Variaveis aleatorias bidimensionais

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO DE ESTUDOS GERAIS INSTITUTO DE MATEMTICA

DEPARTAMENTO DE ESTATSTICA

VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS

Ana Maria Lima de Farias

Abril 2009

Contedo1 Variveis Aleatrias Bidimensionais Discretas 1.1 Exemplo (Bussab,Morettin) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Distribuies conjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Distribuies marginais . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Distribuies condicionais . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Denies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Vetor aleatrio bidimensional discreto . . . . . . . . 1.2.2 Funo de distribuio de probabilidade . . . . . . 1.2.3 Distribuies marginais . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Distribuies condicionais . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Esperana condicional . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Independncia de variveis aleatrias . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Exemplo (continuao) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Funes de variveis aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Exemplo (continuao) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Covarincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Propriedades da covarincia . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Interpretao da covarincia . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Independncia e covarincia de variveis aleatrias . 1.6 Coeciente de correlao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 3 4 4 5 5 6 6 9 9 10 10 11 12 13 13 14 16 18 18 18 20 21 21 22 23 24 25 25 25 26

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2 Variveis Aleatrias Bidimensionais Contnuas 2.1 Funo de densidade conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Exemplo (Exerccio 18, p. 220 - Bussab & Morettin) 2.2 Densidades marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemplo 2.1.1 (continuao) . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Exemplo 2.1.2 (continuao) . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Distribuies e esperanas condicionais . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Exemplo 2.1.1 (continuao) . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Exemplo 2.1.2 (continuao) . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Independncia de variveis aleatrias contnuas . . . . . . . 2.5 Funes de variveis aleatrias contnuas . . . . . . . . . . . 2.5.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

CONTEDO 2.6 Covarincia e correlao . . . . . . . 2.7 A distribuio t de Student . . . . . 2.7.1 Tabela da t-Student . . . . . 2.7.2 Exemplos . . . . . . . . . . . 2.7.3 Exerccios . . . . . . . . . . . 2.8 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 A distribuio normal bidimensional 2.9.1 Funo de densidade . . . . . 2.9.2 Densidades Marginais . . . . . 2.9.3 Covarincia e Correlao . . . 2.9.4 Distribuies Condicionais . . 2.9.5 Resumo dos resultados . . . . 2.10 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 27 27 31 31 32 32 40 41 42 43 44 46 47

Captulo 1 Variveis Aleatrias Bidimensionais Discretas1.1 Exemplo (Bussab,Morettin)

Em muitas situaes, comum que um experimento aleatrio gere mais de uma varivel de interesse. Consideremos, por exemplo, um estudo da composio de famlias com 3 lhos quanto ao sexo das crianas. Podemos denir as seguintes variveis: X = nmero de meninos 1 se 1o lho homem Y = 0 caso contrrio Z = nmero de vezes que houve variao de sexo entre nascimentos consecutivos Suponhamos que a probabilidade de nascer homem ou mulher seja igual a 1 , ou seja, que todas 2 as composies de famlia tenham a mesma probabilidade. Ento, os possveis resultados e os valores das variveis so os apresentados na tabela a seguir: Evento X HHH 3 HHM 2 HMH 2 MHH 2 HMM 1 MHM 1 MMH 1 MMM 0 Y 1 1 1 0 1 0 0 0 Z 0 1 2 1 1 2 1 0 Pr 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

A partir desses resultados obtemos as seguintes distribuies de probabilidades para as variveis aleatrias X, Y , Z:

1

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

2

X : Y :

x 0 1 2 3 p 1/8 3/8 3/8 1/8 y 0 1 p 1/2 1/2 z 0 1 2 p 1/4 1/2 1/4

E(X) = E(Y ) = 1 2

3 2

E(X 2 ) = 3 E(Y 2 ) = 1 2 3 E(Z 2 ) = 2

Var(X) = Var(Y ) = 1 4 1 Var(Z) = 2

3 4

Z :

E(Z) = 1

1.1.1

Distribuies conjuntas

Vamos analisar agora a distribuio conjunta de 2 dessas variveis, ou seja, queremos analisar, por exemplo, a probabilidade de X ser igual a 1 e Y ser igual a 0, simultamente. Vamos calcular essas probabilidades e apresent-las em forma de tabela de dupla entrada, como zemos no caso de tabelas de freqncia bivariada. X (X, Y ) : 0 1 2 3 0 1/8 2/8 1/8 0 1 0 1/8 2/8 1/8 pX (x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Y X (X, Z) : 0 1 2 3 pZ (z) 0 1/8 0 0 1/8 2/8 Z 1 0 2/8 2/8 0 4/8 2 0 1/8 1/8 0 2/8 pX (x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1 Z pY (y) 0 1 2 Y 0 1/8 2/8 1/8 4/8 1 1/8 2/8 1/8 4/8 pZ (z) 2/8 4/8 2/8 1 pY (y) 1/2 1/2 1

(Y, Z) :

Analisando simultaneamente as trs variveis, temos: (x, y, x) Pr(X = x, Y = y, Z = z) (0, 0, 0) 1/8 (1, 0, 1) 1/8 (1, 0, 2) 1/8 (1, 1, 1) 1/8 (2, 0, 1) 1/8 (2, 1, 2) 1/8 (2, 1, 1) 1/8 (3, 1, 0) 1/8

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

3

1.1.2

Distribuies marginais

A partir da distribuio conjunta de (X, Y ), como podemos obter a distribuio de X? E de Y ? Note que, em termos dessa distribuio conjunta, o evento {X = 0} pode ser escrito como: {X = 0} = {X = 0 Y = 0} {X = 0 Y = 1} e como estes so eventos mutuamente exclusivos, resulta Pr(X = 0) = Pr(X = 0, Y = 0) + Pr(X = 0, Y = 1) = Analogamente, Pr(X = 1) = Pr(X = 1, Y = 0) + Pr(X = 1, Y = 1) = Pr(X = 2) = Pr(X = 2, Y = 0) + Pr(X = 2, Y = 1) = 3 2 1 + = 8 8 8 1 1 +0= 8 8

1 2 3 + = 8 8 8 1 1 Pr(X = 3) = Pr(X = 3, Y = 0) + Pr(X = 3, Y = 1) = 0 + = 8 8 Para a distribuio de Y temos: Pr(Y = 0) = Pr(X = 0, Y = 0) + Pr(X = 1, Y = 0) + Pr(X = 2, Y = 0) 4 1 1 2 1 + Pr(X = 3, Y = 0) = + + + 0 = = 8 8 8 8 2 Pr(Y = 1) = Pr(X = 0, Y = 1) + Pr(X = 1, Y = 1) + Pr(X = 2, Y = 1) 4 1 1 2 1 + Pr(X = 3, Y = 1) = 0 + + + = = 8 8 8 8 2 De maneira anloga, podemos obter a distribuio de Y a partir da distribuio conjunta de (Y, Z) , por exemplo e, obviamente, obteremos o mesmo resultado.

1.1.3

Distribuies condicionais

A partir da distribuio conjunta de (X, Y ) pode-se obter a distribuio condicional de X, ou seja, as probabilidades condicionais de cada valor de X, condicionada a um determinado valor de Y . Aplicando a denio de probabilidade condicional, temos que: Pr(X = 0 | Y = 0) = Pr(X = 0, Y = 0) = 1/8 = 1 Pr(Y = 0) 1/2 4 2/8 1 Pr(X = 1, Y = 0) Pr(X = 1 | Y = 0) = = = Pr(Y = 0) 1/2 2 X|Y = 0 : Pr(X = 2, Y = 0) 1/8 1 Pr(X = 2 | Y = 0) = = = Pr(Y = 0) 1/2 4 Pr(X = 3 | Y = 0) = Pr(X = 3, Y = 0) = 0 = 0 Pr(Y = 0) 1/2

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Logo, a distribuio condicional de X dado que Y = 0 : X|Y = 0 : x 0 1 2 3 p 1/4 1/2 1/4 0

4

Sendo uma distribuio de probabilidades, podemos calcular sua esperana e sua varincia: E(X | Y E(X 2 | Y Var(X | Y 1 1 1 +1 +2 +30=1 4 2 4 x P 2 1 1 1 3 = 0) = x Pr(X = x|Y = 0) = 02 + 12 + 22 + 32 0 = 4 2 4 2 x 3 1 = 0) = E(X 2 | Y = 0) [E(X | Y = 0)]2 = 12 = 2 2 = 0) = x Pr(X = x|Y = 0) = 0 P

Analogamente, obtm-se a distribuio de X dado que Y = 1 ou a distribuio de Y dado que X = 0, por exemplo: Pr(Y = 0 | X = 0) = Pr(X = 0, Y = 0) = 1/8 = 1 Pr(X = 0) 1/8 Y |X = 0 : 0 Pr(X = 0, Y = 1) Pr(Y = 1 | X = 0) = = =0 Pr(X = 0) 1/8 Y |X = 0 : y 0 1 p 1 0 E(Y | X = 0) = 0 ou ento: Pr(Y = 0 | X = 1) = Pr(X = 1, Y = 0) = 2/8 = 2 Pr(X = 1) 3/8 3 1/8 1 Pr(X = 1, Y = 1) Pr(Y = 1 | X = 1) = = = Pr(X = 1) 3/8 3 Y |X = 1 : y p 0 1 2/3 1/3 E(Y 2 | X = 0) = 0 Var(Y | X = 0) = 0

Y |X = 1 :

1 1 2 E(Y 2 | X = 1) = Var(Y | X = 1) = 3 3 9 A seguir vamos formalizar os conceitos apresentados atravs do exemplo acima. E(Y | X = 1) =

1.21.2.1

DeniesVetor aleatrio bidimensional discreto

Um vetor aleatrio bidimensional uma funo bivariada que associa, a cada ponto de um espao amostral , um par de nmeros reais (x, y). Se a imagem de tal funo um conjunto enumervel de pontos em R2 , ento o vetor dito um vetor discreto. Veja a Figura 1.1.

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

5

Figura 1.1: Denio de vetor aleatrio discreto

1.2.2

Funo de distribuio de probabilidade

Seja (X, Y ) um vetor aleatrio discreto assumindo os valores (xi , yj ), i, j = 1, 2, . . . . A funo de distribuio de probabilidade conjunta a funo que associa a cada ponto (xi , yj ) a sua respectiva probabilidade: p(xi , yj ) = Pr(X = xi , Y = yj ) (Veja a Figura 1.2). Note que, do axioma Pr() = 1, resulta que PP Pr(X = xi , Y = yj ) = 1i j

Figura 1.2: Denio de funo de distribuio de probabilidade conjunta Observao: podemos ter vetores aleatrios n-dimensionais, n. (Veja a Figura 1.3.)

1.2.3

Distribuies marginais

Seja (X, Y ) um vetor aleatrio discreto com distribuio conjunta p(xi , yj ). Para no sobrecarregar a notao, vamos denotar essa distribuio conjuntoa por p(x, y), devendo car claro que (x, y) representa um par qualquer de valores do vetr (X, Y ). A distribuio marginal de X denida como: P P Pr(X = x) = p(x, y) = Pr(X = x, Y = y) xy y

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

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Figura 1.3: Distribuio de probabilidade tridimensional Analogamente, a distribuio marginal de Y denida como P P Pr(Y = yj ) = p(x, y) = Pr(X = x, Y = y)x x

y

Em geral, se (X1 , X2 , . . . , Xn ) um vetor aleatrio ndimensional P P P P Pr(Xi = xi ) = Pr (X1 = x1 , . . . , Xi1 = xi1 , Xi+1 = xi+1, . . . , Xn = xn )x1 xi1 xi+1 xn

1.2.4

Distribuies condicionais

Seja (X, Y ) um vetor aleatrio discreto com distribuio conjunta p(x, y). A distribuio condicional de X dado que Y = y denida como: Pr(X = x | Y = y) = Pr(X = x, Y = y) Pr(Y = y) x

Analogamente dene-se a distribuio condicional de Y dado que X = x como Pr(Y = y|X = x ) = Pr(X = x, Y = y) Pr(X = x) y

Note que existe uma distribuio condicional de X para cada valor y e uma distribuio condicional de Y para cada valor x. Assim, se X assumir n valores diferentes e Y m valores distintos, teremos ao todo n + m distribuies condicionais.

1.2.5

Esperana condicional

Para cada uma das distribuies condicionais, podemos calcular a respectiva esperana condicional: P EX (X | Y = y) = x Pr(X = x | Y = y) (1.1) x P EY (Y |X = x) = y Pr( Y = y|X = x) (1.2)y

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

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Os subscritos X e Y nas denies acima servem para lembrar a dependncia em X e Y de cada uma das esperanas acima. Note que, para cada valor y de Y temos um valor diferente de E(X|Y = y) e para cada valor x de X, temos um valor diferente de E(Y |X = x).Sendo assim, podemos denir uma funo g que associa, a cada valor y de Y, o valor E(X|Y = y) e outra funo h que associa a cada valor x de X, o valor E(Y |X = x), ou seja, g : y 7 g(y) = EX (X|Y = y) h : x 7 h(x) = EY (Y |X = x) Como X e Y so variveis aleatrias, resulta que g(Y ) e h(X) so tambm variveis aleatrias. Vamos estabelecer a seguinte notao: g(Y ) = EX (X|Y ) h(X) = EY (Y |X) Podemos, ento, calcular as esperanas de g(Y ) e h(X) e para lembrar a dependncia em cada uma das variveis, vamos denotar essas esperanas por EY [g(Y )] e EX [h(X)]. Usando a denio (1.1), temos que P P EY [g(Y )] = EY [EX (X|Y )] = g(y) Pr(Y = y) = EX (X|Y = y) Pr(Y = y)y y

Na ltima linha usamos a denio da distribuio marginal de Y. Analogamente, por (1.2), resulta que P P EX [h(X)] = EX [EY (Y |X)] = h(x) Pr(X = x) = E(Y |X = x) Pr(X = x)x x

P P Pr(X = x, Y = y) x Pr( X = x| Y = y) Pr(Y = y) = x Pr(Y = y) Pr(Y = y) y x y x P P PP x Pr(X = x, Y = y) = x Pr(X = x, Y = y) = y x x y P x Pr(X = x) = E(X) = =x

PP

Resumindo:

P P Pr(X = x, Y = y) y Pr( Y = y|X = x) Pr(X = x) = y Pr(X = x) Pr(X = x) x y x y P P PP y Pr(X = x, Y = y) = y Pr(X = x, Y = y) = x y y x P y Pr(Y = y) = E(Y ) = = PPy

g(Y ) = EX (X|Y ) h(X) = EY (Y |X)

e e

EY [EX (X|Y )] = E (X) EX [EY (Y | X)] = E (Y )

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Exemplo (continuao)

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Vamos continuar com o exemplo inicial, calculando as distribuies condicionais de Y dado X = xi e suas esperanas: y 0 1 Y |X = 0 : EY (Y | X = 0) = 0 p 1 0 Y |X = 1 : Y |X = 2 : Y |X = 3 : y p y p 0 1 2/3 1/3 0 1 1/3 2/3 y p 0 1 0 1 EY (Y | X = 1) = EY (Y | X = 2) = EY (Y | X = 3) = 1 1 3 2 3

1 2 Os valores possveis de h(X) = EY (Y |X) so 0, , e 1 e esses valores ocorrem quando X = 0, 3 3 X = 1, X = 2 ou X = 3 respectivamente. Logo, as probabilidades de ocorrncia de cada um deles so exatamente as probabilidades de X assumir os seus valores, isto , temos a seguinte distribuio: h(X) = EY (Y |X) : A esperana dessa distribuio EX [h(X)] = EX [EY (X|Y )] = 0 1 4 1 1 1 3 2 3 + + + 1 = = = E(Y ) 8 3 8 3 8 8 8 2 e 0 1/3 2/3 1 p 1/8 3/8 3/8 1/8

Para a distribuio condicional de X dado Y , temos os seguintes resultados: X|Y = 0 : 02 8

14 8

22 8

3 0 32 8

EX (X|Y = 0) = 1

X|Y = 1 :

0 1 0 2 8

24 8

EX (X|Y = 1) = 2

e para a varivel aleatria g(Y ) = EX (X|Y ) temos a seguinte f.d.p. 11 2

21 2

e E[g(Y )] = EY [EX (X|Y )] = 1

1 3 1 + 2 = = E (X) 2 2 2

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

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1.3

Independncia de variveis aleatrias

Em analogia com a denio de eventos aleatrios, esse fato nos leva denio de variveis aleatrias independentes. No caso de eventos, a denio de independncia Pr(A | B) = Pr(A) tinha que considerar eventos B tais que Pr(B) 6= 0, mas ela levava a uma denio mais geral: os eventos A e B so independentes se Pr(A B) = Pr(A) Pr(B). Analogamente, vamos denir variveis aleatrias independentes da seguinte forma. Denio 1.1 Seja (X, Y ) um vetor aleatrio discreto com distribuio conjunta p(x, y) = Pr(X = x, Y = y). Dizemos que X e Y so independentes se e somente se Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y) x, y

No exemplo anterior, obtivemos o seguinte resultado: a partir da distribuio conjunta de (Y, Z), conclumos que: Pr(Y = y | Z = z) = Pr(Y = y) y, z

ou seja, a distribuio conjunta o produto das distribuies marginais. Note que a condio acima tem que valer para todo par possvel de valores (x, y).

1.3.1

Exemplo (continuao)1 1 1 6= Pr(X = 0) Pr(Y = 0) = 8 8 2 1 1 2 6= Pr(X = 0) Pr(Z = 0) = 8 8 8 1 2 1 = Pr(Y = 0) Pr(Z = 0) = 8 2 8 1 1 1 = Pr(Y = 0) Pr(Z = 1) = 4 2 2 1 1 1 = Pr(Y = 0) Pr(Z = 2) = 8 2 4 1 1 2 = Pr(Y = 1) Pr(Z = 0) = 8 2 8 1 1 1 = Pr(Y = 1) Pr(Z = 1) = 4 2 2 1 1 1 = Pr(Y = 1) Pr(Z = 2) = 8 2 4

X e Y no so independentes porque: Pr(X = 0, Y = 0) = X e Z no so independentes porque: Pr(X = 0, Z = 0) = Y e Z so independentes porque: Pr(Y = 0, Z = 0) = Pr(Y = 0, Z = 1) = Pr(Y = 0, Z = 2) = Pr(Y = 1, Z = 0) = Pr(Y = 1, Z = 1) = Pr(Y = 1, Z = 2) = Note a equivalncia das denies!

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

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1.4

Funes de variveis aleatrias

Muitas vezes, conhecida a distribuio conjunta de (X, Y ), estaremos interessados em estudar a distribuio de uma varivel aleatria denida como uma funo f(X, Y ). Lidaremos aqui com funes reais, isto , f : R2 R e uma ateno especial ser dada s combinaes lineares, ou seja, funes do tipo f (X, Y ) = aX + bY, com a e b nmeros reais quaisquer.

1.4.1

Exemplo (continuao)f1 (X, Y ) = X 2 + Y

Consideremos a seguinte funo: cujos valores e probabilidades esto a seguir: X 0 1 2 3 0 1 2 3 Y 0 0 0 0 1 1 1 1 Pr(X = x, Y = y) f1 (X, Y ) = X 2 + Y 1/8 0 2/8 1 1/8 4 0 9 0 1 1/8 2 2/8 5 1/8 10

Ento, a esperana de X 2 + Y 2 1 1 E X 2 + Y = 0 + 1 + + 10 8 8 8 = f1 (0, 0) Pr (X = 0, Y = 0) + f1 (1, 0) Pr (X = 1, Y = 0) + +f1 (3, 1) Pr (X = 3, Y = 1) Em geral, temos o seguinte Teorema 1.1 Seja (X, Y ) um vetor aleatrio discreto com fdp conjunta Pr(X = x, Y = y). Seja h : R2 R uma funo real tal que cada par (x, y) levado a h (x, y) . Ento PP h (xi , yj ) Pr (X = xi , Y = yj ) E [h (X, Y )] =i j

Teorema 1.2 Seja (X, Y ) um vetor aleatrio discreto com fdp conjunta Pr(X = x, Y = y). Seja h : R2 R uma funo real tal que h (x, y) = x + y. Ento E (X + Y ) = E(X) + E(Y ) (Esperana da soma a soma das esperanas)

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Demonstrao: Usando o teorema anterior, temos que PP E (X + Y ) = (xi + yj ) Pr (X = xi , Y = yj ) = i j PP PP xi Pr (X = xi , Y = yj ) + yj Pr (X = xi , Y = yj ) = i j i j P P P P xi Pr (X = xi , Y = yj ) + yj Pr (X = xi , Y = yj ) = = i j j i P P = xi Pr (X = xi ) + yj Pr (Y = yj ) = E(X) + E(Y )i j

11

Dos resultados j vistos, segue o resultado mais geral:

Resultado 1.1 Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variveis aleatrias discretas com distribuio conjunta p(x1 , x2 , . . . , xn ). Ento: E (a1 X1 + a2 X2 + + an Xn ) = a1 E(X1 ) + a2 E(X2 ) + + an E(Xn ) (1.3)

Usando a denio de varincia, vamos estudar a varincia da soma de variveis aleatrias. Var(X + Y ) = E (X + Y )2 [E(X + Y )]2 = = = = = E(X 2 + 2XY + Y 2 ) [E(X) + E(Y )]2 = E(X 2 ) + 2E(XY ) + E(Y 2 ) [E(X)]2 2E(X)E(Y ) E(Y 2 ) = E(X 2 ) [E(X)]2 + E(Y 2 ) E(Y 2 ) + 2 [E(XY ) E(X)E(Y )] = Var(X) + Var(Y ) + 2 [E(XY ) E(X)E(Y )]

Ento, na varincia da soma, aparece um termo envolvendo a diferena entre a esperana do produto e o produto das esperanas. Esse termo dene a covarincia de duas variveis aleatrias.

1.5

CovarinciaCov(X, Y ) = E [X E(X)] [Y E(Y )] = E(XY ) E(X)E(Y )

Denio 1.2 A covarincia entre duas variveis aleatrias X e Y denida por

Substituindo essa denio na expresso da varincia da soma de variveis aleatrias obtm-se o Resultado 1.2 A varincia da soma de duas v.a. dada por Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y )

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

12

1.5.1

Propriedades da covarincia

Vamos usar as seguintes propriedades j vistas para a esperana para demonstrar propriedades anlogas da covarincia: E(X + b) = E(X) + b E(aX) = aE(X) E(aX + b) = aE(X) + b 1. Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X, Y ) De fato: Cov(aX + b, cY + d) = = = = = = 2. Cov(X + Y, Z + W ) = Cov(X, Z) + Cov(X, W ) + Cov(Y, Z) + Cov(Y, W ) De fato: Cov(X + Y, Z + W ) = E (X + Y ) (Z + W ) E (X + Y ) E (Z + W ) = = E(XZ + XW + Y Z + Y W ) [E(X) + E(Y )] [E(Z) + E(W )] = = E(XZ) + E(XW ) + E(Y Z) + E(Y W ) E(X)E(Z) E(X)E(W ) E(Y )E(Z) E(Y )E(W ) = [E(XZ) E(X)E(Z)] + [E(XW ) E(X)E(W )] + + [E(Y Z) E(Y )E(Z)] + [E(Y W ) E(Y )E(W )] = Cov(X, Z) + Cov(X, W ) + Cov(Y, Z) + Cov(Y, W ) 3. Dos resultados anteriores, segue que Var(X Y ) = Var(X) + Var(Y ) 2 Cov(X, Y ) De fato: Var(X Y ) = Var[X + (Y )] = Var(X) + Var(Y ) + 2 Cov[X, (1 Y )] = = Var(X) + Var(Y ) + 2 (1) Cov(X, Y ) = = Var(X) + Var(Y ) 2 Cov(X, Y ) E [(aX + b) E (aX + b) [(cY + d) E (cY + d)] E[aX + b aE(X) b][cY + d cE(Y ) d] E[aX aE(X)][cY cE(Y )] E{a[X E(X)]c[Y E(XY )]} acE[X E(X)](Y E(Y )] acCov(X, Y )

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

13

1.5.2

Interpretao da covarincia

No estudo da estatstica descritiva, dados dois conjuntos de dados x1 , . . . , xn e y1 , . . . , yn referentes a duas variveis de interesse X e Y , denimos a covarincia entre X e Y como Cov(X, Y ) = 1X (xi x)(yi y) n i=1n

No contexto de variveis aleatrias, a mdia calculada como uma mdia ponderada pelas probabilidades; assim, temos uma total analogia entre as denies de covarincia nos dois contextos. Foi visto tambm que a covarincia uma medida de associao linear entre as variveis. Construindo um diagrama de disperso para as variveis, se existir uma associao linear crescente, os pontos (x, y) tendero a se concentrar nos primeiro e terceiro quadrantes, onde o produto das coordenadas positivo. Se existir uma associao linear decrescente, os pontos se concentraro no segundo e quarto quadrantes, onde o produto negativo. Como antes, o fato de se tomar E[X E(X)][Y E(Y )], e no E(XY ), resulta da necessidade de centrar a nuvem de pontos na origem (0, 0) e no em (E(X), E(Y )).

1.5.3

Independncia e covarincia de variveis aleatrias

Da denio de independncia de variveis aleatrias, resulta o seguinte fato: se X e Y so variveis aleatrias independentes, qualquer conhecimento sobre Y no nos d informao sobre X. Usando essa interpretao, mais a interpretao do conceito de covarincia, de se esperar que a covarincia entre variveis independentes seja nula (se elas so independentes, no dever existir qualquer associao entre elas, muito menos uma associao linear). Vamos ver um resultado geral que trata dessa relao. Resultado 1.3 Se X e Y so variveis aleatrias independentes, ento Cov(X, Y ) = 0. Demonstrao: Se X e Y so independentes, ento Pr(X = x, Y = y) = Pr(X = x) Pr(Y = y). Mas nesse caso, XX XX E(XY ) = xy Pr(X = x, Y = y) = xy Pr(X = x) Pr(Y = y) = = Xx x y

x Pr(X = x)

Xy

x

y

y Pr(Y = y) = E(X)E(Y )

Logo, Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 0. Note que a recproca desse resultado no verdadeira, isto , covarincia nula no signica independncia entre as variveis. Esse resultado pode ser visto intuitivamente a partir da interpretao de covarincia: covarincia nula signica ausncia de associao linear. Nada impede que exista outro tipo de associao entre as variveis, o que caracterizaria a falta de independncia entre elas.

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Como exemplo, consideremos a seguinte de distrbuio de probabilidade.conjunta:. X pY (y) 0 1 2 1 3/20 3/20 2/20 2/5 Y 2 1/20 1/20 2/20 1/5 3 4/20 1/20 3/20 2/5 pX (x) 2/5 1/4 7/20 1 Para essa distribuio temos: E(X) = 0 1 7 19 2 +1 +2 = 5 4 20 20 1 2 2 +2 +3 =2 5 5 5

14

E(Y ) = 1 E(XY ) = 0

3 3 2 +1 +2 + 20 20 20 1 1 2 +0 +2 +4 + 20 20 20 4 1 3 +0 +3 +6 20 20 20 38 19 = = 2 = E(X) E(Y ) 20 20

Logo, Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = 0 mas X e Y no so independentes porque, por exemplo: 8 8 3 6= Pr(X = 0) Pr(Y = 1) = Pr(X = 0, Y = 1) = 20 20 20

1.6

Coeciente de correlaoCov(X, Y ) X Y

Como j denido anteriormente, o coeciente de correlao entre duas variveis X e Y Corr(X, Y ) =

onde X e Y so os desvios padres de X e Y respectivamente. A propriedade fundamental do coeciente de correlao dada no seguinte teorema: Teorema 1.3 Dadas duas variveis aleatrias X e Y com esperanca, varincia e covarincia nitas, ento 1 Corr(X, Y ) 1 Teorema 1.4 Dadas duas variveis aleatrias X e Y com esperanas, varincias e covarincvia nitas, ento 1 Corr(X, Y ) 1

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS Demonstrao: Sejam

15

X E(X) Y E(Y ) Y = X Y as variveis padronizadas. Das propriedades de esperana e varincia, sabemos que E (X ) = E (Y ) = 0 e Var (X ) = Var (Y ) = 1. Sabemos tambm que a varincia de qualquer varivel aleatria no-negativa. Em particular, X = Var (X + Y ) 0 Var (X ) + Var (Y ) + 2 Cov (X , Y ) 0 1 + 1 + 2 Cov (X , Y ) 0 Cov (X , Y ) 1 Analogamente, Var (X Y ) 0 Var (X ) + Var (Y ) 2 Cov (X , Y ) 0 1 + 1 2 Cov (X , Y ) 0 Cov (X , Y ) 1 Mas, usando as propriedades da covarincia, temos que X EX Y EY Cov (X , Y ) = Cov , X Y 1 Cov[X E(X), Y E(Y )] = X Y 1 Cov(X, Y ) = X Y = (X, Y ) Conclui-se, ento, que 1 (X, Y ) 1 Todas as propriedades vistas anteriormente, no contexto da estatstica descritiva, continuam vlidas no contexto de variveis aleatrias. Consideremos o caso em que (X, Y ) = 1. Ento, Cov (X , Y ) = 1 e, portanto Var (X Y ) = V ar(X ) + V ar(Y ) 2Cov(X , Y ) = 1 + 1 2 1 = 0 Mas V ar(X Y ) = 0 signica que X Y uma constante, isto , X EX Y EY = k X Y X EX Y EY = +k X Y X X X E(X) = Y EY + X k Y Y X X = Y +k Y

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS ou seja, existe uma associao linear crescente X > 0 perfeita entre X e Y . Y Analogamente, se (X, Y ) = 1,ento Cov (X , Y ) = 1 e Var (X + Y ) = V ar(X ) + V ar(Y ) + 2Cov(X , Y ) = 1 + 1 + 2 (1) = 0 o que signica que X + Y uma constante, isto , X EX Y EY = +k X Y X X X E(X) = Y + EY + X k Y Y X X = Y + k Y ou seja, existe uma associao linear decrescente X < 0 perfeita entre X e Y . Y = k X EX Y EY + X Y

16

1.7

Exerccios propostosX 1 2 3 0,1 0,1 0,1 0,2 0,0 0,3 0,0 0,1 0,1

1. A tabela abaixo d a distribuio conjunta de X e Y : Y 0 1 2

(a) Determine as distribuies marginais de X e Y. (b) Calcule a esperana e a varincia de cada uma das variveis X e Y. (Resp.: 2, 2; 0, 76; 0, 9; 0, 49) (c) Verique se X e Y so independentes, justicando sua resposta. (Resp.: No) (d) Calcule P (X = 1|Y = 0) e P (Y = 2|X = 3). (Resp.: 1/3; 1/5) (e) Calcule P (X 2) e P (X = 2, Y 1). (Resp.: 0, 5; 0, 1) (f) Calcule a covarincia e a correlao entre X e Y. (Resp.: 0, 12; 0, 1966)

2. Sejam X e Y variveis aleatrias com E(X) = E(Y ) = 0 e Var(X) = Var(Y ) = 1. Prove que (U, V ) = 0, onde U = X + Y e V = X Y. 3. Um aluno faz um teste de mltipla escolha com 4 questes do tipo Verdadeiro-Falso. Suponha que o aluno esteja chutando todas as questes, uma vez que ele no estudou a matria da prova. Dena as seguintes variveis aleatrias: X1 Y1 X2 Y2 = = = = nmero nmero nmero nmero de de de de acertos acertos acertos acertos entre entre entre entre as as as as duas primeiras questes da prova duas ltimas questes da prova trs primeiras questes da prova trs ltimas questes da prova

CAPTULO 1. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS DISCRETAS

17

(a) Construa uma tabela com o espao amostral associado a este experimento, listando todas as possibilidades de acerto e os valores de X1 , Y1 , X2 , Y2 e suas probabilidades. (b) Construa a funo de distribuio conjunta de (X1 , Y1 ) com as respectivas marginais. (c) Construa a funo de distribuio conjunta de (X2 , Y2 ) com as respectivas marginais. (d) Verque se X1 e Y1 so independentes. (Resp.: Sim) (e) Verque se X2 e Y2 so independentes. (Resp.: No) (f) Por que j era de se esperar as diferenas observadas em (d) e (e)? (g) Calcule a covarincia entre X1 e Y1 . (Resp.: 0) (h) Calcule a covarincia entre X2 e Y2 . (Resp.: 5/16) (i) Calcule as seguintes distribuies condicionais com suas esperanas condicionais: X2 | Y2 = 0 (j) Calcule E [E (X2 | Y2 )] . 4. Uma moeda honesta lanada 4 vezes. Seja X o nmero de caras nos 2 primeiros lanamentos e seja Y o nmero de caras nos 3 ltimos lanamentos. (a) Liste todos os elementos do espao amostral deste experimento, epsecicando os valores de X e Y . (b) Construa a funo de distribuio conjunta de X e Y. (c) Calcule E(X), E(Y ), V ar(X), V ar(Y ) (d) Calcule Cov(X, Y ) e Corr(X, Y ). (e) Se Z = X + Y, calcule E(Z) e V ar(Z) (f) Se W = X Y, calcule E(W ) e V ar(W ). X2 | Y2 = 1 X2 | Y2 = 2 X2 | Y2 = 3

Captulo 2 Variveis Aleatrias Bidimensionais Contnuas2.1 Funo de densidade conjunta

Sejam X, Y duas variveis aleatrias contnuas. A densidade conjunta f (x, y) uma funo que satisfaz as seguintes propriedades: 1. f (x, y) 0 Z + Z + 2. f(x, y)dxdy = 1

3. Pr(a X b, c Y d) =

Z

d c

Z

b

f (x, y)dxdya

2.1.1

Exemplof (x, y) = 2 0xy1 0 caso contrrio

Considere a seguinte funo:

Obviamente, f (x, y) 0. Dessa forma, esto satisfeitas as condies e f (x, y) realmente dene uma funo de densidade. Para o clculo de Pr(X 1/2, Y 1/2), temos que considerar a regio de integrao sombreada na Figura 2.2. 18

Vamos mostrar que f (x, y) realmente dene uma funo de densidade para, em seguida, calcular Pr(X 1/2, Y 1/2). O ponto principal no clculo de integrais duplas denir corretamente os limites de integrao. Na Figura 2.1 a parte sombreada representa a regio de integrao, ou seja, o domnio de variao de X e Y. Note que, nessa regio, para cada y no intervalo [0, 1], o valor de x varia de 0 at y. Z 1 Z 1 Z Z Z 1 Z y 1 y 2dx dy = [2x]0 dy = 2ydy = y 2 0 = 1 f(x, y)dxdy =0 0 0 0

CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS CONTNUAS

19

Figura 2.1: Funo de densidade para o Exemplo 1

Figura 2.2: Regio de integrao para o cclulo de Pr(X 2, Y 2) Exemplo 1

CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS CONTNUAS R 1/2 R y0

20

Pr(X 1/2, Y 1/2) =

2.1.2

Exemplo (Exerccio 18, p. 220 - Bussab & Morettin)

1/2 1 R 1/2 R 1/2 2dx dy = 0 [2x]y dy = 0 2ydy = y 2 0 = 0 0 4

Seja (X, Y ) um vetor aleatrio com funo de densidade conjunta dada por 1 x(x y) 0 < x < 2; x < y < x 8 f(x, y) = 0 caso contrrio Vamos mostrar que f (x, y) realmente dene uma funo de densidade conjunta. Como x > 0, o sinal de f (x, y) determinado pelo termo x y. Para que f (x, y) 0, temos que ter x y 0, ou equivalentemente y x e essa condio satisfeita no domnio de denio de f. Para mostrar que Z Z f(x, y)dxdy = 1 vamos analisar o domnio de denio de f, que est ilustrado na Figura 2.3.

Figura 2.3: Domnio de denio de f(x, y) para o Exemplo 2.1.2

CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS CONTNUAS Note que, nesse domnio, para cada valor de x, y varia de x a +x. Logo, Z Z Z 2 Z +x 1 x(x y)dydx = f(x, y)dxdy = 0 x 8 Z Z 1 2 +x 2 (x xy)dydx = 8 0 x +x Z 1 2 y2 2 dx = x yx 8 0 2 x Z 1 2 x3 x3 3 3 = x x dx 8 0 2 2 2 Z 1 2 3 1 x4 = 16 = 1 = 2x dx = 8 0 8 2 0 16

21

Logo, f (x, y) uma funo de densidade.

2.2

Densidades marginaisZ

As densidades marginais de X e Y so: fX (x) = fY (y) = f (x, y)dy f (x, y)dx (2.1)

Z

2.2.1

Exemplo 2.1.1 (continuao)

Vamos calcular as densidades marginais para o Exempo 2.1.1. Analisando a Figura 2.1, podemos ver que, para y [0, 1], x varia de 0 a y. Logo, Z Z y 2dx = 2y 0y1 fY (y) = f (x, y)dx =0

Note que, como funo de y, fY (y) uma funo linear. Deste resultado podemos ver que 1 Z 1 y3 2 E(Y ) = y2ydy = 2 = 3 0 3 0 Para cada x [0, 1], y varia de x at 1. Logo, Z Z 1 fX (x) = f(x, y)dy = 2dy = 2y|1 = 2(1 x) xx

0x1

que tambm uma funo linear de x. Podemos ver que 1 Z 1 x3 2 =1 x [2(1 x)] dx = x 2 E(X) = 3 0 3 0

CAPTULO 2. VARIVEIS ALEATRIAS BIDIMENSIONAIS CONTNUAS

22

2.2.2

Exemplo 2.1.2 (continuao)

Vamos calcular as densidades marginais para o Exemplo 2.1.2. Analisando a Figura 2.3, podemos ver que, para x (0, 2), y varia de x a +x. Logo, para x (0, 2) +x Z 1 1 y2 1 +x 2 2 fX (x) = (x xy)dy = x(x y)dy = x yx 8 x 8 2 x x 8 x3 2x3 1 x3 x3 3 3 x x = = = 8 2 2 8 4 Z+x

e da podemos ver que E(X) =

Z

Para calcularmos fY (y), teremos que considerar as duas partes do domnio de denio de y : (2, 0) e [0, 2). Para y (2, 0), x varia de y a 2 (veja a Figura 2.3). Logo, 2 Z 1 2 x2 1 x3 1 2 x(x y)dx = y fY (y) = (x xy)dx = 8 y 8 3 2 y y 8 3 8 y y3 1 2y = 8 3 3 2 8 1 3 1 5 3 2