Upload
melisa-butkovic
View
95
Download
10
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Matematicke derivacije za faks
Citation preview
RIJESENI ZADACI IZ MATEMATIKE
Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejas.
Zadatke je izabrala, pripremila i rijesila Ksenija Puksec(demonstratorica iz matematike na EF).
Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakic(demonstratorica iz matematike na EF).
Tehnicku realizaciju materijala u programskom paketu LATEX napravio jeKresimir Bokulic (demonstrator iz racunarstva na PMF-MO).
1
DERIVACIJE
1. Ovisnost cijene p o vremenu t dana je sljedecom funkcijomp(t) = 2.45 ·
(12
)0.06t+ 2.86. Ispitajte dugorocno ponasanje cijene. (Uputa:
treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost.)
Rjesenje:Napomena:
limx→∞
ax =
0, a < 1
1, a = 1
∞, a > 1
limt→+∞
[2.45 · (1
2)0.06t + 2.86
]=
(1
2
)0.06·∞+ 2.86 =
= 2.45 ·(
1
2
)∞+ 2.86 = 2.45 · 0 + 2, 86 = 2.86
2. Ovisnost inflacije i o vremenu t dana je sljedecom funkcijomi(t) = 2.4e−0.02t + 3.56. Ispitajte dugorocno ponasanje inflacije. (Uputa:treba racunati limes funkcije kada t ide u beskonacnost).
Rjesenje:
limt→∞
(2.4e−0.002t + 3.56) = 2.4e−0.02·∞ + 3.56 =
= 2.4e−∞ + 3.56 = 3.56
2
3. Nadite asimptote funkcije f(x) = −3x + x.
Rjesenje:
x 6= 0
D = R\{0}
Pravac x=a je okomita asimptota ako vrijedi:
limx→a
f(x) = ∞
limx→0
(−3
x+ x
)= −3
0+ 0 = ∞
x = 0 ⇒ okomita asimptota.
Pravac y = b je vodoravna asimptota ako vrijedi:
limx→∞
f(x) = b
limx→∞
(−3
x+ x
)=−3
∞+∞ = ∞
⇒ nema vodoravne asimptote.
Pravac y = kx + l je kosa asimptota ako vrijedi:
1. limx→∞
f(x)
x= k
2. limx→∞
[f(x)− kx]
limx→∞
−3x + x
x= lim
x→∞
−3+x2
x
x= lim
x→∞
−3 + x2
x2 = L′H = limx→∞
2x
2x= 1 = k
limx→∞
(−3
x+ x− 1x
)= lim
x→∞
(−3
x
)= − 3
∞= 0 = l
3
y = kx + l
y = 1 · x + 0
y = x ⇒ kosa asimptota
4
4. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = x3 + x + 215
Rjesenje:
f ′(x) = (x3)′ + (x)′ + (215)′
f ′(x) = 3x3−1 + 1 + 0
f ′(x) = 3x2 + 1
5. Nadi prvu derivaciju funkcije y = x2
x+1 .
Rjesenje:
y′ =(x2)′(x + 1)− x2(x + 1)′
(x + 1)2
y′ =2x2−1 · (x + 1)− x2((x)′ + (1)′)
(x + 1)2
y′ =2x · (x + 1)− x2 · (1 + 0)
(x + 1)2
y′ =2x2 + 2x− x2
(x + 1)2
y′ =x2 + 2x
(x + 1)2
5
6. Nadite prvu derivaciju funkcije y = (x + 1)ex
Rjesenje:
y′ = (x + 1)′ex + (x + 1)(ex)′
y′ = ((x)′ + (1)′)ex + (x + 1)ex
y′ = (1 + 0)ex + (x + 1)ex
y′ = ex + (x + 1)ex
y′ = ex(x + 2)
6
7. Nadi prvu derivaciju funkcije y =√
x3 − 23√
x2 + 3 3√
x− 2x
Rjesenje:
y = x32 − 2x
23 + 3x
13 − 2x−1
y′ = (x32 )′ − (2x
23 )′ + (3x
13 )′ − (2x−1)′
y′ =3
2x
32−1 − 2 · (x
23 )′ + 3 · (x
13 )′ − 2 · (x−1)′
y′ =3
2x
12 − 2 · 2
3x
23−1 + 3 · 1
3x
13−1 − 2 · (−1)x−1−1
y′ =3
2x
12 − 4
3x−13 + x
−23 + 2x−2
7
8. Nadi prvu derivaciju funkcije y = 3x
x
Rjesenje:
y′ =(3x)′ · x− 3x(x)′
x2
y′ =3xln3 · x− 3x · 1
x2
y′ =3x(xln3− 1)
x2
8
9. Nadi prvu derivaciju funkcije y = b · 1xa , b 6= 0, a > 0
Rjesenje:
y = bx−a
y′ = (bx−a)′
y′ = b(x−a)′
y′ = b(−a)x−a−1
y′ = −abx−a−1
y′ = −ab · 1
xa+1
y′ =−ab
xa+1
9
10. Nadite prvu derivaciju funkcije f(x) = (1 + x2)100.
Rjesenje:
f ′(x) = [(1 + x2)100]′
f ′(x) = 100(1 + x2)99(1 + x2)′
f ′(x) = 100(1 + x2)99 · 2xf ′(x) = 200x(1 + x2)99
11. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) =√
1− 3x4.Rjesenje:
f ′(x) =1
2√
1− 3x4· (1− 3x4)′
f ′(x) =1
2√
1− 3x4· (−12x3)
f ′(x) =−6x3
√1− 3x4
10
12. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 3x2
.
Rjesenje:
f ′(x) = 3x2
ln3 · (x2)′
f ′(x) = 3x2
ln3 · 2x
13. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = 4√
1−x3.
Rjesenje:
f ′(x) = 4√
1−x3
ln4 · (√
1− x3)′
f ′(x) = 4√
1−x3
ln4 · 1
2√
1− x3· (1− x3)′
f ′(x) = 4√
1−x3
ln4 · 1
2√
1− x3· (−3x2)
11
14. Nadi prvu derivaciju funkcije f(x) = e√
1−xx+1 .
Rjesenje:
f ′(x) = e√
1−xx+1 · (
√1− x
x + 1)′
f ′(x) = e√
1−xx+1 · 1
2√
1−xx+1
· (1− x
x + 1)′
f ′(x) = e√
1−xx+1 · 1
2√
1−xx+1
· (1− x)′ · (x + 1)− (1− x) · (x + 1)′
(x + 1)2
f ′(x) = e√
1−xx+1 · 1
2√
1−xx+1
· −2
(x + 1)2
f ′(x) =−e√
1−xx+1√
1−xx+1 · (x + 1)2
f ′(x) =−e√
1−xx+1
√1− x · (x + 1)
32
f ′(x) =−e√
1−xx+1
√1− x ·
√(x + 1)3
f ′(x) =−e√
1−xx+1
√1− x · (x + 1) ·
√x + 1
f ′(x) =−e√
1−xx+1
(x + 1) ·√
(1− x)(x + 1)
f ′(x) =−e√
1−xx+1
(x + 1) ·√
1− x2
12
15. Koristeci definiciju derivacije, nadite derivaciju funkcije f(x) =√
2x + 1 utocki x0 = 4.
Rjesenje:
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)
h
limh→0
√2(x + h) + 1−
√2x + 1
h·√
2(x + h) + 1 +√
2x + 1√2(x + h) + 1 +
√2x + 1
=
= limh→0
2(x + h) + 1− (2x + 1)
h(√
2x + 2h + 1 +√
2x + 1)=
= limh→0
2x + 2h + 1− 2x− 1
h(√
2x + 2h + 1 +√
2x + 1)=
= limh→0
2√2x + 2h + 1 +
√2x + 1
=
=2√
2x + 2 · 0 + 1 +√
2x + 1=
2
2√
2x + 1=
1√2x + 1
f ′(4) =1√
2 · 4 + 1=
1√9
=1
3
13
16. Odredite stotu derivaciju funkcije y = e−2x.Uputa: odredite prvih nekoliko derivacija te uocite pravilo za racunanjeslijedecih!
Rjesenje:
y′ = e−2x · (−2x)′ = e−2x · −2 = −2e−2x
y′′ = (−2e−2x)′ = −2 · e−2x · (−2) = (−2)2e−2x = 22 · e−2x
y′′′ = ((−2)2 · e−2x)′ = (−2)2 · e−2x · (−2) = (−2)3 · e−2x
y′′′′ = (−2)3e−2x · (−2) = (−2)4e−2x = 24e−2x
...
y(100) = 2100 · e−2x
14
17. Za funkciju ukupnih troskova T (Q) =√
ln(3Q2) odredite pripadnu funkcijugranicnih troskova.
Rjesenje:
T ′(Q) =1
2√
ln(3Q2)· (ln(3Q2))′ =
=1
2√
ln(3Q2)· 1
3Q2 · (3Q2)′ =
=1
2√
ln(3Q2)· 1
3Q2 · 6Q =
=1
Q√
ln(3Q2)
15
18. Primjenom diferencijala priblizno izracunajte 1.00110.
Rjesenje:
Trazimo ono sto lako izracunamo, a da priblizno bude jednako.
110, bazu smo promijenili, ono sto smo promijenili oznacimo s x.
x = 1
∆x = 0.001 = dx
x + ∆x = 1 + 0.001 = 1.001
y = x10
y′ = 10x9
y(x + ∆x) ≈ y(x) + y′(x) · dx
y(1 + 0.001) ≈ y(1) + y′(1) · dx
y(1.001) ≈ 110 + 10 · 19 · 0.001
y(1.001) ≈ 1.01
16
19. Izracunajte prirast i diferencijal funkcije Q(L) =√
L, te relativnu pogresku,ako je L = 0, ∆L = 0.001.
Rjesenje:
Prirast funkcije:
∆y = y(x + ∆x)− y(x)
∆Q = Q(L + ∆L)−Q(L)
∆Q = Q(9.001)−Q(9)
∆Q =√
9.001−√
9
∆Q = 0.000166662
Diferencijal funkcije:
dy = y′(x) · dx
dL = ∆L = 0.001
dQ = Q′(L) · dL =1
2√
L· dL =
1
2√
9· 0.001
dQ = 0.000166667
Relativna pogreska:
∆y − dy
∆y· 100
∆Q− dQ
∆Q· 100 =
0.000166662− 0.000166667
0.000166662· 100 = −0.003000084%
17
20. Odredite jednadzbe tangente i normale na graf funkcije f(x) = 84+x2 u tocki
s apscisom 2.
Rjesenje:
t . . . y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0), T (x0, f(x0))
n . . . y − f(x0) =−1
f ′(x0)(x− x0), T (x0, f(x0))
T (x0, f(x0))
T (2, f(2)) = T (2, 1)
f(2) =8
4 + x2 =8
4 + 4= 1
f ′ = (8
4 + x2 )′ =
−16x
(4 + x2)2
f ′(2) =−16 · 2(4 + 4)2 =
−1
2
t . . . y − 1 =−1
2(x− 2)
y − 1 =−1
2x + 1
y =−1
2x + 2
n . . . y = 2x + 2
18
21. Izracunaj:
limx→1
x−√
2− x
x− 1
Rjesenje:
limx→1
x−√
2− x
x− 1=
1−√
2− 1
1− 1=
0
0= L′H =
= limx→1
(x−√
2− x)′
(x− 1)′=
= limx→1
1− 12√
2−x· (2− x)′
1=
= limx→1
(1 +
1
2√
2− x
)=
= 1 +1
2√
2− 1= 1 +
1
2=
3
2
19
22. Odredite podrucje rasta i pada funkcije f(x) = −3x4 + 6x2 − 15.
Rjesenje:
D = Rf ′(x) = −12x3 + 12x
−12x3 + 12x = 0
−12x(x2 − 1) = 0
−12x = 0 ⇒ x = 0
x2 − 1 = 0 ⇒x = 1
x = −1
−∞,−1 -1, 0 0, 1 1, +∞f’(x) + - + -
↗ ↙ ↗ ↙
Npr: ako za interval < −∞,−1 > uzmemo tocku -2, tada jef ′(−2) = −12 · (−2)3 + 12 · (−2) = 24.
Funkcija pada na < −1, 0 >i < 1, +∞ >, a raste na < −∞,−1 > i < 0, 1 >.
20
23. Odredite podrucja konveksnosti i konkavnosti funkcije y = xex.
Rjesenje:
D = R
y′ = ex + xex = ex(1 + x)
y′′ = ex(1 + x) + ex = ex(2 + x)
ex(2 + x) = 0
x = −2
−∞,−2 −2, +∞y′′ − +
∩ ∪
Funkcija je konkavna na < −∞,−2 >, a konveksna na < −2, +∞ >.
21
24. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 6x4 − 8x3 − 10.
Rjesenje:
D = R
f ′(x) = 24x3 − 24x2
24x3 − 24x2 = 0
24x2(x− 1) = 0
24x2 = 0 ⇒ x = 0
x− 1 = 0 ⇒x = 1
f ′′(x) = 72x2 − 48x
f ′′(0) = 0
f ′′′(x) = 144x− 48
f ′′′(0) = −48
U x = 0 nema ekstrema.
f ′′(1) = 72 · 12 − 48 · 1f ′′(1) = 24 > 0
min(1, f(1))
f(1) = 6 · 14 − 8 · 13 − 10 = −12
min(1,−12)
22
25. Izracunajte maksimum funkije dobiti ako je zadana funkcija ukupnih troskovaC(Q) = Q3 − 6Q2 + 140Q + 750 i funkcija ukupnih prihodaR(Q) = −7.5Q2 + 1400Q, gdje je Q kolicina proizvodnje.
Rjesenje:
D = Q ∈ [0, +∞ >
D(Q) = R(Q)− C(Q)
D(Q) = −7.5Q2 + 1400Q− (Q3 − 6Q2 + 140Q + 750)
D(Q) = −Q3 − 1.5Q2 + 1260Q− 750
D′(Q) = −3Q2 − 3Q + 1260
Q1,2 =−(−3)±
√(−3)2 − 4 · (−3) · 1260
2 · (−3)
Q1 = 20
D′′(Q) = −6Q− 3
D′′(20) = −6 · 20− 3 = −123 < 0
max(20, D(20))
D(20) = 15850
max(20, 15850)
23
26. Pronadite minimum funkcije prosjecnih troskova ako su ukupni troskoviT (Q) = 4Q2 + 112Q + 100, gdje je Q kolicina proizvodnje.
Rjesenje:
D = Q ∈ [0, +∞ >
A(Q) =T (Q)
Q=
4Q2 + 112Q + 100
Q
A(Q) =4Q2
Q+
112Q
Q+
100
Q
A(Q) = 4Q + 112 +100
Q
A′(Q) = 4− 100
Q2
4− 100
Q2 = 0
Q = 5
A′′(Q) =200
Q3
A′′(5) =200
125> 0
min(5, A(5))
A(5) = 152
min(5, 152)
24
27. Zadana je funkcija prosjecnih prihoda AR(Q) = −Q+200, gdje je Q kolicinaproizvodnje.Izracunajte maksimum funkcije ukupnih prihoda.
Rjesenje:D = Q ∈ [0, +∞ >
R(Q) = AR(Q) ·QR(Q) = (−Q + 200) ·Q = −Q2 + 200Q
R′(Q) = −2Q + 200
−2Q + 200 = 0
Q = 100
R′′(Q) = −2 < 0
R(100) = 10000
max(100, 10000)
25
28. Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosjecnih troskovaP (Q) = 460− 3200
Q , T (Q) = 2 + 100Q .
Za koji opseg proizvodnje Q se ostvaruje najveca dobit i koliko ona iznosi?Koliki su tada ukupni prihodi i troskovi?
Rjesenje:
D(Q) = P (Q)− T (Q)
T (Q) = T (Q) ·Q
T (Q) = (2 +100
Q) ·Q = 2Q + 100
D(Q) = 460− 3200
Q− (2Q + 100)
D(Q) = 360− 3200
Q− 2Q
D′(Q) =3200
Q2 − 2
3200
Q2 − 2 = 0 ⇒ Q = 40
D′′(Q) =−6400
Q3
D′′(40) = −0.1 < 0 ⇒ max(40, D(40))
D(40) = 200, max(40, 200)
P (40) = 380
T (40) = 180
26
29. Odredite domenu i tocke infleksije funkcije f(x) = 12x
2 + lnx.
Rjesenje:
x > 0
D = x ∈< 0, +∞ >
f ′(x) = x +1
x
f ′′(x) = 1− 1
x2
1− 1
x2 = 0 ⇒
x1 = 1
f ′′′(x) = 2x−3
f ′′′(1) = 2 · 1−3 = 2 6= 0
I(1, f(1))
f(1) =1
2· 12 + ln1 =
1
2+ 0 =
1
2
I(1,1
2)
27
30. Zadana je funkcija troskova T (Q) = Q3 − 2Q, gdje je Q kolicinaproizvodnje. Izracunajte koeficijent elasticnosti troskova u odnosu na proizvod-nju na nivou proizvodnje Q=2. Interpretirajte rezultat.
Rjesenje:
ET,Q =Q
T· T ′ =
Q
Q3 − 2Q· (Q3 − 2Q)′ =
=Q
Q3 − 2Q· (3Q2 − 2) =
Q
Q(Q2 − 2)(3Q2 − 2) =
=3Q2 − 2
Q2 − 2
ET,Q(2) =3 · 22 − 2
22 − 2= 5
Kada Q na nivou Q=2 povecamo za 1%, onda ce se T povecati za 5%.
28
31. Odredite podrucja elasticnosti i neelasticnosti funkcije potraznje
q(p) =9500
3p2 + 675
u odnosu na cijenu p.
Rjesenje:
D . . . 3p2 + 675 6= 0
3p2 6= −675 ⇒ uvijek
p ≥ 0
q ≥ 0
Eq,p =p
q· q′ = p
95003p2+675
·(
9500
3p2 + 675
)′=
−6p2
3p2 + 675
|Eg,p| = | − 6p2
3p2 + 675| = 6p2
3p2 + 675
6p2
3p2 + 675> 1/ · 3p2 + 675
6p2 > 3p2 + 675
3p2 > 675/ : 3
p2 > 225
p > 15
Pel =< 15, +∞ >
Pneel =< 0, 15 >
29
32. Ispitajte homogenost funkcije
f(x1, x2, x3) = x1 · x2 ·√
lnx1+x2
x2+x3.
Rjesenje:
f(λx1, λx2, λx3) = λx1 · λx2 ·√
lnλx1 + λx2
λx2 + λx3=
= λ2x1 · x3 ·
√ln
λ(x1 + x2)
λ(x2 + x3)=
= λ2 · x1 · x3 ·√
lnx1 + x2
x2 + x3=
= λ2 · f(x1, x2, x3)
Funkcija je homogena stupnja α = 2.
30
33. Ispitajte homogenost funkcije f(x, y) =√
x · y2.
Rjesenje:
f(λx, λy) =√
λx · (λy)2 =√
λ ·√
x · λ2 · y2 =
= λ52 ·√
x · y2 = λ52 · f(x, y)
Funkcija je homogena stupnja α = 52 .
31
34. Ispitajte homogenost funkcije
f(x, y) = log3x2 + 2y2
xy
Rjesenje:
f(λx, λy) = log3(λx)2 + 2(λy)2
λxλy=
= log3λ2x2 + 2λ2y2
λ2xy=
= logλ2(3x2 + 2y2)
λ2xy= log
3x2 + 2y2
xy= f(x, y) =
= λ0 · f(x, y)
Funkcija je homogena stupnja α = 0.
32
35. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.6L12Ct, gdje
je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju rastuci prinosi u proizvodnji.
Rjesenje:
Q(λL, λC) = 3.6(λL)12 (λC)t = 3.6λ
12L
12λtCt =
= λ12+t3.6L
12Ct = λ
12+tQ(LC)
1
2+ t > 1
t > 1− 1
2
t >1
2
t ∈<1
2, +∞ >
Napomena:
α > 1 ⇒ prinosi su rastuci.α = 1 ⇒ prinosi su konstantni.α < 1 ⇒ prinosi su opadajuci.
33
36. Zadana je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.5LtC14 , gdje
je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Odredite parametar t ∈ R takavda su u pitanju opadajuci prinosi u proizvodnji.
Rjesenje:
Q(λL, λC) = 2.5(λL)t(λC)14 = 2.5λtLtλ
14C
14 =
= λt+ 142.5LtC
14 = λt+ 1
4Q(LC)
t +1
4< 1
t < 1− 1
4
t <3
4
t ∈< −∞,3
4>
34
37. Kako se promijeni vrijednost funkcije
f(x, y, z, v) =
√x√
y + z + y√
z + v
x + 2y + 3z + 4v
ako sve varijable istovremeno:a) povecamo 256 puta?b) smanjimo za 34.39%?
Rjesenje:a)
f(λx, λy, λz, λv) = λαf(x, y, z, v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 256αf(x, y, z, v)
f(λx, λy, λz, λv) =
√λx√
λy + λz + λy√
λz + λv
λx + 2λy + 3λz + 4λv=
=
√λx√
λy + λz + λy√
λz + λv
λ(x + 2y + 3z + 4v)=
√λ
32 (x√
y + z + y√
z + v)
λ(x + 2y + 3z + 4v)=
= λ14 · f(x, y, z, v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 25614f(x, y, z, v)
f(256x, 256y, 256z, 256v) = 4f(x, y, z, v)
Kada sve varijable istovremeno povecamo 256 puta tada ce se vrijednostfunkcije povecati 4 puta.
35
b)
x → x− 34.39
100x = x(1− 0.3439) = 0.6561x
f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.656114f(x, y, z, v)
f(0.6561x, 0.6561y, 0.6561z, 0.6561v) = 0.9f(x, y, z, v)
Ako sve varijable istovremeno smanjimo za neki postotak p tada ce se vri-jednost funkcije smanjiti za 100(1− λα)%.
100(1− λα)% = 100(1− 0.9)% = 10%
Kada sve varijable istovremeno smanjimo za 34,39% tada ce se funkcijasmanjiti za 10%.
36
38. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 3x2 + xy +√
y.
Rjesenje:
fx = (3x2)′ + (xy)′ + (√
y)′ =
= 3 · (x2)′ + y · (x)′ + 0 =
= 3 · 2x2−1 + y · 1 = 6x + y
fy = (3x2)′ + (xy)′ + (√
y)′ =
= 0 + x · (y)′ +1
2√
y=
= x · 1 +1
2√
y= x +
1
2√
y
37
39. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y, z) = e2xz − ln(yz) + 1.
Rjesenje:
fx = e2xz · (2xz)′ − 0 + 0 =
= e2xz · 2z · (x)′ = e2xz · 2z · 1 = 2ze2xz
fy = 0− 1
yz· (yz)′ + 0 = − 1
yz· z · (y)′ =
= − 1
yz· z = −1
y
fz = e2xz · (2xz)′ − 1
yz· (yz)′ + 0 =
= e2xz · 2x · (z)′ − 1
yz· y · (z)′ =
= e2xz · 2x · 1− 1
yz· y · 1 =
= 2xe2xz − 1
z
38
40. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije u(x, y) = 2x−yx+y .
Rjesenje:
ux =(2x− y)′ · (x + y)− (2x− y) · (x + y)′
(x + y)2 =
=2(x + y)− (2x− y)
(x + y)2 =3y
(x + y)2
uy =(2x− y)′ · (x + y)− (2x− y) · (x + y)′
(x + y)2 =
=−1 · (x + y)− (2x− y) · 1
(x + y)2 =3x
(x + y)2
39
41. Nadi sve prve parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = xy.
Rjesenje:
fx = yxy−1
fy = xylnx
42. Nadi sve prve i druge parcijalne derivacije funkcije z(x, y) = y22x.
Rjesenje:
zx = y2 · 2xln2
zy = 2x · 2y = y · 2x+1
zxx = y2 · ln2 · 2xln2 = y2(ln2)2 · 2x
zxy = 2xln2 · 2y = y · 2x+1ln2
zyx = y · 2x+1ln2 · 1 = y · 2x+1ln2
zyy = 2x+1 · 1 = 2x+1
40
43. Za funkciju f(x, y, z) = z · yx izracunajte d3fdxdydz .
Rjesenje:
fz = yx · 1 = yx
fzy = xyx−1
fzyx = 1 · yx−1 + x · yx−1lny · 1 =
= yx−1 + x · yx−1lny = yx−1(1 + xlny) = fxyz
41
44. Izracunajte koeficijente parcijalne elasticnosti funkcije f(x, y) =√
x− y2 uodnosu na varijable x i y te interpretirajte rezultat na nivou x = 25, y = 3.
Rjesenje:
Ef,x =x
f· fx =
x√x− y2
· 1
2√
x− y2· (1− 0) =
x
2(x− y2)
Ef,x(25, 3) =25
2 · (25− 9)=
25
32
Kada x na nivou 25 (y ostaje konstantno) povecamo za 1% onda cefunkcijska vrijednost porasti za 25
32%.
Ef,y =y
f· fy =
y√x− y2
· 1
2√
x− y2· (0− 2y) =
−y2
x− y2
Ef,y(25, 3) =−9
25− 9=−9
16
Kada y na nivou 3 (x ostaje konstantno) povecamo za 1% onda ce funkcijskavrijednost pasti za 9
16%.
42
45. Zadana je funkcija potraznje robe A, q1(p1, p2) = 3p−11 lnp2, gdje su p1
cijena robe A i p2 cijena robe B. Odredite koeficijente parcijalne i ukrsteneelasticnosti te interpretirajte dobivene rezultate.
Rjesenje:
Eg1,p1=
p1
q1· q1p1
=p1
3p−11 lnp2
· −3lnp2
p21
= −1
Kada p1 povecamo za 1% (p2 ostaje konstantno) tada ce se q1 smanjiti za1%.
Eg1,p2=
p2
q1· q1p2
=p2
3p−11 lnp2
· 3p−11
1
p2=
1
lnp2
Kada p2 povecamo za 1% (p1 ostaje konstantno) tada ce se q1 povecati za1
lnp2% jer je lnp2 > 0 zbog q1 > 0 pa su A i B supstituti.
43
46. Za funkciju
f(x, y, z) = 3
√x4y5
z2 , izracunajte xfx + yfy + zfz.
Rjesenje:
xfx + yfy + zfz = α · ff(λx, λy, λz) = λαf(x, y, z)
f(λx, λy, λz) = 3
√(λx)4(λy)5
(λz)2 =3
√λ4x4λ5y5
λ2z2 =3
√λ9x4y5
λ2z2 =
=3√
λ7 3
√x4y5
z2 = λ73 · f(x, y, z)
α =7
3
xfx + yfy + zfz =7
3· 3
√x4y5
z2
44
47. Dana je funkcija proizvodnje Q(L, C) = 3.4L14C
12 , gdje je L kolicina rada, a
C kolicina kapitala.Izracunajte zbroj parcijalnih elasticnosti funkcije proizvodnje u odnosu narad i kapital.
Rjesenje:
EQ,L + EQ,C = α
Q(λL, λC) = 3.4(λL)14 (λC)
12 = 3.4λ
14L
14λ
12C
12 =
λ14+ 1
23.4L14C
12 = λ
34Q(L, C)
EQ,L + EQ,C =3
4
45
48. Dana je funkcija
f(x, y, z) = t+1
√zx
y−(
1
z
) −1t+1
Odredite parametar t ∈ R, t 6= −1, tako da zbroj svih parcijalnih elasticnostidane funkcije bude jednak nuli.
Rjesenje:
Ef,y + Ef,y + Ef,z = α ⇒ α = 0
t ∈ R t.d. Ef,y + Ef,y + Ef,z = 0
f(λx, λy, λz) = λαf(x, y, z)
f(λx, λy, λz) = t+1
√λzλx
λy−(
1
λz
) −1t+1
=
=t+1√
λ t+1
√zx
y−
[(λ−1)
−1t+1 ·
(1
z
) −1t+1
]=
= λ1
t+1 t+1
√zx
y−
[λ
1t+1 ·
(1
z
) −1t+1
]=
= λ1
t+1
(t+1
√zx
y−(
1
z
) −1t+1
)= λ
1t+1f(x, y, z)
1
t + 1= 0
1 = 0 ⇒⇐
6 ∃t ∈ R t.d. α = 0
(Ne postoji t ∈ R takav da je α = 0)
46
49. Funkcija potraznje za proizvodom A homogena je stupnja 1.1, te ovisi ocijeni proizvoda A i cijeni porizvoda B. Ako je koeficijent elasticnosti tefunkcije potraznje u odnosu na cijenu proizvoda A jednak -0.4, izracunajtevrijednost koeficijenta elasticnosti te iste funkcije potraznje u odnosu na ci-jenu proizvoda B, te ga interpretirajte.
Rjesenje:
α = 1.1
EfA,pA= −0.4
EfA,pB=?
EfA,pA+ EfA,pB
= α
−0.4 + EfA,pB= 1.1
EfA,pB= 1.1 + 0.4
EfA,pB= 1.5
Kada pB povecamo za 1% (pA ostaje konstantno) tada ce se fA povecati za1.5%.
47
50. Izracunajte ekstreme funkcije
f(x, y) = x2 − 4x + 2y2 − 8y
Rjesenje:
fx = 2x− 4
2x− 4 = 0
x = 2
fy = 4y − 8
4y − 8 = 0
y = 2
D1 = fxx
fxx = 2
D1 = 2 > 0
D2 = fxxfyy − fxy2
fyy = 4
fxy = 0
D2 = 2 · 4− 02
D2 = 8 > 0
D1 > 0
D2 > 0
}⇒ min(2, 2, f(2, 2))
f(2, 2) = 22 − 4 · 2 + 2 · 22 − 8 · 2 = −12
min(2, 2,−12)
48
51. Izracunajte ekstreme funkcije
f(x, y) = ex2+y2−4x
Rjesenje:
fx = ex2+y2−4x · (2x− 4)
ex2+y2−4x · (2x− 4) = 0
2x− 4 = 0
x = 2
fy = ex2+y2−4x · 2yex2+y2−4x · 2y = 0
2y = 0
y = 0
D1 = fxx
fxx = ex2+y2−4x · (2x− 4)2 + ex2+y2−4x · 2fxx = ex2+y2−4x
[(2x− 4)2 + 2
]fxx = 2e−4
D1 = 2e−4 > 0
D2 = fxxfyy − f 2xy
fyy = ex2+y2−4x · 4y2 + ex2+y2−4x · 2fyy = ex2+y2−4x(4y2 + 2)
fyy = 2e−4
49
fxy = (2x− 4) · ex2+y2−4x · 2yfxy = 0
D2 = 2e−4 · 2e−4 − 02 = 4e−8 > 0
D1 > 0
D2 > 0
}⇒ min(2, 0, e−4)
50
52. Zadana je funkcija ukupnih prihodaP (Q1, Q2) = −Q2
1 −Q22 + 18Q1 + 14Q2 − 5 i ukupnih troskova
T (Q1, Q2) = 8Q1 + 8Q2 za dva proizvoda. Izracunajte maksimum funkcijedobiti.
Rjesenje:
D(Q1, Q2) = P (Q1, Q2)− T (Q1, Q2)
D(Q1, Q2) = −Q21 −Q2
2 + 10Q1 + 6Q2 − 5
DQ1= −2Q1 + 10
−2Q1 + 10 = 0
Q1 = 5
DQ2= −2Q2 + 6
−2Q2 + 6 = 0
Q2 = 3
D1 = DQ1Q1
DQ1Q1= −2
D1 = −2 < 0
D2 = DQ1Q1DQ2Q2
−D2Q1Q2
DQ2Q2= −2
DQ1Q2= 0
D2 = −2 · (−2)− 02 = 4 > 0
D1 < 0
D2 > 0
}⇒ max(5, 3, 29)
51
53. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2 − xy + x2, uz uvjet x− 2y = 0.
Rjesenje:
f(x, y) = x2 − xy + y2
x− 2y = 0
x = 2y
f(y) = (2y)2 − 2y · y + y2
f(y) = 4y2 − 2y2 + y2
f(y) = 3y2
f ′(y) = 6y
6y = 0
y = 0 ⇒ x = 2y
x = 2 · 0 ⇒ x = 0
f ′′(y) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))
min(0, 0, f(0, 0))
min(0, 0, 0)
52
54. Odredite ekstreme funkcije f(x, y) = x2 − xy + y2, uz uvje x + y = 1.
Rjesenje:
x + y = 1
y = 1− x
f(x) = x2 − x · (1− x) + (1− x)2
f(x) = x2 − x + x2 + 1− 2x + x2
f(x) = 3x2 − 3x + 1
f ′(x) = 6x− 3
6x− 3 = 0
6x = 3
x =1
2⇒ y = 1− x
y = 1− 1
2=
1
2
f ′′(x) = 6 > 0 ⇒ min(x, y, f(x, y))
min
(1
2,1
2, f
(1
2,1
2
))f
(1
2,1
2
)=
(1
2
)2
− 1
2· 12
+
(1
2
)2
=1
4
f
(1
2,1
2
)=
1
4
min
(1
2,1
2,1
4
)
53
55. Odredite ekstreme funkcijef(x, y) = x4 + y4, x > 0, y > 0 uz uvjet x2 + y2 = 8.
Rjesenje:
y2 = 8− x2
f(x, y) = (x2)2 + (y2)2
f(x) = (x2)2 + (8− x2)2
f(x) = x4 + 64− 16x2 + x4
f(x) = 2x4 − 16x2 + 64
f ′(x) = 8x3 − 32x
8x3 − 32x = 0
8x(x2 − 4) = 0
8x = 0
6 x =6 0x2 − 4 = 0
x = 2
6 x = − 6 2
y =√
8− x2 =√
8− 4 =√
4 = 2
f ′′(x) = 24x2 − 32
f ′′(2) = 64 > 0
min(2, 2, 32)
54
56. Dane su funkcija ukupnih troskova T (L, C) = L + C i proizvodnjeQ(L, C) =
√LC, gdje je L kolicina rada, a C kolicina kapitala. Izracunajte
minimum funkcije ukupnih troskova na nivou proizvodnje Q=4.
Rjesenje:
√LC = 4/2
LC = 16/ : L
C =16
L
T (L) = L +16
L= L + 16L−1
T ′(L) = 1− 16L−2
1− 16
L2 = 0/ · L2
L2 − 16 = 0
L2 = 16
L1 = 4
6 L 62 = − 6 4
C =16
4= 4
T ′′(L) = 32L−3
T ′′(4) = 0.5 > 0
min(4, 4, 8)
55
57. Dana je funkcija ukupnih troskova T (L, C) = L2 − LC + C2 i funkcijaproizvodnje Q(L, C) = LC, gdje je L rad, a C kapital. Nadite kombinacijurada i kapitala uz koju se na nivou proizvodnje Q = 1 ostvaruju minimalnitroskovi. Odredite minimalne troskove.
Rjesenje:
Q(L, C) = LC
LC = 1/ : L
C =1
L
T (L) = L2 − L · 1
L+
(1
L
)2
= L2 − 1 + L−2
T ′(L) = 2L− 2L−3
2L− 2
L3 = 0/ · L3
2L4 − 2 = 0
2L4 = 2
L = ±1
L ≥ 0
L = 1
T ′′(L) = 2 + 6L−4
T ′′(1) = 2 + 6 · 1−4 = 8 > 0
min(1, 1, 1)
56