Gibanje valnog paketa - UNIOSfizika.unios.hr/.../materijali_za_studente/qm1/Lecture_8_Gibanje_valnog_paketa.pdfGibanje valnog paketa Gibanje valnog paketa Quantum mechanics 1 - Lecture

Gibanje valnog paketa

Gibanje valnog paketaQuantum mechanics 1 - Lecture 8

Igor Lukačević

UJJS, Dept. of Physics, Osijek

3. travnja 2013.

Igor Lukačević Gibanje valnog paketa


Contents

1 Oblik valnog paketa

2 Valni paket oblika Gaussove funkcije

3 Dvije aproksimacijeAproksimacija δ funkcijeAproksimacija klasične čestice

4 Literature



Oblik valnog paketa

Contents




4 Literature



Oblik valnog paketa

želimo znati kako izgleda ψ(x , t), ako znamo ψ(x , 0)

problem gibanja slobodne čestice u 1D

− ~2

2m

d2ψ

dx2= Eψ ⇔ d

2ψ

dx2= −k2ψ , k =

√2mE

~



Oblik valnog paketa


− ~2

2m

d2ψ

dx2= Eψ ⇔ d

2ψ

dx2= −k2ψ , k =

√2mE

~

⇒ ψ(x) = Ae ikx + Be−ikx

⇒ ψ(x , t) = Ae ikxe−i~ Et + Be−ikxe−

i~ Et = Ae ik(x−

~k2m

t) + Be−ik(x+~k2m

t)

Pitanje

Znate li što predstavljaju ova rješenja?



Oblik valnog paketa


− ~2

2m

d2ψ

dx2= Eψ ⇔ d

2ψ

dx2= −k2ψ , k =

√2mE

~

⇒ ψ(x) = Ae ikx + Be−ikx

⇒ ψ(x , t) = Ae ikxe−i~ Et + Be−ikxe−

i~ Et = Ae ik(x−

~k2m

t) + Be−ik(x+~k2m

t)

e ik(x±~k2m

t) ! ex±vt

x = ∓vt + konst.

− 99K val se širi u lijevo+ 99K val se širi u desno



Oblik valnog paketa

ψk(x , t) = Aei

(kx− ~k

2

2mt

),

k = ±√

2mE

~

QM: slobodna čestica ! val koji se širi

λ =2π

k, p = ~k



Oblik valnog paketa

Pitanje

Možete li odgonetnuti odnos izmedu brzina klasične i kvantne slobodne čestice?



Oblik valnog paketa

Pitanje

Možete li odgonetnuti odnos izmedu brzina klasične i kvantne slobodne čestice?

Klasična mehanika

E =1

2mv 2 ⇒ vkl =

√2E

m

Kvantna mehanika

e ik(x±~k2m

t)

↓

vqm =~|k|2m

=

√E

2m

=⇒ vkl = 2vqm !!!



Oblik valnog paketa

Provjerimo (za svaki slučaj) uvjet normiranosti∫ ∞−∞

ψ∗kψkdx =

∫ ∞−∞

A∗e−i

(kx− ~k

2

2mt

)Ae

i

(kx− ~k

2

2mt

)dx = |A|2

∫ ∞−∞

dx !!!

Rješenja ψk ne predstavljaju fizikalno ostvariva stacionarna stanja slobodnečestice, no imaju “matematičku” ulogu.



Oblik valnog paketa

Opće rješenje vremenski zavisne S.J.

Ψ(x , t) =

∫ ∞−∞

ckψk(x , t)dk =1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)ei

(kx− ~k

2

2mt

)dk (1)

ck =1√2πφ(k) � koeficijenti razvoja

⇒ Ψ(x , t) se mogu normirati 7→ VALNI PAKET [4]

Problem

Nedostaju nam φ(k).



Oblik valnog paketa

Ako znamo Ψ(x , 0) ⇒

Ψ(x , t) = Ψ(x , 0)e−iωt = Ψ(x , 0)e−i~ Et = Ψ(x , 0)e−i

~k22m

t

(1) ⇒ Ψ(x , t) = 1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)ei

(kx− ~k

2

2mt

)dk =

1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)e ikxe−i~k22m

tdk

⇒ Ψ(x , 0) = 1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)e ikxdk (2)



Oblik valnog paketa

Ψ(x , 0)FT⇔ φ(k) � Plancheretov teorem (1910)

Ψ(x , 0) =1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)e ikxdk

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞

Ψ(x , 0)e−ikxdx



Oblik valnog paketa

Oblik valnog paketa za t > 0

Ψ(x , t) =

∫ ∞−∞

ckψk(x , t)dk =1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)ei

(kx− ~k

2

2mt

)dk

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞

Ψ(x , 0)e−ikxdx



Oblik valnog paketa

Primjer 1.

Slobodna čestica, početno lokalizirana u −a < x < a, je puštena da se giba ut = 0

ψ(x , 0) =

{A , −a < x < a0 , inače

,

gdje su A i a iz R+. Odredite ψ(x , t).



Oblik valnog paketa

Primjer 1.


ψ(x , 0) =

{A , −a < x < a0 , inače

,


1 Normiramo ψ(x , 0)

1 =

∫ ∞−∞|ψ(x , 0)|2dx = |A|2

∫ a−a

dx = 2a|A|2

⇒ A = 1√2a



Oblik valnog paketa

Primjer 1.


ψ(x , 0) =

{A , −a < x < a0 , inače

,


1 Normiramo ψ(x , 0)

1 =

∫ ∞−∞|ψ(x , 0)|2dx = |A|2

∫ a−a

dx = 2a|A|2

⇒ A = 1√2a

2 Računamo φ(k)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞

Ψ(x , 0)e−ikxdx =1√2π

1√2a

∫ a−a

e−ikxdx



Oblik valnog paketa

Primjer 1. (nast.)

2 Računamo φ(k)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞


1√2a

∫ a−a

e−ikxdx

=1

k√πa

e ika − e−ika

2i=

1√πa

sin(ka)

k



Oblik valnog paketa

Primjer 1. (nast.)

2 Računamo φ(k)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞


1√2a

∫ a−a

e−ikxdx

=1

k√πa

e ika − e−ika

2i=

1√πa

sin(ka)

k

3 Računamo ψ(x , t)

ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)ei

(kx− ~k

2

2mt

)dk

=1

π√

2a

∫ ∞−∞

sin(ka)

kei

(kx− ~k

2

2mt

)dk︸︷︷︸

↓općenito se rješava numerički



Oblik valnog paketa

Primjer 1. (nast.)

3

ψ(x , t) =1

π√

2a

∫ ∞−∞

sin(ka)

kei

(kx− ~k

2

2mt

)dk

Funkcija |ψ(x, t)|2 u t = 0 i t = ma2/~.



Oblik valnog paketa

Primjer 1. (nast.)

z a ≈ 0 ⇒ sin(ka) ≈ ka

⇒ φ(k) ≈√

a

π



Oblik valnog paketa

Primjer 1. (nast.)

z a ≈ 0 ⇒ sin(ka) ≈ ka

⇒ φ(k) ≈√

a

π

ψ(x , 0) x ∆x → 0

φ(k) k p ∆p → ∞



Oblik valnog paketa

Primjer 1. (nast.)

z a→∞ ⇒ ψ(x , 0) ≈ 0

⇒ φ(k) ≈√

a

π

sin(ka)

ka



Oblik valnog paketa

Primjer 1. (nast.)

z a→∞ ⇒ ψ(x , 0) ≈ 0

⇒ φ(k) ≈√

a

π

sin(ka)

ka

ψ(x , 0) x ∆x → ∞

φ(k) k p ∆p → 0



Oblik valnog paketa

ψk(x , t) = Aei

(kx− ~k

2

2mt

)⇒ vkl = 2vqm

Problem

Što možemo saznati o brzini slobodne čestice iz ψ(x , t)?



Oblik valnog paketa

Problem

Što možemo saznati o brzini slobodne čestice iz ψ(x , t)?

Valni paket [5,6]:

♣ fazna brzina, vp♣ grupna brzina, vg Q vp

(Hamilton, 1839.)



Oblik valnog paketa

Valni paket [5,6]:

♣ fazna brzina, vp♣ grupna brzina, vg Q vp

(Hamilton, 1839.)

Problem

Koliko iznosi grupna brzina valnog paketa

ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)e i(kx−ωt)dk ?



Oblik valnog paketa

Problem


ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞


Pretpostavimo φ(k) usko lokaliziranoko k0

Taylor⇒ ω(k) ≈ ω0 + ω′0(k − k0) ,

ω′0 =dω

dk(k = k0)



Oblik valnog paketa

Problem


ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞


ψ(x , t) =

∣∣∣∣s = k − k0∣∣∣∣ ≈ 1√2π∫ ∞−∞

φ(k0 + s)ei[(k0+s)x−(ω0+ω′0s)t]ds

[2]=

1√2π

e i(−ω0t+k0ω′0t)∫ ∞−∞

φ(k0 + s)ei(k0+s)(x−ω′0t)ds

ψ(x , 0)t=0=

1√2π

∫ ∞−∞

φ(k0 + s)ei(k0+s)xds



Oblik valnog paketa

Problem


ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞


ψ(x , t) =

∣∣∣∣s = k − k0∣∣∣∣ ≈ 1√2π∫ ∞−∞

φ(k0 + s)ei[(k0+s)x−(ω0+ω′0s)t]ds

[2]=

1√2π

e i(−ω0t+k0ω′0t)∫ ∞−∞

φ(k0 + s)ei(k0+s)(x−ω′0t)ds

ψ(x , 0)t=0=

1√2π

∫ ∞−∞

φ(k0 + s)ei(k0+s)xds

⇒ ψ(x , t) ≈ e i(−ω0t+k0ω′0t)ψ(x − ω′0t, 0)



Oblik valnog paketa

Problem


ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞


⇒ |ψ(x , t)|2 = |ψ(x − ω′0t, 0)|2

↓brzina valnog paketa (grupna brzina)



Oblik valnog paketa

Problem


ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞


⇒ |ψ(x , t)|2 = |ψ(x − ω′0t, 0)|2

⇒ vg = ω′0 =dω

dk(k = k0)

vp =ω

k



Oblik valnog paketa

Problem


ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞


⇒ |ψ(x , t)|2 = |ψ(x − ω′0t, 0)|2

⇒ vg = ω′0 =dω

dk(k = k0)

vp =ω

k0

Slobodna čestica

⇒ ω = ~k20

2m⇒

dω

dk(k = k0) =

~k0m

ω

k0=

~k02m

⇒ 2vp = vg = vkl



Oblik valnog paketa

Primjer 2.

Promotrimo snop neutrona od kojihi svaki ima količinu gibanja ~k0. Snop je“odrezan”, stvarajući puls od N neutrona i dužine a cm. Valna funkcijaneutrona u trenutku nakon stvaranja pulsa je

ψ(x , 0) =

1√ae ik0x , −a

2≤ x ≤ a

20 , inače

.

Ako je količina gibanja nekog neutrona mjerena u t > 0, koje vrijednosti bi semogle izmjeriti i s kolikom vjerojatnošću?



Oblik valnog paketa

Primjer 2. (nast.)

1 ψ(x , 0) φ(k) P(k)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞

ψ(x , 0)e−ikxdx =1√2aπ

∫ a−a

e ik0xe−ikxdx

DZ=

√2

πa

sin[(k − k0)

a

2

]k − k0



Oblik valnog paketa

Primjer 2. (nast.)

1 ψ(x , 0) φ(k)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞


∫ a−a

e ik0xe−ikxdx

DZ=

√2

πa

sin[(k − k0)

a

2

]k − k0

2 φ(k) P(k)

P(k) = |φ(k)|2 = 2πa

sin2[(k − k0)

a

2

](k − k0)2

= konst.t

Pitanje

Kada je P(k) najveća?



Oblik valnog paketa

Primjer 2. (nast.)

1 ψ(x , 0) φ(k)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞


∫ a−a

e ik0xe−ikxdx

DZ=

√2

πa

sin[(k − k0)

a

2

]k − k0

2 φ(k) P(k)

P(k) = |φ(k)|2 = 2πa

sin2[(k − k0)

a

2

](k − k0)2

= konst.t

P(k)max. ⇐ k → k0 ⇒ pmax. = ~k0

Pitanje

Kada je P(k) najmanja?



Oblik valnog paketa

Primjer 2. (nast.)

1 ψ(x , 0) φ(k)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞


∫ a−a

e ik0xe−ikxdx

DZ=

√2

πa

sin[(k − k0)

a

2

]k − k0

2 φ(k) P(k)

P(k) = |φ(k)|2 = 2πa

sin2[(k − k0)

a

2

](k − k0)2

= konst.t

P(k)min. = 0 ⇐ sin2[(k − k0)

a

2

]= 0 ⇒ (k − k0)

a

2= nπ , n ∈ Z

/{0}

⇒ k = k0 +2nπ

a⇒ pmin. = ~k0 +

2nπ~a



Oblik valnog paketa

Primjer 2. (nast.)

pmax. = ~k0

pmin. = ~k0+2nπ~a

, n ∈ Z/{0}



Valni paket oblika Gaussove funkcije

Contents




4 Literature




t = 0 ⇒ valni paket 99K Gaussova funkcija

ψ(x , 0) =1√a√

2πe ik0xe

− x2

4a2

x0 = 0

a = fwhm

k0 = p0/~

DZ

1 Provjerite da je ψ(x , 0) normirana.

2 Izračunajte ∆x .

3 Izračunajte ∆p.





ψ(x , 0) =1√a√

2πe ik0xe

− x2

4a2

x0 = 0

a = fwhm

k0 = p0/~

Pitanje

Uzevši u obzir rjesenja za ∆x i 〈p〉 iz prethodnog pitanja za DZ, što mislite daGaussova funkcija ψ(x , 0) predstavlja?





ψ(x , 0) =1√a√

2πe ik0xe

− x2

4a2

x0 = 0

a = fwhm

k0 = p0/~

Pitanje

Uzevši u obzir rjesenja za ∆x i 〈p〉 iz prethodnog pitanja za DZ, što mislite daGaussova funkcija ψ(x , 0) predstavlja?

Česticu lokaliziranu na širini a oko x0, koja se giba s prosječnom količinomgibanja 〈p〉.




Zanima nas kako izgleda ψ(x , t):

ψ(x , 0) φ(k) ψ(x , t)

φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞

ψ(x , 0)e−ikxdx =1√

a√

(2π)3

∫ ∞−∞

e− x

2

4a2 e ix(k0−k)dx

=

√2a√2π

e−a2(k0−k)2

FT Gaussijana je opet Gaussijan




φ(k) =1√2π

∫ ∞−∞

ψ(x , 0)e−ikxdx =1√

a√

(2π)3

∫ ∞−∞

e− x

2

4a2 e ix(k0−k)dx

=

√2a√2π

e−a2(k0−k)2

⇒ |φ(k)|2 = 2a√2π

e−2a2(k0−k)2




Zanimljivo,

∆x∆p∣∣∣Gauss

= ∆x~∆k = a ~2a

=~2

= ∆x∆p∣∣∣min




ψ(x , t) =1√2π

∫ ∞−∞

φ(k)e i(kx−ωt)dk

=1

2π

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

ψ(x ′, 0)e−ikx′e i(kx−ωt)dx ′dk

=1√

a√

(2π)5

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

eik0x′− x′2

4a2 ei

[k(x−x′)− k

2a2

τt

]dx ′dk , τω = k2a2

=1√a√

2π

∫ ∞−∞

eik0x′− x′2

4a2 dx ′ · 12π

∫ ∞−∞

ei

[k(x−x′)− k

2a2

τt

]dk︸︷︷︸

[1]=

√m

2πi~te

im(x−x′)22~t

=1√

a(

1 + it

τ

)√2π

eiτ

t

( x2a

)2· e−

iτ4a2t

(x − ~k0tm

)2

1 + i tτ




t = 0 ⇒ ρ(x , 0) = 1a√

2πe− x

2

2a2

t > 0 ⇒ ρ(x , t) = 1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)e−

(x − ~k0tm

)2

2a2(

1 + t2

τ2

)

Pitanje

Možete li naći promjene u gustoći vjerojatnosti Gaussovog paketa?




t = 0 ⇒ ρ(x , 0) = 1a√

2πe− x

2

2a2

t > 0 ⇒ ρ(x , t) = 1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)e−

(x − ~k0tm

)2

2a2(

1 + t2

τ2

)

1 širenje a→ a

√1 +

t2

τ 2

2 pomak sredǐsta x0 = 0→ x = v0t

3 snižavanje 1

a√

2π→ 1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)




t = 0 ⇒ ρ(x , 0) = 1a√

2πe− x

2

2a2

t > 0 ⇒ ρ(x , t) = 1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)e−

(x− ~k0tm )2

2a2(

1 + t2

τ2

)

1 širenje a→ a√

1 +t2

τ 2


3 snižavanje 1

a√

2π→ 1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)




t = 0 ⇒ ρ(x , 0) = 1a√

2πe− x

2

2a2

t > 0 ⇒ ρ(x , t) = 1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)e−

(x − ~k0tm

)2

2a2(

1 + t2

τ2

)

1 širenje a→ a√

1 +t2

τ 2


3 snižavanje 1

a√

2π→ 1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)




Takoder, pogledajte ref. [7].




Primjer 3.

Zamislite klikere kao slobodne čestice oblika Gaussovog paketa (m = 10 g,a = 1 cm). Koliko dugo bi trebala trajati partija klikeranja da bi se djeci klikeripovećali na dvostruku veličinu? Što bi se dogodilo s elektronom (m ≈ 10−30 kg,a ≈ 10−15 m) za isto vrijeme?



Dvije aproksimacije

Contents




4 Literature



Dvije aproksimacije

Aproksimacija δ funkcije

Pretpostavimo

Pδ(x , 0) = |ψ(x , 0)|2 = δ(x) , δ(x) = lima→0

1

a√

2πe− x

2

2a2

Pogledajte ref. [8].



Dvije aproksimacije


Pretpostavimo

Pδ(x , 0) = |ψ(x , 0)|2 = δ(x) , δ(x) = lima→0

1

a√

2πe− x

2

2a2

Pδ(x , t) = lima→0

P(x , t) = lima→0

1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)e−

(x − ~k0tm

)2

2a2(

1 + t2

τ2

)

=

∣∣∣∣τ DZ= 2ma2~∣∣∣∣ DZ= lima→0 2ma~t√2π e

−2a2(x − ~k0t

m)2

~2t2m2

= lima→0

2ma

~t√

2π

[1 + O(a2)

]



Dvije aproksimacije


Pδ(x , t)t>0−→ 0



Dvije aproksimacije

Aproksimacija klasične čestice

promatrajmo klasičnu česticu mase m i brzine ~k0/m

Pkl(x , t) = lim~→0

P(x , t) = lim~→0

1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)e−

(x − ~k0tm

)2

2a2(

1 + t2

τ2

)

=

∣∣∣∣~→ 0⇒ τ →∞ ; ~k0 = p0 = konst.∣∣∣∣ = 1a√2π e−(x − p0t

m)2

2a2



Dvije aproksimacije


promatrajmo klasičnu česticu mase m i brzine ~k0/m:

Pkl(x , t) = lim~→0

P(x , t) = lim~→0

1

a

√2π

(1 +

t2

τ 2

)e−

(x − ~k0tm

)2

2a2(

1 + t2

τ2

)

=

∣∣∣∣~→ 0⇒ τ →∞ ; ~k0 = p0 = konst.∣∣∣∣ = 1a√2π e−(x − p0t

m)2

2a2

“točkasta” čestica (a→ 0):

Pkl(x , t) = lima→0

[lim~→0

P(x , t)]

= lima→0

1

a√

2πe−

(x − p0tm

)2

2a2

=

∣∣∣∣δ(x) = lima→0 1a√2π e− x22a2∣∣∣∣ = δ (x − p0tm )



Dvije aproksimacije


Pkl(x , t) = δ(x − p0t

m

)



Literature

Contents




4 Literature



Literature

Literature

1 R. L. Liboff, Introductory Quantum Mechanics, Addison Wesley, SanFrancisco, 2003.

2 D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., PearsonEducation, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2005.

3 L. I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill Book Company, New York,1949.

4 Aplet - Fourier

5 Apleti - fazna i grupna brzina

6 Apleti - fazna i grupna brzina, disperzija

7 Aplet - gibanje valnog paketa

8 Wolfram Demos - δ funkcija


http://phet.colorado.edu/en/simulation/fourierhttp://www.csupomona.edu/~ajm/materials/animations/packets.htmlhttp://www.falstad.com/dispersion/e-index.htmlhttp://www.st-andrews.ac.uk/~bds2/ltsn/Edinburgh/wave/index.htmlhttp://demonstrations.wolfram.com/IntegralsOverDiracDeltaFunctionRepresentations/

ContentsOblik valnog paketaValni paket oblika Gaussove funkcijeDvije aproksimacijeAproksimacija funkcijeAproksimacija klasicne cestice

Literature

Documents

Gibanje valnog paketa - UNIOSfizika.unios.hr/.../materijali_za_studente/qm1/Lecture_8_Gibanje_valnog_paketa.pdfGibanje valnog paketa Gibanje valnog paketa Quantum mechanics 1 - Lecture