Jovana Perac

8/18/2019 Jovana Perac

1/45

Prirodno matematički fakultet

Banja Luka

Smjer: Matematika i informatika, nastavni

Seminarski rad iz predmeta

Metodika nastave matematike 2

Student: Jovana Perać Profesor: dr Dusko Bogdanic


2/45

Priprema za čas matematike

Ime i prezime: Jovana Perać Razred : III Škola : Gimnazija Datum : Čas :

Nastavna oblast Analitička geometrija u prosoru

Nastavna jedinicaUgao između prave i ravni, između mimoilaznih pravih, između dvijeravni

Tip časa Obrada

Cilj časa Uočavanje raznih odnosa između pravih u prostoru, ravni u prosoru injihovog međusobnog položaja u prostoru.

Zadaci

Obrazovni zadaci Sticanje znanja o odnosima elemenata u prostoru, konkretno o

odnosima prave i ravni.

Funkcionalni zadaci Razvijati logičko zaključivanje. Vaspitni zadaci Razviti preciznost i strpljenje.

Oblici rada Frontalni

Nastavna sredstva Tabla, kreda trougao...

Struktura i tok časa

Uvodni dio Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će se obrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice.

Glavni dio 35 minuta. Isticanje cilja časa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicuuz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju.

Završni dio 5 minuta. Nastavnik ponavlja najbitnije definicije iz obrađene nastavne jedinice.Zadaje zadaću.


3/45

Ugao između prave i ravni, između mimoilaznih pravih, između dvije

ravni

Prvo se podsjetimo šta je to prava, a šta ravan u prostoru.

Postoji više načina da zadamo pravu u prostoru. Jedan je primenljiv u svakoj dimenziji:zadavanje prave tačkom i vektorom pravca. Prava se može zadati i kao presjek dvijeravni,tj.sistemom dvije linearne jednčine po tri nepoznate. To odgovara činjenici da je dimenzijaprave 3 − 2 = 1. Primetimo da u prostoru prava nema jedinstven normalni vektor, već čitavuravan normalnih vektora.

Neki od oblika jednačine prave u prostoru:

Parametarska jednačina prave:

,

, , gdje su ( koordinate tačke, a ( vektor pravca.Kanonski oblik jednač ine prave:

Ravan u prostoru je analogna pravoj u ravni. Naime, oba objekta su opisana jednom linearnom

jednačinom, samo što je u slučaju prave ta jednačina po dve promenlive x, y, a u slučaju ravni,

ta je jednačina po tri promenljive x, y, z. Odatle dobijamo da je dimenzija ravni 3 − 1 = 2.Zato je za dimenziju ravni potrebno dva nezavisna vektora.

Neki od oblika jednačine prave u prostoru:

Implicitna jednačina ravni: , pri čemu nisu sva tri koeficijenta , , jednaka 0.Parametarska jednačina ravni:

,

, ,za .


4/45

Ugao izmeđ u prave i ravni

Ugao između prave i ravni α je po definiciji ugao između prave i njene normalne projekcije ′ na ravan.Uz pomoć normalnog vektora

ravni

i vektora pravca

prave

taj se ugao može izraziti

kao:

Slika 1: Ugao izmedju prave i ravni

Zadatak 1.


5/45


6/45

Ugao između mimoilaznih pravih

Prvo pogledajmo sta su to mimoilazne prave.

Mimoilazne prave i imaju jedinstvenu zajedničku normalu, tj. pravu koja sječe obe prave

i

i na njih je normalna.

Slika 2: Mimoilazne prave

Ugao između dvije prave

Ugao između pravih i definišemo kao oštar ugao između njihovih normalnih vektora, tj. .

Ova definicija ugla važi i za mimoilazne prave.


7/45

Ugao između dvije ravni

Podsjetimo se kako se određuje ugao između ravni i . Neka je ravan koja ja normalna naravni i (tj. normalna je na njihovu presječnu pravu) i koja ih sječe po pravama redom i ugao između ravni

i

jednak je uglu između pravih

i

.

Slika 3: Ugao između ravni

Kako za normalne vektore ravni i važi , na osnovu jednkosti uglova sanormalnim kracima, imamo

.

Zato ugao između ravni računamo sledećom formulom:

.


8/45

Zadatak 2. Odredii ugao između ravni koja prolazi kroz tačke i ravni koja prolazi tačkom i paralelna je sravni xOz.

Zadaća:

1) .2)


9/45



Nastavna oblast Obrtna tijela

Nastavna jedinica Cilindrična površ i valjak. Konusna površ i kupa.

Tip časa Obrada

Cilj časa Uočavanje razlicitih geometrijskih oblika kao sto su pravilna kupa ipravilan valjak (kosa kupa i kosi valjak). Njihovo grafičko predstavljanje iizračunavanje zapremine i površine ovih tijela.

Zadaci

Obrazovni zadaciSticanje znanja o izgledu valjka i kupe, izračunavanju njihovih površina izapremina.

Funkcionalni zadaci Razvijati logičko zaključivanje.

Vaspitni zadaci Razviti preciznost i strpljenje.


Nastavna sredstva Tabla, kreda...


Uvodni dio Prvih 5 minuta nastavnik uvodi učenike u nastavnu jedinicu koja će seobrađivati. Ponavlja ranije gradivo koje ce biti potrebno u obradi nove nastavne jedinice.




10/45

Cilindrična površ i valjak. Konusna površ i kupa.

Neka je proizvoljna linija ravni i neka je prava koja prodire tu ravan. Skup tačaka svihpravih koje sijeku liniju

, a paralelne su sa pravom

naziva se cilindrična površ (slika 1). Linija

je vodilja (direktrisa), a prave koje sijeku i paralelne su sa su izvodnice (generatrise)cilindrične površi. Ako je vodilja prosta linija (tj. ne siječe samu sebe), i odgovarajuća cilindrična je prosta; inače je složena. Cilindrična površ je otvorena ako je vodilja otvorena linija (Slika 1a); inače jezatvorena (Slika 1b).

Slika 1 Slika 2

Ako je vodilja cilindrične površi kružna linija, tada se za cilindričnu površ kaže da je kružna

(Slika 2). Sve ravni paralelne sa ravni vodilje kružne ilindrične površi sijeku tu površ popodudarnim kružnim linijama. Dio prostoraograničen kružnom cilindričnom površi i dvjema podudarnim kružnim površima(koje nastaju kada se cilindrična površ presječe sa dvije paralelne ravni) naziva se valjak (Slika3).

Slika 3 Slika 4


11/45

Na slikama 3 i 4 kružne površi su osnove valjka, a dio cilindrične površi između osnova jeomotač valjka.

Izvodnice cilindrične površi koje pripadaju omotaču valjka zavu se izvodnice valjka. One su sveparalelne i jednake. Rastojanje između valjka naziva se visina valjka, a duž koja spaja središte

osnova valjka naziva se osa valjka. Ako je osa valjka normalna na ravni osnova, valjak je prav(Slika 4); inače je kos. U prvom valjku osa je ujedno i visina.

Površina i zapremina valjka

Površina valjka: Zapremina valjka:

B - baza valjka, M – omotač valjka, H – visina valjka, r – poluprecnik osnove

Zadatak 1.


12/45

Zadatak 2. Naći zapreminu valjka čija je površina ako je razlika visine ipoluprečnika osnove

, , pri čemu ne može biti rješenje jer je negativno. Sada lako možemo izračunati H.

Sada izračunajmo zapreminu dato valjka.


13/45

Zadatak 3. Obim osnove valjka iznosi , a površina osnog presjeka je izračunatipovršinu i zapreminu valjka.

,

, Izračunajmo sad površinu i zapreminu datog valjka.

,

, Zadaća:

1. U trostranu prizmu čije su osnovne ivice a = 13, b = 14 i c = 15 upisan je i oko nje opisanvaljak. Naći odnos zapremina ta dva valjka.

2. U pravilnu četvorostranu prizmu upisan je valjak. Odrediti zapreminu valjka ako jezapremina prizme 128 cantimetara kubnih.

3. Pravilna trostrana prizma upisana je u valjak ciji je poluprecnik osnove 6cm, površinaosnog presjeka je 13. Izračunati površinu i zapreminu prizme.


14/45

Konusna površ i kupa

Neka je proizvoljna linija ravni i neka je tačka koja ne pripada toj ravni. Skup tačaka svihpravih koje sadrže tačku

i sijeku liniju

naziva se konusna površ . Linija

je vodilja(direktrisa)

konusne površi, a prave koje sadrže tačku

i sijeku vodilju su izvodnice (generatrise). Tačka

je

vrh konusne površi. Proste, otvorene i zavorene konusne površi definišu se analogno prostim, otvorenim i

zatvorenim cilindričnim površima. Specijalno ako je vodilja konusne površi kružna linija, takvakonusna površ je kružna.

Krug (određen vodiljom kružne konusne površi) i dio konusne površi koji se nalazi između tevodilje i vrha ograničavaju dio prostora koji se naziva kružna kupa ili, kraće , kupa.

Taj krug je osnova kupe, a konusna površ između vrha i osnove je omotač kupe. Izvodnicekonusne površi koje pripadaju omotaču nazivaju se izvodnicama kupe. Rastojanje između vrha iravni osnove kupe je visina kupe, a duž koja spaja vrh sa središtem osnove je osa kupe. Kupa je

prava ako je osa normalna na ravan osnove; inače je kosa. Osa prave kupe ujedno je i njena

visina (Slika 6).

Slika 6 Slika 7

Ako se kupa presječe sa ravni koja je paralelna ravni osnove, dobija se krug. Dio kupe izmeđuosnove i tog kruga naziva se zarubljena kupa (Slika 7). Ona je ograničena dvjema kružnimpovršinama (tzv. osnovama) i dijelom konusne površi između njih.


15/45

Površina i zapremina kupe

izvodnica vrh visina poluprečnik osnove

Prava kupa

Površina kupe: Zapremina kupe:

, Zadatak 1. Omotač kupe

kruga čiji je poluprečnik

. Izračunati površinu i zapreminu kupe.

Izračunajmo sad površinu kupe:


16/45

Zadatak 2. Odnos poluprečnika osnove i visine kupe je 3:4. Površina omotača je 60.Izračunati zapreminu kupe.

Podijelimo sada ovu jednakost sa i dobicemo: (1)S druge strane imamo:

(2)Iz (1) i (2) imamo:

Iz (2) Iz (1) Sada izračunajmo zapreminu kupe.

Zadaća:

1. Pravougli trougao čije su katete 15cm i 20cm rotira oko hipotenuze. Naći zapreminudobijenog tijela.

2.

Jednakostranični trougao stranice 6cm rotira oko prave koja sadrži jedno tjeme trougla iparalelna je naspramnoj stranici. Izračunati površinu i zapreminu dobijenog obrtnogtijela.


17/45



Nastavna oblast Vektori

Nastavna jedinica Vektorski proizvod vektora i njihove osobine, veza sa površinom trougla.

Tip časa Obrada

Cilj časa Uočavanje kako se vektorski proizvod moze primjeniti na izračunavanjepovršine paralelograma, tj. trougla.

Zadaci

Obrazovni zadaci Sticanje znanja o vektprskom proizvodu vektora i njegovoj primjeni na

izračunavanje površine trougla. Funkcionalni zadaci Razvijati logičko zaključivanje.









18/45

Vektorski prizvod vektora i njegove osobine, veza sa površinom

trougla

Neka su

tri nekolinearna vekora dovedena na zajednički početak O i neka su

orijentisane poluprave kojima ti vektori pripadaju. Ako je najkraći put da se odpoluprave dođe do poluprave rotacijom oko poluprave u smjeru suprotnomkretanju kazaljke na satu, onda se kaže da vektori (tim redom) obrazuju desni sistemvektora (Slika 1). Obrnuto, ako je ta rotacija u smjeru kretanja kazaljke na satu, onda se kaže davektori čine lijevi sistem vektora (Slika 2).

Slika 1 Slika 2

Imena desni i lijevi sistem potiču uslijed sljedećeg tumačenja: desni sistem može bitipredstavljen sa tri prsta desne ruke (palac odgovara vektoru , kažiprst vektoru , a srednjiprst vektoru ), dok lijevi sistem može na isti način biti predstavljen prstima lijeve ruke.Sada možemo da defimnišemo tzv. vektorski proizvod dva vektora.

Za dva nekolinearna vektora i njihov vektorski proizvod , u oznaci , je vektor čiji je: a) intenzitet );b) pravac normalan na ravan određenu vektorima

i

;

c)

smjer takav da tri vektora , , tim redom ćine desni sistem vektora. Ako su i kolinearni vektori, tada je, po definiciji, . Specijalno, .


19/45

Osobine vektorskog proizvoda

1) antikomutativni zakon2) asocijativni zakon ne važi za vektorsko množenje 3)

,

4) , distributivni zakon u odnosu na sabiranje5) Za uzajamno normalne vektore , , koordinatnih osa imamo:

o itd.Vektorsko množenje vektora , , pregledno zapisujemo pomoću sledećetablice:

Izvedimo sada formulu za vektorski proizvod dva vektora pomoću njihovih koordinata. Neka je , . Imamo, dakle:

,pa na osnovu dokazanih osobina vektorskog proizvoda dobijamo:

To jest:

Primjetimo da se formula za vektorski proizvod vektora i možezgodno napisati u obliku simbolične determinante:


20/45

Veza vektorskog proizvoda sa površinom trougla

Slika 3

Ako nad vektorima i konstruišemo paralelogram (Slika 3), tada njegova površina P iznosi,kao što znamo,

. Prema tome, za površinu P paralelograma konstruisanog nad

vektorima i važi .Primjer 1. Izračunajmo površinu trougla ABD čija su tjemena A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2),

D = (4, 3, 5).

Površina P rougla ABD jednaka je polovini površine paralelograma konstruisanog nad vektorima i :


21/45

Zadatak 1. Izračunati vektorski proizvod vektora i .

Zadatak 2. Neka su zadani kolinearni vektori i . Izračunati .,

- + Zadaća:

1) Neka je . Izračunati .2) Neka je . Izračunati .


22/45



Nastavna oblast Analitička geometrija u ravni

Nastavna jedinica Opšti i segmentni oblik jednačine prave

Tip časa Obrada

Cilj časa Uočavanje položaja prave u ravni, tj. u odnosu na Dekartov koordinatnisiste, njen presjek sa x i y osom.

Zadaci

Obrazovni zadaciSticanje znanja položaju prave u ravni, njenim oblicima jednačine i stanam ti oblici govore o pravoj.

Funkcionalni zadaci Razvijati logičko zaključivanje.









23/45

Opšti i segmentni oblik jednačine prave

Pojam prave jedan je od osnovnih pojmova elementarne geometrije. U nekimzasnivanjima

geometrije prava se uzima kao polazni pojam (koji se ne definiše), a u nekim se definiše pomoćupojmova „tačka“ i „između“.

Polazimno od činjenice da dvije ( naravno različite) tačke određuju (definišu) jadnu i samo

jednu pravu, tj. da postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dvije date tačke.

Neka su i dvije date tačke i Dekartovom koordinatnom sistemu.kaošto smo već rekli, tim tačkama potpuno je određena prava . Izvedimo njenu jednačinu.

Neka je proizvoljna tačka prave . To znači da tačke , , pripadaju jednojpravoj liniji, pa je površina trougla jednaka , odakle slijedi: (1)

to jest (2)Obrnuto, ako tačka zadovoljava jednačinu (2), to jest (1), to znači da je površinatrougla jednaka , pa tačke , , pripadaju jednoj pravoj.Prema tome, (1) ili ekvivalentno (2) jeste jednačina prave koja je određena tačkama i .Ako u (2) stavimo: , ,vidimo da jednačina prave ima oblik:

(3)

uz uslov , što znači da brojevi i ne mogu istovremeno biti jednaki 0. Zaista kadabi bilo , imali bi smo , pa tačke i ne bi bile dvije različite tačke. Oblik (3) je opšti oblik jednačine prave.

U specijalnim slučajevima imamo:


24/45

a) , prava paralelna - osi b) , prava paralelna - osi c) jednačina – osed)

jednačina

– ose

Definišimo sada segmentni oblik jednačine prave.

, Segmentni oblik jednačine prave

- odsječak na

- osi

- odsječak na - osi Data prava prolazi kroz tačke i .

Slika 1

Zadatak 1. Date su tačke

Napisati jednačinu prave kroz te tačke (u

opštem obliku) i odrediti odsječke na x i y osi.

Opšti oblik jednačine prave je , pa za uvrstimo dobijene vrijednosti idobicemo: Ovo je opšti oblik jednačine prave.

Ako ovu jednačinu prave podjelimo sa 3 dobicemo: Iz segmentnog oblika prave

vidimo da je i


25/45

Zadatak 2. Površina trougla koji data prava gradi sa koordinatnim osama (pozitivnim dijelom i ose) (Slika 2) je 16, a izračunati i i napisati jednačinu date prave.

(1) (2)Iz (1) Uvrstimo to u (2), pa imamo:

Slika 2

Rjesimo sada dobijenu kvadratnu jednačinu.

i Sada kada smo izračunali lako možemo izračunati i .Iz (1)

Dakle, postoje dvije jednačine date prave, a to su:

1.

2.


26/45

Zadatak 3. Datu jednačinu prave prevesti i opšteg u segmentni oblik.

Dakle, imamo da je i .Zadaća:

1) Ispitati da li tačka

pripada pravoj

.

2) Naći tačke koje pripadaju pravoj i imaju apscise . Naćitačke koje pripadaju pravoj i imaju ordinate .

3) Date su tačke odrediti tačku koja pripada pravoj takvu da je površina trougla jednaka 8.4) svesti na segmentni oblik i konstruisati prave date jednačinama:

5) Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku i odsjeca na koordinatnim osama jednake odsječke.


27/45



Nastavna oblast Nizovi

Nastavna jedinica Granična vrijednost niza

Tip časa ObradaCilj časa Uočavanje granične vrijednosti niza.

Zadaci

Obrazovni zadaci Sticanje znanja o nizovima i njihovim graničnim vrijednostima.






Glavni dio 35 minuta. Isticanje cilja casa. Zapisivanje naslova. Obrada nove nastavne

jedinice uz učešće učenika. Nastavnik prica i objašnjava novu nastavnu jedinicuuz rađenje primjera i pokušava navesti učenike na saradnju.



28/45

Granična vrijednost niza

Opisno govoreći, jedan od centralnih problema koji se postavljaju za niz jeste pitanje šta se dešava sa opštim članom

kada

postaje sve veće i veće (ili, kako se čestp

kaže, kada neograničeni raste). Da bi smo bliže objasnili, posmatrajmo niz: (1)Jasno je da šo je veći prirodan broj, opšti član ovog niza postaje sve manji i, s

obzirom da je , sve se više približavaju broju 0. Naravno, ni za jedan prirodan broj neće biti jednako 0. S druge strane, uzimajući dovoljno

veliki

, možemo učiniti da se

razlikuje od 0 za onoliko malo koliko želimo.

Dakle, iako nikad nije 0, što je veće i veće, je sve bliže broju 0. Zbog toga kažemo da je 0granična vrijednost (limes) niza (1) i pišemo:

Def. Ako svi članovi nekog niza , osim možda njih konačno mnogo,imaju osobinu S, onda se kaže da skoro svi članovi niza imaju osobinu S.

Neka je

realan broj i neka je

pozitivan broj. Interval

, tj. skup

naziva se - okolina broja (tačke) .Koisteći se uvedenim pojmovima, sada smo u mogućnosti da precizno definišemo graničnivrijednost niza.

Def. Realan broj je granična vrijednost niza ako se u proizvoljnoj - okolini broja nalaze skoro svi članovi niza .

Broj je granična vrijednost niza ako za svako pozitivno postoji prirodan broj takavda je , za svako .

Ako takav broj postoji, onda se kaže da je niz konvergentan i da konvergira ka , i pišese: Broj je tačka nagomilavanja niza .


29/45

Primjer 1. Dokažimo da je:

Na osnovu definicije granične vrijednosi, treba dokazati da se samo konačan broj članova niza nalazi izvan - okoline broja 1, tj. izvan intervala , gdje je proizvoljan pozitivan broj.Primjetimo prvo da lijevo od broja nema članova niza . Zaista, kako je ,

imamo , dok je , a ni za jedno ne može biti . Ostaje, dakle, davidimo da li ima članova niza desno od broja , tj. ostaje da se riješi nejednačina

. Ova nejednačina je ekvivalentna sa

tj. ili .Sroga zaključujemo da su samo oni članovi niza za koje je izvan – okoline broja 1.Kako je

određen pozitivan broj, njih je samo konačno mnogo. Prema tome, Ako ne postoji realan broj takav da se u svakoj – okolini tog broja nalaze skoro svi članoviniza , onda se kaže da niz nije konvergentan ili da je divergentan.Ako je ili niz određeno konvergira.

Operacije sa graničnim vrijednostima

Neka je

i

tada važi:

1) , 2)

3) 4)


30/45

Zadatak 1. Izračunati sledeće limese:

a) c) b)

d)

Napomena: Uopšteno

Zadatak 2. Naći graničnu vrijednost niza .

Napomena: Kada su imenilac i brojilac istog stepena rjesenje je broj uz najveći stepen.

Zadatak 3. Naći graničnu vrijednost niza .

Zadatak 4. Naći graničnu vrijednost niza . Napomena: Kada je stepen u brojiocu veći od stepena u imeniocu niz teži ka ili ( znakzavisi od znaka uz nejvece stepene u brojiocu i imeniocu).

Zadaća:

1) Naći graničnu vrijednost niza . 2) Naći graničnu vrijednost niza . 3) Naći graničnu vrijednost niza .


31/45



Nastavna oblast Kompleksni brojevi

Nastavna jedinicaKorijeni kompleksnog broja, korijeni jedinice i njegova geometrijska

interpretacija

Tip časa Obrada

Cilj časa Uočavanje geometrijskog pedstavljanja kompleksnog broja,izračunavanje njegovog korjena i uočavanje razlike sa korjenima realnogbroja.

Zadaci

Obrazovni zadaci Sticanje znanja kompleksnim brojevima i korjenima kompleksnog broja.









32/45

Korijeni kompleksnog broja, korijeni jedinice i njegova geometrijska

interpretacija

Izraz oblika

je algebarski oblik kompleksnog broja.

, Dva kompleksna broja su jednaka ako imaju iste realne i imaginarne dijelove tj. Neka je kompleksan broj. Tada broj nazivamo konjugovanokompleksnim.

Upoznajmo se sada sa geometrijskim predstavljanjem kompleksnih brojeva. Kompleksne

brojeve možemo predstavljati tačkama ravni. Zaista, kompleksnom broju dodjeljuje setačka u Dekartovom koordinanom sistemu , čije su koordinate i . Ravan u kojojpredstavljamo kompleksne brojeve naziva se kompleksna ravan (Slika 1).

Slika 1

- modul kompleksnog brojaPrilikom ovog prikazivanja, brojevi oblika predstavljeni su tačkama – ose. Ako

uzmemo da je ta - osa brojna prava na kojoj se predstavljaju realni brojevi, tada odmahvidimo da su realan broj i kompleksan broj predstavljeni istom tačkom – ose.


33/45


34/45

imamo:

tj. (4)Ako umjesto u formuli (4) stavimo , dobijamo , što zajedo sa (4) daje: . nastavljajući ovaj postupak vidimo da za svaki cio broj važi: , gdje je prizvoljan cio broj.

Prema tome, umjesto svih brojeva , gdje je , dovoljno je uzeti samo sledećih brojeva

jer se ostali brojevi izraženi formulom (3) ponavljaju. Zaista, imamo, na

primjer, itd. Dokažimo još da su brojevi međusobno različiti. Neka, i neka je . Pretpostavimo da je , tj. da je:

Na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva u trigonometijskom obliku zaključujemo:

Prva od ovih jednakosti nije od koristi. Iz druge jednakosti, poslije množenja sa , dobijamo:

ili odnosno (5)Kako je po pretpotavci, , ili je ili je . Neka je . Tada, s obzirom da , zaključujemo da , pa broj nije cio broj.


35/45

Međutim, na desnoj strani jednakosti (5) nalazi se cio broj, što znači da smo došli do

kontradikcije.

Obrnuto, ako je

tada

, pa broj

opet nije cijeli broj i opet

dolazimo do kontradikcije.Dakle, pretpostavka mora se odbaciti, pa zaključujemo da iz izlazi .Sve u svemu, dokazali smo sledeći stav:

Ako je Neka je uobičajeno je izvesti sledeću definiciju: Svako rješenje jednačine po naziva se - ti korijen kompleksnog broja .Na osnovu definicije iz prethodnog izlaganja zaključujemo:

Svaki kompleksan broj

ima tačno

međusobno različiti

- tih korijena.

Takođe je uobičajeno da se bilo koji - ti korijen broja sa i da se dođe do formule: (6)

Međutim, to nije korektno. Evo dva razloga.

1) Na lijevoj strani formule (5) nalazi se jedan simbol: , a na desnoj imam međusobno različitih simbola:

Složili smo se da kompleksan broj , tj. identifikujemo sa realnim brojem . Neka je. Trigonometrijski oblik kompleksnog broja 1 je . , pa formula (6) postaje:

odakle se, poslije skraćivanja sa dobija: (7)Što za ili nije tačno. Prema tome, simbol koji je bio uveden za nenegativne realne brojeve ne može da sedirektno prenese i na kompleksne brojeve, jer dolazi do protivurječnosi tipa (7).


36/45

Treba, dakle, uvesti neki drugi simbol, npr. ili za - ti korijen kompleksnog broja. Pritome treba imati na umu da taj „novi“ korijen , za razliku od „starog“ korijena , nije

jednoznačno definisan. Naime, umjesto nekorektne formule (6) imamo:

Primjer 1. Primjer 2. .Primjer 3. Izračunati

dakle, c Zadaća:

1) Naći realni i imaginarni dio kompleksnog broja:

2) Izračunati:


37/45


Ime i prezime: Jovana Perać Razred : IV Škola : GimnazijaDatum : Čas :

Nastavna oblast Izvodi

Nastavna jedinica Osnovne teoreme o izvodu. Izvodi elementarnih funkcija

Tip časa Obrada

Cilj časa Upoznavanje sa izvodima elementarnih funkcija i osnovnim teoremama

o izvodima.

Zadaci

Obrazovni zadaciSticanje znanja o izvodima funkcija i osnovnim teoremama koje se

koriste za izračunavanje izvoda. Funkcionalni zadaci Razvijati logičko zaključivanje.









38/45

Osnovne teoreme o izvodu. Izvodi elementarnih funkcija.

Podsjetimo se prvo sta je izvod.

Definicija Neka je definisana na intervalu , neka je fiksirana tačka i neka je

priraštaj argumenta takav da je izvod intervala .Izvod funkcije u tački je granična vrijednost količnika priraštaja argumenta, kad priraštajargumenta teži 0.

Izvod funkcije u tački predstavlja koeficijent pravca tangente te funkcije u toj tački.

Primjer 1. Naći izvod funkcije u proizvoljnoj tački .


39/45

Izvodi elementarnih funkcija:

1) 6) 2)

7)

3) 8) 4) 5)

Lijevi i desni izvod funkcije

lijevi izvod desni izvod tada postoji

Teoreme o izvodima

1) 2) 3)

4)


40/45

Zadatak 1. Izračunati izvode sledećih funkcija:

a) b)


a) b)



41/45


Zadaća:

Izračunati izvode sledećih funkcija:

a) b)

c) d) e) f)


42/45


Ime i prezime: Jovana Perać Razred : IV Škola : Gimnazija Datum : Čas :

Nastavna oblast Kombinatorika

Nastavna jedinica Permutacije, varijacije i kombinacije (bez ponavljanja)

Tip časa Obrada

Cilj časa Upoznavanje sa osnovnim elementima kombinatorike, njihovo

definisanje i upoznavanje sa njihovom primjenom pri rješavanjuodređenih matemaičkih problema.

Zadaci

Obrazovni zadaci

Sticanje znanja o permutacijama, varijacijama i kombinacijama kao

osnovnim elementima kombinatorike i njihova primjena pri rjesavanju

određenih matematičkih problema. Funkcionalni zadaci Razvijati logičko zaključivanje.









43/45

Varijacije, permutacije, kombinacije (bez ponavljanja)

Definicija:Neka je skup od elemenata. , niz od različitih članova koji su elementi skupa nazivamovarijacijom - te klase od elemenata skupa . - varijacija trece klase od elemenata - varijacija pete klase od elemenataBroj svih varijacija - te klase od elemenata .Varijacija

- te klase od

elemenata zove se permutacija

.

Ovo su varijacije I permutacije bez ponavljanja (elementi nizova su različiti).

Definicija:

Neka je dat skup od rayličitih elemenata . Bilo koji podskup ovog skupaod elemenata pri čemu je zove se kombinacija - te klase bez ponavljanja od elemenata (u oznaci

).

- “en nad ka”

Napomena: – proizvod prvih prirodnih brojeva (čita se “en faktorijel”)


44/45

Zadatak 1. Koliko ima trocifrenih brojeva u čijem se zapisu ne pojave cifre 1 i 2?

Kako se radi o trocifrenim brojevima, na prvom mjestu možemo birati 7 cifara, jer se 1 i

2 ne mogu pojaviti zbog uslova zadatka, a 0 se ne moze pojaviti jer tada ne bi imalitrcifren broj. Na drugom mjestu možemo birati 8 cifara, kao I na trecem.

Dakle, rješenje je .Zadatak 2. Koliko ima permutacija cifara 0, 1, …, 9 kojima 0 zauzima jedno od prva četiri

mjesta I 9 jedno od poslednja tri mjesta?

Na prva četiri mjesta za 0 imamo 4 mogućnosti, a na poslednja tri mjesta za 9 imamo tri

mogućnosi. Biramo jedno od prva četiri mjesta za 0 I jedno od posldnja tri mjesta za 9, aostalih 8 cifara permutujemo.

Dakle, rjesenje je .Zadatak 3. Koliko se brojeva između 3000 I 6000 može formirati od cifara 0, 1, …, 7 ako

se ni u jednom broju ni jedna cifra ne može ponoviti?

U zadatku nam se traže sve varijacije cifara 0, 1, …, 7 ali tako da se one nalaze između

3000 i 6000, što ćemo dobiti tako sto ćemo od svih varijacija ovih cifara oduzeti one koje

su manje od 3000 I veće od 6000.

Dakle, imamo: Zadatak 4. Na koliko načina od 10 učenika možemo odabrati 3 za nagradno putovanje?


45/45

Zadaća:

1) Trener ima na raspolaganju 5 bekova, 4 centra i 3 krila. Na koliko načina se može

od njih sastaviti petorka ako u njoj moraju da igraju bar 2 beka I bar jedan centar?

2) Koliko je pravih određeno sa 20 tačaka pri čemu 12 pripada jednoj pravoj?

3) Dat je skup . Odrediti broj podskupova koji ne sadržeelemente .

Documents

Jovana Perac