Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
Facilitadora: Yenny López.Correo:[email protected]
OBJETIVO TERMINAL- 1 -
“ N o s e p u e d e e n s e ñ a r n a d a a u n h o m b r e ; s ó l o s e l e p u e d e a y u d a r a e n c o n t r a r l a r e s p u e s t a d e n t r o d e s í m i s m o . "
G a l i l e o G a l i l e i
Al finalizar la unidad I, los participantes estarán en capacidad de aplicar la teoría
de probabilidades para la resolución de problemas referentes a ese tópico.
CONTENIDO
FENOMENOS ALEATORIOS.................................................................................................3Características de un Experimento Aleatorio:.......................................................................3
ESPACIO MUESTRAL............................................................................................................4Tipos de Espacio Muestral:....................................................................................................4
SUCESOS..................................................................................................................................5Tipos más Frecuentes de Sucesos..........................................................................................6
OPERACIONES CON SUCESOS............................................................................................6Inclusión de sucesos...............................................................................................................6Igualdad de sucesos...............................................................................................................7Unión de sucesos...................................................................................................................7Intersección de sucesos..........................................................................................................7Sucesos Disjuntos, Incompatibles o Excluyentes..................................................................7Sucesos contrarios..................................................................................................................7Diferencia de Sucesos............................................................................................................8Diferencia Simétrica de Sucesos............................................................................................8Algebra de Boole de Sucesos.................................................................................................8Introducción.........................................................................................................................10Definición Clásica de la Probabilidad o Definición de Laplace..........................................10Definición Frecuentista de la Probabilidad..........................................................................11Definición Subjetiva de la Probabilidad..............................................................................12Definición Axiomática de la Probabilidad...........................................................................12
Propiedades....................................................................................................................13Teoremas Elementales de Probabilidad o Consecuencias de los Axiomas.........................15Probabilidad Condicionada..................................................................................................16Tablas de contingencia y diagramas de árbol......................................................................18Teorema de la Probabilidad total.........................................................................................19Teorema de Bayes................................................................................................................20Ejercicios.............................................................................................................................23
- 2 -
FENOMENOS ALEATORIOS
Un experimento es cualquier situación u operación en la cual se pueden presentar uno o
varios resultados de un conjunto bien definido de posibles resultados. Los experimentos pueden
ser de dos tipos según si, al repetirlo bajo idénticas condiciones:
Cuando se realiza un experimento puede ser de dos clases:
-Experimento Determinista: un experimento que siempre que se repita con las mismas
condiciones iniciales se obtiene igual resultado.
-Experimento Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iniciales, no se
puede predecir el resultado. (Ejemplo: lanzar un dado o extraer una carta).
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura,
velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una
experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará
arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico
(viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en
una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy
ventajosamente, como aleatorios. Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar
lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser
observado en la realización del experimento.
Características de un Experimento Aleatorio:
El experimento se puede repetir indefinidamente bajo idénticas condiciones
Cualquier modificación a las condiciones iniciales de la repetición puede modificar el
resultado
Se puede determinar el conjunto de posibles resultados pero no predecir un resultado
particular
Si el experimento se repite gran número de veces entonces aparece algún modelo de
regularidad estadística en los resultados obtenidos
- 3 -
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En
adelante lo designaremos por E.
Ejemplo
El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos
obtenidos es:
E = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
También otro ejemplo sería el experimento de arrojar un dado y ver qué sale. En este caso, el
espacio muestral es:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tipos de Espacio Muestral:
1) Espacio Muestral Discreto
i) Espacio muestral finito Tiene un número finito de elementos.
ii) Espacio muestral infinito numerable Tiene un número infinito numerable de
elementos es decir, se puede establecer una aplicación biyectiva entre E y N.
Ejemplo:
Experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. El espacio muestral es
E={1,2,3,4,5,6}
Ejemplo:
Experimento aleatorio consistente en lanzar un dado hasta que sea obtenido el número
1
E= {{1}, {2,1},{3,1} ...
{2, 2,1},{2,3,1},...}
2) Espacio Muestral Continuo
Si el espacio muestral contiene un número infinito de elementos, es decir, no se puede
establecer una correspondencia biunívoca entre E y N.
Ejemplo:
Experimento aleatorio consistente en tirar una bola perfecta sobre un suelo perfecto y
observar la posición que ocupará esa bola sobre la superficie. E= {Toda la superficie del suelo}
- 4 -
Ejercicios:
Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
1. Lanzar tres monedas.
Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio
muestral:
E= {(CCC), (CCX), (CXC), (XCC), (CXX), (XCX), (XXC), (XXX)}
2. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
3. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E= {BB, BN, NN}
4. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se
obtiene el siguiente espacio muestral:
E= {(LLL), (LLN), (LNL), (NLL), (LNN), (NLN), (NNL), (NNN)}
SUCESOS
Un suceso S es un subconjunto del espacio muestral, es decir, un subconjunto de resultados
elementales del experimento aleatorio.
Diremos que ocurre o se presenta el suceso cuando al realizarse el experimento aleatorio, da
lugar a uno de los resultados elementales pertenecientes al subconjunto S que define el suceso
Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral .
Para designar cualquier suceso, también llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio
utilizaremos letras mayúsculas.
Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio
de sucesos y se designa por .
Ejemplo
En el ejemplo del espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de
los puntos obtenidos, son subconjuntos de :
Salir múltiplo de 5:
Salir número primo:
Salir mayor o igual que 10:
- 5 -
Tipos más Frecuentes de Sucesos.
Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento; es
decir, están formados por un sólo elemento del espacio muestral, por ejemplo, al lanzar un dado
que ocurra el suceso "sacar nº 3" {3}
Sucesos compuestos son los que están formados por dos o más resultados del experimento;
es decir, por dos o más sucesos elementales. Por ejemplo: "sacar número impar al lanzar un
dado" {1, 3, 5}
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por
todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es aquel suceso que nunca se cumple cuando se realiza el experimento. Se
representa por .
Ejemplo
Se considera el sexo de los hijos de las familias de tres hijos. Sea A el suceso el hijo mayor es
una hembra, y B el suceso los dos hijos pequeños son varones. ¿Cuáles son los elementos de A y
B?
Llamando V a ser varón y H a ser hembra, el espacio muestral está formado por los sucesos
elementales:
E= {(VVV),(VVH),(VHV),(HVV),(VHH),(HVH),(HHV),(HHH)}
Y los sucesos A y B son compuestos y están formados por los siguientes sucesos
elementales:
A= {(HHH), (HHV), (HVH), (HVV)}
B= {(VVV), (HVV)}
OPERACIONES CON SUCESOS
Con los sucesos se opera de manera similar a como se hace en los conjuntos y sus
operaciones se definen de manera análoga. Los sucesos a considerar serán los correspondientes a
un experimento aleatorio y por tanto serán subconjuntos del espacio muestral E.
Inclusión de sucesos
Un suceso A está incluido (o contenido) en otro suceso B si todo suceso elemental
perteneciente a A , pertenece también a B. Esta inclusión se representa por A⊂ B.
Si A implica B, entonces A está incluido en B. A⇒ B entonces A⊂ B
- 6 -
Igualdad de sucesos
Diremos que A y B son iguales si: Siempre que ocurre el suceso A también ocurre B y al
revés. Se Representa por: A= B ⇔ (Si y solo sí) A ⊂ B y B ⊂ AUnión de sucesos
Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio,
llamamos suceso unión de A y B al suceso que se realiza cuando lo
hacen A o B. Se representa por A B.
En general, dados n sucesos A1, A2, A3,..., An, su unión es otro suceso formado por los
resultados o sucesos elementales que pertenecen al menos a uno de los sucesos Ai. ¿ i=1¿n Ai
Intersección de sucesos
Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamamos suceso
intersección de A y B al suceso que se realiza cuando lo hacen A y B.
Este suceso intersección está formado por todos los sucesos elementales que
pertenecen a A y a B, al mismo tiempo. Se representa por A ∩ B.
En general, dados n sucesos A1, A2, A3,..., An, su intersección es otro suceso formado por
los resultados o sucesos elementales que pertenecen a todos los sucesos Ai. ¿ i=1¿n Ai
Sucesos Disjuntos, Incompatibles o Excluyentes
Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: Diremos que estos sucesos A y B son
disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes cuando:
No tienen ningún suceso elemental en común o dicho de otra forma, si al verificarse A no se
verifica B, ni al revés. A∩B =∅ o ¿ i=1¿n Ai =∅Sucesos contrarios
Cuando la unión de dos sucesos es el espacio muestral y la intersección de
los mismos conjuntos da el suceso imposible (conjunto vacío), decimos que
ambos sucesos son complementarios o contrarios.
Para un suceso cualquiera A de un experimento aleatorio, llamamos suceso contrario del
suceso A al suceso que se verifica cuando no se verifica A, y viceversa. Se representa por A .
- 7 -
En cualquier espacio muestral, obtenido de la realización de un experimento aleatorio, todo
suceso que se considere tiene su contrario. Las propiedades más significativas de los sucesos
contrarios son:
A A = E A ∩ A = E = ❑ = E
Donde E representa el suceso seguro, compuesto por
todos los sucesos elementales del espacio muestral.
Diferencia de Sucesos
es el suceso formado por todos los elementos de A que no son
de B.
Diferencia Simétrica de Sucesos
Se define como diferencia simétrica de ambos sucesos Ay B a:Otro
suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a A, o a B,
pero que no simultáneamente a ambos.
A B= (A- B) (B- A)A B = (A ∩ B ) ( B ∩A)
Algebra de Boole de Sucesos
La unión y la intersección de sucesos verifican las propiedades siguientes: conmutativa,
asociativa, idempotente, simplificación, distributiva, existencia de elemento neutro y absorción:
Las operaciones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:
Unión Intersección1.
Conmutativa2. Asociativa
3. Idempotente
4. Simplificación5. Distributiva
6. Elemento neutro
7. Absorción
En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes
de De Morgan:
El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:
- 8 -
El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:
Ejemplo:
En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:
A = "sacar un número par". B = {1, 2, 3, 5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5". C = {4, 6} = "obtener un 4 ó un 6". D = {2, 4, 6} = "obtener un 2, 4 ó 6". F = {1, 3} = "obtener un 1 ó un 3". G = "obtener un múltiplo de 3".
o A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
o C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
o B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse B C = E.
o = "sacar un número par" {1, 2, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E. o A G = {2, 4, 6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un
número par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
o B-D = B = {1, 2, 3, 5} {1, 3, 5} = {1, 3, 5} = "obtener un número impar" = . o C y F son incompatibles puesto que C F = Ø.
Ejercicio
Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que
consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los
siguientes sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las
cuestiones siguientes:
Calcula los sucesos y.
Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?
Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:
A = {2, 3, 5,7}
B = {1, 4, 9} A partir de estos conjuntos, tenemos:
1. La unión e intersección de A y B son:
= {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}= Ø
- 9 -
2. Al ser = Ø, los sucesos A y B son incompatibles.
3. El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9}
El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD.
Introducción
Se indicaba en el capítulo anterior que cuando un experimento aleatorio se repite un gran
número de veces, los posibles resultados tienden a presentarse un número muy parecido de veces,
lo cual indica que la frecuencia de aparición de cada resultado tiende a estabilizarse.
El concepto o idea que generalmente se tiene del término probabilidad es adquirido de forma
intuitiva, siendo suficiente para manejarlo en la vida corriente.
Nos interesa ahora la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso A cuando se
realiza el experimento aleatorio. A esta medida la llamaremos probabilidad del suceso A y la
representaremos por p(A).
La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:
• Al suceso imposible le corresponde el valor 0
• Al suceso seguro le corresponde el valor 1
• El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1
El concepto de probabilidad no es único, pues se puede considerar desde distintos puntos de
vista:
• El punto de vista objetivo
o Definición clásica o a priori
o Definición frecuentista o a posteriori
• El punto de vista subjetivo
Definición Clásica de la Probabilidad o Definición de Laplace
Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral E está formado por un
número n finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir
{e1, e2,…, en}.
- 10 -
Si n1 resultados constituyen el subconjunto o suceso A1, n2 resultados constituyen el
subconjunto o suceso A2 y, en general, nk resultados constituyen el subconjunto o suceso Ak de
tal forma que: n1 + n2 +... + nk = n
Las probabilidades de los sucesos A1, A2,..., An son:
p ( A 11 )=n1
n p ( A 12 )=
n2
n …… p ( An )=
nk
n
y el número de casos posibles del espacio muestral E. p( A)= Nº decasos favorables de A
Nº de casos posiblesde E
Observaciones
Para que se pueda aplicar la regla de Laplace es necesario que todos los sucesos elementales
sean equiprobables. Es decir: p(e1) = p(e2) = ... = p(en) y por tanto p(ei)=1/n ∀ i=1,2,...,n
Siendo A={e1, e2, ... , ek} el suceso formado por k sucesos elementales siendo k ≤ n tendremos:
p(A) = ∑j=1
n
P ( e j )=kn= Nº de casos favorables
Nº de casos posibles
Esta definición clásica de probabilidad fue una de las primeras que se dieron (1900) y se
atribuye a Laplace; también se conoce con el nombre de probabilidad a priori pues, para
calcularla, es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y
el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso.
La aplicación de la definición clásica de probabilidad puede presentar dificultades de
aplicación cuando el espacio muestral es infinito o cuando los posibles resultados de un
experimento no son equiprobables. Ej: En un proceso de fabricación de piezas puede haber
algunas defectuosas y si queremos determinar la probabilidad de que una pieza sea defectuosa no
podemos utilizar la definición clásica pues necesitaríamos conocer previamente el resultado del
proceso de fabricación.
Para resolver estos casos, se hace una extensión de la definición de probabilidad, de manera
que se pueda aplicar con menos restricciones, llegando así a la definición frecuentista de
probabilidad.
Definición Frecuentista de la Probabilidad
Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas
condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado (suceso) y el número
total de veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida
- 11 -
como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente de
variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien el
valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.
Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso
a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.
La frecuencia relativa del suceso A:
Propiedades de la Frecuencia Relativa:
1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A. 2. fr( ) = fr(A) + fr(B) si = Ø. 3. fr(E) = 1 fr(Ø) = 0.
Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran
número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.
Definición Subjetiva de la Probabilidad
Tanto la definición clásica como la frecuentista se basan en las repeticiones del experimento
aleatorio; pero existen muchos experimentos que no se pueden repetir bajo las mismas
condiciones y por tanto no puede aplicarse la interpretación objetiva de la probabilidad.
En esos casos es necesario acudir a un punto de vista alternativo, que no dependa de las
repeticiones, sino que considere la probabilidad como un concepto subjetivo que exprese el grado
de creencia o confianza individual sobre la posibilidad de que el suceso ocurra.
Se trata por tanto de un juicio personal o individual y es posible por tanto que, diferentes
observadores tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados, igualmente
válidos.
Definición Axiomática de la Probabilidad
La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación
entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se
realiza el experimento es muy grande.
Dado el espacio muestral E y la α-Algebra A=P(E) diremos que una función p: A → [0,1 ] es
una probabilidad si satisface los siguientes axiomas de Kolmogorov:
- 12 -
Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0.
Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual a la suma de sus probabilidades. = Ø P ( ) = P(A) + P(B) p(A A = p A = p(A )+ p(A )+ ...
La probabilidad total es 1. P (E) = 1.
La terna (E, A, p) formada por el espacio muestral E, la α-Algebra A=P(E) y la
probabilidad p se denomina espacio probabilístico.
Propiedades.
1. P( ) = 1 - P( A )
2. P( Ø ) = 0
3. Si A B P( B ) = P( A ) + P( )
4. Si A B P( A ) P( B )
5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:
P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )
6. P( ) = P( A ) + P( B ) - P( )
7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:
P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )
Ejemplo:
Consideremos el experimento "lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado".
El espacio muestral es E = {1,X,2}.
Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:
P(Ø) = 0
P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3
P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3
P({1,X,2}) = P(E) = 1
Ejercicios
1. En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS
- 13 -
2. En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes
probabilidades de ser extraídas:
P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.
a) ¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.
b) ¿Cuántas cartas hay?
Solución:
a. P( ni REY ni BASTOS )=P( ) P( REY BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4
P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY BASTOS )
Sustituyendo: 0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY BASTOS ) P( REY BASTOS ) = 0.05
Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:P( REY de BASTOS ) = P( REY BASTOS ) = 0.05 = 1/20
b. Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.
3. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:
a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea múltiplo de tres.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?
Solución:El espacio muestral del experimento es: E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)} y está formado por 36 sucesos
elementales equiprobables. Constituyen el número de casos posibles del experimento.
Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A
son:A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.
Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3
- 14 -
Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que dos", los casos favorables al suceso B son:
B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}. Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3
Teoremas Elementales de Probabilidad o Consecuencias de los Axiomas
Los siguientes resultados se deducen directamente de los axiomas de probabilidad.
Teorema ILa probabilidad del suceso imposible es nula P(∅) = 0• Si para cualquier suceso A resulta que P(A)=0 diremos que A es el suceso nulo, pero esto no implica que A= ∅• Si para cualquier suceso A resulta que P(A)=1 diremos que A es el suceso casi seguro, pero esto no implica que A= E
Teorema IIPara cualquier suceso A∈ A=P(A) se verifica que:La probabilidad de su suceso complementario es P(A) = 1 - p(A)
Teorema IIILa probabilidad P es monótona no decreciente, es decir:∀A,B ∈ A=P(A) con A⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) y además P(B - A) = P(B) - P(A)
Teorema IVPara cualquier suceso A ∈ A=P(A) se verifica que: p(A) ≤ 1
Teorema VPara dos sucesos cualesquiera A, B ∈ A=P(A) se verifica que: P( A∪B ) = P(A) + P(B) - p( A∩B )Esta propiedad es generalizable a n sucesos:
Teorema VIPara dos sucesos cualesquiera A, B ∈ A=P(A) se verifica que: P (A∪B) ≤ P(A) + P (B)Esta propiedad es generalizable a n sucesos:
Teorema VIIDada una sucesión creciente de sucesos A1, A2,..., An (representado por { An↑}) se verifica que:
- 15 -
Teorema VIIIDada una sucesión decreciente de sucesos A1, A2,..., An (.representado por { An↓}) se verifica que:
Probabilidad Condicionada
Hasta ahora hemos introducido el concepto de probabilidad considerando que la única
información sobre el experimento era el espacio muestral. Sin embargo hay situaciones en las que
se incorpora información suplementaria respecto de un suceso relacionado con el experimento
aleatorio, cambiando su probabilidad de ocurrencia.
El hecho de introducir más información, como puede ser la ocurrencia de otro suceso,
conduce a que determinados sucesos no pueden haber ocurrido, variando el espacio de resultados
y cambiando sus probabilidades.
Definición
Dado un espacio probabilístico (E, A, p) asociado a un experimento
aleatorio. Sea A un suceso tal que A ∈ A=p(A) y p(A)≥0. Sea B un
suceso tal que B ∈ A=p(A) Se define la probabilidad condicionada de
B dado A o probabilidad de B condicionada a A como:
Regla de Multiplicación de Probabilidades o Probabilidad Compuesta
Partiendo de la definición de la probabilidad condicionada p(B/A) podemos escribir:
P (A∩B) = P(A) P(B / A)
Ejemplo:
Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la
probabilidad de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:
Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1, 3, 5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si
sabemos que ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al
suceso A sólo 1.
Independencia de eventos. Dependencia de eventos.
- 16 -
El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la
probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha
ocurrido, no se modifica la probabilidad del otro, decimos que son independientes y, si se
modifica, decimos que son dependientes entre sí.
Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos
no modifica la probabilidad del otro, es decir, si
P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )
Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos
modifica la probabilidad del otro, es decir, si
P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A )
Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:
Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:
P(A B) = P(A) · P (B)
Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:
P (A B) = P (A) · P (B)
P (A C) = P (A) · P(C)
P (B C) = P (B) · P(C)
P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )
Ejemplo
Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6;
P( )=0.58. a. ¿Son independientes A y B?
b. Si M A, ¿cuál es el valor de P ( / )?
a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) · P( B )
P ( ) = P[(A B)c] = 1 - P(A B)
Por tanto, P(A B) = 1 - P( ) = 1 -0.58 = 0.42
Por otro lado, P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42
- 17 -
Luego, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42
b. M A . Por tanto,
Tablas de contingencia y diagramas de
árbol.
En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta
interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de
árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de
ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente
uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del
problema.
Conversión de una tabla en diagrama de árbol
Las tablas de contingencia están referidas
a dos características que presentan cada una
dos o más sucesos. En el caso de los sucesos
A, , B y , expresados en frecuencias
absolutas, relativas o probabilidades la tabla,
adopta la forma adjunta.
Dicha tabla adopta la forma del diagrama
de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y
.
- 18 -
ATOTA
L
B P( A B ) P( B ) P( B )
P( A )
P( )
P( )
TOTAL
P( A ) P( ) 1
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas
correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:
Conversión de un diagrama en tabla de contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia
equivalente si más que utilizar la expresión
P (BA) = P ( B/A ) · P( A ), para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos
que forman la tabla.
Ejemplo:
Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro
fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio,
automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos:
El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el
3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son
partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.
a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos.
b. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla.
c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?
a. y b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente:
INCENDIO AUTOMÓVIL OTROS TOTALFRAUDULENTOS 6 1 3 10
NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90TOTAL 20 30 50 100
c. Es fácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%.
La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3
Teorema de la Probabilidad total.
- 19 -
Sean n sucesos disjuntos A1, A2,..., An∈ A=P(A) tales que p( Ai )>0 i=1,2,...,n y
tales que forman un sistema completo de sucesos. Para cualquier suceso B∈ A=P(A) cuyas
probabilidades condicionadas son conocidas p( B/Ai ), se verifica que:
ó
Ejemplos:
1.- Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma
que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el
10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un
autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la
probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(Av)=P(L1)P(Av/L1)+P(L2)P(Av/L2)+P(L3)P(Av/L3)= (0.6)
(0.02) + (0.3)(0.04) + (0.1)(0.01) = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025
P(Av)= 0.025
2.- Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus
productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en
cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado
incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?
Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
- 20 -
P (M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) = (0.4)(0.01) + (0.3)(0.02) + (0.2)(0.07) + (0.1)(0.04) = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028 P (M) = 0.028
Teorema de Bayes.
En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una
memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a
partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el
nombre de teorema de Bayes.
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de
ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades
condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:
En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad
condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con
la información del problema, construyas una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.
Ejemplos:
1.- Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber
sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total, P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
- 21 -
c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
2.- Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
- 22 -
Ejercicios.
Ejercicio 1:Con los jugadores de un club de fútbol se forman dos equipos para jugar un partido de entrenamiento; entre los dos equipos se reúnen 6 defensas, 8 medios, 6 delanteros y 2 porteros.El entrenador sabe que en estos partidos, la probabilidad de que se lesione un jugador es 0.22 si es delantero, 0.11 si es medio, 0.055 si es defensa y 0 si es portero.Calcular la probabilidad de que se lesione uno cualquiera de los jugadores en este partido.Si se sabe que un jugador se ha lesionado, determinar la probabilidad de que haya sido un defensa.
Ejercicio 2:Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se pide:Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco.Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón?
Ejercicio 3:En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabe además que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, son mayores de 60 años. Se pide: Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años.Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido.
Ejercicio 4:Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5.¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica?¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes?¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes?Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica?
Ejercicio 5:En una baraja de 40 cartas.
- 23 -
Se toman dos cartas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean de distinto número?Y si se toman tres cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que los tres números sean distintos?
Ejercicio 6:Tenemos un dado con tres "1", dos "2" y un "3". Lo tiramos dos veces consecutivas y anotamos la suma de los resultados. ¿Cuál es el Espacio Muestral?¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4?¿Cuál es la suma más probable? ¿Cuánto vale su probabilidad?
Ejercicio 7:Tenemos dos dados A y B, ambos trucados. En el dado A hay tres "1" y tres "2" y en el dado B hay dos "1" y cuatro "2". Se elige un dado al azar y se tira.¿Cuál es la probabilidad de obtener un "1"?Sabiendo que se ha obtenido un "2", ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido el dado B?
Ejercicio 8:En una caja hay x bolas blancas y 1 bola roja. Al extraer de la caja dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que sean blancas es 1/2. Calcula el número de bolas blancas que debe tener la caja.
Ejercicio 9:El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido al azar.
Ejercicio 10:El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera, 1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidades defectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0.8% y 2%, respectivamente, calcula la probabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.
Ejercicio 11:El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
Ejercicio 12:Se toman dos barajas españolas de 40 cartas. Se extrae al azar una carta de la primera baraja y se introduce en la segunda baraja. Se mezclan las cartas de esta segunda baraja y se extrae una carta, que resulta ser el dos de oros. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta extraída fuese una espada?
Ejercicio 13:
- 24 -
Se echan al aire dos monedas; dé el espacio de muestra designado R =O, A=1 Represente este espacio de muestra por dos coordenadas bidimensionales.
Ejercicio 14:Tres artículos son extraídos, con reposición, de un lote de mercancías; cada artículo ha de ser identificado como defectuoso o no defectuoso. Mencione todos los puntos de muestra posibles para este experimento por un diagrama de árbol.
Ejercicio 15:Un inversor planea escoger dos de las cinco oportunidades de inversión que se le han recomendado. Describa el espacio de muestra que representa las opciones posibles.
Ejercicio 16:Al echar al aire dos monedas, los hechos "dos reversos" y "dos anversos" ¿son mutuamente exclusivos? ¿Son colectivamente exhaustivos?
Ejercicio 17:¿Cuál es la probabilidad de que el Papa viva eternamente?
Ejercicio 18:¿Cuál es la probabilidad de que apruebe usted este curso? ¿Cómo llegó usted a su respuesta?
Ejercicio 19:Compruebe que la probabilidad de obtener 11 con dos dados es 1/18.
Ejercicio 20:Se echa un dado perfecto, Demuestre que la probabilidad de obtener un número par o un número divisible por 3 es 2/3.
Ejercicio 21:Se echan dos dados. Compruebe que la probabilidad de obtener un 7 o un 11 es 2/9.
Ejercicio 22:Una moneda equilibrada es echada hasta que aparece un reverso o hasta que ha sido echada tres veces. Dado que el reverso no aparece en la primera echada, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea echada tres veces?
Ejercicio 23:Un comité de cinco ha de ser escogido al azar, sin reposición, de un grupo de 6 hombres y 4 mujeres. Demuestre que la probabilidad de que se componga a) de dos mujeres y tres hombres es 10/21, y b) de cuatro mujeres y un hombre es 1/42.
Ejercicio 24:Dado dos sucesos E1 y E2 en el espacio muestral S. Sabiendo que P(E1)=1/3, P(B/A)= 1/2, P(A/B)=1/3. Demostrar que la probabilidad que se dé al menos uno de los sucesos E1 ó E2 es igual a 2/3.
Ejercicio 25:
- 25 -
Una caja tiene 3 bolas blancas y 7 negras. Escogemos dos bola y la primera resulta ser de color blanco, ¿Cuál es la probabilidad que la segunda bola sea blanca?
Ejercicio 26:Sea X una variable Aleatoria con función de probabilidad dada por la siguiente tabla:
Xi 0 1 2 3 5 8Pi 0.15 0.2 0.1 0.25 0.18 0.12
Hallar el valor esperado de la variable aleatoria X y su desviación estándar.
- 26 -
1.- VARIABLES ALEATORIAS
En este tema se tratará de formalizar numéricamente los resultados de un fenómeno aleatorio. Por tanto, una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un teléfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente eléctrica, etc.
El estudio que se hará en este tema será análogo al que se hace con las variables estadísticas en descriptiva. Así retomaremos el concepto de distribución y las características numéricas, como la media y varianza. El papel que allí jugaba la frecuencia relativa lo juega ahora la probabilidad. Esto va a proporcionar aspectos y propiedades referentes a fenómenos aleatorios que permitirán modelos muy estudiados en la actualidad.
2.- VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL
Dado un experimento aleatorio y asociado al mismo, un espacio probabilístico (E, Ą, P), una variable aleatoria es una aplicación Χ: Ε → R a cada valor de X, del espacio muestral le hace corresponder un número real. Se dice que X es una variable aleatoria si para cualquier x perteneciente a R, el conjunto de los sucesos elementales le hace corresponder un valor que verifica: X R X(S)≤X.
Ejemplo: Consideramos un experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire tres veces y anotamos el resultado. Se define la variable aleatoria X como número de caras aparecidas en los tres lanzamientos.
a) Calcular el espacio muestral y comprobar que es una variable aleatoria.
b) Calcular los subespacios: {X≤2,75} {0,5≤X≤1,75}
a) La solución es la siguiente,
E= (C,X,X),(X,C,X),(X,X,C),(C,C,X),(C,X,C),(X,C,C),(C,C,C),(X,X,X)
- 27 -
3.-TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas:
o DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que es discreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son puntos aislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo, supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces una moneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X=”número de caras obtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variable aleatoria son finitos (0, 1, 2, 3).
o CONTINUA: La variable aleatoria X será continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertos intervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, si consideramos el experimento aleatoria consistente en medir el nivel de agua en un embalse y tomamos la variable aleatoria X=”nivel de agua”, esta puede tomar valores entre 0 y más infinito.
4.- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Es un modelo teórico que describe la forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio, es decir, nos da todas las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse cuando se realiza un experimento aleatorio. Se clasifican como discretas o continuas. En la distribución de probabilidad discreta está permitido tomar sólo un número limitado de valores. En la continua, llamada función de densidad, la variable que se está considerando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.
4.1.- Distribución de probabilidad discreta
Sea un espacio probabilístico y sea X una variable aleatoria discreta que toma como posibles valores x1,x2,.....xn, se define la distribución de probabilidad de X como el conjunto de pares (xi, pi)
que a cada valor de la variable le asocia una probabilidad, donde pi= P(X=xi), tal que la suma de
todas las probabilidades es igual a la unidad.
Del ejemplo realizado anteriormente se desprende que la distribución de probabilidad viene dada por: (0,1/8); (1,3/8); (2,3/8); (3,1/8).
4.2.- Distribución de probabilidad continua
Si la variable aleatoria es continua, hay infinitos valores posibles de la variable y entra cada dos de ellos se podrían definir infinitos valores. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable como se puede hacer en el caso de las variables discretas. Pero sí es posible calcular la probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución) y cómo cambia esa probabilidad acumulada en cada punto (densidad de probabilidad). Por tanto, cuando la variable aleatoria sea continua hablaremos de función de densidad.
Sea X una variable aleatoria continua, se llama función de densidad y se representa como f(x) a una función no negativa definida sobre la recta real, tal que para cualquier intervalo que estudiemos se verifica:
- 28 -
5.- FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como:
F(x) ó Fx
Para estudiar la función de distribución distinguiremos entre el caso discreto y el caso continuo.
o CASO DISCRETO
Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un espacio probabilístico, se define la función de distribución:
Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, cuya distribución de probabilidad era:
(0 caras, 1/8); (1 cara, 3/8); (2 caras, 3/8); (3caras, 1/8), Calcula la probabilidad de obtener menos dos caras?
Para resolver el problema lo que debemos de calcular es la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores inferiores a dos. Esto viene dado por la expresión
La función de distribución para una variable discreta siempre verifica las siguientes propiedades:
o CASO CONTINUO: Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), se define la función de distribución, F(x), como:
La función de distribución para una variable continua siempre verifica las siguientes propiedades:
- 29 -
Ejemplo: Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad viene dada por f (X), calcula su función de distribución:
6.- PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA
En esta sección estudiaremos, de manera análoga a las variables estadísticas, algunos parámetros de que van a resumir numéricamente las distribuciones de las variables aleatorias, distinguiendo como siempre, para el caso discreto y continuo.
6.1.- Esperanza matemática para una variable aleatoria discreta
Dada una variable aleatoria X que toma valores x1,x2,x3....xn con distribución de probabilidad P (x-xi) = Pi , se define la esperanza matemática de una variable aleatoria como:
Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, cuya distribución de probabilidad era: (0 caras, 1/8); (1 cara, 3/8); (2 caras, 3/8); (3caras, 1/8), calcula la esperanza matemática.
El resultado será:
6.2.- Esperanza matemática para una variable aleatoria continua
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x), se define la esperanza matemática de esa variable aleatoria como:
- 30 -
Tanto para el caso discreto como para el caso continuo, la esperanza matemática presenta las siguientes propiedades:
o Si C es una constante, E(C) = C. o ∀ a, b ∈ R, E(aX + b) = aE(X) + b o Si g(X) es una función de X, entonces:
o Si X es discreta,
o Si X es continua,´
o Si X1, ..., Xn son variables aleatorias, entonces
6.3.- Varianza de una variable aleatoria A continuación vamos a definir la varianza de una variable aleatoria diferenciando para el
caso discreto y continuo. Dada una variable aleatoria X que toma valores x1,x2,x3....xn con
distribución de probabilidad, se define la varianza de X:
Ejemplo: Continuando con el ejemplo anterior, cuya distribución de probabilidad era: (0 caras, 1/8); (1 cara, 3/8); (2 caras, 3/8); (3caras, 1/8), calcula la varianza.
El resultado será:
Propiedades de la Varianza y la Esperanza matemática: Sea X una variable aleatoria e Y otra variable aleatoria tal que Y = a X + b, entonces siempre
se verifica:
- 31 -
Ejercicios Resueltos
1.-Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:a) nº de páginas de un libro → discretab) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continuac) nº de preguntas en una clase de una hora → discretad) cantidad de agua consumida en un mes → continua
2.- La Variable aleatoria x=nº de caras al lanzar tres veces una moneda, toma los posibles valores: de x: 0, 1, 2 y 3. (Función de Probabilidad o de Masa)
Lanzar 3 veces moneda: E= {CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}La variable aleatoria x:
Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX} Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX} Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC} Toma valor 3 cuando {CCC}
La función de probabilidad es:
Función de probabilidad de x:
¿Cuál será la probabilidad de que salgan al menos dos caras?
¿y la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?
3.- Analice la función de distribución o de probabilidad acumulada a la variable: nº caras al lanzar tres veces una moneda.
Función de distribución de x
- 32 -
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3
4.- Lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 euros, si sale una cara recibimos 1 euro y si no sale ninguna cara pagamos 5 euros. ¿Cuál es la ganancia media del juego?
Hallamos la función de probabilidad de la ganancia X en euros:
La ganancia media del juego es la media o esperanza de X
= x1 · p(x1) + x2·p(x2) + x3p(x3)= 3. ¼ + 1. ½ -5. ¼ = 0
Cuando en un juego la ganancia esperada μ = 0 se llama juego justo. Si μ > 0 es un juego con ventaja y si μ < 0 es un juego en desventaja.
5.- Hallar la media (esperanza) varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, dada por la función de probabilidad.
Primero se calcula la media μ μ =0·0,1 + 1·0,2 + 2.0,4 + 3.0,3 =1,9
Calculamos la Varianza δ2=X12.P(X1) + X2
2.P(X2) + X32.P(X4) + X4
2.P(X4)
δ2= 02.0,1 +12.0,2 + 22.0,4 + 32.0,3 = 0,89
Finalmente calculamos la desviación típica estándar δδ = δ2 = 0,89 = 0.94
Consultar para Variables Aleatoriashttp://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_2/aleatorias.pdf
- 33 -
Xi 3 1 -5Pi(Xi
)¼ ½ ¼
Xi 0 1 2 3Pi(Xi
)0,1 0,2
0,4
0,3
