integrales-multip

INTEGRALES DE FUNCIONES DE

VARIAS VARIABLES

Prof. Isabel Arratia Z.

[Versión preliminar]

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Cálculo III - Integrales de funciones de varias variables2

Integrales dobles sobre rectángulos

La integral de Riemann para una función f de dos variables se define

de manera similar a la integral de una función de una variable:

Consideremos el rectángulo R de lados

paralelos a los ejes coordenados:

d}yc bxa:)y,x{(R ≤≤∧≤≤=

Formemos una partición P de la región

R mediante rectas paralelas a los ejes.

Esto divide a R en subrectángulos Rk. b

dc

a

Si es el área del rectángulo Rk y escogemos en Rk un punto

(xk, yk), podemos formar la suma de Riemann k∆

∑=

∆n

1k

kkk )y,x(f

____________________________________________________________________


b

dc

a

∑=

→∆

n

1k

kkk0||P||

)y,x(flim

Haciendo cada vez más fina la partición P llegamos a definir la

integral de f sobre la región R: ∫∫R

dA)y,x(f

Definición: Si el siguiente límite

existe, decimos que la función f es

integrable en R, su valor se denota

∫∫∑ =∆=

→R

n

1k

kkk0||P||

dA)y,x(f)y,x(flim

y se llama integral doble de f sobre R.

Como es el área de un rectángulo, otra notación para

la integral doble esjik yx ∆∆=∆

∫∫∫∫ =

RR

dydx)y,x(fdA)y,x(f

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Así como , con , representa el área de la región bajo

la curva y = f(x) entre a y b, de manera semejante, si , la

integral representa el volumen del sólido bajo la

superficie z = f(x, y) y arriba del rectángulo R.

∫b

adx)x(f 0)x(f ≥

0)y,x(f ≥

∫∫R

dA)y,x(f

Observaciones: (1)No toda función z = f(x, y) de dos variables es integrable sobre

un rectángulo R. Si f es acotada en el rectángulo R y continua

en R con excepción, quizás, en un número finito de curvas

suaves, entonces f es integrable en R.

(2)Si f es continua en R, entonces f es integrable en R.

(3)La integral doble hereda la mayoría de las propiedades de la

integral simple, a saber,

ℜ∈= ∫∫∫∫ k ,dA)y,x(fkdA)y,x(fk

RR

____________________________________________________________________


∫∫∫∫∫∫ +=

21 RRR

dA)y,x(f dA)y,x(fdA)y,x(f

∫∫∫∫∫∫ ±=±

RRR

dA)y,x(g dA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[

donde R1 y R2 son subrectángulos de R que se

sobreponen sólo en un segmento de recta.

(5) Si , entonces Ry)(x, ,0)y,x(f ∈∀≥ 0dA)y,x(f

R

≥∫∫(6) Si , entonces Ry)(x, ),y,x(g)y,x(f ∈∀≤ ∫∫∫∫ ≤

RR

dA)y,x(gdA)y,x(f

(7) Si , entonces Ry)(x, ,M)y,x(fm ∈∀≤≤ R

R

R MAdA)y,x(fmA ≤≤ ∫∫donde es el área de R. RA

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(8) Las propiedades anteriores son válidas también para integrales

sobre conjuntos más generales que los rectángulos.

Evaluación de integrales dobles – Integrales iteradas

Teorema de Fubini: Si f es integrable en el rectángulo R, entonces

dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(fd

c

b

a

b

a

d

cR

∫ ∫∫ ∫∫∫

=

=

Ejemplo:

1)ycos(dy)y(sendy2

)y(senxdxdysen(y) x

021

0 21

1

00

2

0

1

0=−===

ππππ

∫∫∫ ∫

1xxdx2dx))ycos((xdydxsen(y) x1

0

21

00

1

0

1

0 0===−= ∫∫∫ ∫

ππ

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Ejercicio: Calcule las integrales iteradas

dxdyy1

x d) dxdyex )c

dxdye x2 b) dydxe )a

1

0

1

0 2

21

0

1

0

xy2

)2ln(

0

0

1

y)3ln(

0

)2ln(

0

yx

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

+

−

+

Ejercicio: Calcule la integral de f(x, y) sobre el rectángulo R si:

]2 ,1[]3 [0,R ,x1xyy)f(x, )b

] ,0[] [0,R 4y),sen(xy)f(x, )a

2

42

×=+=

×=+= ππ

Ejercicio: Calcule el volumen del sólido que está bajo el plano z = 2x + 5y + 1 y encima del rectángulo R = [-1, 0] x [1, 4].

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Área de una región en el plano

y = f1(x)

y = f2(x)

x = g1(y) x = g2(y)

El área de la región R viene dada, respectivamente, por:

dydxA Áreab

a

)x(f

)x(f

2

1∫ ∫= dxdyA Área

d

c

)y(g

)y(g

2

1∫ ∫=

Ejercicio: Dibuje la región cuya área está dada por

dydx (b) dxdy )a(4

0

x

0

2

0

4

y2 ∫ ∫∫ ∫

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Integrales dobles sobre regiones generales

Las integrales dobles sobre regiones R no rectangulares pueden

ser complicadas. Para nuestro objetivo bastará considerar

regiones R llamadas verticalmente simples, horizontalmente

simples o uniones finitas de tales conjuntos.

RR

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Teorema de Fubini: Sea f función continua en una región plana R.

(1) Si R está definida por con

funciones continuas en [a, b], entonces:

(2) Si R está definida por con

funciones continuas en [c, d], entonces:

)x(fy)x(f ,bxa 21 ≤≤≤≤ 21 fy f

)y(gx)y(g ,dyc 21 ≤≤≤≤ 21 gy g

dydxdA)y,x(fb

a

)x(f

)x(fR

2

1∫ ∫∫∫ =

dydxdA)y,x(fb

a

)x(f

)x(fR

2

1∫ ∫∫∫ =

Ejercicio: Calcule

si S es la región acotada por y D es la región

limitada por .

∫∫∫∫ ++

DS

2 dA 2y)(x (b) dA )y(x )a(

xy e xy 2 ==22 x1y e x2y +==

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Ejercicio: Calcule las siguientes integrales invirtiendo el orden

de integración: dydxxyseny (b) dxdyxcos )a(2

0

2

x

21

0

2

y2

2 ∫ ∫∫ ∫Ejercicio: Calcule

(a) El volumen del tetraedro acotado por los planos

coordenados y el plano 3x + 6y + 4z -12 = 0.

(b) El volumen del sólido acotado por el cilindro

x2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y = 0, x + 2y = 2 en

el primer octante.

(c) El volumen en el primer octante entre los

planos z = 0, z = x + y + 2 e interior al cilindro

x2 + y2 = 16.

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Cambio de variable para integrales dobles

,du)u('g))u(g(fdx)x(fd

c

b

a ∫∫ =

Para integrales simples sabemos que:

donde x = g(u), dx = g’(u)du, a = g(c), b = g(d).

Para integrales dobles se tiene el siguiente teorema:

( )∫∫∫∫ ∂∂

=

SR

dvdu)v,u(

)y,x()v,u(h),v,u(gfdydx)y,x(f

donde f es continua en R, g y h tienen derivadas parciales

continuas en S y es no nulo en S. )v,u(

)y,x(

∂∂

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El cambio de variables x = g(u, v), y = h(u, v))

introduce el factor llamado Jacobiano de x, y

respecto de u, v, y cuya definición es )v,u(

)y,x(

∂∂

v

x

u

y

v

y

u

x

)v,u(

)y,x(

vy

uy

vx

ux

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

==∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Ejemplo: Calcule donde R es el triángulo

formado por y = 1, y = x e y = -x.

∫∫ −+

R

yx dydxe)yx(4

Si u = x + y, v = x – y, entonces .2

1

)v,u(

y)x,(y )vu( y ),vu(x

21

21 −=

∂∂

−=+=

Además,

0 u u - v vu xy

0 v v-u vu xy

2 -u v 2 v-u 1y

=⇒=+⇒−=

=⇒=+⇒=

=⇒=⇒=

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Es decir, mediante el cambio de variables, la región R del plano

XY se transforma en la región S del plano UV limitada por las

rectas v = u – 2, v = o y u = 0. Y la integral se calcula así:

∫ ∫∫∫∫∫ −

−

− −===+2

0

20

2u

v

S21v

R

yx )e1(2dvdueu2dvdu)(eu4dydxe)yx(4

O bien,

∫ ∫∫∫∫∫ −

−+

− −===+0

2

22v

0

v

S21v

R

yx )e1(2dvdueu2dudv)(eu4dydxe)yx(4

Ejercicio: Sea R la región acotada por las rectas x – 2y = 0,

x + y = 4, x + y = 1, x – 2y = - 4. Calcule

∫∫R

dAxy

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Integrales dobles en coordenadas polares

El Jacobiano para el cambio de variables de coordenadas

rectangulares a coordenadas polares es:

rcosrsen

rsencos

),r(

)y,x(y

ry

xrx

=θθ

θ−θ==

θ∂∂

θ∂∂

∂∂

θ∂∂

∂∂

Por lo tanto, si R es la región de los puntos

tales que con

)senr,cosr()y,x( θθ=

, ),(gr)(g0 21 β≤θ≤αθ≤≤θ≤ 21 g ,g ,2 0 π≤α−β≤

continuas en y f continua en R, entonces ] ,[ βα

θθθ= ∫ ∫∫∫β

α

θ

θd drr )senr ,cosr(f dxdy)y,x(f

)(g

)(gR

2

1

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Ejercicio: Calcule usando coordenadas polares las integrales

dydx)yx( (b) dxdyy )a(3

0

x9

0

22a

0

ya

0

2

23

22

∫ ∫∫ ∫−−

+

Ejercicio: Calcule utilizando coordenadas polares las integrales

dAyx-4 (b)

dAe )a(

S

22

R

yx 22

∫∫

∫∫−

+si R es la región encerrada por x2 + y2 = 4.

si S es el sector del primer cuadrante de

la círculo x2 + y2 = 1 entre y = 0 e y = x.

Ejercicio: Calcule el volumen del sólido acotado

por el plano z = 0 y el paraboloide z = 1 – x2 – y2.

Observe la conveniencia de cambiar a coordenadas polares.

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Aplicaciones de las integrales dobles

(1) Masa – Centro de masa

Supongamos que una lámina ocupa una región D del plano XY y

su densidad (variable) en unidades de masa por unidad de área

en un punto (x, y) en D está dada por , donde es una

función continua sobre D. La masa total m de la lámina es:

)y,x(ρ ρ

∫∫ρ=

D

dA)y,x(m

Las coordenadas del centro de masa de la lámina son:)y,x(

dA)y,x(ym

1y , dA)y,x(x

m

1x

DD∫∫∫∫ ρ=ρ=

Ejercicio: Determine la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D del primer cuadrante acotada por y = x2

y la recta y = 1 y que tiene función densidad .xy)y,x( =ρ

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Las integrales

corresponden al “momento (de toda la lámina) alrededor del eje

X y al momento alrededor del eje Y respectivamente. Es decir,

∫∫∫∫ ρ=ρ=

D

y

D

x dA)y,x(xMy dA)y,x(yM

Mm

1y e M

m

1x xy ==

Ejercicio: La densidad en cualquier punto de una lámina semicircular es proporcional a la distancia desde el centro del

círculo. Determine el centro de la lámina.

Ejercicio: Determine la masa y el centro de masa de la lámina

que ocupa la región y que

tiene función densidad

x}seny0 ,x0 / )y,x{(D ≤≤π≤≤=.y)y,x( =ρ

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(2) Momento de inercia

Si una lámina tiene función de densidad y ocupa una

región D del plano XY, las integrales

)y,x(ρ

∫∫∫∫ ρ=ρ=

D

2y

D

2x dA)y,x(xI e dA)y,x(yI

corresponden a los momentos de inercia (2° momento) de la

lámina alrededor del eje X y del eje Y respectivamente. El

momento de inercia alrededor del origen, también llamado

momento polar de inercia es:

∫∫ ρ+=

D

22o dA)y,x()yx(I

Ejercicio: Determine el momento de inercia alrededor del eje X de la lámina correspondiente a la región parabólica si

la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia de

(x, y) al eje X.

2x4y0 −≤≤

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(2) Área de una superficie

Consideremos la superficie S dada por z = f(x, y) definida sobre

una región cerrada y acotada D del plano XY. Si f y sus

primeras derivadas parciales son continuas en D, el área de la

superficie S es:

∫∫ ++=

D

2y

2x dA))y,x(f())y,x(f(1)S(A

Ejercicios: Calcule el área de

(a) La porción del plano z = 2 – x – y que está situada encima del

círculo en el primer cuadrante.

(b) La parte de la superficie z = x2 + 2y que está encima de la

región triangular T del plano XY con vértices (0,0), (1,0) y (1,1).

(c) La parte del paraboloide z = x2 – y2 que está entre los

cilindros x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4.

1yx 22 ≤+

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