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INDUSTRIAL CHILENO ALEMAN
FRUTILLARUNIDAD: PROBABILIDADES.
PROF: CINTHYA PARRA VALDÉS.Guía de Aprendizaje Nº 1
OBJETIVO FUNDAMENTAL:Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre fenómenos aleatorios y los deterministas.
CONTENIDOS MINIMOSComentarios históricos acerca de los inicios del estudio de la probabilidad.
ACTIVIDAD: Pega esta guía en tu cuaderno. Lee este resumen acerca de los precursores del estudio de las probabilidades y discútelo con tus compañeros, Investiga más acerca de los matemáticos que se mencionan y arma un papelógrafo con la biografía de al menos 4 matemáticos que aportaron al estudio de las probabilidades.___________________________________________________________________________
REFERENCIA HISTORICA
Los juegos de azar son casi tan antiguos como el hombre. Desde hace mucho tiempo encontramos jugadores preguntándose si un cierto juego les conviene o no, ¿cuáles son sus probabilidades de ganar ? o tratando de elegir el juego menos desfavorable entre varios posibles.
Ya en 1663 apareció el primer manual para jugadores, intitulado “Liber de Ludo Alea” ( Libro sobre el juego de dados), que habría sido redactado mucho antes en 1525, por el sagaz matemático y jugador Girolamo Cardano (1501-1576). En este texto se encuentra una primera discusión teórica de las probabilidades de éxito en diversos juegos.
Pero entre los jugadores de esa época hubo uno que sin querer pasó a la historia por otras razones, por haber planteado a un genial matemático de su tiempo varios problemas sobre juegos de azar que no podía resolver. El jugador era Chevalier, (caballero) de Méré, hombre de mundo y empedernido jugador francés del siglo XVII y el matemático era nada menos que BLAISE PASCAL, un austero cristiano jansenista que dejaría más tarde la matemática por la teología.
Uno de estos problemas era el del “doble seis”. ¿A partir de cuántos lanzamientos de dados conviene apostar a que sale por lo menos una vez un doble seis?
Sin embargo el más famoso de los problemas que desvelaban al caballero de Méré era aquel del torneo interrumpido: dos jugadores de igual destreza llamados A y B, se miden en un torneo ( digamos de esgrima o tenis). Se lleva el premio aquel que entere primero 7 victorias ( no es posible empatar). Pero sucede que cuando A aventaja a B por 5 victorias contra 4, se debe interrumpir definitivamente el torneo, por fuerza mayor. Entonces ¿cuál es la justa repartición del premio entre A y B? seguramente A merece un mayor porcentaje que B, por estar más cerca del triunfo; pero ¿qué porcentaje exactamente?
Entretanto PASCAL propuso una solución a este famoso problema, que no explicó muy claramente, solución que fue muy criticada por ROBERVAL, otro matemático de ese tiempo quién tampoco pudo resolverlo, pero cuyas criticas sirvieron para que PASCAL entrara en dudas sobre la validez de su solución y escribiera a FERMAT, genial matemático de todos los tiempos para pedirle su opinión.
Así comenzó en 1654 la célebre correspondencia entre Fetmat y Pascal en el curso de la cual Fermat llegó a la misma solución que Pascal, tranquilizó a éste la justeza de su razonamiento, y de paso construyeron entre ambos, los fundamentos del cálculo de probabilidades a partir de los juegos de azar.
De éste cálculo de probabilidades emergió la teoría de probabilidades, una rama muy activa de la matemática, de la que se ha desprendido la estadística, con multifacéticos aplicaciones en física, química, biología, ecología, medicina y salud pública, psicología, economía y negocios, seguros, política e industria y muchos otros campos.
1
LICEO INDUSTRIAL CHILENO ALEMAN
FRUTILLARUNIDAD: PROBABILIDADES.
PROF: CINTHYA PARRA VALDÉS.
Guía de trabajo grupal Nº2: Juegos Aleatorios
OBJETIVO FUNDAMENTAL:Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre fenómenos aleatorios y los deterministas.
APRENDIZAJE ESPERADO:Relacionen la noción de probabilidad con la información estadística que deriva de la repetición de un fenómeno aleatorio.
CONTENIDOS MINIMOSJuegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados; uso de tablas y gráficos.
OBJETIVOS DE LA CLASE1) Realizar experimentos aleatorios sencillos usando dados, moneda, naipes y fichas.2) Analizar , Tabular y graficar los resultados de experimentos aleatorios realizados.3) Interpretar los resultados obtenidos de un determinado experimento.4) Obtener conclusiones teóricas (modelos matemáticos) a partir de la información
estadística de las repeticiones sucesivas de un experimento.
ACTIVIDADES:1) Forma grupos de cuatro estudiantes como máximo.2) Nombrar un jefe de grupo3) Desarrolla las actividades que se detallan y contesta lo que se te pide.
TIEMPO ESTIMADO 90 MINUTOS
Experimentos Aleatorios:
1) Lanza una moneda 10 veces y registra el resultado obtenido. Vuelve dados tirar la moneda ahora 50 y 100 veces. Registra de alguna forma, y haz un gráfico que represente de la mejor forma tus resultados. ¿Qué resultado salió más veces? ¿En todos los experimentos resultó siempre lo mismo? Hacia ¿donde tienden los resultados contra más veces se lance la moneda?
2) Tira un dado 10 veces, anota en tu cuaderno la cantidad de
lanzamientos y las veces que salió cada número. Haz la Tabla para reunir los datos y haz el gráfico correspondiente a la situación. Luego repite la operación otras 20 veces y compara los resultados con el experimento anterior. Repite el experimento ahora 50 veces registrando siempre, realiza las tablas y gráfico correspondiente para cada experimento. Observa cada grafico e indica ¿donde tienden a irse los resultados?
3) Con las fichas que se te entregan, colócalas en una bolsa plástica donde no puedas ver la que vas sacando. Saca una anota el resultado, reintégrala a la bolsa y vuelve a sacar otra repitiendo el proceso 20 y 30 veces veces y contesta:
a) ¿Qué ficha salió más veces?. b) Realiza una tabla donde establezcas los resultados de cada
extracción.c) Grafica la situación en grafico de Barras.
2
rojo
azul
verde
amarillo
3) De un juego de Naipes españoles. Saca 10 veces una carta y registra en una tabla los resultados. Luego saca 20 veces una carta y luego hazlo 30 veces, anotando siempre los resultados.
a) ¿Qué carta salió más veces?b) ¿Existe una tendencia a sacar siempre la misma carta?c) Podríamos inferir los resultados si se repitiera el juego 50 veces?d) Representa este juego en un gráfico.
Evaluación del trabajo:
a) Deberán registrar todos los resultados de los juegos o experimentos realizados.
b) Al final de la clase deberán entregar un informe por grupo de de estos resultados. El informe debe contener, Introducción y conclusiones a las cuales llegaron. La Introducción debe incluir la forma cómo se realizó el trabajo, los Aciertos en la organización o Problemas o Desaciertos del grupo.
c) El trabajo será evaluado con un 25% de la calificación sumativa final que irá al libro. En el cual serán evaluados los siguientes aspectos:
Aspectos de contenido: En la redacción de la introducción del informe se describe con claridad el o los
problemas realizados y cuál fue la forma de trabajo que se asumió en cada uno de ellos.
En la introducción se explica claramente la forma de trabajo utilizada por el grupo.
Describe claramente los resultados de cada problema. Realiza acabadamente las tablas de valores y los gráficos que se producen de
ellas. Describe con claridad los resultados alcanzados, dejando en evidencia tanto lo
logrado como lo no logrado, así como las fortalezas y dificultades encontradas en el proceso.
d) La nota final también contemplará una calificación por autoevaluación de cada alumno y una evaluación de todos los miembros del grupo, establecida de acuerdo a las siguientes pautas:
Criterios de Evaluación del Informe:
Aspectos formales: El informe está escrito en computador. La estructura del informe se ajusta a lo solicitado, se responden todas las
preguntas planteadas. Se cumple con el mínimo de páginas. Se anexa el material que respalda los resultados alcanzados. (tablas y Gráficos) Se evaluará también la limpieza y orden al presentar el informe escrito.
Aspectos de contenido: En la redacción de la introducción del informe se describe con claridad el o los
problemas realizados y cuál fue la metodología de trabajo en cada uno de ellos. En la introducción se explica claramente la metodología de trabajo utilizada por el
grupo. Describe claramente los resultados de cada problema. Realiza acabadamente las tablas de valores y los gráficos que se producen de
ellas. Describe con claridad los resultados alcanzados, dejando en evidencia tanto lo
logrado como lo no logrado, así como las fortalezas y dificultades encontradas en el proceso.
CATEGORÍAS PARA LA CALIFICACION DE TRABAJOS:
3
CATEGORIA DESCRIPCION NOTACC Cumple a cabalidad
con lo solicitado.El informe es claro, coherente y se ajusta plenamente a lo solicitado.
6.0- 7.0
CS Cumple satisfactoriamente con lo solicitado
El informe es claro, coherente y se ajusta a lo solicitado, pero presenta algunos vacíos que dificultan su comprensión.
5.0-5.9
CM Cumple mínimamente con lo solicitado
El informe se ajusta a lo solicitado, pero es poco claro, incompleto o presenta vacíos que dificultan su comprensión
4.0-4.9
CD Cumple deficientemente con lo solicitado
El informe es poco claro, confuso o se ajusta tangencialmente a lo solicitado.
3.0-3.9
NC No cumple con lo solicitado
El informe no se ajusta a lo solicitado o es de difícil comprensión
2.0- 2.9
CRITERIOS PARA LA AUTOEVALUACION Y EVALUACION ENTRE PARES:
A1 = Nombre del Alumno (a):………………………………………………………………
A2 = Nombre del Alumno (a):………………………………………………………………
A3 = Nombre del Alumno (a):………………………………………………………………
A4 = Nombre del Alumno (a):………………………………………………………………
Autoevaluación A1 A2 A3 A41) Hice uso adecuado de mi tiempo2) Fui solidario(a) y colaboré con mis compañeros y compañeras3) Traté de evitar los conflictos y cuando se presentaron buscar alguna solución.4) Fui cuidadoso(a) con los materiales de trabajo5) Colaboré en dejar el espacio de trabajo que ocupamos limpio y ordenado 6) Fui ordenado(a) para registrar la información y el trabajo realizado7) Tuve interés y me esforcé por aprender cosas nuevas.8) Aporté ideas para mejorar el trabajo de mi grupo9) Fui responsable en traer los materiales y tareas necesarias.10) Estudie y preparé en forma adecuada mi parte de la disertación.
PROMEDIO
Evaluación de Pares A1 A2 A3 A41) Cumplió con la tarea que se le asignó2) Aporté con ideas y/o materiales3) Cumplió con los tiempos acordados4) Trabajó con interés y entusiasmo5)Participó activamente en la elaboración del trabajo6) Aceptó opiniones de otros miembros del grupo, aunque eran distintas a las suyas.7) Manifestó su opinión claramente y sin alterarse
PROMEDIO
FECHA:…………………………………………………Firma Jefe de Grupo:………………………………………………………………LICEO INDUSTRIAL CHILENO ALEMANFRUTILLAR UNIDAD: PROBABILIDADES
PROF: Cinthya Parra Valdés
GUIA DE APRENDIZAJE Nº 3
OBJETIVO FUNDAMENTAL:
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Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre fenómenos aleatorios y los deterministas.
APRENDIZAJE ESPERADO: Relacionen la noción de probabilidad con la información estadística que deriva de la repetición de un fenómeno aleatorio y expliquen qué diferencia a éstos de los fenómenos determinísticos.___________________________________________________________________________CONTENIDOS: Vamos a definir algunos conceptos que son importante para que comencemos a calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso o evento.
Experimento Aleatorio: es aquel en el cual es imposible determinar de antemano el resultado. Aleatorio ( viene del griego alea que significa “suerte”. Es decir interviene el azar. Al lanzar una moneda sabemos cuántos posibles resultados puedo obtener, que son dos : cara o sello, pero no puedo saber cuál va a salir.
Espacio Muestral: Se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados. Ejemplo 1: el espacio muestral del lanzamiento de una moneda es: Ω = cara, selloEjemplo 2: el espacio muestral del lanzamiento de un dado es Ω = 1, 2, 3, 4, 5,6
Suceso Aleatorio: es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Los eventos que tienen distintos resultados a pesar de suceder en las mismas condiciones y circunstancias, Es decir su resultado depende del azar, se sabe sólo una vez realizado el evento. Ejemplo : lanzar un dado, lanzar una moneda, sacar una carta de un naipe, sacar una ficha de color de una bolsa, etc.
Suceso Determinista: Es aquel que podemos predecir o saber su resultado de antemano: ejemplo:Si mezclamos en proporciones adecuadas Hidrógeno y Oxígeno sabemos que vamos a obtener agua.Si el agua la colocamos en una olla al fuego saber que en algún momento va a alcanzar el punto de ebullición.Y si la colocamos al refrigerador a helar obtendremos hielo.
Estos son todos sucesos en los cuales no está involucrado el azar y sabemos cual va a ser su resultado.
En otros casos si miramos al cielo y vemos nubes densas y oscuras que se juntan en él y miramos un barómetro amenazante podemos predecir si va a llover. Con instrumentos adecuados, podemos predecir la ocurrencia.Ejemplo:
a) Lanzar una pelota al aire, sabemos que se elevará de acuerdo a la fuerza que le hayamos aplicado, pero que irremediablemente caerá al suelo, pues la fuerza de gravedad la hará caer.
b) Que anochezca todos los días. Sabemos que cada día el sol se pone a tal hora en la tarde y cae la noche y en la mañana el sol sale a determinada hora.
c) Que un semáforo se ponga verde, sabemos que los semáforos tiene algunos 3 colores, otros sólo dos pero que todos ellos tienen el color verde incorporado pues es el que indica que una persona debe atravesar una calle o que un vehículo puede avanzar.
Ejercicios:
1) De los siguientes sucesos, Indica cuáles son deterministas y cuáles son aleatorios:a) Tirar dos monedas al aire?................................................b) El resultado de un partido de fútbol................................................c) Que el agua se congele al alcanzar temperaturas bajo cero
grados...........................................d) Pronostico del tiempo:
……………………………………………………………………………………….e) Que salga el 3 rojo en el juego de la Ruleta:
………………………………………………………………………..f) El sexo de un bebe recién
gestado……………………………………………………………………………………………..g) Mejoría del cáncer en un
tratamiento…………………………………………………………………………..
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h) El efecto de un remedio en un enfermo con control médico…………………………………………………………
i) Apretar el interruptor y que se encienda la Luz……………………………………………………………………….
j) Saber lo que otra persona piensa……………………………………………………………………….
k) Saber cuanto tiempo dedico diariamente al estudio…………………………………………………………
l) Tener un accidente en un vehículo que se desplaza a más de 120 km/hr.
2) Escribe tres ejemplos de sucesos deterministas:a)............................................................................................................................................b)............................................................................................................................................c)..........................................................................................................................................
3) Escribe tres ejemplos de Aleatorios:a)............................................................................................................................................b)............................................................................................................................................c)............................................................................................................................................
Los sucesos se pueden clasificar en suceso seguro, posible e imposible:Suceso seguro: es aquel del cual se tiene la certeza de que va a ocurrir ejemplo: sacar una bolita verde de una bolsa con 4 bolitas verdes.
Ejercicio:
1)Escribe 3 sucesos seguros, distintos a los ya mencionados.a)............................................................................................................................................b)............................................................................................................................................c)............................................................................................................................................
Suceso Imposible: es aquel del cual se tiene la certeza de que no va a ocurrir. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una bolsa que contiene sólo bolitas verdes?
2) Escribe 3 sucesos Imposibles, distintos a los ya mencionados.a)............................................................................................................................................b)............................................................................................................................................c)............................................................................................................................................
Se habla de más probable cuando tiene numéricamente más probabilidades de ocurrir. Ejemplo Sacar una ficha roja de una bolsa que contiene 3 fichas rojas y dos azules. Aquí es más probable que al sacar una salga roja. Y es menos probable que salga una azul.
3) Dé un ejemplo de un evento o suceso de cada tipo:a)Poco probable…………………………………………………………………………………b)Medianamente probable………………………………………………………………………
Probabilidad: El concepto de probabilidad se asocia con la idea de incertidumbre. Pero en estricta definición es la frecuencia relativa de un suceso o evento. La palabra probabilidad permite cuantificar la posibilidad de que ocurra un suceso o evento.
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PROF: Cinthya Parra Valdés
GUIA DE APRENDIZAJE Nº 4
Objetivo: Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre fenómenos aleatorios y los deterministas.
EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD A PRIORI: ( Fórmula de Laplace)El cuociente entre la cantidad de casos favorables que tiene un evento A y el número
total de casos posibles es la probabilidad a priori que tiene un suceso o evento de ocurrir.
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P(A) = Número de casos favorables Número total de casos posibles
Ejemplo 1 : ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara al lanzar una moneda? Recordemos el conjunto de posibles soluciones es Ω = cara , sello. Por lo tanto:P ( cara) = número de casos favorables = 1 número total de casos posibles 2
Ejemplo 2 : ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado?El conjunto Ω = 1, 2 , 3, 4 , 5 ,6 Por lo tanto: P ( sacar “5” ) = Número de casos favorables = 1 Número total de casos posibles 6
La Probabilidad de que ocurra un suceso varía entre 0 y 1 es decir 0 P(A) 1
Ejemplo 3: En una bolsa hay 3 bolas verdes y cuatro amarillas ¿Cuál es la probabilidad de sacar sin mirar una bola azul?P(azul) = Nº casos favorables = 0 = 0 Nº total de casos posibles 7R: Es decir, no hay ninguna probabilidad de sacar un bola azul ( la probabilidad es nula)
Ejemplo 4: En una bolsa hay 15 bolas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar sin mirar una bola verde?P(verde) = Nº casos favorables = 15 = 1 Nº total de casos posibles 15 R: Es decir, la probabilidad es segura.
Por lo tanto, todas las probabilidades están entre 0 y 1
Ejercicios:
1)¿Cuál es la probabilidad de obtener un cuatro al lanzar un dado? R………………………………………………………………………………………
2) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un “as” de un juego de naipes españoles?R………………………………………………………………………………………
3) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja de una caja que contiene 5 bolitas rojas, 18 azules y 7 negras?
R………………………………………………………………………………………
4) Si se extrae una carta al azar de un mazo de naipe español:a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un seis de oros? R…………………………………………………………………….b)¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de bastos? R……………………………………………………………c)¿Cuál es la probabilidad de obtener cualquier número de oros? R…………………………………………………………d)¿Cuál es la probabilidad de obtener una figura de copas? R………………………………………………………………e)¿Cuál es la probabilidad de obtener un nueve de oros? R…………………………………………………………………….
5) Al tirar dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma 7?R…………………………………………………………………….
6) Un grupo de hombres y mujeres que asistieron a una cena pidieron postre o café segun la tabla:
Hombre Mujer
7
Postre 20 8Cafe 15 13
Si elegimos al azar a un asistente, calcula la probabilidad de que:a) Pidiera postre R…………………………………………………………………….b) Sea hombre R…………………………………………………………………….c) Sea mujer y haya pedido postre R………………………………………………………………d) Sea hombre y haya pedido café R………………………………………………………………
7) Al lanzar un dado ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?, ¿ un número primo?R…………………………………………………………………….
8) De un mazo de 52 cartas se puede tomar una carta. ¿Cuál es la probabilidad para que ésta sea un mono? R…………………………………………………………………….
9) Se saca un bolita de una urna que contiene 7 bolitas amarillas, 3 azules y 5 rojas.a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita amarilla? R……………………………………………………………………b)¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bolita azul? R…………………………………………………………………….c)¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bolita que no sea azul? R………………………………………………………d)¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bolita verde? R…………………………………………………………………….
10) En mi monedero hay 16 monedas de $100, 22 monedas de $50 y 12 de $10. Al sacar una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una moneda de $100?R…………………………………………………………………….
11) En una caja de 12 huevos hay 3 quebrados. Se extrae uno ¿Qué probabilidad hay de que salga quebrado? R…………………………………………………………………….
12) En un equipo de fútbol están en el campo de juego: 5 delanteros, 3 mediocampistas, 2 zagueros y el guardavallas. Después de cada partido importante, debe realizarse el control doping de los jugadores, para ello se elige un jugador al azar ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada uno de los jugadores de salir elegido para control doping ? Y la probabilidad que tienen los delanteros, los zagueros, mediocampintas o el guardavallas de salir elegidos?R…………………………………………………………………….
LICEO INDUSTRIAL CHILENO ALEMANFRUTILLAR
UNIDAD: PROBABILIDADESPROF: Srta Cinthya Parra Valdés
GUIA DE APRENDIZAJE Nº5
OBJETIVO FUNDAMENTAL:Analizar experimentos aleatorios e investigar sobre las probabilidades en juegos de azar sencillos, estableciendo las diferencias entre fenómenos aleatorios y los deterministas.
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Azul
Verde
Gris
Blanca
Amarilla
Rosada
Arena
Blanca
Blanca
Amarilla
Amarilla
Rosada
Rosada
Arena
Arena
APRENDIZAJE ESPERADO:1) Utilizan el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas.
CONTENIDO MINIMO:1) Sistematización de recuentos por medio de diagramas de árbol.2) Iteración de experimentos sencillos, por ejemplo, lanzamiento de una moneda.
Ejemplo: Se lanzan tres veces una moneda al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 veces caras?
Para resolver esto tenemos dos caminos: Uno Hacer el conjunto de posibles soluciones usando pares ordenados para organizar la información o bien hacer un “diagrama de árbol”
como el que hacías en Biología para determinar los cruzamientos, te recuerdas.
Si las bolitas amarillas son “caras” y las blancas “sellos. Entonces habrá sólo una solución dentro de 8 posibles soluciones.
Si hacemos el conjunto total de posibles soluciones Ω nos resulta:Ω = ( c,c,c) ,( c,c,s), ( c,s,c), ( c,s,s) , (s,c,c) ( s,c,s) , ( s,s,c ), ( s,s,s)
Entones P ( c,c,c ) =
Esta forma de conteo sirve en el caso de iterar “ repetir” fenómenos aleatorios
Ejemplo 2: 1) En un grupo de 36 participantes, se les da a elegir entre varios colores para pantalón
y polera necesarios para las actividades deportivas; en los pantalones hay azules, verdes y grises; en las poleras se puede elegir entre blancas, amarillas, rosa o color arena. Si todas las prendas están en una caja, ¿ Cuál es la probabilidad que una persona saque la combinación azul-arena? Organiza la información en un diagrama
de árbol.
L Luego la probabilidad de sacar
la combinación pedida es =
Ejemplo 3: ¿Cuál es la probabilidad de nazca 1 conejo gris en una cruza entre conejo blanco y conejo Negro? Pinta los colores resultantes de la cruza de ambos conejos.
R:
…………………………………………………………………………………………
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En Genética el diagrama de árbol es muy usado al hacer cruzamientos, este fue aporte que Mendel hizo a la teoría de probabilidades.
Triángulo de Pascal:Blaise Pascal observó que al repetir sucesivamente un suceso aleatorio, se producían generalidades numéricas que las resumió en un triángulo de números llamado triángulo de Pascal.
¿Qué probabilidad hay de sacar dos caras y un sello al lanzar 3 monedas al mismo
tiempo?¿Cuáles son los posibles resultados?.
Ya vimos en el 1er ejemplo como se resuelve mediante diagrama de árbol y también haciendo el conjunto de posibles
soluciones Ω.
Pero mirando el diagrama de árbol, vemos que al lanzar 3 monedas, obtendremos 1 vez ( sello, sello, sello) ; 1 vez (cara, cara, cara), 3 veces (2 sellos y una cara) y 3 veces ( 2 caras y un sello) Por tanto la probabilidad de obtener 2 caras y un sello en cualquier orden son 3 de 8 es
decir
Conteste: Usando el triángulo de Pascal responde: Si consideramos el lanzamiento de 4 monedas: a) ¿Cuál será la Probabilidad de obtener 2 caras y dos sellos? R:…………………………………………………….b)¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos y una cara? R:………………………………………………. c) ¿Cuál es la Probabilidad de obtener al menos una cara? R:……………………………………..d) ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de una cara? R:………………………………. e) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener cara? R:………………………………………….
Guía de ejercicios: Utilice el Triángulo de Pascal para resolver los siguientes problemas de probabilidad.
1) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo caras al cabo de cinco lanzamientos consecutivos de una moneda? R:………………………………….
2) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sacar siempre 1 en el lanzamiento de tres dados dado?R:………………………………….
3) Lanza una moneda dos veces:a)¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos seguidos? R:……………………………b)¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras seguidas? R:……………………………c)¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un sello? R:……………………………d) ¿Cual es la probabilidad de obtener un sello y una cara? R:……………………………e)¿Cuál es la probabilidad de que el resultado del segundo lanzamiento sea distinto del primero?R:……………………………
4) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras al lanzar 3 monedas?R:………………………………………………………………………………….
5) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos y dos caras al lanzar 4 monedas?R:……………………………………………………………………………………
6)¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un sello al lanzar tres monedas ?R:………………………………………………………………………………….
7) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro caras al lanzar una moneda 4 veces sucesivamente?
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1
1 12
1 13 3
1 14 6 4
R:…………………………………………………………………………………. Ejercicios:1) En el menú de un casino de un colegio ofrece lo siguiente: 2 entradas palta rellena o ensalada a la chilena; 3 platos de fondo: porotos granados, lentejas o garbanzos y 3 tipos de postre: leche asada, plátano con miel o jalea. Según estas exquisitas alternativas:a) Dibuja en el espacio el diagrama de árbol de la situación planteada.b) ¿Cuántos menús posibles se pueden elegir?c) Si un alumno se elige al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su elección incluya porotos
granados?d) ¿Cuál menú elegirías tú?
2) Jorge es bombero y en una noche de invierno debe salir a apagar un incendio. Como hay temporal se ha cortado la energía eléctrica en toda su cuadra y debe sacar ropa a tientas, En el cajón del closet de hay 3 chalecos uno negro, uno rojo y uno café y tiene bufandas blanca, azul y burdeo. Si saca un chaleco y una bufanda. a) Haz el diagrama de árbol correspondiente. b) ¿Qué probabilidad hay de que saque un chaleco café y una bufanda blanca?
3) ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo caras al cabo de cinco lanzamientos consecutivos de una moneda?. Cuenta los casos haciendo el diagrama de árbol correspondiente.
Desafíos:1)Un ratón de laboratorio se coloca en el punto A del laberinto para que llegue a uno de los puntos B, C ,D, E, F o G . Imagina que el ratón tiene una moneda y en cada bifurcación hace una elección tirando la moneda; Si sale cara va por la derecha y si sale sello va por la izquierda. Si tuvieras que apostar, que punto elegirías como destino del
ratón? ¿Por qué?
11
1
1 12
1 13 3
1 14 6 4
A
B C D E F
2)Realizar el siguiente juego: en un tablero como el del dibujo colocar fichas una en la liebre y otra en la tortuga. Lanzar el dado; si sale 1, la liebre llega a la META. Con cualquiera de los otros números, la tortuga avanza un paso. Si se realiza este juego 20 veces. ¿Cuál de los dos animales llega más veces a la meta? Explique mediante Diagrama de árbol.
LICEO INDUSTRIAL CHILENO ALEMANFRUTILLAR
UNIDAD: PROBABILIDADESPROF: Srta Cinthya Parra Valdés
GUIA DE APRENDIZAJE Nº………..
1)Se lanza un dado de 8 caras ( ctaedro) marcados con puntos del 1 al 8 Completa la siguiente tabla:
Suceso Numero de casos favorables
Numero de casos posibles
Probabilidad
Multiplo de 2PrimoMultiplo de 3Par
12
M E T A
ImparMayor que 3 2) En una bolsa tenemos 4 bolas azules 3 rojas 2 verdes y 1 blanca. Se saca una bola.a) ¿Qué es más probable que salga azul o blanca?............................................b) ¿Qué es menos probable, que salga roja o verde?.......................................c) Calcula la probabilidad que tiene cada color de salir elegido Azul………………Roja……………….verde………………..blanca……………………………..
d) Calcula la suma de éstas probabilidades.
3) De una bolsa que contiene 6 bolas rojas, 9 bolas azules, 10 bolas verdes. Ana saca una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad que salga bola roja? ¿Cuál es la probabilidad de que no salga bola azul?R:……………………………………………….
4) En una bolsa hay 7 bolitas verdes, 8 amarillas, 5 azules y 4 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar sin mirar una bolita verde?R:……………………………………………….
5) ¿Cuál es la probablidad de obtener un número par al tirar un dado?R:……………………………………………….
6) Si Paulita ha estado jugando a tirar un dado y en 3 lanzamientos que ha hecho, ha obtenido siempre el número 5. ¿Qué probablidad de que vuelva a sacar el “5”?R:……………………………………………….
7) Un gasfiter tiene en su maletín llaves numeradas de 9 a 17 mm debe ajustar una tuerca que mide 8 mm . ¿Cuál es la probablidad de que al sacar al azar una llave de su maletín obtenga la llave que necesita? R:………………………………………….
8) En una caja de 5 huevos 1 esta quebrado. ¿Qué porcentaje de probabilidades hay de que salga sano? R:……………………………………………….
9) Juan y José deciden apostar a dos juegos de Lotería diferentes:Juan debe apostar a una de seis bolitas marcadas de 1 al 6, él apuesta a que saca el número 3 .José debe apostar a dos de siete bolitas marcadas del 1 al 7, él apuesta a que saca el “4” o el “5”. ¿Cuál de los dos tiene más probabilidades de ganar? R:……………………………………………….
10) María compró 15 números de rifa y ella sabe que tiene un 10% de probabilidades de ganar. ¿Cuántos números se vendieron para que ella tenga esa convicción? R:……………………………………………….
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UNIDAD: PROBABILIDADESPROF: CINTHYA PARRA V.
PRUEBA DE MATEMATICA
NOMBRE:....................................................NOTA:..........................
I.-.-Seleccione la alternativa correcta: Cada ejercicio vale 1 punto
1)Entre los alumnos de 2º medio se sorteará una torta. Si en el curso hay 18 hombres y 20 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que el ganador de la torta sea hombre?
a) b) c) d)
2) Si tenemos en una bolsa 8 bolitas azules, 2 rojas y 5 verdes y extraemos una bolita. ¿Qué color es menos probable que salga?a) Roja b) azul c) Verde d) Ninguna
3)¿Cuál es la probabilidad de obtener un “as” de un juego de cartas españolas al elegir una carta al azar?
13
a) b) c) d) Ninguna
4)Para la fiesta de fin de año del Liceo Antulafquen cada curso vendió entradas. En el siguiente cuadro se presenta el número de entradas que vendió cada curso.
Durante la fiesta se realizará una rifa en la que participarán las 600 entradas vendidas. ¿Cuál es la probabilidad de que en la rifa gane el premio una persona que compró su entrada al 1° año medio?
a) b) c) d)
5)¿Cuál de las siguientes situaciones no es un suceso determinista?a) Chutear la pelota al aire. c) mezclar café y azúcar b) Elegir personas para contestar una encuesta d) Comer una manzana
6) De una bolsa que contiene 6 bolas rojas, 9 bolas azules, 10 bolas verdes. Ana saca una bola al azar.¿Cuál es la probabilidad de que no salga bola verde?
a) b) c) d)
7)Anita va a un concurso en la TV recibe un llavero con siete llaves, de las cuáles sólo una abre la puerta, en la cual está escondida la llave de una casa nueva. Como no sabe cual es la llave correcta debe probarlas todas. Pero sólo tiene 1 oportunidad para intentarlo. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte al primer intento?
a) b) c)d) 0
8) Antonia participa en el sorteo de una canasta de abarrotes de las rifas internas realizadas en su curso, si la rifa tiene en total 150 números y se venden todos los
números. Antonia tiene una probabilidad de de ganar, ¿cuántos números compró?
a) 1 b)10 c) 15 d) 135
9)La probabilidad de que salga “el 6” al lanzar un dado es ¿. ¿Cuál de estas
aseveraciones es falsa?a) Cada número del dado tiene un 16% de probabilidades de salir elegido.b) En cada lanzamiento puede salir cualquiera de los seis números.c) Es un suceso equiprobable. Todos los números tienen la misma probabilidad de
salir elegido. d) El espacio muestral del lanzamiento de un dado es Ω = 1,2,3,4
10) Tenemos dos bolsas con bolitas de diferentes colores, como lo muestra la figura:
Caja A Caja Ba) Si sacamos una bolita de la Caja B. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una salga blanca?
a) 45% b)20% c)50% d) 25%
11) En la figura anterior ¿De cuál de las dos cajas es más probable sacar una bolita blanca?a) De la Caja A c) Ambas tienen la misma
probabilidad
b) De la Caja B d) En ambas la probabilidad es nula.
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12)En una encuesta realizadas sobre los intereses de los 37 alumnos de un curso elegido al azar, respecto de su cantante preferido. Confeccionamos la siguiente tabla con los resultados:Artista Preferido Nº de alumnos Chayanne 12Dady Iñaki 5Maná 10La Ley 10
Si elegimos un alumno al azar. La probabilidad de que este prefiera a Chayanne es:
a) b) c) d)
13)La probabilidad de obtener 3 sellos al lanzar 1 moneda 3 veces consecutivas es:
a) b) c) d)
14) Si lanzas simultáneamente una moneda y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6, ¿El espacio muestral de esta situación es?a) Ω =(c,1); (c,2); (c,3); (c,4); (s,1); (s,2) b) Ω =(c,1); (c,2); (c,3); (c,4); (c,5); (c,6); (s,1); (s,2); (s,3); (s,4); (s,5); (s,6)c) Ω =(c,1); (c,2); (c,5); (c,6); (s,1); (s,2); (s,3); (s,4); (s,5); (s,6)d) Ω =(c,1); (c,2); (c,3); (c,4); (c,5); (c,6)
15) Indica ¿Cuál afirmación es falsa?a) La Probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½b) En la expresión que da Laplace, el numerador puede ser mayor que el
denominador.c) Mendel uso las probabilidades para explicar los resultados de un cruzamiento en
Genética.d) Pascal formalizó un triángulo de números para calcular las probabilidades en
experimentos aleatorios sucesivos.
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En este juego, a aquellas fichas que tienen el mismo número de puntos o que no tienen puntos a ambos lados de la raya divisoria de cada ficha, se les llama “Chanchos”
II.- Preguntas de respuesta abierta: Contesta cada pregunta en el espacio en blanco. Cada ejercicio vale 2 puntos.
17) Jorge es bombero y en una noche de invierno debe salir a apagar un incendio. Como hay temporal se ha cortado la energía eléctrica en toda su cuadra y debe sacar ropa a tientas, En el cajón del closet de hay 3 pares de calcetines uno negro, uno café y uno azul saca dos calcetines al azar:a) ¿Qué probabilidad hay de que saque un par correcto? b)Haz el diagrama de árbol correspondiente.
18) Pedro y Manuel juegan a lanzar una moneda.Pedro dice: "Si lanzo dos veces seguidas una moneda al aire tengo más probabilidades de obtener 2 veces cara, que si la lanzo 3 veces".Manuel dice que José está equivocado.¿Quién tiene la razón? ¿Por qué? Justifica tu respuesta y muestra tus cálculos.
19) En la caja que aparece en el dibujo hay bolitas blancas y negras. Para que la probabilidad de sacar una bolita negra sea de ½.
Justifica las respuestas dadas:
a) ¿Sacarías o agregarías bolitas? R:…………………………………………………
b) ¿Cuántas y de qué color? R:……………………………………………………………….
c) ¿Por qué?.........................................................................................................
20) En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 12 hombres y 20 mujeres. El resto comió pescado. Si elegimos una persona al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya comido pescado?b) Si sacamos un hombre al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya comido carne?
21) Si jorge está jugando con su amigo Claudio a tirar una moneda. Jorge apostó a que saca 5 caras seguidas. Lleva 4 lanzamientos y ha sacado 4 caras. ¿Qué probabilidad tiene de sacar de nuevo una cara? Justifica tu respuesta.
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