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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 1 Le distribuzioni di probabilit continue Giovanni Filatrella ( filatrella@unisannio.it ) Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Facolt di Scienze MM FF e NN, Universit Sannio

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 2 Distribuzioni continue Supponiamo di far ruotare un ago dando una spinta iniziale tale che far molti giri prima che lattrito lo fermer. Qual la probabilit che si fermi ad un angolo x ?

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 3 Distribuzioni di probabilit per variabili continue Definiamo una variabile casuale x una variabile che pu assumere diversi valori, per semplicit in un intervallo: x: x Min x x Max Ognuno di questi valori con probabilit f(x). Una variabile casuale si dice continua perch i valori che pu assumere, cio le x, non sono numerabili, cio non si possono mettere in corrispondenza biunivoca con un insieme di indici interi, ma solo con un sottoinsieme dei numeri reali.

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 4 Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti: 1.x il simbolo che denota la variabile casuale 2.x denota anche i valori che la variabile pu assumere 3.La f(x) la densit di probabilit, non la probabilit. 4.La probabilit che la variabile casuale assuma un valore allinterno di un intervallo data dalla densit di probabilit tramite la formula:

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 5 Variabili continue: limite del caso discreto Supponendo di misurare una variabile continua per passi discreti, si pu solo definire lappartenenza di un individuo ad una classe. La distribuzione approssimata con un istogramma. Lampiezza delle classi x La probabilit corrispondente ai valori discreti x i larea del rettangolo f(x) x. x f(x) xixi x

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 6 Richiamo del significato di integrale Lintegrale larea sottesa dalla funzione f(x) x x MIN x MAX

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 7 Uso dellintegrale nelle distribuzioni continue Lintegrale la probabilit che la variabile casuale assuma un valore in un intervallo e dipende dalla densit di probabilit f(x) x f(x) x1x1 x2x2

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 8 Domande D1: Quanto vale larea in giallo sotto la curva nella figura precedente? D2: Se si chiedesse la probabilit che una variabile continua assuma un valore specifico quanto vale? D3: Qual il legame con gli istogrammi D4: Per la variabile casuale della roulette (la trasparenza 2) com fatto il grafico della densit di probabilit?

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 9 Esercizio Come si interpreta il picco nella figura precedente?

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 10 La distribuzione uniforme nel caso continuo La densit di probabilit identica per tutto lintervallo Laltezza si trova dalla condizione che la probabilit totale sia 1 x 1/(2 ) 0 2

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 11 Valore aspettato per variabili continue Variabili continue Variabili discrete prob di avere x Somma

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 12 Varianza per variabili continue Variabili continue Variabili discrete probabili t di x Somma Scarto quadratico

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 13 Confronto del caso continuo e discreto 1.Lintegrale approssimato con un istogramma. 2.Lampiezza delle classi x (p er x 0 si ottiene proprio lintegrale). 3.La probabilit corrispondente ai valori discreti x i larea del rettangolo f(x)dx. x f(x) xixi x

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 14 Esercizi *In base a questa corrispondenza trovare le formule per il valore aspettato e la varianza nel caso discreto a partire da quelle del caso continuo. **Trovare il valore aspettato della variabile casuale con distribuzione uniforme.

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 15 Carl Friedrick Gauss (1777 - 1855) Gentile concessione della Deutsche Bundesbank

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 16 Distribuzione di Gauss-Laplace o Normale La distribuzione di Gauss ha due parametri, e, che la descrivono completamente: Caso =0

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 17 Altri casi di gaussiane con diversi valori aspettati Caso =1 Caso =4

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 18 Distribuzione normale: interpretazione grafica dei parametri il valore in corrispondenza del massimo un flesso - un flesso Larea fra e 0.68 0.68

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 19 Distribuzione normale: significato dei parametri I parametri che appaiono nella formula della distribuzione gaussiana non a caso coincidono con i simboli di valore aspettato e varianza:

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 20 Quadro riassuntivo delle propriet della gaussiana f(x) : 1.Normalizzazione: f(x) dx = 1 2.Simmetria attorno al valore aspettato: f(x- )=f( -x) 3.Ha un massimo per x= 4.Ha un flesso per x e x 5.Il valore aspettato : E[x]= 6.La varianza : Var[x]=

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 21 Calcolo delle probabilit distribuite gaussianamente Se una variabile ha distribuzione gaussiana completamente individuata dai parametri e. Supponiamo di avere e, e che ci si chieda la probabilit che x. Come si pu procedere?

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 22 Soluzione Risolvendo lintegrale: Che equivale a trovare larea:

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 23 Calcolo della soluzione Purtroppo lintegrale non calcolabile esplicitamente, cio non esiste una funzione semplice che permetta di valutarlo. Esistono delle tavole che riportano alcuni valori di questintegrale per e Da questi valori si possono i corrispondenti valori per e arbitrari.

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 24 Tavola dellintegrale gaussiano C. Cametti, A. Di Biasio: Introduzione allelaborazione dei dati sperimentali, Tabella I, p. 327

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 25 Nomenclatura La z si chiama variabile standardizzata. Essa rappresenta il caso particolare di variabile gaussiana di media nulla e deviazione standard unitaria. Per trasformare una qualsiasi variabile gaussiana in quella standardizzata occorre dunque cambiare la variabile in modo che diventi a) a valore aspettato nullo b) a varianza unitaria.

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 26 Il cambiamento di variabile: 1) spostare il valore medio Per trovare questo cambiamento dobbiamo dunque avere: x

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 27 Il cambiamento di variabile: 2) cambiare la larghezza Per trovare questo cambiamento dobbiamo dunque avere: x

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 28 Sommario della procedura: 1.Conoscere valore aspettato e deviazione standard della variabile originaria x 2.Conoscere i limiti x 1 e x 2 entro i quali si vuole trovare la probabilit che la variabile casuale sia compresa. 3.Trasformare questi limiti nei limiti z 1 e z 2 della variabile standardizzata ( z ): 4.Trovare la probabilit che la variabile standardizzata sia compresa fra questi limiti.

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 29 Esempio di calcolo di probabilit con una variabile gaussiana Supponiamo di avere e, e che ci si chieda la probabilit che x. In formule:

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 30 1.Valore aspettato e deviazione standard della variabile originaria x: E[x]=2 Var[x]=2.5 2.I limiti x 1 e x 2 entro i quali si vuole trovare la probabilit che la variabile casuale sia compresa: x 1 =1 e x 2 =5 3.I limiti z 1 e z 2 della variabile standardizzata ( z ): 4.La probabilit che la variabile standardizzata sia compresa fra questi limiti: 0.885-0.656+0.5=0.729 Applicazione del calcolo ad un caso specifico:

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 31 Tavole come quella allegata non sono tavole per integrali con intervalli arbitrari. In particolare nella tabella si riportata : che la probabilit da - a z (distribuzione cumulativa di probabilit). Come stata calcolata la probabilit per un intervallo arbitrario? Tavole della gaussiana standardizzata

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 32 La probabilit che z sia compreso fra z 1 e z 2 si pu trovare dalla probabilit che sia minore di z 1 e minore di z 2 : Costruzione per ottenere larea per differenza z 1 z 2 x

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 33 Unestensione delle tavola Come si trovano le probabilit corrispondenti a valori negativi della variabile?

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 34 Un caso particolarmente importante Supponiamo di chiederci quale sia la probabilit che la variabile standardizzata sia compresa fra 1 e +1. Consultando la tavola si trova:

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 35 Propriet delle gaussiane Si pu tradurre il risultato precedente in un fatto generale: per qualsiasi distribuzione gaussiana la probabilit di trovare un valore della variabile fra ed il 68% Osservazioni: 1)Questa propriet tipica solo delle gaussiane, non di altre distribuzioni; 2)E un metodo per trovare dal grafico.

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 36 Applicazione di questa propriet Il risultato precedente si pu rappresentare matematicamente come: ed analogamente si pu dimostrare che:

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 37 Esempio per e

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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali 38 Domande Qual la probabilit di trovare la variabile casuale fra ed per una distribuzione uniforme? Da un grafico di una gaussiana di cui non si conosce la deviazione standard, come la si potrebbe determinare?