Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Hoàng Ngọc Nhậm

H O À N G N G Ọ C N H Ậ M

GIÁO TRÌNH É

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

H O À N < £ N j G Ọ C N H Ậ M

N H À X U Ấ T B Ầ N < T H Ố N Q K Ế ^ a < m



L ờ i n ó i đ ầ u

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các h iện tượng ngẫu nhiên. Dựa trên những thành tựu của lý thuyết xác suất, thống kê loàn là khoa học ra quyết định trên cơ sở những thông tin thu thập từ thực t ế . Hơn 300 năm phát t r iển , đến nay nội dung và phương p h á p của xác suất thốn" kê rất phong phủ và được á p dụng rộng rãi trong rãi nhiều lĩnh vực. Vì vậy việc học tập, nghiên cứu môn xác suất ihống kê hở thành nhu cầu khôn!* thể thiếu đ ố i với sinh viên của nhiều trường đạ i học.

Đe đáp ứng yêu cầu nân" cao chát lượn" đào lạo, đáp ứng những đòi hỏ i của nền kinh l ố thị trương và tạo đ iều k i ện thuận l ợ i đ ể sinh viên của trường học môn xác suất thống kê . Chúng tôi b i ên soạn cuốn "Lý thuyết xác suất và thống kê toán". Qua cuốn sách nhỏ này chúng tôi hy vạn? sẽ g iúp các bạn -sinh viên đạ t kế t quả cao khi học tập, nghiên cứu môn học và ứng dụng được các phương p h á p của x á c suất thống kê trong công v iệc của mình sau này.

Cuốn sách gồm 3 phần được chia làm 8 chương được sắp xếp theo

một thứ l ự chặt chẽ nhằm ° iúp cho sinh viên h iểu rõ các khái n i ệ m , các c ô n s thức cơ bản và các phướng pháp của xác suất đ ể nghiên cứu các h iện tượng ngẫu nhiên Những h i ện tượng như vậy rấ t thường gặp trong kinh t ế , đặc b iệ t là kinh t ế thị trường. Trang bị những phương pháp cơ bản nhất của thống kê toán như: Phương p h á p mẫu đổ thu thập và xử lý thông tin, phương p h á p ước lượng, phương pháp k i ể m định giả th iế t thống kê. . . . Các phương pháp này ngày nay được coi là công cụ không thể th iếu ương "hộp đồ n g h ề " của c á c nhà kinh tế . Niĩoài ra cuốn sách này còn giúp nâng cao năng lực tư duy, khả năng độc lập nghiên cứu của sinh viên.

3


Đ ố i vớ i các nhà kinh t ế và các nhà quản trị doanh nghiệp, b iết

thu thập và nắm vững c á c phương p h á p xử lý thông tin kinh t ế xã hội là y ê u cầu không thể th iếu được. Toán học nói chung, xác suất thống kê nói r iêng là công cụ nghiên cứu kinh t ế r ấ t hữu h iệu . Đ ố i vớ i sinh viên, mục tiêu cuối cùng của v iệc học toán là sử dụng được công cụ này vào ưong công v iệc của mình trong tương lai . Do đó cuốn sách được v iế t theo quan đ i ể m thực hành, chú trọng việc á p dụng xác suất thống kê toán vào thực t ế hơn là v iệc trình bày các vấn đ ề có tính

chất thuần túy lý thuyết.

Ngoài đối tượng bạn đọc là sinh viên trường Đại học Kinh tế

cuốn sách cũng giúp ích cho tất cả những ai trong c ô n s v iệc , t ron" nghiên cứu phải xử lý một số lượng lớn thông ùn, số l i ệ u .

Cuốn sách đã được chỉnh lý, sửa đổi một số phần cho phù hợp với yêu cầu và trình độ t i ếp thu của sinh viên. Đồng thời cuốn sách cũng

được các cán bộ giảng dạy của bộ môn Toán Kinh t ế Khoa T o á n -

Thống kê trường đ ạ i học kinh t ế thành phố H ồ Chí M i n h g ó p ý song không thể tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi rất mong bạn đọc vần xa góp ý, bổ sung đ ể cuốn sách ngày c à n g có chất lượng cao đ á p ứng ngày càng tốt hơn nhu cầu nghiên cứu, học tập của sinh viên .

Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những ai đã đóng góp vào nôi dung và tổ chức cho cuốn sách được ra mắ t ban đọc.

Thành phố Hồ Chí Minh ỉ/2003 T* 'É. • 9 ì ác giả


Ọliươtiti 1: c&tír i Ị ít ít cùa biến eổ oà cúc cô/lự thức tinh xáe ỊUất

P H Ầ N I

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Chương 1

XÁC SUẤT CỦA BIẾN cố VÀ CÁC CÔNG

T H Ứ C T Í N H X Á C S U Ấ T

ì- Phép thử và các loại biến cố

Tron? toán học có những khái n iệm không có định nghĩa mà chỉ có thể mô tả chúng bằng những hình ảnh hoặc tư duy trực giác . Chẳng hạn. tron? hình học, các khái n iệm đ iểm, đường thẳng, mặ t phang là những khái n iệm không có định nghĩa. Trong xác suất, khái n iệm phép thử là khái n iệm cơ bản không có định nghĩa, ta h iểu p h é p thử là m ộ i thí nghiệm hay quan sát nào đó . Phép thử được gọi là ngẫu nhiên nếu la không thể b iết trước kế t quả nào sẽ xảy ra.

Thường trong một phép thử (thí nghiệm) có nhiều kết quả có thể xảy ra. Có kết quả đơn g iản, và cũng có những kế t quả phức hợp. Chẳng hạn, khi quay xổ số, nếu ta chí quan lâm tới hai số cuối . thì mỗ i sự xuấi hiện một trong các số l ừ 00. OI 98, 99 là những k ế t

quả đơn giản nhất; ương khi đó. sự xuất hiên các số chẵn. l ẻ . đầu 5, đuôi 2 . . . là những kế t quả phức hợp (gồm nhiều kết quá đơn g iản

nhai hợp thành).

Kết quả đơn giản nhất được gọi là biến cố sơ cấp (nó giống như khái n i ệm đ iểm trong hình học, nó không có định nghĩa chính xác) .

Tập hợp tai cá các b iến cố sơ cấp được gọi là không gian các b i ến cố

ĩ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

íỊiáo trình li) tlim/ết .nít' mất DÙ Hiốnq Uè toán

sơ cấp. M ỗ i tập con của không gian các h iến cố sư cấp được gọi là

biến cố.

Ta Ihườnsĩ dùng:

(0 đổ ký hiệu b iến cô sơ cáp; íì để ký hiệu khôn" gian các b iến cố sơ cáp ;

A. B. c, . . . A | . A 2 A„. . . . để ký h iệu h iến cố

Để minh họa, la XÓI phép thử có số kết quả đơn giản nhất là hữu hạn hoặc vô hạn đ ế m được: (Oi, 0)2. . . . Theo trên, mỗ i cou được gọi là một hiên cô sơ cấp, còn lập hợp

Q = leo,. CO:, . . . }

là không dan các Hiôli cô sơ cáp.

Thí dụ: Ì- Gieo mội con xúc xắc là thực hiện một p h é p l l iử . Không aian

các biên cô sơ cáp đôi với phép thử này là:

Q = í (Oi. (Õ2. OÌỊ, 0)4, (0ỹ, 0)(lj

tron" đó: Củi (i = ì, 2. . , 6) chí kết quả xúc xắc xuất hiện mại i chấm.

2. Gieo hai con xúc xắc. Khôns eian các biên cố sơ cấp đối với phép thử này là:

Q = {con, to,:. . ... ,,0)fõ, Oif.fi}

trong đó: 0)jj (i. j = 1,2 6) chỉ kết quả xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặ t i chấm và xúc xắc thứ hai xuất h iện mặ t j chấm (phép thử này có 36 b iến cố SƯ cấp).

Trong không gian các biến cố sơ cấp, ta sẽ iĩọi mỗi lập con A c Í2 là mộ i biên cô.

6


http://Oif.fi%7d

VhttơntỊ 1: (ÀMÍC iittĩt tim biến cố va etíe eòinỊ thứ* titth ,rtíe suất

Như vậy, mội biến cố du LO Me xay ra khi mội phép thử gắn liền

với nó được thực hiện . TroiiiỊ thực t ế có thô xảy ra các loai b i ến c ố

sau đây :

+ Hiến cố chắc chắn: lù biến cố nhất đinh sẽ xảy ra khi thực h iện p h é p thử . B i ế n cố chắc chán được ký hiệu là Q.

Thi dụ: Tung một con xức xấc. biến cố " xuất h iện mãi cớ số chấm nhỏ hơn 7" là b iến c ố chắc chắn.

+ Biếu cố không thể có: là b iến cố nhất định không xảy ra khi thực h iện phép thử. B iến cố không thê dược ký hiệu là 0 .

Thi dụ: MỘ I k i ện hùng có l o sản phẩm (trong đó có 7 sản phẩm l o ạ i í và 3 sản phẩm loạ i l i ) . Chọn ngẫu nhiên không hoàn l ạ i l ừ k i ệ n ra 5 sản phẩm. B iến cố: " có một sản phẩm loại ì trong 5 sản phẩm lấy ra từ k i ệ n " là b iến cố không i h ể có.

+ Biến cố ngẫu nhiên: là b iến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện phép thử. người ta thường dùng các chữ in hoa đ ể ký

h iệu các b iến cố nsẫu nhiên, chẳng hạn: A, B, c , . . . ; hoặc A i , À 2 , .

. . , A n : hoặc B i , B i , . . . , B,J,

Thí dụ: Tung một con xúc xắc, gọi A2 là b iến cố: "xuất h i ệ n mặt 2

c h ấ m " thì A2 là b iến cố ngẫu nhiên.

li- Mối quan hệ giữa các biến cố

Khi g i ả i các bài toán của lý thuyết xác suất ta thường phải d iễn tả một b iến c ố phức hợp theo các h iến cố đơn g ián hơn. Đ e l àm được điều đó ta cần nghiên cứu m ố i quan hộ giữa các biến c ố thể h iện qua

các định nshía dưới đây:

Định nghĩa ì: B iến c ố A và B được gọ i là hai biển cố tương đương (ký h i ệ u là A = B ) nếu A xảy ra thì B cũng xay ra và ngược l ạ i .

7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

Qiủa trình /ý thuyết xức mất DÙ t/tơnạ kè toán

Thí dụ. Tung một con xúc xắc, h iến cố "xúc xắc ra mặ t chẩn** và b iến cố "xúc XÍU r;i một trong 3 mặt: 2, 4, 6" là hai b i ến cố tương

đương.

Định nghĩa 2: B i ế n cố c được gọ i là tổng của 2 b i ế n c ố A và B (ký h iệu là c = A ù B hoặc c = A + B). N ế u c xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất môi trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.

Thí dụ: Xét phép thử quan sát hai xạ thủ cùng bắn vào một bia. Gọi A là b iến cố "xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia", B là b i ến c ố "xạ thủ thứ hai bắn trúng bia", c là b iến cố "bia trúng đ ạ n " . Rõ ràng c xả> ra khi và chi khi có ít nhất m ộ i trong hai b i ế n c ố A, B xảy ra

Vậy : c = A u B

I Định nghĩa 3: B i ế n cố A được gọ i là lổng của n b i ến cố: A j , A 2 , . . . A n nếu A xảy ra khi và chí khi có ít nhất một trong n b i ến cố đó x ả )

ra. Ký hiệu là:

li • A = A i u A i ụ . . . u An hoặc A = M A j hoặc A = 2Âi

i=i i=i

Định nghĩa 4: Biến cố c được gọi là hiệu của 2 biến cố A và B (ký h iệu là c = A - B). N ế u c xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.

Thí dụ: Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 15 người giỏi toán, 10 ngươi g iỏ i văn và 4 người g iỏ i cả hai môn này. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Gọi A là b iến cố gặp được người g iỏ i loàn; B là biến cố gặp được người g iỏ i văn; c là b iến c ố gặp được người chi g iỏ i toán, thì c = A - B

Định nghĩa 5: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu

chúng không thể đồng thời xảy ra trons một p h é p thử.


VttiMiHỊ Ị: f.X)ùi' suất cún biếu eìỉ vù các cò lít/ thửe tính jeúe suất

Trong thực l í với sô phép thử đủ lớn ta có thổ lấy lần suất làm giá trị iiân li ú li Ỉ: của xác suấL Tức la có PíA) * RA) khi n khá lớn.

* Chủ ý: Khái niệm hội lạ theo xác suấi của lần suất cú iBrhĩa là với m ọ i Í: ihíóiiu bé tùy ý ta luôn có:

Lim vịt' - pị < e) = Ì n—>oc

Đốn chưtiiii! 5 la sẽ chứng minh cứ S("í lý thuyết của sự hội lu đó

Nhờ những thành quả của loàn học và kỹ ihuậl lính toán hiện đại, định nghĩa thốn" kê của xác suất có l ầm quan trọng đặc b iệ t trong ứng dụng.

4- Nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lổn

Trong nhiều bài toán thực l ố , ta thườn" irặp các biến cố có xác suất rá i nhò , tức gần bàng 0. Qua nhiều lần quan sái , người ta thấy rà nạ : các h iến c ố có xác suất nhỏ. gần như khôiiỉĩ xảy ra khi ihực hiện p h é p thử. Trên d í sở đó có thể đưa ra "Nguyên lý ihực l ố không thể có của các b iến c ố LÓ x á c suất nhỏ" sau đây :

Nếu mội biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực lố có thể cho rằng trong m ộ i phép ihử , biến cô đó sẽ khòm: xảy ra.

Việc qui định một mức xác suất được coi là "rất nhỏ" tùy thuộc vào từng bài loàn cụ thể . Chẩn" hạn: N ế u xác suối đ ể một loại dù không mà khi nhảy dù là 0,0ỉ thì xác suất đó chưa thổ coi là nhỏ và la khôns: nên sử đ ụ n " loạ i dù đó . Soím nếu xác suất đổ m ộ i chuyến

xe lửa đốn ỈM chậm l o phin là 0.01 thì ta có thể coi mức xác suất đó là nhỏ lức có thổ cho rằm? xe lửa đốn ga đúnsi iiiìí.

MỘI mức xác suất nhỏ mà với nó ta có lliể chi) rằn ÍT: biên cố đang XÓI không xay ra trung m ộ i phép thử được Sĩọi là mức ý nsrhĩa. Tùy

23


Lịìáo trình Ị lị thuyết xát Mất oà thống kẻ toài*

theo từng bài toán cụ thể, mức ý nghĩa thường được lấy ưong khoảng từ 0,01 đến 0,05.

Tương tự như vậy ta có thể nêu ra" nguyên lý thực tế chắt chắn xảy ra của các b iến c ố có xác suất lớn" như sau: ,

Nêu một biến c ố có xác suất gần bằng Ì thì thực te V > 'hổ cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong m ộ i p h é p thử .

Cũng như ưên, việc qui định mức xác suất dượt L»»I là "lớn" tùy thuộc vào bài toán cụ thể . Thông thường người la l ấy trong khoảng từ 0,95 đến 0,99.

IV- Công thức cộng xác suất

a- Nếu Ả và B là hai biến cố xung khắc thì:

Chứng minh: Ta chứng minh cho trường hợp p h é p thử có thể phân tích thành n trường hợp đ ố i xứng, trong đó c ó mi trường hợp thuận

lợi cho A và m 2 trường hợp thuận l ợ i cho B. K h i đó số trường hợp

thuận lợi cho b iến c ố (A u B) sẽ là: mi+nv> (vì A, B là hai b iến cố xung khắc).

Ta có thể minh họa số trường hợp thuận lợi như sau:

P ( A u B ) = P(A) + P(B)

Theo định nghĩa cổ điển ta có:

24


QtuMng ì: Ợũảê mất en ạ biết! tế vù tám tồng, títứe. tinh xáe tuất

Trường hợp tổng quát, công Ihức trên được phát biểu như sau:

Nếu Aj, A2,..., An là n biến cố xung khắc từng đôi, thì:

P(Aj u A2 u... u An) = P(A,) + P(A2) +... + P(An)

Bạn đọc có thể chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp.

Thí dụ 1: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 2 phế phẩm). Lấy ngẫu nhiên (không hoàn l ạ i ) từ hộp ra 6 sản phẩm. T i m xác suất đ ể có không quá Ì p h ế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra.

Giải: Gọi A là biến cố "không có phế phẩm nào trong 6 sản phẩm lấy ra"; B là b i ến c ố "có Ì p h ế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra" và c là b i ế n cố"có không quá Ì p h ế phẩm trong 6 sản phẩm lấy ra".

Ta thấy: c = A u B •

Mà A, B là hai b i ế n c ố xung khắc (vì nó không thể đồng thời xảy ra trong p h é p thử lây ngẫu nh iên ra 6 sản phẩm từ hộp). . V ỉ..

P(C) = P(A u B ) = P(A) + P(BÌ

- 4 = ± L . p ( B ) = £ i £ i = ^ c i 105 c „ 105 'lo ^10

V ậ y :

P ( C) = i i + ^ = 2 i = ỉ 105 105 105 3

Từ công thức trên ta có thể suy ra một số hệ quả sau:

Hệ quả 1: Nếu Ai, A2 An là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi thì:

li £ P ( A i ) = l 1=1


íịiúo Ị'tìnít í lị thuyết -rác suất vù iltổiiq kè toán

Hệ quả 2: N ế u A và A là hai b iến cố đ ố i lập với nhau thì:

P ( A ) = Ì - P( A )

Bạn đọc có thể dễ d ìm" chứng minh các hệ quả t rên.

b- N ế u A và B là hai b i ến c ố k h ô n g xung khắc th ì :

P(A u l i ) = P(A) + PHỈ) - P(A.B)

Chứng minh: Giả sử phép thử có n trường hợp đ ố i xứnc. tron" đó có

mi trường hợp thuận lợi cho A, 1112 inrìíriỉĩ hợp thuận lợ i cho B. Vì A. B không xung khắc nên nói chung sẽ cớ k irườnu hợp thuận lợi cho cả A và B. Khi đó số trường hợp thuận lợ i cho b i ến c ố (A u B) sẽ là

Ì mi + m-> - k.

Ta có thể minh họa trường hợp này như sau:

Theo mô lả ở hình trên mỗ i nốt chấm đen là một trường hợp ihuận lợ i thì: rai = 12; m 2 = 15; k = 5

Theo định nghĩa cổ đ iển của xác suất, ta có:

n,A D> m , + m , - k m , m , k P ( A u B ) = - i — ^ = : ^ i + l í ỉ 2 _ _ ± = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )

n n n ũ

B . = P ( A ) ; ^ L = P ( B ) ; ằ = P ( A B ) n n n

Thí dụ: M ộ t lớp có 50 sinh viên.trong đó có 20 sinh viên học giỏi Toán ; 30 sinh viên học giỏi Anh văn; l o sinh viên học eiòi cà hai

26


Phương í: (Xiáe li lất cùa biến cố vù các còng tinh' tính xác mất

môn T o á n và Anh văn. Chọn ntrẫu nhiên một sinh viên của lớp. T i m xác suất đ ể chọn được sinh viên học g iỏ i ít nhất một môn trong hai môn T o á n và Anh văn.

Giai: Gọi A là biến cố chọn được sinh viên học giỏi môn Toán; B là biến cố chọn được sinh viên học g iỏ i môn Anh văn; c là b iến cố chọn được sinh viên học g iỏ i ít nhất một trong hai môn Toán và Anh văn. Ta thấy c = A w B mà hai b iến cố A và B là hai b iến cố không xung khắc (vì A và B có thể xảy ra đồntĩ Ihời trong cùng một phép thử. Đó chính là trường hợp chọn được một sinh viên học g iỏ i cả hai môn Toán và Anh văn). Do đó :

P(C) = P(A) + P(B) - P(AB) = — + — - — = — =0,8 50 50 50 50

Trường hợp tổng quát công thức trên được phát biểu như sau:

Nếu Ai, A2,.... An là n biến cố khôn" xun*: khắc thì:

li P ( A j U A 2 U . . . u A n ) = Ị T P ( A i ) - X P ( A i A ) ) + £ p ( A l A j A k )

i=l " Ki i<j<k . . . + ( - l ) n - ' P ( A 1 . A 2 A n )

• Trường hơy li = 3:

P(A, U A 2 u A , ) = P ( A l ) + P ( A : ) + P ( A 3 ) - P ( A 1 A 2 ) -

- P ( A I A , ) - P ( A , A , ) + P ( A I A 3 A 3 )

• Trường hợp li = 4:

P(A, ÙA, ÙA, UA4) = P(A,) + P(A,) + P(A,) + P(A4) - P ( A I A 2 ) - P ( A I A 1 ) - P ( A I A 4 ) - P ( A : A , ) - P ( A , A 4 )

- P ( A 3 Ã 4 ) + P(A, A , A , ) + P(A IA , A 4 ) + P(A, A , A \ )

+ P ( A , A _ , A 4 ) - P ( A , A 2 A , A 4 )


(ịlủo trinh /lị tỉtui/ểt xác mất Hít thấm/ kê toan

c- N ế u A j , A „ . . . , A n là n b i ế n c ố k h ô n g xung khắc và độc lập

t o à n phần thì :

ỸịầịU A 2 U . . . u A n ) = Ì - P ( Ã 1 ) . P ( Ã 2 ) P ( Ã n )

V- Công thức nhân xác suất

Ì- Xác suất có điều kiện

a- Định nghĩa: Xác suất của b iến cố A được tính vớ i đ iều k i ệ n biến

cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có đ iều k i ệ n của A. Ký hiệu là

P(A/B)

b- Thí dụ: t r ong bình có 5 quả cầu (trong đó có 2 quả ưắng). Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra hai quả ( lấy không hoàn l ạ i ) . T i m xác suất để lần thứ hai lấy được quả trắng b iết l ần thứ nhất lấy được cầu trắng ?

Giải: Gọi A là biến cố "lần thứ hai lấy được cầu trắng"; B là biến cố " lần thứ nhất lấy được cầu trắng". Ta cần tìm P(A/B). Ta thấy lần thứ nhất đã lấy được cầu t r ấn" (tức B đã xảy ra) nên trong bình còn l ạ i 4 quả, trong đó có Ì quả cầu trắng.

Nên: P(A/B) = -4

c- công thức tính: P(AB)

P ( A / B ) = P(B)

Ta có thể dùng khái n iệm xác suất có đ iều k i ệ n để định nghĩa cách

khác các biến cố độc lập như sau:

Nếu: P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B) thì A, B độc lập.

2- Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ, thì:

P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

28


@/utưnạ 1: Qbáe. mất của biển eấ oà các eôuạ thức Hu ít xòe tuất

Chứng minh: Giả sử p h é p thử có n trường hợp đ ố i xứng, trong đó có

m i trường hợp thuận lợ i cho A; IĨ12 trường hợp thuận l ợ i cho B. Vì A , B không xung khắc nên nói chung sẽ có k trường hợp thuận lợ i cho cả A và B. Theo định nghĩa cổ đ iển của xác suất ta có :

le m P(AB) = - ; P(A) = ^ ị

n n Ta tính P(B/A).

Với điều kiện A đã xảy ra nên số trường hợp đối xứng của biến cố B khi đó sẽ là mi ; số trường hợp thuận lợ i cho B là k.

Do vậy:

P(B/A) = — m,

Ta có: le m lí

P(AB) =- = ĩ^-. — = P(A)P(B/A) u n m ị

Vì vai trò của 2 biến cố À. và B như nhau, chứng minh tương tự ta được:

P(AB) = P(B)P(B/A)

Ta xét một thí dụ để minh hoa cho phần chứng minh nêu trên:

M ộ t lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 nữ và 30 nam. Trong kỳ thi môn Toán có 10 sinh viên đ ạ i đ iểm g iỏ i (trong đó có 6 nam và 4 nữ). G ọ i tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. T i m xác suất g ọ i được sinh viên đạt đ iểm g iỏ i môn Toán b iế t rằng sinh viên đó là n ữ ?

Trong thí dụ này, phép thử là gọi ngẫu nhiên tên mội sinh viên của lớp, nên số trường hợp đ ố i xứng có thể xảy ra trong phép thử (n) là 50 ỉ Gọ i A là b iến cố gọ i được sinh viên nữ thì số trườn? hợp thuận

lợi cho A (mi) là 20; Gọ i B là b iến cố gọ i được sinh viên đạt đ i ể m

giỏ i môn Toán thì số trường hợp thuận lợ i cho B (ni2) là 10; s ố


<ậiáo trình lý tí IU yết xtỉe xuất DÙ thốn*/ kè toán

irườne hợp thuận lợ i cho cả A và B (k) là 4 (đó chính là sô sinh viên nữ đạt đ iểm giỏi môn Toán) . Xác suất cần tính chính là P(B/A). Ta

có:

P (B /A)= — = — =0 .2 m, 20

Trường hợp tổng quát, công thức trên được phát biểu như sau:

Nếu Aj, A2,..., An là các biến cố bất kỳ thì:

P(A1.A2.... An) = P(A1).P(A2/A1)... .P(An/A1.A2... .An.j)

3- Nếu A, B là hai biến cố độc lập, thì:

P(A.IÌ) = P(A).P(B)

Bạn đọc có thổ dễ dàn" chứng minh côn" thức này.

Trường hợp tổng quát công thức trên được phái biểu như sau: N ê u A j , A-J, — , A n là các b i ế n c ố độc l ậ p t o à n phần , th ì :

P(A!.A2 An) = P(A!).P(A2) P(An)

Thí dụ: Một phân xưởng có 3 máy. Xác suất các máy bị hỏng

trong n g à y tương ứng là : 0 , 1 ; 0,2; 0,15. T í n h x á c suất c ó m ộ t m á y bị hỏng trong n g à y ?

Giải: (a) Gọi Ai, Ai, Áy tương ứng là các biến cố máy thứ nhất, thứ

hai, thứ ba bị hỏng trong ngày. Khi đó A I ; A Ị ; A 3 tương ứng sẽ là

các b iến cố máy thứ nhất, thứ hai, thứ ha t ố i trong ngày. A là b iến cố có một máy hỏng trong ngày. Ta thây:

A = Â | A Ị . A J + A i . A Ị . A i +Ã1.Ã2.A3

30


Phương Ị: fẦHÌe suất rùa biến cố oà fúf còng tltửe tinh xác mất

Vì các b iến cố lích xung khắc lừng đôi và các b iến cố trong mỗ i tích đó độc lập toàn phần, do đó :

P(A) ) = P(A| ).p(Ã2 )p(Ã J ) + p(Ã Ì )P(À , ).p(Ă3Ị+ p(Ă Ì )P(Ã2 )p(A3)

= Ọ. Ì .0.8.0.85 + 0.9.0.2.0,85 + 0.9.0.8.0,15 = 0,329

VI- Công thức Bernoulli

Trong nhiều bài toán thực l ố , ta thườn" sập t rườn" hợp cùng một p h é p thử dược lập đi lặp l ạ i nhiều lần. Trong mỗ i phép ihử có thể xảy ra hay khôntĩ xảy ra một biến cố A nào đó và la quan tâm đốn lổng số lần xảy ra biến cố A trong dãy phép thử. Chẳng hạn, nếu

t i ến hành sản xuất hàng loạ i m ộ i loạ i chi t i ế t nào đó ta thường quan tâm đến tổng số chi t i ế i đạt tiêu chuẩn của cả quá trình sản xuất. Bà i toán này có the g iả i quyết khá dễ dàng nếu các phép thử độc lập với nhau.

Các phép thử được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đó trong từng phép thử sẽ không phụ thuộc váp v iệc b iến cố dó có xảy ra ở phép thử khác hay không. Chẳng hạn: tung nhiều lần một đồng xu hoặc lấy ngẫu nhiên có hoàn l ạ i n sản phẩm l ừ một lô h à n " sẽ lạo nên các phép thử độc lập.

Giả sử tiến hành n phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra. X á c suất xảy ra b iến cố A trong m ỗ i p h é p thử đều bằng p và xác suất A không xảy ra bằng Ì - p = q. Khi dó xác suất đ ể trong n p h é p thử độc lập nói t rên biến cố A xảy ra đúng

k lần ký hiệu là Pk(A)đƯỢc tính theo công thức Bernoulli sau đây:

Pk(A)=Cn

kpkqn-k (k = 0,1,2 ,n)

Chứng minh: Gọi Ai là biến cố "ở phép thử thứ i, A xảy ra" (i = Ì, 2,

. . ., n). Suy ra A i sẽ là b iến cố "ở p h é p thử thứ i , A không xảy ra".


íỊiảo- trĩnh tụ títuụếi xòe mất oà thống kê toán

Gọi B là biến cố "trong n phép thử, A xảy ra đúng k lần". B có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, k p h é p thử đầu, A xảy ra, còn n-k phép thử sau A không xảy ra. Trường hợp này ta có thể biểu diễn bằng b iến cố tích:

A | . A 2 . . . . A k .Ak+I Ak+2 An

Hoặc n-k phép thử đầu A không xảy ra, còn n-k p h é p thử cuối A xảy ra. Trường hợp này ta có thể b i ểu d iễn bằng b iến cố tích có dạng:

A1Ã2 A„-k.A,,-k+iAn-k+2 A„

Tổng số các tích như vậy chính là số cách chọn k p h é p thử đ ể biến

c ố A xảy ra, tức bằng c\ và b iến cố B chính là tổng của những biến

cố tích ấy. Đ ố i với mỗ i tích, ta thấy b iến cố A xảy ra đúng k l ần , còn

A xảy ra đúng (n-k) lần. Do đó xác suất của m ỗ i tích đ ề u bằng k n—k

p q . V ì các b iến cố tích là các b iến cố xung khắc từng đôi, nên ta có:

Pk(A) = P(B)= c„yq

n-k

Thí dụ: Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5%. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 5 sản phẩm đ ể k i ể m tra ( lấy có hoàn l ạ i ) . T im xác suất đổ có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra k i ể m tra?

Giải: Ta coi việc kiểm tra một sản phẩm là thực hiện một phép thử. Vì k i ể m tra 5 sản phẩm nên ta coi như thực h iện 5 phép thử độc lập. Gọi A là b iến cố "sản phẩm lấy ra k i ể m tra la p h ế phẩm". Ta thấy trong mỗ i phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc sản phẩm k i ể m tra là phố phẩm (tứcA xảy ra), hoặc sản phẩm k i ể m tra là sản phẩm tốt (tức A không xảy ra). Xác suất đ ể A xảy ra trong mỗ i phép thử đều hằng 0,05. Vày các đ iều k i ệ n để áp dụng công thức Bernoulli đều thoa mãn. V I vậy, xác suất đ ể có 2 phế

phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra k i ể m tra là:

32


ệỊkựỰaạ. ì: Ọbáe. Mất của biến cố oà các eânụ thức tinh, xòe. ít lất

p2 (A) = c\ (0,05)2 (0,95)3 =s 0,0214

VII- Công thức xác suất đầy đủ

Gia ỉ>ư h iến cố A là b i ế n cố bất kỳ có thể xảy ra đồng thời vớ i một trong các b iến c ố H l t H 2 , H n - là hệ b i ế n cố đầy đủ và xung khắc từng đôi . Khi đó xác suất của b iến c ố A được tính theo công limV sau đây:

p(A)=^?aiiAAmi) i = l

Các xác suất P(Hi); P(H2); .... P(H„) thường được gọi là các xác suất của các giả thiết (hay các xác suất t iên nghiệm) và công thức t rên được gọ i là công thức xác suất đầy đủ.

Chứng minh: Vì các biến cố Hi, H2, . . . , Hn là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi , n ê n b iến cố A nếu xảy ra thì sẽ xảy ra đồng thời vớ i một trong các b i ế n cố đó . V ậ y ta có :

A = H|.AuH2.Au....uH„.A

Do các b i ế n c ố H j , Hi, H n xung khắc từng đôi n ê n các b i ến c ố

H [ . A ; H2.A ; . . . ; H„.A cũng xung khắc từng đôi . Á p dụng công thức n

cộng xác suất ta có: P(A) = P (H , . A ) i=i

Theo công thức nhân xác suất, ta l ạ i có:

P(Hi.A) = P(Hi).P(A/Hi)

Vậy: P(A)=ịP(Hi)P(A/Hi) i=l

Thí dụ: Cỗ 3 lô sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của từng lô tương ứng là: 6%; 2%; 1%. Chọn ngẫu nh iên một lô r ồ i từ lô đã chọn l ấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. T i m xác suất đ ể l ấy được một p h ế phẩm?

33


(Ịláo trình lý, L'uiụê'1 xác tuất oà tlicútạ kê toán

Giải: Gọ i A là b i ến cố lấy được một p h ế phẩm. H i , H 2 , H 3 tương ứng là các h iến cố sản phẩm lấy ra thuộc lô thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Các

biến cố H i , H 2 , H 3 là một hệ b iến c ố đầy đủ và xung khắc từng đôi, và b iến cố A có thể xảy ra đồng thời vớ i một trong các b iến cố này. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

l \ A ) = P(H|)P(A/H|) + P(H 2 )P(A/H 2 ) + P(H 3 )P(A/H 3 )

Ì P(H,) = P(H 2 ) = P ( H 3 ) = Ỷ

P(A/H,) = 0,06; P(A/H2) = 0,02 ; P(A/H3) = 0,01

Vậy: • P(A)=-(0,06 + 0.0? . 0,01) = 0.03

VUI- Công thức Bayes

Giả sử A là b i ến cố bất kỳ có thể xảy ra đỏng thời với một trong

các b iến cố H i , H2, . . . , H n - là hệ b iến cô đầy đủ và xung khắc từng đôi Giả thiết rằng A đã xảy ra. Kh i đó:

pm/AÌ P(H,)P(A/H,) . P(Hị/A) = — (V i = Ì, 2 , . . . . n)

X p ( H i ) p ( A / H i ) i=l

Chứng minh: Theo công thức nhân xác suất ta có:

P(Hi.A) = P(Hi).P(A/Hj) = P(A).P(Hị/A)

^P(Hi/A)=ỈÍMiîi P ( A )

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có :

P ( A ) = £ P ( H , ) P ( A / H , )

34

i = l


ẽhư&iiạ í: (Xjác iu ất của biến cố oà eáe. CÁ li ạ thứe tính, xòe Mất

V ậ y :

P ( H | / A ) = J W ^ > ( i = 1 , 2 „ )

X P ( H , ) P ( A / H , ) i=l

Các xác suất P(Hị/A) được xác định sau khi đã biết kết quả của

3hép thử là A đã xảy ra n ê n thương được gọi là các xác suất hậu nghiệm. N h ư vậy công thức Bayes cho p h é p ta xác định l ạ i các xác suất tiên nghiệm P(Hi) khi b iế t thcm thông tin là A xảy ra kh i thực l iên một p h é p thử.

Thí dụ: Ta x é t thí dụ ở phần công thức xác suất đầy đủ nhưng cho biế t t h ê m là đã lấy được p h ế phẩm khi lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng được chọn. Tính xác suất được chọn của từng lô hàng?

Giải: Vì A đã xảy ra n ê n á p dụng công thức Bayes, ta có:

Xác suất lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 6% được chọn là:

P(H,)P(A/H.) 30'06 6 P(H[/A) 1 = — = -

P ( À ) 0,03 9

Xác suất để lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 2% được chọn là:

P(H2)P(A/H2) 3'0'02 2 P(H 2 /A) = 2 : = = -

P ( A ) 0,03 9

Xác suất để lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 1% được chọn là:

P(H3)P(A/H3) 3'0'01 Ì P(H 3 /A) = 3 : — — = = -

P ( A ) 0,03 9


ẨỆiáữ trình bị thuyết xuê mối oà tkốuạ. kê toán

C h ư ơ n g 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ

Q U I L U Ậ T P H Â N P H Ố I X Á C S U Ấ T

I- Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên

Ì - Định nghĩa

Đại lượng ngẫu nhiên (hay b i ế n ngẫu nhiên) là một qui tắc hay môi h à m đ ể gán các giá trị bằng sô cho những k ế t qua của một phép thu ngầu nhiên.

Như vậy, khi thực hiện phép thử, đại lượng ngẫu nhiên sẽ nhận một giá trị nào đó trong tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận. Việc đ ạ i lượng ngẫu nhiên nhận giá trị cụ thể n à o là một b i ến cố.

Các đại lượng ngẫu nhiên thường được ký hiệu là: X, Y, z,. . . Xi,

X2, . . . , x n ; Y i , Y2, . . . ., Y m ; Còn các giá trị có thể có của nó được ký h iệu là: Xi , x 2 x„ ; y i , y% y m

Thí dụ ì: Tung một con xúc xắc, gọ i X là số chấm xuất h iện thì X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên vì trong kế t quả của p h é p thử nó sẽ nhận một trong 6 giá trị: Ì, 2, 3, 4, 5, 6. với xác suất tương ứng đ ề u bằng 1/6.

Thí dụ 2: Gọi Y là số p h ế phẩm có trong 100 sản phẩm lấy ra kiểm tra. Y là đạ i lượng ngẫu nhiên vì trong k ế t quả của phép thử Y sẽ

nhận một trong các giá trị: 0, Ì, 2 , . . . , 100.

2- Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

D ạ i lượng ngẫu nhiên có thể là rời rạc hoặc liên tục.

Đai lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đ ế m được. 36


@hư&nạ. 2: Dại lường, m/ẫti nhiên và qui luật phản pltối xòe. luốt

Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta có thể liệt kê được các giá trị của nó.

Đ ạ i lượng ngẫu nhiên được g ọ i là liên tục nếu các giá trị mà nó có thể nhận có thể lấp kín cả một khoảng ư ê n trục số.

Đ ố i vớ i đ ạ i lượng ngẫu nhiên l iên tục, ta không thể l i ệ t kê tất cả các giá trị của nó.

Thí dụ: số sinh viên vắng mặt trong mỗi buổi học ; sô máy hỏng trong từng ngày của một phân xưởng, . . . là các đ ạ i lượng ngẫu nh iên rờ i rạc.

N ế u gọ i X là trọng lượng của một loạ i sản phẩm do một nhà m á y sản xuất; Y là sai số khi đo lường một đ ạ i lượng vật lý; . . . . thì X, Y là những đ ạ i lượng ngẫu nhiên liên tục.

li- Qui luật phân phối xác suất của đại lượng

n g ẫ u n h i ê n

Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên ta phải biết đại lượng ngẫu nh iên ấy có thể nhận cạc giá trị nào và nó nhận các giá trị ấy với xác suất tương ứng là bao nhiêu.

M ộ t hệ thức cho p h é p b iểu d iễn m ố i quan hệ giữa các giá trị cố thể nhận của đ ạ i lượng ngẫu nhiên vớ i các xác suất tương ứng đưck g ọ i là qui luật phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên

Đ ể th iế t lập qui luật phân phối xác suất của một đ ạ i lượng ngẫu nhiên ta có thể dùng: bảng phân phối xác suất hoặc hàm phân phối xác suất hoặc hàm mật độ xác suất.

Ì- Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phàn phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên rờ i rạc.


CỊÌÚƠ trịnh Ị lị thuyết xóa mất oà ỊhấỊỊtạ kè toán

Giả sử đ ạ i lượng ngẫu nhiên X có thể nhận một trong các giá trị:

Xli X2, . . . ., x n

với các xác suất tương ứng là:

Pi, P2 Pn

Tức:pi = P(X = Xi)(i=l,2,...,n)

Bảng phân phối xác suất của X có dạng:

X Xi x 2 Xn p Pl P2 • • • • Pi,

Đ ố i với bảng phân phối xác suất, ta lu*''li có: ọ = Ị Í=I

Thí dụ: Trong hộp có lo sản phẩm (tronu dò oi 6 chính phẩm). Lấy ngẫu nhiên không hoàn l ạ i từ hộp ra 2 sản phẩm. L ậ p bảng phân phối của số chính phẩm được lấy ra ?

Giải: Gọi X là số chính phẩm được lấy ra từ hộp thì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị: 0, 1 , 2 , vớ i các xác suat tương ứng:

c 2 2 P l = P ( X = 0) = ^ f = - = :

cic; 8 c3 5

Vậy qui luật phân phối xác suất của X là:

X 0 1 2 p 2/15 8/15 5/15

2- H à m p h â n p h ố i x á c s u ấ t

38


QitơơiHỊ 2: r-ùại ittơttạ ít (Ị VUI nhiên oà. iịiù luật phân phối xát' xuất

Hàm phân phối xác suàt có thể thiết lập cho cả đại lượng ngẫu nhiên rờ i rạc và đ ạ i lượng ngầu nhiên liên tục.

a- Định nghĩa: H à m phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X [ký h iệu là F(x)] được định nghĩa bởi b iểu thức:

F(x) = P(X < x)

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì hàm F(x) có dạng:

F(x)= £P(X<X,)= XP, XÉ<X x,<x

b- Tính chất: Ta có thể chứng minh được các tính chất sau đây của h à m phân phối xác suất.

* Tính chất ì: Hàm phân phối xác suất luôn luôn nhận giá trị trong khoảng [0, 1] , tức: 0 < F(x) < Ì

Tính chất này suy ra từ định nghĩa của F(x).

* Tính chất 2: H à m phân phối xác suất là hàm không g iảm. Tức là:

nếu X2 > Xi thì F(X2> > F(xi)

Chứng minh: Thật vậy, ta có:

(X < x 2 ) = (X < Xi) + ( X I < X < x 2 )

Do đó : P(X2 < X < Xi) = P(X < x 2 ) - P(X < Xi) = F(x 2 ) - F ( x 0

Vì: P(X| < x < x 2 ) > 0 => F ( x 2 ) - F ( x , ) > 0

Vậy : F ( x 2 ) > F ( x i )

T ừ tính chất 2 ta suy ra một số hệ quả sau:

Hệ quả 1: P(a < X < b) = F(b) - F(a)

H ệ quả này suy ra từ chứng minh tính chất 2.

39


ịịiào trình tý thuyết xòe luốt oà thõng kê toán

Hệ quả 2: Xác suất đ ể đ ạ i lượng ngẫu nh iên l iên tục nhận giá trị

xác định cho trước luôn bằng 0.

Thật vậy. Từ hệ quả Ì, nếu ta đặ t : a = X ; b = X + Ax, thì ta có:

P(x < X < X + Ax) = F(x + Ax) - F(x)

Lấy giới hạn cả hai vế khi Ax-> 0 ta có:

Lim P(x < X < X + Ax) = Lim F(x + Ax) - F(x)

Vì X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục nên F(x) cũng liên tục tại X.

Từ đó ta có : Lim F(x + Ax) = F(x) Ax->0

Khi Ax 0 thì: P(x < X < X + Ax) P(X = x)

Vậy : P(X = X) = 0

Hệ quả 3: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b) = P(a < X < b)

* Tính chất 3: Lim F(x) = Ì ; Lim F(x) = 0

Tính chất này có thể viết dưới dạng:

F(+oo) = Ì ; F(-oo) = 0

c- Ý nghĩa của hàm phân phối xác suất:

T ừ định nghĩa của h à m phân phối xác suất ta thấy h à m F(x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về phía bên trái của đ i ể m X. Giá trị của h à m F(x) cho b iết có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất phân phối trong khoảng ( - co, x).

3- Hàm mật độ xác suất

40


Giường. 2: <ĩ)a£ ỈKỌIHỊ ti gau 'thiền oà quí luật phàn phối xòe. luốt

a- Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X [ký h iệu là f (x ) ] là đạo h à m bại hất của h à m phân phối . Tức:

f(x) = F'(x)

b- Tính chất: Hàm mật độ xác suất có các tinh chác sau lũy:

* Tính chất 1: f(x) > 0 (V x)

Tính chất này suy ra từ tính chất 2 của h à m phân phối x á c suất.

D * Tính chất 2: P(a < X < b) = j f ( x ) d x

Chứng minh: Thậ t vậy , theo công thức Newton Leibnitz ta có :

u J f ( x ) d x = F(x) = F(b) - F(a)

Trong đó: F(x) là n g u y ê n h à m cua f (x ) .

Theo hệ quả l(tính chất 2) của hàm phân phối xác suất thì:

F(b) - F(a) = P(a < X < b)

Do X là đ ạ i lượng ngẫu nh iên l iên tục nên :

P ( a < X < b ) = P ( a < X < b )

T ừ đó suy ra đ iều cần phả i chứng minh.

về mặt hình học, tính chất 2 được minh họa như sau:

Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong

khoảng (a, b) bằng d i ệ n tích của m i ề n g iớ i hạn bởi trục Ox, đường cong f (x ) và các đường thẳng: X = a ; X = b (m iền gạch c h é o t rên hình v ẽ ) .

41


lịiúa trình lý thuyết xúc luốt oà thống kè toán

f(x) Ạ

0 a b X

* Tính chất 3: F(x) = J f ( x ) d x -co

I

* Tính chất 4: Jf(x)dx = Ì -ao

Bạn đọc có thể tự chứng minh 2 tính chất trên.

c- Ý nghĩa của hàm mật độ:

Từ định nghĩa của hàm mật độ ta suy ra hệ thức xấp xỉ:

P(x < X < X+Ax) « f(x)Ax

Tức là xác suất để X lấy giá trị thuộc một lân cận khá bé (x, x+ Ax) gần như tỉ l ệ với giá trị của hàm f(x) t ạ i đ iểm X. Vì vậy, với cùng độ dài Ax như nhau, tạ i đ iểm X nào mà giá trị của hàm f(x) lớn hơn thì ở lân cận của đ iểm ấy sẽ tập trung một xác suất lớn hơn. Chính vì thế

mà f(x) có tên là hàm mật độ xác suất.

III- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu

n h i ê n


nhương. 2: (Đại lưựitq. ttạẫu nhiên DÙ ỊịỊti Ị Ị lội phàn pỉtấì xáo mất

Khi ta xác định được qui luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên thì ta đã. nắm được toàn bộ thông tin về đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó . Tuy nhiên trong thực t ế rấ t khó và cũng không cần th iế t

phải nắm được toàn bộ những thông tin này , mà chỉ cần quan t â m đến những thông tin quan trọng nhất, phản ánh các đặc trưng cơ bản của đ ạ i lượng ngẫu nh iên đang nghiên cứu. Phần này chúng ta n ê u ra một vài tham số đặc trưng quan trọng nhất, phản ánh từng mặ t của một đ ạ i lượng ngẫu nhiên .

Ì- Kỳ vọng toán

a- Định nghĩa: Giả sử X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thổ

nhận các giá ư ị : X i , X2, . . . ., x n vớ i các xác suất tương ứng: Pi , P2, . . . ., p„. Kỳ vọng toán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X [ký h i ệu là E(X)] là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của đ ạ i lương ngẫu nh iên vớ i các xác suất tương ứng.

E(X)=5>iPi

1 UI

N ế u X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên liên tục có h à m mật độ x á c suất là f (x) thì kỳ vọng toán được xác định bởi b iểu thức:

+00 E ( X ) = j x f ( x ) d x

-00 b- Các tính chất:

* Tính chất ì: Kỳ vọng toán của hằng số bằng chính hằng số đó . T ứ c :

E(C) = c (với c là hằng số)

Chứng minh: Thật vậy, hằng số c có thể xem như một đại lượng ngẫu nhiên đặc biệ t , chỉ nhận một giá trị có t h ể có là c vớ i xác xuất tương ứng bằng Ì. Do đó theo định nghĩa:

E(C) = C.l =c

43


Kj.iáa trình lý tíuiiịẾÍ xúc Mất lùi Ịhmiụ kè toán

* Tính chất 2: E(CX) = C.E(X) (với c là hằng số)

Chứng minh: Thật vậy, giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối xác suất là:

X Xi X2 x n

p Pl P2 Pn

Khi đó c x sẽ là đ ạ i lượng ngẫu nhiên rờ i rạc mà các giá trị có thể có là:

C x i , CX2, . . . ., C x n

M ặ t khác, do

nên: (X = Xi) = (CX = CXi) ( i = l , 2 , . . . , n )

P(X = Xj) = P(CX = CXj) (i=l,2,...,n)

NHƯ vậy hảng phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên c x có dạng:

c x Cx i C x 2 C x n

p Pl P2 Pn

Theo định nghĩa ta có:

E(CX) = ịcxiPi = C5>iPi = CE(X) • i = l i = 1

* Tính chất 3: Kỳ vọng toán của tổng hai đ ạ i lượng ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán-thành phần. Tức là:

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Chứng minh: Giả sử X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có luật phân phối xác suất như sau:

44


thường. 2: (Đại lượt vạ. ngẫu /thiền ứà qui luật phàn, phát xòe, tuảí

X Xi x 2 . . . . . x n

p Pi p2 . . ... pn

Y y i y2 •• • . - y m

p qi • • q m

K h i đó ta có luật phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên tổng ( X + Y ) như sau:

X + Y (Xi+y i ) ( X i + y 2 ) . . . . (Xi+yj) . . • • (Xn+y m )

p Pn P12 Pij • • pnm

Trong đó : Pij là xác suất đ ể đ ạ i lượng ngẫu nhiên ( X + Y ) nhận giá

t r ị : (Xj + y j ) . ( i = l , n : i = ì . m ì

Theo định nghĩa kỳ vọng toán ta có:

n m n m n m E(X + Y ) = Z E ( X i + y j ) p . j = S E X i . p i j + z z >j.Pij

i = l j=l i = l j=l i=l J=l n m m n

= z x i Z Pij + Z y j E pij 1=1 j=l j=l 1=1

m Ta sẽ chứng minh rằng: 2! Pij = Pi ( V i = l , n ) .

H

Thật vậy: B i ế n c ố (X = Xi) sẽ xảy ra khi tổng ( X + Y ) nhận m ộ t

trong các giá trị: (Xi + y O ; (Xi + y 2 ) ; . . . ỉ (Xi + y m ) ;

Do đó theo công thức cộng xác suất ta có :

P(X= Xi) = Pi = P [ (X+Y) = (Xi + y , ) ] + P [ (X+Y) = (Xi + y 2 ) ] + . . . .

... + P[(X+Y) = (Xi + ym)] = Pii+ Pi2 + + Pim = 2 Pu


(}iúữ trình bị Uutạết xác mất vù ihấnq kê toán

Tương tự ta cũng chứng minh được: X Pij = Qj (Vị = Ì, m )

Từ đó ta có: li m

E(X+Y) = X Xi p, + z y j qj = E(X) + E(Y) i=l j=l

Bằng phương pháp qui nạp ta có thể chứng minh được tính chất trên trong trường hợp tổng quát:

Kỳ vọng toán của tổng li đại lượng ngẫu nhiên: Xi, x2, . . . , XH

bằng tổng các kỳ vọng toán thành phần. Tức là:

E(Xi + x2 + ... + x„) = E(Xi) + E(X2) + ... +E(Xn)

* Tính chất 4: Kỳ vọng toán của tích hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ vọng toán của chúng. Tức là:

E ( X Y ) = E(X) .E(Y) nếu X , Y độc lập

Chứng minh: Giả sử X và Y là hai đài lượng ngẫu nhiên rời rạc. sử dụng các ký h iệu ở phần chứng minh tính chất 3, ta có:

n tu E(XY) = 2 Z Xi y j Pij

i=i j=i Vì X , Y độc lập nên:

Pij = Pi-qj (Vi=l,n ;j = l,m) Do đó:

n m E(XY) = S XiP. E y j qj = E(X).E(Y)

i = l ^ j=l

Bằng phương pháp qui nạp ta có thể chưn!.' minh được tính chất ư ê n ưong trường hợp tổng quát:


ẽhư&tiạ 2ĩ ^Đạì lượng, itạẫii nhiên oà qui luật phần phố! góc luốt

Kỳ vọng toán của tích H đại lượng ngẫu nhiên độc lập vối nhau bằng tích các kỳ vọng toán của chúng. Tức là: nếu X i , X2, . . . , x „ độc

lập, thì: E ( X j X 2 . . . x „ ) = E ( X i ) . E ( X 2 ) . . . E ( X n )

* Chú ý: Ì - Hai đại lượng ngẫu nhiên được gọi là độc lập với nhau nếu qui luật phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên này không phụ thuộc gi vào việc đ ạ i lượng ngẫu nhiên kia nhận giá trị bằng bao

nhiêu. 2- Tổng của hai dạ i lươn? ngẫu nhiên X và Y là đ ạ i lượng

ngẫu nhiên (X+Y) mà các iii.i UỊ co thể có của nó là tổng của m ỗ i giá trị có thể có của X và m ỗ i giá trị có thể có của Y. N ế u X , Y độc lập vớ i nhau thì các xác suất tương ứng sẽ bằng tích các xác suất thành phần. N ế u X, Y phụ thuộc nhau thì các xác suất tương ứng sẽ

bằng tích xác suất của thành phần này vớ i xác suất có đ iều k i ệ n của thành phần kia.

c- Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng toán

Đ ể thấy được bản chất của kỳ vọne toán, ta xét các thí dụ sau đậy :

Thí dụ ì: M ộ t lớp có 50 sinh viên, trong kỳ thi môn toán có k ế t quả cho ở bảng sau:

Đ i ể m 3 4 5 6 7 8 9 Số s/v 3 7 15 10 5 6 4

N ế u gọ i X là đ i ể m thi m ô n toán của một sinh v i ệ n chọn nsẫu nhiên từ lớp này thì X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên có qui luật p h â n phối xác suất như sau:

X 3 4 5 6 7 8 9 p 0,06 0,14 0,3 0,2 0,1 0,12 0,08

T ừ bảng phân phối của X ta tính được:

47


íịuiữ trình Lị thuyết ạẹtịe tuất MÌ ÚLốnạ kè tữáti

E(X) = 3x0,06+ 4x0,14 + 5x0,3 + 6x0,2 +7x0,1+ 8x0,12 + 9x0,08

Ta cũng có thể v i ế t :

3x 3 + 7x4 + 15x5 + 10x6 + 5x7 + 6x8 + 4x9 E(X) =

50 = 5,82

D ễ thấy rằng, E(X) chính là đ i ế m thi trung bình môn toán của một sinh viên lớp đó .

Thí dụ 2: Nghiên cứu về thu nhập của công nhân ngành dệt, giả sử có sô l i ệ u cho ở bảng sau:'

Thu nhập ( tr .đ/năm) 7 8 9 10 l i 12 14

Số CN(10Ơ0 người) 50 70 150 120 55 30 25

Gói Y là thu nhập của công nhân ngành dệt , từ số l i ệ u ở bảng trên .1 s. ú bảng phân phối xác suất của Y như sau:

1 Y 7 8 9 10 l i 12 14

1 p 0,1 0,14 0,3 0,24 0,11 0,06 0,05

Vạy ta có:

• =7x0,1+8x0,14+9x0,3+10x0,24+11x0,1 l + 12x 0,06+14x0,05

•50 + 8x70 + 9x150 + 10x120 + 11x55 + 12x30 + 14x25 500

= 9,55

Như vậy, trong thí dụ này, E(Y) = 9,55 t r i ệ u đ /năm chính là thu : ' ũp trung bình của một công nhân ngành dệ t

V ày kỳ vọng toán của đ ạ i lượng ngẫu nh iên chính là giá trị trung hình của đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó . Chẳng hạn, N ế u X là chiều caơ

í một loạ i cây (cùpg độ tuổ i) thì E(X) là ch iều cao trung bình của loại cây này; N ế u Y là năng suất lúa ở vùng đồng bằng sông Cửu


Qítitưttạ 2: Dai tường, nạẫu /thiên tìà giũ luật phân phối xòe xuất

Long của năm 2001 thì E(Y) là năng suất lúa ưung bình ở vùng này trong n ăm đó .

Trong thực t ế người ta thường l ấy một mẫu gồm n quan sát đ ể nghiên cứu v ề một tổng thể . K h i đó kỳ vọng toán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên xấp xỉ vớ i trung bình số học các giá trị quan sát của đ ạ i lượng ngẫu nhiên (trung bình mẫu). Kỳ vọng toán phản ánh giá trị trung tâm của một phân phối xác suất, có nhiều giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nhiên nhận giá trị gần vớ i kỳ vọng toán. Chẳng hạn, ở thí dụ 2 nêu trên, ta có E(Y) = 9,55 có nghĩa là có nhiều công nhân ngành dệt có mức thu nhập xấp xỉ ở mức 9,55 t r iệu đ /năm. Cụ thể là có 150 ngàn công nhân có mức thu nhập 9 t r iệu đ /năm và 120 ngàn công nhân có mức thu nhập 10 t r i ệu đ /năm.

2- Phương sai Trong thực t ế , nhiều khi nếu chỉ xác định kỳ vọng toán của đ ạ i

lương ngẫu nhiên thì chưa đủ. Đ ể xác định một đ ạ i lượng ngẫu nhiên ta còn phải xác định mức độ phân lán các giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nh iên xung quanh giá trị trung bình của nó. Chẳng hạn, khi ngh iên cứu đ ạ i lượng n g l u nhiên là năng suất lúa của một vùng nào đó , thì năng suất lúa trung bình (kỳ vọng toán) mới chỉ phản ánh được một mặ t của đ ạ i lượng ngẫu nhiên này. Mức độ chênh lệch về n ăng suất (so v ớ i năng suất trang bình) ở những thửa ruộng khác nhau cũng là

vấn đề cần quan t â m nghiên cứu. B ở i vì nếu mức độ chênh lệch này nhỏ thì chứng tỏ giống lúa đó có năng suất khá ổn định. T ừ đó ta có khái n i ệ m v ề phương sai

a- Định nghĩa: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu là Var (X) [hoặc D ( X ) ] , được định nghĩa bằng công thức:

Var(X) = E{[X-E(X)]2}

Chú ý: Phương sai được định nghĩa bằng một công thức. Nhưhg

• N X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì:

49


Qiáo trình bị tluiụết xác Uíấl oà thống, kè tõúti

Var(X)=£[x, -E(X)]2

Pi

UI

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: +00

V a r ( X ) = j [ x - E ( X ) ] 2 f ( x ) d x —00

Trong thực tế người ta thường tính phương sai bV. Long thức:

Var(X) = - LE(X)]2

Thật vậy: Theo định nghĩa của phương sai, ta có:

Var(X) = Ế(IX- E(X)]2} = E{X2 - 2XE(X) + [EỌQ]2}

= E(X2) - 2E(X).E(X) r LUX)]2 = EfX2) - E(X)]2

Thí dụ: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có Ì .li phàn phối xác suất như sau:

X 1 3 4 p 0,1 0,5 0,4

Tìm phương sai của X ?

Giải: Theo định nghĩa kỳ vọng toán ta có:

E(X) = lx 0,1 + 3x 0,5 + 4x 0,4 = 3,2

E(X2) = 12X 0,1 + 32x 0,5 + 42x 0,4 = li

Vậy: VaitX)= li-(3,2)2 = 0,76

b- Cát: tính chất của phương sai:

* Tính chất ì: Phương sai của hằng số bao giờ cũng bằng 0. Tức là:

Var(C) = 0 (với c là hằng s ố )

50


ểhươttụ 2: Dai lương. Itạẫa nhiên oà qui luật phân phối xòe iitãt

* Tính chất 2: V a r ( C X ) = c 2 V a r ( X ) (với c là hằng s ố )

Dựa vào định nghĩa của phương sai ban toe có thể tự chứng minh hai tính chất trên.

* Tính chất 3: N ế u X , Y là hai d ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Chứng minh: Theo công thức tính phương sai ta có:

Var(X +Y) = E [ ( X + Y ) 2 ] - [E(X+Y)]2

= E ( X 2 + 2 X . Y + Y 2 ) - [E(X) + E(Y)]2

= E ( X 2 ) + 2E(XY) + E ( Y 2 ) - [E(X)]2 - [E(Y)]2 -2E(X) .E(Y)

Vì X, Y độc lập nên: E (XY) = E(X).E(Y)

V ậ y : Var(X + Y ) = E ( X 2 ) - [E(X)]2 + E ( Y 2 ) - [E(Y)]2

Hay: Var(X +Y) = Var(X) + Var(Y)

Trường hợp tổng quát, nếu Xi, x2, . . . , Xn là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:

Var(Xi + x2 + ... + xn) = Var(Xị) + Var(X2) + ....+ Var(Xn)

Bằng phương pháp qui nạp bạn đọc có thể chứng minh kết luận trên.

T ừ tính chất 3 ta có thể chứng minh được các hệ quả sau:

* Hệ quả ì: Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y) Nếu X, Y độc lập

Chứng minh: Thật vậy, theo tính chất 3 của phương sai ta có:

Var(X-Y) = Var[X + (-Y)] = Var(X) + Var(-Y)

51


(ịiáữ trình bị ưuujjếl xóa mất im ưiốtiạ kè tơáti

= Var(X) + ( - l ) 2 V a r ( Y ) = Var(X) + Var(Y)

* Hệ quả 2: Var(C + X) = Var(X) (với c là hằng số)

c- Bản chất và ý nghĩa của phương sai:

Ta thấy, kỳ vọng toán của một đ ạ i lượng ngẫu nhiên là giá trị trung bình của đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó (trong sản xuất công nghiệp, kỳ vọng toán thường là giá trị qui định. Chẳng hạn như : đường kính qui định, trọng lượng qui định, . . . )• Còn thực t ế sản xuất ra những sản phẩm có đường kính, trọng lượng, . . . . sai l*ệch so với qui định. Độ sai lệch này được đặc ưưng bởi đ ạ i lượng ngẫu nhiên: [X - E(X)] . Mà phương sai được định nghĩa bởi công thức:

, Var(X) = E { [ X - E ( X ) ] 2 }

Như vậy, thực chất của phương sai là:" kỳ vọng toán của bình pììUitng các sai lệch" hay nói một cách k h á c " Phương sai là sai lệch bình phương trung bình", nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đạ i lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình. Đại lượng nào có nhiều giá trị sai lệch lớn so vớ i giá ừị trung bình thì phương .vù sẽ lớn; Đ ạ i lượng nào có nhiều giá trị sai lệch ít so với giá trị trung bình thì phương sai sẽ nhỏ.

Trong sản xuất công nghiệp, phương sai thường biểu thị độ chính xác của sản xuất. Trong chăn nuôi, phương sai b i ểu thị mức độ đồng đ ề u của đàn gia súc. Trong trồng trọt, phương sai b i ểu thị mức độ ổn định của năng suất cây trồng....

3- Độ lệch chuẩn

Ngoài phương sai ra, người ta còn sử dụng một tham số khác để đặc trưng cho mức độ phân tán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó là độ lệch chuẩn.

Độ lệch chuẩn của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X [ký h iệu là Ơ(X)] là căn bậc 2 của phương sai:

52


(Hiứơỉiq 2: Dại lưựttạ. Iiạẫu ttỉtiẻti oà rụii luật phân phết, xòe, luốt

Ơ ( X ) = V V a r ( X )

Ta tha) rằng đơn vị đo của phương sai bằng bình phương đơn vị đo của đ ạ i lượng ngẫu nhiên. Vì vậy khi cần phải đánh giá mức độ phân tán các giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nhiên theo đơn vị đo của nó , người ta thường dùng độ lệch tiêu chuẩn, vì độ lệch tiêu chuẩn có cùng đơn vị đo vớ i đ ạ i lượng ngẫu nhiên đang nghiên cứu.

4- Giá trị tin chắc nhất

a- Định nghĩa: Giá trị tin chắc nhất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X [ký h iệu là Mod(X)] là giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất trong bản" phân phối xác suất. N ế u X là đ ạ i lượng n^ảu nhiên liên tục có h à m mật độ xác suất f (x) thì Mođ(X) là giá trị của X ma l ạ ; .Tó hàm m ạ i độ đạt giá tri cức đai .

h- Thí dụ: Đ ạ i lượng ngầu nhiên X có qui luật phân phối xác suất nhu U u

X 7 8 9 ị l i 12 14 p 0,1 0,14 0,3 , 0,24 0,11 0,06 0,05

Ta thấy P(X = 9) = 0,3 lớn nhất. Vì vậy Mod(X) = y

T ừ định nghĩa của Mod(X) ta thấy Mod(X) chính là giá trị có khả năng xảy ra nhiều nhất trong các giá trị mà đ ạ i lượng ngẫu nhiên X có thê nhận. Chẳng hạn, X là chiều cao của sinh viên trong mộ t trường, thì Mod(X) là chiều cao mà nhiều sinh viên đạt được nhất-N ế u Y là năng suất của những công nhân trong một nhà m á y thì Mod(Y) là năng suất mà số công nhân đạt được mức năne suất n à y ở nhà m á y là nhiều nhấ t . . .

* Chú ý: Mod(X) có thể nhận nhiêu ÚI lác nhau.

Thí dụ: Đại lượng ngẫu nhiên Y a> qui luật phàn phôi như sau:

53


LjJảữ trinh lý. thuyết xác mất oà ttiếng kê toán

Y 1 2 3 4 5 6 7

p 0,1 0,15 0,3 0.3 0.08 0,05 0,02

Ta thấy xác suất lớn nhất trong bảng trên là 0,3 ứng với hai giá trị Y = 3 và Ý = 4. V ậ y Mod(Y) = 3 hoặc Mod(X) = 4.

5- M ộ t s ố t h a m s ố đ ặ c t r ư n g k h á c

5.1 Mô men

Định nghĩa ỉ: Mô men gốc cấp k (ký hiệu là Gtịc) được định nghĩa

như sau:

a k = E [ ( X ) k ] I

Định nghĩa 2: Mo men nung tâm cấp k (ký h iệu là I^k) được định nghĩa như sau:

^ = E | x - E ( X ) ] k }

Như vậy, kỳ vọng toán chính là mô men gốc cấp một: E(X) = (X|-

phương sai chính là mô men trung tâm cấp hai: Var(X) = f i 2 -

Giữa mô men gốc và mô men trung tâm có mối liên hệ như sau:

= Var(X) = E(X2) - [E(X)f = a2 - (a,)2

H3 = a3- 3ctia2 +2(ct|)3

H4 = a4 - 4a,a3 + 6(a,)2a2 - 3(ct|)4

5.2 Hệ số bất đối xứng

Ta gọi: s3 = -î ơ

là hệ số bất đ ố i xứng của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X (trong đó ơ là độ lệch chuẩn).

54


ẽluứfug. 2: rĐại lưựtiạ Ịiạẫa nhiên nà qui luật phân phổi xóa xuất

Xét biểu thức cùa }j-3 ta có:

ịi3 = E|X - E(X)f } = +j[x - E(X)]3 f (x)dx

Bằng phép tịnh liến trục Oy đến dường thằng X = E(X) ta thấy:

(i) N ế u đỏ thị của h à m mật độ f(x) đ ố i xứng qua đường thẳng X = E(X) thì ịi3 = 0 (hình v ẽ )

E(X)

( l i ) N ế u 1̂3 > 0 thì đồ thị của hàm mát độ f(x) không đói xứng qua đường thẳng X = E(X), phàn phối của X lệch vé phía bèn phải . (hình v ẽ )

E(X)

( i i i ) ) N ế u H3 < 0 thì đồ thị của hàm mật độ f(x) không đ ố i xứng qua đường thẳng X = E(X), phân phối của X lệch về phía bên trái.

(hình vẽ )

E(X)

55


Ếịiáữ trình, lý. thuyết xúc mất oà thống, kê toán

1 M 4 ơ

5.3 Hệ số nhọn

Ta gọi:

là hệ số nhọn của đại lượng ngẫu nhiên X.

Nếu N4 của mót đại lượng ngẫu nhiên càng lớn thì đồ thị cửa hàm !•.."•! ít. tua đ ạ i lượng ngẫu nhiên đó càng nhọn. (hình v ẽ )

À

5.4 trung vị

Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên X [ký hiệu là Međ(X)] là gia tri chia phân phối của đ ạ i lượng ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau.

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị Xi sẽ là giá trị trung vị nếu:

F ( X i ) < 0 , 5 < F ( x i + 1 )

Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì trung vị là giá trị Me thỏa mãn đ iều k i ện :

Me J f ( x ) d x = 0,5


@fu/&tiạ 3: Mệt lố ạttì luật phán phổi xóa luốt lítéhtạ dụng

Chương 3

M Ộ T S Ố Q U I L U Ậ T P H Â N P H Ố I

X Á C S U Ấ T T H Ô N G D Ụ N G

I- Qui luật nhị thức

Ì - B à i t o á n t ổ n g q u á t d ẫ n đ ế n qu i l u ậ t n lị t h ứ c

Giả sử t i ến hành n p h é p thử độc lập, gọ i A là b iến cố nào đó mà ta cần quan tâm. Trong m ỗ i p h é p thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: Hoặc b iến cố A xảy ra, hoặc A không xảy ra. X á c suất đ ể cho A xảy ra trong m ỗ i p h é p thử đều bằng p. G ọ i X là số l ầ n b i ế n

cố A xảy ra ương n p h é p thử , thì X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên r ờ i rạc có thể nhận các giá trị: 0, Ì , 2 n, vớ i các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli:

Px = P(X = x)=C>V'X (3.1) (Vx = 0, l , 2 , . . . , n )

2- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị: 0, Ì, 2 , n, vớ i các xác suất tương ưng được tính theo công thức (3.1) gọ i là phân phối theo qui luật nhị thức vớ i các tham số n và p.

Đ ạ i lượng ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật nhị thức được ký hiệu là: X ~ B(n, p)

N ế u X ~ B(n, p) và ta cần tính P(X = x) hoặc P(X < x) thì có thể dùng h à m BINOMDIST trong Excel.

P(X = x) =BIN0MD1ST(X, n, p,0)

57


P(X < X) =BIN0MDIST(x,n,p,1)

(Phần được đóng khung là câu lệnh, sau khi gõ xong câu lệnh nhấn phím Enter, kế t quả sẽ xuất hiện)

Thí dụ: X ~ B(50; 0,3) Tính P(X = 16) và P(12 < X < 18)

P(X = 16) =BINOMDIST(16,50,0.3,0) = 0,1147

P(12 < X < 18) = P(X < 18) - P(X < li) =

=BINOMDIST(18,50,0.3,1)-BINOMDIST(11,50,0.3,1) = 0,7204

Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật nhị thức nhận giá trị trong khoảng (x, x+h) (với h nguyên dương và h < n - x). Khi đó ta ấp dụng công thức sau đây:

P(x < X < x+h) = Px + Px+l + + Px+h (3.2)

Trong đó: Px, Px+1, . . . , Px+h được tính theo công thức (3.1)

Thí dụ: M ộ t phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập. xác suất để trong một ngày mỗ i máy bị hỏng đều bằng 0,1. T im xác suất đ ể :

(a) Trong một ngày có 2 máy hỏng. (b) Trong một ngày có không quá 2 máy hỏng.

Giải: Nếu coi việc quan sát hoạt động của một máy trong ngày là một p h é p thử thì ta có 5 phép thử độc lập. Trong m ỗ i p h é p thử chỉ có hai trường hợp có thể xảy ra: hoặc máy hỏng hoặc máy không hỏng. Xác suất máy bị hỏng đều bằng 0,1. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày thì X ~ B ( 5 ; 0,1).

(a) Xác suất để có 2 máy hỏng trong ngày chính là P(X = 2)

Theo công thức (3.1) ta có:

P(X = 2) = P 2 = C : ( 0 , 1 ) 2 ( 0 , 9 ) 3 = 0,0729

58


(ỉllượt uy 3:Jiù}t íố ÍỊJIÌ luật phán phối xác mối thông, di í nạ

(b) Xác suất để trong ngày có không quá 2 máy hỏng chính là P ( X < 2 ) . Ta thấy:

P(X < 2) = P(0 < X < 2)

Áp dụng công thức (3.2) ta có:

P(0<X<2) = P(X = 0) + P(X= 1) + P(X = 2) = P„+P| + p2


P(X = 0) = p0 = c° (0,1)° (0,9)5 = 0,59049

P(X = 1) = p, = c; (0,1)' (0,9)4 = 0,32805

V ậ y : P(X < 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729 = 0,99144

3- Các tham số đặc trưng:

a- Kỳ vọng toán: Nếu X ~ B(n , p) thì:

E(X) = np

Chứng minh: Thật vậy, Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong

p h é p thử thứ i ( i = Ì, 2, . . . , n). Xi là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập và đ ề u có qui luật phân phối xác suất như sau:

X i 0 1

p q p

Theo định nghĩa kỳ vọng toán, ta có:

E(Xj) = 0.q+ l.p = p (Vi =1,2, , ạ)

Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong ri phép thử. Như ta đã biết

X ~ B(n, p) và X = X ! + x 2 + . . . + x n . Do đó:

E(X) = E(X,) + E(X2) + . . . + E(X„) = np


Xịiáa hình tý. thuyết XÓM, mất vá. thống, kê toán

b- Phương sai: N ế u X ~ B(n , p) thì:

Var(X) = npq

Chứng minh: Thật vậy, Từ luật phân phối xác suất của X ở trên ta tính được:

E ( X ; ) = 0 2 .q + l 2 . p = p

Theo công thức tính phương sai, ta có:

Var(Xi) = E(X,2)- [E(X,)f = p -p2 = p(l - p) = pq

Var (X) = Var(Xi + x2 + . .-. + xn) = npq

c- Giá trị tin chắc nhất:

Ngoài cách tìm Mod(X) từ bảng phân phối xác suất của X. Người ta đã chứng minh rằng: N ế u X ~ B(n , p) thì ta có thể áp dụng công thức sau để tìm Mod(X):

np - q 5 Mod(X) < np + p (3.3)

Chứng minh: Gọi Xo là Mod(X). Theo định nghĩa của mod(X) ta có:

P(X = X 0 ) > P ( X = X 0 - | ) (3.4) và

P(X = Xo) > P(X = x 0 + i ) (3.5)

Ấp dụng công thức Bernoulli ta có :

P(X=X„) = C n

x o p x y - x o ; P ( X = X X 0 _ , ) = C x o - l p x o - i q . - x w

Từ (3.4) ta suy ra: CX0 p .X0 qn-.X0

C X 0 - I xo-. „-X0+I ằ 1


("hường. 3: Mệt úi qui luật phân phối xòe, tuất thông. íitutg.

o^^>-l «(n-x1+l)p>x0q *0.q

ox0(p + q)<(n + l)p =>x0<np + p (3.6)

Tương tự, từ (3.5) ta cũng chứng minh được:

Xo > np - q (3.7)

Kết hợp (3.6) và (3.7) ta được:

np - q < Xo < np + p

ả- Thí dụ: Một máy sản xuất được 200 sản phẩm trong một ngày. Xác suất để máy sản xuất ra phế phẩm là 0,05. T im số p h ế phẩm trung bình và số phế phẩm tin chắc nhất của máy đó trong một ngày

Giải: Gọi X là số phế phẩm của máy trong một ngày thì X~B(200, 0,05). Số phế phẩm trung bình của máy trong một ngày chính là E(X). Theo công thức tính kỳ vọng toán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên p h â n ' p h ố i theo qui luật nhị thức ta có:

E(X) = np = 200x 0,05 = 10

Số phế phẩm tin chắc nhất của máy trong một ngày chính là Mod(X) . Ta có:

• np - q = 200 X 0,05 - 0,95 = 9,05

np + p = 200 X 0,05 + 0,05 = 10,05

Vậy theo công thức (3.3) ta có:

9,05<Mod(X)< 10,05

Vì X ~ B(200; 0,05) nên Mod(X) phải là số nguyên

Vậy: Mod(X)=10


ỊẬiáo trình tý thuyết xác mất oà Hiếng, kè toán

l i - Q u i l u ậ t P o i s s o n .

Ì- Bài toán tổng quát dẫn đến qui luật Poisson

Giả sử t i ến hành n phép thử độc lập, trong mỗ i p h é p thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: hoặc b iến cố A xảy ra, hoặc A không xảy ra. Xác suất đ ể cho b iến cố A xảy ra trong mỗ i phép thử đều bằng p, xác suất để A không xảy ra đ ề u bằng q (q = Ì - p). Gọ i X là số l ần b iến cố A xảy ra trong n phép thử thì X phàn phối theo qui luật nhị thức. Trường hợp n lớn, p nhỏ (p < 0,1) và tích np = Ằ không đ ổ i thì ta có công thức xấp xỉ sau đây:

p k = P(X = k ) = C n

k p k q n - k * ^ 7 e ' x

kỉ Trong đó e là hằng số nêpe :

( e = L i m

Ì 1 + -

Chứng minh:

Thây vậy: Do np = X => p = n

e « 2,71828

q = l - p = l -X

n

n! k ! ( n - k ) !

Y 1 _

V

\ n-k

n ( n - l ) ( n - k + 1) xk ( Ị _ v n-k

Vì:

62

V n A ỉ

L i m

- ì Hy

í

k - 1 k ỉ

n J k ! 1 -

X

n

1 - Ị \ n-k

= e


ũíuùAtạ 3: Jfíởt íố qui luật phân phối xóa mai tháng, dụnạ

Nên dễ thấy rằng:

L i m P k = — e _ x

Như vậy, với n lớn, p nhỏ, tích np = X không đ ổ i , các xác suất p k = P(X = k) của công thức Bernoulli có thể thay t h ế bằng công thức Poisson sau đây:

Pk=P(X = k)= ụ~ex (k = 0, 1,2,...) (3.8) k !

2- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị: 0, Ì, 2 với các xác suất tương ứng tính theo công thức (3.8) được gọi là phân phối theo qui luật Poisson với tham số X.

X có phân phối Poisson vớ i tham số X được ký hiệu là X ~ ÍP(X)

Nếu X có phân phối Poisson với tham số X, thì xác suất để X nhận giá trị trong khoảng [le, k+h] trong đó k vì* h là số nguyên dương tùy ý, được tính theo công thức :

P(k < X < k+h) = pk + Pk+1 + ... + pk+h (3.9)

Trong đó các xác suất pk, pk+|, . . . . , pk+h tính theo (3.8)

* Chú ý: Nếu X ~ <P{X), để tính P(X = k) hoặc P(X < k) ta có thể

dùng h à m POISSON trong Excel

P(X = k) =POISSON(k,X,0)

P(X <k) =POISSON(k,Ầ,1)

Thí dụ 1: Cho X ~ £p(l,5), tính P(X = 5) và P(X < 3)

Ta có: P(X = 5) =POISSON(5,1.5,0) = 0.01412

63


lịiáa trinh lý thuyết xái' mất lùi ttiếng, kê toán

P(X < 3) =POISSON(3,1.5,1) = 0,934358

Thídụ2: Một máy dệt có 500 ống sợi. Xác suất một ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian Ì giờ máy làm việc là 0,004. T i m xác suất để trong một giờ có không quá 2 ống sợi bị đứt ?

Giải: Nếu coi việc quan sát một ống sợi xem có bị đứt hay không trong khoảng thời gian một giờ là một p h é p thử. Theo giả thiết, máy

dệt có 500 ống sợi nên ta có 500 phép thử độc lập. X á c suất trong mỗ i phép thử b iến cố A (là b iến cố ống sợi bị đứt) xảy ra với xác

suất là p = 0,004.

Nếu gọ i X là số ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian Ì giờ của máy thì X ~ B(50ồ; 0,004). Vì n = 500 khá lớn , p = 0,004 rất nhỏ và tích

np = 500x0,004 = 2 không đ ổ i nên ta có thể coi X ~ £p(2 )

Xác suất để có không quá 2 ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian

Ì giờ là: P(0 < X < 2) = Po + Pi + p 2

p0 = P(X = 0) = ^-e-2 p, = P(X = 1) = ^-e-2

22

P 2 = P(X = 2 ) = — e"2

2!

P(0 < X < 2) = (Ì + 2 + 2) e ~2 = 5(2,7183)-2 = 0,6767

* Chú ý: Nếu tính các xác suất trên bằng hàm POISSON thì :

P(X < 2) =POISSON(2,2,1) = 0,Ổ76676

Ta cũng có thể tính xác suất mà bài toán yêu cầu bằng hàm BINOMDIST

P(X < 2) =BINOMDIST(2,500,0.004,1) = 0,676677

3- Các tham số đặc trưng:

64


&utưttạ 3: Jlậl tà' qui luật phân phối xóa luốt tkâitạ Ị lung

CÓ thể chứng minh được ra ng: N ế u X ~ <PọC) thì:

• ' E(X) = Var(X) = X (3.10)

X- Ì < Mod(X)<Ầ (3.11)

Chứng minh: Theo định nghĩa kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên rờ i rạc, ta có :

00 ao 00 i k ao ì k-1 E(X) = ỵk.pk = Ỷ k . p k = Ỳ k . ^ e - x = A . ỷ - ^ — - e - x

to ừ Ù kĩ t í ( k - l ) !

Đặtk' = k- l.Ta có: f ọp -\ k' eo ì k 00

k'=0K 1 k=9 Ki k=0

Vậy: E (X) = X

Ta có: E(X2)= jỉ>2Pk = ỹ[k(k-l) + k]ik

k=0 k=0

= ẳk(k-l)£e-+f>.Pk

k=2 K I k=0

V ì : £ k P u = E (X) = \ k=0

, k co co ì k co "S k

Đặt k' = k -2 thì ('*) có thể viết như sau:

co ì k' co ì k

k'=0» 1 4 k'=0 K:


ựiííơ trình tý. thuyết XÓA mất ơà tltếitạ kê tơán

Vậy ta có: E(X2) = X1 + X

Var (X) = E ( X 2 ) - [ E ( X ) ] 2 = X2 + X - Ả2 = X

Thí dụ: Xác suất một chai rượu bị bể khi vận chuyển là 0,001. Giả sử vận chuyển 4000 chai. T i m số chai rượu bị b ể trung bình và số chai bị b ể tin chắc nhất khi vận c ỉyiyển ?

Giải: Gọi X là số chai rượu bị bể khi vận chuyển 4000 chai. X là đại

lương n- ' l i nhiên và X ~ <P(X) với X = n.p = 4000 X 0,001 = 4

Số chai rượu bị bể trung bình khi vận chuyển chính là E(X)

E(X) = x = 4

Tức có trung bình 4 chai rượu bị bể khi vận chuyển 4000 chai.

Số chai rượu bị bể tin chắc nhất khi vận chuyển 4000 chai chính là Mod(X) . Theo công thức (3.11) ta có:

3 < Mod(X) < 4 V ậ y :

Mod(X) = 3 h o ặ c M o d ( X ) = 4

Tức số chai rượu bị bể tin chắc nhất (có khả năng xảy ra nhiều

nhất) là 3 chai hoặc 4 chai

MI - Qui luật siêu bội

Ì- Bài toán tổng quát dẫn đến qui luật siêu bội

T ừ một tập hợp gồm N phần tử (trong đó có M phần tử có tính chất A n à o đó) l ấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra n phần tử . G ọ i X là số phần tử có tính chất A có ương n phần tử l ấy ra, thì X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên rờ i rạc có thể nhận các giá trị: 0, Ì , 2, . . . n với .các xác suất tương ứng:

66


Qttương. 3: JILệt íà í/lù luật phân phối xác UI'''í tíiâuạ dung.

Px = P(X = x ) = M _ N M (3.12) N

(x = 0, 1,2 n)

2- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị: 0, Ì, 2, . . . . . n vớ i các xác suất tương ứng được tính theo công thức (3.12) g ọ i là phân phối theo qui luật siêu b ộ i vớ i c á c tham Số: N , -M; n.

Đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật siêu bội được ký h i ệ u l à : X ~ H ( N , M , n).

* Chú ý: Trường hợp n > M (hoặc n > N - M) Khi đó X phân phối theo qui luật s iêu b ộ i nhưng có một số giá trị trong số các giá trị 0, Ì , 2 , . . . , n đ ạ i lượng ngẫu nh iên X sẽ không nhận.

Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 3 sản phẩm loại A) L ấ y ngẫu nhiên (không hoàn l ạ i ) từ hộp ra 5 sản phẩm. G ọ i X là số sản phẩm loạ i A có trong 5 sản phẩm lấy ra, thì X có phân phối s iêu bộ i vớ i c á c giá trị X có thể nhận là 0, Ì , 2, 3 còn các giá trị 4 và 5 thì X không thể nhận. Vì trong trường hợp này : n = 5 > M = 3

Nếu X ~ H (N, M, n), để tính P(X = x) ta có thể dùng hàm HYPGEOMDIST trong Excel

P(X = x) =HYPGEOMDIST(x,n,M,N)

Thí dụ: Cho X ~ H (20, 14, 8), tính P(X = 5) Ta có:

P(X = 5) =HYPGEOMDIST(5,8,14,20) = 0,317853

3- Các tham số đặc trứhg

Ta có thể chứng minh được rằng: Nếu X có phân phối siêu bội thì:


íậiáa trình /tị'tJuajết xòe Mất túi ittốitạ. kê toái!

E(X) = np (3.13) M

( v ớ i p = — ) N

N - n V a r ( X ) = n p q - ^ — ị (3.14)

(với q = 1-p)

Trong thực tế, qui luật siêu bội được dùng để tính xác suất có X phần tử mang dấu h iệu A nào đó khi lấy ngẫu nhiên n phần tử theo phương thức không hoàn lại từ một tập hợp gồm N phần tử. Chẳng hạn, đ ể k i ể m tra chất lượng của một lô sản phẩm, n»ười ta thường

V ra từ lô đó ra n sản phẩm theo phương thức không hoàn l ạ i và ù xác suâ.t để có X p h ế phẩm (hoặc chính phẩm).

Ta có thể chứng minh Klng: khi n là rất bé so với N thì ta có công thức xấp xỉ sau đây:

VÁ 11

^ P - « C : P Y - S (3.15)

Chứng minh:

Xét v ế trái của (3.15) ta có:

( < M! _ M(M - 1)(M -2) (M-x + 1) M x ! ( M - x ) ! x!

C n-X ( N - M ) ! N M ( n - x ) ! ( N - M - n + x ) !

= (N-M)(N-M- 1) (N - M -n + X +1)

( n - x ) !

Cn N! . _N(N-1) (N-n + 1) N n ! ( N - n ) ! n !


@hưưiiỢ. 3: Jllật lố qui luật phân phối jráe mất thông. íiụitụ

Thay các biểu thức trên vào v ế trái của (3.15) và gắp'xếp l ạ i ta được:

V T = B

Trong đó: VT là ký hiệu vế trái của (3.15); B là biểu thức dưới đây:

M ( M - 1)...(M - X + 1)(N - M ) ( N - M - 1)....(N - M - n + x + 1)

N ( N - l ) ( N - 2 ) ( N - n + 1)

Để ý rằng, tử số và mẫu số của biểu thức trên đều có n thừa số. Chia

cả tử số và mẫu sộ của b iểu thức đó cho N n ta được:

QR

Trong đó:

Q =

R =

M N

M Ì

V N N

B =

M x - 1 N N

(Q có X thừa số)

M

N

M Ì

V, N N .

M n - x - 1 N N

[R có (n - x) thừa số]

s = l \

1 - — N l N V

Đặ t : M

N = p ;

N

< M Ì N

= Ì - p = q

Khi N lớn, n rất nhỏ so vớ i N thì :

Q*px; R*qn_x; s^l

Từ đó ta suy ra điều cần phải chứng minh

Trong thực t ế , công thức (315) thường được áp dụng như sau: N ế u


lị ủi ọ trình Lị thuyết xóa Mất oà tíiốtiọ. kê tơáii

lấy n phần tử từ một tập hợp gồm N phần tử theo phương thức không hoàn l ạ i và n là rất nhỏ so với N . G ọ i X là số phần tử có tính chất A nào đó có trong n phần tử lấy ra thì ta có thể xem X ~ B(n, p). V ớ i p là tỉ l ệ phần tử có tính chất A của tập hợp.

Thí dụ: ĩảộl lô hàng gồm 1000 sản phẩm, trong đó có 800 sản phẩm loạ i A và 200 sản phẩm loạ i B. L ấ y ngẫu nhiên (không hoàn l ạ i ) từ lô hàng đó 10 sản phẩm đ ể k i ể m tra. T ìm xác suất đ ể có ít nhất 8 sản phẩm loạ i A trong 10 sản phẩm lấy ra k i ể m tra ?

Giải:' Gọi X là số sản phẩm loại A có trong lo sản phẩm lấy ra kiểm tra. Vì lấy không hoàn l ạ i nên X ~ H(1000, 800, 10). Nhưng vì lấy ít (10) từ một tập hợp có số phần tử lớn (1000) nên ta có thể coi

X ~ B(n, p), với n = 10 và p = - 0,8 1000

Xác suất cần tìm là P(X > 8). Ta có:

P(X = 8 ) = c ? „ ( 0 , 8 ) 8 ( 0 , 2 ) 2 = 0,30199

P(X = 9) = c?0(0,8)9 (0,2) = 0,268435

P(X = 10) = (0,8)'°= 0,107374 Vậy :

P(X > 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 0,6778

* Chú ý: Ngoài cách tính trên, ta có thể dùng hàm HYPGEOMDIST để tính như sau:

P(X = 8) =HYPGEOMDIST(8,10,800,1000) = 0,30351

P(X = 9) =HYPGEOMDIST(9,10,800,1000) = 0,268431

P(X = 10) =HYPGEOMDIST(10,10,800,1000) = 0,106164

P(X > 8) = 0,30351+ 0,268431+ 0,106164 = 0,678105


@hưư4iạ 3: Một lố qjù luật phán phối xán luốt thảng, dunạ

Ta thấy kết quả của hai cách tính xấp xỉ nhau.

I V - Q u i l u ậ t p h â n p h ố i c h u ẩ n

Ì- Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (-oo,+oo) được g ọ i là phân phối theo qui luật chuẩn nếu h à m

mật độ xác suất của nó có dạng:

f(x)=-U*pí <*-*>• Ì 2 a 5

N ế u t iến hành khảo sát h à m này ta thấy: f (x) > 0 (V x) Khi x-> ± 00 thì f (x) -> 0. H à m số đạt cực đ ạ i t ạ i đ i ể m X = n và :

f 0 0 = Ì

ơ-v/ĩrĩ

H à m số có 2 đ i ể m uốn:

M i ụ, — ơ OyỊĨŨe

và M'2 | i + ơ ; Ì

V ơ V 2 ĩ ĩ e

Đ ồ thị của h à m f(x) có dạng như hình chuông, đ ố i xứng qua đường

thẳng X = ụ. (hình v ẽ )


(ị mo trìu li lạ ỊiuuỊct xáe mất oà tỉiơnụ Ui' toán

2- C á c t h a m s ố đ ặ c t r ư n g

a- Kỳ vọng toán: N ế u đ ạ i lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với hàm mật độ như trên t h ì : E(X) = | i

Chứng minh: Theo định nghĩa kỳ vọng toán của đại lượng.ngẫu nhiên liên tục, La t ỏ:

4-00* J +00 ị , )^ ì E ( X ) = f x f ( x ) d x = — ^ = f x e x p ] - ( x ~ 7 [da

X — LI Đặ t : t = — => X = ỊJ. + á t ; dx = ơ d t

Đ ể \ rằng khi đ ổ i sang biên l thì cận lấy tích phân không thay đổ i . Vậy ta có:

ì +c? í t 2

E(X) Ì t

= —1= hụ + ot)exp\ - -— \ơdt

+ < D í Ì **" í t 2 1 = ~p= Jexp ị ~ \ á t + -2= ịttxpị - — [át

Theo giải tích ta có:

j e x p | - ị - Ịdt s= V ã n (tích phân Poisson) -00 l 2 J

+0° ít2] ít2! j t e x p Ị - y | d t = 0 (vì hàm t e x p ị - — Ị. là hàm số l ẻ )

Do đó:

E(X) = ịx

72


&tN&aợ 3: Mệt iấ quì luật nhàn phết xảe suất tháng tlụnạ.

c- Phương sai: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với hàm mật đô như trên t h ì :

Var(X) = ơ2

Chứng minh: Theo định nghĩa phương sai của đại lưcim Bgẫu nhiên liên lục ta c ó :

+00 V a r ( X ) = j [ x F ( X ) ] 2 f ( x ) d x

—co

Vì X có phân phối chuẩn nên: E(X) = ụ. Do đó:

Var(X) = —J= J(x - ịi)1 expị - (x~*?)2 tox lo1

Đặ t :

Khi đó:

t = X = | i + crt; dx = ơ d t

ì ế z ị 2 +00 1 2 V a r ( X ) = - 4 = ( " ơ V e x p i - — ơ d t = - ^ l í t 2 expị - — }dt

Á p dung p W ơ n g pháp tích phân từng phần:

Đặt: u = t; dv = texpj- —Ịdt => V = -expj- —Ị

Ta có:

Var(X) = ơ - t e x p

2 ,

+ 00

— 00

2 > d í

Ta thấy:

7 j


(ịìáơ trình lý ậh nụ ất xáe suối ơà ưiốitạ kề toán

texp-Ị - ý + 00 t

• 00 = 0 (vì h à m - t e x p < Ị - — \ là h à m số lẻ )

Ịexp I - — Ị-dt = V27Ĩ (tích phá n Poissan)

V ậ y ta có: V a r ( X ) = ơ 2

Đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật chuẩn với kỳ vọng

toán là ụ. và phương sai là ơ 2 được ký h iệu là X ~ N( |J., ơ 2 )

Phân phối chuẩn do nhà toán học Đức Karl Gauss tìm ra nên còn gọi là phân phối Gauss.

3- Phân phối chuẩn tắc

Giả sử đ ạ i lượng ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật chuẩn với

i là ơ 2

x-ịi

2 kỳ vọng toán là ụ và phương sai là ơ . X é t đ ạ i lượng ngầu nhiên

z =

Đ ạ i lượng ngẫu nhiên z nhận giá trị trong khoảng (-00, +00) được gọi là phân phối theo qui luật chuẩn tắc nếu hàm mậ t độ xác suất của z có dạng:

f ( * ) = v f e e x p K

Đồ thị của hàm f(z) cũng có dạng hình chuông, đ ố i xứng qua trục tung. (hình v ẽ )


(ễhươtiạ 3: Mật úi-' qui luật phân phối xóa mút IhòiUỊ dụng

f(z) ' \

> - l o i z

Các giá ưị của hàm f(z) được tính sẵn thành bảng (xem phụ lục 2).

Có thể chứng minh được rằng: Nếu đại lượng ngẫu nhiên z có' p h â n phối chuẩn tắc thì:

E(Z) = 0 và Var(Z) = 1

X - n " Ị _ Ì = - [ E ( X ) - n ]

ơ Thật vậy , Ta có : E(Z) = E

DoX ~N(n,ơ2), nê

Var(Z) = Var > ì = 1 [ v a r ( X ) - V a r ( ^ ) ] A. ơ )

Vì Var(X) = ơ2 ; Var(n) = 0 => Var(Z) = Ị

Đại lượng ngẫu nhiên z phân phối theo qui luật chuẩn tắc được kỷ h iệu là z ~ N(0 ,1)

* Ta ký hiệu za là giá trị của của đại lượng ngẫu nhiên z phân phối theo qui luật chuẩn tắc thoa mãn đ iều k i ệ n :

p(|z| >Za)=CC


L}iiío- trùilt Lị tỉ tuyết xác mất cúi thống, hê toán

N ế u minh hoa trên đồ thị ta thấy d i ện tích của m i ề n hình học giới hạn bởi đường cong hàm mật độ và trục hoành bằng Ì đơn vị diện

+00 tích (Vì | f ( z ) d z = 1) thì z a là một đ i ể m nằm trên trục hoành sao

—co cho diên tích của miền gạch chéo trên hình vẽ bằng cc

f(z) Ạ

Cho trước oe ta có thể tính được các giá trị z a . Bảng tính sẩn các giá

trị z u cho ở phụ lục 4.

4- Các công thức tính xác suất:

N ế u X ~ Nín , CT ) th ì

P(X! < X < x 2 ) = Ọ x 2 - ụ . \ í

- ọ v ơ ;

(3.16)

Trong đó: .2 \

dz ( H à m Laplace)

Chứng minh: Thật Vậy, ta có:

P ( x 1 < X < X 2 ) = p í ^ l H < ^ Z £ < Í L Z i i >

V ơ . CT


QiuỂđHq. 3: Mát Ìấ tịitỉ luật phản phổi xòe, li lất thòng đung

= p(z, <z<z2)

Trong đó X 1 ~ n x 2 - ụ .

•ỉ x - ị i

Theo tính chất h à m mật độ (tính chất 2) ta có :

z, z, z, P(z, < z < z2) = jf(z)dz = jf (z)dz - |f(z)dz

= 91 - ọ í * , - n ì - ọ í * , - n ì

V ơ J

* N ế u X ~ N(n , ơ 2 ) t h ì :

P ( | x - d < 8 ) = 2<p

C/ií?Kg mi/í/i. Ta có: p ( j x - | i | < e ) = P ( - e < X - ụ < e)

ỉ e X - | i £

(3.17)

— < — < V, ơ ơ ơ J

= P - * < Z < * ^ ơ ơ

( é ) í 0 ( « 0 r o =2cp

co

= 9 — -<p - - = <p — +<p - =2cp —

* CAÚ J : N ế u X ~ N ( n , ơ 2 ) , đ ể tính P(X < x) ta có thể dùng h à m NORMDIST trong Excel

P(X < X) =NORMDIST(x,n,ơ,1)

P(Xi < X < x2) =NORMDIST(x2,n,a,1)-NORMDIST(x1,n,ơ,1)

77


íịiá& trình Lị thuụết xác mãi oà tívấtig. kê- toán

* N ế u z ~ N(0, 1), đ ể tính P(Z < z) ta có t h ể dùng h à m NORMSDIST trong Excel

P(Z < z) =NORMSDIST(z)

P(a < z < p) =NORMSDIST(P)-NORMSDIST(a)

* Nếu X ~ Nín, ơ2), để tính P( |x - jx| <e ) ta có thể dùng hàm

NORMSDIST P ( | x - \x\ < £ ) = 2 * N O R M S D I S T ( E / < J ) - 1

Thí dụ 1: Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn v ớ i trọng lượng trung bình ụ. = 5 kg và độ lệch t iêu chuẩn ơ = 0,1. Tính tỷ l ệ những sản phẩm có trọng lượng từ 4,9 kg đ ế n 5,2 kg ?

Giải: Gọi X là trọng lượng của loại sản phẩm này. theo giả thiết

X ~ N(n , ơ 2 ) vớ i ịi = 5 ( k g ) ; ơ = 0,1

Tỷ lệ sản phẩm có trọng lượng từ 4,9 đến 5,2 kg chính là:

P(4,9< x<5,2)

Áp dụng công thức (3.18) ta được:

P(4.9 < X < 5,2) = <p(^p) " Ọ(ÔF) = 9(2) " 9

• = 0,4772 - ( - 0,3413) = 0,8185

Tức tỷ lệ những sản phẩm có trọng lượng từ 4,9 đến 5,2 kg là 82%

* Chứ ý: Nếu dùng hàm NORMDIST để tính xác suất trên thì:

P(4,9 < X < 5,2)=NORMDIST(5.2,5,0.1,1)-NORMDIST(4.9,5,0.1,1)

= 0,818595

78


@hu&tiạ 3: Jtlội Lố ạuỉ luật phân, phối xòe, xuôi thòng, dung

Thí dạ 2? Đường kính của một loạ i trục m á y do một nhà m á y sản suất là 3 ạ i lượng ngẫu nh iên phân phối theo qui luật chuẩn vớ i đường kính trung binh (theo như th iế t k ế ) là n = 20 mm và độ l ệch tiêu chuẩn ơ = 0,04 min. Trục m á y được coi là đạt tiêu chuẩn kỹ thuật nếu đường kính của nó sai lệch so vớ i đường kính th iế t k ế

không quá 0,072 mm. T i m tỷ l ệ trục máy đạt t iêu chuẩn kỹ thuật của nhà m á y ?

Giải: Gọi X là đường kính của trục máy. Theo giả thiết X ~ N(|i, ơ2) với ụ. = 20 (ram) ; ơ = 0,04 . T ỷ l ệ trục máy đạ t tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy chính là : P(| X < 0,072).

Ấp dụng công thức (3.19) ta có:

f 0,072 ì p ( | x - n | < 0 , 7 2 ) = 2 ( p = 2(p(l,8) * 93%

l 0,04

* Chú ý: Nếu dùng hàm NORMSDIST thì:

p(jx-ụị < 0,072) =2*NORMSDIST(0.072/0.04)-1 =0,928139

5- Phân phối xác suất của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc

l ậ p t u â n theo c ù n g m ộ t q u i l u ậ t

Giả sử Xi và X2 là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập. Xi tuân theo

qui luật chuẩn vớ i kỳ vọng toán là ịlị và phương sai là <j] còn x 2

cũng tuân theo qui luật chuẩn v ớ i kỳ vọng toán là ịi2 và phương sai

l i ^ vị. K h i đó đ ạ i lượng ngẫu nhiên X = ( X i + X2) cũng tuân theo

qui l u ậ t chuẩn với kỳ vọng toán là Hj + n 2

v à phương sai là G2ị + ơ \ .

Tính chất trên cũng có thể mở rộng cho một số bất kỳ các đại lượng nga u nhiên độc lập vớ i nhau và cùng có p h â n p h ố i chuẩn. .


tị,.., trinh tụ iỉưtụết xác mất oà títấnq. kè toán

Ngoài ra nếu Xi, x2, xn là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập và man theo một qui luật phân phối xác suất n à o đó (không nhất

thiết là qui luật chuẩn) vớ i các kỳ vọng toán E ( X i ) , E ( X 2 ) , . . . .

E(X„) và phương sai var (Xi) , va r (X 2 ) , . . .' , var(Xn) đã b i ế t thì đại

lượng ngẫu nhiên:

X = ẳ x i

i = l

sẽ phân phối xấp xỉ chuẩn với :

E(X) = ị E(X,) và Var(X) = Ỳ Var(x.) i=l i=l

khi n khá lớn (n > 30) Tính chất trên thường được gọ i là định lý g iới hạn trung tâm của

l.iapunốp

6- Sự hội tụ của qui luật nhị thức và qui luật Poisson về qui

l u ậ t c h u ẩ n

Khi sử dụng qui luật nhị thức, nếu n khá lớn thì v iệc tính toán theo công thức Bernoulli sẽ gặp khó khăn . lúc đó nếu p nhỏ đ ế n mức np « npq thì có thể dùng qui luật Poisson thay t h ế cho qui luật nhị thức. Nhưng nêu p l ạ i không nhỏ (p > 0,1) thì không thể dùng qui luật Poisson đ ể thay t h ế được. Khi đó ta có t hể dùng qui luật chuẩn để thay t h ế cho qui luật nhị thức.

Khi n lởn và p không quá gần 0 và không quá gần Ì thì đại lượng ngẫu nhiên X ~ B(n; p) có thể coi như-phân phố i xấp xỉ chuẩn với kỳ

vọng toán ị! = np và phương sai ơ . = npq. T ừ đó ta có công thức sau:

Px=C;PY"X~-pLrf(z) (3.18) V n p q

b Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

Qhươitq. 3: Mệt lổ qui luật, phàn phổi xác luốt thông, dụng

Trong đó: z = p = = i ; f (z) = - p = e x p ( - z 2 / 2 ) V n p q V271

Công thức (3.18) được.gọi là công thức địa phương Laplace. Các

giá trị của h à m f(z) được tính sẩn thành bảng với các giá tri của

z > 0 (xem phụ lục 2). Chú ý rằng f(z) là h à m chẩn, nên f ( - z ) = f(z) . Vì vậy vớ i z < 0 ta

cũng dùng bảng này đ ể suy ra giá trị của f (z ) .

Khi n lớn, xác suất p không quá gần 0 và không quá gần Ì thì ta có thế dùng công thức xấp xỉ sau đây d ể tính toán:

P(x < X < x+h) « (p(x2) - <p(xi) (3. ỉ 9)

Trong đó : 1 x

ọ ( x ) = -J= f e x p ( - z 2 / 2 ) d z (Hàm Laplace) V 2 T I ị

x - n p x + h - n p X l = T = ^ X 2 = r =

Công thức (3. 19) được gọi là công thức tích phân Laplace.

Các giá trị của h à m ọ(x) được tính sẩn thành bảng. (xem phụ lục 3). Cần lưu ý là trong bảng này chỉ tính các giá trị của-hàm (p(x) vớ i những giá trị X > 0, nếu cần tính giá trị của (p(x) vớ i X < 0 thì ta chú ý

rằng cp(x) là h à m l ẻ , do đó: cp(-x) = - (p(x)

Trong bảng chỉ tính (p(x) vớ i X < 5, vớ i X > 5 thì hàm (p(x) t ăng rấ t chậm và nhận giá trị rất gần 0,5. Do vậy ta l ấy (p(x) = 0,5 (Vx > 5)

Thí dụ: Xác suất để một máy sản xuất được sản phẩm loại A là 0,8. T i m Xác suất để trong 400 sản phẩm do máy sản xuất ra có:

(a) 336 sản phẩm loại A

81


trình tiị tlutỵết xòe mất lút thống kè toán

(b) Có từ 304 đến 328 sán phẩm loại A

Giai: Gọi X là sô sản phẩm loại A có trong 400 sản phẩm do máy sản xuất. X - B(4()0, 0,8). Vì n = 400 khá lớn, p = 0.8 không quá gan 0 và không quá lĩần Ì, nên ta có thể áp dụng công thức (3,18)

(a) P ( X = 3 3 6 ) « 336 - 400 X 0,8

V400x 0,8x0,2 [ V 4 0 0 x 0,8x0,2 J • >

Tra bảng la được 1(2) = 0,054. Vậy :

P(X = 3 3 6 ) « 0,00675

(b) Ta cần tính P(304 < X < V>J0 Áp dụng công thức (3.19) ta có:

P(304 < X < 328) * cp (x2) - cp(Xl) Trong đó:

x = 3 2 8 - 4 0 0 x 0,8 _ ỉ 3 0 4 - 4 0 0 x 0,8 2 V400 X 0,8 X 0,2 ; X | ~ ^ 0 x 0 , 8 x 0 , 2 ~ ~

Tra bảng hà ni cp(x) la được: (p(l) = 0,3413 ; (p(-2) = - 0 4772 Vậy :

P(304 < X < 328) * 0,3413 - ( - 0,4772) = 0,8185

* Chú ý: Với thí dự trên, nếu ta dùng Excekđể tính thì:

P(X = 336) =BINOMDIST(336,400,0.8,0) = 0,006573

P(3()4 < X < 328) = P(X < 328) - P(X 5303) =

=BINOMDIST(328,400.0.8,1)-BINOMDIST(303,400I0.8,1)= 0,83505

Ta thấy kế t quá của hai cách tính có chênh lệch nhau, tất nhiên tính bằng Excel sẽ cho kết quà chính xác hơn. vì vậy nếu có thể la nên tính bằng Exccỉ.

82


&tưưttạ 3: Mặt Lố quì ỉutịt phân phối xác Mất thòng, {tung

* Đối với qui luật Poisson thì quá trình hội tụ của nó về qui luật chuẩn sẽ d iễn ra khi X >«20. Vì vậy lú-li V phân phối theo qui luật Poisson nhưng X > 20 thì có thể xem X phan pi,. ' i * \ í " xỉ chuẩn vớ i

| i = À. và ơ = X

7- ứng dụng của qui luật chuẩn

Qui luật chuẩn là qui luật phân phối xác suất được á p dụng rộng rãi trong thực tế . Trong nhiều lĩnh vực của khoa học và đ ờ i sống ta thường gặp những đ ạ i lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Chẳng hạn trong công nghiệp, kích th#ớc của các chi t i ế t do m á y sản xuất ra; trọng lượng của những sản phẩm cùng loạ i là những đ ạ i lượng ngẫu nhiên phân phối theo qu iûậ t chuẩn nếu quá trình sản xuất d i ễ n ra bình thường. Trong nông nghiệp, năng suất của một l o ạ i cây trồng ở những thửa ruộng khác nhau; trọng lượng của gia súc cùng độ tuổ i và cùng đ iều k i ệ n chăm sóc cũng là những đ ạ i lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn. . . .

Lý do của sự phổ biến đó đã được nhà toán học người Nga là Li-a-pu-nốp g iả i thích trong định lý "g iớ i hạn ưung tâm "mà một hệ quả của nó là: N ế u đ ạ i lượng ngẫu nhiên X là tổng của một số lớn c á c đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập và giá trị của m ỗ i đ ạ i lượng đóng vai ư ò rất nhỏ trong tổng đó thì X sẽ có phân phối xấp xỉ vớ i qui luật chuẩn.

V- Qui luật X2 "Chi-bình phướng"

Giả sử Xi (i = Ì, 2,.... n) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối theo qui luật chuẩn tắc. X é t đ ạ i lượng ngẫu nhiên :

x2=ịx i=l

Đại lượng ngẫu nhiên X2 phân phối theo qui luật "chi bình phương"

83


íịiáữ trình Lị. ílmụết xác mất oà thống- kẻ toán

với n bậc tự do.

Qui luật "chi bình phương" với n bậc tự do được ký hiệu là: 3£2(n)

Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ỵ2 có dạng:

fn (x ) =

_ y --1 e / z x 2 •

2 7 l r

0 , 2 y

Trong đó: r ( x ) = J t * _ I e _ t d t

x > 0

( hàm gama)

Qui luật "chi bình phương " được Helmert và Pearson xé t đến đầu tiên.

Đồ thị của hàm mật độ fn(x):

fn(x)

, n = 30

N ế u các đ ạ i lượng ngẫu nhiên_Xị liên hệ vơi nhau bằng một hệ thức

tuyến tính, chẳng hạn EXị = n X thì số bạc tự do sẽ là n -1

Nếu đại lượng ngẫu nhiên X2 phân phối theo qui bát x2(n) [ký hiêu l à x ~ x 2 ( n ) ] . t h ì :

84


VltưưiHi 3: JLệt tố qui luật pìiâii phối xòe. xuất tháng. dung.

E(x2) = n ; Var(x2) = 2n

* Ta ký hiệu %2a là giá tri cun đui lượng ngẫu nhiên ỵ2 phân phối theo qui luật "chi bình phương" với n bậc tự do, thỏa mãn điều kiện:

P(x2>x2a) = a

fn(x)

X a chính là giá trị nằm trên tục hoành sao cho diện tích m i ề n gạch chéo bằng a

C á c giá trị X2CC được tính sẩn thành bảng (xem phụ lục 5)

Ta cũng£Ó thể dùng hàm CH11NV để tìm %2a khi biết a

X* =CHIINV(a,k)

* Cho X 2 ~ x 2 ( k ) , đ ể tìm P(x 2 > X) ta có the dùng hàm CHIDIST

P(x2 > X) =CHIDIST(x,k)

Thí dụ: Cho x

2 ~ *2(28), tìm P(x

2 > 25) và xỉ.os

2* _ , » P(x > 25) =CHIDIST(25,28) = 0,627835

XỒ.05 =CHIINV(0.05,28) = 41,33715

85


ựiá» trùih lợ. thuyết teáe mất ơã thống, kè toán

K h i số bậc tự do tăng lên, qui luật "chi bình phương u sẽ xấp xỉ vôi

qui luật chuẩn.

Vỉ- Qui luật student

N ế u z là đai lưcne n«ẫu nhiên phân phối theo qui lun t huân lác va > la dạ i lượng ngẫu nhiên độc lập vớ i z , p h á " ,Mwi meo qui luật "chi bình phương" với n bậc tự do.

Khi đó đai lưrtn? nenn nîên:

T = V v / n

sẽ phẩn phối theo qui luật Student vớ i n bậc tự do.

Hàm ^ìật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên T phân phối theo qui luật Student vớ i n bậc tự do có dạng:

n + 1

f n ( t ) =

1 +

n+l a V ĩ

n

< ! > =

(-00 < t < +00)

eo

r ( x ) = | t I _ 1 e _ , d t ( h à m gama)

0

Qui luật Studeni vớ i n bậc tự do được ký h iệu là: T(n)

Trong đó :

Đ ồ thị của h à m f„(t):

86


&utờtiQ. 3: Mật UẾ quỉ luật phân phối xác Mất thăng, dung.

MO í

0 t

Qui luật Stuđent được w . s Gosset sử dụng lần đầu tiên trong một bài toán thống kê quan trọng và khi v i ế t tác giả lấy bút danh là "Student".

* Nếu đại lượng ngẫu nhiên T phân phơi theo qui luật Studenl với n bậc tự do [ký hiệu là T ~ T(n)] thì:

E(T) = 0 và Var(T) = —— n-2

* Ta ký hiệu ta là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên T ~ T(n) thu.Ì

m ã n đ iều k i ện : P(| T I > t a ) = oe tí

C á c giá trị ta được tính sẩn thành bảng (xem phụ lục 6)

* Ta cũng có thể dùng hàm TINV trong Excel để tìm ta

ta=T!NV(a,k) vớ i k là bậc tự do

* Nếu T ~ T(k), để tìm P(|T| > t) (với t > 0) UI có tì. j dùng hàm TDIS'1

P(|T| > t) =TDIST(t,k,2)

* Nếu T ~ T(k), để tìm P(T > l) với t > 0, ta có thể dùng hàm TDIST

P(T>t) =TDIST(t,k,1)


Lị ì lia trình Lị tlutụểt xúc mất oà thống, kê (oán

Thí dụ: Cho T ~ T(24), tìm P(|T| > Ì,3); P(T > ì ,5) và to.05

Ta có: P(|T| > ì ,5) =TDIST(1.5,24,2) = 0,146656

P(T > 1,5) =TDIST(1.5,24,1) = 0,073328

to.05 =TINV(0.05,24) = 2,063898 * 2,064

Khi số bậc tự do tăng lên, qui luật Student tiến rất nhanh về phần phối chuẩn tắc. Vì vậy, khi n > 30 ta có thể dùng phân phối chuẩn tắc thay cho phân phối Student.

VII- Qui luật Fisher- Snedecor (phân phôi F) I

Đ ạ i lượng ngẫu nhiên F được gọi là phân phôi theo qui luật Pisher

- Snedecor với ni và n 2 bậc tự do nếu hà UI mật độ xác suất có dạng:

* . , , , ( * ) =

Trong đó :

0 (JHZĨÌ

[ ( n 2 + n , x ) 2

í n , i n . ^

c =

Ị • "2 2

n , 2 » v

n r

\ t J Kí )

x < 0

x>0

Đ ồ thị của h à m f n i n 2 ( x ) :

88


@hườitg. 3: Mội XÁ qui tuột phàn phổi xác Mất tít ải tạ dung.

N ế u đ ạ i lượng ngẫu nhiên F phân phối theo quy luật Fisher -

Snedecor với bậc tự do ni và ĨỈ2 [ký hiệu là F ~ F(m, 112)] thì:

_ n 2nị (AI, +«, - 2) E ( F ) = — — ; Var (F)= •

«2 2 w ) ( w 2 - 2 ) (»2 ~ 4 )

Ta ký hiệu Fa (nu n2) là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên F phân

phối theo quy luật Fisher - Snedecor với bậc tự do n i , n? thoa mãn đ iều k i ện :

P f F > F 0 ( n i , n 2 ) ] = a

N ế u minh họa F a ưên đồ thị thì F a là giá trị nằm trên trục hoành sao cho d iện tích miền gạch chéo bằng a


(ịiáa trìitk bị tkuụết xòe Mất oà thống, kê toán

fni,n2 ( x )

0 F a X

Đ ể tìm F a (n i , n2) ta có thể tra bảng phân phối F hoặc dùng hàm FINV trong Excel

F a ( n , , n 2 ) =FINV(a ,n 1 , n 2 )

* Nếu F~ F(ni, n2), ta cần tính P(F > x) thì dùng hàm FDIST

P(F>x) =FDIST(x,n1, n2)

Thí dụ: Cho F ~ F (2, 14), ta cần tính P(F > 1,6) và tìm F0j05 Tá có:

P(F> 1,6) =FDIST(1.6,2, 14) = 0,236699

F0,05 =FINV(0.05,2,14) = 3,73889

90


@ỉutWtiạ 4/Đại lường, ngẫu nhiên, hai chiều

C h ư ơ n g 4

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU

I- Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

ở các chương trước, chúng ta đã xét những đ ạ i lượng ngẫu nh iên mà các giá trị nó có thể nhận được b iểu thị bằng một số. C á c đ ạ i lượng ngẫu nhiên như vậy được gọ i là đ ạ i lượng ngẫu nhiên một chiều . Ngoài những đ ạ i lượng ngẫu nhiên một chiều, trong thực t ế ta

còn gặp những đ ạ i lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nó có thể nhận được b i ể u thị bằng 2, hoặc 3, . . . , hoặc n số.

Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nó có thể nhận là những v é c tơ 2 chiều được gọ i là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều.

TổntỊ quát: Những đại lượng ngẫu nhiên mà các giá trị nó có thể nhận là một véc tơ n chiều được gọi là đại lượng ngẫu nhiên n chiều.

Ta ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều là (X, Y). Trong đó X và Y được g ọ i là các thành phần của đ ạ i lượng ngẫu nhiên 2 chiều, c ả hai đ ạ i lượng ngẫu nhiên X và Y được xét một cách đồng thời tạo n ê n đ ạ i lượng ngẫu nhiên 2 chiều. Tương tự n đ ạ i lượng ngẫu nhiên được xé t một cách đồng thời tạo nên đ ạ i lượng ngẫu nhiên n chiều.

Thí dụ 1: Khi nghiên cứu về thể lực của những học sinh tiểu học có cùng độ tuổ i , người ta thường quan sát đồng thời cả chiều cao (X) và

trọng lượng (Y) của các học sinh đó , như vậy ta có đ ạ i lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) . C ò n nếu ta quan t âm cả vòng ngực (Z) thì ta sẽ có đ ạ i lượng ngẫu nhiên 3 chiều (X, Y, Z) .


Qiáữ trình bị tltttiịết seáe mất và t/iốuạ kè ĩơán

Thí dụ 2: Khi khảo sát các siêu thị, nếu ta quan tâm đến doanh số

bán ( X i ) và lượng vốn ( X 2 ) ta sẽ có đ ạ i lượng ngẫu nhiên hai chiều.

( X | , ' X 2 ) . Còn nếu ta quan tâm cả chi phí quảng cáo (X3) thì ta sẽ có

đạ i lượng ngẫu nhiên 3 chiều ( X i , X2, X3).

Tron" thực t ế người ta cũng phân chia đ ạ i lượng ngẫu nhiên nhiều

chiều mành hai loại : rời rạc và liên tục.

Các đạ i lượng ngẫu nhiên nhiều chiều được gọ i là rờ i rạc nếu các

thành phần của nó là các đ ạ i lượng n g ẫ u n h i ê n rời rạc.

Các đạ i lượng ngẫu nhiên nhiều chiều được gọ i là liên tục nếu các

thành phần của nó là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

li- Qui luật phân phối xác suất của đại lượng

n g ẫ u n h i ê n h a i c h i ể u

Đ ố i với đại lượng ngẫu nhiên hai chiều người ta cũng dùng bảng phân phôi xác suất hoặc hàm phân phối xác suât hoặc hàm mật độ xác suất" để thiết lập qui luật phân phối xác suất của chúng.

Ì- Báng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2

c h i ề u

Bảng phân phối xác suất của đ ạ i lương ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc có dạng:

V Y y i yi y m

Xi P ( x , , y , ì P ( x , , y 2 ) P(X|, y m )

P(X2.yi) P(X 2, y 2 ) P(x 2 . y m )

Xn PUn.yO PUn. yì) P(x„, y m )

Trontí. đó:


&UÍƠ41Q. 4:<ĩ)ại lừợnạ Itạẫii nhiên hai eiiièít

Xi (Ì = Ì, 2 , . . . , n) là các giá trị có thể nhận của thành phần X

Ỵj ( j = Ì, 2 , . . . , m) là các giá trị có thể nhận của thành phần Y

p(Xj, yj) ( i = Ì, 2, . . . n; j = Ì, 2, . . . , ro) là xác suất đ ể đ ạ i lượng

ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y ) nhận giá trị (Xi, yj)

li m z £ p ( x i , y j ) = i i=i j=i

Ký hiệu: + P(Xi, yj) = P[(X t xi)(Y =yj)] = Pi> = P(X =Xj).P(Y=yj /x= . Xi)

= P(Y =yj).P(X =xựY= y j )

m ni

+ P ( X = X Ị ) = 2 p ( x i » y j ) = Z P i j = P ì j=i j=i

+ P(Y = yj)= ỈP(xi,yj) = ẳPij =Qj i=l i=l

• N ế u p i J = p i . q j ( V i , j ) thì X, Y độc lập

>•• ỊỊ m Ta luôn có: Z P i = Z t ỉ j = = 1

i=i j=i

V ớ i các ký hiệu trên, ta có thể biểư diễn bảng phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên 2 chiều dưới dạng sau:

V Y X ^ \

y i y2 •

y n , Px

Xi Pn P12 Plm Pl X2 P21 P22 P2ni P2

*

Xn Pnl Pn2 Pnni Pn

PY qi Q2 q m * 1


Cịiúo trình tụ. tlutụẨt xòe mối ơă Miếng, kè tơáii

B i ế t được phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên ĩ chiều ta

có thể tìm được bảng phân phối xác suất của t á c thành phần.

Bảng phân phối xác suất của thành phần X có dạng:

X Xi X2 x„

Px p. P2 Pn

Từ bảng phân phôi xác suất của X vớ i các côn£ thức đã biết ở chương ĩ ta có thể tính được E(X), Var(X), Mod(X) ,

Tương tự ta có bảng phân phối xác suất của thành phần Y có dạng:

Y , y i Y2 y m

Py q i Q2 Qui

Từ bảng phân phối xác suất của Y ta cũng có thể tính được E(Y), Var(Y), M o d ( Y ) , . . . .

Thí dụ: Cho biết bảng phân phối xác suất của đại lượng n?ẫu nhiên ĩ

chiều (X, Y) , trong đó X là doanh thu và Y là chi phí quảng cáo của các công ty tư nhân kinh doa#h cùng một mặt hàng như sau (đơn vị tính của X và Y đều là ư i ệ u đồng/tháng):

Y \ v 100 * 150 200 P Y

0 0,1 0,05 0,05» 0 * 1 0,05 0,2 0,15 0,4 2 0 0,1 0,3 OA

Px 0,15 0,35 0,5 1

T ừ bảng phấn phối xác suất của (X, Ỵ) ở trên ta có:

+ Bảng prfỉln phối xác suất của X:


ẽkươíiự 4/Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

% x 100 150 200

0,15 0,35 0,5

Từ đó ta dễ dàng tính được:

E(X) = lOOx 0,15 + 150x 0,35 + 200x 0,5 = 167,5

Tức doanh thu trung bình của một công ty tư nhân là 167,5 t r i ệu đ/tháng.

E ( X 2 ) = 1002x 0,15 + 150 2x 0,35 + 200 2x 0,5 = 29375

Var(X) = E(X2) ~[E(X)]2 = 29375 - (167,5)2 = 1318,75

=> Ơ(X) = Vi 318,75 = 36,3146

Tức là mức chênh lệch trung bình về doanh thu của các công ty vào khoảng 36,3 t r iệu đồng/tháng.

+ Bảng phân phối xác suất của Y:

Y 0 , 1 2

PY 0,2 0,4 0,4

E(Y) = Ox 0,2 + l x 0,4 + 2x 0,4 = 1,2

Tức chi phí quảng cáo trung bình của một công ty tư nhân là 1,2 t r i ệu

đ/tháng. Var(Y) = E ( Y 2 ) - [ E ( Y ) ] 2 = 2 - (1,2) 2 = 0,56

=> Ơ(Y)= y[Õj6 =0,74833

Tức là mức chênh lệch trung bình về chi phí quảng cáo của các công ty vào khoảng 0,748 ư i ệ u đồng/tháng.

2- Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiển 2 chiều

95


Qiáo trình tý thuyết xác í Ị lất và tíiốnợ kè toán

a- Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngầu nhiên hai chiều (X, Y) [ký hiệu là F(x, y)] được định nghĩa như sau:

F(x, y) = P[(X < X)(Y < y)] ( x . y e R )

Như vậy hàm phân phối F(x, y) có miền xác định là R2 và miền giá

trị -là [0, 1]

b- Tính chất:

T ừ định nghĩa, ta có thể chứng minh được các tính chất sau đây của hàm phân phôi:

(ì) 0 < F(x, y) < Ì

(li) F(x. y) là hàm không giảm theo từng đối số

(iii) F(x, -00) = F(-co, y) = 0; F(+oo. +co) = Ì

(iv) V Xi < Xi và yi < y2 ta có:

P[(x < X < x2)(yi < Y < y2)] = F(x2, y2) - Ftx2. yi) -

- F ( X | , y 2 ) + F (Xi ,y i )

(v) F(x,+oo) = P[(X<x)(Y<oo;] = p(X<x) = Fịíx) '

F(+oo, y) = P[(X < co) (Y < y)] = P( Y < y') = F 2 (y ì

trong đó F|(X). F;(y) tưcíng ứng là hàm phân phối ru;.., X và "V

* Hệ quả:

Ì- X. Y độc lập khi và chỉ khi:-F(x, y) = F|(x).F7 (y)

2- Với véc rư ngẫu nhiên 2 chiều (X, Y) rời rạc, ta có:

96


(Hiứưuq 4: (Đại lượng, ngẫu nhiên hai thiều

F ( M ) = ^ p [ ( X = x i ) ( Y = y i ) ]

Xi<XyJ<y

b- p [ ( x , < X < x 2 ) ( y , < Y < y 2 ) ] = 2 > [ ( X = x i ) ( Y = X i ) ]

yi<yj<yi

T r ê n R b iến cố [Xi < X < x 2 ) . ( y i < Y < y 2 ) ] có thê b iểu d iễn là c á c đ i ể m trong hình chữ nhật A B C D (hình vẽ )

y2

y i

A

0 Xi *2 - >

3- H à m m ậ t đ ộ x á c s u ấ t c ủ a đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n h a i c h i ề u

à- Định nghĩa: H à m mật độ xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nh iên hai chiều l iên tục (X, Y) [ký h iệu là f (x , y)] được định nghĩa như sau:

f ( x , y ) = -ỡzF(x,y)

ỡxỡy

b- Tính chất:

• (i)

(ii)

f ( x , y ) > 0 V ( x , y ) e R 2

-KO+CO | J f ( x , y ) d x d y = l

97


(ịiáo trình tụ thuyết xòe mối tui thững, kê toát

x2yi ' ( i u ) p [ ( x , < x < x 2 ) ( y , < Y < y 2 ) ] = j j f ( x , y ) d x d y

*| VI

X y_

y -HO

( iv) F ( x . y ) = J j f ( u , v ) d u d v —eo-00

(V) F,(x) = Ỵịf(x,y)ày ; F2(y) = Ị Jf (x,y)dx

(vi) f , ( x ) = ^ ^ = 7 f ( x , y ) d y

f!(y) = ^ = ]f(x,y)dx

trong đó: f i ( x ) và f 2 ( y ) tương ứng là h à m mật độ xác suất của: X và Y (hàm mật độ xác suất biên)

Hệ quả: X, Y độc lập khi và chỉ khi f(x, y) = f|(x).f2(y)

Thí dụ: Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều

( X , Y ) như sau: í C(2x + y) nếu 2 < X < 6; 0 < y < 5

f(x, y ) = H

L 0 vớ i các giá trị khác của X. y

a-Xác định tham sốc

b- Tim các xác suất: P[(3 < X < 4) (Y > 2)] và P(X > 3)

c- Tim các hàm mật độ xác suất biên: f|(x) và t"2(y)

98


@ỉuỉƠ4iq. 4; (Đai tướng, ngẫu nhiên hai chiều

Giải:

a-+C0+00 6 5

= J j f ( x , y ) d x d y = J j c ( 2 x + y ) d x d y —co—co 2 0

= Jc 2xy + — dx= jc(l0x + 12,5)dx = 210C 2 V 2 )0 ị

c = 1/210

4 5

210

4 5 Ì P[(3 < X < 4) (Ý > 2)] = Ị ị ~ - ( 2 x + y ) d x d y =

3 2

_3_

20

c- H à m mật độ xác suất b iên f i (x ) v à Í2(y)

'5

f L ( x ) = J f ( x , y ) d y =

5 Y í—— (2x + y )dy =

Ì 2 1 Ó

4 x + 5

84

f 2 ( y ) = J f ( x , y ) d x = «Ị Ị 210

0

f — (2x + y ) d x = 2y + 16

105

2 < x < 6

X Ể (2,6)

y e (0,5)

y Ể (0,5)

I U - C á c t h a m s ố đ ặ c t r ư n g c ủ a đ ạ i l ư ợ n g n g â u

n h i ê n h a i c h i ề u

Ì - C á c t h a m s ố đ ặ c t r ư n g c ủ a đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n t h à n h

p h ầ n

Kỳ vọng toan và phương sai của các đ ạ i lượng ngẫu nhiên thành phần được xác định bằng c á c công thức sau đây:

* Nếu (X, Y) rời rạc thì:


Lịìủơ trình íặ t/tiiựếi xòe Mất oà ihốtiq. kè toán

E ( X ) = 2 £ x i p i j ; E ( Y ) = £ 2 > j P i j

UI j=l j=l i - l

n m v a r ( X ) = 2 Z x f P i j - [ E ( X ) ] 2

i=i j=i

var(Y) = |;ẳy>ìj-[E(Y)f j=i i=i

* Nếu (X, Y) liên tục thì:

-HĐ+O0 +00+00 E ( X > = f J x f ( x , y ) d x d y ; E ( Y ) = Ị J y f ( x , y ) d x d y

— CO —Ó)—CO

+00 +00

v a r ( X ) = Ị j x 2 f ( x , y ) d x d y - [ E ( X ) ] 2

—00 —00

+00 +00 v a r ( Y ) = ị j y 2 f ( x , y ) d x d y - [ E ( Y ) ] 2

— 00 —00

2- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai

c h i ề u

ã- Hiệp phương sai:

Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y [ký hiệu là cov(X, Y ) ] được định nghĩa như sau;

cov(X, Y) = E{[x - E(X)Ị[V - E(Y)]}

•= E(XY)-E(X)E(Y)

• Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc thì:


CHuù(4t(ị 4/Đại lường, ngẫu nhiên hai eitiều

c o v ( X , Y ) = S E W l - E ( X ) E ( Y ) UI j=l

• Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều liên tục thì:

+00+00 c o v ( X , Y ) = ị | x y f ( x , y ) d x d y - E ( X ) E ( Y )

-00— co

• Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì :

cov(X, Y ) = 0

Thật vậy, Nếu X, Y độc lập thì E(XY) = E(X)E(Y) K h i đó ta có:

cov(X,Y) = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y ) = 0

• Nếu cov(X, Y) = 0 ta nói X và Y không tương quan, ngược l ạ i , nếu cov(X, Y ) * 0 ta nói X và Y có tương quan, khi đó X, Y là hai b iến ngẫu nhiên không độc lập.

. cov(X, X) = var(X); cov(X, Y) = cov(Y, X) 3

b- Hệ số tương quan

. H ệ số tương quan [ký h iệu là PXY] được định nghĩa như sau:

' c o v ( X , Y ) Pxv =

ơ x ơ ,

trong đó : ơ x ; ơ Y tương ứng là độ lệch chuẩn của X và Y

Có thể chứng minh:

IP.XYI ^ 1

l o i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

ịịừío trình Lí thuyết xòe. luốt oà tháng, kê íơáti

• N ế u X , Y là hai đ ạ i lượng ngẫu nhiên phụ thuộc thì:

o v a r ( X ± Y ) = v a r ( X ) + v a r ( Y ) ± 2 c o v ( X , Y )

© var(aX ± bY) = ũ2 var(X) + b2 var(Y) ± 2abcov(X,Y)

• Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì

vaựx.Y) = [E(Y)]2 var(X) + [E.(X)]Z var(Y) + var(X) var(Y)

Thí dụ: Lãi suất hàng năm của trái phiếu T và cổ phiếu s của một công ty có bảng phân phối xác suất như sau:

-10% 0 10% 20% PT

6% 0 0 0,1 0,1 oa 8% 0 ọ , l 0,3 0,2 0,6 10% 0,1 0,1 0 0 0,2

Ps 0,1 0,2 0,4 0,3 1

N ế u muốn đầu tư t i ền vào cả trái phiếu và cổ phiếu thì nên đầu tư theo tỷ l ệ bao nhiêu đ ể :

(a) Lãi suất kỳ vọng thu được là lớn nhất. (b) ' Đ ộ rủ i ro về lãi suất là nhỏ nhất.

Giải: Từ bảng trên, ta tính được:

E(T) = 6x 0,2 + 8x 0,6 + lOx 0,2 = 8%

var(T) = 62x 0,2 + 82x 0,6 + 102x 0,2 - 82 = 1,6

Tương lự : => Ơ T = 1,2649%

E(S) = -lOx 0,1 + lOx 0,4 + 20x 0,3 = 9%

102


ũhttedtg. 4: (Đai tườiiụ Iiạẫn nhiên hai chiều

E(S) = -lOx 0,1 + lOx 0,4 + 20x 0,3 = 9%

var(S) = (-10)2X 0,1 + 102x 0,4 + 202x 0,3 - 92 = 89

=> ơs = 9,43398%

cov(T, S) = 0,lx 10x (-10) + 0,lx6x 10 + 0,3x8x 10 + 0,1x6x20 + + 0,2x 8x 2 0 - 8 x 9 = - 8

(a) Gọi p là tỷ lệ đầu tư cho trái phiếu (0 < p < 1) và gọi X là lãi suất thu được khi đầu tư cho cả trái phiếu và cổ phiếu thì:

X = pT + (l-p)S

T ừ đ ó : E(X) = pE(T) + (l-p)E(S) = 8p + 9( l -p) = 9- p

Ta thấy E(X) đạt cực đại khi p = 0, tức là khi đầu tư toàn bộ tiền cho

cổ phiếu.

(b) Độ rủi ro được đặc trưng bởi phương sai hoặc độ lệch chuẩn của X. Ta có :

var(X) = p 2 var(T) + ( Ì - p ) 2 var(S) + 2p( 1-p) cov(T, S)

= 106,6 p 2 - I94p + 89

var(X) sẽ đạt cực tiểu khi p = 0,9099437

c- Ma trận hiệp phương sai:

Ta 2Ọ1 ma trận sau đây ỉa ma trận hiệp phương Sui của hai b iến

ngẫu nhiên X , Y:

f c o v ( X , X ) c o v ( X , Y ) ^ _ r v a r ( X ) c o v ( X , Y ) N

C O V ( Y , X ) C O V ( Y , Y ) J ~ [ C Ơ V ( Y , X ) v a r ( Y )

Vì cov(X. Y) = cov(Y. X) nên ma trận hiệp phương sai ỉa ma trận đ ố i xứng


(ịiú& trình Lị thuyết xóa mối oà thống, hê toán

N ế u X , Y không tương quan thì cov(X, Y ) = cov(Y, X ) = 0, kh i đổ ma trận hiệp phương sai là ma trận đường chéo .

IV- Phân phối xác suất có diều kiện và kỳ vọng

t o á n c ó đ i ể u k i ệ n

Ì- Xác suất có điều kiện

Khi cho X = Xk hoặc Y = yic cố định, ta có thể tính được c á c xác suất có đ iều k i ệ n theo các công thức sau:

p[(X = xk)(Y = yj)]_pkj ••' P ( Y = y j / X = x k ) =

P ( X = x k ) j = l , m

T ừ đó ta có thể tìm được phân phối xác suất có đ iều k i ệ n của X (hoặc của Y)

2- Phân phối xác suất có điều kiện

Ta ký hiệu:

P(X= Xj/Ỳ= yk) = P(X= Xi/ yk); P(Y= y/x= xứ = P(Y= y/ xk)

Phân phối xác suất có điều kiện của X (điều kiện là Y = yk)

( X = Xi/Y= y k ) Xi x 2 Xn

P(X = Xi/y k ) P ( X = x , / y k ) P ( X = x 2 / y k ) . . . . P(X= x„/y k )

Kỳ vọng toán có đ iều k i ệ n của đ ạ i lượng ngẫu nh iên rờ i rạc X với

điều k i ệ n Y = y k [ký hiệu là E (X/y k ) ] được định nghĩa như sau:

104


Qhườttq. 4/Đạỉ íuẹitg ngẫu nhiên hai chiều

E ( X / y k ) = £ X i P ( X = x i / y k )

Tương tự, ta có ky vọng toán có điều kiện của Y (điều kiện X = X|c)

E(Y/Xk) = f>.m = yịỉx1t)

Thí dạ: Cho biết bảng phân phôi xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 2 c h i ề u ( X , Y ) , trong đó X là doanh thu và Y là chi phí quảng c á o của c á c cổng ty tư nhân kinh doanh cùng một mặ t hàng như sau (đơn vị tính của X và Y đ ề u rà t r i ệu đồng/tháng):

Ìfi0 150 200 P Y

0 0,1 0,05 0,05 0,2

1 0,05 0,2 0,15 0,4 2 0 0,1 0,3 0,4

Px 0,15 0,35 0,5 1

T ừ bảng t rên ta có : <-.

P(X = 100/Y ,0) = P[(X = 100)(Y = 0)] =M =0, P ( Y = 0) 0,2

Tính tương tự ta được:

P ( X = 1 5 0 / Y = 0) = — = 0,25; P ( X = 2 0 0 / Y = 0) = 0,25

V ậ y phân phối có đ iều k i ệ n của X (điều k i ệ n là Y = 0) như sau:

( X = Xị/Y= 0) 100 150 200

P(X = XiỉY= 0) 0,5 0,25 0,25


{ịiúp trình lý tluuịỂl xác Mất oà thang kê toán

T ừ bảng phân phối xác suất có đ iều k i ệ n ở trên, ta tính được kỳ vọng toan có đ iều k i ện :

E(X/Y=0) = lOOx 0,5 + 150x 0,25 + 200x 0,25 = 137,5

Kết quả này cho biết doanh thụ trung bình của những công ty không quảng cáo (Y = 0) là 137,5 t r iệu đồng/ tháng.

Tính tương tự ta được:

Phân phối có điều kiện của X (điều kiện là Y= 2) như sau:

(X = Xị/Y= 2) 100 150 200

P(X = Xị/Y= 2) 0 0,25 0,75

E(X/Y= 2) = 150x 0,25 + 200x 0,75 = 187,5

Kết quả này cho biết doanh thu trung bình của những công ty có chi phí quảng cáo ở mứcL2 tr iệu đ/ tháng là 187,5 t r iệu đồng/ tháng.

• Hiệp phương sai của (X, Y):

cov(X, Y) = ẸẸxiyjPij -E(X).E(Y) = ' j

= 100x Ox 0,1 + 150x Ox 0,05 + . . . + 200* 2x 0,3 - 167,5x 1,2

= 215-201 = 14

• Hệ sốâTơng quan giữa 2 biến X và Y:

cov(X,Y) 14 PXY = — — - = — — = 0,5153

™ Ơ X Ơ Y 36,3146x0,7483

3- Hàm mật độ có điều kiện

Nếu X, Y không độc lập, hay f(x, y) * f i(x).f2(y)

106


@hưtừtạ 4/Đổi lưọttạ HQỗỉt nhiên hai chiều

Ta g ọ i : f C x / y ) = í £ i Z ) f > ( y )

là h à m mật độ có đ iều k i ệ n của X (điều k i ệ n là Y = y )

Tương tự,

f ( y / x ) - í £ 2 > f , ( x )

là h à m mật độ có đ iều k i ệ n của Y (đ iều k i ệ n là x = x)

Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

-no E ( Y / X = x ) = J y f ( y / x ) d y

-00

+00 E ( X / Y = y ) = J x f ( x / y ) d x

4- H à m h ổ i q u i

H à m h ồ i qui của Y đ ố i với. X là kỳ vọng toán có đ iều k i ệ n của Y (đ iều k i ệ n la X = x)

f ( x ) = E ( Y / X = x )

f(x) cho biết giá trị trung bình của Y sẽ thay đổi như the nào khi X nhận các giá trị khác nhau.

Tương tự, hàm hồi qui của X đối với Y là kỳ vọng toán có điều

k i ệ n của X (đ iều k i ệ n là Y = y)

f(y) = E(X/y = y)

fịy) cho biết giá trị trung bình của X sẽ thay đổi như thế nào khi Y

nhận các giá trị khác nhau.

107


íỳiáty trinh Lị thuyết xúc tuất oà tỊỊúutạ kê toán

C h ư ơ n g 5

H À M C Á C Đ Ạ I L Ư Ợ N G N G Ẫ U N H I Ê N

V À L U Ậ T S Ố L Ớ N

I- Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Trong thực t ế , ta thường gặp trường hợp một đ ạ i lượng ngẫu nhiên là h à m số của một hay nhiều đ ạ i lượng ngẫu nhiên khác . Khi đó nếu b iế t được qui luật phân„phối xác suất của các đ ố i số thì ta có thể tìm được qui luật phân phối xác suất của c á c hàm số tương ứng.

Ì- Qui luật phân phối xác suất của hàm một đại lượng ngẫu

n h i ê n

N ế u vớ i m ỗ i giá trị có thể GÒ của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X , qua h à m f ( X ) , ta xác định được một giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nh iên Y thì Y được g ọ i là hàm của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X :

Y = f(X)

a- Trường, hợp X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc và ứng với các giá trị khác nhau của X ía có các giá trị khác nhau của Y

Trường hợp này, ứng với mỗi giá trị có thể nhận của X ta chỉ có một giá trị có thể nhận của Y , tức:

(X=xi) = [Y=f(xi) = yi] (Vi)

Suy ra:

' P(X= Xi) = P(Y= yo (V i )

108


ŨhưỞ4UỊ. 5: Jốàni của eáe. đại lượng, ngẫu nhiên oà. luật IJỐ lởn.

Thí dụ ỉ: Đ ạ i lượng ngẫu nh iên X có bang phân phối x á c suất như sau:

X 2 3 4

p 0,3 0,5 0,2

2 T ì m qui luật p h â n phố i xác suất của Y = X

Giải: Các giá trị mà Y có thể nhận là:

yi = 22 = 4; y2 = 32 = 9; y3 = 42 = 16

P(X= 2) = P(Y= 4) = 0,3; P(X= 3) = P(Y= 9) = 0,5;

P(X= 4) = P(Ỷ= 16) = 0,2;

Vậy phân phối xác suất của Y như sau:

Y 4 9 16 p 0,3 0,5 0,2

b- Nếu tương ứng với hai (hay nhiều hơn 2) giá trị của X ta có một giá trị của Y

Chẳng hạn ứng với 2 giá trị có thể nhận của X ta chỉ có một giá trị có thể nhận của Y, tức:

(Y=yk) = (X=xt)u(X=Xj)

Do các biến cố (X= Xt) và (X= Xj) xung khắc, áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P(Y=yk) = P(X= xt) + P(X=Xj)

Thí dụ 2: Đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

109


éịiáữ trình bị tluiụẾt xòe, mủi tui thống, kè toán

X - 2 1 2

p 0,1 0,4 0,5

T i m qui luật phân phối x á c suất của Y = X

Giải: Ta có: khi X = - 2 thì Y = ( - 2 ) 2 = 4; khi x = Ì thì Y = Ì 2 = Ì;

K h i X = 2 thì Y = 4 ; Như vậy:

( Y = 4 ) = [ ( X = - 2 ) U ( X = 2 ) ]

Do đó: P ( \ = 4) = P(X= - 2 ) + P(X= 2) = 0,6

Và: P(Y= 1) = P(X= ì) = 0,4

V ậ y qui luật phân phối xác suất của Y như sau:

Y 1 4

p 0,4 0,6

c- Trường hợp X tò đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Giả sử đ ạ i lượng ngẫu nh iên X l iên tục v ớ i h à m mật độ xác suất

f (x) đã b iế t và Y la ham số của X : Y = f ( X )

Có thể chứng minh được rằng: Nếu Y = f(X) là hàm khả vi, đơn

đ iệu tăng hoặc đơn đ iệu g iảm, có h à m ngược là X = *F(y) thì hàm mật độ xác suất (p(y) của đ ạ i lượng ngẫu nhiên Y được xác định bằng b iểu thức:

9(y) = f [ v ĩ ' ( y ) ] | T ' ( y ) |

2- Qui luật phân phối xác suất của hàm hai đại lượng ngẫu

n h i ê n

I U


thường. 5: Vỗàm cùa các đại lưựnạ ngẫu nhiên oà luật iế lán

N ế u ứng vớ i m ỗ i cặp giá trị có thể nhận của hai đ ạ i lượng ngẫu nhiêri X và z có một giá trị có thể nhận của đ ạ i lượng ngẫu nh iên Y thì Y được g ọ i là h à m của 2 đ ạ i lượng ngẫu nhiên X và z

Y = q>(X, Z)

Nếu biết được qui luật phân phối xác suất của X và z, ta có

t h ể t ì m được qu i l u ậ t p h â n p h ố i x á c suất của Y = (p(X, Z)

Để tìm các giá trị mà Y có thể nhận và tính các xác suất tương ứng của Y người ta thường t i ế n hành l ập bảng, Đ ể b iế t cách l ập bảng n à y la x é t mộ t thí dụ sau đây :

Thí dạ: Có 2 máy cùng sản suất một loại sản phẩm, tỷ lệ sản phẩm l o ạ i A của máy thứ nhất là 0,8; của m á y thứ hai là 0, 7; L ấ y 3 sản phẩm do m á y thứ nhất sản xuất và Ì sản phẩm do m á y thứ hai sản xuất đ ể k i ể m tra. T i m quy luật phân phối xác suất của số sản phẩm l o ạ i A có trong 4 sản phẩm lấy ra từ hai m á y đ ể k i ể m tra ?

Giải: Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm lấy ra từ máy thứ nhất đ ể k i ể m tra. D ễ thấy rằng X ~ B(3; 0,8). N ê n ta dễ d àng tìm được bảng phân phối xác suất của X như sau:

X 0 1 2 3

p 0,008 0,096 0,384 0,512

G ọ i z là số sản phẩm l o ạ i A có trong Ì sản phẩm lấy ra từ m á y thứ hai đ ể k i ể m tra z ~ B ( l ; 0,7). Bảng phân phối xác suất của z n h ư

sau: z 0 1

p 0,3 0,7

G ọ i Y là số sán phẩm l o ạ i A có ương 4 sản phẩm lấy ra từ hai m á y

đ ể k i ể m ư a thì: Y = x + Z

H ỉ


íịiáo trình, lý. thuyết xòe, mất oà. thống, kẻ toán ì

tức Y là h à m của hai đ ạ i lượng ngẫu nh iên X và z .

Để tìm qui luật phân phối xác suất của Y, trước hết ta tìm các giá

trị mà Y có t h ể nhận. M u ố n vậy ta l ập bảng như sau:

0 1 2 3 z \

0 0 1 2 3 1 1 2 3 4

Trong bảng trên dòng X ta ghi các giá trị mà X có thể nhận. (trong thí dụ ta đang xét , X có thể nhận các giá trị 0, Ì , 2, 3)

Cột z ghi cạc giá trị mà z có thể nhận. Trong thí dụ này, z'chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: 0 hoặc 1;

Các ô còn lại ta ghi các giá trị mà Y có thể nhận. Để xác định các giá trị này ta căn cứ vào b i ểu thức của h à m b i ểu đ iển m ố i quan hệ giữa Y vớ i X và z , trong thí dụ ta đang xé t b i ểu thức h à m n à y có dạng: Y = X + z , đồng thời căn cứ v à o giá trị của X và z ở cột và dòng tương ứng.

Chẳng hạn: Y nhận giá trị 0 khi X = 0 đồng thời z = 0;

Y = l khi x = 0 đồng thời z = Ì hoặc X = Ì đồng thời z = 0 (tương ứng vớ i hai ừường hợp này t rên bảng có hai ô ghi số 1)

Vậy các giá trị mà Y có thể nhận là: 0, Ì, 2, 3, 4.

Ta có thể biểu diễn việc phân tích ề Xiên dưới dạng tổng và tích các b iến cố như sau:

(Y= 0) = [ (X = 0)(Z = 0)]

( Y = 1) = [ (X = 0)(Z = 1)] u [ ( X = 1)(Z = 0)]

( Y = 2) = [ (X = 2)(Z = 0)] u [ ( X = 1)(Z = 1)]

112


(Phương. 5: 7Càm eủa eáe đại /ưựttạ ngẫu nhiên g ã luật tố lởn

( Y = 3) = [ (X = 2)(Z = 1)] u Ĩ (X = 3)(Z = 0)]

( Y = 4 ) = [ (X = 3 ) ( Z = 1 ) ]

Á p dụng công thức cộng xác suất và công thức nhân xác suất, ta tính các x á c suất tương ứng vớ i các giá trị của Y như sau:

P(Y = 0) = P(X = 0).P(Z = 0) = 0,08. 0,3 = 0,0024

• P(Y = 1) = P(X = 0).P(Z = 1) + P(X = 1).P(Z = 0)

= 0,008. 0,7 + 0,096. 0,3 = 0,0344

P(Y = 2) = P(X = 2).P(Z = 0) + P(X = 1).P(Z = 1)

= 0,384. 0,3 + 0,096. 0,7 = 0,1824

P(Y = 3) = P(X = 2).P(Z = 1) + P(X = 3).P(Z = 0)

= 0,384. 0,7 + 0,512. 0,3 = 0,4224

P(Y = 4) = P(X = 3).P(Z = 1) = 0,512. 0,7 = 0,3584

V ậ y ta có qui luật phân phối xác suất của Y như sau:

Y 0 1 '-. 2 3 4

p 0,0024 0,0344 0,1824 0,4224 0,3584

• Trường hợp X, z là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục

C ó thể chứng (ninh được rằng: h à m mật độ xác suất (p(y) của Y (Y = X + Z) được xác định theo công thức:

y ' y cp(y)= J f 1 ( x ) f ỉ ( y - x ) d x Hoặc: Ịf, (y - z ) f 2 (z)dz

f ị và Ỉ2 là các h à m mật độ xác suất của X và z tương ứng [vớ i đ iều k i ệ n là khi một trong 2 hàm n à y . x á c định trong khoảng (-00, +oo) bằng một b i ểu thức]

113


íịiá& trịnh dị t/uiụết xác xuất MÌ thống, kê toán

3- C á c t h a m s ố đ ặ c t r ư n g c ủ a h à m c á c đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n

Giả sử đạ i lượng ngẫu nhiên rờ i rạc X có phân phối xác suất như sau:

X Xi x 2

p P' P2 Pn

Ta cần tìm kỳ vọng toán và .phương sai của đ ạ i lượng ngẫu nhiên Y

[Y = (p(X)]. Các tham số đặc trưng này được xác định bằng các công thức sau:

E(Y) = E[(p(X)]=ịọ(xi)pi

Var(Y) = Var[<p(X)] = £<p2(x,)Pl -[E(Y)]2

i = l

* Nêu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f (x) thì kỳ vọng toán và phương sai của đ ạ i lượng ngẫu nhiên Y = (p(X) được xác định bằng công thức:

•KO E(Y) = E [ Ọ ( X ) ] = J (p(x)f (x)dx

-co

+00 Var (Y) = Var[(p(X)] = J(p 2 ( x ) f ( x )dx - [ E ( Y ) ] 2

-00

li- Luật số lớn

Như ta đã thấy ở các phần trước, không thể dự đoán trước một cách chắc chắn đạ i lượng ngẫu nhiên sẽ nhận giá trị nào trong các giá trị có thể nhận của nó khi thực h iện phép thử , vì đ iều đó phụ thuộc vào rất nhiều nguyên nhân mà ta không thể tính hế t được. Nhưng nếu ta


thường. 5: 7õàtii của các đại lường. Iiạẫii nhiều oà luật tá' lân

xét đồng thời một số lớn các đại lượng ngẫu nhiên thì tính "ngẫu nh iên " của h i ện tượng mất đi và qui luật tất nhiên của nó được thể h iện .

Đối với thực tiễn thì điều quan trọng là phải xác định các điều

k i ệ n trong đó tác động đồng thời của nhiều nguyên nhàn niiẫn nhiên sẽ dẫn đ ế n k ế t quả gần như không phụ thuộc gì vào các y ế u tô ngẫu nh iên nữa và khi đó ta có thể dự đoán được t i ến ư ình của h iện tượng. C á c đ iều k i ệ n này được chỉ ra trong các định lý có tên là luật số lớn. Định lý Chebyshev là định lý tổng quát nhấí của luật số lớn, còn định lý Bernoulli là định lý đơn giằn nhất.

Để chứng minh' các định lý này ta sử dụng bất đẳng thức Chebyshev.

Ì- Bất đẳng thức Chebyshev

C ó t h ể chứng minh được rằng: N ế u X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng toán và phương sai hữu hạn thì vớ i m ọ i số dương s bé tùy ý,

ta đ ề u có :

V a r ( X ) P ( | X - E ( X ) 1 < £ ) > 1 -

E 2

B ấ t dẳng thức Chebyshev còn được b iểu d iễn dưới dạng khác như

sau: V a r ( X )

P ( | X - E ( X ) ị > 8 ) < s 2

v ề mặ t thực t iễn , bấ t đẳng thức Chebyshev ít có ý nghĩa vì nó chỉ cho p h é p đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất đ ể đ ạ i lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị sai lệch so vớ i kỳ vọng toán của nó bé hơn hoặc nhỏ hơn một số dương s bé tùy ý chơ trước nào đó . Nhưng về

mặ t lý thuyết, bất đẳng thức Chebyshev có ý nghĩa rất lớn, nó được sử dụng đ ể chứng minh các định lý của luật số lớn.

115


íịiáú trình lự thuyết xòe. Mất OÀ tkếttạ kẻ toán

Thí dụ: Thu nhập trung bình của các hộ gia đ ình ở một vùng là 900 USD/năm và độ lệch chuẩn là 120 USD. H ã y xác định khoảng thu nhập xung quanh giá trị trung bình của ít nhất 95% hộ gia đ ình ô

vùng đó .

Giải: Gọi X là thu nhập của một hô gia đình ở vùng này thì X là đại lượng ngẫu nhiên với qui luật phân phối chưa b iế t , nhưng E(X) = 900

và a x = 120.'Do đó theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có:

p(jx-E(X)|.<e)>l-^^ y 6

. ì . = > P ( ị x - 9 0 0 | < e ) > l - ^ y - = 0,95

£

Từ đó ta tìm được s = 536,656

Vậy ít nhất 95% hộ gia đình ở vùng đó có thu nhập hàng năm nằm trong khoảng (900 - 536,656; 90Ọ + 536,656) tức thu nhập của các hộ gia đình trong khoảng (363,344;• 1436,656) USD/năm.

2- Định lý Chebyshev

Nếu các đại lượng ngẫu nhiên X[, X2 , xn độc lập từng đôi, có kỳ vọng toán hữu hạn và các phương sai đ ề u bị chặn t rên bở i

hằng số c [Var(Xị) < c ; V i = thì Ve > 0 bé tùy ý cho trước ta luôn có:

Lim P(|-ẳXi-lẳE(Xi)|<6) = l li t i n t i

Ị n Chứng minh: Xé t đai lương ngẫu nhiên: X = - Y x

n t r Ta có :

116


@hưư4iạ 5: Jôàm của oán đại tường, ngẫu nhiều oà luật- úi lứt Ị

E ( X ) = E Ị n \ Ị n

\ n t í ) n t í

Ì X2- 1 T 2-

yntỉ ) n i = l

Var( X ) = Var

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho đại lượng ngẫu nhiên X ta

có : , , V a r ( X ) , X V a r ( X i )

< £ ) > ! - - ^ 7 ^ = 1 - — Ì ; P ( | X - E ( X ) | n 2 . e 2

Theo giả thiết : Var(Xị) < c (V i = 1,«). Do đó, trong b i ểu thức trên,

nếu ta thay m ỗ i Var(Xi) ( i = 1,«) bằng c thì bất đẳng thức sẽ chỉ

mạnh thêm.

P ( | X - E ( X ) | < s ) * l - - ~ 5 - = l - - £ r

n .e n.e

L ấ y g iớ i hạn cả hai v ế khi n - » 00 ta có:

- 4 c L i m P ( l X - E ( X ) I < e ) > L i m ( l - -—J) = Ì n-»oo .n-»« n_g

Ta chú ý rằng, xác suất của b i ến c ố không thể lớn hơn 1. Do đó :

L i m P | x - E ( X ) | < e ) = l

Đó là điều cầaphải chứng minh.

• Trường hợp riêng của định lý Chebyshev

N ế u X i , X 2 , . . . , x n là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập từng đôi ,

có c ù n ể kỳ vọng toán, [E(Xị) = a ( V i = Ị ,H) ] thì Ve > 0 bé tùy ý ta-

luôn có :

117


L i m P n—>00

ì JQ_

ni*' < 6 = 1

• Bản chất của định lý Chebyshev

I •!.!•; r i u In vhcv Jã chứng tỏ sự ổ n định của ưung bình số học của một số lớn các đ ạ i lượng ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học các kỳ vọng toán của các đ ạ i lượng ngẫu nhiên ấy.

Như vậy, mặc dù từng đ ạ i lượng ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị sai khác nhiều so với kỳ vọng toán của chúng, nhưng trung bình sù học của một số lớn các đ ạ i lượng ngẫu nhiên l ạ i nhận giá trị gần bằng trung bình số học của các kỳ vọng toán của chúng vớ i xác suất rất lớn'. Đ iều đó cho phép dự đoán giá trị giá trị trung bình số học của đ ạ i lượng ngẫu nhiên.

Trong thực tế, định lý Chebyshev được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Chẳng hạn, trường hợp r iêng của nó là cơ sở cho phương pháp đo lường trong vậ t lý. Như chúng ta đ ề u b iế t , đ ể xác định một đ ạ i lượng n à o đó , người ta thường t i ến hành đo nh iều lần và l ấy ừung bình số học của các k ế t quả đo ấy l àm giá trị thực của đ ạ i lượng cần đo .

Thật vậy: ta có thể coi kết quả của n lần đo là các đại lượng ngẫu

nhiên Xị, X2, . . . , X n . Các đ ạ i lương này độc lập từng đôi , có cùng kỳ vọng toán (kỳ vọng toán của các đ ạ i lượng ngẫu nhiên này chính là giá trị thực của đ ạ i lượng cần đo) và phương sai của chúng đ ề u bị chặn trên bởi chính độ chính xác của th iế t bị dùng đ ể đo. Vì t h ế

theo trường hợp r iêng của định lý Chebyshev thì trung bình số học của các kế t quả đo sẽ sai lệeh rấ t ít so với giá trị thực của đ ạ i lượng cần đo và điều đó xảy ra vớ i xác suất gần bằng 1.

Định lý Chebyshev còn là cơ sở cho một phương pháp được áp dụng rộng rãi trong thống kê là phương p h á p mẫu mà thực chất là

118


(?ilười UI 5: JCtưn cua eáe đai Ixíđ4iạ ngẫu nhiên oà Lưu lơ lởn

dựa v à o một mẫu khá nhỏ ta có thể k ế t luận về toàn bộ tập hợp các đ ố i tượng cần nghiên cứu.

Chẳng hạn để đánh giá năng suất cây trồng ở một vùng nào đó người ta không cần phải đ iều tra toàn bộ d iện tích trồng l o ạ i cây này mà chỉ cần dựa vào k ế t quả thu hoa ch cửa một mẫu mà vẫn đưa ra được các k ế t luận đủ chính xác về năng suất cây trồng của vùng đó .

3- Định lý Bernoulỉi

Nếu Fn là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lập và p là xác suất xuất h i ện b i ến c ố trong m ỗ i phép thử đó thì vớ i m ọ i e dương b é tùy ý , ta luôn luôn có:

Lim p(| Fn - p I < E) = Ì

Chứng minh: Gọi X là số lần xuất hiện biến cô A trong n phép thử

độc lập. X i (ỉ = ỉ,n) là số l ần xuất hiện b iến cố A trong phép thử thứ

I I >0 thú > M ne X j có phân phối xác suất như sau:

X i 0 1

p q p Trong dỏ .

q = Ì - p , Tri thấy: X li

i = l

V i=l

.2

iu \ n £ x i = £ E ( X , ) = n p

) i=i E(Xi) = o.q + l .p = p => E(X) = E

Var(Xị) = E( X?) - [E(Xi)]2 = p - p2 = p(l - p) = p.q

í n ^ " => Var(X) = Var X x . = L V a r ( X . ) = ' n P ( l

i=i

119


íịiáữ trình tụ. thuyết xòe, mất oà. tháng, kê tơón

Xét đ ạ i lượng ngẫu nhiên F n = — . Ta thấy F n chính là tần suất n

xuất h iện b iến cố A ương n p h é p thử độc l ập . '

E Í F n ) = E X Ì Ì - = - E ( X ) = - n . p = p

v n j n n

Var(F n ) = Var 1 V a r ( X ) = ^ U H n n n

Áp đụng bất đẳng thức Chebyshcv cho đa i lưrtng ngẫu nh iên F n ta

có:

P ( | F n - p | < e ) > l - - £ ị n.£^

L ấ y giới hạn cả 2 v ế khi n - > 00 ta có:

L i m P ( | F n - p | < s ) > L i m ( Ì - ^ 4 ) = Ì ne

M ặ t khác , vì xác suất không thể lớn hơn Ì , do đó:

Lim P(| fn - p| < e) = Ì

* Ý nghĩa:

Định lý Bernoulli chứng minh sự h ộ i tụ theo xác suất của t ầ n suất xuất h iện .biến cố trong n phép thử độc lập v ề xác suất xuất h i ện b iến cố đó trong m ỗ i p h é p thử khi số p h é p thử tăng l ên vô hạn. N ó chứng tỏ sự ổn định của tần suất xung quanh giá trị x á c suất của b i ến

cố đó . Định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết cho định nghĩa thống k ê của xác suất, do đó nó cũng là cơ sở cho m ọ i áp dụng định nghĩa

thống kê của xác suất trong thực t ế .

120


&uứfrtạ ó: Mẫu ngẫu nhiên

P h ầ n 2

T H Ô N G K Ê T O Á N

Thống kê toán là bộ môn toán học nghiên cứu qui luật của các hiện tượng ngẫu nh iên có tính chất số lớn trên cơ sở thu thập và xử lý các số l i ệ u thống k ê - các k ế t quả quan sát. Như vậy nội dung chủ y ế u

của thống kê toán là xây dựng các phương pháp thu thập và xử lý c á c số1 l i ệ u thống kê nhằm rút ra các kế t luận khoa học. Các phương p h á p thống k ê toán là công cụ đ ể g iả i quyết nhiều vấn đề khoa học và thực t i ễ n nảy sinh trong các lĩnh vực khác nhau của tự nhiên và kinh t ế xã hộ i .

C h ư ơ n g 5: M Ẫ U N G Ẫ U N H I Ê t y

I- Tổng thể

Ì- Kh4i niệm

K h i nghiên cứu các vấn đề kinh te - xã hộ i , cũng như nhiều vấn đề

thuộc các lĩnh vực khác , người ta thường phải khảo sát m ộ i hay một số dấu h iệu định tính hay định lượng nào đó. Các dấu h iệu này thể h i ện t rên nhiều phần tử khác nhau. Tập hợp tất cả các phần tử chứa đựng thông tin về các dấu h iệu ta cần nghiên cứu được gọ i là tập

hợp chính hay tổng thể. ~ >

Chẳng hạn, một doanh nghiệp cần nghiên cứu tập hợp các khách

121


QiáA trình bị ưuujẤ't xác uiất nả thấtig. kê toán

hàng của mình theo các dấu h iệu như: mức độ hài lòng của khách hàng về sản phẩm hay dịch vụ của doanh nghiệp (dấu h i ệu định tính) hoặc nghiên cứu theo dấu h iệu định lượng là nhu cầu của khách hàng về số lượng sản phẩm của doanh nghiệp. Trong trường hợp này thì tạp hợp gồm tất cả các khách hàng của doanh nghiệp là tổng thể.

Đối với tổng thể, ta sử dụng một số khái niệm và ký hiệu sau đây:

• N: Số phần tử của tổng thể và được gọi là kích thước của tổng thề.

Kích thước của tổng thể phụ thuộc vào vấn đề và phạm v i nghiên

cứu.

• X* : Dấu hiệu ta cần khảo sát, nghiên cứu (trong kinh tế thường gọi là chỉ tiêu).. Dấu hiệu nghiên cứu có thể là định tính hoặc định lượng. Cần nhấn mạnh rằng, khi nói nghiên cứu một tổng thể có nghĩa là ta

nghiên cứu dấu hiệu X* được thể h i ện t rên các phần tử của tổng thể.

• Xi (i = 1,2, k) là các giá trị của dấu hiệu X* đo được trên các

phần tử của tổng thể. Xi là những thông tin cần th iế t đ ể ta nghiên cứu

về dấu h iệu x \ còn các phần tử của tổng thể là những đ ố i tượng

mang thông tin.

• Ni (i = Ì, 2, .... k): Tần số của Xi - là số phần tử nhận giá trị Xj.

* Pi Ú = i, 2 k): Tần suất của X, - là tỷ số giữa tần số của Xi và

* , N i B / £ kích thước tống thế: pi - — - . Ta luôn luôn có 2 ^ p ' - l -

2- Các phương pháp mô tả tổng thể

E>ề mô tả một tổng thể ta có thể dùng bảng phân phối tần số. Dạng .•Sr.ỹ quá : của bả n ỉ này như sau:


&UÌƯIUỊ ó: MÂU IUỊỖU nhiều

Bảng 6.1

Giá trị của X * Xi x 2 x k .

T ầ n số (Ni) N i N 2 N k

k H i ể n nhiên: 0 < N i < N và ta luôn có: 2 ^ N ; = N

i=l

Ta cũng có.thể mô tả tổng thể bằng bảng phân phối tần suất. Dạng tổng quá t của bảng này như sau:

Bảng 6.2

Giá trị của X* Xi x 2 x k

T ầ n suất (Pi) Pl P2 Pk

k Ta luôn luôn có: 0 < Pi < Ì và ] T p í = 1 .

i=l

* Chùy: Bảng (6.1) và (6.2ì,ró thổ lập dưới dạng cột.

Về hình thức, bảng phân phối tần suất của tổng thể tương tự như bảng phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên rời rạc. Nó phản ánh cơ cấu của tổng thể .

3- Các số đặc trưhg của tổng thể

Bảng 6.1 (hoặc 6.2) mô tả một cách đầy đủ những thông tin về

dấu h iệu X* nhưng cũng khó mà nhớ được những thông tin chi t i ế t

này . Vì vậy , trong thực t ế người nghiên cứu thường quan tâm đ ế n

những thông tin tổng hợp phản ánh những khía cạnh quan trọng nhất của tổng thể theo dấu h iệu nghiên cứu. Những thông tin này được phẩn ánh qua các số đặc trưng sau đây:


cịiáo trình Lị thuyết xác mất oà. tlÚHtọ. kê tữáiL

Ì- Trung bình của tổng thể

Trung bình của tổng thể (ký hiệu là ịi), được xác định theo công thức: .

k H = 2 > i P i (6.3)

i = l

2- Phương sai của tổng thể

Phương sai của tổng thể (ký hiệu là ơ2) được xác định theo công thức:

k

• i = l I

3- Độ lệch chuẩn của tổng thể

Độ lệch chuẩn của tổng thể (ký hiệu là ơ) được xác định theo công thức:

ơ=Vỡr (ỂL5).

4- Tỷ lệ tổng thể

Tỷ lệ tổng thể (ký hiệu là p) được định nghĩa như sau:

Giả sử tổng thể gồm N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất M

Ạ . Gọi p = — là tỷ l ệ các phần tử có tính chất A của tổng thể (hay

gọi tắt là tỷ lệ tổng thể), p cũng chính là xác suất lấy được phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể.

Thí dụ: Ngành cao su có 500.000 công nhân. Để nghiên cứu mức

sống của họ, người tá khảo'sát chỉ tiêu X* :" Thu nhập thực tế của công nhân ngành cao su" và giả sử thu được các số l i ệ u cho ở bảng sau:


ót lứtfi tạ ó: Mẫu ngẫu nhiên

Bảng 6.6

Thu nhập số công nhân . T ầ n suất

X* (ngàn/ tháng) (Ni) (Pi) 500 50.000 0,10 600 70.000 0,14 700 150.000 0,30 800 120.000 0,24

900 55.000 0,11 1000 30.000 0,06 1100 25.000 0,05

Tống 500.000 1,00

T ừ bảng 6.6 ta tính được:

• Thu nhập trung bình của công nhân ngành cao su (trung bình tổng

thể) là; l i = 500x 0,1 + 600x 0,14 + 700x 0,3 + 800x 0,24 +

+900x 0,11 + lOOOx 0,06 + Ì lOOx 0,05 = 750 ngàn đồng.

• Phương sai của thu nhập (phương sai của tổng thể):

ơ 2 = (500 - 750) 2.0,1 + (600 -750) 2 .0,14 + (700 - 7 5 0 ) 2 0,3 +

+ (800 - 750) 2.0,24 + (900 - 750)2.0,11 + (K)00 - 750) 2 0,06

+ (1100-750) 2 .0,05 =23100

• Độ lệch chuẩn của thu nhập (độ lệch chuẩn của tổng thể):

ơ = V23100 = 151,987

• Tỷ l ệ công nhân có thu nhập cao của ngành cao su (tỷ l ệ tổng thể) : N ế u ta coi những công nhân có mức thu nhập từ 1000 (ngàn đồng)

- t rở l ên là những người có thu nhập cao thì tỷ l ệ công nhân có thu

nhập cao của n ^ n Ị i cao su Jà:


4ỳiá& bình bị tluiụết xác tuất oà tliếnạ kê tơÓMi

30000 + 25000 _ n = •— = 0,11 hay 1 1 % F 500000

li- Khái niệm mẫu

Đ ể nghiên cứu tổng thể theo một hay một số dấu h iệu n à o đó ta cần nghiên cứu toàn bộ các phần tử của tổng thể , tức là thống kê toàn bộ táp hợp và phân tích từng phần tử của nó theo dấu hiệu nghiên cứu. Chẳng hạn đ ể nghiên cứu dân số của một nước theo các dấu h iệu như: giới tính, độ tuổ i , nghề nghiệp, trình độ học vấn , nơi cư trú, . . . . ta phải t i ến hành tổng đ iều tra dân sô và phân tích từng người theo các dấu h iệu trên sau đó tổng hợp cho toàn bộ dân số của cả nước. Tuy nhiên trong thực t ế cách l àm này gặp phải những khó khăn sau đây:

• N ế u kích thước của tổng thể quá lớn thì v iệc nghiên cứu toàn bộ phải chịu chi phí lớn về t i ền của, thời gian, nhân lực, phương t i ện , . . . dễ xảy ra sai sót trong quá trình thu thập thông tin ban đầu, hạn chế

độ chính xác của k ế t quả phân tích.

• Nếu các phần tử của tập hợp lại bị phá hủy trong quá trình điều

tra thì phương pháp nghiên cứu toàn bộ trở thành vô nghĩa . Chẳng hạn: đ ể k i ể m tra chất lượng của các hộp sữa do một hãng sản xuất thì ta không thể mở tất cả các hộp sữa do hãng này sản xuất đ ể k i ể m tra được.

• Có những trường hợp ta không thể xác định được )àn bộ các phần tử của tổng thể . Trường hợp này thường xảy ra trong v iệc đ iều

tra các vấn đề thuộc về lĩnh vực xã h ộ i học. Chẳng hạn: đ iều tra

những người nghiện ma túy, những người nh iễm H I V , những trẻ vị thành niên phạm pháp Trong các trường hợp đó ta cũng không

thể t i ến hành đ iều tra toàn bộ được vì cùn một bộ phận khá lớn chưa phát h iện được nên không thể xác định được toàn bộ số phần tử của tổng thể.

126


CHuùttiq. ó: Mẫu ngẫu nhiên.

Vì vậy , từ t h ế kỷ 17, phương pháp nghiên cứu mẫu đã ra đ ờ i , ngày càng phát t r iển và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. T ư tưởng cơ bản của phương p h á p mẫu như'sau:

T ừ tổng-thể ta l ấy ra n phần tử và đo lường giá trị của dấu h iệu X* trên chúng, n phần tử này lập n ê n một mẫu. s ố phần tử của mẫu (n) được g ọ i là kích thước mẫu. thông thường kích thước của mẫu nhỏ hơn nhiều so với kích thước của tổng thể . Vì vậy ta có khả năng thực t ế đ ể thu thập, xử lý và khai thác thông tin mẫu một cách nhanh chóng, toàn d iện hơn. Sử dụng các phương pháp toán học (đặc b iệ t là lý thuyết xác suất), người ta t i ến hành suy rộng k ế t quả nghiên cứu t rên mẫu cho toàn bộ tổng thể , đó là mục đích cuối cùng của phương pháp mẫu.

Để đạt được mục đích trên thì mẫu phải đại diện cho tổng thể. M u ố n vậy, khi lấy mẫu phải đảm bảo tính ngẫu nhiên, không chọn mẫu theo một tiêu chuẩn chủ quan đã định trước.

Trong thực t ế có nhiều cách l ấy mẫu:

Ì- Lấy mẫu ngẫu nhiên:!

Ta đánh số các phần tử từ Ì đến N (N là số phần tử của tổng thể),-Đ ể có một mẫu kích thước n, ta- có thể dùng bảng số ngẫu nhiên ' hoặc dùng cách bốc thăm để lấy cho iu n phần tử vào mẫu.

Bằng cách này, mỗ i phần tử của tỏng thể đều có khả năng dược chọn vào mẫu như nhau.

2- Chọn mẫu cơ giới:

Các phần tử của tổng thể được đưa vào mẫu cách nhau một khoảng xác định. Chẳng hạn, trên một dây chuyền sản xuất, cứ sau một

khoảng thời gian t nào đó l ạ i lấy ra một sản phẩm đ ể đưa vào mẫu.

3- Chọn mẫu bằng cách phân lớp:

n i


4ịỉá& trình lự. thuyết xác Mất oà tìt éhiạ UẾ IOÚML

Ta chia tổng thể thành một số lớp theo một chỉ tiêu phụ nào đó, sao cho các phần tử trong m ỗ i lớp đồng đ ề u hơn. Sau đó mới lấy ngẫu nhiên từ mỗ i lớp một số phần tử đ ể đưa vào mẫu. Cách chọn mẫu này thường được áp dụng khi phạm vi nghiên cứu rộng, số lượng phần tử của tổng thể quá lớn.

Việc lấy mẫu được tiến hành chủ yếu theo 2 phương thức:

a- Lấy mẫu có hoàn lại (có lặp)

Phương pháp này được áp dụng khi tập hợp chính có ít phần tử. Theo phương thức này, m ỗ i l ần l ấy vào mẫu chỉ một pịiần tử. Sau khi đã được nghiên cứu ta trả l ạ i phần tử đỏ vào tập hợp chính trước khi lấy phần tử t iếp theo.

Như vậy, vớ i cách l ấy này , một phần tử có thể xuất h i ện nhiều lần trong mẫu.

b- Lấy mẫu không hoàn lại (không lặp)

Theo cách l ấy này, phần tử được l ấy ra nghiên cứu sẽ bị l o ạ i hẳn ra khỏi tạp hợp chính.

Trong thực tế, nếu kích thước của tổng thể khá lổn thì phương thức lây mẫu có hoàn l ạ i và không hoàn l ạ i cho ta k ế t quả sai lệch nhau không đáng kể . Đặc b iệ t khi kích thước của tổng thể là vô hạn CÒIL-kích thước của mẫu là hữu hạn thì không có sự khác b iệ t giữa hai phương thức lấy mẫu. Lúc đó có thể chọn mẫu theo phương thức không hoàn l ạ i mà vẫn xem như mẫu được chọn theo phương thức có hoàn l ạ i .

Việc lựa chọn phương pháp lấy mẫu phụ thuộc vào mục đích, đối tuỢng.nghiên cứu và đ iều k i ệ n t i ến hành. Trong giáo trình này , để thuận t iện cho việc mô hình hoa ta giả th iế t mẫu được thành lập theo phương thức có lặp.

128


&uỉđti(Ị Ó: Mẫu ngầu /thiền

H I - M ô h ì n h x á c s u ấ t c ủ a t ổ n g t h ể v à m ẫ u

Ta có thể dùng công cụ toán học để mô tả và khái quát các khái n i ệm: tổng thể , dấu h iệu ngh iên cứu và mẫu đã nêu ở phần trên. Tức là x â y dựng mô hình toán học của chúng.

Ì- Đại lượng ngẫu nhiên góc và qui luật phân phối gốc

Từ bảng 6.1 (hoặc 6.2) ta thấy có thể mô hình hoa dấu hiệu X* bằng m ộ t đ ạ i lượng ngẫu nhiên.

Thậ t vậy, nếu l ấy ngẫu nh iên từ tổng thể ra một phần tử và gọ i X là giá trị của dấu h iệu X* đo được ư ê n phần tử l ấy ra đó thì X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau

Bảng 6.7

X Xi Xi Xi Xk p P I P2 Pi Pk

N h ư vậy dấu h iệu mà ta nghiên cứu (X*) được mô hình hóa bởi đ ạ i lượng ngẫu nhiên X . Qui luật phân phối xác suất của X được g ọ i

, , ì. là qui luật phân phôi góc.

2- Các tham số của đại lượng ngẫu nhiên gốc

a- Kỳ vọng toán: Với qui luật phàn phối xác suất (6.7) của X. Theo định nghĩa, kỳ vọng toán của X sẽ là:

E(X) = £xiPi

i = l

So sánh với (6.3) ta thấy trung bình của tổng thể chính là kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên gốc X: ịx = E(X)

b- Phương sai: Theo định nghĩa của phương sai ta có:

129


(ịiáữ trình bị thuyết xát Mất où điếng, kê tơáit

V a r ( X ) = Ề [ X i - E ( X ) ] 2

P ; i = l

Nhưng E(X) = l i , Do đó :

V a r ( X ) = Ề ( x , - | i ) 2 p ?

i=I

So sánh với (6.4) ta thấy phương sai của tổng thể chính là 2

phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc X: ơ = Var (X)

3- Mầu ngẫu nhiên.

Giả sử l ấy ra n phần tử từ tổng thể , tạo n ê n một mẫu có kích thước

n theo phương-pháp có hoàn l ạ i . G ọ i X j là giá trị của dấu h i ệu X đo được t rên phần tử thứ i ( i = Ì, 2, . . . , n). Vì các phần tử được lấy ra

theo phương thức có hoàrt l ạ i nên X i , %2, . . . , x „ là các đ ạ i lượng ngẫu nhiêiTđộc lập, có qui luật phân phối xác suất giống vớ i qui luật phân phối xác suất của X .

V ậ y n phần tử thuộc mẫu, nếu gạt bỏ c á c hình thức cụ thể , được

mô tả bằng n đ ạ i lượng ngẫu nhiên: X i , X2, . . . , x n . Do đó ta có thể khái quát đ ể định nghĩa mẫu ngẫu nhiên như sau:

Cho đại lượng ngẫu nhiên X vôi qui luật phân phối xác suất nào đó. Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n được thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X là n đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất với đại lượng ngẫu nhiên X.

Ký h iệu mẫu ngẫu nhiên kích thước n được xây dựng từ đ ạ i lượng

ngẫu nhiên X là: Wx = ( X i , X2, . . . . , x n )

Thực h iện một phép thử đô'i vớ i mẫu ngẫu nhiên Wx, tức là thực

h iện một phép thử đ ố i vớ i m ỗ i thành phần (Xi) của mẫu. (trong thực

t ế thường là lấy ra n phần tử cụ thể từ tổng thể) . Giả sử X i nhận giá

trị Xi ( i = Ì, 2, . . , n). Các giá trị X i , x 2 , . . . ., x n tạo thành một giá

130


()li ương. ó: Jtlẫu ngẫu nhiên

trị của mẫu ngẫu nhiên, hay còn được gọ i là một mẫu cụ thể . Ký

h i ệu là w x = ( x i , x 2 x n )

Thí dụ ì: K ế t quả thi m ô n toán của một lớp gồm 50 sinh v iên như

sáu Bảng 6.8

* Đ i ể m thi 4 5 6 7 9

Số h/s có đ i ể m tương ứng 8 15 13 9 5

. G ọ i X là đ i ể m thi m ô n toán của một sinh viên chọn ngẫu nhiên trong danh sách của lớp thì X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:

Bảng 6.9

X 4 5 6 7 9

p 0,16 0,3 0,26 0,18 0,1

Ta coi 50 sinh viên của lớp này là một tổng thể (kích thước của tổng thể này là 50). T ừ lớp này ta lấy một mẫu gồm 5 học sinh. Gọi

X j ( i = 1,5) là đ iểm thi m ô n ' t o á n của sinh viên thứ i được l ấy vào

mẫu. V ậ y la có mẫu ngẫu nh iên kích thước n = 5 được xây dựng từ đ ạ i lượng ngẫu nhiên X:

Wx = ( X , , X 2 ) x 3 , X 4 , x 5 )

Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên này, tức chọn ngẫu nhiên (có hoàn l ạ i ) 5 sinh viên của lớp. Giả sử đ i ể m thi của sinh viên thứ nhất là ỉ ; của s/v thứ hai .là 9 ; của h/s thứ ba là 5 ; của h/s thứ tư là 7 và của h/s thứ n ă m là 4, thì ta có một mẫu cụ thể là:

w x = ( 5 , 9 , 5 , 7 , 4 )

Thực hiện một phép thử khác đối với wx (tức chon 5 s/v khác của lớp) ta l ạ i được một mẫu cụ thể khác , chẳng hạn:

131


cịiáo trình lự thuyết xác mất OÀ tỉtốttạ kê toái!

w x = (4, 7, 9, 9, 5)

Nếu kích thước mẫu lớn, việc trình bầy một cách cụ thể kết quả quan sát như trên là không thuận t i ện . Trong trường hợp này ta sử

dụng các khái n iệm: giá trị cua dấu h iệu X (Xi); tần suất của Xi (Pi) đã nêu ở phần trên đ ể trình bầy mẫu cụ Ihể dưới dạng bảng.

Đ ể phân b iệ t với các ký hiệu của tổng thể . Đ ố i vớ i mẫu ta dùng các ký hiệu sau đây:

ni: Tần số của Xj; fi = — : Tần suất của Xi n

Thí dụ 2: Từ bảng (6.6) ta thấy thu nhập của công nhân ngành cao su có thể mô hĩnh hoa bởi đ ạ i lượng ngẫu nh iên X với bảng phân phối xác suât như sau:

Bủng 6.10

X 500 600 700 800 900 1000 1100 p 0,10 0,14 0,30 0,24 0,11 0,06 0,05

Trong thực t ế ta thường chưa b i ế t được bảng này (vì muốn có được bảng đó ta phải đ iều tra về thu nhập của toàn bộ 500.000 cồng nhân ngành cao su). Vì vậy người ta dự định đ iều tra về thu nhập của 500 công nhân được chọn trong sộ' 500.000 công nhân của toàn ngành một cách ngẫu nhiên, có hoàn l ạ i .

Gọi Xi là "Thu nhập của công nhân thứ i được đưa vào mẫu"

( i = 1,500). Như vậy ta có 500 đ ạ i lượng ngẫu nhiên: X i x 2

x5()(), độc lập, có cùng phân phối xác suất vớ i X. Tức ta có mẫu ngẫu

nhiên: w x = ( X | , x 2 X500) được xây dựng từ đ ạ i lượng ngẫu nhiên gốc X.

Thực hiện một phép thử đối với mẫu wx, tức điều ưa thu nhập của 500 công nhân cụ thể . Giả sử kế t quả đ iều tra cho ở bảng sau:

132


Qhươnạ ó: Mầu tiạẫu nhiên

Bảng 6. ì ì

Xi 500 600 700 800 900 1000 1100

ni 50 75 105 160 60 40 •

i o

Như vậy , bảng trên là một mẫu cụ thể (kích thước mẫu n = 500) được chọn từ tổng thể có kích thước N = 500.0ŨU

Nếu điều tra thu nhập của 500 cồng nhân khác ta lại có một mẫu

cụ t h ể khác (một giá trị khác) của mẫu ngẫu nhiên Wx

Như vậy, mẫu ngẫu nhiên có thể phản ánh được kết quả điều tra

thực nghiệm. Bở i vì các kế t quả này được coi là một giá trị của nó. Tức là khái quá t được thực nghiệm. Quan hệ giữa mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể (hay một giá trị của nó) tươne tự như quan hệ giữa đ ạ i lượng ngẫu nhiên và một giá trị có thể nhận của nó.

4- Các phương pháp mô tả số liệu mẫu

a- Mô tả mẫu bằng bảng phân phối tần số thực nghiệm:

kBảng 6.12

Xi Xi *2 x k

ni n i n 2 n k

li Đ ố i với bảng trên, ta luôn có: = n

i = l

b- Mô tả mẫu bằng bảng phân phối tần suất thực nghiệm

Bảng 6. ì 3

Xi Xi X 2 Xk

f i f i h fk


ựịiáơ trình lý thuụểt xòe, mạt oà thống, kê toán

trong đó: f j = — ; Đ ố i vớ i bảng trên, ta luôn có: 2 / 1 = 1 n i=i

p c- Đ ể mô tả số l i ệ u mẫu một cách rõ r àng 1 Hơn cho p h é p ta đ ư a * a những nhận xé t sơ bộ ban đầu về tổng thể người ta còn xây dựng các loạ i đồ thị khác nhau của phân phối thực nghiệm.

o Đa giác tần số: là một đường gãy khúc nối các điểm (Xi, ni);

(x 2 , n 2 ) ; ; (Xk, n k )

© Đa giác tần suất: là một đường gãy khúc nối các điểm (Xị, fi);

(x2, Í2>; ; (Xk, fk) I

Thí dụ: V ẽ đa giác tần suất của phân phối thực nghiệm sau:

Xi 1 3 5 7

f i 0,1 0,3 0,4 0,2

0.45 0.4

0.35 -' 0.3 '

0.25 0.2

0.15 . 0.1 ;

0.05 0 - -

0

Đa giác tần suất thường được dùng để mô tả các số liệu mẫu theo thời gian

© Biểu đố tần số: Khi dấu hiệu nghiên cứu có phân phối liên tục thì nên xây dựng biểu đồ tần số hoặc b iểu đồ tần suất. Đ ể làm đ iều

{14


&iươtiạ ó: Jtlmi ngẫu nhiên

đó khoảng chứa tất cả các giá trị quan sát được của mẫu được chia thành một số khoảng có chiều dài bằng h và ứng với mỗi khoảng ta

tính số quan sát của mẫu thuộc khoảng này, tức là tính tần số (ni) tương ứng với từng khoảng. Biểu đồ tần số là biểu đồ dạng bậc thang tạo nên bởi nhiều hình chữ nhật có đáy bằng h và chiều cao

bằng — . Lúc đó diên tích của hình chữ nhát thứ i bằng h. — = ni. h h

Vậy diện tích tất cả các hình chữ nhật sẽ bằng kích thước mẫu n.

"Ểơng tự biểu đồ tần suất là biểu đồ dạng bậc thang tạo nên bởi 5 , f nhiêu hình chữ nhát có đáy bằng h và chiều cao bằng — . Lúc đó

h diện tích của hình chư nhật thứ i bằng h. — = fj và diện tích tất cả các

h hình chữ nhật sẽ bằng 1.

Thí dụ: Vẽ biểu đồ tần số của phân phối thực nghiệm cho ở bảng sau: Bảng 6. ì4

Xi"— Xị+1 ni h

5 - 1 0 4 0,8 1 0 - 15 6 1,2 1 5 - 2 0 16 3,2

• 2 0 - 2 5 36 7,2 2 5 - 3 0 24 4,8 3 0 - 35 10 2,0

• 3 5 - 4 0 4 0,8

B i ể u đồ tần số có dạng như sau:


Lịláo trình ỉ lị thuyết xác mối oà Miếng, kê toán

lo 15 20 25 30 35 49

© Biểu đồ hình bánh xe: Đ ố i với các dấu h iệu định tính thì người ta thường mô tả số l i ệu mẫu bằng b iểu đổ hình bánh xe. Đ ó là một hình tròn được chia thành các phần tương ứng vớ i tỷ l ệ của các bộ phận trong mẫu.

Thí dụ: Điều tra ngẫu nhiên 100 khách hàng của một doanh nghiệp thì thấy các khách hàng được phân theo tỷ l ệ sau về tầng lớp xã hội .

Bảng 6.15

Tầng lớp xã hội Số khách hàng tỷ l ệ Công nhân 35 0,35 Nông dân 40 0,40

Thương nhân 15 0,15 Trí thức 10 0,10 Tổng số 100 1

B iểu đồ hình bánh xe phản ánh cơ cấu của 100 khách h à n " như sau:

136 ì


& tươi KỊ ó: Mẫn ít í/tí li ít hiền

N ô n g d â n

40%

T r i X t h ứ c / \

• \<ò°ỉ/ T h ư ơ n g / nhân 15%

C ô n g nhân 35%

Đ ồ ứiị của phân phối mẫu có thể vẽ dễ dàng nếu ta sử dùng các phần m ề m thống kê n h ư E x c e l , SPSS, Sta ta , . . .

IV- Các tham số đặc trưng của mẫu

K h i nghiên cứu mẫu, người ta thường quan tâm đ ế n các tham số đặc trưng sau đây :

Ì - T r u n g b ì n h m ẫ u

a- Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên kích thước n, được xây dựng

từ đ ạ i lượng ngẫu nhiên X: W x = ( X | , x 2 ) . . - , x n ) .

Trung bình mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu là X) được định nghĩa:

i n

x n?xi n j_ i

(6.10)

Do X ị , X2, . . . , x „ là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên, theo định nghĩa

t rên thì X là hàm của n đ ạ i lượng ngẫu nhiên X i , X2, . . . , x n nên

X ũ m g là một đ ạ i lượng ngẫu nhiên.

137


(ịiéuy trinh, lý thuyết xán suất oà thống, kè lơảỉi

N ế u có mẫu cụ thể: w x = ( X i , x 2 , , x„) thì ta sẽ tính được giá

trị của X (ký h iệu là X).

X được tính theo công thức: — Ì n

n i=i (6.16)

Như vậy X là một giá trị của X , đồng thời là trung bình của mẫu

cụ thể w x = (X| , X 2 , . . . , x n ) .

b- Tính chất: Nếu đại lượng ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán:

E(X) = ịi và phương sài:

Var(X) = ơ thì:

E ( X ) = M- và V a r ( X ) = ơ / n

Thật vậy, theo tính chất của kỳ vọng toán, ta có :

E(X) = EÍ Ì V Xj ì = 1Ỳ E(X,) = i .nụ = n n 1=1 n

Đ ể ý rằng các đ ạ i lượng ngẫu nhiên Xi độc lập, có cùng phân phối xác suất với đ ạ i lượng ngẫu nhiên gốc X.

Theo tính chất của phương sai thì:

V a r ( X ) = Var - £ x , =-\ỵWaiỌí,) = - L . n . a 2 = . — Vn i . ! ) n , = | n n

Như vậy, bất kể ûi luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu

nhiên gốc như t h ế não , thống kê X cũng có kỳ vọng toán bằng kỳ

138


ẽhưtùtạ ó: jỊỊẫu Iiạẫu nhiên

vọng_của đ ạ i lượng ngẫu' nhiên gốc [E(X) = E(X)J . Còn phương sai

của X nhỏ hơn phương sai của đ ạ i lượng ngẫu nhiên gốc n lần .

Nghĩa là c á c giá trị có thể có của X ổn định quanh kỳ vọng hơn các giá trị có thể có của X .

Nếu lấy căn bậc hai của Var( X) ta được độ lệch chuẩn ơ( X ). Độ

lệch chuẩn này của X được dùng đ ể phẩn ánh sai số ước lượng do đó người ta thường gọ i là sai số chuẩn (ký hiệu là se( X ). V ậ y :

se(X) = o(X) = Vvar(X) = -^L VII

ở trên ta luôn giả thiết rằng mẫu được rút ra từ tổng thể theo phương thức có hoàn l ạ i . N ế u kích thước tổng thể là vô hạn hoặc kích thước tổng thể hữu hạn nhưng n < 0,1N thì có thể lấy mẫu không hoàn l ạ i mà không ảnh hưởng đ ế n kế t quả. Trường hợp n > 0,1N thì đ ố i vớ i các công thức trên phải sử dụng hệ số h iệu chỉnh do mẫu là không lặp. K h i đó ta có :

- _N-n ạ2

i N - 1 n

se(X) = ' N - n < r

N - l ' n

c- Qui luật phân phối của X

Qui luật phân phối xác suất của trung bình mẫu phụ thuộc và qui luật phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên gốc. Người ta đã

chứng minh được rằng: N ế u X có phân phối chuẩn N(\x ; ơ 2 ) thì X

phân phôi theo qui luật chuẩn N ( f i ; ơ In).

139


Lịiáo trình lý. thuyết xác tuất oà tttếnạ Ui toán

2- P h ư ơ n g sai m ẫ u

a- Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên wx = (Xi, x2,...., Xn)

Phương sai của nó (ký hiệu là s2) được định nghĩa:

S2=-ỉ-ấ(X,-X)1 (6.17) n - 1 i=i

Trong đó X là trung bình của mẫu ngẫu nhiên.

* Chú ý: Theo định nghĩa trên, ta thấy phương sai mẫu ngẫu nhiên là 2

h à m của n đ ạ i lượng ngẫu nhiên X | , X 2 , . . . , X n nên s cũng là một đ ạ i lượng ngẫu nhiên.

I Nếu có mẫu cụ thể: w x = (Xi , X2,. . . , x n ) thì s sẽ nhận giá ừỵ.

S2=^7ẳ(x,-x)2 (6.18) n - 1 UI

s2 gọi là phương sai của mẫu cụ thể.

2 ' b- Tính chất của s

2 - 2 Do s là đ ạ i lượng ngầu nhiên nên ta có thè inh E(S ).

Giả sử: E(X) = ịi; Var(X) = a2

Ta có:

(Xi-X)2=[(x,-^)-(X-n)]2

= (X, - ịi)1 - 2(X - n).(Xi - ụ) + (X - ụ)1'

Dođó: Iị(X,-X)2 =I£(X,-H)2-n t i n t r

-2(X-^)I^(Xl-^) + (X-M)2

n Tf

140


Qluítítiạ ó: Mẫn ngẫu nhiên

Vì:

Nên:

Do đó:

n M r í t /

2 ( X - n ) - ị ( X i - ^ ) = 2 ( X - M . ) 2

n i=i

i ị c x ^ x ) 2 = Ì J ( X l - n ) a - ( x - H ) a

E(S ) = E - L

7 Z ( X Í - X ) Ĩ

n-ltí [ n - 1 [ n - 1

i ẳ ( ^ i - X ) 2

n w

n

n - 1 n w

Vì

- 2 L - Ỉ £ E ( X 1 - H ) 2 - E [ ( X - ( I ) Ĩ

n-1 nlr

E ( X Ị ) = l i (Vi) n ê n E(X, - ự)2 = Var(Xị) = Var(X) = ơ 2

E(X) = H nên E[(X-n)2] = Var(X) = ơ2/n

Do đó :

2 n E(S 2 ) =

n - 1

.2 N .n.ơ -

n n

n ( n - ỉ _ A ơ

K n / n - 1 = ơ

N h ư vậy, kỳ vọng toán của phương sai mẫu bằng phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc X.

3- Đ ộ l ệ c h c h u ẩ n m ẫ u

Ì


íịiá& trình Lị thuyết xóa mất oà- thống, kê toán

Đ ộ lệch chuẩn của mẫu ngẫu nh iên (ký h iệu S) là căn bậc hai của phương sai mẫu:

S = V s ĩ (6.19)

Nếu có mẫu cụ thể thì độ lệch chuẩn của mẫu cụ thể này là một

giá trị của s (ký h iệu là s ì :

s = N / S 7 (6.20)

4- Tỷ lệ mẫu

T ừ một tổng thể gồm N phần tử, trong đó có M phần tử có tính chất A. Ta lấy ngẫu nhiên n phần tử v à o mẫu ( lấy theo phương thức

-có hoàn l ạ i ) . G ọ i X i ( i = Ì , 2 , . . . . n) là số phần tử có tính chất A ưong

l ần l ấy phần tử thứ i v à o mẫu. Xi ( i = Ì , 2, n) là các đ ạ i lượng

ngẫu nhiên chỉ có thể nhận một trong hai giá trị: X i nhận giá trị 0

nếu phần tử thứ i lấy v à o mẫu không có tính chất A ; X i nhận giá trị Ì nếu phần tử thứ i l ấy vào mẫu có tính chất A .

Tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên (ký hiệu Fn) được định nghĩa như sau:

n i_i

Vì X i ( i = Ì, 2, n) là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên , F n là h à m của các

đ ạ i lượng ngẫu nhiên n ê n F n cũng là một đ ạ i lượng ngẫu nhiên .

* Chú ý: Nhìn vào biểu thức định nghĩa của Fn ta thấy giống với biểu

thức định nghĩa của X . Thực chất F n cũng là trung bình m ẫ u ngẫu

nhiên w x - (Xi . , X a , . . . . , x n ) . M ẩ u ngẫu nh iên này được thành lập từ đ ạ i lượng ngẫu nhiên gốc X . (X là số phần tử có tính chất A có trong phần tử chọn ngẫu nh iên từ tổng thể) .

142


@hườitạ ồ: Mẫu ngẫu nhiên.

N ế u có mẫu cụ thể , ta sẽ tính được giá trị của F„ (ký h iệu là f )

nA

f = — (6.22) n .

Trong đó n A là tổng số phần tử có tính chất A có trong mẫu cụ thể ; n là kích Ui ước mẫu.

Như vậy f là giá trị của F„ và cũng là tỷ lệ các phần tử có tính chất A của m ẫ u cụ thể .

V- Phương pháp tính các tham số đặc trưng của

m ẫ u .

Giả sử có mẫu cụ thể w x = (Xi , x 2 , . . . , x n ) , thì trung bình mẫu

( x ) và phương sai mẫu ( s 2 ) là hai giá trị cơ bản nhất đ ố i vớ i mẫu cụ

thể này , s có thể suy ra từ s 2 ; cồn f thì tính rất đơn giản. Do đó phần 2

này chúng ta chỉ nêu ra công thức tính X và s tương ứng vớ i từng trường hợp số l i ệ u h i ện có như sau

Ì- Trường hợp số liệu của mẫu cho dưới dạng không có

t â n so

Trường hợp này, để tính X ta sử dụng công thức định nghĩa:

_ Ì n

x = ~ Z x i (6.23) n i=,

ĩ ' 2 Đ ê tính s ta dùng công thức:

2_ _L s =

n -

Chứng minh:

(6.24)


íịiáữ trình lý- thuyết xòe Mất OÀ í/iấnạ kề loàn

Theo công thức định nghĩa của s ta có :

Ta có:

V ậ y :

(xj - x ) 2 = ( X ị ) 2 - 2 x i x + ( x ) 2

ẳ(x,-x)2=ỉ[(x,)2-2x.xi+(x)2] 1=1

= ẳ x . 2 " 2 x È x . + n ( x ) 2 = ẳ x * - 2 x . n . x + n ( x ) 2

i=! i=l i=l

= ẳx.2"n02

Suy" ra:

s 2 = 1

n - 1 Ẻx?-nW i=l

đpcm

Thí dụ 3: Quan sát đ i ể m thi m ô n T o á n cao cấp của 10 sinh viên được chọn ngẫu nhiên từ một lớp ta thu được các số l i ệ u sau:

5; 6; 7; 4; 6; 9; 4; 5; 5; 7;

Tính X và s của mẫu này.

Giải: Ta có: lo _ co

^ X i =58.; V ậ y : x = ^ = 5 , 8 i=i l o

10 I r , J X = 358; V ậ y : s 2 = - [358 - 1 0 . ( 5 , 8 ) 2 ] = 2,4 i=i 9


phường ổjjtưui Iiạẫít nhiên

=> s = V s 7 = y[2Ã = 1,549193

* Chùy: • Để tính X Ị ' có thể dùng hàm AVERAGE trong Excel

X = AVERAGEÍXỊ}

» 2 á • Đ ế tính s ta có thể dù ne h à m VAR trong Excel

S^=VAR{Xjj

• Để tính s ta có thể dùng hàm STDEV trong Excel

s = STDEV{Xi}

Cách thức thực hiện các lênh này cũng tương tự như lịnh AVERAGE (xem phụ lục 1).

Thí dụ 4: Có các số liệu về doanh số bán (Y) và chi phí chào hàng (X) của 12 công ty thương mạ i tư nhân cho ở bảng dưới đây: Hãy tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu của X và Y ?

Bảng 6.25

Doanh số bán Chi phí chào Doanh số bán Chi phí chào

ơ i ) hàng (xi) ơ i ) hàng (Xi)

t r .đ /năm (tr. đ /năm) tr.đ/năra t r iệu đ /năm

1270 100 1610 140

1490 106 1280 120

1060 60 1390 116

1626 160 1440 120

1020 70 1590 140

1800 170 1380 150

Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu của X và Y ?


íịiá& trình lý. tíuiụết xác utấí oà thốnạ kẻ toán

Giải: Ta lập bảng tính như sau:

Bủng 6.26

yi Xi y , 2 X i 2

1270 100 1612900 10000 1490 10Ổ 2220100 11236 1060 eo 1123600 3600 1626 160 2643876 25600 102 lồ 1040400 4900 1800 170 3240000 28900 1610 140 2592100' 19600 1280 120 1638400 14400 1390 1 ló 1932100 13456 1440 Ì? 2073600 14400 1590 1 2528100 19600 1380 1 1904400 22500

16956 la- 24549576 188192

V ớ i kế t quả tính ở bải í .26, ta có:

- 16956 V =

12 413;

- 1452 X = — — = 121

12

sị = ^ [ 2 4 5 >576-12. (1413) 2 ] = 53704,36364

s v = ./^3704,36364 =231,742

= 1136,363636

sx =- /1136,363636 =33,71

si = — [ l 8 8 > ) 2 - 1 2 . ( 1 2 1 ) 2

146


ũítư&tiạ ó: Mẫu Iiạẫii nhiên

2- T r ư ờ n g h ợ p s ô l i ệ u c ủ a m â u c h o d ư ớ i d ạ n g c ó

t â n s ò n , ( n ó i c h u n g n i > 1 ) .

Trường hợp này, đ ể tính X và s ta áp dụng công thức:

- Ì k

n i=i

s 2 = n - 1 i=I

(6.27)

(6.28)

* Chú ý: ^ n j X j trong công thức (6.27) cũng chính là trong

k=i i=i k

Cồng thức (6.23); Tương tự 2 n i x ? t r o n ê c ô n ẽ t h ứ c ( 6 - 2 8 ) c ũ n s k=l

n

chính là 5 ] x , 2 trong công thức (6.24) k=l

* V ớ i các số l i ệ u cho ở thí dụ 3, ta có thể trình bày số l i ệ u quan sá t của mẫu này dưới dạng có tần số như sau:

Xi 4 5 6 7 9

ni 2 3 2 2 1

Đ ể tính các tổng V n j X j và ^ n , x ~ ta có thể lập bảng tính như i=i i=i

sai : (bảng 6.29)


íịiáơ trình ít/, thuyết xác suất oà thống, kê toán

Bủng 6.29

Xi ni n.Xị • n i x f . 4 2 8 32

5 3 15 . 75 6 2 12 72 7 2 14 98 9 1 9 81

Tổng n = 10 58 358

k Theo kế t quả lính ở bảng trên, ta có Y n ị X ị = 58 (tổng cột thứ ba.

i=i k , '

của bảng); ^ n , X , 2 = 358. So sánh vớ i kế t quả tính ở thí dụ 3 ta có i=i

thể minh chứng cho nhận xét nêu trên.

Thí dụ 5: Tính trung bình và phương sai của mẫu cho ở bảng sau:

Bdnfỉ6.30

Xi 4 5 7 y

ni 10 15 13 12

Giải: Ta lập bảng tính như sau:

Bủnị>6.3l

Xi ni n;.Xị Ilị.Xi 4 10 40 160 5 15 75 375 7 13 91 637 9 12 108 972

Tổng 50 314 2144

148


Qltươuạ 6:JlíẪit tiạẫií nhiên

T ừ k ế t quả tính toán ở bảng trên, ta có:

- 314 X =

50 = 6,28

s 2 = - H 2 1 4 4 - 5 0 . ( 6 , 2 8 ) 2 ] =3,5118

* Chú ý: Khi áp dụng các công thức (6.27) ; (6.28) nếu số-liệu của

mẫu được phân chiạ thành Lừng khoảng ( x j ; x . ) , thì khi tính toán ta

thay m ỗ i khoảng bằng giá trị trung tâm của khoảng đó (ký h iệu là

Xi)

x ; = x ; + X;

( V i = 1,2, . . . , k )

Thí dụ 6: s ố l i ệ u cho ở cột Ì và cột 3 của bảng dưới đây (bảng 6.32) là số l i ệ u quan sát về thu nhập của một số người làm việc ở một công ty (đơn vị: ngàn đ / tháng) . Hãy tính trung bình mẫu và phương sai mẫu". '•

Bảng 6.32

Thu nhập Số người 800- 850 9 851 - 900 . 12 901 - 950 24

951 - 1000 36 1001 - 1050 25

Thu nhập Số người 1051 - 1100 20 H O I - 1150 16 1151 - 1200 10 1201 - 1300 8

Ta lập thòm các cột tính toán như sau: (bảng 6.33)

149


íịiáo í rình tý ựutạểt xóa mất OÀ ihếtiạ kê tơáềi

Bảng 6.33

x ' i — X i+1 Xi ni lầị.Xi nị.Xị 2

800 - 850 825 9 7425 6125625

851 - 900 875,5 12 10506 9198003

901 - 950 925,5 24 22212 20557206

951 - 1000 975,5 36 35118 34257609

1001 - 1050 1025,5 25 25637,5 26291256,25

1051 - 1100 1075,5 20 21510 23134005

1 l o i - 1150 1125,5 16 18008 20268004

1151 - 1200 1175,5 . 10 11755 13818002,5

1201 - 1300 1250,5 8 10004 12510002

l ô n g n = 160 162175,5 166159712,75

Từ kế t quả tính toán ở bảng trên ta có :

x=162175-5 =1013,596875 160

s2= -^[l66159712,75-160.(1013,125)2]= 11189,51414

VI- Mấu ngẫu nhiên hai chiều

Ì - K h á i n i ệ m

Giả sử trên cùng một tổng thể phải nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu định tính hay định lượng, trong đó dấu h iệu thứ nhất có thể xem như đạ i lượng ngẫu nhiên X, dấu h iệu thứ hai có thể xem như đại lượng ngẫu nhiên Y. Khi đó việc nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu được xem như nghiên cứu một đ ạ i lượng ngẫu nh iên hai chiều.

Từ tổng thể lấy một mẫu kích thước n, tức thực hiện n phép thử đối

với đ ạ i lựợng ngẫu nhiên (X, Y) . G ọ i X i và Y j tương ứng là giá trị

của b iến (X, Y) đo được trên phần l ử thứ i của mẫu ( i = Ĩ7n) ta có n

150


Qỉuttíttg. ó: Mấu ngẫu tdùên

đ ạ i lượng ngẫu nhiên hai chiều độc lập. T ừ đó ta có định nghĩa mẫu ngẫu nhiên hai ch iều như sau:

Mẩu ngẫu nhiên hai chiều kích thước n là tập hợp n đại lượng

ngẫu nhiên độc lập : ( X i , Y i ) , ( X 2 , Y 2 ) ( X n , Y n ) được thành lập từ đ ạ i lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) và có cùng qui luật phân phối xác suất vớ i ( X , Y )

M ầ u ngẫu nhiên hai chiều được ký h iệu là:

W X Y = [ ( X , , Y , ) , ( X 2 , Y 2 ) , , ( X n , Y n ) ]

Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên WXY là thực hiện mộ t p h é p thử đ ố i vớ i m ỗ i thành phần của mẫu. Giả sử (Xi , Yi) nhận

giá trị (Xi, yi) ( i = Ì, n ) ta sẽ thu được một mẫu cụ thể:

wxy =[(x,,y,),(x2,y2), ,(xn,yn)]

2- Phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên hai chiều

G i ả sử từ tổng thể chọn ra một mẫu ngẫu nhiên hai chiều kích

thước n . Trong đó thành phần X nhận các giá trị: X|, X2, . . . , Xfc. và

thành phần Y nhận các giaHrị: y i , y 2 , . . . , y h . Trong đó giá trị (Xi, Yj)

xuất h i ệ n vớ i tần số rijj ( i = Ì, k ; j = Ì, h ). Sau khi các giá trị Xi và y j

được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì mẫu cụ thể w x y có thể được mô tả bằng b iểu bảng phân phối tần số thực nghiệm sau:

y i Y2 yir ni

Xi n u ni2 nih n i

n 2 i n 22 n2h n 2

. . . . . . .

Xk n u nic2 Pkh n k

mi m i m 2 m h n

151


Cịiủo trình lý thuyết xòe mất và tít ờ nợ kê toát!

h Trong đó: l i , = n jj - tần số của Xi (i =.1 .k)

j=i li

m J =ỴjnIỊ - tần số của y j ( j = l .h) 1=1

3- Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên hai chiều

Từ hảnrr " iigniẹni cua mau ngài! nhiên hai chiều ta

co me Ì UI ra:

a- Bảng phân phối thực nghiệm của thành phần X

l . x V x k

1 n i n i . . . a k

Từ báng này ta sẽ tính được các thám số đặc trưng mẫu đ ố i v ớ i X.

b- Bảng phân phối thực nghiệm của thành phần Y

Y y i y2 Ỵh

Iĩij m i ĨĨ12 mh

Từ bảng này ta sẽ tính được các tham số đặc trưng mẫu đ ố i vớ i Y.

c- Bảng phân phối có điều kiện thực nghiệm của Y khi X = Xi

Y / X = Xi y> yi y h

ny n i i tii2 n,h

li trong đó: 2nij=ni

152


&ntưiiợ ó: Mẫu ngẫu nhiên

T ừ bảng này ta sẽ tính được trung bình có đ iều k iện của Y (đ iều k i ệ n X = Xi).

Ì h

ni j=r

c- Bảng phân phối có điều kiện thực nghiệm của X khi Y = y>j

X / Y = y j Xi x 2 Xk

ny n i j n 2 j . . . . . . n k j

ương đó : 2 ^ n n = m ì i=l

Từ bảng này ta sẽ tính được trung bình có điều kiện của X (điều kiện

Y = yj).


{ịìáo- trùth bị tluiụết xác mất oà íỉtếtiạ kè toán

C h ư ơ n g 7

ƯỚC LƯỢNG CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG

C Ủ A T Ổ N G T H Ể

Như chúng ta đều biết, các số đặc trưng của tổng. thể như trung. bình tổng thể, tỷ l ệ tổng thể , phương sai của tổng thể , . . . đửỢesử-dụng rất .nhiều trong phân tích kinh t ế - xã hộ i và các lĩnh vực kháci Nhưng các số đặc trưng này thường là chưa b iế t . Vì vậy đặ t ra vấn'* đề cần ước lượng chúng bằng phương pháp mẫu.

ở chương 6 ta đã biết các số đặc trưng của tổng thể cũng chính là'

các tham số đặc trưng của đ ạ i lượng ngẫu nhiên gốc X, vì vậy ta có thể nêu vấn đề thực t ế đó dưới dạng toán họ.c như sau/

Cho đ ạ i lượng ngẫu nhiên X có thể đã b iế t hoặc chưa b iế t qui luật phân phối xác suất và chưa b iết tham số 0 nào đó của nó. Hãy ước lươn? 9 hằng phương pháp mẫu.

Bi Ì, ... la một trong những bài loàn cơ bản của thống kê ti-

vi tì là một hằng số nên ta có.thể dùng một con số nào đó để ước lượng e. Ước lượng như vậy được gọ i là ước lượng điểm (nếu đưa c»n số dùng để ước lượng e lên trục số thì nó ứns vớ i một đ iểm). Ngoài ước lượng đ iểm, người ta còn dùng ước lượng khoảng. Tức là chỉ ra

một khoảng số (9Ị , 0 2 ) nào đó có thệ chứa được 0.

Dưới đây chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp tìm một ước lượng đ iểm hay một ước lương khoảng của e. Các phương pháp này xuất phát từ cư sở hợp lý nào đó đ ể tìm ước lượng của 0 chứ không phải là sự chứng minh chặt chẽ.

154


@hitờtiạ 7: QỂ&C lưựtiạ. eáe lữ đặe trưng, của tầng, thể

I - C á c p h ư ờ n g p h á p t ì m ư ớ c l ư ợ n g đ i ể m

Ì - P h ư ơ n g p h á p h à m ư ớ c l ư ợ n g

a- Mô tả phương pháp: Giả sử cần ước lượng tham sô 9 của đ ạ i lượng ngẫu nhiên X. T ừ X ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước ni

W x = ( X 1 , X 2 , , . . . , X n ) l

Chọn Ồ = f ( X 1 , X 2 , . . . , X n )

ố là hàm của các đại lượng ngẫu nhiên Xi, x2,.. . . , xn nên nó là

một đ ạ i lượng ngẫu nhiên, ê được g ọ i là hàm ước lượng của ©.

Trong thựe tế người ta thường chọn hàm ước lượng như sau:

— li n

• Chọn ê = x = — V X ị nếu là ước lượng trung bình của tổng • n t i

thể

• Chon Ồ = s 2 = — — y " ( X ị - X ) 2 nếu là ước lượng phương sai n - 1 M

của tổng thể i n

• Chọn Ồ = Fn = — y ^ - ^ i n ê u l à ư ớ c 1 Ư ( ? n ẽ lỶ J ệ l ổ n ỗ thể n t í 1

T ừ mẫu cụ thể w x = ( x b x 2 , . . . , Xọ), ta tính giá trị của e (ký h i ệu

là ê* ) . Tức là:

ê* = f ( X i , x 2 , . . . , x n )

Ước lượng điểm của 0 chính là giá trị 9* vừa tính được.

b - Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng.


Cịiáa trình hị thuyết xác xuất oà tíiốnạ kê toán

Ta thấy có vô số cách chọn dạng h à m f, lức có vô số đ ạ i lượng ngẫu nhiên z có thể dùng làm hàm ước lượng của 0. Vì vậy, cần đưa ra một liêu chuẩn để đánh giá chất lượng của ước lượng. T ừ đó lựa chọn được một hàm ước lượng "tốt hơn" theo một nghĩa nào đó .

Dưới đây ta sẽ xét một số tiêu chuẩn đó .

Ì- Ước lượng không chệch

* Định nghĩa: ồ được gọi là ước lượng không chệch của tham Số0

nếu:

E ( ố ) = 0 (7.1)

Ngược lại, nếu E( ố) * 8 thì ồ được gọi là ước lượng chệch của 9.

* Ý nghĩa: Ta thấy (9 - 6) là đại lượng ngẫu nhiên biểu thị sai số của ước lượng. Theo tính chất của kỳ vọng loàn, ta có:

E( Ồ - 0) = E( Ồ) - E(0) = e - e = 0 nếu ê là ước lượng không

chệch.

Như vậy, ước lượng; khôniỉ chệch là ước lượng có sai số trung bình

bằng 0. Tức là giá trị của 9 không bị lệch về một phía, nếu dùng 6

để ước lượng 9 thì không mắc phải sai số hộ thống. Rõ ràng trong hai loại ước lượng: chệch và không chệch thì ta nên chọn ướciượng không chệch.

Chú ý rằng, 9 là ước lượng không chệch của 9 không có nghĩa là

mọi giá trị của 0 đ ề u trùng khít với 8 mà chỉ có nghĩa là: Trung binh

các giá irị của 9 bằng 9 , một giá trị của 9 có thể sai khác nhiều so

với 9.

* Thí dụ: l- Trung bình mẫu ngẫu nhiên (X) là ước lượng không chệch của trung binh tổng thể (ụ). Vì theo kế t quả ở chương 6, ta có:

E( X ) = LI.


& lươn ạ 7: (lức. íttựiiạ cát' lả' đặc trư/tạ cửu tổnạ thể

2- Phương sai mâu ngẫu nhiên (S~) là ước lượng không chệch của ỉ s 2 2 _2

phương sai long the (ơ ) v i : E(S ) = ơ .

3- Tỷ l ệ mẫu ngẫu nhiên (F n ) là ước lượng không chệch của tỷ l ệ

tổng the (p) v ì : E(F„) = p.

Chứng minh: Thật vậy , theo định nghĩa tỷ lộ mẫu ngẫu nhiên ta

có: 1 J2_

F n = - Ẻ X , n UI

Trong đó X i là số phần tử có tính chất A có trong lần lấy phần tử thứ

. vào mẫu. Xi (ĩ = Ì, 2, . . . . n) là các đ ạ i lượng ngầu nhiên có phân

Dhối xác suất như sau:

Xi 0 1

p q p với q = Ì - p

Ta có : E(X|) = 0 x q + l x p = p (Vi)

Vậy: E(F„) = EÍ-£X, Ì = -ẳE(Xf) = -.np = p

2 - Ước lượng hiệu quả

Giả sử ẻ là ước lượng không chệch của 9 . Áp dụng bất đẳng

hức Chebyshev cho đ ạ i lượng ngẫu nhiên 9 , ta có:

« - , , V a r ( ê ) p( | 9 - E ( 9 ) | < e) > Ì

8 Vì E( ồ ) = 0 nên bất đẵng thức Chcbyshcv trở thành:


{Ậiúa trình lý thuyết xác mất oà thống, kè toan

p(l Ồ - e I < s) > Ì -V a r ( ẽ )

Như vậy, nếu phương sai V a r ( 0 ) càng nhỏ thì x á c suất để 9 nhận giá trị gần 0 bao nh iêu cũng được, sẽ càng lớn. Do đó phương

sai của 9 là một chỉ t iêu quan trọng phản ánh chất lượng của hàm

ước lượng 0 = f ( X j , X2, x n ) . Tấ t nh iên một cách hợp lý là cần chọn nhữqg h à m ước lượng không chệch và phương sai nhỏ nhất.

* Định nghĩa: ố = f(X], X2, . . . , xn) là ước lượng không chệch của

9 và phương sai V a r ( ố ) bằng cận dưới các phương sai của các hàm

ước lượng "được xây dựng từ mậu ngẫu nhiên Wx thì ồ được gọi là ước lượng h iệu quả của 9.

Để tìm cận dưới của phương sai các hàm ước lượng ta dựa vào bất đẳng thức Crame-Rao được nêu trong định lý dưới đây

Định lý? Cho mẫu ngẫu nhiên Wx = (Xi, x2 xn) được xây dựng từ đ ạ i lượng ngẫu nhiên X có h à m mật độ xác suất (hay b iểu thức xác suất) f (x , 0). Thỏa m ã n một số đ iều k i ệ n nhất định (thường được

thỏa mãn trong thực t ế ) và 9 là ước lượng không chệch bất kỳ của e thì :

Ì Var( e ) >

n.E a i n ( x , 0 )

" dô"

3 - Ước lượng vững

Một hàm ước lượng được coi là hợp lý nếu như kkh thước của! mẫu tăng lên khá lớn thì giá trị của nó phải gần tham >ố cần ước: lượng bao nhiêu cũng được Nhận xét sơ bộ này được chinh xác bòị định nghĩa sau:

158


ẽhưưitợ 7: ơtớe ỉưựitọ các lố ttặe trưng cua tổng thể

Định nghĩa: Cho mẫu Wx = ( X i , X2, • . . , X n ) xây dựng từ đạ i lượng

ngẫu nhiên X. Hàm ước lượng ê = f ( X ' j , x 2 , . . . , x n ) của 6 được gọi là vững nêu mọi e > 0 bé tùy ý cho trước ta đều có :

:.imP[|f(X1,X2,. . . ,x„)-e |<e] = 1.

Điều kiện đủ của ướt iu".. i\z vững được phát biểu dưới dang định [ý sau:

Định lý: Nếu 0 là ước lượng không chệch của 0 và

Lim Var( 6 ) = 0 thì 0 là ước lương vững của 9. n->GO

2 - Phương pháp ước lượng hợp lý tối đa

Giả sử đã biết qui luật phân phối xác suất dạng tổng quát của đại lượng ngẫu nhiên X, chẳng hạn hàm mật độ í'(x, 0) (cũng cố thể xem f(x, 8) là công thức tính xác suất nếu X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên rời rạc). Cần ước lượng tham số 9.

Lập mẫu cụ thể: Wx = (Xi, X?, . . . , xn).

Hàm của đối số 9: 0 L ( X j , x 2 , . . . , x n , 9) = f ( x , , 0 ) . f ( x 2 , 6). . . f (x„, 9)

và gọi là hàm hợp lý của tham số 8.

Giá trị của hàm hợp lý chính là xác suât (hay mật độ xác suất) tại

đ i ể m W x = (Xi , x 2 , . . . , x n )

Giá trị 9* = f (X[ , Ấ2, . . . , x n ) được gọi là ước lượng hơp lý tố i đa nếu ứng với giá trị này hàm hợp lý đạt cực đ ạ i .

Vì hàm L và hàm lnL đát cực đ ạ i cùng một giá trị của 9. Do vậy có thể tìm giá trị của 9 để InL đạt cực đai với các bước sau

159


(ịiáci trình tụ tltuụĩt xúc XI lất vú tliốnạ kẽ toán

Bước Ì : T ìm đạo hàm bậc nhất của lnL theo 9.

cUnl . „ Bước 2 : L ậ p phương trình : = 0.

Phương trình này được gọi là phương trình hợp lý. Giả sử nó có

nghiệm là 9() = (p(Xj, X i , . . . , x n ) .

. , ế à2 InL Bước 3 : Tìm đạo hàm bậc 2 : — — — .

ao 2

Nếu tại điểm 0()= cp(xì, X-2, . . . , xn) đạo hàm bậc hai âm thì tại

đ iểm này hàm lnL đạt cực đ ạ i . Do đó Go H cp(X|, \->, . . . , x n ) là ước lượng hợp lý t ố i đa của 9.

li- Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy

Ngoài cách dùng một con số để ước lượng tham số 9, ta còn có thể d ù n s mộL khoảng số nào đó đ ể ước lượng 9. Đ ổ tìm một khoảng số như Vcậy, ta nghiên cứu phương pháp khoảng tin cậy. Phương pháp này đã được nhà toán học Pháp p.s. Laplace nghiên cứu năm 1841 và được hoàn thiện bởi nhà thốn" ke M ỹ Ị. Ncyman năm 1937.

Ì- Mô tả phương pháp khoảng tin cậy

ĐỂ ước lương tham số 9 của đạ i lượng ngẫu nhiên X, lừ X ta lập

mẫu ngẫu nhiên W \ = ( X | , X2, . . . , x n ) .

Chọn thống kê 9 = f(X|„ x2, . . . , Xn, 9) sao cho: mặc , ; chưa biếl

giá trị của 0 nhưng qui luật phân phối xác suất của ẽ vẫn hoàn toàn xác định. Do đó với xác suất Gí khá bé (trong thực tố n«ười ta thường

lấy oe < 0,05) ta có thể lìm được hai số: a và b thỏa mãn:

Pi. a < ỏ < b) = Ì-oe (7.2)

í DU Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

Qhườttq. 7:.(lùt4i LÙỊÌUỊ. tóe luấ ttúe ỉnởtạ éủa tổng thế

N ế u từ (7.2) g i ả i ra dược 9. Tức là ta đưa b i ểu thức (7.2) v ề dạng; .

P ( ê ! < e < ê 2 ) = 1-cế

thì:

• Khoảng (Ồ Ì, Ồ 2) đưclc coi là ích.VI IV.. tin cây của e . Vì ô Ì, ế 2

là các đ ạ i lượng ngẫu nh iên nên khoảng ịặ ị, 0 2) là khoảng ngẫu nhiên.

• (1-ct) g ọ i là độ tin cậy (hệ số tin cậy) của ước lượng. Trong thực t ế người ta thường yêu cầu Ì-oe > 95% đ ể có thể sử dụng nguyên lý

xác suất lớn cho b iến cô : ( 6 Ì < 0 < 9 2)

• Ì = Ố 2 -Ồ Ì gọ i là độ dà i khoảng tin cậy. ỉ có thể là hằng số và cũng có thể là đ ạ i lượng ngẫu nhiên.

Đo xác suất Ì - a khá lớn; n ê n theo nguyên lý xác suất lớn ta có A • Ạ;.

thể coi b iến c ố ( 9 Ì < 0 < 82) hầu như chắc chắn xảy ra trong một p h é p thử . Thực h iện một p h é p thử đ ố i vớ i mẫu ngẫu nhiên W x , ta sẽ

thu được mẫu cụ thể : w x = ( X i , X2, . . . , x n ) . T ừ mẫu cụ thể này ta

tính được giá trị của 9 Ì và 9 2, ký h iệu các giá trị đó tương ứng là

9 | , 62.

Như vậy có thể k ế t luận: V ớ i độ tin cậy Ì - oe, qua mẫu cụ thể

w x , e nằm trong khoảng ( ồ * , 9*2). Tức là: ( ó ; < 0 < 9*2).

Phương pháp ước lượng này có ưu đ i ể m là: không những chỉ tìm,

được khồảng í ẻ l , 0 , ) đ ể ước lượng 9 mà còn cho b iế t độ tin cậy

của ước lượng. Tuy nhiên nó cũng chứa đựng kha nâng mắc phải sai lầm, xác suất mắc phải sai l ầ m là a.

Dưới đây chúng ta sẽ á p dụng phương p h á p này để ước lượng các số đặc trưng của tổng thể (cũng là các tham số đặc trưng của một đ ạ i

lượng ngẫu nhiên) .

161


íịlá* ỉrhứi bị thuyết xác Uiấí oà títấitạ kê toán

2 - ƯỚC ỉ ư ự n g t r u n g b ì n h c ủ a t ổ n g t h ê

Giả sử trong tổng thể đ ạ i lượng ngẫu nh iên gốc X p h â n phối theo

qui luật chuẩn N ( | i , ơ 2 ) nhưng chưa b i ế t ịi, ta cần ước lượng ụ với độ

tin cậy Ì - a.

T ừ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nh iên kích thước n:

Wx = ( X I , X 2 , x n )

và xé t các trường hợp sau:

2.1 Đã biết phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc X

Chọn đ ạ i lượng ngẫu nhiên : X - ư

z = ơ / V n

ở chương 6 ta đã b iế t z có phân phối N(0, 1)

V ớ i xác xuất oe khá bé ta tìm được một số z a thỏa mãn :

P ( | z | < z a ) = l - a (7.3)

Thay b iểu thức của z vào (7.3), ta được:

x - ị i

hay:

Hay.

ơ / V ĩ ĩ

= 1-a

ơ / V n = 1-a

V V n V n = 1-a

162


Qỉiựơnạ 7: (lẻửe. tưựtiạ eáe lố đặn trưng, eủatẩiiạ thề

Cuối cùng ta được:

\ Vn Vn;

Vậy với độ tin cậy Ì-oe, khoảng tin cậy của ụ. là:

x-za -^L;X + za-^L V v n V n y

Ký h i ệu :

(7.4)

8 được gọ i là độ chính xác của ước lượng. Nó phản ánh mức độ sai lệch của trung bình mẫu so vớ i trung bình tổng thể vớ i xác suất ( Ì -ó t ) cho trước.

Khi đó ta có thể v iế t :

P(X-e<ịi< X + e) = p(| x-ịi\<e)=l-a (7.5)

Ý nghĩa của biểu thức (7.5) là: Với xác suất Ì - a , trung bình của mẫu ngẫu nhiên nhận giá trị sai lệch so với ịi một lượng (theo giá trị

tuyệt đối ) nhỏ hơn 8.

( X - e ; X + s) được gọi là khoảng tin cậy đối xứng của ịi.

Trong trường hợp này, độ dài khoảng tin cậy là:

ỉ-(X+e)-( X- z) = 2e

Ưng với độ tin cậy 1-cc, khoảng tin cậy đối xứng có độ dài ngắn nhất. Vì vậy khi cần tìm khoảng tin cậy, thông thường ta chỉ cần tìm

khoảng tin cậy đ ố i xứng.

Vì độ tin cậy Ì- a khá lớn, nên theo nguyên lý xác suất lớn ta có

thể coi b iến cố ( X - 6 < ụ < X + E) hầu như chắc chắn xảy ra trong

163


ị gián ttùik tự ỉkuiịết xát tuất oà thống, ki toán

một phép thử. Thực hiện một phép thử đối với mẫu ngẫu nhiên wx,

ta sẽ thu được mẫu cụ thể: wx = (X|, X2, . . ., x„).

— Ì " T ừ mẫu cụ thể đó ta tính được: X = -7- V Xj

Với độ tin cậy Ì - a cho trước, tra bảng za (phụ lục 4) [hoặc dùng

hàm NORMSINV(l-a/2) trong Excel] ta sẽ tìm được giá trị za.

za là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên z ~ N(0, 1) thỏa mãn điều

kiệủ: P(| zl > za) = a.

Có thể minh họa giá trị Xa trên đồ thị nhử sau:

M Ạ

Ngoà i khoảng tin cậy đ ố i xứng ta cũng có t hể tìm khoảng ù n cậy bên phải và khoảng tin cậy bên trái.

• Khoảng tin cậy bên phải:

164


Qhiừtnợ. 7: CiỂte lượng, cát lá đát trưng, tủa. iểtếQ. thể

V ớ i a khá b é ta có thể tìm được một số Z2a sao cho:

P(|Z|>z2a) = 2a Ta c ó :

P(| z ị > z 2 o ) = 2a o P ( Z > z 2 o t ) = a

o p X - L i ——7= £ z , ơ / V n

= l - a o p H > X - Z 2o = l - a

V ậ y khoảng tin cậy của | i trong trường hợp này là:

( X - z 2 a - i L ; +00) (7.7) V n

(7.7) dùng đ ể ước lượng giá-trị t ố i thiểu của ịi

• Khoảng tin cậy bên trái:

Tiến hành tương tự như trên, ta tìm được khoảng tin cậy bên trái của l i là:

( -«> ; X + zĩa-^=)

V n

(7.8) dùng đ ể ước lương giá trị t ố i đa của ịi

(7.8)

2.2 Trưởng hợp chưa biết phương sai của đại lượng ngẫu nhiên gốc X.

X - ị i Trường hợp này ta xé t đ ạ i lượng ngẫu nhiên: T =

Người ta đã chứng minh được rằng: đ ạ i lượng ngẫu nhiên T phân phối theo qui luật Student vớ i (n - 1) bậc tự do.

Với xác suất oe khá bé, ta có thể tìm được một số ta sao cho:

P(|T|>ta) = a Từ đó suy ra:

165


cịiáữ trình lý. thuyết xóa mất oà thốnạ kê toán

P(-ta < T < to) = Ì - a ơ-9)

Thay b i ểu thức của T vào (7.9) ta được:

ỉ V ^ X - L I

- t „ < ỉ- < t = Ì - éc

G i ả i p. tương tự như đã làm ở phần 2.1, ta được:

/ - s - S Ì X - t a - ^ < n < X + t a - ) L

V n V n = Ì - a

V ậ y khoảng tin cậy của ịi (vớ i độ tin cậy Ì - oi) là:

(X-t A;X + t A) v n V n

Từ mẫu cụ thể wx = (X|, x2, . . . , xn) ta tính được X và s. Từ đó xác định khoảng tin cậy cụ thể của ịi theo công thức:

x i t a - 7 = V n

(7.10)

Trong đó ta là giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nh iên T p h â n phối theo qui luật Student với n - Ì bậc tự do thoa m ã n đ iều k i ệ n :

P(|T|>ta) = a

Để tìm ta ta có thể ưa bảng ở phần phụ lục hoặc dùng hàm TINV trong Excel.

Chẳng hạn vớ i độ tin cậy Ì- a = 95% (tức a = 0,05) và k ích thước mẫu n = 50 (lức bậc tự do là n - Ì = 49). Khi đó :

ta = TINV(0.05,49) = 2,009574 * 2,1


ỉ 66


&tưưuụ 7: (túc Ittẹtttạ các, xổ đọa tnútạeỉia tổ tui thi

( x - t * ; +co) (7.11) V n

(7.11) dùng đ ể ước lượng giá trị tố i thiểu của ịi

• Khoảng tin cậy bên trái:

(-ao; x + t 2 ót (7.12)

(7.8) dùng đ ể ước lượng giá trị t ố i đa của |J.

* Chú ý: Khỉ kích thước mẫu n > 30 thì phân phối Student xấp xỉ

với phânyhối chuẩn NịO, 1) Vì vậy ta có thể dùng z a thay cho ta trong cổng thức (7.10)

Thí đít ĩ: Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 héc ta trồng lúa

của một vùng, người ta tính được: X = 46 tạ/ha; s = 3,3

Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của toàn vùng với độ tin cậy 95% b i ế t năng suất lúa của vùng này là đ ạ i lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luậ t chuẩn

Giải: Gọi ụ là năng suất lúa trung bình của toàn vùng. Ta cần ước lượng f i vớ i độ tin cậy 95%.

X là đại lượng ngẫu nhiên biểu thị năng suất lúa ở vùng này. X phân

phối theo quí luật chuẩn với kỳ vọng toán là | i và phương sai là ơ 2

chưa b i ế t .

Áp dụng công thức (7.10) ta có khoảng tin cậy của ụ. là:

V n

Với độ tin cậy Ì - oe = 95% và bậc tự do (n-L) = 99 tra bảng t a ở phụ lục 6 (hoặc dùng hàm TINV trong Excel) la được:

x ± t s

a

167


lịiáo trì nít Ị lị thuyết xác tuất gà thối tạ kè toán

t a = to,05 =TINV(0.05,99) = 1,984

Theo số liệu của bài toán ta có: X = 46 ; s = 3,3 nên:

e = 1 , 9 8 4 . ^ = 0 , 6 5 4 7 2

Vậy khoảng tin cậy của 1-1 là: (46 - 0,65472 ; 46 + 0,65472)

Hay: (45,345 < ụ. < 46,655) tạ/ha

Thí dụ 2: Theo dõi mức nguyên liệu hao phí để sản xuất mót đơn vị sản phẩm người ta thu được các số l i ệ u cho ở bảng sau:

Mức ng/1 hao phí - Xi (gr) Sô sản phẩm

19,0 - 19,5 2 19,6 - 20,0 10 20,1 - 20,5 8 20,6 - 21,0 5

. Ước lượng mức hao phí nguyên l i ệ u trung bình mức cao nhất để

sản xuất một đơn vị sản phẩm với độ tin cậy Ì- a = 98% ? Giả thiết

mức hao phí nguyên liệu để sản xuất một đơn vị sản phẩm là đại

lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn.

Giải: Gọi X là mức nguyên liệu hao phí để sản xuất một đơn vị sản

phàm. Theo giả thiêt thì X ~ N(f.i, ơ ) với | i là mức nguyên l i ệu hao phí trung binh đ ể sản xuất một đơn vị sản phẩm . Ta cần ước lượng giá trị t ố i đa của ụ. với độ tin cậy 98%.

Trường hợp láy kích thước mẫu n = 25 và ơ2 chưa biết.

168


Qhướtig. 7: (lùte Itáđng. eáe íố đăă trưng, eàa tơ nợ thể

T ừ số l i ệ u đã cho, ta tính được: x = 20,116 ; s = 0,461365.

Với độ tin cậy Ì- a = 98% , tra bảng phân phối- Student với bậc tự dờ

n - Ì = 25 - Ì = 24 ta được: t 2 a = to.04 = 2,1715.

Giá trị tối đa của ịi\ằ:

X + t 2 a 4 = = 2 0 , 1 1 6 + 2 T 1 7 1 5 0 , 4 ^ 1 Ỉ . 6 5 = 2031637 gr Vrt V25

3- ựởc lượng tỷ lệ của tổng thể

Giả sử tổng thể ta đang nghiên cứu gồm N phần tử . Trong đó có M .

phần tử có tính chất A nào đó. p = — là tỷ lệ các phân tử có tính

chất A của tổng thể. Thông thường p chưa biết, cần ước lượng p. Để ý rằng p cũng chính là xát suất đ ể lấy được phần tử có tính chất A khi l ấy ngẫu nhiên từ tổng thể ra một phần tử , nên bài toán t rên là bài toán ước lượng tỷ l ệ tổng thể (hay ước lượng xác suất).

Gọi X là số phần tử có tính chất A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể . X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên có luật phân phối xác suất

như sau:

X 0 1

p q p

E(X) = p ; Var(X) = pq

Gọi Xi (i = Ì, 2, .... n) là số phần tử có tính chất Ạ có trong lần

lấy thứ i . Các đ ạ i lượng ngẫu nhiên Xi có phân phối xác suất giống

X. Ị n

Xét đ ạ i lượng ngẫu nhiên: F n = 7 X X - l à l ỷ !ệ m ^ u n s ẫ u nhiên . n i=i

169


cịiáo trình tụ thuyết xòe. tuất oà thốn// kẻ toán

Ta có thể chứng minh được: E(F n ) = p ; V a r ( F n ) = pq n

Theo định lý Lindcberg - Levy, đ ạ i lượng ngẫu nhiên:

z= F" p

có phân phối xấp xỉ N(0, 1).

Vì vậy la có thể tìm được giá trị za thỏa mãn điều kiện:

p(Ịz|<0=l-a

Thay biểu thức của z xác định theo (7.13) vào (7.14) ta được:

(7.13

(7.14

(F„ - P ) V ^ = l - a V P ( Ỉ - P )

(7.15) c>p[n(Fn -p)2 <(p-p2)zij=l-ct

o p[(n + z*)p2 -(2nF„ +z^)p + n(Fn)2J= 1-a

oP(p, <p<p2) = l-a

Trong đó:

(7.1Í

p . = n F n + 0,5z> - z a V n F n ( l - F n ) + 0,25z •N

n + z >

Vi = n F n + 0 , 5 z ^ + z a V n F n ( l - F n ) + 0,25z*

(7.1«

n + z; J

170


ggggỊMg 7: (lùừe íưưnợ eáe lá đặe ÍMúiíị. eủm. tổng thể

N ế u có mẫu cụ thể ta sẽ tính dược giá trị của P i và P2, ký h i ệ u các j ạ i trị đó tương ứng là p t và p z . T ừ đó ta có khoảng t in cậy đ ố i

xứng của p là:

(P t < p < p 2 )

Việe áp đọng công thức (7.16) khá phức tạp và chỉ cho phép tìm khoảng tin. cậy đổi xứng của p. Do đó n ế u có t h ể đ iều ư a một mẫu có kích thước n khá lớn (n > ỉ00) thì thống k ê :

có p h â n phối xấp xỉ N(0, 1)

Vì vậy, với độ tin cậy (Ì- a) cho trước ta có thể tìm được giá trị za

thỏa m ã n d i ề u k i ệ n :

Thay b iểu thức của z xác định theo (7.17) vào (7.18) ta được:

z = (7.17)

(7.18)

p [ ( F n - p ) V ^ <za = l - c t (7.19)

Sau một số p h é p b i ế n đ ổ i tương đường vớ i b iểu thức trong ngoặc của (7.19), ta được:

v ớ i mẫu cụ thể ta có khoảng tin cậy đối xứng của p là:

171


(ịìáfr trình hị thuyết xòe mất DÙ thấu ạ kè toán

f ± z a ị ĩ { ỉ - (7.20)

Trong đó í" là ly lệ phần lử có tính chất A của mẫu cụ thể (cũng

chính là một giá trị của F n ) ;


( r - * * , J í Ẹ * : + « ) OM

Khoảng tin cậy (7.21) dùng đ ế ước lượng giá trị tôi thiêu của p.

• Khoảng tin cậy bên trái

( _ „ ; f + Z 2 a i p E £ > ) (7.22,

Khoảng tin cậy (7.22) dùng để ước lượng giá trị tối đa của p

Thí dụ 1: Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm do một máy sản xuất thấy có 20 p h ế phẩm. V ớ i độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ l ệ phế

phẩm tố i đa của máy đó .

Giải: Gụi p là tỷ lệ phế phẩm của máy nì V trì cần ước lượng giá trị t ố i đa của p với độ tin cậy 95%. Đây là bai loan ước lượng lý l ệ lổng thể bằng khoảng tin cậy bên trái vớ i kích thước mẫu là n = 400. Khoảng tin cậy của p đ ư ợ A á c định theo công thức:

( _ „ ; f + í a J Í ( l _ í ) )

V ớ i độ tin cậy Ì - a = 95% thi z2n = Z(,,1 = 1.645;

20 Tỷ lê phế phẩm của mẫu cu (hể: [' = —— = 0,05

400


ẽku&ttợ. 7: (lừa lư&ttg đác tố đặe trưng, của tẨềtạ títể

V ậ y khoảng tin cậy t ố i đa của p là:

í ' n n c 0,05(1^0,05) \ ( - 0 0 ; 0,05 + 1,645. — - ) v V 400 •

Hay: p < 0,0679

Tức tỷ l ệ p h ế phẩm t ố i đa của m á y đó là 6,79%

Thí du 2: Nghiên cứu nhu câu tiêu dùng của một loại hàng ở một thành phố, người ta t i ến h à n h đ iều tra nhu cầu tiêu dùng v ề mặ t hàng này ở 100 gia đ ình thì thấy có 60 gia đ ình có nhu cầu v ề l o ạ i hàng đó . H ã y ước lượng tỷ l ệ gia đình có nhu cầu về mặ t h à n g đó của toàn thành phố vớ i độ t in cậy 95% ?

Giải: Gọi tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng này là p (p chưa biế t ) . Ta cần ước lượng p vớ i độ tin cậy 95%. Đây là bà i toán tìm khoảng tin cậy đôi xứng của tỷ l ệ tổng thể .

Theo giả thiết của bài toán ta có: .

Tỷ lệ gia đình có nhu cầu về mặt hàng này trong mẫu cụ thể là:

60

Với độ tin cậy Ì - a = 0,95 i> za,= 1,96

A i lõi

1,96 < p , 6 ( 1 - 0 , 6 )

1 100 = 0 , 0 9 6

V ậ y khoảng tin cậy đ ố i xứng của p (với độ tin cậy 95%) là :

(0,6 - 0,096 ; 0,6 + 0,096)

Hay: (50,4% < p < 69,6%)


ẨẬiảv trình lý thuyết xuê mất oà thống, kê toán

Nếu sử dụng công thức (7.16) thì kết quả là:

_ 0 , 6 x l 0 0 + 0 ,5( l ,96) 2 - 1 , 9 6 ^ 0 ^ 5 ( 1 , 9 6 ) 2 + 0 , 6 x 0 , 4 x 1 0 0 P l ~ 100 + (1,96) 2 ~

= 0,502

_ 0 , 6 x i 0 0 + 0,5(1,96) 2 + l , 9 6 V o , 2 5 ( l , 9 6 ) 2 + 0 , 6 x 0 , 4 x 1 0 0 V ĩ " 1 0 0 + (1,96) 2

= 0,6906

V ậ y : (50,2% < p < 69,06%)

Ta thấy k ế t quả của hai cách ưnh chênh l ệch không đ áng k ể .

4 - ước lượng phương sai của tổng thể

Giả sử đ ạ i lượng ngẫu nh iên X phân phối theo qui luật ehuẩn, chưa b iế t phương sai cua nó. c ầ n ước lượng Var (X) vớ i độ tin cậy Ì - a.

T ừ X lập mẫu ngẫu nh iên Wx = ( X i , x 2 -X n ) và xé t 2 trường hợp sau đây :

4.1- Đã biết kỳ vọng toán E(X) = ỊJ.

2 » ( X i - l i ) 2

Xét đ ạ i lượng ngẫu nhiên: X - 2li ĩ

1=1 ơ"

2 Người ta đã chứng minh được rằng X p h â n phối theo qui luậ t "Chi

bình phương" vớ i n bậc tự do. N ê n vớ i xác suất a khá b é ta có thể

tìm được hai số xì lĩ v à XỈ-o/2 sao cho:

P(XỈ-«,2 <x2<xầ/2) = l-a (7.23)

Hay:

174


@itương. 7: (fỉởe lương. eáe. Ằố đăe trtếitụ của téửiỢ- thể

P(X2>X2a/2) = a/2 vàP(xỉ>xL/2) = l-a/2

Để tìm xin và XỈ-a/2 ta có thể tra bảng ở phần phụ lục (bảng xầ)

hoặc dùng h à m CHIINV trong Excel.

Chẳng hạn, vớ i độ tin cậy Ì- (X = 95% (tức a = 0,05) và bậc tự do 46

thì: xin = XỈ,025=CHIINV(0.025,46) = 66,616468

xlan = XỈ.97S - CHIINV{0.975,46) = 29,16

Thay b iểu thức của X v à o (7.23) và g i ả i ta được:

Z ( X , - n ) a

Xã/2 < ơ <

XĨ-o/2

(7.24)

V ớ i mẫu cụ thể Wx = ( X i , x 2 , . . . , x„) ta có thể tính được:

I(Xi - Î)2

2 và từ (7.24) ta tìm được khoảng tin cậy của ơ

Xa/2 < ơ <

XĨ-a/2

(7.25)

Ta chú ý rằng khoảng tin cậy này không đ ố i xứng.

* Khoảng tin cậy bên phải của ơ

V Xa + 00 (7.26)

* Khoảng tin cậy bên trái của ơ

175


ịịiáo.tẹẬíth bị thuyết xác Mất oà thốềiq. kê toán

Xl-a

Í7.27)

4-2 Trường hợp chưa biết E(X)

VUA - 1 « * K - 2 ( n - l ) S 2 * Xét đ ạ i lượng ngẫu nhiên: X - ị

ơ Người ta đã chứng minh được rằn?: đ ạ i l.ượng ngẫu nh iên này phân

phối theo qui luật "Chi bình phương " v ớ i (n'=- 1) bậc tự do.

L ậ p l ạ i các bước như đã tiên hành ở trường hợp 4-1 ta sẽ tìm được 2

khoảng tin cậy của ơ vớ i độ tin cậy Ì - oe là:

( n - l ) s 2 , ( n - l ) s 3

< ơ < - — : Xa/2 xĩ-a li

(7.28)

Thí dụ: Mức hao phí nguyên l i ệ u cho một đơn vị sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X phàn phối theo qui luật chuẩn vớ i E(X) = 20 (gr). Quan sái 25 sản phẩm, ta có các số l i ệ u cho ở bảng sau:

Trọng lượng na/1 hao phí (gr) 19,5 20,0 20,5 Sô sản phẩm 5 18 2

V ớ i độ tin cậy Ì - a = 95%, hãy ước lượng Var(X)

Giải: Lập bảng tính như sau:

X i ni (Xi - 20) (Xi - 20) 2 n i C X i - 2 0 ) 2

19,5 5 - 0 , 5 0,25 1,25 20,0 18 ' 0 0 0 20,5 2 0,5 0,25 0,5

Tổnu n = 25 1,75


&íừớiiạ. 7: (it&e. Iưưitij eáe SẨ ităe trtiitạ của tổng thể

Tra bảng ỵ1 với bậc tự do n = 25 ta được:

XỈ-c/2 = XỈ.975 = 13'12 ; xin = XỈ.025 = 40,6465

Vậy khoảng tin cậy của ơ2 là:

1,75 _ 2 1,75 < a <

40,6465 13,12 hay: (0,043054 < ơ 2 < 0,133384)

• Trong thí dụ trên, nếu chưa b iế t E(X) = 20 thì ta tính s2. V ớ i số

l i ệ u đã cho, ta dễ dàng tính được s 2 = 0,0692. #

Tra bảng "1 với bậc tự do n -*• Ì = 24 ta được:

xL/2 =xỉ,975 = 12,401 ; xiu =^Ỉ.M5 = 39,3641

Vậy khoảng tin cậy của ơ2 trong uường hợp này là:

hay (0,04219 < ơ2 < 0,133925) 24.(0,0692) 2 24.(0,0692)

39,3641 12,401

5- X á c đ ị n h k í c h t h ư ớ c m ẫ u

Ta thấy chất lượng của ước lượng được phản ánh qua độ tin cậy ( Ì - oe) và độ chính xác E. Đ ộ tin cậy và độ chính xác càng cao thì ước lượng đó càng tốt. Nhưng độ chính xác s l ạ i phụ thuộc vào kích thư^c mẫu (n) và độ Ún cậy Ì - a. v ấ n đề đặ t ra là, ta muốn độ tin cậy Ì - ót và độ chính xác s đạt được ở mộ t mức nào đọ cho trước thì cần kích thước mẫu (n) t ố i thiểu là bao nhiêu ?

5.1- Xác định kích thước mẫu khi ước lượng trung bình tổng thể

2 . ơ

a- N ế u biết Var(X) = ơ , thì từ công thức: 8 = za-ị= V n

177


íịỉán trình iụ thuyết xòe. mất oà thốuạ kè loàn

2 ơ2

ta suy ra ti = ( z a ) - 7 - (7.29) 8

b- Nếu chưa biết ơ2 , khi đó ta căn cứ vào mẫu đã cho (nếu chưa

có mẫu thì ta có thể t i ến hành l ấy mẫu sơ bộ với kích thước n i , Từ

mẫu này ta tính s ; với bậc tự do nI - Ì , tra bảng phân phối Student

(hoặc dùng hàm TINV) đ ể lìm t a . Từ đó xác định kích thước mẫu (n) theo công thức:"

. 2 s 2

n = (ta) 2 (7.30) 8

* Chú ý: Nếu bài toán thực t ế đòi hỏ i n phải là số nguyên mà khi tính n theo công thức (7.29) hoặc (7.30) ta l ạ i được n là số không nguyên thì khi đó ta lấy phần nguyên của nó cộng vớ i 1.

5.2- Xác định kích thước mẫu khi ước lượng tỷ lệ tổng thể

T ừ công thức:

£ - z a 1

ta suy ra:

! f ( l - f )

n

/ x2 f ( l - f ) n = ( z „ r v (7.31)

£ * Chú ý: Đe có f thay vào công thức (7.31) ta dùng mẫu đã cho hoặc mẫu đ iều tra sơ bộ lần đầu với kích thước ni > 100 đ ể tính ĩ.

6- Xác định độ tin cậy

Khi ước lượng các số đặc trưng của tổng thể bằng các số l i ệ u quan sát của một mẫu có kích thước n, nếu ta muốn độ chính xác (e) đại được ở một mức nào đó thi độ tin cậy (1 -a ) sẽ là bao nh iêu?

6.1- Xác định độ tin cậy khi ước lượng trung bình tổng thể

178


& Ị ươi Ị Ị/ 7: (Ịtức Ịưựnạ etíe lố đặc trưng càu tổ MỊ thế

b- N ế u biết Var(X) = ơ , thì từ công thức: ơ

£ = z a Ị— V n

ta suy ra

Za= ^ (7.32) ơ

Sau khi xác định được z a la suy ra độ tin cậy Ì - a (tra bảng hoặc dùng h à m NORMSDIST)

b- Nếu chưa biết ơ2 , khi đó la căn cứ vào rriSu đã cho (nếu chưa

có mẫu thì ta có thể t i ến hành lấy mẫu sơ bộ kích thước ni để tính s.

T ừ đó xác định t a theo công thức:

e v n ta = — (7.33)

s

R ồ i suy t iếp độ tin cậy Ì - a (tra bảng hoặc dùng h à m TDIST).

6.2- Xác định độ tin cậy khi ước lượng tỷ lệ tổng thể

T ừ công thức:

E = Z a 1

f f ( l - f )

n ta suy ra:

e v n 2 u = r — — (7.34)

Như vậy, trong 3 tham số: n ; 8 ; za (hay Ì - a) ; nếu ta biết được hai tham số thì có thể tính được tham số còn l ạ i (công thức tính bạn đọc có thể suy từ công thức tính e ironiỉ các bài toán ước lượng đã Bết )

179


íịỉá& trình bị thuyết xòe mất oà íhốểiợ. kè tơán

C h ư ơ n g . 8

KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THONG KÊ

I. Các khái niệm

Ì- Giả thiết thống kê

Giả thiết thốni> kê là những giả thiết nói về các tham số, dạng qui luật phân phối; hoặc tính độc lập cửa các cỉại lượng ngẫu nhiên.

Việc tìm ra kết luận bác bỏ hay chấp nhận một giả thiết gọi là kiểm định iịiả thiết thốníỊ kè.

Kiểm định giả thiết thống k.ê là một trong các bài toán cơ bản của thống kê toán.

Thí dự ỉ: Trọng một báo cáo nói rằng: năng suâựúa ưung bình của linh \ năm 2001 là 6,8 tân/ha thì ta có thể coi đó là một giả thiết

thống kê , giả thiết này nói về một tham số (kỳ vọng toán) cùa đại lượng ngẫu nhiên b iểu thị năng suất lúa của tỉnh này. Dựa vào số l i ệu của một mẫu đ iều ưa. về năng suất lúa của tỉnh và qui lặc kiểm định (sẽ nêu ở phần sau) đ ể đưa ra một kế t luận là bác bỏ hay chấp! nhận giả thiết trên.

Thí dụ 2: Người bán cho rằng tỷ lệ sản phẩm loại li của lô hàng là 10%, ta có thể coi đây là một giả thiết thống kê . Giả thiết này nói về

một tham số (kỳ vọng toán) của đạ i lượng ngẫu nhiên X- là số sản phẩm loai l i có trong sán phẩm chọn ngẫu nhiên từ lô hàng. Bên mua có thể t iến hành lấy mẫu đ ể " k i ể m tra" đ iều mà bên bán đã khẳng đinh xem có đúng hay không, như t hế lức là bên mua hàng đã l i ến hanh k i ể m định một 2,'ìẪ thiết t h ố n ơ kê .

180


@ltươnạ 8: Xiểm đinh già thiết thếiiụ kè

Cách đặt giả thiết thống kê:

Ta có 2 cách để chứng minh một chân lý, nghĩa là có 2 cách để thuyết phục người khác thấy dược chân lý đó.

Ví dụ: Chân lý là Ạ * B -và cũng là điều mà người, nghiên cứu muôn chứng minh.

Cách thứ nhất: Đưa ra giả thiết: A * B rồi tìm dữ kiện để chứng tỏ rằng giả thiết ấy là đúng, là phù hợp (tức là có ý đề nghị người khác chấp nhận giả thiết đó)

Cách thứ hai: Đưa ra giả thiết là: A = B và tìm dữ kiện để chứng tỏ rằng giả thiết này là không phù hợp và ta bác bỏ giả thiết này (tức ìà có ý đề nghị người khác chấp nhận A 5* B)

Vây cùng một chân lý, ta có thể đưa ra 2 giả thiết. Vậy cách nào là hợp lý hơn ?

Thống kê toán sử dụng phương pháp qui nạp, nghĩa tà đi từ trường hợp cá b iệ t (mẫu) đ ể suy ra trường hợp tổng quát (tổng thể), bằng cách dùng dữ k i ệ n của mẫu đ ể chứng minh giả thiết về tổng thể đó

Khi dữ kiện phù hợp với giả thiết thì điều này không là cơ sở để thuyết phục chấp nhận giả thiết đó vì khi dữ l i ệu phù hợp với giả thiết này, nó cũng đồng thời phù hợp với giả thiết khác. Cho nên khi

. hì k iện phù hợp với giả thiết ta cũng chưa chứng minh được giả thiết

là đúng một cách chắc chắn.

Còn khi dữ kiện không phù hợp với íĩả thiết thì điều này chắc chắn lạ cơ sở đ ể bác. bỏ giả thiết đó.

• Hơn nữa, một giả thiết khi nó đù lì ti thì bao giờ nó cũng phù hợp với thực t iễn. Khi có bằng chứng rút l ừ thực t iễn thấy không phù hợp thì ta có thể kế t luận nia thiết đó là không đúng.

181


éý/áo trình tý. thuyết xòe Mất DÙ tltốttụ kê toán

Trong thống kê toán, việc bác bỏ mộ t giả thiết dựa v à o x á c suất xảy ra b i ến cố có liên quan đến giả th iế t đó . M ộ i giả thiết chỉ có ửể xảy ra vớ i xác suất rất nhỏ thì trên thực t ế già th iế t đó hầu như không đúng , nên ta bác bỏ giả th iế t ấy .

Dư.i vì;• ì .ít !\ 'lòn, khi dặt giá thiết thống kê ta lưu ý một số vàn de sau:

o Giả thiết đát ra với ý đồ hác bỏ mi, nehĩíi là già thiết đặt ra l i . • . . , uunu, muôn thuyết phúc . Vì vậy khi bác bỏ được g iả thiết có nghĩa là ta đã chứng minh được điều

ngược l ạ i .

© Gia thiết đặt ra sao cho khi chấp nhận hoặc bác bỏ nó sẽ có tác

dụng trả lờ i được câu hỏ i mà bà i toán thực t ố đặ t ra.

© Giả thiết đặt ra nếu nó đúng thì ta sẽ xác định được qui luật phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên được chọn làm liêu chuẩn k i ể m định.

o Khi đặt giả thiết ta thường so sánh cái chưa biết với cái đã biết.

"Cá i đã b i ế t " mà ta nói ỏ đây thường là những thông tin quá khứ, cấc định mức kinh t ế , kỹ thuật.

© Giả thiết đặt ra thường mang nghĩa :"không khác nhau", hoặc "khác mà không có ý nghĩa" hoặc "bằng nhau".

Chẳng hạn, qua thực tiễn công tác ta có nhận xét là mức thu nhập bình quân của dân cư ở một thành p h ố h iện nay cao hơn ưước đây, và giả sử rằng ta đã b iết một thông tin là thu nhập trung bình ở thành phố này năm 1998 là 400 ngàn đ/người/ tháng. Khi đó la có thể đặt g iả thiết:

Thu nhập bình quân của một người ở thành phố hiện nay là 400 ngàn đ/người/tháng (bằng thu nhập bình quân n ăm 1998)

182 •


ũliườiHị 8: "Kiểm định già thiết thống kê

Giả thiết ta nêu ở trên nói vồ kỳ vọng toán của đ ạ i lượng ngẫu nhiên b iểu thị thu nhập của những người dân cư trú trên địa bàn thành phố này. Mức thu nhập bình quân của một người ở thành phố này h iện nay là bao nhiêu ta chưa b iết , còn thu nhập trùn" bình của một người ở thành phố năm 1998 là ihông tin quá khứ (đã biết) .

Giả thiết đặt ra như vậy gọi là giả thiết cần kiểm định. Giả thiết

cần k i ể m định còn được gọi là giả thiết không (null hvpoihesis) ký h iệu là Ho (hoặc H). M ộ t mệnh đề đ ố i lập với Ho được gọi là giả thiết đổi và được ký h i ệu là H | (hoặc H )

Chẳng hạn:

Hụi 8 = Gi.: H i : , 8 * 9 n

(0 hì môi tham số nào đó của đại lượng Iiíìẫu nhiên ta đan" nghiên cứu ; Go-JỊà--giá-Ịf ị đ ậ i ú ố t ) .

Nếu kiểm định eiả thiết với ma Lluèi đối có dạng này được ÌĨỌ1 là k i ể m định giả thiết hai phía (.VI miền hác bỏ năm '.* hại phía của miền chấp nhận).

Giả thiết đối dang: 9 * 0() thường được áp dụng khi la chưa biết rõ

trong thực t ế tì > «u.hiỊi_ n-.<Jo

Nhưng nếu bằng kinh nghiệm hoặc qua phân tích la biết được

chiều hướng là 0 > 0() thì la có ihể đặ t giả thiết đ ố i dạng: 0 > 0(1 .

Hoặc ta b iế t được-chiều hướng là 8 < Go thì ta có thể đặ t giả thiết đ ố i

dạng: 0 < Bo

Thí dụ: Tỷ lệ phế phẩm của nhà máy trước đây là 5<7( . Sau khi nhà máy áp dụng công nsíhệ sản xuất mới người ta l i ến hành k i ế m tra

400 sản phẩm thì thấy có l ỗ phế phẩm. Hãy kết luận xem công nghệ sản xuất mới có thực sự làm giảm tỷ l ệ phố phẩm của nhà máy hay

không?

183


íịíảe trinh Ui thuyết xác mất oà íhốitợ, kê toán

Ta đặ t p là tỷ l ệ p h ế phẩm của nhà m á y sau khi á p dụng công nghệ sản xuất mới (p chưa b iế t ) . Ta có tỷ l ệ p h ế phẩm của mầu là:

f = - Ì — = 0 04 (tức 4%). Như vây ta thấy tỷ lê mẫu nhỏ hem 5%. Mà 400

như ta đã b iế t , tỷ l ệ mẫu là ước lượng đ i ể m của tỷ l ệ tổng thể (p), vì t h ế p có xu hướng là nhỏ hờn 5%. M ặ t khác la đ ề u b iế t , trong thực t ế , khi nhà máy thay đ ổ i cồng nghệ sản xuất thì công nghệ sản xuất mới thường là h iện đ ạ i hơn, t i ền t i ến hơn về nhiều mặ t . Vì vậy việc tỷ l ệ p h ế phẩm giảm hớn công nghệ cũ cũng là một xu thố phổ biến

trong thực tế . Do. vậy đ ể tra lờ i cho câu hỏ i của bài toán, ta có thể t i ến hành k i ể m định giả thiết :

Ho: p = 0,05; với giả thiết đối Hi: p < 0,05

Khi kiểm định giả thiết này, nếu ta bác bỏ Ho thì có nghĩa là tỷ lệ

p h ế phẩm của nhà máy này thực sự đã g iảm. Ngược l ạ i , nếu He

không bị bác bỏ thì ta chưa có cơ sở đ ể khẳng định tỷ l ệ p h ế phẩm của nhà máy này đã g iảm.

Nếu kiểm định giả thiết với giả thiết đối có dạng: Hi: 8 > Go; hoặc

Hi :9 < Go; thì được gọ i là k i ể m định giả thiết một phía (vì m iền bác

bỏ nằm về một phía của m i ề n chấp nhận).

Nếu giả thiết đối có dạng Hi: 0 > Go; thì được gọi là kiểm định giả th iế t về phiu bên phải ( v í m i ề n bác bỏ n ằ m về phía b ê n phải của miền chấp nhận).

Nếu giả thiết đối có dạng Hi: 9 < Go; thì được gọi là kiểm định giả th iế t về phía bên trái (vì m i ề n bác bỏ nằm v ề phía b ê n trái của miền

chấp nhận).

Nhiệm vụ của lý thuyết kiểm định giả thiết thống kê là: bằng thực nghiệm (thông qua mẫu cụ thể ) k i ể m tra tính đúng (sai) của giả

th iế t Ho,

184


(Ệhưđnạ 8: 'Xiểm định í/iu thiết Úiổ4iQ.-kỀ

2-Mức ý nghĩa , m i ề n b á c bỏ

Có thể mô tả phương pháp k i ể m định giả thiết thống kê như sau:

Xuất phát từ yêu cầu của bài toán thực tế, ta nêu ra một giả thiết

Ho và giả thiết đ ố i của nó.

Giả sử rằng Ho đúng, từ đó tìm một biến cố cổ xác suất đủ bé để có thể tin rằng b iến cố đó hầu như không thể xảy ra trong một phép thử . M u ố n vậy, từ mẫu ngẫu nhiên:

WX = (X,,X2, ...,xn)

ta chọn: z = f ( X | . X2, • • • , x „ , 0o)

z được chọn sao cho: nếu Ho đúng thì ta sẽ xác định được qui luật phân phối xác suất của z và với mẫu cụ thể ta có thể tính được giá l ạ của z . Đ ạ i lượng ngẫu nhiên z được gọi là liêu chuẩn k i ể m định

giả thiết Ho.

Do qui luật phân phối xác suất của z đã b iế t , nên với (X bé tùy ý ta có thệ tìm được m iền w a sao cho P(Z e w a ) = ót. M i ề n w a được gọi là miền bác bỗ giả thiết H(). Trong thực t ế thường chọn. a trong khoảng ( 1 % ; 5%). a được gọ i là mức ý nghĩa của k i ể m định.

Thực hiện một phép thử đ ố i với mẫu ngẫu nhiên w x , ta thu được

mẫu cụ thể w x = (X| , X i , . . . . x n ) . T ừ mẫu cụ thể này ta tính được

giá trị của z (ký hiệu là z) và gọi là giá trị thực nghiệm:

z = f(xi, x2)..., x„, e0). •

N ế u ỉ e W a thì ta bác bỏ giá thiết Ho thừa nhận Hi

N ế u z Ể w a thì ta chấp nhận H(>. •

* Cần lưu ý là: khi nói "chấp nhận Ho" đ iều đó không có nghĩa là

giả thiết Ho là đúng mà chỉ có nghĩa là với số l i ệ u của mẫu la chưa .

185


iịiúo trình uy t/tuyết xúc mất oà thốnạ Uế toán

đủ cơ sở (chưa đủ bằng chứng) đ ể bác bỏ H(). Trong thực hành tốt

hơn là nên nói rằng: "có thể chấp nhận Ho" hoặc "chưa vó cơ sở để

bác bo Ho"

3- Sai lầm loại Ì và sai lầm loại 2

Khi k i ể m định một giả th iế t thống kê , chúng ta có thể mắc phải một trong hai loạ i sai l ầ m sau đây:

ít" Sai lầm loại 1: Là sai l ầ m mắc phải khi ta bác bỏ một giả thiết

Ho trong khi thực t ế thì giả thiết Ho đúng.

Xác suất mắc phải sai l ầ m l o ạ i này bằng mức ý nghĩa a. Tức là:

P(Z € w a ) = a (Xác suất đ ể tiêu chuẩn z thuộc m i ề n bác bỏ w n

nếu g iả thiết H().đúng). N ế u a càng bé thì khả năng phạm phải sai l ầ m loạ i Ì càng ít.

b- Sai lầm loại 2: Là sai l ầ m mắc phải khi ta chấp nhận giả thiết

Ho trong khi thực t ế thì g iả th iế t Ho sai.

Xác suất mắc phải sai l ạ m loạ i 2 là xác suất đ ể z nhận giá trị

không thuộc m iền bác bỏ w a khi Ho sai (tức H i đúng) . N ế u ký hiệu xác suất mắc phải sai l ầ m loạ i 2 là ị3 thì:

|3 = P(ZẾ Wa/H,) (8.1)

Khi đó biến cố không mắc sai lầm loại 2 là biến cố để z nhận giá

trị thuộc miền bác bỏ và do đó ta b á c bỏ Ho trong khi thực t ế thì Hi

đúng. Ta ký hiệu b iến cố này là (Z 6 W a / H | ) .

Biến cố trên đối lập với biến cố (Z £ Wa/H|) nên xác suất của nó là:

P(Z 6 Wu/H,)= 1-p (8.2)

186


@jrggỊgg Si Xiểm đinh giả thiết tltổnụ kê

1-P được gọi là lực k i ể m định giả thiết H(). Nó chính là xác suất "không mắc sai l ầ m loạ i 2". p càng nhỏ thì lực kiểm.đ ịnh càng lớn.

C á c trường hợp xảy ra khi t i ến hành k i ể m định giả thiết thống kê có thể tóm tắt dưới dạng bảng sau:

—^Tình huống

K ế t luận

Ho đúng Ho sai

Bác bỏ Sai l ầm loại 1 (xác suất = a)

K ế t luận đúng (xác suất = 1-P)

Chấp nhận K ế t luận đúng (xác suất = 1-a)

Sai l ầ m loạ i 2 (xác suất = Ị3)

Cả hai loạ i sai l ầ m đ ề u gây ra tác hại . Chẳng hạn:

+ Chấp nhận một lô hàng xấu hoặc từ chối một lô hàng tốt đều là

tai hạ i .

+ Cho đậu một thí sinh yếu kém (mà đáng lẽ ra phải rớt) hoặc cho rớt một thí sinh g i ỏ i (mà đáng l ẽ ra phải đậu) đều là những sai l ầm tai hạ i .

Dĩ nhiên ta cố gắng hạn chế các sai lầm, hạ thấp xác suất mắc phải sai l ầm. Nhưng nếu ta muốn g iảm xác suất sai l ầ m loạ i Ì thì sẽ

l à m l ăng xác suất sai l ầ m loạ i 2 và ngược l ạ i . Chẳng hạn nếu l ấy a = 0 thì sẽ không bác bỏ bất kỳ giả thiết nào , kể cả giả thiết sai, như vậy {3 sẽ đạ t cực đ ạ i .

Có 2 cách khống chế khả năng mắc phải sai lầm:

Cách thứ nhất: Ta ấn định trước mức xác suất sai lầm loại ì và sai lầm loạ i 2 r ồ i tính toán tìm một mẫu có kích thước nhỏ nhất ứng với ĩ mức xác suất sai l ầ m này.


4ịiáo trúitt tụ thuyết xác Mất lùi tiiíùiQ. kè tơá/1

Cách thứ hai: Ta ấn định trước xác suất sai l ầ m loạ i Ì (lức cho

trước mức ý nghĩa oe) chọn m iền bác bỏ w a sao cho có xác suất sai l ầ m loạ i 2 nhỏ nhất hay lực k i ể m định là lớn nhất. tức cần tìm miền

bác bỏ w a thỏa mãn các đ iều k i ệ n sau:

P(Z e Wn/H()) = oe cho trước và

P(Z e Wa/H|) = Ì - p lớn nhất.

Dựa vào định lý Neyman - Pearson được trình bày trong các tài l i ệ u đầy đủ hớn có thể tìm được những miền bác bỏ "tốt nhất" như vậy.

Các miền hác bỏ wa trong giáo trình này thỏa mãn điều kiện nêu trên, tức đ ề u là những miền bác bỏ " tố t nhất" với mức ý nghĨ£ và

kích thước mẫu xác định trước.

Việc chọn mức ý nghĩa CC bằng .bao nhiêu tùy thuộc vào từng trường bợp cụ thể và hậu quả mà sai l ầ m Ì l ạ i Ì và sai l ầ m loại 2 mang l ạ i .

Cần lưu ý rằng: bác bỏ hay chấp nhận một giả thiết tùy thuộc vào giá trị thực nghiệm của tiêu chuẩn z và mức ý nghĩa a. Kiểm định

giả thiết thống kê chỉ là một qui tắc giúp ta kết luận một vấn đề

của bài toán thực tế đặt ra sao cho kết luận đó có khả năng mắc phái sai lầm nhỏ (ở mức nào đủ) chứ không phải là phép chứng minh lồgỉc một mệnh đề.

li- Kiểm định giả thiết về trung bình của tổng thể

Giả sử đ ạ i lượng ngẫu nhiên gốc X trong^ổng thể phân phối theo

qui luật chuẩn với kỳ vọng toán là j.i và phương sai là ơ : . (Ị i chưa biết và Ị.I cũng chính là trung bình của tổng thể), c ầ n k i ể m định giả thiết:

188


Wtưư«ạ 8:DCiểm định giả thiết thống, kê

Ho: ụ. = m„ với gia thiết đ ố i H , : ịi * m 0

(mo là một giá trị đã b iế t khi đặ t gia thiêt Ho).

Để kiểm định giả thiết trên ta tiến hành lấy mẫu với kích thức n và xét các trường hợp sau:

2 ì - T r ư ờ n g h ợ p G đ ã b i ế t .

Trường hợp này ta chọn thống kê: z = jj-ơ / V n

làm tiêu chuẩn k i ể m địfth.

Nếu giả thiết Ho đùng thì z ~ N(0, 1)

yới mức ý nghĩa a, chọn miền bác bỏ giả thiết Ho:

Wot = {z:|z|>z(>}

Trong đó za là giá trị của z ~ N(0, 1) thoa mãn:

P(|z|>za) = a

Trên đồ thị, miền bác bỏ wa được minh họa như sau:

/CUI T«,',.^lw.,'.,-.^'

-<x

M i ề n bác bỏ

0

M i ề n chấp nhận Miên bác bỏ - >

để xác định z a ta- t ja bảng ở phần phụ lục hoặc dùng h à m NORMSINV trong Exceĩ (xem phụ lục 1)


íậiảti trình ít/ thuyết xác suất và thống, kè toán

Ta có:

P ( Z e w a ) = P(l z I > z a ) = P ( z < - z a ) + P ( z > z a )

= a/2 + a/2 = a

Như vậy xác suất để giá trị của z rơi vào miền bác bỏ là a, tức xác suất để z rơi vào miền chấp nhận sẽ là ì-OI. Vì Gt nhỏ, nên xác suất

để z rơi vào miền chấp nhận sẽ lớn. Nghĩa là: nếu g iả thiết Ho đúng thì có thể coi rằng hầu hế t các giá trị của z sẽ rơi vào miền chấp nhận. Còn nếu giá trị của z rơi vào m i ề n bác bỏ có nghĩa là ta đã tìm được "bằng chứng" đ ể chứng tỏ giả thiết Ho là không đúng và vì

t h ế ta bác bỏ giả thiết đó .

Từ đó ta có quiìắc quyết định khi tiến hành kiểm định giả thiết Ho

trong trường hợp này như sau:

• Lấy mẫu có kích thước n, từ mẫu cụ thể này tính

ơ (Trong đó X là trung bình mẫu).

• Với mức ý nghĩa oe cho trước , xác định za

(bằng cách tra bảng ở phần phụ lục hoặc dùng hàm NORMSINV trong Excel)

• Nếu I z I > za . Tức zeWa thì bác bỏ giả thiết Ho, chấp nhận

H , .

• N ế u I z l < z a . Tức Z Ể W Ơ thì có thể chấp nhận giả thiết tìị).

Từ việc chấp nhận (hay bác bỏ) Ho la suy ra kết luận cuối cùng theo yêu cầu của bài toán thực tế .

Thí dụ ỉ: Nếu máy đóng bao làm việc binh thường thì trọng lượng của một-loai sản phẩm lả đai lương ngẫu nhiên phàn phôi theo qui

190


Giường 8: "Kiểm định t/iả thiết thống, kè

luật chuẩn với kỳ vọng toán là 100 gr và độ lệch chuẩn ơ = 1. Qua một thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ trọng lượng trung bình của loạ i sản phẩm này đã thay đ ổ i . Cân thử 100 sản phẩm và tính được

X = 100,3 gr.

V ớ i mức ý nghĩa a = 0,05 hãy kế t luận đ iều nghi ngờ t rên có đúng hay không (giả thiết độ lệch chuẩn không thay đổ i ) .

Giải: Gọi X là trọng lượng thực tế của loại sản phẩm này trong khoảng thời gian đang xét . Theo eiả thiết X ~ N(fA, ơ 2 ) . ụ. chính là trọng lượng trung bình thực t ế của loại sản phẩm do máy đóng bao sản xuất trong khoảng thời gian đang xét (trung bình tổng thể) , ụ. chưa b i ế l còn ơ = ] . Đặ t giả thiết:

Ho: n= 100; Hi: ịi* 100

Đ ể k i ể m định giả thiết này ta áp dụng qui tắc k i ể m định nêu trên

[vì X ~ N(n, ơ 2 ) và ơ đã b iế t ]

Ì

V ớ i mức ý nghĩa a = 0,05 tra bảng ta được Z(),()5 = 1,96

Vì I z I = 3 > Z().()5 = 1,96 nên ta bác bỏ giả thiết Ho. Tức điều nghi

ngờ trên là đúng, trọng lượng trung bình của loại sản phẩm này đã

khác 100 gr thực sự.

Chùy: • Nếu k i ể m định giả th iế t H ( ) : ụ = m ( ); và giả thiết đ ố i H, : ịx > mo với

mức ý nghĩa a thì chọn m i ề n bác bỏ giả thiết Ho là:

Ị x-m0 ì w a = { z = - — ^ : z > z 2 a }

ơ / V n

trong đó z 2 a là giá trị của ĐLNN z ~ N(0; 1) thỏa mãn:

191


iịiủa trình lý (huyết xáe mất tui t/iấtiạ kè toán

P( I Z | > z 2 o t ) = 2<x

Trên đồ thị, miền bác bỏ wa trong trường hợp này được minh họa như sau:

• N ế u k i ể m định giả thiết Ho: ụ. = m 0 ; và giả thiết đ ố i H i : ụ< nhì với mức ý nghĩa a thì chọn m iền bác bỏ giả thiết Ho là:

wa = ị z = x— : z < -z2a} ơ i V n

Trên đồ thị, miền bác bỏ wa trong trường hợp này được minh họa như sau:

M i ề n bác bỏ Ị. M i ề n chấp nhàn

192


(thương S: TCièm định giũ thiết lliốiu/ Ui

Ta có thể lỏm lắ t các loạ i giả thi ỐI và miền hác bỏ lư.'' :'p. : tron" n ường hợp này ba na bảne sau:

Giá thiết M i ề n bác hò

Ho; ụ = ni,, H , : Ị-I < nin W a = { 2 = l Z E » : Z < - Z 2 ( I }

ơ / V n Hi,: |A = ni,, H, : (.L > in,, W a = { z = ^ : 2 > Z 2 u }

ơ / v n Hi,: Ị I = m„ H i : ụ. * in,, W a = { z = ^ > : | Z | > 2 U }

ơ / v n

2- T r ư ờ n g h ợ p ơ c h ư a b i ế t

Trường hợp này chọn:

s

làm tiêu chuẩn k i ể m định. N ế u Ho đúng thì T phàn phối theo qui luật Studcnt với n-1 bậc l ự do.

Miền bác bỏ trong trường hợp này tùy thuộc vào già thiết đối và được tóm tắt ở bảng sau:

Giả thiết M i ề n bác bỏ H 0 : ụ = mo H|.- ụ< m„ W a = { t = ^ L : t < - t < r > }

s /Vn H„: ụ = niu H , : ịx > mu v v 0 = { t = i ^ : t > t < r }

s / v n H„: ụ. = mo H j : \x* ni,, w « = { t = x " ™ ° : | t | > t < - > }

s / V n


(ảiíw trình Ui thuyết xuê UI tít oà ỉ/iốiự/ Ui toán

t,n " là giá trị của ĐLNN T ~ T(n-l) thỏa mãn điều kiện:

t(n_l)(viết tắt là ta) được xác định bằng cách tra bảng phân phối

Studcnt với bậc tự do n -1 hoặc dùng h à m TINV trong Excel.

Ta có thể minh họa m iền bác bỏ với các dạng giả thiết đ ố i khác nhau trên đồ thị như sau:

N ế u k i ể m định giả th iế t hai phía, tức giả th iế t đ ố i có dạng:

H i : IU* mu

thì m iền bác bỏ w a được minh họa trên đồ thị như sau:

M i ề n -ta 0 ta M i ề n t

bác bỏ M i ề n chấp nhận bác bỏ < < •>

M i ề n chấp nhận > ị >

N ế u k i ể m định cui thiết một phía với giả th iế t đ ố i có dạng:

ri,: ịi> mo

thì ni Ù* ri bác bo v v u được minh họa trên đồ thị như san:

194


@ittiơittỊ 8: TKiếm điitli ijiả thiết thống, Uè

N ế u k i ể m định nia thiết một phía với £Ìả thiết đ ố i có dạng:

H I : Ị .K nin

thì m i ề n bác bỏ w ư được minh họa trên đồ thị như sau:

M Í C H -t? u

bác bỏ <-

M i ề n chấp nhận >

Thí dụ 2: Trọng lượníĩ của các bao gạo do một máy đóng bao sản xuất là đ ạ i lượng Iii iẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với trọng lượng trung bình qui định là 50 kg. Đ ể xem máy đóng bao làm v iệc có bình thường không (theo niỉhĩa máy sản xuất ra những bao gạo có trọng lượng truníi bình đúníi như qui định không) , người ta cân thử 25 bao và tính được:

X = 49,52 kg ; 0,5

V ớ i mức ý 11»hiu a = 0,01, hãy cho kế t luận về tình hình làm v iệc của máy đóng bao đó ?

Giải: Gọi f.L là trọng lượng trung bình thực tế của những bao gạo do máy sản xuất (|A chưa b iết) . Đặ t giả thiết:

Ho: n = 50 ; Hi: 1-1*50

do ơ chưa biết nên ta áp dụng qui tắc kiêm định như sau:

(49,52-50) Tính:

0,5 '25 = - 4 , 8

Với mức ý nghĩa oe = 0,01. tra báng phàn phối Stưdent với bậc tự

do là 25 - Ì = 24 ta đước: to.oi = 2,797.


íịiáo trình lự títui/ết xáe mất oà í/tốnạ kế tơtúi

Vì í t I > 2 797. Tức teWa nên ta bác bỏ giả thiết H(). Tức là máy đóng bao l àm việc không bình thường. Nói cụ thể hơn, máy đã sản xuất ra những bao gạo có trọng lượng trung bình t háp hơn trọng

lưựns trung bình qui định (vì # = 49,52 < 50).

3- Giá trị xác suất (p-value) của kiểm định

Thủ tục k i ể m định được trình bày ở t rên có tính chất ư u y ề n thống và theo cách t iếp cận cổ đ iển . Trong nhưng năm gần đây nhiều nhà

nghiên cứu thường sử dụng một cách t i ếp cận khác . Thay vì kiểm định giả thiết với m ộ i giá trị a định trước thì họ cho rằng ta nên định rõ các giả th iế t Hu và H i , sau đó thu thập số l i ệ u mẫu và tính giá trị của tiêu chuẩn k i ể m định. T ừ đó có thể xác định được xác suất mắc phải sai l ầ m loạ i Ì nếu ta bác bo g iả th iế t Ho. X á c suất này thường được ỈĨỌÌ là giá trị p (p-value) của k i ể m định.

(.'hunổ ta sẽ minh họa cách tính p-value qua Ihí dụ sau:

Thí dụ: Trong lương của những con sà khi xuất chuồng là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,32. Trước đây trọng lượng trung bình khi xuất chuồn? của m ộ i con gà ở một li l i chăn nuôi là 3,4 kg. N ă m nay người người la áp dụng thử môi phướng pháp chăn nuôi mới. Sau một thời iĩian áp dụng thử người ta chọn ngẫu nhiên 50 con đem cân và tính được trọng lượn" t rùn" bình là 3,5 kg. Hãy cho b iế t phương pháp chăn nuôi mới có tác dụng làm lăng trone lương của gà khi xuất chuồn" hay khôniỉ?

I a) Hãy xác định p-value của kiểm định? (h) p-value sẽ thay đ ổ i như t h ế nào nếu trung bình mẫu không

phải là 3,5 kg mà là 3,6 kg?

Giải: (a) Gọi |i là trọng lượng của gà khi xuất chuồne sau khi áp di. !g phương pháp chăn nuôi mới (JA chưa b iế t ) . Ta cần k i ể m định giả thiết H ( ) : ụ. = 3,4; với giả thiết đ ố i H | ! ịi > 3,4. 196


thương 8: Xiểm định ỊỊÌÙ thiết ỊhổỊiạ kê

Đ â y là bài toán k i ể m định giả thiết về irung hình tổng thể (giả

th iế t một phía) ơ đã b iế t .

Từ các giả thiết của bài toán ta tính được giá trị của tiêu chuẩn

k i ể m định:

( x - m 0 ) V ^ ( 3 , 5 - 3 , 4 ) V 5 Õ z = = —— = Z,11

ơ 0,32 p-value của k i ể m định (tức là xác suất mắc phải sai l ầ m loạ i Ì nếu la

bác bỏ giả thiết Ho) chính là: P(Z > 2,21).

Để tính xác suất này ta có thể dùng bảng za hoặc dùng hàm

NORMSDIST. Ta có:

p-value = P(Z > 2,21) =1-NORMSDIST(2.21) = 0,01355

Ta có thể minh họa giá trị p-value trên đồ thị như sau:

/ \ p-value = 0,01355

; •>•'.:.-ri. ^

0 2,21 z

Nỉùr vậy với mẫu đã nêu ở thí dụ này, nếu ta bác bỏ giả thiết Ho,

tức cho rằng việc á p dựng phương pháp chăn nuôi mới có tác dụng làm tăng trọng lượng trung bình của gà khi xuất chuồng thì khá năng mắc phai sai lam loạ i Ì là 0,01355 (hay 1,355%).

(c) Nếu X = 3,6 ta tính đước:


íịiátì trình ti/ thuyết xác mất DÙ íltốnụ Ui' toán

( x - m 0 ) V ^ _ ( 3 , 6 - 3 , 4 ) V 5 Õ z = = : = 4,4 l y

à 0,32 Khi đó la có:

p-value = P(Z > 4,419) =1-NORMSDIST(4.419) = 4.962E-06

4.962E-06 = 4.962X lo-6 = 0,000004962 < 0,00001. Tức p-value tương ứng với z = 4,419 rất nhỏ

Như vậy p-value càn? nhỏ thì mức độ khẳng định của mẫu về việc

bác bỏ Ho càng rõ rệ t hơn, nói cách khác ỉĩiả thiết Ho càng kém tin

cậy hơn. Chẳng hạn p \alue = 0,01 cho thấy mức độ khẳng định để bác bỏ giả thiết Ho là rõ r àn? hơn so với giá trị p-value = 0,1.

ơ trên là p-value trong kiêm định một phía (phía bên phải). N ế u k i ể m định giả thiết về phía bên trái hoặc k i ể m định giả thiết hai

phía thì ta cũng tìm được giá trị p-value tương ứng.

Công thức tính p-value cho kiểm định giả thiết về trung bình "tổng thể như sau:

a- Trường hợp đã biết ơ\

• Nếu H,: ụ > m„ thì:

p-value = p ( z > z) (8.4)

• Nếu Hi: Í-K m0 thì:

p-value = p ( z < ì) (8.5)

• Nếu Hi: ụ.* TĨU) thì:

p-value = P( z > I z I) (8.6)

b- Trưởng hợp chưa biết (ỷ

• Nếu Hi: ụ. > m0 thì:


@liứưii<j 8: 3Qếiti đỉnh giả. thiết tìtống. kè

p-value = P(T > t) (8.7)

• N ế u H i : Ị .K m 0 thì:

p-value = P(T t) (8.8)

• N ế u H i : ịx * m 0 thì:

p-value = p( T > I t I) (8.9)

Trong thực t ế , việc k i ể m định giả thiết theo p-value thường được t i ến

hành theo nguyên tắc sau:

Nếu p-value > 0,1 thì thường người ta thừa nhân Ho N ế u 0,05 < p-value < 0,1 thì cần càn nhắc cẩn thận trước khi bác bỏ Ho N ế u 0,01 < p-value < 0,05 thì nghiêng về hướng bác bỏ Ho nhiều hơn.

- N ế u 0,001 < p-value < 0,01 thì ít băn khoăn khi bác bỏ Ho. N ế u p-value < 0,001 thì có thể hoàn toàn yên tâm khi bác bỏ

* M ặ t khác , nếu quy định trước mức ý nghĩa a thì có thể dùng p-value đ ể kế t luận theo a. Khi đó nguyên tắc k i ể m định như sau:

N ế u p-value < cc thì bác bỏ Ho thừa nhận H | . N ế u p-value > oe thì chưa có cơ sở để bác bỏ Ho.

Theo cách kiểm định này thì việc sử dụng p-value lại chính là kiểm định theo cách t iếp cận t ruyền thống.

Thí dụ: Nếu máy đóng bao làm việc bình thườn2 (hì trọng lượng các bao gạo dồ máy đóng bao này sản xuât là đ ạ i lương ngẫu nhiên p h â n phối theo qui luật chuẩn với trọng lượng trung bình là 50 kg. N í h i ngờ các bao gạo do máy này sản xuât không đủ trọng lượng qui định,

người ta cân thử 25 bao và tính được x = 49,68 kg và s = u,r lây cho kế t luận về đ iều nghi ngờ t rên?

Ho.

kỉ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

tụ tát) trình lý thuyết xác mất lùi thống kê toán

Giải: Gọi X là trụng lượng các bao gạo do máy đóng bao sản xuất.

X ~ N(f.i, ơ 2 ) . Ta cần k i ể m định giả thiết :

Ho; ịí = 50; với giả thiết đối Hi: ụ. < 50

Đây là bài loàn kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể, ơ2 chửa biết và khô nơ qui định trước mức ý nghĩa oe.

Để kiểm định giả thiết trên, trước hết ta tính:

(x-m0)V^ _ (49,68-50)725 _ t — : — ~~>*L

s 0,5


p-value = P(T < t) = P(T < -3,2) Ta có:

P(T < -3,2) = P(T > 3,2) =TDIST(3.2, 24,1) = 0,00192

Như vậy 0,001 < p-value < 0,01 nên ta ít băn khoăn khi bác bỏ giả

thiết Ho, tức có thể k ế t luận máy đóng bao đã sản xuât ra các bao gạo có trọng lượng trung binh thấp hdn 50 kg.

* Chú ý: Nếu ở thí dụ này ta cho trước mức ý nghĩa a (chẳng hạn ta cho a = 0,01) thì theo kế t quả tính p-value ta thấy:

p-valuc = 0,00192 < 0,01

nên ta bác bỏ Ho. Như vậy ta cũng đi đ ế n cùng một k ế t luận như trên.

4- Tính xác suất sai lầm loại 2

Ta có thể lính giá trị p là xác V- M mắc phải sai l ầ m loạ i 2.

Ti ó lại thi du về trong lương cùa ga khi xuất Chuồng đã nêu ỏ phần trên. Xét cáp giả thiết:

200


@lntƠ4UỊ. S: DCiểnt đinh t/iti thiết thổn lị hè

•H„: H = 3,4;H,: n>3,4

Ta thấy xác suất để thừa nhận giả thiết sai Ho sẽ phụ thuộc vào việc giá trị thực của ị.1 sai lệch nhiều hay ít so với 3,4. Chẳng hạn nếu giá trị thực của ụ. là 3,6 thì p sẽ nhỏ hơn trường hợp giá trị thực của ụ là 3,45. V ậ y tùy thuộc vào giá trị thực của JA mà ta có các giá trị p khác nhau. Đ iều này được được minh họa trên hình 8.9 với 3 giá trị thực của ỊJ. khác nhau là: 3,48; 3,54 và 3,6

Hình 8.9-a: Trường hợp H , : n = 3,48

3,4 3,54 X

Hình 8.9- b: Trường hợp H,: ụ = 3,54


íj'itn/ ti mít ít/ thuyết xác tuất DÙ fliốiifỊ kê toán

Phân phôi của X

khi Ho đúng

Phàn phối của X

khi H | đ ù n ỉ

3,4 3,6 X

Hình 8.9-c: Trường hợp HI: ị.1 = 3,6

Giả sử tá vẫn Ì lẩm <i\nh giả thiết H0: f.i = 3,4 ; H|I ịi> 3,4 với mức ý nghĩa cc = 0,01. D i ệ n tích phần gạch chéo trên hình 8.9 b iểu thị giạ Ui của p ứng với các trường hợp giá trị thực của Ị.I là 3,48; 3,54 và 3,6.

" ( x - i r i , ) ) p = P ( Z ' < 2 , _ B ) = P ( Z » < z 2 a ) = P

se(X)

= p

= p

( x - m p ) ^ ( m 0 - m , ) = — - ^ = — < z

se(X) , s e ( X ) 2ct

( x ~ m o ) ^ _ ( m „ - m , )

se(X)

=>(3 = p z < Z-

se(X)

( M ọ - M Ị )

se(X) (8.10)

Ung cách chứng minh lương lư ta được biểu thức của p khi miền

lác bỏ là bên trái:

202


Qlutơttg. Sỉ DCiểin định giả thiết íỉiôuạ kẽ

p = p z < Z2a -( • " Ị - m ọ )

se(X) (8.11)

T ừ đó ta có công thức chung để tìm xác suất mắc phải sai l ầ m loạ i 2 : k bỏ là một phía (bên phải hoặc bên trái) như sau:

p = p Z < Z 2 „ -m 0 - m ,

se(X) (8.12)

N ế u k i ể m định giả thiết hai phía thì p được xác định bằng công thức sau:

p = p z < z . m 0 - m ,

se(X) (8.13)

Thí dụ: Ta xét t i ếp thí dụ về trọng lượng gà khi xuất chuồng. T i m xác suất mắc sai l ầ m loạ i 2 và lực k i ể m định nếu trọng lượng xuất chuồng sau khi áp dựng phương pháp chăn nuôi mới là 3,52 kg.

Giải: Vì giả thiết đối là Hi: ịi > 3,4 nên với CC = 0,01; ni,) = 3 4- m, = 3,52. Theo công thức (8.12) ta có:

p = p z < z 3,4 - 3,52

0,02 0,32 / V 5 0 P ( Z < 2,326 - 2 , 6 5 1 6 5 ) =

= P(Z < -0,32565) =P(Z > 0,32565)

=1-NORMSDIST(0.32565) = 0,372345

Lực kiểm định là: 1-p = Ì -0,372345 = 0,627655


í Ị HU* trinh hi ttutụết xuê mất nà thống, kí toán

U I - K i ể m đ ị n h g i ả t h i ế t v ề t ỷ l ệ t ổ n g t h ể

Giả sử tỷ lệ các phần tử có tính chất A của tổng thổ là p (p chưa biết) . Ta cần k i ể m định giả thiết :

Ho: p = Po; và giả thiết đối Hi: p 5* Po với mức ý nghĩa a.

Để kiểm định giả thiết trên, ta lấy mẫu kích thước n khá lớn khi đó

nếu Ho đúng thì đ ạ i lượng lượng ngẫu nhiên:

Z = ^pÉL (8.14) V P o O - P o )

phân phối xấp xỉ N(0, 1)

Từ đó ta có thể đưa ra qui tắc quyết định như sau:

+ ì nẫu cụ thổ lính f rồi tính:

(f - p„)Vn

VPoơ-Po)

+ Với oe đã cho, xác định za (tra bảng hoặc dùng hàm NORMSINV)

+ Núc ị z Ị > za thì ta bác bỏ Ao; Nếu I z I < za thì ta có thể chấp

nhận Hu, Từ việc chấp n h ì n (hay bác bỏ) Ho ta suy ra k ế t luận cuối cùnu theo yêu cầu của bài t c i p thực t ế .

Miền bấc bỏ ứhg vớij)ảc loại giả 'nết đối khác nhau cho ở bảng sau đây)


&tựưnạ 8: DCiẻiu định già thiết thống kê

Giả thiết M i ề n bác bỏ

Ho: p = po

H i : P < Po V P o O - P o )

H ( ) : p = Po

H1: p > Po V P o O - P o )

Ho: p = po

H i : P *P<) W . . { z = < f - ' > - W " : | z l > z . , }

V P o ơ - P o )

Thí dụ -ỉ: Tỷ l ệ p h ế phẩm của một nhà máy là 5%. Sau khi t i ến hành

một cả i t iến kỹ thuật, người ta k i ể m tra 400 sản phẩm thì thây có 16 p h ế phẩm.

Với mức ý nghĩa a = 0,01. Hãy kết luận xem việc cải tiến kỹ thuật có làm g iảm tỷ l ệ p h ế phẩm hay không ?

Giải: Gọi tỷ lệ phế phàm của nhà máy sau khi cải tiên kỹ thuật là p.

Đặ t giả thiết Ho: p = 0,05 ; H | I p < 0,05.

Với mức ý nghĩa a = 0,01 thì z2a = Z() ()2 = 2,326.

Tỷ l ệ phố phẩm của mẫu là:

; . 1 ( 1 . , m

Vậy:

400

_ ( 0 . 0 4 - 0 , 0 5 ) V 4 Õ Õ z = —, = - 0,92

, /0 ,05(1-0 ,05)

Ta thấy z = -0,92 > - z 2 a = -2,326, tức z Ể w a nên ta chấp nhận

giả thiết H(). Tức b iện p h á p kỹ thuật chưa có tác dụ li lí làm làm tỷ l ệ phế phẩm của nhà máy .


(Jìtiơ tễ-ỉiih< ỉĩj.Y/t(tụếf xoe mất oà thống hè toán

I V - K i ể m đ ị n h g i ả t h i ế t v ề s ự b ằ n g n h a u c ủ a h a i

t r u n g b ì n h

Giả sử hai ĐLNN X và Y độc lập, cùng có phân phối chuẩn với E(X) và E(Y) đ ề u chưa b iế t . c ầ n k i ể m định giả thiết :

Ho: E(X) = E(Y) và giả thiết đối Hi: E(X) * E(Y) vớ i mức ý nghĩa a.

Qui tắc quyết định như sau:

+ Lấy mẫu kích thước ni (đối với X) và n2 (đối với Y) từ đó tính:

X - y z = Ị (8.16)

v a r ( X ) v a r ( Y )

V n i n 2

nếu b iế t var(X) và var(Y)

hoặc:

(8.17]

nếu không b iế t var(X) và var(Y)

+ Các công việc còn lại giống như qui tắc quyết định khi kiểm định giả thiết về tỷ l ệ tổng thể .

Thí dụ 5: Trọng lượng sản phẩm do hai nhà máy sán xuất là các đại lượng ngẫu nh iên phân phối theo qui luật chuẩn và có cùng độ lệch t iêu chuẩn là ờ = Ì kg.

Với mức ý nghĩa a = 0,05, có thể xem trọng lưựnạ trung bình của sản phẩm do hai nhà máy sản xuất ra là như nhau hay không '? N ế u cân


Ọhưtíiiạ 8: SKiểiu đình ạiá tíiìết tỉiốtiự kẻ

thử 25 sản phẩm của nhà máy A ta tính được: X = 50 kg; Cân 20 sản

phẩm của nhà máy B thì tính được: y=50,6 kg.

Giải: Gói trọng lượng sản phẩm của nhà máy A là X , của nhà máy B là "ì. Theo giả thiết ta có X , Y là các đ ạ i lượng ngẫu nhiên cung phân phối theo qui luật chuẩn vớ i Var(X) = Var(Y) = 1.

Đặt giả thiết Ho: E(X) = E(Y) ; Hi: E(X) * E(Y).

Với mức ý nghĩa a = 0,05 thì za = Ì ,96.

( 5 0 - 5 0 , 6 ) Tính

l - U - L 25 20

= - 2

Ta thấy ỉ z Ị = 2 > z a nên bác bỏ H(). Tức trọng lượng trung bình của sản phẩm sản xuất ở hai nhà máy là khác nhau.

V- Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ

Giả sử Pi , P2 tương ứng là tỷ l ệ các phần tử có tính chất A của

tổng thể thứ nhất, thứ hai ( p i , P2 chưa b iết) . Ta cần k i ể m định giả thiết:

Ho: Pi = P2 = Po; và giả th iế t đ ố i H i : Pi * P2 với mức ý nghĩa a.

Chọn thống kê :

z= , 12 = (8.18)

P o O - P o ) ( ỉ Ì

+ - -v n . n 2 J

làm tiêu chuẩn k i ể m định.

Trong đó f | là tỷ l ệ phần tử có dấu h iệu A của mẫu ngẫu nhiên

kích thước nÌ được xây dựng từ X (X là số phần tử cỏ dấu h iệu A khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tổng thể thứ nhất).

207


tịiáo trinh Ị tị ư/111/i'ỉ Jí'áe Mất DỜ ttiốitq kè loàn

f*2 là tỷ le ph.' ri tử CÓ dấu hiệu A của mẫu nsiảu nhiên kích thước n-) được xây dựn» lừ Y (Y là số phần tử có dấu h iệu A khi lấy ngẫu nhiên một phẩn UI lừ tổng thể thứ hai).

Với kích thước mẫu lớn và giả thiết Ho đúng ì hì 7 có phân phối xấp xỉ chua li ì

Nếu chưn hir'' Do thì ta thay Po bằng ước lượng hợp lý tối đa của nó

* lìịỉị +n2f2

Khi đó ta chọn thốnu kê :

z

ĩ i Ị + n 2

f - f

p ( 1 - p ) f Ì p

(8.19)

(8.20)

+ n , n V Ì 2 )

làm tiêu chuẩn k i ể m định.

Qui tắc quyết dị nít như sau:

+ L ấ y hai mẫu kích thước n i , n 2 . Tính f | , f 2 tương ứng là tỷ-lệ

các phần tử có lính chất A của mẫu có kích thước n i , n?. sai! đó tính:

f - f z = Ị ' (8.21)

P o ( l - P o ) 1 1 ^

- - + -

nếu b iế t p<).

iìOãc:

x - y (8.22)

v ! p " ( l - p * ) í

Ì ỉ — +

v n i n :

nếu không hiõ

208


@htểờmj s; DCiẻin định (tia thiết thống, kè

Các bước l i ếp theo t iến hành tương tự như qui tắc đã nêu ở phần IV.

Thí dụ 6: Kiểm tra những sản phẩm được chọn nĩa li nhiên ở hai nhà máy cùng sản xuất loạ i sản phẩm này. Ta có các sô l i ệ u sau:

Nhà máy A B

Số sp được k i ể m tra 1000 900

Sô phê phẩm 20 30

V ớ i mức ý nghĩa oe = 0,05, có thể coi tỷ l ệ p h ế phẩm của hai nhà máy là như nhau hay không ?

Giải: Gọi Pi, P2 tương ứng là tỷ lệ phế phẩm của nhà máy A, B.

Đặt giả thiết: Ho: Pi =P2 ; Hi: Pi *p2.

Với mức ý nghĩa a = 0,05 thì z<),<)5 = Ì ,96.

Từ số liệu đã cho ta tính được:

20 f I = = 0,02 ;

1000 20 + 30

30 f 2 = —— = 0,033.

900

ì Ì - * = — 1000 + 900 38 ^ p 38

Vậy:

z = ( 0 , 0 2 - 0 , 0 3 3 )

Ì 37 Ì

38 38 v i 0 0 0 900

= - 1 , 8 1

Ta thấv I z I = 1,81 Z(),05 nên /hấp nhận giả thiết Ho, tức có thể coi "tỷ lộ phí- ••him của h ú nhà máy là như nhau.

VI- Kiểm định giá thiết về phương sai của tổng thể.

Giả sử ĐLNN X phân ỊMiiM theo qui luật chuẩn và chưa b iế t var(X).

Cu, \ l inh iM.l thiết:

209


(ậẰáơ trình ít/ thuyết xác Mất và ti lò III/ kê toán

Ho: var (X) = ƠQ; và giả thiết đ ố i H i : v a r ( X ) * ƠQ

với mức ý nghĩa a.

Lập mẫu ngẫu nhiên w x = ( X | , X2, . '. . , X n ) . Chọn thốnii kê:

2 ( n - l ) . s 2

Ì = (8.23)

làm tiêu chn:ín kiêm dinh.

N ế u H !.ing thì 7" r ' . . ! i i phối theo qui luật "Chi bình phương" với 1; Ì bậc tư ri

V ƠI mức < nghĩa a, miền bác bỏ giả thiết Ho là:

Wu= {x2 :%2 <xL/2^X2 >X«/J . (8-24)

T.I có thể minh họa m iền bác bỏ w a như sau:

fk(x2)

Trong đó xin v à XỈ-a/2 l à các giá trị của đ ạ i lượng ngẫu nhiên 1

phân phối theo qui luật "Chi bình phương" với n -1 bậc tự do thỏa mãn đ iều kiên:

»2 i n


Qhưởitạ S: Díiểm định giả thiết ti lốn ạ kè

Q u i t ắ c q u y ế t đ ị n h :

+ Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu này tinh i» Ì.

, ( n - 1 ) . s 2

v.'<i mức ý nghĩa a, tra bảng (bậc tự do n-1) đ ể lìm các giá

(CÓ Ihc đung hàm CHIINV trong Excel để tìm ỵ2

/2 và /2, xem

phụ lụi. í')

f N ế u x : Ể ( x L / 2 ; X ầ / 2 ) t h ì b á c b ỏ Ho. thừa nhận Hi

+ N ế u X 2 e ( x ĩ _ a / 2 ; xin.) thì có thể chấp nhận Ho

Từ việc bác bỏ (hoặc chấp nhận Ho) ta suy ra kết luận cuối cùng cho bài toán thực t ế đang xét.

Ta có thể tóm tắt miền bác bỏ giả thiết này ứng với các loại giả thiết đ ố i khác nhau ở bảng sau đây:

• Giả thiết M i ề n bác bỏ

Ho: var(X) = ơị

H i : var(X) < ƠQ W u = { x - ^ . - X 2 < x L ( n - l ) }

dị

Ho: var(X) = dị

H i : var(X) > dị W a = { r = ^ ỉ : X

2 > x ; ( n - l ) }

Ho: var(X) = aị

Hi: var(X) * ơổ w « = { X 2 - Ì 1 < x L / 2 ( n - ! ) ;

hoặc X 2 > x ; / 2 ( n - ! ) }


íịìáo trình lạ thuyết xóa mất oà thống kẻ toái!

Thí dụ 8; N ế u máy m ó c hoạt động bình thường thì trọng lượng sản phẩm là đ ạ i lượng ngẫu nh iên X phân phối theo qui luật chuẩn với Var(X) = 12. Nghi ngờ m á y hoạt động không bình thường người la

cân thử 13 sản phẩm và tính được s = 14,6.

V ớ i mức ý nghĩa a = 0,05. Hãy k ế t luận đ iều nghi ngờ trên có

đúng hay không ?

Giải; Để g i ả i bà i toán t rên ta cần k i ể m định ei.ì thiết:

H • = 12 ; H i V a r ( X ) * 12.

T ừ các số l i ệ u của bài toán ta tính được:

( Ọ -1)14.6

12

V ớ i oe = 0,05 ; Tra bảng x i vớ i (n - 1) = 12 bậc tự do ta được:

Xa/2 = XÕ.025 = 23,3 và XĨ-a/2 = XÕ.975 -4,4

2 Ta thấy 4,4 < X < 23,3 nên chấp nhận giả th iế t Ho, lức là điều

nghi ngừ trên là không đúng , M á y vẫn làm*việc hình thường

VII- Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai

p h ư ơ n g s a i

Cho X i ~ N ( n , ; ơ f ) ; x 2 ~ N ( f i 2 ;ơị) vớ i ơ , 2 và ơ ; chưa biết . Ta

cần k iểm ' ! .lia thiết H 0 : ơ f = ơ ; .

Để kiểm định giả thiết trên từ hai tổng thể rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lập kích thước tương ứng là ni và o>.

W | = ( X n , X l 2 , , X l n l )


(.Htưưitq H: "Kiếm (tinh í/iti {/tiết tí tổ tui hè

Và chọn liêu chuẩn k i ể m định là ihônvĩ kê:

\ S ỉ o ỉ

Si ơ ;

Nếu s; > S; thì F phân phôi theo qui luật Fisher - Sncdecor với

( n r í) và (n : - Ì) bậc lự đo.

Nêu giả ihiêt Ho đúng thì liêu chuẩn kiêm định có dạng:

s 2

F = ^ (SỈ > S ; ) (8.27) s ĩ

vẫn phân phối theo qui luật Fishcr - Snedecor với ụ i | - l ) và (n 2 - 1) bậc tự do.

M i ề n bác bỏ giả thiết này với mức ý nghĩa a phụ thuóc vào giả thiết đ ố i và được cho ở bảng sau:

Giả thiết M i ề n bác bỏ

Ho: ơ,2 = ơ ;

H i : ơị 2 < ơ ; w a = { í = 4 : F < f . « K - I ; n 2 - 1 ) }

s -ị l i 3 2 Ho: CJ| = <y2

H | : ơ ^ < ơi w a = { f = 4 : F > f „ ( n , - l ; n ỉ - l ) }

s ì

Ho: ơ,2 = dị

H i : Ơ | * ơ .

w a = { f = ^ ị : F < f I _ a / ĩ ( n 1 - l ; n ỉ - l ) s ì

hoặc f > f 0 / 2 ( n , - l ; n , - 1 ) }

Thí dụ: Có hai giống lúa có mi Hi! suất iruniĩ bình xáp xỉ như nhau song mức độ phân tán về năn? suất có thể khác nhau. Đ ể k i ểm tra điều đó, ne:ười la t iến hành lây hai mẫu ứn« với hai giốniĩ lúa và thu

được kốl quả sau:


(ịiíicy trình Ị ụ thuyết 3C'áe suất oà ti lốn í/ kè toán

Giống lúa kích thước m ẫ u phương sai m ẫ u

A B

ni = 4 1

n 2 = 30 •

s i = 11,41

s ỉ = 6.52 1 - • ỉ

V ớ i mức ý nghĩa a = 0.0"? híiv I ' vCiii mức độ ổ n định của .VỊ .!"': '•' . Ui. tua trên có khác nhau h " khùng : hôi

tui ni: suất của hai giống lúa này là i;ỳ ' ag ngầu nhiê-n phân phối chuẩn.

Giãi: Gọi X) và X ; UAiiiì: ứng là năng suất của giống lúa A, B; X i và

x 2 là các đ ạ i lượng n?ẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn, X i ~

Ni t i : r ' 7 ' v \ . | . i ; ơ ị ) . Ta cr n k i ể m định giả thiết :

H0 : ó] = ơ\ với giá thiết đối Hị : ơ| *ơị

Đây là bài toán kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai phương sai ( k i ểm định hai phía) . M i ề n bác bỏ giả th iế t Ho là:

wu={f = 4:f <f,-a/2(n,-l;n2-l)

hoặc f >fa/2(n, -l;n2 -1) }

Theo (8.27) liêu chuẩn kiểm định có dạng: F = —

Với a = 0,05 nên fa/2(n, -l;n2 -1) = fn o25 (40;29) = 2,02756

f,_a/2(n, -l;n2 -l) = f0975(40;29) = 0,5123

Vậy miền bác bỏ giả thiết Ho là:

wa = {0; 0,5123) u (2,025756; +00)}

V ớ i mẫu cụ thể đã cho, ta có:


@ltưđtiq 8: ~Kỉếni định ụiả thiết tliỏiKỊ Ui'

6,52

r ỄWU vậy chưa có cơ sở bác ho Ho, lức mức độ phân tán (hay mức độ ổn định) của năng suât đôi với hai eiống lúa trên là như nhau.

VUI- Kiểm định giả thiết về qui luật phân phối xác

s u . i t c ủ a đ ạ i l ư ợ n g n g ẫ u n h i ê n

Giả sử la « qui luat phím phối XẬC suất của một ĐLNN X, can t\.J 'tinh gia l im

Hoi X pliân phối ihcu qui I . . . n cho

H i : X không phân phối theo qui luật đã cho

Nếu H„ đúntỉ thì có thể lính '.'Ác suất để X nhận các giá trị có thể

có của nó (Xí).

Ký hiệu: Pj = P(X = X,) hoặc Pj = P(x, S Ả _ \ ì M = r ỉ )

Thực hiện n phép thử độc lập đ ố i với đạ i lương ngẫu nhiên X.

Tần số lý thuyết của b iến cố (X = Xi) sẽ là n.P;. Tần sô thực t ế là Iìj.

Hiệu (lĩị - nPj)~ có ihe dùng làm cơ sở đế xét xem phân phối của X có phải như giả Chiết Ho đã nêu ra hay không.

K. Pearson đã chọn thống kê:

^ ( n . - n P i ) 2

i=l X' = L ' p . (8.28)

nP :

làm tiêu chuẩn kiêm định.

~> Với n khá lớn có thế coi y j phân phôi theo qui luật "Chi bình

phương" với ( k - r -1) bậc tự do. Trong đó r là các tham sô chưa b iế t

đối với phân phối xác suât của X theo H(). (các tham số này phải được ước lượng bằng phương pháp hợp lý cực đại ) .


http://su.it

iịiátì trình lạ thuyết xác mai r)à thốnạ kê toúií

M i ề n bác bỏ giả thiết Ho với mức ý nghĩa a là:

w a = Ị: X2 : x 2 > x (8.28Ì

2 - Ì Trong dó Xa tò giá t r ị của đ ạ i lượng ngầu nh iên X VỚI ( k - r -1) bác Lự Uo thui! li.."ì • • kiôn:

/ - o

Ta Cu ì. Hoi miền bác bo v v a MUI sau.

T ừ đó ta có qui tắc k i ể m định sau:

Qui tắc quyế t đ ịnh :

+ L ấ y mẩu kích thước n, từ mẫu này ta có được các giá trị quan

sát Xi (i = 1. 2 , k) hoặc các khoảng số (Xịi x i + i ) . Theo giả thiếl

Ho, ta tín!. pj = P(X = Xi) hoặc Pj = P( Xi < X < Xj+|). T ừ đó ta tính:

, » _ ^ ( n 8 - n P , ) '

ù . n F

2 _ ^ (8.29)

[ni là tần số thực t ế của Xi hoặc của khoảng (Xi; Xi+i)]

.16


@liifưm/ S: ~Kiểin định ỊỊÌá thiết thấm/ Ui'

+ Với mức ý nghĩa ót, tra bảnsỉ phân phối "chi -bình phương"

(bậc tự do n-r -1 ) để tìm giá trị Ỵ^"a ự là số các tham số chưa b iết

của qui luật phân phối xác suất theo giả thiết Ho)

+ Nếu ỵ1 > xi thì bác bỏ Ho, thừa nhận H|

+ Nếu X* ^ Xa thì-có thể chấp nhận H()

Từ việc chấp nhận (hay bác bỏ Ho) la suy Ta kết luận cuối cùng mà bài toán thực t ế đòi hỏi .

Thí dụ: Đo chiểu cao của một loại cây trồng có cùng độ tuổi ta thu được bảng sô l i ệ u sau:

Chiều cao (em) Số cây có chiều cao

Xi - X-,+ 1 tương ứng (ni) 0 - 3 1 3 - 6 3 6 - 9 4

9 - 12 6 1 2 - 1 5 l i 15 - 18 10 18 - 21 7 21 - 24 5 24 - 27 2 2 7 - 3 0 1

Với mức ý nghĩa a = 0,05, có thể coi chiều cao của loạ i cây này là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn hay không ?

Giải: Gọi X là chiều cao của loại cây này. Đặ t giả thiết-


ÍẬiáa i rình í tị thuyết xòe. ít tất tui í hối tạ kê to án

Ho : X phân phối theo qui luật chuẩn

H i : X không phân phối theo qui luật chuẩn.

ước lượng hợp lý cực đại của E(X) là X ; Ước lượng hợp lý cực đại

của Var(X) là : ; > > . N i n i=i

Từ số l i ệ u đã cho ở bảng trên ta tính được :

X = 15; i > i x i _ n ( x ) 2

i = l = 34,65

Nếu Ho đúng thì ta có thể áp dụng công thức tính x á c suất đ ồ i với đ ạ i lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với :

E(X) được ước lượng bằng X = 15

ơ(X) được ước lượng bằng:

ẳ n i x i ~ n ( x ) 2

i=i = V34,65 = 5,8864 « 5,9

V ậ y :

Pị = P(Xj < X < x i + i ) =NORMDIST(Xj + 1 ,15,5.9,1)

-NORMDIST(Xi,15,5.9,1)

Chú ý rằng: Đ ố i vớ i khoảng thứ nhất ( X i , x 2 ) ta mở rộng thàn^

(-co, x 2 ) và khoảng cuối ( x k , x k + i ) mở rộng thành ( x k , +oo) để cho hợp của k khoảng này lấp kín trục số thực.

Cụ thể là: khoảng thứ nhất (0; 3) được mở rộng thành (—co, 3). VI thế

khi tính xác suất đ ể X nhận giá trị trong khoảng này ta tính như sau:

p, = P(-00 < X < 3) =NORMDIST(3,15,5.9,1) = 0,020981


'ũkưưaq. 8: 3Ciểm định ạiả thiết lí lủ li (ị kê

p 2 = P(3 < X < 6) =NORMDIST(6,15,5.9,1)-NORMDIST(3,15,5.9,1) = 0,042596

p 9 = P(24 < X < 27) =NORMDIST(27,15,5.9,1) -NORMDIST(24,15,5.9 1) = 0,042596

p,() = P(27 < X < co) =1-NORMDIST(27,15,5.9,1) = 0,020981

Các kết quả tính toán có thể trình bày dưới dạng bảng như sau:

bủn {ị 8. Ì

Xi - Xị+I ni p. nP, (Li.-nPOVnPi -00-3 1 0,020981 1,049043 0,002293 3 - 6 3 0,042596 2,129794 0,355555 6 - 9 4 0,091012 4,550604 0,066621 9 - 12 6 0,150971 7,548572 0,317686 12- 15 l i 0,19444 9,721986 0,168003 15-18 10 0,19444 9,721986 0,00795 18-21 7 0,150971 7,548572 0,039866 21 - 24 5 0,091012 4,550604 0,04438 24-27 2 0,042596 2,129794 0,00791

, 27 - +00 1 0,020981 1,049043 0,002293 Tổng n = 50 1,012556

Với mức ý nghĩa a = 0,05, tra bảng y j với bậc tự do:

k-r-1 = 10-2-1 = 7, ta được: 2o,05 = 14,06713

Ta thấy X = 1,012556 < 14,06713 nên ta chấp nhận giả thiết Ho,

tức có thể coi X là đ ạ i lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui luật chuẩn.


ịịiáa trình /lị tlutụết xuê mất DÙ thống kê ỉoáu

i x - K i ể m đ ị n h g i ả t h i ệ t v ề t í n h đ ộ c l ậ p

Giả sử quan sát đồng thời hai dấu h i ệu A và B trên cùng một phần

tử.

D ấ u hiệu A có các dấu h iệu thành phần là: A i , A 2 , . . . , Aj , :

Dấu hiệu B có các dấu h iệu thành phần là: B i , B2, . . . , Bk;

Ta cần k i ể m định giả thiết :

Ho: A và B độc lập

H i : À và B không độc lập.

L ấ y mẫu kích thước n và trình bày k ế t quả quan sát dưới dạng hảng sau đây:

N \ B

A > \ B, B 2 B k

Tổng

A i n u n,2 nik ni

Ai rb | ĩ\2~> n 2k n i

Ah nhi nh2 nhk nh

Tổng mi TO 2 ũ

Trong đó:

n, ( ( i = Ì, li) là tổng số phần tử mang dấu hiệu thành phần Ai .

iTij ( j = Ì, k) là tổng số phần tử mang dấu hiệu thành phần Bj

rijj(ị = Ì, l i , j = l , k ) là tống số phần tử mang dấu h iệu thành phần A

và Bj.

Gọi Cj là b iến cố chọn được phần tử mang dấu h iệu Aị '

Di là b iến cố chọn được phần tử man? dấu h iệu Bj

2 •"><-) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

Qliứtíitq 8: DiiếiH itịnli ựìá thiết Hiếm/ hè

Khi n khá lớn, theo định nghĩa thông kê về xác suất ta có:

P ( C í D i ) = n

P ( C i ) = ^ - ; n

p ^ ) m

n

Nếu Ho đúng, lức A, B độc lập thì các dấu hiệu A i , Bj cũng độc lập. Do đó:

Tức là: P(Ci.Dj) = P(C:)P(Dj)

n n n

Từ đó la có qui tắc quyết định như sau:

-p Lấy mẫu kích thước n, từ mẫu này lính:

r n ụ l i . m . v

li k X 2 = I I

UI j=l

ỵ n Tì lì J

n n i .

n n

= n i . ì n

. - I j=i n . m i J

+ Với mức ý nghĩa a đã cho, tra bả ne %z với bậc tự do

(k- l ) (h- l ) để tìm Xa ( h ° ặ c d ù n ể hàm CHIINV trong Excel).

+ Nếu X2 > xi thì bác bỏ Ho, thừa nhân Hi

+ Nếu X" < xi thì có thể chấp nhận Ho

Thí dụ: Làm thí nghiệm bón một loại phân theo 3 phương pháp khác nhau cho cùng một loạ i cây irồnc và quan sát việc ra hoa của loạ i rây này, ta có kế t quả cho ở bảng sau:

li Ị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

Q.ÌÚO trình tiị. iítuụết xác xuất oà thống, kê toán

Phương Phương Phương Tổng B pháp 1 pháp 2 pháp 3

Cỏ *

ra hoa 40 75 63 178 K h ô n ? ra hoa 15 12 12 39

: Tổng 55 87 75 n = 217

V ớ i mức ý nghĩa a = 0,05, hãy kế t luận xem phương pháp bón phần j h á c nhau có ảnh hưởng tới v iệc ni hoa của loạ i cây đó không ?

ị • Giải: Đặ t giả thiết H 0 : Phương pháp bón phàn (dấu h iệu A) độc lập với việc ra hoa của cây (dấu h iệu B).

H i : Phương pháp bón phân không độc lập (có ảnh hưởng) đến việc ra hoa của cây.

Từ bảng số liệu đã cho, để tính X,2 trước hết ta tính các số hạng:

( V i , ] ) n i m j

ở thí dụ ta đang xét, ứng vớ i ô có = 40 (tức i = Ì và j = 1) thì:

n 40 2

— = 0,163432 11,111, 1 7 8 x 5 5

ứng với ô có riu = 75 (tức ì = Ì và j = 2) thì:

n i : 75-1

n . n i , 1 7 8 x 8 7 = 0,363231

Đ ố i với các ô còn l ạ i la cũng tính tương tự. K ế t quả tính toán dược trình bày dưới dạng bảng như sau:

222 J Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

ẽhưứttạ 8: Oiiểm định giả. thiết tltếitạ kê

Phương Phương Phương Tổng B pháp 1 pháp 2 pháp} 3

Có 0,163432 0,363231 0,297303 ra hoa 40 75 63 178 Không 0,104895 0,04244 0,049231 ra hoa 15 12 12 39 Tổng 55 87 75 n = 217

T ừ các k ế t quả tính ở bảng trên, ta tính được:

2 2 0 , i 6 3 4 3 2 + 0,363231 + . . . + 0,049231 = 1,020533 i=i j=i " i " ^

Vậy :

= 217(1 ,020533-1) = 4,45565

í V ớ i mức ý nghĩa a = 0,05, tra bảng ỵ với bậc tự do:

v = h-l).(k-l) = (3-l).(2-l) = 2 ta được:

^ = ^ , 0 5 =5,991

Vì X2 = 4,45565 < xồ 05 = 5>991' nên ta chấp nhận giả thiết Ho, tức

phương pháp bón phân không ảnh hưởng đ ế n việc ra hoa của loạ i cây này.


íịitia trình lý tliiupết xòe mất oà t/iôaạ kê toán

PHỤ LỤC 1

H Ư Ớ N G D Ẫ N S Ử D Ụ N G M Ộ T s ố H À M T R O N G E X C E L

Ì- Giải tích tổ hợp

Ai ; = — - — = P E R M U T ( n , k ) ; BỊ; = n k = POYVER(n,k) ( n - k ) !

c,1! = — = C O M B I N ( n , k ) ; P m = m!= FACT(m) k ! ( n - k ) !

Thí dụ: Cu =COMBIN(10,4) = 210

Phần đóng khung là câu lệnh, gõ xong câu lệnh nhấn phím Enter kết

quả sẽ xuất h iện .

2- Phân phối nhị thức

Nếu X ~ B(n, p) thì: P(X = x) =BINOMDIST(x,n,p,0)

P(X < x) =BINOMDIST(x,n p,1)

Thí dụ: Cho X ~ B(40; 0,6).Tính P(X =25) và P(X < 30)

P(X = 25) =BINOMDIST(25,40,0.6,0) = 0,122795

P(X < 30) =BINOMDIST(30,40,0.6,1) = 0,984427

3- Phân phối Poisson

N ế u X ~ £P(Ằ) thì: P(X = x) =POISSON(x,X,0)

P ( X < x ) = P O I S S O N ( x , V t )

Thí dụ: Cho X ~ £p(2,8). Tính P(X = 2) và P(X < 4)

P(X = 2) =POISSON{2,2.8,0) = 0,238375

P(X i 4) =POISSON(4,2.8,1) = 0,847676


^phti híp 1: Jỗướtụf. dẫn ủi dụng. mật sỏ' hàm trong, ốxeet

3- P h â n p h ố i S iêu b ộ i

Nếu X - H(N, M, n) thì: P(X = x) =HYPGEOMDIST(x,n,M,N)

k

P ( X < k ) = £ HYPGEOMDIST(x,n,M,N)

»=0

Thí dụ: Cho X - H(50,30,20). Tính P(X = 10) và P(X < 15)

P(X = 1Ọ) =HYPGEOMDIST(10,20,30f50) = 0,1177825

15 P(X < 15) = 2 HYPGEOMDIST(X,20,30,50) = 0.9817808

3- Phân phối chuẩn

© Nếu X ~ N(m ơ2) thì:

P(X < x) = NORMDIST(x,^ a,1)

P(X| < X < x2) =NORMDIST(x2,H, Ơ,1)-N0RMDIST(X1,H, ơ,1)

Thí dụ: Cho X ~ N(250; 25 ). Tính P(X < 240); P(245 < X < 260)

Ta có: P(X < 240) =NORMDIST(240,250,5,1) = 0,02275

P(245 < X < 260) =NORMDIST(260.250,5,1)

-NORMDIST(245,250,5,1) =0,818595

© Nếu z ~ N(0; 1) thì: P(Z < z) =NORMSDIST(z)

P(a < z < P) =NORMSDIST(P)-NORMSDIST(ct)

<D Nếu X ~ Nín; ơ2) và ta cần tính P(| X-ụ ị < e) thì dùng hàm:

P(| X-ịX I < 6) =2*NORMSDIST(e/ơ)-1

Thí dụ: Cho X ~ N(50; 0,16). Tính P(| X-50 j < 0,3)

P(| X-50 ị < 0,3) =2*NORMSDIST(0.3/0.4)-1 = 0,546745

225


iịiáa trìnỈÊ tụ. thuyết xòe mất túi Hiếng kê toái!

® Tình giá trị hàm Laplace

(p(x) =NORMSDIST(X)-0.5

Thí dụ: <p(l,9) =NORMSDIST(1.9)-0.5 = 0,471284

(D Tính giá trị hàm Gauss: f(z) = -êxp{- z2 /2} v2rc

f(z) =1/(SQRT(2*3.14159)*EXP(zA2/2))

(phần chữ in đ ậ m được đóng khung là câu lệnh)

Thí dụ: f ( l , 24 ) =1/(SQRT(2*3.14159)*EXP(1.24A2/2)) =0,184937

4- Qui luật Phân phối student

T> N ế u T ~ T(k) ứiì: P(T > t ) =TDIST(t,k,1) vớ i t > 0

r / i t í/ụ: Cho T - T( 18), tính P(T > Ì ,5)

P(T > 1,5) =TDIST(1.5,18,1) = 0,075475

* Chú ý: Nếu t < 0 thì: P(T > t) = 1-P(T > -t) và khi đó - t > 0

Thí dụ: P(T > -1,5) = 1-P(T > Ì ,5) =1 -TDIST(1.5,18,1) = 0,954525

(2) Nếu T ~ T(k) thì: P(|T| > t) =TDIST(t,k,2)

Thí dụ: Cho T ~ T(18), tính P(| T I > 1,5)

P ( | T | > 1,5) =TDIST(1.5,18,2) = 0,15095

® Nếu T ~T(k), để tìm ta sao cho P(ỊT| > ta) = a thì dùng hàm TINV.

ta =TINV(a,k)

22ố


^piiụ lục ì: "dùtỉởnụ. dẫn út dung. mật nì' í lù lít hom) /'neeet

Thí dụ: Cho k = 24; a = 0,05; thì t(),()5 =TINV(0.05,24) = 2,063898

5- Qui luật Phân phối Chi bình phương

® N ế u X 2 ~ x 2 (k ) , thì: ?(ỵ2 > l i ) =CHIDIST(xẳ ,k)

Thí dụ: Cho X ~ \{22), tìm P(x2 > 10)

P(x 2 > 10) =CHIDIST(10,22) = 0,986305

© Nếu X ~ x2(k), để tìm xì sao cho P(x2 > xị ) = a thì dùng

hàmCHIIINV.

xi =CHIINV(a,k)

Thí dụ: Cho X ~ %2(24); a = 0,025; thì

X5,025 =CHilNV(° 025'24) = 39,36406

6- Qui luật Phân phối Rsher-Snedecor (phân phối F)

© N ế u F - F(m, n 2 ) , thì: P(F > f()) = F D I S T ( f 0 , n i , n 2 )

Thí dụ: Cho F ~ F(2, 5), tìm P(F > 1,9)

P(F > 1,9) =FDIST(1.9,2,5) = 0,2433427

© Nếu F ~ F(ni, n2), để tìm Fa sao cho P(F > fót) = cx thì dùng hàm FINV.

f a =FINV(a,n 1 ,n 2 )

Thí dụ: Cho F ~ F(2, 5), a = 0,05. Tim 1'a sao cho: P(F > fa ) = 0,05

f a =FINV(0.05,2,5) = 5,78615

7- Tĩnh các số đặc trưng mầu

® Trung bình mẫu: X =AVERAGE(X1, x2, . . . , xn) ị


íịiáơ trình bị ihitụếi xòe tuất oà thống kê toán

Thí dụ: X =AVERAGE(5,6,7,4,5,6,6,5,4,5) = 5,3

(D Phương sai mẫu: S2=VAR(x1s X2, . . . , xn)

Thí dụ: s2 ^1^(5,6,7,4,5,6,6,5,4,5) = 0,9

® Độ lệch chuẩn mẫu: s =STDEV(X1, x2 xn)

Thí dụ: s =STDEV(5,6,7,4,5>6,6,5)4)5) = 0,948683

7- Ưởc lượng trung bình

o n là kích thước mẫu; độ tin cậy là 1-ct. cần ựnh độ chính xác E

• s = za =CONFIDENCE(a,ơ,n) (,trường hợp đã biết ơ) Vn

• s = z -J= =CONFIDENCE(a,S,n) (trường hợp chưa biết ơ) Vn

ỡ z ~ N(0; ĩ); muốn tìm za thỏa mãn điều kiện: P(| z I > ZQ ) = a thì dùng h à m NORMSINV(1-a/2)

Thí dụ: với a = 0,05 thì: Z(),()5 =NORMSINV(1-0.05/2) = 1,95996

8- Ước lượng phương sai (chưa biết kỳ vọng)

Để tính (n-l)s2 ta dùng hàm DEVSQ(X1, x2 xn)

(n-l)s2 =DEVSQ(X1, x2, Xn)

9- Kiểm định giả thiết về qui luật phân phối

Để tính X2 =y dùng hàm t ỉ n P i

CHIINV(CHITEST(nl,nP,),k-r-1)

228


<J)lui ỉtie 2: rẼĩui(ị giá. trị hùm í ) ai lư

Phụ lục 2: B ả n g g i á t r ị h à m G a u s s : f(z) = - ^ = e x p ( - z 2 l i )

z f(z) z ĩ(7) z f(z) z í'(z)

0 0.39894 0.3 ' 0.38139 0.6 0.33322 0.9 0.26609

0.01 0.39892 0.31 0.38023 0.61 0.33121 0.91 0.26369

0.02 0.39886 0.32 0 37903 0.62 0.32918 0.92 0.26129

0.03 0.39876 0.33 0.3778 0.63 0.32713 0.93 0.25888

0.04 0.39862 0.34 0.37654 0.64 0.32506 0.94 0.25647

0.05 0.39844 0.35 0.37524 0.65 0.32297 0.95 0.25406

0.06 0.39822 0.36 0.37391 0.66 0.32086 0.96 0.25164

0.07 0.39797 0.37 0.37255 0.67 0.31874 0.97 0.24923

0.08 0.39767 0.38 0.37115 0.68 0.31659 0.98 0 246Ổ) I 0.09 0.39733 0.39 0.36973 0.69 0.31443 0.99 0.244^° '

0.1 0.39695 0.4 0.36827 0.7 0.31225 1 u.241y/ ị 0.11 0.39654 0.41 0.36678 0.71 0.31006 1 01 0 229ÍÍ 0.12 0.39608 0.42 0.36526 0.72 0.30785 1.02 0.23713 0.13 0.39559 0.43 0.36371 0.73 0.30563 1.03 0.23471 0.14 0.39505 0.44 0.36214 0.74 0.30339 1.04 0 2323 0.15 0.39448 0.45 0.36053 0.75 0.30114 1.05 0.22988 0.16 0.39387 0.46 0.35889 0.76 029887 1.06 0.22747 0.17 0.39322 0.47 0.35723 0.77 0.29659 1.07 0.22506 0.18 0.39253 0.48 0.35553 0.78 0.29431 1.08 0.22265 0.19 0.39181 0.49 0.35381 0.79 0.292 1.09 0.22025

0.2 0.39104 0.5 0.35207 0.8 0.28969 1.1 0.21785 0.21 0.39024 0.51 0.35029 0.81 0.28737 1.11 0.21546 0.22 0.3894 0.52 0.34849 0.82 0.28504 1.12 0.21307 0.23 0.38853 0.53 0.34667 0.83 0.28269 1.13 0.21069 0.24 0.38762 0.54 0.34482 0.84 0.28034 1.14 J).20831 0.25 0.38667 0.55 0.34294 0:85 0.27799 1.15 0.20594 0.26 0.38568 0.56 0.34105 0.86 0.27562 1.16 0.20357 0.27 0.38466 0.57 0.33912 0.87 0.27324 1.17 0.20121 0.28 0.38361 0.58 0.33718 0.88 0.27086 1.18 0.19886 0.29 0.38251 0.59 0.33521 0.89

É 0.26848 1.19 0.19652

229


ịịitio trình /lị thuyết xác mất oà thống Ui' toán

Phụ lục 2: B ả n g g i á t r ị h à m G a u s s : t'(z) = -~exp(-z2 /2 ) V27T

z f(z) L I U ) z í'(z) z f U )

1.2 0.1942 1.5 0.1295 1.8 0.079 2.1 0.044 1.21 0.1919 1.51 0.1276 1.81 0.0775 2.11 0.0431 1.22 0.1895 1.52 0.1257 1.82 0.0761 2.12 0.0422 1,23 0.1872 1.53 0.1238 . 1.83 0.0748 2.13 0.0413 1.24 0.1849 1.54 0.1219 1.84 0.0734 2.14 0.0404 1.25 0.1826 1.55 0.12 1.85 0.0721 2.15 0 0396 1.26 0.1804 1.56 0.1182 1.86 0.0707 2.16 0.0387 1 27 0.1781 1.57 0.1163 1.87 0.0694 2.17 0.0379 1.28 0.1758 1.58 0.1145 1.88 0.0681 2.18 0.0371 1.29 0.1736 1.59 0.1127 1.89 0.0669 2.19 0.0363

1.3 0.1714 1.6 0.1109 1.9 0.0656 2.2 0.0355 1.31 0.1691 1.61 0.1092 1.91 0.0644 2.21 0.0347 1.32 0.1669 1.62 0.1074 1.92 0.0632 2.22 0.0339 1.33 0.1647 1.63 0.1057 1.93 0.062 2.23 0.0332 1.34 0.1626 1.64 0.104 1.94 0.0608 2.24 0.0325 1.35 0.1604 1.65 0.1023 1.95 0.0596 2.25 0.0317 1.36 0.1582 1.66 0.1006 1.96 0.0584 2.26 0.031 1.37 0.1561 1.67 0.0989 1.97 0.0573 2.27 0.0303 1.38 0.1539 1.68 0.0973 1.98 0.0562 2.28 0.0297 1.39 0.1518 1.69 0.0957 1.99 0.0551 2.29 0.029

1.4 0.1497 1.7 0.094 2 0.054 2.3 0.0283 1.41 0.1476 1.71 0.0925 2.01 0.0529 2.31 0.0277 1.42 0.1456 1.72 0.0909 2 02 0.0519 2.32 0.027 1.43 0.1435 1.73 0.0893 2.03 0 0508 2.33 0.0264 1.44 0.1415 1.74 0.0878 2.04 0 0498 2.34 0.0258 1 45 0.1394 1.75 0.0863 2.05 0 0488 2.35 0.0252 1.46 0.1374 • 76 0.0848 2.06 0.0478 2.36 0.0246 1.47 0.1354 1.77 0.0833 2.07 0.0468 2.37 0.0241 1.48 0.1334 1.78 0.0818 2.08 0.0459 2.38 0.0235 1.49 0.1315 1.79 0.0804 2.09 0.0449 2.39 0.0229


tyltụ tụt 2: (Bảttụ giá trị ỉiàtn íịxutiA

Phụ lục 2: B ả n g g i á t r ị h à m G a u s s : f ( z ) = - 7 = e x p ( - z 2 l i )

z f(z) z f(z) z f(z) z f(z)

2.4 0.0224 2.7 0.0104 3 0.0044 3.3 0.0017 2.41 0.0219 2.71 0.0101 3.01 00043 3.31 0.0017 2.42 0.0213 2.72 0.0099 3.02 0.0042 3.32 0.0016 2.43 0.0208 2.73 0.0096 3.03 0.004 3.33 0.0016 2.44 0.0203 2.74 0.0093 3.04 0.0039 3.34 0.0015 2.45 0.0198 2.75 0.0091 3.05 0.0038 3.35 0.0015 2.46 0.0194 2.76 0.0088 3.06 0.0037 3.36 0.0014 2.47 0.0189 2.77 0.0086 3.07 0.0036 3.37 0.0014 2.48 0.0184 2.78 0.0084 3.08 0.0035 3.38 0.0013 2.49 0.018 2.79 0.0081 3.09 0.0034 3.39 0.0013

2.5 0.0175 2.8 0.0079 3.1 0.0033 3.4 0.0012 2.51 0.0171 2.81 0.0077 3.11 0.0032 3.41 0 0012 2.52 0.0167 2 8 2 0.0075 3.12 0.0031 3.42 0.0012 2.53 0.0163 2.83 0.0073 3.13 0.003 3.43 0.0011 2.54 0.Ố158 2.84 0.0071 3.14 0.0029 3.44 0.0011 2.55 0.0154 2.85 0.0069 3.15 0.0028 3.45 0.001 2.56 0.0151 2.86 0.0067 3.16 0.0027 3.46 0.001 2.57 0.0147 2.87 0.0065 3.17 0.0026 3.47 0.001 2.58 00143 2.88 0.0063 3.18 0.0025 3.48 0.0009 2.59 0.0139 2.89 0.0061 3.19 0.0025 3.49 0.0009

2.6 0.0136 2.9 0.006 3.2 0.0024 3.5 0.0009 2.61 0.0132 2.91 0.0058 3.21 0.0023 3.6 0.0006 2.62 0.0129 2.92 0.0056 3.22 3.0022 3.7 0.0004 2.63 0.0126 2.93 0.0055 3.23 0.0022 3.8 0.0003 2.64 0.0122 2.94 0.0053 3.24 0.0021 3.9 0.0002 2.65 0.0119 2.95 0.0051 3.25 0.002 3.95 0.0002 2.66 0.0116 2.96 0.005 3.26 0.002 3.98 0 0001 2.67 0.0113 2.97 0.0048 3.27 0.0019 3.99 0.0001 2.68 0.011 2.98 0.0047 3.28 0.0018 4 0.0001 2.69 0.0107 2.99 0.0046 3.29 0.0018 4.01 0.0001

2 31


í} ì áo trình ỉiị thuyết xái' suất oà thống kê toán

Phụ lục 3 : B ả n g g i á t r ị h à m Laplace:(r>(x) = ~= f e " 7 l / 2 d z V27Ĩ í

X <p(x) X <p(x) X cp(x) X <p(x)

0 0.00000 0.3 0.11791 0.6 0.22575 0.9 0.31594

0 01 0.00399 0.31 0.12172 0.61 0.22907 0.91 0.31859

0.02 0.0C J" Ì O n"32 0.12552 0.62 0.23237 0.92 0 32121

0.03 0.01197 0 33 0.1293 0.63 0.23565 0.93 0.32381

0 04 0.01595 0.34 0.13307 0.64 0.23891 0.94 0.32639

0.05 0.01994 0.35 0.13683 0.65 0.24215 0.95 0.32894

n 06 0.02392 0.36 0.14058 0.66 0.24537 0.96 0.33147

0.07 0.0279 0.37 0.14431 0.67 0.24857 0.97 0.33398

0.08 0.03188 0.38 0.14803 0.68 0.25175 0.98 0.33646

0.09 0.03586 0.39 0.15173 0.69 0.2549 0.99 0.33891

0.1 0.03983 0.4 0.15542 0.7 0.25804 1 0.34134

0.11 0.0438 0.41 0.1591 0.71 0.26115 1.01 0.34375

0.12 0.04776 0.42 0.16276 0.72 0.26424 1.02 0.34614

0.13 0.05172 0.43 0.1664 Q.73 0.2673 1.03 0.34849

0.14 0.05567 0.44 0.17003 0.74 0.27035 1.04 0.35083

0.15 0.05962 0.45 0.17364 0.75 0.27337 1.05 0.35314

0.16 0.06356 0.46 0.17724 0.76 0.27637 1.06 0.35543

0.17 0.06749 0.47 0.18082 0.77 0.27935 1.07 0.35769

0.18 0.07142 048 0.18439 0.78 0.2823 1.08 0.35993 0.19 0.07535 0 49 0.18793 0.79 0.28524 1.09 0 36214 0.2 0.07926 0.5 0.19146 0.8 0.28814 1.1 0.36433

0.21 0.08317 0.51 0.19497 0.81 0.29103 1.11 0.3665 0.22 0.08706 0.52 0.19847 0.82 0.29389 1.12 0.36864 0.23 0.09095 0.53 0.20194 0.63 0.29673 1.13 0.37076 0.24 0.09483 0.54 0.2054 0.84 0.29955 1.14 0.37286 0.25 0.09871 0.55 0.20884 0.85 0.30234 1.15 0.37493 0.26 0.10257 0.56 0.21226 Ọ.86 0.30511 1.16 0.37698 0.27 0.10642 0.57 0.21566 0.87 0.30785 1.17 0.379 0.28 0.11026 0.58 0.21904 0.88 0.31057 1.18 0.381 0.29 0.11409 0.59 0.2224 0.89 0.31327 1.19 0.38298

232


rJ)im /ne 3: Qỉáiiạ ạiá trị hàm £afiíaee

Phụ lục 3 : B ả n g g i á t r ị h à m Laplace :cp(x) =-—= f e " z / 2 d z . V 2 T I „J

\ ' OI \ ' X (p(x) X <p(x) X <p(x)

1 2 0 38493 1.49 0.43189 1.78 0.46246 2.07 0.48077 1.21 0.38686 1.5 0.43319 1.79 0.46327 2.08 0.48124 1.22 0.38877 1.51 0.43448 1.8 0.46407 2.09 0.48169 1.23 0.39065 1.52 0.43574 1.81 0.46485 2.1 0.48214 1.24 0.39251 1.53 0.43699 1.82 0.46562 2.11 0.48257 1.25 0.39435 1.54 0.43822 1.83 0.46638 2.12 0.483 1.26 0.39617 . 1.55 0.43943 1.84 0.46712 2.13 0.48341 1.27 0.39796 1.56 0.44062 1.85 0.46784 2.14 0.48382 1.28 0.39973 1.57 0.44179 1.86 0.46856 2.15 0.48422 1.29 0.40147 1.58 0.44295 1.87 0.46926 2.16 0.48461 1.3 0.4032 1.59 0.44408 1.88 0.46995 2.17 0.485

1 31 0.4049 1.6 0.4452 1.89 0.47062 2.18 0.48537 1.32 0.40658 1.61 0.4463 1.9 0.47128 2.19 0.48574 1.33 0.40824 1.62 0.44738 1.91 0.47193 2.2 0.4861 1.34 0.40988 1.63 0.44845 1.92 0.47257 2.21 0.48645 1.35 0.41149 * 1.64 0.4495 1.93 0.4732 2.22 0.48679 1.36 0.41308 1.65 0.45053 1.94 0.47381 2.23 0.48713 1.37 0.41466 1.66 0.45154 1.95 0.47441 2.24 0.48745 1.38 0.41621 1.67 0.45254 1.96 0.475 2.25 0.48778 1.39 0.41774 1.68 0.45352 1.97 Q.47558 2.26 0.48809 1.4 0.41924 1.69 0.45449 1.98 0.47615 2.27 0.4884

1.41 0.42073 1.7 0.45543 1.99 0.4767 2.28 0.4887 1.42 0.4222 1.71 0.45637 2 0.47725 2.29 0.48899 1.43 0.42364 1.72 0.45728 2.01 0.47778 2.3 0.48928 1.44 0 42507 1.73 0.45818 2.02 0.47831 2.31 0.48956 1.45 0.42647 1.74 0.45907 2.03 0.47882 2.32 0.48983 1.46 042785 1.75 0.45994 2.04 0.47932 2.33 0.4901 1.47 0 42922 1.76 04608 2.05 0.47982 2.34 0.49036 1.48 0.43056 1.77 0.46164 2.06 04803 2.35 0.49061


íịiáa trình tụ thuyết xác Mất ữà ittếnạ. itề toáềt

Phu lúc 3 : B ả n g g i á t r ị h à m L a p l a c e : ( p ( x ) = - 7 = J e " z l / 2 d z V 2 T U 0

X (p(x) X (p(x) X <p(x) X cp(x)

2.36 0.49086 2.64 0.49585 2.92 0.49825 3.2 0.49931

2.37 0 49111 2.65 049598 2.93 0.49831 3.21 0.49934

2.38 0 49134 2.66 049609 2.94 0.49836 3.22 0.49936

2.39 0.49158 2.67 0.49621 2.95 0.49841 3.23 0.49938

2.4 0.4918 2.68 0.49632 2.96 0.49846 3.24 0.4994

2.41 0.49202 2.69 0.49643 2.97 049851 3.25 0.49942

2.42 0.49224 2.7 0.49653 2.98 0.49856 3.26 0.49944

2.43 0.49245 2.71 0.49664 2.99 0.49861 3.27 0.49946

2.44 049266 2.72 0.49674 3 0.49865 3.28 0.49948

2.45 0.49286 2.73 049683 3.01 0.49869 3.29 0.4995

2.46 0.49305 2.74 0.49693 3.02 0.49874 3.3 0.49952

2.47 0.49324 2.75 0.49702 3.03 0.49878 3.31 0.49953

2.48 0.49343 2.76 0.49711 3.04 0.49882 3.32 0.49955

2.49 0.49361 2.77 0.4972 3.05 0.49886 3.33 0.49957

2.5 0.49379 2.78 0.49728 3.06 0.49889 3.34 0.49958 2.51 0.49396 2.79 0.49736 3.07 0.49893 3.35 0.4996 2.52 0.49413 2.8 0.49744 3.08 0.49896 3.36 0.49961 2.53 0.4943 2.81 049752 3.09 0.499 3.37 0.49962 2.54 0.49446 2.82 0.4976 3.1 0.49903 . 3.38 049964 2.55 0.49461 2.83 0.49767 3.11 0.49906 3.39 0.49965 2.56 0.49477 2.84 0.49774 3.12 0.4991 3.4 049966 2.57 0.49492 2.85 0.49781 3.13 0.49913 3.41 0.49968 2.58 0.49506 2.86 0.49788 3.14 0.49916 3.42 049969 2.59 0.4952 2.87 0.49795 3.15 0.49918 3.43 0.4997 2.6 0.49534 2.88 0.49801 3.16 0.49921 3.44 0.49971

2.61 0.49547 2.89 0.49807 3.17 0.49924 3.45 0.49972 2.62 0.4956 2.9 0.49813 3.18 0.49926 3.46 0.49973 2.63 0.49573 2.91 0.49819 3.19 0.49929 3.47 0.49974


rPUu Ị ne 3: HiảttỊỊ, ạùí trị hàstt Maplaae

Phụ l ụ c 3 : B ả n g g i á toi h à m L a p ỉ a c e : ( p ( x ) = - 7 = = fe z í / ỉ d z V27t 0

X. X (p(x> X ọ(x)

3.48 0.499749 3.75 Ơ.4999116 4.02 0.499970887 3.49 0.499758 3-76 0.499915 4.03 0499972098 3.5 0.499767 3.77 0.4999184 4.04 0.499973261 3.51 0.499776 3.78 Q.4999216 4.05 0.499974378 3.52 0.499784 3.79 Q.4999247 4.06 0.499975451 3.53 0.499792 3.8 0-4999276 4.07 0.499976481 3.54 0.4998 3.81 0.4999305 4-08 0.49997747 3.55 0.499807 3.82 0.4999333 4.09 0.49997842 3.56 0.499815 3.83 0.4999359 4.1 0.499979331 3.57 0.499821 3.84 0.4999385 4.11 0.499980206 3.58 0.499828 3.85 0.4999409 4.12 0.499981046 3.59 0.499835 3.86 0.4999433 4.13 0.499981852 3.6 0.499841 3.87 0.4999456 4.14 0.499982625 3.61 0.499847 3.88 0.4999478 4.15 0.499983367 3.62 0.499853 3.89 0.4999499 4.16 0.499984078 3.63 0.499858 3.9 0.4999519 4.17 0.499984761 3.64 0.499864 3.91 0.4999538 4.18 0.499985416 3.65 0.499869 3.92 0.4999557 4.19 0.499986044 3.66 0.499874 3.93 0.4999575 4.2 0.499986646 3.67 0.499879 3.94 0.4999592 4.21 0.499987223 3.68 0.499883 3.95 0.4999609 4.22 0.499987777 3.69 0.499888 3.96 0.4999625 4.23 0.499988308 3.7 0.499892 3.97 0.499964 4.24 0.499988817 3.71 0.499896 3.98 0.4999655 4.25 0.499989304 3.72 0.4999 3.99 0.4999669 4.26 0.499989772 3.73 0.499904 4 0.4999683 4.27 0.49999022 3.74 0.499908 4.01 0.4999696 4.28 0.499990649

235


í ị/tin trình tụ thuyết xúc mất oà thò ng kê toán

P h ụ l ụ c 4 : B ả n g g i á t r ị z a : p ( | z | > z a ) = a

a la a Za a Za

0.001 3.29048 0.031 2.157067 0.061 1.8/34954 0.002 3.09024 0.032 2.144407 0.062 1.8662922 0.003 2.96772 0.033 2.132083 0.063 ì - - ' = 9 1 0.004 2.87815 0.034 2.120069 0.064 1.8521 ĩỏy 0.005 2.80706 0.035 2.108354 0.065 1.8452556 0.006 2.74777 0.036 2.096931 0.066 > 1.8384253 0.007 2.69683 0.037 2.085762 0.067 1 8316769 0.008 2.65209 0.038 2.074848 0.068 1.8250057 0.009 2.61207 0.039 2.064189 0.069 1.8184164

0.01 2.57583 0.04 2.053748 0.07 1.8119135 0.011 2.54269 0.041 2.043525 0.071 1.8054743 0.012 2.51213 0.042 2.033521 0.072 1 7991169 0.013 2.48376 0.043 2.023708 0.073 -•_CÓ23 0.014 2.45727 0.044 2.014094 0.074 1.7866114 0.015 2.43239 0.045 2.004654 0.075 1.7804632 0 016 2.40892 0.046 1.995395 0.076 1.7743787 0.017 2.3867 0.047 1.9863 0.077 1.7683669 0.018 2.36561 0.048 1.977369 0.078 1.7624097 0.019 2.34553 0.049 1.968592 0.079 1.7565162

0.02 2.32634 0.05 1.959961 0.08 1.7506864 0.021 2.30799 0.051 1.951475 0.081 1.7449111 0.022 2.29036 0.052 1.943135 0.082 1.7391994 0.023 2.27343 0.053 1.934923 0.083 1.7335378 0.024 2.25713 0.054 1.926837 0.084 1.7279308 0.025 2.2414 0.055 1.918879 0.085 1.7223829 0.026 2.22621 0.056 1.91103 0.086 1.716885 G.027 2.21151 0 057 1.903309 0 087 1.7114417 0.028 2.19728 0.058 1.895696 0.088 1.7060438 0.029 2 13348 0.059 1.888193 0.089 1.700696

0.03 2.17009 0.06 1.88079 0 09 1.6953982

236


<J)hn íụe 4: (Bảng. giã trị Z u

P h ụ l ụ c 4 : B ả n g g i á t r ị z a : p ( | z | > z a ) = a

a Za a Za a Za

0.1 1.64485 0.4 0.841621 0.7 0.3853211 .

0.11 1.59819 0.41 0.823893 0.71 0.371856

0.12 1.55477 0.42 0806422 072 0.3584591 0.13 1.5141 0.43 0.789191 0.73 0.345126 0.14 '1.47579 0.44 0.772193 0.74 0.3318542

0 15 1.43953 0.45 0.755415 0.75 0.3186392 0.16 1.40507 0.46 0.738846 0.76 0.3054811 0.17 1.3722 0.47 0.722479 0 77 0.2923753 0 18 1.34075 0.48 0.706302 0.78 0.2793195 0.19 1.31058 0.49 0.690309 079 0.2663114

0.2 1.28155 0.5 0.67449 0.8 0 2533466 0.21 1.25357 0.51 D.658838 0.81 0.2404261 0.22 1.22653 0.52 0.643345 0.82 0.2275453 0.23 1.20036 0.53 0.628006 0,83 0.2147021 Ọ.24 1.17499 0.54 0.612813 0.84 0.2018942 0.25 1.15035 0.55 0.597761 0.85 0.1891181 0.26 1.12639 0.56 0 582841 0.86 0.1763738 0 2 7 1.10306 0.57 0.568052 0.87 0.163659 0.28 1.08032 0.58 0.553384 0.88 0.1509693 0.29 1.05812 0.59 0.538836 0.89 0.1383046

0.3 1.03643 0.6 0.524401 0.9 0.1256615 0.31 1.01522 0.61 0.510074 0.91 0.1130388 0.32 099446 0.62 0.49585 0.92 0.1004332 033 0.97411 0.63 0.481728 0.93 0.0878447 0.34 0.95416 0.64 0.467699 . 0.94 0.0752698 0.35 0.93459 0.65 0.453763 0.95 0.0627062 0.36 0.91537 0.66 0.439913 0.96 0.050154-í 0.37 0.89647 0.67 0.426148 0.97 0.0376076 0.38 0.8779 0.68 0.412463 0.98 0.0250691 0.39 0.85962 0.69 0.398855 0.99 0.0125328

237


(Ậiúo trình /tị ỉltitt/ết <ráe mất Dừ tliốnợ. kê toán

P h ụ l ụ c 5: B ả n g g i á t r ị xi v ớ i p ( x z > x ầ ) = a

(k là bậc tự do)

X k \

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

1 7.879 6.635 5.916 5.412 5.0239 4.7093 2 10.6 9.21 8.399 7.824 7.37778 7.0131 3 12.84 11.34 10.47 9.837 9.3484 8.9473 4 14.86 13.28 12.34 11.67 11.1433 10.7119 5 16.75 15.09 14.1 13.39 12.8325 12.3746 6 18.55 16.81 15.78 15.03 14.4494 13.9676 7 20.28 18.48 17.4 16.62 16.0128 15.5091 8 21.95 20.09 18.97 18.17 17.5345 17.0105 9 23.59 21.67 20.51 19.68 19.0228 18.4796

10 25.19 23.21 22.02 21.16 20.4832 19.9219 11 26.76 24.73 23.5 22.62 21.92 21.3416 12 28.3 26.22 24.96 24.05 23.3367 22.7418 13 29.82 27.69 26.4 25.47 24.7356 24.1249 14 31.32 29.14 27.83 26.87 26.1189 25.4931 15 32.8 30.58 29.23 28.26 27.4884 26.848 16 34.27 32 30.63 29.63 28.8453 28.1908 17 35.72 33.41 32.01 31 30.191 29.5227 18 37.16 34.81 33.38 32.35 31.5264 30.8447 19 38.58 36.19 34.74 33.69 32.8523 32.1577 20 40 37.57 36.09 35.02 34.1696 33.4623 21 41.4 38.93 37.43 36.34 35.4789 34.7593 22 42.8 40.29 38.77 37.66 36.7807 36.0491 23 44.18 41.64 40.09 38.97 38.0756 37.3323 24 45.56 42.98 41.41 40.27 39.3641 38.6093 25 46.93 44.31 42.73 41.57 40.6465 39.8804 26 48.29 45.64 44.03 42.86 41.9231 41.1461 27 49.65 46.96 45.33 44.14 43.1945 42.4066 28 50.99 48.28 46.63 45.42 44.4608 43.6622


qMuỊ tụt kề (Bần*, giá tụ xi

P h ụ l ụ c 5: B ả n g g i á t r ị xi v ớ i p ( x 2 >xl)=0L


0.05 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995

1 3.841 0.004 0.001 0.0006 0.00016 3.93E-05 2 5.991 0.103 0.0506 0.0404 0.0201 0.010025 3 7.815 0.352 0 2158 0.1848 0.11483 0.071723 4 9.488 0.711 0.4844 0.4294 0.29711 0.206984 5 11.07 1.145 0.8312 0.7519 0.5543 0.411751 6 12.59 1.635 I.2373 1.1344 0.87208 0.675733 7 14.07 2.167 1.6899 1.5643 1.23903 0.989251 8 15.51 2.733 2.1797 2.0325 1.64651 1.344403 9 16.92 3.325 2.7004 2.5324 2.08789 1.734911

10 18.31 3.94 3.247 3.0591 2.5582 2.155845 11 19.68 4.575 3.8157 3.6087 3.0535 2.603202 12 21.03 5.226 4.4038 4.1783 3.57055 3.073785 13 22.36 5.892 5.0087 4.7654 4.1069 3.565042 14 23.68 6.571 5.6287 5.3682 ' 4.66042 4.074659 15 25 7.261 6.2621 59849 5.22936 4.600874 16 26.3 7.962 6.9077 6.6142 5.8122 5.142164 17 27.59 8.672 7.5642 7.255 €.40774 5.697274 18 28.87 9.39 8.2307 7.9052 7.0149 6.264766 19 30.14 10.12 8.9065 8.567 7.6327 6.843923 20 31.41 10.85 9.5908 9.2367 8.26037 7.433811 21 32.67 11.59 10.283 9.9145 8.89717 8.033602 22 33.92 12.34 10.982 10.6 9.54249 8.642681 23 35.17 13.09 11.689 11.293 10.1957 9.260383 24 36.42 13.85 12.401 11.992 10.8563 9.886199 25 37.65 14.61 13.12 12.697 11.524 10.51965 26 38.89 15.38 13.844 13.409 12.1982 11.16022 27 40.11 16.15 14.573 14.125 12.8785 11.80765 28 41.34 16.93 15.308 14.847 13.5647 12.46128

239


íịìáo trình tụ. ihụụết xúc suất oà iỉtốitạ kè toán

P h ụ l ụ c 5: B ả n g g i á t r ị xi v ớ i p ( x 2 > x ầ ) = c t

(k tò bậc tự do)

\ 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

29 52.34 49.59 47.915 46.693 45.722 44.913 30 53.67 50.89 49.199 47.962 46.979 46.16 31 55 52.19 50.478 49.226 48.232 47.402

56 33 5349 51.753 50.487 49.48 48.641 33 57.65 54.78 53.024 51.743 50.725 49.876 34 58.96 56.06 54.29 52.995 51.966 51.107 35 60.27 57.34 55.553 54.244 53.203 52.335 36 61.58 58.62 56.811 55.489 54.437 53.56 37 62.88 59.89 58.066 56.73 55.668 54.781 38 64.18 61.16 59.318 57.969 56 895 56 39 65.48 62.43 60.567 59.204 58.12 57.215 40 66.77 63.69 61.812 60.436 59.342 58.428 41 68.05 64.95 63.054 61.665 60.561 59.638 45 73.17 69.96 67.994 66.555 65.41 64.454 50 79.49 76.15 74.111 72.613 71.42 70.423 55 85.75 82.29 80.173 78.619 77.38 76.345 60 91.95 88.38 86.138 84.58 83.298 82.225 65 98.1 94.42 92.161 90.501 89:177 88.069 70 104.2 100.4 98.098 96.387 95.023 93.881 75 110.3 106.4 104 102.24 100.84 99.665 80 116.3 112.3 109.87 108.07 106.63 105.42 85 122.3 118.2 115.72 113.87 112.39 111.16 90 128.3 124.1 121.54 119.65 118.14 116.87 95 134.2 130 127.34 125.4 123.86 122.56

100 140.2 135.8 133.12 131 14 129.56 128.24 105 146.1 141.6 138.88 136.86 135.25 133.89 110 151.9 147.4 144.62 142.56 140.92 139.54 120 163.6 159 156.05 153.92 152.21 150.78


<J)tut /ne 5: (Bảng. ạiá trị 5£2

P h ụ l ụ c 5: B ả n g g i á t r ị xì v ớ i p ( x 2 > x l ) = a


0.05 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995

29 42.56 17.71 16.047 15.574 14.256 13.121 30 43.77 18.49 16.791 16.306 14.953 13.787 31 44.99 19.28 17.539 17.042 15.655 14.458 32 46.19 20.07 18.291 17.783 16.362 15.134 33 47.4 20.87 19.047 18.527 17.073 15.815 34 48.6 21.66 19.806 19.275 17.789 16.501 35 49.8 22.47 20.569 20.027 18.509 17.192 36 51 23.27 21.336 20.783 19.233 17.887 37 52.19 24.07 22.106 21.542 19.96 18.586 38 53.38 24.88 22.878 22.304 20.691 19.289 39 54.57 25.7 23.654 23.069 21.426 19.996 40 55.76 26.51 24.433 23.838 22.164 20.707 41 56.94 27.33 25.215 24.609 22.906 21.421 45 61.66 30.61 28.366 27.72 25.901 24.311 50 67.5 34.76 32.357 31.664 29.707 27.991 55 73.31 38.96 36.398 35.659 33.571 31.735 60 79.08 43.19 40.482 39.699 37.485 35.534 65 84.82 47.45 44.603 43.779 41.444 39.383 70 90.53 51.74 48.758 47.893 45.442 43.275 75 96.22 56.05 52.942 52.039 49.475 47.206 80 101.9 60.39 57.153 56.213 53.54 51.172 85 107.5 64.75 61.389 60.412 57.634 55.17 90 113.1 69.13 65.647 64.635 61.754 59.196 95 118.8 73.52 69.925 68.879 65.898 63.25

100 124.3 77.93 74.222 73.142 70.065 67.328 105 129.9 82.35 78.536 77.424 74.252 71.428 110 135.5 86.79 82.867 81.723 78.458 75.55 120 146.6 95.7 91.573 ' 90.367 86.923 83.852


Ị/iàữ trình tý thuyết xòe mất oà thối lạ kê toán

P h ụ l ụ c 6 : B ả n g g i á t r ị t a v ớ i p ( j t | > t j = a


k \ 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

1 63.66 31.82 21.205 15.894 12.706 10.579 2 9.925 6.965 5.6428 4.8487 4.3027 3.8964 3 5.841 4.541 3.8961 3.4819 3.1824 2.9505 4 4.604 3.747 3.2976 2.9985 2.7765 2.6008 5 4.032 3.365 3.0029 2.7565 2.5706 2.4216 6 3.707 3.143 2.8289 2.6122 2.4469 2.3133 7 3.499 2.998 2.7146 2.5168 2.3646 2.2409 8 3.355 2.896 2.6338 2.449 2.306 2:1892 9 3.25 2.821 2.5738 2.3984 2.2622 2.1504 10 3.169 2.764 2.5275 2.3593 2.2281 2.1202 11 3.106 2.718 2.4907 2.3281 2.201 2.0961 12 3.055. 2.681 2.4607 2.3027 2.1788 2.0764 13 3.012 2.65 2.4358 2.2816 2.1604 2.06 14 2.977 2.624 2.4149 2.2638 2.1448 2.0462 15 2.947 2.602 2.397 2.2485 2.1315 2.0343 16 2.921 2.583 2.3815 2.2354 2.1199 2.024 17 2.898 2.567 2.3681 2.2238 2.1098 2.015 18 2.878 2.552 2.3562 2.2137 2.1009 2.0071 19 2.861 2.539 2.3457 2.2047 2.093 2 20 2.845 2.528 2.3362 2.1967 2.086 1.9937 21 2.831 2.518 2.3278 2.1894 2.0796 1.988 22 2.819 2.508 2.3202 2.1829 2.0739 1.9829 23 2.807 2.5 2.3132 2.177 2.0687 1.9783 24 2.797 2.492 2.3069 2.1715 2.0639 1.974 25 2.787 2.485 2.3011 2.1666 2.0595 1.9701 26 2.779 2.479 2.2958 2.162 2.0555 1.9665 27 2.771 2.473 2.2909 2.1578 2.0518 1.9632 28 2.763 2.467 2.2864 2.1539 2.0484 1.9601


<J)ỉtụ lụe ó: (Bàng giá trị t Q

P h ụ l ụ c 6: B ả n g g i á t r ị t a v ó i p | t | > t j = a

(kia bậc tự do)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

29 2.756 2.462 2.2822 2.1503 2.0452 1.95/3 30 2.75 2.457 2.2783 2.147 2.0423 1 9546 31 2.744 2.453 2.2746 2.1438 2.0395 1.9522 32 2.738 2.449 2.2712 2.1409 2.0369 1.9499 33 2.733 2.445 2.268 2.1382 2.0345 1.9477 34 2.728 2.441 2.265 2.1356 2.0322 1.9457 35 2.724 2.438 2.2622 2.1332 2.0301 1.9438 36 2.719 2.434 2.2595 2.1309 2.0281 1.9419 37 2.715 2.431 2.257 2.1287 2.0262 1.9402 38 2.712 2.429 2.2546 2.1267 2.0244 1.9386 39 2.708 2.426 2.2524 2.1247 2.0227 1.9371 40 2.704 2.423 2.2503 2.1229 2.0211 1.9357 41 2.701 2.421 2.2483 2.1212 2.0195 • 1.9343 42 2.698 2.418 2.2463 2.1195 2.0181 1.933 43 2 695 2.416 2.2445 2.1179 2.0167 1.9317 44 2.692 2.414 2.2428 2.1164 2.0154 1.9305 45 2.69 2.412 2.2411 2.115 2.0141 1.9294 46 2.687 2.41 2-2395 2.1136 2.0129 1.9283 47 2.685 2.408 2.238 2.1123 2.0117 1.9273 48 2.682 2.407 2.2365 2.1111 2.0106 1.9263 49 2.68 2.405 2.2351 2.1099 2.0096 1.9254 50 2.678 2.403 2.2338 2.1087 2.0086 1.9244 51 2.676 2.402 2.2325 2.1076 2.0076 1.9236 52 2.674 2.4 2.2313 2.1066 2.0066 1.9227 53 2.672 2.399 2.2301 2.1055 2.0057 1.9219 54 2.67 2.397 2.2289 2.1046 2.0049 1.9211 55 2.668 2.396 2.2279 2.1036 2.004 1.9204 56 2.667 2.395 2.2268 2.1027 2.0032 1.9197

243


(ậiát) trình tụ tttnụết xuê xuất oà thống, kê toán

P h ụ l ụ c 6: B ả n g g i á t r ị t a v ớ i p ( ị t | > t a ) = a


k \ 0.07 0.08 0.09 0.1 0.15 0.2

1 9.058 7.916 7.0264 6.3137 4.1653 3.0777 2 3.578 3 32 3.104 2.92 2.2819 1.8856 3 2.763 2.605 2.4708 2.3534 1.9243 1.6377 4 2.456 2.333 2.2261 2.1318 1.7782 1.5332 5 2.297 2.191 2.0978 2.015 1.6994 1.4759 6 2.201. 2.104 2.0192 1.9432 1.6502 1.4398 7 2.136 2.046 1.9662 1.8946 1.6166 1.4149 8 2.09 2.004 1.928 1.8595 1.5922 1.3968 9 2.055 1.973 1.8992 1.8331 1.5737 1.383 10 2.028 1.948 1.8768 1.8125 1.5592 1.3722 11 2.007 1.928 1.8588 1.7959 1.5476 1.3634 12 1.989 1.912 1.844 1.7823 1.538 1.3562 13 1.974 1.899 1.8317 1.7709 1.5299 1.3502 14 1.962 1.887 1.8213 1.7613 1.5231 1.345 15 1.951 1.878 1.8123 1.7531 1.5172 1.3406 16 1.942 1.869 1.8046 1.7459 1.5121 1.3368 17 1.934 1.862 1.7978 1.7396 1.5077 1.3334 18 1.926 1.855 1.7918 1.7341 1.5037 1.3304 19 1.92 1.85 1.7864 1.7291 1.5002 1.3277 20 1.914 1.844 1.7816 1.7247 1.497 1.3253 21 1.909 1.84 1.7773 1.7207 1.4942 1.3232 22 1.905 1.835 1.7734 1.7171 1.4916 1.3212 23 1.9 1.832 1.7699 1.7139 1.4893 1.3195 24 1.896 1.828 1.7667 1.7109 1.4871 1.3178 25 1.893 1.825 1.7637 1.7081 1.4852 1.3163 26 1.89 1.822 1.761 1.7056 1.4834 1.315 27 1.887 1.819 1.7585 1.7033 1.4817 1.3137 28 1.884 1.817 1.7561 1.7011 1.4801 1.3125

244


<ptut lạc 7: Ợỉảnạ giá trị a

P h ụ l ụ c 7 : B ả n g g i á t r ị a v ớ i P ( | T | > t ) = a


k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

1 0.9365 0.8743 0.8145 07578 0 7048 0.656 2 0.9295 0.86 0.7925 . ủ.7278 0 6667 0.6094 3 09267 0.8543 0.78?« 0 7159 0 6514 0 5908 4 0.9252 0.8512 • 0.7/91 0.7096 0 6433 0.5808 5 0.9242 0.8494 0 0.7057 0 .6383 0.5747 6 0.9236 0.8481 0.7743 0.703 0 .6349 0.5705 7 ' 0.9231 0.8472 0.7729 0.7011 0 .6324 0.5674 8 0.9228 0.8465 0.7718 0.6996 0 .6305 0.5651 9 0.9225 0.8459 0.771 0.6985 0 .6291 0.5633

10 0.9223 0.8455 0.7703 0.6976 ũ .6279 0.5619

11 0.9221 0.8451 0.7698 0.6968 0 ,6269 0.5607

12 0.922 0.8448 0.7693 0.6962 0 .6261 0.5597

13 0.9219 08446 0.7689 0.6957 0 .6254 0.5588

14 0.9218 0.8444 0.7686 0.6952 0 .6248 0.5581

15 0.9217 0.8442 0.7683 0.6948 0 6243 0.5575

16 0.9216 0.844 0.768 0.6944 0 .6239 0.5569

17 0.9215 0.8439 0.76,78 {1.6941 0 .6235 0.5564

18 0.9214 0.8437 0.7676 0.6939 0 .6231 0.556

19 0.9214 0.8436 0.7674 0.6936 0 ,6228 0.5556

20 0.9213 0.8435 0.7673 0.6934 0 .6225 0.5552

21 0.9213 0.8434 0.7671 0.6932 0 .6223 0.5549

22 0.9213 0.8433 0.767 0.693 0 622 0.5546

23 0.9212 0.8432 0.7669 0.6928 0 6218 0.5544

24 0.9212 0.8432 0.7668 0.6927 0 6216 0.5541

25 0.9211 0.8431 0.7667 0.6926 0. 6214 0.5539

26 0.9211 0.843 0.7666 0.6924 0. 6213 0.5537

27 0.9211 0.843 0.7665 0.6923 0. 6211 0.5535

28 0.9211 0.8429 0.7664 0.6922 0. 621 0.5533

29 0.921 0.8429 0.7663 0.6921 0 6208 0.5532

30 0.921 0.8428 0.7662 0.692 0. 6207 0.553

245


ịịiíia trình hj. thuyết xác Mất oà tÌỊOỊtạ kè toán

P h ụ l ụ c 7 : B ả n g g i á t r ị oe v ớ i p ( j x | > t ) = a


k 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

1 0.6112 0 0.5335 0.5 04697 0.442 2 c. ịj 0 o -T 0.4631 0.4226 0.386 0.35 3 0.5343 0.4822 0.4345 0 391 0.3517 0.316. 4 0.5225 0.4685 0.419 0.3739 0.3331 0.296. 5 0.5151 0.46 0.4094 0.3632 0.3215 0.283 6 0.5101 0.4542 0.4028 0.3559 0.3135 0.275 7 0.5065 0.45 0.398 0.3506 0.3077 0.269 8 0.5038 0.4468 0.3944 0 3466 0.3033 0.264 9 0.5016 0.4443 0.3916 0.3434 0.2999 0.260 10 0.4999 0.4423 0.3893 0.3409 0.2971 0.257 11 0.4985 0.4406 0.3874 0.3388 0.2948 0.255 12 0.4973 0.4393 0.3858 0.337 0.2929 0.253 13 0.4963 0.4381 0.3845 0.3356 0.2913 0.251 14 0.4954 0.4371 0.3833 0.3343 0.2899 0.250 15 0.4946 . 0.4362 0.3823 0,3332 0.2887 0.248 16 0.494 0.4354 0.3815 0.3322 02876 0.247 17 0.4934 0.4347 0.3807 0.3313 0.2867 0.246 18 0.4929 0.4341 0.38 0.3306 0.2858 0.24Í 19 0.4924 0.4336 0.3794 0.3299 0.2851 0.244 20 0.492 0.4331 0.3788 0.3293 0.2844 0.24^ 21 0.4916 0.4327 0.3783 0.3287 0.2838 0.24-22 0.4913 0.4323 0.3779 0.3282 0.2832 0.24: 23 0.4909 0.4319 0.3774 0.3277 0.2827 0.24: 24 0.4907 0.4316 0.3771 0.3273 0.2822 0.24' 25 0.4904 0.4312 0.3767 0.3269 0.2818 0.24-26 0.4901 0.431 0.3764 0.3265 0.2814 0.2' 27 0.4899 0.4307 0.3761 0.3262 0.281 0.24I 28 0.4897 0.4304 0.3758 0.3259 0.2807 0.24I 29 0.4895 0.4302 0.3755 0.3256 0.2804 0.23! 30 0.4893 0.43 0.3753 0.3253 02801 0.23!

246


(phi! tụt. 7: (Bảỉiụ giũ trị u

P h ụ l ụ c 7 : B ả n g g i á t r ị a v ớ i p ( | T | > t ) = a


k 1.3 1,4 1.5 1.6 1.7 1.8

1 0.4174 0.3949 0.3743 0.3556 0.3385 0.3228 2 0.3232 0.2965 0.2724 0.2507 0.2312 0.2137 3 0.2845 0.256 0.2306 0.2079 0.1877 0.1697 4 0.2635 0.2341 0.208 0.1848 0.1644 0.1462 5 0.2503 0.2204 0.1939 0.1705 0.1499 0.1318 6 0.2413 0.211 0.1843 0.1607 0.14 0.122 7 0.2348 0.2042 0.1773 0.1536 0.1329 0.1149 8 0.2298 0.1991 0.172 0.1483 0.1276 0.1096 9 0.2259 0.195 0.1679 0.1441 0.1233 0.1054

10 0.2228 0.1918 0.1645 0.1407 0.12 0.1021 11 0.2202 0.1891 0.1618 0.1379 0.1172 0.0993 12 0.218 0.1868 0.1595 0.1356 0.1149 0.097 13 0.2162 0.1849 0.1575 0.1336 0.1129 0.0951 14 0.2146 0.1833 0.1558 0.1319 0.1112 0.0934 15 0.2132 0.1819 0.1544 0.1304 0.1098 0.092 16 0.212 0.1806 0.1531 0.1292 0.1085 Q.0907 17 0.211 0.1795 0.152 0.128 0.1074 0.0896 18 0.21 0.1785 0.1Ồ1 0.127 0.1063 0.0886 19 0.2092 0.1776 0.15 0.1261 0.1054 0.0878 20 0.2084 0.1768 0.1492 0.1253 0.1046 0.087 21 0.2077 0.1761 0.1485 0.1245 0.1039 0.0862 22 0.2071 0.1755 0.1478 0.1239 0.1032 0.0856 23 0.2065 0.1749 0.1472 0.1232 0.1026 0.085 24 0.2059 0.1743 0.1467 0.1227 0.1021 0.0844 25 0.2055 0.1738 0.1461 0.1222 0.1015 0.0839 26 0.205 0.1733 0.1457 0.1217 0.1011 0.0835 27 0.2046 0.1729 0.1452 0.1212 0.1006 0.083 28 0.2042 0.1725 0.1448 0.1208 0.1002 0.0826 29 0.2038 0.1721 0.1444 0.1204 0.0998 0.0823 30 0.2035 0.1718 0.1441 0.1201 0.0995 0.0819

247


cịìúo trình tụ tlmyết XÚI' mất DÙ tltốnq kẽ toán

P h ụ l ụ c 7 : B ả n g g i á t r ị a v ớ i P ( Ị T | > t ) = cx

(kia bậc tự do)

k 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

1 0.3084 0.2952 0.2829 0.2716 0.2611 0.2513 2 0.1978 0.1835 0.1705 0.1588 0.1481 0.138E 3 0.1536 0.1393 0.1266 0.1152 0.105 0.095S 4 0.1302 0.1161 0.1037 0.0927 0.0829 0.0744 5 0.1159 0.1019 0.0898 0.0791 0.0698 0.0616 6 0.1062 0.0924 0.0805 0.0701 0.0611 0.0533 7 0.0992 0.0856 0.0739 0.0637 0.055 0.047Í 8 0.094 0.0805 0.0689 0.059 0.0505 0.0432 9 0.0899 0.0766 0.0651 0.0553 0.047 0.039Í

10 0.0866 0.0734 0.0621 0.0524 0.0443 0.037-11 0.084 0.0708 "0.0596 0.0501 0.042 0.035: 12 0.0817 0.0687 0.0575 0.0481 0.0402 0.033Í 13 0.0798 0.0668 0.0558 0.0465 0.0387 0.0321 14 0.0782 0.0653 0.0543 0.0451 0.0374 0.030Í 15 0.0768 0.0639 0.0531 0.0439 0.0362 0.029Ỉ 16 0.0756 0.0628 0.0519 0.0428 0.0352 0.028Í 17 0.0745 0.0617 0.051 0.0419 0.0344 0.028' 18 0.0736 0.0608 0.0501 0.0411 0.0336 0.027' 19 0.0727 0.06 0.0493 0.0404 0.033 0.0261 20 0.0719 0.0593 0.0486 0.0397 0.0323 0.026: 21 0.0713 0.0586 0.048 0.0391 0.0318 0.025' 22 0.0706 0.058 0.0474 0.0386 0.0313 0.025: 23 0.07 00574 0.0469 0.0381 0.0309 0.024! 24 0.0695 0.0569 0.0464 0.0377 0.0304 0.024! 25 0.069 0.0565 0.046 0.0373 0.0301 0.024: 26 0.0686 0.056 0.0456 0.0369 0.0297 0.023! 27 0.0682 0.0557 0.0452 0.0365 0.0294 0.0231 28 0 0678 0.0553 0.0449 0.0362 0.0291 0.023 29 0.0674 0.0549 0.0445 0.0359 0.0288 002 30 0 0671 0.0546 0.0442 0.0356 0.0286 0.022

248


rpiiụ lục 7: Hảnạ giá trị c

P h ụ l ụ c 7 : B ả n g g i á t r ị oe v ớ i p ( | T | > t ) = a


k 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

1 0.2422 0.2338 0.2258 0.2184- 0.2114 0.2048 2 0.1296 0.1215 0.1142 0.1074. 0.1012 0.0955 3 0.0877 0.0804 0.0738 0.0679 0.0625 0.0577 4 0.0668 0.06 0.0541 0.0488 0.0441 0.0399 5 0.0545 0.0482 0.0428 0.038 0.0338 0.0301 6 0.0465 0.0407 0.0356 0.0312 0.0273 0.024 7 0.041 0.0354 0.030Ữ 0.0265 0.023 0.0199 8 0.0369 0.0316 0.0271 0.0232 0.0199 0.0171 9 0.0339 0.0287 0.0244 0.0207 0.0176 0.015 10 0.0314 0.0265 0.0223 0.0188 0.0158 0.0133 11 0.0295 0.0247 0.0207 0.0173 0.0144 0.0121 12 • 0.0279 0.0232 0.0193 0.016 0.0133 0.0111 13 0.0266 0.022 0.0182 0.015 0.0124 0.0102 14 0.0255 0.021 0.0173 0.0142 0.0116 0.0096 15 0.0245 0.0201 0.0165 0.0135 0.011 0.009 16 0.0237 0.0193 0.0158 0.0128 0.0104 0.0085 17 0.0229 0.0187 0.0152 0.0123 0.01 0.0081 18 0.0223 0.0181 0.0147 0.0118 0.0095 0.0077 19 0.0217 0.0176 0.0142 0.0114 0.0092 0.0074 20 0.0212 0.-0171 0.0138 0.0111 0.0089 0.0071 21 0.0208 0.0167 0.0134 0.0107 0.0086 0.0068 22 0.0204 0.0163 0.0131 0.0104 0.0083 0.0066 23 0.02 0.016 0.0128 0.0102 0.0081 0.0064 24 0.0197 0.0157 0.0125 0.0099 0.0079 0.0062 25 0.0193 0.0 I "4 0.0123 0.0097 0.0077 0.006 26 0.0191 0.0152 0.012 0.0095 0.0075 0.0059 27 0.0188 0.0149 0.0118 0.0093 0.0073 0.0057 28 0.0186 0.0147 0.0116 0.0092 0.0072 0.0056 29 0.0183 0.0145 0.0115 0.009 0.007 0.0055 30 0.0181 0.0143 0.0113 0.0089 0.0069 0.0054

249


ịịìébữ trinh lý thtiụẾt xát. mối oà thống, kê toát!

P h ụ l ụ c 7 : B ả n g g i á t r ị a v ớ i p ( j T | > t ) = a


k 0.2 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 31 0.8428 0.6206 0.3251 0.1437 0.0543 0.0179 32 0.8427 0.6205 0.3248 0.1434 0.054 0.0177 33 0.8427 0.6204 0.3246 0.1431 0.0538 0.0176 34 0.8427 0.6203 0.3244 0.1428 0.0535 0.0174 35 0.8426 0.6202 0.3242 0.1426 0.0533 0.0173 36 0.8426 0.6201 0.324 0.1423 0.0531 0.0171 37 0.8426 0.62 0.3238 0.1421 0.0529 0.017 38 0.8425 0.62 0.3236 0.1419 0.0527 0.0169 39 ' 0.8425 0.6199 0.3235 0.1417 0.0525 0.0167 40 0.8425 0.6198 0.3233 0.1415 0.0523 0.0166 45 0.8424 0.6195 0.3227 0.1406 0.0516 0.0161 50 0.8423 0.6193 0.3221 0.1399 0.0509 0.0157 55 0.8422 0.6191 0.3217 0.1393 0.0504 0.0154 60 0.8422 0.6189' 0.3213 0.1389 0.05 0.0152 65 0.8421 0.6188 0.321 0.1385 0.0497 0.015 70 0.8421 0.6186 0.3208 0.1381 0.0494 0.0148 80 0.842 0.6184 0.3203 0.1376 0.0489 0.0145 90 0.8419 0.6183 0.32 0.1371 0.0485 0.0142

100 0.8419 0.6182 0.3197 0.1368 0.0482 0.014 110 0.8418 0.6181 0.3195 0.1365 0.048 0.0139 120 0.8418 0.618 0.3193 0.1362 0.0478 0.0138 140 0.8418 0.6179 0.319 0.1359 0.0474 0.0136 160 0.8417 0.6T78 0.3188 0.1356 0.0472 0.0134 180 0.8417 • 0.6177 0.3187 0.1354 0.047 0.0133 200 0.8417 0.6176 0.3185 0.1352 0.0469 0.0132 250 0.8416 0.6175 0.3183 0.1349 0.0466 0.Ọ131 300 0.8416 0.6174 0.3181 0.1347 0.0464 0.013 400 0.8416 0.6174 0.3179 0.1344 0.0462 0.012& 500 0.8416 0.6173 Ơ.3178 0.1342 0.046 0.0127 6Ữ0 0.8415 0.6173 0.3177 0.1341 0.046 0.0127

250


M â m m m

Trariịỉ

PHẦN ì: LÝ T H U Y Ế T X Á C SUẤT

Chương 1: X á c suấ t của b i ế n c ố và

c á c c ô n g t hức t í n h x á c suấ t 5

ì- Phép thử và các loạ i b iến cố 5 l i - M ố i quan hệ giữa các b iến cố _ 7 H I - Xác suất của b iến cố và cách lính xác suất 12 I V - Công thức cộng xác suất 24 V- Công thức nhân xác suất ; 28 V I - Công thức Bernoulli 31 V I I - Công thức xác suất đầy đủ 33 V U I - Công thức Bayes 34

Chương "2: Đại lượng ngẫu nhiên và

qui l u ậ t p h â n p h ố i x á c suấ t 36

ì- Định nghĩa và phân loạ i đạ i lượng ngẫu nhiên 36 l i - Qui luật phân phối xác suất của đạ i lượng ngẫu nhiên 37 IU- Các tham số đặc trưng của đạ i lượng ngẫu nhiên 42

Chương 3: Một số qui luật phân phối xác suất thông dụng 57

ì-Qui luật nhị thức 57 l i - Q u i luật Poisson : 62

, I I I - Qui luật siêu b ộ i 66 I V - Q u i luật phân phối chuẩn 71 V-Qui luật phân phối "Chi - bình phương" 83

251


V I - Qui luật Student 8< VU- 'Qui luật Fisher - Snedccor 81

Chướng 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều 9

ì- Khái n i ệm về đ ạ i lượng ngẫu nhiên hai chiều 9!

l i - Qui luật phân phối xác suất của đ ạ i lượng ngẫu nhiên hai chiều 9

IU- Các tham số đặc trưng của đ ạ i lượng ngẫu nhiên hai chiều - 9(

I V - Phân phối xác suất có đ iều k i ệ n và kỳ vọníỉ toán có đ iều k i ện 10

Chương 5: Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên và luật số lớn

ì- H à m của các đ ạ i lượng ngẫu nhiên 10 Ì- Qui luật phân phối xác suất của h à m

một đ ạ i lượng ngẫu nhiên 10 2- Qui luật phân phối xác suất của h à m

hai đ ạ i lượng ngẫu nhiên 11 l i - Luật số lớn l i

Ì- Bất đẳng thức Chebyshev l i 2- Định lý Chebyshev l i 3- Định lý Bernoulli l i

PHANH: THỐNG KÊ TOÁN

Chương 6: Mẫu ngẫu nhiên ì:

ì - T ổ n g thể 12 l i - Khái n iệm mẫu 12 H I - M ô hình xác suất của tổng thể và mẫu lí I V - Các tham số đặc trưng của mẫu Ì •

252


V- Phương pháp tính các tham số đặc trưng của mẫu 143 V I - mẫu ngẫu nhiên hai chiều 150

Chương 7: ước lượng các số đặc trưng của tổng thể 154

ì- Các phướng pháp tìm ước lượng điểm 155 l i - Phương pháp ước lượng bằnii khoảng tin cậy 160

Ì - Mô tả phương pháp khoảng tin cậy 160 2- Ước lượng trung bình của tổng thể 162 3- Ước lượng tỷ l ệ của tổng thể .169 4- Ước lượng phương sai của tổn? thể 174 5- Xác định kích thước mẫu 177 5- Xác định độ tin cậy 178

Chương 8: Kiểm định giả thiết thống kê 180

ì- Các khái niệm 180 l i - K i ể m định giả thiết về trùn" bình của tổn? thể 188 Hí- K i ể m định giả thiết về lý l ệ tổng thể 204 IV- K i ể m định giả thiết vồ

sự bằng nhau của hai trung bình 206 V- K i ể m định giả thiết về

sự bằng nhau của hai tỷ l ệ 207 V I - K i ế m định giả thiết về phương sai của lổng thể 209 V I I - K iểm định giả thiết về

sự bằng nhau của hai phương sai ....212 VUI- Kiếm định giả thiết về qui luật

phân phối xác suất của đạ i lượng ngẫu nhiên 215 IX- Kiểm định giả thiết về tính độc lập 220


PHỤ LỤC 1: Hướng dẫn sử dụng m ộ t số h à m t rong Excel 22]

PHỤ LỤC 2: Bảng giá trị hàm Gauss 229

PHỤ LỤC 3: Bảng giá trị hàm Laplace 23:

PHỤ LỰC 4: Bảng giá trị za 23t

PHỤ LỤC 5: Bảng giá trị xi 23S

PHỤ LỤC 6: Bảng giá trị ta 242 t

PHỤ LỤC 7: Bảng giá trị (X 245

254


T À I L I Ệ U T H A M . K H Ả O

Ì- Nguyễn Đình Cử- Nguyễn Cao Văn G i á o t r ình lý t huyế t x á c suất và thống k ê t o á n

N h à xuấ t b ả n T h ố n g k ê , H à n ộ i 1991

2- Harald Cramer P h ư ơ n g p h á p t o á n học trong thống k ê

T ậ p Ì , 2. N h à xuấ t bản Khoa học 1969

3- Trần Tuấn Diệp - Lý Hoàng Tú G i á o tr ình lý t huyế t x á c suất và thống k ê t o á n

N h à xuấ t ban Đ H và T H C N H à n ộ i 1977 I

4- PGS Đặng Hấn X á c suất thống k ê

Đ H K i n h t ế TP H ồ Chí M i n h , 1991

5- TS Trần Thái Ninh

Hướng dẫn g i ả i bà i tập x á c suất & thống k ê t o á n

Nhà xuấ t bản Thống K ê , H à n ộ i 2002.

ố- Tiu s Hoàng Ngọc Nhậm

Bài tập x á c suất thống k ê

Đ H K i n h t ế TP H ồ Chí M i n h , 2003


G I Á O T R Ì N H L Ý T H U Y Ế T X Á C S U Ấ T

& T H Ố N G K Ê T O Á N

77/. í Hoàng Ngọc Nhậm

Chịu trách nhiệm

Biên tập:

Trình bày bìa:

Sửa bản in :

<t bản: C Á T V Ă N T H À N H

B B T

T H U T R A N G

P H Ư Ơ N G N A M

N H À X U Ấ T B Ả N T H Ố N G K Ê

In 1000 cuốn khổ 14,5 X 20,5 em tạ i xưởng in Đ ạ i hoe Kinh t ế

Giấy phép xuất bản số 1016/XB-QLXB cua Cục Xuất bản ngày 06 tháng 9 năm 2002. In xong và nộp lưu chiểu t h á n " 2 năm2003

256


Documents

Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Hoàng Ngọc Nhậm