Click here to load reader

FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ

Microsoft Word - Fundamente_mat-introd.docFIZIC
Formarea profesional a cadrelor didactice din învmântul preuniversitar
pentru noi oportuniti de dezvoltare în carier
Program de conversie profesional la nivel postuniversitar
pentru cadrele didactice din învmântul preuniversitar
FIZIC
2010
© 2010 Acest manual a fost elaborat în cadrul "Proiectului pentru Învmântul Rural", proiect co-finanat de ctre Banca Mondial, Guvernul României i comunitile locale.
Nici o parte a acestei lucrri nu poate fi reprodus fr acordul scris al Ministerului Educaiei, Cercetrii, Tineretului i Sportului.
ISBN 973-0-04125-3
Introducere .................................................................................................................... I
Unitatea de învare 1: Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor ................. 1
Obiectivele Unitii de învare 1 ......................................................................... 1
1.1. Spaii vectoriale. Operaii liniare ................................................................. 2
1.2. Aplicaii liniare ............................................................................................ 16
1.3. Sisteme liniare. ......................................................................................... 27
1.4. Algebre. Polinoame .................................................................................... 34
1.5. Teorie Jordan ............................................................................................. 39
1.6. Forme biliniare i forme ptratice ............................................................... 75
1.7. Comentarii i rspunsuri la testele de autoevaluare unitatea de învare 1 ................................................................................................. 88
1.8. Lucrare de verificare pentru studeni, unitatea de învare 1 .................... 95
1.9. Bibliografie, unitatea de învare 1 ............................................................. 96
Unitatea de învare 2: Elemente de analiz matematic ........................................... 97
Obiectivele Unitii de învare 2 ......................................................................... 97
2.1. Recapitularea elementelor de Analiz Matematic din liceu .................... 98
2.2. Spaii metrice. Spaii normate .................................................................... 150
2.3. Limit i continuitate (reluare) .................................................................... 157
2.4. Derivabilitate .............................................................................................. 161
2.6. Integrale improprii ...................................................................................... 194
2.7. Integrale curbilinii ....................................................................................... 198
2.8. Integrale multiple ....................................................................................... 202
2.9. Elemente de teoria ecuaiilor difereniale ................................................... 212
2.10. Comentarii i rspunsuri la testele de autoevaluare, unitatea de învare 2 ................................................................................................ 221
2.11. Lucrare de verificare pentru studeni, unitatea de învare 2 ................... 228
2.12. Bibliografie, unitatea de învare 2 ........................................................... 230
Bibliografie ................................................................................................................... 231
I
INTRODUCERE
Proiectul pentru învmântul rural (P.I.R.) nu este un program de învmânt superior (este un program de reconversie profesional), deci nu poate substitui o pregtire universitar sistematic în domeniul respectiv (aici fizica). Pe de alt parte, este necesar ca în urma absolvirii programului prevzut de P.I.R., absolvenii s aib o pregtire minimal de tip superior pentru a putea s aib o viziune de ansamblu i dintr-o perspectiv mai elevat asupra materiei predate, precum i pentru a putea s fac fa unor situaii speciale (de exemplu, chestionrii din partea elevilor). Pentru a putea parcurge cu succes aceste pri de nivel superior din materie, este absolut necesar ca respectivul cursant s aib un minimum de cunotine de matematic superioar. Din aceast cauz s-a ajuns la concluzia c o pregtire minimal în câteva domenii de matematic de nivel superior este absolut necesar.
Menionm c absolvirea programului din cadrul P.I.R. confer absolvenilor anumite drepturi, similare cu cele ale unor absolveni de învmânt superior
Toate cele de mai sus demonstreaz necesitatea parcurgerii prezentului modul, în scopul justificrii diplomei de absolvire a programului de reconversie din cadrul P.I.R
Modulul este structurat pe dou uniti de învare (capitole).
Prima unitate de învare este intitulat Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor. De fapt, în acest capitol se prezint noiunile i rezultatele fundamentale ale algebrei liniare însoite de câteva chestiuni de baz legate de teoria polinoamelor. S-a insistat mai mult pe rezultatele privind aducerea la forma canonic Jordan a matricelor i pe teoria formelor ptratice, aceste chestiuni fiind mai delicate.
Unitate de învare 2 este intitulat Elemente de analiz matematic. Aceast unitate de învare este mult mai voluminoas decât celelalte din dou motive: primul motiv este acela c se începe cu o substanial recapitulare a analizei matematice din liceu (pe care o considerm absolut necesar), al doilea motiv este multitudinea subiectelor trecute în revist (spaii abstracte – metrice i normate, limit i continuitate, derivabilitate, derivate pariale, analiticitate, integrale (improprii, curbilinii i multiple), ecuaii difereniale).
Exist dou lucrri de verificare, câte una la sfâritul fiecrei uniti de învare. La fiecare lucrare de verificare se dau indicaii de întocmire i transmitre ctre tutore. Se cere cursanilor s trateze problemele în ordinea care apar. Observaii de fond asupra modului de rezolvare i de redactare vor aprea dup întâlnirile cu tutorii. Rezolvrile vor fi transmise ctre tutori prin pot sau, dac este cazul, prin e-mail.
Evaluarea continu se face prin rezolvarea testelor de autoevaluare i discuiile la întâlnirile cu tutorii.
Evaluarea final se face pe baza celor dou lucrri de verificare i a examenului de la finele cursului. Evaluarea continu i evaluarea final au ponderi egale în stabilirea notei: câte 50%.
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
1
Cuprins
1.2. Aplicaii liniare ......................................................................................................... 16
1.3. Sisteme liniare. ...................................................................................................... 27
1.4. Algebre. Polinoame ................................................................................................ 34
1.5. Teorie Jordan ......................................................................................................... 39
1.7. Comentarii i rspunsuri la testele de autoevaluare .............................................. 88
1.8. Lucrare de verificare pentru studeni ..................................................................... 95
1.9. Bibliografie .............................................................................................................. 96
Obiectivele Unitii de învare 1
Dup ce vei parcurge aceast unitate de învare, vei avea cunotine suficiente pentru a fi capabili s facei urmtoarele operaii matematice:
Identificarea liniaritii obiectelor sau aplicaiilor care intervin în problem.
Gsirea elementelor care caracterizeaz liniaritatea problemei.
Aplicarea formulelor de calcul aferente structurii liniare sau aplicaiei liniare studiate.
Exprimarea în termenii teoriei spaiilor vectoriale sau / i în termenii teoriei aplicaiilor liniare a caracteristicilor matematice ale obiectelor în studiu.
Analogia cu alte obiecte i studierea lor în cadrul teoriei algebrei liniare cu aceleai metode ca la studiul obiectului întâlnit în problem.
Considerarea unor obiecte sau situaii din cotidian, care au structur liniar (identificarea acestei structuri la obiecte concrete).
Folosirea teoriei polinoamelor i a ecuaiilor algebrice pentru rezolvarea unor probleme aprute în cotidian sau în domenii aparinând altei specialiti decât matematica.
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
2
1.1. Spaii vectoriale. Operaii lineare.
Vom introduce i noiunea de operaie extern. S considerm o mulime nevid X i o alt mulime nevid A (numit mulime de operatori peste X). Numim operaie extern pe X (cu operatori din A) orice funcie
: A X → X. De obicei, dac a A i x X, vom scrie (a, x) D
ax. Incidental, vom folosi i alte notaii.
1. S considerm un grup abelian (X, ) (elementul neutru este 0X i inversul unui element x X se noteaz –x). Fie i (A, , ) un inel comutativ. Vom admite c avem i o operaie extern pe X cu operatori din A, notat ca mai sus, care are urmtoarele proprieti:
( )x=(x) ( x)
pentru orice x, y X i orice , A.
În aceste condiii spunem c X este modul peste A (sau A-modul).
În aceleai condiii, dac A este chiar corp i avem, în plus, pentru orice x X
1x=x,
spunem c X este un spaiu vectorial peste A (sau A-spaiu vectorial). Alte denumiri: spaiu liniar peste A (sau A-spaiu liniar).
Noi ne vom ocupa mai mult de spaii vectoriale.
Exemple de module
1°. Orice grup abelian devine automat Z-modul. Mai precis: fie (X,) un grup abelian. Atunci putem gândi pe Z ca mulime de operatori peste X, operaia extern fiind definit astfel:
0x D
(aici 0 Z este notat obinuit):
nx D
x x x ... x
(n termeni în sum) dac n N, n 1 i x X:
mx D
– (|m|x) dac x X i m Z , m<0.
Se verific imediat c X este Z-modul pentru operaia extern definit mai sus.
2°. Orice inel comutativ (A,,) devine A-modul, operaia extern fiind
definit prin ax D
Similar, dac (A,,) este corp comutativ, el devine K-spaiu vectorial.
3°. Relum din alt punct de vedere un exemplu anterior.
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
3
S notm prin K pe R sau C . Fie i T o mulime nevid, precum i un K- spaiu vectorial X. Vom nota:
X (T)={f : T→X }.
Atunci, dac notm ca de obicei:
K (T) = { f : T→ K },
vom observa c:
a) K (T) este inel comutativ cu unitate pentru operaiile obinuite de
adunare i înmulire a funciilor. Avem deci inelul ( K(T), , ).
b) X (T) devine K (T )-modul. Operaiile se definesc astfel:
(X (T), ) este grup abelian fa de adunarea funciilor
f g D
h, unde h : T→ X, h(t) = f (t) g(t) (am notat „adunarea” din X prin ).
Dac uK (T ), atunci operaia extern cu operatori din K (T ) (aici
operatorul este u) se definete pentru orice fX (T) prin uf D
g unde g(t) D
c) X (T ) devine K-spaiu vectorial. Anume, operaia extern se
definete acum pentru orice K i orice fX (T) prin f D
h, unde:
h:T→ X, h (t) = f(t).
2. Vom considera un spaiu vectorial X peste corpul K (operaiile în K se noteaz normal: (K,+, ·)). În X adunarea (care d structura de grup abelian) se noteaz cu , iar elementul neutru este 0XX. În K elementul neutru la adunarea + este 0, iar elementul neutru la înmulirea · este 1.
Avem nite reguli de calcul:
(i) Pentru orice K, x X: (x=0X) (=0 sau x=0X);
(ii) Pentru orice K, xX: (-)x=(– x) D
– (x) D
–x.
În expresia (– ) x minusul este în K, în expresia (– x) minusul este în X, iar în expresia – (x) minusul este în X. Valoarea comun se desemneaz deci prin – x.
(iii) În consecin, pentru orice , K i x,y X avem:
(–) x = x – x
(x – y) = x – y
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
4
Elementele din X se numesc vectori, elementele din K se numesc scalari, operaia se numete adunare, iar înmulire cu scalari.
S considerm în continuare un numr finit de vectori x1,x2,..., xnX. Un element xX se numete combinaie liniar de x1,x2,... ,xn dac exist 1,2,... ,n K astfel încât x=1x12x2 ... nxn.
Vom scrie de obicei aceasta sub forma:

x x .
Sistemul de vectori (x1,x2,... ,xn) se numete liniar independent dac are urmtoarea proprietate:
12... nK,
x (1=2= ... = n = 0).

x x
(unul din vectori poate fi exprimat ca o combinaie liniar format cu ceilali vectori). Se mai spune i c vectorii x1,x2,... ,xn sunt liniari dependeni.
Observaie. În definiia de mai sus nu am impus faptul c x1,x2,... ,xn sunt elemente distincte. Se poate constata c, dac exist i j aa ca xi=xj, atunci
automat sistemul (x1,x2,... ,xn) este liniar dependent:
1
n
x x , unde
u=1 dac u=j i u=0 dac uj i ui.
Din acest motiv, de acum înainte, când ne vom referi la independena sau dependena liniar a unui sistem (x1,x2,... ,xn), vom subîne-lege c x1,x2,... ,xn sunt vectori distinci.
În acest sens, dac B X este o mulime nevid, vom spune c B este liber sau liniar independent dac pentru orice parte finit nevid a sa F B avem c F privit ca sistemul (x1,x2,... ,xn) format cu elementele lui F este sistem liniar independent (atenie, avem F={ x1, x2, ... , xn }, deci ij xixj).
Observaii. 1°. Dac 0XB rezult automat c mulimea B nu este liniar independent.
2°. Dac B este liber i G B atunci G este liber.

i i i
x x ). Cu alte cuvinte, X coincide cu mulimea tuturor combinaiilor
lineare de (x1, x2, ... , xn).
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
5
Dac G X este o mulime nevid, vom spune c G este o mulime de generatori pentru X dac pentru orice xX exist x1,x2,...,xn G astfel încât x este combinaie liniar de x1,x2,... ,xn.
Aadar, dac G = {x1,x2,... ,xn}, a spune c G este mulime de generatori pentru X revine la a spune c (x1,x2,... ,xn) este sistem de generatori pentru X.
Observaie. Dac G este mulime de generatori i H G, atunci H este mulime de generatori.
Putem interpreta definiia mulimii de generatori i în alt mod.
Vom spune c o submulime nevid Y X este subspaiu vectorial al lui X dac are urmtoarele proprieti:
(i) Y este subgrup al lui (X,);
(ii) Pentru orice K i yY avem yY.
Rezult atunci c Y devine, de asemenea, spaiu vectorial peste K (operaia intern pe Y fiind operaia indus de pe Y i operaia extern fiind dat de :KY→ Y, (, y)=y).
Evident, cel mai mic subspaiu vectorial al lui X este subspaiul nul Y={0}, cel mai mare subspaiu vectorial este subspaiul total Y=X. Un subspaiu vectorial Y al lui X pentru care Y{0X } i YX se numete subspaiu propriu.
Intersecia unei familii oarecare de subspaii vectoriale ale lui X este, de asemenea, subspaiu vectorial al lui X.
Fie acum o mulime nevid A X. Exist cel puin un subspaiu vectorial al lui X care include pe A, anume Y=X. Atunci, putem considera intersecia tuturor subspaiilor vectoriale Y ale lui X care au proprietatea c Y A. Se obine un subspaiu vectorial care include de asemenea pe A. Vom nota acest subspaiu prin Sp(A).
Aadar, Sp(A) este cel mai mic (în raport cu relaia de incluziune) subspaiu vectorial Y al lui X pentru care Y A.
Din punct de vedere efectiv se constat c Sp(A)= mulimea tuturor combinaiilor lineare cu elemente din A. Cu alte cuvinte:
xSp(A) x1,x2, ... , xnA i 1,2,... ,nK
astfel încat
x x (bineîneles, n se schimb odat cu x etc.).
Cele de mai sus arat c avem urmtoarea echivalen pentru o mulime nevid G X:
G este mulime de generatori pentru X Sp(G)=X.
Se numete baz a spaiului vectorial X o submulime nevid B X care are urmtoarele proprieti:
(i) B este liniar independent;
(ii) B este mulime de generatori pentru X.
O caracterizare alternativ a noiunii de baz este dat de urmtoarea
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
6
Teorem. Fie B X o mulime nevid. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:
1) B este baz;
2) Pentru orice xX exist o familie unic (x1,x2,... ,xn) de elemente xiB
i o familie unic (1,2,... ,n ) de elemente i K aa ca
1
n
x x
Cu alte cuvinte, orice element x din X se scrie în mod unic ca o combinaie liniar de elementele bazei.
Existena i „unicitatea” unei baze într-un spaiu vectorial sunt date de urmtoarea teorem fundamental:
Teorema bazei. Fie X un spaiu vectorial nenul peste un corp comutativ K. Atunci:
I. Exist cel puin o baz B X a lui X.
II. Orice dou baze sunt cardinal echivalente (i.e. dac B1 i B2 sunt baze ale lui X atunci exist o funcie bijectiv h : B1→ B2).
Vedem deci c dou baze trebuie s aib acelai „numr de elemente”.
Un spaiu vectorial X se numete finit dimensional dac are o baz finit. Atunci, rezult din teorema bazei c orice alt baz este tot finit i are acelai numr de elemente. Acest numr comun de elemente dintr-o baz se numete dimensiunea spaiului i se noteaz prin dimK (X ). Prin convenie dimK ({0X })=0.
Un spaiu care nu este finit dimensional se numete infinit dimensional. Teorema de completare a bazei. Fie X un spaiu vectorial.
1. Dac A X este o mulime liber, atunci exist o baz B a lui X aa ca B A.
2. Dac YX este un subspaiu vectorial al lui X având o baz A, exist o baz B a lui X aa c B A.
În virtutea acestei teoreme rezult urmtoarele:
1°. Dac YX este un subspaiu finit dimensional i ZY este un subspaiu al lui X, rezult c i Z este finit dimensional i avem:
dimK(Z) dimK (Y).
2°. Dac YX este un subspaiu vectorial infinit dimensional i Z Y este un subspaiu al lui X, rezult c i Z este infinit dimensional.
În mod dual avem urmtoarea:
Teorem. Dac X este un spaiu vectorial i G X este o mulime de generatori, rezult c exist o baz B a spaiului X aa ca B G.
S considerm un spaiu vectorial finit dimensional X cu dimK(X) =n i fie B = {e1, e2, ... , en} o baz a spaiului X.
Dup cum tim, orice element x X se scrie unic sub forma
1
n
i iK x determinat de x se numete coordonata de
ordin i a lui x în baza B={e1,e2,... ,en}.
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
7
Trecerea de la baza B la o alt baz se poate face în câte un pas, înlocuind câte un element din baza B cu alt element, dup regula dat de:
Lema substituiei. Fie X un spaiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K i B={e1,e2,... ,en} o baz a lui X.
Fie 1,2,... ,n K,
1
n
Notm B*={e1,e2,...,ei-1, x, ei+1,... ,en} = (B \ {ei}) {x}.
I. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:
1) B* este i ea baz pentru X.

v e
(în B*).
În mod precis, am notat B*={e1*,e2*,... ,en*}, unde ek*=ek dac ki i ei*=x de mai sus. Atunci avem relaiile:
* i i

).
Tot în acelai cadru finit dimensional (adic X= spaiu vectorial peste K cu baza B={ e1,e2,... ,en }), vom considera un sistem finit de vectori (nu neaprat distinci), anume V=(v1,v2,... ,vp) cu viX.
Fiecare vi se scrie în mod unic în funcie de elementele bazei B dup cum urmeaz:
1 1
M(v1,v2,... ,vp)=
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
1 2
8
Este o matrice cu n linii i p coloane, având pe coloana j coordonatele lui vj în baza B, fapt marcat jos prin vj.
Teorema de recunoatere.
I. Sistemul V=( v1,v2,... ,vp) este liniar independent dac i numai dac rang (M(V))=p (deci p n).
II. Sistemul V=( v1,v2,... ,vp) este sistem de generatori dac i numai dac rang (M(V)) = n (deci p n).
III. Sistemul V=(v1,v2,... ,vp) este baz dac i numai dac p=n i rang (M(V))=n (adic det (M(V))0).
Observaii. 1°. Rangul unei matrice oarecare i determinantul unei matrice ptrate (notate ca aici cu rang (M(V)) i det (M(V)) se definesc ca la matricele cu elemente numerice.
2°. În condiiile de mai sus, avem, de fapt, egalitatea rang (M(V))=dimK (Sp({v1,v2,... ,vp })).
Test de autoevaluare 1
1. a) Sunt linear independeni vectorii (1,3) i (3,2) în spaiul R2?
b) Pentru ce valori ale lui a R sunt vectorii (1,3) i (3,a) liniar dependeni?
2. a) S se arate c vectorii (1,3),(3,2) i (1,0) sunt liniar dependeni.
b) Încercai s generalizai rezultatul de mai sus (cât de „muli” vectori liniar independeni putem avea?)
Rspunsurile la test se vor da în spaiul liber din chenar, în continuarea enunurilor.
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
9
3. a) Este {(1, 3), (3, 2)} mulime de generatori pentru R2?
b) Pentru ce valori ale lui a R mulimea {(1,3), (3,a)} nu este mulime de generatori?
c) Comparai rezultatele de la 1. b) i 3. b). Putei trage o conclu-zie?
Rspunsurile la acest test se gsesc la pagina 88 a acestei uniti de învare.
Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor
10
Exemple. 1°. Exemplul fundamental: Kn.
Considerm un corp comutativ K i un numr natural n1. Ca de obicei, notm:
Kn={(1,2,... ,n) 1,2,...,n K}
(în cazul n=1, Kn=K).
Atunci Kn devine în mod canonic spaiu vectorial peste K, dup cum urmeaz:
Structura de grup abelian. Avem operaia intern pe Kn dat astfel: dac x=( x1,x2,... ,xn) i y=(y1,y2,...,yn) Kn, punem
x y =(x1+y1, x2+y2, ... , xn+yn).
Elementul neutru este 0K n=(0,... ,0) i inversul lui x=(x1,x2, ...,xn) este –
x=(–x1,–x2,... ,–xn).
Înmulirea cu scalari. Dac K i x=( x1,x2,... ,xn)Kn, avem x=(x1, x2, ... , xn).
În spaiul vectorial Kn avem baza canonic {e1,e2,... ,en} unde: e1=(1,0,0,... ,0,0) e2=(0,1,0,... ,0,0) e3=(0,0,1,0,... ,0,0) . . . . . . . . . . . . . . . . en=(0,0,0,... 0,1).\ea}
Aadar Kn are dimensiunea n, adic dimK(Kn)=n.
Dac x=(x1, x2, ... , xn)Kn, avem 1
n
a lui x în baza canonic este xi.
De fapt, orice spaiu vectorial n-dimensional peste K este izomorf cu…