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DALLA FRAZIONE AL NUMERO, 2Il quoziente è un numero periodico semplice, 2 – Il quoziente è un numero periodico misto, 3
DAL NUMERO ALLA FRAZIONE, 4Dai numeri decimali alle frazioni generatrici, 4
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI, 6
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA, 8
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI, 9Espressioni con i numeri razionali assoluti, 9
Il cammino della matematica: La nascita dei numeri decimali, 12SINTESI, 13AllenaMENTE, 43MATEMATICA CON IL PC: I numeri razionali assoluti, 44
8.5
8.4
8.3
8.2
8.1
Unità 8 I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI, 1
INDICE
ESERCIZI da p. 15
ESERCIZI da p. 20
ESERCIZI da p. 22
ESERCIZI da p. 23
ESERCIZI da p. 25
per la VERIFICA orale, 11per PREPARARSI all’esame, 11CALCOLO MENTALE, 33
AUTOVERIFICA, 34ESERCIZI per il recupero, 35ESERCIZI per il potenziamento, 40
Il libroproseguenel CD
ESTRAZIONE DI RADICE, 46
RADICE QUADRATA, 47Radici quadrate di quadrati perfetti, 47 – Radici quadrate approssimate, 47
PROPRIETÀ DELLA RADICE QUADRATA, 49Quadrati perfetti, 47 – Prodotto di radici quadrate, 49 – Quoziente di radici quadrate, 49
ALGORITMO DI CALCOLO DELLA RADICE QUADRATA, 52Radice quadrata di un numero naturale, 52 – Radice quadrata di un numero decimale, 53 – Radici di frazioni, 54
TAVOLE DELLE RADICI, 56Come si usano le tavole numeriche, 56
ESPRESSIONI CON LE RADICI, 58Radici di espressioni, 58 – Espressioni con radici, 58
NUMERI IRRAZIONALI E REALI ASSOLUTI, 59
Il cammino della matematica: I numeri irrazionali, 61 SINTESI, 62AllenaMENTE, 89MATEMATICA CON IL PC: I numeri irrazionali e reali assoluti, 90
9.7
9.6
9.5
9.4
9.3
9.2
9.1
Unità 9 LA RADICE QUADRATA, 45
ESERCIZI da p. 63
ESERCIZI da p. 66
ESERCIZI da p. 68
ESERCIZI da p. 69
ESERCIZI da p. 73
ESERCIZI da p. 75
ESERCIZI da p. 81
per la VERIFICA orale, 60per PREPARARSI all’esame, 60CALCOLO MENTALE, 82
AUTOVERIFICA, 83ESERCIZI per il recupero, 84ESERCIZI per il potenziamento, 86
Il libroproseguenel CD
IndiceIV
RAPPORTI, 92Rapporto inverso, 92 – Proprietà fondamentale dei rapporti, 93
PROPORZIONI, 94Proporzioni continue, 95
PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI, 96Proprietà fondamentale, 96 – Proprietà del permutare, 97 – Proprietà dell’invertire, 98 – Proprietà del comporre, 98 – Proprietà dello scomporre, 99 – Proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti, 100 – Proprietà dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti, 100
RISOLUZIONE DELLE PROPORZIONI, 102Calcolo di un estremo o di un medio, 102 – Calcolo del medio proporzionale, 103 – Applicazione della proprietà del comporre, 103 – Applicazione della proprietà dello scomporre, 104 – Applicazione delle proprietà del permutare e dello scomporre, 104 – Applicazione delle proprietà del permutare e del comporre, 104
PROBLEMI, 105Calcolo di due numeri conoscendo la loro somma e il loro rapporto, 105 – Calcolo di due numeri conoscendo la loro differenza e il loro rapporto, 105
Il cammino della matematica: Alle origini del concetto di proporzionalità, 108SINTESI, 109AllenaMENTE, 149MATEMATICA CON IL PC: Rapporti e proporzioni, 150
10.5
10.4
10.3
10.2
10.1
Unità 10 RAPPORTI E PROPORZIONI, 91
ESERCIZI da p. 111
ESERCIZI da p. 118
ESERCIZI da p. 121
ESERCIZI da p. 126
ESERCIZI da p. 136
per la VERIFICA orale, 107per PREPARARSI all’esame, 107CALCOLO MENTALE, 139
AUTOVERIFICA, 140ESERCIZI per il recupero, 141ESERCIZI per il potenziamento, 145
LE GRANDEZZE, 154Rapporto tra grandezze non omogenee, 154 – Grandezze variabili e grandezze costanti, 155 – Grandezze dipendenti e grandezze indipendenti, 156
GRANDEZZE DIRETTAMENTE PROPORZIONALI, 157Rappresentazione grafica, 157
GRANDEZZE INVERSAMENTE PROPORZIONALI, 159Rappresentazione grafica, 159
PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE, 161Problemi del tre semplice diretto, 161 – Problemi del tre semplice inverso, 162
PROBLEMI DEL TRE COMPOSTO, 163Problemi del tre composto diretto, 163 – Problemi del tre composto inverso, 164
PROBLEMI DI RIPARTIZIONE, 166Catena di rapporti, 166 – Problemi di ripartizione semplice diretta, 167 – Problemi di ripartizione semplice inversa, 168 – Problemi di ripartizione composta diretta, 169 – Problemi di ripartizione composta inversa, 170
11.6
11.5
11.4
11.3
11.2
11.1
Unità 11 LA PROPORZIONALITÀ, 153
ESERCIZI da p. 182
ESERCIZI da p. 185
ESERCIZI da p. 190
ESERCIZI da p. 195
ESERCIZI da p. 200
ESERCIZI da p. 202
Il libroproseguenel CD
Il libroproseguenel CD
Indice V
LA PERCENTUALE, 172Il tasso percentuale, 172 – La parte percentuale, 173 – Percentuali e proporzioni, 173
CAPITALE E INTERESSE, 176Interesse per periodi inferiori al mese, 176 – Interesse semplice e composto, 177 – Interesse e proporzioni, 177
LABORATORIO matematico: Errore percentuale e stima a occhio, 178Il cammino della matematica: ϕ, il numero d’oro, 179SINTESI, 180AllenaMENTE, 229MATEMATICA CON IL PC: La proporzionalità, 230
11.7
11.8
ESERCIZI da p. 207
ESERCIZI da p. 217
per la VERIFICA orale, 178per PREPARARSI all’esame, 178CALCOLO MENTALE, 219
AUTOVERIFICA, 220ESERCIZI per il recupero, 221ESERCIZI per il potenziamento, 226
L’INDAGINE STATISTICA, 232Popolazione statistica, 232 – Variabili statistiche, 232
LA RACCOLTA DEI DATI, 234Indagini statistiche totali e campionarie, 234 – La raccolta dei dati, 235
L’ELABORAZIONE DEI DATI, 237Rappresentazione dei dati: tabelle di frequenze e istogrammi, 237
MEDIA ARITMETICA, MEDIANA, MODA, 239Media aritmetica, 239 – Mediana, 240 – Moda, 241 – Riepilogo, 242
Il cammino della matematica: La statistica: una giovanissima scienza antica, 244SINTESI, 245AllenaMENTE, 264MATEMATICA CON IL PC: Le basi della statistica, 265
Soluzioni, 269Tavole numeriche, 271
12.4
12.3
12.2
12.1
Unità 12 LE BASI DELLA STATISTICA, 231
ESERCIZI da p. 246
ESERCIZI da p. 247
ESERCIZI da p. 248
ESERCIZI da p. 251
per la VERIFICA orale, 242per PREPARARSI all’esame, 243
AUTOVERIFICA, 257ESERCIZI per il recupero, 259ESERCIZI per il potenziamento, 262
Il libroproseguenel CD
I NUMERI RAZIONALIASSOLUTI
I L N U M E R O
Unità 8
SAPER FARE
• saprai trasformare le frazioni in numeri decimali e viceversa
• saprai distinguere i numeridecimali limitati da quelliillimitati
• saprai distinguere i numeriperiodici semplici da quelli misti
• saprai rappresentaregraficamente i numeri razionaliassoluti
• saprai risolvere espressioni con i numeri razionali assoluti
• avrai consolidato la tua abilitànell’operare con i numeridecimali
SAPERE
• avrai acquisito il concetto di numero razionale assoluto
• conoscerai le proprietà delleoperazioni con i numerirazionali assoluti
Dalla frazione al numero
8.1
Dal numero alla frazione
8.2
Numeri razionali assoluti
8.3
Proprietà delle operazioni
8.5
Rappresentazionegrafica
8.4
154 15 4 3 75= =: ,
Unità 8 I numeri razionali assoluti
DALLA FRAZIONE AL NUMERO
Per trasformare una frazione in un numero sappiamo che si esegue la divisione tra nu-meratore e denominatore. Da questa operazione possiamo ottenere tre tipi di quoziente.
• Il quoziente è un numero naturale, se la frazione da trasformare è una frazioneapparente:
Esempio Esempio mio
• Il quoziente è un numero decimale limitato, se la frazione da trasformare è una fra-zione irriducibile che al denominatore ha soltanto potenze di 2 o di 5 o di entrambi:
168 16 8 2= =:
Esercizi a p. 15
2
8.1
145 14 5 2 8= =: ,
• Il quoziente è un numero decimale illimitato periodico semplice o misto.
Il quoziente è un numero periodico sempliceTrasformiamo le frazioni e , eseguendo le divisioni fino alla quarta cifra decimale:
5
3
60
11
In queste divisioni i resti si ripetono, perciò nella parte decimale del quoziente si ri-petono la stessa cifra o lo stesso gruppo di cifre.I numeri nei quali il numero di cifre della parte decimale è illimitato si chiamano nu-meri decimali illimitati. Inoltre, se nella parte decimale si ripete sempre la stessa cifra o lo stesso gruppo dicifre, il quoziente viene chiamato numero decimale periodico semplice e le cifre chesi ripetono si chiamano periodo. Il periodo si indica sovrapponendo un trattino sullacifra o sul gruppo di cifre che si ripetono, o racchiudendolo tra parentesi tonde.
4 è una potenza di 2:22 = 4
periodo 5 45,
Esempi
Esempio mio
5 320 1,6666...
2020
202...
60 1150 5,4545...
6050
605...
1 6,numero periodico semplice
8.1 Dalla frazione al numeroIL NUMERO 3
Esempio
Esempio mio
20
920 9 2 2= =: ,
Il quoziente è un numero periodico misto
Trasformiamo la frazione eseguendo la divisione:
151 : 110 = 1,3727272...
151
110
In generale:
le frazioni irriducibili danno origine a numeri periodici semplici, se il denomi-natore scomposto in fattori non contiene potenze di 2 né di 5.
In questo caso la parte decimale è costituita dalla cifra3, che non si ripete, e dalle cifre 7 e 2 che si ripetonoe costituiscono il periodo. Il quoziente ottenuto vienechiamato numero decimale periodico misto.Le cifre tra la virgola e il periodo formano l’antiperiodo.
numero periodico misto1 372,
In generale:
le frazioni irriducibili danno origine a numeri periodici misti, se il denominatorescomposto in fattori contiene potenze di 2 o di 5 o di entrambi insieme a potenzedi altri fattori.
Esempio
Esempio mio
22
1522 15 1 46= =: ,
9 = 32
NON contiene potenzedi 2 né di 5
numero periodico semplice
antiperiodo periodo
15 = 3 ¥ 5 contiene il fattore 3, diverso da 2 e da 5
numero periodico misto
Applica
Esegui le divisioni, almeno fino alla quarta cifra decimale.22 : 9 38 : 30• Il quoziente è un numero periodico semplice o misto?• Indica la parte intera, il periodo e l’antiperiodo.
Trasforma le frazioni in numeri naturali o decimali e specifica di che tipo di nu-mero si tratta.
2
116
1616
3115
2120
196
910
124
73
15
52
1
Unità 8 I numeri razionali assoluti4
8.2 DAL NUMERO ALLA FRAZIONE
Dato un numero naturale, decimale limitato o periodico è sempre possibile trovare lafrazione da cui ha avuto origine.
La frazione generatrice di un numero è quella frazione il cui quoziente tra nume-ratore e denominatore è uguale al numero dato.
Dai numeri decimali alle frazioni generatrici
• Numeri decimali limitatiLa frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha pernumeratore il numero senza la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti 0quante sono le cifre decimali del numero. Le frazioni così ottenute vengono chia-mate frazioni decimali.
Una frazione si dice decimale se il suo denominatore è una potenza di 10, altri-menti si dice ordinaria.
Esempi
Esempio mio
• Numeri periodici sempliciLa frazione generatrice di un numero periodico semplice è una frazione che haper numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la sua parte intera e perdenominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Esempio
Esempio mio
5 444 54441000, =5 44 544
100, =5 4 5410, =
Esercizi a p. 20
5,76 576 599
57199= - =
parte intera
due 9 perché le cifre del periodo sono due
numero senza la virgola
8.2 Dal numero alla frazioneIL NUMERO
• Numeri periodici mistiLa frazione generatrice di un numero periodico misto è una frazione che ha per nu-meratore la differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte che precede ilperiodo e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quantesono le cifre dell’antiperiodo.
Esempio
Esempio mio
5
1,325 1325 13990
1312990
656495495
656= - = =
numero senza la virgolaparte del numero che precede il periodo
uno 0 perché l’antiperiodo ha una cifradue 9 perché le cifre del periodo sono due
Osserva che…
• La frazione generatrice di un numero naturale ha per numeratore il numero stesso e per deno-minatore 1:
• Un numero periodico semplice con periodo 9 è uguale al numero naturale immediatamente suc-cessivo:
Verifichiamo l’affermazione calcolando la frazione generatrice del numero:
Osserviamo che la frazione generatrice è una frazione apparente che è equivalente al numero na-turale immediatamente successivo.
• Un numero periodico misto con periodo 9 è un numero decimale limitato:
Verifichiamolo, calcolando la frazione generatrice del numero:
551
=
2 39239 23
9021690
125
12 5 2 4, : ,= − = = = =
2 39 2 4, ,=
24 9249 24
92259
225 9 25, := − = = =
24 9 25, =
Applica
Determina la frazione generatrice di ciascun numero e verifica il risultato.3 8 5,4 0,7 1,35 6,182
Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice. Veri-fica ogni volta il risultato.
Determina la frazione generatrice di ciascun numero periodico misto. Verificaogni volta il risultato.
2 05,
20 06,
0 57,0 895,0 56,
3
3 097,0 45,1 4,
2
1
Unità 8 I numeri razionali assoluti6
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI
Sappiamo che per ogni frazione esistono infinite frazioni equivalenti:
In generale, si chiama classe un insieme di elementi con una o più proprietà co-muni, perciò:
l’insieme di tutte le frazioni equivalenti a una data frazione costituisce una classe diequivalenza.
Consideriamo per esempio l’insieme A delle frazioni equivalenti a :
Tutte le frazioni appartenenti alla stessa classe di equivalenza corrispondono allostesso numero decimale.
Per esempio, le frazioni della classe di equivalenza individuata dall’insieme A corri-spondono al numero decimale 0,4. Infatti:
e così via
Si è stabilito perciò di rappresentare la classe di equivalenza con la frazione irridu-
6
156 15 0 4= =: ,
4
104 10 0 4= =: ,
2
52 5 0 4= =: ,
A = ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
2
5
4
10
6
15
8
20
10
25; ; ; ; ;...
2
5
2
5
4
10
6
15
8
20
10
25= = = = = ...
Esercizi a p. 22
I numeri razionali assoluti formano un insieme infinito (cioè un insieme costituitoda un infinito numero di elementi), insieme che è stato chiamato Qa (altri lo rap-presentano con il simbolo Q+), così definito:
l’insieme dei numeri razionali assoluti (Qa) è l’insieme delle classi di equivalenzaformate da tutte le frazioni equivalenti fra loro.
Dalla precedente definizione segue che:
• le frazioni sono numeri chiamati razionali assoluti;• un numero si dice razionale assoluto quando è possibile scriverlo sotto forma di
frazione.
25
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
numero razionale assoluto
cibile appartenente alla classe, nel nostro esempio , racchiusa tra parentesi quadre
e di chiamare la classe con il nome di numero razionale assoluto (termine derivatodal latino ratio che significa “divisione”):
2
5
8.3
8.3 Numeri razionali assolutiIL NUMERO 7
Di conseguenza i numeri razionali assoluti comprendono:
• i numeri naturali;
• i numeri decimali limitati;
• i numeri decimali illimitati periodici semplici e misti.
Esempio Sono numeri razionali assoluti: 7 9,2
Esempio mio
8
1125 348,8 4,
Quindi possiamo rappresentare l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti con il se-guente diagramma di Eulero-Venn:
numeri naturali
numeri decimalilimitati
numeri decimaliillimitati
periodici misti
numeri decimaliillimitati
periodici semplici
Qa
Anteprima
• I numeri razionali assoluti (Qa) appartengono all’insieme più ampio dei numeri razionali (rap-presentato con il simbolo Q) che incontrerai nello studio dei numeri relativi. L’attributo di assolutiproviene dal fatto che, a eccezione dello zero, gli altri numeri sono tutti maggiori di zero, al con-trario dei numeri relativi che sono sia maggiori sia minori di zero.
Applica
Individua tra le seguenti frazioni quelle che corrispondono a numeri naturali, anumeri decimali limitati e a numeri decimali illimitati periodici semplici e misti.
Esempio = 7 : 4 = 1,75 numero decimale limitato
= ............ = ............ numero ................................................
= ............ = ............ numero ................................................
= ............ = ............ numero ................................................
= ............ = ............ numero ................................................
1
815
163
102
98
74
Unità 8 I numeri razionali assoluti8
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
Vediamo ora come si rappresentano graficamente i numeri razionali assoluti. Tracciamouna semiretta, con origine O, e fissiamo un’unità grafica u, per esempio u = 1 cm.Per rappresentare le frazioni, individuiamo la loro posizione sulla semiretta in base allaloro distanza dall’origine. Tale distanza si calcola applicando la frazione all’unità gra-
Esercizi a p. 23
corrisponderà a 5 mm. Invece la frazione si troverà alla distanza dall’origine di 3
2
3
2di unità grafica e corrisponderà a 15 mm. La frazione si troverà a 25 mm dall’ori-gine e così via.
5
2
O
u
12
12
23 5
23 4 5 6 7 8 9 10
Consideriamo ora le seguenti frazioni:
Poiché sono equivalenti, esse occupano sulla semiretta la stessa posizione e corri-spondono tutte al medesimo numero razionale assoluto: 3,4.
17
5
34
10
51
15
68
20
O
u
12
12
2 3,43 5
23 4 5 6 7 8 9 10
517 =
1034 =
1551 =
2068
fica stessa. Così la distanza dall’origine della frazione sarà dell’unità grafica e1
2
1
2
8.4
Applica
Rappresenta sulla semiretta, con unità grafica u = 1 cm, i numeri razionali assoluti:
72
92
152
6 5 9 28410
395
224
3 9, , ,
1
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8.5 Proprietà delle operazioniIL NUMERO 9
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI
I numeri razionali assoluti sono un ampliamento dei numeri naturali. Di conseguenza:
le operazioni con i numeri razionali assoluti godono delle stesse proprietà di cui go-dono quelle con i numeri naturali.
I numeri razionali assoluti godono di una proprietà in più rispetto ai numeri naturali:
l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti è chiuso rispetto alla divisione, cioè la di-visione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti.
Dunque l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti, oltre a essere chiuso rispetto alleoperazioni di addizione e moltiplicazione, come lo è l’insieme N, lo è anche rispettoalla divisione e ciò comporta un grande vantaggio: nell’insieme Qa la divisione èsempre possibile (eccezion fatta quando il divisore è 0), al contrario di quanto suc-cede con i numeri naturali.
Esercizi a p. 25
Esempio 9 : 5 = senza risultato in N 9 : 5 = 1,8 in Qa
Esempio mio
approfondimento nel CD:Verifica delle proprietàdelle operazioni
8.5
Osserva che…
• Se il divisore è 0, la divisione è priva di significato, come già abbiamo visto a proposito dei nu-meri naturali.
Esempio il quoziente non esiste
• Lo 0 non ha reciproco, infatti le frazioni con denominatore 0 non hanno significato.
Esempio Il reciproco di non esiste (infatti non ha significato).50
05
34
0: =
Espressioni con i numeri razionali assolutiEspressioni che contengono solo numeri decimali limitati e numeri naturali
I calcoli risultano più semplici con i numeri decimali, perciò non conviene trasfor-marli in frazioni.
Unità 8 I numeri razionali assoluti10
Applica
Per ciascuna delle seguenti operazioni, scrivi quale proprietà è stata applicata.
2,5 + 6,5 = 2,5 + 0,5 + 6 proprietà .......................................................
8,9 + 15,4 = 15,4 + 8,9 proprietà .......................................................
2,3 × (6,8 – 3,2) = 2,3 × 6,8 – 2,3 × 3,2 proprietà .......................................................
3,5 : 0,5 = (3,5 × 10) : (0,5 × 10) proprietà .......................................................
Risolvi le espressioni.
311
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
1 36 0 63 2 6, , : ,−( )615
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
0 12 0 65 0 3545
0 4 1 0 2, , , : , ,+ + + +−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ( )5
4
3
2
1
Espressioni che contengono numeri decimali limitati, frazioni e numeri naturali
In questo caso conviene trasformare i numeri decimali nelle rispettive frazioni ge-neratrici e poi eseguire i calcoli. Osserva l’esempio.
Esempio guidato 5
32 4
1
21 5
4
3
5
3
24
10
1
2
15
× ×
×
, ,−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − =
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −
110
4
3
5
3 10
5
51
51
1
2
×
×
=
= − =
=
....................
33
19
10
27
6
1
2
× − =
= − =
..........
..........
Esempio guidato 1 6 2 4 0 5 1 4
16 1
9
24
10
5
9
1
5
12
, , , : ,
:
+ +
+ +
( ) =
= −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
44 1
9
15
93
5
− =
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+ +.......... ..........
..:
.........
..........
.......... ..
=
= + + ×108 25
45
.........
..........
..........
...
=
= 208
455
16
×........
: ,= = =16
516 5 3 2
da qui in poi si prosegue come hai sempre fatto
per risolvere le espressioni con le frazioni
si trasformano i numeridecimali in frazioni
Espressioni che contengono numeri decimali illimitati
Anche in questo caso si trasformano i numeri decimali nelle rispettive frazioni ge-neratrici e poi si eseguono i calcoli. Osserva l’esempio.
laboratorionel CD
Qual è la soluzione dell’espressione?
125
0 114
35
34
3 5+ × × +, : ,⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
1
per PREPARARSI all’esame
O
52
13710
6,51,8 105122
O
52
13710
6,51,8 105
O
52
13710
6,51,8 105122
O
52
1 3710
6,51,8 105 122
122
O
a
b
c
d
4 5,5
Data l’unità grafica u = 1 cm, su quale semiretta è corretta la rappresentazionedei seguenti numeri razionali assoluti?
5 1,8 1 10 6,5 3710
122
52
2
43
dc14
ba
Rappresenta graficamente sulla semiretta, con unità grafica u = 2 cm, i numeri:
1 3,5 3 0,5 194
72
310
62
3
11Unità 8I numeri razionali assoluti
Come sono definite le frazioni decimali?
Qual è la differenza tra numeri periodici semplici e misti?
Spiega la regola per trasformare i numeri periodici semplici e misti in frazioni.
Spiega come stabilire (senza eseguire calcoli) in quale tipo di numero decimale(limitato, illimitato, periodico semplice o misto) si può trasformare una data fra-zione irriducibile.
Che cosa sono i numeri razionali assoluti?
Enuncia le proprietà dei numeri razionali assoluti.
Esercitati nel calcolo mentale (esercizi a p. 33).7
6
5
4
3
2
1
per la VERIFICA orale
soluzioni a
p. 269
I numeri decimali nascono nel XVI secolo. Prima di allora nonesistevano e al loro posto si usavano le frazioni.Il merito maggiore di avere inventato i numeri decimali va alfiammingo Simon Stevin, conosciuto con il nome di Simonedi Bruges o Stevino.Stevin nacque a Bruges, in Belgio, nel 1548 e visse nei PaesiBassi, dove lavorò come ingegnere idraulico nella progetta-zione e costruzione di dighe. Morì a L’Aja nel 1620.
Stevin definì le unità decimali partendo da un particolare tipodi frazione decimale, cioè dalle unità frazionarie decimali:
unità decimale del 1° ordine
unità decimale del 2° ordine
unità decimale del 3° ordine
e così via.
Dopo avere definito le unità decimali, passò a costruire tuttigli altri numeri, con il ragionamento seguente.
Poiché , si può scrivere .210
0 1 0 1 0 2= =, , ,+210
110
110
= +
11000
0 001= ,
1100
0 01= ,
110
0 1= ,
La nascita dei numeri decimalisequestro alieno
Il cammino della MATEMATICA12
Bruges, monumento a Stevin.
Di conseguenza fino a .310
0 34
100 4= =, ,e
1010
1=
Inoltre, poiché di conseguenza si può scrivere .
Nacquero così i numeri decimali, che cambiarono radicalmente il modo di eseguire le ope-razioni, semplificandolo al massimo.I numeri decimali come li scriviamo oggi sono il frutto di un lungo percorso. Infatti, quando Simon Stevin inventò i numeri decimali usava un altro modo per scriverli. Alposto della virgola numerava le posizioni decimali. Per esempio il numero che oggi scriviamo così: 34,652, Stevin lo scriveva così:
Molti anni dopo, il matematico inglese John Wallis (1616-1703) introdusse l’uso della virgola,ma la sua diffusione fu tutt’altro che semplice, tanto che oggi nei paesi anglosassoni, comela Gran Bretagna, gli Stati Uniti, l’Australia, per separare la parte intera da quella decimalein realtà viene usato il punto al posto della virgola:
5.3 al posto di 5,3
Negli stessi paesi, la virgola è invece usata per separare l’ordine delle migliaia nella parte in-tera di un numero:
$ 2,315 al posto di $ 2315 e quindi $ 2,315.88 al posto del nostro $ 2315,88
3 4 5 6 5 5 2 2 50 1 2 3
1110
1010
110
= + 1110
1 0 1 11= =+ , ,
mappainterattiva nel CD SINTESI
I numeri razionali assoluti Unità 8 13
TRASFORMAZIONE DELLE FRAZIONI IN NUMERINATURALI E DECIMALIPer trasformare una frazione in un numero naturale o decimale siesegue la divisione tra numeratore e denominatore.
1. Quoziente = numero naturale se il numeratore è multiplo deldenominatore (frazioni apparenti).
2. Quoziente = numero decimale limitato se la frazione, ridottaai minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori,contiene solo i fattori primi 2 o 5 o entrambi.
3. Quoziente = numero decimale illimitato periodicoPossiede un numero illimitato di cifre decimali ed è periodico.Un numero periodico è un numero decimale illimitato in cui tutteo alcune cifre che costituiscono la parte decimale del numero si ri-petono all’infinito.La cifra o le cifre che si ripetono si chiamano periodo.
Un numero periodico è semplice quando tutta la parte decimaleè costituita da una o più cifre che si ripetono all’infinito.
Un numero periodico è misto quando la parte decimale è costi-tuita da cifre che non si ripetono (antiperiodo) e da cifre che si ri-petono (periodo).
• Quoziente = numero periodico semplice se la frazione, ridottaai minimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori,non contiene come fattori primi né 2 né 5.
• Quoziente = numero periodico misto se la frazione, ridotta aiminimi termini, ha il denominatore che, scomposto in fattori,contiene sia i fattori primi 2 o 5 o entrambi, sia altri fattori primi.
TRASFORMAZIONE DI NUMERI DECIMALI IN FRAZIONI1. Numero decimale limitatoPer trasformare un numero decimale limitato in frazione si scriveal numeratore il numero senza la virgola e al denominatore la cifra1 seguita da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato.
2. Numero decimale illimitato periodico semplicePer trasformare un numero periodico semplice in frazione si scriveal numeratore la differenza tra il numero senza la virgola e la suaparte intera e al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono lecifre del periodo.
numero periodico semplice
numero periodico misto
5 3745374 5
9995369999
, = - =
2 43924391000
, =
76
1 16= ,
53
1 6= ,
1 53333 1 53, ... ,=
1 33333 1 3, ... ,=
247
3 428571428571= , ...
52
2 5= ,
182
9=
45
4 5 0 8= =: ,
antiperiodo
periodo
periodo
Unità 8 I numeri razionali assoluti
3. Numero decimale illimitato periodico mistoPer trasformare un numero periodico misto in frazione si scrive alnumeratore la differenza tra il numero senza la virgola e tutta la parteche precede il periodo e al denominatore si scrivono tanti 9quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre del-l’antiperiodo.
NUMERI RAZIONALI ASSOLUTIUn numero si dice razionale assoluto quando è possibile scriverlosotto forma di frazione.
L’insieme Qa dei numeri razionali assoluti è l’insieme delle classidi equivalenza formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro.
I numeri razionali assoluti comprendono i numeri naturali, i numeridecimali limitati e i numeri decimali illimitati periodici semplici emisti.Le operazioni con i numeri razionali assoluti godono di tutte leproprietà che valgono per le operazioni con i numeri naturali.
Oltre a ciò la divisione è un’operazione interna ai numeri razio-nali assoluti.Perciò la divisione fra numeri razionali assoluti è sempre possibile.
Sono numeri razionali assoluti:5 8,2
5,8 : 2 = 2,9
3 4,
7 58758 75
9068390
, = - =
0 512
, =
12 643,
14
numero razionaleassoluto
ESERCIZI8.1 Dalla frazione al numero 15
8.1 DALLA FRAZIONE AL NUMEROPer verificare la conoscenza della trasformazione di una frazione in un numero
Indica se ciascuna delle affermazioni che seguono è vera o falsa e scrivi un esempio per giustificare la ri-sposta.
• Una frazione dà sempre origine a un numero periodico.
Esempio è una frazione generatrice di un numero decimale limitato, non periodico
• Una frazione non dà mai origine a un numero periodico.……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione può dare origine a un numero periodico.……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione apparente non dà mai origine a un numero periodico.……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione irriducibile con denominatore 5 dà sempre origine a un numero decimale limitato.……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione irriducibile con denominatore 2 dà sempre origine a un numero decimale illimitato.……………………………………………………………………….......................……………………………….….
• Una frazione irriducibile con denominatore 3 può dare origine a un numero decimale limitato.……………………………………………………………………….......................……………………………….….
Numeri periodiciPer applicare la conoscenza delle convenzioni sui numeri periodici
Scrivi altri tre numeri decimali illimitati periodici semplici: .....................................................................
Scrivi altri tre numeri decimali illimitati periodici misti: .........................................................................
Scrivi i numeri usando le opportune convenzioni di scrittura.
Esempio 2,3444444444 ...... ,,= 22 3344
3 99 3377,,
2 77 44,,
V F
V F
V F
V F
V F
V F
1122
00 55= ,,
V FX
1
Faqnel CD
Teoria a
p. 2
8,9222222222… 34,8888888888…
15,7777777777… 3,3333333333…
27,5353535353… 9,63737373737…
42,4242424242… 0,9999999999…
0,49898989898… 0,5555555555…
256,0576767676… 0,354354354354…
4 5
Per riprendere e applicare il concetto di approssimazione
Approssima per difetto a meno di 0,1 i seguenti numeri.
Decimali limitati Esempio 8,59 ≈ 8,56,73 ≈ …....… 4,09 ≈ …....… 7,685 ≈ …....…
0,96 ≈ …....… 0,27 ≈ …....… 26,347 ≈ …....…
Periodici Esempi ≈ 7,4 ≈ 9,8
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…9 43,10 41,8 56,
9 84,7 46,7
6
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…6 7, 0 48, 1 372,
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti16
Approssima per eccesso a meno di 0,1 i seguenti numeri.
Decimali limitati Esempio 3,72 ≈ 3,8
7,82 ≈ …....… 5,78 ≈ …....… 8,774 ≈ …....… 0,65 ≈ …....… 0,39 ≈ …....… 27,436 ≈ …....…
Periodici Esempi ≈ 7,5 ≈ 9,4
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....… ≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…
Approssima con la migliore approssimazione, a meno di 0,1, i seguenti numeri.
Decimali limitati
Esempi 9,68 ≈ 9,7 9,62 ≈ 9,6 9,65 ≈ 9,7
5,62 ≈ …....… 3,98 ≈ …....… 6,574 ≈ …....… 0,85 ≈ …....… 0,19 ≈ …....… 15,236 ≈ …....…
Periodici semplici
Esempi ≈ 6,9 (infatti = 6,88888...) ≈ 6,3 ≈ 6,9 ≈ 6,8
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…
Periodici misti
Esempi
≈ …....… ≈ …....… ≈ …....… ≈ …....… ≈ …....… ≈ …....…4 62, 0 39, 1 75, 16 319, 8 07, 9 01,
2 438, = 2244
12
12 07, 1503, 3 674,
4 16, 2 72, 5 25,
0 4, 0 5, 23 5,
8 7, 9 3, 5 8,
6 8, 6 8, 6 3, 6 87, 6 84,
11
10
8 73, 7 45, 8 36, 4 71, 5 1, 0 8,
7 42, 9 3,9
8
Scrivi i numeri periodici fino alla settima cifra decimale, applicando la migliore approssima-zione per eccesso o per difetto a seconda dei casi.
Esempio
Per consolidare la conoscenza dei numeri decimali, limitati e periodici
Classifica ogni numero, mettendo una crocetta nella colonna corretta.15
14 9 72, 2 346, 3 19, 11 427, 0 2163, 5 9,
13 2 6, 0 5, 12 27, 41 2, 7 61, 1 36,
4,5 = 44 55555555555566,,
numeri decimali
limitati periodicisemplici
periodicimisti
8,02
7 5,
9 18,
0,48
0 195,
numeri decimali
limitati periodicisemplici
periodicimisti
14 247,
16,4
3,555558
0,006
45 08,
ESERCIZI8.1 Dalla frazione al numero 17
Completa le tabelle.
17
165,89 37 8, 2 1983, 7,016 0 82, 301 0178,
parte intera 5
parte decimale 89
periodo –antiperiodo –
periodo antiperiodo parte intera numero periodicosemplice o misto? numero
72 5 23 misto
4 7 19
8 4
678 0 1
24 7 0
348 23 56
2233 557722,,
2292
163
215
16
59
21207
58
34
13
1910
Trasformazioni da frazione a numeroPer applicare la conoscenza delle regole di trasformazione di una frazione in un numero
Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri naturali.
Esempio
Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri periodici semplici.
Esempio
Scrivi tre frazioni (con tre denominatori diversi) generatrici di numeri periodici misti.
Esempio
Trasforma le frazioni in numeri naturali o decimali e scrivi il genere di numero ottenuto.
Esempio numero decimale illimitato periodico semplice157
= 1155 77 22 114422885577:: = ,,
5566
20
5533
19
115533
18
242323
1922
52100
3115
2518
231
10236
1511
184
287
26253
1124
4216
18045
2821
251830
410
2330
203
1427
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti18
Nelle seguenti frazioni il denominatore è stato scomposto in fattori primi. Senza fare calcoli, stabilisci chegenere di numero corrisponde a ciascuna frazione.
numero numero numero numeronaturale decimale limitato periodico semplice periodico misto
Esempio X
27
512 33×
822
72 5×
192 54 3×
112 34 ×
72 5 3× ×95833
43 7×
7 55×
32 5
5
4 3×
2 112 3
××
7 52 5
××
211
4
193 53 2×
3 5 72 5 7
2
4
× ×× ×
2 33 5
3 5
5 2
××
Nelle seguenti frazioni numeratore e denominatore sono stati scomposti in fattori primi. Dopo avere ri-dotto, quando è possibile, le frazioni ai minimi termini (come mostrato nell’esempio) e senza fare ulterioricalcoli, stabilisci che genere di numero corrisponde a ciascuna frazione.
numero numero numero numeronaturale decimale limitato periodico semplice periodico misto
Esempio X
28
5 32 3
52
××
=
ESERCIZI8.1 Dalla frazione al numero 19
Indica il genere di numero che corrisponde a ciascuna frazione: numero naturale, decimale limitato,periodico semplice o misto.
Esempio ➞ periodico semplice86
33
44
Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri decimali limitati.
Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri periodici semplici.
Completa le frazioni in modo tale che possano essere trasformate in numeri periodici misti.
Senza eseguire le divisioni, indica quali hanno come risultato un numero periodico, motivando la risposta.
Esempio 7 : 6 la frazione è irriducibile e il denominatore, scomposto in fattori primi, contiene il fattore 3.
Quindi il risultato è un numero periodico semplice.
5 : 8 5 : 9 7 : 6 3 : 5 15 : 4 15 : 6 15 : 9 14 : 9 450 : 160
7766
44
43......
15......
45......
42......
210......
30......
2842
19......
6......
3......
21......
30......
100......
41......
3......
9......
21......
6......
15......
2840
31......
1......
3......
21......
33......
231......
39......
2......
6......
8......
18......
42......
6638
3......
1......
7......
25......
46......
91......
37120186
816
681
625
2424
44
18180
2990
3614
368030
725
1916
81100
2415
111
2821
2128
186120
35109
715
125
94
314
3150
1027
116
512
29232
233
234
235
236
237
238
239
2310
3072
73
74
75
76
77
78
79
710
341144
2350
2430
4812
2712
117
49
1825
2114
33911
59
2910
1214
156
384
10077
3615
39
3256
155
110
58
815
1215
197
45
136
3158
13
25
12
45
53
15
122
16
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti20
DAL NUMERO ALLA FRAZIONEPer verificare la conoscenza della trasformazione di un numero nella sua frazione generatrice
Completa le frasi.• La frazione che dà origine a un dato numero decimale si chiama frazione .................................................• Per trasformare un numero decimale limitato nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore
.................................................. e al denominatore la cifra 1 seguita da tanti ....................................................quante sono le cifre a destra della virgola.
• Per trasformare un numero periodico semplice nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore ladifferenza tra il numero senza la virgola e ……....................……… e al denominatore tanti 9 quante sonole cifre del ...................................
• Per trasformare un numero periodico misto nella sua frazione generatrice, si scrive al numeratore ladifferenza tra il numero senza la virgola e tutta la parte che precede il ............................., senza la virgola,e al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del ......................................... e tanti 0 quante sono le cifredell’ ..............................................
45
8.2
Trasformazioni da numero a frazionePer applicare la conoscenza delle regole di trasformazione di un numero nella frazione generatrice
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero decimale limitato e, quando è possibile, ri-ducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
Esempio verifica del risultato: 103 : 25 = 4,12
2,8 4,54 7,8 0,097 8,49 3,98
0,8 5,37 1,497 7,7 0,39 0,08
4,57 9,7 0,69 0,004 58,09 4,35
120,85 0,625 5,12 2,308 1,006 20,02
6,75 52,02 0,492 3,625 0,064 9,21
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice e, quando è possibile, ri-ducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
Esempio verifica del risultato:
54 537 8, 48 5, 9 84, 0 527, 2 805, 0 56,4841
9437
932533
527999
2803999
5699
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
79
201899
899
50299
313933
1230899
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
479
151399
56911
3329999
9194999
2429
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
239
1429
49
3899
15299
7991990
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
274
260150
123250
298
8125
921100
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
241720
58
12825
577250
503500
100150
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
457100
9710
69100
1250
5809100
8720
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
45
537100
14571000
7710
39100
225
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
53 0 7, 20 38, 0 08, 5 07, 95 12, 124 32,
52 5 2, 15 28, 51 72, 3 332, 9 203, 26 8,
51 2 5, 15 7, 0 4, 0 38, 153, 8 071,
4,6 = 4466 4499
442299
114433
33
1144- = = 1144 33 44 66:: = ,,
50
49
48
145
22750
395
971000
849100
19950
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
4,12 = 441122110000
441122110000
1100332255
2255
110033= =
47
46
Faqnel CD
Teoria a
p. 4
ESERCIZI8.2 Dal numero alla frazione 21
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico misto e, quando è possibile, ridu-cila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
Esempio verifica del risultato:
Calcola la frazione generatrice di ciascun numero periodico semplice e misto e, quando è pos-sibile, riducila ai minimi termini. Verifica ogni volta il risultato.
A quale numero naturale o decimale limitato corrisponde ciascuno dei seguenti numeri perio-dici particolari? Verifica i risultati utilizzando la frazione generatrice.
Esempio verifica del risultato: la frazione generatrice è
[4; 0,5] [18,1; 5,8] [10; 3]
Confronto di numeri decimali e periodiciPer esercitarsi a confrontare numeri decimali limitati e periodici
Inserisci nel quadratino il simbolo <, > o =, rendendo vera la relazione.
Inserisci tra le coppie di numeri decimali tre opportuni numeri decimali: uno limitato, uno pe-riodico semplice e uno periodico misto.
Esempio
72 2 4, ............ ............. ............< < < .. ,< 2 5 73 3 46, ............ ............. ...........< < < ... ,< 3 46
5 28, ............ ............. ...........< < < ... ,< 5 287170 0 2, ............ ............. ............< < < .. ,< 0 4
68
67
6564
0,2 0,3< 00 2255 00 2277 00 2288,, ,, ,,< < <
69 0 8 0 879, , 5 2 5 223, ,
774499 77449900
6677559900
115522
77 55- = = = ,,7,49 = 77 55,,
68390
133
15133
8299
52990
47495
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
7330
629
6587990
103
6163333
76
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
82190
1225
959
790
1679300
80939900
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
29495
58999
30133
529
45790
24242
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
0 58 0 58, ,
0 275 0 27, , 0 23 0 233, ,
66 0 3 0 3, , 0 45 0 4, , 1 0 9,
5 79, 9 9, 2 99,63 3 9, 0 49, 18 09,
62 7 58, 3 9, 4 57, 0 82, 0 534, 0 094,
61 2 43, 6 8, 9 683, 3 33, 18 507, 1 06,
60 9 12, 0 004, 31 6, 0 07, 5 087, 0 08174,
59 0 058, 0 058, 9 12, 5 7, 5 07, 5 37,
9718
8489900
268495
24 113990
7427165
115318
; ; ; ; ;00
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
11990
74245
63110
99 2339990
406999
81445
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎥⎥
193450
3839450
251495
221900
907900
82475
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
31190
2330
59165
6718
7196495
76 8379000
; ; ; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎦⎦⎥⎥
6 405,
1,68 = 116688 11669900
1155229900
77664455
4455
7766- = = 7766 4455 11 6688:: = ,,
55 3 45, 0 76, 0 357, 3 72, 14 537, 8 5374,
58 5 38, 9 432, 0 541, 24 356, 45 012,
57 1 32, 16 48, 0 572, 9 9332, 0 406, 18 08,
56 0 428, 8 531, 0 507, 0 245, 1 007, 0 0032,
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti22
8.3 NUMERI RAZIONALI ASSOLUTIPer verificare la conoscenza dei numeri razionali assoluti
Rispondi alle domande.• I numeri naturali possono essere scritti sotto forma di frazione?
In caso affermativo, scrivi un esempio. .....................................................• I numeri decimali limitati possono essere scritti sotto forma di frazione?
In caso affermativo, scrivi un esempio. .....................................................• I numeri periodici possono essere scritti sotto forma di frazione?
In caso affermativo, scrivi un esempio. .....................................................
Completa le frasi. • Le frazioni sono numeri chiamati .....................................................................................................................• I numeri razionali assoluti comprendono i seguenti tipi di numeri: ...................................................................• Un numero razionale assoluto può essere rappresentato da una frazione irriducibile o dalle infinite altre
frazioni a essa ........................................................................................................................................................
Quando un numero si dice razionale assoluto? Scrivi almeno tre esempi di numeri razionali assoluti.
74
NOSÌ
NOSÌ
NOSÌ
76
75
Faqnel CD
Teoria a
p. 6
Considera il numero razionale:
Qual è la frazione che lo rappresenta?
Considera il numero razionale:
Qual è la frazione che lo rappresenta?
77
810
1620
2430
3240
; ; ; ; ...{ }78
57
1014
1521
2028
2535
; ; ; ; ; ...{ }
Per applicare la conoscenza dei numeri razionali assoluti
Per ogni numero razionale assoluto scrivine tre equivalenti.
8,52 3,7 0,42 14,8 3,893 0,07
Quale dei tre insiemi è un numero razionale? Di quale numero si tratta?
C = { }410
820
1230
1640
; ; ; ; ...B = { }27
414
621
825
; ; ; ; ...85 A = { }31
61
91
121
; ; ; ; ...
C = { }55
105
155
205
; ; ; ; ...B = { }71
142
213
284
; ; ; ; ...84 A = { }15
16
17
18
; ; ; ; ...
83 2 46, 0 85, 2113, 4 816, 8 046, 56 4163,
82 0 64, 0 8, 5 7, 84 3, 6 08, 15 9,
81
80 12
75
18
911
3419
523
Scegli tra le frazioni quelle che sono rappresentate dal numero razionale assoluto .
Sottolinea le frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale assoluto.
52
410
45
210
820
2460
2060
2050
15
615
8625
Esempio23
➞4466
6699
881122
Qual è il numero razionale che corrisponde alla classe di equivalenza rappresentata da ?3035
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
79
8836
46
62
65
1210
2018
8716
26
56
1012
1518
2530
ESERCIZI8.4 Rappresentazione grafica 23
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Per consolidare l’abilità di rappresentare graficamente i numeri razionali assoluti
Scrivi sui puntini i numeri razionali assoluti, sotto forma di frazioni, indicati dalle frecce su cia-scuna semiretta.
89
8.4
O 1u
2 3 4 5
210 ......
14......
2210 ...... ...... ...... ......10 ......
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10u
25 ......
65 ...... ...... ...... ...... ............
135 ......
90
Scrivi sui puntini quali frazioni irriducibili sono rappresentate dalle lettere.
O 1u
2 3 4 5A B C D E F G H I L
O 1u
A B C D E F G H I L M N P
OuA B C D E F G H I
B = ……....… C =……....… E = ……....…
F = ……....… G = ……....… H = ……....… I = ……....… L = ……....…92
91 A = 441100
2255
= D = 11551100
3322
=
B = ……....… D = ……....…
E = ……....… F = ……....… G = ……....… H = ……....…
I = ……....… L = ……....… M = ……....… N = ……....… P = ……....…95
94
93 A = 2266
1133
= C = 9966
3322
=
A = ……....… B = ……....… C = ……....… D = ……....…
E = ……....… F = ……....… G = ……....… H = ……....… I = ……....…
Rappresenta graficamente i numeri sulla semiretta.1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5,5
98
97
96
Teoria a
p. 8
1O
Faqnel CD
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti24
Rappresenta ciascuna serie di numeri su carta millimetrata, utilizzando ogni volta una nuova se-miretta. Scegli opportunamente l’unità grafica.
5,5 5,8 6 2 2,2 2,5 10 10,5 7,4 9,2
6,9 4,5 11 3,7 12,5 13,1 8,8 15 7,2 2,4
7,5 12 13,5 9 8 4,5 5,5 9,5 2 2,5
1 6,5 7,8 7 3 3,2 4,5 9 8,4 9,7
1 3 3,5 6 6,5 1,5 0,5 2,5 4,5 9,5
1 4,5 4,8 5 1,2 1,5 9 9,5 6,4 8,2104
103
102
101
100
99
2 4 3,5 7,5105 14
34
32
94
154
72
1 4 5,8106 15
85
12
72
110
1110
32
1 5,8 0,7 1,4 6 7,9107 12
15
75
112
3,8 6 6,2 0,7108 75
92
310
2910
560100
245
3 5 2,5 6,5 5,3109 65
52
115
195
92
4,8 7 7,3 0,8110 85
112
410
3010
670100
217
2,4 7 6,7 3,5 8,2111 95
212
1810
380100
420100
1 1,7 3 16
53
0 06,1 5,0 2,99
49
112
0,5 1,9113 32
25
1610
0 2, 1 4, 0 34,65
6850
0 1 2 3 4 5114
......
34=
115 158 8
+ = ......0 21
116 712 2
+ = ......0 1 2 3 4 5 6 7 8
117 323 3
+ = ......
0 1 2 3 4 5
1180 31 2
......
62
16
= +
Scrivi il numero giusto al posto dei puntini. Poi rappresenta graficamente la frazione.
Esempio 235 5
+ = 11330 31 2 1133
55
ESERCIZI8.5 Proprietà delle operazioni 25
PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI Addizioni e sottrazioni
Per riprendere e consolidare la conoscenza delle proprietà dell’addizione e della sottrazione
L’addizione con i numeri razionali assoluti gode delle stesse proprietà che valgono per i numeri naturali?Quali sono?
Enuncia la proprietà commutativa dell’addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scrittiin forma frazionaria.
Enuncia la proprietà associativa dell’addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scrittiin forma frazionaria.
Enuncia la proprietà dissociativa dell’addizione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assoluti scrittiin forma frazionaria.
Rispondi alle domande. • Qual è l’elemento neutro dell’addizione? Fai un esempio, usando numeri razionali assoluti scritti in forma
frazionaria.• L’addizione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti? Perché?• La sottrazione di numeri razionali assoluti gode della proprietà commutativa? Fai un esempio.• La sottrazione di numeri razionali assoluti possiede l’elemento neutro? Perché?• La sottrazione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti? Fai un esempio.• Come si chiama la proprietà della sottrazione con i numeri razionali assoluti? Enunciala e fai un esempio.
Per applicare la conoscenza delle proprietà dell’addizione e della sottrazione
123
122
121
120
119
8.5 Teoria a
p. 9
Applica all’addizione la proprietà commutativa.12423
52
+
Applica all’addizione la proprietà associativa, in modo diverso dall’esempio.
Esempio
Applica alla sottrazione la proprietà invariantiva, in modo diverso dall’esempio.
Esempio
Applica alla sottrazione la proprietà invariantiva, sottraendo a entrambi i termini la frazione .128103
57
5521
− = 23
45
13
715
− + +1133
1133
=
45
13
215
+ + = 4455
771155
+
12745
13
715
− =
12645
13
215
+ +
Applica all’addizione la proprietà dissociativa, in modo diverso dall’esempio.
Esempio45
73
+ = 4455
6633
1133
+ +
12545
73
+
Poi verifica la validità della proprietà.
Scrivi i risultati senza eseguire i calcoli.
95
23
23
+ − 57
1127
1127
− + 349
349
1219
− + 163
17
163
+ −
129
Faqnel CD
ESERCIZI
MoltiplicazioniPer riprendere la conoscenza delle proprietà della moltiplicazione
Rispondi alle domande.• La moltiplicazione con i numeri razionali assoluti gode delle stesse proprietà che valgono per i numeri
naturali? Quali sono? • Qual è l’elemento neutro della moltiplicazione dei numeri razionali assoluti?• La moltiplicazione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti? Perché?
Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali asso-luti scritti in forma frazionaria.
Enuncia la proprietà associativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assolutiscritti in forma frazionaria.
Enuncia la proprietà dissociativa della moltiplicazione. Fai un esempio relativo a numeri razionali assolutiscritti in forma frazionaria.
Enuncia la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla differenza. Fai un esempio relativo a nu-meri razionali assoluti scritti in forma frazionaria.
Per applicare la conoscenza delle proprietà della moltiplicazione
131
132
133
134
130
UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti26
Applica alla moltiplicazione la proprietà commutativa.13527
415
×
Applica alla moltiplicazione la proprietà dissociativa, inmodo diverso dall’esempio.
Applica alla moltiplicazione la proprietà associativa,
in modo diverso dall’esempio.
Applica a ciascuna moltiplicazione la proprietà distributiva.
Esempio
DivisioniPer riprendere la conoscenza delle proprietà della divisione
Completa le frasi. • La divisione è un’operazione interna ai numeri ...................................., ma non è interna ai numeri
....................................
• Se il divisore è diverso da 0, la divisione è sempre possibile con i numeri ...................................., invecenon sempre è possibile con i numeri ......................................
Rispondi alle domande. • Qual è il vantaggio nell’usare i numeri razionali assoluti invece che i numeri naturali nelle divisioni?• Usando solo numeri naturali sono sempre possibili le 4 operazioni fondamentali? Quali non sono sem-
pre possibili?• Usando i numeri razionali assoluti sono sempre possibili le 4 operazioni fondamentali? Quali non sono
sempre possibili?
45
13
57
× +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 44
551133
4455
5577
¥ + ¥
140
916
13
25
715
× + +⎛⎝
⎞⎠
56
34
17
−⎛⎝
⎞⎠ ×1
437
59
+ ×⎛⎝
⎞⎠
94
247
58
× −⎛⎝
⎞⎠
13645
73
×
13735
13
215
× ×
138
139
Esempio45
73
× = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
11221100
2233
7733
¥ ¥
Esempio35
13
215
× × = 3355
224455
¥
ESERCIZI8.5 Proprietà delle operazioni 27
Fai un esempio per spiegare ciascuna frase.• La divisione è un’operazione interna ai numeri razionali assoluti.• La divisione non è un’operazione interna ai numeri naturali.
Completa le frasi, che si riferiscono alla divisione tra numeri razionali assoluti. • Quando il divisore è 0 la divisione ....................................• Quando dividendo e divisore sono uguali a 0, il quoziente è ....................................• Quando il dividendo è uguale a 0, il quoziente è ....................................
• Quando il dividendo è diverso da 0 e il divisore è uguale a 1, il quoziente è ....................... .............• Quando dividendo e divisore sono uguali, ma diversi da 0, il quoziente è uguale a .......................
PotenzePer riprendere e consolidare la conoscenza delle proprietà delle potenze
Scrivi i risultati delle operazioni sotto forma di potenza.
2,34 × 2,33 = ............................. 0,85 × 0,8 = .............................
19,252 × 19,25 × 19,256 = ............................. 8,23 × 8,24 × 8,2 = .............................
............................. .............................
3,46 : 3,43 = ............................. 9,714 : 9,714 = .............................
0,565 : 0,56 = ............................. 8,43 : 8,43 = .............................
............................. .............................
Eleva a potenza i seguenti numeri periodici.
Espressioni con numeri decimali limitatiPer consolidare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Esegui le operazioni in due modi: con i numeri decimali e poi con le frazioni, infine confrontai risultati.
Esempio3,6 + 0,8 ➞ 3,6 + 0,8 = 4,4
5,8 + 16,3 0,45 + 1,9 15,03 + 6,59 0,09 + 24,8
7,9 − 2,4 19,2 − 8,7 2,24 − 0,36 1,45 − 0,08
2,5 × 3,5 4,8 × 0,9 2,25 × 3,1 0,08 × 0,56
9,4 : 0,5 12,8 : 0,05 7,31 : 0,2 0,9 : 1,5151
150
149
148
3,6 0,8+ = 33661100
881100
3366 881100
44441100
44 44+ = + = = ,,
141
1361324
1255832
; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
0 273,1 052,9 50,147
49801
6427
62581
; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
1 64,1 33,0 022,146
343729
1243
12025
; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
0 022,0 35,0 73,145
0 57 0 575 4, : , =1 4 1 46 2, : , =
144
4 18 4 183, ,× =6 3 6 35 2, ,× =
143
142
Esempio 1,63 = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
115599
5533
1122552277
44,,66229933 33
= = =
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti28
Per sviluppare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
Esercizio guidato4,5 − 0,9 × 2,2 + 8,2 × 0,3 − 1,6 + 0,7 − 3,08 =
= 4,5 − ............... + ............. − 1,6 + 0,7 − 3,08 = 1
[9]
[2]
[1]
[1]
[1]
[2]
(3,7 + 2,4) × 3,4 − (5,32 − 3,2) × 5,45 − 9,186 [0]
[6]
[9,7]
[40]
[26,3]
Espressioni con frazioni e numeri decimali limitatiPer consolidare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
[2]
[3]
[0]
[11]
[2]
171 11514
145
23
0 12513
17 0 5 6 5+ × × ×−⎛⎝
⎞⎠ −⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
, : , : , −−⎛⎝
⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
2 51
1519
15 245
, , :× + × + 95
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
17023
8145
2 5 0 25 22615
89
3+ × + × +−⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
, , :22
0 25 1 4 4 0 5+ ×, , ,−⎛⎝
⎞⎠ −
16943
14
2 0 5 112
120
5 2 75 6× × + + + +, : , :( ) − ⎛⎝
⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
( ) ,, ,21
124 2 75+ × +
168 0 523
1 0 75 0 5 5 353
7238
13
, , ,+ × + × × +− −( ) −⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎞⎠ −− 27 5 1125, ,+ 5
2⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
167 0 751
120 625 3 6 0 35 0 3125 1 7 0 1, , , , , , ,− −⎛
⎝⎞⎠ −(× + + × )) − 0 5 2, ×
166 7 8 3 0 512
72
0 5 0 134
0 614
, , , , ,−( ) −⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎞⎠× × + × + + 83
20⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
16523
512
815
1 41130
1 7 0 35 1 6 0 6+ + + + +, , , , ,− − −
16476
1 25 0 7523
0 6 0 4+ + +, , , ,− −
163 6 0 3 200 3 8 8 6 5 12 44 34 2+ × × + ×, , , , :( ) −⎡⎣ ⎤⎦{ }162 4 8 2 0 5 6 1 2 8 3 6 2 1 5 3 2 42+ × × + × +, , , , , , ,−( ) −( ) −( )[ ] − 66 96,
161 3 1 1 2 15 1 0 5 0 5 1 6 0 35 22 2 2 2, , , : , , , : ,+ + + + +−( )⎡⎣ ⎤⎦{ }} × 0 3,
160 7 92 0 2 3 10 4 9 7 5 5 2 51 0 25 3 2, , , , : , ,+ × × × + ×( ) −⎡⎣ ⎤⎦{ }159
158 0 85 0 15 0 5 2 3 1 4 15, , : , , , : ,−( ) −( )+
157 0 5 0 5 7 5 0 5 0 5 0 5, , , , , ,× × −( ) −[ ] −
156 15 0 25 1 375 3 125, , , : ,+ +( )
155 2 3 1 4 5 2 7 32 5 4 9 5, , , , , ,+ × ×( ) − −( )
154 0 9 8 1 0 9 0 44 11 8 5 1, , : , , : , ,+ +− −
153 0 4 0 5 0 8 3 8 4 2 0 6 2 6, , , , , : , ,+ × + + −
152 esercizio guidatonel CD
esercizio guidatonel CD
ESERCIZI8.5 Proprietà delle operazioni 29
[1]
[0]
[1]
[4]
[17]
[1]
[0]
[4]
− −( ) ⎛⎝× ×0 88 0 4 0 354
212
: , , , ⎞⎞⎠
⎤⎦⎥
−+ 332
0 025,
4460
1 25 0 5 3 0 6 4 0 25 0 642
× × × ×, , , , ,−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−( ) − −( ) 556
0 457
15 1
2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪, :
: , ,
×
× 551645
158
2 652
52
814
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
× + × +, ×× 78
34
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
188
18718
87
12
16
0 125 0 5 2 1 2533 2
2: , , ,+ + × + +⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎞⎠ ( ) −
22
4213
0 87532
4 1417
× × × ×−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−, :116
38
⎛⎝
⎞⎠ + 1
2⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
18634
130
16
0 4 237
1 813
122 2
2× + × + ×−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−, ,66
0 05 2 5 2 51
100232
25
+ × × +, , : ,⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−× 25
25
23
2
31225
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
18556
413
1 2534
1 4 2 005 115
39+ + +− − − − −( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥{ } −, , ,
2200
18457
25
0 223
0 2523
45
23
2 1 75× + + + × +, , : ,−⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎞⎠ ( )⎡⎡
⎣⎢⎤⎦⎥{ } −× ×0 8
1011
97
,
183 1 5 100 253
2 10522
3 02 22
+ × + × ×: : ,( ) −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
− 55 5 1000 0 7535
15 61011
3( ) −⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
: , : : ,+ × + ++ 23
182 0 2 3 0 375 2 5 1 4340
0 05 0, , , , , ,× + + + + ×− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
8825
275
12
−⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−× : 1914
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
181 0 3751312
0 75 0 2549
2, , : ,− −⎛⎝
⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
( ) + 109
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
180 0 5 0 223
0 6 3 0 2522
, , : , ,−( ) −⎛⎝
⎞⎠ − ( )+
179825
0 314
0 5 0 4365
920
0 3+ × + + ×, , , ,−⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥⎥: ,0 49 11
10⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
178 0 4 0 3272
52
115 15 22320
, , , : , :−( ) −⎛⎝
⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
− −× + 00 88 3, :⎛⎝
⎞⎠
12
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
177 2 25 1 4 2 5 3 21 2 16 0 3 1 3 0 7, , : , , , : , : , ,−( ) −( )[ ] −( )+ × 11 6,[ ]
176 2 5 0 457
0 75 0 2 1 25 1521
, , , , : , ,−( ) − ( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
( )× + + ×11
15 1 2523
− −( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
, , × 3320
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
175 0 7523
4 5 0 625 2 573
0 75, , , : , ,−⎛⎝
⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−⎛⎝
⎞⎠× + × ++ 0 875,⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
174 0 2523
2 0 534
0 212
0 61
, , , ,+ + + + + +⎛⎝
⎞⎠ − ⎛
⎝⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−44
2 15− , 53
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
17365
3 112
0 2 0 9 3 1 0 525
22− −⎛
⎝⎞⎠
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ − −( )⎡× + + × +, , ,
⎣⎣⎢⎤⎦⎥
17212
1 2 657
15
1 25 0 858
15 0 2+ + × × + × ×, : , , , ,⎛⎝
⎞⎠
⎛⎝
⎞⎠ −⎡
⎣⎣⎢⎤⎦⎥
−⎛⎝
⎞⎠× 1 75
715
, :⎡⎣⎢
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti30
[28]
[1]
Espressioni con numeri periodiciPer consolidare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
Esercizio guidato
[1]
189 11
100 01
85
0 9 0 2 0 5 2 0 9 0 22 2 3 2 3+ × × + × + ×: , , , : , , ,( ) − 88015
107
102 3
2
( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎛⎝
⎞⎠
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
× × + + ,
201 2 8 19 6 3 27, : , ,× 481999
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
200 0 42 0 95 0 1, : , ,− 39
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
199 0 57 115 0 5, : , ,+
198 0 8 3 0 38, ,× × 1036999
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
197 0 094 1 86 2 1 45, , ,+ + − 857225
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
196 0 76 0 526 0 6 1 41, , , ,+ + − 122263
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
195 2 4 3 4 0 3 0 1, , , ,+ − − 499
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
194 1 4 2 6 1 5 1 7, , , ,+ − − 79
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
14 6 0 87 5 08
146 149
87 890
508 50
, , ,
......
− − =
= − − − − −.....
....................
...
=
= − − =
=
1329 90
3
44
........ − − = =79 45890
78390
8710
193
192
2 0 514
3 0 2 115
12
2 24 3
+ × + + +, , : :( ) ( ) −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
112
421
2 534
1
3 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
×
×, ,, , ,223
3 0 534
113
0 75−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− − ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−+ ×⎡⎡⎣⎢
⎤⎦⎥: ,2 75
3255
+
191
1 2537
4714
12
59
0 251
18193
6 1
, : ,
,
+ + ×
+ +
⎛⎝
⎞⎠ − −⎛
⎝⎞⎠
775 2 4 213
1 75 3113
( ) ( ) − ⎛⎝
⎞⎠: , ,+ + + +
524
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
190
34
0 5 0 5 0 25 1 0 52
2 3+ +, , , : ,⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −( )⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
( )⎧⎨⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪−⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
−( ) −
2 2
2149
23
2 0 523
0 25
:
, ,
+
+ + 1112
512
1513
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
: ,+
514
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
esercizio guidatonel CD
ESERCIZI8.5 Proprietà delle operazioni 31
[1]
[1]
[4,35]
[0]
[1,5]
[4,2]
[4]
[0,1]
[2,5]
[1]
[6]
[2]
[1]226 0 16 4 7512
0 5 0 75 0 315
153
, , : , , ,+ + + + × +−⎛⎝
⎞⎠
⎛⎝
⎞⎠
⎛⎝
⎞⎞⎠ − 11
202 0 5 2 6 0 16 0 583 0 6 0 5, , , , , ,× + ×− −
225 0 2 0 7512
14
0 612
56
0 845
18
, , : , : ,+ + × +−⎛⎝
⎞⎠ − −⎛
⎝⎞⎠ −
771
57
⎛⎝
⎞⎠ − ⎛
⎝⎞⎠+ 2
9⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
224 8 0 6320
0 1 112111
2 1 3 5− − −, , , , ,× + × + 92
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
203 0 3 0 083 3, ,−( ) × 34
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
223 0 851130
13
0 76 15316
, : , : ,+ − −
22223
0 6 0 83 2 4 1 52
2⎛⎝
⎞⎠ ( ) −+ + ×, , , ,
221 3 853
0 7 3, ,−⎛⎝
⎞⎠ × + 41
9⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
220 1 423
0 5 2, ,−⎛⎝
⎞⎠ × + 43
18⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
219 0 1523
0 6 2 25 0 46 0 12
, , , , ,× + ×⎛⎝
⎞⎠ − −
218 15 2 25 3 0 125 1 7 0 13 1 83 0 46 0 5, , : , : , , , : , ,+ + + +−( )⎡⎣ ⎤⎤⎦ −{ }: , ,0 5 0 5
207 6 21 5 4 115, , : ,−( ) 23
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
206 2 6 0 2 1 63 0 5, , , ,× + ×( ) 1312
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
205 0 3 0 2083 0 8, , ,−( ) × 110
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
204 0 7 116 15, , ,+ ×( ) 3512
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
217 2 3 0 5 0 75 0 3 0 6 0 25 1 0 16 03 2 2 2 2, : , : , , : , , : ,+ −( ) −( ) − ,, : , , ,16 1 0 5 0 3 1 0 52 3−( )⎡⎣ ⎤⎦ −{ } − −( )
216 0 13 1 25 0 75 116 1 6 2 75 2 3 0 75 2, , : , , , , , : ,× + + +−( ) −( ) ,,6 3−( )[ ] 45
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
215 2 6 3 6 1 8 3 5 10 1 3 0 5, , : , : , ,+ + ×−( ) ( )[ ] −
214 3 0 2 2 2 6 1 0 5 3 1 6 1 0 62 2 2 2−( ) ( ) ( ) −( ) − −( ), : , , , ,+ + + × 22 22 116: ,−( )
213 1 0 5 1 6 1 25 0 625 1 4 5 0 1 4 5+ × + + ×, , , : , , , : ,−( ) ( )[ ]
212 1 6 0 5 0 8 15 0 75 6 25 0 04 0 4 02 2 2, , , , , : , , : ,× × × −( ) −[ ] − ,,4
211 2 0 5 0 75 0 5 0 5 0 5 0 27 2 752 2+ × × + + ×, , : , , , , ,( ) ( ) −⎡⎣ ⎤⎦ 114 4 1 9, ,+
210 0 2 0 1 1 8 15 1 3 1 1 0 3 0 5 2 3 0 6, , , , , , , ,+ + × + × + ×−( ) − − −( ) −−( )0 5 0 16, ,+ 2 5,⎡⎡⎣⎣ ⎤⎤⎦⎦
209 2 1 6 0 5 116 0 5 1 8 1 1 5 5+ + + + + × +, , , , , , ,( ) ( ) ( ) 17 83,⎡⎡⎣⎣ ⎤⎤⎦⎦
208 0 16 0 5972 0 416 1 0 4583 0 26 1 875, , , : , , ,+ + ×−( ) −( )
ESERCIZI UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti32
[2]
[14]
[4]
[3]
[1]
2412 1 2 0 7 2 3 1 0 8
212
0 1103
22
−( ) −( )⎛⎝
⎞⎠ − ( )
, : , , : ,
,
+
× ×⎡⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ : ,0 7
409
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
240
0 8 0 34 0 7 1 0 213
3 5 1 0
2
, , : , ,
,
−( ) − − − ⎛⎝
⎞⎠
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−( ) × ,, ,4 1 0 213
+ + ×( )[ ]433
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
229 2 5 0 6 0 7585
1 0 2 1 0 16 0 13, , , , , ,+ × × + × +− ( ) −( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
− 1363
72
×
228 1 0 8 0 07 273
4 858
14
−( )[ ] −⎛⎝
⎞⎠, : , ,+ × + × 49
5⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
227 0 7251720
1 87535
0 3125 1 3625 572
, , , , :+ + + + −⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎝⎞⎠ −
2
1 3, 2972
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
2390 8 0 48 0 36 4
0 852
3310
0 45
, : , , :
, ,
+
× ×
( )−
238
0 2 2 335
1 06
13
0 2 2 2 3 6
, , : ,
: , , : ,
× +⎛⎝
⎞⎠
−
1516
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
2379 4 0 6 0 38 4 5 15 1 25
0 61 0 416 0 291, , , , , ,
, , ,× × × +
+ +−( )
66 0 96( ) × ,458
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
2363 27 2 2 4 3 0 7
4 2 3 2 05 6, , , : ,
, ,+× ×
−( )−
92
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
235
0 412
1 2552
0 2578
0 416 7, , : , : , ,× × + ×−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
5525
0 4698
34
21116
2 0 125
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
×
+ + × +, : , : 11 2547
237
145
, :+ + × +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
⎛⎝⎝⎜
⎞⎠⎟
910
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
23425
0 5 1 0 4 3 0 25 3 3 23920
34
+ + × × +, : , , ,⎛⎝
⎞⎠ −( ) − −⎛
⎝⎞⎠
⎡⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−( ) − ⎛⎝
⎞⎠ −⎛
⎝⎞⎠
⎡
⎣: , : , :5 0 3 1 0 16
13
35318
2
+⎢⎢⎤
⎦⎥ + 2
3
233 1 3 15 0 614
0 3 0 2512
2 3 113
+ + + + × +−( ) −⎛⎝
⎞⎠ −( ), , : , , ,⎡⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
−⎛⎝
⎞⎠
2 2
11315
34
4× + ×
232 1 832
0 614
0 83 0 512
0 32
4, , , , ,− ( )⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫× + × + × + ⎬⎬⎭
−( ) ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−× + +3 2 25 3 512
12
13
0 52
, : , : , 269
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
23114
12
13
32
0 1 0 317
1 0 6+ + × + × + +: , , ,⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎫⎬⎭
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
: , : ,52
212
0 375 0 62518
3
× × + × 11125,
23052
1051413
34
2 25 0 13 0 752
× +− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
: , : , ,⎧⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
: : ,112
0 6114
+ +12328
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
ESERCIZICalcolo mentale 33
calcolo mentale
Trasforma mentalmente le frazioni in numeri decimali.
Esempio
Trasforma mentalmente i numeri decimali in frazioni.
Esempio
2,76 7,8 0,6 0,03 4,006 0,082
5,3 18,4 7,41 34,19 5,712 0,8
16,9 0,3 1,48 0,09 0,115 7,0
Calcola a mente i quozienti, approssimando a meno di un’unità.
Esempio 48 : 10 ª 5
79 : 10 92 : 10 512 : 10 789 : 10
219 : 10 5719 : 10 8452 : 10 10 239 : 10
98 : 100 121 : 100 292 : 100 1240 : 100
2780 : 100 9761 : 100 18 345: 100 27 654 : 100
2349 : 1000 6978 : 1000 59 499 : 1000 59 599 : 1000
51 : 2 83 : 2 401 : 2 425 : 2
97 : 3 100 : 3 1000 : 3 6010 : 3
245
4,56 = 445566110000
2441001000
810
920100
2110
4310
37100
9711000
2431
10008
100039
1000226
100017121000
10001000
5401000
2421
104
101810
1100
4100
46100
272100
6100
= 00 0066,,
247
246
254
253
252
251
250
249
248
AUTOVERIFICA34autoverificainterattivanel CD
Qual è la frazione generatrice di un numero periodico misto?una frazione apparenteuna frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, contiene solo i fattori primi 2 o 5 oentrambiuna frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, non contiene come fattori primi né2 né 5una frazione irriducibile il cui denominatore, scomposto in fattori, contiene i fattori primi 2 o 5 o en-trambi, insieme ad altri fattori
Osserva la rappresentazione grafica:2
d
c
b
a
1
Qual è il numero la cui frazione generatrice è ?
0,19
0,21
Qual è la frazione generatrice del numero ?
Qual è la frazione generatrice del numero ?
L’insieme dei numeri razionali assoluti gode diuna proprietà che non vale per l’insieme dei nu-meri naturali. Quale?
la sottrazione gode della proprietà commu-tatival’addizione gode della proprietà invariantivala divisione è un’operazione interna all’in-siemela moltiplicazione non è un’operazione in-terna all’insieme
Qual è il risultato dell’espressione?
3,84 2,2
4
Qual è il risultato dell’espressione?
4,55
4,6
Qual è il risultato dell’espressione?
2,7
Qual è il risultato dell’espressione?
2,55b 2 55, d
a 2 5, c52
1 2 0 17 0 7 1 05 0 5 1 634
, , : , , : , ,+ + ×− ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎫⎬⎭
: ,0 88
10
b 2 7, d2790
a c279
0 4 1582557
3 2 0 245
5 625
12, , , , , :+ × × +− −⎛⎝
⎞⎠ −
9
b46
d
a c 4 6,
2 6 4 85 2 7 0 2, , , ,+ +− ( )8
b d115
a c
3 645
0 4 0 212
, , ,+ × + ×⎛⎝
⎞⎠
7
d
c
b
a
6
b 457 490
− d 457 4590
−
a 457100
c 457 4599
−
5 4 57,
b 869
d 253
a 789
c 8610
4 8 6,
b d 0 21,
a c 0 21,
31990
O
A 1 2
Quale numero è rappresentato dal punto A?
5 0,3a b 13
c 15
d
soluzioni a
p. 269
ESERCIZI per il recupero 35
Numeri periodiciPer recuperare la conoscenza del concetto di numero periodico
Completa la tabella.1
numero periodico semplice o misto? periodo antiperiodo
4 72, misto 2 7
32 4312,
5 34,
57 8,
14 63,
0 52,
8 92,
27 237,
24 823,
Scrivi i quozienti sotto forma di numeri decimali limitati o illimitati e indica le loro caratteristiche.
esercizi interattiviper il recuperonel CD
8 : 16 = ..........numero decimale limitatonumero decimale illimitatonumero periodico sempliceperiodo: ............................................................numero periodico mistoperiodo: ............................................................antiperiodo: .....................................................
7 : 3 = ..........numero decimale limitatonumero decimale illimitatonumero periodico sempliceperiodo: ............................................................numero periodico mistoperiodo: ............................................................antiperiodo: .....................................................
32
5 : 6 = ..........
numero decimale limitatonumero decimale illimitatonumero periodico sempliceperiodo: ............................................................numero periodico mistoperiodo: ............................................................antiperiodo: .....................................................
8 : 9 = ..........numero decimale limitatonumero decimale illimitatonumero periodico sempliceperiodo: ............................................................numero periodico mistoperiodo: ............................................................antiperiodo: .....................................................
54
Confronta i numeri delle seguenti coppie e scrivi sui puntini il simbolo <, > o =.
Per recuperare la conoscenza del concetto di numero razionale
Completa le frasi.• L’insieme costituito da tutte le frazioni equivalenti tra loro costituisce …….………….………….………….……….
• L’insieme delle classi di equivalenza formate da tutte le frazioni equivalenti fra loro è l’insieme dei nu-meri …….………….………….………….……….
• L’insieme dei numeri razionali assoluti è rappresentato dal simbolo …….………….………….………....….……….
11
5,3 .......... .......... 0,76 5 3, 0 7,
7,34 .......... 5,41 .......... 0,52 .......... ..........8 0 52, 3 8, 3 18,7 7 3, 5 4,
.......... 0,192 .......... 5,82 .......... ..........10 5 8, 8 15, 8 1,9 4 75, 4 7, 0 19,
Esempi 2 8 3 5 9 4 8 6, , , ,< >
ESERCIZI per il recupero UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti36
In base ai denominatori delle seguenti frazioni irriducibili, stabilisci se corrispondono a numeri decimali li-mitati o periodici semplici o misti.
Esempio è un numero decimale limitato perché 20 = 22 ¥ 5 (non ci sono altri fattori oltre 2 e 5)
è un numero periodico semplice perché 9 = 32 (mancano i fattori 2 e 5)
è un numero periodico misto perché 15 = 5 × 3 (ci sono ANCHE fattori diversi da 2 e 5)
Dalla frazione al numeroPer recuperare il collegamento tra frazioni e numeri decimali
Completa le frasi.• La frazione generatrice di un numero naturale è una frazione …….………….………….………….……….
• La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero decimale limitatodà luogo esclusivamente a potenze di .......... o di ..........
• La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero periodico semplicenon dà luogo a potenze di .......... o di ..........
• La scomposizione in fattori del denominatore della frazione generatrice di un numero periodico mistodà luogo ad altre potenze oltre a quelle di .......... e di ..........
Rappresenta ognuno dei seguenti numeri naturali sotto forma di tre frazioni diverse.
Trasforma le frazioni in numeri decimali.
Esempi327100
= 332277 110000 33 2277:: = ,,185
= 1188 55 33 66:: = ,,
7 = =..........
..........
..........
..........== =..........
..........
..........
........21
...
..........
..........
..........
........= =
...
9 = =..........
..........
..........
..........== =..........
..........
..........
........15
...
..........
..........
..........
........= =
...
14
13
1110
13
56
59
35
112
72
47
235
1350
1027
514
415
89
720
12
151
105
101510
162910
1100
8100
173
10057
100315100
203910
210
4151000
197
100029
100027531000
18181100
11000
271000
2310100
5810
8452010000
21 221010
100100
10001000
1371000
28211000
111000
264125
732
1211
25245
376
529
24834100
64100
93710
29256
167
716
28195
199
456
27240275
315
750
321115
2245
1925
3183
89
718
3034
75
47
Esempio 6 = = =118833
66001100
330055
ESERCIZI per il recuperoUNITÀ 8 I numeri razionali assoluti 37
0,05 6,008 0,084 54,3331
2076
12521
25054310
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
6,46 7,16 8,7 1,09 3,52 0,95 0,012 0,6358825
1920
3250
35
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
3432350
17925
8710
10910
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
16,5 0,75 2,19 0,056 3,5 41,8 1,48 43,963772
2095
3725
109925
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
36332
34
219100
7125
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
7,512 0,9 2,4 35,44 16,5 9,6 15,8 0,239332
485
795
15
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
38939125
910
125
88625
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
9,84 0,07 0,328 7,1 6,14 12,04 0,5 8,404130750
30125
12
425
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
4024625
7100
41125
7110
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
3,88 8,9 2,25 0,70 0,04 1,2 5,008 0,095431
2565
626125
19200
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
429725
8910
94
710
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
5,25 0,092 43,2 1,060 3,05 48,525 0,14 5,5456120
194140
750
112
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
44214
23250
2165
5350
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
Dal numero alla frazionePer recuperare il collegamento tra numeri decimali e frazioni
Trasforma i numeri in frazioni irriducibili.
Esempio 7,02 = 770022110000
3355115500
=
Esempio 1,3 = 1133 1199
112299
4433
- = =
47 2 4, 8 31, 3 38, 0 03,229
82399
33599
133
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
46 1 4, 4 5, 0 8, 8 8,139
419
89
809
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
49 15 6, 21 42, 0 135, 0 405,473
70733
15111
1537
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
48 7 3, 0 65, 0 18, 3 6,223
6599
211
113
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
Esempio 2,15 = 221155 22119900
1199449900
99774455
- = =
Scrivi le potenze di numeri decimali sotto forma di potenze delle frazioni generatrici, riducile aiminimi termini e calcola le potenze.
4,82 0,0027 0,942 194,60 0,34 20,52 0,73 0,045
Esempio
0 52,
58 8 420, 7 531, 0 312, 1 052, 111315
1962025
361324
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
57 0 022, 0 052, 0 034, 0 096,1
20251
3241
810 0001
1000 000; ; ;
⎡⎡
⎣⎣⎢⎢
⎤⎤
⎦⎦⎥⎥
56 8 10, 2 34, 34 151, 0 35, 12401
811127
331
243; ; ;⎡⎡
⎣⎣⎢⎢⎤⎤⎦⎦⎥⎥
55 2 52, 1 13, 0 813,2581
52981
1000729
7291331
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
4,62 = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4466 4499
442299
114433
11996622 22 22- = = =
9999
5453
52 0 05, 0 86, 23 456, 0 76,1
183945
11 611495
2330
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
51 0 843, 0 08, 0 01, 8 46,167198
445
190
12715
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
50 3 48, 0 57, 3 051, 4 15,15745
2645
1007330
18745
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
ESERCIZI per il recupero UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti38
Rappresentazione grafica dei numeri razionali assolutiPer recuperare la capacità di rappresentare graficamente le frazioni sulla semiretta dei numeri razionali assoluti
Rappresenta graficamente le frazioni.
Esercizio guidato
Rappresenta le frazioni con unità grafica u = 10 mm.35
75
125
, e
59
O
u = 10 mm
35
O
u = 10 mm
O
u = 10 mm
Rappresenta la frazione con unità grafica u = 10 mm.
Rappresenta la frazione con unità grafica u = 10 mm.
Rappresenta la frazione con unità grafica u = 10 mm.
Rappresenta la frazione con unità grafica u = 10 mm.
Rappresenta la frazione con unità grafica u = 20 mm.
Rappresenta la frazione con unità grafica u = 20 mm.65 185
64 74
63 1110
62 152
61 92
60165
RagionamentoL’unità grafica è lunga 10 mm, perciòcalcoliamo:
di 10 mm = 6 mm
A partire dall’origine O, contiamo 6 mm
e segniamo il punto che rappresenta .
Operiamo in modo analogo per rappre-
sentare .
di 10 mm = ........... mm
A partire dall’origine O, conta 14 mm e
segna il punto che rappresenta .
Per rappresentare la frazione calco-liamo:
di 10 mm = .......... mm
Perciò a partire dall’origine O, conta............. mm e segna il punto che rap-
presenta .125
125
125
75
75
75
35
35
ESERCIZI per il recuperoUNITÀ 8 I numeri razionali assoluti 39
Espressioni con numeri decimali limitati e con frazioniPer recuperare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Calcola il valore delle espressioni.
Esercizio guidato21,68 + 0,4 × (0,25 + 0,6 : 2) − 3,2 × 4 =
= 21,68 + 0,4 × (0,25 + ..........) − 3,2 × 4 == 21,68 + 0,4 × .......... − 3,2 × 4 == 21,68 + .......... − .......... = 9,1
4,5 − 1,4 + 4,8 × 5 − 3,9 [23,2]
(5,9 × 0,5 − 2,7 + 3,5) : (3,57 + 1,43) × 0,4 [0,3]
(5,6 + 0,1 − 3,4) × 0,8 − (2,56 − 2,1 + 0,23 × 2) × 2 [0]
[(7,9 − 4,3 + 6,35) + 9,5 : 0,1] − 10,99 × 5 [50]
[(3,5 + 0,2 − 3,7) × 4,58] + (3,8 − 2,3) × 0,2 [0,3]
{4,3 + [(6,25 − 0,01 × 25) + 2,9] : 0,5 − 12,1} − 2,4 × 3,5 + 0,4 [2]
Esercizio guidato{[(34 × 0,2 − 18,6 : 3) − 3] × [2,25 − 0,52]2 + 2,8} : 0,7 − 14 =
= {[(.......... × 0,2 − 18,6 : 3) − 3] × [2,25 − ..........]2 + 2,8} : 0,7 − 14 == {[(.......... − ..........) − 3] × [..........]2 + 2,8} : 0,7 − 14 == {[.......... − 3] × .......... + 2,8} : 0,7 − 14 == {.......... × ..........} : 0,7 − 14 == {..........} : 0,7 − 14 == .......... − 14 = 30
Esercizio guidato
[3]
77 0 284
150 2
10516
0 4, , ,+ −⎛⎝
⎞⎠
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−× 158
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
76 512
112
0 15 0 0259
16− + −⎛
⎝⎞⎠, , × 33
128⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
75 32
0 25311
712
0 543
4 54511
+ − − + −, , ,× ×
= .......... .......... ..........− + − + −20 56 12200 20
54
= =..........
= 125
14
32
− + − + −.......... .......... .......... ==
= − × − × + −2410
14
1510
23
45
325
12
2
3+ .......... ........... =
2 414
1523
45
3 532
0 6, , , ,− + − + − =× ×
74
73
72
71
70
69
68
67
66altri esercizi guidatinel CD
ESERCIZI per il potenziamento40
Trasformazioni da frazione a numero e da numero a frazionePer potenziare la conoscenza del concetto di numero razionale assoluto
Trasforma i numeri in frazioni irriducibili.
7,488
1,093 0,825
Risolvi l’espressione.
Ora, trasforma l’espressione sostituendo i numeri decimali con le frazioni, poi risolvila. Infine trasforma lafrazione ottenuta in numero decimale. È lo stesso risultato che hai già calcolato all’inizio? [17,7; sì]
Esegui le operazioni con le frazioni, poi trasforma le frazioni in numeri decimali, e ripeti l’ope-razione. Infine confronta i risultati.
9 5 0 8 7 1 4 0 3 2 1 0 02 0 9, , , , , , : ,−( )[ ]× × + × +
3
2 1 093, 1 093,10931000
364333
1083990
3340
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
1 5 3, 8 93, 7 571,936125
163
29533
3748495
; ; ;⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
Nelle frazioni, alcuni termini sono stati sostituiti dalle rispettive scomposizioni in fattori primi. Stabilisci aquale tipo di numero dà origine ciascuna frazione, senza eseguire i calcoli (ricordati però di ridurre le fra-zioni ai minimi termini).
numero decimale numero decimale numero decimalelimitato periodico semplice periodico misto
8
1282 54 3×
esercizi interattiviper il potenziamentonel CD
792
25
:61920
72
×59
10625
−485
34
+
13 52 4×
2 52 3
4
6
××
27411 2 5× ×
3 23 5
2
2 4
××
1267 3 22 3× ×
2 32 3 53
×× ×
2 3 5 72 3 72
× × ×× ×
2 3 133 5 13
4 2 2
2 3 2
× ×× ×
5 115 11
4
2
××
ESERCIZI per il potenziamentoUNITÀ 8 I numeri razionali assoluti 41
Rappresentazione grafica dei numeri razionali assolutiPer potenziare la capacità di rappresentare graficamente le frazioni sulla semiretta dei numeri razionali
assoluti
Rappresenta con unità grafica u = 1 cm le frazioni:
Rappresenta con unità grafica u = 2 cm le frazioni:
Proprietà delle operazioni con i numeri razionali assolutiPer potenziare la conoscenza delle proprietà delle operazioni
Alle seguenti operazioni applica la proprietà commutativa nei casi in cui è possibile.
Applica la proprietà distributiva.
La potenza di un numero decimale è uguale alla stessa potenza della frazione generatrice di quel numerodecimale? Scrivi un esempio.
EspressioniPer potenziare l’abilità di calcolo con i numeri razionali assoluti
Scrivi sotto forma di espressione, poi risolvi.
Il quoziente del quadrato di 0,5 e della differenza tra 4,5 e il prodotto di 50 e 0,01. [0,0625]
Il quadrato della differenza dei quadrati di 0,5 e 0,2. [0,0441]
Calcola il valore delle espressioni.
[5]
[6]
[1]
[1]21 112
0 3 0 833
103 2 6
2− ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−( )⎧⎨⎩
⎫⎬+ + ×, : , ,⎭⎭
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−: ,23
0 525
2 15 0 5 0 3 0 16 0 16 0 2 22 2+ × + − + ×, {[( , , , ) : ( , , ) ] [( ,5 5 −− × × + −15 0 5 1 3 1 9995 0 1872, ) , ] , ( , , )}
16981
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
17
1 6 0 8 0 8 0 7 0 4 1 01 13 7 10 3, , : , ( , , ) : ( , )+ − − −16
2023
2 25259
45
308
23
26
1 252
8 2
+ × × × + ×, ,− ⎛⎝
⎞⎠
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧⎨⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪−
4
815
0 2× ,
1934
0 614
56
34
25
207
1× + ×, : : ,−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
55 0 7543
78
2−( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
−, × 12
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
1823
0 6 0 83 2 4 1 52
2⎛⎝
⎞⎠ ( ) −+ + ×, , , ,
15
14
13
23
15
37
821
× + +⎛⎝
⎞⎠
54
79
27
× −⎛⎝
⎞⎠
12
37
27
97
27
97
27
97
27
+ ×− :
11
54
94
254
65
425
2415
308
5712
10
112
192
310
910
2710
45
115
195
9
ESERCIZI per il potenziamento UNITÀ 8 I numeri razionali assoluti42
Calcolo letteralePer sviluppare le abilità nel calcolo letterale
Calcola il valore dell’espressione letterale per i valori assegnati.
a = 6 e b = 0,9 [1,0725]27
a b a+( )[ ] −: ,2 0 25
[6]
29 a b= =0 413
, e 4516
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
28 a b= =0 2 0 3, ,e
Calcola il valore di ciascuna espressione letterale per i valori assegnati.
[11,2]30 2 0 5 5 0 7× + +a b a b, ,( ) = =e
a = 2,7 e b = 3,2 [600]31 b a b a a+ × × × + + ×9 6 4 3 0 162( ) −( ) ( ) − ,
a = 3 e b = 0,5 [16]32 a b a a b b− −( )⎡⎣ ⎤⎦ − −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
0 7534
, × + × ×× × +812
b
[1]33 a b b a+( ) −( )[ ] −:1214 a b= =0 2 0 6, ,e
[1]223
100 27 0 2 13 9 4 3 1 4
109
2+ × +, , , , , :−( ) −( )⎡
⎣⎤⎦
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⎧⎨⎪
⎩⎪
⎫⎬⎪
⎭⎪−
25
1815
3 14 2 1× : , , 2239045
3 021−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
: ,
23 135
0 2 2 1 8 13
100 4
2− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−( ) −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤, , ,× × +⎦⎦⎥
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
( ) ( ) ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
× 15 153
103
107 3
, : , : :33
23
0 5⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
× ,1112
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
24 0 5 0 532
0 5 1 343
2 4
3
, , , ( , ) :+⎡
⎣⎢⎢
⎤+ −⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅⎦⎦⎥⎥
+⎡⎣ ⎤⎦: ( , , ) : ,0 83 0 25 1 083 136
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
25
23
0 1612
2 3 0 5
214
1 0 3
+
+ × +
, : , ,
,
−⎛⎝
⎞⎠ −( )
⎛⎝
⎞⎠ ( )
116
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
26
14
0 1211
4 8 0 7 1 75
1 1 0
2+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ +( )⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
+
, , , : ,
,
⋅
,, : ( , ) , ,623
1 0 16 0 63115
0 26−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
− + +⋅
427
⎡⎡⎣⎣⎢⎢
⎤⎤⎦⎦⎥⎥
AllenaMENTE 43
soluzioni a
p. 270
Crucinumero1 2 3 4 5
6 7 8
9 10
11 12 13 14
15
Orizzontali1. 5,8 + 12,2
3.
6.
8.
9.
10.
12.
14.
15.
Verticali1. 3,4 × (2,5 + 1,5 × 3) − 4,8
2.
3.
4. (5,2)3 + 0,392
5.
7.
10.
11.
13.
14. 2 2 848 : ,
( ) ( , )3 2 5 8482 0× +
53 99,
25 79 10, ×
3 5 2 3 4 645 5 97 14004 × + × +( , , ) , :
( , ) ,0 3 81 14 94 × ×
0 32 90, ×
( , , , )2 4 4 6 0 8 111+ + ×
22 939 11469 5 5734 75 2 102+ + ×( )[ ] ×, ,
8 9,
95 8 0 2 3 5, : , ,+
0 41 2 3 2 0 582, ( ) ,+ × + +
2 3 1 1 84 × +( , , )
44 9,
8 53 15 10 5 2692 2, ( )× × − +
24 5 90 1, × +
Il labirinto del saggioScopri una massima di Einstein.Partendo dal numero 0 in basso a sinistra, arriva al numero 20 in alto a destra, passando unavolta sola su tutte le caselle e seguendo i numeri in ordine crescente.
155 3,5 4,06
102 5,01
362 19 20
2 4, 2,04 2 4,59 4,6 5,03 16151
1,155
1510 5 03,
262 14,5
0 5,65 1,3 5,2
222
363
110 0,55 0,5 6 5 2, 5,22 10
192
014
310
6510
497 8
253
182
Indovinello storicoRisolvi questo indovinello attribuito a Pitagora in risposta a chi gli chiedeva quanti fossero i suoialunni. Diceva Pitagora: “In questo momento sono tutti al lavoro: la metà dei miei discepolista studiando geometria, un quarto di loro studia le leggi della natura; un settimo di loro di-scute di filosofia, tre stanno studiando musica”. Quanti sono in tutto gli alunni di Pitagora?
A R A D U P R E
P N U C A T A I
C È E E E S
E O M F O S
A T N Z N U L O
L M E I O N A S
pensi
ero
razionale
altri giochinel CD
44 M A T E M A T I C A
C O N I L P C
I NUMERI RAZIONALI ASSOLUTIAbbiamo già visto nelle Unità 6 e 7 come operare con le frazioni in Excel, quindi non dovrestiavere problemi a svolgere gli esercizi che seguono. In ogni caso, accanto agli esercizi abbiamoriportato un piccolo promemoria per aiutarti a ricordare.
Esercizi con carta e penna con il PC
Trasforma i numeri decimali inseriti nelle tabelle che seguono in frazioni irriducibili. Al postodelle frazioni improprie scrivi i corrispondenti numeri misti (come mostrato dall’esempio).
Completa a mano le tabelle e poi controlla irisultati con Excel.
ProceduraFormatta la colonna B come frazione a 3cifre (Formato ➞ Celle… ➞ Numero ➞
categoria: Frazione ➞ tipo: Fino a trecifre ➞ Ok)
Inserisci nella cella B2 la formula per co-piare il contenuto della cella A2 (= A2) epoi copia per trascinamento la formulanelle altre celle da B2 a B23.
2
1
1
La procedura è la stessa utilizzata nel-l’esercizio precedente.Devi però formattare la colonna A comenumero decimale con 9 cifre dopo la vir-gola.
2
