Click here to load reader

Geometrija Za 1 Razred Matematicke Gimnazije

  • View
    3.840

  • Download
    61

Embed Size (px)

Text of Geometrija Za 1 Razred Matematicke Gimnazije

Milan MitroviSran Ognjanovi Mihailo Veljkovi Ljubinka Petkovi Nenad Lazarevi za prvi razred Matematike gimnazije Milan Mitrovi Sran Ognjanovi Mihailo VeljkoviLjubinka Petkovi Nenad Lazarevi Geometrija za I razred Matematike gimnazije Udbenik sa zbirkom zadataka Drugo dopunjeno izdanje Beograd 1998 Autori:Milan Mitrovi, mr Sran Ognjanovi, mr Mihailo Veljkovi, Ljubinka Petkovi, Nenad Lazarevi, profesori Matematike gimnazije u Beogradu GEOMETRIJA ZA PRVI RAZRED MATEMATIKE GIMNAZIJE Drugo dopunjeno izdanje Izdava: "KRUG", Beograd Za izdavaa: Marijana Ivanovi Recenzenti: dr Dragoslav Ljubi, docent Matematikog fakulteta u Beogradu dr Rade Doroslovaki, profesor Tehnikog fakulteta u Novom Sadu Obrada na raunaru: Milan Mitrovi Korektura: autori Korice: Milan Mitrovi Predgovor Ovaknjiganapisanajepremanastavnomplanuiprogramuzapredmet geometrija, za prvi razred Matematike gimnazije u Beogradu. Formalno,gradivojeizloenotakodaseneoslanjanaprethodno znanje iz geometrije. Prvadvapoglavljavezanasuzaaksiomatskouvoenjegeometrije. Detaljno se izuavaju posledice aksioma incidencije i paralelnosti, dok se kod preostalih grupa aksioma posledice uglavnom ne dokazuju. Treeipetopoglavljeodnosesenapodudarnostaestonanjenu primenu u konstruktivnim zadacima. UetvrtompoglavljuuvedesevektoriidokazujeseTalesova teorema. Usedmompoglavljurazmatrajuseizometrijsketransformacije,i izvrena je njihova klasifikacija. Osmoidevetopoglavljeodnosesenaslinostiinverziju,adeseto predstavlja uvod u trigonometriju, i to samo pravouglog trougla.Nakrajuveinepoglavljadatjeizvestanbrojzadatakazavebu. Meunjimaimaizadatakasatakmienjamladihmatematiara,kaoi tvrenja koja imaju i svoj istorijski znaaj. Gruparaznihzadatakanalazisenakrajuknjige.Utompoglavlju zadacinamernonisuporeanipooblastima,aliestoteimzadacima prethode pomoni.Kododreenihpoznatihteoremaiproblema,datesuikratke istorijskenapomene,toininamse,pomaeuenicimadasagledaju razvoj geometrije kroz vekove. PosebnosezahvaljujemorecenzentimadrDragoslavuLjubiuidr Radetu Doroslovakom. Takoe se zahvaljujemo i svimakoji su, na bilo koji nain doprineli izgledu udbenika, a naroito dr Zoranu Luiu i mr PredraguJaniiukojisuproitalideloverukopisa,ipomoglisanizom korisnih primedbi i sugestija. Autori Predgovor drugom izdanju Drugoizdanjedopunjenojesadvenoveglave:Reenjazadatakai Dodatak. Prvaodtihglavasadrireenjaiuputstvaodreenogbroja karakteristinihzadataka.Napominjemodatizadacinisupopravilu najtei u knjizi.GlavaDodataksadriteoremeidokazeteorema,kojesvojim sadrajemiliteinomoptereujuosnovnideoknjige.Natajnain rastereenjeredovnideoudbenika,aostavljenajemogunostdase proitaju izostavljeni delovi. Oznaka * u redovnom delu udbenika ukazuje na Dodatak. NakrajujedatiIndeks,kojimoeitaocupomoiulakem nalaenju uvedenih pojmova.Takoe, ispravljene su uoene greke iz prethodnog izdanja. ZahvaljujemoserecenzentimadrDragoslavuLjubiuidrRadetu Doroslovakom,kaoisvimakojisudoprinelipoboljanjuovog udbenika u odnosu na prvo izdanje. Autori Sadraj I Uvod u geometriju 1 1.1 Deduktivni i induktivni metod zakljuivanja1 1.2 Osnovni pojmovi i osnovna tvrenja u geometriji3 1.3 Kratak istorijski pregled razvoja geometrije. Peti Euklidov postulat 4 II Euklidska geometrija 8 2.1 Aksiome incidencije9 2.2 Aksiome rasporeda12 2.3 Aksiome podudarnosti19 2.4 Aksioma neprekidnosti20 2.5 Aksioma paralelnosti (Plejferova aksioma)24 Zadaci29 III Podudarnost32 3.1 Izometrijska transformacije32 3.2 Relacija podudarnosti figura37 3.3 Podudarnost dui38 3.4 Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti pravih39 3.5 Podudarnost trouglova43 3.6 Uglovi na transverzali. Zbir uglova u trouglu47 3.7 Nejednakost trougla52 3.8 etvorougao, paralelogram, srednja linija trougla54 3.9 Znaajne take trougla59 Zadaci66 IV Vektori 73 4.1 Definicija vektora. Sabiranje vektora73 4.2 n-ti deo vektora. Mnoenje vektora racionalnim skalarom78 4.3 Proizvod vektora realnim skalarom84 4.4 Vektori u euklidskoj geometriji87 Zadaci91 V Daljnja primena podudarnosti 94 5.1 Primena podudarnosti na krug94 5.2 Centralni i periferijski ugao kruga96 5.3 Tangentni etvorougao101 5.4 Tetivni etvorougao102 Zadaci105 5.5 Relacija upravnosti prave i ravni.113 5.6 Diedar. Ortogonalnost ravni115 5.7 Ugao prave prema ravni. Ugao dveju mimoilaznih pravih117 Zadaci120 VI Konstrukcija ravnih figura 122 Konstrukcija ravnih figura122 Zadaci129 VII Izometrijske transformacije ravni. Klasifikacija 134 7.1 Direktne i indirektne izometrijske transformacije134 7.2 Osna refleksija135 7.3 Predstavljanje izometrija ravni pomou osnih refleksija140 7.4 Pramenovi pravih u ravni142 7.5 Centralna rotacija144 7.6 Centralna simetrija148 7.7 Translacija150 7.8 Klizajua refleksija154 7.9 Klasifikacija izometrija ravni157 Zadaci158 VIII Slinost 165 8.1 Razmera dui. Talesova teorema165 8.2 Homotetija173 8.3 Transformacije slinosti. Slinost figura176 8.4 Slinost trouglova179 8.5 Harmonijska spregnutost parova taaka. Apolonijev krug182 8.6 Neke karakteristine teoreme186 8.7 Potencija take u odnosu na krug192 Zadaci196 IX Inverzija 204 9.1 Definicija i osnovne osobine inverzije204 9.2 Apolonijevi problemi o dodiru krugova209 Zadaci212 Razni zadaci 215 Reenja zadataka 228 Indeks 267 Literatura 274 1 Glava I Uvod u geometriju 1.1 Deduktivni i induktivni metod zakljuivanja Uniimrazredimaosnovnekoleupoznalismosesamnogim geometrijskimpojmovimakaotosunpr.trougao,krug,pravugao,itd. Kasnije smo nauili i mnoga tvrenja: stavove o podudarnosti trouglova, Pitagorinu i Talesovu teoremu. U poetku, tvrenja nismo dokazivali, ve smozakljukeizvodilinaosnovunizapojedinanihprimera.Tajnain zakljuivanja naziva se induktivni metod. Induktivni metod (lat. inductio - uvoenje) je dakle, nain rasuivanja kod koga od pojedinanih dolazimo do optih zakljuaka. U viim razredima sve vei broj tvrenja smo poeli dokazivati.Kroztedokazeprviputsmosesrelisatzv.deduktivnim nainomzakljuivanjailidedukcijom.Dedukcija(lat.deductio- izvoenje)jenainrasuivanjaukojemseodoptihdolazido pojedinanih zakljuaka. Dakle, ideja kod ove metode je da dokazivanjem izvedemooptizakljuak,pagazatimprimenjujemoupojedinanim sluajevima. Kakokodinduktivnogmetodanemoemoproveritisvesluajeve, jerihobinoimabeskonanomnogo,onmoedovestiidopogrenih zakljuaka. Deduktivnom metodom dolazimo do uvek tanih zakljuaka, ukoliko su pretpostavke koje koristimo u dokazu tane. Na sledeem primeru analizirajmo oba pomenuta metoda. elimo da doemo do zakljuka: Svaki ugao nad prenikom kruga je prav.I Uvod u geometriju2Akobismoprimenjivaliinduktivnimetod,proveravalibismodali ova tvrdnja vai u nekim pojedinanim sluajevima, kao to je npr. sluaj kada je teme ugla sredite polukruga, itd. Naravno, ako bismo na osnovu tihpojedinanihprimeraizvelioptizakljuak,nebismomoglibiti sigurnidaipak,unekomsluajukojinismoproverili,ovotvrenjene vai.Primenimo sada deduktivni metod: NekajeABprenikkrugasacentrom O,iLproizvoljnatakatogkruga razliita od A i B. Dokaimo da je ugao ALBprav.KakojeOAOBOLsledi dasutrougloviAOLiBOL jednakokrakipajeALOLAO=i BLOLBO=. TadajeALB=+. Zbir uglova u trouglu ALB je 180o pa je 2+2=180o . Iz toga sledi da je ALB=+ =90o. Razmotrimoprethodnidokaz.Unjemusmokoristilisledeadva tvrenja: Naspram podudarnih stranica u trouglu su podudarni uglovi. Zbir uglova u trouglu je 180o. Takoe,koristilismopojmovekaotosujednakokrakitrougao, podudarnostuglovaitd.,ausamomiskazutvrenja,ipojmove periferijskiugao,pravugao,krugiprenikkruga.Dabismobilisigurni dajetvrenjekojesmodokazivalitanomoramoznatiidasutvrenja koja koristimo u dokazu tana. Dakle, u ovom sluaju pretpostavljamo da smovedokazalipomenutadvatvrenjaidasmouvelisvepomenute pojmove.Jasnojedaseovakavproblemmoepostavitiikodsvakog drugogtvrenja,paikodovihnavedenih.Tozahtevaodreenu sistematizacijucelegeometrije.Postavljase,meutim,pitanjeodega poeti,akoseudokazusvakogtvrenja,morajuopetkoristitiranije dokazana.Takodolazimodopotrebezapolaznimtvrenjima,toemo razmotriti u narednom odeljku. Naosnovusvegaiznetog,jasnojedaemoseudaljemizlaganju geometrijekoristitiiskljuivodeduktivnimmetodom.Induktivnimetod nam eventualno moe posluiti samo da naslutimo neke injenice. Ali i u A O B L I Uvod u geometriju3tomsluajujeneophodnodaihdokaemotj.daprimenimodeduktivni metod. 1.2 Osnovni pojmovi i osnovna tvrenja u geometriji U nekoj teoriji, kao to je geometrija, pri svakom uvoenju novog pojma, toinimodefinicijom,tajpojamopisujemonekimvepoznatim pojmovima. Ali i te poznate pojmove opet smo morali uvesti preko nekih ranijepoznatih.Dakle,nekeodnjihmoramoprihvatitikaoosnovneili polazne i pri tome ih ne definiemo. Veze meu pojmovima, kao i njihova odgovarajua svojstva, dati su iskazimakojezovemotvrenjateorije.Ueljidaispitamodalineko tvrenjevaipozivamosenanekadrugatvrenja,zakojajetakoe potrebno dokazati da vae. Jasno je da se, ukoliko bismo ovako nastavili, procesdokazivanjanikadanebizavrio.Zbogtogasmoprinuenida nekaodtihtrvrenjaproglasimozapolazna(osnovna)idaihne dokazujemo. Ta polazna tvrenja zovemo aksiome a ona iz njih izvedena teoreme te teorije. Formalno, dokaz nekog tvrenja je niz tvrenja koja logiki slede jedna iz drugih, od kojih je svako ili aksioma ili iz aksioma izvedenotvrenje,aposlednjeba.Iakonijejednoznanoodreen, izboraksiomanemoebitiproizvoljan.Pritomizborunaroitotreba voditi rauna da te aksiome ne dovode do protivrenih tvrenja. To znai daizboraksiomatrebadabudetakav,dautakozasnovanojteorijine postojinekotvrenjezakojesuionoinjegovanegacijateoremeutoj teoriji. Takoe, potrebno je imati dovoljan broj aksioma da bi se za svako tvrenje, koje se moe formulisati u datoj teoriji, moglo utvrditi da li vai ili ne vai; tj. da je za svako tvrenje ili ono ili njegova negacija teorema u toj teoriji. Za sistem aksioma koji zadovoljava prvi zahtev kae se da je neprotivrean,azaonajkojizadovoljavadrugizahtevkaesedaje potpun.Priizboruaksiomatrebaserukovoditiitreimzahtevomdaje sistemaksiomaminimalan,tjdasenijednaaksiomanemoeizvestiiz ostalih, ali on za nas nee biti obavezujui. Unarednojglavipoeemosastrogimdeduktivnimzasnivanjem euklidskegeometrije;p

Search related