V Tin Trnh Trng PTNK 1

PHNG PHP CHNG MINH TIP TUYN

(Lp 9 HKI)

PP1. Chng minh ng thng vung gc vi bn knh ti u mt ca bn knh.

V d 1. Cho tam gic ABC vung ti A, ng cao AH. ng trn tm I ng knh BH ct AB ti D, ng trn tm J ng knh CH ct AC ti E. Chng minh rng DE l tip tuyn chung ca (I) v (J).

Gii.

chng minh DC l tip tuyn ca ng trn (J), ta chng minh DE vung gc JE, tc l chng minh 090JED .

V E thuc ng trn ng knh CH nn 090CEH

V D thuc ng trn ng knh BH nn 090BDH

Do t gic AEHD l hnh ch nht (t gic c 3 gc vung l hnh ch nht)

DEH EHA

M JEH JHE (v tam gic EJH cn ti J)

V Tin Trnh Trng PTNK 2

090JED JEH HED JHE EHA JHA

Vy DE l tip tuyn ca ng trn (J).

Chng minh tng t ta cng c DE l tip tuyn ca ng trn (I)

V d 2. Cho tam gic ABC c gc A nhn. ng trn tm O ng knh BC ct AB, AC ln lt ti F, E. BE v CF ct nhau ti H. Gi I l trung im ca AH. Chng minh IE, IF l tip tuyn ca (O).

Gii.

Ta c H l trc tm tam gic ABC nn AH vung gc vi BC ti D.

Ta c 4 im A, F, H, E cng nm trn ng trn tm I ng knh AH

AI = IE AIE cn ti I IAE IEA

Mc khc OCE cn ti O OEC OEC

M 090OCE EAI ( ADC vung ti D) 090IEA OEC

V Tin Trnh Trng PTNK 3

Do 0 0180 90OEI IEA OEC IE OE Vy IE l tip tuyn ca (O)

Chng minh tng t ta cng c IF l tip tuyn ca (O).

PP2. Chng minh khong cch t tm ti ng thng bng vi bn knh.

V d 3. Cho ng trn (O) ng knh AB. Gi H l trung im ca OA, qua H v ng thng d vung gc vi OA, d ct (O) ti E, F. Chng minh FA l tip tuyn ca ng trn (E, EH).

Gii.

chng minh ng thng AF l tip tuyn ca ng trn (E; EH), ta h EK vung gc vi ng thng AF (K thuc AF), ta chng minh EK = EH.

Ta c EF l trung trc ca OA EA EO OA R AEO u

Do t gic AEOF l hnh thoi c 0 0120 60FAE KAE

Khi hai tam gic KEA v HEA bng nhau nn EK = EH.

Vy ng thng AF l tip tuyn ca (E).

V Tin Trnh Trng PTNK 4

V d 4. Cho tam gic ABC c AB AC a , 0 00 90ABC ACB . Gi M l trung im ca BC. Gc xMy quay quanh im M sao cho ,Mx My ct AB, AC ti E, F.

a) Tnh tch .BE CF theo a v . b) t R l khong cch t M ti AB. Chng minh EF l tip tuyn ca ng

trn ;M R . c) Tm v tr ca ,E F sao cho AEFS ln nht.

Gii.

a)V ABC EMF nn ta c

0 0180 180BEM ABC EMB EMB FMC Do tam gic BME ng dng vi tam gic CFM.

Suy ra 2

. .4

BM CF BCBE CF BM CMBE CM

M ta c: cos cos 2 2 cosMC MC MC a BC MC aAC a

V Tin Trnh Trng PTNK 5

Vy 2 2. cosBE CF a .

b)V ME BE BEBME CFMMF MC BM

, kt hp vi EMF ABC

ta suy ra BME MFE MEB MEF hay EM l tia phn gic ca BEF

Gi H, P ln lt l hnh chiu vung gc ca M ln EF v AB, ta c MH MK R , do EF l tip tuyn ca ;M R .

c)Tng t ta cng c FM l tia phn gic ca EFC MH MK MP , vi P l hnh chiu vung gc ca M ln AC.

Ta c: , 2EH EK FP FK AE EF FA AH AP AH ngha l chu vi tam gic AEF khng i.

Ta c 2MHEFP MEFS S v .AHMPS MH AH (khng i).

V 2AEF AHMP MEF AEFS S S S ln nht MEFS nh nht

M 1 .2MEF

S R EF nh nht EF nh nht

M AE AF EF khng i EF nh nht AF AF ln nht BE CF nh nht.

Ta c: 2 . 2 cosBE CF BE CF a (khng i)

Do min 2 cos cosBE CF a BE CF a .

Bi tp.

Bi 1. Cho tam gic ABC nhn, ng cao BE v CF ct nhau ti H. Gi O l trung im ca BC. Chng minh rng OE, OF l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic AEF.

V Tin Trnh Trng PTNK 6

Bi 2. Cho na ng trn tm O ng knh AB. C thuc na ng trn. V CH AB H AB . M l trung im CH, BM ct tip tuyn Ax ca (O) ti P.

Chng minh PC l tip tuyn ca ng trn (O).

Bi 3. Cho tam gic ABC cn ti A. Gi I l giao im ca 3 ng phn gic ca tam gic ABC. (O) l ng trn ngoi tip tam gic BIC.Chng minh A, I, O thng hng v AC l tip tuyn ca ng trn (O).

Bi 4. Cho na ng trn ng knh AB. Trn on AB ly im M, gi H l trung im AM. ng thng qua H vung gc vi AB ct (O) ti C. ng trn ng knh MB ct CB ti I. Chng minh HI l tip tuyn ca ng trn ng knh MI.

Bi 5. Cho on thng 2AB a . Trn cng mt na mt phng c b l ng thng AB, v hai tia Ax, By vung gc vi AB . Gi O l trung im AB. Gc 090uOt quay quanh O sao cho tia Ou, Ot ct Ax, By ln lt ti E, F.

a) Tnh .AE BF theo .a b) Chng minh EF l tip tuyn ca ng trn ,O a c) Chng minh AB l tip tuyn ca ng trn ng knh EF. d) Tm v tr ca EF sao cho AEFBS nh nht.

Bi 6. Cho ng trn (O) ng knh AB. M l mt im trn on OB. ng thng qua M vung gc AB ti M ct (O) ti C v D. AC ct BD ti P, AD ct BC ti Q. AB ct PQ ti I. Chng IC v ID l tip tuyn ca (O).

Bi 7. Cho tam gic ABC vung ti A c ng cao AH. Gi O l trung im AC, ng thng OH ct ng thng AC ti D. ng trn tm I ngoi tip tam gic ADH ct ng thng AC ti E.

a) Chng minh EH l tip tuyn ca ng trn ng knh AC. b) EH ct AD ti F, K l trung im ca OF. Chng minh KH l tip tuyn ca

ng trn (I).

V Tin Trnh Trng PTNK 7

Bi 8. Cho tam gic ABC ni tip ng trn ng knh BC (AB < AC). T l mt im thuc on OC. ng thng qua T vung gc vi BC ct AC ti H v ct tip tuyn ti A ca (O) ti P. BH ct (O) ti D. Chng minh PD l tip tuyn ca (O).