Informe Final N° 2 - Teoremas de Thévenin, Norton y Máxima Transferencia de Potencia_Parte II

INFORME DE LABORATORIO: TEOREMA DE THÉVENIN, NORTON Y MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA UNI-FIM

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………………2

I. – OBJETIVOS………………………..…...………………………….……….……..3

II. – FUNDAMENTO TEÓRICO………………………………………….……..…....3

III. – EQUIPOS E INSTRUMENTOS USADOS……………………….……...…....7

IV. – PROCEDIMIENTO………..………………………………………….…….…...8

V. – CÁLCULOS Y RESULTADOS……………………………………….…….…12.

VI. – CUESTIONARIO………….………………………………………….…….…13

VII. – CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES………...……………….…….…23

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………23

1


INTRODUCCIÓN

Una de las principales ventajas de analizar circuitos con el uso de las leyes deKirchhoff, como se hizo en el Laboratorio N° 1, es que se puede analizar un circuito sin alterar su configuración original. Una de las principales desventajas de ese método es que implica en gran medida circuitos complejos y tediosos cálculos. El aumento de las áreas de aplicación de circuitos eléctricos ha causado una evolución de circuitos simples a complejos. Para enfrentar esa complejidad, a lo largo de los años los ingenieros han desarrollado algunos teoremas para simplificar el análisis de circuitos. Entre ellos están los Teoremas de Thévenin y Norton.

I. - OBJETIVOS

2


Analizar y verificar en forma experimental los teoremas propuestos, reduciendo los circuitos a su mínima configuración como circuitos equivalentes Thévenin y Norton a partir de los datos tomados en el laboratorio.

Analizar y verificar en forma experimental el teorema de máxima transferencia de potencia, comprobando en forma analítica y gráfica, la importancia de la eficiencia a partir de los datos tomados en el laboratorio.

II. – FUNDAMENTO TEÓRICO

2.1) Teoremas de Thévenin y Norton

La Figura esquematiza el concepto básico del Teorema de Thévenin: “Dado un circuito lineal cualquiera N, para un par de terminales A y B de dicho circuito, es posible encontrar un circuito equivalente formado por una fuente de voltaje ideal en serie con una resistencia, de manera tal que ese circuito de 2 terminales produzca los mismos valores de voltaje y corriente en esos terminales (conectados o no a otro circuito) que el circuito original”.

La fuente de voltaje tendrá un valor conocido como Voltaje de Thévenin V th y la resistencia tendrá un valor conocido como Resistencia de Thévenin Rth.

Este teorema nos permite introducir un método de análisis de circuitos adicional: dividir el circuito original en componentes de 2 puertos, que son equivalentes de Thévenin de una parte del circuito, los cuales se interconecten entre sí. Esto permite realizar cálculos más sencillos que con el circuito completo. Como se verá en los circuitos con inductancias o capacitancias, el análisis del comportamiento de corrientes y voltajes en circuitos de 1er y 2do orden, mediante ecuaciones diferenciales, también se simplifica utilizando el equivalente de Thévenin entre los terminales de las capacitancias o inductancias, de las cuales se quieren analizar los fenómenos transitorios, al utilizar las fórmulas encontradas para circuitos RC o RL, que están formados

3


por una capacitancia o una inductancia en serie con una resistencia y una fuente de voltaje.

Otra utilidad, probablemente la más importante de este concepto, es que teniendo este modelo es sencillo encontrar la máxima transferencia de potencia del circuito N a otro circuito conectado a los terminales A y B.

Por lo estudiado en el capítulo de transformación de fuentes es evidente que el circuito equivalente de Thévenin se puede convertir también en circuito de 2 terminales formado por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia como se muestra en la figura de abajo. A este modelo se le conoce como equivalente de Norton, el cual se puede calcular transformando el equivalente de Thévenin o haciendo los cálculos directos como se hace para el equivalente de Norton.

2.2) Máxima Transferencia de Potencia

Cuando una fuente o un circuito se conectan a una carga cualquiera es deseable que tal fuente o circuito pueda transmitir la mayor cantidad de potencia a la carga que la recibe. La Figura muestra un equivalente de Thévenin de un circuito cualquiera (a la izquierda de AB) conectado a una carga cualquiera. Al conectar esta carga aparece un voltaje V C y una corriente I C entre los nodos A y B. Para determinar las condiciones en las cuales se presenta máxima transferencia de potencia de un circuito a otro vamos a considerar dos casos: el 1ro en el cual solo hay una carga resistiva, y el 2do en el cual la carga puede tener elementos pasivos y activos.

4


2.2.1) Máxima Transferencia de Potencia con Carga Resistiva

En el caso particular de que la carga sea una resistencia Rc, tendremos:

V C=V th .RC

Rth+RC

PC ( RC )=V C2

RC

=V th2 .

RC

(R¿¿th+RC)2¿

La Figura muestra la variación de la potencia absorbida por la carga PC en función de RC.

Como se puede apreciar en la gráfica la potencia absorbida, que es una función cuadrática, alcanza un máximo. Este valor máximo se calcula derivando la potencia e igualando a 0, con lo cual se encuentra que la potencia tendrá un máximo cuando:

Rth=RC

de manera que para que haya máxima transferencia de potencia desde el circuito a la izquierda de AB (representado por su equivalente de Thévenin) se debe tener que la resistencia de la carga sea igual a la resistencia de Thévenin. Adicionalmente, dado que estás dos resistencia son iguales, por divisor de voltaje se tiene que el voltaje máximo en V C es V Cmáx es la mitad de V th:

V C=V th .RC

Rth+RC

=V C=V th .Rth

Rth+Rth

=12

.V th

V C=12

.V th

En este caso la potencia máxima transferida será:

PC−máx=V C−máx2

RC

=( 12

. V th

2

)

R th

=V th2

4 Rth

PC−máx=V th2

4 Rth

5


2.2.2) Máxima Transferencia de Potencia con Carga Arbitraria

Si el circuito de carga conectado es una carga arbitraria, que no es necesariamente una resistencia, la condición para máxima transferencia sigue

siendo que V C−máx=V th

2, aunque la resistencia de carga sea diferente de Rth.

Para ver que esto es así veamos las ecuaciones del circuito de la Figura:

I C=V th−V C

Rth

PC=V C . IC=V C .(V th−V C

Rth)

PC=V th . V C

R th

−V C2

Rth

d PC

d V C

=V th

R th

−2.V C

Rth

=0

De donde se tiene que:

V C−máx=V th

2

De manera que si queremos que haya máxima transferencia de un circuito representado por su equivalente de Thévenin a otro circuito se debe tener que el voltaje en la unión de los dos circuitos sea la mitad del voltaje de Thévenin, lo cual se debe lograr variando los parámetros internos del circuito arbitrario conectado (variar, los valores de las fuentes o de las resistencias por ejemplo).

La potencia máxima transferida por el circuito será:

I C−máx=V th−V C−máx

Rth

PC−máx=V C−máx . IC −máx=V C −máx .(V th−V C−máx

R th)=(V th

2 ).(V th−

V th

2Rth

)

PC−máx=V th2

4 Rth

Como se ve es el mismo valor encontrado en el caso puramente resistivo. De manera que sin importar el circuito de carga conectado, la máxima transferencia de potencia está dada exclusivamente por el equivalente de Thévenin:

PC−máx=V th2

4 Rth

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III. – EQUIPOS E INSTRUMENTOS USADOS

1 Fuente de poder DC Instek GPC – 3030D.Características Instek GPC-3030D:Independiente: (0 ~ 30V / 0 ~ 2A) x 2, (5V / 3A MAX) x 1Serie: 60V, 2A Paralelo: 30V, 4ASalida TripleSeguimiento automáticoSeries Auto y Funcionamiento en paraleloVoltaje constante y constante funcionamiento actualBajo rizado y ruido3 1/2 dígitos de 0.5 "de pantalla LED5V, 3A de salida FijaSobrecarga y Protección contra polaridad invertidaSeleccione Interna para carga continua o dinámica

1 Multímetros Fluke 87 V (con microamperímetro) 1 Multímetros Fluke 87 V (con microvoltímetro) 1 Maqueta resistivo (7 fijas y 1 variable). Conductores para conexiones diente

cocodrilo.

Fuente de Poder Instek GPC-3030D – Laboratorio de Electricidad – Facultad de

Ingeniería Mecánica - UNIMultímetro Fluke 87 V – Laboratorio

de Electricidad – Facultad de Ingeniería Mecánica - UNI

Cables y conectores – Laboratorio de Electricidad – Facultad de Ingeniería

Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI


Mecánica - UNI

Multímetro Fluke 87 V – Laboratorio de Electricidad – Facultad de

Ingeniería Mecánica - UNI











































































































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IV. – PROCEDIMIENTO

4.1) Parte I – Teoremas de Thévenin y Norton

Armar lo circuitos mostrados

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Conectar la fuente de tensión en los bornes a - b. Medir las resistencias de los resistores del circuito. Encender la fuente de tensión y regularla a 20v.

Cálculo de voltaje Thévenin (ETH) Desconectar el resistor RL y dejar los bornes c-d a circuito abierto, luego

medir la tensión en los bornes c-d (ETH).Cálculo de la corriente Norton (IN).

Cortocircuitar los bornes cd, luego insertar el multímetro (trabajando con micro o miliamperímetro DC) en dichos bornes y medir la corriente.

Cálculo de la resistencia Equivalente (REQ) Con los bornes c-d a circuito abierto, retirar la fuente y cortocircuitar los

bornes a - b, luego medir con el multímetro (trabajando como ohmímetro) la resistencia entre los bornes c - d (REQ).

Conectar la fuente en los bornes c-d a circuito abierto a una tensión de 2 voltios, midiendo la corriente que entrega dicha fuente (I) la resistencia

equivalente será: REQ=20I

.

El multímetro medirá las tensiones en cada resistencia.

Implementando el Circuito N° 3.

Implementando el Circuito N° 2.Implementando el Circuito N° 1.

9


4.2) Parte II – Teorema de Máxima Transferencia de Potencia

Implementar los mismos circuitos de la parte I. Conectar la fuente de tensión en los bornes a - b. Medir las resistencias de los resistores del circuito, y el rango de

resistencia del potenciómetro (RL) Encender la fuente de tensión y regularla a 20 voltios u otra tensión que

indique el profesor. Manteniendo la tensión anterior, variar la resistencia variable (RL) desde

0 Ohmios hasta su valor máximo, tomando por lo menos 10 valores de voltaje y corriente en la rama donde se encuentre RL.

4.3) Análisis Computacional

Primer circuito:Eth

I de Norton:

10


Con la resistencia variable:

Para el circuito 2:

E de Thevenin:

I de Norton:

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Circuito completo con la conexión entre a y b:

Se puede observar que la corriente está en el orden de los microamperios.

V. – CÁLCULOS Y RESULTADOS

5.1) Datos Tomados en Laboratorio

Se trabajó con un valor de 5 kilo ohms para la resistencia variable:

Se usó una fuente de 20.1 V.

12

VALORES TEORICOS (KΩ) VALORES MEDIDOS (KΩ)R1 5,56 5,571R2 1,48 1,491R3 12,09 12,10R4 1,19 1,195R5 9,91 9,92R6 10,15 10,16R7 9,9 9,91RV 5,0


VI. – CUESTIONARIO

6.1) Parte I – Teoremas de Thévenin y Norton

Transformación a circuito equivalente

ente C y T:

Transformación a circuito equivalente entre a y b:

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Para el primer circuito:

Se verifica el teorema de Thevenin

PRIMERA CONFIGURACION VALORES TEORICOS VALORES MEDIDOS

Eth 0,35 V 0,48 VRth 11,006 KΩ 16,04 KΩI n 0,0318 mA 0,03 mA

I C−T=0,35

11,006+5=0,023mA

V C−T=5∗0,023=0,116V

Para el segundo circuito:

Verificamos con mayor exactitud los teoremas correspondientes:

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SEGUNDA CONFIGURACION VALORES TEORICOS VALORES MEDIDOS

Eth 1,9214 V 1,936 VRth 6,7117 KΩ 6,71 KΩI n 0,286 mA 0,288 mA


I a−b=20−1,92146,7117+1,195

=2,286mA

V a−b=20−(2,286∗1,195)=17,268V

Errores que se pueden cometer:

Los principales son el equipo utilizado y los conductores como se puede evidenciar en el circuito 1 ya que las Rth teórica y experimental tienen un considerable margen de error. Por otro lado la mala calibración de la fuente y el error por parte de nosotros los miembros del grupo también se tiene en consideración.

Investigar sobre las limitaciones para aplicar los teoremas de Thevenin y Norton

en Circuitos Eléctricos.

1) Para aplicar el teorema de Thévenin, después de desconectar la carga del resto de la red,

con vistas a determinar la tensión de circuito abierto, no deben existir conexiones absurdas en

la red resultante.

2) Para aplicar el teorema de Thévenin, al cortocircuitar los terminales de carga, con el objetivo

de encontrar la corriente de cortocircuito, no deben existir conexiones absurdas en la red

resultante.

3) El teorema de Thévenin no puede ser aplicado en cualquier parte de un circuito eléctrico

lineal.

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4) Aunque no sea posible aplicar el teorema de Thévenin para encontrar el valor de una

variable específica en un circuito dado, si se puede aplicar el teorema para determinar el valor

de otra variable en cualquier otro lugar del propio circuito.

Busque algunas aplicaciones de los teoremas usados y explicar las ventajas que ofrecen.

1) Una de las aplicaciones más prácticas es cuando se desea hallar la máxima potencia como se verá más adelante ya que con este teorema se puede optimizar lo propuesto.

2) Además que para ciertos circuitos se desea eliminar ciertas ramas con estos teoremas se puede lograr sin modificar el circuito.

¿Cómo se aplica los teoremas de Thevenin y Norton en circuitos que presentan fuentes controladas?

En este caso debido a las fuentes dependientes no se pueden aplicar los teoremas de Thevenin y Norton directamente, para el cual existe otro método para su solución; primero para el Eth se procede tal cual como se hace en otros circuitos, considerando las fuentes dependientes y los ramales de los cual depende; seguidamente se calcula el In que se hace cortocircuitando por los puntos por donde pasa; una vez obtenido el Eth y el In se procede al cálculo del Rth, no hay un segundo método para el cálculo de este, esta es la única manera cuando se trata de fuentes dependientes.

6.2) Parte II – Teorema de Máxima Transferencia de Potencia

EL circuito a desarrollar:

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Cuadro de los datos medidos con el multímetro

RL VL IL (mA) PL(μW)0.849 0.282 0.332 93.6681.122 0.366 0.326 119.391.626 0.519 0.319 165.6592.092 0.649 0.31 201.3392.547 0.77 0.302 232.7843.108 0.912 0.293 267.6143.572 1.025 0.287 294.1284.092 1.143 0.279 319.2695.701 1.472 0.258 380.0716.516 1.623 0.249 404.256

8 1.867 0.233 435.711

DATOS: Vth=7.23 voltios , Rth=16.059

RL VL teórico Error de VL(%)0.849 0.363 22.3141.122 0.472 22.4581.626 0.665 21.9552.092 0.833 22.0892.547 0.99 22.223.108 1.172 22.1843.572 1.316 22.1124.092 1.468 22.1395.701 1.894 22.2816.516 2.087 22.233

8 2.404 26.272

Sabemos que la potencia está dada por:

Pot=V 2/RL

Grafica de la tabla anterior

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

50100150200250300350400450500

f(x) = − 0.037046609 x⁴ + 1.080859703 x³ − 14.91999505 x² + 123.8116072 x − 1.534323383

PL VS RL

RESISTENCIA(KΩ)

POTE

NCIA

(μW

)

Derivando la función e igualando a 0

RL = 10.175 PL= 455.612μW

Para

EL RL =Rth= 16.059KΩ PL= 154.718μW

Comparando:

Notamos que el error: 36.639% en el RL

De la tabla se calcula para cada caso el valor de la eficiencia ”n”:

n=PL

Pf

=Potencia consumida por RL

Potencia entregada por la fuente

RL N(10-3)0.849 5.0211.122 6.5301.626 9.1942.092 11.5252.547 13.6893.108 16.2153.572 18.1964.092 20.3075.701 26.1996.516 28.8648 33.252

Grafica eficiencia vs resistencia variable

18


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

f(x) = − 0.196317574646201 x² + 5.65287832886358 x + 0.478812093640416

N vs RL

RESISTENCIA(KΩ)

N(%

)

Para el RL= Rth =16.059 KΩ n=40.6346% (en la ecuación), notamos que se

acerca al 50% que es el máximo ideal.

Error=18.728%

El circuito de thevenin equivalente:

Para el RL= Rth =16.059 KΩ, teóricamente se da la

máxima potencia.

De los gráficos, determinamos:

Para RL = 10.175 se da una máxima potencia.

Obteniendo un error: 36.639%

EL circuito a desarrollar:

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Cuadro de los datos medidos con el multímetro

RL(KΩ) VL(V) IL(mA) PL(uW)0.86 0.42 0.48837209 205.116279

1.554 0.674 0.43371943 292.3268982.46 0.93 0.37804878 351.5853663.71 1.19 0.32075472 381.6981134.41 1.308 0.29659864 387.95102

6.032 1.517 0.25149204 381.5134286.85 1.599 0.23343066 373.255627.32 1.641 0.22418033 367.879918

8 1.698 0.21225 360.4005

DATOS: Vth=2.674 V , Rth=4.598 KΩ

20


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

50

100

150

200

250

300

350

400

450

f(x) = − 0.00594438 x⁶ + 0.213819 x⁵ − 3.15135 x⁴ + 24.9727 x³ − 117.518 x² + 318.987 x + 3.4023R² = 0.999971599125679

PL VS RL

RL(KΩ)

PL(u

W)

Para

Rth= 4.598 KΩ PL= 388.271μW

La fuente era de 20.1 V

RL(KΩ) PL(uW) PF(uW) N0.86 205.116 404.01 0.5077003

1.554 292.326 404.01 0.72356132.46 351.585 404.01 0.8702383

63.71 381.698 404.01 0.9447736

44.41 387.951 404.01 0.9602509

86.032 381.513 404.01 0.9443157

36.85 373.255 404.01 0.9238756

57.32 367.879 404.01 0.9105690

58 360.4 404.01 0.8920571

3

21


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f(x) = 0.000134036 x⁵ − 0.00366522 x⁴ + 0.0405927 x³ − 0.235808 x² + 0.7230871 x + 0.0365894R² = 0.999945615864578

N VS RL

RL(KΩ)

N

Para

Rth= 4.598 KΩ N= 0.874

El circuito de thevenin equivalente:

Para el RL= Rth =4.598 KΩ con un N= 0.874

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VII. – CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES

7.1) Conclusiones

Los errores fueron producto de la idealización de los instrumentos, ya que estos no son ideales, sino que tienen elementos internos que afectan a las mediciones.

Se recomienda calibrar correctamente el multimetro antes de realizar las mediciones, calibrarlo en un rango apropiado para evitar dificultades.

7.2) Observaciones

Se observó que un circuito lineal activo con 2 terminales de salida, puede ser reemplazado por su equivalente de Thevenin, que es una fuente de tensión VTH en serie con la resistencia equivalente Req. La tensión VTH es igual a la tensión en circuito abierto entre las terminales de salida, y la Req es la resistencia de entrada vista desde los terminales de salida.

De una manera equivalente se observó en el experimento del Teorema de Norton se estableció que cualquier circuito lineal se puede sustituir por una fuente equivalente de intensidad IN en paralelo con una resistencia equivalente Req.

BIBLIOGRAFÍA

Guía de laboratorio de circuitos eléctricos - Ing. Francisco Sinchi Yupanqui

Fuentes de internet: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/cap02/

Cap2tem2.html http://www.fisicapractica.com/leyes-kirchhoff.php http://dsa-research.org/teresa/Electronica/T01-3.

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Documents

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