1. ŠTO JE GRAF? (obavezno)

Graf je uređen par G=(V,E) gdje je Ø ≠ V = V(G) skup vrhova, E = E(G) skup bridova

disjunktni s V, a svaki brid e ∈ E spaja dva vrha u,v ∈ V koji se zovu krajevi od e. Kažemo

da su tada vrhovi u i v incidentni s e, a vrhovi u i v susjedni i pišemo e = {u,v}. Bridove s bar

jednim zajedničkim krajem zovemo incidentnim.

2. BRIDOVI, VRSTE BRIDOVA (obavezno)

Brid čiji se krajevi podudaraju se zove petlja, a ako su krajevi različiti onda je to pravi brid ili

karika. Dva brida ili više njih s istim parom krajeva se zovu višestruki bridovi.

3. RED, VELIČINA

Dva osnovna parametra vezana uz konačni graf su:

v(G) = |V(G)| = red od G = broj vrhova od G

e(G) = |E(G)| = veličina od G = broj bridova od G

4. KUBNI, BIPARTITNI, POTPUNI GRAF (obavezno)

Graf određen vrhovima i bridovima kocke se zove kubni graf.

Potpun bipartitni graf je jednostavan bipartitni graf s biparticijom (x,y) u kojem je svaki vrh iz

x spojen sa svakim vrhom u y.

Graf je bipartitan (ili dvodijelan) ako mu se skup vrhova može particionirati u dva skupa x i y

tako da svaki brid ima jedan kraj u x, a drugi u y.

Potpuni graf je jednostavan graf u kojem je svaki par vrhova spojen bridom.

5. IZOMORFIZAM GRAFA (obavezno)

Grafovi G i H su izomorfni i pišemo G ≈ H ako postoje bijekcije α : V(G) →V(H) i β : E(G)

→E(H) tako da je vrh v incidentan s bridom e u G ako i samo ako je α(v) incidentan s β(e) u

H. Uređeni par f=( α, β) : G→H se tada zove izomorfizam iz G u H.

6. MATRICE KOJE OPISUJU GRAF I NJIHOVA SVOJSTVA

Neka je G graf s vrhovima v1,v2,...,vn i bridovima e1,e2,...,em. Matrica incidencije je

pravokutna n x m matrica M = M(G) = [mij] gdje je mij = broj (0,1 ili 2) koliko su puta vi i ej

incidentni. Ova matrica potpuno određuje graf. Matrica susjedstva je kvadratna n x n matrica

A = A(G) = [aij] gdje je aij = broj bridova koji spajaju vi i vj. Matrica susjedstva je simetrična

matrica, a ako je graf jednostavan onda na dijagonali ima nule, a ostali elementi su 0 ili 1.

7. PODGRAF, NADGRAF, RAZAPINJUĆI PODGRAF

Neka su G i H grafovi. Ako je V(H) ⊆ V(G) i E(H) ⊆ E(G), a svaki brid iz H ima iste krajeve

u H kao što ih ima u G, onda kažemo da je H podgraf od G i pišemo H ⊆ G, a G zovemo

nadgraf od H. Ako je H ⊆ G i H ≠ G, onda pišemo H ⊂ G i zovemo pravi podgraf od G.

Podgraf H ⊆ G, za koji je V(H) = V(G), zovemo razapinjući podgraf od G. Podgraf H ⊆ G

koji je potpun zove se klika u G.

8. UNIJA, PRESJEK GRAFA, ODSTRANITI

Unija dvaju podgrafova G1,G2 ⊆ G je podgraf G1 ⋃ G2 čiji je skup vrhova V(G1) ⋃ V(G2), a

skup bridova E(G1) ⋃ E(G2).

Presjek dvaju podgrafova G1,G2 ⊆ G je podgraf G1 ⋂ G2 sa skupom vrhova V(G1) ⋂ V(G2) i

skupom bridova E(G1) ⋂ E(G2).

„Odstraniti“ se odnosi na uklanjanje bridova, odnosno vrhova iz grafa. Ako uklonimo neki

vrh, onda moramo ukloniti sve bridove koji su incidentni s njim, dok kod odstranjivanja

bridova uklanjamo samo bridove, a vrhovi ostaju.

9. ULAMOVA SLUTNJA (4/5)

Jedan od nerješenih velikih problema u teoriji grafova je tzv. problem rekonstrukcije, a

potječe od Stanislava Ulama, pa se iskazuje kao Ulamova slutnja. Ako su G i H grafovi s n (≥

3) vrhova u1,u2,...,un i v1,v2,...,vn redom i ako su za svako i podgrafovi Gi = G - ui i Hi = H - vi

izomorfni, onda su G i H izomorfni.

10. KONTRAKCIJA, MINORA

Osim odstranjivanja i dodavanja bridova, postoji i operacija kontrakcije brida. Kažemo da je

brid e ∈ E(G) kontraktiran ako je odstranjen, a njegovi vrhovi identificirani. Takav graf

označavamo sa G/e.

Minora grafa G je bilo koji graf dobiven iz G nizom sljedećih operacija i odstranjivanjem

vrhova ili bridova, te kontrakcijsom bridova.

11. STUPANJ GRAFA I SRODNI POJMOVI U bilo kojem grafu G je stupanj od v broj dG(v) bridova od G incidentnih sa v, pri čemu se

svaka petlja računa kao dva brida. Ako je G jednostavan graf, onda definiramo stupanj vrha v,

dG(v) kao broj susjeda od v.

α : = α (G) : = min dG(v) ....min stupanj grafa v ∈ V(G)

β : = β (G) : = max dG(v) ....max stupanj grafa v ∈ V(G)

Graf G je d – regularan ako je d(v) = d za svaki v ∈ V(G), a regularan ako je d – regularan za

neko d ≥ 0 . Vrh v je izoliran ako je d(v) = 0, a list ako je d(v) = 1.

Propozicija = u svakom je grafu G = (V, E) zbroj svih stupnjeva jednak dvostrukom broju

bridova:

∑ d(v) = 2 e(G) v ∈ V

Dokaz. Neka je M matrica incidencije grafa G, pa izračunajmo sumu njenih članova na dva

načina: tako da zbrojimo retke i stupce. Suma članova retka od M koji odgovara vrhu v je

d(v), a suma svakog stupca je 2. Zapišemo li M = [mve], v ∈ V, e ∈ E, tada imamo:

12. LEMA O RUKOVANJU

U svakom je grafu broj vrhova neparnog stupnja paran broj.

Dokaz. Konstruirajmo graf na sljedeći način - vrhovi su svi članovi skupa, a dva vrha spojimo

bridom ako i samo ako su se ti članovi rukovali. Po propoziciji = u svakom je grafu G = (V,

E) zbroj svih stupnjeva jednak dvostrukom broju bridova, imamo

∑ d(v) = 2 e(G) v ∈ V

∑ d(v) + ∑ d(v) = 2 e(G) v ∈ V (d(v) - paran) v ∈ V (d(v) - neparan)

Prva suma i desna strana su parni nenegativni cijeli brojevi pa i druga suma mora biti

takva ⇒ ∑ d(v) = 2n n ∈ Z+

v ∈ V (d(v)-neparan)

Kako su sumandi neparni, mora ih biti paran broj

⇒ |{v ∈ V : d(v) neparan}| je paran broj

⇒ broj vrhova neparnog stupnja je paran broj

13. GRAFIČKI NIZ, KADA JE NIZ GRAFIČKI ...bez dokaza

Niz brojeva d = (d1,d2,..., dn) ∈ N0n, d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn je grafički ako postoji jednostavan graf

čiji je niz stupnjeva d.

Propozicija = niz d = (d1,d2,..., dn) ∈ N0n, d1 ≤ d2 ≤ ... ≤ dn, n≥2 je grafički ako i samo ako je

niz d' = (d1',d2',..., dn-1') grafički, gdje je:

di , za i < n - dn di' = {

di -1 , za i ≥ n - dn

14. ŠETNJE U GRAFU I SRODNI POJMOVI (obavezno)

Šetnja u grafu G je niz W : = v0e1v1e2....ekvk čiji su članovi naizmjence vrhovi vi i bridovi ei,

tako da su krajevi od ei vrhovi vi-1 i vi, 1 ≤ i ≤ k. U jednostavnom je grafu šetnja potpuno

određena samo nizom svojih vrhova v0,v1,...,vk. Kažemo da je v0 početak, a vk kraj šetnje W

ili da je W šetnja od v0 do vk. Vrhovi v1,v2,...,vk-1 su unutarnji vrhovi šetnje, a broj k se zove

duljina šetnje W. Šetnja W je zatvorena ako je v0 = vk. Ako su svi bridovi e1,e2,...,ek šetnje W

međusobno različiti, onda se W zove staza, a ako su na stazi svi vrhovi v0,v1,....vk različiti

onda se zove put.

15. MINIMALNI STUPANJ I DULJINA ŠETNJE, CIKLUS (4/5)

Šetnja minimalne duljine je nužno put. Zatvorena staza pozitivne duljine čiji su vrhovi

međusobno različiti zove se ciklus. Udaljenost dG(u,v) dvaju vrhova u i v u grafu G je duljina

najkraćeg puta (u,v) u G.

Dijametar grafa G je maksimalna udaljenost među njegovim vrhovima. Ciklus je paran ako je

parne duljine, inače je neparan.

Propozicija = neka je G jednostavan graf minimalnog stupnja δ. Tada:

G sadrži put P duljine ≥ δ

ako je δ ≥ 2, G sadrži ciklus C duljine ≥ δ+1

Dokaz = neka je P : = v0,v1,...,vk maksimalni put u G, tj. onaj koji se ne može dalje

produljiti ni na jednom kraju. Tada su svi susjedi od v0 u P. Neka je K : = max {i | v0v1 ∈

E }. Tada je K ≥ d(v0) ≥ δ. Zato je P duljine ≥ δ, a ako je δ ≥ 2, onda je C : = v0,v1,...,vkv0

ciklus duljine ≥ δ+1. v0 ne smije imati susjeda od v0... vk jer bi onda put mogli produljiti.

16. POVEZANOST GRAFA I SRODNI POJMOVI (obavezno)

Graf je povezan ako su svaka dva njegova vrha povezana nekim putom. Komponenta

povezanosti grafa G je maksimalno povezan podgraf od G. Ako graf ima samo jednu

komponentu povezanosti, onda je povezan. Broj komponenti povezanosti od G označavamo

sa c(G).

17. PREBROJAVANJE ŠETNJI I ODREĐIVANJE UDALJENOSTI POMOĆU

MATRICE SUSJEDSTVA (4/5)

Propozicija. Neka je A=A(G)=[aij] matrica susjedstva grafa G. Tada je (i,j)-ti član l-te

potencije Al jednak broju (vi,vj)-šetnji u G duljine l. Zato je broj svih šetnji na G duljine l

jednak sumi svih članova od Al....(„sve je malo slovo L“)

Dokaz. (Indukcijom po l – „malo slovo L“). Šetnja duljine l (broj 1) između dvaju vrhova

znači da su dva vrha povezana bridom, pa za l („malo slovo L“) = 1 (broj 1) tvrdnja

Propozicije slijedi iz definicije matrice susjedstva. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za k-1 i

dokažimo je za k. Neka je A(k)

ij (i,j)-ti član matrice Ak. Tada je (n=v(G)):

Svaka (vi,vj)-šetnja duljine k se sastoji od (vi,vr)-šetnje duljine k-l, gdje je vr neki susjed

od vj i brida vr vj.

Po pretpostavci indukcije, broj (vi,vr)-šetnje duljine k-l je jednak A

(k-1)ir, pa je prema

(pravilima umnoška i zbroja) broj (vi,vj)-šetnji duljine k jednak

18. VEZA IZMEĐU BIPARTITNOSTI GRAFA I CIKLUSA...bez dokaza

Graf G = (V, E) je bipartitan ako i samo ako ne sadrži neparne cikluse.

19. KARAKTERIZACIJE STABLA...samo iskaz (obavezno)

Neka je G = (V, E) jednostavan graf. Tada su sljedeće tvrdnje ekvivalentne:

a) G je stablo

b) jedinstvenost putova: za svaka dva vrha x,y ∈ V postoji jedinstveni (x,y) – put u G

c) G je povezan, a za svako e ∈ E(G), G - e je nepovezan

d) G nema ciklusa, a dodavanjem bilo kojeg brida e ∈ (V povrh 2) \ E, graf G + e sadrži

ciklus (tj. stablo je maksimalni graf bez ciklusa)

e) Graf je povezan i vrijedi v(G) = e(G) + 1, odnosno Eulerova karakteristika ϰ (G) : =

v(G) - e(G) + 1 = 2

20. KARAKTERIZACIJE STABLA...dokaz

Za dokaz nam trebaju dvije leme:

a) LEMA 1 (o listovima). Netrivijalno stablo T ima bar dva lista.

Dokaz. Neka je P= v0e1v1....elvl put u stablu T maksimalne duljine. Njegova je duljina barem

1, pa je v0 ≠ vl. Tvrdimo da su v0 i vl listovi. Pretpostavimo npr. da v0 nije list. Tada postoji

brid e=v0v ≠ el. Ako v ∉ {v0,...,vl}, onda se put P može produžiti bridom e, a ako je v = vi , za

neko i≥2, onda [(v0vi)-dio od P] + e čini ciklus. U oba slučaja dobivamo kontradikciju.

b) LEMA 2 (rast stabla). Neka je G jednostavan graf, a v ∈ V list. Tada su slijedeće

tvrdnje ekvivalentne:

(i) G je stablo;

(ii) G - v je stablo.

Dokaz. (i) ⇨ (ii). Treba pokazati da G – v nema ciklusa i da je povezan. Kako G nema

ciklusa, očito ni G – v nema ciklusa. Neka su x,y dva vrha iz G – v. Kako je G povezan, onda

postoji (x,y) – put u G. Taj put ne može sadržavati vrh stupnja 1 različit od x,y, pa ne

sadrži v. Zato je sadržan u G – v, pa je G – v povezan.

(ii) ⇨ (i). Neka je G – v stablo. Vraćanjem lista v natrag ne možemo stvoriti ciklus jer inače v

ne bi bio list. Očito je i da je G povezan. Ako su x,y ∈V(G) oba različita od v, onda su oni

povezani putom već u G – v, a ako je npr. y=v, onda (x,y) – put dobijemo tako da do jedinog

susjeda v' od v konstruiramo (x,v') – put u G – v i tome dodamo brid v'v.

Dokaz teorema 2.

Postoji 5 tvrdnji: a,b,c,d i e. Potrebno je pokazati da su one ekvivalentne = a b , a c, a

d i a e, odnosno dokaz ćemo provesti indukcijom po broju vrhova.

• ab (a implicira b)

Graf G je jednostavan i povezan graf. Iz svaka dva vrha postoji jedinstven put (ne više njih).

Pretpostavimo da postoje 2 različita puta od u do v, kao na slici:

Ovim postupkom dobijemo ciklus, a stablo je po definiciji acikličan graf (kontradikcija).

• ba (b implicira a)

Treba dokazati da je stablo povezan i acikličan graf. Da je povezan to je očito, a da je

acikličan, jednostavno pretpostavimo da graf sadrži cikluse:

Dobijemo dva puta, a ne jedan jedinstveni put (kontradikcija).

• ac (a implicira c)

Pretpostavimo da postoji brid e čijim uklanjanjem graf ostaje povezan.

Ako graf ostaje povezan uklanjanjem brida e onda to znači da postoji neki drugi put

(kontradikcija).

• ca (c implicira a)

Tvrdnja pod c već kaže da je graf povezan. Pretpostavimo da graf sadrži cikluse

Uklonimo brid, a graf i dalje ostaje povezan (kontradikcija).

• ad (a implicira d)

Graf je stablo, to znači da je acikličan graf. Pretpostavimo da postoji brid čijim dodavanjem

ne dobijamo ciklus

Dodavanjem novog brida ne smije postojati novi put od u do v, a to je u proturječju da je graf

stablo.

• da (d implicira a)

Dovoljno je dokazati da je graf G povezan, što ćemo dobiti tako da obrnemo zaključak iz

dokaza ad. Neka su x i y dva vrha, tada su oni ili povezani bridom e = xy, a ako nisu onda

graf G + e sadrži ciklus. Uklanjanje brida e iz tog ciklusa daje (x,y) – put u G.

• ae (a implicira e)

Graf je stablo, jasno je da je povezan.

Ako jedan vrh 0 bridova (1=0+1)

Neka vrijedi za sve G v-1 vrhova (Po lemi o listovima sadrži bar 2 lista)

(POGLEDAT JE LI DOBRO NAPISANO, MIJEŠAJU SE L,e i 1)

Vrijedi:

V(G-L)=e(G-L)+1

V(G)-1=e(G)-1+1

V(G)=e(G)+1

• ea (e implicira a)

Graf G je povezan. Ima li cikluse ? Ako ima, potrebno je ukloniti jedan brid i graf će i dalje

biti povezan. Treba pokazati da je graf acikličan

G0=G

G1=G0-e0

G2=G1-e1

G3=G2-e2

.

.

.

Gk=Gk-1-Gk1 ( PROVJERITI JE LI OVO DOBRO!!!)

Prije ili kasnije dolazimo do acikličnog grafa.

Vrijedi V(Gk)=e(Gk)-1

Za početni graf je vrijedilo:

V(G0)=e(G0)-k-1

V(G0)=e(G0)-1 | oduzmemo

______________

0=0-k

k=0

ovim smo dokazali da nije obrisan niti jedan brid tj. polazni graf je od početka bio stablo.

21. VEZE BROJA BRIDOVA, KOMPONENTI I VRHOVA U ŠUMI

Korolar. Za svaku je šumu G

e(G) – v(G) + c(G) = 0

Dokaz. Šuma je disjunktna unija od konačno mnogo stabala. Ako je c(G) = 1, onda je G

stablo, pa se ta formula svodi na v(G) = e(G) + 1, koja za stablo vrijedi zbog Teorema 2(e).

Uporabom te činjenice induktivno po c(G) zaključujemo da ona vrijedi općenito.

Raspisan dokaz. Šuma je unija disjunktnih stabala.

T1,T2,....,Tc - stabla

e1,e2,.....,ec - bridovi

v1,v2,.....,vc - vrhovi

Kako je T1 stablo onda vrijedi: e1-v1+1 = 0

Kako je T2 stablo onda vrijedi: e2-v2+1 = 0

. .

. .

. .

Kako je Tc stablo onda vrijedi: ec-vc+1 = 0

______________________________________

e – v + c = 0 (gdje je e zbroj bridova u cjeloj šumi,v

zbroj vrhova u cijeloj šumi i c broj stabala u šumi).

22. ODNOS BROJA BRIDOVA I VRHOVA KOJI IMPLICIRA POSTOJANJE

CIKLUSA

Korolar. Ako za graf G vrijedi e(G) ≥ v(G), onda G sadrži ciklus.

Dokaz. Kad bi G bio acikličan, onda bi iz e(G) – v(G) + c(G) = 0, e(G) ≥ v(G) i činjenice

c(G) ≥ 1 slijedilo 0 ≤ e(G) – v(G) = - c(G) ≤ - 1, kontradikcija.

23. REZNI BRID I KARAKTERIZACIJA

Rezni brid grafa G je brid e ∈ E(G) za koji je c(G - e) > c(G), tj. čijim se izbacivanjem graf

raspada na više komponenti povezanosti. (Podebljane linije su rezni bridovi).

Propozicija. Brid e ∈ E(G) je rezni ako i samo ako nije brid ciklusa iz G.

Dokaz. ⇨: Ako je e rezni brid, onda je c(G – e) > c(G), pa postoje vrhovi u,v ∈ V koji su

povezani putom u G, ali ne u G – e. Zato postoji (u,v) – put P u G koji prolazi bridom e. Neka

su x,y krajevi od e tako da x prethodi vrhu y na putu P. Vrh u je u G – e povezan s x dijelom

puta P, a y je u G – e povezan s v dijelom od P. Kad bi e bilo u ciklusu C, onda bi x,y bili

povezani u G – e putom C – e, pa bi u i v bili povezani u G – e, što je kontradikcija.

⇦ : Neka e nije u ciklusu i pretpostavimo da e = xy nije rezni brid u G. Tada je c(G - e) =

c(G). x i y su u istoj komponenti jer su povezani bridom e = xy. Zato su x i y u istoj

komponenti od G – e, pa postoji (x,y) – put P u G – e. No, tada je e u ciklusu P + e od G, što

je kontradikcija.

24. KARAKTERIZACIJA STABLA POMOĆU REZNIH BRIDOVA

Korolar. Povezani graf G je stablo ako i samo ako je svaki brid u G rezni.

Dokaz. ⇨: Ako je G stablo i e ∈ E(G), onda zbog acikličnosti od G, e nije sadržan u ciklusu,

pa je prema propoziciji „brid e ∈ E(G) je rezni ako i samo ako nije brid ciklusa iz G“, e rezni

brid u G.

⇦ : Pretpostavimo da je G povezan, ali da nije stablo. Tada G sadrži ciklus C. Prema

propoziciji „brid e ∈ E(G) je rezni ako i samo ako nije brid ciklusa iz G“, ni jedan brid od C

ne može biti rezni brid od G, što je kontradikcija s pretpostavkom.

25. RAZAPINJUĆA STABLA I ŠUME

Razapinjuće stablo (ili kičma) grafa G je razapinjući podgraf (tj. sadrži sve vrhove) koji je

stablo.

Korolar. Svaki povezani graf ima razapinjuće stablo. Stoga svaki graf ima razapinjuću šumu

sa jednakim brojem komponenti kao polazni graf.

Dokaz. Neka je G povezan graf. Promotrimo skup svih povezanih razapinjućih podgrafova od

G. Taj je skup neprazan jer npr. sadrži G. Neka je T minimalni element tog skupa s obzirom

na inkluziju. Tada je c(T) = 1, a c(T - e) > 1 za svaki e ∈ E(T). Zato je svaki brid od T rezni

brid od T, pa kako je T povezan, iz tvrdnje „povezani graf G je stablo ako i samo ako je svaki

brid u G rezni“, slijedi da je T stablo.

Na svakoj komponenti grafa možemo primjeniti postupak iz ovog dokaza i dobijemo

razapinjuće stablo za tu komponentu. Time smo za cijeli graf dobili razapinjuću šumu sa

jednakim brojem komponenti koje je imao polazni graf.

26. ŠTO SADRŽI SVAKI POVEZANI GRAF?

Korolar. Ako je G povezan graf, onda je e(G) ≥ v(G) – 1.

Dokaz. Ako je G povezan, onda zbog tvrdnje „svaki povezani graf ima razapinjuće stablo“,

pa iz teorema 2 (e) slijedi e(G) ≥ e(T) = v(T) – 1 = v(G) – 1

27. ŠTO SADRŽI STABLO PLUS JEDAN BRID? (4/5)

Propozicija. Neka je T razapinjuće stablo povezanog grafa G, a e ∈ E(G)\E(T). Tada T + e

sadrži jedinstveni ciklus.

Dokaz. Kako je T aciklički, svaki ciklus od T + e sadrži e. Nadalje, C je ciklus od T + e ako i

samo ako je C – e put u T koji spaja krajeve od e. Prema Teoremu 2 (b), T ima jedinstveni

takav put. Zato T + e sadrži jedinstveni ciklus.

28. BRIDNI REZ, REZNI VRH, VRŠNI REZ

Bridni rez od G je podskup od E(G) koji je oblika [S,S'], gdje je Ø ≠ S ⊆ V, S' = V\S.

Minimalni neprazni bridni rez od G zove se vez. Svaki rezni brid e daje rez {e}. Ako je G

povezan, onda je rez B od G minimalni podskup od E(G) tako da je G – B nepovezan. Ako je

G bez petlji i netrivijalan (tj. v(G) ≥ 2), onda je v vezni vrh od G ako i samo ako je c(G - v) >

c(G). Vršni rez je podskup S ⊆ V(G), tako da je G – S nepovezan.

29. STABLA I REZNI VRHOVI

Propozicija. Vrh v stabla G je rezni ako i samo ako je d(v) > 1.

Dokaz. Ako je d(v) = 0, G je točka, pa v nije rezni vrh. Ako je d(v) = 1, G – v je aciklički graf

s v(G - v) – 1 bridova, pa je prema Teoremu 2 (e) G – v stablo. Stoga je c(G - v) = 1 = c(G),

pa v nije rezni vrh od G.

Ako je d(v) > 1, onda postoje susjedni vrhovi u ≠ w od v i zbog Teorema 2 (b) put uvw je

jedinstven (u,w) – put. Stoga ne postoji (u,w) – put u G – v, pa je c(G - v) > 1 = c(G). Stoga je

v rezni vrh u G.

30. BROJ RAZAPINJUĆIH STABALA

Propozicija. Neka je e karika u grafu G. Tada je T(G) = T(G - e) + T(G/e)

Dokaz. Neka je T razapinjuće stablo povezanog grafa G. Ako e ∉ E(T), onda je T razapinjuće

stablo od G – e. Obratno, svako razapinjuće stablo od G – e očito je i razapinjuće stablo od G

koje ne sadrži e. Stoga je T(G - e) broj razapinjućih stabala od G koja ne sadrže e. Ako je T

razapinjuće stablo od G koje sadrži e, onda njemu odgovara razapinjuće stablo T/e od G/e.

31. DIGRAF, OSNOVNI POJMOVI, POVEZANOST, STUPANJ (obavezno)

Usmjereni graf ili digraf D je graf G u kojem svaki brid ima smjer od početka prema kraju. D

se još zove orjentacija od G i pišemo D = G. Brid s početkom u, a krajem v je uređeni par

(u,v) i katkad pišemo u → v. Kaže se još da je a = uv luk od u prema v. Dva ili više luka s

istim početkom i krajem zovu se višestruki lukovi. Striktni digraf je onaj bez višestrukih

lukova i petlji. Digraf D je slabo povezan ako je pripadni graf povezan, a jako povezan ako za

svaka dva vrha u,v ∈ V(D) postoji (u,v) i (v,u) – diput. Komponenta digrafa je komponenta

pripadnog grafa od D, a jaka komponenta digrafa D je maksimalni jako povezan poddigraf od

D. Za razliku od grafova, ovdje imamo dvije vrste stupnjeva vrha. Neka je v vrh digrafa D.

Definiramo instupanj (ulazni stupanj) dD-(v) i outstupanj (izlazni stupanj) dD

+(v) kao broj

lukova s krajem, odnosno početkom v.

32. LEMA O RUKOVANJU STABLJIKA

Propozicija. Neka je D digraf sa skupom vrhova V = V(D) i skupom lukova A = A(D), tj. D

= (V,A), a e(D) = |A(D)|. Tada je

∑ d-(v) = e(D) = ∑ d

+(v)

v ∈ V v ∈ V

Matrica susjedstva digrafa D na skupu vrhova V(D) = {v1,v2,...,vn} je (n x n) – matrica A(D)

= [aij], gdje je aij broj lukova u D s početkom u vi i krajem u vj. Digraf je acikličan ako ne

sadrži diciklus. Stabljika je orjentacija stabla u kojem jedan vrh ima instupanj 0, a svi drugi

instupanj 1.

33. EULEROV GRAF (obavezno)

Eulerova tura na grafu je zatvorena staza koja sadrži svaki brid. Znači, to je zatvorena staza

koja prolazi svakim bridom točno jedanput. Graf je Eulerov ako dopušta Eulerovu turu.

Eulerova staza je staza koja prolazi svakim bridom grafa točno jedanput (a ne mora biti

zatvorena).

34. KARAKTERIZACIJA EULEROVOG GRAFA (4/5)

Teorem. Povezani graf G je Eulerov ako i samo ako mu je svaki vrh parnog stupnja.

Dokaz. Neka je C Eulerova tura na G. Svaki put kada C uđe u vrh v, mora i izaći iz v.

Točnije, ako fiksiramo jednu orjentaciju obilaska Eulerovom turom C, onda se skup bridova

incidentnih s v može particionirati u dva skupa: ulazeći i izlazeći iz v i među njima postoji

bijekcija. Slijedi da moramo imati ukupno paran broj bridova.

Glavni trik je da pogledamo najdužu moguću stazu u G i dokažemo da je to Eulerova tura.

Neka je T = (v0,e1, v1,..., em,vm) najduža staza duljine m. Dovoljo je dokazati da je:

(i) v0 = vm

(ii) E(G) = {e1,e2,...,em}

Pretpostavimo da je vm ≠ v0. Tada je v0 incidentan s neparnim brojem bridova iz T. No, kako

je dG(v0) paran, postoji brid e ∈ E(G)\E(T) incidentan s v0, pa bi T mogli produžiti tim bridom,

što je u kontradikciji s izborom T. Time smo dokazali (i).

Za dokazati (ii), uzmimo prvo da je V(T) ≠ V(G) i neka je u ∈ V(G)\V(T). Kako je G

povezan, slijedi da postoji brid e = vvk, v ∉ V(T), vk ∉ V(T). Tada imamo stazu

(v,e,vk,ek+1,vk+1,...,vm-1,v0,e1,v1,...,ek,vk) duljine m+1, što je kontradikcija s izborom T.

Ako je V(T) = V(G), a E(T) ≠ E(G), neka je e ∈ E(G)\E(T). Tada je e oblika e = vkvl za neke

k,l. Sad imamo stazu (vk,ek+1,vk+1,...,vm-1,v0,e1,v1,...,ek,vk,e,vl) duljine m+1, što je opet

kontradikcija.

35. KARAKTERIZACIJA GRAFOVA S EULEROVOM STAZOM (4/5)

Korolar. Povezan graf G ima Eulerovu stazu, ako i samo ako ima najviše dva vrha neparnog

stupnja.

Dokaz. Ako G ima Eulerovu stazu, onda svaki vrh koji nije početak ni kraj te staze ima parni

stupanj. Ako G ima najviše dva vrha neparnog stupnja, onda ih ima 0,1 ili 2. Ako ih ima 0, tj.

svi su parnog stupnja, onda G ima zatvorenu Eulerovu stazu. Kako je

∑ d(v) = 2 e(G), ne može biti samo jedan vrh neparnog stupnja, pa ako ih uopće ima, mora ih

biti točno dva, npr. u i v. Neka je e = uv novi brid, pa promotrimo graf G + e. U tom su grafu

svi vrhovi parnog stupnja, pa ima Eulerovu turu T. Tada je t – e Eulerova staza u G.

36. HAMILTONOV PUT I CIKLUS (obavezno)

Hamiltonov put na grafu je razapinjući put, tj. put koji sadrži sve vrhove grafa, a Hamiltonov

ciklus je razapinjući ciklus grafa. Graf je Hamiltonov ako ima Hamiltonov ciklus.

37. DIRACOV TEOREM (bez dokaza)

Teorem. (Dirac) Neka je G jednostavan graf s n ≥ 3 vrhova i minimalnim stupnjem δ ≥ n/2.

Tada je G Hamiltonov graf.

38. KOROLAR DIRACOVOG TEOREMA (dokaz) (4/5)

Korolar. Ako je G jednostavan graf s n vrhova i δ ≥ (n-1)/2, onda G ima Hamiltonov put.

Dokaz. Za n = 1, tvrdnja je trivijalna. Za n ≥ 2, dodajmo vrh v. Graf H = G + v ima n+1 vrh i

minmalni stupanj δ ≥ (n+1)/2. Iz Diracovog teorema slijedi da H ima Hamiltonov ciklus C.

Tada je C – v Hamiltonov put u G.

Raspisan dokaz. Ako neki graf G ima stupanj: SG 2

1n

Ako nacrtamo neki novi graf G' on će izgledati kao graf G, ali ćemo svim vrhovima dodati

novog susjeda.

Sad vrijedi da je SG' 2

11

2

1

nn

Ako G' ima Hamiltonov ciklus onda kad uklonimo vrh dobijemo Hamiltonov put u grafu G.

39. OSNOVNI POJMOVI O POVEZANOSTI GRAFOVA (obavezno) Vršna i bridna povezanost grafova su dva parametra koji mjere jačinu povezanosti grafa. Graf

je povezan ako se svaka dva vrha mogu povezati putom u grafu. Graf je jako povezan ako

njegovu povezanost ne možemo uništiti uklanjanjem malog dijela grafa, tj. ako između svaka

dva vrha ima puno disjunktnih putova. Familija (x,y) – putova u grafu je bridno disjunktna

ako nikoja dva puta nemaju zajednički brid, a unutarnje disjunktna ako nikoja dva nemaju

unutarnji zajednički vrh. Graf G s barem dva vrha je k-bridno povezan ako se svaka dva vrha

mogu povezati s barem k-bridno disjunktnih putova, a k-povezan ako se svaka dva vrha mogu

povezati s barem k unutarnje disjunktnih puteva. Graf s jednim vrhom je i k-bridno i k-

povezan za k=0,1. Znači, svaki je graf 0-povezan, a 1-povezan ako i samo ako je povezan.

Kako su unutarnje disjunktni putovi i bridno disjunktni, slijedi da je k-povezan ujedno i k-

bridno povezan graf.

40. MENGEROV TEOREM (bez dokaza)

(i) Neka je G graf, a x i y dva vrha. Tada je maksimalni broj bridno disjunktnih (x,y)-puteva u

G jednak minimalnom broju bridova bridnog reza koji separira x i y.

(ii) Neka su x,y nesusjedni vrhovi grafa G. Tada je maksimalni broj unutarnje disjunktnih

(x,y)-puteva u G jednak minimalnom broju vrhova u vršnom rezu od G koji separira x i y.

Prema tome, možemo reći da je povezanost grafa najmanji broj vrhova čijim izbacivanjem

preostali graf postaje nepovezan.

41. BOJENJE VRHOVA I BRIDOVA

Neka je G graf, a k ∈ N zadan broj. Tada je k-bojenje vrhova funkcija c: V(G) → {1,2,..,k}

koja svakom vrhu pridruži jednu od k boja. Ako je c(v)=i, kažemo da je vrh v obojen bojom i.

Bojenje c je pravilno ako su susjedni vrhovi različito obojeni. Samo grafovi bez petlji

dopuštaju pravilno bojenje. Graf je k-obojiv ako dopušta pravilno k-bojenje. Graf je 1 –

obojiv ako i samo ako je prazan, a 2 – obojiv ako i samo ako je bipartitan. Pravilno bridno

obojan graf je onaj kojem dva incidentna brida nemaju jednaku boju. Kromatski broj bojanja

grafa je najmanji broj za koji postoji pravilno bojanje.

42. PLANARAN GRAF, SRODNI POJMOVI (obavezno)

Graf je planaran ako se može nacrtati u ravnini R2 tako da mu se bridovi sijeku samo u

vrhovima, odnosno ako dopušta smještanje u ravninu. To znači da postoji funkcija f koja

svakom vrhu od G pridružuje točku u ravnini R2,a svakom bridu e jednostavnu krivulju f(e) ⊂

R2 tako da se f(e1) i f(e2) sijeku u točki T ako i samo ako je T = f(v) za neki vrh incidentan s e1

i e2 u G. Graf koji je već tako smješten u ravninu se zove ravninski, tj. to je uređeni par (G,f)

gdje je G planarni graf,a f smještanje od G u ravninu. Graf koji nije planaran se zove

neplanaran graf.

43. EULEROVA FORMULA

Teorem. Neka je G povezan ravninski graf. Tada je Eulerova formula od G

ϰ(G) : = v(G) – e(G) + f(G) = 2

Neka je dan broj vrhova v. Indukcijom po broju bridova – ako je e > v-1, (ako je e = v-1 graf

je stablo), pa vrijedi v-(v-1)+1=2. Sada pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za e' te da vrijedi i za

e' + 1.

v – e' +f = 2, kad se poništi zbog minusa vrijedi: v-1+1=2.

44. POSLJEDICE EULEROVE FORMULE (3)

Propozicija.

a) Sva ravninska smještenja danog povezanog planarnog grafa imaju isti broj strana

b) Jednostavni planaran graf G s n≥3 vrhova ima najviše 3n-6 bridova

c) Jednostavni planaran graf G ima vrh stupnja najviše δ≤5.

Dokaz.

a) Neka su G i H dva ravninska smještenja nekog povezanog grafa. Tada je G ≈ H, pa je

v(G) = v(H), a e(G) = e(H), pa slijedi:

b) Neka je G povezan i smješten u ravninu. Kako je G jednostavan, to je d(f) ≥ 3, za svaki

f ∈ F(G), pa slijedi :

d) Neka je n = V(G). Ako je n ≥ 2, to je trivijalno, a za n ≥ 3 iz b) slijedi:

45. KARAKTERIZACIJA PLANARNIH GRAFOVA (4/5)

Teorem. Graf G je planaran ako i samo ako ne sadrži subdiviziju od K5 i K3,3.

Teorem. Graf G je planaran ako mu ni K5 ni K3,3 nisu minore.

46. SPARIVANJA U GRAFU, OSNOVNI POJMOVI (4/5)

Sparivanje u grafu je podskup M ⊆ E bridova koji su karike, a nikoja dva nisu susjedna.

Kažemo da su dva kraja brida u M sparena u M. Sparivanje od M zasićuje vrh v ili se kaže da

je vrh M-zasićen ako je neki brid iz M incidentan s v. U suprotnom je M-nezasićen. Ako je

svaki vrh iz G M-zasićen, kažemo da je M savršeno sparivanje. M je maksimalno sparivanje

ako ne postoji sparivanje M ' za koje je |M '| > |M|. Savršeno sparivanje je i maksimalno

sparivanje.