Interpol Ac i On

Captulo 3

Interpolacion numerica

3.1. El problema de interpolacion

Consiste en lo siguiente, dados: x0, x1, , xn [a, b] puntos de la red (o nodos), y los valoresde una cierta funcion f(x) en esos puntos:

y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , , yn = f(xn)

Se busca construir una funcion P (x) (funcion de interpolacion) que pertenezca a una clase conocidade funciones y que tome los mismos valores en los puntos de interpolacion, i.e:

f(xi) = P (xi) = yi , para todo i = 0, 1, 2, , n

x0

y0

x1

y1

x2

y2

xi

yi

xn

yn

f(x)

Pn(x)

Un candidato para f(x) sera un polinomio P (x) , en donde P (x) n, pues ella es derivable ycontinua, y que este ademas debe satisfacer las condiciones:

P (xi) = yi , para todo i = 0, 1, 2, , n

Esta operacion es denominada interpolacion de la funcion f(x), esto es cuando x [x0, xn] ycuando x / [x0, xn] se denominara de extrapolacion.La interpolacion nos proporciona medios para obtener una funcion simple de aproximacion, quepodra facilmente ser derivada, integrada o evaluada, o para obtener alguna informacion de lafuncion original, la cual no conocemos explcitamente.Pueden ocurrir situaciones, la primera de ellas es cuando se tienen {xi} nodos no equidistantes yla segunda cuando estan distribuidas uniformemente. La primera es el caso general, para el cualemplearemos el metodo de Lagrange, mientras que el segundo caso sera resuelto con polinomiosbasados en diferencias nitas justicadas en el capitulo anterior.Podemos suponer que existe un polinomio de la siguiente forma:

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anx

n (3.1)

J. R. Avendano Quiroz

18 Interpolacion numerica

y que satisfaga las siguientes condiciones:

Pn(xi) = yi , para todo i = 0, 1, 2, , n

entonces, tenemos:

Pn(x0) = a0 + a1x0 + a2x20 + + anx

n0 = y0

Pn(x1) = a0 + a1x1 + a2x21 + + anx

n1 = y1

...Pn(xn) = a0 + a1xn + a2x

2n + + anx

nn = yn

n + 1 ecuaciones con n + 1 incognitas, la cual, llevada a su forma matricial es expresada como:

1 x0 x20 . . . x

n0

1 x1 x21 . . . x

n1

...1 xn x

2n . . . x

nn

a0a1...an

=

y0y1...yn

(3.2)

A la matriz de coecientes asociada a este sistema de ecuaciones, se conoce como matriz deVandermonde, la cual es no singular ya que el sistema tiene una unica solucion para cualquiereleccion de los nodos {x0, x1, . . . , xn}. Pero, frecuentemente la matriz de Vandermonde esta malcondicionada y por ello los coecientes ai podran quedar determinados con poca precision alresolver este sistema, motivo por el cual no se recomienda este enfoque.En la siguiente seccion buscaremos un procedimiento para hallar nuestro polinomios evitando laresolucion de la ecuacion (3.2).

3.2. Polinomios interpolantes basados en diferencias nitas

Supongamos que se tiene una funcion y = f(x) , tal que:

yi = f(xi) , para todo i = 0, 1, , n

para valores igualmente espaciados (equidistantes) en la variable independiente, entonces:

xi = x0 + ih , para todo i = 0, 1, , n

donde h es el valor del espaciado.Estamos interesados en hallar un polinomio Pn(x) de grado no mayor a n y que se tenga losiguiente:

yi = Pn(xi) , para todo i = 0, 1, , n

Denamos el siguiente polinomio:

Pn(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1)+a3(x x0)(x x1)(x x2) + + + an(x x0)(x x1) . . . (x xn1)

(3.3)

Los coecientes a0, a1, . . . , an deberan ser determinados de tal manera que satisfagan:

yi = Pn(xi) , para todo i = 0, 1, , n

Para esto, nos ayudaremos del operador diferencias progresivos, polinomios factoriales y de la tablade diferencia nitas desarrolladas en el captulo anterior.


3.2 Polinomios interpolantes basados en diferencias nitas 19

3.2.1. Polinomio interpolante de Newton: formula progresiva

Sea x el valor a interpolar, tal que:

x = x0 + sh , s R

Luego:x xi = x0 + sh (x0 ih)x xi = h(s i) , para todo i = 0, 1, , n

(3.4)

reemplazando la ecuacion (3.4) en (3.3) para cada i , tendremos:

Pn(x) = a0 + a1hs + a2h2s(s 1) + a3h

3s(s 1)(s 2) + ++ + anh

ns(s 1)(s 2) . . . (s n + 1)

Ahora, utilizando la denicion del polinomio factorial:

s(n) = s(s 1)(s 2) . . . (s n + 1) , s R , n N

el polinomio puede ser escrito como:

Pn(x) = a0 + a1hs[1] + a2h

2s[2] + a3h3s[3] + + anh

ns[n] (3.5)

donde x = x0 + shPara determinar los coecientes ai procedemos como sigue, evaluamos la ecuacion (3.5) en x = x0,donde:

x0 = x0 + sh s = 0

as, evaluar (3.5) en x = x0, sera lo mismo que evaluarlo en s = 0Entonces:

Pn(x0) = a0 + a1hs[1] + a2h

2s[2] + a3h3s[3] + + anh

ns[n]s=0

luego:Pn(x0) = y0 = a0

Observe que la condicion yi = Pn(xi) , para todo i = 0, 1, , nes equivalente a:

myi = mPn(xi) , para todo i = 0, 1, , n ; m = 0, 1, , n

As aplicando a la ecuacion (3.5) :

Pn(x) = a1hs[1] + a2h

2s[2] + a3h3s[3] . . . + anh

ns[n] (3.6)

y recordando la propiedad:s[m] = ms[m1] , m N

Entonces, de (3.6) tendremos:

Pn(x) = a1hs(0) + 2a2h

2s[1] + 3a3h3s[2] + + nanh

ns[n1]

lo que es lo mismo que:

Pn(x) = a1h + 2a2h2s[1] + 3a3h

3s[2] + + nanhns[n1] (3.7)

Ahora, evaluando la ecuacion (3.7) en x = x0 x0 + sh s = 0entonces:

Pn(x0) = a1h + 2h2s[1] + 3a3h

3s[2] + nanhns[n1]

s=0

Pn(x0) = a1h + 2h20[1] + 3a3h

30[2] + nanhn0[n1]



es decir:

Pn(x0) = a1h + 2h2(0) + 3a3h

3(0)(0 1) . . . + nanhn(0)(0 1) (0 n + 1)

Pn(x0) = y0 = a1h

Luego:

a1 =y0h

Ahora determinemos el coeciente a2, aplicando nuevamente a la ecuacion (3.7):

2Pn(x) = 2a2h2s[1] + 3a3h

3s[2] + + nanhns[n1]

= 2a2h2s[0] + 6a3h

3s[1] + + nanhns[n2]

entonces:2Pn(x) = 2a2h

2 + 6a3h3s[1] + + nanh

ns[n2] (3.8)

y evaluando en x = x0 x0 + sh s = 0entonces:

2P (x0) = 2a2h2 + 6a3h

3s[1] + + n(n 1)anhns[n2]

s=0

2P (x0) = 2a2h2 + 6a3h

30[1] + + n(n 1)anhn0[n2]

luego:2Pn(x0) =

2y0 = 2a2h2

entonces:

a2 =2y02h2

Una vez mas aplicamos a la ecuacion (3.8), para determinar el coeciente a3:

3Pn(x) = 6a3h3s[0] + + n(n 1)(n 2)anh

ns[n3]

3Pn(x) = 6a3h3 + + n(n 1)(n 2)anh

ns[n3]

y al evaluarlo nuevamente en x = x0 s = 0tendremos:

3P (x0) = 6a3h3 = 3y0

as:

a3 =3y03!h3

Continuando este proceso sucesivamente, hallamos la forma general del coeciente:

ai =iy0i!hi

, para todo i = 0, 1, . . . , n

Luego, sustituyendo los coecientes ai (ya hallados) para cada i , en la ecuacion (3.5)

Pn(x) = y0 + y0s[1] +

2y02!

s[2] + . . . +ny0n!

s[n] (3.9)

o tambien:

Pn(x) = y0 + sy0 +s(s 1)

2!2y0 +

s(s 1)(s 2)

3!3y0+

+ +s(s 1)(s 2) (s n + 1)

n!ny0

donde x = x0 + sh

(3.10)



Es facil vericar que el polinomio en la ecuacion (3.9) satisface las condiciones impuestas al prob-lema: el grado del polinomio Pn(x) no excede de n, esto por la denicion de la ecuacion (3.3); yen segundo lugar, en la ecuacion (3.10):Si x = x0 x0 + sh s = 0

Pn(x0) = y0 + y0s[1] +

2y02!

s[2] + +ny0n!

s[n]s=0

es decir:

Pn(x0) = y0

Para x = x1 x0 + sh s = 1, se tiene:

Pn(x1) = y0 + y0s[1] +

2y02!

s[2] + +ny0n!

s[n]s=1

de donde:Pn(x1) = y0 + y0Pn(x1) = (1 + )y0 = Ey0 = y1

Para x = x3 x0 + sh s = 2 , se tiene:

Pn(x2) = y0 + y0s[1] +

2y02!

s[2] + +ny0n!

s[n]s=2

luego:

Pn(x2) = y0 + y0(2) +2y0

2(2)(2 1)

Pn(x2) = (1 + 2 + 2)y0 = (1 + )

2 = E2y0 = y0

es decir:

Pn(x2) = y2

As, para: x = xk x0 + sk s = k , k = 0, 1, , n

Pn(xk) = y0 + y0s(1) +

2y02!

s(2) + +ny0n!

s(n)s=k

Pn(xk) = y0 + ky0 +k(k 1)

2!2y0 + +

k(k 1) (k k + 1)

k!ky0

Pn(xk) = (1 + )ky0 = E

ky0 = yk

entonces:

Pn(xk) = yk , para todo k = 0, 1, , n

La ecuacion (3.10) es conocida como la formula de Newton con diferencias ascendentes o como elPolinomio de Interpolacion Progresivo de Newton (o la Primera formula de Newton). Esta formulaes muy apropiada cuando se desea interpolar una funcion en la vecindad del valor inicial x0, endonde s es pequena.Observe que, si n = 1 en la ecuacion (3.10) tendramos la interpolacion lineal, y si n = 2, entoncestendramos la interpolacion parabolica.

Ejemplo 3.1 Construir el polinomio de interpolacion de Newton en el intervalo [3,5, 3,7] para lafuncion y = ex , usando h = 0,05 para el espaciado; luego estimar P3(3,52) y P4(3,52).



Solucion 3.1 Se tiene que:

x0 = 3,5 y0 = 33,115x1 = 3,55 y1 = 34,813x2 = 3,6 y2 = 36,598x3 = 3,65 y3 = 38,475x4 = 3,7 y4 = 40,447

El polinomio de Newton de grado 3 sera:

P3(x) = y0 + sy0 +s(s 1)

2!2y0 +

s(s 1)(s 2)

3!3y0

donde s es tal que x = x0 + sh

s =x x0

h=

3,52 3,5

0,05=

0,02

0,05= 0,4

Para obtener P (3,52) construimos la siguiente tabla de diferencias:

xi yi yi 2yi

3yi 4yi

x0 = 3, 5 y0 = 33,1151,698

x1 = 3,55 y1 = 34,813 0,0871,785 0,005

x2 = 3,6 y2 = 36,598 0,092 0,0021,877 0,003

x3 = 3,65 y3 = 38,475 0,0951,972

x4 = 3,7 y4 = 40,447

evaluando en el polinomio arriba mencionado:

P3(x) = y0 + sy0 +s(s 1)

2!2y0 +

s(s 1)(s 2)

3!3y0

s=0,4

P3(3,52) = 33,115 + (0,4)(1,698) +(0,4)(0,4 1)

2!(0,087)+

+(0,4)(0,4 1)(0,4 2)

3!(0,005)

= 33,115 + 0,6792 0,01044 + 0,00032

entonces:P3(3, 52) = 33,78408

Y P4(3,52) =?

Es solo anadir el termino:s(s 1)(s 2)(s 3)

4!4y0

es decir:

P4(x) = y0 + sy0 +s(s 1)

2!2y0 +

s(s 1)(s 2)

3!3y0+

s(s 1)(s 2)(s 3)

4!4y0

luego:

P4(3,52) = 33,78408 +(0,4)(0,4 1)(0,4 2)(0,4 3)

4!(0,002)

= 33,78408 + 0,0000832



Por lo tanto:P4(3,52) = 33,781632

Comparando con el valor exacto: e3,52 = 33,78442846

Ejemplo 3.2 Se dan los siguientes datos para un polinomio P (x) de grado desconocido:

x 0 1 2 3y 4 9 15 18

Determine el coeciente de x3 en P (x) si todas las diferencias progresivas de cuarto orden soniguales a 1.

Solucion 3.2 Consideremos la siguiente tabla:

x P (x) P (x) 2P (x) 3P (x) 4P (x)0 4

51 9 1

6 42 15 3 1

3 33 18 6

34 15

5

Como: 4P (x) = 1 se tendra que 5P (x) = 0 de donde P (x) = 4 polinomio que interpola losnodos. Como estos nodos fueron generados por P (x), debe tenerse que P (x) P (x), esto por launicidad de polinomios interpolantes.Ahora tomemos el primer polinomio interpolante de Newton:

P (x) = 4 + 5x +1

2x(x 1)

4

6x(x 1)(x 2) +

1

24x(x 1)(x 2)(x 3)

desarrollando:

P (x) = 4 + 5x +1

2(x2 x)

2

3(x3 3x2 + 2x) +

1

24(x4 6x3 7x2 + 6x)

P (x) = 4 + (51

2

2

3

1

4)x + (

1

2+ 1 +

7

24)x2 + (

2

3

1

4)x3 +

1

24x4

de donde el coeciente en x3 es a3 = 11

12

La ecuacion (3.10) no resulta conveniente para interpolar funciones cerca del extremo derecho deuna tabla, porque las diferencias requeridas no son disponibles.Ahora deduciremos una formula de interpolacion que hace uso de las diferencias descendientes apartir de xn.

3.2.2. Polinomio interpolante de Newton: formula regresiva

Denamos el siguiente polinomio:

Pn(x) = a0 + a1(x xn) + a2(x xn)(x xn1)++a3(x xn)(x xn1)(x xn2) +

+ + an(x xn)(x xn1) . . . (x x1)(3.11)



Sea:xi = xn (n i)h , i = n, n 1, . . . , 0

Y sea x el valor a ser interpolado, tal que:

x = xn + sh , s R

As:x xi = xn + sh (xn (n i)h) = xn + sh xn + (n i)h

entonces:x xi = h(s + n i) , para todo i = n, n 1, , 0 (3.12)

Sustituyendo la ecuacion (3.12) para cada i en la ecuacion (3.11) :

Pn(x) = a0 + a1hs + a2h2s(s + 1) + a3h

3s(s + 1)(s + 2) + + + anh

ns(s + 1)(s + 2) (s + n 2)(s + n 1)(3.13)

el cual, usando la denicion de polinomio factorial para s, puede ser escrita de la siguiente forma:

Pn(x) = a0 + a1hs[1] + a2h

2(s + 1)[2] + a3h3(s + 2)[3] +

+ + anhn(s + n 1)[n]

(3.14)

As, para obtener el coeciente a0, evaluamos en x = xn

x = xn xn + sh s = 0

entonces:Pn(xn) = a0 = yn

luego:a0 = yn

Despues, para obtener el coeciente a1, aplicamos a la ecuacion (3.14) :

Pn(x) = a1hs[1] + a2h

2(s + 1)[2] + a3h3(s + 2)[3] + + anh

n(s + n 1)[n]

y de la denicion:k[n] = nk[n1]

entonces:

Pn(x) = a1hs[0] + 2a2h

2(s + 1)[1] + 3a3h3(s + 2)[2] + + nanh

n(s + n 1)[n1]

de donde:Pn(x) = a1h + 2a2h

2(s + 1)[1] + 3a3h3(s + 2)[2]+

+ + nanhn(s + n 1)[n1]

(3.15)

Evaluando en x = xn1 xn + sh s = 1luego:

Pn(xn1) = a1h + 2a2h2(s + 1)[1] + 3a3h

3(s + 2)[2] + + nanhn(s + n 1)[n1]

s=1

Pn(xn1) = a1h + 2a2h2(1 + 1) + 3a3h

3(1 + 2)(1 + 1) + . . .

. . . + nanhn(1 + n 1) (1 + n 1 (n 1) + 1)

entonces:Pn(xn1) = a1h = yn1



Por lo tanto:

a1 =yn1

h

Nuevamente en la ecuacion (3.15) :

2Pn(x) = 2a2h2(s + 1)[0] + 6a3h

3(s + 2)[1] + + n(n 1)anhn(s + n 1)[n2]

2Pn(x) = 2a2h2 + 6a3h

3(s + 2)[1] + + n(n 1)anhn(s + n 1)[n2]

Y evaluando en:

x = xn2 xn + sh s = 2

2Pn(xn2) = 2a2h2 + 6a3h

3(s + 2)[1] + + n(n 1)anhn(s + n 1)[n2]

s=2

2Pn(xn2) = 2a2h2 = 2yn2

entonces:

a2 =2yn22!h2

En general se tendra:

ai =iynii!hi

, para todo i = n, n 1, , 0 (3.16)

Sustituyendo los ai de la ecuacion (3.16) en la ecuacion (3.14), tendremos:

Pn(x) = yn + yn1s[1] +

2yn22!

(s + 1)[2] +3yn3

3!(s + 1)[2] + +

ny0n!

(s + n 1)[n]

Podemos vericar que:

pn(xk) = yk , para todo k = 0, 1, , n

Finalmente:

Pn(x) = yn + syn1 +s(s + 1)

2!2yn2+

+s(s + 1)(s + 2)

3!3yn3 +

+ +s(s + 1)(s + 2) (s + n 1)

n!ny0

donde x = xn + sh.

(3.17)

Esta ecuacion es conocida como la Segunda formula de Newton o formula regresiva de Newton.

Ejemplo 3.3 Obtener f(2,9) para h = 0,2 y n = 5 con los siguientes datos:

x0 = 2 y0 = 0,30103x1 = 2,2 y1 = 0,34242x2 = 2,4 y2 = 0,38021x3 = 2,6 y3 = 0,41497x4 = 2,8 y4 = 0,44716x5 = 3 y5 = 0,47712



Solucion 3.3 Veamos:

yi yi 2yi

3yi 4yi

5yi

y0 = 0,301030,04139

y1 = 0,34242 0,003600,03779 0,00057

y2 = 0,38021 0,00303 0,000110,03476 0,00046 0,00001

y3 = 0,41497 0,00257 0,000120,03219 0,00034

y4 = 0,44716 0,002230,02996

y5 = 0,47712

Entonces:

P (x) = y5 + sy4 +s(s + 1)

22y3 +

s(s + 1)(s + 2)

3!3y2 +

s(s + 1)(s + 2)(s + 3)

4!4y1

s(s + 1)(s + 2)(s + 3)(s + 4)

5!5y0

para x = 2,9 = xn + sh = 3,0 + s(0,2)

esto es, s s =2,9 3

0,2= 0,5

luego:

P (2,9) = 0,47712 + (0,5)(0,02996) +(0,5)(0,5)

2(0,00223)+

+(0,5)(0,5)(1,5)

3!(0,00034) +

(0,5)(0,5)(1,5)(2,5)

4!(0,00012)

+(0,5)(0,5)(1,5)(2,5)(3,5)

5!(0,00001)

= 0,47712 0,01498 + 0, ,00027875 0,00002125+ 0,0000046875 0,000000273

as :

P (2,9) = 0,462401913

3.3. Polinomio interpolante de Lagrange

Buscamos polinomios que puedan ser determinados especicando determinados puntos en elplano por donde ella debe pasar.Por ejemplo, busquemos un polinomio de primer grado que pase por (x0, y0) y (x1, y1), tal comose propone en el graco:


3.3 Polinomio interpolante de Lagrange 27

x0

y0

x

y

x1

y1

Del graco:

y y0x x0

=y1 y

x1 x

agrupando:

y

(1

x x0+

1

x1 x

)=

y1x1 x

+y0

x x0

entonces:

y =(x1 x)

(x1 x0)y0 +

(x x0)

(x1 x0)y1

Luego:

P1(x) =(x x1)

(x0 x1)y0 +

(x x0)

(x1 x0)y1

observe que se cumple: {P1(x0) = y0

P1(x1) = y1

denotando:

L1,0 =x x1x0 x1

; L1,1 =x x0x1 x0

note ademas que que:L1,0(x0) = 1 ; L1,1(x0) = 0L1,0(x1) = 0 ; L1,1(x1) = 1

Podemos escribir:

P1(x) = L1,0(x)y0 + L1,1(x)y1

P1(x) =

1k=0

L1,k(x)yk

En el caso de buscar un polinomio de segundo grado que pase por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) , elejemplo anterior nos sugiere buscar funciones con la propiedad:

L2,k(xi) =

{0 , i = k1 , i = k

de tal forma que podamos escribir dicho polinomio como :

P2(x) =

2k=0

L2,k(x)yk



y que se cumpla:

P2(x0) =

2k=0

L2,k(x0)yk = L2,0(x0)y0 + L2,1(x0)y1 + L2,2(x0)y2 = y0

P2(x1) =

2k=0


P2(x2) =

2k=0


Los candidatos son:

L2,0(x) =(x x1)(x x2)

(x0 x1)(x0 x2)=

{1 , x = x00 , x = x1, x2

L2,1(x) =(x x0)(x x2)

(x1 x0)(x1 x2)=

{1 , x = x10 , x = x0, x2

L2,2(x) =(x x0)(x x1)

(x2 x0)(x2 x1)=

{1 , x = x20 , x = x0, x1

Usted puede vericar que en efecto P2(x) pasa por las coordenadas (xi, yi), es decir,

P2(xi) = yi , i = 0, 1, 2

Ahora, generalicemos esta tecnica para un polinomio de grado n y que pase por las coordenadas(x0, y0), (x1, y1), . . . , (xn, yn).Construimos el cociente Ln,k(x) de tal forma que tenga la propiedad:

Ln,k(xi) =

{1 , i = k0 , i = k

como sigue:

Ln,k(x) =(x x0)(x x1) . . . (x xk1)(x xk+1) . . . (x xn)

(xk x0)(xk x1) . . . (xk xk1)(xk xk+1) . . . (xk xn)(3.18)

de tal manera que posea la propiedad mencionada anteriormente:

Ln,k(xk) =(xk x0)(xk x1) . . . (xk xk1)(xk xk+1) . . . (xk xn)

(xk x0)(xk x1) . . . (xk xk1)(xk xk+1) . . . (xk xn)= 1

Obviamente:Ln,k(xi) = 0 , i = k

Reescribiendo la ecuacion (3.18) como:

Ln,k(x) =

ni=0

i=j

(x xi)

(xk xi)(3.19)

Luego el polinomio buscado sera:

Pn(x) =

nk=0

Ln,k(x)yk (3.20)

El cual es denominado como el polinomio interpolante de Lagrange, y la ecuacion (3.19) es conocidacomo funciones cardinales o funciones bases.Las ecuaciones (3.1) y (3.20) son dos representaciones diferentes de polinomios de grado nque interpolan en las coordenadas (xi, yi) , i = 0, 1, . . . , n; entonces es natural preguntarse si estosdos polinomios son distintos o constituyen simplemente diferentes disposiciones (representaciones)del mismo polinomio; el siguiente Teorema da una respuesta a esta interrogante.


3.3 Polinomio interpolante de Lagrange 29

Teorema 3.1 Si x0, x1, . . . , xn son n+1 nodos distintos y si f es una funcion cuyos valores estandados en tales nodos, entonces ! P (x) polinomio de grado a lo mas n con la propiedad de que:

yk = f(xk) = P (xk) para todo k = 0, 1, , n

Prueba:La existencia esta dada por construccion del polinomio interpolante de Lagrange en la ecuacion(3.20).La unicidad se deduce del siguiente razonamiento, supongamos que existen 2 polinomios diferentesP1(x) y P2(x), tales que:{

P1(x) n , P1(xk) = yk , para todo k = 0, 1, , n

P2(x) n , P2(xk) = yk , para todo k = 0, 1, , n

considerando el polinomio:Q(x) = P1(x) P2(x)

de donde tendremos que:Q(x) n

y evaluando Q(x) en xk obtendremos:

R(xk) = P1(xk) P2(xk) , para todo k = 0, 1, , n= yk yk = 0

es decir, que Q(x) tiene n+1 races, pero como Q(x) n . . . (), esto es una contradiccion!,ya que el numero de races siempre coincide con el grado del polinomio, a menos que:

Q(x) 0 , para todo x

lo que es lo mismo decir:P1(x) P2(x) 0 , para todo x

P1(x) P2(x) , para todo x

Por lo tanto, el polinomio interpolador es unico, aunque ella tenga varias representaciones, y estepolinomio esta dado por la ecuacion (3.20).

Ejemplo 3.4 Sea K(x) una funcion desconocida, tal que:

K(1) = 1,5708K(3) = 1,5719K(5) = 1,5739

Se desea conocer el valor de K(3, 5).Sugerencia: Use un polinomio interpolador de segundo grado.

Solucion 3.4 Nuestro polinomio candidato sera:

P (x) =2

k=0

L2,k(x)yk

Calculemos primero quienes son las funciones cardinales:

L2,0(x) =(x x1)(x x2)

(1 3)(1 5)=

(x 3)(x 5)

8

L2,1(x) =(x x0)(x x2)

(3 1)(3 5)=

(x 1)(x 5)

4

L2,2(x) =(x x0)(x x1)

(5 1)(5 3)=

(x 1)(x 3)

8



Ahora, evaluando en el nodo x = 3, 5

L2,0(3, 5) =(3,5 3)(3,5 5)

8= 0,09375

L2,1(3, 5) =(3,5 1)(3,5 5)

4= 0,9375

L2,2(3, 5) =(3,5 1)(3,53)

8= 0,15625

Y nalmente:

P (3,5) =

2k=0

L2,k(3, 5)yk

= (0,09375)(1,5708) + (0,9375)(1,5719) + (0,15625)(0,15625)= 0,1472625+ 1,47365625+ 0,24590625

Luego:P (3,5) = 1,5723

Ejemplo 3.5 Sea f(x) =1

x, en x = 3 se tiene: f(3) = 0,333333333 . Interpolar en x = 3,

haciendo uso de los nodos x0 = 2, x1 = 2,5 y x2 = 4

Solucion 3.5 Se tiene:y0 = 0,5y1 = 0,4y2 = 0,25

Calculando los L2,k(x) , k = 0, 1, 2

L2,0(x) =(x 2,5)(x 4)

(2 2,5)(2 4)= (x 2,5)(x 4)

L2,1(x) =(x 2)(x 4)

(2, 5 2)(2,5 4)=

(x 2)(x 4)

0,75

L2,2(x) =(x 2)(x 2,5)

(4 2)(4 2,5)=

(x 2)(x 2,5)

3

Evaluando en x = 3:L2,0(3) = (3 2,5)(3 4) = 0,5

L2,1(3) =(3 2)(3 4)

0,75= 1,333

L2,2(3) =(3 2)(3 2,5)

3= 0,167

luego:

P (3) =

2k=0

L2.k(3)yk

= (0,5)(0,5) + (1,333)(0,4) + (0,167)(0,25)= 0,25 + 0,5332 + 0,04175= 0,32495

Por tanto:

P (3) = 0,325 f(3) = 0,333333333


3.4 El error en la interpolacion polinomial 31

3.4. El error en la interpolacion polinomial

EL siguiente Teorema trata sobre la discrepancia entre una funcion y el polinomio que lainterpola.

Teorema 3.2 Supongamos que x0, x1, . . . , xn son numeros distintos en el intervalo [a, b] y quef Cn+1[a, b]. Entonces, para cada x en [a, b], existe un numero x (a, b), tal que:

f(x) = P (x) +f (n+1)(x)

(n + 1)!(x x0)(x x1) . . . (x xn)

donde P (x) es el polinomio interpolante de la ecuacion (3.20).Prueba:Si x = xk tendremos que:

f(xk) = P (xk) , para todo k = 0, 1, . . . , n y cualquier xk [a, b]

Ahora, tomemos un x arbitrario tal que x = xky hagamos:

w(t) =

ni=0

(t xi) = (t x0)(t x1) . . . (t xn) (3.21)

donde w(t) es un polinomio de grado n + 1.tambien denamos la funcion g(x) como:

g(x) = f(x) P (x) w(x) , R (3.22)

Recuerde que si bien es cierto x es arbitrario, el esta jo!De (3.22):

g(x) = 0 =f(x) P (x)

w(x); w = 0 , x fixo

Por construccion g Cn+1[a, b], ya que las funciones f , P y w son Cn+1 y ademas, tenemos que:{g(xk) = 0 , para todo k = 0, 1, . . . , n

g(x) = 0 , x jo

es decir, la funcion g se anula en n + 2 valores, los cuales son:

x0, x1, . . . , xn, x

Del teorema de Rolle: g tiene n+1 ceros distintos en (a, b); as, con el mismo argumento, g tienen ceros distintos en (a, b); repitiendo este argumento, g(n+1) tiene al menos un cero en (a, b), elcual lo llamaremos de x, i.e:

x tal que g(n+1)(x) = 0 , x (a, b)

de (3.22) se tiene:g(n+1) = f (n+1) P (n+1) w(n+1)

y de (3.21), w es un polinomio, tal que w(x) = n + 1, entonces:

d(n+1)

dtn+1w(t) = (n + 1)!

y como P (x) = n, entoncesd(n+1)

dxn+1P (x) 0 ; de donde:

g(n+1)(x) = f(n+1)(x) (n + 1)! = 0



luego:(n + 1)! = f (n+1)(x)

f(x) P (x)

w(x)(n + 1)! = f (n+1)(x)

as:

f(x) = P (x) +f (n+1)(x)

(n + 1)!w(x)

nalmente:

f(x) = P (x) +f (n+1)(x)

(n + 1)!

ni=0

(x xi)

Observacion 3.1 Sea: Rn(x) =| f(x) P (x) |, entonces:

Rn(x) | f (n+1)(x) |

(n + 1)!|

ni=0

(x xi) |

y sea:Mn+1 = max

x[a,b]{| f (n+1)(x) |}

esto es posible desde que f Cn+1[a, b]; luego:

Rn(x) Mn+1

(n + 1)!

ni=0

| x xi |

Ejemplo 3.6 Sea f(x) = sen(x) , y sea el polinomio de lagrange P (x), tal que P (x) = 9, aquelque interpola con 9 nodos en el intervalo [a, b]. Cual es el error al hacer esta interpolacion?.

Solucion 3.6 Se tiene que | f (n)(x) | 1 , para todo n N , para todo x R, en particular:

| f (n)(x) | 1

Luego:

Rn(x) | f (10)(x) |

(n + 1)!

9i=0

| (x xi) |1

(n + 1)!

9i=0

| (x xi) |

ademas se tiene que:| x xi |< 1 , para todo i = 0, 1, , 9

ya que xi [0, 1] , para todo i = 0, 1, , 9as:

Rn(x) 1

10!= 2,7557 107

Rn(x) < 2,8 107

El siguiente graco fue obtenido con la funcion:

f(x) = ex2

, x [3, 3]

el cual esta representado mediante puntos suspensivos. Utilizamos los siguientes nodos con susrespectivas imagenes:

x0 = 3 x7 = 0,25x1 = 2,6 x8 = 1x2 = 2 x9 = 1,6x3 = 1,6 x10 = 2x4 = 1 x11 = 2,6x5 = 0,25 x12 = 3x6 = 0


3.5 Estimado del error en las formulas de interpolacion de Newton 33

El polinomio interpolante de Lagrange de grado 12 es mostrado mediante un trazo continuo y lascoordenadas (xi, yi) mediante crculos.

4 3 2 1 0 1 2 3 42

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2coordenadas interpoladaspolinomio de Lagrangefuncion exp(x2)

La forma de Lagrange es la que mas se emplea para interpolar, esto es para valores de n pequeno,pero esta interpolacion polinomica presenta una debilidad cuando se usa muchos nodos, ya queella presenta muchas oscilaciones indeseables, tal como se muestra en el graco; para esto sedispondran de otros metodos cuya aplicacion es mas apropiada.

3.5. Estimado del error en las formulas de interpolacion de

Newton

Anteriormente habamos obtenido la siguiente estimativa:

f(x) = Pn(x) +f (n+1)(x)

(n + 1)!

ni=0

(x xi)

Y tenamos demostrado que el polinomio interpolador es unico, entonces el error del polinomio deinterpolacion Progresivo de Newton debe ser identico al de la interpolacion Lagrangiana, as:

Rn(x) =f (n+1)(x)

(n + 1)!

ni=0

(x xi)

y considerando:xi = x0 + ih , i = 0, 1, . . . , nx = x0 + sh , s IR

entonces:x xi = (s i)h , i = 0, 1, . . . , n

luego:

Rn(x) =f (n+1)(x)

(n + 1)!hn+1s(s 1) (s n) (3.23)

donde x es un valor intermediario entre las abscisas x0, x1, . . . , xn y el punto x.De manera analoga, para la formula Regresiva:

xi = xn (n i)h , i = n, n 1, . . . , 0x = xn + sh , s R



de donde:x xi = h(s + n i) , i = n, n 1, . . . , 0

luego:

Rn(x) =f (n+1)(x)

(n + 1)!hn+1(s + n)(s + n 1) (s + 1) (3.24)

Ejemplo 3.7 Supongamos que interpolamos la funcion sen(x) con 2 nodos en el intervalo [0,

4],

entonces haga la estimativa indicada para encontrar una cota de Rn(x).

Solucion 3.7 Obviamente:

x0 = 0 ; x1 =

4

y h sera el paso entre x0 y x1 , i.e:

h =

4

luego:

R2(x) =sen(2)(x)

2!(

4)2s(s 1)

donde: x = x0 + sh , s R Entonces:

R1(x) |sen(2)(x)

2!| (

4)2 | s(s 1) |

2

32| s(s 1) |

Ademas, la funcion : | s(s 1) | , s [0, 1] tiene un maximo en s = 12 el cual es igual al valor de18 , entonces:

R1(x) 2

32

1

8= 0, 032553


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