Embed Size (px)
Citation preview
1
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTETSARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA I -predavanja za 1.sedmicu nastave-
1. FIZIČKE OSNOVE MEHANIKE
1.1 Uvod
Fizika je fundamentalna prirodna znanost ( nauka ) ; ona proučava opća svojstva izakone kretanja materije, počevši od kretanja ( gibanja ) tijela pa sve do strukture isvojstva fizikalnog polja i prostora. Fizičari nastoje otkriti zakone o ponašanju materije uraznim uvjetima i dobivena saznanja primijeniti u tehnologiji i tehnici.
Riječ fizika dolazi od grčke riječi ϕυσιζ (fisis), što znači priroda i zato se, dugovremena, fizika zvala filozofija prirode.
Tvar (supstanca) je jedan od osnovnih oblika materije; sva tijela u prirodi izrađena su odtvari. Fizikalno polje (npr. gravitacijsko, električno itd.) također je jedan oblik materije.Materija se nalazi u neprestanom kretanju; ona prelazi iz jednog oblika u drugi, i pri tomeostaje neuništiva i sačuvana. Prostor i vrijeme također su oblici materije i vezani su uz njenokretanje jer se sve promjene materije odvijaju u prostoru i vremenu.
Veza fizike i ostalih prirodnih znanosti vrlo je velika i, ponekad, je teško naći granicuizmeđu fizike, kemije i biologije. Moderna fizika i kemija toliko se isprepliću da se danaskemija može gotovo smatrati posebnom granom fizike. Moderna biologija, posebno njenagrana biofizika, također je tijesno povezana s fizikom i kemijom.
U fizici postoje dvije metode: eksperimentalna i teorijska. Eksperimentalna metodabazira se na eksperimentu i mjerenju. Nekad je lakše doći do određenog fizikalnog zakonateoretski, pomoću matematike, a zatim ga, eventualno, provjeriti eksperimentom. Akoeksperiment potvrdi neku teoretsku pretpostavku, tada se on prihvaća kao prirodni zakon; akoje obori, tada se ta pretpostavka mora promijeniti tako da bi bila u skladu sa mjerenjem.
S obzirom na ove metode fizika se može podijeliti na eksperimentalnu i teoretskufiziku. Teoretska fizika matematički razvija i povezuje fizikalne zakone, dok eksperimentalnafizika izvodi rezultate iz iskustva. Matematika je vrlo važno oruđ fizičara. Ona nam služida prikažemo fizikalne zakone u konciznoj i jasnoj formi, da ih povezujemo jedan iz drugogizvodimo.
1.2 Mjerenje u fizici
Mjerenje je osnova svih prirodnih znanosti, pa i fizike, koja je tipična eksperimentalnaznanost. Engleski fizičar i matematičar W. Thomson, lord Kelvin (1824-1907), istakao jevažnost mjerenja ovim riječima:
"Kad ono o čemu govorite možete izmjeriti i izraziti brojevima, tada znate nešto otome; kada to ne možete izmjeriti, tada je vaše znanje oskudno i nedovoljno..."
Pri istraživanju u fizici prvo moramo uočiti neriješeni problem koji je od znanstvenoginteresa. Zatim precizno mjerimo. Mjerenja ponavljamo nekoliko puta da bi smo što višesmanjili pogrešku mjerenja. Zatim slijedi analiza eksperimentalnih podataka, fizikalnoobjašnjenje eksperimenta i pronalaženje fizikalnih zakona.
A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.A-PDF.com to remove the watermark
2
Mjerenje fizikalnih veličina u stvari je uspoređivanje fizikalne veličine kojumjerimo sa odgovarajućom standardnom istovrsnom veličinom, tzv. jedinicom.
Fizikalna veličina opisuje kvalitativno i kvantitativno neku mjerljivu osobinu fizikalnogstanja ili procesa. Ona omogućuje definiranje fizikalne pojave i njeno opisivanje umatematskom obliku pomoću odgovarajućih jednadžbi. Fizikalne veličine su npr. put,vrijeme, brzina, rad, energija, itd.
Fizikalne veličine označavaju se malim i velikim slovima latinske abecede i grčkogalfabeta. Oznake fizikalnih veličina dogovoreni su na međunarodnom nivou. To suvećinom početna slova engleskih i latinskih naziva. Tako npr. simbol za brzinu je v (velocity,velocitas), vrijeme t (time, tempus), silu F (force) rad W (work) itd.
Fizikalni zakoni se mogu precizno izraziti i pomoću fizikalnih jednadžbi koje povezujufizikalne veličine u tom zakonu.
Mjeriti neku veličinu znači odrediti broj koji pokazuje koliko puta ta veličina sadržiu sebi istovrsnu veličinu dogovorom uzetu za jedinicu. Za neku fizikalnu veličinu nijedovoljno poznavati samo njenu brojčanu vrijednost, već i njenu jedinicu.
Svaka se fizikalna veličina može izraziti pomoću dva faktora, tj. brojčanomvrijednošću i oznakom mjerne jedinice.
{ } [ ]A A A= (1.1)
gdje su { }A brojčana vrijednost i [ ]A mjerna jedinica.
1.3 Međunarodni sistem (sustav) jedinica - SI
Fizikalne veličine mogu se podijeliti na osnovne i izvedene, a ista podjela važi i zamjerne jedinice.
Osnovne fizikalne veličine su one koje ne možemo jednu iz druge izvesti, već ihmoramo definirati. Sve ostale, izvedene, možemo izvesti iz osnovnih.
Osnovne i izvedene jedinice čine sistem ( sistem ) jedinica.Na XI zasjedanju Generalne konferencije za utege i mjere (Conference Generale des Poids
et Mesures-CGPM) 1960. prihvaćen je Međunarodni sistem mjernih jedinica, tzv. SI(Systeme International d'Unites) koji je prihvaćen u cijelom Svijetu.
Dogovorom je odabrano sedam fizikalnih veličina iz kojih se izvode sve ostale.
Osnovne fizikalne veličine i osnovne jedinice Međunarodnog sistema date su u tabeli 1.1.
Veličina Oznaka Mjerna jedinica
Područje fizike
Duljina l metar (m)Masa m kilogram (kg) mehanikaVrijeme t sekunda (s)Termodinamička temperatura T kelvin (K) toplinaJakost električne struje I amper (A) elektricitetJakost svjetlosti I kandela (cd) fotometrijaKoličina tvari n mol (mol) atomska fizika
3
1. Duljina ( dužina )
Jedinica duljine je metar. Metar je dužina koju u vakuumu pređe svjetlost za vrijeme od1/299 792 458 sekunde.
2. Masa
Jedinica mase je kilogram. Kilogram je masa međunarodnog etalona kilograma koji sečuva u Međunarodnom uredu za utege i mjere u Sevresu kraj Pariza.
3. Vrijeme
Jedna sekunda je trajanje od 9 192 631 770 perioda zračenja koje nastaje pri prijelazuelektrona između dvaju hiperfinih nivoa osnovnog stanja atoma Cs133
4. Jakost električne struje
Stalna električna struja ima jačinu jednog ampera (A) ako, prolazeći u svakom od dvaparalelna, ravna, beskonačno dugačka vodiča, zanemarivo malog presjeka, razmaknuta jedan
metar u vakuumu, uzrokuje između njih silu od mN7102 −⋅ (Njutna po metru duljine).
5. Termodinamička temperatura
Jedinica termodinamičke (apsolutne) temperature je kelvin (K). Jedan kelvin (K) jetermodinamička temperatura koja je jednaka 1/273,16 dijelu termodinamičke temperaturetrojne tačke vode.
6. Jakost ( jačina ) svjetlosti
Jedinica jačine svjetlosti je kandela (cd). Jedna kandela je jakost svjetlosti koju uokomitom pravcu zrači površina od 1/600 000 m2 crnog tijela na temperaturi skrućivanjaplatine pod tlakom od 101 325 Pa.
7. Količina tvari
Jedinica za količinu tvari je mol. Jedan mol je količina tvari koja sadrži toliko jednakihčestica (molekula, atoma, elektrona, iona i sl.) koliko ima atoma u 0,012 kg izotopa ugljika6C12 ..
Da bi SI sistem bio pogodan za upotrebu usvojena je i tabela decimalnih dijelova idekadskih višekratnika osnovnih jedinica:
Prefiksifaktor prefiks oznaka faktor prefiks oznaka1024 jota Y 10-1 deci d1021 zeta Z 10-2 centi c1018 eksa E 10-3 mili m1015 peta P 10-6 mikro µ1012 tera T 10-9 nano n109 giga G 10-12 piko p106 mega M 10-15 femto f
4
103 kilo k 10-18 ato a102 hekto h 10-21 zepto z101 deka da 10-24 jokto y
Dopunske jedinicefizička veličina naziv oznaka definicijaugao radijan rad m m-1
prostorni ugao steradijan sr m2 m-2
1.4 Skalarne i vektorske fizičke veličine
Fizičke veličine prema svojoj prirodi mogu se razvrstati na skalarne, vektorske i tenzorske.Skalari su one veličine koje su potpuno određene brojnom vrijednošću i odgovarajućomjedinicom. Takve veličine su: masa, vrijeme, temperatura, rad itd.
Vektori su one fizičke veličine koje su potpuno određene njihovom veličinompravcem i smjerom. Takve veličine su: sila, brzina, ubrzanje itd.
Tenzorske veličine su određene sa tri vektora. Takve veličine su na primjer: tenzorinercije, tenzor viskoznosti, tenzor deformacije i dr.
Vektor predstavljamo usmjerenom dužinom ( u odgovarajućem mjerilu) koja dajeiznos vektora, dok smjer strelice pokazuje smjer vektora. Vektorsku fizikalne veličinu
označavamo malom strelicom iznad simbola: v→
dok iznos vektora (brojnu vrijednost)
označavamo samo slovom bez strelice: v, a često i ovako: →v . Vektore možemo obilježavati i
velikim slovima, koja označuju početak i kraj vektora (npr. AB→
na crtežu 1.1)
Crt. 1.1
Vektori su kolinearni ako su im pravci nosioci paralelni. Pri tom vektori mogu bitijednakog ili suprotnog smjera. Kolinearne vektore jednakog iznosa i smjera smatramojednakim. To znači da vektore smijemo pomicati po pravcu nosiocu i paralelno translatirati jerim se pri tome ne mijenja ni iznos ni smjer.
5
Crt. 1.2
Zbrajanje ( sabiranje ) vektora
Zbroj dvaju vektora a b→
+→
opet je vektor ( )c→
:
c→
= a b→
+→
(1.1)Grafički, vektore sabiramo tako da početak drugog vektora paralelnom transformacijom
dovedemo na kraj prvog: rezultanta je vektor koji ide od početka prvog do kraja drugogvektora, crt. 1.3.
Crt. 1.3
Uočite da vektorski zbroj nije isto što i algebarski, jer iznos vektora →c nije općenito
jednak zbroju iznosa→→bia ,c=a+b samo kada su smjerovi vektora a
→i b
→isti, inače c<a+b
.Ako imamo više vektora, grafički ih zbrajamo na isti način: kraj jednog dovedemo na
početak drugog, početak trećeg na kraj drugog itd. Rezultanta je vektor koji spaja početakprvog i kraj posljednjeg vektora. Tako dobivamo vektorski poligon (mnogokut). Pri tomeredoslijed crtanja nije bitan.
Drugi način zbrajanja vektora je pomoću metode paralelograma. Vektori a→
i b→
određujuparalelogram (crt. 1.4). Dijagonala paralelograma je rezultanti vektor :
c→
= a b→
+→
(1.2)
6
Crt. 1.4Iznos rezultante možemo izračunati upotrebom kosinusova poučka
c a b ab= + + ⋅2 2 2 cosϕ (1.3)gdje je ϕ kut između vektora a i b. Smjer rezultante možemo odrediti kutom ν
bcacb
2cos
222 −+=ϑ (1.4)
Oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora svodi se na zbrajanje. Razlika barr − dvaju vektora a
→i b
→ je vektor
c→
, koji nastaje zbrajanjem vektora a→
i vektora - b→
(crt. 1.5). Negativni vektor - b→
po
iznosu je jednak vektoru b→
, kolinearan je s njim, ali je suprotnog smjera.
Crt. 1.5
Dakle:
c→
= ( )a b a b→
−→
=→
+ −→
(1.5)
Da bi smo vektor b→
oduzeli od vektora a→
, početak oba vektora dovodimo u istu točku:
razlika a→
- b→
je vektor koji ide do kraja vektora b→
do kraja vektora a→
Množenje vektoraVektor a množi se pozitivnim skalarom α tako da mu se iznos pomnoži, a smjer ostaje
isti. Pri množenju negativnim skalarom (α <0), smjer vektora suprotan je smjeru vektora a→
.
c b→
=→
α (1.6)
7
Ctr. 1.6
Vektorski produkt.
Crt. 1.7 a)
8
Vektorski produkt c→
dvaju vektora a→
i b→
označava se →
×→
=→
bac . To je vektorokomit na oba vektora. Njegov smjer određuje se pravilom desne ruke. Prstima ruke idemokraćim putem od prvog do drugog vektora i palac nam određuje smjer vektorskog produkta
c→
. Iznos vektorskog produkta jednak je produktu iznosa jednog i drugog vektora i sinusa
kuta među njima (odnosno površini paralelograma čije su stranice a→
i b→
):cba rrr =× cba rrr =× ;
αsinabc = (1.7)Za vektorski produkt ne vrijedi zakon komutacije, tj.
abba rrrr ×−=× (1.8)
Da bi izračunali vektorski produkt možemo množiti komponente vektora tj.
( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx
rrrrrrrr ++×++=×
( ) ( ) ( ) ( ) ( )jkbaikbakjbakibajibaba yzxzxyzyyx
rrrrrrrrrrrr ×+×+×+×+×=× ,
gdje smo uzeli u obzir da je 0=×=×=× kkjjiirrrrrr
. Sad prihvatimo dogovor da ćemo
upotrebljavati desni koordinatni sistem tj. kjirrr
=× , jkirrr
−=× , ikjrrr
=× , pa dobivamoda je vektorski produkt jednak
( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzy
rrrrr −+−+−=× (1.9)
Vektorski produkt također možemo izračunati koristeći Sarrusovo1 pravilo:
zyx
zyx
bbbaaakji
ba
rrr
rr =× (1.10)
Skalarni produkt.Produkt dvaju vektora čiji je rezultat skalarna veličina zove se skalarni produkt. Skalarni
produkt vektora a→
i b→
označava se simbolom a→
. b→
a jednak je umnošku iznosa obajuvektora i kosinusa kuta među njima:
θcosabba =⋅rr
(1.11)ili
ab abbaba ==⋅rr
1 Vidi Matematički priručnik, I.N. Bronštejn - K.A., Semendjajev
9
gdje su θcosaab = , θcosbba = , projekcije vektora na zadanu osu, crtež 1.8. Znači zaskalarni produkt vrijedi zakon komutacije.
abba rrrr ⋅=⋅ (1.12)
Crt. 1.8
2.5 Koordinatni sistem (sustav)
Svaki vektor možemo prikazati kao zbroj dvaju ili više faktora koje nazivamo njegovimvektorskim komponentama. To je obratan postupak od zbrajanja vektora. Da bi rastavljanjeu komponente bilo jednoznačno određeno, potrebno je poznavati pravce nosiocekomponenata (crt. 1.9), a, pored toga, broj komponenata mora biti jednak dimenziji prostora ukojem se vektori nalaze.
Crt 1.9
Smjer u prostoru najčešće definiramo jediničnim vektorom čiji je iznos jednak jedinici.
Tako je jedinični vektor a0→
u smjeru vektora a→
definiran relacijom:
a0→
= a
a
→(1.13)
10
Izborom triju smjerova određenih jediničnim vektorima k1→
, k2→
, k3→
definiramokoordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru. Izborom koordinatnog sistema možemo
svaki vektor a→
jednoznačno rastaviti u tri komponente a1→
,a2→
,a3→
a→
=a1→
+a2→
+a3→
=a1 k1→
+a2 k2→
+a3 k3→
(1.14)
gdje su a1, a2, a3 skalarne komponente (projekcije) vektora a→
. Najčešće se upotrebljava
sistem s tri međusobno okomita jedinična vektora i j k→ → →, , (crt. 1.10),tzv. Cartesijev
koordinatni sistem. U Cartesijevom sistemu vektor v→
rastavlja se u komponente ovako:
kvjvivv zyx
rrrr ++= (1.14)
gdje su vx,vy,vz skalarne komponente vektora v→
(crt. 1.10). Kako su osi x, y, z međusobno
okomite, veza između iznosa vektora v→
i njegovih skalarnih komponenti je:
222zyx vvvv ++= (1.15)
Crt. 1.10
U fizikalnim razmatranjima često se pojavljuje vektor položaja (radijus vektor) →r koji
opisuje položaj tijela (točke) u prostoru→→→→
++= kzjyixr (1.16)
Skalarne komponente radijus vektora su x, y i z (crt. 2.11), dok mu je iznos:
222 zyxr ++= (1.17)
11
Crt. 1.11
1.6 Materijalna tačka i kruto tijelo
Fizičke pojave su kompleksne tj. ne javljaju se izolirano jedna od druge, nego uvijekskupno. Pod određenim uvjetima neke od tih pojava intenzitetom se izdvajaju od drugih kojese mogu smatrati sekundarnim. Kad će se jedna fizikalna pojava javiti kao primarna ilisekundarna zavisi od uvjeta pod kojima se odvija. Proučavanje fizikalnih pojava sepojednostavljuje ukoliko se pod unaprijed danim uvjetima analizira jedna od njih kaoprimarna, a ostale kao sekundarne, potpuno zanemare. Proučavanje se pojednostavljujeuvođenjem idealiziranih modela fizikalnih procesa. Na primjer, pri razmatranju kretanjamaterijalnog tijela sekundarni su unutarnji procesi koji se odigravaju u njemu kaokompleksnom sistemu pa se mogu i izostaviti, a promatrati model tijela koji je oslobođen tihsekundarnih procesa. Iz tih razloga se u mehanici uvode modeli materijalnog tijela podpojmovima: materijalne točke, apsolutno krutog tijela, apsolutno elastičnog tijela itd.
Materijalna tačka je model tijela čiji se oblik i dimenzije u danom razmatranju moguzanemariti. Na primjer, pri proučavanju kretanja planeta oko Sunca one se mogu smatrati kaomaterijalne točke, čije su mase jednake masama planeta a čije se dimenzije mogu zanemariti uodnosu na veličine rastojanja između Sunca i odgovarajućih planeta.
Apsolutno kruto tijelo je model tijela, koje ni pod kakvim uvjetima ne mijenja svoj obliki dimenzije.
Mehanički sistem je model od više materijalnih točaka ili tijela koja u općem slučajuinteragiraju kako međusobno tako i sa tijelima iz drugih mehaničkih sistema. Ukoliko postojesamo međusobne interakcije onda kažemo da je mehanički sistem izoliran.
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA I
-- predavanja --
MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE 2.1 Kinematika materijalne čestice Mehanika je dio fizike koja proučava zakone kretanja/gibanja tijela, tj. vremensku
promjenu položaja tijela u prostoru. Mehanika se dijeli na kinematiku, dinamiku i statiku kao specijalni slučaj dinamike. Kinematika (od grčke riječi kinein-kretati) proučava kretanja/gibanje, bez obzira na
uzroke kretanja i na svojstva tijela koja se kreću, tj. ne uzimajući u obzir njihovu masu i sile koje na njih djeluju.
Dinamika (dynamis-sila) proučava uzroke kretanja/gibanja i utjecaj sile i mase na gibanje; dinamika za razliku od kinematike, daje fizikalnu suštinu kretanja.
Statika proučava uvjete ravnoteže tijela. Tijelo se kreće/ giba ako mijenja položaj prema nekom drugom tijelu. Da bi smo tu
promjenu položaja izmjerili, za okolinu vežemo određeni referentni sistem/sustav te kažemo: tijelo se kreće ako mijenja položaj prema tom referentnom sustavu
. Svako kretanje/gibanje je relativno kretanje/gibanje prema određenom referentnom sistemu.
Ponekad se pri proučavanju kretanja mogu zanemariti dimenzije tijela i tako čitavo tijelo predočiti jednom tačkom mase m. To je tzv. materijalna tačka koju često nazivamo i česticom, odnosno sitnim tijelom.
Naravno nije uvijek moguće činiti takvu aproksimaciju; npr. pri rotaciji oko vlastite osi moramo uzeti u obzir dimenzije tijela ma kako one bile male. U takvim problemima tijelo zamišljamo kao skup materijalnih točaka čiji međusobni razmaci ostaju uvijek stalni, tj. uvodimo aproksimaciju krutog tijela. Kruto tijelo se dakle ne deformira kad na njega djeluju sile
Položaj materijalne točke najčešće određujemo pomoću njenih koordinata u pravokutnom /pravuglom koordinatnom sustavu./sistemu.
Tako na crt. 2.1 položaj materijalne tačke određen je sa tri broja tj. udaljenostima x, y i z od koordinatnih ravnina.
Umjesto sa x, y i z položaj materijalne točke možemo odrediti i radijus vektorom →r koji
spaja ishodište koordinatnog sistema s materijalnom tačkom.
Vektor r→
zove se vektor položaja materijalne tačke.
1
Crt. 2.1 Ako se materijalna tačka kreće, njene se koordinate mijenjaju u vremenu, tako da ona u
prostoru opisuje neku krivulju, čija je jednadžba:
→+
→+
→=
→ktzjtyitxtr )()()()( (2.1)
Putanja (trajektorija) je dakle skup svih tačaka kroz koje prolazi materijalna tačka
koja se kreće, to je geometrijsko mjesto krajeva vektora r→
(t) Dio putanje koji materijalna tačka pređe za određeno vrijeme zove se put s.Put s je
jednak dijelu luka putanje AB.
Vektor , koji spaja tačku A i B, zove se vektor pomaka materijalne tačke. Pomak je dakle promjena vektora položaja.
→−
→=
→Δ 12 rrr
Pomak Δ r→
je vektor, put Δs je skalar. Očigledno→
≥Δ rs . Jedino ako se tačka kreće po pravcu stalno u istom smjeru, pređeni put jednak je iznosu vektora pomaka.
2.2 Brzina materijalne tačke Količnik promjene vektora položaja Δ r
→i intervala vremena Δt u kojem je ta promjena
nastala, zove se vektor srednje brzine:
trvsr Δ
→Δ
=→
Vektor je, dakle, vektor paralelan sa pomjeranjem →
srv Δ r→
.
2
Da bi smo odredili trenutnu brzinu u momentu t kada se materijalna točka nalazi u položaju A, pustimo da vremenski interval Δt teži nuli, što se matematički može izraziti u obliku:
•→=
→
=Δ
→Δ
→Δ=
→r
dtdr
tr
tv
0lim
Trenutna brzina jednaka je prvom izvodu vektora položaja pokretne tačke po
vremenu. Prema tome, vektor trenutne brzine ima pravac tangente u datoj tački putanje uperen u smjeru kretanja točke.
v→
v→
U Descartesovom pravouglom sistemu brzina kao vektor ima tri komponente duž osa: x, y i z.
v→
kdtdzj
dtdyi
dtdx
dtrdv
rrrrr
++==
S druge strane, vektor brzine može se kao i svaki vektor rastaviti na komponente duž koordinatnih osa i pročitati u obliku:
v→
kvjvivv zyx
rrrr++=
Uspoređivanjem dobivamo:
;•
== xdtdxvx yv dt
dyy
•
== ; •
== zdtdzvz
2.3 Ubrzanje materijalne tačke Pri proizvoljnom kretanju tačke po putanji njen vektor brzine se mijenja. Promatrajmo
kretanje tačkeA po krivolinijskoj putanji crt. 2.2. Vektor promjene brzine koji se desio u intervalu vremena
vrΔΔt jednak je razlici vektora brzina u promatranim trenucima t i t tj. tΔ+
→−
→=
→Δ vvv 1
3
Crt. 2.2
Odnos vektora promjene brzine vrΔ i vremenskog intervala Δt u kome je ta
promjena nastala zove se vektor srednjeg ubrzanja tačke A:
tsrvaΔ
Δ=
→→
S obzirom da je Δt skalarna veličina i veća od nule, vektor→
asr ima isti pravac i smjer kao i vektor . Granična vrijednost ovog izraza zove se vektor trenutnog ubrzanja tačke A u trenutku vremena, tj.
Δv
•→=
→
=Δ
→Δ
→Δ=
→v
dtvd
tv
ta
0lim
Pošto je vektor brzine vd rdt
→→
= ,stavljanjem ove vrijednosti u jednadžbu dobivamo:
..
2
2 →→
== rdt
vdar
U pravokutnom koordinatnom sistemu ubrzanje kao vektor ima tri komponente duž osa x, y i z.
a→
→→→→
++= kdt
zdjdt
ydidt
xda 2
2
2
2
2
2
S druge strane, vektor kao svaki vektor može se predočiti kao a→
→→→→
++= kjia aaa zyx
Uspoređivanjem koeficijenata ispred istih jediničnih vektora dobivamo:
4
..
2
2..
2
2..
2
2
,, zdt
zdydt
ydxdt
xd aaa zyx======
Iznos vektora ubrzanja je:
aaa zyxa 222 ++=
Ubrzanje je vektor koji ima isti pravac kao trenutna promjena brzine. Pošto se pravac
brzine mijenja u smjeru savijanja putanje, ubrzanje je uvijek usmjereno u pravcu udubljenosti krivulje i u općem slučaju pravac ubrzanja nije ni tangenta niti normala na krivulju, ocrt. 2.3.
Crt.2 .3 Ubrzanje možemo rastaviti na dvije međusobno normalne komponente: na
tangencijalno ubrzanje u pravcu tangente i normalno u pravcu ubrzanja u pravcu normale. Tada je
ta na
→→→
+= nt aaa
Crt.2.4 Vektor ukupnog ubrzanja je po definiciji
tv
tv
tva t
t
n
tt ΔΔ
+ΔΔ
=ΔΔ
=
→
→Δ
→
→Δ
→
→Δ
→
limlimlim000
5
Uzimajući u obzir da za RRt ′→′Δ→Δ→Δ ,,0 θθ , dobivamo θΔ=Δ vvn i
RsΔ
=Δθ .Tada su komponente ubrzanja:
00lim τr
rrr
dtvd
tv
a t
tt =ΔΔ
=→Δ
0
2
000limlim n
Rvn
ts
Rv
tv
at
n
tnrr
rr
=ΔΔ
=ΔΔ
=→Δ→Δ
Ukupno ubrzanje
aR
dvdt
v=⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2 2 2
2.4 Vrste kinematičkih kretanja Pojmovi vektora položaja, brzine i ubrzanja i njihovi odnosi omogućuju potpuno
određivanje kretanja materijalne tačke bez poznavanja uzroka toga kretanja. Kretanja materijalne tačke dijele se:
• Prema obliku putanje na pravolinijska i krivolinijska kretanja • Prema brzini kretanja na jednoliko i promjenljivo kretanje • Prema ubrzanju na jednako ubrzana (odnosno usporena) i nejednako ubrzana
(usporena ) kretanja.
2.4.1 Jednoliko kretanje/gibanje duž pravca Najjednostavnije kretanje je jednoliko kretanje/gibanje po pravcu. Za poznavanje
ovog gibana/jkretanja potrebno je definirati položaj tog pravca u prostoru u odnosu na koordinatni sistem i odrediti zakon puta.
Položaj pokretne točke A u svakom trenutku biće određen jednadžbom:
( )r r s t→ → →= +0 τ 0
Ovo je vektorska jednadžba pravolinijskog kretanja. Brzina ovog gibanja određuje se
diferenciranjem ove jednadžbe po vremenu tj. →→
→→
=== 00 ττ vdtds
dtrdv
. Prema gornjoj jednadžbi vektor brzine v je stalan vektor po pravcu i smjeru, njegov iznos zavisi od promjene puta u toku vremena tj.
τ 0
→
dtdsv =
Integriranjem dobivamo pređeni put u toku vremena Cvts +=
6
Crt. 2.5 gdje je C konstanta integracije i određuje se iz početnih uvjeta. Na primjer, za t=0 neka je
s=so tada je i C=so pa će jednadžba imati oblik
0svts += Na crt.2.6 dati su s-t i v-t dijagrami za jednoliko pravolinijsko kretanje.
Crt.2.6. 2.4.2 Pravolinijsko jednako ubrzano kretanje Mnoga ubrzana ili usporena kretanja/gibanja (ubrzanje ili kočenje automobila, slobodni
pad itd.) možemo dobro aproksimirati ovim kretanjem. Kod ovog kretanja/gibanja vektori pomjeranja, brzine i tangencijalnog ubrzanja su istog smjera i pravca. Pošto je
.constdtdva ==
Integriranjem gornje jednadžbe dobivamo 1Catv +=
Neka je za t=0, v=vo tada je C1=vo pa jednadžba dobiva oblik 0vatv +=
koja predstavlja zakon promjene brzine u toku kretanja tačke. Pošto je brzina prvi izvod puta po vremenu gornju jednadžbu možemo napisati u obliku:
0vatdtds
+=
ili
∫∫∫ += dtvdtatds 0
odakle integriranjem dobivamo:
7
202
21 Ctvats ++=
Neka je za to t=0, s=so tada je C2=so pa prethodnu jednadžbu možemo napisati u obliku:
02
21 stvats o ++=
Na crt. 2.7 grafički su predočene funkcije puta, brzine i ubrzanja pravolinijskog jednako ubrzanog kretanja
Crt2.7 2.4.3 Kružno kretanje/gibanje Kada ubrzanje materijalne tačke nema isti pravac kao brzina, već s brzinom zatvara
ugao različit od nule, materijalna tačka uvijek će se kretati po zakrivljenoj liniji. Primjer takvog kretanja je kružno kretanje/ gibanje.
Kretanje materijalne tačke po kružnici je kretanje u ravni. Neka kružnica leži u (x, y) ravnini Cartesijevog koordinatnog sustava (crt. 3.8).
Položaj materijalne točke možemo opisati Cartesijevim koordinatama x i y ili polarnim koordinatama r i ϕ .
Kako je putanja kružnica, iznos radijusa vektora r je konstantan, te se pri kretanju mijenja samo polarna koordinata ϕ .
8
Crt. 2.8 Veza između Cartesijevih i polarnih koordinata materijalne tačke je:
ϕϕ
sincos
ryrx
==
Kut/ugao ϕ se obično izražava u radijanima i jednak je količniku luka s i puluprečnika r
( )radrs
=ϕ 03,571801 ==π
rad
Iz ove relacije slijedi izraz za pređeni put:
rs ϕ= Deriviranjem puta s po vremenu, dobiva se tzv. obodna (linearna) brzina v:
ωϕ rdtdr
dtdsv ===
gdje je
dtdϕω = ugaona/kutna brzina.
Jedinica za ugaonu/ kutnu brzinu je rad s-1 ili s-1, budući da dopunsku jedinicu rad
često ne pišemo. Kutna/ugaona brzina je vektor; čiji je smjer na pravcu ose rotacije i određen je
pravilom desne ruke. Ako prsti desne ruke slijede materijalnu točku, palac pokazuje smjer ω .
9
Crt. 2.9 Pravac ugaone/kutne brzine uvijek je okomit na ravninu kruženja. Obodna/periferna brzina v uvijek je okomita i na vektor r i na vektor ω (crt.2.9).
Kut između r i je π2
, tj sinα = 1 . Zbog toga može se vektorski napisati kao:
→→→
×= rv ω ili
→→
×−= ωrvr
Jednoliko kružno kretanje/gibanje je kruženje s konstantnom uganom brzinom:
.konstdtd
==ωϕ
Integriranjem dobivamo
tωϕϕ += 0
gdje je ugao u momentu t = 0. ϕ 0
Za opisivanje jednolikog kružnog kretanja korisno je definirati frekvenciju i vrijeme
potrebno za jedan puni krug-period. Očito je za jednoliko kružno kretanje:
fTf 1,2 == πω
Jednoliko kružno kretanje je zapravo ubrzano kretanje, jer se pri njemu stalno mijenja
smjer obodne/periferne brzine, crt. 2.10, iako joj iznos ostaje konstantan.
Iznos promjene brzine Δv→
jednak je ϕΔ=Δ vv . Podijelimo li obje strane ove relacije sa Δt uz granični prijelaz , dobivamo iznos za ubrzanje koja mijenja smjer brzine 0→t
:
10
ωϕ vt
vtva
ttr =
ΔΔ
=ΔΔ
=→Δ→Δ
limlim00
Ova akceleracija ima smjer prema središtu kružnice i zbog toga, zovemo je radijalna
(normalna) ili centripetalna akceleracija.
Crt. 2.10
Ako sa označimo jedinični radijus vektor usmjeren prema središtu kružnice, izraz za radijalnu akceleraciju možemo pisati vektorski:
→
− 0r
→→→→
×=−=−= vrr
vrrar ωω 0
2
02r
2.4.4 Nejednoliko kružno gibanje
Pri nejednolikom kruženju iznos obodne/periferne brzine nije više konstantan već se
mijenja s vremenom.
Zbog toga je ukupna akceleracija sastavljena od radijalne akceleracije i tangencijalne
akceleracije .
→
ra→
ta
Radijalna komponente akceleracije je u smjeru →
− r . Tangencijalna komponenta akceleracije je u smjeru tangente. Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa periferne/obodne brzine:
( ) αωω rdtdr
dtrd
dtdvat ===
gdje je
11
2
2
dtd
dtd ϕωα == ugaona/ kutna akceleracija (ubrzanje).
Jedinica ugaone/kutne akceleracije je rads-2. Ako ugaonu akceleraciju definiramo kao vektor čiji je smjer okomit na ravan kruženja,
tada možemo napisati u vektorskom obliku:
→→→
×= rat α
Pri jednolikom kretanju po kružnici odnosno.konst=→
ω α = 0 te je i tangencijalna akceleracija nula.
Pri nejednolikom kružnom kretanju postoji i radijalna i tangencijalna akceleracija.
Radijalna ima smjer , dakle prema središtu kružnice, dok je druga u smjeru tangente. →
− 0r
One su okomite jedna na drugu pa ukupnu akceleraciju dobivamo kao →
a
→→→
+= rt aaa Poseban slučaj nejednolikog kružnog kretanja je kretanje s konstantom ugaonom
akceleracijom (α = konst . ). Zakone takvog kretanja možemo dobiti uzimajući u obzir da je α = konst . i da je u
trenutku t=0, kut ϕ = 0 , a . Integrirajući izraz ω ω= 0 dtd αω = dobivamo:
∫ ∫=ω
ω
αω0 0
t
dtd
odnosno
0ωαω += t Integriranjem izraza ( )dttd 0ωαϕ += dobivamo izraz za ugao/ kut:
( ) ∫∫∫∫ +=+=ttt
dttdtdttd0
000
0
0
ωαωαϕϕ
ϕ
odnosno
002
21 ϕωαϕ ++= tt
Ovi izrazi analogni su izrazima za pravolinijsko kretanje. Tablica pokazuje formalnu
analogiju među formulama pravrolinijskog i kružnog kretanja. Ako u formule pravolinijskog kretanja umjesto s, v i a uvrstimo αωϕ ,, dobivamo formule kružnog kretanja.
12
Pravolinijsko kretanje Kružno kretanje
20
2
002
0
2
2
221
vasv
stvats
svtsdt
sda
dtdsv
+=
++=
+=
=
=
20
2
002
0
2
2
221
ωαϕ
ϕωα
ϕω
ϕα
ϕω
+=
++=
+=
=
=
v
tts
tsdtddtd
13
8
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTETSARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA I --predavanja za 3. sedmicu nastave—
MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE
2.3.3 Kružno kretanje/gibanje
Kada ubrzanje materijalne tačke nema isti pravac kao brzina, već s brzinom zatvaraugao različit od nule, materijalna tačka uvijek će se kretati po zakrivljenoj liniji. Primjertakvog kretanja je kružno kretanje/ gibanje.
Kretanje materijalne tačke po kružnici je kretanje u ravni. Neka kružnica leži u (x, y)ravnini Cartesijevog koordinatnog sustava (crt. 2.8).
Položaj materijalne točke možemo opisati Cartesijevim koordinatama x i y ili polarnimkoordinatama r i ϕ .
Kako je putanja kružnica, iznos radijusa vektora r je konstantan, te se pri kretanju mijenjasamo polarna koordinata ϕ .
Crt. 2.8
Veza između Cartesijevih i polarnih koordinata materijalne tačke je:
ϕϕ
sincos
ryrx
==
Kut/ugao ϕ se obično izražava u radijanima i jednak je količniku luka s i puluprečnika r
( )radrs=ϕ 03,571801 ==
πrad
Iz ove relacije slijedi izraz za pređeni put:
9
rs ϕ=
Deriviranjem puta s po vremenu, dobiva se tzv. obodna (linearna) brzina v:
ωϕ rdtdr
dtdsv ===
gdje je
dtdϕω = ugaona/kutna brzina.
Jedinica za ugaonu/ kutnu brzinu je rad s-1 ili s-1, budući da dopunsku jedinicu radčesto ne pišemo.
Kutna/ugaona brzina je vektor; čiji je smjer na pravcu ose rotacije i određen jepravilom desne ruke. Ako prsti desne ruke slijede materijalnu točku, palac pokazuje smjerω .
Crt. 2.9
Pravac ugaone/kutne brzine uvijek je okomit na ravninu kruženja.
Obodna/periferna brzina v uvijek je okomita i na vektor r i na vektor ω (crt.2.9).
Kut između r i je π2
, tj sinα = 1 . Zbog toga može se vektorski napisati kao:
→→→×= rv ω
ili→→
×−= ωrvr
Jednoliko kružno kretanje/gibanje je kruženje s konstantnom uganom brzinom:
.konstdtd ==ωϕ
Integriranjem dobivamo
tωϕϕ += 0
10
gdje je ϕ 0 ugao u momentu t = 0.
Za opisivanje jednolikog kružnog kretanja korisno je definirati frekvenciju i vrijemepotrebno za jedan puni krug-period. Očito je za jednoliko kružno kretanje:
fTf 1,2 == πω
Jednoliko kružno kretanje je zapravo ubrzano kretanje, jer se pri njemu stalnomijenja smjer obodne/periferne brzine, crt. 2.10, iako joj iznos ostaje konstantan.
Iznos promjene brzine ∆v→
jednak je ϕ∆=∆ vv . Podijelimo li obje strane ove relacijesa ∆t uz granični prijelaz 0→t , dobivamo iznos za ubrzanje koja mijenja smjer brzine
:
ωϕ vt
vtva
ttr =
∆∆=
∆∆=
→∆→∆limlim
00
Ova akceleracija ima smjer prema središtu kružnice i zbog toga, zovemo je radijalna(normalna) ili centripetalna akceleracija.
Crt. 2.10
Ako sa →
− 0r označimo jedinični radijus vektor usmjeren prema središtu kružnice, izraz zaradijalnu akceleraciju možemo pisati vektorski:
→→→→×=−=−= vr
rvrrar ωω 0
2
02r
2.3.3 Nejednoliko kružno gibanje
Pri nejednolikom kruženju iznos obodne/periferne brzine nije više konstantan već semijenja s vremenom.
11
Zbog toga je ukupna akceleracija sastavljena od radijalne akceleracije →
ra i tangencijalne
akceleracije →
ta .
Radijalna komponente akceleracije je u smjeru →
− r .
Tangencijalna komponenta akceleracije je u smjeru tangente.
Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa periferne/obodne brzine:
( ) αωω rdtdr
dtrd
dtdvat ===
gdje je
2
2
dtd
dtd ϕωα == ugaona/ kutna akceleracija (ubrzanje).
Jedinica ugaone/kutne akceleracije je rad s-2.
Ako ugaonu akceleraciju definiramo kao vektor čiji je smjer okomit na ravan kruženja,tada možemo napisati u vektorskom obliku:
→→→×= rat α
Pri jednolikom kretanju po kružnici .konst=→ω odnosnoα = 0 te je i tangencijalna
akceleracija nula.
Pri nejednolikom kružnom kretanju postoji i radijalna i tangencijalna akceleracija.
Radijalna ima smjer →
− 0r , dakle prema središtu kružnice, dok je druga u smjeru tangente.
One su okomite jedna na drugu pa ukupnu akceleraciju →a dobivamo kao
→→→+= rt aaa
Poseban slučaj nejednolikog kružnog kretanja je kretanje s konstantom ugaonomakceleracijom (α = konst.).
Zakone takvog kretanja možemo dobiti uzimajući u obzir da je α = konst. i da je utrenutku t=0, kut ϕ = 0 , a ω ω= 0 . Integrirajući izraz dtd αω = dobivamo:
∫ ∫=ω
ω
αω0 0
t
dtd
12
odnosno
0ωαω += t
Integriranjem izraza ( )dttd 0ωαϕ += dobivamo izraz za ugao/ kut:
( ) ∫∫∫∫ +=+=ttt
dttdtdttd0
000
0
0
ωαωαϕϕ
ϕ
odnosno
002
21 ϕωαϕ ++= tt
Ovi izrazi analogni su izrazima za pravolinijsko kretanje. Tablica pokazuje formalnuanalogiju među formulama pravrolinijskog i kružnog kretanja. Ako u formule pravolinijskogkretanja umjesto s, v i a uvrstimo αωϕ ,, dobivamo formule kružnog kretanja.
Pravolinijsko kretanje Kružno kretanje
20
2
002
0
2
2
221
vasv
stvats
svtsdt
sda
dtdsv
+=
++=
+=
=
=
20
2
002
0
2
2
221
ωαϕ
ϕωα
ϕω
ϕα
ϕω
+=
++=
+=
=
=
v
tts
tsdtddtd
3. DINAMIKA ČESTICE
3.1. Uvod
U kinematici smo proučavali zakone kretanja bez obzira na uzroke koji su to kretanjeproizveli. Sada ćemo proučiti dinamiku koja razmatra fizikalne uzroke kretanja
Osnova dinamike su tri Newtonova asksioma/zakona koje je još 1686. formuliraoengleski fizičar Isaac Newton. Iz tih aksioma može se izgraditi tzv. klasična ili Newtonovamehanika.
Newtonova mehanika izvrsno opisuje makroskopske pojave, dakle tijela dimenzijavećih od atoma i molekula, te brzine mnogo manje od brzine svjetlosti.
13
Za opisivanje mikrosvijeta (atoma i molekula) moraju se primjeniti zakoni kvantnemehanike, a za velike brzine upotrebljavaju se zakoni relativističke mehanike(Einsteinovateorija relativnosti).
Osnovne fizikalne veličine dinamike su sila i masa.U fizici silu opisujemo pomoću njenog djelovanje. Fizička veličina kojom se mjere interakcije između tijela naziva se sila. Djelovanje sile može biti dvojako:
• sila može ubrzati ili usporiti neko tijelo; tj. promjeniti mu stanje kretanja,• sila može promjeniti oblik tijela (deformacija).
U dinamici se proučava samo prvo djelovanje sila, tj. sila kao uzrok promjene stanjakretanja nekog tijela.
Danas je poznato da postoje četiri osnovna tipa međudjelovanja među česticama(molekulama, atomima, te elementarnim česticama). To su gravitacijska sila,elektromagnetska sila, sila slabe interakcije i sila jake interakcije.
Gravitacijska sila djeluje između tijela po Newtonovom zakonu gravitacije:→→
−= 0221 rF
rmmγ
gdje su m1 i m2 mase tijela koje međudjeluju a r, rastojanje između centara masa tih
tijela, 22111067,6 −−⋅= kgNmγ gravitacijska konstanta, r0→
jedinični vektor. Intenzitetgravitacijskih sila srazmjeran je masama tijela a opada sa kvadratom rastojanja između njih,usljed toga ove sile dolaze do izražaja kod tijela velikih masa, kao što su nebeska tijela, idjeluju na velikim rastojanjima.
Elektromagnetne sile potiču usljed međudjelovanja naelektrisanih tijela. Ukoliko sunaelektrisanja u relativnom mirovanju, interakcija je izražena tzv. Coulombovom silom
→→⋅±= 02
21
041 rF
rqq
πε
gdje su q1 i q2 naelektrisanja a r-rastojanje između centara tih naelektrisanja,112
0 1085,8 −−⋅= Fmε dielektrična konstanta vakuuma.Ukoliko se naelektrisanje kreće u mangetnom polju B, na njega djeluje magnetna sila:
( )BvqFrr×=
→
gdje je v→
brzina naelektrisanja, q naboj a B→
magnetska indukcija. Ako osim mangetskog,na naboj djeluje i električno polje, ukupna elektromagnetska (Lorentzova) sila je vektorskizbor električne i magnetske sile:
F qE q v x B→ → → →
= +
Međudjelovanje između molekula, atoma kao i sile unutar atoma su elektromagnetskeprirode, koje dolaze do izražaja na relativno malim rastojanjima. Intenzitet elektromagnetskihinterakcija je mnogo puta veći od intenziteta gravitacijskih.
Nuklearne sile djeluju između čestica atomskog jezgra bez obzira na njihovonaelektrisanje. Nuklearne sile djeluju na malim rastojanjima, oko 10-15 m i velikog suintenziteta, većeg i od elektromagnetskog.
14
Masa je svojstvo svakog tijela koje određuje njegovo ponašanje pri djelovanju sile: što jemasa tijela veća ono je tromije (intertnije), to ga je teže ubrzati ili usporiti, tj. promjeniti mustanje kretanja. Masa je mjera tromosti (inercije) tijela. Kvantitativna mjera za inercijupredstavlja fizikalnu veličinu koja se zove masa. Ova fizikalna veličina određuje inertna igravitacijska svojstva tijela.
.
3.2. Prvi Newtonov aksiom/zakon
Još je Galilei uočio da tijelo na koje ne djeluju vanjske sile ostaje na miru ili se krećejednoliko po pravcu. Da pokrenemo tijelo koje miruje potrebna je određena sila; također,tijelo koje se kreće jednoliko po pravcu ostat će u tom stanju kretanja sve dok na njega nedjeluje neka vanjska sila
.
. Svojstvo tijela da održava svoje stanje kretanja/kretanja ili mirovanja zovemo, tromost iliinercija. ustrajnost
Proučavajući Galileieva razmatranja, došao je Newton do svojeg prvog zakona/aksiomaSvako će tijelo ostati u stanju mirovanja ili jednolikog kretanja po pravcu svedok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne promijeni.
Prvi Newtonov aksiom se često zove i princip inercije.
Položaj tijela određujemo s obzirom na neko drugo tijelo (okolinu) izborom referentnogsistema/sustava. Prvi Newtonov zakon ne važi u svakom referentnom sistemu.
Sistemi u kojima važi prvi Newtonov aksiom su inercijalni sistemi/ sustavi;prihvaćanjem ovog aksioma ograničili smo se na opisivanje pojava u inercijalnimsustavima.
Svaki sistem koji miruje ili se kreće jednoliko po pravcu s obzirom na neki inercijalnisistem opet je inercijalni sistem
. Mirovanje i jednoliko kretanje po pravcu ravnopravni su. Tijelo koje u jednominercijalnom sistemu miruje u drugom inercijalnom sistemu može mirovati ili se kretatiijednoliko po pravcu.
3.3. Drugi Newtonov aksiom/zakon
Drugi aksiom opisuje kako se ponaša tijelo kad na njega djeluje određena vanjska sila F.Iz iskustva je poznato, a i brojni pokusi mogu potvrditi, da je akceleracija tijela
proporcionalna sili i ima smjer sile. Konstanta proporcionalnosti između sile i akceleracije jemasa tijela m:
F m a→ →
= (3.1)Masa je mjera za inerciju (tromost) tijela: što je masa tijela veća, to je za isto ubrzanje
potrebna veća sila. Masa koja se pojavljuje u gornjoj relaciji naziva se, upravo zbog togsvojstva, tromom masom tijela.
Ovu vezu između sile, mase i akceleracije zovemo drugi Newtonov zakon unerelativističkom obliku ili jednadžba kretanja.
Napisan u ovom obliku 2. Newtonov aksiom vrijedi u granicama valjanosti Newtonovemehanike, tj. za brzine mnogo manje od brzine svjetlosti i zato se i zove nerelativistički.
Pomoću gornje jednadžbe možemo izvesti jedinicu za silu[ ] [ ][ ]F m a kg ms kg ms N= = ⋅ = ⋅ =− −1 1 1 12 2
15
Jedinica za silu je dakle 1 njutn (N). 1N je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od1 m/s2.
Da bismo općenito formilirali 2. Newtonov aksiom, potrebno je definirati količinukretanja/kretanja tijela (impuls tijela). To je vektorska veličina jednaka produktu mase ibrzine:
p m v→ →
= (3.2)
Newtonova formulacija drugog aksioma/zakona glasi:Brzina promjene količine kretanja/kretanja proporcionalna je sili i zbiva se upravcu te sile:
Fd
dtm v
d p
dt
→ →→
= ⋅
= (3.3)
Ovako napisan 2. Newtonov aksiom vrijedi i za velike brzine (uporedive s brzinomsvjetlosti); zato se formula (3.3) često zove relativistički oblik drugog Newtonovogaksioma. Formula (3.3.) prelazi u (3.1.) u slučaju kad su brzine tijela malene u usporedbi sbrzinom svjetlosti (v << c). U tom slučaju masa tijela je konstantna, te je:
F
d m v
dtmd v
dtm a
→
→→
→=
= = (3.3)
Ova jednadžba predstavlja diferencijalnu jednadžbu kretanja tijela, u kojoj je F→
rezultanta
svih interakcija tijela mase m sa svim drugim tijelima, a a→
ubrzanje tijela u odnosu na nekiinercijalni sistem.
Prvi i drugi Newtonov aksiom su neovisni jer prvi konstatira svojstva tijela, a drugikarakterizira kretanje tijela pod djejstvom sile.
Jednadžba (3.3) predstavlja drugi Newtonov zakon u vektorskom obliku.
Odgovarajuće skalarne jednadžbe su:
xxF
vmd
dtmd x
dt= =
2
2
yy
F mdv
dtmd y
dt= =
2
2(3.5)
zzF
dv
dtmd z
dt= =
2
2
TežinaTežina tijela (G) je sila kojom tijelo djeluje na horizontalnu podlogu ili na objesište u
slučaju da je obješeno. Težina tijela uzrokovana silom teže, usmjerena je vertikalno prema dolje i iznosi:
G m g→ →
= (3.6) gdje je g ≈ 981, ,
akceleracija sile teže.
16
3.3. Treći Newtonov aksiom/zakon
U prvom i drugom Newtonovom aksiomu govori se o sili ili silama koje djeluju naodređeno tijelo, ne vodeći računa o izvorima tih sila. Pošto sila u krajnjem slučajukarakterizira interakciju dva tijela, njihova uloga pri interakciji se definira
trećim Newtonovim zakonom/aksiomom koji glasi:
Svakom djelovanju (akciji) uvijek je suprotno i jednako protudjelovanje(reakcija). Djelovanja dvaju tijela jednog na drugo uvijek su jednaka i protivnogsmjera.
Treći Newtonov aksiom kao i prva dva potiče iz uopštavanja eksperimentalnih činjenica.
Na primjer, ako tijelo A (Zemlja) mase mA djeluje na tijelo B(kamen) mase mB, silom F BA
→
crt. 3.1., onda će i tijelo B djelovati na tijelo A silom F AB
→. Ove sile su jednake po iznosu i
pravcu a suprotnog su smjera, pa se može napisati:
F FBA AB
→= −
→(3.7)
(Jedna od ovih sila, recimo F BA
→, zove se akcija i njena napadana točka je u tijelu B
(kamenu), odnosno sila F BA
→napada tijelo B. Druga sila tj. F AB
→ zove se reakcija, njena
napadna točka je u tijelu A Zemlji) koje napada. Koju, od pomenutih sila, ćemo nazvatiakcijom a koju reakcijom sa fizičkog stanovišta je sasvim svejedno, jer su obe bile iste
prirode. Pod dejstvom sila F BA
→ i F AB
→, respektivno tijelo B i tijelo A mogu promjeniti stanje
kretanja (dinamičko djelovanje sile) ili pak izvršiti kakvu deformaciju svog oblika (statičkodjejstvo sila).
Crt. 3.1.Karakteristike kretanja tijela pod djelovanjem sile određene su drugim Newtonovim
aksiomom po kojem, u našem primjeru, tijela dobivaju ubrzanja:
aF
mb
BA
B
→→
= i a F
mA
AB
A
→→
=
dakle prema jednadžbi (3.7) dobivamo:;
m a m aB B A A
→ →= − ili a m
maB
A
BA
→ →= −
odnosno
17
a aAB
AB
mm
→ →= − (3.8)
Dakle, oba tijela mijenjaju stanje kretanja/kretanja (dobivaju ubrzanja) zbog uzajamnogdjelovanja, samo je ta promjena, prema jednadžbi (3.8) obrnuto proporcionalna masi tijela.
djelovati na stol silom Q→
čiji je pravac vertikalan a smjer na niže (ka centru Zemlje).
Napadna tačka sile Q→
će se nalaziti na stolu. S druge strane, stol će djelovati na uteg silom R→
čiji je pravac i iznos isti kao kodNa osnovu razmatranja sva tri Newtonova aksioma kao jedinstvene cjeline, za inercijalne
sustave može se zaključiti slijedeće: svako ubrzanje tijela uvjetovano je nekom silom.Svaka sila je mjera djelovanja nekih drugih tijela na uočeno tijelo i na kraju, sile imajukarakter uzajamnog djelovanja.
Aksiome koje je formulirao Newton predstavljaju uopštavanje iskustvenih činjenica kojesu bile poznate i prije njega. Newtono-zasluga je u tome đto je on pokazao da se svamehanička kretanja mogu opisati pomoću pomenuta tri aksioma, uzetih kao osnova mehanike,pa se često ta mehanika zove i Newtonova mehanika.
18
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTETSARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA I --predavanja za 5. sedmicu nastave--
3. DINAMIKA ČESTICE
3.5. Diferencijalna jednadžba kretanja
Prvi i drugi Newtonov aksiom određuju odnose između kinematičke veličine ubrzanja i dinamičkihveličina, mase tijela i rezultujuće sile koja djeluje na njega, tj.
d r
dt
F
m
2
2
→ →
= (3.9) Ovoj vektorskoj jednadžbi
odgovaraju tri skalarne jednadžbe u pravouglom koordinatnom sistemud x
dt
F
mx
2
2= ; d y
dt
F
m
y2
2= ; d z
dt
F
mz
2
2= (3.10)
Iz eksperimentalnih proučavanja djelovanja neke sile na određeno tijelo, mase m, relativnog vektora
položaja r→
i brzine v→
, ustanovljeno je da u općem slučaju sile interakcije dva tijela zavise odrelativnog položaja i brzine oba tijela, po nekom određenom zakonu, koji se može izrazitimatematičkom funkcijom u obliku:
F F r v t→ → → →
=
, , (3.11)
S obzirom na jednadžbu (3.11) drugi Newtonov aksiom možemo izraziti u obliku:
md r
dtF r v t
2
2
→→ → →
=
, , (3.12) ili
F md x
dti
d y
dtj
d z
dtk
→ → → →= + +
2
2
2
2
2
2(3.13)
Ako su poznati: rezultantna sila F F r v t→ → → →
=
, , koja djeluje na tijelo i njegov početni položaj i brzina
(početni uvjeti), onda se zadaća dinamike sastoji u određivanju kretanja tijela pod djelovanjempomenute sile.
3.5.1. Pravolinijsko kretanje materijalne točke pod djelovanjem konstantnesile
Ako se materijalna tačka kreće duž jednog pravca, kaže se da je kretanje pravolinijsko. To može dabude i jedna od osa pravokutnog koordinatnog sustava, na primjer x-osa. Diferencijalna jednadžba pravolinijskog kretanja materijalne točke po x-osi, na osnovu jednadžbi(3.12) biće:
19
md x
dtF x
dx
dtt
2
2=
, , (3.14) Kod ovog kretanja, sila F→
i
početni parametri xo i vox moraju imati stalan pravac, i to x-ose.Kao primjer ovakvog kretanja uzima se slobodni pad materijalne točke ili vertikalni hitac uvakuumu pod djelovanjem sile teže, koja se može smatrati da je konstantna na malim rastojanjima uodnosu na poluprečnik Zemlje. Komponente sile teže prema crt. 3.2. su: Fx = mg, Fy = Fz = 0.
Crt. 3.2.Diferencijalna jednadžba kretanja u ovom slučaju prema (3.14) je:
md x
dtmg const
2
2= = (3.15)
odakle,d
dt
dx
dtg
=
Integriranjem dobivamodx
dtgt C= + 1 (3.16)
gdje je C1 integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uvjeta kretanja. Ponovnim integriranjemdobivamo,
x gt C t C= + +1
22
1 2 (3.17)
gdje je C2 nova integraciona konstanta.
Jednadžba (3.17) je opće rješenje diferencijalne jednadžbe kretanja materijalne točke pod djelovanjemsile teže. Prema veličini početne brzine razlikuju se tri slučaja ovog pravolinijskog kretanja: slobodnipad,hitac u vis i hitac na dolje.
Slobodni pad.
Pri slobodnom padu materijalna točka počinje kretanje bez početne brzine, tj. za t = 0, vx (0) = 0 i x(0)= xo. Za ove početne uvjete dobivamo da je C1 = 0 i C2 = xo, pa imamo:
xvdx
dtgt= = i x gt x y z= + = =
1
20 02
0, , (3.18)
odnosno( )v g x x gsx = − =2 20 (3.19)
20
Hitac u vis se dobiva iz jednadžbe (3.17) pri početnim uvjetima: za t =0, ( )v v0 0= − i x(0) = 0, štoznači da se materijalna točka kreće suprotnom brzinom vo u odnosu na x-osu. Za ove početne uvjete izjednadžbe (3.16) dobivamo C1 = -vo a iz jednadžbe (3.17) C2 = 0 pa jednadžba brzine i puta hitca u visimaju oblik:
vdx
dtgt vx = = − 0
i
x gt v t y z= − = =1
202
0 , (3.20)
Hitac na dolje.Kod hitca na dolje materijalna točka polazi iz točke A početnnom brzinom vo, usmjerenom na dolje, usmjeru ose-x. Za ove početne uvjete, t=0, vx(0) = vo i x(0) = xo, dobivamo da je C1 = vo i C2 = xo.Brzina i pređeni put kod hitca na dolje može se izraziti kao:
vdx
dtgt vx = = + 0
i
x gt v t x= + +1
22
0 0 (3.21)
3.5.2. Kretanje materijalne točke po djelovanjem sile oblika ( )F F v→ → →
=Kao primjer za ovo kretanje, promatrajmo kretanje materijalne točke kroz neku otpornu sredinu.Prema eksperimentalnim podacima svaka sredina pruža otpor izražen kao sila otpora pri kretanjunekog tijela kroz nju. Sila otpora zavisi od fizičkih svojstava sredine, brzine kretanja i dimenzijačestice. Ako su dimenzije i brzina čestice male, tada je sila otpora sredine proporcionalna brzinikretanja čestice, tj.
F k v→ →
= − 1 (3.22)
Znak minus označava da je sila suprotnog smjera, prema brzini čestice, a broj k1 > 0, zavisi odsvojstava sredine i dimenzija čestice. Na primjer, za kuglicu poluprečnika r, sila otpora po Stokesu
F rv→ →
= −6πη , gdje je η - koeficijent viskozne sredine.Razmotrimo kretanje materijalne točke početne brzine vo u pravcu i smjeru x-ose u otpornoj sredinikoeficijenta k1, crt. 3.3
Crt. 3.3
Jednadžba kretanja materijalne točke za ovaj slučaj je:
md x
dtk vx
2
2 1= − (3.23)
ili
21
dv
dt
k v
mvx xx= − = −1 α (3.24)
gdje je
α =k
m1
Razdvajanjem promjenljivih i integriranjem, dobivamo:dv
vdtx
x
= − ∫∫ α
odnosnolnv t Cx = − +α 1 (3.25)Pošto je iz početnih uvjeta za t=0, vx(0) = vo, onda dobivamo da je C1 = 1n vo, pa slijediv v ex
t= −0
α (3.26)Kako je α >0, onda je e t−α <1, a to znači da je vx<vo , tj. brzina čestice se smanjuje sa vremenom,njeno kretanje je usporeno. Integriranjem jednadžbe (3.26) dobivamo zakon puta u obliku:
x v e dtve Ct t= = − +− −∫0 0
2α α
α(3.27)
Stavljajući za t=0, x(0) = 0, iz jednadžbe (3.27) dobivamo: C v2
0=α
, a konačna jednadžba puta čestice
je:
( )xv
e t= − −0 1α
α (3.28)
Kad vrijeme raste, član e t−α teži nuli, pa ukupni pređeni put čestice u otpornoj sredini dobivagraničnu vrijednost:
x xv
Dt
= =→∞lim 0
α(3.29)
3.5.3. Pravolinijsko kretanje materijalne tačke pod djelovanjem sile ( )F F v→ → →
=Kao primjer ovom kretanju razmotrimo kretanje naelektrisane čestice u promjenljivom električnompolju. Neka čestica mase m i naelektrisanja e+ ulijeće u pravcu električnog polja koje se mijenja pozakonu:E E t= 0 cosω (3.30)gdje su Eo i ω konstantne veličine.Ako su početni uvjeti kretanja čestice slijedeći: za t = 0, čestica se nalazi na rastojanju xo i ima početnubrzinu vox, u donosu na koordinatni sustav vezan za ploče kondenzatora, crt. 3.3Treba odrediti brzinu i položaj naelektrisane čestice u proizvoljnom trenutku vremena t > 0. Na česticudjeluje elektrostatska sila čija je ovisnost od vremena t izražena jednadžbom:
( )F F t eE t→ → →
= = 0 cosω (3.31)
Pošto je pravac sile F→
uvijek isti kao i vektora E 0
→, a to je pravac x-ose, onda sila F
→ ima samo
komponentu duž x-ose, pa jednadžba kretanja čestice biti:
22
md x
dteE t
2
2 0= cosω (3.32)
odnosnod
dt
dx
dt
eE
mt
= 0 cosω (3.33)
Integriranjem dobivamo:dx
dtv
eE
mtdt
eE
mt Cx= = = +∫0 0
1cos sinωω
ω (3.34)
Ponovnim integriranjem dobivamo izraz za put:
xeE
mt C t C= − + +0
2 1 2ωωcos (3.35)
Koristeći početne uvjete dobit ćemo jednadžbe brzine i puta, kretanja naelektrisane čestice u obliku:
veE
mt vx x= +0
0ωωsin i (3.36)
( )xeE
mt x t xx= − + +0
2 0 01ω
ωcos (3.37)
Crt. 3.4.
3.6. Kretanje čestice u homogenom gravitacijskom polju
Ograničimo naša razmatranja na područje laboratorije, koje je maleno u usporedbi s veličinom Zemlje,pa možemo s dobrom tačnošću uzeti da je gravitacijska sila na česticu svugdje ista po iznosu i ima istismjer na dolje. Ubrzanje naniže zbog te sile dano je lokalnom vrijednošću ubrzanja (obično se uzima
g ms
≈ 981 2, ) pa sila na česticu iznosi mg. Tu silu pišemo vektorski F mg j→ →
= − ⋅ gdje su x, y i z osi
odabrane kao na crt. 3.5.Ako možemo zanemaritidruge sile kao što je trenje, onda iz drugog Newtonovog zakona dobivamojednadžbu kretanja:
md x
dti
d y
dtj
d z
dtk mg j
2
2
2
2
2
2
→ → → →+ +
= − ⋅ (3.38)
Odgovarajuće skalarne jednadžbe po komponentama dobivamo ispuštanjem jediničnih vektora:
md x
dtmd y
dtmg m
d z
dt
2
2
2
2
2
20 0= = − =, , (3.39)
23
Crt. 3.5.
Integracijom (3.39) dobivamo:dx
dtv C
dy
dtv gt C
dz
dtv Cx y z= = = = − + = =1 2 3, , (3.40)
Iz početnih uvjeta kretanja, stavljanjem t = 0) dobivamo:C v v C v v C vx y z1 0 0 2 0 0 3 0 0= = = = = =cos , sin ,α α
Ponovnom integracijom (3.30) dobivamo:dx
dtv= 0 cosα ,odavde slijedi, x v t C= ⋅ +0 4cosα
dy
dtv gt= −0 sinα , odavde slijedi, y v t
gtC= ⋅ − +0
2
52
sinα (3.41)
dz
dt= 0 , odavde slijedi,z=C6
Iz početnih uvjeta kretanja, stavljanjem t=0 u jednadžbe (3.41) dobivamo:C3=x0,C5=y0,C6=0Zamjenom vrijednosti integracionih konstanti u jednadžbe (3.40) i (3.41) dobivamo jednadžbe brzine iputa u ovisnosti od vremena kod promatranog kretanja:v vx = 0 cosαv v gty = −0 sinα (3.42)vz=0ix v t x= ⋅ +0 0cosα
y v tgt
y= ⋅ − +0
2
02
sinα (3.43)
z=0Eliminiranjem vremena t iz jednadžbi (3.43) dobivamo jednadžbu putanje kosog hitca:
( ) ( )y y tg x xg
vx xo
o
= + − − −αα0 2 2 0
2
2 cos(3.44)
Ako su vo, g i α - zadane konstante, jednadžba (3.33) predstavlja parabolu, crt. 3.5 Njeno tjemeodređeno je maksimumom funkcije, pa dobivamo:
24
( )dydx
tgg
x xv
= − − =αα0
2 2 0 0cos
(3.45)
pa će koordinate tjemena biti:
xg
xTv= +02
02
2sin α , yg
yv0
02
20
2= +sin α (3.46)
Rastojanje D = xd - xo naziva se domet kosog hitca i dobija se iz uvjeta y = yo, prema jednadžbi(3.46) imamo,
D tg
g gv v= =2 20
2 202cos sinα α α (3.47)
3.7. Kretanje naelektrisane čestice u homogenom električnom polju
Jednadžba kretanja za naboj q i masu m u električnom polju E→
, koje je homogeno u prostoru istalno u vremenu glasi
F m a qE→ → →
= = (3.48)
gdje je q naboj čestice, E→
vektor električnog polja. Iz (3.48) dobivamo:
ad r
dt
q
mE
→→
→= =
2
2(3.49)
Integriranjem po vremenu i
koristeći početne uvjete, za t=0 ,v v→ →
= 0 i r r→ →
= 0 , dobivamo
rqE
mt v t r
→→
→ →= + +2
20 0 (3.50)
Kao primjer za kretanje nelektrisane čestice uzmimo, kretanje protona u smjeru polja, crt. 3.6. Nabojprotona je ( )+ ⋅ −e C16 10 19, . Brzinu protona možemo dobiti iz relacije (3.49) integriranjem
d r
dt
e
mE t v
→→ →
= + 0
odnosno
( )v te
mE t vx x x= + 0
v vx x= = 0
Crt. 3.6
25
Drugi primjer za kretanje naelektrisane čestice uzmimo, kretanje elektrona brzinom v0→
okomito na
električno polje E→
, crt. 3.7
Crt. 3.7.
Sila koja djeluje na elektron F eE→ →
= − , odnosno Ey=-eE
Prema jednadžbi (3.50) možemo napisati skalarne jednadžbe kretanja elektrona u homogenomelektričnom polju: x=v0xt+x0
yat
v t yy= + +2
0 02
Na osnovu drugog Newtonovog aksioma dobivamo ubrzanje elektrona
m a eE→ →
= −
za pločasti kondezator E U
d= , gdje je U napon na krajevima kondenzatora, a d razmak, dobivamo
vrijednost ubrzanja
aeU
mdy = −
Uvrštavanjem početnih uvjeta dobivamo:x=v0t
yeE
mt= −
22
Konačno jednadžba kretanja elektrona je dio parabole
yeU
mdx
v= −
2 02
2 (3.51)
Uslučaju protona mijenja se smjer ubrzanja a time i oblik parabole.
3.8. Kretanje naelektrisane čestice u homogenom magnetskom polju
Jednadžba kretanja naelektrisane čestice mase m i naboja q u stalnom magnetskom polju B→
,prema jednadžbi (3.4) glasi
26
md r
dtmd v
dtq v xB
2
2
→ →→ →
= =
(3.42)
Neka je magnetsko polje usmjereno duž osi z, (crt. 3.8) B B kz→ →
=
Crt. 3.8
Na osnovu pravila za vektorski proizvod
v xB
i j k
v v v
B B Bx y z
x z z
→ →
→ → →
= (3.53)
odnosno
( ) ( ) ( )v xB v B v B i v B v B j v B v B ky z z y z x x z x y y x
→ → → → →= − + − + −
Koristeći početne uvjete Bx=By=0 i vz=0, dobivamo:
v B i v B j m v i m v j m v ky z x z x y z
→ → • → • → • →− = + +
pa jednadžba (3.52) prelazi u sistem jednadžbi
vq
mv Bx y z
•= ,v q
mv By x z
•= − ,vz
•= 0 (3.54)
Potražimo rješenja jednadžbi kretanja (3.54) u obliku:
( )v t v tx = 1sinω , ( )v t v ty = 1cosω ,vz=const. (3.55)To je kružno kretanje gledano u ravni xy. Budući da je
v v tx
•= ω ω1cos ,v v ty
•= −ω ω1sin
jednadžbe (3.54) postaju
ω ω ωv t vqB
mtz
1 1cos cos= , − = −ω ω ωv tqB
mv tz
1 1sin sin
Ove jednadžbe će biti zadovoljene ako je
27
ω ω= −qB
mz
c (3.56)
Ovaj izraz definira ciklotronski frekvenciju ωc kao frekvenciju kretanja čestice u magnetskompolju. Bilo koja vrijednost za v1 zadovoljavat će jednadžbe, ali ćemo vidjeti da je v1 u vezi sapoluprečnikom kružne staze.
Do cikolotronske frekvencije možemo doći i na mnogo jednostavniji način. Centripetalno ubzranje(radijalno) u ovom primjeru potiče od magnetske sile q v1Bz koja ima smjer prema središtu rotacije. Budući da je v rc1 = ω , centrifugalno ubrzanje iznosi
12
vr ili c r
2ω .
Izjednačavanjem centrifugalne i centripetalne sile dobivamo:qv B m r m vz c c1
21= =ω ω
gdje je
ωczqB
m=
a poluprečnik/ polumjer kružnice
rmv
qBz
= 1 (3.57)
Kao primjer kretanja naelektrisane čestice u magnetskom polju, može poslužiti, putanja elektrona umagnetskom polju snimljena u laboratoriji (vodikova komora na mjehuriće). Elektron je ušao udonjem desnom kutu, slika 3.1. On se usporava gubljenjem energije na jonizaciju vodikovih molekula.Stoga polumjer zakrivljenosti njegove staze u magnetskom polju opada, pa nastaje ovakva spirala
Slika 3.1.
4.9 Impuls sile i količina kretanja (impuls)Pretpostavimo da na tijelo djeluje stalna sila F
→ u određenom vremenskom intervalu ∆t; kažemo da je
pri tom tijelo dobilo impuls sile F t→
∆ (crt. 3.9)
28
Impuls sile je dakle produkt sile i vremenskog intervala u kojem ta sila djeluje. Impuls sile I→
jevektorska veličina i ima smjer sile:
I F t→ →
= ∆ (3.58)
Crt. 3.9
Ako sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls nađemo tako da vremenski intervalpodjelimo na mnogo malenih intervala. U svakom intervalu impuls je približno jednak produktu sile ivremenskog intervala, jer se sila za tako maleni vremenski interval bitno ne promijeni. Ukupni impulsjednak je zbroju svih tih impulsa. Točnu vrijednost impulsa sile dobivamo uzimanjem graničnevrijednosti tog izraza:
( )I F t F tdtt o
it
t
i
→
→
→ →= = ∫∑
∆∆lim
1
2
(3.59)
Impuls sile jednak je integralu sile po vremenu u kojem ta sila djeluje, odnosno, grafički, površiniispod krivulje F(t).Impuls sile mijenja količinu kretanja tijela na koje sila djeluje.Primjenom 2. Newtonovog zakona izvest ćemo vezu između impulsa sile i količine kretanja tijela nakoje sila djeluje. Prema Newtnovom aksiomu sila je jednaka brzini promjene količine kretanja:
Fd p
dt
d
dtm v
→→
→= =
(3.60)
Za kratko vrijeme dt tijelo će dobiti impuls sile:
F dt d p→ →
=
dok će u vremenskom intervalu ∆t između t1 i t2 primljeni impuls sile biti jednak:
F dt d p p p m v vp
p
t
t → → → → → →= = − = −
∫∫ 2 1 2 1
1
2
1
2
(3.61)
Relacija (3.61) daje vezu između impulsa sile i količine kretanja: impuls sile jednak je promjenikoličine kretanja tijela na koje ta sila djeluje.Ako je tijelo u početku (prije djelovanja sile) mirovalo, tada je impuls sile jednak dobivenoj količinikretanja.Impuls sile i količina kretanja nisu identični pojmovi. Količina kretanja je osobina tijela koje segiba, to je produkt njegove mase i brzine, dok je impuls sile utjecaj sile, tj. okoline napromatrano tijelo.
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO INŽENJERSKA FIZIKA I Predavanja za 6. sedmicu nastave 5. ZAKONI OČUVANJA U PRIRODI 5.1. Uvod U prirodi postoje nekoliko zakona održanja, neki su od njih točni, a neki približni. Zakoni očuvanja su obično posljedica određene temeljne simetrije svemira. Postoje zakoni očuvanja koji se odnose na energiju, impuls, moment impulsa, naboj, broj bariona (protona, neutrona i težih elementarnih čestica), stranost (engl. strangeness, novi kvantni broj) i različite druge veličine. Zakoni očuvanja imaju niz prednosti u odnosu na Newtonove aksiome, koji imaju ograničenu važnost. Spomenimo neke od tih prednosti:
• Zakoni očuvanja ne ovise od oblika putanje, niti od karakteristika sila koje djeluju u nekom prirodnom procesu, pa je zbog toga, iz njih moguće dobiti općenitiji i precizniji zaključak o tom procesu, nego iz diferencijalnih jednadžbi gibanja.
• Pošto zakoni očuvanja ne ovise od karakteristika sila, oni se mogu primijeniti i na one
prirodne pojave čije sile nisu poznate. Na primjer u fizici elementarnih čestica. Dakle, zakon očuvanja ustanovljava da neka fizička veličina u jednom momentu i jednom položaju mora biti jednaka vrijednosti te veličine u drugom momentu i položaju. Što se odigrava između tih trenutaka? Kako je tekao proces? Na osnovu zakona očuvanja ne može se dobiti odgovor. Ukoliko je taj odgovor neophodan moramo se uputiti na jednadžbe gibanja.
• Zakoni očuvanja su invarijantni na transformacije koordinata pa se najčešće primjenjuju
za objašnjenje novootkrivenih prirodnih pojava. I kad su sile potpuno poznate, zakoni očuvanja mogu nam uveliko pomoći pri rješavanju gibanja čestica. Najprije upotrijebimo odgovarajuće zakone očuvanja, jedan po jedan, a tek nakon toga, ako je ostalo nešto neriješeno, prilazimo rješavanju diferencijalnih jednadžbi, varijacionih postupaka, kompjutera itd.
Na osnovu izloženog može se zaključiti da se mehanika može postaviti i drugačije nego što je to učinio Newton. Postoji analitička mehanika u kojoj osnovnu ulogu igraju fizikalne veličine energija i impuls. Takva je na primjer mehanika Hamiltona i Lagrangea. Poslije saznanja o ograničenosti Newtona mehanike i prednostima analitičke mehanike, koja počiva na zakonima održanja energije i impulsa, pitanje je zašto se ne koristimo ovom drugom koja je općenitija. Postoji više razloga. Pojmovi energije i impulsa su složeniji od pojmova i sile ubrzanja, a također i matematički aparat je složeniji od aparata u Newtonovoj vektorskoj mehanici. 5.2. Rad i energija 5.2.1. Rad sile
Pomjeranje materijalne točke po nekom pravolinijskom putu pod djelovanjem sile →
s Fr
u mehanici se naziva radom. Rad sile se određuje sa skalarnim produktom sile i rastojanja po kome se pomjerala materijalna točka, tj.
36
αcos,cos FssFFssFW =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅=
→→→→
(5.1)
Rad je pozitivan ako sila Fr
i rastojanje zaklapaju oštar kut,→
s2πα < . Sila ne vrši rad kada sa
pomjeranjem zaklapa prav kut 2πα = ili ako se čestica ne pomjera =0. Sila vrši negativan rad ako
sa pravcem vektora zaklapa tup kut
→
s
→
s2πα > , crt. 5.1.
Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja , a pomjeranje se vrši duž
proizvoljne krivulje, onda se ukupni rad sile u prvoj aproksimaciji može izraziti kao zbroj elementarnih radova učinjenih na konačnom broju pravolinijskih dijelova
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=→→→
sFF
isΔ , na koje je podijeljeno
pomjeranje : →
s
∑ ∑∑= =
→→→→→→
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=Δ=Δ≈
n
i
n
iiiiiii
n
ii sFsFsFWW
1 11,cos (5.2)
gdje je Fi srednja konstantna vrijednost sile na i-tom podioku pomjeranja isΔ , a n- broj tih podioka.
Crt. 5.1. Prava vrijednost izvršenog rada dobiva se iz jednadžbe (5.2) kao granični slučaj kad a
, pa imamo: 0→Δ is
∞→n→→→→
=→Δ ∫∑ =Δ= sdFsFW
s
sii
n
is
2
110
lim
Rad je jednak integralu projekcije sile F Fs = cosα i pomaka ds. Ako je početna i krajnja točka putanje zadana vektorima položaja r1 i r2, rad se definira izrazom:
→→
∫= rdFWr
r
2
1
(5.3)
gdje je elementarni pomak. →→
= sdrdJedinica za rad je jedan džul (u čast engleskog fizičara P. Joule, 1818-1889), oznaka J. Prema definiciji 1J=1Nm=1kgm2s-2
5.2.2. Energija
37
Energija je sposobnost vršenja rada: što tijelo ima veću energiju, to je moguće od njega dobiti veći rad. Kad tijelo vrši rad, energija mu se smanjuje, i obrnuto: ako okolina vrši rad na tijelu, energija mu se povećava. Rad lako prelazi u energiju i obratno. Jedinica rada i energije je identična (1J ) Postoji više oblika energije: mehanička, elektromagnetska, kemijska, termička, nuklearna itd. Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi. Mehanička energija pojavljuje se u dva oblika: kinetička i potencijalna energija. Kinetička energija uzrokovana je kretanjem, a potencijalna položajem tijela.
Kinetička energija. Neka sila ubrzava tijelo na nekom putu. Izračunajmo rad potreban za ubrzanje tijela od početne brzine v1 do konačne brzine v2:
→
F
∫ ∫∫→→→
→→
→→→
====2
1
2
1
2
1
2
1
s
s
v
v
v
v
s
s
vdvmdtvdt
vdmsddt
vdmsdFW ∫ odnosno
nakon integriranja: 21
22 2
121 mvmvW −=
Veličinu
kEmv =2
21
(5.4)
nazivamo kinetička energija tijela mase m i brzine v2. Tijelu, koje je na početku imalo kinetičku
energiju 2
21
1mv
Ek = , obavljenim radom povećali smo kinetičku energiju na konačnu vrijednost
2
22
2mvEk = . Promjena kinetičke energije jednaka je, dakle, izvršenom radu:
kkk EEEW Δ=−= 12 (5.5)
Ako tijelo izvrši rad (W < 0), kinetička energija mu se smanjuje ( 0<Δ kE ), kad se nad tijelom vrši rad (W > 0), kinetička energija mu se povećava ( 0>Δ kE ). Kad je rad jednak nuli, kinetička energija tijela ostaje konstantna. Relacija (5.5) koja povezuje rad i promjenu kinetičke energije i zove se teorema o radu i kinetičkoj energiji. Potencijalna energija. Potencijalna energija je sposobnost vršenja rada zbog toga što tijelo ima osobiti položaj. Tako npr. tijelo mase m podignuto na visinu h iznad Zemljine površine ima određenu potencijalnu energiju i sposobno je, spuštajući se s te visine, izvršiti određeni rad. Slično: i nategnuta opruga ima potencijalnu energiju i, vraćajući se u položaj ravnoteže, izvrši rad. Gravitacijska potencijalna energija. Zamislimo česticu mase m koja se kreće pod djelovanjem sile teže (crt. 5.2) Rad sile teže na putu od A do B jednak je:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
→→→→→
∫ AB
r
r
rrgmrdFWB
A
(5.6)
Budući da je i , →→→
−== jmggmF BB yrj =⋅→→ →
AA yrj =⋅→
Dobili smo da je rad u polju sile teže jednak razlici dviju funkcija položaja
( AB mgymgyW −−= ) (5.7) Veličinu
mgyE p = (5.8)
38
zovemo gravitacijska potencijalna energija tijela na visini y iznad površine Zemlje. Pri tome smo
pretpostavili da je na površini Zemlje (y=0), potencijalna energija jednaka nuli, te da je sila konstantna, što je ispunjeno za visine koje su malene u usporedbi s polumjerom Zemlje.
→→
= gmF
Crt. 5.2. Rad sile teže (5.7) ne ovisi o putu već samo o početnom i konačnom položaju tijela. Isti rezultat bi dobili kad bi se tijelo iz točke A do točke B kretalo bilo kom putanjom. Tako npr. kreće li se tijelo od točke A preko C do B (crt. 5.2) rad je:
( )ABACBCACACB
yymgrdFrdFrdFrdFW −−=⋅=⋅+⋅=⋅= ∫∫∫∫→→→→→→→→
dakle dobili smo rezultat isti kao pri integriranju po krivolinijskoj putanji AB. Sila koja ima osobinu da joj rad ne ovisi o putu već samo o početnoj i konačnoj točki zove se konzervativna sila. Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli:
0=⋅∫→→
sdFk (5.10)
Kružić preko integrala označava da je put po kojem vršimo integriranje zatvoren. Rad sile trenja, naprotiv, ovisi o putu: što je put duži, rad je veći. Rad sile trenja po zatvorenom putu različit je od nule, rad je veći što je put duži. Nekonzervativne sile, kao što je sila trenja, zovemo i disipativne sile. Rad svake konzervativne sile možemo izraziti razlikom potencijalnih energija:
( ) ( )[ ]ApBp
r
rk rErErdF
B
A
−−=⋅→→
∫
Crt. 5.3.
39
5.2.3. Zakon očuvanja mehaničke energije U zatvorenom (izoliranom) sustavu/sistemu u kojem nema disipativnih sila (trenja) mehanička energija je konstantna. To je zakon o očuvanju mehaničke energije, tj. (5.11) pk EEE += Razmotrimo ukupnu mehaničku energiju pri slobodnom padu. Tijelo mase m u početku je na visini H i miruje (crt. 5.3), te je potencijalna energija mgHEp = , a kinetička 0=kE i ukupna mehanička
energija . Kad tijelo slobodno padajući prevali put s, potencijalna energija mu je mgHE =( )sHmgE p −=
a kinetička
( )2221 gsmEk =
te je ukupna energija
( )sHmggsmEEE pk −+=+= 221
(5.12)
odnosno mgHE =
Ukupna je mehanička energija pri slobodnom padu očuvana: zbroj kinetičke i potencijalne energije jednak je u svakoj točki.
.konstEEE pk =+= Ako sistem nije zatvoren, promjena ukupne mehaničke energije jednaka je radu vanjskih sila koje djeluju na sistem:
( ) ( ) WEEEEEE kkpp =−+−=− 121212 (5.13) Potencijalna i kinetička energija mogu se transformirati jedna u drugu, crt. 5.4.
Crt. 5.4
Uzmimo za primjer vodopad. Ovdje je očit primjer pretvorbe energije iz jednog oblika u drugi 5.2.4. Potencijalno polje sila. Konzervativne sile Ako je tijelo postavljeno u takve uvjete da je u svakoj točki prostora podvrgnuto djelovanju drugih tijela sa silom koja se zakonomjerno mijenja od jedne točke do druge, kaže se da se to tijelo nalazi u polju sila. Tako se, na primjer, tijelo u blizini površine Zemlje nalazi u polju sila gravitacije, tj. u
svakoj točki prostora na njega djeluje sila G , usmjerena prema dolje. →
= gm→
Za sile koje ovise samo od položaja tijela može se desiti da rad, koji vrše nad tijelom, ne zavisi od puta, već se određuje samo početnim i završnim položajem tijela u prostoru. U tom slučaju polje sila se naziva potencijalnim poljem, a same sile konzervativnim.
40
Sile čiji rad zavisi od puta, po kojem tijelo prelazi iz jednog položaja u drugi, nazivaju se nekonzervativnim silam
⎠⎝prostora, prolazi kroz neki centar, a veličina sile zavisi samo
a.
Polje centralnih sila, , polje kod kojeg pravac djelovanja sile u proizvoljnoj točki
od rastojanja od tog centra. Polje sila ravitacije, elektrostatska sila: su primjeri centralnog polja sila.
ad konzervativnih sila na bilo kojem zatvorenom putu jednak je nuli.
rt. 5.5
⎟⎞
⎜⎛=→→→
rFF
g R
C
Razložimo, zatvoren put po kojem se giba tijelo, koje se nalazi u potencijalnom polju sile, na dva dijela: put A po kojem tijelo prelazi iz točke 1 u točku 2, i put B po kojem tijelo prelazi iz točke 2 u točku 1, pri čemu su točke 1 i 2 izabrane potpuno proizvoljno, crt. 5.5. Rad na čitavom zatvorenom putu biće jednak sumi radova koji se vrše na svakom od jelova
(5.14)
gibanju u jednom
gibanju u dru
di . ( ) ( )BA WW 2112 += W
Lako je pokazati da rad, koji se vrši na bilo kojem putu, na primjer na putu B, pri prelaženju tijela po njemu iz točke 1 u točku 2 jednak radu, sa obrnutim predznakom, koji se vrši na istom tom putu pri
obratnom prelaženju iz točke 2 u točku 1. Promatrajmo dio putanje Δ s . Pošto u potencijalnom polju sila F ovisi samo od položaja tijela u prostoru i ne zavisi od stanja gibanja tijela (posebno od smjera
gibanja), elementarni rad na putu pri pravcu jednak je , a pri
gom pravcu on je jednak sFW
→
→
Δ s →→
Δ=Δ sFWrr′Δ=′Δ . S obzirom da je
→
na čitavomΔ−=′Δ ss , tada je i
WΔ WΔ−=′ . To je ispravno za svaki elem prem e i za rad putu, te je
Koristeći se dobivenim
da na jednim dijelovima atvorenog puta sile vrše pozitivan rad, a na drugim dijelovima - negativan.
Dokazat ćemo da je i polje gravitacionih sila potencijalno , crtež 5.6
entarni dio puta, a a tom
( ) ( )BB WW 1221 −= (5.15) rezultatom, jednadžba (5.14) može se napisati u slijedećem obliku:
( ) ( )BA WWW 1212 −= (5.16) Međutim, u potencijalnom polju sila, rad ne ovisi od puta, tj. (W12)A = (W12)B. Prema tome izraz (5.16) jednak je nuli, što je i trebalo dokazati. Prema tome, potencijalno polje sila može se definirati kao polje onakvih sila čiji je rad na svakom zatvorenom putu jednak nuli, onz
41
Crtež 5.6
∑∑∑ Δ=Δ=Δ⋅=→→
hFsFsFW αcos Pošto je F = G = mg, i
( )∑ −=Δ 21 hhh dobivamo
( )21 hhmgW −= (5.17) Izraz (5.17) očito ne ovisi od puta, slijedi da je gravitacijsko polje potencijalno. 5.2.5. Rad sila u gravitacijskom polju. Centralno polje sila
Gravitaciono polje sila je centralno polje. To je polje karakteristično po tome da pravac sile, koja djeluje u bilo kojoj točki prostora, prolazi kroz neki centar, a veličina sile ovisi samo od
rastojanja do tog centra .Gravitaciona sila ima oblik ( )F F r→ →=
→→
−= 0221 r
rmm
F γ
Elementarni rad dW, koji izvrši gravitacijska sila pri pomjeranju tijela m1 za rastojanje d s→
jednaka je (crt. 5.7)
drrmm
sdFdW 221γ−==
→→
gdje , integriranjem od r1 do r2 dobivamo: drsdr =⋅→→
0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−=
122121
111 2
1 rrmm
rmmW
r
r γγ
ili
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
1221
11rr
mmW γ (5.18)
42
Crt. 5.8 Iz jednadžbe (5.18) vidimo da je za r2 > r1, rad negativan. Promjena potencijalne energije sistema
jednaka je negativnoj vrijednosti rada kojeg vrši gravitacijska sila pri premještanju tijela
( ) ( )2
21
1
2112 r
mmrmm
WEE pp γγ −=−=−
Obično se uzima da je , tada ∞→2r ( ) 0=∞pE , pa potencijalna energija tijela m2 je:
rmm
E p21γ−= (5.19)
Razmotrimo tri specijalna slučaja, crt. 5.8, za tri različite ukupne energije E = Ek + Ep. Ovi slučajevi su interesantni kod ispaljivanja vještačkog satelita sa Zemlje. Nakon što dostigne maksimalnu visinu h satelit dobiva početnu brzinu vo. Ukupna energija satelita je tada
hRmMmvEz +
−= γ202
1
Crt. 5.8 U slučaju elipse E < 0, putanja po kojoj će se kretati satelit, je elipsa u čijem se jednom fokusu
nalazi Zemlja, satelit u ovom slučaju pada na Zemlju. Uvjet da bi satelit se kretao po paraboli tj. E = 0, odnosno kinetička energija satelita mora biti jednaka potencijalnoj energiji. Da bi se satelit kretao po putanji hiperbole, tj. oslobodio Zemljine teže, potreba uvjet je, da kinetička energija satelita bude veća od potencijalne energije odnosno E > 0.
43
5.2.6. Rad elektrostatske sile
Elektrostatska sila je također centralna sila. To znači da rad ne ovisio put, nego o krajnjem i
početnom položaju tijela. Uzmimo dva istoimena(pozitivna naboja) crt. 5.9. Sila međudjelovanja je:
( )→→
= 0221 r
rqq
krF
Crt. 5.9
Elementarni rad dW, kojeg vrši elektrostatska sila pri pomjeranju tijela m1 za rastojanje →
rd
drrqq
krdFdW 221=⋅=
rr
F→ →
0ri kolinearni. Integracijom od r1 do r2 dobivamo jer su2
1
1
21r
r
r
r rqq
kdrqq
kW ∫ −==2
21 2rodnosno
pErr
qkqW Δ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
1221
11
gdje je Ep potencijalna energija
rqq
kE p21−= (5.20)
5.2.7. Veza između potencijalne energije i sile
Svakoj točki potencijalnog polja odgovara, s jedne strane, neka vrijednost vektora sile F→
ΔW
koja djeluje na tijelo, a s druge strane, neka vrijednost potencijalne energije tijela Ep. Prema tome, između sile i potencijalne energije mora postojati neka veza. Za utvrđivanje te veze izračunat ćemo elementarni rad koji sila polja pri malom pomjeranju tijela Δs , koje se vrši duž proizvoljno izabranog pravca u prostoru, crt. 5.10. Taj rad je jednak sFW s= ΔΔ , gdje je Fs projekcija sile F na pravac s.
Crt. 5.11 Pošto se u danom slučaju rad vrši na račun smanjenja potencijalne energije − , na djelu ose s,
imamo: pEΔ
pEW Δ−=Δ Izjednačavanjem gornjih izraza dobivamo:
sΔ−=
EF p
s
Δ (5.21)
44
Izraz (5.21.) daje srednju vrijednost Fs na odsječku Δs . Da bi dobili vrijednost Fs u danoj točki, potrebno je izvesti granični prijelaz tj.
sE
sE
F pp
ss ∂∂
−=Δ
Δ−=
→Δ 0lim (5.22)
Izraz (5.22) točan je za svaki pravac u prostoru, posebno za pravac Descartesovih koordinata x, y i z.
xE
F px ∂
∂−=
yE
F py ∂
∂−= (5.23)
zE
F pz ∂
∂−=
Izrazi (5.23) određuju projekcije vektora sile na koordinatne ose. Ako su poznate te projekcije, može se odrediti i sam vektor sile.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
→→→→
kz
Ej
yE
ix
EF ppp
∂∂
∂∂
∂∂
(5.24)
U matematici se vektor →→→
++= kzaj
yai
xagrada
∂∂
∂∂
∂∂
gdje je a skalarna funkcija od x, y, z naziva gradijent tog skalara i označava se simbolom grad a ili
(nabla). Prema tome, sila je jednaka gradijentu potencijalne energije, sa suprotnim znakom: ∇a
pgradEF −=→
(5.25) Kao primjer uzmimo gravitaciono polje sile. Osu z
usmjerimo prema gore. Pri takvom izboru osa potencijalna energija će imati oblik.
Ep=mgz+const. Projekcije sile na zadane ose Fx=Fy=0 , Fz=-mg
Prema (5.24) dobivamo da je sila →
−= kmg→
F Crt. 5.11
5.3. Zakon očuvanja impulsa Produkt mase čestice i njene brzine naziva se impuls ili količina kretanja/gibanja čestice
→→
= vmp (5.26) Ako se impuls čestice mijenja u toku vremena, to znači da postoji djelovanje neke sile, koja prema
drugom Newtonovom aksiomu glasi:
→
→→
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= Fdt
vmd
dtpd
(5.27)
Gornja jednadžba izražava najopćenitiji slučaj drugog Newtonovog aksioma i u tom obliku važi ne samo za klasičnu nego i za relativističku mehaniku, i zove se zakon promjene impulsa. Prvi Newtonov aksiom izražava svojstvo svih tijela da u odsustvu sila zadržavaju konstantnu vrijednost brzine, odnosno, impulsa, jer je m = const. (u klasičnoj fizici), tj.
45
→→
= vmp =const. (5.28) Ovo svojstvo predstavlja specijalan slučaj jednog općeg fizikalnog zakona o održanju količine
gibanja. Za to nam može poslužiti slijedeći pokus: neka međudjeluju dvije kuglice masa m1 i m2 preko sabijene opruge koju u tom stanju održava konac, crt. 5.12
Crt. 5.12 Ukoliko u jednom trenutku prekinemo konac, kuglice će se razletjeti. Uzajamno djelovanje kuglica
karakterizirano je trećim Newtonovim aksiomom: →→
−= 21 FF ili
022
11 =+
→→
dtvd
mdtvd
m (5.29)
S obzirom da su m1 i m2 konstantne veličine, tada se jednadžba može napisati u obliku
02211
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
→→
dt
vmvmd (5.30)
Dakle, promjena impulsa ili količine gibanja u toku vremena za sistem m1 i m2 jednaka je nuli, pa se može pisati:
→→→→→
=+=+ .212211 constppvmvm (5.31) Odnosno, impuls sistema m1 i m2 ne može se promijeniti pod djelovanjem sila njihovog
uzajamnog djelovanja. Ovaj zaključak može se proširiti na izolirani sistem od proizvoljnog broja čestica. Ukupna
količina gibanja zatvorenog sistema je konstantna bez obzira kakvi se procesi i međudjelovanje događali u sistemu. To je zakon o očuvanju količine gibanja, jedan od najvažnijih zakona u fizici. Možemo ga napisati i u matematičkom obliku:
→→→→→→→
+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++= nnnukupni vmvmvmpppp 221121 ili
∑→→→
==i
iiukupni constvmp . (5.32)
Ovaj je zakon direktna posljedica Newtonovih aksioma. Drugi Newtonov aksiom za sistem čestica glasi:
dtpd
F uu
→→
=
gdje je rezultanta svih sila koje djeluju na sistem, a ukupna količina gibanja sistema. Ako je sistem izoliran, nema vanjskih sila, budući da se unutrašnje sile prema trećem Newtonovom aksiomu
poništavaju, to za izolirani sistem .
→
uF→
up
0=→
uF
46
5.4. Sudari tijela Na osnovu zakona očuvanja energije i impulsa mogu se proučavati fizikalne pojave kod kojih su
nepoznate bilo priroda i intenzitet sila bilo samo intenzitet sila koje djeluju u ovim pojavama. Takve pojave su sudari tijela.
Sudar dvaju tijela može biti elastičan, djelomično elastičan i neelastičan. Sudar je savršeno elastičan kada nema gubitka energije, već je ukupna kinetička energija
očuvana. Da bi sudar dvaju tijela bio savršeno elastičan, ta tijela moraju biti savršeno kruta (da ne dožive nikakvu deformaciju) ili idealno elastična, tako da nema rada unutarnjih sila. Pri savršeno neelastičnom sudaru tijela se nakon sudara deformiraju, spoje zajedno i nastave gibanje kao jedno tijelo; tu se jedan dio kinetičke energije izgubi i pretvori u druge oblike energije.
Većina makroskopskih sudara su između ova dva ekstremna slučaja, dakle djelomično elastični.
5.4.1. Savršeno elastičan sudar Promatrajmo centralni savršeno elastičan sudar dvije kuglice, tj. Sudar pri kojem brzine jedne i
druge kuglice leže na istom pravcu nosiocu koji prolazi središtem obiju kugli. Dvije kugle (ili dvije
čestice), imaju brzine i sudaraju se elastično i, nakon sudara, imaju brzine i (crt. 5.13). Ovaj sistem je izoliran za vrijeme čitavog procesa, na kuglice ne djeluju vanjske sile (odnosno zbroj vanjskih sila je nula) i, zbog toga, vrijedi zakon očuvanja količine gibanja/kretanja:
→
1v→
2v→
1u→
2u
→→→→
+=+ 22112211 umumvmvm (5.33)
Crt. 5.13 Budući da je sudar savršeno elastičan, ukupna je kinetička energija prije i poslije sudara ista:
2222
222
211
222
211
→→→→
+=+umumvmvm
(5.34)
Napišimo jednadžbu (5.34) na drugi način, dobivamo:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
→→→→22
222
21
211 uvmuvm
odnosno
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→→→→→→→→
2222211111 uvuvmuvuvm (5.35)
Napišimo jednadžbu (5.33) u obliku
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→→→→
222111 uvmuvm (5.36)
te desnu stranu jednadžbe (5.36) uvrstimo u (5.35) dobivamo:
0221111 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
→→→→→→
uvuvuv (5.37)
Budući da su pri centralnom sudaru brzine kolinearni vektori, uvjet (5.37) je ispunjen samo ako je jedan od faktora jednak nuli. Ako je prvi faktor u (5.37) jednak nuli, brzine se nisu mijenjale te se ni sudar nije dogodio; zato taj slučaj ne uzimamo u obzir. Dakle drugi faktor mora iščeznuti, što daje:
47
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−
→→→→
2121 uuvv (5.38)
Relativna brzina primicanja kugli prije sudara jednaka je po iznosu, a suprotna po smjeru relativnoj brzini odmicanja kugli poslije sudara. Relativne brzine promijenile su samo smjer, a ne iznos. Iz
jednadžbi (5.37) i (5.38) možemo izračunati brzine poslije sudara u i : →
1
→
2u
( )21
221211
2mm
vmvmmu
++−
=
→→→
(5.39)
( )21
112122
2mm
vmvmmu
++−
=
→→→
(5.40)
Posebni slučajevi
1. m1 = m2 = m. U slučaju jednakih masa i , tj. čestice jednostavno izmijene
brzine. Ako druga kugla miruje (v2 = 0), tada je u1 = 0, a ; poslije sudara prva kugla se zaustavi, dok druga odleti brzinom koju je imala prva kugla prije sudara.
→→
= 21 vu→→
= 12 vu→
=2u→
1v
2. m1 << m2; v2 = 0. Savršeno elastična kugla mase m1 i brzine udara u vrlo veliku kuglu ili
savršeno elastičan zid. Iz (5.39) dobivamo , tj. kugla se odbija jednakom brzinom kojom je
došla. Zid pri tome dobiva impuls sile ; naprotiv zid ne dobiva nikakvu energiju jer kugla prilikom sudara ne mijenja energiju.
→
1v→→
−= 11 vu→
11 vm2
3. m1 >> m2 i v2 = 0. Iz (5.39) i (5.40) slijedi i . Kada vrlo velika kugla udari kuglicu koja miruje, brzina joj se vrlo malo promijeni dok lagana kuglica odleti brzinom koja je dva puta veća od brzine upadne kugle. Predana energija pri centralnom elastičnom sudaru dva tijela (v2 = 0)
→→
≈ 11 vu→→
≈ 12 2 vu
Na osnovu jednadžbi (5.39) i (5.40), za slučaj da je v2 = 0, može se izračunati energija koju tijelo m1 preda tijelu m2 pri udaru. Predana energija iznosi:
,11 EEE −=Δ (5.41)
gdje je E1 prije sudara i energija tijela mase m1 poslije sudara. Da bismo izračunali energiju obrazujemo
,1E ,
1E
2
1
1
21
21
1
1
2121
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
′vu
mv
mu
EE
(5.42)
Koristeći se jednadžbom (5.39), gornju jednadžbu možemo dobiti u obliku:
1
2
21
121 E
mmmmE ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=′ (5.43)
Zamjenom (5.43) u (5.41) dobivamo:
( ) 1221
214E
mmmm
E+
=Δ (5.44)
Predana energija pri udaru dva tijela imat će maksimalnu vrijednost kada je m1 = m2 i iznosi prema (5.44) . Pri gornjim uvjetima udara, tijelo koje se kreće brzinom v1 predaje cjelokupnu energiju tijelu koje ima jednaku masu a prije udara nalazilo se u miru.
1EE =Δ
48
5.4.2. Savršeno neelastičan sudar
Pri savršeno neelastičnom sudaru kugle se nakon sudara deformiraju, slijepe i gibaju zajedno
brzinom . Pri ovom sudaru kinetička energija nije održana, jedan dio se utroši na deformaciju kugla, odnosno zagrijavanje (promjena unutrašnje energije).
→→→
== uuu 21
Pomoću zakona o očuvanju količine gibanja odredit ćemo brzinu nakon sudara:
49
)(→→→
+=+ ummvmvm 212211
21
2211
mmvmvm
u++
=
→→→
(5.45)
Kinetička energija se smanjuje prilikom neelastičnog sudara. Ukupna kinetička energija poslije
sudara:
( ) ( )( )21
222112
21 221
mmvmvmummEk +
+=+=′ 5.46)
Kinetička energija prije sudara 222
211 2
121 vmvmEk += (5.47)
Razlika kinetičkih energija daje gubitak mehaničke energije:
( )221
21
21,
21 vv
mmmm
EE kk −+
=−
Posebni slučajevi.
1. m1 = m2 = m, slijedi da je ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
→→→
2121 vvu . Ako je druga kugla prije sudara na miru, tada, nakon
sudara, obje kugle nastave gibanje brzinom 21vur
=→
. Ako je , tada nakon sudara, obje kugle
stanu, u1 = u2 = 0.
→→
−= 21 vv
2. m1 << m2, v2 = 0, slijedi da je i u = 0. Kad kugla od blata padne na tlo, tu i ostane.
5.5.Snaga Snaga je brzina vršenja rad ili brzina prijenosa energije:
dtdWP =
Budući da je , to izraz za snagu možemo pisati: →→
⋅= sdFdW→→
→→
→→
⋅=== vFdt
sdFdt
sdFP
Snaga je skalarni produkt sile i trenutne brzine. To je skalarna veličina. Jedinica za snagu je 1W = 1 Js-1.
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA I - predavanja - 5.6. DINAMIKA KRUTOG TIJELA ILI DINAMIKA ROTACIJE
Uvod
Ako promatramo djelovanje sile na neko čvrsto tijelo, možemo uočiti dva učinka:
promjenu oblika tijela (deformaciju) i gibanje tijela. Ako je deformacija nekog tijela izazvana vanjskom silom tako malena prema dimenzijama tijela da je možemo zanemariti, tj. ako tijelo pod utjecajem sile ne mijenja oblik, kažemo da je tijelo kruto. Možemo zamisliti da se kruto tijelo sastoji od mnogo pojedinačnih materijalnih točaka čiji međusobni razmaci ostaju uvijek isti. Naravno, kruto tijelo je idealizirani model; u prirodi imamo čvrsta tijela koja se, više ili manje, približavaju modelu krutog tijela.
Može se pokazati da se općenito kretanje krutog tijela sastoji od translacije i rotacije Translatorno kretanja tijela je takvo kretanje kod kojeg sve tačke tijela opisuju jednake
putanje . Rotaciono kretanje je takvo kretanje kod kojeg sve tačke tijela opisuju kružnice koje leže
u paralelnim ravninama. Centri svih tih kružnica leže na istoj pravoj koju zovemo osa rotacije. Kod transalornog kretanja sve tačke tijela mase m dobiju isto ubrzanje pod uticajem sile,
dok kog rotacije sve tačke tijela nemaju istu brzinu i ubrzanje, pa se uvode pojmovi ugaone brzine i ugaonog ubrzanja koji su isti za sve tačke tijela koje rotitra oko neke ose. Osim toga, kod rotacije tijelo pod djelovanjem iste sile ne dobije uvijek isto ubrzanje, već ono zavisi od udaljenosti napadne tačke sile od ose rotacije, kao i od rasporeda mase tijela oko ose rotacije.Zbog toga se uvode novi pojmovi kao što je centar mase, moment sile , moment inercije i moment količine kretanja. 5.6.1. Centar mase sistema materijalnih tačaka Ako neko tijelo podjelimo u elementarne mase Δm i ( i = 1,2,3,...., n ) tada se to tijelo može predstaviti kao sistem tačkastih masa čije međusobne veze uvijek ostaju iste.. Na svaku od tih tačkastih masa mogu da djeluju vanjske i unutrašnje sile zbog međudjelovanja sa drugim elementarnim masama. U slučaju kretanja tijela, trebalo bi posmatrati kretanje velikog broja ovih elemetarnih masa što je vrlo komplikovano. Zato se uvodi pojam centra mase sistema tj, zamišljena tačka pomoću koje možemo lakše i jednostavnije opisati kretanje cijelog sistema. Jednačina kretanja za svaku elementranu masu nekog tijela je
+ ∆ ( 5.48 )
40
gdje je fi rezultanta svih unutrašnjih sila , a Fi rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na posmatranu masu Δmi . Ako sumiramo jed. (5.48) po svim elemntarnim masama koje čine jedan sistem (tijelo), onda će prema III Njutnovom zakonu ∑
∆
= 0 pa ćemo dobiti ∑ = ∑ ( 5.49) Suma na lijevoj strani se može predstaviti kao proizvod ukupne mase tijela i ubrzanja centra mase ( centra inercije ) ac . Centar mase sistema se definiše kao tačka čije su koordinate određene položajem vektora koji se računa na slijedeći način: ,
= ∑ ∆ ∑ ∆ ∑ ∆
= ( 5.50)
oordinate centra mase krutog tijela dobiju se proširenjem jed. (5.50) na beskonačno mnogo
Kčestica infinitezimalno male mase dm, pa je
= ( 5.51 )
Gdje je ρ gustina , a dV element zapremine krutog tijela.
isana sva masa sistema i kao da sve
= ∑ =
Centar mase sistema se kreće kao da je u njemu koncentrvanjske sile djeluju u toj tački, tj. ( 5.52 )
ko na sistem ne djeluju vanjske sile ili kad je njihova rezultanta nula, onda je
=
A
= 0 =>
= 0 . ( 5.53 )
rema tome kada je rezultanta svih vanjskih sila nula, centar mase sistema ili miruje ili se
kruto tijelo pod utjecajem sila može pored translacijskog gibanja izv
Pkreće jednoliko pravolinijski.
.6.2. Moment sile 5
okusi pokazuju da Poditi i rotaciju oko neke tačke. Utjecaj sile na rotaciju opisuje se njenim momentom.
Kad tijelo rotira, svaka njegova tačka opisuje kružno kretanje. Definirajmo stoga moment sile. Neka materijalna tačka kruži oko tačke 0 po kružnici polumjera r. Ako je kruženje ubrzano, na tačku djeluje sila koja ima radijalnu komponentu rmFr
2ω= i tangencijalnu komponentu αmrmaF tt == (crt. 5.14).
adžbu Pomnožimo jednαϕ mrFFt == sin
sa r, dobivamo: (5.54) αϕ 2sin mrrF =
41
što se može napisat
(5.55)
i pomoću vektorskog produkta: →→→
= α2mrFxr
Crt. 5.14
ijevu stranu jednadžbe (5.55) definiramo kao moment sile
Mr
L : →→→
×= FrM (5.56) a veličinu m ačke:
(5.57) Tako jed
(5.58)
Ova jedn ji: pri ja kutno
F r sin (
r2 kao moment inercije (tromosti ) materijalne t2mrI = nadžba (5.55) prelazi u
→→
= αIM
adžba ima sličnu ulogu pri kruženju kao drugi Newtonov aksiom →→
= amF pri translaci tom je sila analogna momentu sile, masa momentu inercije, a akceleraci j akceleraciji. Često se kaže , da je moment sile proizvod sile F i njenog kraka r0 , jer je intenzitet vektorskog
pro,
izvoda M= ) gdje je r0 = r sin ( , ) krak sile
om je v cije) tijela pri rotaciji,
baš
∆ ∆ ( 5.59)
možemo proširiti na homogeno kruto tijelo kod kojeg je gustina konstantna, pa se
(5.60)
pri tome se vrši integriranje po cijeloj zapremini tijela, a r je funkcija položaja.
a vrši samo translaciju ili samo rotaciju ili bilo kakvo drugo gibanje koje može da se predoči kao translacija i rotacija. Kod materijalne tačke nismo uzimali u obzir mogućnost rotacije zbog zanemarivih dimenzija tačke
M ent inercije I eličina koja predstavlja mjeru tromosti (iner kao što masa predstavlja mjeru za inerciju pri transalaciji i tijelo je posjeduje bez obzira da li
miruje ili se kreće. Moment inercije tijela u odnosu na neku osu se definiše ralacijom
∑ ∑ Ova razmatranja
moment inercije krutog tijela definira izrazom:
ko na neko tijelo djeluje više sila u različitim tačkama, onda tijelo može dA
42
Uvjet ravnoteže materijalne tačke je da suma svih sila koje na nju djeluju bude jednak nuli
0=→
(5.61) ∑ iFi
Kad sila F u.
Naime, ovdje pored uvjeta (5.61) koji predstavlja uvjet za ravnotežu za translaciju, postoji i dodatni uvjet ravnoteže za rotaciju, a to je da je suma momenata svih sila jednaka nuli
5.6.3. Steinerova ( Štajnerova) teorema
ama, a daje vezu između momenta inercije inercije tog tijela oko ose koja je paralelna
O1 O2 R
dm
je na s oz cemtar mase M ,a, takođe i oko ose kroz tačku P,tako da su te dvije ose paralelne i okomite na ravan rteža. Izaberimo proizvoljno element mase dm koji se nalzi na rastojanju R od ose C, i
( 5.63)
i
i djeluje na kruto tijelo, neophodno je razmotriti ravnotežno stanje i u odnosu na rotacij
0=∑→
iiM (5.62)
Ova teorema se zove i teorema o paralelnim oskrutog tijela oko neke proizvoljne ose i momenta sa prvom osom.
r
d
CM P
d
a) b ) Neka C
lici b) predstavljeno kruto tijelo koje može da rotira oko ose C kr
crastojanju r od ose P. Moment inercije Ic u odnosu na osu kroz centar mase je Ic = R dm paralelne ose P a
I = r dm ( 5.64) Pošto je prema kosinusnoj teorem
43
r2 = R2 + d2 – 2dR cos< (R, d)
dje je s< (R, d) = x –koordinata mase dm, pa je
= r dm = R dm + d dm -2d ∫ x dm ( 5.65)
i član na desnoj strani izraz lan je dnak reći član je jednak uli, jer je iz definicije za centar mase
g R co
2 I Prv gornjeg a je I0 , drugi č je d2 m, a tn
Xc = (5.66)
Kako je kod nas xc raz za I svodi na
=0 onda je ∫ x dm = 0, pa se iz
I = Ic + m d2 ( 5.67)
lnih osa, koji kaže da se se koja
daljenosti među
Ono što sila predstavlja za translaciju, to moment sile znači za rotaciju. Često smo se do sada a i zakonima u translaciji i rotaciji.
etanja je moment količine gibanja/kretanja.
to predstavlja Štajnerov obrazac za moment inercije oko paraleŠmoment inercije oko ma koje ose može dobiti kao zbir momenta inercije oko oprolazo kroz centar masa i proizvoda mase tijela i kvadrata uparalelnim osama. 5.6.4. Moment količine gibanja
uvjerili da postoji analogija među veličinam Veličina analogna količini gibanja/kr
Crt. 5.15 Najprije ćemo definirati moment količine kretanja/gibanja materijalne točke (čestice) koja se kreće
po kružnici polumjera r (npr. elektron oko jezgre). Takav moment količine gibanja/kretanja esto se zove orbitalni, jer se odnosi na orbitalno gibanje čestice.
č
44
Moment količine kretanja/gibanja L materijalne točke mase m i količine kretanja/gibanja →→
= vmp s obzirom na referentnu točku 0 (npr. središte kružnice na crt. 5.15 definira se kao →
→
produkt radijus vektora r i količine gib nja/kretanja:
→→→
×=× vmrp
a
→→
= rL (5.68) Smjer momenta količine gibanja određujemo kao i smjer svakog vektorskog produkta pomoću
pravila desne ruke. Smj→
edinica momenta količine gibanja je er L je isti kao smjer ω .
→
12 −skgm . JIz jednadžbe αIM = možemo izvesti još jedan izraz za moment količine gibanja materijalne
točke koja se giba po kružn i. ic
relacijama Razvojem izraza (5.58) prema poznatim ddtω 2mr= i α = , I
rv
= , dobivamo: ω
( ) ( )dt
mrvmr ==⎟⎜= 2
dLdvdIddIIM ⎞⎛=== ωωαdtrdtdtdt ⎠⎝
Iz gornjeg izraza dobivamo:
ωrr
IL = (5.69)
ok je jednadžba gibanja d
dtLdM→
→
= (5.70)
Ova razmatranja za materijalnu tačku mogu se proširiti i na kruto tijelo koje rotira oko nepomične ose. Ovaj zakon izveden za materijalnu tačku, vrijedi za svaku tačku sistema materijalnih tačaka ili krutog tijela,
∑∑ =⎟⎠
⎜⎝
=i
ii
i MLdtd
(5.71)
→→ ⎞⎛
5.6.5. Zakon o očuvanju momenta količine gibanja/kretanja
broj momenata svih vanjskih sila s obzirom na neku tačku jednak nuli, ku konstantan i po
Ako je vektorski ztada je ukupni moment količine gibanja sistema (krutog tijela) za tu istu tač
smjeru i iznosu. Iz relacije (5.71) uz uvjet da je 0=→
M slijedi:
.0 constLdtLdM =⇒==
→→
→
(5.72)
Unutrašnje sile u sistemu ne mogu promijenit ent količine gibanja. Možemi mom o, također, reći da je u zatvorenom sistemu moment količine gibanja/kretanja sačuvan. Vrti li se mehanički sistem oko čvrste osi z, tada je moment količine gibanja u smjeru osi z:
ωzz
Ako je sistem izoliran tako da je komponenta ukupnog momenta vanjskih sila u smjeru osi z jednaka nuli, tada je:
.constIL ==
IL = (5.73)
zz ω Ako je Iz = const. (kruto tijelo), iz (5.73) slijedi da je i .konst=ω , tj. da kruto tijelo rotira oko
čvrste osi stalnom kutnom brzinom. Naprotiv, ako se I mijenja za vrijeme vrtnje (npr. udaljavanjem
45
pojedinih točaka sistema od osi rotacije), tada se i ω mijenja tako da bi ωI bilo konstantno. Unutrašnje sile mogu dakle mijenjati kutnu brzinu ćeg sistema premda, pri tom, Lz ostaje konstantan.
5.6.6 Rad, snaga i energija kod rotacije
o atrajmo kruto tijelo koje rotira oko ose koja prolazi kroz tačku O normalno na ravan rteža (5.16). ako se tijelo obrne za mali ugao dθ, pod uticajem
( 5.74)
O
Za konačno ugaono p će biti
( 5.75) ada, slijedi da je kod rotacije snaga
rotiraju
t
P smc
sile F koja izvrši rad
dW = Ft ds = Ft rdθ = M dθ jer je Ft r moment sile F za osu O F dθ ds F
r
Crtež 5.16
omjeranje od pol ložaja 2 izvršeni rad
W =
ožaja 1 do po
Iz definicije : Snaga je brzina vršenja r
( 5.76) m sile i uga
M = I α =
jednaka proizvodu omenta one brzine. Polazeći od relacije
= I = I ( 5.77)
Pa je elementarni rad dW = M dθ = I ωdω ( 5.78 )
ukupni rad na intervalu θ1 – θ2 je
a
46
47
W = = I ( 5.79)
ile jednak je povećanju kinetičke energije tijela, što je sli radu i energiji kod linearnog kretanja. Njie teško pokazati da izraz
Dakle, rad koji izvrši moment sčno I
pre energiju rotacije tijela. dstavlja kinetičku Ako kruto tijelo posmatramo kao skup konačnih elementarnih masa Δmi, od kojih svaka
pri rotaciji tijela ugaonom brzinom ω oko neke ose, ima kinetičku energiju Ei = ∆ ( 5.80)
∑
Onda će ukupna kinetička energija tijela pri rotaciji biti E = ∑ ∆
∑
( 5.81) Pa kako je = biće
∑ ( 5.82)
( 5.83)
ad se čvrsto tijelo kotrlja po ravni , onda je njegova kinetička energija suma kinetičke energije transl kinatičke energije
K
acije i rotacije.
1
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTETSARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA I
6. TITRANJE (OSCILACIJE)
6.0. Općenito o titranju
Titranje (osciliranje) predstavlja vrstu gibanja ili promjenu fizičkog procesa koji se odlikujeodređenim stupnjem ponavljanja.U zavisnosti od prirode fizičkog procesa koji se ponavlja, titranja dijelimo na: mehanička (klatno,treperenje žice kod muzičkog instrumenta itd.), elektromagnetska (naizmjenična struja,elektromagnetski valovi i dr.) i elektromehanička (osciliranje atoma čvrstog tijela oko ravnotežnogpoložaja u kristalnoj rešetki i dr.). U zavisnosti od karaktera djelovanja, koje se vrši na oscilatorni sistem, razlikujemo: slobodnotitranje, prigušeno titranje i prisilno titranje.
Slobodno titranje nastaje u sistemu koji je, nakon početnog vanjskog djelovanja, prepušten samomsebi (npr. elastična opruga ili klatno izvedeno iz ravnotežnog položaja). Pri ovome svaki oscilator imasvoju vlastitu frekvenciju. Titranja kod kojih se veličina koja oscilira mijenja po zakonu sinusa ili kosinusa u funkcijivremena nazivaju se harmonična titranja (oscilacije). Titranja u prirodi su veoma bliska harmoničnim titranjima, ili mogu biti predstavljena superpozicijomharmoničnih titranja.
6.1. Harmonično titranje ( harmonijske oscilacije )
Promatrajmo sistem koji se sastoji od kuglice mase m koja je obješena na elastičnu oprugu. U stanjuravnoteže sila, silu težine mg uravnotežuje elastična sila k∆l0 (Hookeov zakon):
0lkmg ∆= (6.1)
gdje je k pozitivna konstanta, a 0l∆ izduženje.
2
Pomjerimo kuglicu iz položaja ravnoteže na rastojanje x, tada će produženje opruge biti jednako ∆l0 +x, pa rezultirajuća sila projicirana na osu x ima vrijednost:
)( 0 xlkmgF +∆−= (6.2)
Uzimajući u obzir uvjet ravnoteže (6.1) dobit ćemo da je:
kxF −= (6.3)
Predznak (-) u formuli (6.3) izražava činjenicu da pomjeranje i sila imaju suprotne smjerove. Sila F ima osobine:
• proporcionalna je pomjeranju kuglice iz položaja ravnoteže i• uvijek je usmjerena prema položaju ravnoteže.
U ovom slučaju sila je po prirodi elastična, međutim za sile koje se ponašaju po istoj zakonitostikažemo da su kvazielastične. Da bismo pomjerili kuglicu za vrijednost x moramo izvršiti rad protivkvazielastične sile:
2)(
2
00
kxkxdxdxFWxx
==−= ∫∫
Ovaj rad se manifestira u vidu potencijalne energije sistema. Prema tome, sistem u kojem djelujekvazielastična sila, pri pomjeranju iz ravnotežnog položaja na rastojanje x dobiva potencijalnuenergiju:
2
2kxE p = (6.4)
Izvršimo pomjeranje kuglice za x = A i pustimo sistem da oscilira. Pod djelovanjem sile F = -kx,kuglica će se kretati prema položaju ravnoteže brzinom:
dtdxv = (6.5)
3
Pri ovome će se smanjivati potencijalna energija sistema a javljat će se kinetička energija (masuopruge zanemarujemo).
Došavši u položaj ravnoteže kuglica nastavlja kretanje po inerciji. Ovo kretanje će biti usporeno iprestat će onda kad se kinetička energija u potpunosti pretvori u potencijalnu, tj. kad pomjeranje budejednako –A. Ako u sistemu nema trenja, energija sistema mora biti očuvana, i kuglica će se kretatineograničeno dugo u granicama od A do –A.
Jednadžba gibanja za kuglicu, prema II Newtonovom aksiomu ima oblik:
kxdt
xdm −=2
2
(6.6)
Napišimo ovu jednadžbu u drugom obliku:
02
2
=+ xmk
dtxd
(6.7)
Koeficijent uz x je pozitivan broj pa ga možemo napisati u obliku:
mk=2ω (6.8)
gdje je ω realan broj čije ćemo fizikalno značenje vidjeti kasnije. Jednadžba (6.7) može se napisati uobliku:
022
2
=+ xdt
xd ω (6.9)
Znači, gibanje kuglice pod djelovanjem sile oblika –kx izražava se linearnom homogenom-diferencijalnom jednadžbom drugog reda. Može se vidjeti da rješenje jednadžbe (6.9) ima oblik:
( )ϕω += tAx cos (6.10)ili
( )2
;sin πϕϕϕω +=+= tAx
gdje su A i ϕ proizvoljne konstante.
Vidimo da gibanje sistema, koji se nalazi pod djelovanjem sile oblika F = - kx, predstavljaharmonično gibanje.
Veličina najvećeg otklona od ravnotežnog položaja naziva se amplituda titranja, crtež 6.2
Veličina (ωt+ϕ) naziva se faza titranja (osciliranja). Konstanta ϕ predstavlja vrijednost faze utrenutku t = 0 i zove se početna faza oscilovanja
4
Crt.6.2.
Pošto je kosinus periodična funkcija s periodom 2π, različita stanja sistema koji vrši harmoničnotitranje, ponavljaju se za interval vremena T, za koji faza dobije prirast jednak 2π. Ovaj intervalnaziva se period titranja i može se odrediti iz uvjeta:
( )[ ] [ ] πϕωϕω 2++=++ tTt
odakle je,
ωπ2=T (6.11)
Broj titranja u jedinici vremena naziva se frekvencija titranja f. Veza između frekvencije iperioda titranja je:
Tf 1= (6.12)
Osnovna jedinica za frekvenciju je 1 Hz, tj. jedan titraj u sekundi. Iz (6.11) slijedi da je:
Tπω 2=
Prema tome ω predstavlja broj oscilacija za 2π sekundi, i naziva se kružna frekvencija. Vezaizmeđu frekvencije i kružne frekvencije je:
fπω 2= (6.13)
Diferencirajmo po vremenu jednadžbu (6.10) dobit ćemo izraz za brzinu:
( )
++=+−==
2cossin πϕωωϕωω tAtA
dtdxv (6.14)
Vidimo da se i brzina mijenja po harmoničnom zakonu, pri čemu je amplituda brzine jednaka ωA .Izraz za ubrzanje dobit ćemo ako još jedanput izvršimo deriviranje po vremenu:
5
( )ϕωω +−== tAdt
xda cos22
2
(6.15)
Znači da se ubrzanje i pomjeranje nalaze u protiv fazi. Svako oscilatorno kretanje može sekarakterizirati određenim vrijednostima amplitude A i početne faze ϕ. Ove vrijednosti mogu seodrediti iz početnih uvjeta. U momentu t = 0 jednadžbe (6.10) i (6.14) glase:
ϕωϕsin
;cos
0
0
AvAx−=
=
Iz ovih relacija možemo izračunati amplitudu A i početnu fazu ϕ:
0
0
2
202
0
xv
tg
vxA
ωϕ
ω
−=
+=(6.16)
6.2. Energija harmonijskog oscilovanja
Kvazielastična sila je konzervativna1, pa je ukupna energija harmoničnog titranja konstantna. Uprocesu titranja dolazi do pretvorbe kinetičke energije u potencijalnu i obratno. Maksimalnapotencijalna energija se dobije kada se sistem nalazi na najvećem otklonu od ravnotežnog položaja:
( )2
2
max
kAEE p == (6.17)
U momentu prolaska kroz ravnotežni položaj sistem ima maksimalnu brzinu, tj. maksimalnu kinetičkuenergiju,
( )22
222max
maxωmAmvEE k === (6.18)
Može se pokazati da su izrazi (6.17) i (6.18) jednaki jedan drugom, prema (6.8) km =2ω .Promatrajmo kako se mijenjaju kinetička i potencijalna energija s vremenom:
( )
( )ϕω
ϕωω
+==
+==
tkAkxE
tmAmvE
p
k
222
2222
cos22
sin22 (6.19)
Zbrajanjem ova dva izraza, dobivamo da je ukupna energija harmoničnog titranja konstantna: 1 Ako rad sile, pri pomjeranju materijalne tačke, ne ovisi od veličine i oblika puta nego samo od početnog ikrajnjeg položaja, takve sile nazivamo konzervativnim. Ako su sile koje djeluju na tijelo konzervativne, tada jeukupna mehanička energija konstantna.
6
22
222 ωmAkAEEE kp ==+= (6.20)
Koristeći poznate trigonometrijske formule možemo izraze za Ek i Ep napisati na slijedeći način:
( ) ( )
[ ] ( )
+−=+=
++=+=
ϕωϕω
ϕωϕω
tEtEE
tEtEE
k
p
2cos21
21sin
2cos21
21cos
2
2
(6.21)
Vidimo da se Ek i Ep mijenjaju s frekvencijom 2ω. Srednja vrijednost kvadrata sinusa i kosinusajednaka je jednoj polovici. Prema tome, srednja vrijednost Ek podudara se sa srednjom vrijednošću Ep i
jednaka je 21
E.
Crt.6.3.
7
6.3. Harmonični oscilator
Sistem opisan jednadžbom:
022
2
=+ xdt
xdω (6.22)
gdje je ω2 konstantna pozitivna veličina, naziva se harmonični oscilator. Kao što je poznato, rješenjejednadžbe (6.22) ima oblik:
( )ϕω += tAx cos (6.23)
Prema tome, harmonični oscilator predstavlja sistem koji vrši harmonična titranja oko položajaravnoteže. Obično u teorijskoj fizici količinu kretanja nazivamo impuls i označit ćemo ga sa p. Izračunajmoimpuls harmoničnog oscilatora:
( )ϕωω +−=⋅= tAvmp sin (6.24)
U svakom slučaju oscilator pored otklona x, ima još jednu karakterističnu vrijednost, p. Napišimogornje jednadžbe (6.23) i (6.24) na drugi način:
( )
( )ϕωω
ϕω
+−=
+=
tmA
p
tAx
sin
cos(6.25)
Kvadriranjem i zbrajanjem dobivamo:
1222
2
2
2
=+ωAm
pAx
(6.26)
Grafički predstavljen impuls harmoničnog oscilatora u funkciji otklona x, daje elipsu. Koordinatna ravan (p,x) naziva se fazna ravan a odgovarajuća kriva fazna putanja, crtež 6.4.
8
Crt.6.4Površina elipse2 jednaka je:
22 22ωωπωπ mAAmAS ==
odnosno,
Ef
S 1= (6.27)
Znači, ukupna energija harmoničnog oscilatora je proporcionalna površini elipse, pri čemu jekoeficijent proporcionalnosti vlastita frekvencija oscilatora:
SfE ⋅= (6.28)
Površina elipse može biti izračunata i kao integral pdx∫ pa se formula (6.28) može napisati i u
obliku:
pdxfE ∫= (6.29)
Ova posljednja relacija, odigrala je veliku ulogu u izgradnji osnova kvantne mehanike.
6.4. Slaganje harmoničnih titranja
Pri istovremenom djelovanju više različitih elastičnih sila na oscilator on će vršiti složeno gibanje,koje će biti jednako geometrijskom zbiru pojedinih oscilacija. Rješavanje ovih problema, posebnoslaganje oscilacija istog smjera, znatno se olakšava ako se oscilacije predstave pomoću, tzv. vektoraamplitude.
Uzmimo jednu osu koju ćemo označiti sa x, crtež 6.5. Iz tačke O, koja je uzeta na osi, povucimovektor dužine A, koji sa osom obrazuje kut ϕ. Ako taj vektor rotiramo sa kutnom brzinom ωprojekcija vektora će se pomjerati po osi x u granicama od –A do +A, pri čemu će se koordinata teprojekcije mijenjati s vremenom po zakonu:
( )ϕω += tAx cos (6.30)
2 abS π= , gdje su a i b poluose elipse.
9
Crt.6.5.
Prema tome, projekcija kraja vektora na osu x vršit će harmonično titranje s amplitudom koja jejednaka dužini vektora, kružnom frekvencijom koja je jednaka kutnoj brzini rotiranja vektora ipočetnom fazom koja je jednaka kutu koji obrazuje vektor s osom u početnom momentu vremena.Promatrajmo slaganje dva harmonična titranja istog smjera i iste frekvencije.
( ) ( )222111 coscos ϕωϕω +=+= tAxitAx (6.31)
Rezultirajuće pomjeranje tijela vršit će se po istoj pravoj tako da je jednako algebarskom zbiru obapomjeranja:
( ) ( )221121 coscos ϕωϕω +++=+= tAtAxxx (6.32)
Predstavimo oba osciliranja pomoću vektora amplitude 1Ar
i 2Ar
, crtež 6.6.
Može se uočiti da je projekcija rezultirajućeg vektora Ar
, na osu x jednaka sumi projekcija vektorakoji se slažu:
21 xxx += (6.33)
Prema tome, vektor Ar
predstavlja rezultirajuće titranje. Taj vektor rotira s istom kutnom brzinomω kao i vektori 1A
r i 2Ar
, tako da će rezultirajuće gibanje biti harmonično titranje sa frekvencijom ω,
amplitudom A i početnom fazom ϕ.
( )ϕω += tAx cos (6.34)
Na crtežu 6.8. vidimo, za trenutak t = 0, na osnovu kosinusne teoreme imamo:
( )[ ]122122
21
2 cos2 ϕϕπ −−−+= AAAAA (6.35)ili
( )122122
21
2 cos2 ϕϕ −++= AAAAA
odnosno,
2211
2211
coscossinsin
ϕϕϕϕϕ
AAAA
OCBCtg
++== (6.36)
10
Crt.6.6.
Jednadžbe (6.35) i (6.36) mogu se dobiti i zbrajanjem jednadžbi (6.31) koristeći odgovarajućetrigonometrijske transformacije.
Analizirajmo izraz za amplitudu (6.35). Ako je razlika faza između dva titranja konstantna, tj.:
.22 const=−ϕϕ (6.37)
takva titranja nazivaju se koherentna. Ako je pak razlika u fazi jednaka nuli ili cijelo parnom brojuπ, imamo da je:
,...3,2,1,0,212 ==− njegdjenπϕϕ
tada je,( ) 1cos 12 =−ϕϕ
i21 AAA += (6.38)
Ako je razlika faza oba titranja jednaka neparnom broju π , imamo da je:
,...3,2,1,0,)12(12 =+=− njegdjen πϕϕ
tada je,( ) 1cos 12 =−ϕϕ
i
21 AAA −= (6.39)
6.5. Matematičko klatno (njihalo)
Matematičko klatno sastoji se od točkaste mase m obješene na nerastegljivu vrlo laganu nit duljine l,crt 6.7. Kada klatno miruje u položaju ravnoteže, napetost niti N
r uravnotežuje sila G
r (sila teže).
Izvan položaja ravnoteže, tangencijalna sila (komponenta sile teže) vraća tijelo u položaj ravnoteže,dok je radijalna komponenta sile teže uravnotežena napetošću niti N
r.
11
Crt.6.7
Zbroj svih sila na materijalnu točku jednak je tangencijalnoj komponenti sile teže Ft = -mg sinθ, gdjepredznak minus kaže da sila djeluje u smjeru porasta pomaka θ. Sila nije proporcionalna kutnompomaku θ, nego sinθ, prema tome gibanje nije harmonično. Međutim, za male amplitude sinθ ≈ θ, tesila F = -mgθ harmonična. Matematičko klatno osciluje harmonijski samo za male amplitude, dok je, za veće amplitude,period klatnafunkcija amplitude. Jednadžba gibanja matematičkog klatna glasi:
θsinmgmaF t −==
odnosno prema (3.40)
2
2
dtdllat
θα ==
dobivamo,
θθ sin2
2
mgdtdml −= (6.40)
U slučaju malih pomjeranja sinθ ≈ θ, te jednadžba gibanja matematičkog klatna poprima oblik:
02
2
=+ θθlg
dtd
(6.50)
Ovo je jednadžba harmoničnog titranja pa analogno prema (6.7) ima rješenje:
12
( )
+=+= ϕθϕωθθ t
lgt sinsin 00 (6.51)
odavde period ωπ2=T , odnosno period matematičkog klatna za male amplitude3 je:
glT π2= (6.52)
Period klatna ne ovisi ni o masi ni o amplitudi već samo od duljine l i gravitacionog ubrzanja g.
6.6. Prigušeno titranje
Do sada smo promatrali idealiziran slučaj titranja materijala točke u kojemu je mehanička energijaočuvana. Iz iskustva znamo da su uvijek gubici energije prisutni i da će elastična opruga poslijeodređenog vremena prestati titrati. Za takva titranja kažemo da su prigušena.Prigušeno titranje možemo lako vidjeti ako elastičnu oprugu uronimo u viskoznu tekućinu. Sila trenjakoja se protivi gibanju elastične opruge proporcionalna je brzini gibanja:
dtxdbvbFtr
rrr
−=−= (6.53)
gdje je b konstanta prigušenja, a predznak minus pokazuje da su sila trenja i brzina, suprotnog smjeraizabranog osi x.
Jednadžbu gibanja za prigušeno titranje, na osnovu drugog Newtonovog aksioma i (6.3) možemopisati:
trel FFamrrr += (6.54)
ili
02
2
=++ xmk
dtdx
mb
dtxd
(6.55)
Zamjenom, 20ω=
mk
i δ2=mb
, jednadžba (6.56) poprima oblik:
02 202
2
=++ xdtdx
dtxd ωδ (6.56)
gdje je mk=0ω vlastita frekvencija neprigušenog oscilatora, a δ faktor prigušenja.
Rješenje ove homogene linearne diferencijalne jednadžbe je:
3 Kada su amplitude veće, tj. kada je θθ ≠sin period njihala ovisi o amplitudi 0θ , tada je periodmatematičkog njihala
+++= ...
2sin
649
2sin
41112 0402 θθπ
gT
13
( )ϕωδ += − tAetx t sin)( (6.57)
uz uvjet,22
0 δωω −= (6.58)
Ovo možemo dokazati uvrštavanjem, prvog i drugog izvoda. Prvi izvod od x(t) je u stvari brzinaprigušenih oscilacija:
( ) ( )ϕωωϕωδ δδ +++−= −− teAteAdtdx tt cossin
Drugi izvod je ubrzanje:
( ) ( ) ( )ϕωωϕωδωϕωδ δδδ +−+−+= −−− teAteAteAdt
xd ttt sincos2sin 222
2
Uvrštavanjem u jednadžbu (6.56), dobivamo:
( ) 0sin)2( 20
222 =++−− − ϕωωδωδ δ teAAAA t
Jednadžba (6.59) mora biti ispunjena za svaki t, što daje uvjet (6.58):
220
2 δωω −=
Prigušenje smanjuje frekvenciju titranja to više što je trenje veće. Amplituda tAe δ− opadaeksponencijalno s vremenom; što je faktor prigušenja δ veći, to i amplituda brže trne.. Ako jetrenje veliko, uopće nema titranja; uvjet za takvo aperiodično gibanje dobivamo iz (6.58):
20
2 ωδ > (6.60)
Tada je naime ω u izrazu (6.58) imaginarna i rješenje jednadžbe gibanja je elongacija kojaeksponencijalno opada. Osciliranje nekih mehaničkih sistema često je nepoželjno i nastoji se,uvođenjem određenog prigušenja, smanjiti ili ukloniti (npr., kazaljke mjernih instrumenata, amortizerina vozilima i dr.).
6.7. Prisilno titranje. Rezonancija
Kada vanjska periodična sila djeluje na sistem koji može titrati, nastaje prisilno titranje. Na crtežu 6.8 prikazan je jedan takav prisilni oscilator. Pomoću vanjskog oscilatora, kojem sefrekvencija može mijenjati, pobuđujemo sustav “opruga + masa”, na titranje. Kad je frekvencija ωvanjskog oscilatora manja od vlastite frekvencije sistema mk=0ω , sistem oscilira, ali s malimamplitudama. Kako ω raste, amplitude postaju sve veće i veće. Kada se ω približi vlastitoj frekvenciji sistema ω0, dolazi do rezonancije, tj. titranja s vrlovelikim amplitudama. Daljnjim povećanjem frekvencije titranje ponovo postaje sve slabije.
14
Napišimo jednadžbu gibanja za ovakav prisilni harmonični oscilator. Neka je vanjska silasinusoidalnog oblika:
tFFv ωsin0= (6.61)
Crt.6.8.
gdje je ω kružna frekvencija vanjskog oscilatora. Drugi Newtonov aksiom, primijenjen na ovakvogibanje, daje:
tFdtdxbkx
dtxdm ωsin02
2
+−−=
ili
tAtmF
xxx ωωωδ sinsin2 002
0 ==++ &&& (6.62)
gdje je δ faktor prigušenja, koji smo definirali u prethodnom odjeljku, a A0 amplituda vanjskogoscilatora. Rješenje ove jednadžbe je titranje s prisilnom frekvencijom ω:
( )ϕωω −= tAtx sin)()( (6.63)
gdje je ϕ kašnjenje u fazi titranja vanjskog oscilatora. Uvrstimo li (6.63) u (6.62) dobivamo:
15
( ) ( ) ( ) ( ) tAAtt ωω
ϕωδωϕωωω sincos2sin 0220 =−+−− (6.64)
Ako jednadžbu (6.64) predstavimo pomoću vektora, proizilazi:
( ) ( ) 220
22220
0 2;4ωω
δωϕωδωωω
=+−= tgAA
Amplituda prisilnog osciliranja je:
( )( ) 22222
0
0
4 ωδωωω
+−= AA (6.64)
Amplituda osciliranja (6.64) ovisna je o omjeru 0ω
ω i o prigušenju δ i maksimalna je pri rezonantnoj
frekvenciji:
220 2δωω −=r
(6.65)
što se dobije izračunavanjem maksimuma funkcije (6.64).
Rezonantna frekvencija ωr, u slučaju prigušenog oscilatora nešto je manja od vlastitefrekvencije; rezonantna frekvencija neprigušenog oscilatora jednaka je vlastitoj frekvenciji ωr =ω0. U idealnom slučaju, kad ne bi bilo gubitaka, amplituda pri rezonanciji (ω = ω0) bila bibeskonačno velika. Kad su prisutni gubici, rezonantna amplituda je konačna a rezonantna frekvencijaje nešto manja od ω0, tim više što je prigušenje veće.
Rezonancija može biti ponekad opasna i dovesti do rušenja (mostova, zgrada i sl.). Tako je srušenmost u Takomi (1940.); vjetar u rezonanciji s vlastitom frekvencijom mosta uzrokovao je snažneoscilacije i rušenje mosta. Rezonancija se susreće mnogim mehaničkim, električnim i drugimuređajima.
68
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTETSARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA I
7. MEHANIČKI VALOVI I ZVUK
7.1 Prostiranje valova u elastičnoj sredini
Ako se na jednom mjestu elastične sredine (čvrste, tečne ili plinovite) izazovu oscilacije njenihčestica, tada će se, zbog međudjelovanja čestica, to osciliranje širiti kroz sredinu nekom brzinom v.Proces prostiranja oscilacija u prostoru naziva se val ili talas.
Val ne prenosi čestice sredine u kojoj se prostire, one samo vrše osciliranje oko ravnotežnihpoložaja.
Longitudinalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju duž pravca prostiranja.Transverzalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju u smjeru koji je okomit na pravac
prostiranja vala. Mehanički transverzalni val nastaje samo u sredini koja sadrži otpor na smicanje. U tečnoj i
plinovitoj fazi moguć je nastanak samo longitudinalnih valova.
Crtež 7.1
Na crtežu 7.1, prikazano je kretanje čestica pri prostiranju transverzalnog vala. Čestice označene sa1,2,3 itd. pomaknute su jedna od druge na rastojanju 1/4 vT, to je jednako četvrtini puta kojeg valpređe za vrijeme jednog perioda.
Čestice koje jedna od druge stoje na rastojanju vT osciliraju u istoj fazi. Rastojanje između najbližih čestica koje osciliraju u istoj fazi naziva se valna dužina.
69
Valna dužina je prema tome jednaka proizvodu brzine vala i perioda.
Tv ⋅=λ (7.1)Ako zamijenimo u izrazu (7.1) T s 1/f dobijemo
fv=λ (7.2)
Geometrijsko mjesto tačaka do kojeg dolaze oscilacije u momentu vremena t naziva se valnifront, to je površina koja dijeli dio prostora koji je zahvaćen u valni proces od oblasti u kojoj još nemaoscilacija.
Geometrijsko mjesto tačaka koje osciliraju sa istom fazom naziva se valna površina.Valne površine mogu da budu bilo kojeg oblika, najjednostavnije su one koje imaju oblik ravni ili
sfere. U tim slučajevima val se naziva ravni ili sferni. U ravnom valu valne površine predstavljajusistem koncentričnih sfera, crtež 7.2.
a) Sferni val
b) Ravni val
Crtež 7.2
Pravci duž kojih se šire oscilacije od tačke do tačke zovemo zrakama vala, zrake su okomitena valne površine.
Iz točkastog izvora u izotropnom sredstvu (tj. sredstvu koje u svim smjerovima ima iste osobine)širi se sferni val čije su valne fronte koncentrične sfere (lopte) crtež 7.2a, a zrake radijalni pravci.Ravni val nastaje iz beskonačno dalekog točkastog izvora, valne fronte su ravnine, a zrake paralelnipravci, crtež 7.2b.
7.2 Jednadžba ravnog i sfernog vala
70
Valna jednadžba naziva se izraz koji daje pomjeranje ψ oscilirajuće točke kao funkciju njenihkoordinata x, y, z i vremena t
( )tzyx ,,,ψψ = (7.3)
Funkcija (7.3) mora da bude periodična kako u odnosu na vrijeme, t tako i u odnosu na koordinate x,y, z.
Nađimo oblik funkcije u slučaju ravnog vala koji se prostire duž ose x
( )tx,ψψ = (7.4)
Valne površine normalne su na osu x. Neka oscilacije tačaka koje leže u ravni x = 0 imaju oblik( ) tAt ωψψ cos,0 == (7.5)
Nađimo oblik osciliranja čestice u ravni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti x. Da bi val prešaoput od ravni x = 0 do ravni x valu je potrebno vrijeme τ
vx=τ (7.6)
gdje je v brzina prostiranja vala.Oscilacije čestica koje leže u ravni x zaostaju u vremenu, za τ
Crtež 7.3.
Prema tome, jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku
( )
−=−=
vxtAtA ωτωψ coscos (7.7)
Pri ovome pretpostavljamo da je amplituda oscilacija u svim tačkama jedna ista, tj. nema apsorpcijevalova.
Neka je vrijednost faze u jedndžbi (7.7) jednaka nekoj stalnoj vrijednosti
.constvxt =
−ω (7.8)
Izraz (7.8) daje vezu između vremena t i onog mjesta x u kojem se u danom momentu ostvaruju istevrijednosti faze.
Diferenciranjem (7.8) dobivamo brzinu kojom se pomjera dana vrijednost faze
01 =− dxv
dt (7.9)
odnosno
vdtdx += (7.10)
71
Prema tome, brzina prostiranja vala u jednadžbi (7.7) jeste brzina pomjeranja faze, pa se zovefazna brzina. Iz jednadžbe (7.10) slijedi da je brzina vala pozitivna, prema tome (7.7) opisuje val kojise rasprostire u stranu rasta x (slijeva u desno), val koji se rasprostire u stranu suprotnu ima oblik
+=
vxtA ωψ cos (7.11)
Izjednačimo fazu sa konstantom i diferencirajmo, dobijemo
vdtdx −= (7.12)
Rezultat pokazuje da se val kreće u suprotnom smjeru. Jednadžbi ravnog vala može se datisimetričan oblik u odnosu na t i x. Uvedimo valni broj k,
λπ2
=k (7.13)
Veza između valnog broja k i kružne frekvencije ω i fazne brzine vala v ima oblik
kv ω= (7.14)
Jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku( )kxtA ±= ωψ cos (7.15)
Promatrajmo jednadžbu sfernog vala. Sferni val nastaje od izvora koji se može smatrati točkom. Uslučaju da je brzina prostiranja u svim smjerovima ista val koji nastaje od izvora (točkastog) mora bitisferni. Neka je faza osciliranja jednaka tω tada tačke koje leže na valnoj površini radijusa r mora
oscilirati sa fazom
−
vrtω . Amplituda osciliranja u tom slučaju ako sredina ne apsorbira energiju
vala neće ostati konstantna, ona se smanjuje po zakonu 1/r Jednadžba sfernog vala ima oblik
−=vr
trA
ωψ cos (7.16)
Ova jednadžba vrijedi samo za velike r, u odnosu na dimenziju izvora. Kad r teži nuli amplitudapostaje beskonačna, što upravo pokazuje o neprimjenjivosti jednadžbe (7.16) za male vrijednosti r.
7.3 Jednadžba ravnog vala koji se prostire u proizvoljnom smjeru
Nađimo jednadžbu ravnog vala koji se prostire u pravcu koji sa osama x, y, z obrazuje ugloveα β γ, , . Neka oscilacije koje prolaze kroz koordinatni početak, crtež 7.4, imaju oblik
tA ωψ cos0 = (7.17)Uzmimo valnu površinu koja od koordinatnog početka stoji na rastojanju l. Oscilacije u toj ravni
zaostaju za oscilacijama (2.17) za vrijeme v1=τ
−=
vltA ωψ cos (7.18)
Izrazimo l preko radijus vektora r→
. Lako je uočiti da skalarni proizvod jediničnog vektora normale
n→
s radijus vektorom r→
bilo koje tačke površine ima istu vrijednost koja je jednaka l
lrrn ==⋅→→
ϕcos (7.19)Uvrštavanjem izraza (7.19) u (7.18) dobivamo
72
⋅−=
→→rn
vtA ωωψ cos
Crtež 7.4
Omjer vω
jednak je valnom broju k.
Vektor →→
= nkk (7.21)
koji je po modulu jednak valnom broju k = 2πλ
i koji ima smjer normale na površinu naziva
se valni vektor. Uvođenjem k→
u (7.20), dobijemo
−=
→→→
rktAtr ωψ cos, (7.22)
Jednadžba (7.22) daje otklon od ravnotežnog položaja s radijus vektorom r→
u momentu vremena t.
Da bi prešli od radijus vektora tačke r→
njenim koordinatama x, y, z, izrazimo skalarni proizvod k r→ →
⋅projekcijama vektora na koordinatne ose:
zkykxkrk zyx ++=⋅→→
(7.23)Tada jednadžba ravnog vala dobiva oblik
( ) ( )zkykxktAtzyx zyx −−−= ωψ cos,,, (7.24)
gdje je
αλπ cos2=xk , β
λπ cos2=yk , γ
λπ cos2=zk (7.25)
U slučaju kada se r→
podudara sa osom x, tada je kx=k, ky=kz=0 te jednadžba (7.24) prelazi ujednadžbu (7.15).
Jednadžba ravnog vala ponekad se piše i u obliku
⋅−→→
=rkti
Aeω
ψ (7.26)pri čemu se podrazumijeva da se koristi samo realni dio tog izraza, npr.
( ) ( )[ ]kxtikxtA −+−= ωωψ sincos (7.27)
7.4. Valna jednadžba
Jednadžba bilo kojeg vala je rješenje diferencijalne jednadžbe koju zovemo valna jednadžba.
73
Promatrajmo ravni val u smjeru ose x( ) ( )kxtAtx −== ωψψ cos, (7.28)
Nađimo drugu parcijalnu derivaciju po koordinatama i vremenu od funkcije ( )ψ x t, 1
( ) ψωωω∂
ψ∂ 222
2
cos −=−−= kxtAt
( ) ψω∂
ψ∂ 222
2
cos kkxtAkx
−=−−= (7.29)
Iz jednadžba (7.29) dobivamo
2
2
2
2
2
2
tk
x ∂ψ∂
ω∂ψ∂ = (7.30)
Uzevši u obzir vezu 22
2 1v
k =ω
, dobivamo
2
2
2
2 1tvx ∂ψ∂
∂ψ∂ = (7.31)
Jednadžba (7.31) predstavlja valnu jednadžbu. Ovo možemo analogno proširiti na sve tridimenzije, pa valna jednadžba u tri dimenzije ima oblik
2
2
22
2
2
2
2
2 1tvzyx ∂ψ∂
∂ψ∂
∂ψ∂
∂ψ∂ =++ (7.32)
Jednadžba (7.32) može se napisati koristeći Laplasov operator ∆ 2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂ψ∂
∂ψ∂
∂ψ∂ψ ++=∆ (7.33)
odnosno
2
2
2
1tv ∂ψ∂ψ =∆ (7.34)
7.5 Brzina prostiranja elastičnih valova
Neka se u pravcu x ose prostire longitudinalni ravni val. Izdvojimo u sredini cilindrični volumenvisine ∆x sa površinom koja je jednaka jedinici. Ako osnova cilindra sa koordinatom x ima u nekomtrenutku pomjeranje ψ onda će pomjeranje osnove s koordinatom x x+ ∆ biti ψ ψ+ ∆ . Prema tome,razmatrani volumen se deformira i dobiva izduženje ∆ψ (ako je ∆ψ < 0 to predstavlja sažimanje).
Veličina, ε ψ= ∆∆x
predstavlja srednju relativnu deformaciju cilindra. Zbog toga što se ne mijenja po
linearnom zakonu, stvorena deformacija na raznim presjecima cilindra neće biti jednaka. Da bismodobili deformaciju na presjeku x potrebno je da ∆x teži nuli. Prema tome je
1 Funkcija ( )ψ x y z t, , , , je funkcija četiri nezavisno promjenjive, pa se ovdje moraju uvesti
parcijalni izvodi funkcije, koji se pišu simbolima, ∂ψ∂x
, ∂ψ∂y
, ∂ψ∂z
, ∂ψ∂t
. Parcijalni izvod za funkcije više
promjenjivih, po nekoj određenoj promjenjivoj, računamo kao “običan” izvod po toj promjenjivoj, stim da se ostale varijable smatraju konstantne.
2 Laplasov operator: 2
2
2
2
2
2
zyx ∂∂
∂∂
∂∂ ++=∆ .
74
xxx ∂∂ψψε =
∆∆=
→∆ 0lim (7.35)
Postojanje deformacije istezanja svjedoči o postojanju normalnog naprezanja σ koje je pri malimdeformacijama proporcionalno veličini deformacije. Suglasno Hookeovom (Hukovom) zakonu,
εσ ⋅= E , gdje je E Youngov (Jang) modul a σ normalno naprezanje (σ = F
s), imamo
xEE
∂∂ψεσ =⋅= (7.36)
Napomenimo da relativna deformacija x∂
∂ψ a prema tome i naprezanje u fiksiranom momentu
vremena zavise od x. Tamo gdje su otkloni čestice od položaja ravnoteže maksimalni, deformacije inaprezanja su jednaki nuli. U mjestima gdje čestice prolaze kroz položaj ravnoteže deformacija inaprezanje dostižu maksimalnu vrijednost pri čemu se pozitivne i negativne deformacije (istezanje isabijanje) naizmjenično smjenjuju (longitudinalni val ), crtež 7.5.
Napišimo jednadžbu kretanja za jedinični ci1indar. Uzimajući da je ∆x veoma malen, ubrzanjesistema može se smatrati konstantno. Masa cilindra jednaka je ρ∆xS , gdje je gustoća nedeformiranesredine.
Crtež 7.5
Crtež 7.6
Sila koja djeluje na cilindar, jednaka je razlici sila na presjeku xx ∆= i na presjeku x=0 tj. F=F2-F1.Prema (7.36) imamo
75
−
=
∆ 0xxSEF
x ∂∂ψ
∂∂ψ
(7.37)
Veličinu
x∂∂ψ
možemo razviti u red3 za male vrijednosti x∆ kao
⋅⋅⋅+∆
+
=
∆
xxxxx x 00 ∂
∂ψ∂∂
∂∂ψ
∂∂ψ
Uvrštavanjem u relaciju (2.37) dobivamo
xx
SExxx
SEF ∆=∆
= 2
2
∂ψ∂
∂∂ψ
∂∂
(7.38)
Sa druge strane, sila je prema II Newtonovom zakonu jednaka
xt
St
Vt
mF ∆=∆⋅=∆= 2
2
2
2
2
2
∂ψ∂ρ
∂ψ∂ρ
∂ψ∂
(7.39)
Izjednačavanjem relacija (7.39) i (7.38) dobivamo jednadžbu oblika valne jednadžbe
2
2
2
2
tEx ∂ψ∂ρ
∂ψ∂ = (7.40)
Uspoređivanjem jednadžbe (7.40) sa valnom jednadžbom (7.31 ) vidimo da je Evρ=2
1. Prema
tome brzina longitudinalnih valova jednaka je kvadratnom korijenu iz Youngovog modulapodjeljnog s gustoćom sredine
vE=ρ
(7.41)
Analogna računanja za transverzalne valove dovode do slijedećeg izraza za brzinu(7.42)
ρG
v =
gdje je G modul smicanja.
7.6 Energija elastičnog vala
Promatrat ćemo sredinu u kojoj se prostire longitudinalni ravni val, izdvojivši elementarni volumen∆V , ali tako malen da se deformacije i brzina mogu smatrati istim i jednakim u svim tačkama. Da biizračunali ukupnu energiju sistema moramo prethodno izračunati potencijalnu energiju elastičnedeformacije pri istezanju ili sabijanju. Energiju istegnutog (sabijenog) štapa za ∆l, dobit ćemo prekorada vanjskih si1a. Pošto je sila promjenljiva, rad je jednak.
∫∆
⋅=l
dxFW0
(7.43)
gdje je x - izduženje u procesu deformacije i ide od 0 do ∆l. Znači, sila koja odgovara izduženju x,prema Hookeovom zakonu ima oblik
xl
SEF ⋅= (7.44)
Uvrštavanjem (7.44) u (7.43) možemo izračunati rad, odnosno energiju deformisanog tijela.
3 Funkcija F(x) može se razviti u Mac Lorinov red, za male (infinitezimalne) vrijednosti ∆x kao
( ) ( ) ( )F x F F x= + + ⋅ ⋅ ⋅0 0' ∆
76
2
0 0
2
22
∆⋅⋅=⋅=⋅= ∫
∆ ∆
lllSEx
lSExdx
lSEW
l l
(7.45)
Konačno imamo da je potencijalna energija jednaka2
2εVEE p
⋅= (7.46)
Izraz za potencijalnu energiju elementarnog volumena ∆V ima oblik
Vx
vE p ∆
=∆
22
2 ∂∂ψρ
(7.47)
gdje je, 2vE ρ= , Youngov modul elastičnosti,x∂
∂ψε = , relativna deformacija.
Promatrani volumen sadrži također i kinetičku energiju2
2
∆=∆
tVEk ∂
∂ψρ(7.48)
gdje je, ∆ ∆m V= ρ , masa i t
v∂∂ψ= brzina danog elementa ∆V . Sabiranjem izraza (7.48) i (7.47)
dobit ćemo ukupnu energiju
+
=∆+∆=∆
22
2
2 xv
tEEE pk ∂
∂ψ∂∂ψρ
(7.49)
Dijeljenjem energije ∆E sa volumenom ∆V u kojem se ona sadrži, dobit ćemo gustoću energije
+
==
∆∆ 2
22
21
xv
tu
VE
∂∂ψ
∂∂ψρ (7.50)
Parcijalnim diferenciranjem jednadžba ravnog vala po t i po x dobivamo
−−=
vxtA
tωω
∂∂ψ sin
i
−=
vxtA
vxωω
∂∂ψ sin (7.51)
Uvrštavanjem izraza (7.51) u (7.30) dobit ćemo izraz za gustoću energije
−=
vxtAu ωωρ 222 sin2
2ili
( )kxtAu −= ωωρ 222 sin (7.52)Vidimo da se gustoću energije mijenja po zakonu kvadrata sinusne funkcije. Pošto je srednja
vrijednost kvadrata sinusa jednaka 1/2, srednja vrijednost gustoće energije po volumenu u svakoj točkisredine biće jednaka
22
2ωρ Au =
−
(7.53)
Gustoću energije proporcionalna je gustoći sredine, kvadratu frekvencije i kvadratuamplitude vala.
Energija se prenosi samim valom od izvora oscilacije do različitih tačaka sredine, prematome val sa sobom prenosi energiju.
Količina energije koju prenosi val kroz neku površinu u jedinici vremena naziva se tokenergije ili fluks kroz površinu.
77
Fluks energije je skalarna veličina čije su dimenzije jednake dimenziji energije podijeljene sadimenzijom vremena, tj. podudara se sa dimenzijom snage. Prema tome fluks se mjeri u vatima (W).Fluks energije u raznim točkama sredine može imati različitu intenzivnost.
Za karakteristiku fluksa energije u raznim točkama prostora uvodi se vektorska veličinakoja se zove gustoća toka energije. Smjer vektora gustoće fluksa energije podudara se s smjerom ukojem se prenosi energija.
Neka se kroz površinu ⊥∆S okomitu na pravac prostiranja vala prenosi za vrijeme ∆t energija∆E . Tada će gustoća fluksa energije po definiciji biti jednaka
tSEj
∆⋅∆∆=⊥
(7.54)
S obzirom da je ∆∆E
t fluks energije φ∆ , kroz površinu ⊥∆S može se pisati
⊥∆∆=S
j φ(7.55)
Kroz površinu ⊥∆S za vrijeme t∆ prenijet će se energija koja je sadržana u volumenu valjka saosnovom ⊥∆S i visinom tv ∆⋅ , crtež 7.7.
Crtež 7.7
Ako su dimenzije valjka dovoljno male tako da bismo gustoću energije u svim tačkama valjkamogli smatrati jednakom, onda se ∆E može naći kao proizvod gustoće energije i volumena valjka,
tvS ∆⋅⋅∆ ⊥ , tj.tvSuE ∆⋅⋅∆⋅=∆ ⊥ (7.56)
Kad taj izraz za ∆E uvrstimo u formulu (7.54) dobit ćemovuj ⋅=
Razmatrajući faznu brzinu v kao vektor čiji se pravac podudara sa smjerom prostiranja vala možese napisati
→→⋅= vuj (7.57)
Srednja vrijednost vektora gustoća fluksa energije jednaka je→→→→
=⋅= vAvuj sr22
21 ωρ (7.58)
Intenzitet vala I jednak je srednjoj vrijednosti energije, koju val prenosi kroz jediničnupovršinu u jedinici vremena, a to je upravo skalarna vrijednost vektora
srj→ tj.
22
21 ωρvAI = (7.59)
79
7.7 Interferencija valova
Ako se u sredini istovremeno prostire nekoliko valova, onda će oscilacije česticasredine biti jednake geometrijskoj sumi oscilacija koje bi vršile čestice pri prostiranju svakogvala pojedinačno. Prema tome, valovi se jednostavno superponiraju jedan na drugi neremeteći jedan drugog. Ovaj princip naziva se princip superpozicije valova.U slučaju kada oscilacije, uvjetovane pojedinim valovima u svakoj točki sredine, imajukonstantnu razliku faza valovi se zovu koherentni. Očigledno da koherentni valovi mogu biti samo valovi koji imaju istu frekvenciju. Prislaganju koherentnih valova dolazi do pojave interferencije, koja se sastoji u tome da seoscilacije u jednim točkama pojačavaju a u drugim slabe. Promatrajmo dva vala koji se prostiru od točkastih izvora O1 i O2 koji osciliraju skonstantnom fazom razlikom (takvi izvori se nazivaju koherentni kao i valovi koje oniobrazuju). Odredimo rezultirajuće osciliranje u bilo kojoj točki sredine pod uvjetom da obaosciliranja imaju isti smjer, crtež 7.8.Pretpostavimo da valovi koji izlaze iz izvora O1 i O2 imaju jednaku amplitudu i fazu. Dolazećido točke S, valovi prelaze različite putove, te se osciliranje koje oni proizvode u toj točkirazlikuje u fazi:
Crtež 7.8
( )111 cos krtA −= ωψ( )222 cos krtA −= ωψ (7.60)
Razlika u fazi ova dva osciliranja je jednaka:( )12 rrk −=∆δ (7.61)
gdje su A1 i A2 amplitude valova u točki S, k valni broj, v
k ω= , r1 i r2 rastojanja od izvora do
date točke. Pretpostavimo da su amplitude u točki S jednake, tada je rezultirajuće osciliranjejednako
( ) ( )[ ]2121 coscos krtkrtA −+−=+= ωωψψψ (7.62)Koristeći adicione teoreme dobit ćemo izraz za rezultirajuće osciliranje u obliku
( )
+
−−
=2
cos2
cos2 2112 rrkt
rrkA ωψ
amplituda faza (7.63)Vidimo da amplituda rezultirajućeg osciliranja ovisi o mjestu u kojem promatramo.Maksimalno osciliranje dobivamo na mjestima gdje je
80
( )1
2cos 12 =
− rrk(7.65)
tj. na mjestima gdje je razlika u fazi višekratnik od 2π( ) nrrk π212 ±=− n = 012,,,... (7.65)
na tim mjestima oba osciliranja su u fazi i dobivamo tzv. konstruktivna interferencija, samplitudom A1+A2=2AU točkama u kojima je
( )0
2cos 12 =
− rrk(7.66)
tj. razlika u fazi
( )
+±=−
21212 nrrk π ; n = ⋅ ⋅ ⋅012,,, (7.67)
dobivamo minimalno osciliranje, odnosno destruktivnu interferenciju, s amplitudom12 AAA −= . U specijalnom slučaju kada je A1=A2 na tim mjestima neće biti osciliranja.
Uvjeti (7.65) i (7.67) svode se na to da je.21 constrr =− rr
(7.68)Iz analitičke geometrije je poznato da jednadžba (7.68) predstavlja jednadžbu hiperbole safokusima u točkama O1 i O2. Znači, geometrijsko mjesto tačaka u kojima se oscilacijepojačavaju ili oslabljuju predstavlja porodicu hiperbola, crtež 7.9 odgovara slučaju,
021 =−ϕϕ .Punim linijama označena su mjesta u kojima se oscilacije uzajamno pojačavaju (maksimumosciliranja), a isprekidanim linijama prikazana su mjesta na kojima se oscilacije poništavaju(minimum osciliranja).
Crtež 7.9
7.8 Difrakcija valova
81
Kada na svom kretanju valovi susretnu prepreku, oni je obilaze. Ta pojava naziva sedifrakcija. Nastajanje difrakcije može se objasniti pomoću Huygensovog (Hajgens) principakojim se određuje način stvaranja valnog fronta u trenutku t t+ ∆ , ako je poznat položajvalnog fronta u trenutku t. Suglasno Huygensovom principu: svaka točka do koje dolazivalno kretanje, postaje centar sekundarnih valova koji su u homogenoj i izotropnojsredini sferni. Anvelopa (ovojnica) tih valova daje položaj valnog fronta u narednom trenutku, crtež 7.10.
Crtež 7.10Neka na ravnu pregradu sa otvorom pada valni front paralelan s pregradom, crtež 7.11. PremaHuygensovom principu, svaka točka otvora predstavlja centar sekundarnih valova, koji će uhomogenoj sredini biti sferni.Ovojnica (anvelopa) sekundarnih valova predstavlja novu valnu frontu. Ako je pukotinaširoka, mnogo šira od valne dužine, tada iz dijela valne fronte koji ulazi u pukotinu nastajemnogo sekundarnih valova čijom superpozicijom dobivamo paralelne valne fronte, crtež7.11b, što je pukotina manja (reda veličine valne dužine) skretanje valova u područjegeometrijske sjenke je izrazitije, crtež 7.11a, i dobiva se sferni val.
Crtež 7.11
82
7.9 Stojeći valovi
Kada imamo interferenciju dva ravna vala jednakih amplituda koji se kreću jedan nasuprot drugoga, oscilatorni proces koji pri tome nastaje naziva se stojeći val.U praksi stojeći val nastaje pri odbijanju valova od pregrada. Val koji pada na pregradu iodbijeni val. Napišimo jednadžbe dvaju ravnih valova koji se prostiru u suprotnimsmjerovima.
( )kxtA −= ωψ cos1
( )kxtA += ωψ cos2 (7.69)Kada zbrojimo ove jednadžbe i koristeći formulu za sumu kosinusa dobit ćemo
( ) ( )[ ]kxtkxtA ++−=+= ωωψψψ coscos21
tkxA ωψ coscos2= (7.70)
Zamjenom λπ2=k izraz možemo napisati u obliku
txA ωλ
πψ cos2cos2= (7.71)
U točkama gdje je
12cos =λ
π x
tj. πλ
π nx ±=2 ; n = ⋅⋅ ⋅012,,,
ili
2λnxTR ±= (7.72)
amplituda oscilacija dostiže maksimalnu vrijednost 2A. Te točke zovemo trbusi stojećeg vala.U točkama gdje je
02cos =λ
π x
tj. πλ
π
+±=
212 nx ; n = ⋅⋅ ⋅012,,,
ili
221 λ
+±= nxČV (7.73)
amplituda osciliranja pretvara se u nulu. Te točke se zovu čvorovi stojećeg vala.
83
Crtež 7.12
7.10 Refleksija valova
Promatrajmo širenje valova u jednodimenzionalnoj sredini, npr. zategnutom užetu ili gumenojcijevi. Udarimo li na jednom mjestu zategnuo uže, poremećaj (brijeg) će se širiti na objestrane. Ako je uže na kraju učvršćeno, poremećaj će se reflektirati, crt. 7.13.a.
Crt. 7.13Pri tom opažamo da nastaje promjena faze za π , tj. da se poremećaj od čvrste zaprekereflektira sa suprotnom fazom. Naprotiv ako kraj debelog užeta vežemo za zid nekom tankomniti, crt. 7.13b, tada će se na tom spoju brijeg reflektirati kao brijeg, tj. s istom fazom.Iz ovih razmatranja možemo izvesti slijedeće zaključke:Kad val upada na granicu između dvije sredine (dva sredstva), jedan dio energije vala sereflektira, a ostatak prelazi u drugo sredstvo /drugu sredinu: od upadnog vala nastajereflektirani (odbijeni) i transmitirani (propušteni) val.
84
Pri refleksiji na gušćem sredstvu reflektirani val je pomaknut u fazi za π premaupadnom, dok pri refleksiji na rjeđem sredstvu nema pomaka u fazi. Posebno, prirefleksiji od čvrste zapreke nema transmitiranog vala, reflektirani val ima istuamplitudu kao upadni ali je pomaknut u fazi za π ; pri refleksiji na slobodnom krajuupadni i reflektirani val imaju jednake amplitude i faze.Da bi razumjeli zašto dolazi do promjene faze promatrajmo danu situaciju pomoću jednadžbiza ravne valove.Promatrajmo refleksiju vala na užetu na mjestima gdje se mijenja gustoća, npr. na spoju dvaužeta različite debljine. Jednadžbe upadnog vala yu(x,t), reflektiranog vala yr(x,t) itransmitiranog vala yt(x,t) su:
( )
−=
1
sin,vxtAtxy uu ω
( )
+=
1
sin,vxtAtxy rr ω (7.74)
( )
−=
2
sin,vxtAtxy tt ω
gdje su Au,Ar i At amplituda upadnog, reflektiranog i transmitiranog vala. Elongacija y(x,t)mora da je svugdje dvaput derivabilna funkcija udaljenosti, tj. u svakoj točki neprekidnafunkcija s neprekidnom derivacijom.Na mjestu gdje se mijenja gustoća, neka je to ishodište našeg koordinatnog sustava x=0,moraju biti ispunjeni slijedeći rubni uvjeti:
( ) ( ) ( )txytxytxy tru ,,, =+i (7.75)
( ) ( )[ ]xy
txytxyx
tru ∂
∂∂∂ =+ ,,
Prvi uvjet kaže da se na mjestu x = 0 val dijeli na reflektirani i transmitirni, dok drugi uvjetzahtjeva da u graničnoj točki nagibi obje žice moraju biti jednaki (jednake prve derivacije). Ugraničnoj točki x = 0, valne funkcije imaju oblik:
tAy uu ωsin= ; tAy rr ωsin= ; tAy tt ωsin= (7.76)
Primjenom prvog rubnog uvjeta dobivamo:
Au+Ar=At (7.77)Izvršimo derivaciju (7.74) kako to zahtjeva drugi rubni uvjet dobivamo:
211 vA
vA
vA tru =− (7.78)
Iz (7.77) i (7.78) dobivamo amplitude reflektiranog i transmitiranog vala:
ur AvvvvA
21
12
+−
= (7.79)
ut Avv
vA21
22+
= (7.80)
85
Pogledajmo kakva je refleksija kad val prelazi iz rjeđeg u gušće sredstvo. Tada je 21 µµ < 1, teje 21 vv > , prema relaciji (7.31). Iz (7.79) i (7.80) zaključujemo da amplituda reflektiranogvala ima suprotan predznak od amplitude upadnog i vala, dok je amplituda transmitiranogvala istog predznaka kao i amplituda upadnog vala. Drugim riječima, reflektirani val trpi skoku fazi za π kad je slijedeće sredstvo gušće; trasmitirani dio, naprotiv, nastavlja se u drugojsredini bez promjene u fazi. U posebnom slučaju, kad je kraj žice učvršćen ( 0, 22 =∞= vµ ),reflektirani val je iste amplitude kao upadni, ali pomaknut u fazi za π , dok transmitiranogvala nema:
( )
−=
1
sin,vxtAtxyu ω
( )
+−=
1
sin,vxtAtxyr ω (7.81)
Pri refleksiji na rjeđem sredstvu, reflektirani val ne mijenja fazu ( 1212 ; vv >< µµ ); akoje refleksija na slobodnom kraju ( ∞== 22 ,0 vµ ), upadni i reflektirani val imaju isteamplitude i faze.Refleksiju valova možemo promatrati koristeći Huygensov princip. Da bi izveli zakonrefleksije valova, postavit ćemo na put valova ravnu prepreku od koje će odbijati valovi kojidolaze iz valnog izvora 0. Val pogađa prvo točku A, koja postaje izvor novog vala te se okonje formira elementarni val. Slijedeće točke koje bivaju pogođene također formirajuelementarne valove ali sa zakašnjenjem koje je utoliko veće ukoliko su točke dalje od A.
Crtež 7.14
Ovojnica koja tangira sve elementarne valove predstavlja valnu frontu rezultirajućeg vala.Povucimo proizvoljnu zraku OB , ona će se odbiti u pravcu koji odgovara zraci koja dolazi iztočke 0, a prolazi kroz točku B.Pošto je OA O A= ' , iz podudarnosti trokuta ∆ ∆OAB O AB, ' slijedi da je
αα ′= (7.82)gdje su uglovi α i α' upadni i odbojni ugao u odnosu na normalu na odbojnu površinu. Pri odbijanju talasa od ravne površine upadni i odbojni ugao međusobno su jednaki.
1 µ -je linearna ili podužna gustoća µ ρ
=l
86
7.11 Refrakcija (prelamanje) valova
Promatrajmo snop ravnih valova čija je valna fronta prava linija. Neka valna fronta AB dolazipod uglom α (upadni ugao) u odnosu na normalu na graničnu površinu. Neka je u pravojsredini brzina vala v1 a u drugoj v2 i neka je v1 veće od v2.
Po Huygensovom principu svaka točka granične površine do koje dopire valni front ABpostaje izvor elementarnog vala. Vrijeme koje prođe od trenutka kad valni front pogodi točku
A pa do trenutka kad stigne u točku C, jednako je 1v
BCt = . Za to vrijeme elementarni val iz
točke A krećući se u sredini II brzinom v2 pređe put AD . Pošto je v1>v2 to je i BC AD> . Za
rastojanje AD važi relacija 2v
ADt = . Odavde slijedi
21 vAD
vBC = (7.83)
Crtež 7.15
Vidi se da je valni front pri prelasku iz sredine I u sredinu II promijenio pravac, odnosnodošlo je do prelamanja vala. Iz pravokutnih trokuta ∆ABC i ∆ACD slijedi da je
αsinACBC = ; βsinACAD = (7.84)gdje je β prelomni kut.Uvrštavanjem u relaciju (7.83) dobivamo zakon prelamanja.
2.12
1
sinsin n
vv
==βα
(7.85)
Odnos brzina naziva se indeks prelamanja između sredine II i sredine I i obilježava se san1.2.
86
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTETSARAJEVO
INŽENJERSKA FIZIKA I
7.12 Zvuk
Zvuk je osjećaj koji potiče od mehaničkih oscilacija koje prima uho a registrira mozak.U fizici pod zvukom podrazumijevamo sve pojave vezane za mehaničke oscilacije čije se
frekvencije kreću u granicama osjetljivost čula sluha. Ova grana fizike naziva se akustika i u najširem smislu riječi obuhvata mehaničke valove koji se
prostiru kroz: gasove, tečnosti ili čvrsta tijela u opsegu zvučnih frekvencija kao i valove koji su savišim i nižim frekvencijama od granice čujnosti. Granica čujnosti nalazi se približno na 20 Hz i20.000 Hz. Ove granice su individualne i ne treba smatrati da su one strogo određene. Mehaničkeoscilacije koje prelaze 20.000 Hz nazivaju se ultrazvuk, a oscilacije čija je frekvencija ispod 20 Hznazivaju se infrazvuk.
7.12.1 Zvučni valovi
Zvučni valovi u gasovima i tečnostima mogu biti samo longitudinalni dok u čvrstim tijelimamogu biti kako longitudinalni tako i transverzalni. To su obično prostorni valovi koje unajjednostavnijem slučaju možemo smatrati sfernim valovima. Za normalne jačine zvuka ovi valoviimaju malu amplitudu koja se kreće oko 10-11 m, što je manje od promjera molekule. I pored malihpomjeranja čestica iz ravnotežnog položaja pritisak gasa se povećava i smanjuje u odnosu na normalni.Prema Hookeovom zakonu, promjena pritiska 0ppp −=∆ , izaziva relativnu deformaciju sredine
VVBp ∆−=∆ (7.86)
gdje je B zapreminski modul elastičnosti. Znak minus dolazi zbog toga što se pri porastu pritiskasmanjuje zapremina, odnosno relativna deformacija je negativna.Promatrajmo ravni longitudinalni val koji se prostire u plinovitoj sredini (zrak) u smjeru ose x, crtež7.16 i koji možemo predstaviti jednadžbom ravnih valova (7.15).
Ψ Ψ+∆Ψ
Sp S(p+∆p)
∆xCrtež 7.16Uzmimo element zapremine xSV ∆=∆ , koji doživljava deformacije sabijanja i istezanja. Relativna
deformacija je xxS
VSVV
∆∆=
∆∆=∆ ψ
. Za slučaj da je 0→∆x , relacija (7.86) dobiva oblik
87
xBp
∂∂−=∆ ψ
(7.87)
Diferenciranjem (7.15) po x, dobivamo izraz za relativnu deformaciju
( )kxtkAx
−=∂∂ ωψ sin (7.88)
odnosno
)sin( kxtAv
Bp −−=∆ ωω(7.89)
ili( )kxtpp −−=∆ ωsin0 (7.90)
Izraz kBA predstavlja amplitudu promjene pritisaka po, tj.po=kBA (7.91)
Iz (7.90) vidimo da je promjena pritisaka pri prostiranju longitudinalnog vala kroz plinovitusredinu sinusna funkcija. To znači da je u točkama duž pravca prostiranja vala u kojima suelongacije maksimalne, promjena pritiska 0=∆p , a u točkama gdje je deformacija slojeva gasa nula,promjena pritiska maksimalna. Prostiranje ovih valova kroz gas izaziva naizmjeničnu kompresiju iekspanziju gasa. Amplitude promjene pritiska pri najvećoj jačini zvuka ne prelaze 30 N/m2,što je
neznatno u odnosu na atmosferski pritisak , koji iznosi oko 2510
mN
.Čovjekovo uho može da osjeti
zvuk i kad amplituda pritiska padne na svega Paµ20 .Snaga P koja se prenosi valom, jednaka je količini energije koju prenosi zvučni val u jedinici
vremena kroz jediničnu površinu, normalnu na pravac prostiranja vala.Koristeći opće izraze za snagu vFP ⋅= i sila F p= ∆ S, dobit ćemo snagu vala koji se prenosi
kroz poprečni presjek S.
pSvP ∆= (7.92)pošto je
( )kxtAt
v −−== ωω∂∂ψ sin (7.93)
Uvrštavanjem (7.91) i (7.93) dobit ćemo izraz za snagu( )kxtASpP −= ωω 2
0 sin (7.94)Da bi izračunali srednju snagu, koristit ćemo gotov rezultat za srednju vrijednost sinus kvadrata,
21sin 2 =x . Na osnovu ovoga imamo
SApPSR ω021= (7.95)
Koristeći vrijednosti za v
k ω= ,ρBv = i po=kBA možemo izraz za srednju snagu napisati u
obliku
88
20
20
21 pconstS
vp
PSR ⋅==ρ
(7.96)
Srednja snaga proporcionalna je kvadratu amplitude promjene pritiska. Snaga pri emitiranjuobičnog govora iznosi svega 10-5 W, dok se zvuk može osjetiti (čulom sluha) i do granice 6 10-17 W.
7.12.2 Brzina zvučnih valova u plinovima
Da bi izračunali brzinu zvučnih valova u gasovima (zrak) pođimo od Hookeovog izraza zazapreminsku deformaciju (7.86) napisavši ga u obliku
VVpB
∆∆−= (7.97)
Uzmimo da su promjene pritiska beskonačno male, tj. 0→∆p tada i 0→∆V pa izraz (7.93)prelazi u diferencijalni oblik,
dVdpVB −= (7.98)
Pri ovome moramo voditi računa da povećanje pritiska (dp>0) odgovara smanjenju zapremine(dV<0). Oscilacije zvuka vrše se tako brzo da se može smatrati da je sabijanje i razrjeđenje plinaadijabatsko1, pa prema tome zadovoljava Poissonovu (Poason) jednadžbu
constpV =χ (7.99)
gdje je v
p
cc
=κ , odnos specifične toplote gasa pri stalnom pritisku i specifične toplote pri stalnoj
zapremini. Diferenciranjem Poissonove jednadžbe dobije se01 =+ − pdVVdpV κκ κ (7.100)
odakle
Vp
dVdp κ−= (7.101)
Zamjenjujući ovaj izraz u (7.97) dobivamopB ⋅= κ (7.102)
Znači brzina zvuka u plinovitoj sredini jednaka je
ρκ
ρpBv == (7.103)
Koristeći izraz za jednadžbu stanja gasa,
pVm
MRT= (7.104)
gdje je m - masa gasa, M - molekularna masa, R = 8,314. J/mol K, univerzalna plinska konstanta i T -apsolutna temperatura, možemo izračunati gustoću plina
RTpM=ρ (7.105)
Konačno izraz za brzinu zvuka dobiva oblik
TconstMRTv == κ
(7.106)
ili
1 Adijabatska promjena je takva promjena stanja plina kada nema razmjene toplote sa okolinom δQ = 0.
89
273331
00
TTTvv ==
gdje je vo= 331 m/s, brzina zvuka u zraku na temperaturi To= 273 K.
7.12.3 Dopplerov efekt
Kada se zvučni izvor, ili slušalac, ili oboje kreću u odnosu na zrak, visina (frekvencija) zvukakoju čuje slušalac neće u općem slučaju biti ista kao kad bi izvor i slušalac mirovali. Poznat jeslučaj naglog pada visine zvuka automobilske sirene kada se susreće ili prolazi pored automobila kojise kreće u suprotnom pravcu. Ova pojava se naziva Dopplerov2 efekt.
Neka se brzina promatrača vp i brzina izvora vi nalaze na jednom istom pravcu. Izvor emitira valovefrekvencije fi. Vidjet ćemo da će zavisno o relativnoj brzini prema izvoru, promatrač izmjeritirazličitu frekvenciju izvora. Definirajmo smjer brzina kretanja tako da vp i vi imaju pozitivan smjerako su usmjerene od promatrača ka izvoru. Brzina prostiranja vala u uvijek je pozitivna. Uzet ćemoslučaj kad se promatrač nalazi lijevo od izvora valova, tj. i jedan i drugi imaju pozitivne brzine (smjerod lijeva na desno). Izvor se u času t1=0 nalazi u točki A a u trenutku t2=t u točki B, crtež 7.17.. Umeđuvremenu, val emitiran od izvora u času t1=0 pređe put u t⋅ . Pri ovome imajmo na umu da brzinaširenja ovisi od medija kroz koji se širi val, dakle ne ovisi od brzine kretanja izvora vala u časuemitiranja. Za vrijeme t2=t izvor putujući iz A u B emitirao je f ti ⋅ valova gdje je fi frekvencija izvora.Između B i D ti se valovi gomilaju a između F i B su rašireni. Prema tome valna dužina u područjugomilanja valova (desno od izvora)
i
i
i
i
fvu
tftvut +
=−
=*λ (7.107)
dok je u području gdje se valovi šire valna dužina:
i
i
i
i
fvu
tftvut −
=+
=λ (7.108)
Formule (7.107) i (7.108) vrijede za valnu dužinu valova koji dolaze od izvora u kretanju. Kolikuće frekvenciju izmjeriti promatrač koji se prema izvoru kreće brzinom vp. Brzina kojom se valovikreću, prema promatraču je u+vp, frekvencija kojom promatrač sreće valove je
i
pi
pp vu
uvf
uvf
++
=+
=λ
(7.109)
U slučaju da se promatrač nalazi desno od izvora i kreće se brzinom *pv , tada će frekvencija koju
mjeri promatrač biti jednaka
i
pi
pp vu
vuf
vuf
+−
=−
= **
λ (7.110)
2 Ch. Doppler (1803-1853), austrijski matematičar i fizičar
90
Crtež 7.17
Ova dva slučaja možemo prikazati jednom formulom
i
pi vu
vuff
−+
= (7.111)
gdje je vp pozitivno ako se prijemnik približava izvoru, a negativno ako se prijemnik udaljava odizvora. Slično tome, brzina izvora vi je pozitivna ako izvor kreće u pravcu prijemnika a negativna akose izvor udaljava od prijemnika. Pri tome pretpostavljamo da se izvor i prijemnik kreću duž pravcakoji ih povezuje.
Uzmimo nekoliko specijalnih slučajeva:
1. Promatrač miruje, izvor se kreće prema promatraču, vp=0, vi>0
i
pip vu
vuff
−+
= ; fp>fi
2. Promatrač miruje izvor se kreće od promatrača, vi<0, vp=0
iip vu
uff+
= ; fp<fi
3. Izvor miruje promatrač se kreće prema izvoru, vi=0, vp>0
uvu
ff pip
+= ; fp>fi
4. Izvor miruje, promatrač se kreće od izvora, vi=0, vp<0
uvu
ff pip
−= ,
U slučajevima 1. i 3. promatrač mjeri veću frekvenciju od one kojom izvor emitira valove, a uslučajevima 2. i 4. izmjerena frekvencija je manja.
U slučaju u=vi svi valovi dodiruju se u točki S gdje se nalazi izvor. U toj točki nalazi seakumulirana znatna oscilatorna energija to je tzv. zvučni zid, slika 7.18. Ako je vi>u u dolazi dozvučne eksplozije, slika 7.19. Val koji nastaje pri vi>u na ovaj način nema periodičan karakter negopredstavlja jednu oblast kompresije koja se širi brzinom zvuka.
Valovi nisu više sadržani jedan u drugom nego su obuhvaćeni konusom AOB tzv. Machov(Mahov) konus. Da bi došlo do zvučne eksplozije (proboj zvučnog zida) brzina izvora mora biti većaod brzine zvuka, tj. viz>344 m/s.
91
Crtež 7.18 Crtež 7.19
7.12.4 Zvučni izvori
Svaki mehanički oscilator koji pravilno oscilira u opsegu frekvencija zvuka naziva se zvučniizvor. Kao najčešći izvori zvučnih vala susreću se zategnute žice i zračni stupovi. Zategnute žiceosciliraju transverzalnim oscilacijama. Ako se na jednom mjestu zategnute žice izvede transverzalnadeformacija, ona će se prostirati duž žice brzinom v, koja je jednaka prema (7.41)
µFv = (7.112)
gdje je F sila zatezanja žice a µ = m
l masa jedinične dužine (podužna masa) žice. Na učvršćenim
krajevima žice takav val će se odbiti i krenuti u suprotnom smjeru duž žice. Uslijed interferencijeformirat će se stojeći val. Stojeći val će se formirati ako dužina žice iznosi (crtež 7.19)
,...2
3,
22,
2321 λλλ
odnosno
⋅⋅⋅== ,3,2,1;2
nnl nλ (7.113)
gdje je λ n valna dužina transverzalnog vala
Crtež 7.20
92
Frekvencija je jednaka
µF
lnf n 2
= (7.114)
gdje je n= 1, 2, 3... Za n = 1 imamo osnovni ton.Osciliranje zračnih stupova može se ostvariti u cijevima koje mogu biti otvorene na jednom kraju
ili na oba kraja.
Ako je cijev otvorena na jednom kraju, onda će se uvijek na otvorenom kraju obrazovati trbuh a nazatvorenom kraju čvor stojećeg vala. Napomenimo da se u zračnim stupovima mogu obrazovati samolongitudinalni stojeći valovi koji su na crtežu 7.21 prikazani točkastim linijama.
Crtež 7.21
Općenito možemo pisati da je valna dužina zvuka u zatvorenim stupovima
124+
=n
lnλ , (n = 0, 1, 2...) (7.115)
a odgovarajuća frekvencija
vl
nf n ⋅+=4
12 (7.116)
Ako cijev otvorena na oba kraja onda će se na njima obrazovati, trbusi stojećeg vala. Analogno
prethodnom slučaju imamo, za otvorene stupove vrijedi da je nl
n2=λ , pa je frekvencija jednaka:
vl
nf n ⋅=2
, (n = 1, 2,...) (7.117)
gdje je n - broj čvorova a v brzina zvuka.
7.12.5 Osjećaj zvuka
Čovjek prima zvuk pomoću čula sluha: uha. Uho je vrlo složen organ koji zvučne oscilacije prenosikroz slušni kanal do bubne opne, zatim preko niza složenih opruga do Cortijevog ( Korti ) organa kojise sastoji iz vlakana do kojih dolaze slušni nervi. Vlakna imaju različite dužine i napetosti, pa imodgovaraju određene rezonantne frekvencije. Pod utjecajem zvuka određena vlakna stupaju urezonantno osciliranje i nadražuju određene nervne završetke, koji te nadražaje prenose od mozga, pačovjek može odvojeno da osjeti komponente složenoga zvuka. Postojanje dva organa sluha ( uha )omogućava čovjeku da ocijeni pravac prostiranja zvuka. Ovo je posljedica sposobnosti mozga da
93
registrira faznu razliku oscilacija koje stižu do ušiju. Kod subjektivnog osjećaja zvuka, razlikuju setri njegove osobine: visina, boja i intenzitet (jačina zvuka).
Svaki realni zvuk predstavlja ne jednostavno harmonično osciliranje već superpozicijuharmoničnih oscilacija, koje se nalaze u danom zvuku, naziva se akustički spektar. Ako se uzvuku nalaze oscilacije svih frekvencija u nekom intervalu od f' do f'', tada se spektar nazivakontinuiran ( neprekidan). Ako se zvuk sastoji iz diskretnih oscilacija (odvojenih konačnimintervalima) sa frekvencijama f1,f2,... spektar se naziva linijski ( diskontinuiran ). Na slici je prikazanneprekidni spektar i linijski spektar.
Crtež 7.22Šumovi imaju neprekidni akustički spektar. Oscilacije sa linijskim spektrom izazivaju osjećanje
zvuka sa više ili manje određenom visinom zvuka. Takav zvuk se naziva tonalni zvuk. Tonalni zvuk seodređuje osnovnom najmanjom frekvencijom. Različit spektralni sastav zvuka, koje proizvode raznimuzički instrumenti omogućuje da se po sluhu razlikuje, flauta od violine ili klavira.
7.12.6 Jačina zvuka
Jačina ili intenzitet zvuka određuje se srednjom snagom koju val zvuka prenosi po jedinicipovršine normalne na pravac prostiranja vala, odnosno količina energije koju prenosi val ujedinici vremena kroz površinu normalnu na pravac prostiranja vala.
SP
I SR= (7.118)
Koristeći izraz za srednju snagu (7.96) dobit ćemo da je intenzitet zvuka jednak
vp
I⋅
=ρ
20
21
(7.119)
tj. intenzitet zvuka je razmjeran kvadratu amplitude pritiska a obrnuto razmjeran proizvodugustoće sredine i brzine zvuka.
U ovom izrazu se ne pojavljuje amplituda A koja se praktično teško mjeri, što nije slučaj saamplitudom pritiska po. Jedinica intenziteta zvuka u SI - sistemu je W/m2. Korištenje ove jedinicenije pogodno jer je raspon intenziteta zvuka, koji se javlja u svakodnevnom životu izražen u ovimjedinicama 1012 puta veći od onog minimalnog koji se može čuti. S druge strane čulo sluha detektirazvuk po logaritamskom zakonu.
Prema zakonu Weber - Fechnerovom (Veber-Fehnerov), psihofizički zakon, čulo sluha osjećajagradaciju jačine zvuka približno kao logaritam intenziteta zvuka.
94
Na osnovu ove zakonitosti ustanovljena je skala nivoa jačine zvuka. Zvučni val koji još možeizazvati osjećaj zvuka mora imati minimalnu vrijednost Io koja se naziva prag čujnosti i iznosi
približno 21210
mW− , pri frekvenciji 1000 Hz.
Nivo jačine zvuka L, definiran je na slijedeći način
0
logIIkL = (7.120)
gdje je k koeficijent proporcionalnosti. Stavljanjem k = 1 nivo jačine je izražen u belima premaGrahamu Bellu (Bel). U praksi se koristi 10 puta manja jedinica koja se naziva decibel oznaka dB
00
log20log10pp
IIL == (7.117)
Ako je jačina jednog zvučnog izvora jednaka I = Io, prema gornjem izrazu njegov nivo jačine je
jednak nuli. Zvuk koji je 10 puta veći tj. I = 10 Io ima nivo jačine 10 dB. Jačini od 21mW
odgovara
nivo jačine 120 dB. Pri ovim i većim intenzitetima, uho prestaje da prima val kao zvuk, a uhu seizaziva osjećaj bola ili pritiska, i naziva se prag osjećaja bola. Prag čujnosti i prag osjećaja bola surazličiti za razne frekvencije. Najveća osjetljivost čovjekovog uha je u oblasti frekvencije od 3000 do5000 Hz. U ovom intervalu frekvencije nalazi se minimum praga čujnosti (-5 dB). Prema proračunima,u tom frekventnom području, zvučni pritiska Brownovog (Braun) molekularnog kretanja je samo zaoko 15 dB niži od praga čujnosti (pri temperaturi 270C).
Izvori zvuka Nivo intenziteta
dB
Intenzitet
2mW
Amplituda promjene pritiska
2mN
Prag čujnosti 0 10-12 2 10-5
Tihi razgovor 40 10-8 2 10-3
Glasni razgovor 60 10-6 2 10-2
Gust ulični saobraćaj 80 10-4 2 10-1
Zakivanje 100 10-2 2Granica bola 120 1 20
Za ostale frekvencije javlja se veliko odstupanje između fizičke jačine zvuka i subjektivne jačinezvuka. Iz ovih razloga za subjektivnu jačinu zvuka uvedena je također logaritamska skala sa jedinicomkoja se zove fon. Kod 1 000 Hz decibel i fon se približno poklapaju.
95
Crtež 7.23
7.12.7 Apsorpcija zvuka
Kada dođe na granicu između dvije sredine, zvučni val se u općem slučaju djelomično odbija odgranice, a djelomično prodire u drugu sredinu i produžuje u njoj da se prostire. Val postepeno slabi priprostiranju kroz danu sredinu i energija osciliranja prelazi u druge oblike energije. U prostorijamasrednjih dimenzija zvučni val pretrpi nekoliko stotina uzastopnih odbijanja od zidova dok njegovaenergija ne opadne ispod granice čujnosti. U velikim prostorijama zvuk se može čuti u toku nekolikosekundi poslije isključenja izvora, uslijed postojanja odbojnih valova. Suviše sporo prigušenjepogoršava akustičke osobine prostorije i izaziva jako odjekivanje ali i suviše brzo amortizovanje valatakođer nije pogodno jer se u prostoriji dobije slab zvuk. Pri proračunu akustičkih osobina prostorijaupotrebljava se vrijeme u toku koga se energija zvuka smanji na 10-6 dio prvobitne vrijednosti, tj.W=10-6W0, ovo vrijeme se naziva vrijeme reverberacije (jeke). Pošto je prigušenje valova različitoza različite frekvencije usvojeno je da se vrijeme reverberacije određuje pri frekvenciji 512 Hz.Optimalno vrijeme reverberacije za koncertne sale i predavaonice je reda veličine 1s.Označimogustoću zvučne energije u početnom trenutku sa uo. Označimo sa α koeficijent apsorpcije priodbijanju, i neka je broj odbijanja u jedinici vremena n. Tada je smanjenje gustoće energije du zavrijeme dt jednako
nudtdu α−= (7.122)Napišimo ovaj izraz u obliku
ndtudu α−= (7.123)
odnosno( ) ( )ntdud α−=ln (7.124)
Pošto su diferencijali dvije veličine međusobno jednaki sami veličine se razlikuju za aditivnukonstantu.
lnu nt C= − +α (7.125)Pošto je za t = 0, u = uo to jeC=lnuo (7.126)pa jednadžba (7.121) dobiva oblik
96
ntuu α−=
0
ln
odakle jenteuu α−= 0 (7.127)
Iz ovoga slijedi da gustoća zvučne energije opada sa vremenom po eksponencijalnom zakonu. Naosnovu teorije vjerojatnost može se izračunati broj odbijanja zvučnih valova u toku 1s podpretpostavkom da se valovi prostiru u svim mogućim pravcima, račun daje
VSvn
4⋅= (7.128)
gdje je v brzina, S površina prostorije a V njena zapremina.t
VvS
euu 40
α−= (7.129)
Za određivanje vremena reverberacije uzimamo6
0
10−=uu
(7.130)
tada je610ln4 −−=
vSVtr α
(7.131)
Stavljajući za v = 340 m/s. vrijednost brzine zvuka u zraku, dobivamo praktičnu formulu:
SVtr ⋅
=α4163,0 (7.132)
7.12.8 Ultrazvuk
Da bi dobili usmjereni val, blizak ravnom valu, dimenzije izvora vala moraju biti mnogo puta većeod valne dužine. Zvučni valovi u zraku imaju dužinu otprilike od 15 m do 15 mm. U tečnim i čvrstimsredinama valna dužina je još veća (brzina rasprostiranja zvučnih valova u tim sredinama je veća negou zraku). Napraviti izvor koji bi stvarao usmjereni val slične dužine praktično je nemoguće. Drukčijestoji stvar sa ultrazvučnim valovima, čija je dužina mnogo manja. Sa smanjenjem valne dužine efektdifrakcije postaje zanemariv. Iz ovih razloga ultrazvučni valovi mogu biti dobiveni u oblikuusmjerenih snopova, sličnih svjetlosnim snopovima.
Za dobivanje ultrazvučnih valova koriste se uglavnom dva fizikalna efekta: efekt magnetosrikcijei piezoelektrični efekt.
Za dobivanje ultrazvuka najčešće korišteni način je baziran na inverznom piezoelektričnomefektu. Pločice nekih metala (kvarca, titanit barija itd.) pod djelovanjem električnog polja deformirajuse (skupljaju i izdužuju ovisno o smjeru polja). Ako stavimo takvu pločicu između metalnih obloga nakoje priključimo izvor naizmjenične struje, izazvat će se prinudne mehaničke oscilacije ploče, crtež7.23.
97
Crtež 7.24Pri čemu je relativna deformacija ploče razmjerna priključenom električnom naponu ( )U~ na
oblogama kondenzatora
Ukdd ~=∆
(7.133)
Ove oscilacije postaju naročito intenzivne ako se frekvencija promjena električnog naponapodudara sa frekvencijom vlastitih oscilacija ploče. Kao što smo vidjeli osnovni način osciliranja štapaima valnu dužinu d2=λ gdje je d debljina pločice između elektroda. Pošto brzina zvuka u kvarcuiznosi v = 5 300 m/s to će npr. pločica debljine jednog milimetra oscilirati frekvencijom
MHzvf 325,1002,02
5300 =⋅
==λ
(7.134)
Drugi način dobivanja ultrazvuka sastoji se u tome da se feromagnetni materijali (Fe, Ni i nekelegure) pri djelovanju promjenjivog magnetnog polja lagano deformiraju. Ta pojava naziva semagnetostrikcija. Ako stavimo feromagnetnu šipku u promjenjivo polje (npr. unutar indukcionogkalema s naizmjeničnom strujom) mogu se izazvati njene mehaničke oscilacije, koje će ponovo bitinaročito intenzivne pri rezonanciji.
Crtež 7.25
Relativna deformacija kod magnetostrikcije proporcionalna je kvadratu magnetske indukcije B2B
ll ≈∆
(7.135)
98
Osnovno svojstvo ultrazvuka po kojem se on razlikuje od zvuka je gotovo pravolinijskoprostiranje. Dok se zvuk širi gotovo u svim smjerovima u obliku sfernih valova sa izraženim efektomdifrakcije, kod ultrazvuka se može napraviti izvor koji emitira ravne valove kod kojih je efektdifrakcije zanemariv. Pored ovoga, intenzitet valova proporcionalan je kvadratu frekvencije, što značida, energija ultrazvučnog vala visoke frekvencije je znatno veća od energije zvučnog vala niskefrekvencije iste amplitude.
Pločice kvarca pri frekvenciji 1,5 MHz mogu proizvesti zvučnu energiju jačine i do 20W/cm2.Značajna osobina, koja je bitna za korištenje ultrazvuka, je mala apsorpcija pri prolazuultrazvuka kroz čvrsta i tečna tijela.
Primjena ultrazvuka. Ultrazvuk se u metalima i drugim čvrstim tijelima prostire sa relativno malimgubicima, tj. sa malom apsorpcijom. Na ovoj osobini zasnovane su važne primjene ultrazvuka uispitivanju homogenosti materijala (defektoskopija). Prijenos informacija u vodi moguć je isključivoultrazvučnim valovima, jer radio valovi imaju veliku apsorpciju u vodi. Djelovanje ultrazvuka zasnivase na tri efekta: kavitacija, koagulacija i termičko djelovanje. Koje će se djelovanje ispoljiti i u kojojmjeri, zavisi od više faktora od kojih su najvažniji slijedeći: sredina u kojoj djeluje ultrazvuk,frekvencija, intenzitet zračenja i vrijeme zračenja.
Sve primjene ultrazvuka u tečnostima zasnivaju se na djelovanju kavitacije, koja nastupa priodređenom intenzitetu. Pod kavitacijom u hidrodinamici se podrazumijeva obrazovanje mjehurića ufluidu, uslijed vrtloženja i zagrijavanja. Ultrazvučni val dovoljnog intenziteta, proizveden u tečnosti. Ufazi dilatacije, stvorit će se potpritisak koji će dovesti do obrazovanja mjehurića u tečnosti koja je poddjelovanjem ultrazvučnog vala. Gasni mjehurići se ponašaju kao mehanički oscilatorni sistem kojimogu biti apsorberi energije. Na osnovu efekta kavitacije ultrazvuk se može primijeniti za:
• Obrazovanje emulzija kod koloidnih rastvora, pravljenje legura,• Čišćenje i odmašćivanje sitnih predmeta, posebno u industriji poluvodiča i preciznoj mehanici.• Lemljenje aluminija. Poznato je da se površina predmeta od aluminija brzo obrazuje oksidni sloj
koji ne dozvoljava “meko” lemljenje. Ako se predmet od aluminija potopi u rastopljeni kalaj ukojem se intenzivno prostiru ultrazvučni valovi, tada će uslijed kavitacije doći do razaranjaoksidnog sloja i kalaj će se vezati na površini.
• Obrada metala, stakla i keramike. Ultrazvuk se sa velikim uspjehom koristi za obradu tvrdihmaterijala (metala, stakla i keramike). Na crtežu 7.26 dana je shema uređaja, baziranog naefektu magnetostrikcije, za obradu tvrdih materijala.
Transdjuser (pretvarač) pretvara električnu energiju iz generatora u mehaničku energiju osciliranjejezgre pretvarača. Pretvarač možemo predstaviti štapom koji je učvršćen u sredini u kojem se formirastojeći val sa trbusima na krajevima štapa. Kraj štapa završava se alatom čija konfiguracija ima željenioblik. Gustoća ultrazvučne energije, zahvaljujući stojećim valovima, ima maksimum na samom vrhualata. Između objekata koji se obrađuje i alata stavlja se vodeni rastvor sitnog praha karborunduma3 ilidijamanata. Čestice karborunduma ili dijamanta primaju ultrazvučnu energiju i ponašaju se kao mali“čekići” koji velikom brzinom udaraju u objekt (desetine hiljada puta u sekundi) i razaraju ga naželjenom mjestu. Na ovaj način omogućeno je pravljenje najrazličitijih oblika otvora u tvrdimmaterijalima. Uređaj za ultrazvučno lemljenje zasnovan je na istom principu samo što se alat uranja ukadu sa rastopljenim kalajem. Zahvaljujući kavitaciji razbija se oksidni sloj i rastopljeni kalaj prianjana aluminiju.
3 Karborundum, vrlo tvrdi materijal.
99
Crtež 7.26
![STOJAN RISTI] ELEKTRONSKA FIZIKA ^VRSTOG TELAstarisajt.elfak.ni.ac.rs/phptest/new/html/Studije/predavanja... · STOJAN RISTI] ELEKTRONSKA FIZIKA ^VRSTOG TELA • PREDAVANJA • Godina:](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5a78af567f8b9a21538be268/stojan-risti-elektronska-fizika-vrstog-risti-elektronska-fizika-vrstog-tela.jpg)
