CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊ ƯỢ» dụng bài toán trên giải các bài toán sau: Bài 1: Cho tam giác ABC

HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com [email protected]

1

Trong các kì thì tốt nghiệp, thi tuyển vào lớp 10 hoặc các kì thi học sinh giỏi, bài toán hình luôn là bài toán khiến cho nhiều học sinh gặp khó khăn nhất. Để làm một bài toán hình đôi khi phải qua nhiều giai đoạn nên đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận tốt. Ngoài ra, học sinh còn cần phải biết các bài toán cơ bản, bài toán gốc mà từ bài toán đó cho ta ý tưởng để giải các bài toán khác. Sau đây tôi xin giới thiệu vài bài toán quen thuộc như thế để giúp học sinh có một sự liên kết tốt hơn.

PHẦN 1

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊNH LƯỢNG.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) Nếu 60oBAC = thì 2 2 2 .BC AB AC AB AC= + − . b) Nếu 120oBAC = thì 2 2 2 .BC AB AC AB AC= + +

Qua cách chứng minh bài toán 1, ta có nhận xét sau: 1) Nếu ta biết số đo của một góc trong tam giác, ta có thể tính cạnh đối diện của góc đó

theo hai cạnh còn lại. Chúng ta có các công thức cụ thể đối với các trường hợp đặc biệt như đề bài. Công thức tổng quát sẽ được chứng minh ở các lớp trên.

2) Ngược lại, nếu ta biết ba cạnh của một tam giác ta có thể tính số đo của một góc bất kì.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ ( )BD AC D AC⊥ ∈ thì D thuộc đoạn AC.

Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có:

( )22 2 2 2

2 2 22. .

CB DC BD AC AD BD

AC AC AD AD BD

= + = − +

= − + +

Trong tam giác vuông ABD ta có: 2 2 2

1 1sin sin 602 2

o

AD BD ABAD BAD AD ABAB

+ =

= = = ⇒ =

Do đó: 2 2 2 2 22 .2

BC AC AC AB AB AC AC AB AB1= − + = − + . @

D

A

B C



2

b) Vẽ ( )BD AC D AC⊥ ∈ thì A thuộc đoạn DC.

Tam giác BDC vuông tại D nên theo định lý Pytagore ta có:

( )22 2 2 2

2 2 22. .

CB DC BD AC AD BD

AC AC AD AD BD

= + = + +

= + + +

Trong tam giác vuông ABD ta có: 2 2 2

1 1sin sin 602 2

o

AD BD ABAD BAD AD ABAB

+ =

= = = ⇒ =

Do đó: 2 2 2 2 22 .2

BC AC AC AB AB AC AC AB AB1= − + = + + .

@ Từ cách chứng minh trên ta có thể chứng minh được nhận

xét 1 và 2. Ví dụ 1:

a) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và góc 45oBAC = . Tính cạnh BC. b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và 21BC = . Tính góc số đo góc A.

Sử dụng bài toán trên giải các bài toán sau: Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh AB = a. Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD = 2CD. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB và AC tại E và F. Tính các cạnh của tam giác AEF.

Hướng dẫn giải

Đặt AF = x. Khi đó FD = AF = x và CF = a – x.

Vì 1 22 , ,3 3

BD CD DB CD BC a CD a BD a= + = = ⇒ = = .

Trong tam giác CDF có 60oDCF = nên theo bài toán trên Ta có:

( ) ( )2

22 2 2 2

2

1.9 2

11 3 11 11018 2 27 27

aDF CD CD CF CF x a a x a x

a ax x a AF a

= − + ⇔ = − − + −

⇔ − = ⇔ = ⇒ =

Tương tự ta cũng có: 2136

AE a=

Tam giác AEF có 60oEAF = nên ta có:

D

A

BC

a

3

a - x

x

EFH

A

B CD



3

2 2 2.EF AE AE AF AF= − + Từ đó tính ra được EF. @

Bài 2: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). M là một điểm trên cung nhỏ BC. a) Chứng minh rằng MA = MB + MC. b) Chứng minh rằng tổng 2 2 2MA MB MC+ + không phụ thuộc vào vị trí của M trên cung BC.

Tính giá trị đó theo R. Bài 3: Cho tam giác ABC có 60oBAC = . BD và CE là hai đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh rằng BDC BEC ABCS S S+ ≥ .

Bài 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và AC. Chứng minh các điều sau là tương đương.

1) MN tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 2) AM + AN + MN = a.

3) 1AM ANBM CN

+ =

Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hãy tính cạnh BC trong các trường hợp sau:

a) 90oBAC = . b) 60oBAC = . c) 45oBAC = . d) 30oBAC = .


a) Với 90oBAC = thì BC là đường kính của (O) suy ra BC = 2R.

b) Trường hợp 60oBAC = . Vẽ đường kính BC, khi đó ta có 90oBCD = .

Và BAC BDC= (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) 60o=

Trong tam giác vuông DBC ta có 3 3sin sin 60 3

2 2oBC BDC BC BD R

BD= = = ⇒ = =

c) Tương tự ta cũng có 2BC R= . d) BC R= Qua bài 2 ta có các nhận xét sau:

D

O

B C

A

D

O

B C

A



4

1. Mối quan hện giữa cạnh BC, góc A và bán kính đường tròn được thể hiện qua công thức

sau: 2sinBC R

A= ( Nếu A nhọn). Tương tự ta cũng có 2

sin sin sinAB AC BC R

C B A= = = . (*) ( Nếu

tam giác ABC nhọn)

2. Nếu góc A tù thì ta lấy A’ thuộc cung lớn BC khi đó 2sinBC R

A=′

3. Từ công thức (*) thì ta sẽ tính dễ dàng một yếu tố trong (*) nếu biết hai yếu tố còn lại. 4. Khi người ta cho độ dài cạnh theo R, ta nên tính góc đối diện cạnh đó để có thể suy ra tính

đặc biệt của bài toán.

5. Sử dụng công thức (*) thử chứng công thức về diện tích: 4ABCabcS

R= (**) . Với a, b, c là độ

dài ba cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn

Trong tam giác ABC có ít nhất một góc nhọn giả sử là góc A. Vẽ đường cao AH. Khi đó ta có

1 .2ABCS AH AC=

Mà sinAH AB BAC= suy ra 1 . .sin2ABCS AB AC BAC=

Theo bài toán 2 nhận xét 1 ta có: sin2BCBAC

R= .

Do đó . .4ABC

AB AC BCSR

=4abc

R=

Bài toán 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Đường cao AD và đường cao BE cắt nhau tại H, M là trung điểm của BC.

H

O

B C

A

A'

O

B

A

C



5

a) Chứng minh rằng điểm đối xứng của H qua BC và M là I và J thuộc đường tròn (O). b) Chứng minh rằng A, O, J thẳng hàng và BAD JAC= c) Chứng minh rằng AH = 2OM. d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, H, G thẳng hàng và GH = 2GO.


a)

+ Vì I là điểm đối xứng của H qua BC nên: ,BH BI HI BC= ⊥ . HD BC⊥ ⇒ D là trung điểm HI.

Khi đó tam giác BHI cân tại B có BD là đường cao nên cũng là phân giác, suy DBI DBH=

Mà DBH DAC= (Cùng phụ với ACB )

Nên DAI DAC= ⇒ từ giác ABIC nội tiếp (hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau).

Suy ra I thuộc (O) + Ta có tứ giác BHCJ là hình bình hành (hai đường

chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), suy ra CJ // BH và BJ// CH .

Mà ,BH AC CH AB⊥ ⊥ ( H là trực tâm) nên , 90oCJ AC BJ AB ACJ ABJ⊥ ⊥ ⇒ = =

Tứ giác ABJC có 90 90 180o o oABJ ACJ+ = + = nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra J thuộc đường tròn (O)

b)Ta có 90oACJ = nên AJ là đường kính của (O) suy ra A, O, J thẳng hàng. c) Trong tam giác AHJ có O là trung điểm AJ, M là trung điểm của HJ nên OM là đường

trung bình, do đó AH = 2OM. d) G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2MG. Xét AHGΔ và MOGΔ có:

+ HAG MOG=

+ ( )2AH AGOM MG

= =

~AHG MOG AGH OGM⇒Δ Δ ⇒ = , suy ra H, G , O thẳng hàng.

Và 2 2GH AH GH GOGO OM

= = ⇒ = @

D

E

G

M

H

JI

O

A

B C



6

Qua bài toán 2 ta có các nhận xét sau: 1) Kết quả vẩn còn đúng trong trường ABC không phải là tam giác nhọn. 2) Vì 3 cạnh của tam giác có vai trò như nhau nên kết quả của các câu a, b, c vẫn đúng đối nếu

ta thay BC bằng AB hay AC.

3) Từ câu c ta có mối liên hệ giữa AH và 2

2

4BCOM R= − , nên ta có thể tính được AH trong

những trường hợp cụ thể. Hơn nữa nếu BC cố định thì AH có độ dài không đổi. 4) Từ câu d ta thấy trong một tam giác bất kì trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng

tâm G thẳng hàng và GH = 2GO. Đường thẳng đi qua 3 điểm này còn được gọi là đường thẳng Euler.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE và CF đồng qui tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. b) Chứng minh OA EF⊥ . c) Gọi P, Q là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh OA PQ⊥ d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. Hướng dẩn giải

a) Ta có ( )90oBFC BEC= = nên tứ giác BFEC

nội tiếp. b) Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn (O).

Khi đó ta có: xAB ACB= (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó).

Mặt khác AFE ACB= (BEDC nội tiếp)

Do đó xAB AFE= mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên Ax//FE. Hơn nữa OA Ax⊥ (Ax là tiếp tuyến của (O)) Suy ra OA FE⊥

c) Ta có FH// DP nên AF AHAP AD

= (dl Thalet)

Và HE // DQ nên AE AHAQ AD

= (đl Thalet)

Suy ra AF AEAP AQ

= theo hệ quả đl Thalet ta có EF // PQ mà OA EF OA PQ⊥ ⇒ ⊥

F

P

Q

D

E

HO

A

B C



7

Hoặc ta chứng minh không cần dựa vào câu a, ta cần chứng minh APQ ACB=

Trong tam giác vuông ADB có DP là đường cao nên ta có 2.AP AB AD= Tương tự ta cũng có: 2.AQ AC AD=

Suy ra . . ~AP AQAP AB AQ AC APQ ACB APQ ACBAC AB

= ⇒ = ⇒ Δ Δ ⇒ = ( Tới đây thì làm giống

câu b ta cũng có điều cần chứng minh)

d) Tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có: HFE HBC=

Tứ giác BFHD nội tiếp nên ta có HFD HBC=

Suy ra HFE HFD= , do đó FH là tia phân giác của góc EFD .

Chứng minh tương tự ta cũng có EH là phân giác của góc FED .

Qua bài 3 ta có nhận xét sau: 1) Chứng minh tương tự câu b ta cũng có các kết quả sau: ,OB DF OC DE⊥ ⊥ . Đây là

một bài toán rất quen thuộc mà kết quả của nó sẽ được dùng rất nhiều để chứng minh các bài toán khác.

2) Câu c thì tương tự câu b, câu c cho ta một tính chất của trực tâm H.

Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau:

Bài 5: (LHP 2001 – 2002) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có trực tâm H. Lấy

điểm M thuộc cung nhỏ BC. a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b) Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC, gọi N, E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB,

AC. Chứng minh N, H, E thẳng hàng. c) Xác định vị trí M sao cho NE có độ dài nhỏ nhất.

Bài 6: (NK 2003 – 2004 CD) Cho dây cung BC trên đường tròn tâm O, điểm A chuyển động trên cung lớn BC. Hai đường

cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh: CE.CB = CF.CA. b) AE kéo dài cắt (O) tại H’. Chứng minh H và H’ đối xứng với nhau qua BC. Xác định quĩ

tích của H.

Bài 7: (NK 2005 – 2006 AB) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi M là chân đường cao kẻ từ A của

tam giác ABC. Đường thẳng AM cắt (O) tại I ( I khác A). Gọi H là điểm đối xứng của I qua BC. a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.



8

b) Gọi N là giao điểm của BH và AC. P là một điểm thuộc cạnh AB sao cho PMB NMC= . Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng.

c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác BAC đều.

Bài 8: (NK 2006 – 2007 CD) Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại

M và N, 120oNHM = .

a) Chứng minh AMN ABC= . Tính MNBC

b) Tính AHBC

.

Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BE, CF, cắt

nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn (O) tại P và Q. a) Chứng minh PQ//EF. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF có độ dài không đổi khi A di

chuyển trên cung lớn BC của đường tròn (O). c) Tia AH lần lượt cắt BC và đường tròn (O) tại D và N. Chứng minh rằng:

9AD BE CFDN EP FQ

+ + ≥ .

Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại

H. Gọi M và N là trung điểm của BC và EF. Gọi I là điểm đối xứng của H qua M. a) Chứng minh MN // OA. b) Chứng minh OA. AN = AM. OM c) Đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC tại P, Q. Chứng minh H là trung điểm PQ.

Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A nhọn và nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ nửa đường tròn đường

kính BC với tâm là E cắt các đoạn AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác AMN. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng và ba điểm A, I, H thẳng hàng. b) Chứng minh ba đường thẳng KH, MN và IE đồng qui.

Bài 12: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R), gọi A là điểm di động trên cung lớn BC

sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Dựng đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng:



9

a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định.

Đôi khi các bài toán người ta cho số cụ thể hoặc trường hợp đặc biệt, khi đó bài toán sẽ có thêm

nhiều tính chất khác ngoài các tính chất đã biết. Chúng ta hãy cùng giải những bài toán như thế.

Bài 13: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có 3BC R= . Gọi H, I lần lượt là trực tâm,

tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. a) Tính góc BAC. b) Chứng minh B, H, I, O, C cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi I’, O’ là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh ( ),I O O′ ′∈ . d) Tính AH. Suy ra tam giác AOH cân.

Bài 14:

Cho tam giác ABC nhọn có 60oBAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC.

a) Tính DE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HDE. b) Tứ giác EHON là hình gì? Tại sao?

Bài 15:(NK 2004 – 2005 AB) Cho tam giác ABC, gọi I và O là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác. Gọi P, Q

là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh rằng Q thuộc (O) khi và chỉ khi P thuộc (O). Bài 16:

Cho tam giác ABC nhọn có 45oBAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. M. N là trung điểm của BC và AH.

a) Chứng minh B, F, O, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Tính BC theo R. c) Tứ giác BFOE là hình gì? d) Gọi M là trung điểm của AH. Chứng minh OH, EF và MN đồng qui.

Bài 17*: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn ngoại

tiếp (O) lần lượt tại A’, B’, C’. a) Chứng minh rằng OA B C′ ′⊥ .

b) Chứng minh 4AA BB CCAD BE CF

′ ′ ′+ + = .

c) Thử chứng minh điều sau đây 2 2 2 29ABC A B CS S AB BC AC R′ ′ ′≥ ⇔ + + ≤ .



10

d) Chứng minh ABC A B CS S ′ ′ ′≥ . e) Chứng minh trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích

lớn nhất

Bài toán 5:

Cho đường tròn (O;R) và I là một điểm nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua I cắt đường tròn tại A và B.

a) Chứng minh rằng IA.IB = R2 – OI2. b) Kết quả của câu a sẽ như thế nào nếu I nằm ngoài đường tròn. Hướng dẫn giải

a) Vẽ đường kình MN của (O) qua I.

Ta có: MAI BNI= ( góc nội tiếp cùng chắn cung MB) Suy ra:

( )

( )( ) ( )( ) 2 2

~ . . .MI AIMAI BNI g g AI BI MI NIBI NI

OM OI ON OI R OI R OI R OI

Δ Δ ⇒ = ⇒ =

= − + = − + = −

b) Tương tự như trên ta có 2 2.IA IB OI R= −

Nhận xét: 1) Qua bài trên ta thấy nếu I cố định thì IA. IB luôn không đổi và 2 2.IA IB R IO= − . Tính

chất này tuy được chứng minh khá đơn giản nhưng cũng có nhiều ứng dụng. 2) Ta thấy nếu I, A cố định và 2 2R OI− không đổi thì suy ra B cũng cố định. Kết quả này

cho ta ý tưởng để chứng minh các bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định. 3) Nếu I nằm ngoài đường tròn IP là tiếp tuyến của (O). Khi đó ta có IA.IB = IP2.

Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, hai cạnh bên AD và BC kéo dài

cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: a) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi IA.ID = IB.IC b) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD


I

N

OA

BM



11

Chiều )⇒ chúng ta đã chứng minh ở bài toán 5, giờ ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại.

Xét tam giác

+ AIB CID= (đối đỉnh)

+ ( ). .IA IB IA IC IB IDID IC

= =

Suy ra ( )~ . .AIB CID c g c BAI DCI⇒ Δ Δ ⇒ = , suy ra tứ giác ABCD nội tiếp(hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

b) Chứng minh tương tự câu a.

Nhận xét: 1) Chiều suy ra thực chất là kết quả của bài 5. 2) Bài 6 cho ta một ý tưởng để chứng minh tứ giác nội tiếp, thực ra đó là một cách để

chứng minh tứ giác nội tiếp nhưng trong trình bày chúng ta không được sử dụng. Nếu ta chỉ nghĩ tới việc chứng minh các góc bằng nhau thì sẽ rất khó khăn và hạn chế về ý tưởng, nhưng khi ta nghĩ tới việc chứng minh các hệ thức về độ dài thì sẽ có nhiều hướng hơn để chứng minh.

Sử dụng các bài toán trên chứng minh các bài toán sau:

Bài 18: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và CD. a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. b) Đường tròn (H; HA) cắt AB và AC tại P, Q. Chứng minh PBCQ nội tiếp. c) Chứng minh OA PQ⊥ với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 19: Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. M là một điểm thuộc

bán kính OA. Kẻ dây DE qua M, tiếp tuyến tại E cắt AB tại F, FD cắt (O) tại N. a) Chứng minh tứ giác FEMN nội tiếp. b) Chứng minh tứ giác FCON nội tiếp.

Bài 20: (NK 2003 – 2004 CT) a) Cho đường tròn (C ) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường

thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.

b) Cho đường tròn (C ) tâm O và một đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di động trên (d). Đường tròn đường kính IO cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

I

DA

C

B



12

Bài 21: (NK 2006 – 2007 CT) Cho đường tròn (C )tâm O, AB là một dây cung của ( C) và I là trung điểm của AB. Một

đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điểm cố định khác B. Bài 22: ( HSG Quận Tân Bình 2005 – 2006 )

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến ABC (B, C thuộc (O) ). Chứng minh rằng khi cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 23:

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Một cát tuyến qua A cắt (O) tại B và C. Vẽ tiếp tuyến AP, và H là hình chiếu của P trên OA. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.

Bài toán 7: Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Dây Một đường thẳng d thay đổi qua S cắt

đường tròn tại A và B(A nằm giữa S và B). Tiếp tuyển của (O) tại A và B cắt nhau tại D. Vẽ ( )DE OS E OS⊥ ∈ . Vẽ tiếp tuyến SP, SQ với (O) (P, Q là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tích OE.OS không đổi. Từ đó suy ra E là điểm cố định khi d thay đổi và D luôn thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi.

b) Chứng minh tứ giác ABEO nội tiếp. c) Chứng minh D, P, Q thẳng hàng. d) Tìm vị trí của d để tứ giác EASQ nội tiếp. Khi đó chứng minh SPA ASO= . Hướng dẫn giải:

a) Gọi I là giao điểm của OD và AB. Khi đó ta có OD vuông góc AB tại I và I là trung điểm của AB. Xét tam giác OED và tam giác OIS có: + SOD chung + ( )90oOED OIS= = Suy ra

.~ OE OD OD OIOED OIS OEOI OS OS

Δ Δ ⇒ = ⇒ =

Trong tam giác vuông OBD có BI là đường cao nên: 2 2.OI OD OB R= =

Do đó 2ROE

OS= không đổi. Suy ra E là điểm cố

định.

E

A

B

Q

S O

P

D



13

Từ đó suy ra D luôn thuộc đường thẳng qua E và vuông góc với OS. b) Ta chứng minh được 2 2.SA SB OS R= − Mà 2 2 2 2. . .R OE OS OS R OS OE OS OS SE= ⇒ − = − = . .SA SB SE SO⇒ = Từ đó ta có tứ giác AEOB nội tiếp. c) Gọi E’ là giao điểm của PQ và OS. Trong tam giác vuông OPS có PE’ là đường cao nên ta

có: 2 2.OE OS OP R′ = =

Suy ra . .OE OS OE OS E E′ ′= ⇒ ≡ Khi đó QP và DE cùng vuông góc với OS tại E nên D, P, Q thẳng hàng. d) Ta có tứ giác SAEQ nội tiếp thì khi và chỉ khi 90oSAQ SEQ= = ⇔ BQ là đường kính của

(O). Khi tứ giác SAEB nội tiếp ta có: ASE AQE= mà AQE SPA= nên suy ra ASE SPA= .

Nhận xét: a. Bài toán này là một bài toán khó, cho ta nhiều kết quả thú vị. Khi S cố định ta có P, Q

cố định. Khi đó nếu d thay đổi thì D luôn thuộc đường thẳng PQ. Vậy liệu ngược lại, nếu d cố định và S thay đổi thì có điều này không? Tại sao?

b. Tứ giác ABEO luôn là tứ giác nội tiếp. Đây là một tính chất khá hay và nhờ tính chất này chúng ta có thể chứng minh nhiều bài toán khác.

c. Câu d là một trường hợp đặc biệt, khi QB là đường kính thì ta có EASQ nội tiếp. SPA ASO= ta có thể chứng minh được OS tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADS.



14

H

I

M

E

D

C

B

S O

A

F

Bài toán 8:

Cho đường tròn (O; R). DC là một dây cung cố định của (O). S là một điểm thay đổi Trên tia đối của tia DC. Qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (O). Gọi E là giao điểm của OS và AB.

a) Chứng minh góc CED có số đo không đổi. b) AB luôn đi qua một điểm cố định F. c) Gọi M là giao điểm của AB và CD. Chứng minh OM vuông góc với SF. Hướng dẫn giải

a) Ta có 2. .SD SC SA SE SO= = ⇒ tứ giác DEOC nội tiếp, suy ra DEC DOC= không đổi.

b) Đường thằng qua O vuông góc với CD cắt AB tại F và CD tại H. Khi đó ta có

22. . ROH OF OE OS R OF

OH= = ⇒ = không đổi,

suy ra F cố định. c) Trong tam giác OSF có FE và SH là đường

cao và cắt nhau tại M nên M là trực tâm. Suy ra OM SF⊥

Nhận xét: 1) Câu a thực ra là áp dụng câu b của bài toán 7. 2) Nếu hiểu rõ bài toán 7 ta có thể chứng minh được AB luôn đi qua điểm F, với F là giao điểm hai tiếp tuyến tại C và tại D của (O).

3) Bài toán 7 và bài toán 8 cho ta một tính chất rất hay về tiếp tuyến của đường tròn. Đó là tính chất về tính thẳng hàng của F, A, B. Và tính chất nội tiếp được của tứ giác OECD.

4) Từ câu c ta thấy nếu M là một điểm trong đường tròn, AB và CD là hai dây cung đi qua M. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại S, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại S. Khi đó OM vuông góc với SF. Hãy chứng minh khẳng định này.



15

Sử dụng ý tưởng hoặc kết quả của hai bài toán trên, giải các bài toán sau:

Bài 24: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp

tuyến AB và AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp. b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D ( khác B). Đường

thẳng AD cắt đường tròn (O) Tại E (Khác D) và tia BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm AC.

c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA. d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh HB là phân giác của góc EHD. e) Tính diện tích tam giác BDC theo R

Bài 25: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tyến MA, MB (A, B là hai

tiếp điểm) và một đường thẳng qua M cắt (O) tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E, F, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD và OI.

a) Chứng minh 2 . .R OE OM OI OK= = b) Chứng minh 5 điểm M, A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn. c) Khi CAD nhỏ hơn CBD , chứng minh 2DEC DBC= .

Bài 26: Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB thay đổi qua I và không

phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P. Chứng minh P luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 27: (THTT 8/2007)

Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB và CD thay đổi qua I và không phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại Q. Chứng minh OI vuông góc với PQ. Bài 28:

Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tia tiếp tuyến PE và PF tới đường tròn ( E, F là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai điểm A, B ( A nằm giữa P và B ) cắt EF tại Q.

a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh PA QAPB QB

= (1)

b) Đẳng thức (1) còn đúng không khi cát tuyến không đi qua O. Chứng minh điều đó.



16

Bài 29 ( THTT 12/2007) Từ một điểm P ở ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn với A, B là

hai tiếp điểm. Gọi M là giao điểm của OP và AB. Kẻ dây cung CD đi qua M (CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q. Tính độ lớn của góc OPQ. Bài 30*:

Cho tam giác ABC cân tại A. Bên trong tam giác lấy điểm P sao cho: ABP PCB= . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh 180oBPM APC+ = . Bài 31:

Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm). PO cắt (O) tại I và K ( K nằm giữa P và O) và cắt AB tại H. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, C là giao điểm của PD và (O).

a) Chứng minh tức giác BHCP nội tiếp. b) Chứng minh AC CH⊥ . c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. AM cắt IB tại K. Chứng minh M là

trung điểm AK.

Bài 32: Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD ( B, D

là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C). a) Chứng minh rằng hai tam giác KDA và KCD đồng dạng. b) Chứng minh AB. CD = AD. BC c) Kẻ dây CN song song với BD. Chứng minh AN đi qua trung điểm BD.

Bài toán 9: Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC, BC tại D, E, F. BI cắt DE tại

K. a) Chứng minh tứ giác IEKC nội tiếp, suy ra CK BK⊥ . b) Chứng minh K, M, N thẳng hàng. Trong đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.


a) Ta có 1802

o BACKEC AED −= = (tam giác ADE cân tại

A).

Và 1 1 1802 2 2

o BACKIC IBC ICB ABC ACB −= + = + =

Do đó KEC KIC= ⇒ tứ giác IEKC nội tiếp. Suy ra 90oIKC IEC= = .

N

M

K

DE

F

I

A

B C



17

b) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB. Trong tam giác vuông BKC có KM là đường trung tuyến nên KM = MB, suy ra tam giác MKB cân tại M. Khi đó ta có 2MKC KBM BKM KBM ABC= + = = suy ra KM // AB. Vậy M, N, K thẳng hàng.

Nhận xét: 1) Bài toán trên cho ta một tính chất đó là các đường thẳng DE, BI và MN đồng qui tại

một điểm. Vì thế đề bài có thể yêu cầu chứng minh giao điểm của hai đường thuộc đường thẳng còn lại.

2) Vì CK IK⊥ nên nếu gọi K là hình chiếu của C trên BI, ta có K thuộc đường thẳng MN và DE. Hơn thế nếu gọi J là giao điểm của CI và DE ta cũng có BJ CJ⊥ , suy ra tứ giác BHKC nội tiếp.

3) Hãy thử chứng minh các nhận xét trên.

Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại A có A, B cố định C thay đổi. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC

tiếp xúc AC, BC tại D và E. Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định. Bài 34:

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E là tiếp điểm của (I) với AB và AC. BI, CI cắt DE tại H, K. Chứng minh BI. BH + CI. CH = BC2.



18

Bài toán 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi H, I, K

lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB. a) Chứng minh rằng:H, I, K thẳng hàng. b) Tìm vị trí của M sao cho IK có độ dài lớn nhất.


a) Ta có tứ giác KBHM, HMCI nội tiếp nên: KHM KBM=

và 180oHMI ACM+ =

Mà 180oKBM ACM KHM IHM= ⇒ + = ⇒ K, H, I thẳng hàng.

b)Ta có ( )~ . 1KI MKMKI MBC g g KI BCBC MB

Δ ⇒ = ≤ ⇒ ≤

Dấu “=” xảy ra khi K B MB AB≡ ⇔ ⊥ tức AM là đường kính của (O).

Vậy KI đạt giá trị lớn nhất bằng BC khi M là điểm đối xứng của A qua O.

Nhận xét: 1) Kết quả vẫn trên vẫn còn đúng nếu M thuộc cung AB, AC. 2) Đường thẳng đi qua 3 điểm H, I, K được gọi là đường thẳng Simson. Đây là một bài

toán khá đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng thú vị.

Cùng làm các bài toán sau:

Bài 35: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi D, E, F lần

lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, AC và AB. a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua DEF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi

trên cung nhỏ AC.

Bài 36: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi I, K là hình

chiếu của M trên AB và BC. Gọi P, Q là trung điểm của IK và AB. Chứng minh MP PQ⊥

Bài 37: (NK 2004 – 2005 CT) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M là một điểm thay đổi trên

cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB. a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường cố định.

I

H

K

O

A

BC

M



19

b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng DE đi qua trung điểm HK.

Bài 38: (NK 2007 – 2008 CT) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm trên cung BC không chứa A. Hạ

AM, AN lần lượt vuông góc với PB, PC. a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. b) Xác định vị trí điểm P sao cho biểu thức AM. PB + AN. PC đạt giá trị lớn nhất.

Bài 39: ( 10 chuyên HCM 2005 – 2006 ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Điểm M lưu động trên cung nhỏ

BC. Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh hai tam giác MBC và MHK đồng dạng. b) Tìm vị trí của M để độ dài HK lớn nhất.

Bài 40: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt nó. Điểm M thay đổi trên đổi d, kẻ các tiếp

tuyến MT, MH đến đường tròn (O) với T, H là các tiếp điểm. Gọi A là hình chiếu vuông góc của O trên d và E, F là hình chiếu của A trên Mt, MH. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng TH đi qua một điểm cố định. b) Đường thẳng EF đi qua một điểm cố định.

Bài 41: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của D trên AB, BC, AC. Chứng minh

rằng ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi M, N, P thẳng hàng. Bài 42: (LHP 2002 – 2003)

Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa A. Gọi P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC.

d) Chứng minh DE đi qua trực tâm H của tam giác ABC. e) Tìm vị trí của M để DE đạt giá trị lớn nhất.

Documents

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊ ƯỢ» dụng bài toán trên giải các bài toán sau: Bài 1: Cho tam giác ABC