Ignacio CascosDepto. Estadística, Universidad Carlos III1 Variables aleatorias Tema 4

Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1

Variables aleatorias

Tema 4


Descripción breve del tema1. Concepto de variable aleatoria2. Variables aleatorias discretas y continuas

Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución)

Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución)

3. Medidas características de una variable aleatoria Medidas de centralización Medidas de posición Medidas de dispersión

4. Desigualdad de Chebichev5. Transformaciones de variables aleatorias6. Independencia entre variables aleatorias


Objetivos Manejar variables aleatorias con soltura. Manejar funciones de distribución, de probabilidad y

de densidad con soltura. Calcular esperanzas de variables aleatorias y de

transformaciones suyas. Calcular la distribución de una transformación de

una variable aleatoria con distribución conocida. Entender el concepto de independencia entre

variables aleatorias.








Concepto de variable aleatoriaUna variable aleatoria asocia un número con

cada resultado del experimento aleatorio.

Es aleatoria porque al no conocer el resultado del

experimento antes de realizarlo, tampoco

conocemos el valor que va a tomar la variable.


Concepto de variable aleatoria Definición. Una variable aleatoria X es una

aplicación X: E IR, donde E es el espacio muestral asociado a un experimento.

e1

e3

e2

X (e3) X (e2) X (e1)

X

IR


Concepto de variable aleatoriaLos sucesos que nos interesarán a partir de ahora son

del tipo XA donde A es un subconjunto de IR.

Con probabilidades P(XA) = P({eE: X(e)A}).

Propiedades:

1. P(XA) 0 ;

2. P(XIR) = 1 ;

3. si A1, A2,…IR son tales que AiAj= para i j,

entonces P(Xi=1, Ai)=i=1,P(XAi) .








El rango de una variable aleatoriaEl rango de una variable aleatoria es el conjunto de

valores que puede tomar. Una variable aleatoria es discreta si su rango es

finito o infinito numerable. Ejemplos: nº piezas defectuosas, nº lanzamientos dado

hasta un 5. Una variable aleatoria es continua si en su rango

contiene un intervalo. Ejemplos: duración batería.


Variables aleatorias discretasDada X una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad asigna a cada posible valor de la variable, la probabilidad de que X tome dicho valor.

p: IR [0,1]

x p(x) = P(X=x)

Cumple que 0 p(x) 1 para todo x y si la variable

toma n valores distintos x1,…,xn , entoncesi p(xi) = 1,

así P(XA) = xiA p(xi) .


Variables aleatorias discretasSupongamos que X es el número de

motores averiados en cierta máquina

compuesta por tres motores. Dicha

variable tendrá como función

de probabilidad

0 1 2 3

Funcion de probabilidad

numero motores averiados

prob

abili

dad

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

x p(x) = P(X=x)

0 0’125

1 0’375

2 0’375

3 0’125


Variables aleatorias discretasLa función de distribución evaluada en x es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que x.

F(x) = P(X x)1. limxF(x) = 0 ;

2. limx F(x) = 1 ;3. F es no decreciente ;4. F es continua por la derecha.


Variables aleatorias discretasLa función de distribución

de una variable aleatoria

discreta será escalonada,

F(x) = P(X x)

= xi x p(xi)

-1 0 1 2 3 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Funcion de distribucion

numero motores averiados

pro

babili

dad


Variables aleatorias continuas

Histogram of duracion

duracion

Den

sity

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Histogram of duracion

duracion

Den

sity

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Como el conjunto de valores que toma una variable aleatoria

continua es no numerable, expresiones del tipo i p(xi) = 1 no

tienen sentido.

Histograma para la duración de 10000 baterías.


Variables aleatorias continuasLa curva f que hemos

trazado sobre el segundo

histograma, lo aproxima

muy bien, de hecho tenemos

P(2 X 4) f(x)dx

donde X es la duración, en

cientos de horas de una

batería.0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

dens

idad


Variables aleatorias continuasLa función de densidad f describe la distribución de

probabilidad de una variable aleatoria continua. Cumple:

1. f(x) 0 ;

. f(x)dx = 1 .

3. Tenemos además P(a X b) = abf(x)dx .

Dada X v.a. continua, cumple P(X = a) = 0 ; P(a X b) = P(a < X b) = P(a X < b) = P(a < X < b)


Variables aleatorias continuasCalculamos la función de distribución de una variable aleatoria continua integrando su función de densidad,

F(x) = P(X x) = xf(t)dt

1. limxF(x) = 0 ;

2. limxF(x) = 1 ;3. F es no decreciente ;4. F es continua.


Variables aleatorias continuasComo la función de distribución

es una primitiva de la función de

densidad, obtenemos la función

de densidad derivando la función

de distribución,

f(x) = dF(x)/dx .

Estamos manejando

f(x) = ex si x > 0

F(x) = 1ex si x > 0

Mean1

Exponential Distribution

x

cumu

lative

prob

abilit

y-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1








Esperanza matemática o mediaLa esperanza o media () de una variable aleatoria

es el centro de gravedad de los valores que toma

X discreta, = E[X] = xip(xi)

X continua, = E[X] = xf(x)dx

Propiedades: Dadas X,Y y dos números, a,b

1. E[a+bX] = a+bE[X] ;

2. E[X+Y] = E[X]+E[Y] .


Esperanza matemática o mediaDada una función g: IR IR, podemos calcular

la esperanza de la variable aleatoria g(X) como

X discreta, E[g(X)] = g(xi)p(xi)

X continua, E[g(X)] = g(x)f(x)dx


MedianaLa mediana de una variable aleatoria X es un

valor Me tal que

F(Me) P(X Me)

Si X es una variable aleatoria continua, entonces

F(Me) = 1/2.


Medidas de posición no centralEl cuantil 0 < de una variable aleatoria X es un

valor x tal que la probabilidad de que X sea menor o

igual que x es, al menos, y la probabilidad de que sea

mayor o igual es, al menos, 1.

F(x) = P(X x) P(X x) 1

Podemos también hablar de percentiles y de cuartiles

Pa = xaQi = Pi

donde 1 a 99 y 1 i 3 .


Medidas de dispersiónLa varianza de una variable aleatoria X se define

2 = Var[X] = E[(XE[X])2] X discreta, 2 = Var[X] = xi)2 p(xi)

X continua, 2 = Var[X] = x)2 f(x)dx

La desviación típica es la raíz cuadrada positiva

de la varianza, = (Var[X])1/2 .


Medidas de dispersiónPropiedad. Var[X] = E[X2]E[X]2 = E[X2]2

Dados a,bIR y una variable aleatoria X,

tenemos las siguientes propiedades de la varianza

1. Var[b] = 0 ;

2. Var[aX] = a2Var[X] ;

3. Var[aX+b] = a2Var[X] .


Medidas de formaDescriben la distribución de la variable aleatoria

sin tener en cuenta su escala

Momento de orden k respecto del origen, mk = E[Xk]

Momento de orden k respecto de la media, k = E[(X)k]

Coeficiente de asimetría. CA = 3/3

Coeficiente de apuntamiento. CAp = 4/43








Desigualdad de ChebichevSi una variable aleatoria X tiene media y

varianza 2 y dados k, > 0, tenemos las

siguientes expresiones equivalentes:

P(| X| k) 1/k2

P(| X| ) 2/2

P(k < X < +k) 11/k2

P( < X < +) 12/2








Transformaciones de vables. aleatoriasDada una variable aleatoria X y una funcióng: IR IR, queremos estudiar la distribución de la variable aleatoria Y=g(X).

FY(y) = P(Y y) = P(g(X) y) = P(X Ay) ,

donde Ay = {x: g(x) y}.

En muchos casos este conjunto Ay es sencillo de

calcular.


Transformaciones de vables. aleatorias

Si X es una variable aleatoria discreta, tenemos

FY(y) = P(Y y) = P(g(X) y)

= g(xi) y pX(xi) ,

además la función de probabilidad de Y será,

pY(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y)

= g(xi) = y pX(xi) .


Transformaciones de vables. aleatorias

Si g es continua y creciente

FY(y) = P(g(X) y) = P(X g1(y)) = FX(g1(y))

En general, si X es una variable aleatoria

continua e Y=g(X) con g derivable e inyectiva,

tenemos que la función de densidad de Y cumple

fY (y) = fX (x) |dx/dy|








Independencia de variables aleatorias

Dos variables aleatorias X e Y se dicen

independientes si para cualesquiera A,BIR,

P((XA)(YB)) = P(XA)P(YB)

Equivalentemente, para cualesquiera x,yIR

P((X x)(Y y)) = P(X x)P(Y y)

Propiedad. Si X e Y son independientes,

Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y]

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