12/Noviembre/2010

Instituto Tecnolgico de Morelia Jos Mara Morelos y Pavn

Equipo:

09120782 Ramos Albarrn Fernando 08121065 Fuentes Martnez Bonifacio Ivn 09120762 Estrada Caldern Jos Antonio 08121071 Ziga Salinas DavidAsesor: M. C. J. Luis Lemus D.

Circuitos Elctricos 1

[PRCTICA #5: TEOREMAS NORTON]

DE THVENIN Y

Divisin de Estudios Profesionales: Ingeniera Elctrica

OBJETIVO: Comprobar mediante el anlisis, prctica y simulacin por computadora, los Teoremas de Thvenin y Norton. E identificar que su equivalente es un circuito sencillo, que en ocasiones nos ayuda a determinar los parametros de un elemento dentro un sistema complejo. INTRODUCCIN: Teorema de Thvenin El teorema de Thvenin establece que si una parte de un circuito elctrico est comprendida entre dos terminales a y b, esta parte en cuestin puede sustituirse por un circuito equivalente que est constituido nicamente por una fuente de voltaje en serie con una resistencia, de forma que al conectar un elemento entre las dos terminales A y B, la tensin en l y la intensidad que lo atraviesa son las mismas tanto en el circuito real como en el equivalente de Thvenin, comnmente a esta parte se le llama carga. Para calcular la resistencia de Thvenin se debe desconectar la carga, as las terminales a y b quedan en circuito abierto de modo que la resistencia de Thvenin ser la resistencia de entrada en las terminales a y b. Para ello se debern de desactivar las fuentes de tensin o corriente. Si la red contiene solo fuentes tensin o corrientes independientes se apagaran teniendo en cuenta que para desconectar una fuente de tensin se pone en corto circuito y a la fuente de corriente en circuito abierto. Si el circuito tiene fuentes dependientes estn se dejaran intactas ya que contienen la variable de control del circuito y se deber excitar con una fuente de tensin de 1V o una fuente de corriente de 1A en las terminales a y b. La resistencia quedar expresada por medio de la Ley de Ohm como voltaje sobre corriente, por ejemplo si se excita con una fuente de voltaje 1V, se tendr que encontrar la corriente

El voltaje de Thvenin es el voltaje entre las terminales a y b, cuando se desconecta la carga, y el circuito se deja intacto, se analiza el circuito mediante cualquier mtodo de anlisis de circuitos, para hallar el voltaje de los nodos.

Ya que tenemos el Circuito Equivalente de Thvenin, podemos calcular parmetros como voltaje, corriente, potencia, entre otros, en la resistencia de carga

Teorema de Norton El teorema de Norton establece que una parte del circuito conectado a dos terminales a y b, se puede remplazar por el equivalente de Norton el cual consta de una fuente de corriente conectada en paralelo con una resistencia. Para calcular la corriente de Norton, se debe calcular la corriente a travs de las terminales a y b en corto circuito. La resistencia de Norton es igual a la de Thvenin por lo que se procede de la misma manera. Conexiones especiales Un tipo de conexin especial, corresponde a la conexin delta y estrella. Para reducir circuitos a veces es necesario hacer transformaciones delta estrella o viceversa. Para transformar de delta a estrella de puede usar la formula siguiente:

La frmula puede interpretarse como el producto de las resistencias adyacentes a la resistencia en cuestin dividida entre la suma de todas las resistencias que conforman a la delta. Para transformar de estrella a delta se puede usar las siguientes formulas:

Y se interpreta como la suma del producto de todas contra todas, entre la opuesta. Para obtener los equivalentes de Norton y Thvenin, el circuito se puede analizar por el anlisis de mallas, anlisis de nodos, transformacin de fuentes, etc. Estos teoremas de circuitos elctricos son aquellas tcnicas derivadas de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm que permiten resolver de una manera ms simple cierto tipo de circuitos. Algunos con aplicaciones ms particulares que otros, facilitan el estudio de los circuitos elctricos. Pendiente e Inclinacin Una ecuacin lineal describe una lnea recta (L), cuya inclinacin es el menor de los ngulos que dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide desde el eje x positivo a la recta L, en sentido antihorario, si L fuera paralela al eje x, su inclinacin sera cero. La pendiente de una recta es la tangente del ngulo de inclinacin. En estas condiciones , siendo el ngulo de inclinacin. La pendiente de la recta que ) y ( ) pasa por dos puntos ( es: Pendiente:

Inclinacin: ( ) ( )

DESARROLLO:Se dise un circuito elctrico, el cual contiene fuentes de voltaje y resistencias conectadas entre s. Se analiz tericamente por medio del mtodo de anlisis de mallas, los equivalentes de Thvenin y Norton, para obtener el valor de la corriente y el voltaje , despus se analiz el circuito en el programa PSpice para determinar los valores simulados y compararlos posteriormente con los obtenidos en el laboratorio. Por ltimo se evaluaron los respectivos porcentajes de error. Material a) b) c) d) e) f) g) h) 1 Tablilla de conexin. 2 Fuentes de voltaje de C.D. 3 Resistores de 100 , 2 resistores de 150 3 Multmetros digitales 10 Cables telefnicos Conectores banana banana Conectores banana telefnico 1 Adaptador

y 1 resistor de 820

Anlisis Terico Anlisis por el Mtodo de Mallas

Aplicando LVK obtenemos las ecuaciones de malla: Malla :

Ec.(1)

Malla

:

Ec.(2) Malla :

Ec.(2) Expresamos ahora estas ecuaciones en forma matricial: ( )( ) ( )

Por medio de la Regla de Cramer, primeramente calculamos el determinante de la matriz principal ( ). | [( [( ( )( )( ) ) ) ( ( )( ( )( )] ) ( ) )] [ ( | )( ) ( )( )]

Sustituimos el vector de constantes en la columna 1 de la matriz principal, y calculamos el determinante . | [( ( | )( ) ) ( [ ( ( )( )( ) ) )] ( )( )]

Calculamos el determinante y el determinante , sustituyendo el vector de constantes en la columna 2 y 3 de la matriz principal respectivamente. | |

[( (

)( )

)

( (

)(

)] )

[(

)(

)

(

)(

)]

| [( )( ) ( ( )( ) )] ( [ ( )

| )( ) ( )( )]

Obtenemos entonces, las corrientes de malla: va en sentido opuesto

La corriente de malla es la misma corriente que pasa por la resistencia mismo sentido, entonces:

, por que va en el

El voltaje

se obtiene aplicando la Ley de Ohm a la resistencia ( )( )

Anlisis por el Equivalente de Thvenin Resistencia de Thvenin y Resistencia de Norton :

La resistencia de Thvenin es igual a la resistencia de Norton , por tal motivo calcularemos solo la resistencia de Thvenin , le damos un valor de 0V a las fuentes de voltaje y estas se comportaran como un cortocircuito. Despus separamos el circuito de carga; es decir, desconectamos de los nodos a y b. Nuestro circuito se interpreta de la siguiente forma, en el que solo habr que calcular la resistencia equivalente entre las terminales a y b.

Las resistencias se encuentran conectadas en estrella, para eso hacemos una tranformacin a delta donde obtendremos .

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

Se reduce el circuito de la siguiente forma

( ( ( )( )

)( ( )

) )

( ( )

)( (

) ) quedan en serie,

Las resistencias y por lo tanto se suman.

Esta resistencia

queda en paralelo con la resistencia ( ( ) )( ( ) ) , e igual a la resistencia de Norton.

La resistencia de Thvenin es la resistencia equivalente

Voltaje de Thvenin

:

Para calcular el voltaje de Thvenin , desconectamos la resistencia de carga de los nodos a y b, dejamos intactas las fuentes de voltaje y calculamos el voltaje entre las terminales a y b, este voltaje ser el voltaje de Thvenin. Para encontrar el voltaje en dichos nodos, primeramente analizamos por mallas el circuito.

Malla

:

Ec.(1) Malla :

Ec.(2) Despejamos en la ecuacin 1:

Sustituyendo

en la ecuacin 2, obtenemos el valor de : ( ( ) )

Y susutituyendo el valor de

en cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos el valor de ( )

Como la corriente es negativa, en realidad va en sentido contrario, por lo que la corriente positiva y corresponde a la corriente de malla

es

Aplicando Ley de Ohm en el resistor (

encontramos el voltaje )( )

.

Como el resistor est conectado a la referencia, el voltaje corresponde al voltaje del nodo C. Ahora aplicamos Ley de Ohm en el resistor para obtener el voltaje . ( )( )

Para encontrar el voltaje en el nodo a, tenemos esta ecuacin.

La diferencia de potencial entre el nodo a y b, nos da como resultado el voltaje de Thvenin, el potencial del nodo b es cero, por lo tanto el voltaje del nodo a, es el voltaje de Thvenin

Con el equivalente de Thvenin podemos calcular la corriente y el voltaje de la resistencia de carga. Aplicamos el divisor de voltajes para calcular el voltaje ( Con Ley de Ohm, calculamos la corriente )

Anlisis por el Equivalente de Norton Corriente de Norton :

Para calcular la coriente de Norton , desconectamos la resistencia de carga de los nodos a y b, dejamos intactas las fuentes de voltaje y calculamos la corriente de cortocitcuito entre las terminales a y b, esta corriente ser la corriente de Norton. Para encontrarla analizamos por mallas el circuito.

Malla

:

Ec.(1) Malla : Ec.(2) Malla : Ec.(3) El sistema queda expresado en forma matricial de la siguiente forma: ( )( ) ( )

Con Regla de Cramer, obtenemos el determinante de la matriz principal ( ). | [ ( )( ( ) ( ) | )( )] ( [( [( ) )( )( ( ) ( ) ( ) )( )( )] )]

La nica corriente que nos interesa es , ya que esta corriente es la de cortocircuito, o sea, la corriente de Norton, por lo tanto, sustituimos la tercera columna de la matriz principal por el vector de las constantes, y realizamos el determinante . | [ ( ( Calculamos la corriente de Norton ) | )( ( [( ) ( )( )( ) ) )] ( )( )]

Con el equivalente de Norton podemos calcular la corriente y el voltaje de la resistencia de carga. Aplicamos el divisor de corrientes para calcular el voltaje ( Con Ley de Ohm, calculamos voltaje ( Valores obtenidos: )( ) )

Anlisis Prctico: Para obtener el voltaje de la resistencia de carga, se conecto un voltmetro en paralelo con dicha resistencia, para obtener la corriente de la resistencia de carga se le conect un ampermetro en serie a sta. Posteriormente se desconect la resistencia de carga, y se midi la diferencia de potencial entre los nodos donde se encontraba sta, conectando un voltmetro en dichos nodos, de igual forma se midio la corriente . Por ltimo se cortocircuitaron las fuentes de voltaje (independientes) y se midi con un ohmetro la resistencia entre los nodos donde se encotraba la resistencia de carga. Los datos obtenidos fueron los siguientes:

Anlisis por PSpice Parmetros Voltaje y Corrriente de

**** 11/12/10 02:57:46 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\Schematic1 - Copy.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 02:57:46 2010 ** Analysis setup ** .OP .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "Schematic1 - Copy.net" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.net" **** * Schematics Netlist * R_R1 N2 N1 813 V_V3 N1 N3 5V R_R4 N4 N3 98.8 V_V1 N5 N2 15V R_R2 N5 N4 150.3 R_RL N7 N3 101.3 R_R3 N6 0 100.5 V_V2 N5 N6 15V R_R5 0 N4 150.5 v_V4 N7 0 0

**** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .INC "Schematic1 - Copy.als" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R_R1 R1(1=N2 2=N1 ) V_V3 V3(+=N1 -=N3 ) R_R4 R4(1=N4 2=N3 ) V_V1 V1(+=N5 -=N2 ) R_R2 R2(1=N5 2=N4 ) _ _ _ _ _(N1=N1) _(N2=N2) _(N3=N3) _(N4=N4)

R_RL R_R3 V_V2 R_R5 v_V4

RL(1=N7 2=N3 ) R3(1=N6 2=0 ) V2(+=N5 -=N6 ) R5(1=0 2=N4 ) V4(+=N7 -=0 )

_ _(N5=N5) _ _(N7=N7) _ _(N6=N6)

.ENDALIASES **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .probe .END **** 11/12/10 02:57:46 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\Schematic1 - Copy.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 6.2771 ( N2) -3.7667 ( N3) 1.2771 ( N4) 3.7433 ( N5) 11.2330 ( N6) -3.7667 ( N7) 0.0000 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V3 -1.235E-02 V_V1 -1.235E-02 TOTAL POWER DISSIPATION 8.09E-01 WATTS **** 11/12/10 02:57:46 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\Schematic1 - Copy.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .05

V_V2 v_V4

-3.748E-02 1.261E-02

Resistencia de Thvenin

**** 11/12/10 00:28:11 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 00:28:04 2010 ** Analysis setup ** .DC LIN I_Ip 0 1 0.1 .STMLIB "Schematic1 - Copy.stl" * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "Schematic1 - Copy.net" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.net" **** * Schematics Netlist * R_R2 N2 N1 150 R_R1 N4 N3 820 R_R4 N1 N5 100 V_V3 N3 N5 5V V_V1 N2 N4 15V V_V2 N2 N6 15V R_R3 N6 0 100 R_R5 0 N1 150 I_Ip 0 N5 **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .INC "Schematic1 - Copy.als" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R2(1=N2 2=N1 ) R_R1 R1(1=N4 2=N3 ) R4(1=N1 2=N5 ) V_V3 V3(+=N3 -=N5 ) V1(+=N2 -=N4 ) V_V2 V2(+=N2 -=N6 ) R3(1=N6 2=0 ) R_R5 R5(1=0 2=N1 ) Ip(+=0 -=N5 )

R_R2 R_R4 V_V1 R_R3 IIp

_ _(N1=N1) _ _(N3=N3) _ _(N5=N5) .ENDALIASES **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .probe .END JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .03200V

_ _(N2=N2) _ _(N4=N4) _ _(N6=N6)

(500.000m,88.243) 100V (300.000m,54.310)

0V 0A V(Ip:-) I_Ip 0.1A 0.2A 0.3A 0.4A 0.5A 0.6A 0.7A 0.8A 0.9A 1.0A

Corriente de Norton

**** 11/12/10 03:39:50 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\002.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 03:39:49 2010 ** Analysis setup ** .OP .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "002.net" **** INCLUDING 002.net **** * Schematics Netlist * V_V1 N5 N2 15V R_R1 N2 N1 813 V_V3 N1 N3 5V R_R4 N4 N3 98.8 R_R5 0 N4 150.5 V_V2 N5 N6 15V R_R3 N6 0 100.5 R_R2 N5 N4 150.3 v_V5 N3 0 0 **** RESUMING 002.cir **** .INC "002.als" **** INCLUDING 002.als **** * Schematics Aliases * .ALIASES R_R1 R1(1=N2 2=N1 ) R_R4 R4(1=N4 2=N3 ) V_V2 V2(+=N5 -=N6 ) R_R2 R2(1=N5 2=N4 ) _ _(N3=N3) _ _(N4=N4) _ _(N6=N6)

V_V1 V1(+=N5 -=N2 ) V_V3 V3(+=N1 -=N3 ) R_R5 R5(1=0 2=N4 ) R_R3 R3(1=N6 2=0 ) v_V5 V5(+=N3 -=0 ) _ _(N5=N5) _ _(N2=N2) _ _(N1=N1) .ENDALIASES **** RESUMING 002.cir **** .probe .END

**** 11/12/10 03:39:50 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\002.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 5.0000 ( N2) -4.0956 ( N3) 0.0000 ( N4) 3.0979 ( N5) 10.9040 ( N6) -4.0956

VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V1 -1.119E-02 V_V3 -1.119E-02 V_V2 -4.075E-02 v_V5 2.017E-02 TOTAL POWER DISSIPATION 8.35E-01 WATTS **** 11/12/10 03:39:50 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 5\002.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .02 Voltaje de Thvenin

**** 11/12/10 02:59:14 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION ****************************************************************************** * Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Fri Nov 12 02:59:13 2010 ** Analysis setup ** .OP .STMLIB "Schematic1 - Copy.stl" * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib"

.INC "Schematic1 - Copy.net" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.net" **** * Schematics Netlist * N2 N1 150 R_R1 N4 N3 820 N1 $N_0001 100 V_V3 N3 $N_0001 5V N2 N4 15V V_V2 N2 N6 15V N6 0 100 R_R5 0 N1 150

R_R2 R_R4 V_V1 R_R3

**** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .INC "Schematic1 - Copy.als" **** INCLUDING "Schematic1 - Copy.als" **** * Schematics Aliases * .ALIASES R_R2 R2(1=N2 2=N1 ) R_R4 R4(1=N1 2=$N_0001 ) V_V1 V1(+=N2 -=N4 ) R_R3 R3(1=N6 2=0 ) _ _(N1=N1) _ _(N3=N3) _ _(N6=N6) R_R1 R1(1=N4 2=N3 ) V_V3 V3(+=N3 -=$N_0001 ) V_V2 V2(+=N2 -=N6 ) R_R5 R5(1=0 2=N1 ) _ _(N2=N2) _ _(N4=N4)

.ENDALIASES **** RESUMING "Schematic1 - Copy.cir" **** .probe .END **** 11/12/10 02:59:14 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) 4.8274 ( N2) 11.7820 ( N3) 8.4094 ( N4) -3.2182 ( N6) -3.2182 ($N_0001) 3.4094 VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V3 -1.418E-02 V_V2 -3.218E-02 TOTAL POWER DISSIPATION 7.66E-01 WATTS **** 11/12/10 02:59:14 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\TOITO\Documents\INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA\Schematic1 - Copy.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME .03

V_V1

-1.418E-02

CONCLUSIONES Y COMENTARIOS: Error absoluto: Es la diferencia entre el valor experimental y el valor exacto. Puede ser positivo o negativo, segn si la medida es superior al valor experimental o inferior (la resta sale positiva o negativa). Las unidades del error absoluto son del mismo orden que los valores que intervienen en su clculo.

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Pude ser positivo o negativo, esto lo determina el signo del error absoluto. No tiene unidades. ( Porcentajes de error PSpice Prcticos. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos con PSpice, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentables corresponden a los valores obtenidos mediante la medicin (Prcticos). VALOR EXPERIMENTAL VALOR EXACTO )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Porcentajes de error Anlisis Terico Prcticos. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el anlisis terico, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentables corresponden a los valores obtenidos mediante la medicin. VALOR EXPERIMENTAL VALOR EXACTO

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Porcentajes de error anlisis terico - PSpice. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el anlisis terico, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentables corresponden a los valores obtenidos mediante el anlisis de PSpice. VALOR EXPERIMENTAL VALOR EXACTO

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1) Los teoremas de Thvenin y Norton son una herramienta muy til en el anlisis de circuitos, ya que cuando se requieren conocer los parmetros de un elemento dentro de un sistema complejo, se pueden obtener sus equivalentes para facilitar el anlisis. 2) El ngulo indicado de la recta obtenida por el anlisis en PSpice, en realidad es un ngulo muy pequeo, solo que en las grfica mostrada se observa un ngulo mayor debido a que la escala de corriente es diferente a la de voltaje, se tuvo que ampliar o darle un

zoom para observar mejor los datos, el ngulo correspondera con el de la grfica, si la escala fuera la misma en ambos ejes. 3) Algunos errores son negativos por que el valor exacto es mayor que el valor experimental, y algunos valores son casi nulos ya que el valor exacto y el valor experimental son aproximadamente iguales.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:I. II. III. Manual de Prcticas de Laboratorio de Circuitos Elctricos I; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniera Elctrica I.T.M. Circuitos Elctricos de CD; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniera Elctrica I.T.M. Fundamentos De Circuitos Elctricos; Charles K. Alexander & Matthew N. O. Sadiku; 3ra. Edicin; McGraw Hill