Chương 1: phap... · Web viewTrong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về hệ phương trình là một phần quan trọng toán học. Giải các bài toán hệ

MỞ ĐẦU

Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về hệ phương trình là một phần quan trọng toán học. Giải các bài toán hệ phương trình có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải.

Các bài toán hệ phương trình không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.

Trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế các bài toán liên quan hệ phương trình được đề cập rất nhiều và có giá trị phân hóa chất lượng bài thi cao.

Trong bài viết này tác giả trình bày một sô phương pháp gải hệ phương trình: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác, phương pháp đánh giá, phương pháp đặc biệt khác...Một điều quan trọng là sử dụng các phương pháp linh hoạt, phù hợp, hiểu được các ý tưởng trong từng phương pháp để giải quyết bài toán với hiệu quả tốt nhất.

Các ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế, các bài trên các tạp chí nỗi tiếng. Bài viết được trình bày theo hệ thống:

- Ý tưởng chính của phương pháp.- Các ví dụ và hướng dẫn giải.- Bài tập tự giải.

Tác giả hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh bổ sung kiến thức về phần dãy số trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc.

NỘI DUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. 1. Ví dụ mở đầu1. Ví dụ 1: (2010-VMO)

Giải hệ phương trình

HD: Cách 1:Lấy vế với vế của (1) trừ đi vế với vế của 4 x (2) và lấy vế với vế của (1) trừ đi vế với vế của 8 x (2), ta được hệ phương trình đã cho tương đương:

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là (x;y)=(4;x),(-4;-2).Cách 2:

Lấy vế với vế của (1) trừ vế với vế của 8 x (2), ta được:

Thay vào phương trình (1) rồi biến đổi tiếp, ta được hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x,y)=(4, 2),(-4, -2)

Cách 3:Đặt y=2t, thay vào hệ phương trình và viết lại hệ dưới dạng

Dễ thấy, nếu (x;t) là nghiệm của hệ thì nên ta chia hai vế của phương trình trên cho thì được

(1’)

Đặt thì ta có phương trình

Từ (1’) suy ra x và t cùng dấu.Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta dễ dàng suy ra

Suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi u=v=4.

Từ lí luận trên ta suy ra u=v, từ đó suy ra

Nếu x=t thì (1’) trở thành (vô nghiệm)

Nếu thì (1’) trở thành

Từ đó ta được hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x;y)=(4;2),(-4;-2).

2.Ví dụ 2


HD: Cách 1

Hệ phương trình tương đương

Thế vào phương trình thứ 2, ta được

hoặc

Với thì

Với thì

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

Cách 2:Hệ tương đương với

Đặt , coi phương trình trên là phương trình bậc 2 ẩn z, có

Từ đó suy ra z=3 hoặc z=t-3Cách 3: Hệ tương đương với

Lý luận để được dẫn đến hệ không có nghiệm trong trường hợp này.

Cách 4Ta thấy phương trình 2 tương đương với

(do x=y không phải là nghiệm của hệ), thay vào (1) ta được

Nhận xétQua các ví dụ trên ta thấy rằng có thể có nhiều cách để giải một hệ phương

trình nào đó. Mọi phương pháp đều chung một mục đích đó là tìm cách biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình hoặc phương trình mà ta đã biết cách giải. Sau đây ta sẽ xét một số phương pháp giải cụ thể.

I.2 Phương pháp biến đổi tương đươngI.1.2. Một số lưu ýPhương pháp này chủ yếu sử dụng các kỹ năng biến đổi đồng nhất, đặc biệt

là kỹ năng phân tích nhằm đưa một phương trình trong hệ về dạng đơn giản ( có thể tích x theo y hoặc ngược lại) rồi thế vào phương trình còn lại. Cũng có thể Hệ phương trình có nhiều ẩn, khi phân tích sẽ được ẩn nọ theo ẩn kia để thế lại.

1. Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y, khi đó ta tính y theo x hoặc x theo y.

2. Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đôi khi ta đặt ẩn phụ để cách trình bày gọn và tường minh hơn chứ đó không phải là bản chất của lời giải. Phương pháp cộng, thế coi như là Phương pháp biến đổi tương đương.

I.2.2. Một số ví dụ 1. Ví dụ 1


HD: Ta thấy x=0 không thỏa mãn (2)

Nếu thì từ (2) suy ra , thay vào (1) ta được

Từ đó hệ có 2 nghiệm là

2.Ví dụ 2


HD: ĐK Biến đổi (1) ( Do từ điều kiện ta được ) , thay vào (2) và biến đổi ta được

( do ).Vậy nghiệm của hệ là .

3.Ví dụ 3


HD: Biến đổi (2) thành , thế và vào (1) ta sẽ có nghiệm của hệ

Nghiệm của hệ là

Nhận xét: Hai ví dụ 2 và ví dụ 3, ta có thể coi như phương trình đó là phương trình bậc hai ẩn x (Ví dụ 2), hoặc ẩn y (Ví dụ 3) để tính ẩn nọ theo ẩn kia, hoặc phân tích ra nhân tử.

4. Ví dụ 4


HD: Đk x+y>0.Phương trình (1) tương đương với

(do x+y>0)Thế y=1-x vào (2) ta được hệ có nghiệm là (x;y)=(1;0),(-2;3)

5. Ví dụ 5


HD: Ta có (2) (3)Từ (1) và (3), ta được

Thay vào (2), ta được Vậy hệ có hai nghiệm là (x;y)=(4;3),(3;4)

6. Ví dụ 6


HD: Ta có hệ trên tương đương với

Nếu x=0 thì y=0 và (x;y)=(0;0) là nghiệm của hệ.

Nếu thì từ (1) và (2) suy ra (3)

Ta có và (1) suy ra x,y trái dấu, kết hợp với (3) ta được x=-2yThay vào (1), ta được

Từ đó ta sẽ được hệ có ba nghiệm

Nhận xét: Có thể dễ mắc các sai lầm như nhân hai vế phương trình với x hoặc y mà

chưa biện luận trường hợp x=0, y=0, từ chỉ lấy nghiệm ; viết

nghiệm kiểu ;

7. Ví dụ 7


HD: Đk

Với đk đó, ta có hệ

Xét (1) và thay vào hệ, ta được

Xét (2) và thay vào hệ, ta được

Xét (3) (loại)

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm trên.

8. Ví dụ 8


HD: Đk

Với đk đó (1)

Nếu x=2y thì từ (2), ta được

Nếu xy=-2 thì , thay vào (2) ta được

(vô nghiệm)

Vậy hệ đã cho có ba nghiệm là

9. Ví dụ 9


HD: Đk Giả sử (x;y;z) là nghiệm của hệ, suy ra x,y,z cùng dấu và vì vậy

Ta có =20 =20

Tương tự,ta cũng có = và

Suy ra

Từ hệ này và điều kiện đã cho , ta được , nghĩa là x và y trái

dấu (mâu thuẫn)Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

Nhận xét: Ta có thể giải bằng phương pháp lượng giác.

I.2.3. Một số bài tập tương tự.

1. Bài 1


2. Bài 2


3. Bài 3


4. Bài 4


I. 3. Phương pháp đặt ẩn phụI.3.1. Một số lưu ýPhát hiện ẩn phụ u=f(x;y), v=g(x;y) hay a=f(x), b=f(y), c=f(z) có ngay trong

từng phương trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác không để đưa hệ về dạng đơn giản hơn.

I.3.2. Một số ví dụ1. Ví dụ 1


HD: Ta thấy y=0 không thỏa mãn (1), do đó hệ

Đặt ; suy ra u=v=1.

Ta được hệ có nghiệm là (x;y)=(1;2),(-2;5)

2.Ví dụ 2


HD: Đk

Khi đó ta được

Đặt , ( với ), ta được hệ

Từ đó hệ có nghiệm là (x;y)=(1;0)3.Ví dụ 3


HD: Đk

Đặt , , suy ra

Thay vào hệ ta được

Từ đó, hệ có nghiệm là (x;y)=(9;1)

I.3.3. Một số bài tập tương tự1. Bài 1


2. Bài 2


3. Bài 3


4. Bài 4


I.4. Phương pháp lượng giácI.4.1. Một số lưu ýKhi giải phương trình lượng giác ta có thể đặt ẩn phụ cho các hàm lượng

giác để chuyển phương trình lượng giác về phương tình đại số cơ bản mà ta đã biêt cách giải. Tuy nhiên trong rất nhiều bài toán giải Hệ phương trình (phương trình) ta cũng có thể làm ngược lại rất hiệu quả, bằng những tính chất của hàm số lượng giác ta sẽ chuyển bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải quyết bài toán lượng giác này. Thực chất phương pháp lượng giác còn có thể gọi là phương pháp đặt ẩn phụ.

Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp lượng giác ta có thể đặt

nếu với điền kiện hoặc với điền

kiện . Cũng có khi đặt , ,... để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình hoặc phương trình lượng giác với một số điều cần lưu ý như hàm số và có tập giá trị là , , còn

hai hàm số và có tập giá trị là R và ,...

Thường ta dựa vào điều kiện của ẩn để quyết định cách đặt ẩn phụ lượng giác.Giải Hệ phương trình hoặc phương trình lượng giác rồi từ đó tìm nghiệm

của hệ phương trình đã cho. Đôi khi trong lời giải ta cũng kết hợp việc sử dụng phương pháp đánh giá.



HD: Đk x 0,y 0,z 0.

Đặt x=tanA, y=tanB, z=tanC.Khi đó A+B+C= , k Z

Mặt khác , suy ra

Do đó Mà , k Z nên

Suy ra y và z trái dấu . Vậy hệ đã cho vô nghiệm2.Ví dụ 2Giải hệ phương trình HD: nếu xyz=0 thì dễ dàng ta thấy hệ có các họ nghiệm là =

Nếu xyz 0 thì chia cả hai vế của phương trình thứ 2 cho 4xyz, ta được

=0 (1)

Đặt thì với kZ

do đó , với k Zsuy ra

=1 (vô lý)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là =

3.Ví dụ 3Giải hệ phương trình HD: Đk

Đặt x= ,y= với , , khi đó hệ

Đặt t= , sin cos =

Khi đó

t=1 (do )

Với t=1, ta được =0

Từ đó hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x;y)=(0;1)I.4.3. Một số bài tập trương tự

1. Bài 1Giải hệ phương trình 2. Bài 2Giải hệ phương trình 3. Bài 3Giải hệ phương trình 4. Bài 4Giải hệ phương trình 5. Bài 5Giải hệ phương trình 6. Bài 6


I.5. Phương pháp đánh giáI.5.1. Một số lưu ý 1. Phương trình f(x)=m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm

số y=f(x) và số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) với đường thằng y=m.

2. Khi gặp hệ phương trình dạng , ta có thể tìm lời giải

theo một trong hai cách.Cách 1

Xét (1) f(x)-f(y)=0, rồi tìm cách đưa về phương trình tích có vế phải bằng 0.Cách 2

Xét hàm số y=f(t), ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trong tập xác định của nó.Nếu y=f(t) đơn điệu thì từ (1) suy ra x=y. Khi đó bài toán đưa về giải (hoặc biện luận) phương trình (2) theo ẩn x.Nếu hàm số y=f(t) có một cực trị tại t=a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a. Từ (1) suy ra x=y hoặc x,y nằm về hai phía đối với a.

3. Nếu hệ phương trình 3 ẩn x,y,z không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x,y,z thì không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử x=max{x;y;z}, nghĩa là x y,x z.

4. Sử dụng đạo hàm hoặc các bất đẳng thức cố điển Cauchy, Bunhiacopxky... thường đánh giá dẫn đến x=y, hoặc x=y=z.

I.5.2. Một số ví dụ1. Ví dụ 1Giải hệ phương trình

HD: Đk x>0,y>0Với điều kiện đó (1) (3)Xét hàm số f(t)= , suy ra f’(t)= >0 với mọi t>0.Do đó hàm số f(t) đồng biến trong khoảng .Từ (3) suy ra Thay vào (2) ta được =10Từ đó, hệ có nghiệm duy nhất là (x;y)=(2;2)

2. Ví dụ 2Giải hệ phương trình

HD: Đk x>-1;y>-1,Với điều kiện đó (1) (3)

Xét hàm số f(t)= , với t ., do đó .

Hàm số f(t) đồng biến trong khoảng (-1;0) và nghịch biến trong khoảng .Ta thấy (3) f(x)=f(y), từ đó suy ra x=y (nếu x,y cùng khoảng đơn điệu) hoặc xy<0 (nếu x,y khác khoảng đơn điệu).Nếu xy>0 thì VT(2)<0 (loại).Nếu x=y thì thay vào (2), ta được nghiệm của hệ là (x;y)=(0;0).


HD: Đk 0.Đặt , khi đó (1)

trong đó , với t R.

Dễ thấy f(t) làm hàm số nghịch biến do .Do đó

t=2, hay .Khi đó (1) , thay vào (2) ta được

(3)

(do )Suy ra Xét hàm số g(z)= , z Rcó ,với mọi z RSuy ra hàm số g(z) đồng biến trên R.Dễ thấy z=0 là nghiệm duy nhất của g(z)=0, dẫn đến (3) có nghiệm duy nhất x=1.Từ đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất là .

4. Ví dụ 4


HD: Từ (2), ta được Xét , dễ thấy hàm số nghịch biến trên đoạn .Do đó (1) x=y, thay vào (2) ta được .Tóm lại hệ đã cho có nghiệm là:

5. Ví dụ 5


HD: Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được

(1)

Ta thấy

Tương tự Mặt khác theo bất đắt thức Caychy , nên VT(1) VP(1).Dấu đẳng thức xảy ra khi thử lại ta được hệ có hai nghiệm là


HD: Đặt ,ta được

Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta được (3)

Xét hàm số , có .

Dễ thấy >0 với mọi t, do đó hàm số f(t) đồng biến trên R.Từ đó (3) u=v, thay vào (1) t được (4)Do 2 vế của (4) đề dương nên (4) ln( ) =0

Xét hàm số g(u)= ln( ) , có với mọi u R.

Do đó hàm số g(u) nghịch biến trên R, ta được (4) có nghiệm duy nhất là u=0.Từ đó hệ đã cho có nghiệm là =(1;1).


HD: Hệ đã cho tương đương với

Nếu x>2 thì từ (1) suy ra y-2<0, mâu thuẫn với (2) có x-2 và y-2 cùng dấu.Tương tự, nếu x<2 cũng vô lý.Vậy nghiệm của hệ là =(2;2).

8. Ví dụ 8

Giải hệ phương trình HD: Xét phương trình thứ nhất của hệ ta được

(1)

Mặt khác, từ phương trình còn lai của hệ, ta thấy

(2)Từ (1) và (2) suy ra x=-1, thay vào phương trình đầu của hệ, suy ra y=1.Thử lại đúng, vậy hệ có nghiệm là =(-1;1).

I.6. Một số phương pháp khácI.6.1. Một số lưu ýNgoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi cũng có những lời giải

khác lại đối với hệ phương trình, cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp ở trên để giải một hệ phương trình.



HD: Từ hệ suy ra , với i là đơn vị ảo

.

Đặt , ta được phương trình ẩn z C là

Giải phương trình trên, ta được z=2+i và z=1-i.Từ đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là =(1;-1);(2;1).

2. Ví dụ 2


HD: từ (2) suy ra (3), với i là đơn vị ảo.

Từ (1) và (3) suy ra .

Đặt , ta được

Từ đó ta được hai nghiệm là =

3. Ví dụ 3Giải hệ phương trình HD: Đk .Dễ thấy =(x;2) hoặc =(2;y) đều không là nghiệm của hệ đã cho.

nếu x>2,y>2 thì trừ vế với vế của hai phương trình đã cho, ta được = - + -

do , (với mọi

).Thay x=y vào một trong hai phương trình của hệ, ta được:

(do <0, với mọi x>2).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là =(3;3).Nhận xét: Do vai trò của x và y như nhau nên có thể giả sử .Xét x>y dẫn đến > , suy ra y>x.Do đó ta được x=y.

KẾT LUẬN

Hệ phương trình là một chuyên đề quan trọng trong giải tích toán học. Các bài toán hệ phương trình luôn mang đến sự hấp dẫn bởi kỹ thuật và phương pháp giải chúng. Bài viết trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình, các ý tưởng, ví dụ và bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển. Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót về trình bày cũng như về chuyên môn. Rất mong bạn đọc góp ý kiến.

Xin chân thành cảm ơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Tạp chí toán học và tuổi trẻ2. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 43. Tuyển tập đề thi HSG Quốc gia (VMO) THPT

NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT

Documents

Chương 1: phap... · Web viewTrong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về hệ phương trình là một phần quan trọng toán học. Giải các bài toán hệ