1ELEKTROTEHNIKI FAKULTETSARAJEVO

INENJERSKA FIZIKA I -predavanja za 1.sedmicu nastave-

1. FIZIKE OSNOVE MEHANIKE

1.1 Uvod

Fizika je fundamentalna prirodna znanost ( nauka ) ; ona prouava opa svojstva izakone kretanja materije, poevi od kretanja ( gibanja ) tijela pa sve do strukture isvojstva fizikalnog polja i prostora. Fiziari nastoje otkriti zakone o ponaanju materije uraznim uvjetima i dobivena saznanja primijeniti u tehnologiji i tehnici.

Rije fizika dolazi od grke rijei (fisis), to znai priroda i zato se, dugovremena, fizika zvala filozofija prirode.

Tvar (supstanca) je jedan od osnovnih oblika materije; sva tijela u prirodi izraena su odtvari. Fizikalno polje (npr. gravitacijsko, elektrino itd.) takoer je jedan oblik materije.Materija se nalazi u neprestanom kretanju; ona prelazi iz jednog oblika u drugi, i pri tomeostaje neunitiva i sauvana. Prostor i vrijeme takoer su oblici materije i vezani su uz njenokretanje jer se sve promjene materije odvijaju u prostoru i vremenu.

Veza fizike i ostalih prirodnih znanosti vrlo je velika i, ponekad, je teko nai granicuizmeu fizike, kemije i biologije. Moderna fizika i kemija toliko se isprepliu da se danaskemija moe gotovo smatrati posebnom granom fizike. Moderna biologija, posebno njenagrana biofizika, takoer je tijesno povezana s fizikom i kemijom.

U fizici postoje dvije metode: eksperimentalna i teorijska. Eksperimentalna metodabazira se na eksperimentu i mjerenju. Nekad je lake doi do odreenog fizikalnog zakonateoretski, pomou matematike, a zatim ga, eventualno, provjeriti eksperimentom. Akoeksperiment potvrdi neku teoretsku pretpostavku, tada se on prihvaa kao prirodni zakon; akoje obori, tada se ta pretpostavka mora promijeniti tako da bi bila u skladu sa mjerenjem.

S obzirom na ove metode fizika se moe podijeliti na eksperimentalnu i teoretskufiziku. Teoretska fizika matematiki razvija i povezuje fizikalne zakone, dok eksperimentalnafizika izvodi rezultate iz iskustva. Matematika je vrlo vano oru fiziara. Ona nam sluida prikaemo fizikalne zakone u konciznoj i jasnoj formi, da ih povezujemo jedan iz drugogizvodimo.

1.2 Mjerenje u fizici

Mjerenje je osnova svih prirodnih znanosti, pa i fizike, koja je tipina eksperimentalnaznanost. Engleski fiziar i matematiar W. Thomson, lord Kelvin (1824-1907), istakao jevanost mjerenja ovim rijeima:

"Kad ono o emu govorite moete izmjeriti i izraziti brojevima, tada znate neto otome; kada to ne moete izmjeriti, tada je vae znanje oskudno i nedovoljno..."

Pri istraivanju u fizici prvo moramo uoiti nerijeeni problem koji je od znanstvenoginteresa. Zatim precizno mjerimo. Mjerenja ponavljamo nekoliko puta da bi smo to viesmanjili pogreku mjerenja. Zatim slijedi analiza eksperimentalnih podataka, fizikalnoobjanjenje eksperimenta i pronalaenje fizikalnih zakona.

A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark

2 Mjerenje fizikalnih veliina u stvari je usporeivanje fizikalne veliine kojumjerimo sa odgovarajuom standardnom istovrsnom veliinom, tzv. jedinicom.

Fizikalna veliina opisuje kvalitativno i kvantitativno neku mjerljivu osobinu fizikalnogstanja ili procesa. Ona omoguuje definiranje fizikalne pojave i njeno opisivanje umatematskom obliku pomou odgovarajuih jednadbi. Fizikalne veliine su npr. put,vrijeme, brzina, rad, energija, itd.

Fizikalne veliine oznaavaju se malim i velikim slovima latinske abecede i grkogalfabeta. Oznake fizikalnih veliina dogovoreni su na meunarodnom nivou. To suveinom poetna slova engleskih i latinskih naziva. Tako npr. simbol za brzinu je v (velocity,velocitas), vrijeme t (time, tempus), silu F (force) rad W (work) itd.

Fizikalni zakoni se mogu precizno izraziti i pomou fizikalnih jednadbi koje povezujufizikalne veliine u tom zakonu.

Mjeriti neku veliinu znai odrediti broj koji pokazuje koliko puta ta veliina sadriu sebi istovrsnu veliinu dogovorom uzetu za jedinicu. Za neku fizikalnu veliinu nijedovoljno poznavati samo njenu brojanu vrijednost, ve i njenu jedinicu.

Svaka se fizikalna veliina moe izraziti pomou dva faktora, tj. brojanomvrijednou i oznakom mjerne jedinice.

{ }[ ]A A A= (1.1)gdje su { }A brojana vrijednost i [ ]A mjerna jedinica.1.3 Meunarodni sistem (sustav) jedinica - SI

Fizikalne veliine mogu se podijeliti na osnovne i izvedene, a ista podjela vai i zamjerne jedinice.

Osnovne fizikalne veliine su one koje ne moemo jednu iz druge izvesti, ve ihmoramo definirati. Sve ostale, izvedene, moemo izvesti iz osnovnih.

Osnovne i izvedene jedinice ine sistem ( sistem ) jedinica.Na XI zasjedanju Generalne konferencije za utege i mjere (Conference Generale des Poids

et Mesures-CGPM) 1960. prihvaen je Meunarodni sistem mjernih jedinica, tzv. SI(Systeme International d'Unites) koji je prihvaen u cijelom Svijetu.

Dogovorom je odabrano sedam fizikalnih veliina iz kojih se izvode sve ostale.

Osnovne fizikalne veliine i osnovne jedinice Meunarodnog sistema date su u tabeli 1.1.

Veliina Oznaka Mjerna jedinica

Podruje fizike

Duljina l metar (m)Masa m kilogram (kg) mehanikaVrijeme t sekunda (s)Termodinamika temperatura T kelvin (K) toplinaJakost elektrine struje I amper (A) elektricitetJakost svjetlosti I kandela (cd) fotometrijaKoliina tvari n mol (mol) atomska fizika

31. Duljina ( duina )

Jedinica duljine je metar. Metar je duina koju u vakuumu pree svjetlost za vrijeme od1/299 792 458 sekunde.

2. Masa

Jedinica mase je kilogram. Kilogram je masa meunarodnog etalona kilograma koji seuva u Meunarodnom uredu za utege i mjere u Sevresu kraj Pariza.

3. Vrijeme

Jedna sekunda je trajanje od 9 192 631 770 perioda zraenja koje nastaje pri prijelazuelektrona izmeu dvaju hiperfinih nivoa osnovnog stanja atoma Cs133

4. Jakost elektrine struje

Stalna elektrina struja ima jainu jednog ampera (A) ako, prolazei u svakom od dvaparalelna, ravna, beskonano dugaka vodia, zanemarivo malog presjeka, razmaknuta jedan

metar u vakuumu, uzrokuje izmeu njih silu od mN7102 (Njutna po metru duljine).

5. Termodinamika temperatura

Jedinica termodinamike (apsolutne) temperature je kelvin (K). Jedan kelvin (K) jetermodinamika temperatura koja je jednaka 1/273,16 dijelu termodinamike temperaturetrojne take vode.

6. Jakost ( jaina ) svjetlosti

Jedinica jaine svjetlosti je kandela (cd). Jedna kandela je jakost svjetlosti koju uokomitom pravcu zrai povrina od 1/600 000 m2 crnog tijela na temperaturi skruivanjaplatine pod tlakom od 101 325 Pa.

7. Koliina tvari

Jedinica za koliinu tvari je mol. Jedan mol je koliina tvari koja sadri toliko jednakihestica (molekula, atoma, elektrona, iona i sl.) koliko ima atoma u 0,012 kg izotopa ugljika6C12 ..

Da bi SI sistem bio pogodan za upotrebu usvojena je i tabela decimalnih dijelova idekadskih viekratnika osnovnih jedinica:

Prefiksifaktor prefiks oznaka faktor prefiks oznaka1024 jota Y 10-1 deci d1021 zeta Z 10-2 centi c1018 eksa E 10-3 mili m1015 peta P 10-6 mikro 1012 tera T 10-9 nano n109 giga G 10-12 piko p106 mega M 10-15 femto f

4103 kilo k 10-18 ato a102 hekto h 10-21 zepto z101 deka da 10-24 jokto y

Dopunske jedinicefizika veliina naziv oznaka definicijaugao radijan rad m m-1prostorni ugao steradijan sr m2 m-2

1.4 Skalarne i vektorske fizike veliine

Fizike veliine prema svojoj prirodi mogu se razvrstati na skalarne, vektorske i tenzorske.Skalari su one veliine koje su potpuno odreene brojnom vrijednou i odgovarajuomjedinicom. Takve veliine su: masa, vrijeme, temperatura, rad itd.

Vektori su one fizike veliine koje su potpuno odreene njihovom veliinompravcem i smjerom. Takve veliine su: sila, brzina, ubrzanje itd.

Tenzorske veliine su odreene sa tri vektora. Takve veliine su na primjer: tenzorinercije, tenzor viskoznosti, tenzor deformacije i dr.

Vektor predstavljamo usmjerenom duinom ( u odgovarajuem mjerilu) koja dajeiznos vektora, dok smjer strelice pokazuje smjer vektora. Vektorsku fizikalne veliinu

oznaavamo malom strelicom iznad simbola: v

dok iznos vektora (brojnu vrijednost)

oznaavamo samo slovom bez strelice: v, a esto i ovako: v . Vektore moemo obiljeavati i

velikim slovima, koja oznauju poetak i kraj vektora (npr. AB

na crteu 1.1)

Crt. 1.1

Vektori su kolinearni ako su im pravci nosioci paralelni. Pri tom vektori mogu bitijednakog ili suprotnog smjera. Kolinearne vektore jednakog iznosa i smjera smatramojednakim. To znai da vektore smijemo pomicati po pravcu nosiocu i paralelno translatirati jerim se pri tome ne mijenja ni iznos ni smjer.

5 Crt. 1.2

Zbrajanje ( sabiranje ) vektora

Zbroj dvaju vektora a b+

opet je vektor ( )c :c

= a b+

(1.1)Grafiki, vektore sabiramo tako da poetak drugog vektora paralelnom transformacijom

dovedemo na kraj prvog: rezultanta je vektor koji ide od poetka prvog do kraja drugogvektora, crt. 1.3.

Crt. 1.3

Uoite da vektorski zbroj nije isto to i algebarski, jer iznos vektora c nije openito

jednak zbroju iznosabia ,c=a+b samo kada su smjerovi vektora a

i b

isti, inae c

6Crt. 1.4Iznos rezultante moemo izraunati upotrebom kosinusova pouka

c a b ab= + + 2 2 2 cos (1.3)gdje je kut izmeu vektora a i b. Smjer rezultante moemo odrediti kutom

bcacb

2cos

222+

= (1.4)

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora svodi se na zbrajanje. Razlika barr

dvaju vektora a

i b

je vektor

c

, koji nastaje zbrajanjem vektora a

i vektora - b

(crt. 1.5). Negativni vektor - b

po

iznosu je jednak vektoru b

, kolinearan je s njim, ali je suprotnog smjera.

Crt. 1.5

Dakle:

c

= ( )a b a b = + (1.5)Da bi smo vektor b

oduzeli od vektora a

, poetak oba vektora dovodimo u istu toku:

razlika a

- b

je vektor koji ide do kraja vektora b

do kraja vektora a

Mnoenje vektoraVektor a mnoi se pozitivnim skalarom tako da mu se iznos pomnoi, a smjer ostaje

isti. Pri mnoenju negativnim skalarom (

7Ctr. 1.6

Vektorski produkt.

Crt. 1.7 a)

8Vektorski produkt c

dvaju vektora a

i b

oznaava se

=

bac . To je vektor

okomit na oba vektora. Njegov smjer odreuje se pravilom desne ruke. Prstima ruke idemokraim putem od prvog do drugog vektora i palac nam odreuje smjer vektorskog produkta

c

. Iznos vektorskog produkta jednak je produktu iznosa jednog i drugog vektora i sinusa

kuta meu njima (odnosno povrini paralelograma ije su stranice a

i b

):cba r

rr= cba r

rr= ;

sinabc = (1.7)Za vektorski produkt ne vrijedi zakon komutacije, tj.

abba rrrr= (1.8)

Da bi izraunali vektorski produkt moemo mnoiti komponente vektora tj.

( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx rrrrrrrr ++++=( ) ( ) ( ) ( ) ( )jkbaikbakjbakibajibaba yzxzxyzyyx rrrrrrrrrrrr ++++= ,

gdje smo uzeli u obzir da je 0=== kkjjiirrrrrr

. Sad prihvatimo dogovor da emo

upotrebljavati desni koordinatni sistem tj. kjirrr

= , jkirrr

= , ikjrrr

= , pa dobivamoda je vektorski produkt jednak

( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzy rrrrr ++= (1.9)Vektorski produkt takoer moemo izraunati koristei Sarrusovo1 pravilo:

zyx

zyx

bbbaaakji

ba

rrrrr= (1.10)

Skalarni produkt.Produkt dvaju vektora iji je rezultat skalarna veliina zove se skalarni produkt. Skalarni

produkt vektora a

i b

oznaava se simbolom a

. b

a jednak je umnoku iznosa obajuvektora i kosinusa kuta meu njima:

cosabba =rr

(1.11)ili

ab abbaba ==rr

1 Vidi Matematiki prirunik, I.N. Brontejn - K.A., Semendjajev

9gdje su cosaab = , cosbba = , projekcije vektora na zadanu osu, crte 1.8. Znai zaskalarni produkt vrijedi zakon komutacije.

abba rrrr= (1.12)

Crt. 1.8

2.5 Koordinatni sistem (sustav)

Svaki vektor moemo prikazati kao zbroj dvaju ili vie faktora koje nazivamo njegovimvektorskim komponentama. To je obratan postupak od zbrajanja vektora. Da bi rastavljanjeu komponente bilo jednoznano odreeno, potrebno je poznavati pravce nosiocekomponenata (crt. 1.9), a, pored toga, broj komponenata mora biti jednak dimenziji prostora ukojem se vektori nalaze.

Crt 1.9

Smjer u prostoru najee definiramo jedininim vektorom iji je iznos jednak jedinici.

Tako je jedinini vektor a0

u smjeru vektora a

definiran relacijom:

a0

= aa

(1.13)

10

Izborom triju smjerova odreenih jedininim vektorima k1

, k2

, k3

definiramokoordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru. Izborom koordinatnog sistema moemo

svaki vektor a

jednoznano rastaviti u tri komponente a1

,a2

,a3

a

=a1

+a2

+a3

=a1 k1

+a2 k2

+a3 k3

(1.14)

gdje su a1, a2, a3 skalarne komponente (projekcije) vektora a

. Najee se upotrebljava

sistem s tri meusobno okomita jedinina vektora i j k , , (crt. 1.10),tzv. Cartesijev

koordinatni sistem. U Cartesijevom sistemu vektor v

rastavlja se u komponente ovako:

kvjvivv zyxrrrr

++= (1.14)

gdje su vx,vy,vz skalarne komponente vektora v

(crt. 1.10). Kako su osi x, y, z meusobno

okomite, veza izmeu iznosa vektora v

i njegovih skalarnih komponenti je:

222zyx vvvv ++= (1.15)

Crt. 1.10

U fizikalnim razmatranjima esto se pojavljuje vektor poloaja (radijus vektor) r koji

opisuje poloaj tijela (toke) u prostoru

++= kzjyixr (1.16)

Skalarne komponente radijus vektora su x, y i z (crt. 2.11), dok mu je iznos:

222 zyxr ++= (1.17)

11

Crt. 1.11

1.6 Materijalna taka i kruto tijelo

Fizike pojave su kompleksne tj. ne javljaju se izolirano jedna od druge, nego uvijekskupno. Pod odreenim uvjetima neke od tih pojava intenzitetom se izdvajaju od drugih kojese mogu smatrati sekundarnim. Kad e se jedna fizikalna pojava javiti kao primarna ilisekundarna zavisi od uvjeta pod kojima se odvija. Prouavanje fizikalnih pojava sepojednostavljuje ukoliko se pod unaprijed danim uvjetima analizira jedna od njih kaoprimarna, a ostale kao sekundarne, potpuno zanemare. Prouavanje se pojednostavljujeuvoenjem idealiziranih modela fizikalnih procesa. Na primjer, pri razmatranju kretanjamaterijalnog tijela sekundarni su unutarnji procesi koji se odigravaju u njemu kaokompleksnom sistemu pa se mogu i izostaviti, a promatrati model tijela koji je osloboen tihsekundarnih procesa. Iz tih razloga se u mehanici uvode modeli materijalnog tijela podpojmovima: materijalne toke, apsolutno krutog tijela, apsolutno elastinog tijela itd.

Materijalna taka je model tijela iji se oblik i dimenzije u danom razmatranju moguzanemariti. Na primjer, pri prouavanju kretanja planeta oko Sunca one se mogu smatrati kaomaterijalne toke, ije su mase jednake masama planeta a ije se dimenzije mogu zanemariti uodnosu na veliine rastojanja izmeu Sunca i odgovarajuih planeta.

Apsolutno kruto tijelo je model tijela, koje ni pod kakvim uvjetima ne mijenja svoj obliki dimenzije.

Mehaniki sistem je model od vie materijalnih toaka ili tijela koja u opem sluajuinteragiraju kako meusobno tako i sa tijelima iz drugih mehanikih sistema. Ukoliko postojesamo meusobne interakcije onda kaemo da je mehaniki sistem izoliran.

ELEKTROTEHNIKI FAKULTET SARAJEVO INENJERSKA FIZIKA I

-- predavanja --

MEHANIKA MATERIJALNE ESTICE 2.1 Kinematika materijalne estice Mehanika je dio fizike koja prouava zakone kretanja/gibanja tijela, tj. vremensku

promjenu poloaja tijela u prostoru. Mehanika se dijeli na kinematiku, dinamiku i statiku kao specijalni sluaj dinamike. Kinematika (od grke rijei kinein-kretati) prouava kretanja/gibanje, bez obzira na

uzroke kretanja i na svojstva tijela koja se kreu, tj. ne uzimajui u obzir njihovu masu i sile koje na njih djeluju.

Dinamika (dynamis-sila) prouava uzroke kretanja/gibanja i utjecaj sile i mase na gibanje; dinamika za razliku od kinematike, daje fizikalnu sutinu kretanja.

Statika prouava uvjete ravnotee tijela. Tijelo se kree/ giba ako mijenja poloaj prema nekom drugom tijelu. Da bi smo tu

promjenu poloaja izmjerili, za okolinu veemo odreeni referentni sistem/sustav te kaemo: tijelo se kree ako mijenja poloaj prema tom referentnom sustavu

. Svako kretanje/gibanje je relativno kretanje/gibanje prema odreenom referentnom sistemu.

Ponekad se pri prouavanju kretanja mogu zanemariti dimenzije tijela i tako itavo tijelo predoiti jednom takom mase m. To je tzv. materijalna taka koju esto nazivamo i esticom, odnosno sitnim tijelom.

Naravno nije uvijek mogue initi takvu aproksimaciju; npr. pri rotaciji oko vlastite osi moramo uzeti u obzir dimenzije tijela ma kako one bile male. U takvim problemima tijelo zamiljamo kao skup materijalnih toaka iji meusobni razmaci ostaju uvijek stalni, tj. uvodimo aproksimaciju krutog tijela. Kruto tijelo se dakle ne deformira kad na njega djeluju sile

Poloaj materijalne toke najee odreujemo pomou njenih koordinata u pravokutnom /pravuglom koordinatnom sustavu./sistemu.

Tako na crt. 2.1 poloaj materijalne take odreen je sa tri broja tj. udaljenostima x, y i z od koordinatnih ravnina.

Umjesto sa x, y i z poloaj materijalne toke moemo odrediti i radijus vektorom r koji

spaja ishodite koordinatnog sistema s materijalnom takom.

Vektor r

zove se vektor poloaja materijalne take.

1

Crt. 2.1 Ako se materijalna taka kree, njene se koordinate mijenjaju u vremenu, tako da ona u

prostoru opisuje neku krivulju, ija je jednadba: ++= ktzjtyitxtr )()()()( (2.1) Putanja (trajektorija) je dakle skup svih taaka kroz koje prolazi materijalna taka

koja se kree, to je geometrijsko mjesto krajeva vektora r

(t) Dio putanje koji materijalna taka pree za odreeno vrijeme zove se put s.Put s je

jednak dijelu luka putanje AB.

Vektor , koji spaja taku A i B, zove se vektor pomaka materijalne take. Pomak je dakle promjena vektora poloaja.

= 12 rrr

Pomak r je vektor, put s je skalar. Oigledno rs . Jedino ako se taka kree

po pravcu stalno u istom smjeru, preeni put jednak je iznosu vektora pomaka. 2.2 Brzina materijalne take Kolinik promjene vektora poloaja r i intervala vremena t u kojem je ta promjena

nastala, zove se vektor srednje brzine:

trvsr =

Vektor je, dakle, vektor paralelan sa pomjeranjem

srv r

.

2

Da bi smo odredili trenutnu brzinu u momentu t kada se materijalna toka nalazi u poloaju A, pustimo da vremenski interval t tei nuli, to se matematiki moe izraziti u obliku:

=

=

=

rdtdr

tr

tv

0lim

Trenutna brzina jednaka je prvom izvodu vektora poloaja pokretne take po

vremenu. Prema tome, vektor trenutne brzine ima pravac tangente u datoj taki putanje uperen u smjeru kretanja toke.

v

v

U Descartesovom pravouglom sistemu brzina kao vektor ima tri komponente du osa: x, y i z.

v

kdtdzj

dtdyi

dtdx

dtrdv

rrrrr ++== S druge strane, vektor brzine moe se kao i svaki vektor rastaviti na komponente du

koordinatnih osa i proitati u obliku: v

kvjvivv zyxrrrr ++=

Usporeivanjem dobivamo:

;== x

dtdxvx yv dt

dyy

== ; == z

dtdzvz

2.3 Ubrzanje materijalne take Pri proizvoljnom kretanju take po putanji njen vektor brzine se mijenja. Promatrajmo

kretanje takeA po krivolinijskoj putanji crt. 2.2. Vektor promjene brzine koji se desio u intervalu vremena

vrt jednak je razlici vektora brzina u promatranim trenucima t i t tj. t+

= vvv 1

3

Crt. 2.2

Odnos vektora promjene brzine vr i vremenskog intervala t u kome je ta

promjena nastala zove se vektor srednjeg ubrzanja take A:

tsrva

=

S obzirom da je t skalarna veliina i vea od nule, vektor

asr ima isti pravac i smjer kao i vektor . Granina vrijednost ovog izraza zove se vektor trenutnog ubrzanja take A u trenutku vremena, tj.

v=

=

=

v

dtvd

tv

ta

0lim

Poto je vektor brzine v d rdt

= ,stavljanjem ove vrijednosti u jednadbu dobivamo: ..

2

2 == rdt

vdar

U pravokutnom koordinatnom sistemu ubrzanje kao vektor ima tri komponente du osa x, y i z.

a

++= k

dtzdj

dtydi

dtxda 2

2

2

2

2

2

S druge strane, vektor kao svaki vektor moe se predoiti kao a

++= kjia aaa zyx Usporeivanjem koeficijenata ispred istih jedininih vektora dobivamo:

4

..

2

2..

2

2..

2

2

,, zdt

zdydt

ydxdt

xd aaa zyx ====== Iznos vektora ubrzanja je:

aaa zyxa 222 ++= Ubrzanje je vektor koji ima isti pravac kao trenutna promjena brzine. Poto se pravac

brzine mijenja u smjeru savijanja putanje, ubrzanje je uvijek usmjereno u pravcu udubljenosti krivulje i u opem sluaju pravac ubrzanja nije ni tangenta niti normala na krivulju, ocrt. 2.3.

Crt.2 .3 Ubrzanje moemo rastaviti na dvije meusobno normalne komponente: na

tangencijalno ubrzanje u pravcu tangente i normalno u pravcu ubrzanja u pravcu normale. Tada je

ta na

+= nt aaa

Crt.2.4 Vektor ukupnog ubrzanja je po definiciji

tv

tv

tva t

t

n

tt +

==

limlimlim

000

5

Uzimajui u obzir da za RRt ,,0 , dobivamo = vvn i

Rs= .Tada su komponente ubrzanja:

00lim r

rrrdtvd

tv

a ttt

==

0

2

000limlim n

Rvn

ts

Rv

tv

at

n

tnrrrr =

==

Ukupno ubrzanje

aR

dvdt

v=

+

2 2 2

2.4 Vrste kinematikih kretanja Pojmovi vektora poloaja, brzine i ubrzanja i njihovi odnosi omoguuju potpuno

odreivanje kretanja materijalne take bez poznavanja uzroka toga kretanja. Kretanja materijalne take dijele se:

Prema obliku putanje na pravolinijska i krivolinijska kretanja Prema brzini kretanja na jednoliko i promjenljivo kretanje Prema ubrzanju na jednako ubrzana (odnosno usporena) i nejednako ubrzana

(usporena ) kretanja.

2.4.1 Jednoliko kretanje/gibanje du pravca Najjednostavnije kretanje je jednoliko kretanje/gibanje po pravcu. Za poznavanje

ovog gibana/jkretanja potrebno je definirati poloaj tog pravca u prostoru u odnosu na koordinatni sistem i odrediti zakon puta.

Poloaj pokretne toke A u svakom trenutku bie odreen jednadbom:

( )r r s t = +0 0 Ovo je vektorska jednadba pravolinijskog kretanja. Brzina ovog gibanja odreuje se

diferenciranjem ove jednadbe po vremenu tj.

=== 00 vdt

dsdt

rdv

. Prema gornjoj jednadbi vektor brzine v je stalan vektor po pravcu i smjeru, njegov iznos zavisi od promjene puta u toku vremena tj.

0

dtdsv =

Integriranjem dobivamo preeni put u toku vremena Cvts +=

6

Crt. 2.5 gdje je C konstanta integracije i odreuje se iz poetnih uvjeta. Na primjer, za t=0 neka je

s=so tada je i C=so pa e jednadba imati oblik

0svts += Na crt.2.6 dati su s-t i v-t dijagrami za jednoliko pravolinijsko kretanje.

Crt.2.6. 2.4.2 Pravolinijsko jednako ubrzano kretanje Mnoga ubrzana ili usporena kretanja/gibanja (ubrzanje ili koenje automobila, slobodni

pad itd.) moemo dobro aproksimirati ovim kretanjem. Kod ovog kretanja/gibanja vektori pomjeranja, brzine i tangencijalnog ubrzanja su istog smjera i pravca. Poto je

.constdtdva ==

Integriranjem gornje jednadbe dobivamo 1Catv +=

Neka je za t=0, v=vo tada je C1=vo pa jednadba dobiva oblik 0vatv +=

koja predstavlja zakon promjene brzine u toku kretanja take. Poto je brzina prvi izvod puta po vremenu gornju jednadbu moemo napisati u obliku:

0vatdtds +=

ili

+= dtvdtatds 0 odakle integriranjem dobivamo:

7

202

21 Ctvats ++=

Neka je za to t=0, s=so tada je C2=so pa prethodnu jednadbu moemo napisati u obliku:

02

21 stvats o ++=

Na crt. 2.7 grafiki su predoene funkcije puta, brzine i ubrzanja pravolinijskog jednako ubrzanog kretanja

Crt2.7 2.4.3 Kruno kretanje/gibanje Kada ubrzanje materijalne take nema isti pravac kao brzina, ve s brzinom zatvara

ugao razliit od nule, materijalna taka uvijek e se kretati po zakrivljenoj liniji. Primjer takvog kretanja je kruno kretanje/ gibanje.

Kretanje materijalne take po krunici je kretanje u ravni. Neka krunica lei u (x, y) ravnini Cartesijevog koordinatnog sustava (crt. 3.8).

Poloaj materijalne toke moemo opisati Cartesijevim koordinatama x i y ili polarnim koordinatama r i .

Kako je putanja krunica, iznos radijusa vektora r je konstantan, te se pri kretanju mijenja samo polarna koordinata .

8

Crt. 2.8 Veza izmeu Cartesijevih i polarnih koordinata materijalne take je:

sincos

ryrx

==

Kut/ugao se obino izraava u radijanima i jednak je koliniku luka s i puluprenika r

( )radrs= 03,571801 == rad

Iz ove relacije slijedi izraz za preeni put:

rs = Deriviranjem puta s po vremenu, dobiva se tzv. obodna (linearna) brzina v:

rdtdr

dtdsv ===

gdje je

dtd = ugaona/kutna brzina.

Jedinica za ugaonu/ kutnu brzinu je rad s-1 ili s-1, budui da dopunsku jedinicu rad

esto ne piemo. Kutna/ugaona brzina je vektor; iji je smjer na pravcu ose rotacije i odreen je

pravilom desne ruke. Ako prsti desne ruke slijede materijalnu toku, palac pokazuje smjer .

9

Crt. 2.9 Pravac ugaone/kutne brzine uvijek je okomit na ravninu kruenja. Obodna/periferna brzina v uvijek je okomita i na vektor r i na vektor (crt.2.9). Kut izmeu r i je

2, tj sin = 1 . Zbog toga moe se vektorski napisati kao:

= rv

ili

= rvr

Jednoliko kruno kretanje/gibanje je kruenje s konstantnom uganom brzinom:

.konstdtd ==

Integriranjem dobivamo

t += 0

gdje je ugao u momentu t = 0. 0

Za opisivanje jednolikog krunog kretanja korisno je definirati frekvenciju i vrijeme potrebno za jedan puni krug-period. Oito je za jednoliko kruno kretanje:

fTf 1,2 ==

Jednoliko kruno kretanje je zapravo ubrzano kretanje, jer se pri njemu stalno mijenja

smjer obodne/periferne brzine, crt. 2.10, iako joj iznos ostaje konstantan.

Iznos promjene brzine v

jednak je = vv . Podijelimo li obje strane ove relacije sa t uz granini prijelaz , dobivamo iznos za ubrzanje koja mijenja smjer brzine 0t

:

10

vt

vtva

ttr =

==

limlim 00 Ova akceleracija ima smjer prema sreditu krunice i zbog toga, zovemo je radijalna

(normalna) ili centripetalna akceleracija.

Crt. 2.10

Ako sa oznaimo jedinini radijus vektor usmjeren prema sreditu krunice, izraz za radijalnu akceleraciju moemo pisati vektorski:

0r

=== vrr

vrrar 02

02r

2.4.4 Nejednoliko kruno gibanje

Pri nejednolikom kruenju iznos obodne/periferne brzine nije vie konstantan ve se

mijenja s vremenom.

Zbog toga je ukupna akceleracija sastavljena od radijalne akceleracije i tangencijalne

akceleracije .

ra

ta

Radijalna komponente akceleracije je u smjeru r .

Tangencijalna komponenta akceleracije je u smjeru tangente. Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa periferne/obodne brzine: ( ) r

dtdr

dtrd

dtdvat ===

gdje je

11

22

dtd

dtd == ugaona/ kutna akceleracija (ubrzanje).

Jedinica ugaone/kutne akceleracije je rads-2. Ako ugaonu akceleraciju definiramo kao vektor iji je smjer okomit na ravan kruenja,

tada moemo napisati u vektorskom obliku:

= rat

Pri jednolikom kretanju po krunici odnosno.konst= = 0 te je i tangencijalna akceleracija nula.

Pri nejednolikom krunom kretanju postoji i radijalna i tangencijalna akceleracija.

Radijalna ima smjer , dakle prema sreditu krunice, dok je druga u smjeru tangente. 0r

One su okomite jedna na drugu pa ukupnu akceleraciju dobivamo kao a

+= rt aaa

Poseban sluaj nejednolikog krunog kretanja je kretanje s konstantom ugaonom

akceleracijom ( = konst . ). Zakone takvog kretanja moemo dobiti uzimajui u obzir da je = konst . i da je u

trenutku t=0, kut = 0 , a . Integrirajui izraz = 0 dtd = dobivamo:

=

0 0

t

dtd

odnosno

0 += t Integriranjem izraza ( )dttd 0 += dobivamo izraz za ugao/ kut:

( ) +=+=ttt

dttdtdttd0

000

0

0

odnosno

002

21 ++= tt

Ovi izrazi analogni su izrazima za pravolinijsko kretanje. Tablica pokazuje formalnu

analogiju meu formulama pravrolinijskog i krunog kretanja. Ako u formule pravolinijskog kretanja umjesto s, v i a uvrstimo ,, dobivamo formule krunog kretanja.

12

Pravolinijsko kretanje Kruno kretanje

20

2

002

0

2

2

221

vasv

stvats

svtsdt

sda

dtdsv

+=++=

+==

=

20

2

002

0

2

2

221

+=++=

+==

=

v

tts

tsdtddtd

13

8ELEKTROTEHNIKI FAKULTETSARAJEVO

INENJERSKA FIZIKA I --predavanja za 3. sedmicu nastave

MEHANIKA MATERIJALNE ESTICE

2.3.3 Kruno kretanje/gibanje

Kada ubrzanje materijalne take nema isti pravac kao brzina, ve s brzinom zatvaraugao razliit od nule, materijalna taka uvijek e se kretati po zakrivljenoj liniji. Primjertakvog kretanja je kruno kretanje/ gibanje.

Kretanje materijalne take po krunici je kretanje u ravni. Neka krunica lei u (x, y)ravnini Cartesijevog koordinatnog sustava (crt. 2.8).

Poloaj materijalne toke moemo opisati Cartesijevim koordinatama x i y ili polarnimkoordinatama r i .

Kako je putanja krunica, iznos radijusa vektora r je konstantan, te se pri kretanju mijenjasamo polarna koordinata .

Crt. 2.8

Veza izmeu Cartesijevih i polarnih koordinata materijalne take je:

sincos

ryrx

=

=

Kut/ugao se obino izraava u radijanima i jednak je koliniku luka s i puluprenika r

( )radrs

= 03,571801 ==

rad

Iz ove relacije slijedi izraz za preeni put:

9rs =

Deriviranjem puta s po vremenu, dobiva se tzv. obodna (linearna) brzina v:

r

dtdr

dtdsv ===

gdje je

dtd

= ugaona/kutna brzina.

Jedinica za ugaonu/ kutnu brzinu je rad s-1 ili s-1, budui da dopunsku jedinicu radesto ne piemo.

Kutna/ugaona brzina je vektor; iji je smjer na pravcu ose rotacije i odreen jepravilom desne ruke. Ako prsti desne ruke slijede materijalnu toku, palac pokazuje smjer .

Crt. 2.9

Pravac ugaone/kutne brzine uvijek je okomit na ravninu kruenja.

Obodna/periferna brzina v uvijek je okomita i na vektor r i na vektor (crt.2.9).

Kut izmeu r i je 2

, tj sin = 1 . Zbog toga moe se vektorski napisati kao:

= rv

ili

= rvr

Jednoliko kruno kretanje/gibanje je kruenje s konstantnom uganom brzinom:

.konstdtd

==

Integriranjem dobivamo

t += 0

10

gdje je 0 ugao u momentu t = 0.

Za opisivanje jednolikog krunog kretanja korisno je definirati frekvenciju i vrijemepotrebno za jedan puni krug-period. Oito je za jednoliko kruno kretanje:

fTf 1,2 ==

Jednoliko kruno kretanje je zapravo ubrzano kretanje, jer se pri njemu stalnomijenja smjer obodne/periferne brzine, crt. 2.10, iako joj iznos ostaje konstantan.

Iznos promjene brzine v

jednak je = vv . Podijelimo li obje strane ove relacijesa t uz granini prijelaz 0t , dobivamo iznos za ubrzanje koja mijenja smjer brzine

:

vt

vtva

ttr =

=

=

limlim

00

Ova akceleracija ima smjer prema sreditu krunice i zbog toga, zovemo je radijalna(normalna) ili centripetalna akceleracija.

Crt. 2.10

Ako sa

0r oznaimo jedinini radijus vektor usmjeren prema sreditu krunice, izraz zaradijalnu akceleraciju moemo pisati vektorski:

=== vrr

vrrar 02

02r

2.3.3 Nejednoliko kruno gibanje

Pri nejednolikom kruenju iznos obodne/periferne brzine nije vie konstantan ve semijenja s vremenom.

11

Zbog toga je ukupna akceleracija sastavljena od radijalne akceleracije

ra i tangencijalne

akceleracije

ta .

Radijalna komponente akceleracije je u smjeru

r .

Tangencijalna komponenta akceleracije je u smjeru tangente.

Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa periferne/obodne brzine:

( )

rdtdr

dtrd

dtdvat ===

gdje je

2

2

dtd

dtd

== ugaona/ kutna akceleracija (ubrzanje).

Jedinica ugaone/kutne akceleracije je rad s-2.

Ako ugaonu akceleraciju definiramo kao vektor iji je smjer okomit na ravan kruenja,tada moemo napisati u vektorskom obliku:

= rat

Pri jednolikom kretanju po krunici .konst=

odnosno = 0 te je i tangencijalnaakceleracija nula.

Pri nejednolikom krunom kretanju postoji i radijalna i tangencijalna akceleracija.

Radijalna ima smjer

0r , dakle prema sreditu krunice, dok je druga u smjeru tangente.

One su okomite jedna na drugu pa ukupnu akceleraciju

a dobivamo kao

+= rt aaa

Poseban sluaj nejednolikog krunog kretanja je kretanje s konstantom ugaonomakceleracijom ( = konst.).

Zakone takvog kretanja moemo dobiti uzimajui u obzir da je = konst. i da je utrenutku t=0, kut = 0 , a = 0 . Integrirajui izraz dtd = dobivamo:

=

0 0

t

dtd

12

odnosno

0 += t

Integriranjem izraza ( )dttd 0 += dobivamo izraz za ugao/ kut:( ) +=+= ttt dttdtdttd

00

000

0

odnosno

002

21 ++= tt

Ovi izrazi analogni su izrazima za pravolinijsko kretanje. Tablica pokazuje formalnuanalogiju meu formulama pravrolinijskog i krunog kretanja. Ako u formule pravolinijskogkretanja umjesto s, v i a uvrstimo ,, dobivamo formule krunog kretanja.

Pravolinijsko kretanje Kruno kretanje

20

2

002

0

2

2

221

vasv

stvats

svtsdt

sda

dtdsv

+=

++=

+=

=

=

20

2

002

0

2

2

221

+=

++=

+=

=

=

v

tts

tsdtddtd

3. DINAMIKA ESTICE

3.1. Uvod

U kinematici smo prouavali zakone kretanja bez obzira na uzroke koji su to kretanjeproizveli. Sada emo prouiti dinamiku koja razmatra fizikalne uzroke kretanja

Osnova dinamike su tri Newtonova asksioma/zakona koje je jo 1686. formuliraoengleski fiziar Isaac Newton. Iz tih aksioma moe se izgraditi tzv. klasina ili Newtonovamehanika.

Newtonova mehanika izvrsno opisuje makroskopske pojave, dakle tijela dimenzijaveih od atoma i molekula, te brzine mnogo manje od brzine svjetlosti.

13

Za opisivanje mikrosvijeta (atoma i molekula) moraju se primjeniti zakoni kvantnemehanike, a za velike brzine upotrebljavaju se zakoni relativistike mehanike(Einsteinovateorija relativnosti).

Osnovne fizikalne veliine dinamike su sila i masa.U fizici silu opisujemo pomou njenog djelovanje. Fizika veliina kojom se mjere interakcije izmeu tijela naziva se sila. Djelovanje sile moe biti dvojako:

sila moe ubrzati ili usporiti neko tijelo; tj. promjeniti mu stanje kretanja, sila moe promjeniti oblik tijela (deformacija).

U dinamici se prouava samo prvo djelovanje sila, tj. sila kao uzrok promjene stanjakretanja nekog tijela.

Danas je poznato da postoje etiri osnovna tipa meudjelovanja meu esticama(molekulama, atomima, te elementarnim esticama). To su gravitacijska sila,elektromagnetska sila, sila slabe interakcije i sila jake interakcije.

Gravitacijska sila djeluje izmeu tijela po Newtonovom zakonu gravitacije:

= 0221 rF

rmm

gdje su m1 i m2 mase tijela koje meudjeluju a r, rastojanje izmeu centara masa tih

tijela, 22111067,6 = kgNm gravitacijska konstanta, r0

jedinini vektor. Intenzitetgravitacijskih sila srazmjeran je masama tijela a opada sa kvadratom rastojanja izmeu njih,usljed toga ove sile dolaze do izraaja kod tijela velikih masa, kao to su nebeska tijela, idjeluju na velikim rastojanjima.

Elektromagnetne sile potiu usljed meudjelovanja naelektrisanih tijela. Ukoliko sunaelektrisanja u relativnom mirovanju, interakcija je izraena tzv. Coulombovom silom

= 0221

041 rF

rqq

gdje su q1 i q2 naelektrisanja a r-rastojanje izmeu centara tih naelektrisanja,112

0 1085,8

= Fm dielektrina konstanta vakuuma.Ukoliko se naelektrisanje kree u mangetnom polju B, na njega djeluje magnetna sila:

( )BvqF rr = gdje je v

brzina naelektrisanja, q naboj a B

magnetska indukcija. Ako osim mangetskog,na naboj djeluje i elektrino polje, ukupna elektromagnetska (Lorentzova) sila je vektorskizbor elektrine i magnetske sile:

F qE q v x B

= +

Meudjelovanje izmeu molekula, atoma kao i sile unutar atoma su elektromagnetskeprirode, koje dolaze do izraaja na relativno malim rastojanjima. Intenzitet elektromagnetskihinterakcija je mnogo puta vei od intenziteta gravitacijskih.

Nuklearne sile djeluju izmeu estica atomskog jezgra bez obzira na njihovonaelektrisanje. Nuklearne sile djeluju na malim rastojanjima, oko 10-15 m i velikog suintenziteta, veeg i od elektromagnetskog.

14

Masa je svojstvo svakog tijela koje odreuje njegovo ponaanje pri djelovanju sile: to jemasa tijela vea ono je tromije (intertnije), to ga je tee ubrzati ili usporiti, tj. promjeniti mustanje kretanja. Masa je mjera tromosti (inercije) tijela. Kvantitativna mjera za inercijupredstavlja fizikalnu veliinu koja se zove masa. Ova fizikalna veliina odreuje inertna igravitacijska svojstva tijela.

.

3.2. Prvi Newtonov aksiom/zakon

Jo je Galilei uoio da tijelo na koje ne djeluju vanjske sile ostaje na miru ili se kreejednoliko po pravcu. Da pokrenemo tijelo koje miruje potrebna je odreena sila; takoer,tijelo koje se kree jednoliko po pravcu ostat e u tom stanju kretanja sve dok na njega nedjeluje neka vanjska sila

.

. Svojstvo tijela da odrava svoje stanje kretanja/kretanja ili mirovanja zovemo, tromost iliinercija. ustrajnost

Prouavajui Galileieva razmatranja, doao je Newton do svojeg prvog zakona/aksiomaSvako e tijelo ostati u stanju mirovanja ili jednolikog kretanja po pravcu svedok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne promijeni.

Prvi Newtonov aksiom se esto zove i princip inercije.

Poloaj tijela odreujemo s obzirom na neko drugo tijelo (okolinu) izborom referentnogsistema/sustava. Prvi Newtonov zakon ne vai u svakom referentnom sistemu.

Sistemi u kojima vai prvi Newtonov aksiom su inercijalni sistemi/ sustavi;prihvaanjem ovog aksioma ograniili smo se na opisivanje pojava u inercijalnimsustavima.

Svaki sistem koji miruje ili se kree jednoliko po pravcu s obzirom na neki inercijalnisistem opet je inercijalni sistem

. Mirovanje i jednoliko kretanje po pravcu ravnopravni su. Tijelo koje u jednominercijalnom sistemu miruje u drugom inercijalnom sistemu moe mirovati ili se kretatiijednoliko po pravcu.

3.3. Drugi Newtonov aksiom/zakon

Drugi aksiom opisuje kako se ponaa tijelo kad na njega djeluje odreena vanjska sila F.Iz iskustva je poznato, a i brojni pokusi mogu potvrditi, da je akceleracija tijela

proporcionalna sili i ima smjer sile. Konstanta proporcionalnosti izmeu sile i akceleracije jemasa tijela m:

F m a

= (3.1)Masa je mjera za inerciju (tromost) tijela: to je masa tijela vea, to je za isto ubrzanje

potrebna vea sila. Masa koja se pojavljuje u gornjoj relaciji naziva se, upravo zbog togsvojstva, tromom masom tijela.

Ovu vezu izmeu sile, mase i akceleracije zovemo drugi Newtonov zakon unerelativistikom obliku ili jednadba kretanja.

Napisan u ovom obliku 2. Newtonov aksiom vrijedi u granicama valjanosti Newtonovemehanike, tj. za brzine mnogo manje od brzine svjetlosti i zato se i zove nerelativistiki.

Pomou gornje jednadbe moemo izvesti jedinicu za silu[ ] [ ][ ]F m a kg ms kg ms N= = = = 1 1 1 12 2

15

Jedinica za silu je dakle 1 njutn (N). 1N je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od1 m/s2.

Da bismo openito formilirali 2. Newtonov aksiom, potrebno je definirati koliinukretanja/kretanja tijela (impuls tijela). To je vektorska veliina jednaka produktu mase ibrzine:

p m v

= (3.2)

Newtonova formulacija drugog aksioma/zakona glasi:Brzina promjene koliine kretanja/kretanja proporcionalna je sili i zbiva se upravcu te sile:

Fddt

m vd pdt

=

= (3.3)

Ovako napisan 2. Newtonov aksiom vrijedi i za velike brzine (uporedive s brzinomsvjetlosti); zato se formula (3.3) esto zove relativistiki oblik drugog Newtonovogaksioma. Formula (3.3.) prelazi u (3.1.) u sluaju kad su brzine tijela malene u usporedbi sbrzinom svjetlosti (v

16

3.3. Trei Newtonov aksiom/zakon

U prvom i drugom Newtonovom aksiomu govori se o sili ili silama koje djeluju naodreeno tijelo, ne vodei rauna o izvorima tih sila. Poto sila u krajnjem sluajukarakterizira interakciju dva tijela, njihova uloga pri interakciji se definira

treim Newtonovim zakonom/aksiomom koji glasi:

Svakom djelovanju (akciji) uvijek je suprotno i jednako protudjelovanje(reakcija). Djelovanja dvaju tijela jednog na drugo uvijek su jednaka i protivnogsmjera.

Trei Newtonov aksiom kao i prva dva potie iz uoptavanja eksperimentalnih injenica.

Na primjer, ako tijelo A (Zemlja) mase mA djeluje na tijelo B(kamen) mase mB, silom F BA

crt. 3.1., onda e i tijelo B djelovati na tijelo A silom F AB

. Ove sile su jednake po iznosu ipravcu a suprotnog su smjera, pa se moe napisati:

F FBA AB

=

(3.7)

(Jedna od ovih sila, recimo F BA

, zove se akcija i njena napadana toka je u tijelu B

(kamenu), odnosno sila F BA

napada tijelo B. Druga sila tj. F AB

zove se reakcija, njenanapadna toka je u tijelu A Zemlji) koje napada. Koju, od pomenutih sila, emo nazvatiakcijom a koju reakcijom sa fizikog stanovita je sasvim svejedno, jer su obe bile iste

prirode. Pod dejstvom sila F BA

i F AB

, respektivno tijelo B i tijelo A mogu promjeniti stanjekretanja (dinamiko djelovanje sile) ili pak izvriti kakvu deformaciju svog oblika (statikodjejstvo sila).

Crt. 3.1.Karakteristike kretanja tijela pod djelovanjem sile odreene su drugim Newtonovim

aksiomom po kojem, u naem primjeru, tijela dobivaju ubrzanja:

aF

mb

BA

B

= i a Fm

AAB

A

=

dakle prema jednadbi (3.7) dobivamo:;

m a m aB B A A

= ili a mm

aBA

BA

=

odnosno

17

a aAB

AB

m

m

= (3.8)

Dakle, oba tijela mijenjaju stanje kretanja/kretanja (dobivaju ubrzanja) zbog uzajamnogdjelovanja, samo je ta promjena, prema jednadbi (3.8) obrnuto proporcionalna masi tijela.

djelovati na stol silom Q

iji je pravac vertikalan a smjer na nie (ka centru Zemlje).

Napadna taka sile Q

e se nalaziti na stolu. S druge strane, stol e djelovati na uteg silom R

iji je pravac i iznos isti kao kodNa osnovu razmatranja sva tri Newtonova aksioma kao jedinstvene cjeline, za inercijalne

sustave moe se zakljuiti slijedee: svako ubrzanje tijela uvjetovano je nekom silom.Svaka sila je mjera djelovanja nekih drugih tijela na uoeno tijelo i na kraju, sile imajukarakter uzajamnog djelovanja.

Aksiome koje je formulirao Newton predstavljaju uoptavanje iskustvenih injenica kojesu bile poznate i prije njega. Newtono-zasluga je u tome to je on pokazao da se svamehanika kretanja mogu opisati pomou pomenuta tri aksioma, uzetih kao osnova mehanike,pa se esto ta mehanika zove i Newtonova mehanika.

18

ELEKTROTEHNIKI FAKULTETSARAJEVO

INENJERSKA FIZIKA I --predavanja za 5. sedmicu nastave--

3. DINAMIKA ESTICE

3.5. Diferencijalna jednadba kretanja

Prvi i drugi Newtonov aksiom odreuju odnose izmeu kinematike veliine ubrzanja i dinamikihveliina, mase tijela i rezultujue sile koja djeluje na njega, tj.

d rdt

F

m

2

2

= (3.9) Ovoj vektorskoj jednadbi

odgovaraju tri skalarne jednadbe u pravouglom koordinatnom sistemud xdt

F

m

x2

2= ; d y

dt

F

m

y2

2= ; d z

dtF

m

z2

2= (3.10)

Iz eksperimentalnih prouavanja djelovanja neke sile na odreeno tijelo, mase m, relativnog vektora

poloaja r

i brzine v

, ustanovljeno je da u opem sluaju sile interakcije dva tijela zavise odrelativnog poloaja i brzine oba tijela, po nekom odreenom zakonu, koji se moe izrazitimatematikom funkcijom u obliku:

F F r v t

=

, , (3.11)

S obzirom na jednadbu (3.11) drugi Newtonov aksiom moemo izraziti u obliku:

md rdt

F r v t2

2

=

, , (3.12) ili

F md xdt

i d ydt

j d zdt

k

= + +

2

2

2

2

2

2 (3.13)

Ako su poznati: rezultantna sila F F r v t

=

, , koja djeluje na tijelo i njegov poetni poloaj i brzina

(poetni uvjeti), onda se zadaa dinamike sastoji u odreivanju kretanja tijela pod djelovanjempomenute sile.

3.5.1. Pravolinijsko kretanje materijalne toke pod djelovanjem konstantnesile

Ako se materijalna taka kree du jednog pravca, kae se da je kretanje pravolinijsko. To moe dabude i jedna od osa pravokutnog koordinatnog sustava, na primjer x-osa. Diferencijalna jednadba pravolinijskog kretanja materijalne toke po x-osi, na osnovu jednadbi(3.12) bie:

19

md xdt

F xdxdt

t2

2=

, , (3.14) Kod ovog kretanja, sila F

i

poetni parametri xo i vox moraju imati stalan pravac, i to x-ose.Kao primjer ovakvog kretanja uzima se slobodni pad materijalne toke ili vertikalni hitac uvakuumu pod djelovanjem sile tee, koja se moe smatrati da je konstantna na malim rastojanjima uodnosu na poluprenik Zemlje. Komponente sile tee prema crt. 3.2. su: Fx = mg, Fy = Fz = 0.

Crt. 3.2.Diferencijalna jednadba kretanja u ovom sluaju prema (3.14) je:

md xdt

mg const2

2= = (3.15)

odakle,ddt

dxdt

g

=

Integriranjem dobivamodxdt

gt C= + 1 (3.16)

gdje je C1 integraciona konstanta koja se odreuje iz poetnih uvjeta kretanja. Ponovnim integriranjemdobivamo,

x gt C t C= + +12

21 2 (3.17)

gdje je C2 nova integraciona konstanta.

Jednadba (3.17) je ope rjeenje diferencijalne jednadbe kretanja materijalne toke pod djelovanjemsile tee. Prema veliini poetne brzine razlikuju se tri sluaja ovog pravolinijskog kretanja: slobodnipad,hitac u vis i hitac na dolje.

Slobodni pad.

Pri slobodnom padu materijalna toka poinje kretanje bez poetne brzine, tj. za t = 0, vx (0) = 0 i x(0)= xo. Za ove poetne uvjete dobivamo da je C1 = 0 i C2 = xo, pa imamo:

xvdxdt

gt= = i x gt x y z= + = =12

0 02 0, , (3.18)

odnosno( )v g x x gsx = =2 20 (3.19)

20

Hitac u vis se dobiva iz jednadbe (3.17) pri poetnim uvjetima: za t =0, ( )v v0 0= i x(0) = 0, toznai da se materijalna toka kree suprotnom brzinom vo u odnosu na x-osu. Za ove poetne uvjete izjednadbe (3.16) dobivamo C1 = -vo a iz jednadbe (3.17) C2 = 0 pa jednadba brzine i puta hitca u visimaju oblik:

vdxdt

gt vx = = 0

i

x gt v t y z= = =12

02 0 , (3.20)

Hitac na dolje.Kod hitca na dolje materijalna toka polazi iz toke A poetnnom brzinom vo, usmjerenom na dolje, usmjeru ose-x. Za ove poetne uvjete, t=0, vx(0) = vo i x(0) = xo, dobivamo da je C1 = vo i C2 = xo.Brzina i preeni put kod hitca na dolje moe se izraziti kao:

vdxdt

gt vx = = + 0

i

x gt v t x= + +12

20 0 (3.21)

3.5.2. Kretanje materijalne toke po djelovanjem sile oblika ( )F F v =Kao primjer za ovo kretanje, promatrajmo kretanje materijalne toke kroz neku otpornu sredinu.Prema eksperimentalnim podacima svaka sredina prua otpor izraen kao sila otpora pri kretanjunekog tijela kroz nju. Sila otpora zavisi od fizikih svojstava sredine, brzine kretanja i dimenzijaestice. Ako su dimenzije i brzina estice male, tada je sila otpora sredine proporcionalna brzinikretanja estice, tj.

F k v

= 1 (3.22)

Znak minus oznaava da je sila suprotnog smjera, prema brzini estice, a broj k1 > 0, zavisi odsvojstava sredine i dimenzija estice. Na primjer, za kuglicu poluprenika r, sila otpora po Stokesu

F rv

= 6 , gdje je - koeficijent viskozne sredine.Razmotrimo kretanje materijalne toke poetne brzine vo u pravcu i smjeru x-ose u otpornoj sredinikoeficijenta k1, crt. 3.3

Crt. 3.3

Jednadba kretanja materijalne toke za ovaj sluaj je:

md xdt

k vx2

2 1= (3.23)

ili

21

dvdt

k vm

vx x x= = 1 (3.24)

gdje je

=km

1

Razdvajanjem promjenljivih i integriranjem, dobivamo:dvv

dtxx

= odnosnolnv t Cx = + 1 (3.25)Poto je iz poetnih uvjeta za t=0, vx(0) = vo, onda dobivamo da je C1 = 1n vo, pa slijediv v ex

t=

0 (3.26)

Kako je >0, onda je e t

22

md xdt

eE t2

2 0= cos (3.32)

odnosnoddt

dxdt

eE

mt

= 0 cos (3.33)

Integriranjem dobivamo:dxdt

veE

mtdt

eE

mt Cx= = = +0 0 1cos sin

(3.34)

Ponovnim integriranjem dobivamo izraz za put:

xeE

mt C t C= + +02 1 2

cos (3.35)

Koristei poetne uvjete dobit emo jednadbe brzine i puta, kretanja naelektrisane estice u obliku:

veE

mt vx x= +

00

sin i (3.36)

( )x eEm

t x t xx= + +02 0 01

cos (3.37)

Crt. 3.4.

3.6. Kretanje estice u homogenom gravitacijskom polju

Ograniimo naa razmatranja na podruje laboratorije, koje je maleno u usporedbi s veliinom Zemlje,pa moemo s dobrom tanou uzeti da je gravitacijska sila na esticu svugdje ista po iznosu i ima istismjer na dolje. Ubrzanje nanie zbog te sile dano je lokalnom vrijednou ubrzanja (obino se uzima

g ms

981 2, ) pa sila na esticu iznosi mg. Tu silu piemo vektorski F mg j

= gdje su x, y i z osi

odabrane kao na crt. 3.5.Ako moemo zanemaritidruge sile kao to je trenje, onda iz drugog Newtonovog zakona dobivamojednadbu kretanja:

md xdt

i d ydt

j d zdt

k mg j2

2

2

2

2

2

+ +

= (3.38)

Odgovarajue skalarne jednadbe po komponentama dobivamo isputanjem jedininih vektora:

md xdt

md ydt

mg md zdt

2

2

2

2

2

20 0= = =, , (3.39)

23

Crt. 3.5.

Integracijom (3.39) dobivamo:dxdt

v Cdydt

v gt Cdzdt

v Cx y z= = = = + = =1 2 3, , (3.40)

Iz poetnih uvjeta kretanja, stavljanjem t = 0) dobivamo:C v v C v v C vx y z1 0 0 2 0 0 3 0 0= = = = = =cos , sin ,

Ponovnom integracijom (3.30) dobivamo:dxdt

v= 0 cos ,odavde slijedi, x v t C= +0 4cos

dydt

v gt= 0 sin , odavde slijedi, y v tgt

C= +02

52sin (3.41)

dzdt

= 0 , odavde slijedi,z=C6

Iz poetnih uvjeta kretanja, stavljanjem t=0 u jednadbe (3.41) dobivamo:C3=x0,C5=y0,C6=0Zamjenom vrijednosti integracionih konstanti u jednadbe (3.40) i (3.41) dobivamo jednadbe brzine iputa u ovisnosti od vremena kod promatranog kretanja:v vx = 0 cos

v v gty = 0 sin (3.42)vz=0ix v t x= +0 0cos

y v tgt

y= +02

02sin (3.43)

z=0Eliminiranjem vremena t iz jednadbi (3.43) dobivamo jednadbu putanje kosog hitca:

( ) ( )y y tg x x gv

x xoo

= +

0 2 2 02

2 cos(3.44)

Ako su vo, g i - zadane konstante, jednadba (3.33) predstavlja parabolu, crt. 3.5 Njeno tjemeodreeno je maksimumom funkcije, pa dobivamo:

24

( )dydx

tgg

x xv

= =0

2 2 00

cos(3.45)

pa e koordinate tjemena biti:

xg

xTv

= +02

022sin , y

gyv0

02

202

= +sin (3.46)

Rastojanje D = xd - xo naziva se domet kosog hitca i dobija se iz uvjeta y = yo, prema jednadbi(3.46) imamo,

D tgg g

v v= =

2 202 2

02cos sin (3.47)

3.7. Kretanje naelektrisane estice u homogenom elektrinom polju

Jednadba kretanja za naboj q i masu m u elektrinom polju E

, koje je homogeno u prostoru istalno u vremenu glasi

F m a qE

= = (3.48)

gdje je q naboj estice, E

vektor elektrinog polja. Iz (3.48) dobivamo:

ad rdt

qmE

= =

2

2 (3.49)

Integriranjem po vremenu i

koristei poetne uvjete, za t=0 ,v v

= 0 i r r

= 0 , dobivamo

rqEmt v t r

= + +2

20 0 (3.50)

Kao primjer za kretanje nelektrisane estice uzmimo, kretanje protona u smjeru polja, crt. 3.6. Nabojprotona je ( )+ e C16 10 19, . Brzinu protona moemo dobiti iz relacije (3.49) integriranjemd rdt

e

mE t v

= + 0

odnosno

( )v t emE t vx x x= + 0

v vx x= = 0

Crt. 3.6

25

Drugi primjer za kretanje naelektrisane estice uzmimo, kretanje elektrona brzinom v0

okomito na

elektrino polje E

, crt. 3.7

Crt. 3.7.

Sila koja djeluje na elektron F eE

= , odnosno Ey=-eE

Prema jednadbi (3.50) moemo napisati skalarne jednadbe kretanja elektrona u homogenomelektrinom polju: x=v0xt+x0

yat

v t yy= + +2

0 02

Na osnovu drugog Newtonovog aksioma dobivamo ubrzanje elektrona

m a eE

=

za ploasti kondezator E Ud

= , gdje je U napon na krajevima kondenzatora, a d razmak, dobivamo

vrijednost ubrzanja

aeUmdy

=

Uvrtavanjem poetnih uvjeta dobivamo:x=v0t

yeE

mt=

22

Konano jednadba kretanja elektrona je dio parabole

yeU

mdx

v=

2 02

2 (3.51)

Usluaju protona mijenja se smjer ubrzanja a time i oblik parabole.

3.8. Kretanje naelektrisane estice u homogenom magnetskom polju

Jednadba kretanja naelektrisane estice mase m i naboja q u stalnom magnetskom polju B

,prema jednadbi (3.4) glasi

26

md rdt

md vdt

q v xB2

2

= =

(3.42)

Neka je magnetsko polje usmjereno du osi z, (crt. 3.8) B B kz

=

Crt. 3.8

Na osnovu pravila za vektorski proizvod

v xB

i j kv v v

B B Bx y z

x z z

= (3.53)

odnosno

( ) ( ) ( )v xB v B v B i v B v B j v B v B ky z z y z x x z x y y x = + + Koristei poetne uvjete Bx=By=0 i vz=0, dobivamo:

v B i v B j m v i m v j m v ky z x z x y z

= + +

pa jednadba (3.52) prelazi u sistem jednadbi

vqmv Bx y z

= ,v qmv By x z

= ,vz

= 0 (3.54)

Potraimo rjeenja jednadbi kretanja (3.54) u obliku:

( )v t v tx = 1sin , ( )v t v ty = 1cos ,vz=const. (3.55)To je kruno kretanje gledano u ravni xy. Budui da je

v v tx

= 1cos ,v v ty

= 1sin

jednadbe (3.54) postaju

v t vqBm

tz1 1cos cos= , = v tqBm

v tz1 1sin sin

Ove jednadbe e biti zadovoljene ako je

27

= qBm

zc (3.56)

Ovaj izraz definira ciklotronski frekvenciju c kao frekvenciju kretanja estice u magnetskompolju. Bilo koja vrijednost za v1 zadovoljavat e jednadbe, ali emo vidjeti da je v1 u vezi sapoluprenikom krune staze.

Do cikolotronske frekvencije moemo doi i na mnogo jednostavniji nain. Centripetalno ubzranje(radijalno) u ovom primjeru potie od magnetske sile q v1Bz koja ima smjer prema sreditu rotacije. Budui da je v rc1 = , centrifugalno ubrzanje iznosi

12

vr

ili c r2

.

Izjednaavanjem centrifugalne i centripetalne sile dobivamo:qv B m r m vz c c1

21= =

gdje je

czqB

m=

a poluprenik/ polumjer krunice

rmv

qBz=

1 (3.57)

Kao primjer kretanja naelektrisane estice u magnetskom polju, moe posluiti, putanja elektrona umagnetskom polju snimljena u laboratoriji (vodikova komora na mjehurie). Elektron je uao udonjem desnom kutu, slika 3.1. On se usporava gubljenjem energije na jonizaciju vodikovih molekula.Stoga polumjer zakrivljenosti njegove staze u magnetskom polju opada, pa nastaje ovakva spirala

Slika 3.1.

4.9 Impuls sile i koliina kretanja (impuls)Pretpostavimo da na tijelo djeluje stalna sila F

u odreenom vremenskom intervalu t; kaemo da je

pri tom tijelo dobilo impuls sile F t

(crt. 3.9)

28

Impuls sile je dakle produkt sile i vremenskog intervala u kojem ta sila djeluje. Impuls sile I

jevektorska veliina i ima smjer sile:

I F t

= (3.58)

Crt. 3.9

Ako sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls naemo tako da vremenski intervalpodjelimo na mnogo malenih intervala. U svakom intervalu impuls je priblino jednak produktu sile ivremenskog intervala, jer se sila za tako maleni vremenski interval bitno ne promijeni. Ukupni impulsjednak je zbroju svih tih impulsa. Tonu vrijednost impulsa sile dobivamo uzimanjem graninevrijednosti tog izraza:

( )I F t F tdtt o

it

t

i

= =

lim1

2

(3.59)

Impuls sile jednak je integralu sile po vremenu u kojem ta sila djeluje, odnosno, grafiki, povriniispod krivulje F(t).Impuls sile mijenja koliinu kretanja tijela na koje sila djeluje.Primjenom 2. Newtonovog zakona izvest emo vezu izmeu impulsa sile i koliine kretanja tijela nakoje sila djeluje. Prema Newtnovom aksiomu sila je jednaka brzini promjene koliine kretanja:

Fd pdt

ddt

m v

= =

(3.60)

Za kratko vrijeme dt tijelo e dobiti impuls sile:

F dt d p

=

dok e u vremenskom intervalu t izmeu t1 i t2 primljeni impuls sile biti jednak:

F dt d p p p m v vp

p

t

t = = =

2 1 2 1

1

2

1

2

(3.61)

Relacija (3.61) daje vezu izmeu impulsa sile i koliine kretanja: impuls sile jednak je promjenikoliine kretanja tijela na koje ta sila djeluje.Ako je tijelo u poetku (prije djelovanja sile) mirovalo, tada je impuls sile jednak dobivenoj koliinikretanja.Impuls sile i koliina kretanja nisu identini pojmovi. Koliina kretanja je osobina tijela koje segiba, to je produkt njegove mase i brzine, dok je impuls sile utjecaj sile, tj. okoline napromatrano tijelo.

ELEKTROTEHNIKI FAKULTET SARAJEVO INENJERSKA FIZIKA I Predavanja za 6. sedmicu nastave 5. ZAKONI OUVANJA U PRIRODI 5.1. Uvod U prirodi postoje nekoliko zakona odranja, neki su od njih toni, a neki priblini. Zakoni ouvanja su obino posljedica odreene temeljne simetrije svemira. Postoje zakoni ouvanja koji se odnose na energiju, impuls, moment impulsa, naboj, broj bariona (protona, neutrona i teih elementarnih estica), stranost (engl. strangeness, novi kvantni broj) i razliite druge veliine. Zakoni ouvanja imaju niz prednosti u odnosu na Newtonove aksiome, koji imaju ogranienu vanost. Spomenimo neke od tih prednosti:

Zakoni ouvanja ne ovise od oblika putanje, niti od karakteristika sila koje djeluju u nekom prirodnom procesu, pa je zbog toga, iz njih mogue dobiti openitiji i precizniji zakljuak o tom procesu, nego iz diferencijalnih jednadbi gibanja.

Poto zakoni ouvanja ne ovise od karakteristika sila, oni se mogu primijeniti i na one

prirodne pojave ije sile nisu poznate. Na primjer u fizici elementarnih estica. Dakle, zakon ouvanja ustanovljava da neka fizika veliina u jednom momentu i jednom poloaju mora biti jednaka vrijednosti te veliine u drugom momentu i poloaju. to se odigrava izmeu tih trenutaka? Kako je tekao proces? Na osnovu zakona ouvanja ne moe se dobiti odgovor. Ukoliko je taj odgovor neophodan moramo se uputiti na jednadbe gibanja.

Zakoni ouvanja su invarijantni na transformacije koordinata pa se najee primjenjuju

za objanjenje novootkrivenih prirodnih pojava. I kad su sile potpuno poznate, zakoni ouvanja mogu nam uveliko pomoi pri rjeavanju gibanja estica. Najprije upotrijebimo odgovarajue zakone ouvanja, jedan po jedan, a tek nakon toga, ako je ostalo neto nerijeeno, prilazimo rjeavanju diferencijalnih jednadbi, varijacionih postupaka, kompjutera itd.

Na osnovu izloenog moe se zakljuiti da se mehanika moe postaviti i drugaije nego to je to uinio Newton. Postoji analitika mehanika u kojoj osnovnu ulogu igraju fizikalne veliine energija i impuls. Takva je na primjer mehanika Hamiltona i Lagrangea. Poslije saznanja o ogranienosti Newtona mehanike i prednostima analitike mehanike, koja poiva na zakonima odranja energije i impulsa, pitanje je zato se ne koristimo ovom drugom koja je openitija. Postoji vie razloga. Pojmovi energije i impulsa su sloeniji od pojmova i sile ubrzanja, a takoer i matematiki aparat je sloeniji od aparata u Newtonovoj vektorskoj mehanici. 5.2. Rad i energija 5.2.1. Rad sile

Pomjeranje materijalne toke po nekom pravolinijskom putu pod djelovanjem sile s F

r u mehanici

se naziva radom. Rad sile se odreuje sa skalarnim produktom sile i rastojanja po kome se pomjerala materijalna toka, tj.

36

cos,cos FssFFssFW =

== (5.1)

Rad je pozitivan ako sila Fr

i rastojanje zaklapaju otar kut,s

2 < . Sila ne vri rad kada sa

pomjeranjem zaklapa prav kut 2 = ili ako se estica ne pomjera =0. Sila vri negativan rad ako

sa pravcem vektora zaklapa tup kut

s

s

2 > , crt. 5.1.

Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja , a pomjeranje se vri du

proizvoljne krivulje, onda se ukupni rad sile u prvoj aproksimaciji moe izraziti kao zbroj elementarnih radova uinjenih na konanom broju pravolinijskih dijelova

= sFF

is , na koje je podijeljeno pomjeranje :

s

= =

=

==n

i

n

iiiiiii

n

ii sFsFsFWW

1 11,cos (5.2)

gdje je Fi srednja konstantna vrijednost sile na i-tom podioku pomjeranja is , a n- broj tih podioka.

Crt. 5.1. Prava vrijednost izvrenog rada dobiva se iz jednadbe (5.2) kao granini sluaj kad a

, pa imamo: 0 is

n

= == sdFsFWs

sii

n

is

2

110

lim

Rad je jednak integralu projekcije sile F Fs = cos i pomaka ds. Ako je poetna i krajnja toka putanje zadana vektorima poloaja r1 i r2, rad se definira izrazom:

= rdFWr

r

2

1

(5.3)

gdje je elementarni pomak. = sdrd

Jedinica za rad je jedan dul (u ast engleskog fiziara P. Joule, 1818-1889), oznaka J. Prema definiciji 1J=1Nm=1kgm2s-2 5.2.2. Energija

37

Energija je sposobnost vrenja rada: to tijelo ima veu energiju, to je mogue od njega dobiti vei rad. Kad tijelo vri rad, energija mu se smanjuje, i obrnuto: ako okolina vri rad na tijelu, energija mu se poveava. Rad lako prelazi u energiju i obratno. Jedinica rada i energije je identina (1J ) Postoji vie oblika energije: mehanika, elektromagnetska, kemijska, termika, nuklearna itd. Energija moe prelaziti iz jednog oblika u drugi. Mehanika energija pojavljuje se u dva oblika: kinetika i potencijalna energija. Kinetika energija uzrokovana je kretanjem, a potencijalna poloajem tijela.

Kinetika energija. Neka sila ubrzava tijelo na nekom putu. Izraunajmo rad potreban za ubrzanje tijela od poetne brzine v1 do konane brzine v2:

F

====2

1

2

1

2

1

2

1

s

s

v

v

v

v

s

s

vdvmdtvdt

vdmsddt

vdmsdFW odnosno nakon integriranja:

21

22 2

121 mvmvW =

Veliinu

kEmv =221

(5.4)

nazivamo kinetika energija tijela mase m i brzine v2. Tijelu, koje je na poetku imalo kinetiku

energiju 2

21

1mvEk = , obavljenim radom poveali smo kinetiku energiju na konanu vrijednost

2

22

2mvEk = . Promjena kinetike energije jednaka je, dakle, izvrenom radu:

kkk EEEW == 12 (5.5)

Ako tijelo izvri rad (W < 0), kinetika energija mu se smanjuje ( 0 0), kinetika energija mu se poveava ( 0> kE ). Kad je rad jednak nuli, kinetika energija tijela ostaje konstantna. Relacija (5.5) koja povezuje rad i promjenu kinetike energije i zove se teorema o radu i kinetikoj energiji. Potencijalna energija. Potencijalna energija je sposobnost vrenja rada zbog toga to tijelo ima osobiti poloaj. Tako npr. tijelo mase m podignuto na visinu h iznad Zemljine povrine ima odreenu potencijalnu energiju i sposobno je, sputajui se s te visine, izvriti odreeni rad. Slino: i nategnuta opruga ima potencijalnu energiju i, vraajui se u poloaj ravnotee, izvri rad. Gravitacijska potencijalna energija. Zamislimo esticu mase m koja se kree pod djelovanjem sile tee (crt. 5.2) Rad sile tee na putu od A do B jednak je:

== ABr

r

rrgmrdFWB

A

(5.6)

Budui da je i , == jmggmF BB yrj =

AA yrj =

Dobili smo da je rad u polju sile tee jednak razlici dviju funkcija poloaja ( AB mgymgyW = ) (5.7) Veliinu

mgyE p = (5.8)

38

zovemo gravitacijska potencijalna energija tijela na visini y iznad povrine Zemlje. Pri tome smo

pretpostavili da je na povrini Zemlje (y=0), potencijalna energija jednaka nuli, te da je sila konstantna, to je ispunjeno za visine koje su malene u usporedbi s polumjerom Zemlje.

= gmF

Crt. 5.2. Rad sile tee (5.7) ne ovisi o putu ve samo o poetnom i konanom poloaju tijela. Isti rezultat bi dobili kad bi se tijelo iz toke A do toke B kretalo bilo kom putanjom. Tako npr. kree li se tijelo od toke A preko C do B (crt. 5.2) rad je:

( )ABACBCACACB

yymgrdFrdFrdFrdFW ==+== dakle dobili smo rezultat isti kao pri integriranju po krivolinijskoj putanji AB. Sila koja ima osobinu da joj rad ne ovisi o putu ve samo o poetnoj i konanoj toki zove se konzervativna sila. Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli:

0= sdFk (5.10) Krui preko integrala oznaava da je put po kojem vrimo integriranje zatvoren. Rad sile trenja, naprotiv, ovisi o putu: to je put dui, rad je vei. Rad sile trenja po zatvorenom putu razliit je od nule, rad je vei to je put dui. Nekonzervativne sile, kao to je sila trenja, zovemo i disipativne sile. Rad svake konzervativne sile moemo izraziti razlikom potencijalnih energija:

( ) ( )[ ]ApBprr

k rErErdFB

A

=

Crt. 5.3.

39

5.2.3. Zakon ouvanja mehanike energije U zatvorenom (izoliranom) sustavu/sistemu u kojem nema disipativnih sila (trenja) mehanika energija je konstantna. To je zakon o ouvanju mehanike energije, tj. (5.11) pk EEE += Razmotrimo ukupnu mehaniku energiju pri slobodnom padu. Tijelo mase m u poetku je na visini H i miruje (crt. 5.3), te je potencijalna energija mgHEp = , a kinetika 0=kE i ukupna mehanika energija . Kad tijelo slobodno padajui prevali put s, potencijalna energija mu je mgHE =

( )sHmgE p = a kinetika ( )22

21 gsmEk =

te je ukupna energija

( )sHmggsmEEE pk +=+= 221

(5.12)

odnosno mgHE =

Ukupna je mehanika energija pri slobodnom padu ouvana: zbroj kinetike i potencijalne energije jednak je u svakoj toki.

.konstEEE pk =+= Ako sistem nije zatvoren, promjena ukupne mehanike energije jednaka je radu vanjskih sila koje djeluju na sistem: ( ) ( ) WEEEEEE kkpp =+= 121212 (5.13) Potencijalna i kinetika energija mogu se transformirati jedna u drugu, crt. 5.4.

Crt. 5.4

Uzmimo za primjer vodopad. Ovdje je oit primjer pretvorbe energije iz jednog oblika u drugi 5.2.4. Potencijalno polje sila. Konzervativne sile Ako je tijelo postavljeno u takve uvjete da je u svakoj toki prostora podvrgnuto djelovanju drugih tijela sa silom koja se zakonomjerno mijenja od jedne toke do druge, kae se da se to tijelo nalazi u polju sila. Tako se, na primjer, tijelo u blizini povrine Zemlje nalazi u polju sila gravitacije, tj. u

svakoj toki prostora na njega djeluje sila G , usmjerena prema dolje. = gm

Za sile koje ovise samo od poloaja tijela moe se desiti da rad, koji vre nad tijelom, ne zavisi od puta, ve se odreuje samo poetnim i zavrnim poloajem tijela u prostoru. U tom sluaju polje sila se naziva potencijalnim poljem, a same sile konzervativnim.

40

Sile iji rad zavisi od puta, po kojem tijelo prelazi iz jednog poloaja u drugi, nazivaju se nekonzervativnim silam

prostora, prolazi kroz neki centar, a veliina sile zavisi samo

a.

Polje centralnih sila, , polje kod kojeg pravac djelovanja sile u proizvoljnoj toki

od rastojanja od tog centra. Polje sila ravitacije, elektrostatska sila: su primjeri centralnog polja sila.

ad konzervativnih sila na bilo kojem zatvorenom putu jednak je nuli.

rt. 5.5

=rFF

g R

C

Razloimo, zatvoren put po kojem se giba tijelo, koje se nalazi u potencijalnom polju sile, na dva dijela: put A po kojem tijelo prelazi iz toke 1 u toku 2, i put B po kojem tijelo prelazi iz toke 2 u toku 1, pri emu su toke 1 i 2 izabrane potpuno proizvoljno, crt. 5.5. Rad na itavom zatvorenom putu bie jednak sumi radova koji se vre na svakom od jelova

(5.14)

gibanju u jednom

gibanju u dru

di . ( ) ( )BA WW 2112 += W Lako je pokazati da rad, koji se vri na bilo kojem putu, na primjer na putu B, pri prelaenju tijela po njemu iz toke 1 u toku 2 jednak radu, sa obrnutim predznakom, koji se vri na istom tom putu pri

obratnom prelaenju iz toke 2 u toku 1. Promatrajmo dio putanje s . Poto u potencijalnom polju sila F ovisi samo od poloaja tijela u prostoru i ne zavisi od stanja gibanja tijela (posebno od smjera

gibanja), elementarni rad na putu pri pravcu jednak je , a pri

gom pravcu on je jednak sFW

s = sFWrr = . S obzirom da je

na itavom= ss , tada je i

W W= . To je ispravno za svaki elem prem e i za rad putu, te je

Koristei se dobivenim

da na jednim dijelovima atvorenog puta sile vre pozitivan rad, a na drugim dijelovima - negativan.

Dokazat emo da je i polje gravitacionih sila potencijalno , crte 5.6

entarni dio puta, a a tom

( ) ( )BB WW 1221 = (5.15) rezultatom, jednadba (5.14) moe se napisati u slijedeem obliku: ( ) ( )BA WWW 1212 = (5.16)

Meutim, u potencijalnom polju sila, rad ne ovisi od puta, tj. (W12)A = (W12)B. Prema tome izraz (5.16) jednak je nuli, to je i trebalo dokazati. Prema tome, potencijalno polje sila moe se definirati kao polje onakvih sila iji je rad na svakom zatvorenom putu jednak nuli, onz

41

Crte 5.6

=== hFsFsFW cos Poto je F = G = mg, i ( ) = 21 hhh dobivamo ( )21 hhmgW = (5.17) Izraz (5.17) oito ne ovisi od puta, slijedi da je gravitacijsko polje potencijalno. 5.2.5. Rad sila u gravitacijskom polju. Centralno polje sila

Gravitaciono polje sila je centralno polje. To je polje karakteristino po tome da pravac sile, koja djeluje u bilo kojoj toki prostora, prolazi kroz neki centar, a veliina sile ovisi samo od

rastojanja do tog centra .Gravitaciona sila ima oblik ( )F F r = = 02 21 rr

mmF

Elementarni rad dW, koji izvri gravitacijska sila pri pomjeranju tijela m1 za rastojanje d s

jednaka je (crt. 5.7)

drrmm

sdFdW 221==

gdje , integriranjem od r1 do r2 dobivamo: drsdr =

0

=

=

122121

111 21 rr

mmr

mmWr

r ili

=

1221

11rr

mmW (5.18)

42

Crt. 5.8 Iz jednadbe (5.18) vidimo da je za r2 > r1, rad negativan. Promjena potencijalne energije sistema

jednaka je negativnoj vrijednosti rada kojeg vri gravitacijska sila pri premjetanju tijela

( ) ( )2

21

1

2112 r

mmrmm

WEE pp == Obino se uzima da je , tada 2r ( ) 0=pE , pa potencijalna energija tijela m2 je:

rmm

E p21= (5.19)

Razmotrimo tri specijalna sluaja, crt. 5.8, za tri razliite ukupne energije E = Ek + Ep. Ovi sluajevi su interesantni kod ispaljivanja vjetakog satelita sa Zemlje. Nakon to dostigne maksimalnu visinu h satelit dobiva poetnu brzinu vo. Ukupna energija satelita je tada

hRmMmvEz +

= 2021

Crt. 5.8 U sluaju elipse E < 0, putanja po kojoj e se kretati satelit, je elipsa u ijem se jednom fokusu

nalazi Zemlja, satelit u ovom sluaju pada na Zemlju. Uvjet da bi satelit se kretao po paraboli tj. E = 0, odnosno kinetika energija satelita mora biti jednaka potencijalnoj energiji. Da bi se satelit kretao po putanji hiperbole, tj. oslobodio Zemljine tee, potreba uvjet je, da kinetika energija satelita bude vea od potencijalne energije odnosno E > 0.

43

5.2.6. Rad elektrostatske sile

Elektrostatska sila je takoer centralna sila. To znai da rad ne ovisio put, nego o krajnjem i

poetnom poloaju tijela. Uzmimo dva istoimena(pozitivna naboja) crt. 5.9. Sila meudjelovanja je:

( ) = 02 21 rrqqkrF

Crt. 5.9

Elementarni rad dW, kojeg vri elektrostatska sila pri pomjeranju tijela m1 za rastojanje rd

drrqqkrdFdW 2

21== rr

F

0ri kolinearni. Integracijom od r1 do r2 dobivamo jer su2

1

1

21r

r

r

r rqqkdrqqkW == 2 21 2r

odnosno

pErrqkqW =

=

1221

11

gdje je Ep potencijalna energija

rqq

kE p21= (5.20)

5.2.7. Veza izmeu potencijalne energije i sile

Svakoj toki potencijalnog polja odgovara, s jedne strane, neka vrijednost vektora sile F

W

koja djeluje na tijelo, a s druge strane, neka vrijednost potencijalne energije tijela Ep. Prema tome, izmeu sile i potencijalne energije mora postojati neka veza. Za utvrivanje te veze izraunat emo elementarni rad koji sila polja pri malom pomjeranju tijela s , koje se vri du proizvoljno izabranog pravca u prostoru, crt. 5.10. Taj rad je jednak sFW s= , gdje je Fs projekcija sile F na pravac s.

Crt. 5.11 Poto se u danom sluaju rad vri na raun smanjenja potencijalne energije , na djelu ose s,

imamo: pE

pEW = Izjednaavanjem gornjih izraza dobivamo:

s=E

F ps

(5.21)

44

Izraz (5.21.) daje srednju vrijednost Fs na odsjeku s . Da bi dobili vrijednost Fs u danoj toki, potrebno je izvesti granini prijelaz tj.

sE

sE

F ppss

== 0lim (5.22)

Izraz (5.22) toan je za svaki pravac u prostoru, posebno za pravac Descartesovih koordinata x, y i z.

xE

F px =

yE

F py = (5.23)

zE

F pz =

Izrazi (5.23) odreuju projekcije vektora sile na koordinatne ose. Ako su poznate te projekcije, moe se odrediti i sam vektor sile.

++= k

zE

jy

Ei

xE

F ppp

(5.24)

U matematici se vektor ++= k

zaj

yai

xagrada

gdje je a skalarna funkcija od x, y, z naziva gradijent tog skalara i oznaava se simbolom grad a ili

(nabla). Prema tome, sila je jednaka gradijentu potencijalne energije, sa suprotnim znakom: a

pgradEF =

(5.25) Kao primjer uzmimo gravitaciono polje sile. Osu z

usmjerimo prema gore. Pri takvom izboru osa potencijalna energija e imati oblik.

Ep=mgz+const. Projekcije sile na zadane ose Fx=Fy=0 , Fz=-mg

Prema (5.24) dobivamo da je sila = kmgF

Crt. 5.11

5.3. Zakon ouvanja impulsa Produkt mase estice i njene brzine naziva se impuls ili koliina kretanja/gibanja estice

= vmp (5.26) Ako se impuls estice mijenja u toku vremena, to znai da postoji djelovanje neke sile, koja prema

drugom Newtonovom aksiomu glasi:

=

= F

dt

vmd

dtpd

(5.27)

Gornja jednadba izraava najopenitiji sluaj drugog Newtonovog aksioma i u tom obliku vai ne samo za klasinu nego i za relativistiku mehaniku, i zove se zakon promjene impulsa. Prvi Newtonov aksiom izraava svojstvo svih tijela da u odsustvu sila zadravaju konstantnu vrijednost brzine, odnosno, impulsa, jer je m = const. (u klasinoj fizici), tj.

45

= vmp =const. (5.28) Ovo svojstvo predstavlja specijalan sluaj jednog opeg fizikalnog zakona o odranju koliine

gibanja. Za to nam moe posluiti slijedei pokus: neka meudjeluju dvije kuglice masa m1 i m2 preko sabijene opruge koju u tom stanju odrava konac, crt. 5.12

Crt. 5.12 Ukoliko u jednom trenutku prekinemo konac, kuglice e se razletjeti. Uzajamno djelovanje kuglica

karakterizirano je treim Newtonovim aksiomom: = 21 FF

ili

0221

1 =+

dtvd

mdtvd

m (5.29)

S obzirom da su m1 i m2 konstantne veliine, tada se jednadba moe napisati u obliku

02211

=

+

dt

vmvmd (5.30)

Dakle, promjena impulsa ili koliine gibanja u toku vremena za sistem m1 i m2 jednaka je nuli, pa se moe pisati:

=+=+ .212211 constppvmvm (5.31) Odnosno, impuls sistema m1 i m2 ne moe se promijeniti pod djelovanjem sila njihovog

uzajamnog djelovanja. Ovaj zakljuak moe se proiriti na izolirani sistem od proizvoljnog broja estica. Ukupna

koliina gibanja zatvorenog sistema je konstantna bez obzira kakvi se procesi i meudjelovanje dogaali u sistemu. To je zakon o ouvanju koliine gibanja, jedan od najvanijih zakona u fizici. Moemo ga napisati i u matematikom obliku:

+++=+++= nnnukupni vmvmvmpppp 221121 ili

==i

iiukupni constvmp . (5.32)

Ovaj je zakon direktna posljedica Newtonovih aksioma. Drugi Newtonov aksiom za sistem estica glasi:

dtpd

F uu

=

gdje je rezultanta svih sila koje djeluju na sistem, a ukupna koliina gibanja sistema. Ako je sistem izoliran, nema vanjskih sila, budui da se unutranje sile prema treem Newtonovom aksiomu

ponitavaju, to za izolirani sistem .

uF

up

0=uF

46

5.4. Sudari tijela Na osnovu zakona ouvanja energije i impulsa mogu se prouavati fizikalne pojave kod kojih su

nepoznate bilo priroda i intenzitet sila bilo samo intenzitet sila koje djeluju u ovim pojavama. Takve pojave su sudari tijela.

Sudar dvaju tijela moe biti elastian, djelomino elastian i neelastian. Sudar je savreno elastian kada nema gubitka energije, ve je ukupna kinetika energija

ouvana. Da bi sudar dvaju tijela bio savreno elastian, ta tijela moraju biti savreno kruta (da ne doive nikakvu deformaciju) ili idealno elastina, tako da nema rada unutarnjih sila. Pri savreno neelastinom sudaru tijela se nakon sudara deformiraju, spoje zajedno i nastave gibanje kao jedno tijelo; tu se jedan dio kinetike energije izgubi i pretvori u druge oblike energije.

Veina makroskopskih sudara su izmeu ova dva ekstremna sluaja, dakle djelomino elastini.

5.4.1. Savreno elastian sudar Promatrajmo centralni savreno elastian sudar dvije kuglice, tj. Sudar pri kojem brzine jedne i

druge kuglice lee na istom pravcu nosiocu koji prolazi sreditem obiju kugli. Dvije kugle (ili dvije

estice), imaju brzine i sudaraju se elastino i, nakon sudara, imaju brzine i (crt. 5.13). Ovaj sistem je izoliran za vrijeme itavog procesa, na kuglice ne djeluju vanjske sile (odnosno zbroj vanjskih sila je nula) i, zbog toga, vrijedi zakon ouvanja koliine gibanja/kretanja:

1v

2v

1u

2u

+=+ 22112211 umumvmvm (5.33)

Crt. 5.13 Budui da je sudar savreno elastian, ukupna je kinetika energija prije i poslije sudara ista:

2222

222

211

222

211

+=+ umumvmvm (5.34) Napiimo jednadbu (5.34) na drugi nain, dobivamo:

=

22

222

21

211 uvmuvm

odnosno

+

=

+

2222211111 uvuvmuvuvm (5.35) Napiimo jednadbu (5.33) u obliku

=

222111 uvmuvm (5.36) te desnu stranu jednadbe (5.36) uvrstimo u (5.35) dobivamo:

0221111 =

+

uvuvuv (5.37) Budui da su pri centralnom sudaru brzine kolinearni vektori, uvjet (5.37) je ispunjen samo ako je

jedan od faktora jednak nuli. Ako je prvi faktor u (5.37) jednak nuli, brzine se nisu mijenjale te se ni sudar nije dogodio; zato taj sluaj ne uzimamo u obzir. Dakle drugi faktor mora ieznuti, to daje:

47

= 2121 uuvv (5.38) Relativna brzina primicanja kugli prije sudara jednaka je po iznosu, a suprotna po smjeru relativnoj

brzini odmicanja kugli poslije sudara. Relativne brzine promijenile su samo smjer, a ne iznos. Iz

jednadbi (5.37) i (5.38) moemo izraunati brzine poslije sudara u i :

1

2u

( )21

221211

2mm

vmvmmu +

+=

(5.39)

( )21

112122

2mm

vmvmmu +

+=

(5.40)

Posebni sluajevi

1. m1 = m2 = m. U sluaju jednakih masa i , tj. estice jednostavno izmijene

brzine. Ako druga kugla miruje (v2 = 0), tada je u1 = 0, a ; poslije sudara prva kugla se zaustavi, dok druga odleti brzinom koju je imala prva kugla prije sudara.

= 21 vu = 12 vu

=2u

1v

2. m1 > m2 i v2 = 0. Iz (5.39) i (5.40) slijedi i . Kada vrlo velika kugla udari kuglicu koja miruje, brzina joj se vrlo malo promijeni dok lagana kuglica odleti brzinom koja je dva puta vea od brzine upadne kugle. Predana energija pri centralnom elastinom sudaru dva tijela (v2 = 0)

11 vu 12 2 vu

Na osnovu jednadbi (5.39) i (5.40), za sluaj da je v2 = 0, moe se izraunati energija koju tijelo m1 preda tijelu m2 pri udaru. Predana energija iznosi:

,11 EEE = (5.41)

gdje je E1 prije sudara i energija tijela mase m1 poslije sudara. Da bismo izraunali energiju obrazujemo

,1E

,1E

2

1

1

21

21

1

1

2121

==

vu

mv

mu

EE

(5.42)

Koristei se jednadbom (5.39), gornju jednadbu moemo dobiti u obliku:

1

2

21

121 Emm

mmE

+= (5.43)

Zamjenom (5.43) u (5.41) dobivamo:

( ) 1221214 E

mmmmE += (5.44)

Predana energija pri udaru dva tijela imat e maksimalnu vrijednost kada je m1 = m2 i iznosi prema (5.44) . Pri gornjim uvjetima udara, tijelo koje se kree brzinom v1 predaje cjelokupnu energiju tijelu koje ima jednaku masu a prije udara nalazilo se u miru.

1EE =

48

5.4.2. Savreno neelastian sudar

Pri savreno neelastinom sudaru kugle se nakon sudara deformiraju, slijepe i gibaju zajedno

brzinom . Pri ovom sudaru kinetika energija nije odrana, jedan dio se utroi na deformaciju kugla, odnosno zagrijavanje (promjena unutranje energije).

== uuu 21Pomou zakona o ouvanju koliine gibanja odredit emo brzinu nakon sudara:

49

)( +=+ ummvmvm 212211

21

2211

mmvmvm

u ++=

(5.45)

Kinetika energija se smanjuje prilikom neelastinog sudara. Ukupna kinetika energija poslije

sudara:

( ) ( )( )212

2211221 22

1mm

vmvmummEk ++=+= 5.46)

Kinetika energija prije sudara 222

211 2

121 vmvmEk += (5.47)

Razlika kinetikih energija daje gubitak mehanike energije:

( )22121

21,

21 vv

mmmmEE kk +=

Posebni sluajevi.

1. m1 = m2 = m, slijedi da je

+= 2121 vvu . Ako je druga kugla prije sudara na miru, tada, nakon

sudara, obje kugle nastave gibanje brzinom 21vur

= . Ako je , tada nakon sudara, obje kugle stanu, u1 = u2 = 0.

= 21 vv

2. m1

ELEKTROTEHNIKI FAKULTET SARAJEVO

INENJERSKA FIZIKA I - predavanja - 5.6. DINAMIKA KRUTOG TIJELA ILI DINAMIKA ROTACIJE

Uvod

Ako promatramo djelovanje sile na neko vrsto tijelo, moemo uoiti dva uinka:

promjenu oblika tijela (deformaciju) i gibanje tijela. Ako je deformacija nekog tijela izazvana vanjskom silom tako malena prema dimenzijama tijela da je moemo zanemariti, tj. ako tijelo pod utjecajem sile ne mijenja oblik, kaemo da je tijelo kruto. Moemo zamisliti da se kruto tijelo sastoji od mnogo pojedinanih materijalnih toaka iji meusobni razmaci ostaju uvijek isti. Naravno, kruto tijelo je idealizirani model; u prirodi imamo vrsta tijela koja se, vie ili manje, pribliavaju modelu krutog tijela.

Moe se pokazati da se openito kretanje krutog tijela sastoji od translacije i rotacije Translatorno kretanja tijela je takvo kretanje kod kojeg sve take tijela opisuju jednake

putanje . Rotaciono kretanje je takvo kretanje kod kojeg sve take tijela opisuju krunice koje lee

u paralelnim ravninama. Centri svih tih krunica lee na istoj pravoj koju zovemo osa rotacije. Kod transalornog kretanja sve take tijela mase m dobiju isto ubrzanje pod uticajem sile,

dok kog rotacije sve take tijela nemaju istu brzinu i ubrzanje, pa se uvode pojmovi ugaone brzine i ugaonog ubrzanja koji su isti za sve take tijela koje rotitra oko neke ose. Osim toga, kod rotacije tijelo pod djelovanjem iste sile ne dobije uvijek isto ubrzanje, ve ono zavisi od udaljenosti napadne take sile od ose rotacije, kao i od rasporeda mase tijela oko ose rotacije.Zbog toga se uvode novi pojmovi kao to je centar mase, moment sile , moment inercije i moment koliine kretanja. 5.6.1. Centar mase sistema materijalnih taaka Ako neko tijelo podjelimo u elementarne mase m i ( i = 1,2,3,...., n ) tada se to tijelo moe predstaviti kao sistem takastih masa ije meusobne veze uvijek ostaju iste.. Na svaku od tih takastih masa mogu da djeluju vanjske i unutranje sile zbog meudjelovanja sa drugim elementarnim masama. U sluaju kretanja tijela, trebalo bi posmatrati kretanje velikog broja ovih elemetarnih masa to je vrlo komplikovano. Zato se uvodi pojam centra mase sistema tj, zamiljena taka pomou koje moemo lake i jednostavnije opisati kretanje cijelog sistema. Jednaina kretanja za svaku elementranu masu nekog tijela je

+ ( 5.48 )

40

gdje je fi rezultanta svih unutranjih sila , a Fi rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na posmatranu masu mi . Ako sumiramo jed. (5.48) po svim elemntarnim masama koje ine jedan sistem (tijelo), onda e prema III Njutnovom zakonu

= 0 pa emo dobiti

=

( 5.49) Suma na lijevoj strani se moe predstaviti kao proizvod ukupne mase tijela i ubrzanja centra mase ( centra inercije ) ac . Centar mase sistema se definie kao taka ije su koordinate odreene poloajem vektora koji se rauna na slijedei nain: ,

=

=

( 5.50)

oordinate centra mase krutog tijela dobiju se proirenjem jed. (5.50) na beskonano mnogo

Kestica infinitezimalno male mase dm, pa je

= ( 5.51 )

Gdje je gustina , a dV element zapremine krutog tijela.

isana sva masa sistema i kao da sve

= =

Centar mase sistema se kree kao da j