Embed Size (px)
Citation preview
HOÀNG NGỌC ANH
Tài liệu này được viết dành cho các bạn học sinh chuyên Toán, Toán‐Tin, các thầy cô giáo
dạy Toán và các bạn sinh viên Đại học, Cao Đẳng, các bạn trẻ yêu Toán.
www.VNMATH.com
1
VẤN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC AM‐GM
AM‐GM hay còn có tên gọi là bđt Cô‐Si! Ứng dụng của bđt này rất đa dạng và
phương pháp sử dụng bđt này khá hiệu quả trong việc chứng minh các bài toán bđt
hai biến số hoặc ba biến số. Sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu những ích lợi của bđt
được xem là một công cụ mạnh này.
Ví dụ 1.
www.VNMATH.com
2
Ví dụ 2:
www.VNMATH.com
3
www.VNMATH.com
4
www.VNMATH.com
5
www.VNMATH.com
6
www.VNMATH.com
7
Ví dụ 3.(Võ Quốc Bá Cẩn)
www.VNMATH.com
8
www.VNMATH.com
9
Ví dụ 4. TST‐2001
www.VNMATH.com
10
www.VNMATH.com
11
www.VNMATH.com
12
VẤN ĐỀ 2: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY‐SCHWARZ Bất đẳng thức Cauchy‐Schwarz hay còn có tên gọi quen thuộc là bất đẳng thức
Bunhiacôpxky, là một bất đẳng thức thường áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học, chẳng hạn có trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong
giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết sác
xuất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Bất đẳng thức này có rất nhiều
cách chứng minh, nhưng tôi không đi sâu vào phần này mà chỉ khai thác triệt để
công dụng của nó. 1. Những kĩ thuật sử dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số Bài toán 1: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
a2
b+c + b2
a+c + c2
a+b
a+b+c2
Lời giải: Cách 1: Dùng bđt cauchy-schwarz dạng cộng mẫu số ta được
VT (a+b+c)2
2(a+b+c) =
a+b+c2
ĐPCM
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.
www.VNMATH.com
13
Cách 2: Dùng bđt Cô-si ta có
a2
b+c +
b+c4
a. Tương tự ta cũng có:
b2
a+c +
a+c4
b
c2
a+b +
a+b4
c. Cộng 3 bđt này lại ta được ĐPCM.
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. Tuy nhiên nhìn qua bđt ở đề bài, ta nên nghĩ ngay cách 1! Bài toán 2: CMR: Nếu a, b, c là các số thực dương thì
ab+2c
+ b
c+2a +
ca+2b
1. (CSM-1999)
Lời giải: Khi đọc lướt qua bài trên ta cảm thấy không giống với dạng toán bài 1 vì trên tử không có bình phương. Nhưng ta có thể giải quyết gọn gàng thông qua việc làm cho tử số của bài toán xuất hiện bình phương:
Ta có: VT = a2
a(b+2c) + b2
b(c+2a) + c2
c(a+2b)
Áp dụng bđt cộng mẫu số ta có: VT (a+b+c)2
3(ab+bc+ca)
Đến đây ta cần chứng minh: (a+b+c)2 3(ab+bc+ca). Đây là một kết quả quen biết! Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 2. Mộ số kỹ thuật khác
www.VNMATH.com
14
www.VNMATH.com
15
www.VNMATH.com
16
www.VNMATH.com
17
www.VNMATH.com
18
www.VNMATH.com
19
Vấn đề 3. BẤT ĐẲNG THỨC THUẦN NHẤT
www.VNMATH.com
20
www.VNMATH.com
21
www.VNMATH.com
22
www.VNMATH.com
23
www.VNMATH.com
24
www.VNMATH.com
25
www.VNMATH.com
26
www.VNMATH.com
27
www.VNMATH.com
28
Vấn đề 4. ỨNG DỤNG CỦA BĐT CÔ‐SI VÀO ĐẠI SỐ
www.VNMATH.com
29
www.VNMATH.com
30
www.VNMATH.com
31
www.VNMATH.com
32
www.VNMATH.com
33
Vấn đề 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN BĐT TRONG CÁC KỲ THI
CHỌN HSG
www.VNMATH.com
34
www.VNMATH.com
35
www.VNMATH.com
36
www.VNMATH.com
37
www.VNMATH.com
38
www.VNMATH.com
39
www.VNMATH.com
40
