Capitulo 1 Variaveis Aleatorias Paula Pereira (3)

8/19/2019 Capitulo 1 Variaveis Aleatorias Paula Pereira (3)

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Varíaveis Aleat ́orias

Variáveis Aleatórias

Probabilidades e Estat́ıstica2015-2016

Paula Pereira (ESTSetúbal-IPS) Varíaveis Aleatórias PE, 2015-2016 1 / 26

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Noções Preliminares

Experiência Aleatória

Designa-se por experîencia como sendo qualquer processo capaz de

produzir resultados observáveis.

Quando uma experiência está sujeita à influência de factores casuais econduz a resultados incertos diz-se uma experiência aleatória.

As experiências aleatórias caracterizam-se por:

poder repetir-se um grande número de vezes nas mesmas condições;

não existir um conhecimento suficiente para prever o resultado;

existência de regularidade quando se repete a experiência um grandenúmero de vezes.


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Espaço de Resultados

É o conjunto formado por todos os resultados posśıveis de uma experiênciaaleatória. O espaço de resultados representa-se por Ω.

Acontecimento

Os subconjuntos de Ω designam-se por acontecimentos.Em geral, os acontecimentos representam-se com letras maiúsculas:A, B, ....


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Definição Clássica de Probabilidades

P (A) = número de casos favoráveis

número de casos posśıveis

Só é aplicável quando o espaço de resultados é finito e os elementos doespaço de resultados possuem igual probabilidade de ocorrerem.

Definição Axiomática de Probabilidades

Seja Ω o espaço de resultados e P (Ω) o conjunto formado por todos ossubconjuntos de Ω, então Probabilidade é uma função P : P (Ω) → [0, 1]que verifica as seguintes propriedades:

P (A) ≥ 0, ∀A ⊆ Ω;P (Ω) = 1;

Se A ∩ B = , então P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ).


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Propriedades das Probabilidades de Acontecimentos

0 ≤ P (A) ≤ 1P (Ω) = 1

P (∅) = 0

P A = 1 − P (A)P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )

P (A ∪ B ∪ C ) = P (A) + P (B ) + P (C ) − P (A ∩ B ) − P (A ∩ C )−−P (B ∩ C ) + P (A ∩ B ∩ C )

P (A − B ) = P (A) − P (A ∩ B )

P (A/B ) = P (A∩B )P (B ) , P (B ) > 0

Se A e B acontecimentos indepedentes, P (A ∩ B ) = P (A)× P (B )


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Varíaveis Aleatórias

Variáveis AleatóriasMuitas vezes o resultado de uma experiência aleatória não é numérico ousendo-o não interessa lidar com os resultados posśıveis de Ω, maspretende-se associar-lhe uma quantidade numérica.

Definição

Chama-se variável aleatória (v.a.) e representa-se por X , a uma função de

domı́nio Ω e conjunto de chegada R, cujo valor é determinado peloresultado de uma experiência aleatória, isto é

X : Ω → Rw → X (w ) = x

Observação

Uma variável aleatória é uma função e não uma variável no sentido emque é habitualmente empregue em Matemática.


V í i Al ´ i

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Varíaveis Aleatórias

Variáveis Aleatórias

Tipos de Variáveis Aleatórias

Uma variável aleatória diz-se Discreta se pode assumir um número

finito ou infinito numerável de valores → associada a contagens.

Uma variável aleatória diz-se Cont́ınua se pode assumir um númeroinfinito não numerável de valores → associada a medidas.


V í i Al t´ i V í i Al t´ i Di t

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Variaveis Aleatorias Variaveis Aleatorias Discretas

Variáveis Aleatórias Discretas

Uma variável aleatória diz-se Discreta se pode assumir um número finitoou infinito numerável de valores.

Uma variável aleatória discreta fica perfeitamente identificada através dafunção de probabilidade ou da função de distribuição.


Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Discretas

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Função de Probabilidade (f.p.)

Se X é uma varíavel aleatória discreta, que assume valores distintos x 1,

x 2, . . . , x n, então a função de probabilidade (ou função massa deprobabilidade) é representada por f (x ) e é definida por

f (x ) = P (X = x ) =

P (X = x ) , x = x j

0 , x = x j j = 1, . . . , n

ou esquematicamente por

x x 1 x 2 · · · x j · · · x nf (x ) P (X = x 1) P (X = x 2) · · · P (X = x j ) · · · P (X = x n)

e satisfaz as seguintes propriedades

1 f (x ) ≥ 0, ∀x ;

2

x f (x ) = 1.


Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Discretas

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Função de Distribuição (f.d.)

Se X é uma varíavel aleatória discreta, que assume valores distintos x 1,

x 2, . . . , x n, então a função de distribuição (ou função de distribuiçãoacumulada) é representada por F (x ) e é definida por

F (x ) = P (X ≤ x ) =x i ≤x

f (x i )

isto é,

F (x ) =

0 , x


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e satisfaz as seguintes propriedades:

1 0 ≤ F (x ) ≤ 1;2 F (x ) é uma função não decrescente;

3 F (x ) é cont́ınua à direita;

4 limx →−∞F (x ) = 0 e limx →+∞F (x ) = 1;

5 P (X = a) = F (a) − P (X


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Variaveis Aleatorias Variaveis Aleatorias Contınuas

Variáveis Aleatórias Cont́ınuas

Uma variável aleatória diz-se Cont́ınua se pode assumir um númeroinfinito não numerável de valores.

Uma variável aleatória cont́ınua fica perfeitamente identificada através dafunção densidade de probabilidade ou da função de distribuição.


Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Cont́ınuas

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Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.)

Se X é uma varíavel aleatória cont́ınua, então existe uma função f (x ) tal

que

F (x ) =

x −∞

f (t ) dt .

À função f (x ) dá-se o nome de função densidade de probabilidade e pode

ser representada por

f (x ) =

F (x ) , caso exista

0 , outros casos

e satisfaz as seguintes propriedades:1 f (x ) ≥ 0, ∀x ;

2 +∞−∞

f (x ) dx = 1.


Varíaveis Aleatórias Varíaveis Aleatórias Cont́ınuas

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Se X é uma varíavel aleatória cont́ınua, então a função de distribuição érepresentada por F (x ) e é definida por

F (x ) = P (X ≤ x ) =

x −∞

f (t ) dt

e satisfaz as seguintes propriedades:

1 0 ≤ F (x ) ≤ 1;

2 F (x ) é uma função não decrescente;

3 F (x ) é cont́ınua em R;

4 limx →−∞F (x ) = 0 e limx →+∞F (x ) = 1;

5 P (X = a) = 0;

6 P (a


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Observação

b a f (x ) dx = F (b )− F (a) = P (a


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Parâmetros

Momento de ordem k em relação à origem

O momento de ordem k em relação à origem ou momento ordinário deordem k , com k ∈ N, de uma variável aleatória X é o valor esperado deX k e representa-se por

µk = E

X k .

Se X variável aleatória discreta: E

X k

=

x x k f (x ) .

Se X variável aleatória cont́ınua: E

X k

= +∞−∞

x k f (x ) dx .


Varíaveis Aleatórias Parâmetros

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Caso particular k = 1

Valor Esperado ou Média ou Esperança Matemática

Chama-se valor esperado de uma variável aleatória X ao momento deordem 1 em relação à origem e representa-se por

µ = µX = E [X ] .

Se X variável aleatória discreta: µ = E [X ] =x

xf (x ) .

Se X variável aleatória cont́ınua: µ = E [X ] = +∞−∞

xf (x ) dx .

Observação

O valor esperado é um parâmetro de localização, que pretende localizaro centro da distribuição de probabilidade, ou seja, pretende identificar o”centro de gravidade” da variável aleatória.



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Observação

Seja g (X ) uma função da varíavel aleatória X . Então tem-se

Se X variável aleatória discreta: E [g (X )] =x g (x ) f (x ) .

Se X variável aleatória cont́ınua: E [g (X )] = +∞−∞

g (x ) f (x ) dx .



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Propriedades

Sejam X uma variável aleatória e a e b constantes reais.1 Se X = a, então E [X ] = E [a] = a;

2 E [X + b ] = E [X ] + b ;

3 E [aX ] = aE [X ] ;

4 E [aX + b ] = aE [X ] + b ;

5 Sejam g (X ) e h (X ) funções de X

E [g (X ) + h (X )] = E [g (X )] + E [h (X )] .



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Momento de ordem k em relação à média

O momento de ordem k em relação à média ou momento central de ordemk , com k ∈ N, de uma variável aleatória X é o valor esperado de (X − µ)k

e representa-se por

E

(X − µ)k

= E

(X − E [X ])k .

Se X variável aleatória discreta:

E

(X − µ)k

=x

(x − µ)k f (x ) .

Se X variável aleatória cont́ınua:

E

(X − µ)k

=

+∞−∞

(x − µ)k f (x ) dx .



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Caso particular k = 2

Variância

Chama-se variância de uma variável aleatória X ao momento de ordem 2em relação à média e representa-se por

σ2 = σ2X = Var [X ] = V [X ] = E

(X − µ)2.

X variável aleatória discreta: σ2 = V [X ] =x

(x − µ)2 f (x ) .

X variável aleatória cont́ınua: σ2 = V [X ] = +∞−∞

(x − µ)2 f (x ) dx .

Observação

A variância é um parâmetro de dispersão. Mede a dispersão (aoquadrado) da variável aleatória em torno do seu valor esperado.



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Propriedades:

Sejam X uma variável aleatória e a e b constantes reais.

1 V [X ] = E

X 2− E 2 [X ] ;

2 V [X ] ≥ 0;

3 Se X = a, então V [X ] = V [a] = 0;

4 V [X + b ] = V [X ] ;

5 V [aX ] = a2

V [X ] ;

6 V [aX + b ] = a2V [X ] .



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Desvio Padrão

É um parâmetro de dispersão, é a raiz quadrada da variância. Mede adispersão da variável aleatória em torno do seu valor esperado na mesmaunidade de medida em que a variável aleatória vem expressa.

O desvio padrão de uma variável aleatória X representa-se por

σ = σX =

V [X ].



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Coeficiente de Variação ou de Dispersão

É uma medida que permite expressar a variabilidade retirando a influência

da unidade de medida em que a variável aleatória vem expressa.

O coeficiente de variação ou de dispersão representa-se por

CV =

Desvio Padrão

Valor Esperado × 100% = V [X ]

E [X ] × 100%.

Observação

O coeficiente de variação ou de dispersão deve ser usado quando se tem

variáveis em unidades de medida diferentes e pretende-se comparar avariabilidade dessas variáveis. Quanto menor o valor do coeficiente, menoré a variabilidade dos dados em relação à média (ou seja, mais homogéneossão os dados).



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CovariânciaÉ um parâmetro de dispersão. Mede a dispersão conjunta de duasvariáveis aleatórias em torno dos respectivos valores esperados. Permitedescrever o tipo de relação linear (positiva ou negativa) que existe (ounão) entre duas variáveis aleatórias.

A covariância das variáveis aleatórias X e Y representa-se por

σXY = cov (X ,Y ) = E [(X − µX ) (Y − µY )]

= E [(X − E [X ]) (Y − E [Y ])] .



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Propriedades:

Sejam X e Y variáveis aleatórias.

1 cov (X , Y ) = E [XY ] − E [X ] E [Y ] ;

2 E [X + Y ] = E [X ] + E [Y ] ;

3 E [X − Y ] = E [X ] − E [Y ] ;

4

V [X + Y ] = V [X ] + V [Y ] + 2cov (X ,Y ) ;5 V [X − Y ] = V [X ] + V [Y ] − 2cov (X ,Y ) ;

6 Se X e Y são varíaveis aleatórias independentes, então:

1 cov (X ,Y ) = 0;2 E [XY ] = E [X ] E [Y ] ;3 V [X + Y ] = V [X ] + V [Y ] ;4 V [X − Y ] = V [X ] + V [Y ]

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Capitulo 1 Variaveis Aleatorias Paula Pereira (3)