x x . Sistemul de vectori (x1,x2,... ,xn) se numete liniar independent dac are urmtoarea proprietate: 12... nK, x (1=2= ... = n = 0).
x x (unul din vectori poate fi exprimat ca o combinaie liniar format cu ceilali vectori). Se mai spune i c vectorii x1,x2,... ,xn sunt liniari dependeni. Observaie. În definiia de mai sus nu am impus faptul c x1,x2,... ,xn sunt elemente distincte. Se poate constata c, dac exist i j aa ca xi=xj, atunci automat sistemul (x1,x2,... ,xn) este liniar dependent: 1 n x x , unde u=1 dac u=j i u=0 dac uj i ui. Din acest motiv, de acum înainte, când ne vom referi la independena sau dependena liniar a unui sistem (x1,x2,... ,xn), vom subîne-lege c x1,x2,... ,xn sunt vectori distinci. În acest sens, dac B X este o mulime nevid, vom spune c B este liber sau liniar independent dac pentru orice parte finit nevid a sa F B avem c F privit ca sistemul (x1,x2,... ,xn) format cu elementele lui F este sistem liniar independent (atenie, avem F={ x1, x2, ... , xn }, deci ij xixj). Observaii. 1°. Dac 0XB rezult automat c mulimea B nu este liniar independent. 2°. Dac B este liber i G B atunci G este liber.
i i i x x ). Cu alte cuvinte, X coincide cu mulimea tuturor combinaiilor lineare de (x1, x2, ... , xn). Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor 5 Dac G X este o mulime nevid, vom spune c G este o mulime de generatori pentru X dac pentru orice xX exist x1,x2,...,xn G astfel încât x este combinaie liniar de x1,x2,... ,xn. Aadar, dac G = {x1,x2,... ,xn}, a spune c G este mulime de generatori pentru X revine la a spune c (x1,x2,... ,xn) este sistem de generatori pentru X. Observaie. Dac G este mulime de generatori i H G, atunci H este mulime de generatori. Putem interpreta definiia mulimii de generatori i în alt mod. Vom spune c o submulime nevid Y X este subspaiu vectorial al lui X dac are urmtoarele proprieti: (i) Y este subgrup al lui (X,); (ii) Pentru orice K i yY avem yY. Rezult atunci c Y devine, de asemenea, spaiu vectorial peste K (operaia intern pe Y fiind operaia indus de pe Y i operaia extern fiind dat de :KY→ Y, (, y)=y). Evident, cel mai mic subspaiu vectorial al lui X este subspaiul nul Y={0}, cel mai mare subspaiu vectorial este subspaiul total Y=X. Un subspaiu vectorial Y al lui X pentru care Y{0X } i YX se numete subspaiu propriu. Intersecia unei familii oarecare de subspaii vectoriale ale lui X este, de asemenea, subspaiu vectorial al lui X. Fie acum o mulime nevid A X. Exist cel puin un subspaiu vectorial al lui X care include pe A, anume Y=X. Atunci, putem considera intersecia tuturor subspaiilor vectoriale Y ale lui X care au proprietatea c Y A. Se obine un subspaiu vectorial care include de asemenea pe A. Vom nota acest subspaiu prin Sp(A). Aadar, Sp(A) este cel mai mic (în raport cu relaia de incluziune) subspaiu vectorial Y al lui X pentru care Y A. Din punct de vedere efectiv se constat c Sp(A)= mulimea tuturor combinaiilor lineare cu elemente din A. Cu alte cuvinte: xSp(A) x1,x2, ... , xnA i 1,2,... ,nK astfel încat x x (bineîneles, n se schimb odat cu x etc.). Cele de mai sus arat c avem urmtoarea echivalen pentru o mulime nevid G X: G este mulime de generatori pentru X Sp(G)=X. Se numete baz a spaiului vectorial X o submulime nevid B X care are urmtoarele proprieti: (i) B este liniar independent; (ii) B este mulime de generatori pentru X. O caracterizare alternativ a noiunii de baz este dat de urmtoarea Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor 6 Teorem. Fie B X o mulime nevid. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1) B este baz; 2) Pentru orice xX exist o familie unic (x1,x2,... ,xn) de elemente xiB i o familie unic (1,2,... ,n ) de elemente i K aa ca 1 n x x Cu alte cuvinte, orice element x din X se scrie în mod unic ca o combinaie liniar de elementele bazei. Existena i „unicitatea” unei baze într-un spaiu vectorial sunt date de urmtoarea teorem fundamental: Teorema bazei. Fie X un spaiu vectorial nenul peste un corp comutativ K. Atunci: I. Exist cel puin o baz B X a lui X. II. Orice dou baze sunt cardinal echivalente (i.e. dac B1 i B2 sunt baze ale lui X atunci exist o funcie bijectiv h : B1→ B2). Vedem deci c dou baze trebuie s aib acelai „numr de elemente”. Un spaiu vectorial X se numete finit dimensional dac are o baz finit. Atunci, rezult din teorema bazei c orice alt baz este tot finit i are acelai numr de elemente. Acest numr comun de elemente dintr-o baz se numete dimensiunea spaiului i se noteaz prin dimK (X ). Prin convenie dimK ({0X })=0. Un spaiu care nu este finit dimensional se numete infinit dimensional. Teorema de completare a bazei. Fie X un spaiu vectorial. 1. Dac A X este o mulime liber, atunci exist o baz B a lui X aa ca B A. 2. Dac YX este un subspaiu vectorial al lui X având o baz A, exist o baz B a lui X aa c B A. În virtutea acestei teoreme rezult urmtoarele: 1°. Dac YX este un subspaiu finit dimensional i ZY este un subspaiu al lui X, rezult c i Z este finit dimensional i avem: dimK(Z) dimK (Y). 2°. Dac YX este un subspaiu vectorial infinit dimensional i Z Y este un subspaiu al lui X, rezult c i Z este infinit dimensional. În mod dual avem urmtoarea: Teorem. Dac X este un spaiu vectorial i G X este o mulime de generatori, rezult c exist o baz B a spaiului X aa ca B G. S considerm un spaiu vectorial finit dimensional X cu dimK(X) =n i fie B = {e1, e2, ... , en} o baz a spaiului X. Dup cum tim, orice element x X se scrie unic sub forma 1 n i iK x determinat de x se numete coordonata de ordin i a lui x în baza B={e1,e2,... ,en}. Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor 7 Trecerea de la baza B la o alt baz se poate face în câte un pas, înlocuind câte un element din baza B cu alt element, dup regula dat de: Lema substituiei. Fie X un spaiu vectorial finit dimensional peste corpul comutativ K i B={e1,e2,... ,en} o baz a lui X. Fie 1,2,... ,n K, 1 n Notm B*={e1,e2,...,ei-1, x, ei+1,... ,en} = (B \ {ei}) {x}. I. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1) B* este i ea baz pentru X.
v e (în B*). În mod precis, am notat B*={e1*,e2*,... ,en*}, unde ek*=ek dac ki i ei*=x de mai sus. Atunci avem relaiile: * i i
). Tot în acelai cadru finit dimensional (adic X= spaiu vectorial peste K cu baza B={ e1,e2,... ,en }), vom considera un sistem finit de vectori (nu neaprat distinci), anume V=(v1,v2,... ,vp) cu viX. Fiecare vi se scrie în mod unic în funcie de elementele bazei B dup cum urmeaz: 1 1 M(v1,v2,... ,vp)= 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 8 Este o matrice cu n linii i p coloane, având pe coloana j coordonatele lui vj în baza B, fapt marcat jos prin vj. Teorema de recunoatere. I. Sistemul V=( v1,v2,... ,vp) este liniar independent dac i numai dac rang (M(V))=p (deci p n). II. Sistemul V=( v1,v2,... ,vp) este sistem de generatori dac i numai dac rang (M(V)) = n (deci p n). III. Sistemul V=(v1,v2,... ,vp) este baz dac i numai dac p=n i rang (M(V))=n (adic det (M(V))0). Observaii. 1°. Rangul unei matrice oarecare i determinantul unei matrice ptrate (notate ca aici cu rang (M(V)) i det (M(V)) se definesc ca la matricele cu elemente numerice. 2°. În condiiile de mai sus, avem, de fapt, egalitatea rang (M(V))=dimK (Sp({v1,v2,... ,vp })). Test de autoevaluare 1 1. a) Sunt linear independeni vectorii (1,3) i (3,2) în spaiul R2? b) Pentru ce valori ale lui a R sunt vectorii (1,3) i (3,a) liniar dependeni? 2. a) S se arate c vectorii (1,3),(3,2) i (1,0) sunt liniar dependeni. b) Încercai s generalizai rezultatul de mai sus (cât de „muli” vectori liniar independeni putem avea?) Rspunsurile la test se vor da în spaiul liber din chenar, în continuarea enunurilor. Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor 9 3. a) Este {(1, 3), (3, 2)} mulime de generatori pentru R2? b) Pentru ce valori ale lui a R mulimea {(1,3), (3,a)} nu este mulime de generatori? c) Comparai rezultatele de la 1. b) i 3. b). Putei trage o conclu-zie? Rspunsurile la acest test se gsesc la pagina 88 a acestei uniti de învare. Elemente de algebr liniar i teoria polinoamelor 10 Exemple. 1°. Exemplul fundamental: Kn. Considerm un corp comutativ K i un numr natural n1. Ca de obicei, notm: Kn={(1,2,... ,n) 1,2,...,n K} (în cazul n=1, Kn=K). Atunci Kn devine în mod canonic spaiu vectorial peste K, dup cum urmeaz: Structura de grup abelian. Avem operaia intern pe Kn dat astfel: dac x=( x1,x2,... ,xn) i y=(y1,y2,...,yn) Kn, punem x y =(x1+y1, x2+y2, ... , xn+yn). Elementul neutru este 0K n=(0,... ,0) i inversul lui x=(x1,x2, ...,xn) este – x=(–x1,–x2,... ,–xn). Înmulirea cu scalari. Dac K i x=( x1,x2,... ,xn)Kn, avem x=(x1, x2, ... , xn). În spaiul vectorial Kn avem baza canonic {e1,e2,... ,en} unde: e1=(1,0,0,... ,0,0) e2=(0,1,0,... ,0,0) e3=(0,0,1,0,... ,0,0) . . . . . . . . . . . . . . . . en=(0,0,0,... 0,1).\ea} Aadar Kn are dimensiunea n, adic dimK(Kn)=n. Dac x=(x1, x2, ... , xn)Kn, avem 1 n a lui x în baza canonic este xi. De fapt, orice spaiu vectorial n-dimensional peste K este izomorf cu…
