osnovi matematicke fizike

8/13/2019 osnovi matematicke fizike

1/170

OSNOVI MATEMATIKE FIZIKE

Profesor: Dr Darko Kapor


2/170

1

Saraj1. Elementi vektorske algebra ................................................................................................. 6

1.1 Vektori: pojam i osnovne operacije ......................................................................................... 6

1.2. Koordinatni pristup vektorima ................................................................................................ 9

1.3. Skalarni proizvod dva vektora ............................................................................................... 10

1.4. Vektorski proizvod ...................................................................................................... 121.4.1. Simbol Levi-ivita ........................................................................................................................ 13

1.5. Meoviti proizvo tri vektora................................................................................................ 15

1.6. Dvostruki vektorski proizvod ................................................................................................. 16

2. Vektorska analiza .............................................................................................................. 18

2.1. Vektorske funkcije skalara, granina vrenost, neprekinost i izvo.................................... 18

2.2. Integrali vektorskih funkcija .................................................................................................. 19

2.2.1. Oreeni integral ........................................................................................................................ 19

2.2.2. Linijski integral ............................................................................................................................ 20

2.2.3. Povrinski integral ....................................................................................................................... 20

2.3. Skalarno polje i gradijent ....................................................................................................... 21

2.3.1. Analitiki oblik graijenta ............................................................................................................ 22

2.3.2. Elementarna promena skalara ..................................................................................................... 23

2.3.3. Simboliki prikaz graijenta ......................................................................................................... 23

2.4. Vektorska polja...................................................................................................................... 242.4.1. Elementarne promene vektora .................................................................................................... 25

2.5. Divergencija ........................................................................................................................... 25

2.5.1. Fiziki smisao ivergencije ........................................................................................................... 26

2.5.2. Analitiki i simboliki prikaz ivergencije ...................................................................................... 27

2.6. Rotor vektora ........................................................................................................................ 28

2.6.1. Analitiki i simboliki oblik rotora ................................................................................................ 29

2.7. Primena Hamiltonovog operatora ......................................................................................... 30

2.7.1. Gradijent ..................................................................................................................................... 30

2.7.2. Divergencija ................................................................................................................................ 312.7.3. Rotor ........................................................................................................................................... 32

2.8. Integralne teoreme................................................................................................................ 33

2.8.1. Gausova (Ostrogradksog, Grinova) teorema................................................................................. 33

2.8.2. Stoksova teorema ....................................................................................................................... 34

2.8.3. Primena integralnih teorema ....................................................................................................... 34

2.9. Pojam prostornog izvoda I i II reda ........................................................................................ 35


3/170

2

2.10. Klasifikacija vektorskih polja i teorija potencijala .............................................................. 37

3. Generalisane koordinate ................................................................................................... 39

3.1. Oreivanje poloaja take................................................................................................... 39

3.1.1. Generalisani koordinatni sistem................................................................................................... 39

3.1.2. Primer: cilinrini sistem ............................................................................................................. 40

3.2. Metrika forma...................................................................................................................... 41

4. Obine diferencijalne jednaine........................................................................................ 44

4.1. Osnovni pojmovi ................................................................................................................... 44

4.2. Diferencijalna jenaina prvog rea...................................................................................... 45

4.2.1. Eksponencijalni rast i opadanje .................................................................................................... 45

4.2.2. Kompeticija i saturacija ................................................................................................................ 47

4.3. Jenaina totalnog iferencijala............................................................................................ 49

4.3.1. Integracioni mnoitelj .................................................................................................................. 50

4.4. I i II zakon termodinamike ..................................................................................................... 51

4.5. Linearne parcijalne DJ I reda .................................................................................................. 52

4.5.1. Nehomogena linearna PDJ I reda ................................................................................................. 53

4.5.2. Primena linearnih PDJ na termodinamiku .................................................................................... 54

4.6. Obine DJ II rea.................................................................................................................... 54

4.6.1. Sniavanje rea jenaine integracijom ....................................................................................... 55

4.7. Linearne DJ II reda ................................................................................................................. 56

4.7.1. Nalaenje optih reenja homogene DJ ako su poznati partikularni integrali................................. 56

4.7.2. Linearne DJ sa konstantnim koeficijentom ................................................................................... 57

4.8. Linearni harmonijski oscilator ............................................................................................... 58

4.8.1. RLC kolo ...................................................................................................................................... 61

4.9. Oscilovanje pod dejstvom prinudne sile i rezonancija ........................................................... 61

4.9.1. Metod varijacije konstanti za prinudnu silu .................................................................................. 64

4.10. Reavanje linearnih iferencijalnih jenaina pomodu stepenih reova........................... 66

4.10.1. Degenerisana hipergeometrijska funkcija (konfluentna) ............. ............. ............. ............. ........... 66

5. Primena Furije-analize na reavanje fizikih problema..................................................... 70

5.1. Ortogonalnost i ortonormiranost trigonometrijskih funkcija ................................................ 70

5.2. Razvoj u Furijeov red ............................................................................................................. 71

5.2.1. Specijalni sluajevi ....................................................................................................................... 72

5.2.2. Eksponencijalni oblik Furijeovog reda .......................................................................................... 72

5.3. Granini prelaz na Furije integral........................................................................................... 73

5.4. Dirakova delta-funkcija ......................................................................................................... 75


4/170

3

5.5. Diferencijalna i integralna reprezentacija -funkcije ............................................................. 775.5.1. Integralna reprezentacija ............................................................................................................. 77

6. Elementi linearne algebra ................................................................................................. 79

6.1. Linearni prostori .................................................................................................................... 79

6.2. Linearna nezavisnost vektora ................................................................................................ 80

6.3. Dimenzija prostora ................................................................................................................ 81

6.4. Bazis i koordinate .................................................................................................................. 82

6.5. Euklidski prostor .................................................................................................................... 83

6.6. Ortogonalni bazis .................................................................................................................. 84

6.7. Kompleksan -dimenzioni vektorski prostor ......................................................................... 866.7.1. Hilbertov proctor ......................................................................................................................... 87

6.8. Operatori i matrice ................................................................................................................ 886.8.1. Osobine koeficijenata .................................................................................................................. 89

6.9. Dijagonalna matrica .............................................................................................................. 91

6.10. Inverzni operator i inverzna matrica .................................................................................. 92

6.11. KVadratna matrica, matrica vrsta i matrica kolona............................................................ 94

6.12. Priruivanje matrica vektorima i tenzorima u troimenzionom Eukliskom prostoru..... 96

6.13. Tenzori u trodimenzionom Euklidskom prostoru ............................................................... 97

6.13.1. Vektorski proizvod ....................................................................................................................... 98

6.13.2. Primeri koridenja tenzora u fizici ................................................................................................ 99

6.13.2.1. Tenzor ielektrine propustljivosti....................................................................................... 99

6.13.2.2. Tenzor napona u mehanici neprekidnih sredina ............. ............. ............ .............. ............ . 100

6.13.2.3. Tenzor momenta inercije .................................................................................................. 100

6.14. Adjungovani operator i konjugovani tenzor .................................................................... 101

6.15. Specijalni sluajevi operatora i tenzora........................................................................... 103

6.15.1. Ermitski operator i simetrini tenzor .......................................................................................... 103

6.15.2. Unitarni operator i ortogonalni tenzor ....................................................................................... 104

6.16. Svojstveni problem operatora i tenzora .......................................................................... 110

6.17. Hamiltonova (karakteristina) jenaina......................................................................... 1136.18. Svojstveni problem ermitskog operatora ........................................................................ 114

6.19. Svojstveni problem simetrinog tenzora......................................................................... 116

6.20. Dijagonalizacija matrice i bilinearne forme...................................................................... 117

6.21. Dijagonalizacija rotacijom u ravni .................................................................................... 118


5/170

4

6.22. Metriki tenzor................................................................................................................ 120

7. Matematiki formalizam kvantne mehanike.................................................................. 122

7.1. Osnovne ideje o kvantnoj mehanici..................................................................................... 122

7.2. Postulat o kvantno mehanikom stanju.............................................................................. 123

7.3. Postulat o fizikim veliinama............................................................................................. 124

7.4. Postulat o merenju .............................................................................................................. 127

7.5. Razlaganje talasne funkcije po svojstvenim funkcijama operatora sa diskretnim spektrom 128

7.6. Razlaganje talasne funkcije po svojstvenim funkcijama operatora sa neprekidnim spektrom

131

7.6.1. Primer neprekidnog spektrasvojstveni problem operatora impulsa ....................... ............ ..... 133

7.7. Stacionarna stanja i svojstveni problem operatora energije................................................ 134

7.8. Egzaktno reivi sluajevi reingerove jenaine................................................................ 136

7.9. Linearni harmonijski oscilator (LHO).................................................................................... 137

7.10. Osobine Ermitskih polinoma ............................................................................................ 141

7.11. LHO u reprezentaciji broja popunjenosti ......................................................................... 141

7.12. Dirakov formalizam ......................................................................................................... 145

7.12.1. LHO u Dirakovoj notaciji ............................................................................................................ 146

7.13. Problem dva tela sa centralnom silom u kvantnoj mehanici............................................ 149

7.14. Svojstveni problem operatora

-komponente orbitalnog mometna ............................... 151

7.15. Svojstveni problem operatora . Leanrova jenaina................................................ 1527.15.1. Osobine Leanrovih polinoma .................................................................................................. 1547.15.2. Priruene Leanrove iferencijalne jenaine ........................................................................ 155

7.16. Sferni harmonici .............................................................................................................. 156

7.17. Raijalna reingerova jenaina opti oblik za atom voonikovog tipa...................... 158

7.18. Talasna funkcija elektrona u atomu vodonikovog tipa i primena u hemiji....................... 163

8. Formule ........................................................................................................................... 164

8.1. Osnovne formule sa

operatorom ..................................................................................... 164

8.1.1. Dvostruki vektorski proizvod...................................................................................................... 165

8.1.2. Meoviti vektorski proizvo ....................................................................................................... 165

8.2. operator u cilinrinim koorinatnama........................................................................... 1658.3. operator u sfernim koordinatnama .................................................................................. 166 8.4. SPECIJALNE FUNKCIJE .......................................................................................................... 166

8.4.1. Ermitovi (Hermite) polinomi: ..................................................................................................... 166


6/170

5

8.4.2. Leanrovi (Legenre) polinomi: ................................................................................................ 167

8.4.3. Lagerovi (Laguerre) polinomi: .................................................................................................... 168

8.4.4. Talasna funkcija elektrona u atomu vodonikovog tipa: ............. ............. ............. ............. ........... 169


7/170

6

1. Elementi vektorske algebra1.1 VEKTORI: POJAM I OSNOVNE OPERACIJE

Prvo uvoimo pojam skalara kao veliine zaate jen im podatkom (temperatura, masa,

elektrostatiki potencijal). U matematici to se svoi na broj, u fizici to je neimenovana ili

imenovana veliina.

Vektor se uvodi u najjednostavnijoj

formulaciji kao orjentisana u. Prava koja

oreuje pravac se naziva nosa vektora. Prema

tome, vektor je zadat sa tri parametra: intenzitet,

pravac i smer. (Treba samo obratiti panju a ka

raimo sa fizikim vektorima, onda intenzitet ima

ogovarajudu imenziju intenzitet sile je 3N.)

U principu postoje dva pristupa vektorima: jedan je algebarski, kada vektor posmatramo

kao orejntisanu u u prostoru: vektor , intenzitet (veliina) je ili A. Vektor jeininogintenziteta = i zove se ort.

Kasnije demo vieti rugi nain.

Dve su osnovne operacije. Prva je mnoenjebrojem tj.

skalarom. Za sada taj broj pripada skupu realnih brojeva,

a akoje fizika veliina ima i imenziju.Za > 0, je vektor koji ima isti pravac i smer kao ,a intenzitet mu je ( = ). Ovde posmatramo kao realan (pozitivan) broj. Ako jere o realnom negativnom broju > 0, onda je -vektor koji ima intenzitet , pravacvektoreali suprotan smer od smera vektora.


8/170

7

Dalje efiniemo sabiranje vektora (iste priroe). Mi demo posmatrati vektore koje

moemo paralelno pomerati da ih dovedemo u odreenu taku. Imamo ve mogudnosti za

definisanje sabiranja vektora:

1.

Doveemo poetak vektora na kraj vektora i spojimo poetakvektorai kraj vektora i to je vektor + .2. Pravimo paralelgram tako to poklopimo poetne take vektora i i

konstruiemo paralelogram na njima. Povlaimo ijagonalu sa poetkom u poetku

vektora i . Dobijamo isti rezultat kao i u prvom sluaju.

1. Prvi sluaj 2. Drugi sluaj

Bitno je naglasiti da je ovo definicija koju su uveli fiziari iz iskustva (slaganje sila).

Kako sabiramo vie vektora? Nastavljamo poetke na krajeve, ili pravimo paralelograme

sa dijagonalama.

Koje su osobineovako definisanih operacija?

1.) Sabiranje je komutativno

+

=

+


9/170

8

2.) Sabiranje je asocijativno + + = + + = + +

3.) Postoji nula vektora 0 (retko 0 ) za svaki + 0 = intenzitet 0 = 0To je neutralni element sabiranja

4.) + = 0Postoji inverzni elementsabiranja

5.) Neutralni element mnoenja brojem je 1 iz polja realnih brojeva 1 =

6.) Asocijativnost mnoenja skalarom = jer = = = 7.) Distributivnost mnoenje vektora skalarom u onosu na sabiranje

skalarom + = +

8.) Distributivnost mnoenja vektora skalarom u onosu na sabiranje vektora + = +

Ovo demo kasnije generalisati na osobine vektorskog prostora.

Jednostavan dokaz pomou

slinosti trouglova


10/170

9

1.2. KOORDINATNI PRISTUP VEKTORIMA

Pore istoalgebraskog pristupa moemo raiti

i sa koordinatama ili komponentama.

Ieja je sleeda: Uvoimo pravougli (Dekratov)

koorinatni sistem, kojeg veemo za jenu taku =

koordinatni poetak O. Ortovi koordinatnih osa, , su ,, . Druge oznake su = ,

=

,

=

. Konano , koristidemo i

=

1,

=

2,

= 3; = 1 , = 2 , = 3 .

Poloaj bilo koje take je oreen vektorom poloaja (raijus vektorom) koji povezuje

atu taku i koorinatni poetak = + + , gde su , i koorinate take (projekcijevektora na koordinatne ose)

U ovoj reprezentaciji, poetak svih vektora dovodimo u

koorinatni poetak i ona ih projektujemo na ose. Taa se vektor

moe prikazati kao:

= + + = + + = 3 =1 2 = 2 + 2 + 2 = 2 Kako se preslikavaju osnovne operacije?

Ako pomnoimo vektor skalarom ,njegovintenzitet je

. Jasno je: (

)

=

cos

,

=

= Posmatramo u ravni koja sari vektore, ona

prvo tu projekciju, pa na ose.

+ = + = +


11/170

10

Sa druge strane: + = + + = + Dalje se prenosi na sve osobine!

Taa uslovno kaemo = 1,2,3 maa je bolje a omah piemo kao kolonu. = 123 Ova jednakost je uslovna jer je vezana za koordinatni sistem. U drugim kordinatnim

sisitemima su komponente rugaije.

Zato je bitno? Zato to smo preli na brojeve!

1.3. SKALARNI PROIZVOD DVA VEKTORA

Operacija skalarnog moenja va vektora potie iz fizike jer je bilo uoeno a se va

vektora mogu kombinovati tako da se dobije skalar

(primer je ra). To mogu biti i va vektora razliite vrste.

(, ) Uvek koristimo taku!

Skalarni proizvod je broj = skalar. = = Osnovne osobine: komutativnost jer je , = cos ( ,)Vano: = cos0 =

2

2

= = Ako vektori zaklapaju ugao od 90, tj. ako su ortogonalni onda = 0 (cos 90=0).U optem sluaju: cos, = =


12/170

11

Kako se rai sa korinatama? Bitno je uoiti a je

= Kakvi su proizvodi ortova?

Znamo = 1, a = 0 .Uvodimo Kronekerov simbol , = 1 =0

Onda je = , za ortonormirane vektore.Osnovna osobina Kronekerovog simbola je da ukida sumu:

,3 = 1 1,3 + 2 2,3 + 3 3,3 + 4 4,35 =1 + 5 5,3 = 3 Vidimo, kada se Kroneker nae po sumom, on o cele sume zari samo lan sume ij i

je indeks fiksan u kronekeru

,

=

1

=1

Primenimo ovo na skalarni proizvod dva vektora:

= = Kaa mnoimo reove, obavezno treba uzeti razliite inekse sumiranja:

= = = , , Kako ovo a izraunamo? Fiksiramo jenu sumu:

, = , Sad za svako iimamo sumu poju kojoj je ifiksno

, =


13/170

12

= 3 =1 = + + Moe li i rugaije? , = , = isto !Primer iz fizike: diferencijal rada = !

1.4. VEKTORSKI PROIZVOD

Vektorski proizvod dva vektorai je vektor sleedih osobina:1.) Intenzitet: = sin , 2.) Pravac normalan na ravan koju oreujui 3.) Smer: po pravilu desnog zavrtnja: kuda bi se kretao desni zavrtanj ako se

krede oka najkradim putem!Interpretacija:

sin

=

=

povrinaparalelograma

Ako su kolinearni, ne oreuju ravan, ali je ugao 0 = 0 Smer onaj iz kojeg ide ka najkradim putem suprotnim okazaljke na satu (pozitivnom smeru)!

Bitno: nije komutativan =


14/170

13

Primer: momenti, recimo sile ili Lorencove sile .Koordinatni pristup: vektorski proizvod ortova

, intenzitet

= 1, pravac-

pravac z ose, smer + kraj. = Uvek piemo ovako, ali pri tome znamo = (treba upamtiti!)

1.4.1.Simbol Levi-ivita

= +1

u prironom poretku ili u ciklinoj permutaciji

1 nije u prironom poretku niti u ciklinoj permutaciji0 u svim ostalim sluajevima Prirodni poredak:

1 2 3(, , ) 123, 312, 231

Vane osobine: =

=

=

Saa moemo zapisati:

= Primer:

= = , , = + + =

= = = = Razvijamo po:

= + +


15/170

14

Sada svaku sumu razvijamo po:= + + + + + +

+

+

+

Odmah moemo anulirati lanove koji sare koje ima dva ista indeksa tako da nam ostajeest suma, u svakoj ostaje samo lanza koji je krazliito o prethona va ineksa:

= + + + + + ==

+

+

=

= + + =

= =

,

,

,

=

odavde sledi:

= =


16/170

15

1.5. MEOVITI PROIZVOD TRI VEKTORA

= cos, Ako konstruiemo paralelogram na i ,onda je njegova povrina. skalarno sa ortom daje visinuparalelopipeda konstruisanog nad ova tri vektora,

tako da je tano zapreminaparalelepipeda kod ovim vektorima.

Naravno, zapreminu tog istog paralelepipea ade i ruge kombinacije = = .Bitan je redosled da se ne bi javio znak minus.

= = Meoviti proizvod je invarijantan na cikline permutacije vektora.

Ovo je bila geometrijska interpretacija. Idemo na koordinatni pristup:

= = == = = , =

= =

=

Ciklina permutacija ogovarazamenama mesta dve vrste ne menja znak!Ako se javi isti vektor = 0!


17/170

16

Uslov komplanarnosti tri vektora: 01.6. DVOSTRUKI VEKTORSKI PROIZVOD

geometrijski nije svejedno koji jeredosled. Vektor mora biti ortogonalan naiortogonalan na . Vektor je ortogonalan naravan vektora

i

. Svaki vektor ortogonalan na

mora a lei u takvoj ravni. Znai vektor ( )moraa lei u ravni koju oreujuvektori i . Prema tome, moemo rezultujudi vektor razloiti povektorima i :

= + Radimo u komponentama a naemo

i

.

= =

= = + + = =

= + =


18/170

17

= + + + + + + =

= Moe i preko komponenti: = = = = =

=

= = = == =

= = ==


19/170

18

2.Vektorska analiza2.1. VEKTORSKE FUNKCIJE SKALARA, GRANINAVREDNOST,

NEPREKIDNOST I IZVOD

Skalarne ili vektorske veliine mogu a zavise o jenog ili vie argumenata koji opet

mogu biti vektori ili skalari.

Skalarne funkcije skalara su ustvari funkcije jedne promenljive koje su poznate iz

matematike.

Posmatramo sleedi sluaj: ako svakoj vrenosti skalara u izvesnom intervaluogovara oreena vrenost vektora, kaemo a jevektorska funkcija skalara=().Osnovni primer: poloaj materijalne take = ().

Vektor moe biti i funkcija vie skalarnih argumenata=(, , , ).Preslikavamo osnovne pojmove poznate za

skalarne funkcije. Ako za svako > 0, moemo nadi takavbroj > 0, da za svako za koje vai 0 < , vai < , kaemo a je graninavrednost funkcije()kada tei 0

lim 0 = Zato nam treba limes? Zbog neprekidnosti: ako je vektorska funkcja

definisana u

= 0ako postoji granina vrenost za 0 i ako je lim 0 = 0 , funkcija jeneprekidna u taki 0.U taki za neprekidnu funkcijumoemo efinisati prvi izvod:

lim 0 +


20/170

19

Ako razloimo na komponente i na njih primenimo pravilo za obine izvoe, imamo: + = + = + = + = + u sluaju vie argumenata=(, , , ) efiniemo parcijalan izvo lim 0 + , , , ,

2.2. INTEGRALI VEKTORSKIH FUNKCIJA

2.2.1.Odreeni integral

Neka je funkcija ograniena u intervalu , tj. < (gde je zadat broj).Delimo interval na proizvoljnih delova . Neka je proizvoljna vrednost unutar intervala

. Formiramo sumu:

=1 Ako postoji granina vrenost ove sume za i ona ne zavisi o naina poele

intervala, nju zovemo odredjeni integral

lim =1

U prostoru imamo jo mogudnosti!Smatrademo a vektor zavisi o poloaja: ()


21/170

20

2.2.2.Linijski integralNeka je ata linija u prostoru. Njen eo izmeu taki 1i 2

delimo na n delova

. Neka je

ort tangente na

(recimo u

taki ).Definiemo vektor luka = (smer zavisi od smera

luka). Zatim formiramo sumu

=1 Ako postoji njena granina vrenost za

i ne zavisi o naina podele luka, ta

granina vrenostse naziva linjski integral funkcijeu ate krive: 21 lim

=1 Primer: rad sile = 2

1

Ako je linija (kontura) zatvorena, piemo , pri emu se smer obilaska suprotan smerukretanja kazaljke na satu naziva pozitivan.

2.2.3.Povrinski integralPosmatrajmo eo S zaate povri i delimo ga na n

delova . Uvodimo ort normale u taki na .Smer se bira na sleedi nain:1.) Ako je povrina zatvorena, smer je prema

spolja.

2.) Ako je povrinaotvorena, onda se zatvorena linija

koja je njena ivica orijentie


22/170

21

(proizvoljno) ali se tada bira u smeru iz kojeg se smer obilaska ivice vidi kao pozitivno. = Uvoimo vektor iferncijalnog elementa povrine.

Povrinski integral funkcije, po oblasti S se efinie kao lim

=1 ako ova granina vrenost postoji i ne zavisi o naina podele na .

2.3.

SKALARNO POLJE I GRADIJENT

Sada posmatramo skalarnu funkciju vektorskog

argumenta, a taj argument de biti raijus vektor . Akosvakoj taki neke oblasti prostora odgovara odreenavrenost nekog skalara, kaemo a u prostoru postoji

(deluje) skalarno polje = .Primer: temperatura, pritisak, elektostatikipotencijal.

Ako zadamo konstantnu vrednost 0, jenaina = 0 daje geometrijsko mesto svihtaaka u kojima ima istu vrednost 0. Obino je to povr ekviskalarna povr (primer:ekvipotencijalna povr u elektrostatici).

Posmatramo ve ekviskalarne povrine

=

0 i

=

0 +

(kaemo a su

ekvidistantne jer se uvek razlikuju za istu vrednost ). Na 0 uoimo taku M. Izaberemo proizvoljan ort 0, i pomerimo se do 0 + .Duina o ruge povrije .

Definiemo izvor skalara u pravcu :


23/170

22

lim 0 Ova promena zavisi od pravca i najveda je u pravcu normale . Orijentiemo ort

normale u smeru rasta skalara. Vektor iji je intenzitet

, ima pravac i smer orta

0, se naziva

gradijent skalarne funkcije u taki M.grad = 0 simbiliki

Njegov intenzitet je najveda promena skalarne funkcije po jeinici uine. Ove efinicije

ne zavise od izbora koordinatnog sistema.

Izvod u pravcu: = lim 0 = lim 0 = lim 0 = grad cos 0, 0 = grad 0

cos 0, 0 = 0 grad

2.3.1.Analitiki oblik gradijenta

Neka su 0ortovi koordinatnih osa:

=

grad

= (grad

)

grad

cos

0,

=

grad

=

grad = 3

i=1

= + +


24/170

23

2.3.2.Elementarna promena skalaraU taki M() skalar ima vrednost .

Pomerimo se u taku + , ima vrednost + d. = i

totalni diferencijal= grad skalarni proizvod = grad = grad (sigurnije staviti gradijent desno!)

2.3.3.Simboliki prikaz gradijentaJena o najbitnijih stvari za primenu, jer demo ga prikazati preko operatora.

Operator je skup operacija koji jenom elementu prostora priruuje rugi element

prostora, ili nekog rugog skupa. Drugi nain a se to kae: operator prestavlja preslikavanje

funkcije u funkciju. Bitno, uvek ga piemo levo od funkcije na koju deluje.

Konkretno:

grad =

i=1

=

i=1

Sve ovo deluje na funkciju.Operator nabla:

3

i=1

Hamiltonov operator

Dve osobine:a.) Diferencijalni operatoriferencira ono na ta eluje;b.) Vektorski operator (3 komponente) Ima osobine vektora

grad = Mnoimo vektor i scalar, ne piemo oznaku


25/170

24

Gradijent posredne funkcije = = grad

=

=

=

=

grad

grad = grad Primer: sferno-simetrino polje = (ne zavisi od uglova)

grad = grad = 12 + 22 + 32 grad =

= 12 + 22 + 32 = 12 2 12 + 22 + 32 = grad = = 1 = 1 = ort radijus-vektora

grad = =

2.4. VEKTORSKA POLJAAko svakoj taki neke oblasti prostora ogovara oreeni vektor =(), time je

definisano vektorsko polje, a()je vektorska funkcija vektorskog argumenta.Primer: jaina elektrinog polja = (); magnetno polje ().

Linije koje imaju osobinu a u svakoj njihovoj taki vektor

ima pravac tangente,

nazivaju se vektorske linije tog polja (linije sile = silnice).

Smer se orejuje u konkretnom sluaju.

Kakva je jenaina vektorske linije polja?

Vektor lei u tangente, a za iferencijalno malipomeraj:


26/170

25

= = =

(

,

,

)

=

(

,

,

)

=

(

,

,

)

Diferencijalne jednaine vektorskih linija polja

2.4.1.Elementarne promene vektora

= = = skalarni proizvod

=

- novi operator

2.5. DIVERGENCIJA

Uoimo taku vektorskog polja, oko nje zatvorenumalu povr

koja okruuje zapreminu

.

Formiramo integral i traimo graninuvrenost kolinika sa kad 0tako a se skuplja u taku. Ako ta granina vrenost postoji i ako ne zavisi o naina nakoji se skuplja u , tu graninu vrenost nazivamodivergencijom vektorau taki .

div

lim

0

Ova definicija ne zavisi ni od koordinatnog sistema ni od oblika (biramo najzgodniju).


27/170


28/170

27

2.5.2.Analitiki i simboliki prikaz divergencijeUvodimo koordinatni sistem i biramo

najpovoljniju zapreminu

. Pravimo kvadar sa

takom (1, 2, 3) u centru. Stranice suparalelne koorinatnim ravnima a ivice lee uosa i imaju uinu 1, 2i 3. Raunamo flukskroz stranice: = 1 2 3

1(

1 +

12

,

2,

3)

2

3

Kada razvijemo po 1i pustimo da 1, 2i 3 0ostaje div = 11 + 2 2 + 33 =

3

=1 Primer: div = 3!(zato divnije samo fluks, veddelimo sa zapreminom da bude elegantna formula)

Simbolikidiv = (kao mnoenje skalarni proizvod)= = , = , , =

div = skalarno mnoenje sa nabla!


29/170

28

2.6. ROTOR VEKTORA

Uoimo taku

u polju i zadajmo pravac

orta 0u toj taki. Kroz taku postavljamo povrtakvu da joj je 0 ort normale u toj taki. U povri opiemo zatvorenu konturu koja obuhvata takui povrinu .

Formiramo linijski integral iorjentaciju konture biramo tako a se sloi sa normalom.

Traimo lim 0 da se skupi u . Ako ta granina vrenost postoji i ne zavisio naina na koji 0, nju nazivamo projekciju vektorana pravac 0:rot lim 0

Oznaka je rot(u engleskom curlkovra)Za potpuno efinisanje rotora treba kroz taku postaviti tri povri sa nekomplanarnim

normalama. rot

je zadat sa tri svojstvene projekcije. Ovako definisan rotor ne zavisi ni od

koordinatnog sistema ni od oblika konture.

Fizika interpretacija: Posmatramo vektor polja i uvodimo cirkulaciju vektora ukonture L.

= L

Ako u polju postoje zatvorene linije sila,onda je < 0 ili > 0, ali sigurno razliito o nule. (moe dazahvati jenu ili vie linija sila ali se nede potirati!)

Obino vai i obrnuto, smatramo a vai

za sva polja od interesa za fiziku: ako je 0,


30/170

29

onda u polju postoje zatvorene linije sile.

Zakljuak: projekcija rotora nekog vektora u datoj taki na dati pravac predstavlja

cirkulaciju vektora u ma koje male konture oko te take u ravni normalnoj na pravac,

obraunatu po jeinici obuhvadenepovrine.

Ako je u nekoj taki rot 0 i biramo za povr takvu a se neka normala poklapa sapravcem rot, cirkulacija u te konture bide maksimalna (jer je najveda vrenost projekcije).

To znai a se kontura poklapa sa vektorskom linijom. Prema tome, oko take sa

rot 0postoje zatvorene vektorske linije koje obavijaju pravac rotora u tim takama (pravilodesne ruke).

2.6.1.Analitiki i simboliki oblikrotora

Uzmimo konturu kao pravougaonik okotake (1, 2, 3) u ravni paralelnoj 2 3 ravni sastranicama

2i

3. Ta cirkulacija daje (rot

)1.

Raun (na vebama) aje:

(rot)1 = 3 2 2 3 imamo ciklian zapis sve tri projekcije:

rot

=

3

2 2

3 1+

1

3 3

1 2+

+ 21 12 3


31/170

30

rot = 1 2 31 2 31 2 3 Formalno 23

3

2 (uvek prvo izvodtj. levo!)ovo lii na vektorski proizvo:rot =

PRIMER: rot = 0.

2.7. PRIMENA HAMILTONOVOG OPERATORA

iferencira, znai kaa eluje na proizvo ve veliine aje zbir va lana. Umesto arazvijemo na komponente, mi jenostavno stavimo * na veliinu na koju deluje, a ondakoristimo vektorske osobine a sve na ta ne deluje bude levo! Cilj je da izvedemo efikasno!

2.7.1.Gradijent ZBIR:

grad + = grad + grad(po definiciji) PROIZVOD DVA SKALARA:

grad = = + ==

+

=

grad

+

grad

Simboliki: = + = + = grad + grad PROIZVOD SA KONSTANTOM: = grad = cgrad (grad = 0 !)


32/170

31

SKALARNI PROIZVOD: = ne moese izvu i! = + Imamo vektor puta skalarni proizvod. Ta kombinacija se javlja kod dvostrukogvektorskog proizvoda. Nama treba da deluje samo na jednog. Konkretno: rot =

Hodemoa obeleim na ta eluje:

= Sad smemo da ga "vrtimo":

=

jer nane eluje, ali ne moe ovako se to ase zapie, ved:= rot = rot = rot + rot = +

grad = rot + rot + + 2.7.2.Divergencija ZBIR:

div + = divA + divB PROIZVOD SKALARA I VEKTORA:

div = = + == + = +

div = grad + div


33/170

32

VEKTORSKI PROIZVOD:div = = + =

saa obrdemo:

= + = div = rot rot 2.7.3.Rotor ZBIR:

rot

+

= rotA

+ rotB

PROIZVOD SKALARA I VEKTORA:rot = = + == + = grad + rot

rot = rot grad VEKTORSKI PROIZVOD:

rot

=

=

+

=

= + + rot = +div B div


34/170

33

2.8. INTEGRALNE TEOREME

Dobijeni izrazi se onose na atu taku mikroskopske osobine. Ako elimo aposmatramo tela (makroskopska) prelazimo na integrale.

2.8.1.Gausova (Ostrogradksog, Grinova) teoremaPosmatramo zatvorenu povr koja ograniava

zapreminu u vektorskom polju koja je diferencijabilnafunkcija sa ogranienim prvim izvoima.

Celu zapreminu delimo na diferencijalno male

elemente ograniene sa povri . Za njih piemo:div = napisano za diferencijalno male veliine

div = Ispiemo za sve elemente i saberemo. Leva strana aje

div

V

. Kako izgleda suma sa

esne strane po svim povima? Dva susena elementa imaju zajeniku stranicu, ali se

povrinski integrali po toj stranici potiru zbog suprotne

orijentacije normale: + = 0Preostaje samo doprinos onih elemenata koji nemaju

susea, tj. ije stranice lee na povri, pa je esna strana

jenaka povrinskom integralu po

-

= divV Uslovi: ako je diferencijabilna ima izvode, pa postoji divergencija, a sigurno je i

neprekina, pa postoji povrinski integral. Ako su izvoiogranieni, postoji integral ivergencije.


35/170

34

2.8.2.Stoksova teoremaPosmatrajmo zatvorenu konturu sa povri koju

je ona oiviila, u polju

.

je diferencijabilna

vektorska funkcija sa ogranienim prvim izvoima.

Izdelimo na male elemente povri sa konturom:rot = = rot =

rot Sumiramo po svim elementima. Ako su sve normale

na istu stranu onda su susednih elemenata suprotnousmereni i potiru se! + 0 = rot S = rotS

2.8.3.Primena integralnih teorema1) = - proizvoljan konstantan vektor = divV 0

div = div = = + = grad = grad = gradV = gradV

Ovo vai za svako : = gradV

- analitiki: 1komponenta

ovde je normala

prema spolja


36/170

35

prostorni izvod polja

u

taki u odnosu naoperaciju * (ako postoji).

2 3 = 1 1 2 3

V

itd.

2)

=

- proizvoljan konstantan vektor = div V = div V = = 0

div = = + = = rot

=

rot

V

= rotV za svako :

= rotV

2.9. POJAM PROSTORNOG IZVODA I I II REDA

Neka je polje fizike veliine (skalar ili vektor). Uoimo taku u polju iokruimo je sa povri , koja ograniava zapreminu . Neka je neka operacija mnoenja.Definiemo:

lim 0 Prostorni izvod prvog reda:

a) = , - mnoenje skalara i vektora


37/170

36

lim 0 = lim 0 grad = lim 0grad = grad b) = , - skalarno mnoenje vektora

lim 0 = div po definicijic) = , - vektorsko mnoenjelim 0 = rot (iz gornje relacije)

Prema tome, gradijent, rotor i divergencija su prostorni izvodi I reda. Prostorni

izvoi II rea su prostorni izvoi I rea prostornih izvoa I rea (ako mogu a se efiniu).

Graijent je vektor, znai ima ivergenciju i rotor.

1) div grad = = = = = delta (Laplasov operator) = = = = , =

2 2

= 2

23

=1 = 2

12 + 2

22 + 2

322) rot grad = = = 0

0 rot grad = 0

Divergencija:

grad div = = ovo je novi izraz.Rotor:

div rot = =

vai samo u Dekartovomkoordinatnom sistemu


38/170

37

div rot = 0rot rot = = = grad div

rot rot

= grad div

2.10.KLASIFIKACIJA VEKTORSKIH POLJA I TEORIJA POTENCIJALA

Klasifikacija se vri po vrenosti ivergencije i rotora.

1) Potencijalno (bezvrtlono) poljeje takvo polje a je u svim njegovim takamarot

0, a bar u nekim div

0 (recimo div

=

). Polazedi o rot grad

= 0, moemo

pretpostaviti da je = grad ( zbog fizike), zovemo skalarni potencijal. Time smo savektorske preli na skalarnu funkciju.div grad = = Poasonova DJ

Odredimo , pa odatle.2) Vrtlono (solenoino) polje ima u svim takama div 0, a bar u nekim

rot 0 (rot = ). Uvedemo = rot (jer jediv rot

= 0),

- vektorski potencijal, imamo slobou a ga biramo!

rot rot = rot rot = grad div = Biramo: div = 0(kalibracioni "gauge"uslov) = - 3 Poasonove jenaine povezane uslovom!

3) Laplasovo polje u svim takama div 0 i rot 0, a bar u nekim 0.Moemo a uveemo = grad ili = rot i dobijemo:

= 0,

=

Laplasova DJ

4) Sloeno poljeje takvo a je bar u nekim takama istovremeno i div 0 irot 0. Tretiramo ga kao superpoziciju potencijalnog i vrtlonog: = + rot = 0 div = 0Ako su u svim takama prostora poznati rotor i ivergencija vektorskog polja, i zaati

granini uslovi, ona se vektorsko polje moe potpuno (jenoznano) oreiti.


39/170


40/170

39

3.Generalisane koordinate3.1. ODREIVANJE POLOAJATAKE

Poloaj take moe biti zadat i u nekom rugom sistemu, na primer cilinrinom, , ili sfernom , , . 3.1.1.Generalisani koordinatni sistemPoloaj take u prostoru oreujemo sa tri ma

kakve veliine koje potpuno oreuju njen poloaj.1, 2 , 3 - generalisane koorinatne take; skupsvih generalisanih koorinata ini generalisani koorinatni

sistem.

=

1,

2,

3

, za

= 1, 2 , 3

Pretpostavimo a se moe reiti = 1, 2, 3 , znai jakobijan 0.Geometrijsko mesto taaka za koje je jena generalisana koorinata konstantna, a

ruge ve se proizvoljno menjaju, naziva se koorinatna povr. 1, 2, 3 = ima ih 3 komadaPresek dve koorinatne povri je koorinatna linija. Du nje su ve generalisane

koordinate konstantne, a jedna se menja.

Primer: 1(1, 2, 3)2(1, 2, 3) u preseku se menja 3!Tangente povuene na koorinatne linije u atoj taki prestavljaju lokalne koo rdinatne

ose.


41/170

40

Ortovi ort u ose u koje se menja samo koorinata - smer porasta , pravac =tangenta!

Ako su ose (ortovi) u svakoj taki uzajamno ortogonalne, sistem je ortogonalan, u

suprotnom je loksogonalan.

3.1.2.Primer: cilindrini sistem

1 =

cos

2 = sin 3 = veza: =

12 +

22

tan = 21 Povri(kroz taku ): = : valjak poluprenikasa -osom kao osom! = : poluravan normalna

na

1,

2 ravan, prolazi kroz

-osu

= : ravan paralelna sa1, 2ravniLinije:se menja u poluprave u

preseku ravni i poluravni;


42/170


43/170

42

= = 23

=1 Ako znamo

=

1,

2 ,

3

, znamo i

!

Dakle:

= 3 =1 2 = = Ovo je najoptiji oblik metrike forme.

U ortogonalnom sistemu: = ,

2 =

2

2

U praksi se oreuje oave. Ustvari, nae se 2, i prvo utvrdi da li je sistemortogonalan. Ako jeste, onda se itaju 2, a su po efiniciji pozitivni, znai, uzima se pozitivankoren.

Kako je odavde = = 1 2 3 = 1 2 3 1 2 3Primer: cilinrinisistem

1=

cos

,

2=

sin

,

3=

2 = 12 + 22 + 32 = cos sin 2 + sin + cos 2 + 2 == cos2 2 2 sin cos + 2 sin2 2 + sin2 2 + 2 sin cos +

+2 cos2 2 + 2 = cos2 + sin2 2 + 2 sin2 + cos2 2 + 2 == 2 + 2 2 + 2 2 = 2 + 2 2 + 2 = 2, = , = 1 =

Za sferni sistem: = 1, = , = sin = 2 sin (da urade sami!)Nadalje se bavimo samo ortogonalnim.

Vektori se razlau po novim ortovima:


44/170

43

= Sve algebarske operacije ostaju iste (u ortogonalnom sistemu).

Vektorska analiza (bez izvoenja):

grad = 1 3

=1

div = 11 2 3 12 3 3

=1

rot

= 1

1

2

3

1 1 2 2 3 3

1

2

2

11 22 33

= 11 2 3 1 2 3 2 3

=1


45/170

44

4.Obine diferencijalne jednaine4.1. OSNOVNI POJMOVI

Neka je = ()(je funkcija od ). Diferencijalna jenaina (DJ=DE) je izrazoblika (, , , , , = 0), = . Najvii izvo oreuje re jenaine. Zaatak jeodrediti nepoznatu funkciju

(

).

Svaka funkcija koja je neprekidna, ima sve izvode do -tog i prevodi DJ uientitet, naziva se reenje (integral) DJ.Opte reenje je oblika , , 1 , 2 , , = 0. Ono sari onoliko neoreenih

(proizvoljnih) konstanti koliki je re jenaine (pri svakoj integraciji se oaje jena!). = (, 1 , , ) = (, 1, , ) reenj eu parametarskom oblikuZa konkretan izbor konstanti

1 =

1

0,

2 =

2

0,... imamo

=

(

,

1

0,

2

0,

,

0

)-

partikularno reenje.

Reenje bez konstanti koje se ne moe obiti iz opteg reenja nikakvim izborom

konstanti, naziva se singularno reenje.

Diferencijalne jenaine su znaajne u fizici jer izvo opisuje promenu neke veliine,

sleedi izvo opisuje promenu promene it. Primer: brzina i ubrzanje. Kako fiziki zakoni obino

i govore o promenama, ona se oni formuliu preko iferencijalnih jenaina. Najede su

ovoljne jenaine II rea.

Dokle god posmatramo funkciju jedne promenljive (recimo vreme), izvoi su obini

izvoi; to su obine iferencijalne jenaine (ODJ). U fizici su pojenako bitne i parcijalne

iferencijalne jenaine(PDJ),jer mnoge veliine zavise o vie promenljivih.


46/170

45

4.2. DIFERENCIJALNA JEDNAINA PRVOGREDA

Diferencijalna jenaina prvog rea sari argument, samu nepoznatu funkciju i njenprvi izvod: , , = 0 - implicitan oblik reimo po (najviem) izvou; = (, ) -eksplicitan oblik.

Opte reenje: = (, )- familija krivih u ravni. Ako zadamo uslov: = 0 = 00 = (0, ), u principu moemo a reimo = (0, 0) i obijemo partikularno reenje = , (0, 0). Reenje bez proizvoljne konstante, koje se ne moe obiti iz optegreenja nikakvim izborom konstante, naziva se singularno reenje.

U matematici su razmotreni problemi egzistencije i jeinstvenosti reenja imetoi reavanja, a ove se bavimo primenama u fizici.

4.2.1.Eksponencijalni rast i opadanjeNeka neka fizika veliina y (brzina, broj estica, intenzitet zraenja) zavisi o fizike

veliine , recimo o vremena, ili ebljine i broja estica (apsorpcija). Polazimo o toga a supromene uzajamno srazmerne

~

, znai

je u osnovi (jednaine prvog rea). esto se

eava a je promena neke veliine srazmerna i samoj veliini, recimo u linearnoj aproksimaciji:~. Uvoimo i koeficijent srazmernosti, u najnioj aproksimaciji to je konstanta = ( > 0, = ) mora imati dimenziju 1 da bi izraz bio dimenzionokorektan.

Dobili smo DJ I reda =0. Ona je linearna homogena DJ, ali moe i razvajanje

promenljivih. Saa demo uraiti strogo da vidimo kako bi trebalo.

= = + ln = + ln ln = (neka ima smisla za > 0) = a) za

> 0 = = = 0 = 0 0 = = 0


47/170


48/170

47

Fiziki smisao veliine : = - relativna promena veliine po jedinici promeneveliine . (Ovo se meri!) Mnogo elegantnije = 1 , - karakteristina vrenost veliine = 0 . Onda vidimo: za = , = ~ 13 0 . Za = 3 i znajudi a je 3 20 imamo~0,050.

Poreimo sa eksperimentalnom grekom.

4.2.2.Kompeticija i saturacijaPretpostavimo a imamo nametanje kompeticiju dva uticaja, od kojih jedan

smanjuje veliinu (srazmerno samoj veliini), a rugi je povedava. Neka ovaj rugi bue

konstantan.

= + > 0, > 0, = smanjuje povedava

Ovo moe a se rai kao razvajanje promenljivih = ili kao linearna

(nehomogena) jenaina. Probamo rugi nain: = = +

+

+

=

+

+

=

Anuliramo prvi lan: + = 0, = , = .Ovo znamo: ln = . Mi demo raiti > 0, a neka sami probaju negativno. = = 1 = (cse utopi u normiranje ).

= = = = + = + = = + = + Ove viimo osobinu linearnih jenaina:Opte reenje nehomogeneobineDJ je zbir

opteg reenja homogene DJ ( ) i partikularnog reenja nehomogene ( ).Formalno, oreivanje:0 = = 0 0 = + = 0 = + 0


49/170

48

Kakva je fizika iza ovoga?

Neka je 0 > , = 0, = 0 + 0

se asimptotski pribliava, i to oozgo (opaa) (jer u poetnom trenutku opaa!).Neka je 0 < , = 0 . Ovo se obino naziva saturacija zasidenje.

Asimptotski se pribliava maksimalnoj vrenosti.

Specijalan sluaj0 = 0.

Primer: oreivanje viskoznosti preko kuglice koja paa:

= 6 = 1 6 Na vebi se posmatra sluaj kaa je (eksperimentalno) dostignuta

asimptotska vrednost.0 = , = u poetnom trenutku = 0, =


50/170

49

4.3. JEDNAINA TOTALNOG DIFERENCIJALA

, + , = 0Ovo esto slei iz eksplicitne forme = ( , ) ( , ).Pretpostavimo da je gornji izraz totalni diferencijal funkcije , , = 0 , = je reenje! = + . Ovo de vaiti ako je , = i , = . Kako znamo da li je to ispunjeno? Iz uslova 2 2 ,

,

=

,

. Ako to vai, znai a je

= 0

totalni diferencijal, onda je

funkcija

stanja i svejeno je kojom putanjom iemo, pa moemo integraliti u = ili = .Fiziari rae na nain koji se lako uoptava na vie promenljivih:

= , , = (, ) +()Umesto konstante, dodaje se od (jer je i bila konstantna tokom

diferenciranja).

= , = , + = , , = (, ) , + (u eu desnu stranu!) , + (, ) , = , + (, ) , = Popravka kontrolie"dupliranje

Primer:

= = + Ako direktno integralimo bez korekcije: = + = 2 duplo vie! jer se pri diferenciranju gube funkcije samo od !


51/170

50

Teko, neki put moeparcijalna (parcijalna linearna

jednaina)

ta ako ne vai = ?

4.3.1.Integracioni mnoitelj

Ako je , razmiljamo moemo li nadi funkciju(, )sa kojom se moe pomnoitijenaina: (, ) , + (, ) , = 0, a a vai uslov: = + = +

=

Probamo, da li postoji = ()ili = ()? = = = 0 (, ) = ()

1() = 1 Ako je pretpostavka tana, leva strana zavisisamo od

. Ako desna strana zaista zavisi

samo od , ona sve ima smisla. Reimo po (), ne uzimamo konstantu, jer se ona skrati = i u diferencijalu se skrati. Pomnoimo sa()i reimo!Druga mogudnost: = (), 1 ( ) = 1 i opet isto.Konano, neki put se moe pogoiti!


52/170

51

4.4. I I II ZAKON TERMODINAMIKE

Posmatramo 1 mol iealnog gasa u cilinru sa klipom, tako a se pri zagrevanju oravapritisak. Ako zagrevamo gas, tj. ovoimo toplotu, po I zakonu termoinamike (zakon oranja

energije), ona se troi na povedanje unutranje energije sistema i ra protiv spoljanjih sila: = + - totalni iferencijal unutranje energije (ona je funkcija stanja) i su infinitezimalne veliine, ali nisu totalni iferencijali, jer njihova promenazavisi od procesa, tj.

i

nisu funkcija stanja.

Ako je proces stacionaran, tj. kvazistacionaran, pritisak gasa jenak je spoljanjem = , pa je izvren ra = = + .Veliina vezana za eksperiment je toplotni kapacitet pri stalnoj veliini , koji se efinie

kao koliina toplote uloena za jeinino povedanje temperature u procesu u kojem je = . = lim 0 = +

= + potpuno optarelacija!Za = = , = 0, 0: = u ovom procesu se ne vri ra, svatoplota se troi na povedanje unutranje energije.

U optem sluaju posmatramo = (, ): = + , = + . U specijalnom sluaju iealnog gasa, ne zavisi od zapremine

= 0, a

=

:

= = + Za idealni gas (1 mol) = ( univerzalna gasna konstanta) = : = + Da li je ovo totalni diferencijal?


53/170

52

= = 0 = nije!Moa postoji integracioni mnoitelj koji je funkcija samo temperature:

=

=

+

(

)

= 0

(

)

=

+

izjenaimo: + = 0 /: = = ln = ln = 1 Integracioni mnoitelj

= 1 = + Leva strana jeste totalni diferencijal

=

entropija za idealan gas ~ ln . Dimenzija ln 0 + ln 0 formulaSakur-Tetrode:

0 = ln 0 + ln 0 Primetimo da su "popravke" ovde jednake nuli.

II zakon termodinamike tada tvri a i u optem sluaju1

jeste integracioni mnoitelj za

koliinu toplote!

4.5. LINEARNE PARCIJALNE DJ I REDA

Jenaine sline totalnom diferencijalu: linearne, homogene parcijalne jenaine

,

,

+

,

,

= 0. Traimo

=

(

,

). Pokuavamo a PDJ sveemo na sistem

ve obine DJ. Pretpostavimo a je gornji izraz totalni iferencijal: = 0 = 1 + = = 0


54/170

53

poreenjem: = , = , = , , = , , , , = 2Svaka konstanta se moe tretirati kao funkcija ruge konstante:

1 = 2 pa je = [, , ]Primer:

+ = 0 = 1 = ln = ln + ln 2 2 = 1 = 2 = Provera:

= = = 1 = = 2 + = 04.5.1.Nehomogena linearna PDJ I reda

+

=

+

=

=

,

=

,

=

= = Dve kombinacije: = 1 = , , = 2 = , , 1 = (2) , , = , , r e e n j eu principuPrimer:

1

+1

=1

= = 2 2 = 1 2 2 = 2 2 2 = ( 2 2)odavde se lako proveri

= 2 2 + 2


55/170

54

4.5.2.Primena linearnih PDJ na termodinamiku

Vradamo se na jenainu = + . Vradamo se i na integracionimnoitelj: = + = + = prevodimo u sistem = = + = 0 + = 0

ln

+ ln

= ln

1

=

1 ln

+

ln

= ln

2

= 2 1 = 2 = = 1 Izraz koji smo ranije dobili odgovara 1, = 1. Proveriti da jeste totalni diferencijal.

4.6. OBINE DJ II REDA

Opti oblik , , , = 0, opte reenje je oblika = (, 1, 2). Sada postoje dvanaina za oreivanje konstanti.

Poetni uslovi: funkcija i prvi izvo se zaaju u istoj taki = 0, 0 = 0, 0 = 0 . Ovo se javlja u mehanici kod kretanja. Mi zadajemo poloaj tela i njegovu brzinu upoetnom trenutku

0

=

0,

0

=

0,

= 0(odatle naziv).

Granini uslovi: sama funkcija se zaaje u ve take: = 0, 0 = 0; = , = . Recimo,opisujemo elongaciju ko oscilacija ili talasa. Kaa je ica

uvrdena na va kraja 0 = = 0.Ove ima mnogo manje recepata, pa demo raiti samo neke sluajeve bitne za fiziku.


56/170

55

4.6.1.Sniavanje reda jednaine integracijomNeki put se integracijom moe svesti na ve DJ I rea.

a) Jenaina koja ne sari zavisno promenljivu (y) , , = 0 smena = (), = (), , , = 0 reimo kao = (, 1) (ima jednu konstantu) = (, 1). Jo jednom integralimo = 2 + (, 1). Dva puta smo integralili jenainu I rea.b) Jenaina koja ne sari nezavisno promenljivu

,

,

= 0

=

=

=

=

formalno

=

= Sutinski, preemo na promenljivu = ()izvod posredne funkcije = = . , , = 0- ovde je ()zavisno promenljiva, nezavisno promenljiva.Reimo = (, 1)i onda , 1 = , ( ,1) = , tj. = 2 + ( ,1) .Primeri iz mehanike

II Njutnov zakon u jednoj dimenziji:

= 2 2 = , , = Izvo po vremenu oznaava sekao taka izna:

=

= =

= =

Ako

ne zavisi od

:

=

,

=

,

=

(

,

)it. (ovo je sluaj po a))

Ako ne zavisi eksplicitno od vremena: = , = = = = = (, )itd. (ovo je sluaj po b)).


57/170

56

4.7. LINEARNE DJ II REDA

Nema mnogo jenaina koje se mogu reiti, koncentriemo se na one koje su zafiziare najbitnije linearne jenaine, jer je linearna aproksimacija obra.

+ + = nehomogena

Ako znamo a reimo ogovarajudu homogenu, znademo i nehomogenu. Prvo

slede opti pojmovi o homogenoj.

4.7.1.Nalaenje optih reenja homogene DJ ako su poznati partikularniintegrali

Kada posmatramo partikularne integrale, vano je a oni buu linearno nezavisni. Za

ve funkcije to znai a im kolinik nije konstanta: znai, uvek smatramo a su partikularni

integrali linearno nezavisni.

a) Ako su poznata dva partikularna integrala i 1 i 2 zadovoljavaju homogenu jednainu.Opte reenje je oblika = 1 1 + 2 2.Provera: 1 1 + 2 2 + 1 1 + 2 2 + 1 1 + 2 2 = 01 1 + 2 2 + 1 1 + 2 2 + 1 1 + 2 2 = 0

1

1

+

1 +

1

+

2

2

+

2 +

2

= 0 0 = 0

Funkcija ima dve proizvoljne konstante i prevoi jenainu u ientitet.

(Kad bi bilo 2 = 1, onda je to samo jedna konstanta = 1 1 + 2 1 == 1 + 2 1!

reenje nehomogene = opte reenje homogene + partikularno reenjenehomogene


58/170

57

b) Ako je poznat jedan partikularni integral Opte reenje: = 1 = 1 + 1 = 1 + 21 + 1

1 + 2

1+

1+

1 +

1 +

1 = 0

1 + 21 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0 + 2 11 + = 0 ova jenaina sari (preko 1i ), ali ne sari . Moglo bistanarno, ali zbog linearnosti ie bre. = 2 11 = 2 1 1 = 2

ln

=

2 ln

1

+ ln

2

= 2

12

=

1 +

2

12

( )

= 1 = 1 1 + 21 12 ( ) drugo partikularno reenj e4.7.2.Linearne DJ sa konstantnim koeficijentomOvo je najbitnije, jer se esto moe zanemariti promena koeficijenata + + =

0,

,

=

reenje u obliku

=

,

=

,

=

2

2 + + = 0 : 2 + + = 0 karakteristina jenaina1,2 = 2 24 va (linearno nezavisna) partikularna reenja = 1 1 + 2 2 = 2 1 24 + 2 24 opti rezultat.

1) 24

= 2 > 0 realni koreni = 2 1 + 2 (moe prekohiperbolinih)

2) 2

4 = 2 < 0 kompleksni koreni = 2 1 + 2 moe ovako(recimo u kvantnoj mehanici): = 2 1 cos + sin + 2 cos sin =

= 2 1 + 2 cos + 1 2 sin = 2 1 cos + 2 sin


59/170

58

Treda mogudnost:1 = sin 0, 2 = cos 0

=

2

sin

0 cos

+ cos

0 sin

=

sin

+

0

amplituda i

poetnafaza!

3) 2

4 = 0, 1 = 2 = 2 imamo samo jednu partikularnu integracijuZnamo rezultat: = 1 = 2 = 2 2

2 = 2

2 =

2 2 +

2

2 2 = + 2

4 2

zamenimo u jenainu: + 24

2 + 2

2 + 2 = 0 : 2 + 2

4 + 2

2 + = 0 + 2

4+ = 0 = 0 = 2

= 1 + 2 = 1 + 2 2 = 1 2 + 2 2 Za jenaine sa konstantnim koeficijentima postoje recepti za traenje

partikularnih reenja, kaa je nehomogenost posebnog oblika (na vebama).

Primeri iz fizike vezani za teoriju oscilacija!

4.8. LINEARNI HARMONIJSKI OSCILATOR

Oscilator je linearan, jer se krede u jenoj imenziji,maa moe biti i 1 stepen sloboe (matematiko klatno se

krede u ravni, ali je uina niti fiksirana).

estica ima potencijalnu energiju (), koja ima minimum,to ogovara stabilnoj ravnotei. Minimum ogovara taki


60/170

59

0. Ako je kretanje ogranieno na okolinu 0, 0 1imamo tzv. male oscilacije. Razvijamo()u red oko 0:

=

0

+

0 0

+

+1

2 2 2 0 0 2 + 13!

3 3 0 0 3 Potencijalna energija je oreena o na konstantu, merimo je o minimuma, tj. o 0. Znamo 0 = 0(u ekstremu!), a: 2 2 0 > 0u minimumu 2 2 0 = 2 > 0, > 0.

Onda je kvarat prvi lan razliit o nule, a ako su oscilacije male, zanemarujemo kubni i vie

stepene.

= 12 0 2Pomerimo koorinatni poetak u

0x :

= 12

2Potencijalnu energiju smo aproksimirali parabolom.

=

grad

=

=

tzv. harmonijske sile

2 2 = 2 2 + = 0 = 2 2 2 + 2 = 0 Jenaina harmonijskog oscilovanja: 2 + 2 = 0 = = sin + cos poetni uslovi: = 0 = 0, = 0 = 0

= 0

=

=

=0=

0 =

=

0

= 0 sin + 0 cos (Mora ili 0ili 0biti raliitood nule ili nema oscilovanja!)


61/170

60

Druga mogudnost: = cos 0 = sin0 + = 2 + 2 amplituda

=

sin

0

0 = arctg

p o e t n a

faza

Bitno: uvek kaa je sila privlana (ka centru) i srazmerna odstupanju, dobijaju se

harmonijske oscilacije; tunel kroz zemlju, flaa na voi, U-cev, LC-kolo.

Oscilovanje u viskoznoj sredini

U viskoznoj sreini je otpor sreine u najnioj

aproksimaciji srazmeran brzini:

=

= + + = 0 : + + = 0 + 2 + 02 = 0 = 02 2 = 2 + 2 + 02 = 0 1,2 =

2

02

Za 2 02 > 0 realno, a > 2 02,znai, oba lana eksponencijalno opaaju: = 11 0 2 + 1+1 0 2

Za 2 02 < 0:

2 =

02

2

= sin + cos = cos0 + tPriguene (amortizovane) oscilacije


62/170

61

4.8.1.RLC koloNapunimo kondenzator i pustimo ga da se

prazni.

+ = = = = (samoindukcija) + = Elegantno za = : 2

2

+

+1

= 0 itd.

= 2 cos + sin = 2 2 cos + sin + 2 sin + cos == 2

2 + 0 sin 0 cos +

2 + 0 cos 0 sin = = 0 2 sin + 0

4.9. OSCILOVANJE POD DEJSTVOM PRINUDNE SILE I REZONANCIJA

Neka na LHO bez otpora sredine deluje prinudna sila oblika = 0 sin , gde je

0 =

.

Ispitati kretanje sistema: 2 2 = + 0 sin 2 2 + = 0 sin 02


63/170


64/170

63

Prema gornjem za 2 2 + 02 = 0 sin 0 , + = 0 - jeste koren. Partikularno

reenje je = cos 0 + sin 0 .

=

cos

0

+

sin

0

+

0 sin

0

+

0 cos

0

= 0 sin 0 + 0 cos 0 0 sin 0 + 0 cos 0 + 02 cos 0 02 sin 0 == 20 sin 0 + cos 0 + 02 cos 0 sin 0

20 sin 0 + cos 0 + 02 cos 0 sin 0 + 02 cos 0 + sin 0 = 0 sin 0

20 sin 0 + cos 0 02 cos 0 + sin 0 +

02

cos

0

+

sin

0

=

0

sin

0

sin 0 + cos 0 = 020 sin 0 = 020 = 0 = 0

20 cos 0 Ova amplitua raste neogranieno sa vremenom!

U praksi uvek postoji otpor sredine (trenje). Ona se ponaanje bitno menja. = sin + 0 , a u prinudnoj sili nema eksponencijalnog lana, tako a + nikad nijekoren karakteristine jenaine. Stoga je partikularno reenje uvek oblika sin 0 + cos 0 . Ukupno reenje je zbir ova va reenja: = 1 cos + 2 sin + sin + cos

Posle nekog vremena je eksponencijalno opaajudi lan (homogeno reenje) zanemarljiv

i ostaje samo partikularno reenje koje opisuje oscilovanje frekvencije prinudne sile i ne

divergira ni za = 0. Ovako u praksi deluje rezonancija.


65/170

64

Opti oblik sistema ko metoevarijacije konsanti za difernecijalnu

jenainu rugog rea:1 = sin

0

2 = cos

0

1 1 + 2 2 =()1 1 + 2 2 = 0

4.9.1.Metod varijacije konstanti za prinudnu silu

+ 02 = 0 sin = 1 sin 0 + 2 cos 0 Sistem:1 0 cos 0 2 0 sin 0 = 0 sin 1 sin 0 + 2 cos 0 = 0 = 0 cos 0 sin 0 sin 0 cos 0 0 cos2 0 + sin2 0 = 0

1 = 0 sin sin 0 0 cos

0

= 0

sin cos 0

2 = 0 cos 0 0 sin sin 0 0 = 0 sin sin 0 1 = 1 + 00 sin cos 0 2 = 2 00 sin sin 0

=

1 sin

0

+

2 cos

0

+

0

0

sin

0

sin

cos

0

cos

0

sin

sin

0

sin + = sin cos + cos sin sin = sin cos cos sin sin cos = 12 sin + + sin cos = cos cos + sin sin cos + = cos cos sin sin sin sin = 12 cos cos +

ZAGRADA:

sin 0 12

sin + 0 + sin 0 cos 0 12

cos 0 cos + 0 ==

1

2

sin

0

cos

+

0

+ 0 cos

0

0 cos

0

2 sin

0

0 sin

+

0

+ 0

020 1 + 0 sin 0 cos cos 0 sin sin 0 + 1 0 sin 0 cos cos 0 + sin sin 0 ++

1 0 cos 0 sin cos 0 cos sin 0 1 + 0 cos 0 sin cos 0 + cos sin 0 == 0

20 cos sin 0 cos 0 + 0 + sin 0 cos 0 0 cos 0 sin 0 0 cos 0 sin 0 + 0 +


66/170

65

sve isto do poslednjeg

integrala

+sin sin2 0 + 0 + sin2 0 0 + cos2 0 0 cos2 0 + 0 == 0

2

0

1

0

1

+

0

sin = 02

0

+ 0 + 0

2

02 sin = 0

sin

02

2

= 1 sin 0 + 2 cos 0 + 0 102 2 sin REZONANCIJA: + 02 = 0 sin = 1 sin 0 + 2 cos 0 = 1 sin 0 + 2 cos 0 + 00 sin 0 sin 0 cos 0 cos 0 sin2 0 ZAGRADA:

sin 0 sin2

0

20 cos 0 1

cos2

0

2 =sin3

0

20 1

2 cos 0 sin2

0

20 ==

sin3 0 20 12 cos 0 + 12 cos 0 10 sin 0 cos 0 =

=sin3 0

20 12 cos 0 + 120 sin 0 1 sin2 0 ==

sin3 0 20 12 cos 0 + 120 sin 0 sin3 0 20

= 1 sin 0 + 2 cos 0 0

20 cos 0 + 0

202 sin 0 = 1 + 0202 sin 0 + 2 cos 0 020 cos 0


67/170

66

4.10.REAVANJE LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAINA POMOUSTEPENIH REDOVA

Jean o nejefikasnijih metoa za reavanje linearnih diferencijalnih jenaina rugog

rea je meto potencijalnih (stepenih) reova. Reenje se trai u obliku stepenog reda sa

neoreenim koeficijentima. Iz iferencijalne jenaine se obijaju rekurentne relacije koje

povezuju koeficijente razliitih ineksa. Reavanje ima smisla ako razlika nije veda o 2, a to

znai a razlika stepena nije veda o 2 (ona su 0 i 1 neodreene konstante). Uvek trebaproveriti konvergenciju reenja.

Recept za reavanje iferencijalne jenaine pomodu reova:1) uvrstiti re u iferencijalnu jenainu;2) dovesti promenljivu na isti stepen;3) ovesti reove na isti poetni ineks;4) uporeivati.

Raidemosamo jedan bitan primer!

4.10.1. Degenerisana hipergeometrijska funkcija (konfluentna)Razmotrimo degenerisanu (konfluentnu) hipergeometrijsku jenainu:

2 2 + = 0gde su i realni parametri. Ovu jenainu reavamo pomodu stepenog (potencijalnog) rea:

=

+

=0

nam slui za sluaja se pojavi neki singularitet, ili a naemo rugo partikularno reenje.I) = + + 1 =0

2 2 = + + 1 + 2 =0


68/170

67

+ + 1 + 2 =0 + + + 1=0 + =0 = 0 + + 1 + 2 =0 + + + 1 =0 + + 1 =0 + =0 = 0

+ + 1 +

1

=0 + + +

1

=0 + +

=0 +

=0 = 0

Grupiemo iste stepene:

+ + 1 + + 1 =0 + + + =0 = 0II) Isti stepen: u prvom redu 1 = = + 1, u drugom = :

+1 + 1 + + + + =1 + + + =0 = 0III) Isti poetni ineks:

= 1izostavimo iz reda

0 1 + 1 + +1 + 1 + + + + + + =0 = 0IV) Izjenaujemo koeficijente sa nulom:0 1 + 1 = 0 k a r a k t e r i s t i n aj ednaina +1 = + + + + 1 + + rekurentna relacija

= 0,1,2,

Rekurentna relacija povezuje susedne indekse, zato 0 0ved je 1 = 0 ili 2 = 1 .1 = 0 +1 = + + 1 + , = 0,1,2, 2 = 1 +1 = + 1 + + 1 + 1 + 1 + = + + 1 + 2 + 1

Naemo reenje za 1 = 0, ona pomnoimo sa 1 , i smenom + 1 ,

2

, obijamo rugo reenje.

1 = 0 +1 = + + 1 + = 0 1 = 1 0 = 1 2 = + 1 + 1 2 1 = + 1 + 1 2 1 0


69/170

68

3 = + 2 + 2 3 2 + 1 + 2 + 1 + 2 3! 0 = + 1 + 2 + 1

+ 1

+ 2

+

1

!

0 dokazati indukcijom!Biramo 0 = 1, obijamo jeno partikularno reenje:1 = , ; = 1 + + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 ! =1 Uoptenje faktorijela je -funkcija:

1 0

= 1 1 (parcijalno!)

+

=

+

1

+

1

=

+

1

+

2

+

2

=

= = + 1 + 2 + 1 bitno! + 1 + 2 + 1 = + , ; = 1 + + + ! =1

0 ! = 1pa uvuemo lan = 0:

,

;

=

+

+

!

=0

za = : , ; = Drugo reenje: 2 = 1 + 1 , 2 ; Opte reenje: = 1 1 + 2 2KONVERGENCIJA: (Dalamberov kriterijum)

lim +1 +1

= lim +

+ 1

+ + 1 + + +1

+ 1! ! == lim + + 1 + + + + 1 + 1 = lim + + + 1 ~ + 1 ovo je red

ne mora biti prirodanbroj, =prirodan broj


70/170

69

Ermitski

Lagerovi

Beselovi

+1 + 1! ! Znai re se ponaa kao

!

Ako ovo nije ovoljno brzo, tj. ako ceo izraz ivergira, re moramo presedi, a za neko = ( = 0, 1,2, ) taj lan i svi vii su nula, i obijamo polinom stepena n! , ; = 1 ()( + ) + 1


71/170

70

5.Primena Furije-analize na reavanjefizikih problema

5.1. ORTOGONALNOST I ORTONORMIRANOST TRIGONOMETRIJSKIHFUNKCIJA

Ovo je priprema za uvoenje Furijeovih reova. Polazimo o sleeda va integrala:

= cos cos = sin sin

sin

cos

=

neparna funkcija u

simetrinimgranicama

Naredne formule se teko pamte, alimogu se izvesti:

cos = cos cos + sin sin cos + = cos cos sin sin cos cos =

1

2cos + cos +

sin sin = 12

cos cos + = cos cos

= = 12 cos + cos +

=

=1

2

sin | + 12 sin + + | = sin sin + + Neka je = , = , = 0,1,2, - : 0

= sin sin + + = 0 takoe isti:

=

=

sin

Za : = = 0Za = :

= = lim sin = lim 0 sin = (lopitalimo) = lim 0 cos 1 =


72/170

71

Prema tome:

= = sin sin

= cos cos

= , 5.2. RAZVOJ U FURIJEOV RED

Ako je funkicija ()perioina sa perioom 2, tj. + 2 =() i na realnoj osiima konaan broj konanih prekia ona se ona moe razviti u trigonometrijski re oblika:

= 0

2 + cos + sin

=1 Koeficijente oreujemo koristedi ortonormiranost:

cos

=

=02

cos

0

+ cos cos

,

=1 + sin cos

0

=1

= 1 cos = Za 0je dovoljno direktno integraliti

= 02

+ cos

0

=1 + sin

0

=1

02 2 = 0 = 1 Mnoedi sa sin

i : = 1 sin

=

Mi ne dokazujemo,

mi primenjujemo


73/170

72

5.2.1.Specijalni sluajevi = ()parna funkcija = 0 0 = 2 0 = 2 cos 0

=

(

)neparna funkcija

0 =

= 0

= 2

sin

0

LOGIKA: neparna funkcija se moe razviti samo po neparnim funkcijama (sinusi), parna

po parnim (kosinusi).

SPECIJALAN SLUAJ: = = 1 cos

0 = 1

= 1 sin

5.2.2.Eksponencijalni oblik Furijeovog redaKoristimo:

cos =

+ 2

sin =

2

= 02

+ + 2 =1 +

2 =1

=

0

2

+

2

=1+

+

2

=1

u drugoj sumi : +

2 =1 = = (iz ozraza za koeficijent)

= 2

1 =


74/170

73

pa sve moemo staviti po jenu sumu:

= 02

+ 2

= Uvodimo

= 2 = 12 cos sin

= 12 ()

, = 0 0 = 12 ()

02 u ei on u sumu

PRIMENA Furijeovog reda - izraunavanje sume

1

4 =1 = 4

90

Kada je u diferencijalnoj jenaini nehomogenost perioina funkcija, razvijamo je u

Furijeov red.

5.3. GRANINI PRELAZ NA FURIJE INTEGRAL

Aperioinu funkciju moemo shvatiti kao perioinu funkciju sa beskonanimintervalom perioinosti. Formalno, izvoimo prelaz na : = 0

2+ cos + sin =1 0 = 1

= 1 cos

= 1 sin

Uvrstimo:

= 12 + 1 cos cos + sin sin =1 = 1

2

+ 1

cos =1


75/170


76/170

75

Ako preemo u tri imenzije , , : = 3

( ) + + = 3

( ) = 12 3 3 ()

5.4. DIRAKOVA DELTA-FUNKCIJA

= 1 cos 0 Smatramo da smemo da promenimo redosled integrala (ovaj drugi je nesvojstveni).

= 1 cos

0

cos 0

= lim cos 0

= lim sin

|0 = lim sin

= 1 lim sin Izgleda kao da izraz u zagradi anulira integraciju i promenljivu zamenjuje promenljivom. Znai, ovaj izraz sa integracijom rai isto to Kronekerov -simbol radi sumi. Dirak je tu

veliinu nazvao elta-funkcija (-funkcija).

=

1

lim

sin

Vidimo da je to parna funkcija argumenta !


77/170

76

Za konano :

za

= 0 lim

0

sin

je konano =

,

a u limesu kada :

Formalno moemo pisati: = 0

Ona ima smisla samo pod integralom!

Kaa su granice konane, bitan argument:

= () 0 < > Preimo sa : = () 0 < >

x


78/170

77

x

2 1 1 2x

0.5

0.5

1.01.5

= 0: ()

= 0 0 za = 1: () = 1 ()

= 1

()+ = 0 = 0Osobine imaju smisla pod integralom!

Probati dokazati sa definicjom:

1 lim sin (Vebe!)5.5. DIFERENCIJALNA I INTEGRALNA REPREZENTACIJA -FUNKCIJE

U elektronici se koristi

Hevisajova step-funkcija:

= 1 > 01/2 = 00 < 0 =

Javlja se u kvantnoj statistici (FD),

testiranje elektrinih ureaja.

5.5.1.Integralna reprezentacija

= lim

= lim 1 | =


79/170

78

= lim 1 = lim 1 2 sin == 2 lim 1

sin

= 2( )

= 12 (proveriti parnost )Umesto 0

0 = 12 0

U tri dimenzije:

0

0

0

0

=

=1

2 0 12 0 12 0 ==

12 3 3 0

0 = 12

3

3 0

(MoeFurije transform u tri dimenzije!)


80/170

79

6.Elementi linearne algebra6.1. LINEARNI PROSTORI

esto se sredemo sa objektima iste matematikepriroe na kojima vrimo sleede ve

operacije:

1) Operaciju slaganja elemenata koju demo uslovno zvati sabiranjem;

2) Mnoenje brojevima koji pripadaju nekom polju (polje realnih ilikompleksnih brojeva).

PRIMER: Vektori u trodimenzionalnom prostoru (orjentisana u) sabiranje po

definiciji i mnoenje brojem (skalarom) dobijeno iskustvom posmatranja dejstva sila.

DEFINICIJA: Skup elemenata , , ... naziva se linearni prostornad zadatim poljemako:

1) Za svaka dva elementa skupa i , postoji element koji im se priruuje pooreenom pravilu, a koji se naziva suma ili zbir elemenata

i

; suma se

oznaava kao = . Time smo definisali sabiranje i uveli uslov zatvorenostiskupa u odnosu na sabiranje.2) Svakom elementu i svakom broju iz polja se po oreenom pravilu priruuje

element oznaen sa koji se naziva proizvod sa . Znai, skup je zatvoren(u odnosu) na mnoenje sa elementom polja.


81/170

80

Ove operacije zaovoljavaju sleede uslove:

1. = , , - komutativnost2.

=

,

,,

- asocijativnost sabiranja

3. Postoji nulti element (neutralni element sabiranja) takav da je = , 4. Za svako iz skupa postoji element koji oznaavamo sa ()inverzni element

sabiranja, takav da je = 5. 1 = jeinica polja (neutralni element mnoenja sa elementom polja)6. = asocijativnost mnoenja brojem (a bi jeinica bila

neutralni element zbog asocijativnosti)

7. + = distributivnost mnoenja brojemu odnosu nasabiranje brojeva u polju8. = distributivnost mnoenja brojemu odnosu na

sabiranje elemenata u skupu

Ona je ovaj skup linearan (vektorski) prostor. Elemente skupa obino nazivamo

vektorima.

RAZLOG: Vektori u trodimenzionalnom prostoru zadovoljavaju sve uslove, pa je ovo

neka vrsta generalizacije.

NAPOMENA: Naalje piemo +i mnoenje bez oznake, a znamo na ta se misli.

6.2. LINEARNA NEZAVISNOST VEKTORA

Neka su dati vektori , , . . . i brojevi , , . . . . Vektori se nazivaju linearnonezavisniako je relacija: + + + + = 0ispunjena samo ako su svi koeficijenti jednaki nuli.


82/170

81

Vektori , , su linearno zavisni, ako je ova jenaina ispunjena a bar jean okoeficijenataje razliit o nule (Mi znamo a ne moe biti samo jean, ved ako je jean, ona je

i jo jean, ali za matematiku je ovoljan jean. Zato?!). Neka znamo a je sigurno 0.Onda smemo da podelimo sa njim:

+ + + + = 0 = + + + Ako su vektori linearno zavisni, bar jedan od njih je linearna kombinacija ostalih.

6.3. DIMENZIJA PROSTORA

U ravni se mogu povudi najvie va linearno

nezavisna vektora, tredi je sigurno linearno zavisan.

U trodimenzionom prostoru mogu se zadati tri

linearno nezavisna vektora, ali ved etvrti je

linearno zavisan. Drugim reima, maksimalan broj

linearno nezavisnih vektora se poklapa sa dimenzijom prostora.

GENERALIEMO: Linearni prostor se naziva -dimenzionim ako u njemu postojinajvie linearno nezavisnih vektora - n .

Kako demo praktino znati imenziju?

Ako u prostoru postoji linearno nezavisnih vektora 1 ,2 , . . . , takvih da se svakivektor iz moe izraziti kao njihova linearna kombinacija, prostor je -dimenzion (skup jekompletan).


83/170

82

6.4. BAZIS I KOORDINATE

Skup linearno nezavisnih vektora 1, 2, , u -dimenzionom prostoru n senaziva bazisom u n . U trodimenzionom Eukliskom prostoru bazis ine bilo koja trinekomplanarna vektora. Bazis igra ulogu koordinatnog sistema.

TEOREMA: Svaki vektor iz -imenzionog prostora moe se jenoznano prestavitikao linearna kombinacija bazisnih vektora.

DOKAZ: Neka bazis ine 1, 2, , . Dodamo im proizvoljan vektor n. Imamoskup od

+ 1vektora u

-dimenzionom prostoru, znai ovaj skup mora biti linearno zavisan.

Ako napiemo: 0 + 1 1 + 2 2 + + = 0bar neki o koeficijenata mora biti razliit o nule. Sigurno je 0 0, jer da nije tako, ostali nebi bili linearno nezavisni (bar jo jean bi bio razliit o nule). Prema tome, elimo sa 0: = 10 1 20 1 0 1Svaki vektor se moe prestaviti kao linearna kombinacija bazisnih vektora. (Ovo je poladokaza)

= 1 1 + 2 2 + = =1 = =1 se nazivaju koordinate (komponente) vektora u datom bazisu.Jo nismo okazali a razvoj jenoznaan. Pretpostavljamo da za jedan te isti bazis postoje dva

moguda skupa koorinata: = i = . Oduzmemo ove izraze: 0 = = 1 1 1 + 2 2 2 + = 0. Kako su 1, 2, , linearnonezavisni, svi koeficijenti moraju biti jednaki nuli:

1 = 1 ; 2 = 2 ; = ; = 1,2 , Znai, koordinate su jenoznano oreene (Meto sasvim rugo je ka izaberemo

rugi bazis!). Mi uslovno piemo = 1 , 2 , , (nije matrica!)Neka su u bazisu 1, 2, , vektori i predstavljeni koordinatama 1, 2 , , i1, 2 , , :


84/170

83

= = = + = + = + + je koordinata vektora - = + . Koordinata zbira dva vektora je jednakazbiru ogovarajudih koorinata ova va vektora. Zato je ovo vano? Zato to sabiranje vektora

moe a bue vrlo sloeno, a kaa smo preli

Documents

osnovi matematicke fizike