Keplerovi zakoni i Mjesečevo gibanje oko Zemlje

Učenik:

Ivan Čagalj, 8. r., OŠ Pećine Rijeka

Mentor:

Vanesa Ujčić Ožbolt, dipl. oec.

vanesa@aad.hr

Rijeka, šk. god. 2013./2014.

1

Sadržaj

1. Uvod ................................................................................................................................................. 2

2. Johannes Kepler ............................................................................................................................... 3

3. Keplerovi zakoni .............................................................................................................................. 5

3.1. Prvi Keplerov zakon.................................................................................................................. 5

3.2. Drugi Keplerov zakon ............................................................................................................... 7

3.3. Treći Keplerov zakon ................................................................................................................ 7

4. Mjesec .............................................................................................................................................. 8

5. Provjera Keplerovih zakona na Mjesečevom gibanju oko Zemlje .................................................. 9

5.1. Provjera prvog Keplerovog zakona........................................................................................... 9

5.2. Provjera drugog Keplerovog zakona ....................................................................................... 11

6. Zaključak ........................................................................................................................................ 14

7. Životopis ........................................................................................................................................ 15

8. Izvori .............................................................................................................................................. 16

2

1. Uvod

Kao temu za ovogodišnje natjecanje iz astronomije sam odabrao provjeriti Keplerove zakone

na Mjesečevo gibanje oko Zemlje. Susreo sam se s Keplerovim zakonima u vježbanju zadataka s

mojom mentoricom. Pošto su me jako zainteresirali mentorica mi je predložila da te zakone odaberem

za ovogodišnje natjecanje, a pretraživanjem po internetu sam uočio da mogu usporediti tj. provjeriti

Keplerove zakone s gibanjem Zemljinog satelita Mjeseca. Odlučio sam da će to biti tema za moj

praktični rad te sam uz pomoć moje mentorice u Astronomskom akademskom društvu – Rijeka

započeo njegovu izradu.

3

2. Johannes Kepler

Johannes Kepler rođen je u mjestu Weil

der Stadt kraj Stuttgarta, 27. prosinca 1571. od oca

Heinricha i majke Katharine. Njegova je majka

bila travarka i izlječiteljica, a otac vojnik-plaćenik

koji je napustio obitelj kad je Johannesu bilo pet

godina (vjeruje se da je poginuo Osamdeseto-

godišnjem ratu u Nizozemskoj).

S astronomijom se upoznao kao dijete:

kada mu je bilo šest godina majka ga je povela da

vidi sjajan komet, a nekoliko godina kasnije

promatrao je pomrčinu Mjeseca. Često je

impresirao posjetitelje u gostionici djeda po

majčinoj strani svojim znanjem matematike još u

ranoj dobi. Protestanti su to vrijeme brinuli o

školovanju nadarene djece pa je Johannes, iako

veoma siromašan, upisan u školu po zapovijedi

njegovog djeda Sebaldusa Keplera. Poslije odlazi u bogoslovnu školu gdje maturira sa 17 godina.

Naobrazbu nastavlja na filozofskom fakultetu u Tübingenu. Iako je od malena bio veoma religiozan

nikada nije imao želju postati svećenik, no u to doba nije bilo drugog načina za školovanje pa je

prešao na Teološki fakultet. Za vrijeme studija upoznao se s Kopernikovim heliocentričnim sustavom

svemira i prihvatio ga.

Postao je profesor matematike Protestanske škole u Grazu, a radio je i kao astrolog, što mu je

neočekivano donijelo popularnost i donekle financijsku sigurnost. Johannes je slobodno vrijeme

trošio na pisanje stotina stranica proračuna. Godine 1596. izdao je knjigu Mysterium

Cosmographicum (Kozmička tajna) koja je bila prva javna obrana heliocentrične teorije. Četiri godine

kasnije upoznao je danskog astronoma Tychoa Brahea, tadašnjeg službenog carskog matematičara.

Suradnja s Bracheom je Kepleru donijela veliku korist. Prije svoje smrti Tycho Brahe je predložio

Rudolfu II., Svetom Rimskom caru, da uzme Keplera u službu, što je ovaj i učinio. Kepler je postao

Carski matematičar, a naslijedio je i sve Tychove astronomske bilješke o mnogobrojnim

promatranjima raznih nebeskih objekata.

Zahvaljujući njima, došao je do svojih zakona gibanja planeta po kojima je najpoznatiji. Da

protumači zašto planeti kruže oko Sunca, postavio je hipotezu da Sunce zrači neku vrstu "utjecaja",

4

a zračenje bi bilo slično djelovanju žbica na kotaču. Zbog vrtnje Sunca žbice pritišću planete, gurajući

ih oko gotovo kružnih staza. Zato je Kepler vjerovao da su uzroci kretanja planeta sile koje djeluju

pod pravim kutovima na smjer od Sunca do planeta.

Napisao je više znanstvenih knjiga, a u svom djelu "Sommnium" (objavljeno posthumno) je

200 godina prije svih započeo žanr znanstveno-fantastičnih romana. Do svoje smrti (1630. godine)

radio je različite poslove u astronomiji i astrologiji.

Naslovnica Keplerove knjige "Astronomia Nova"

5

3. Keplerovi zakoni

Keplerovi zakoni opisuju planetarno gibanje oko Sunca.

3.1. Prvi Keplerov zakon

Kao što se vidi iz donje slike, prvi Keplerov zakon glasi da se planeti gibaju oko Sunca po

eliptičnim stazama, a Sunce se nalazi u žarištu elipse.

Elipsa je krivulja koju opisuju dvije poluosi, velika (a) i mala (b), te dva žarišta ili fokusa, kao

što se vidi na prvoj slici na sljedećoj stranici.

Izduženost elipse opisuju linearni ekscentricitet (c) i numerički ekscentricitet (e). Kao što se

vidi iz druge slike na sljedećoj stranici, linearni ekscentricitet je polovica razmaka između žarišta.

Numerički ekscentricitet se računa po formuli:

e = c / a

Numerički ekscentricitet elipse može imati bilo koju vrijednost između 0 i 1. Što je

ekscentricitet bliži nuli, elipsa je manje izdužena, i obratno.

6

Srednja udaljenost planeta od Sunca jednaka je velikoj poluosi elipse (a), kao što je objašnjeno

na gornjoj slici.

7

3.2. Drugi Keplerov zakon

Drugi Keplerov zakon glasi da u jednakim vremenskim razdobljima (t) spojnica Sunce-planet

opiše jednake površine. Kada je planet bliže Suncu, giba se brže i prijeđe veći put (s), ali opisane

površine (P) su ipak jednake veličine zbog promjene udaljenosti.

3.3. Treći Keplerov zakon

Kvadrati ophodnih vremena srazmjerni su kubovima srednjih udaljenosti (velikih poluosi

elipse) planeta od Sunca.

a3 / T2 = k

gdje je k jedan te isti broj za sve planete. Ako se za jedinicu udaljenosti uzme jedna astronomska

jedinica, a za jedinicu vremena jedna godina, matematski izraz trećega Keplerova zakona poprima

oblik:

a3 = T2

8

4. Mjesec

Mjesec je Zemljin jedini prirodni satelit, a ujedino i najbliže nebesko tijelo, udaljeno otprilike

384.400 km, tako da svjetlost s Mjeseca na zemlju stiže za 1,25 sekundi. Smatra se da je Mjesec

nastao prije otprilike 4,5 milijardi godina, nakon udara planeta veličine Marsa (tzv. Teja), u ogromnoj

eksploziji. Prilikom udara, izbačena je velika količina materijala u Zemljinu orbitu koja je

zahvaljujući gravitaciji sraštanjem oblikovala Mjesec. Mjesec Zemlju obilazi po eliptičnoj stazi

brzinom od oko 1,02 km/s i prelazi dnevni luk od 13 stupnjeva i 10 minuta. Promjer mu je 3.474 km;

po površini je 14, po masi 80 puta, a po obujmu 40 puta manji od Zemlje. Siderički period (vrijeme

kojem Mjesecu treba da se okrene oko Zemlje, kao i oko svoje osi) iznosi 27 dana, 7 sati, 11 minuta

i 30 sekundi. Sinodički period (vrijeme između uzastopnog ponavljanja Mjesečevih faza) iznosi 29

dana, 12 sati, 44 minute i 3 sekunde. Kada je Mjesec u perigeju, od Zemlje je udaljen 363.104 km, a

kada je u apogeju udaljen je 405.696 km. Numerički ekscentricitet Mjesečeve putanje (e) iznosi

0,0549, a Mjesečeva inklinacija tj. kut između neke zadane ravnine i referentne ravnine (u ovom

slučaju ekliptika) iznosi 5,1°.

Mjesec u fazi uštapa

9

5. Provjera Keplerovih zakona na Mjesečevom gibanju oko Zemlje

Za temu ovogodišnjeg praktičnog rada odlučio sam provjeriti Keplerove zakone u praksi,

odnosno promatrajući Mjesečevo gibanje oko Zemlje. Pripremajući se, zaključio sam da prva dva

zakona mogu provjeriti na relativno jednostavan način.

5.1. Provjera prvog Keplerovog zakona

Primijenjeno na Mjesec i Zemlju, prvi zakon bi glasio Mjesec giba oko Zemlje po eliptičnoj

putanji, a Zemlja se nalazi u žarištu elipse. To znači da se povremeno nalazi bliže Zemlji, a povremeno

dalje od Zemlje. Iz toga možemo zaključiti da se mijenja njegova prividna veličina. Da bih to

dokazao, potrebne su mi barem dvije fotografije, jedna iz perioda kada je Mjesec blizu perigeja, a

druga iz perioda kada je Mjesec blizu apogeja.

S obzirom da nemam fotoaparat, niti sam se ikada bavio astrofotografijom, zamolio sam

drugog člana Akademskog astronomskog društva – Rijeka, iskusnog u astrofotografiji i koji ima

potrebnu opremu, da mi pomogne. Stoga usput zahvaljujem Dariu Zuboviću na fotografijama koje je

snimio za mene.

Prvu fotografiju je snimio 03.02.2014. u 21:04, kada je Mjesec bio blizu perigeja (perigej je

bio 30.01. u 9:59 sati):

Fotografija je snimljena fotoaparatom Canon EOS 550D, f/14, fokalna 55mm, ISO100,

ekspozicija 1 sekunda.

10

Drugu fotografiju je snimio 13.02.2014. u 00:45 sati, kada je Mjesec bio blizu apogeja (apogej

je bio 12.02. u 5:11 sati):

Fotografija je također snimljena fotoaparatom Canon EOS 550D, f/36, fokalna 55mm,

ISO100, ekspozicija 0,2 sekunde.

Ja sam zatim obje slike usporedio u računalnom programu Photoshop, pri čemu se vidjelo da

je Mjesec blizu perigeja doista nešto veći. Linije su dodane u Photoshopu da se lakše uoči razlika:

Fotografija za apogej, zahvaljujući lijepom vremenu, snimljena je manje od jednog dana

nakon apogeja. Za perigej to nije bilo moguće, zbog nekoliko uzastopnih oblačnih dana, odnosno ta

11

fotografija je snimljena s razmakom od četiri dana od perigeja. Da je bilo moguće snimiti na sam dan

perigeja, sigurno bi razlika u veličini bila još malo veća i lakše uočljiva. No ipak se vidi i ovako, pa

iz gornje slike mogu zaključiti da se Mjesec doista giba po eliptičnoj stazi, odnosno da prvi Keplerov

zakon vrijedi i za Mjesec, a ne samo za planete.

5.2. Provjera drugog Keplerovog zakona

Primijenjeno na Mjesec i Zemlju, drugi zakon bi glasio da spojnica Zemlja-Mjesec opiše

jednake površine u jednakim vremenskim razdobljima. Pri tome, ono što se mijenja je dužina puta

koju Mjesec prijeđe u tim razdobljima, i zbog toga njegov pomak u odnosu na zvjezdanu pozadinu

neće biti jednak u perigeju i apogeju.

Promatrao sam Mjesec u prosincu 2013., kada je srećom bilo dosta vedrih dana. Perigej je

tada bio 04.12., a apogej 19.12. Za pomak Mjeseca u jednom danu promatrao sam 06.12. i 07.12. u

18 sati, a za apogej sam promatrao 18.12. i 19.12. u 21 sat. Unaprijed smo pripremili nebeske karte

za skiciranje, isprintane sa web stranice sky-map.org, pri čemu smo pazili da budu iste razine

povećanja. Promatranje sam radio pomoću dalekozora 7 x 50, i ucrtao položaj Mjeseca u karte.

Na kraju sam ravnalom izmjerio razmak između ucrtanih položaja. Za 06.12. i 07.12. razmak

je 93 mm, a za 18.12. i 19.12. razmak je 90 mm. Potom sam još pomoću programa Stellarium napravio

provjeru i pročitao Mjesečeve koordinate (rektascenzija i deklinacija) za navedene dane, i vidio da je

njegov pomak u stupnjevima, naravno, veći u perigeju. Iz toga se vidi da je Mjesec, kada je bio blizu

apogeja, zaista napravio nešto manji put na nebu, tj. da se drugi Keplerov zakon može primijeniti i

na Mjesec i Zemlju.

Originalne skice stavljam na plakat, a ovdje u referat skenirane verzije. Budući da sam morao

malo smanjiti slike da stanu na format za referat, ovdje je razmak između Mjesečevih ucrtanih

položaja malo manji od spomenutih 90 i 93 mm, koliko iznosi na originalnim skicama.

12

13

14

6. Zaključak

Pišući ovaj rad najprije sam naučio više o samom Johannesu Kepleru i njegovim zakonima

gibanja planeta, a kroz praktični dio sam se uvjerio da se doista i Mjesec giba oko Zemlje slijedeći te

iste zakone. Uspoređujući fotografije Mjeseca u perigeju i apogeju vidi se da Mjesec u perigeju

izgleda nešto veći (potvrda prvog Keplerovog zakona), a činjenica da se Mjesec u perigeju giba nešto

brže u odnosu na zvjezdanu pozadinu potvrđuje drugi Keplerov zakon. Posebno mi se svidjelo

promatrati i mjeriti pomak u odnosu na zvjezdanu pozadinu, pa sam odlučio izvršiti još sličnih

mjerenja tijekom ljeta, kada ima puno vedrih dana i možda će biti moguće mjeriti pomak tokom

cijelog Mjesečevog ciklusa, iz noći u noć.

Iako nisam mogao provjeriti i treći Keplerov zakon, zbog svega što sam naučio i zbog dobrih

rezultata za provjeru prva dva Keplerova zakona smatram ovaj rad uspješnim.

15

7. Životopis

Zovem se Ivan Čagalj. Rođen sam 7. svibnja 1999. u Osijeku te sam se doselio u Rijeku u

ljeto 2011. godine. Učenik sam Osnovne škole "Pećine" Rijeka, u kojoj pohađam 8. razred te sam

odličan učenik. Bavim se astronomijom i plivanjem odnosno član sam Akademskog astronomskog

društva – Rijeka i Plivačkog kluba Primorje. Idem na više slobodnih aktivnosti, kao što su

povjesničari, mladi tehničari, školska prometna jedinica itd. U slobodno vrijeme uz učenje i bavljenje

sportom volim čitati, gledati serije, filmove... Moji najdraži predmeti su fizika, kemija i povijest. Ove

godine sam osvojio treće mjesto na državnom natjecanju iz čitanja na glas. Astronomsko natjecanje

2014. godine bit će moje četvrto natjecanje iz astronomije.

16

8. Izvori

http://hr.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler

http://hr.wikipedia.org/wiki/Keplerovi_zakoni

http://hr.wikipedia.org/wiki/Mjesec

http://hr.wikipedia.org/wiki/Inklinacija

http://hr.wikipedia.org/wiki/Ekscentricitet

http://static.astronomija.co.rs/teorije/keplerovizakoni/zakonidrugideo.htm

www.sky-map.org

https://www.fourmilab.ch/earthview/pacalc.html