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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA VICE RECTORADO BARQUISIMETO DIRECCION ACADEMICA DEPARTAMENTO: INGENIERIA INDUSTRIAL SECCION: ADMINISTRACION ASIGNATURA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROFESOR: Ing. EDUARDO JOSE PINTO TROCONIS GUIA DE ACTIVIDADES. UNIDAD I Introducción a la Teoría de Probabilidad. Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de forma predecible, de modo que podemos describir con certeza su comportamiento. Ejemplo: Un software de computador. Sistemas Probabilísticas: Son sistemas con un comportamiento no predecible, sujetos a incertidumbre. Ejemplos: La Inflación, El Sistema Económico Mundial, las Organizaciones. Nota: La mayoría de los sistemas son de naturaleza probabilística, allí radica la importancia de la estadística. Experimento Estadístico: Proceso del cual se derivan una serie de resultados de naturaleza aleatoria. Ejemplo: Observar el número de personas que hablan por el celular mientras manejan, en la Av. Lara, Lanzar un dado y observar el resultado que se presentan en la cara superior. Los estudiosos de la estadística frecuentemente manejan: Datos Numéricos o Experimentales (Variables): Producto de conteo o mediciones. Ejemplo: Los números 1,3,4,5

Guia de-probabilidad

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICAVICE RECTORADO BARQUISIMETO

DIRECCION ACADEMICA

DEPARTAMENTO: INGENIERIA INDUSTRIALSECCION: ADMINISTRACIONASIGNATURA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPROFESOR: Ing. EDUARDO JOSE PINTO TROCONIS

GUIA DE ACTIVIDADES. UNIDAD I

Introducción a la Teoría de Probabilidad.

Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de forma predecible, de modo que podemos describir con certeza su comportamiento. Ejemplo: Un software de computador.

Sistemas Probabilísticas: Son sistemas con un comportamiento no predecible, sujetos a incertidumbre. Ejemplos: La Inflación, El Sistema Económico Mundial, las Organizaciones.

Nota: La mayoría de los sistemas son de naturaleza probabilística, allí radica la importancia de la estadística.

Experimento Estadístico: Proceso del cual se derivan una serie de resultados de naturaleza aleatoria. Ejemplo: Observar el número de personas que hablan por el celular mientras manejan, en la Av. Lara, Lanzar un dado y observar el resultado que se presentan en la cara superior.

Los estudiosos de la estadística frecuentemente manejan:

Datos Numéricos o Experimentales (Variables): Producto de conteo o mediciones. Ejemplo: Los números 1,3,4,5 representan los accidentes laborales en los 4 primeros meses del año

Datos Categóricos o de Atributos: Pueden de clasificarse de acuerdo a algún criterio o característica de calidad. Ejemplo: N,D,N,N,D representan los artículos defectuosos y no defectuosos cuando se inspecciona una muestra aleatoria de 5 de ellos.

Donde: N: No defectuoso. D: Defectuoso

Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posible de un experimento estadístico. Se representa por el símbolo “S”A cada resultado del espacio muestra se le denomina punto muestral.En referencia al experimento que consiste en lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior, el espacio muestral S de resultados posibles es:

S = {1,2,3,4,5,6 }

Si “S” finito o infinito contable, se le denomina Espacio Muestral DiscretoSi “S” constituye un intervalo real o unión de intervalos reales, se le denomina Espacio Muestral Continuo

Ejemplos: Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara

superior, el espacio muestral “S” es discreto finito, pues: S = {1,2,3,4,5,6 }

Lanzar una moneda hasta que salga cara, el espacio muestral “S” es discreto infinito, pues:

S = {c,sc,ssc,sssc,ssssc,… }. Si medimos el tiempo que transcurre hasta que falla un componente

electrónico, el espacio muestral “S” es continuo, pues:S = {0,∞ }.Para un número considerable de puntos Muestrales, resulta práctico expresar el espacio muestral como una regla o enunciado:Ejemplo:

El número de puntos internos en una circunferencia de radio 3 con centro en el origen

S = { (x,y / x2 + y2 <= 9; x>0, y>0}En experimentos de muestreo, que implican la selección artículos de un lote debemos considerar si la selección se lleva a cabo:

Sin Reemplazo: El artículo seleccionado no se coloca de nuevo en el lote, antes de seleccionar el siguiente.Con Reemplazo: El artículo seleccionado se coloca de nuevo en el lote, antes de seleccionar el siguiente.Ejemplo: Un lote contiene tres artículos {1, 2,3}.el experimento consiste en seleccionar dos de ellosSi el experimento se lleva a cabo Sin Reemplazo: S = {12, 13, 21, 23, 31,32}Si el experimento se lleva a cabo Con Reemplazo: S = {12, 13, 21, 23, 31, 32, 11, 22,33}

Evento: De manera frecuente, el interés recae en un conjunto particular de resultados, así un evento constituye un subconjunto del espacio muestral en un experimento estadístico. El evento se simboliza con una letra mayúscula distinta de la “S” que la utilizamos para simbolizar el espacio muestralEjemploAl lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior y verificar que el mismo sea un número par:A = {2, 4, 6}

Complemento: El complemento de un evento A, denotado por A’ es el conjunto formado por todos aquellos elementos (puntos muestrales) pertenecientes a “S” que no están en A.Ejemplo: En referencia al ejemplo anterior el evento complementario se verifica si sucede un número impar:A’ = {1, 3, 5}En algunos casos expresaremos eventos a través de operaciones básicas de conjunto, tales como intersecciones, uniones y complementos. A continuación se definen de manera sencilla algunas de las operaciones básicas con conjuntos, a saber:La Unión de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los resultados que están en A o están en B o en ambos. La Intersección de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los resultados que están en A y están en B .

Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.

1)a. ¿Cuántos números de 3 dígitos pueden formarse con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6?, si cada uno puede utilizarse una sola vez?b. ¿Cuántos de estos números son nones?c. ¿Cuántos de ellos son mayores que 330?

2)a. ¿De cuántas maneras pueden formarse 5 personas en una fila?b. ¿Si 3 de ellas insisten en colocarse juntas?c. ¿Si 2 de ellas rehúsan estar juntas?

3) De un grupo de 4 hombres y 5 mujeres, ¿Cuántos comités de 3 miembros son posibles?

a) Sin restricciones?b) Con 1 hombre y 2 mujeres?c) Con 2 hombres y una mujer si un cierto hombre debe

estar en el comité?

4) Del 1 al 775 ¿Cuántas veces aparece el número siete?

5)     Un restaurante ofrece cebolla, salsa, mostaza y picante como condimento para su agregado a una hamburguesa simple 

a) a)       Cuántas clases de hamburguesas puede preparar si los sabores se clasifican en: sin sabor, con uno, con dos, tres o cuatro condimentos a la vez?

* Del 1 al 2000 cuantas veces aparece el número 9

PROBABILIDAD

1) Un dado se construye de tal forma que un 1 o un 2 ocurren dos veces más frecuentemente que un 5, mismo que se presenta, mismo que se presenta tres veces más seguido que un 3, un 4 o un 6. Si el dado se lanza una vez, encuentre la probabilidad de que:

a) El número sea par.b) El número sea mayor que 4.

*2) Un envío de 20 libros contiene el 20 % de libros mal compaginados.

a-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y no recibir defectuosos? .b-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir a lo sumo 2 defectuosos? c-. ¿Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir al menos 2 defectuosos?

3) En una escuela se graduaron 100 estudiantes:54 Estudiaron Matemática69 Estudiaron Historia.35 Ambas Materias.SI se selecciona una persona al azar. Calcule la probabilidad de que:

a.- Se haya dedicado a Historia o Matemática?.b.- No haya cursado ninguna de estas materias?c.- Haya estudiado Historia pero no Matemática?

PROBABILIDAD CONDICIONAL

1) La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de Tv es 0,4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga es 0,5. La probabilidad de que un hombre vea un programa dado que su esposa lo hace es 0,7. Encuentre:

Probabilidad de que una pareja de casados no vea el programa. Probabilidad de que una esposa vea el programa dado que su

esposo lo hace.

EVENTOS INDEPENDIENTES 3.- En una zona se cuenta con dos carros de bomberos que operan

independientemente. La probabilidad de que el vehículo 1 este disponible cuando se le necesite es 0,96, la probabilidad de que el vehículo 2 no este disponible es 0,10?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno este disponible en caso necesario?

b) ¿Cual es la probabilidad de que alguno este cuando se le necesita?

3.1 Una máquina robótica de inserción contiene 10 componentes primarios. La probabilidad de que cualquier componente falle en el período de garantía es 0,01. Suponga que los componentes fallan de manera independiente y que la máquina falla cuando alguno de sus componentes falla. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina falle durante el período de garantía

*3.2 Un vendedor de seguros vende pólizas a cinco hombres todos de idéntica edad y de corazón en perfecto estado. De acuerdo con una tabla actuarial, la probabilidad de que un hombre que llegue vivo a la edad de 30 años, teniendo veinticinco, es 2/3. Obtenga la probabilidad de que a los treinta años no sobrevivan:a) Los cinco hombres. b) Al menos tres hombres.3) A lo sumo dos hombres.

*3.3 Barquisimeto y Maracay están compitiendo para la sede de los próximos juegos deportivos. Cada uno ofrece sus servicios de instalaciones deportivas, alojamiento y alimentación .Las probabilidades de que Barquisimeto le gane la sede a Maracay son 0.7 en Instalaciones Deportivas, 0,4 en alojamiento y 0,4 en alimentación. Para obtener la sede las ciudades deben ser sometidas a pruebas de servicios y ganar

no menos dos de ellas (no hay empate). ¿Barquisimeto tendrá la mayor probabilidad de ganar la sede? ¿Cuantifique dicha probabilidad?

TEOREMA DE BAYES

4-. Una fábrica de zapatos piensa lanzar al mercado un nuevo modelo de calzado casual. Por experiencia sabe que el 70% de las veces ha tenido éxito cuando el estudio de mercado ha sido bien realizado y 20% si la investigación estuvo mal orientada. Además, estima que el estudio de mercado está bien elaborado en el 80% de los casos. Si resultó que el calzado tuvo éxito, ¿cuál es la probabilidad de que el estudio de mercado haya sido bien realizado? A propósito, ¿cuál es la probabilidad de que el nuevo calzado tenga éxito?

4.1 La alineación entre la cinta magnética y la cabeza de un sistema de almacenamiento en cinta magnética afecta el desempeño del sistema. Suponga que el 10% de las operaciones de lectura se ven atenuadas por una alineación oblicua, el 5 % de ellas son atenuadas por una alineación descentrada, y que las demás operaciones de lectura se realizan de manera correcta. La probabilidad de un error en la lectura por una alineación oblicua es 0,01, por una alineación descentrada 0,02 y 0,001 por una alineación correcta.

a. ¿Cuál es la probabilidad de tener un error de lectura?b. Si se presenta un error de lectura. ¿Cual es la probabilidad de que

se deba a una alineación oblicua?

* 4.2 Se sabe que un suero de la verdad que se aplica a un sospechoso es 90% confiable cuando la persona es culpable y 99% cuando es inocente. En otras palabras, 10 % de los culpables se juzgan inocentes por el uso de este suero y 1% de los inocentes, culpable. Si se selecciona un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales solo 5% ha cometido un crimen, y el suero indica que es culpable, ¿Cuál es la probabilidad de que sea inocente?

*4.3 Una explosión en un tanque de almacenamiento de LNG en el curso de una reparación podría haber ocurrido como resultado de electricidad estática, mal funcionamiento del equipo eléctrico, una llama fuera de control en un contacto con el revestimiento o una acción deliberada (sabotaje industrial). Las entrevistas con los ingenieros que analizaron los riesgos implicados condujeron a estimaciones de que una explosión de este tipo ocurría con una probabilidad de 0,25 como resultado de electricidad estática, de 0,20 a causa de mal funcionamiento del equipo eléctrico, de 0,40 como resultado de una llama de control y 0,75 como consecuencia de acción deliberada. Estas entrevistas también ofrecieron

estimaciones subjetivas de probabilidades anteriores de estas cuatro causas de 0,30; 0,40; 0,15 y 0,15 respectivamente. ¿Cuál fue la causa más probable de la explosión?

* Ejercicios aplicados en exámenes

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GUIA DE ACTIVIDADES II UNIDADVARIABLES ALEATORIAS.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

Variable Aleatoria:

Def: Función que asocia un número real a cada resultado del espacio muestral de un experimento aleatorio.

Las Variables Aleatorias se denotan con una letra mayúscula, (X,Y,etc) y los valores puntuales que asumen con una letra minúscula (x,y,etc); Ejemplo: P(X=x) (Probabilidad de que la variable X asuma el valor x)

Una Variable Aleatoria Discreta es una variable con un rango finito (o infinito contable), es decir, si se puede contar su conjunto de resultados posibles. Ej: Nº de Unidades Defectuosas, Nº de Accidentes Laborales al año, Nº de Paradas por Fallas Mecánicas, etc.

Def: La función f (x) = P(X=x), definida, para el conjunto de valores positivos de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0,1] recibe el nombre de función de probabilidad

Para una variable Aleatoria X, la función de probabilidad, función masa de probabilidad o función de densidad f (x) satisface las siguientes propiedades:

1. f (x) ≥ 0.2. Σ f (x) = 1.3. P (X=x) = f (x)

EJEMPLOS:

1) Un embarque de 5 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Se realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el número de unidades buenas que se adquieren. Encuentre la distribución de probabilidad de X.

2) Un Sistema de inspección óptica es capaz de distinguir cuatro partes distintas. La probabilidad de clasificar de manera correcta cualquier parte es 0,98. suponga que se inspeccionan tres partes y que la clasificación de éstas es independiente. Sea la variable aleatoria X el número de partes clasificadas correctamente. Determine la función de probabilidad

Si el Rango de una variable aleatoria X contiene un intervalo (ya sea finito o infinito) de números reales, entonces X es una Variable Aleatoria Continua ,

Def: La función f (x) es una función de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de los números reales sí

1. f (x) ≥ 0. para toda x є R

2. ∫-∞f (x) = 1. 3. P (a <X < b) = ∫a f (x)

∞b

1-. El número total de horas, medida en unidades de 100 horas que una familia utiliza un automóvil durante un año se puede expresar mediante la siguiente función de densidad:

x, 0< x < 10100

f(x) = 20-x, 10 x < 20100

0, en cualquier otro caso.

Encuentre la probabilidad de que en un período de un año una familia utilice su automóvil:

a) menos de 1.300 horas ( 2 puntos)b) entre 450 y 1450 horas ( 2 puntos ).c) Más de 1800 horas ( 1 punto )

3) 2.- Considere la función de densidad

k√x , 0<x<1f(X) = 0 en cualquier otro caso.

a) Evalúe Kb) Encuentre F(X) y utilícela para evaluar P(0.3 <X<0.6)

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GUIA DE EJERCICIOS.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCION BINOMIAL.

1) Un examen de opción múltiple contiene 20 preguntas cada una con cuatro respuestas. Suponga que un estudiante sólo adivina las respuestas.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta más de 15 preguntas?b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste de manera correcta Menos de cinco preguntas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste de manera correcta al

menos 3 preguntas?d) Cuál es la probabilidad de que conteste de manera correcta entre

3 y 5 preguntas?e) ¿Cuál es el número promedio de respuestas correctas?

2) Una persona pasa todas las mañanas a la misma hora por un crucero donde el semáforo está en verde el 20 % de las veces. Suponga que cada mañana representa un ensayo independiente

a. En cinco mañana consecutivas ¿Cuál es la probabilidad de que el semáforo esté en verde exactamente un día?b. En 20 mañanas, ¿Cuál es la probabilidad de que el semáforo esté en verde exactamente cuatro días?c. En 20 mañanas ¿Cuál es la probabilidad de que el semáforo este en verde más de cuatro días?

DISTRIBUCION GEOMETRICA

1) La probabilidad de que la calibración de un transductor en un instrumento electrónico cumpla con las especificaciones del sistema de medición es 0,6. Suponga que los intentos de calibración son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que se requieran como máximo tres intentos para satisfacer las especificaciones del sistema de medición?

2) La probabilidad de que una persona apruebe el examen escrito para obtener la licencia es 0,6. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen.

a) En el tercer intento.b) Antes del cuarto intento.c) ¿Cuál es el número promedio de veces antes de aprobar el

examen?

DISTIRBUCION HIPERGEOMETRICA

1) Un lote de 75 arandelas contiene cinco en las que la variabilidad en el espesor alrededor de la circunferencia es inaceptable. Se toma una muestra al azar de 10 arandelas sin reemplazo.

a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las arandelas inaceptables se encuentre en la muestra?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las arandelas inaceptables se encuentre en la muestra?

c) ¿Cuál es el número promedio de arandelas inaceptables en la muestra?

DISTRIBUCION DE POISSON

1) El número de mensajes que se envían por computadora a un boletín electrónico es una variable aleatoria de Poisson con media de 5 mensajes por hora?

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba cinco mensajes en una hora?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba 10 mensajes en una hora y media?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el boletín reciba menos de 2 mensajes en media hora?

2) En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

3) El número promedio de plagas de campo por hectárea en un campo de trigo de 5 hectáreas se estima que es de 15. Encuentre la probabilidad de que menos de 10 ratas de campo se encuentren:

a) En una Ha de terreno determinada.b) En 2 de las siguientes tres Ha inspeccionadas.

DISTRIBUCION NORMAL

1) Un Ingeniero se traslada diariamente de su casa en Cabudare a su sitio de trabajo en el Centro de la ciudad. En Promedio el viaje le toma 25 minutos con una desviación estándar de 4 minutos. Asuma que la distribución de los tiempos de traslado está normalmente distribuida.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un traslado le tome al menos ½ hora?

b) Si la oficina abre a las 9:00 A.M. y él sale de su casa a las 8:45 A.M. diariamente ¿Qué porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo?

c) ¿Probabilidad de que un traslado le tome entre 15 y 35 minutos?

d) Encuentre el período arriba del cual se encuentra el 10 % de los traslados más rápidos.

e) Encuentre la probabilidad de que 3 de los siguientes cinco viajes le tomen al menos ½ hora.

2) El peso de un moderno zapato deportivo para correr tiene una distribución normal con media 12 onzas y desviación estándar de 0,5 onzas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el zapato pese más de 13 onzas?

b) ¿Cuál debe ser la desviación estándar del peso para que la compañía que los produce pueda garantizar que el 99.9 % de los zapatos tienen un peso menor que 13 onzas?

c) Si la desviación estándar permanece en 0.5 onzas ¿Cuál debe ser el peso promedio de los zapatos para que la compañía pueda afirmar que el 99.9 % de ellos pesa menos de 13 onzas?

3) Las especificaciones de cierto trabajo implican limpiadores con un diámetro interior de 0.300 +/- 0.005 pulgadas. Si los diámetros interiores de los limpiadores suministrados por un proveedor pueden considerarse como una variable aleatoria con distribución normal con media igual a 0.302 pulgadas y desviación estándar igual a 0.003 pulgadas.

a) ¿Qué porcentaje de estos limpiadores cumplirán las especificaciones? b) Calcule la probabilidad de que 7 de los siguientes 10 limpiadores cumplan con las especificaciones de diámetro interno c)¿La empresa reclama al proveedor cuando más del 15% de los limpiadores tienen un diámetro interior fuera de especificaciones. En este caso. ¿Hay reclamos por parte de la empresa? ¿Por qué? d. Si hay otro proveedor que puede suministrar los limpiadores, pero actualmente los ofrece con un diámetro interior medio 0.303 pulgadas, pero con una desviación estándar igual a 0.002 pulgadas. ¿Qué porcentaje de estos limpiadores no cumplirán las especificaciones?

e.-¿Cuál proveedor ofrece el mejor producto? ¿Por qué?

F.-A partir de que valor comienza el 5% de los diámetros interiores menores.

DISTRIBUCION EXPONENCIAL

1) Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años se modela como una variable aleatoria distribuida exponencialmente, con tiempo promedio de falla β = 5. Si 4 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas (Independientes), ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 continúen funcionando después de 8 años?

2) El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de artículos para plomería tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 15 minutos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada entre 5 y 10 minutos después de haber abierto la empresa?

c. ¿Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir una llamada en ese lapso sea 0,90?

*3) Suponga que cierto sistema contiene 3 componentes que funcionan independientemente unos de otros y que están conectados en serie de forma que el sistema falla tan pronto como uno de los componentes falla. Suponga que el tiempo de vida del primer componente medido en horas, tiene una distribución exponencial con parámetro =10, el tiempo de vida del segundo componente tiene una distribución exponencial con parámetro = 30 y el tiempo de vida del tercero tiene una distribución exponencial con parámetro = 60. Determine la confiabilidad del sistema para 90 Hrs

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DEPARTAMENTO: INGENIERIA INDUSTRIAL.SECCION: ADMINISTRACION.ASIGNATURA: ESTADÍSTICA INDUSTRIAL.PROFESOR: Ing. EDUARDO JOSE PINTO TROCONIS

GUIA DE ACTIVIDADES III UNIDAD

ESTIMACION POR INTERVALOS

1) Un Ingeniero Civil hace pruebas de resistencia a la compresión del concreto. Para ello examina 12 especimenes y obtiene los siguientes datos:

2216 2237 2249 2204 2225 23012281 2263 2318 2255 2275 2295

a. ¿Construya un Intervalo de confianza del 95% para la resistencia promedio?

b. Calcule el Error estándar de la estimaciónc. Que tamaño de muestra garantiza con un 95 % de

confianza una estimación de μ que difiera en un máximo de 3,15

2) Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas en dos diferentes máquinas de extrusión. Para ello se toman dos muestras aleatorias son de tamaño n1= 15 y n2= 18; las medias y las varianzas muestrales son x1= 8.73, s12 = 0.35, x2 = 8,68 y s22= 0.40, respectivamente. Suponga que ambas varianzas poblacionales son iguales. Construya un intervalo del 95 % para la diferencia en el diámetro promedio de la varilla

3) El administrador de un lote de automóviles prueba dos marcas de cauchos. Para ello asigna al azar un caucho de cada marca a las dos ruedas posteriores de ocho automóviles, y

luego corre los automóviles hasta que las llantas se desgastan. Los datos que indican el rendimiento en Kilometraje aparecen en la siguiente tabla. Encuentre un Intervalo del 99 % para la diferencia en el tiempo promedio de duración. Con base a estos cálculos ¿Qué caucho preferiría?

Automóvil Marca 1 Marca 21 36925 343182 45300 422803 36240 355004 32100 319505 37210 380156 48360 478007 38200 378108 33500 33215

INTERVALO DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES

1) Un fabricante de calculadoras electrónicas está interesado en estimar la fracción de unidades defectuosas producidas. Se toma una muestra aleatoria de 800 calculadoras, de las cuales 10 resultan defectuosas. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para la fracción de calculadoras defectuosas.

2) Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños de corto alcance. El sistema actual tiene una p= 0,8 como probabilidad de un lanzamiento exitoso. Una muestra de 40 lanzamientos experimentales se realiza con el nuevo sistema y 34 de ellos tienen éxito.

3) Determine un intervalo de confianza del 95 % para p.4) ¿Consideraría ud que el nuevo sistema es mejor?

d) Una firma de cigarros asegura que su Marca A de cigarros sobrepasa en ventas a su marca B en 8 %. Si se encuentra que 42 de 200 fumadores prefieren la Marca A y 18 de 150 fumadores prefieren la marca B, calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las proporciones de ventas de las dos marcas y determine si la diferencia del 8 % es válida.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA VARIANZAe) Un fabricante de baterías para automóvil asegura que sus

baterías duran, en promedio, 3 años con una varianza de 1 año. Si 5 de estas tienen duraciones de 1.8, 1.6, 3.0, 4.0 y 3.5 años, determinar un intervalo de confianza del 95 % para la varianza e indique si es válida la afirmación del fabricante. Suponga que la población de las duraciones de las baterías se distribuye aproximadamente en forma normal.

5) Se quiere estimar un intervalo de confianza al nivel de significación α =0,05 para la varianza de la altura media de los individuos de una ciudad. En principio sólo sabemos que la distribución de las alturas es una v.a. X de distribución normal. Para ello se toma una muestra de n=25 personas y se obtiene

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PRUEBA DE HIPÓTESIS

1) Se estudia el rendimiento de un proceso químico. De la

experiencia previa con este proceso, se sabe que la desviación

estándar del rendimiento es 3. En los cinco días anteriores de

operación de la planta, se han observado los siguientes

rendimientos: 91,6%, 88.75%, 90,8% 89.95%, y 91.3%. Utilice α =

0.05. ¿Existe evidencia de que el rendimiento no es del 90 %?

2) Una muestra aleatoria de 8 cigarros tiene un contenido

promedio de nicotina de 4.2 mg y una desviación estándar de 1.4

mg. ¿Esta esto de acuerdo con la afirmación de que el contenido

promedio no excede de 3.5 mg?. Suponga que la distribución de los

contenidos de nicotina es normal.

3) Un fabricante afirma que la resistencia promedio a la tensión

de los tornillos A exceden la de los tornillos B al menos en 12

kilogramos. Para probar esta afirmación, se examinan 10 piezas de

cada tipo de tornillo bajo condiciones similares. El tornillo tipo A tuvo

una resistencia promedio a la tensión de 86.7 Kg con una

desviación estándar de 6,28 kg, mientras para el tornillo tipo B estos

mismos parámetros fueron 77.8 kg y 5.61 kg, respectivamente.

Compruebe la afirmación del fabricante utilizando un nivel de

significancia de 0.05.

4. Se cree que al menos 60% de los residentes en una cierta área

favorece una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué

conclusión sacaría usted si sólo 110 en una muestra de 200

votantes favorece el acta? Utilice un nivel de significancia de 0.01

5. Una firma de cigarros distribuye dos marcas. Si se encuentra que

56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150

fumadores prefieren la marca B. Puede concluirse en el nivel de

significancia de 0.06 que la marca A aventaja en ventas a la marca

B

6. Un fabricante de Instrumentos de precisión afirma que la

desviación estándar en el uso de sus equipos es de 0.00002 mm

como máximo. Un analista que no conoce esta afirmación, utiliza el

instrumento ocho veces y obtiene una desviación estándar muestral

de 0.00005 mm.

a. Si se utiliza α = 0.01, ¿la afirmación del fabricante está

justificada?

7. Un fabricante de tabletas para el dolor desea demostrar que

su producto surte efecto dos veces más rápido que el de los

competidores. De manera específica, al fabricante le gustaría

probar

Ho: μ1 = 2μ2

H1: μ1 > 2μ2

Donde μ1 es el tiempo de absorción promedio del producto de la

competencia μ2 es el tiempo de absorción promedio del nuevo

producto. Suponga que las varianzas poblacionales son conocidas.

Desarrolle un procedimiento de prueba para esta hipótesis

Pruebas para la igualdad de dos varianzas

1) Dos compañías de compuestos químicos pueden surtir materia

prima. La concentración de un elemento particular es la misma,

pero se sospecha que la variabilidad en la concentración puede

diferir entre las dos compañías. La desviación estándar en la

concentración de una muestra aleatoria de n1 = 15 lotes

producidos por la compañía 1 es s1 = 4,7 g/l, mientras que la

compañía 2, en una muestra aleatoria de n2=20 lotes proporciona

una s2= 5.8 g/l. Existe evidencia suficiente para concluir que la

varianza de las dos poblaciones son diferentes

2) Se dice que un generador de números seudoaleatotorios de

modo que los enteros 0 a 9 tengan la misma probabilidad de

ocurrencia. Los primeros 10000 números son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

967 1008 975 1022 1003 989 1001 981 1043 1011

a. ¿El generador trabaja de manera apropiada? Utilice α = 0.01