-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali Fizika vrstog stanja
Ivo Batisti
Fiziki odsjek, PMFSveuilite u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inaica 28. rujna 2016.)
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Uvod
Drude-Sommerfeldov model
Termodinamika svojstva metala
Elektron u periodinom potencijalu
Elektronska struktura materijala
Elektronski spektar u sinusnom potencijalu
Sinusni potencijal u viim dimenzijama
Brillouinove zone
Neki odgovori
Foto galerija
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali
Veina elemenata su metali.
Postoje jednostavna teorija (Drude-Sommerfeldov model)
kojaobjanjava nekoliko osnovnih svojstava metala.
U novije vrijeme za proraunavanje elektronske strukture
tvarikoristi se teorija funkcionala gustoe (density
functionaltheory), skraeno DFT.
DFT je u principu egzaktna, ali u praksi se koriste
razneaproksimacije koje ne vrijede u nekim materijalima (npr.
jakokorelirani sustavi).
Za sada ne postoji univerzalna (upotrebljiva)
metodaproraunavanja elektronske strukture koja pokriva
moguematerijale.
Mnoga svojstva metala mogu se razumjeti i s
jednostavnimanalitikim razmatranjima.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodni sustav elemenata
1 1.0079
H
Hydrogen
3 6.941
Li
Lithium
11 22.990
Na
Sodium
19 39.098
K
Potassium
37 85.468
Rb
Rubidium
55 132.91
Cs
Caesium
87 223
Fr
Francium
4 9.0122
Be
Beryllium
12 24.305
Mg
Magnesium
20 40.078
Ca
Calcium
38 87.62
Sr
Strontium
56 137.33
Ba
Barium
88 226
Ra
Radium
21 44.956
Sc
Scandium
39 88.906
Y
Yttrium
57-71
La-Lu
Lanthanide
89-103
Ac-Lr
Actinide
22 47.867
Ti
Titanium
40 91.224
Zr
Zirconium
72 178.49
Hf
Halfnium
104 261
Rf
Rutherfordium
23 50.942
V
Vanadium
41 92.906
Nb
Niobium
73 180.95
Ta
Tantalum
105 262
Db
Dubnium
24 51.996
Cr
Chromium
42 95.94
Mo
Molybdenum
74 183.84
W
Tungsten
106 266
Sg
Seaborgium
25 54.938
Mn
Manganese
43 96
Tc
Technetium
75 186.21
Re
Rhenium
107 264
Bh
Bohrium
26 55.845
Fe
Iron
44 101.07
Ru
Ruthenium
76 190.23
Os
Osmium
108 277
Hs
Hassium
27 58.933
Co
Cobalt
45 102.91
Rh
Rhodium
77 192.22
Ir
Iridium
109 268
Mt
Meitnerium
28 58.693
Ni
Nickel
46 106.42
Pd
Palladium
78 195.08
Pt
Platinum
110 281
Ds
Darmstadtium
29 63.546
Cu
Copper
47 107.87
Ag
Silver
79 196.97
Au
Gold
111 280
Rg
Roentgenium
30 65.39
Zn
Zinc
48 112.41
Cd
Cadmium
80 200.59
Hg
Mercury
112 285
Uub
Ununbium
31 69.723
Ga
Gallium
13 26.982
Al
Aluminium
5 10.811
B
Boron
49 114.82
In
Indium
81 204.38
Tl
Thallium
113 284
Uut
Ununtrium
6 12.011
C
Carbon
14 28.086
Si
Silicon
32 72.64
Ge
Germanium
50 118.71
Sn
Tin
82 207.2
Pb
Lead
114 289
Uuq
Ununquadium
7 14.007
N
Nitrogen
15 30.974
P
Phosphorus
33 74.922
As
Arsenic
51 121.76
Sb
Antimony
83 208.98
Bi
Bismuth
115 288
Uup
Ununpentium
8 15.999
O
Oxygen
16 32.065
S
Sulphur
34 78.96
Se
Selenium
52 127.6
Te
Tellurium
84 209
Po
Polonium
116 293
Uuh
Ununhexium
9 18.998
F
Flourine
17 35.453
Cl
Chlorine
35 79.904
Br
Bromine
53 126.9
I
Iodine
85 210
At
Astatine
117 292
Uus
Ununseptium
10 20.180
Ne
Neon
2 4.0025
He
Helium
18 39.948
Ar
Argon
36 83.8
Kr
Krypton
54 131.29
Xe
Xenon
86 222
Rn
Radon
118 294
Uuo
Ununoctium
1
2
3
4
5
6
7
1 IA
2 IIA
3 IIIA 4 IVB 5 VB 6 VIB 7 VIIB 8 VIIIB 9 VIIIB 10 VIIIB 11 IB 12
IIB
13 IIIA 14 IVA 15 VA 16 VIA 17 VIIA
18 VIIIA
57 138.91
La
Lanthanum
58 140.12
Ce
Cerium
59 140.91
Pr
Praseodymium
60 144.24
Nd
Neodymium
61 145
Pm
Promethium
62 150.36
Sm
Samarium
63 151.96
Eu
Europium
64 157.25
Gd
Gadolinium
65 158.93
Tb
Terbium
66 162.50
Dy
Dysprosium
67 164.93
Ho
Holmium
68 167.26
Er
Erbium
69 168.93
Tm
Thulium
70 173.04
Yb
Ytterbium
71 174.97
Lu
Lutetium
89 227
Ac
Actinium
90 232.04
Th
Thorium
91 231.04
Pa
Protactinium
92 238.03
U
Uranium
93 237
Np
Neptunium
94 244
Pu
Plutonium
95 243
Am
Americium
96 247
Cm
Curium
97 247
Bk
Berkelium
98 251
Cf
Californium
99 252
Es
Einsteinium
100 257
Fm
Fermium
101 258
Md
Mendelevium
102 259
No
Nobelium
103 262
Lr
Lawrencium
Alkali Metal
Alkaline Earth Metal
Metal
Metalloid
Non-metal
Halogen
Noble Gas
Lanthanide/Actinide
Z mass
Symbol
Name
man-made
plavkasto i ljubiasto obojene kuice su metalni elementi.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali
Detaljnije emo razmotriti
Metale s jednim elektronom (jednovalentni) u zadnjoj
ljusci:alkalijski metali, plemeniti metali,
te prijelazne metale u kojima se popunjava unutranja
d-ljuska.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Alkalijski i plemeniti metali
Metal el. konfig. re. a () Ec (eV)Li 2s BCC 3.491 1.63Na 3s BCC
4.225 1.113K 4s BCC 5.225 0.934Rb 5s BCC 5.585 0.852Cs 6s BCC 6.045
0.804
Metal el. konfig. re. a () Ec (eV)Cu 3d104s FCC 3.61 3.49Ar
4d105s FCC 4.09 2.95Au 5d106s FCC 4.08 3.81
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prijelazni metali
Metal el. konfig. re. a, c () Ec (eV)Sc 3d14s2 HCP 3.31,5.27
3.90Ti 3d24s2 HCP 2.95,4.68 4.85V 3d34s2 BCC 3.03 5.31Cr 3d54s BCC
2.88 4.10Mn 3d54s2 BCC 2.92Fe 3d64s2 BCC 2.87 4.28Co 3d74s2 HCP
2.51,4.07 4.39Ni 3d84s2 FCC 3.52 4.14Cu 3d104s FCC 3.61 3.49
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Metali
Ono to se zna: Bitna svojstva metala dolaze od elektronskih
pobuenja.
Elektronska pobuenja mogu se smatrati kao posebne
esticefermionskog tipa.
Kulonsko meudjelovanje utjee na svojstva elektrona ali netoliko
da bi im promijenilo fermionski karakter.
Za potpuno razumijevanje metala, ali i svih ostalim
materijala,potrebno je uzeti u obzir meudjelovanje elektrona s
pravilnomkristalnom reetkom.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Drude-Sommerfeldov model
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Drude-Sommerfeldov model (1900/1933)
Elektron-elektron meudjelovanje je zanemareno. Periodini
potencijal reetke je zanemaren. Elektroni se gibaju u metalu kao u
beskonano dubokojpotencijalnoj jami (ravnog dna).
Metal je posuda u kojoj se nalaze nabijene fermionske esticekoje
ne meudjeluju.
Kvantizacija valnih brojeva:
Rubni uvjeti na valnu funkciju:
(x) = 0 i (L) = 0
LRubni uvjeti na valnu funkciju:
(x+ L) = (x)
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kvantizacija valnih brojeva
Za makroskopski velike sustave obje vrste kvantizacija vode na
isterezultate!
Radi jednostavnosti sluimo se periodikim rubnim uvjetima.
Kaorjeenja Schdingerove DJ dobivaju se ravni valovi:
k(r) =1Vekr
a pripadne energije:
Ek =2k2
2me=
p2
2me
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodiki rubni uvjeti u 3D
Koriste se periodini (Born-von Karman) rubni uvjeti:
k(r+ Niai) = k(r)
gdje je:
ai = jedinini vektorNi = broj jedininih elija uzdu vektora
ai
Rubni uvjeti doputaju samo kvantizirane valne brojeve:
k = 1b1 + 2b2 + 3b3
gdje sui =
niNi
(ni = 0,1,2, . . . )
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Drude-Sommerfeldov model
Kvantna stanja odreena su s valnim brojem k i
spinskimstanjem.
Svako kvantno stanje moe biti popunjeno samo s jednimelektronom.
Orbitalno kvantno stanje zadano s valnim brojemmoe biti popunjeno s
dva elektrona razliita spina (Paulijevprincip).
U osnovnom stanju elektroni popunjavaju kvantna stanja ije
suenergije manje ili jednake Fermijevoj energiji (EF).
Napomena: Broj valnih brojeva unutar prve Brillouinove zone (1.
BZ) jednakje broju jedininih elija u kristalu! Isto vrijedi i za
obinu jedininu eliju urecipronom prostoru.
Napomena: Za prikazivanje poloaja u kristalu koristimo se
primitivnimtranslacijskim vektorima reetke, a za prikazivanje
valnih brojeva (vektora)sluimo se translacijskim vektorima
reciprone reetke.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zbrajanje/integracija po kvantnim stanjima
Proraun fizikalnih veliina trai zbrajanje po kvantnim
stanjima:
Etot =
Ek
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoa stanja
Veliina g(E) je gustoa kvantnih stanja:
g(E) =V
(2)3
dk (E Ek)
Ako veliine koje se izraunavaju ne ovise o spinu, u gustou
stanjase moe ukljuiti i broj spinskih stanja.
U Sommerfeldovom je modelu gustoa stanja:
g(E) = 2V
(2)3
dk (E
2k2
2me) =
V2
0
dk k2(E 2k2
2me)
= Vme23
2meE
E
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoa/broj estica i Fermijeva energija
Broj elektrona:
N =
E
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fermijeva povrina
Fermijevom valnom broju se moe pridruiti impuls:
pF = kF
i Fermijeva brzina:
vF =kFme
U osnovnom su stanju sva kvantna stanja valnog broja k kojima
jeenergija:
2k2
2me=
2
2me(k2x + k2y + k2z
) EF
popunjena.
Gornja (ne)jednadba predstavlja sferu u recipronom prostoru
kojaobuhvaa samo popunjena kvantna stanja. Navedena sfera nazivase
Fermijeva povrina a njen radijus je Fermijev valni broj.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sommerfeldov model primijenjen na jednovalentnemetale
Metal n (1028 m3) kF (1010 m1) vF (106 m s1) EF (eV)Li 4.82 1.13
1.30 4.82Na 2.60 0.92 1.06 3.20K 1.39 0.74 0.86 2.11Rb 1.16 0.70
0.81 1.87Cs 0.93 0.65 0.75 1.61Cu 8.50 1.36 1.57 7.05Ag 5.76 1.19
1.38 5.44Au 5.90 1.20 1.39 5.52
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sommerfeldov model
Prosjena energija
E =
EF0
dEg(E)E
EF0
dEg(E)
=3
5EF
Energija kohezije;
Ec = |(Eion Edno) E|
gdje je;
Edno = dubina potencijalne jameEion = energija ionizacije
atoma
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prosjena energija
1
n=
VN
=4
3R3s prosjeni volumen oko elektrona
1Rs
=
(32n
4
9
)1/3= kF
(4
9
)1/3Prosjena energija:
E =3
5
2k2F2me
=3
5
(4
9
)2/3 22meR2s
= 2.212
2meR2s
Prikae li se radijus Rs u jedinicama Bohrovog radijusa:
Rs = aB rs (rs je bezdimenzionalno)
tada je:
E =2.21
r2s2
2mea2B=
2.21
r2sRy
rsLi 3.25Na 3.93K 4.86Rb 5.20Cs 5.62Cu 2.67Ag 3.02Au 3.01
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nedostatci Sommerfeldovog modela
Ima li razlike izmeu bakra i dijamanta? Zato se elektroni
udijamantu ne gibaju slobodno i zato dijamant ne vodi struju?
Ono to je zanemareno u Sommerfeldovom modelu: Nema potencijala
kristalne reetke. Nema meudjelovanja izmeu elektrona.
Neto poboljani model - model elea (jellium model): Naboj vorita
reetke nije tokast nego jednoliko razmazan. Meudjelovanje elektrona
se uzima u obzir kroz raun smetnje. Jednoliko razmazani pozitivni
naboj se krati s q=0 komponentomelektronske gustoe naboja
(neutralnost sustava!). U raunu se uzimaju u obzir samo q = 0
komponenteelektronske gustoe naboja.
Jo bolji modeli uzimaju u obzir i periodinost potencijala
reetke!
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Termodinamika svojstva metala
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sommerfeldov razvoj
0
dE f(E)e(E)/kBT + 1
0
dE f(E) + 2
6(kBT)2 f() +
74
360(kBT)4 f() + . . .
Temperaturna ovisnost kemijskog potencijala:
N
0
dE g(E) +2
6(kBT)2 g()
EF0
dE g(E)
=N
+( EF)g(EF) +2
6(kBT)2 g(EF) + . . .
=0
Slijedi:
(T) EF 2
6(kBT)2
g(EF)g(EF)
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronski doprinos toplinskom kapacitetu
Eel(T) =0
dE g(E) Ee(E)/kBT + 1
0
dE g(E)E+ 2
6(kBT)2
ddE
(g(E)E
)E=
EF0
dE g(E)E+ ( EF) g(EF)EF +2
6(kBT)2
ddE
(g(E)E
)EF
=
EF0
dE g(E)E+ 2
6(kBT)2 g(EF)
Energija slobodnog elektronskog plina na konanoj
temperaturi:
Eel(T) Eel(0) +2
6(kBT)2 g(EF)
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Toplinski kapacitet metala
Toplinski kapacitet:
C(el)V =(EelT
)V
2
3g(EF) k2B T
= T
Metali imaju linearno ponaanje toplinskog kapaciteta na niskim
tem-peraturama koje dolazi od elektronskih pobuenja!
Metal Li Na K Rb Cs Cu Ag Auexp/ 2.23 1.25 1.24 1.27 1.46 1.38
0.99 1.14
Razlika izmeu izmjerene vrijednosti koeficijenta exp i one
kojuSommerfeldov model predvia, , objanjava se
izmijenjenom(renormaliziranom) masom elektrona u metalu!
=2
3g(EF) k2B =
2
2
Nk2BEF
=k2B32
kFme
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron u periodinom potencijalu
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron u periodinom potencijalu
Schrdingerova jednadba za esticu u periodinom potencijalu.[
2
2me2 + V(r)
](r) = E (r)
Periodinost potencijala:
TRnV(r) = V(r+ Rn) = V(r)
Primijenili se operacija translacije na Schrdingerovu
jednadbu:[
2
2me2 + V(r + Rn)
](r + Rn) =
[
2
2me2 + V(r)
](r + Rn) = E (r + Rn)
slijedi da:(r) i (r+ Rn)
zadovoljavaju istu diferencijalnu jednadbu.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektron u periodinom potencijalu
Budui da operator translacije komutira s hamiltonijanom, kao
rjee-nja Schrdingerove jednadbe moemo izabrati ona koja su ujedno
ivlastita stanja operatora translacije.
TRn(r) = (r+ Rn) = e(Rn) (r)
Grupno svojstvo operacije translacije trai:
(Rn + Rm) = (Rn) + (Rm)
To svojstvo zadovoljava samo funkcija koja je linearna u
vektorutranslacije:
(Rn) = k Rm
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Blochov teorem (1928)
Treba uoiti da je:u(r) = ekr (r)
periodina funkcija:
TRnu(r) = u(r+ Rn) = ek(r+Rn) (r+ Rn)
= ekRnekr e+kRn (r)
= ekr (r) = u(r)
Rjeenje Schrdingerove jednadbe u periodinom potencijalu moese
zapisati kao:
(r) = ekr u(r) (Felix Bloch, 1928)
gdje je u(r) periodina funkcija.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Blochova stanja
Periodika funkcija u(r) zadovoljava jednadbu:[1
2me
(+ k
)2+ V(r)
]
Hk
u(r) = E u(r)
Funkcija u(r) ovisi o vektoru k:
u(r) uk(r)
Energija E ne moe biti bilo kakvi broj: Rjeenja, kada uk(r)
zadovoljava uvjet periodinosti, postojesamo za tono odreene
vrijednosti energije: E = En.
n je diskretni indeks, odnosno kvantni broj kojim se
oznaavarjeenje.
Skup vrijednosti, {En,n = 1, 2, . . . }, je beskonano velik.
Skup vrijednosti,
{En(k),n = 1, 2, . . .
}, ovisi o vektoru k.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Blochova stanjaOpenito PDJ za periodini dio valne funkcije treba
pisati:[
1
2me
(+ k
)2+ V(r)
]un,k(r) = En(k) un,k(r)
Nekoliko napomena: Ako nema periodikog potencijala, valna
funkcije estice je:
(r) ekr 1 (ravni val)
Ako postoji periodini potencijal, valna funkcije estice je:
(r) ekrravni val
un,k(r) periodinost
(Blochova funkcija)
Valni vektor k koji se pojavljuje u vlastitoj vrijednosti
operatora trans-lacije ima slinu ulogu koju ima valni broj kod
ravnih valova u Som-merfeldovom modelu.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodinost u recipronom prostoru
Vrijedi:
[eqr f(r)
]= eqr
(+ q
) [f(r)
]Diferencijalna jednadba za stanje valnog broja k+ G:
En(k+ G) un,k+G(r) =[
1
2me
(+ (k+ G)
)2+ V(r)
]un,k+G(r)
=
[1
2me
(+ (k+ G)
)2+ V(r)
] (eGre+Grun,k+G(r)
)= eGr
[1
2me
(+ k
)2+ V(r)
] (e+Grun,k+G(r)
)[
1
2me
(+ k
)2+ V(r)
] (e+Grun,k+G(r)
)= En(k+G)
(e+Grun,k+G(r)
)un,k(r) i
(e+Grun,k+G(r)
)zadovoljavaju istu Schrdingerovujednadbu!
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodinost u recipronom prostoru
e+Grun,k+G(r) mora biti jedno od ve postojeih rjeenja SchDJ,
npr.rjeenje kvantnog broja n.
Dakle vrijedi:
En,k+G = En ,kun,k+G(r) = e
Grun ,k(r)
Uvrtavanjem k = 12 G u izraz za energiju:
En,k+Gk=G/2
= En,G/2 = En ,kk=G/2
= En,G/2 n = n
nalazimo da je to rjeenje istog kvantnog broja, n=n, ako
vrijedi:
En,k = En,k
Dakle, En,k i un,k su periodine funkcije vektora k.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodinost u recipronom prostoru
Nema smisla rjeavati SchDJ za un,k za velike valne brojeve.
Dovoljno je pronai rjeenja za vektore u podruju |k| |G/2|
tj.unutar 1. Brillouinove zone (1BZ).
Energije En,k istog n-a, a razliitog vektora k unutar 1BZ
inekontinuirane energijske vrpce ili zone.
Vrpce energija razliitog indeksa n mogu se preklapati ili
bitirazdvojene za energijski procijep.
Uveanjem vektora k za vektor reciprone reetke: k k+ G,ne
dobivaju se fizikalno nova rjeenje kao to je to u sluajuravnih
valova i konstantnog potencijala.
Fizikalno nova rjeenje dobivaju se poveanjem
kvantnogbroja/indeksa n.
Konstantni potencijal:Valni brojevi mogu biti
proizvoljnoveliki.
Periodini potencijal:Vektori k su ogranieni unutar1BZ, a indeksi
n mogu biti pro-izvoljno veliki.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronska struktura
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronska struktura materijala
Prorauni elektronske strukture materijala (energijski spektar)
supotrebni radi:
Proraun energije kohezije Izrauna optikih, transportnih,
magnetskih, termodinamikihsvojstva metala.
Realni prorauni bazirani su na DFT (teoriji funkcionala
gustoe).
Kvalitativan svojstva elektronskog spektra u periodikom
potencijalumogu se saznati
Priblinim analitikim metodama: raun smetnje aproksimacija vrste
veze.
Rjeavanjem igraka modela: Kronig-Penneyev model sinusni
potencijal periodini niz -funkcija
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Igrake modeli (toy models)
Kronig-Penneyev model
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5x
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.1
Pote
ncija
l
Periodini niz -funkcija
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5x
4
3
2
1
0
Pote
ncija
lPeriodini potencijal
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.1
Pote
ncija
l
Model sferine krave
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elektronski spektar u sinusnompotencijalu
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal
Promatra se 1d sustav.
Pretpostavlja se da je potencijal:
V(x) = V0 + 2V1 cos(2
ax)
DJ za periodini dio Blochove valne funkcije:[2
2me
(k d
dx
)2+ V0 + 2V1 cos
(2
ax)]
uk = Euk
Budui da je uk(x) periodina funkcija moe se prikazati
prikazatiFourijerovog reda:
uk(x) =
n=0,1,...un(k) e2nx/a
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijalPrimjena Fourijerove analize na DJ dobiva se
skup vezanihjednadbi:[
2
2me
(k+
2na
)2+ V0
]un(k)+V1 un1(k)+V1 un+1(k) = E un(k)
koji se moe prikazati kao problem vlastitih vrijednosti i
vektora:
. . . . . .
. . . E(0)k,n1 V1 0 . . .
. . . V1 E(0)k,n V1 . . .
. . . 0 V1 E(0)k,n+1 . . .
. . .. . .
matrica M(k)
...un1(k)un(k)un+1(k)
...
= E
...un1(k)un(k)un+1(k)
...
gdje je:
E(0)k,n =2
2me
(k+
2na
)2+ V0
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal
Na dijagonali matrice M(k) se nalaze energije E(0)k,n Svi
elementi su matrice jednaki nuli osim dijagonale i
susjednihpoddijagonala. Na poddijagonalama su svi elementi jednaki
V1.
Vlastite vrijednosti se trae posebno za svaki valni broj k
unutar1. Brillouinove zone.
Matrica M(k) je beskonano velika. Budui da je matrica beskonano
velika, matrica je invarijantnana zamjenu n n+ 1, odnosno:
k k+ 2a
Aproksimativno se rjeenje moe dobiti rezanjem matrice irezanjem
Fourijerovog razvoja funkcije uk(x) na konani brojFourijerovih
komponenti.
Kako rezati?Ovisno o valnom broju k izabrati one retke/stupce
koji nadijagonali imaju najmanje vrijednosti!
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Primjer: kako odrezati matricuAko se uzima u obzir samo jedan
redak/stupac:
. . . . . .
. . . E(0)k,1 V1 0 . . .
. . . V1 E(0)k,0 V1 . . .
. . . 0 V1 E(0)k,+1 . . .
. . .. . .
a k 3a
a k
a
3a k
a
Ako se uzimaju u obzir samo dva redka/stupca:
. . . . . .
. . . E(0)k,2 V1 . . .
. . . V1 E(0)k,1 V1 0 . . .
. . . 0 V1 E(0)k,0 V1 . . .
. . . 0 0 V1 E(0)k,+1 . . .
. . . 0 0 0 V1 . . .
. . .. . .
2a k 4a
0 k 2a2a k 0
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Primjer: kako odrezati matricu - rezultati
0
2
4
6
8
Energije
Rezultat koji se dobiva kada se ma-trica aproksimira samo jednim
red-kom/stupcem koji ima najmanjuvrijednost (na dijagonali).
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Energ
ije
Rezultat koji se dobiva kada sematrica aproksimira dva
susjednaredka/stupca koji imaju najmanjevrijednosti na
dijagonali.
-3 -2 - 0 2 3k
0
20
40
60
80
Ene
rgije
Rezultat koji se dobiva kada se ma-
trica aproksimira sa tri susjednaredka/stupca koji imaju
najmanjevrijednosti na dijagonali.
S obzirom na periodinostuzimaju se u obzir rijeenjasamo za valne
brojeve unu-tar prve Brillouinove zone(BZ1).
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energijski spektar estica koja se giba u sinusnom
potencijalu
-3 -2 - 0 2 3k
Ener
gije
Rezultati numerikog izrauna vlastitih stanja matrice M(k). Sivom
parabolom je naznaenaenergija kada nema periodikog potencijala.
Crvenom, plavom i zelenom linijom su oznaene vrpceenergija indeksa
n = 1, 2 i 3. Periodinost dobivenih energija naznaena je crtkanim
linijama.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raun smatnje za sinusni potencijalOpenito raun smetnje za
proizvoljni potencijal:
n (0)n k =n
(0)k |V|(0)n
E(0)k E(0)n
(0)k + . . .
En E(0)n + (0)n |V|
(0)n
k =n
|(0)k |V|(0)n |2
E(0)k E(0)n
+ . . .
U sluaju sinusnog potencijala:
k(x) ekx
[1 V1
E(0)k+G E(0)k
e+Gx V1E(0)kG E
(0)k
eGx]+ . . .
Ek E(0)k |V1|2
E(0)k+G E(0)k
|V1|2
E(0)kG E(0)k
+ . . .
gdje je
G =2
auoiti da je: E(0)k,n =
2
2me
(k+
2
an)2
= E(0)k+nG
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pristup preko rauna smatnje Raun smetnje divergira za valne
brojeve na rubu Brillouinovezone:
E(0)k E(0)kG
Za valne brojeve oko ruba Brillouinove zone treba koristiti
raunsmetnje za energijski degenerirana stanja:
det
E(0)k E V1V1 E(0)kG E
To su mjesta u kojima energija ima diskontinuitet.
-3 -2 - 0 2 3k
0
10
20
30
40
Ener
gije Energija dobivena ra-
unom smetnje.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Energija kao funkcija valnog broja dobivena raunom smetnje
-3 -2 - 0 2 3
Ener
gije
1. BZ
2. BZ2. BZ
3. BZ3. BZ
Energija kao funkcija valnog broja u shemi proirenih zona.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Veza izmeu metode matrice i rauna smetnje
-3 -2 - 0 2 3k
Ener
gije
Energija prikazana u proirenoj zoni valnih brojeva.Rezultat
dobiven iz vlastitih vrijednosti beskonane matrice, za valne
brojeve unutar 1BZ, moe sepovezati s rjeenjem dobivenim pomou rauna
smetnji ako se dijelovi vrpci translatiraju za vektorereciprone
reetke (G = 2na , n = 0, 1, 2, ).
Energija estice koja se giba u periodinom potencijalu moe se
promatrati kao jednadiskontinuirana funkcija u shemi proirenih zona
(k moe biti beskonaan) ili kao viestruka funkcijaunutar prve
BZ.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Saetak rezultata
Energijski spektar periodina je funkcija valnog broja. Period
jevektor reciprone reetke.
Vrpasta struktura spektra moe se prikazati: s valnim vektorima
iz podruja 1. Brillouinove zone kao viestrukafunkcija
ili s valnim vektorima iz proirene zone kao jedinstvena
isprekidanafunkcija.
Za valne brojeve blizu ruba Brillouinove zone dolazi do
cijepanjaenergije i otvaraju se podruja (ili zona) zabranjenih
energija.
Ne postoji periodiko stacionarno Blochovo stanje za energije
izzabranjene zone.Valne funkcije tih energija imaju valne brojeve s
imaginarnimdijelom.
Podruja zabranjenih energija sve su ua kako broj zone raste.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Doputene i zabranjene vrijednosti energija
- 0
Ener
gije
dopustene i zabranjene energije
Energija kao vieznana funkcija valnog broja u shemi reducirane
zone (1. BZ).
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodiki dio Blochove funkcije
10 5 0 5 100.0
0.5
1.0
1.5
2.0
10 5 0 5 102.01.51.00.50.00.51.01.52.0
10 5 0 5 101.00.50.00.51.01.5
Periodiki dio Blochove funkcije (realni dio) za tri stanja
najnie energije valnog broja k = 0.0.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Periodiki dio Blochove funkcije
10 5 0 5 101.00.50.00.51.01.52.0
10 5 0 5 102.01.51.00.50.00.51.01.52.0
10 5 0 5 101.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Blochove funkcije (realni dio) za tri stanja najnie energije
valnog broja k = 0.2/a.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
irina doputenih energijskih zona
0 20 40 60 80 100
V1
150
100
50
0
50
100
sirin
a vr
pci
Zabranjene i doputene zone za 1d sustav kao funkcije jaine
sinusnog potencijala (V1). ZaV1 h2/(mea2) doputene energije postaju
uske vrpce.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u viim dimenzijama
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u viim dimenzijama
Budui da je potencijal periodika funkcija, moe se razviti
uFourijerov red:
V(r) =Gm
VGm erGm (m je trojka cijelih brojeva)
Periodiki dio Blochove valne funkcije je takoer periodika
funkcija,pa:
uk(r) =Gm
uk,Gm erGm
i pri tome Fourijerove komponente zadovoljavaju skup
matrinihjednadbi
2
2me
(k+ Gm
)2uk,Gm +
n
VGn uk,GmGn = Euk,Gm
Radi se o problemu nalaenja vlastitih vrijednosti i vlastitih
vektorabeskonane matrice!
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u viim dimenzijamaAko su Fourijerove
komponente sinusnog potencijala male, priblinarjeenja se mogu
dobiti raunom smetnje. To je ekvivalentno rezanjumatrice na manji
broj Fourijerovih komponenti.
Raun smetnje divergira ako su energije vala i rasprenog
valapriblino iste - degenerirane. To se dogaa za valne brojeve:
2
2me
(k Gm
)2
2
2mek2 odnosno 2 k Gm = G2m
Jednadba je zadovoljena ako je k = 0.5 Gm. To odgovaravalnom
broju koji se nalazi na polovici spojnice izmeu voritareciprone
reetke, tj. na povrini koja omeuje Brillouinovuzonu.
Jednadba je zadovoljena i za valne vektore koji imaju
ikomponentu koja je okomita na spojnicu:
k = 0.5Gm + k gdje je k Gm = 0
To su valni brojevi na rubu Brillouinove zone!
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sinusni potencijal u viim dimenzijama
I u sluaju viih dimenzija energijski spektar formira vrpce.
Izmeu vrpci postoji procijep, podruje zabranjenih energija,
kojije rezultat viestrukog rasprenja estica na
periodikompotencijalu.
Ako u potencijal uleti estica energije iz zabranjenog
podrujaenergija, njena valna funkcija trne od povrine
premaunutranjosti. Takva estica se odbije/reflektira od
povrinepotencijala (tijela).
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Primjer energijskih vrpci za 2d kvadratnu reetku
Energijske vrpce za 2d kvadratnu reetku. Potencijal:
V(r) = 2V1[cos
(2xa
)+ cos
(2ya
)]
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1. i 2. Brillouinova zona
3 2 1 0 1 2 33
2
1
0
1
2
3
-4.50
0
-3.0
00
-1.500 -1.50
0
-1.50
0 -1.500
0.000 0.000
0.000 0.000
1. Brillouinova zona
3 2 1 0 1 2 33
2
1
0
1
2
3
14.500
14.500 14.5
00
14.500
15.500
15.500 15.5
00
15.500
18.000
18.0
00
18.000
18.00021.000
24.0
00
27.000
30.000
2. Brillouinova zona
Plohe konstantne energije u 1. i 2. Brillouinovoj zoni.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Proirena Brillouinova zona
6 4 2 0 2 4 66
4
2
0
2
4
6Prosirena Brillouinova zona
Plohe konstantne ener-gije u proirenoj Bril-louinovoj zoni
priblinoslijede oblik kugle kojapredstavlja Fermi povr-inu u sluaju
konstant-nog potencijala.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Brillouinove zone
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Brillouinove zone
1d sustav:1. Brillouinova zona: valni brojevi u [a ,+
a ]
2. Brillouinova zona: valni brojevi u [ 2a ,a ] i [+
a ,+
2a ]
3. Brillouinova zona: valni brojevi u [ 3a ,2a ] i [+
2a ,+
3a ]
itd.Sve zone imaju istu veliinu (u 1d istu duinu)!
2d sustav:kvadratna reetka heksagonska reetka
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Proirena Brillouinova zona za 2d
Zone se dobivaju tako da polovimo prav-cima (povrinama u 3d)
spojnice nekogvorita s prvim susjednim voritima, po-tom s drugim
najbliim susjednim vori-tima, zatim s treim najbliim
susjednimvoritima itd.
Na slici je prikazana shema proirenihBrillouinovih zona za 2d
kvadratnu re-etku. Pojedine zone obojene su razli-itim bojama.
Svaka zona dodiruje pret-hodnu zonu duinom pravca. Ukupna po-vrina
svake od zona jednaka je povrini1 BZ.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1. Brillouinova zona za 3d
Volumno centrirana kubna reetka Plono centrirana kubna
reetka
Vie zone su izuzetno kompleksni poliedri.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Neki odgovori
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Izolatori i metali
Tvari u kojima je postoji procijep u energiji izmeu popunjenih i
praz-nih kvantnih stanja su izolatori.
Sustav u kojem tee struja nalazi se u stanju neravnotee:broj
estica koje se gibaju u jednom smjeru i u suprotnom smjerunije
isti.
Takvo se stanje moe postojati samo u sustavima koji
imajudjelomino popunjenu vrpcu (na T = 0).
Metali imaju djelomino popunjenu vrpcu, a izolatori
imajuprocijep izmeu popunjenih i praznih kvantnih stanja.
Koji to elementi/tvari imaju djelomino popunjenu vrpcu i
zato?
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Izolatori i metali
Broj kvantnih stanja u 1BZ jednak je broju jedininih elija
ilibroju atoma u monoatomnim tvarima:
k
=V
(2)3
1BZ
dk =V
(2)3 (2)
3
Vc= N
U jednovalentnim elementima (Na, K, Cu, ) broj elektrona
jejednak broju atoma. Pola elektrona ima spin prema gore, a
polaspin prema dolje pa je vrpca polapopunjena!
Za jednovalentne elemente i tvari u kojima je broj
elektronajednak broju jedininih elija oekujemo da su uvijek
metali.Meutim postoje iznimke!
Dvovalentni elementi (Mg, Ca, ) kompletno popunjavaju
vrpcu.Dvovalentni elementi (2. skupina) su ipak metali jer dolazi
doprekrivanja popunjene i prazne vrpce. Ne postoji procijep
uenergijskom spektru.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
Lon Brillouin (18891969)Francuski fiziar
Paul Karl Ludwig Drude(1863-1906)
Njemaki fiziar
Arnold Johannes WilhelmSommerfeld (18681951)
Njemaki fiziar
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
Enrico Fermi (19011954)Talijansko-ameriki fiziar
NN 1938za stvaranje novih elemenata neutronskim
zraenjem
Felix Bloch (1905-1983)vicarski fiziar
NN 1952za razvoj NMR mjerenja
UvodDrude-Sommerfeldov modelTermodinamika svojstva
metalaElektron u periodinom potencijaluElektronska struktura
materijalaElektronski spektar u sinusnom potencijaluSinusni
potencijal u viim dimenzijamaBrillouinove zoneNeki odgovoriFoto
galerija
