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UNIVERSIDAD DEL VALLE
PRACTICA 6LEYES DE KIRCHHOFF, TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON, Y TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN
APLICADOS AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS AC EN ESTADO ESTABLE
Carlos Realpe- Brian Aguirre
19/11/2012
INTRODUCCION
En un circuito que contenga capacitores, inductores y resistencias que están siendo alimentados por una fuente AC, hallar las respuestas en estado estable seria engorroso por la cantidad de EDO que se debe resolver, por ello se hace uso de una herramienta matemática, fasores, con la cual se puede analizar circuitos en el dominio de la frecuencia compleja.
FASORES
Un fasor es un vector rotatorio, que gira en dirección contraria a las manecillas del reloj con una velocidad angular w, cuya proyección en el eje vertical se usa para representar cantidades que varían en forma sinusoidal.
Un voltaje sinusoidal representado en el tiempo por V=V msin (wt+α), figura A, puede sobrescribirse en forma de fasor como V=V∡α . Aunque la expresión sinusoidal proporciona el valor instantáneo del voltaje para una forma de onda que tiene una amplitud V m(voltaje pico), la forma de fasor tiene una magnitud que es el valor efectivo o rms. La relación entre la magnitud del fasor y el pico de voltaje sinoidal esta dado por:
V=V m
√2
Análogamente el fasor de corriente para una señal alterna I=Im sin(wt+ β) en su forma rms seria:
I=Im√2
∡ β
Figua A. Voltaje y corriente sinusoidal para un resistor
Cuando se analizan circuitos de CA ya no se trabaja solo con resistencia sino también con reactancias capacitiva e inductiva. La impedancia es un término que se usa para determinar en conjunto como la resistencia, capacitancia e inductacia “impiden o se oponen” a la corriente en un circuito. El símbolo de la impedancia es la letra Z y su unidad es el ohm. Ya que la impedancia puede estar formada por la combinación de resistencia y reactancias, se escribe como una cantidad vectorial Z, donde
Z=Z∡θ(Ω)
Cada impedancia puede representarse como un vector en el plano complejo, de manera que la longitud del vector es representativa de la magnitud de la impedancia.
La impedancia resistiva ZR es un vector que tiene una magnitud R a lo largo del eje real positivo. La reactancia inductiva ZL es un vector que tiene una magnitud de X L a lo largo del eje imaginario positivo, mientras la reactancia capacitiva ZC tiene una magnitud XC a lo largo del eje imaginario negativo. Desde el punto de vista matemático, cada impedancia vectorial se escribe como:
:
OBJETIVOS
Comprobar experimentalmente las leyes de Kirchhoff, el teorema de Thévenin, el teorema de Norton, y el principio de Superposición, en circuitos de corriente alterna.
Analizar circuitos en AC de manera teórica y experimental.
Comprobar las Leyes de Kirchhoff, los teoremas de Thévenin y Norton y el Principio de Superposición aplicados a circuitos en AC, y confrontar los resultados con lo aprendido en el análisis de circuitos en DC.
MARCO TEÓRICO
V1
120.003 Vrms 377 Hz 0°
R1
50Ω
R250Ω
R3
50Ω
R5
50Ω
L1
126mH
C1
20µF
L2
126mH
V2
120.003 Vrms 377 Hz -120°
R4
50Ω
Figura 1. Montaje circuito de la practica
V1
120.003 Vrms 377 Hz 0°
R1
50Ω
R250Ω
R3
50Ω
R5
50Ω
L1
126mH
C1
20µF
L2
126mH
V2
120.003 Vrms 377 Hz -120°
R4
50Ω
Valores teóricos de las fuentes de voltaje en el tiempo:
V 1 ( t )=169,71sin (377 t) V 2 ( t )=169,71sin (377 t−120)
Donde w=377Hz
Valores de las tenciones teóricas usadas en su forma RMS polar:
V 1=V 1RMS=169.71
√2∡0=120.003∡0
V 2=V 2RMS=169.71
√2∡−120=120.003∡−120
Figura 2. Circuito de la practica en su forma fasorial
Valores teóricos de las impedancias en su forma polar:
Z1=R1+ jw L1=50+(120mH )377 j=68.967∡43.532
Z2=R2=50∡0 Z3=R3+1
wC1 j=141.738∡−69.344
Z4=R4=50∡0Z5=R5+ jw L2=68.967∡43.532
Leyes de Kirchhoff
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5A B C D
I 1
I 2
I 3
I 4
I 5
Hallando I 1, I 2, I 3, I 4 , I 5, V A , V B, V C , V D ,V AB , V BC y V CD con ley de Kirchhoff de corriente (análisis por nodos).
En el Nodo A:
V A=120,003∡0
En el Nodo D:
V D=(120,003∡−120 ° )
EN EL NODO B:
(V B−V 1 )Z1
+V B
Z2+(V B−V C)
Z3=0
Agrupando se tiene la ecuación del Nodo B:
V B( 1Z1+ 1Z2 + 1Z3 )+V C(−1Z3 )=V 1
Z1(1)
EN EL NODO C:
(V C−V 2 )Z5
+V C
Z4+
(V C−V B )Z3
=0
Agrupando se tiene la ecuación del Nodo C:
V B(−1Z3 )+V C( 1Z3+ 1Z4+ 1Z5 )=V 2
Z5(2)
Resolviendo el sistema de las ecuaciones generado por (1) y (2) tenemos los siguientes voltajes:
V A=120.003∡0[V ] V B=58,558∡−43.8625[V ]
V C=40.198∡−160.457 [V ] V D=120,003∡−120[V ]
Donde:
V AB=V A−V B=87,730∡27,550 [V ]
V BC=V B−V C=84,572∡−18,710[V ]
V CD=V D−V C=93,143∡−103,738[V ]
Sabiendo que la corriente es igual a la caída de potencial en el elemento sobre la impedancia del elemento obtenemos las siguientes corrientes
I 1=V A−V B
Z1=87,730∡27,55068.967∡ 43.532
=1.272∡−15,982[A ]
I 2=V B
Z2=58,558∡−43.863
50∡ 0=1,171∡−43,863 [A ]
I 3=V B−V C
Z3= 84,572∡−18,711141.738∡−69.344
=0,597∡50,633 [A ]
I 4=V C
Z4=40.198∡−160.457
50∡0=0.804∡−160.457 [A]
I 5=V D−V C
Z5=93,143∡−103,73868.967∡ 43.532
=1.351∡−147,270[A ]
Tabla 1. Cálculos teóricos
Variable C. CompletoKirchhoff
I 1(A rms) 1.272∡−15,982I 2(A rms) 1,171∡−43,863I 3(A rms) 0,597∡50,633I 4(Arms) 0.804∡−160.457I 5(A rms) 1.351∡−147,270V A (V rms) 120.003∡0V B(V rms) 58,558∡−43.863V C(V rms) 40.198∡−160.457V D(V rms) 120,003∡−120V AB(V rms) 87,730∡27,550V BC(V rms) 84,572∡−18,710V CD (V rms) 93,143∡−103,738
V1
120.003 Vrms 377 Hz 0°
R1
50Ω
R250Ω
R3
50Ω
R5
50Ω
L1
126mH
C1
20µF
L2
126mH
V2
120.003 Vrms 377 Hz -120°
Teorema de Thévenin y Norton
En corriente continua el teorema establecía que si se tiene un circuito con una parte fija y otra variable, la parte fija se puede simplificar en una fuente de voltaje en serie con una resistencia equivalente, en Thévenin o una fuente de corriente en paralelo con la resistencia, en Norton. Para la corriente alterna el proceso para obtener estos circuitos equivalentes es análogo, lo que cambia ahora es que se trabaja en el dominio de la frecuencia y en lugar de resistencia se usan impedancias.
Teorema de Thévenin
Para el cálculo del voltaje Thévenin en el elemento Z4(impedancias de carga), se retira la resistencia de carga, de la figura 2, y se calcula el voltaje en circuito abierto.
Aplicando el método de mallas en el circuito anterior se tiene:
V th=I 2Z5+V 2 (3)
ECUACIÓN DE LA MALLA 1:
−V 1+ I 1Z1+Z2 ( I 1−I 2 )=0
I 1(Z¿¿1+Z2)+ I 2 (−Z2 )=V 1 ¿ (4)
ECUACIÓN DE LA MALLA 2:
V 2+ I 2(Z3+Z5)+Z2 ( I 2−I1 )=0
I 1 (−Z2 )+ I2 (Z3+Z5+Z2 )=−V 2 (5)
Al resolver el sistema de ecuaciones generado por (4) y (5) se tiene:
I 1=1,30059∡−8,64771 [A ] I 2=0,904061∡66,718[ A]
Entonces el voltaje Thévenin queda:
+
V th
-
Z1 Z3 Z5
Z2
A B C D
I 1I 2
V1
120.003 Vrms 377 Hz 0°
R1
50Ω
R250Ω
R3
50Ω
R5
50Ω
L1
126mH
C1
20µF
L2
126mH
V2
120.003 Vrms 377 Hz -120°
V th=(0,904061∡66,718 ) (68.967∡43.532 )+120∡−120=93,378∡−150.889[V ]
Como el circuito hay componentes que almacenan energía, la impedancia Thévenin experimentalmente no se puede estimar directamente con el instrumento de medición es por ello que se puede a emplear la relación matemática que relaciona el voltaje Thévenin y la corriente Norton para hallar la Z th, como también se puede emplear una fuente expiatoria para hallar el valor de dicha la resistencia.
Resistencia Thévenin a partir corriente Norton:
Para el cálculo de la corriente Norton, la impedancia Z4es retirada y sustituida por un corto quedando un circuito con tres mallas:
Donde IN=I 2−I3
ECUACIÓN DE LA MALLA 1:
−V 1+ I 1Z1+Z2 ( I 1−I 2 )=0
I 1 (Z1+Z2 )+ I 2(−Z2)=V 1 (6)
ECUACIÓN DE LA MALLA 2:
Z2 ( I 2−I 1)+Z3 ( I2 )=0
I 1 (−Z2 )+ I2 (Z2+Z3 )=0 (7)
ECUACIÓN DE LA MALLA 3:
Z5 ( I 3 )+V 2=0
I 3 (Z5 )=−V 2 (8)
Z1 Z3 Z5
Z2
A B C D
I 1
IN
I 2 I 3
V1
93.378 Vrms 377 Hz -150.886°
R1
64.545Ω
R250Ω
L1
51.228mH
Al remplazar las variables por sus respectivos valores en (6), (7), (8) se crea un sistema de ecuaciones con tres incógnitas I 1, I 2e I 3, al resolverlo se tiene:
I 1=1,229∡−21,315 [ A ] I 2=0,370054∡31,6686 [ A ] I 3=1,74001∡16,468 [ A ]
Entonces la corriente Norton queda:
IN=(0,370054∡31,6686 )−(1,74001∡16,468 )=1,386∡−167,545[A ]
Finalmente, la impedancia Thévenin queda:
Z th=V th
IN=93,378∡−150.8891,386∡−167,545
=67,372∡16,656[Ω ]
La impedancia Thévenin es una resistencia en serie con una inductancia
Z th=64,545+19,313 j=R+LWJ
El circuito equivalente quedara:
A partir del circuito equivalente y empleando divisor de voltaje se tiene:
I z 4=I 4=V Th
Z th+Z4=0,804∡−16 0,458[A ]
V Z 4=V C=I z4∗Z 4=40 ,200∡−160 ,458 [V ]
Estos resultados hallados por teorema Thévenin son equivalentes a los registrados en la tabla 1, calculados con el circuito completo. La pequeña variación que se presenta entre ellos es por el uso de los decimales en el cálculo.
Tabla2. Cálculos teóricos
Variable Equivalente ThéveninZ4(Ω) 50∡0ZTh (Ω) 67,372∡16,656
V Th(V rms) 93,378∡−150.889I z 4(A rms) 0,804∡−160,458
67,372∡16,656
I z 4
+
V Z 4
-
Z4
V Th
9
V1
120.003 Vrms 377 Hz 0°
R1
50Ω
R250Ω
R3
50Ω
R5
50Ω
L1
126mH
C1
20µF
L2
126mH
V2
120.003 Vrms 377 Hz -120°
V Z 4(V rms) 40,200∡−160 ,458
Teorema de Norton
Para el cálculo de la corriente Norton a través del elemento Z2, se retira la resistencia de carga, de la figura 2 y se remplaza por un corto.
Quedando un circuito con tres mallas:
Aplicando el análisis por mallas se tiene:
IN=I 1−I2
ECUACIÓN DE LA MALLA 1:
−V 1+Z1 I1=0
Z1 I 1=V 1 (9)
ECUACIÓN DE LA MALLA 2:
Z3 I 2+Z4 ( I 2−I 3 )=0
I 2 (Z3+Z4 )+ I 3 (−Z4 )=0 (10)
ECUACIÓN DE LA MALLA 3:
Z4 ( I 3−I 2 )+ I 3Z5+V 2=0
I 2 (−Z4 )+ I 3 (Z4+Z5 )=−V 2 (11)
Al resolver el sistema generado por las ecuación (9), (10) y (11) se tiene:
I 1=1,740∡−43,532[A ] I 2=0,370∡91,669[ A] I 3=1,229∡38,695[A ]
Z1 Z3 Z5
Z4
A B C D
I 1IN
I 2 I 3
V1
120.003 Vrms 377 Hz 0°
R1
50Ω
R250Ω
R3
50Ω
R5
50Ω
L1
126mH
C1
20µF
L2
126mH
V2
120.003 Vrms 377 Hz -120°
Donde: IN=I 1−I2=1,740∡−43,532−0,370∡91,669=2,0194∡−50,9496 [A ]
Ahora, para hallar la impedancia Norton, se retira la resistencia de carga y se calcula el voltaje en circuito abierto en estos terminales:
Aplicando el análisis por mallas se tiene:
V Th+Z1 I 1−V 1=0
V Th=V 1−Z1 I1
ECUACIÓN DE LA MALLA 1:
I 1 (Z1+Z3+Z 4 )+ I 2 (−Z4 )=V 1 (12)
ECUACIÓN DE LA MALLA 2:
I 1 (−Z4 )+ I 2 (Z4+Z5 )=−V 2 (13)
AL resolver el sistema generado por la ecuación (12) y (13) se tiene:
I 1=1,1167∡ 40,7889[A ] I 2=1,56904∡28,5197 [A]
Así, el voltaje Thévenin entre los terminales queda:
V Th=120.003∡ 0−(68.967∡ 43.532 ) (1,1167∡40,7889 )=136,026∡−34,292[V ]
Ahora, usando la relación matemática de voltaje Thévenin con corriente Norton se tiene:
Z1 Z3 Z5
Z4
A B C D
I 1+
V Th
-
I 2
Z th=V th
IN=136,026∡−34,2922,0194∡−50,9496
=67,3579∡16,658 [Ω]
La impedancia Thévenin es una resistencia en serie con una inductancia
Z th=64,5311+19,3087 j=R+LWJ=64,5311+(51,217mH )377∗J
El circuito equivalente quedara:
L151.217mH
R164.5311Ω
R250Ω
I1
2.0194 A 377 Hz -50.9496°
A partir del circuito equivalente y empleando divisor de corriente se tiene:
I z2 ¿ I2=I NZTh
Z th+Z2=1,171∡−43,861[ A]
V Z 2=V B=I NZTh∗Z2Z th+Z2
=58,558∡−43.861[V ]
Estos resultados hallados por teorema Norton son equivalentes a los registrados en la tabla 1, calculados con el circuito completo. La pequeña variación que se presenta entre ellos es por el uso de los decimales en el cálculo.
Tabla3. Cálculos teóricos
Variable Equivalente ThéveninZ2(Ω) 50∡0ZTh (Ω) 67,358∡16,658
IN (A rms) 2,0194∡−50,9496I z2(Arms) 1,171∡−43,861V Z 2(V rms) 58,558∡−43.861
67,3579∡16,658Z2 +
V Z2
-
I z2
V1
120.003 Vrms 377 Hz 0°
R1
50Ω
R250Ω
R3
50Ω
R550Ω
L1
126mH
C1
20µF
L2126mH
R4
50Ω
Principio de Superposición
Este principio se cumple de igual manera para circuitos con fuentes en alterna como para circuitos con fuentes de excitación directa. Lo que se quiere es encontrar por medio del principio de superposición el voltaje en el tramo BC y la corriente que circula por la impedancia Z2.
Para calcular el aporte de la fuente V 1 en el circuito de la figura 2, anulamos la fuente V 2 remplazándola por un corto circuito:
Empleando el análisis por nodos se tiene:
Ecuación nodo B':
V B'−V 1
Z1+V B
'
Z2+V B
'−V C'
Z3=0
V B'( 1Z1+ 1Z2+ 1Z3 )+V C
'(−1Z3 )=V 1
Z1 (14)
Ecuación nodo C ':
V B'(−1Z3 )+V C
' ( 1Z3 + 1Z4 + 1Z5 )=0(15)
Resolviendo el sistema de ecuaciones generado por (14) y (15), con los valores de las impedancias y voltaje V 1 conocidos, se tiene:
V B'=50,4544∡−36,444[V ] V C
'=10,7303∡38,7467[V ]
Ahora el voltaje en el tramo (BC )' seria:
V BC'=V B
'−V C'=(50,4544∡−36,444 )−(10,7303∡38,7467 )=48,8265∡−48,7108 [V ]
Z1
Z2
Z3
Z4 Z5
A' B'C '
I 3'I 1
'
I 2'
I 4'
I 5'
R150Ω
R250Ω
R3
50Ω
R5
50Ω
L1126mH
C1
20µF
L2
126mH
V2
120.003 Vrms 377 Hz -120°
R4
50Ω
La corriente que circula por la impedancia Z2seria:
I 2'=V B
'
Z2=1,00909∡−36,444 [A]
Para calcular el aporte de la fuente V 2 en el circuito de la figura 2, se anula la fuente V 1 remplazándola por un corto circuito:
Empleando el análisis por nodos se tiene:
Ecuación nodo B' ':
V B' ' ( 1Z1+ 1Z2+ 1Z3 )+V C
' ' (−1Z3 )=0(16)Ecuación nodo C ' ':
V B' ' (−1Z3 )+V C
' '( 1Z3+ 1Z4 + 1Z5 )=V 2
Z5(17)
Resolviendo el sistema generado por (16) y (17) con los valores de las impedancias y voltaje V 2 conocidos, se tiene:
V B' '=10,7303∡−81,2433[V ] V C
' '=50,4544∡−156,444[V ]
Ahora el voltaje en el tramo (BC)' ' seria:
V BC' '=V B
' '−V C' '=48,8283∡11 ,2891[V ]
La corriente en que circula por la impedancia Z2seria:
I 2' '=
V B' '
Z2=0,214606∡−81,2433[A ]
B' ' C ' '
D' '
Z1 Z2
Z3
Z4
Z5
I 1' '
I 2' '
I 3' '
I 4' '
I 5' '
Aporte de V 1 yV 2 a partir de las respuestas individuales:
V BC=V BC'+V BC
' '=8,572∡−18,710[ A]
I 2=I 2'+ I 2
' '=1,171∡−43,862[A ]
Estos resultados hallados por superposición son equivalentes a los registrados en la tabla 1, calculados con el circuito completo. La pequeña variación que se presenta entre ellos es por el uso de los decimales en el cálculo.
Tabla3. Cálculos teóricos
Variable SuperposiciónEfecto V 1 Efecto V 2 ∑ efectoV 1 ,V 2
V BC(V rms) 48,8265∡−48,7108¿ 48,8283∡11 ,2891 8,572∡−18,710¿I 2(A rms) 1,00909∡−36,444 0,214606∡−81,2433 1,171∡−43,862
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Los voltajes y las corrientes a medir en el laboratorio serán en valores eficaces. Por lo que todo el análisis experimental estará sujeto a valores rms.
Teorema Kirchhoff
Se monta el circuito de la figura 1, con los mejores valores posibles a los teóricos. Para este circuito completo se debe medir con ayuda, de un multímetro y un cosenofimetro, las respuestas de voltaje y de corriente en cada impedancia; solo se medieran el ángulo a los fasores de corrientes, debido a que el instrumento solo mide el ángulo de fase para corrientes a partir de una señal de voltaje AC de referencia.
Se espera que las leyes de Kirchhoff se cumplan para circuitos en AC. En el circuito de la práctica a partir de las mediciones con los instrumentos se debe cumplir que la suma de los voltajes en una trayectoria cerrada debe ser igual a cero y además la suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a cero.
Teorema Thévenin
Se retira la resistencia de carga y se mide la diferencia de potencial entre los terminales desconectados. Luego, se remplaza por un corto la resistencia de carga y se mide la corriente que circula por estos terminales, por lo que, la impedancia Thévenin correspondería con el cociente del voltaje Thévenin y la corriente Norton. Finalmente, se montaría el circuito equivalente Thévenin y se mediría la tensión y la corriente en la impedancia de carga.
Teorema Norton
Se realiza el mismo método del Thévenin, pero para una impedancia de carga diferente, Z2, en esta ocasión el circuito equivalente seria un Norton, en el cual se le mide para la resistencia de carga su corriente y voltaje.
La impedancia Thévenin se puede medir también en el laboratorio haciendo uso de una fuente expiatoria. Ubicándola entre los terminales de la resistencia de carga y anulando las fuentes de voltaje. La Resistencia Thévenin correspondería con el cociente entre la fuente expiatoria de voltaje y corriente que circula por ella, medida con los instrumentos. La fuente expiatoria podría ser algunas de las fuentes de alimentación del circuito original, V 1oV 2.
Se espera que el teorema de Thévenin y Norton se cumplan para circuitos en AC. En la práctica al montar el circuito equivalente Thévenin o Norton los valores de corriente y voltaje en la resistencia de carga deben corresponder con los datos registrados de las mediciones del circuito completo.
Teorema de superposición
Para la contribución de la fuente V 1 se retira la fuente V 2 y se unen sus terminales (se cambia por un corto). Con los instrumentos de medición se registra el valor de voltaje entre los tramos BC, también se mide la corriente en la resistencia R2.
Para la contribución de la fuente V 2 se retira la fuente V 1 y se unen sus terminales (se cambia por un corto). Con los instrumentos de medición se registra el valor de voltaje entre los tramos BC, también se mide la corriente en la resistencia R2.
Se espera que el teorema de superposición se cumpla para circuitos en AC. En la práctica al sumar las respuestas individuales, de voltaje en el tramo BC y de corrientes en la resistencia 2 obtenidas por cada contribución, deben corresponder a lo medido en el circuito completo.
REFERENCIAS
Circuitos eléctricos 1, Jairo palomino
Guía de laboratorio circuitos eléctricos 1
Análisis de Circuitos: Teoría Y Práctica, Escrito por Allan Robins,Wilhelm Miller,Dan Oja, paginas 573- 579
