

±±±± a,

<<<<∞∞∞∞−−−−>>>>∞∞∞∞

====∞∞∞∞⋅⋅⋅⋅.0 je ako,

,0 je ako,

a

aa

Neodreñeni oblici Neodreñeni oblici Neodreñeni oblici Neodreñeni oblici

Ako pri ra čunanju limesa dobijemo jedan od izraza:

00

,

∞∞∞∞∞∞∞∞

, ∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞ , ∞∞∞∞⋅⋅⋅⋅0 , 0∞∞∞∞ ,

00 , ∞∞∞∞1 ,

onda ne možemo ništa re ći. Tada moramo raznim metodama svesti podintegralnu funkciju na oblik koji će nakon uvrštavanja dati realan broj ili jedan od gore rješenih izraza. Ako se tom prilikom kao limes dobije ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞, onda to zna či da limes ne postoji i da vrijednost funkcije post aje sve ve ća ili sve manja kada se nezavisna varijabla približava to čki u kojoj ra čunamo limes.

Neodreñeni oblici ∞∞∞∞∞∞∞∞

i 00

Kod ra čunanja limesa racionalnih funkcija )()(

xgxf

(f(x) i g(x) su polinomi),

možemo dobiti izraz ∞∞∞∞∞∞∞∞====

)()(

agaf

ili 00

)()( ====

agaf

.

Kod neodre ñenog oblika ∞∞∞∞∞∞∞∞

, brojnik i nazivnik dijelimo s najve ćom

potencijom. Na taj način od beskona čno velikih veli čina, koje su se pojavile u brojniku i nazivniku, prelazimo na kona čne i beskona čno male veli čine, pa možemo primjeniti jedno od svojstava iz TvrdnjeC.

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::

•••• .32

/4/13

/5/32lim

/)43(

/)532(lim

43

532lim 2

2

22

22

2

2====

++++−−−−++++−−−−====

++++−−−−++++−−−−====

∞∞∞∞∞∞∞∞====

++++−−−−++++−−−−

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xx

xx

xxx

xxx

xx

xxxxx

•••• Funkcija 52

235)( 23

24

−−−−++++−−−−−−−−====

xx

xxxxf nema limes u to čki x= ∞∞∞∞. Zaista,

./5/2/1

3/2/35lim

/)52(

/)235(lim

52

235lim 42

2

423

424

23

24∞∞∞∞====

−−−−++++−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−−−−−

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xxx

xx

xxx

xxxx

xx

xxxxxx

•••• .0/3/12

/1/4/1lim

/)32(

/)14(lim

32

14lim 42

42

424

423

24

23====

++++−−−−++++++++====

++++−−−−++++++++====

∞∞∞∞∞∞∞∞====

++++−−−−++++++++

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xx

xxx

xxx

xxx

xx

xxxxx

Kod neodre ñenog oblika 00

, potrebno je brojnik i nazivnik skratiti.

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::

•••• 91

3323

32

lim)3(3

)3)(2(lim

00

93

65lim

332

2

3====

⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====

−−−−−−−−−−−−========

−−−−++++−−−−

→→→→→→→→→→→→ xx

xxxx

xx

xxxxx

,

•••• .23

cos23

limcossin2

sin3lim

00

2sinsin3

lim000

================→→→→→→→→→→→→ xxx

xxx

xxx

Neodreñeni oblik ∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞

Kod ra čunanja limesa razlike funkcija f(x) −−−− g(x), možemo dobiti da je izraz f(a) −−−− g(a) = ∞∞∞∞ −−−− ∞∞∞∞.

U ovom slu čaju potrebno je razliku funkcija f(x) −−−− g(x) transformirati u racionalnu funkciju.

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::

•••• (((( )))) (((( ))))32

3232lim32lim

2

222

++++−−−−++++

++++−−−−++++++++−−−−−−−−====∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞====++++−−−−−−−−∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xxx

xxxxxxxxx

xx

(((( ))))(((( ))))

,111

2

/3/211

/32lim

/32

/32lim

32

32lim

32

32lim

2

222

22

====++++

====++++−−−−++++

−−−−====

++++−−−−++++

−−−−====++++−−−−++++

−−−−====++++−−−−++++

−−−−++++−−−−====

∞∞∞∞→→→→

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

xx

xxxxx

xx

xxx

x

xxx

xxx

x

xxx

•••• (((( ))))

++++−−−−⋅⋅⋅⋅====∞∞∞∞−−−−∞∞∞∞====++++−−−−∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ 3

23323 1100

lim1100limx

xxxxx

xx

.1lim1100

1limlim1100

limlim 33

33

233 ∞∞∞∞====⋅⋅⋅⋅

====

++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

xxx

xx

xxx

xxxxx

Neodreñeni oblik ∞∞∞∞1

Kod ra čunanja limesa funkcije oblika f(x) g(x), možemo dobiti da je izraz f(a)g(a) = ∞∞∞∞1 .

U ovom slu čaju potrebno je primjeniti transformaciju oblika:

(((( )))) )(ln)()(ln)( )(

)( afagafag eeafag

======== .

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::

•••• x

x

x

x

x

x xx

xxx

x 44

4 1lim

11

lim11

lim−−−−

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞

∞∞∞∞→→→→

++++====

++++========

++++

,1

1lim1

1lim 4)4(lim4

−−−−−−−−

∞∞∞∞→→→→

−−−−

∞∞∞∞→→→→====

++++====

++++====∞∞∞∞→→→→

exx

xx

x

x

x

••••

22 lim

121

lim121

limx

x

x

x

x

xx

xx ∞∞∞∞→→→→

++++++++====

++++++++

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→. Imamo:

21

/12/11

lim121

lim ====

++++++++====

++++++++

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ xx

xx

xx, ∞∞∞∞====

∞∞∞∞→→→→2lim x

x.

Prema tome je 0121

lim

2

====

++++++++

∞∞∞∞→→→→

x

x xx

.

••••

x

x

x

x

x

x xxx

xx

−−−−++++====

−−−−−−−−++++++++====

−−−−++++

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ 23

1lim121

1lim21

lim

323

lim2

3

32

23

1lim eex

xxx

xx

x

x ========

−−−−++++==== −−−−

−−−−−−−−

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→ .

Na kraju navodimo rezultat o supstituciji u limesu.

Stavak D:Stavak D:Stavak D:Stavak D: Neka postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a i neka je )(lim xfLax →→→→

==== .

Nadalje, neka je f( DDDD(f)) ⊆⊆⊆⊆ DDDD(g) i neka funkcija y=g(x) ima limes u to čki L takav da je )(lim)( ygLg

Ly →→→→==== . Tada vrijedi:

(((( )))) )(lim)(lim ygxfgLyax →→→→→→→→

====o .

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii::::

•••• (((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( )))) 23

1111

lim1

1lim

111

1lim

2

12

3

1

6

31====

++++−−−−++++++++−−−−====

−−−−−−−−====

→→→→⇒⇒⇒⇒→→→→========

−−−−−−−−

→→→→→→→→→→→→ yyyyy

y

y

yx

yx

x

xyyx

,

•••• (((( )))) (((( )))) 1ln

11lnlim

0

11lnlim

1lnlim

1

00========

++++====∞∞∞∞→→→→⇒⇒⇒⇒→→→→

========++++====++++

∞∞∞∞→→→→→→→→→→→→e

yyxy

xx

xx

y

yx

xx,

•••• primjeru prethodnom prema1)1ln(

lim00

11lim

00====

++++====

→→→→⇒⇒⇒⇒→→→→====−−−−====−−−−

→→→→→→→→ yy

yx

yex

ey

xx

x.

Jednostrani limesi Jednostrani limesi Jednostrani limesi Jednostrani limesi

Kao što smo vidjeli u prethodnom predavanju, domena neke funkcije je nerijetko bila unija disjunktnih otvorenih interval a

DDDD(f) = (a1,b1) « (a2,b2) « … « (am,bm).

Pri tome se to čke ak i b k, za k=1,2,…,m, nazivaju rubne točkerubne točkerubne točkerubne točke domene DDDD(f).

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii: : : :

•••• Funkcija 1

1)(

−−−−====

xxf ima za domenu skup DDDD(f) = (−−−−∞∞∞∞,1) « (1, ∞∞∞∞). Točka x=1 je

rubna to čka domene D D D D(f).

•••• Funkcija 3

1)(

−−−−====

xarctgxf ima za domenu skup DDDD(f) = (−−−−∞∞∞∞,3) « (3, ∞∞∞∞). Točka

x=3 je rubna to čka domene D D D D(f).

•••• Funkcija xarcthxf ====)( ima za domenu skup DDDD(f) = (−−−−∞∞∞∞,-1) « (1, ∞∞∞∞). Točke x = -1 i x = 1 su rubna to čke domene D D D D(f).

Postavlja se pitanje kakvo je ponašanje funkcije y =f(x) blizu rubnih to čaka domene DDDD(f)? Prije toga definirajmo pojmove jednostranih li mesa.

DefinicijaDefinicijaDefinicijaDefinicija:::: Za realan broj L ∈∈∈∈RRRR kažemo da je desni limesdesni limesdesni limesdesni limes funkcije y=f(x) u točki x=a ∈∈∈∈RRRR, ako za svaki ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:

∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x > a, (|x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε).

U tom slu čaju pišemo )(lim xfLax ++++→→→→

==== .

DefinicijaDefinicijaDefinicijaDefinicija:::: Za realan broj L ∈∈∈∈RRRR kažemo da je lijevilijevilijevilijevi limes limes limes limes funkcije y=f(x) u točki x=a ∈∈∈∈RRRR, ako za svaki ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:

∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), x < a, (|x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-L| < εεεε).

U tom slu čaju pišemo )(lim xfLax −−−−→→→→

==== .

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii: : : : Jednostrani limesi funkcija iz prethodnog primjera u rubnim to čkama njihovih domena su:

•••• −∞−∞−∞−∞====−−−−

====−−−−−−−−→→→→ 0

11

1lim

1 xx, ∞∞∞∞====

++++====

−−−−++++→→→→ 01

11

lim1 xx

.

•••• (((( ))))20

13

1lim

1

ππππ−−−−====∞∞∞∞−−−−====

−−−−====

−−−−−−−−→→→→arctgarctg

xarctg

x,

(((( ))))20

13

1lim

1

ππππ====∞∞∞∞====

++++====

−−−−++++→→→→arctgarctg

xarctg

x.

•••• −∞−∞−∞−∞====++++====

−−−−−−−−====

−−−−++++====

−−−−−−−−→→→→−−−−−−−−→→→→0ln

20

ln21

11

ln21

limlim11 x

xxarcth

xx,

+∞+∞+∞+∞====∞∞∞∞++++====

++++====

−−−−++++====

++++→→→→++++→→→→ln

02

ln21

11

ln21

limlim11 x

xxarcth

xx.

Limes i jednostrani limesi funkcije y=f(x) mogu bit i povezani na sljede ći način:

TTTTvvvvrdnja rdnja rdnja rdnja DDDD:::: Neka je a∈∈∈∈R.

a)a)a)a) Ako postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, tada postoje i jednostrani limesi )(lim xf

ax −−−−→→→→ i )(lim xf

ax ++++→→→→, te vrijedi:

)(lim)(lim)(lim xfxfxfaxaxax →→→→++++→→→→−−−−→→→→

======== .

b)b)b)b) Ako postoje jednostrani limesi )(lim xfax −−−−→→→→

i )(lim xfax ++++→→→→

i jednaki su, odnosno

)(lim)(lim xfxfaxax ++++→→→→−−−−→→→→

==== , tada postoji i limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, koji je

jednak tim limesima.

c)c)c)c) Ako ne postoji jedan od jednostranih limesa )(lim xfax −−−−→→→→

i )(lim xfax ++++→→→→

ili ako

oba postoje ali su razli čiti, odnosno )(lim)(lim xfxfaxax ++++→→→→−−−−→→→→

≠≠≠≠ , tada ne postoji

limes funkcije y=f(x) u to čki x=a.

Dokaz: slijedi neposredno iz definicije limesa i jednostra nih limesa.

Na kraju promatramo usporedni kriterij za limese fu nkcija:

TTTTvvvvrdnja rdnja rdnja rdnja EEEE:::: Pretpostavimo da postoji δδδδ >>>> 0 takav da vrijedi:

f(x) ≤≤≤≤g(x) ≤≤≤≤ h(x), ∀∀∀∀x ∈∈∈∈ (a,a+δδδδ),

te da je Lxhxfaxax

========++++→→→→++++→→→→

)(lim)(lim ∈∈∈∈R. Tada postoji i desni limes funkcije y=g(x)

u točki x=a i vrijedi Lxgax

====++++→→→→

)(lim .

Dokaz: slijedi iz TvrdnjeA.

Analogno se iskazuje usporedni kriterij za lijeve l imese.

Primjer:Primjer:Primjer:Primjer: Jedan od važnih limesa je 1sin

lim0

====→→→→ x

x

x. Zaista,

vrijedi da je P óOAA’ ≤≤≤≤ Pkružnog isje čkaOAA’ ≤≤≤≤ PóOBB’ , odnosno

2

12

12cossin ⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅ xtgxxx

.

Slijedi xx

xx

cos1sin

cos ≤≤≤≤≤≤≤≤ za sve

∈∈∈∈2

,0ππππ

x . Primjenom usporednog kriterija i

parnosti funkcije x

xsin slijedi traženi limes.

Primjeri:Primjeri:Primjeri:Primjeri:

•••• 2sin

lim22

2sinlim2

002sin

lim000

================→→→→→→→→→→→→ y

yx

xx

x

yxx,

•••• 1sin

limcos

1lim

cossin

lim00tg

lim0000

================→→→→→→→→→→→→→→→→ x

xxxx

xxx

xxxx,

•••• 1sin

lim00arcsin

lim00

============→→→→→→→→ y

yx

x

yx.

AsimptoteAsimptoteAsimptoteAsimptote

Neka se to čka T neprekinuto giba po grafu ΓΓΓΓf funkcije f tako da barem jedna od njezinih koordinata teži u ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞. Ako pri tom njena udaljenost do pravca p teži k nuli, onda se taj pravac naziva asimptota funkcijeasimptota funkcijeasimptota funkcijeasimptota funkcije.

Postoje dva osnovna na čina na koji se može ostvariti ovakva situacija:

(a)(a)(a)(a) varijabla x teži prema kona čnom broju c (s lijeve ili s desne strane), a funkcijska vrijednost teži u ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞;

(b)(b)(b)(b) varijabla x teži u ∞∞∞∞ ili −−−−∞∞∞∞.

Vertikalne asimptoteVertikalne asimptoteVertikalne asimptoteVertikalne asimptote

Ako za funkciju f vrijedi

±∞±∞±∞±∞====±∞±∞±∞±∞====++++→→→→−−−−→→→→

)(limili)(lim xfxfcxcx

onda je pravapravapravapravac x = c njezina vertikalna c x = c njezina vertikalna c x = c njezina vertikalna c x = c njezina vertikalna

asimptotaasimptotaasimptotaasimptota.

HorizontalneHorizontalneHorizontalneHorizontalne asimptote asimptote asimptote asimptote

Drugi tip asimptota javlja se pri prou čavanju ponašanja funkcije f kad ±∞±∞±∞±∞→→→→x . Slijede dvije interesantne mogu ćnosti.

•••• Ako postoji )(lim xflx ∞∞∞∞→→→→

==== onda se pravac y = l naziva desna desna desna desna horizontalna horizontalna horizontalna horizontalna

asimptotaasimptotaasimptotaasimptota funkcije f.

•••• Ako postoji )(lim xflx −∞−∞−∞−∞→→→→

==== onda se pravac y = l naziva lijeva horizontalna

asimptota funkcije f.

PrimjerPrimjerPrimjerPrimjeriiii: : : : Prisjetimo se:

1. Funkcija xarctgxf ====)( ima desnu

horizontalnu asimptotu 2ππππ====y ,

a lijevu horizontalnu asimptotu 2ππππ−−−−====y .

-10 -5 5 10x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

y = ππππ/2

y = - ππππ/2

2. Eksponencijalna funkcija xxf 2)( ==== ima lijevu horizontalnu asimptotu 0====y , a desnu horizontalnu asimptotu nema.

-4 -2 2 4

x

2.5

5

7.5

10

12.5

15

y=2x

3. Funkcija x

xf1

)( ==== ima horizontalnu

asimptotu (istovremeno lijevu i desnu)

y=0. Vertikalna asimptota je pravac x=0. -2 -1 1 2

x

-40

-20

20

40

y=1����x

4. Funkcija 112

)(−−−−++++====

xx

xf ima vertikalnu

asimptotu x=0, a horizontalnu y=2. -1 1 2 3

x

-100

-50

50

100

y=2 x+ 1����������������x− 1

KoseKoseKoseKose asimptote asimptote asimptote asimptote

Desna kosa asimptota funkcije f je pravac y = k x+ lpravac y = k x+ lpravac y = k x+ lpravac y = k x+ l za koji vrijedi

[[[[ ]]]] 0)(lim ====−−−−−−−−∞∞∞∞→→→→

lkxxfx

. (∗∗∗∗)

Ako ovakav limes postoji kada −∞−∞−∞−∞→→→→x , onda govorimo o lijevoj kosoj

asimptoti.

Ako kosa asimptota postoji tada vrijedi (∗∗∗∗), pa pogotovo vrijedi:

[[[[ ]]]]xl

kxxf

lkxxfx xxx

lim)(

lim)(1

lim0∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→

−−−−−−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅==== .

Tako dobivamo da je: xxf

kx

)(lim

∞∞∞∞→→→→==== .

Koeficijen l ra čunamo iz (∗∗∗∗): [[[[ ]]]]kxxflx

−−−−====∞∞∞∞→→→→

)(lim .

Horizontalne asimptote su poseban slu čaj kosih, s k=0. Zato, ukoliko nije odmah vidljivo ponašanje funkcije, pri traženju asi mptota najprije ispitujemo postoje li kose asimptote.

Primjeri:Primjeri:Primjeri:Primjeri:

•••• Odredi asimptote funkcije 12

3

++++++++====

xx

xy .

Vertikalnih asimptota nema, jer je nazivnik razlomka uvijek pozitivan. Odredimo kose asimptote:

1)1(

limlim 2

3====

++++++++========

±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ xxx

xxy

kxx

,

-3 -2 -1 1 2 3x

-4

-3

-2

-1

1

2

yKosa asimptota

(((( )))) 11

lim1

limlim 2

2

2

3−−−−====

++++++++−−−−−−−−====

−−−−

++++++++====−−−−====

±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ xx

xxx

xx

xkxyl

xxx.

Pravac y = x – 1 je desna i lijeva asimptota ove fu nkcije.

•••• Odredi asimptote funkcije 12

3

−−−−====

x

xy .

Nule nazivnika su x = ±±±±1. U tim to čkama funkcija nije definirana. Imamo

∞∞∞∞====−−−−−−−−====

−−−−−∞−∞−∞−∞====

++++−−−−====

−−−− ++++−−−−→→→→−−−−−−−−→→→→ 01

1lim,

01

1lim 2

3

12

3

1 x

x

x

xxx

,

∞∞∞∞====++++

====−−−−

−∞−∞−∞−∞====−−−−

====−−−− ++++→→→→−−−−→→→→ 0

1

1lim,

01

1lim 2

3

12

3

1 x

x

x

xxx

.

dakle, vertikalne asimptote su x=-1 i x=1.

-4 -2 2 4x

-10

-5

5

10

y

Odredimo kose asimptote: 1)1(

limlim 2

3====

−−−−========

±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ xx

xxy

kxx

,

(((( )))) 011

1lim

1lim

1limlim 222

3====

−−−−====

−−−−====

−−−−

−−−−====−−−−====

±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→±∞±∞±∞±∞→→→→ x

x

x

xx

x

xkxyl

xxxx.

Pravac y = x je desna i lijeva asimptota ove funkc ije.

Neprekinute funkcije i limesi Neprekinute funkcije i limesi Neprekinute funkcije i limesi Neprekinute funkcije i limesi

Ovdje ćemo promatrati pojmove neprekinutosti i prekinutost i realne funkcije realne varijable, te njihov odnos prema limesu funk cije.

DefinicijaDefinicijaDefinicijaDefinicija:::: Neka je a∈∈∈∈R. Funkcija y=f(x) je neprekinuta u točki x=neprekinuta u točki x=neprekinuta u točki x=neprekinuta u točki x=aaaa ako je a∈∈∈∈DDDD(f) i ako za svaki εεεε > 0 postoji δδδδ > 0 tako da vrijedi:

∀∀∀∀x∈∈∈∈ D(f), |x-a| < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ |f(x)-f(a)| < εεεε.

Ako funkcija y=f(x) nije neprekinuta u to čki x=a tada kažemo da je y=f(x) prekinuta u točki x=a.prekinuta u točki x=a.prekinuta u točki x=a.prekinuta u točki x=a.

Definicija: Definicija: Definicija: Definicija: Neka je skup IIII otvoren interval ili unija otvorenih intervala ili IIII = R R R R. Kažemo da je funkcija y=f(x) je neprekinuta neprekinuta neprekinuta neprekinuta na skupu na skupu na skupu na skupu I I I I ako je ona neprekinuta u svakoj to čki tog skupa.

Kažemo da je funkcija y=f(x) je neprekinuta na neprekinuta na neprekinuta na neprekinuta na segmentu [a,b]segmentu [a,b]segmentu [a,b]segmentu [a,b] ako je neprekinuta na intervalu (a,b).

Funkcija f neprekinuta u to čki a Funkcija f prekinuta u to čki a

Primjeri: Primjeri: Primjeri: Primjeri:

•••• Konstanta f(x) = c je neprekinuta funkcija na cijel om R. Zaista, neka je a ∈∈∈∈ R proizvoljan i εεεε > 0 proizvoljan. Tada za proizvoljan δδδδ > 0 vrijedi | x – a | < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ | f(x) – f(a) | = | c – c | = 0 < εεεε. Prema tome funkcija je neprekinuta u to čki a. Kako je a ∈∈∈∈R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj to čki iz R, dakle na cijelom R.

•••• Funkcija f(x) = x je neprekinuta na cijelom R. Zaista, neka je a ∈∈∈∈ R proizvoljan i εεεε > 0 proizvoljan. Tada za εεεε ≥≥≥≥ δδδδ > 0 vrijedi | x – a | < δδδδ ⇒⇒⇒⇒ | f(x) – f(a) | = | x – a | < δδδδ ≤≤≤≤ εεεε. Prema tome funkcija je neprekinuta u to čki a. Kako je a∈∈∈∈R proizvoljan, to je f neprekinuta u svakoj to čki iz R, dakle na cijelom R.

•••• U nastavku ćemo dokazati da su elementarne funkcije neprekinute funkcije na svojim domenama.

Slijedi tvrdnja o operacijama s neprekinutim funkci jama.

Tvrdnja F:Tvrdnja F:Tvrdnja F:Tvrdnja F: (i) Neka su y = f(x) i y = g(x) neprekinute funkcij e u točki x=a, tada je u toj to čki neprekinuta i funkcija:

• f(x) ± g(x),

• f(x) g(x),

• f(x)/g(x) (uz uvjet da je g(a) ≠≠≠≠ 0).

(ii) Neka su y = f(x) i y = g(x) dvije funkcije za koje je f( DDDD(f)) ⊆⊆⊆⊆ DDDD(g). Ako je funkcija y = f(x) neprekinuta u to čki x=a, a funkcija y = g(x) neprekinuta u to čki x=f(a), tada je funkcija y = g(f(x)) neprekinuta u točki x=a.

Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Iz TvrdnjeF slijedi da su potencije neprekinute fun kcije na R. Zaista, iz neprekinutosti funkcije f 1(x)=x, slijedi da je neprekinuta funkcija f 2(x)=x 2, jer je f 2(x) = f 1(x) f 1(x). Nadalje je neprekinuta i funkcija funkcija f 2(x) f 1(x) = x 3 itd. Polinomi su neprekinute funkcije na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Budu ći da su racionalne funkcije kvocijenti neprekinutih funkcija (polinoma), one su neprekinute funkcije u to čkama u kojima je nazivnik razli čit od nule. Slijedi da je svaka racionalna funkcija neprekinuta na svojoj prirodnoj domeni

Slijedi tvrdnja o neprekinutosti monotonih funkcija .

TvrdnjaTvrdnjaTvrdnjaTvrdnja G: G: G: G: Neka je f strogo monotona funkcija definirana na kona čnom ili beskona čnom otvorenom intervalu IIII, i neka je njezina slika kona čan ili beskona čan otvoreni interval. Tada je f neprekinuta funkcija na IIII. Zatim postoji inverzna funkcija f-1 i ona je neprekinuta na svojoj domeni (slici funkc ije f).

Primjer: Primjer: Primjer: Primjer: Na temelju TvrdnjeG imamo sljede će zaklju čke:

• Eksponencijalne funkcije su neprekinute na R, jer su definirane na beskona čnom otvorenom intervalu ( −−−−∞∞∞∞,∞∞∞∞), i slika im je beskona čan otvoreni interval (0, ∞∞∞∞) i strogo su monotone.

• Logaritamske funkcije, kao inverzne od eksponencija lnih, su neprekinute.

• Funkcija sinus je strogo monotona na( −−−−ππππ/2, ππππ/2), taj otvoreni interval preslikava na ( −−−−1,1), pa je neprekinuta na ( −−−−ππππ/2, ππππ/2). Kosinus je na isti na čin neprekinuta funkcija na (0, ππππ). Funkcije sinus i kosinus su neprekinute na R kao kompozicija neprekinutih funkcija. Funkcije tan gens i kotangens su kvocijenti neprekinutih funkcija, pa su i same nepr ekinute na svojim domenama.

• Arkus funkcije su inverzne od strogo monotonih, pa su neprekinute. Da su arcsin i arccos neprekinute i na rubovima segmenta [-1,1] dokazuje se posebno.

• Funkcije dobivene od gore navedenih pomo ću kona čno mnogo operacija zbrajanja, množenja, dijeljenja, komponiranja, inve rtiranja zovu se elementarne funkcije. Tako imamo važan zaklju čak: elementarne funkcije su neprekinute na svojim domenama.

Svojstva neprekinutosti i prekinutosti funkcija mog u se izraziti pomo ću limesa, lijevog i desnog limesa kako slijedi.

Tvrdnja H:Tvrdnja H:Tvrdnja H:Tvrdnja H: Neka je a ∈∈∈∈ R....

i) Neka je y=f(x) neprekinuta funkcija u to čki x=a. Tada postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a i vrijedi

)(lim)( xfafax →→→→

==== .

ii) Neka postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, te neka je a ∈∈∈∈DDDD(f) i )(lim)( xfaf

ax →→→→==== . Tada je y=f(x) neprekinuta funkcija u to čki x=a.

iii) Ako ne postoji limes funkcije y=f(x) u to čki x=a, tada je y=f(x) prekinuta funkcija u to čki x=a.

iv) Neka je y=f(x) prekinuta funkcija u to čki x=a, te neka postoje i neka su konačni jednostrani limesi )(lim xf

ax −−−−→→→→ i )(lim xf

ax ++++→→→→. Tada za veli činu prekida

(skoka) S(a) funkcije y=f(x) u to čki x=a vrijedi:

.0)(lim)(lim)( >>>>−−−−====++++→→→→−−−−→→→→

xfxfaSaxax

Primjeri:Primjeri:Primjeri:Primjeri:

� Funkcija

====

≠≠≠≠====,0,0

,0,1

sin)(xza

xzax

xxf

je neprekinuta na R.

� Takozvana Heavisideova funkcija ( čitaj Hevisajdova)

<<<<≥≥≥≥

====,0,0

,0,1)(

xza

xzaxf

je prekinuta u to čki x=0.

Svojstva neprekinutih funkcija Svojstva neprekinutih funkcija Svojstva neprekinutih funkcija Svojstva neprekinutih funkcija

Na kraju, bez dokaza iznosimo neke važne rezultate o neprekinutim funkcijama.

Tvrdnja K (nultočke neprekinutih funkcija): Neka je IIII otvoren interval ili IIII = R R R R. Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta u IIII,,,, te neka za dvije proizvoljne dane točke a∈∈∈∈IIII i b∈∈∈∈IIII, a < b, vrijedi:

f(a) f(b) < 0 ( odnosno f(a) > 0 i f(b) < 0 ili f (a) < 0 i f(b) > 0 ).

Tada postoji to čka c∈∈∈∈ (a,b), takva da je f(c) = 0.

Tvrdnja L (Rolleov teorem za neprekinute funkcije): Neka je IIII otvoren interval ili IIII = R. Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta u IIII,,,, te neka postoje dvije točke a∈∈∈∈IIII i b∈∈∈∈IIII, a < b, takve da vrijedi:

f(a) = f(b) = 0.

Tada u intervalu [a,b] postoji barem jedna to čka lokalnog ekstrema za funkciju

y=f(x), to jest postoji to čka lokalnog maksimuma x M ∈∈∈∈ [a,b] (za koju vrijedi f(x M) ≥≥≥≥ f(x) za sve x ∈∈∈∈ [a,b]) ili lokalnog minimuma x m ∈∈∈∈ [a,b] (za koju vrijedi f(x m) ≤≤≤≤ f(x) za sve x ∈∈∈∈ [a,b]).

Tvrdnja M (Postojanje točaka lokalnog maksimuma i lokalnog

minimuma): Neka je funkcija y=f(x) neprekinuta na zatvorenom i ntervalu [a,b], f: [a,b] →→→→ R.

Tada u intervalu [a,b] postoje to čke lokalnog maksimuma ili lokalnog minimuma za funkciju y=f(x), odnosno postoje x M ∈∈∈∈ [a,b] i x m ∈∈∈∈ [a,b] takvi da je f(xM) ≥≥≥≥ f(x) i f(x m) ≤≤≤≤ f(x) za sve x ∈∈∈∈ [a,b].