Teoremas de CircuitosThévenin, Norton e MTP

Raffael Costa de Figueiredo Pinto

Fundamentals of Electric Circuits

Chapter 4

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Teoremas de Circuitos

Uma grande vantagemde analisar circuitos por intermédio das leisde Kirchhoff é o fato de podermos analisá-los emsua configuraçãooriginal (sem alterações). Entretanto, para umcircuito grande ecomplexo, há muitos cálculos enfadonhos envolvidos.Para lidar comessa complexidade, os engenheiros desenvolveram,ao longo dos anos, alguns teoremas para simplificar a análise decircuitos, como os teoremas de Thévenin e de Norton.Estes teoremas são aplicáveis apenas àcircuitos lineares.

Propriedade da linearidade

Linearidade é a propriedade de umelemento descrever uma relaçãolinear entre causa e efeito. Essa propriedade é uma combinação dapropriedade dehomogeneidade (aplicação de umfator de escala) eda propriedade daaditividade.

A propriedade dahomogeneidade requer que, se aentrada(tambémchamada deexcitação) for multiplicada por uma constante, então asaída (tambémchamada deresposta) deverá ser multiplicada poressa mesma constante. Por exemplo, para umresistor, a lei de Ohmrelaciona a entradai com a saídav, se a corrente for aumentada poruma constante k a tensão aumenta de maneira correspondente,

A propriedade daaditividade requer que a resposta para a soma deentradas seja a soma das respostas de cada entrada aplicadaseparadamente. Usando a relação tensão-corrente de umresistor, se

Então aplicar (i1 + i2) resulta em

A propriedade dahomogeneidade requer que, se aentrada(tambémchamada deexcitação) for multiplicada por uma constante, então asaída (tambémchamada deresposta) deverá ser multiplicada poressa mesma constante. Por exemplo, para umresistor, a lei de Ohmrelaciona a entradai com a saídav, se a corrente for aumentada poruma constante k a tensão aumenta de maneira correspondente,

A propriedade daaditividade requer que a resposta para a soma deentradas seja a soma das respostas de cada entrada aplicadaseparadamente. Usando a relação tensão-corrente de umresistor, se

Então aplicar (i1 + i2) resulta em

Um resistor é umelemento linear, pois a relação tensão-correntesatisfaz tanto a propriedade de homogeneidade quanto deaditividade. Geralmente, umcircuito é linear se ele for tanto aditivocomo homogêneo, pois consiste apenas de elementos lineares, fonteslineares dependentes e independentes.

Um circuito linear é um circuito cuja saída está linearmente relacionada

(ou é diretamente proporcional) à sua entrada.

Ao longo desse curso, consideraremos apenas circuitos lineares.Note que já quep = i2R = v2/R, a relação entre potência e tensão (oucorrente) é não linear. Portanto, os teoremas vistos neste capítulo nãosão aplicáveis à potência.

Se um circuito tiver duas ou mais fontes independentes, umamaneira de determinar o valor de uma variável específica (tensão oucorrente) é usar a análise nodal ou de malhas. Uma forma alternativaseria determinar a contribuição de cada fonte independente àvariável e somá-las. Esse método é conhecido comosuperposição.

O princípio da superposição afirma que a tensão (ou a corrente) em um

elemento em um circuito linear é a soma algébrica da soma das tensões

(ou das correntes) naquele elemento em virtude da atuação isolada de

cada uma das fontes independentes.

O princípio da superposição se baseia na propriedade da linearidade.Para aplicar esse princípio, é necessário saber duas coisas:

Superposição

1. Considerar uma fonte independente por vez enquanto todas asdemais fontes independentes permanecemdesligadas. Issoimplica substituir cada fonte de tensão por 0 V (curto-circuito) ecada fonte de corrente por 0 A (circuito aberto). Obtendo assim,umcircuito mais fácil de manipular.

2. Deixar as fontes dependentes intactas, pois elas são controladaspor variáveis de circuito.

Etapas para aplicação do princípio da superposição:

1. Desative todas as fontes independentes, exceto uma delas. Encontre a

saída (tensão ou corrente) em razão dessa fonte ativa usando as

técnicas vistas nos capítulos 2 e 3.

2. Repita a etapa 1 para cada uma das demais fontes independentes.

3. Encontre a contribuição total somando algebricamente todas as

contribuições em razão das fontes independentes.

Assim como a associação série-paralelo e a transformação estrela-triângulo ajudama simplificar circuitos, atransformação de fonteséoutra ferramenta que ajuda a simplificá-los. Fundamental para essaferramentas é o conceito de equivalência.Como foi visto, as equações nó-tensão ou malha-corrente podemserobtidas por simples inspeção de umcircuito quando as fontes detensão são todas independentes. Portanto, é conveniente sermoscapazes de substituir uma fonte de tensão emsérie comum resistorpor uma fonte de corrente emparalelo comumresistor.

Transformação de Fontes

A equivalência entre os circuitos é fácil de ser demonstrada. Se asfontes foremdesativadas, a resistência equivalente nos terminaisa-bemambos os circuitos seráR. Da mesma forma, quando os terminaisa-b foremcurto-circuitados, a corrente de curto-circuito fluindo deaparab é is=vs/R.

Transformação de fontes é o processo de substituir uma fonte de

tensão vsem série com um resistor R por uma fonte de corrente i

s

em paralelo com um resistor R, ou vice-versa.

Entretanto, deve-se ter emmente as seguintes questões ao lidar comtransformações de fontes.1. A seta da fonte de corrente fica voltada para o polo positivo da

fonte de tensão.2. Note que a transformação de fontes não é possível quandoR = 0,

que é o caso de uma fonte de tensão ideal. Entretanto, para umafonte de tensão não ideal,R ≠ 0. De forma similar, uma fonte decorrente ideal comR = ∞ não pode ser substituída por uma fontede tensão.

Na prática pode acontecer de umelemento do circuito ser variável(chamado decarga), enquanto outros elementos são fixos. Como exemplocaracterístico. Cada vez que o elemento variável for alterado, todo ocircuito tem de ser analisado por completo novamente. Para evitar esseproblema, o teorema de Thévenin fornece uma técnica pela qual a partefixa do circuito é substituída por umcircuito equivalente.

O teorema de Thévenin afirma que um circuito linear de dois terminais

pode ser substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte

de tensão VTh em série com um resistor RTh, onde VTh é a tensão de

circuito aberto nos terminais e RTh, a resistência de entrada ou

equivalente nos terminais quando as fontes independentes forem

desativadas

Teorema de Thévenin

Se os terminaisa-b foremtornados umcircuito aberto (eliminando acarga), nenhuma corrente fluirá e, portanto, a tensão nos terminaisa-b terá de ser igual à fonte de tensãoVTh, uma vez que os doiscircuitos são equivalentes. LogoVTh é a tensão de circuito aberto nosterminais, ou seja,

Com os terminaisa-b abertos (desconectando a carga), e comtodasas fontes independentes desligadas. A resistência equivalente nosterminaisa-b (resistência de entrada) deve ser igual àRTh.

Para aplicar esse conceito na determinação da resistência equivalentede ThéveninRTh, precisamos considerar dois casos.1. Se a rede não tiver fontes dependentes, desligamos todas as

fontes independentes.RTh é a resistência de entrada da rede,olhando-se entre os terminaisa eb.

2. Se a rede tiver fontes dependentes, desligamos todas as fontesindependentes. Pelo teorema da superposição, as fontes as fontesdependentes não devemser desligadas, pois elas são controladaspor variáveis de circuito. Aplicando uma tensãov0 aos terminaisa e b, é possível determinar a correntei0. Então,RTh = v0/i0,conforme a Figura abaixo.

Pode ocorrer deRTh assumir umvalor negativo; nesse caso, aresistência negativa implica o fato de o circuito estar fornecendoenergia.

Um circuito linear comuma cargavariável pode ser substituído peloequivalente de Thévenin, excluindo-se a carga. A rede equivalente secomporta externamente da mesmamaneira que o circuito original.

Em 1926, após cerca de 43 anos da publicação do teorema de Thévenin, E.L. Norton, engenheiro norte-americano da Bell Telephone Laboratories,propôs umteorema semelhante.

O teorema de Norton afirma que um circuito linear de dois terminais

pode ser substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte

de corrente IN em paralelo com um resistor RN, em que IN é a corrente de

de curto-circuito através dos terminais e RN é a resistência de entrada ou

equivalente nos terminais quando as fontes independentes forem

desligadas.

Teorema de Norton

RN pode ser determinado da mesma maneira emque é feito paraRTh.Através da transformação de fontes, podemos concluir que asresistências de Thévenin e Norton são iguais; logo,

Para descobrir a correnteIN de Norton, basta determinar a correntede curto-circuito que flui entre os terminaisa eb. Logo,

As fontes dependentes e independentes são tratadas da mesma formaque no teorema de Thévenin.Basicamente a relação entre os dois teoremas fica evidente pelaequação,

Isso é, basicamente, transformação de fontes. Por essa razão, atransformação de fontes é muitas vezes chamada de transformaçãoThévenin-Norton.

Uma vez queVTh, IN e RTh estão relacionadas, determinar o circuitoequivalente de Thévenin e de Norton requer:

• A tensão de circuito aberto,voc, entre os terminaisa eb.• A corrente de curto-circuito,isc, nos terminaisa eb.• A resistência de entrada ou equivalente, Rin, nos terminais a e bquando todas as fontes independentes estiveremdesligadas.

Quaisquer dois desses elementos podemser calculados

Em diversas situações práticas, umcircuito é projetado para fornecerpotência de uma carga. Comas ferramentas vistas, agora é possível tratardo problema de liberar a potência máxima de uma carga quando osistemacomperdas internas conhecidas for dado.O circuito equivalente de Thévenin é útil para descobrir a potência máximaque umcircuito linear pode liberar a uma carga.Se todo o circuito for substituído pelo equivalente de Thévenin, exceto acarga, a potência liberada para a carga é

Máxima transferência de potência

Para umdado circuito,VTh e RTh são fixas. Variando a resistência de cargaRL, a potência liberada varia conforme o gráfico acima. Logo, apotência épequena para valores pequenos ou grandes deRL. Mas máxima para omesmo valor deRL entre 0 e∞. A potência máxima ocorre quandoRL éigual aRTh. Isso é conhecido comoTeorema da Potência Máxima.

A potência máxima é transferida a uma carga quando a resistência de

carga for igual a resistência de Thévenin quando vista da carga (RL = RTh).

Para provar o teorema da máxima transferência de potência, diferenciamosp na emrelação aRL para encontrar o ponto de máximo da função.

Logo, obtemos

O que finalmente leva a