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Apuntes de A. Cabañó Matemáticas aplicadas a cc.ss. VARIABLES ALEATORIAS CONTENIDOS: Variables aleatorias discretas: definición. Función de probabilidad. Función de distribución. Media, varianza y desviación típica. Distribución binomial. Introducción al concepto de variable aleatoria continua. Distribución normal. Tipificación. Manejo de tablas. Variable aleatoria discreta. Se llama variable aleatoria a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Según como sean los recorridos de las variables, éstas se pueden clasificar en discretas y continuas: Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar unos ciertos valores enteros. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo e la recta real. Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor x i de la variable su probabilidad p i , Esta función la podemos expresar fácilmente mediante la siguiente tabla: X p i =p(X=x i ) x 1 x 2 x 3 . . p 1 p 2 p 3 . . 1 Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x), a la función F(x)=p(Xx) P(Xx) se lee “probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a x”. Es decir, la función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Veamos algunas propiedades de la función de distribución: 1. Como F(x) es una probabilidad, se verifica: 0F(x)1. 2. La función de distribución F(x) es constante entre cada dos valores consecutivos de la variable. De ahí que se trate de una función escalonada. 3. La función de distribución F(x) es nula para todo valor de x anterior al menor valor de la variable aleatoria. 4. La función F(x) es igual a la unidad para todo valor de x posterior al mayor valor de la variable aleatoria. 5. La función de distribución F(x) es creciente. Se llama media de una variable aleatoria X, que toma los valores x 1 , x 2 , .....,x n , con probabilidades p 1 ,p 2 ,....p n , respectivamente, al valor de la siguiente expresión: Variables aleatorias 1

09VARIABLES ALEATORIAS

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    VARIABLES ALEATORIAS CONTENIDOS: Variables aleatorias discretas: definicin. Funcin de probabilidad. Funcin

    de distribucin. Media, varianza y desviacin tpica. Distribucin binomial. Introduccin al concepto de variable aleatoria continua. Distribucin normal.

    Tipificacin. Manejo de tablas. Variable aleatoria discreta. Se llama variable aleatoria a toda ley (funcin) que asocia a cada elemento del espacio muestral E un nmero real. Segn como sean los recorridos de las variables, stas se pueden clasificar en discretas y continuas: Una variable aleatoria es discreta cuando slo puede tomar unos ciertos valores enteros. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar, al menos tericamente, todos los

    valores posibles dentro de un cierto intervalo e la recta real. Se llama funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicacin que asocia a cada valor xi de la variable su probabilidad pi, Esta funcin la podemos expresar fcilmente mediante la siguiente tabla:

    X

    pi=p(X=xi) x1 x2 x3 . .

    p1 p2 p3 . .

    1

    Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos funcin de distribucin de la variable X, y escribiremos F(x), a la funcin

    F(x)=p(Xx) P(Xx) se lee probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual a x. Es decir, la funcin de distribucin asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor. Veamos algunas propiedades de la funcin de distribucin: 1. Como F(x) es una probabilidad, se verifica: 0F(x)1. 2. La funcin de distribucin F(x) es constante entre cada dos valores consecutivos de la

    variable. De ah que se trate de una funcin escalonada. 3. La funcin de distribucin F(x) es nula para todo valor de x anterior al menor valor de la

    variable aleatoria. 4. La funcin F(x) es igual a la unidad para todo valor de x posterior al mayor valor de la

    variable aleatoria. 5. La funcin de distribucin F(x) es creciente. Se llama media de una variable aleatoria X, que toma los valores x1, x2, .....,xn, con probabilidades p1,p2,....pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresin:

    Variables aleatorias 1

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    =x1p1+x2p2+.....+xnpn= =

    n

    iii px

    1

    A la media tambin se le llama esperanza matemtica. Se llama varianza de una variable aleatoria X, , que toma los valores x1, x2, .....,xn, con probabilidades p1,p2,....pn, respectivamente, al valor de la siguiente expresin:

    2

    1

    22 = =

    n

    iii px

    La raz cuadrada positiva de la varianza se llama desviacin tpica y se representa por . Distribucin binomial. Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes caractersticas: 1. En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados, el suceso A y su contrario. 2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. 3. La probabilidad del suceso A es constante y, por tanto, no vara de una prueba a otra. Todo experimento que tenga estas caractersticas, diremos que sigue el modelo de la distribucin binomial. A la variable aleatoria X, que expresa el nmero de xitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial. Representaremos por B(n,p) a la variable de la distribucin binomial, siendo n y p los parmetros de dicha distribucin. Si un experimento aleatorio se realiza n veces y queremos hallar la probabilidad de que se verifique exactamente r veces un suceso A, dicha probabilidad vendr dada por al siguiente expresin:

    qpr

    n=(A)p r-nrr

    siendo p la probabilidad de que se verifique el suceso A y q la negacin de dicho suceso. La media, la varianza y la desviacin tpica de una distribucin binomial tienen las siguientes expresiones:

    npqnpqnp === 2 Ejemplo- En cada una de las siguientes situaciones, explica si se trata de una distribucin binomial. En caso afirmativo, identifica los valores de n y p: a) Se ha comprobado que una determinada vacuna produce reaccin alrgica en dos de cada

    mil individuos. Se ha vacunado a 500 personas y nos interesamos por el nmero de reacciones alrgicas.

    b) El 35% de una poblacin de 2000 individuos tiene el cabello rubio. Elegimos a diez personas al azar y estamos interesados en saber cuntas personas rubias hay.

    ( )002,0;500002,01000

    2500, con binomial ndistribuci una Es a) Bpn === ( )35,0;1035,0 10, = con binomial ndistribuci una Es b) Bpn =

    Ejemplo- Lanzamos un dado siete veces y vamos anotando los resultados. Calcula la probabilidad de obtener: a) Algn tres. b) Ms de cinco treses.

    Variables aleatorias 2

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    Halla el nmero medio de treses obtenidos y la desviacin tpica. Si hallamos x = "nmero de treses obtenidos", se trata de una distribucin binomial con n = 7,

    =61,7

    61 Bp

    [ ] [ ] [ ] 721,00721,0651010 a)

    7

    =>=

    ===> xpxpxp[ ] [ ] [ ] ==+==> 765 b) xpxpxp

    [ ] 000129,05000129,061

    636

    61

    657

    61

    77

    65

    61

    67

    5777

    76

    =>===+=

    +

    = xp

    Hallamos la media y la desviacin tpica:

    17,117,167

    617 === np

    986,0986,03635

    65

    617 ===== npq

    Ejemplo- Preguntando a 1000 familias por el nmero de telfonos que tienen, se han obtenido los siguientes resultados:

    Se ajustan estos datos a una binomial? Empezamos calculando la media de la variable "n de telfonos":

    169,3

    10003169 :Media ==x

    pnp 4 : es binomial la de media La == ( ) :ser,medias dos las coincidir deben Como x=

    21,0=79,0179,04169,3169,34 ==== qpp

    Compararemos la distribucin emprica con una distribucin binomial B(4; 0,79). En una

    distribucin B(4; 0,79), la variable x toma los valores 0, 1, 2, 3, 4. Si repitiramos la experiencia 1000 veces, cuntas veces se daran cada uno de estos valores?

    Variables aleatorias 3

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    Las diferencias son suficientemente pequeas para suponer que el ajuste es bueno; es decir, que los datos iniciales provenan de una distribucin binomial. Distribucin de probabilidad continua. Una distribucin de probabilidad es una idealizacin de una distribucin de frecuencias relativas. En el caso da las variables aleatorias continuas no tiene sentido hablar de la probabilidad en un punto, por ser siempre 0; en cambio, tiene inters conocer la probabilidad correspondiente a un intervalo. Las funciones f(x) asociadas a una variable aleatoria X continua que cumple las condiciones: 1. f(x)0 en todo el dominio de la definicin. 2. El rea encerrada bajo la curva de f(x) es la unidad se llaman funciones de densidad de la variable aleatoria continua X. La distribucin normal se llama as porque durante mucho tiempo se pens que se era el comportamiento normal de todos los fenmenos. La funcin de densidad de una distribucin normal tiene una compleja expresin. Leyendo la grfica de la funcin f(x) resulta que: 1. Campo de existencia : toda la recta real. 2. La funcin es simtrica respecto de la recta x= 3. No corta al eje X 4. La funcin crece hasta x= y decrece a partir de x=. 5. La funcin presenta dos puntos de inflexin para los valores x= y x=+ 6. El rea del recinto determinado bajo la funcin f(x) y el eje de abscisas es igual a la unidad. A la vista de la representacin de la funcin de densidad de una variable aleatoria N(,), es evidente que para cada valor de y de tendremos una funcin de densidad distinta. Conviene observar que cuando la desviacin tpica es elevada aumente la dispersin y, en consecuencia, la grfica es menos estilizada y ms abierta. Por el contrario, para valores de muy pequeos la dispersin disminuye y, en consecuencia, la grfica de la funcin es ms estilizada y concentrada en torno a la media. En cualquier caso, el rea encerrada bajo cualquiera de las curvas es igual a la unidad. De las infinitas distribuciones N(,), tiene especial inters la distribucin N(0,1); es decir, aquella que tiene por media el valor cero y por desviacin tpica la unidad. Esta distribucin se llama ley normal estndar, o bien distribucin normal reducida.

    La funcin de densidad es: 22

    21)(

    x

    exf

    = cuya representacin es:

    Variables aleatorias 4

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    F(x) x + La funcin de distribucin de la ley normal estndar proporciona el rea del recinto. Dependiendo del valor que tome en cada caso la variable X, se obtendr un rea distinta que, por tratarse de una probabilidad , ser menor o igual que la unidad. La distribucin N(0,1) se encuentra tabulada, lo que permite un clculo rpido de las probabilidades asociadas a esta distribucin. Es obvio que no se puede construir tablas para todos los tipos posibles de distribucin N(,). Lo ms aconsejable sera poder transformar la variable X que sigue una distribucin N(,), en otra variable Z que siga una distribucin N(0,1). Esta transformacin se conoce con el nombre de tipificacin de la variable.

    Esto se consigue realizando el siguiente cambio de variable: = XZ

    Ejemplo- La estatura, en centmetros, de los individuos de una poblacin sigue una distribucin N(175,8). Calcula, sin utilizar la tabla de la N(0, 1), la probabilidad de que un individuo de esa poblacin elegido al azar mida: a) Menos de 175 cm. b) Entre 167 cm y 183 cm. c) Entre 159 cm y 191 cm. ( ) :entonces , ndistribuci una sigue si que Sabemos Nx [ ] [ ] 6826,0;5,0 =+

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    [ ] [ ] 8944,025,125,1 b) = zpzp

    [ ] [ ] [ =

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    [ ] [ ] [ ] [ ]( ) = npqxp La calculamos aproximando con una normal:

    ( ) ( 1,0 es 5,50 es '21,100 es NzNxBx

    )

    [ ] [ ] [ ] ==

    ==> 1,25

    505,605,60'60 zpzpxpxp

    [ ] [ ] 0179,0600179,09821,011,21 =>==

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    x 2 3 5 6 8 p 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1

    a) Hallar la funcin de distribucin de dicha variable. b) Representar la funcin de distribucin. c) Hallar la media y la desviacin tpica.

    2. Considrese el experimento que consiste en lanzar dos dados y anotar el resultado de la

    suma de las caras superiores. Hallar a) La funcin de probabilidad y su representacin. b) La funcin de distribucin F(x) y su representacin. c) La media y la desviacin tpica. d) Sea X la variable aleatoria que expresa la suma del nmero de puntos de los dos dados,

    hallar las siguientes probabilidades: p(X5) p(X10) F(4)

    3. Sea X una variable aleatoria discreta cuya funcin de probabilidad es:

    x 0 1 2 3 4 5 p 0,1 0,2 0,1 0,4 0,1 0,1

    a) Calcular y representar grficamente la funcin de distribucin. b) Calcular las siguientes probabilidades: p(X

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    10. Sea Z una variable aleatoria N(0,1). Calcular: a) p(Z1,32). b) p(Z2,17) c) p(1,52

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    3. La funcin de distribucin de una variable aleatoria X es:

    5x si1

    5

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    c) Cul es la probabilidad de que todas sean correctas? d) Si escogisemos slo 5 piezas. Cul es la probabilidad de que haya alguna defectuosa? Sol: a) 0'0956; b) 0'0042; c) 0'9044; d) 0'049 12. Al inspeccionar 1200 piezas hechas por una misma mquina, 120 eran defectuosas. Cul es la probabilidad de que, al coger cinco piezas hechas por esta mquina, dos o ms sean defectuosas?. Sol: 0,0814 13. El 40% de los habitantes de un pas tienen sangre del tipo 0. Si se analiza la sangre de 8 personas. Calclese: a) La probabilidad de que ms de cinco de esas personas tenga sangre del tipo 0; b) La probabilidad de que ninguna tenga ese tipo de sangre c) Hallar la esperanza y la varianza de esta distribucin Sol: a) 0,0499; b) 0,0168; c) E(x) = 3,2; V(x) = 1,92 14. Un examen tipo test tiene 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, siendo slo una de ellas correcta. Un alumno decide contestar aleatoriamente. Si para aprobar el examen hay que acertar 5 o ms preguntas, hallar: a) La probabilidad de aprobar el examen. b) La probabilidad de no acertar ninguna pregunta. c) La probabilidad de acertarlas todas. Sol: a) 0,0782; b) 0,0563; c) 0 15. En un examen de matemticas el porcentaje de aprobados es del 60%. Si escogemos cinco alumnos al azar. Cul es la probabilidad de que aprueben: a) los cinco? b) ms de tres? c) al menos dos? d) ninguno? e) Halla la esperanza y la varianza Sol: a) 0'0798; b) 0'3370; c) 0'0541; d) 0,1160; e) E(x) = 3; V(x) = 1'2 16. Un equipo de baloncesto encesta el 80% de los tiros libres que intenta. Si en un determinado intervalo de tiempo el equipo lanza 8 tiros: a) Cul es la probabilidad de que encesten todos los tiros? b) Cul es la probabilidad de que encesten ms de seis? c) Cul es la probabilidad de que encesten menos de cuatro? d) Esperanza y varianza Sol: a) 0'1678; b) 0'5033; c) 0'0104; d) E(x)=6'4; V(x)=1'28 17. X es una variable aleatoria de distribucin binomial tal que E(x) = 1,8 y 2=0,72. Hllese: a) n, p, q; b) la funcin de distribucin. Sol: a) n=3; p=0,6; q=0,4; b) F(x)= {0 si x

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    Sol: a) 0,3241; b) 0,0007 21. Se han lanzado tres monedas. Se pide: a) Cul es la probabilidad de obtener 1 cara?. b) Cul es la probabilidad de obtener 3 caras?. c) Si sabemos que se ha obtenido un nmero impar de caras, cul es la probabilidad de que se halla obtenido una cara?. Sol: a) 0,375; b) 0,125; c) 0,75. 22. Una familia tiene 5 hijos. La distribucin por sexos es igualmente probable. Hallar la probabilidad de que haya: a) Como mucho tres nios. b) Al menos una nia. c) Al menos una nia y un nio. Sol: a) 0,8126; b) 0,9688; c) 0,9376. 23. En cierta ciudad, los robos suponen el 90% de los delitos cometidos a lo largo del ao. Un determindo da se cometen 5 delitos, calcular la probabilidad de que: a) exactamente dos sean robos b) dos o ms sean robos c) ninguno sea un robo Sol: a) 0,0081; b) 0,9996; c) 0 24. En un hospital de enfermedades pulmonares el 20% de los enfermos tienen cncer. Si en una planta hay 10 enfermos, a) cul es la probabilidad de que alguno tenga cncer?; b) cul es la probabilidad de que ms de 2 tengan cncer?; c) cul es la probabilidad de que ninguno tenga cncer?. Sol: a) 0,8926; b) 0,3222; c) 0,1074 25. Un laboratorio afirma que un medicamento causa efectos secundarios en 5 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmacin, un mdico elige al azar a 6 pacientes a los que les suministra el medicamento. Cul es la probabilidad de los siguientes sucesos?:

    a) Ningn paciente tenga efectos secundarios; b) b) Al menos dos tengan efectos secundarios; c) c) Cul es el nmero medio de pacientes que se espera que sufran efectos

    secundarios si se eligen 300 pacientes al azar?. Sol: a) 0,7351; b) 0,0328; c) 15 26. Si el 10% de las piezas producidas por una mquina son defectuosas, determinar la probabilidad de que de 5 piezas elegidas al azar:

    a) Una sea defectuosa; b) b) A lo sumo dos sean defectuosas. Sol: a) 0,3280, b) 0,9914.

    27. La probabilidad de que una botella rompa al caer al suelo es 0,4. Si se dejan caer 5 botellas, se pide: a) Probabilidad de que las 5 rompan. b) Probabilidad de que alguna rompa. c) Probabilidad de que rompan ms de 2 si sabemos que rompi alguna. Sol: a) 0,0102; b) 0,9222; c) 0,7189 28. Una encuesta revela que el 20% de la poblacin tiene intencin de votar a un partido poltico. Elegidas diez personas al azar, se desea saber: a) Probabilidad de que seis personas voten a ese partido. b) Probabilidad de que seis personas no voten a ese partido. c) Probabilidad de que menos de tres voten a ese partido. Sol: a) 0,0055; b) 0,0881; c) 0,6778. 29. Se tira una moneda repetidamente hasta que sale cara. Calcular la probabilidad de que haya que tirar la moneda menos de tres veces. Sol: 3/4. 30. Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos:

    a) Obtener al menos un seis lanzando tres dados. b) b) Obtener al menos seis lanzando cuatro dados. Sol: a) 91/216; b) 671/1296.

    Variables aleatorias 12

  • Apuntes de A. Caba Matemticas aplicadas a cc.ss.

    31. Considrese la variable aleatoria X que tiene de funcin de masa de probabilidad la dada en la tabla. Hllese k, la esperanza de X y F(4), siendo F la funcin de distribucin.

    xi 1 3 5 7

    p(xi) 1/4 1/5 1/10 k Sol: k= 9/20; E(x) = 9/20; F(4) = 9/20 32. La funcin de distribucin de una variable aleatoria X es:

    3x si1

    3

  • Apuntes de A. Caba Matemticas aplicadas a cc.ss.

    Sol: =0,4; =0,6; f(x)={0,6561 si x=0; 0,2916 si x=1; 0,0486 si x=2; 0,0036 si x=3; 0,0001 si x=4}; F(x)={0 si x

  • Apuntes de A. Caba Matemticas aplicadas a cc.ss.

    a) Demustrese que f es funcin de densidad. b) Hllese la funcin de distribucin de esa variable. c) Calclese P(1

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    a) Cul es la probabilidad de que un conductor al azar tenga ms de 0'5? b) Cul es la probabilidad de que tenga ms de 0'3? c) Cul es la probabilidad de que un conductor diese positivo en la de 0'3 pero no en la de 0'5? Sol: a) 0'0062; b) 0'3085; c) 0'3023 12. La nota media de un examen tipo test fue de 40'3 y su desviacin tpica 3'3. Si las calificaciones siguen una distribucin normal y se considera aprobado a los que superen 37 puntos. a) Cul es el porcentaje de aprobados? b) Si a ese examen se presentaron 400 personas cuntas aprobaron? c) Si quisisemos que slo aprobasen 50 personas cul tendra que ser la nota de corte? Sol: a) 84'13%; b) 336; c) 44'1 13. Las alturas de 200 estudiantes se distribuyen normalmente, con una media de 175 cm y una desviacin tpica de 10 cm. Cuntos de estos estudiantes tienen altura: a) mayor de 180 cm. b) menor de 165 cm. c) entre 160 cm y 180 cm. d) igual a 182 cm. Sol: a) 61,7; b) 31,74; c) 124,94; d) 0 14. La cantidad de azcar depositada en cada bolsa por una mquina envasadora automtica sigue una distribucin normal con media =1050 grs y desviacin tpica =50 grs. a) Calcula el porcentaje de bolsas con un peso mayor a 1 Kg b) Calcula , sabiendo que el 97,5% de los paquetes contienen menos de gramos. c) Calcula el tanto por ciento de paquetes con un contenido que tiene un peso comprendido entre 900 y 1000 grs. Sol: a) 84'13%; b) 1148; c) 15'74% 15. El peso medio de los recin nacidos en un hospital es de 3'1 Kg y la varianza 0'36. Si el peso sigue una distribucin normal. Calcular: a) La probabilidad de que un beb pese ms de 3 Kg al nacer. b) La probabilidad de que un beb pese menos de 2'5 Kg al nacer. c) A partir de qu peso est comprendido el 69'5% de los que ms pesan? Sol: a) 0'5675; b) 0'1587; c) 2'795 Kg 16. Se ha elegido una muestra de 500 tornillos fabricados por una mquina. La media de los dimetros de dichos tornillos es de 2,9 mm y la desviacin tpica, de 1 mm. Un cliente considera que un tornillo es inservible si su dimetro es inferior a 2,85 mm o superior a 3,1 mm. a) Sabiendo que los dimetros se distribuyen normalmente, hllese qu porcentaje de tornillos son defectuosos. b) Si para otro cliente son vlidos desde 2,75 hasta 3,15, qu porcentaje son inservibles? Sol: a) 90%; b) 84,17% 17. El coeficiente de inteligencia de una poblacin es una v.a. cuya distribucin sigue una ley normal del tipo N(100,10). Calclese, segn esos datos, qu porcentaje de personas cabe esperar que tengan coeficiente de inteligencia: a) superior a 120; b) entre 90 y 120; c) inferior a 80; d) si se escogen 5000 personas al azar, cuntas tendrn un coeficiente de inteligencia mayor de 125? Sol: a) 2,28%; b) 81,85%; c) 2,28%; d) 31 18. La temperatura mxima en una ciudad, durante el verano, est distribuida normalmente con media 29 y desviacin estandar 5. a) Hallar la probabilidad de que un da la temperatura mxima est entre 25 y 30. b) Sabemos que un da la temperatura super los 30, cul es la probabilidad de que fuese superior a los 35? Sol: a) 0,3674; b) 0,2736 19. Los 300 alumnos de un facultad poseen una altura que se distribuye segn una distribucin normal de media 175 cm y 10 cm de desviacin tpica. a) Hallar el nmero aproximado de alumnos cuya estatura est comprendida entre 165 y 185 cm. b) Cuntos alumnos medirn ms de 190 cm?; c) Cuntos medirn menos de 170 cm?. Sol: a) 205; b) 20; c) 93

    Variables aleatorias 16

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    20. Una v.a normal cumple que = 4 y p(X

  • Apuntes de A. Caba Matemticas aplicadas a cc.ss.

    bateras se espera que duren ms de 3 aos?, b) si una batera lleva funcionando 3 aos, cul es la probabilidad de que dure menos de 4 aos? Sol: a) 97,72%; b) 0,4883 31. La altura de los soldados de cierto ejrcito sigue una distribucin normal de media 175 cm y desviacin tpica 5 cm. a) Qu porcentaje de soldados mide menos de 160 cm?. b) Qu porcentaje de soldados mide ms de 180 cm? Sol: a) 0,13%; b) 15,87% 32. La duracin media de un electrodomstico es de 18 aos, y su desviacin tpica 1,2. Sabiendo que la duracin se distribuye normalmente. a) Hallar la probabilidad de que un electrodomstico dure ms de 15 aos. b) Si un electrodomstico funciona a los 15 aos, calcula la probabilidad de que dure ms de 20 aos. Sol: a) 0,9938; b) 0,048 33. En un examen a un gran nmero de estudiantes, se comprob que las calificaciones obtenidas correspondan a una distribucin normal con calificacin media de 6,5 y desviacin tpica de 2. a) Elegido un estudiante al azar, calcular cul es la probabilidad de que su calificacin est comprendida entre 7 y 8. b) Si se presentaron 128 estudiantes al examen y el aprobado estaba a partir de 5, cuntos aprobaron?. Sol: a) 0,1747; b) 99 alumnos 34. Una empresa de transporte de viajeros afirma que el tiempo de retraso de sus viajes sigue una distribucin normal, con un retraso medio de 5 minutos y desviacin tpica de 2 minutos. Calcular: a) Probabilidad de que un viaje no tenga retraso; b) Probabilidad de que el prximo llegue con ms de 5 minutos de retraso. c) Probabilidad de que el prximo llegue con ms de 10 minutos de retraso. Sol: a) 0,0062; b) 0,5; c) 0,0062. 35. Varios test de inteligencia dieron una puntuacin que sigue una ley normal con media 100 y desviacin tpica 20. a) Determina el porcentaje de poblacin que obtendr un coeficiente entre 90 y 110. b) Qu intervalo centrado en 100 contiene el 25% de la poblacin?. c) En una poblacin de 2.000 individuos cuntos individuos se espera que tengan un coeficiente superior a 130?. Sol: a) 38,3%, b) (93'6,106'4); c) 134 36. Se sabe que dos poblaciones distintas X e Y, se distribuyen con media 0. Adems P(X

  • Apuntes de A. Caba Matemticas aplicadas a cc.ss.

    41. Una variable aleatoria X tiene de funcin de densidad:

    resto el en0

    [3,7]x si1/6

    [0,3)x si1/9

    = f(x)

    a) Demustrese que f cumple las propiedades que cabe esperar. b) Hllese la funcin de distribucin de esa variable. c) Calclese P(1

  • Apuntes de A. Caba Matemticas aplicadas a cc.ss.

    48. La funcin f definida por:

    resto el en0

    2x0 si35x

    = f(x)

    Puede ser la funcin de densidad de alguna distribucin continua?. Sol: no 49. Los resultados de una prueba de seleccin a 500 personas permite afirmar que la puntuacin sigue una distribucin normal, con media de 40 puntos y desviacin tpica de 8 puntos. a) Calcular cuntos de los examinados han obtenido una puntuacin entre 30 y 50 puntos. b) Si se eligen al azar tres de esas 500 personas, calcular la probabilidad de que todas tengan puntuacin superior a 50. Sol: a) 394; b) 0,00118 50. Una fbrica produce latas para conserva, cuyas capacidades estn distribuidas normalmente con media de 200 cm3 y varianza 1. Una lata se considera defectuosa si su capacidad no est comprendida en el intervalo (199'5,202). Qu probabilidad tiene un recipiente extrado al azar, de ser defectuoso?. Sol: 0,3313

    Variables aleatorias 20

    Ejemplo-Ejemplo-EjemploEjemplo-