matematicke-formule cirilica

7/24/2019 matematicke-formule cirilica

1/43

1 B A B

2 1

A B AB

:

3 B B A ()

B B A ()

4 B C A B C ()

B C A B C ()

5 B C A B A C ()

B C A C B C ()

6

2 2 2

2 2 2

2

2

B A AB B

B A AB B

()

7

3 3 2 2

3 3 2 2

3 3

3 3

3

3

B A A B AB B

B A A B AB B

()

8 2 2B A B A B ()

9

3 3 2 2

B A B A AB B

()

10 3 3 2 2B A B A AB B ()

11 4 4 2 2B A B A B A B

1

ALGEBARSKI IZRAZI


2/43

...n

n

a a a a a

na ()

a ()

n ()

1 n m n ma a a ( )

2 :n

n m n m

m

aa a a ( )

a

3 m

n n ma a ()

4 0 1 0a a

5 1 1

n

n

na (a a

)

6

nn n

n n n

a b a b ( )

a b a b ( )

7 nn

n

n n

n

a a ()

b b

a a ()

b b

2


3/43

defnn a x x a ( )

1 n n n

n n n

a b a b ( )

a b a b ( )

2 nn

n

n

nn

a a ()

bb

a a ()b b

3 m n m na a ()

4 n n mpmp a a (() )

5 pq p qa a (())

3


4/43

:2 0Ax Bx C

:

2

0A x

4

:2

B

A

2 4

4

B AC

A

:

2

1,2

4

2

B B ACx

A

1x 2 .

2 4B AC ()

D , :

2 4D B AC

0D 1 2x x .

0D 1 2x x .

0D 1 2x x .

2Ax Bx C :

2 1 2Ax Bx C A x x x x

:

:2 0Ax Bx C

:

1 2

Bx x

A

1 2Cx xA

2 0Ax Bx C

:

A

2

2

0/ :

0

Ax Bx C A

B Cx x

A A

: B Cp qA A

2x px q 0 :

1 2x x p

1 2x x q


5/43

5

:

log 0 1 0def

x

a b x a b a a b

:

10 logb

:

10log logb b

e , ...2,7182818284590452353602874713527e

2,72e ,

lnb :

ln logb b e

:

log a ba b 1

2 log ca a c

1 2 1 2 log log ga a ab b b b 3 lo ()

1 1 22

4 loga b log loga ab bb

()

5 log logna ab n b ()

6 log 1 0a ( a

log

7 loglog

ac

c

bb

a

c )

: 7

1

8 loglog

ab

ba

19 log log aa

b b


6/43

6

:

90 ( )

cin ossa

c

sos incb

c

atg

bctg

bctg

atg

: 30 ; 60 ; 45 .

32

ah

sin30

a

2

a

1

2

1 1sin30 cos60

2 2

a 3

cos30h

a 2

a

3

2

3 3cos30 sin 60

2 2

230tg

aa

h

2

a 3

2

1 3

33

3 3

30 603 3tg ctg

30

2

a

hctg

a

3

2

a

2

33

1

30 3 60 3ctg tg


7/43

7

sin 45a a

d

a

1 2

22 2

2 2sin 45 cos45

2 2

45a

tg a

1

45 1 45 1tg ctg 2d a

30 ; 60 ; 45 .

30 45 60

1

2

2

2

3

2

sin

cos3

2

2

2

1

2

tg 3

3 1 3

ctg 3 13

3


8/43

8

:

2

2 2

2

sin 1 cos1 sin cos 1

cos 1 sin

1

2 11

tgctg

tg ctg

ctgtg

sin

3cos

tg

(1) (3) :

2

4 sin1

tg

tg

2

15 cos

1

tg


9/43

9

:

y .

( y )

x .

( x )

.

( )

t

k t

.

( )

_____________________________________________________________________

1t

k 1t


10/43

10

:

_____________________________________________________________________


11/43

:

0 30 45 60 90 180 270 360

1

2

2

2

3

2

11

sin 0 1 0 1 0

3

2

2

2

1

2 0 1 0 1cos 1

3

3tg 0 0 0 1 3

ctg 3 13

3 0 0

0 6

4

3

2

3

2

2


12/43

:

sin sin cos cos sin1

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin2

cos cos cos sin sin

13

1

tg tg tg

tg tg

tg tg g

tg tg

1

41

ctg ctg ctg

ctg ctg

ctg ctg ctg

ctg ctg

12

:

1 sin 2 2 sin cos

2 22 cos 2 cos sin

22

3 21

tg

tgtg

2 1

4 22

ctg

ctgctg


13/43

13

:

1 cos

1 sin2 2

1 cos2 cos2 2

1 cos

32 1 cos

tg

1 cos4 2 1 cos ctg

:

1 sin sin 2sin cos2 2

2 sin sin 2cos sin2 2

3 cos cos 2cos cos2 2

4 cos cos 2sin sin2 2


14/43

:

1

1 sin cos sin sin2

1

2 sin sin cos cos2

1

3 cos cos cos cos2

14


15/43

15

: 1

a b

2 2O a b

: 2

22

2

dP a P

4O a

o: 3

2 2

cc ha bP P

O a b c

:

a ba h P b h

4

2 2O a b


16/43

16

:

5

1 2 2

d dP a h P

4O a

(): 6

2 2 2

a ba h b h c hP c

O a b c

:

P s s a s b s c

:2

a b cs

()

P r s

.

r s

4

a b cPR

.R


17/43

17

:

7

3

2

ah ( )

23 3

2 2 2 4

a h a a a

P

2 3

4

aP

3O a

: 8

2 36

4

aP

6O a

: 9

2

a bm

()

P m h

2

a bP h

O a b c d


18/43

10 :

1 2

2

d dP

2 2O a b

11

18

:

1 2

2

d dP

O a b c d

: 12

2P r ()

2O r ()


19/43

19

:

12.1

:

180

rl

()

2

360i

rP

()

2i

r lP

()

:

iP P P 2

360 2

i i

r r

l P P

2

2

a dP a d

2O l

:

R rP P P

2 2 2 2P R r R r

R rO P P

2 2 2r O R R r


20/43

20

()

,d A B AB ( )

2 2

2 1 2 1x x y y ,d A B AB

( : )

2 1

2 1

m x n xx

m n()

m y n yy

m n

,S x y : 1:1m n ,

:

AB

1 2

1 2

2

2

x xx

()y y

y


21/43

21

1 2 3 2 3 1 3 1 21

2P x y y x y y x y y

:

1 1

2 2

3 3

11

12

1

x y

P x y

x y

1 2 3

3

x x xx

1 2 3

3

y y yy


22/43

:

y k x n ()

k ()

k tg

( x )

n (y )

0Ax By C ()

22

1x y

m n ()

m (() x )

n (() y )

cos siny p ()

(,

, x )

p (

)


23/43

23

:

1 2

1 2

1 2

l l

k k

n n

1 2

1 2

1 2

l l

k k

n n

1 2

1 2

l l P

k k

:

1

2

1l 2l

1 1

2 2

:

:

l y k x n

l y k x n

:

1 2 1 2l l k k ( )

1 2 12

1l l k ( )

k

1 2l l P :1l 2l

2 1

1 21

k ktg ()

k k

:

1 1:l y y k

:

x x

2 112

:y y

l y y xx

1x

;1x

2 1

2 1

yk

x x

()


24/43

:

:

2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F

. :

:

:

().C

24

:

2 2 2p y q r

,p q ()

r ()

,

, 0p 0q

:

2 2 2y r

.


25/43

25

:

:

1 2r r

1F 2F () 2a .

:

2 22 2 2 2 2 2

2 21

x yb x a y a b

a b

a ()

b ()

c

1,2 ,0F c ()

1,2 1,2,0 ; ,0A a B b

1 2,r r

1 2OB F

:

2 2 2

2 2 2b a c

a b c

b

2 2 2

c a


26/43

26

:

:

1 2r r

2a . 1 F 2F ()

:

2 22 21

x yb 2 2 2 2

2 2x a y a b

a b

by x ()

a

a ()

b () c

1,2 ,0F c ()

1,2 ,0A a

2NOA

:2 2 2

2 2 2

2 2 2

a c bc a b

b c a


27/43

:

:

F () d ().

:

22y p x

p (

)

.

;02

pF ()

:2

pd x

27


28/43

28

y kx n

: :

:

2 2 2x p y q r 22 2 1r k kp q n

:2 2 2x y r 2 2 21r k n

:

2 2

2 21x y

a b 2 2 2 2a k b n

:

2 2

2 21

x y

a b 2 2 2 2a k b n

:

2 2y p x

2p k n


29/43

29

(1) : :

(1) :

x R

fD R

(2) :

0 .y x m

(3) :

0 ,

0 ,

y x m

y x m

(4)

:

fy x D


30/43

30

(2) :nx

(2.)2 ;kx k N :

(1) :

x R

fD R

(2) :

0 0 .y x

(3) :

0y ,0 0, x

(4) :

0;

;0

y x

y x

(5)

:

min 0 0y x

2 1 ;kx k N (2.b)

:

(1)

: x R

fD R

(2) :

0 0y x .

(3) :

0 0,

0 ,

y x

y x

0

(4) :

fy x D


31/43

(3) :

1a 0 1a

31

:

(1) :

x R fD R

(2)

:

(3)

.

:

0 fy x D

(4) :

y x D fy x D


32/43

32

1 1:f A B

f x

1 11 :f B A

f x x , :

1f f x x

f x

1f x

x .

log xa b x a b logay x xa

y x .


33/43

33

(4) :

1a 0 1a

:

(1) :

0x

0,fD

(2) :

0 1y x

(3)

:

0 1,

0 0,

y x

y x

1

0 1,

0 0,

y x

y x

1

(4) :

fy x D y x D


34/43

34

2,72e

lnx

lny x

10

log

logx

lnx

logx


35/43

35

(5) :

(5.1) siny x

:

(1) :

(2)

fD R

:

0 0y x k2 0; 1; 2; 3;...k

(3) :

0 0 2 ; 2

0 2 ;2

y x k k

y x k k

2

0; 1; 2; 3;...k

(4) :

2 ; 22 2

32 ; 2

2 2

y x k

y x k k

k

0; 1; 2; 3;...k

(5) :

max

min

1 22

31 2

2

y x k

y x k

0; 1; 2; 3;...k


36/43

36

(5.2) cosy x

:

(1) :

D R

f

(2) :

10y x 23

2 22 2

k x k

0; 1; 2; 3;...k

(3) :

0 2 ; 22 2

30 2 ; 2

2 2

y x k k

y x k k

0; 1; 2; 3;..k .

(4) :

2 ;2 2

0 2 ; 2

y x k k

y x k k

0; 1; 2; 3;...k

(5) :

max

min

1 0 2y x k

1 2y x k

0; 1; 2; 3;...k


37/43

37

(5.3) y tgx

:

(1) :

2f R k

D

0; 1; 2;k 3;...

(2) :

0y x 0 k 0; 1; 2; 3;...k

(3 ) :

0 0 ;

2

0 ;2

y x k k

x k k

y

0; 1; 2; 3;...k

(4) :

y x D 0; 1; 2; 3;...k


38/43

(5.4) y ctgx

:

(1) :

38

0fD R k 0; 1; 2; 3;...k

(2) :

0y x2

k

0; 1; 2; 3;...k

(3) :

0 0 ;

2

0 ;2

y x k k

y x k k

0; 1; 2; 3;...k

(4) :

y x D 0; 1; 2; 3;...k


39/43

39

()(6)

(6.1) arcsiny x :

(1) :

1,1x

1,1fD

(2) :

0 0y x .

(3) :

0 0,

0 1

y x

y x

1

,0

(4) :

fy x D

(6.2) arccosy x

:

(1) :

1,1x

1,1fD

(2) :

0 1y x

(3) :

0 1y x ,1

(4) :

fy x D


40/43

(6.3) y arctgx

:

(1) :

R fD R

(2) :

0y x 0 .

(3)

:

0 0,

0 ,0

y x

y x

(4) :

fy x D

40


41/43

41

(6.4) y arcctgx

:

(1) :

x R fD R

(2) :

''''

(3) :

0 fy x D

(4)

:

fy x D


42/43

42

(1) 0C (1) 0 dx C

(2) 1n nnx

2

1 1 ;

2x

1

x xx

(2)1

1

nn xx dx C

n

lnx xa a a (3)ln

xx aa dx C

a (3)

x xe e (4)x xe dx e C (4)

1

logln

a xx a

(5) (5)1

logln

adx x C x a

(6) 1lnxx

(6) 1 lndx x C x

(7) cos sinx x C sin cosx (7)

(8) cos sinx x (8) sin cosdx x C

(9)2

1tg

cosdx x C

x

2

1tg

cos

x

x

(9)

2

1(10) ctg

six

n x (10) 2

1ctg

sindx x C

x

2

1(11) arcsinx

1 x

(11)

2

1arcsin

1dx x C

x

(12)2

1arccos

1

dx x C

x

2

1arccos

1

x

x

(12)

21

(13) arctg1

xx

(13)

2

1arctg

1dx x C

x

2

1arcctg

1(14) x

x

(14) 21

arcctg1

dx x C x


43/43

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