Elemente Finite Fundamente

Nicolae Faur

ELEMENTE FINITE

Fundamente

Cuprins

Cuvânt înainte Cap 1 Noţiuni introductive 7

1.1 Generalităţi 7 1.2 Concepte fundamentale în formularea metodei elementelor finite 8 1.3 Scurt istoric 11 1.4 Caracterul de generalitate al metodei elementelor finite 12 1.4.1 Analiza structurilor de rezistenţă (Bară solicitată la sarcini

axiale) 12

1.4.2 Transferul unidimensional de căldură 13 1.4.3 Curgerea unidimensională a fluidului 15 1.5 Aplicaţii inginereşti ale metodei elementului finit 16 1.6 Etape în aplicarea metodei elementelor finite 19 1.7 Algoritmul metodei elementului finit în problemele de analiza

stării de tensiune şi deformaţie 23

1.8 Tipuri de elemente finite şi funcţii de interpolare 29 1.9 Consideraţii privind matricea de rigiditate a unui element 34

Cap 2 Elemente finite unidimensionale 38 2.1 Elemente finite de tip bară cu un singur grad de libertate pe nod 38 2.2 Structuri plane de bare articulate 42 Aplicaţia A.2.1 53 Aplicaţia A.2.2 59 Aplicaţia A.2.3 65 Aplicaţia A.2.4 67 2.3 Structuri spaţiale de bare articulate 69 2.4 Aplicaţii la structuri spaţiale 71 Aplicaţia A.2.4.1 72 2.5 Elemente finite de tip bară cu noduri rigide cu două grade de

libertate pe nod 87

2.5.1 Constituirea matricei de rigiditate. Metoda directă 87 2.5.2 Metoda indirectă în constituirea matricei de rigiditate 91 Aplicaţia A.2.5.2.1 93 2.6 Elemente finite de tip bară cu noduri rigide cu trei grade de

libertate pe nod 95

2.6.1 Cazul încovoierii în plan cu forţă axială 95 Aplicaţia A.2.6.1 98 Aplicaţia A.2.6.2 102 2.6.2 Cazul încovoierii simple cu moment de torsiune 105 2.7 Elemente finite de tip bară cu şase grade de libertate pe nod.

Starea generală de solicitare 107

Cap 3 Metoda elementului finit aplicată la probleme de elasticitate plană 111 3.1 Studiul problemei în coordonate carteziene 111 3.2 Studiul stării plane de tensiune cu luarea în consideraţie şi a

tensiunilor termice 122

3.3 Formularea în coordonate triangulare a matricei de rigiditate şi a matricei forţelor nodale

124

3.4 Starea plană de deformaţie 133 Aplicaţia A.3.4.1 137

Cap 4 Elemente finite tridimensionale 143 4.1 Elemente finite tetraedrice 143 4.2 Elemente finite hexaedrice 149

Cap 5 Funcţii de interpolare 151 5.1 Polinoame de interpolare din clasa C0 151 5.2 Polinoame de interpolare din clasa C1 159

Cap 6 Sisteme de coordonate naturale şi funcţii de aproximare în coordonate naturale. Funcţii de formă

163

6.1 Coordonate naturale unidimensionale 163 6.2 Coordonate naturale bidimensionale 166 6.3. Coordonate naturale tridimensionale 168

Cap 7 Funcţii de interpolare în coordonate naturale 171 7.1 Prezentare generală 171 7.2 Elemente unidimensionale 172 7.3 Elemente bidimensionale 173 7.4 Elemente tridimensionale 178

Cap 8 Elemente izoparametrice 181 8.1 Generalităţi 181 8.2 Elemente de bară izoparametrice 181 8.3 Element biliniar izoparametric de stare plană de tensiune 183 8.4 Element finit izoparametric bidimensional pătratic 193 8.5 Elemente finite izoparametrice tridimensionale 195

Cap 9 Elemente finite de tip axial simetric 201 Bibliografie 207

Cuvânt înainte Aplicarea metodelor analitice de calcul în domeniul structurilor de rezistenţă complexe cum este domeniul construcţiei de maşini se poate face numai pentru un număr limitat de cazuri. Aceste cazuri satisfac în foarte mică măsură nevoile curente întâlnite în practica inginerească. Alte metode aproximative de calcul satisfac parţial pretenţiile unei munci de concepţie unitare şi eficiente. Metoda elementelor finite a apărut din necesitatea de a umple acest gol al activităţii inginereşti din faza de concepţie şi până în faza de omologare. Se poate afirma că această nouă ştiinţă, ştiinţa elementelor finite, care s-a dezvoltat impetuos începând cu anii 60 ai secolului XX, pune la îndemâna inginerului un instrument formidabil de investigare numerică care de fapt nu are nici un fel de limitări sau bariere. Singurele limitări sunt legate de puterea şi viteza de calcul de care dispunem. Ştiinţa elementelor finite nu este un scop în sine. Ea se constituie într-un instrument pe care îl pot folosi specialiştii în analiză structurală, transfer termic, curgeri de fluide, câmpuri electromagnetice în cele mai complexe aplicaţii care prin alte metode sunt imposibil de investigat. Datorită eficienţei, în momentul de faţă simularea numerică tinde să înlocuiască experimentul de la cele mai simple cazuri până la simularea celor mai complexe încercări cum sunt de exemplu exploziile nucleare.

Conceptele fundamentale cu care operează ştiinţa elementelor finite sunt conceptele de divizare, analiză şi asamblare. De altfel aceste concepte stau la baza oricărei acţiuni de cunoaştere întreprinse de om. Exemplul cel mai elocvent din acest punct de vedere este comparaţia metodei elementelor finite cu chirurgia în medicină.

Iniţierea în domeniul metodei elementelor finite se poate face numai dacă există o pregătire solidă în domeniile fundamentale ale ingineriei. Practic pregătirea inginerească de bază asigură nivelul de cunoştinţe necesar operării cu mărimile necunoscute ale domeniului studiat. În domeniul ştiinţei elementelor finite au apărut foarte multe lucrări de la tratate devenite de referinţă şi amintesc în acest sens lucrările lui Zienkiewicz O. C., Taylor R.L., Bathe K. I., Wilson F.L., Rao S. S., etc, până la lucrările apărute în volumele numeroaselor simpozioane şi conferinţe la întregul nivel planetar. Lucrarea de faţă încearcă să pună la îndemâna specialiştilor şi studenţilor din ciclul doi de pregătire un material util iniţierii în domeniul metodei elementelor finite. Aşa cum un distins confrate afirma că o iniţiere este numai o iniţiere, nu putem avea pretenţia unui tratat complet. Putem spune că un tratat poate fi înţeles numai dacă noţiuni ca: discretizare, ecuaţii elementale, asamblare, coordonate naturale şi funcţii de formă sunt înţelese şi cititorul operează în mod curent cu ele. Caracterul didactic al lucrării de faţă este dat şi de numărul mare de aplicaţii prezentate detaliat în toate etapele de rezolvare. Mulţumesc pe această cale distinsului coleg Prof. Univ. Dr. Ing. Iosif Hajdu, care cu răbdarea unui bijutier şi înaltă rigoare ştiinţifică dovedită pe parcursul unei prestigiose cariere, a avut bunăvoinţa de a parcurge această carte înainte de apariţie. Observaţiile şi sugestiile domniei sale au constituit un real ajutor în finalizarea întregului material.

Timişoara, mai 2002 Autorul

Capitolul 1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.1. Generalităţi

Calculele moderne de rezistenţa materialelor, chiar dacă se aplica în cazul problemelor clasice de teoria elasticităţii sau plasticităţii nu pot fi concepute fără utilizarea metodelor numerice de calcul. Această situaţie este o consecinţă directă a progreselor obţinute în domeniul calculatoarelor electronice, atât în domeniul hardware cât şi software. Evoluţia metodelor de calcul numeric executate pe calculatoarele electronice trebuie privite în strânsă concordanţă cu următoarele direcţii principale de cercetare:

- Analiza erorilor care este deosebit de importantă în problemele de algebră liniară, cum este de exemplu rezolvarea sistemelor algebrice liniare, calculul valorilor vectorilor proprii ai matricelor, rezolvarea ecuaţiilor polinomiale etc.

- Normele matriceale utilizate în studiul calitativ al metodelor de calcul numeric.

- Metode de extrapolare foarte utile în integrarea numerică, probleme cu valori la limită şi iniţiale, în rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare.

- Metode de interpolare care conduc la obţinerea unei funcţii polinomiale a cărui ordin este determinat de continuitatea pe intervalul considerat.

- Analiza funcţională utilizată la rezolvarea numerică a ecuaţiilor cu derivate parţiale şi la rezolvarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale ordinare.

- Metoda elementului finit ca instrument de lucru generalizat în domeniul ingineriei structurilor de rezistenţă, transferului termic, curgerilor de fluide şi studiul câmpurilor electromagnetice. Trebuie remarcat faptul că metoda elementului finit are o largă aplicabilitate în studiul calitativ al algoritmilor de calcul numeric.

Prin algoritm de calcul se înţelege un sistem de reguli care aplicat la o anumită clasă de probleme de acelaşi tip conduce la obţinerea soluţiei problemei pornind de la condiţiile iniţiale ale clasei din care face parte cu ajutorul unor operaţii succesive, unic determinate. Rezultă concluzia că un algoritm trebuie să aibă un caracter de generalitate, de finitudine şi unicitate.

Utilizarea calculatorului în rezolvarea unei probleme presupune parcurgerea următoarelor etape:

1. Enunţarea problemei şi formularea datelor de intrare. 2. Elaborarea modelului de calcul care pornind de la un ansamblu coerent de

ipoteze stabileşte o schemă de calcul care descrie atât cantitativ cât şi calitativ fenomenul.

3. Alegerea celei mai potrivite metode numerice de calcul. Alegerea metodei de calcul numeric începe cu elaborarea algoritmului. Dintre criteriile care stau la baza alegerii metodei numerice de calcul amintim: simplitatea, precizia, viteza de calcul.

4. Elaborarea schemei logice pentru descrierea algoritmului metodei numerice. Schema logică reprezintă de fapt o prezentare grafică a algoritmului de calcul, prin

- Capitolul 1 8

punerea în evidenţă a succesiunii etapelor principale de calcul precum şi deciziile logice necesare obţinerii soluţiei.

5. Elaborarea programului de calcul. În această etapă algoritmul de calcul pus în evidenţă de schema logică se transcrie într-un limbaj de programare.

6. Verificarea corectitudinii rezultatelor se face de obicei aplicând metoda numerică elaborată pentru probleme simple a căror soluţie analitică (considerată exactă) este cunoscută.

7. Prelucrarea datelor şi interpretarea rezultatelor pentru problema studiată.

1.2 Concepte fundamentale în formularea metodei elementelor finite Metoda elementelor finite sau analiza cu elemente finite se bazează pe conceptul

construirii obiectelor complicate din obiecte mai simple, sau divizarea obiectelor complicate în obiecte mai simple pentru care se pot aplica scheme de calcul cunoscute.

În multe situaţii aparatajul matematic existent nu este suficient pentru găsirea soluţiei exacte (iar uneori chiar a unei soluţii aproximative) pentru majoritatea problemelor practice. Idea de bază în metoda elementului finit este de a găsi soluţia unei probleme complicate înlocuind-o prin una mai simplă.

Un exemplu simplu dar sugestiv în ceea ce priveşte rezolvarea aproximativă a unei probleme exacte îl reprezintă calculul ariei cercului, fig. 1.2.1

Fig. 1.2.1

“Elementul” i

βi

R

Aria “elementului” triunghiului i se calculează cu relaţia: i2

i sinR21A β= .

Pentru întregul poligon, aria se calculează cu relaţia:

∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

==N

1i

2i N

2sinNR21AA .

La limită poligonul devine un cerc iar relaţia anterioară devine:

22

NR

N2sinNR

21limA π=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=∞→

.

Generalităţi - 9

Fig. 1.2.2

Aproximaţie printr-un poligon exînscris cercului(aproximaţia II) Aproximaţie printr-un poligon circumscris cercului (aproximaţia I)

La acelaşi rezultat se ajunge în cazul în care aproximarea se face pornind de la un poligon tangent cercului, fig. 1.2.2.

Precizia soluţiei depinde prin urmare în conformitate cu reprezentarea din figura1.2.3, de strategia sau “modelul” de calcul ales. Considerând poligonul aproximat înscris sau circumscris se poate obţine limita inferioară notată A(i) sau limita superioară A(s) pentru aria reală A. În continuare, cu creşterea numărului laturilor ale poligonului valorile aproximative conduc spre o valoare reală. Aceste caracteristici aşa cum se va vedea mai târziu vor fi valabile în orice aplicaţie generală cu elemente finite. Se remarcă faptul că ambele modele de calcul sunt convergente, diferenţa dintre ele fiind legată de modul de aproximare în plus sau în minus în raport cu soluţia exactă.

Fig.1.2. 3

Aproximaţia II

Aproximaţia I

Soluţia exactă

Număr de elemente

+20%

+10%

100%

-10%

-20%

Prec

izie

de

calc

ul

- Capitolul 1 10

În rezolvarea problemelor complexe pentru care soluţiile analitice sunt dificile prin aparatajul matematic existent, sunt cunoscute două direcţii de rezolvare aproximativă: 1. Utilizarea unor metode aproximative de rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale pentru un model de calcul exact. Acest lucru se poate face după cum urmează:

a. Se neglijează termenii de importanţă secundară care permit în continuare rezolvarea exactă.

b. Se aplică metodele numerice în rezolvarea sistemului de ecuaţii diferenţiale. Amintim în acest sens metoda diferenţelor finite ca fiind foarte eficientă în obţinerea rapidă a unor soluţii acceptabile.

2. Utilizarea unor metode exacte de rezolvare aplicate unor modele de calcul aproximative. Modele aproximative de calcul se pot obţine prin acceptarea unor ipoteze simplificatoare privind cea mai probabilă configuraţie a deplasărilor care respectă condiţiile pe contur. După gradul de generalitate al ipotezelor folosite se disting două categorii de ipoteze:

a. Ipoteze cu caracter general aplicabile întregului corp, dintre care amintim: ipoteza secţiunilor plane şi normale (ipoteza lui Bernoulli aplicabilă în teoria barelor), ipoteza normalelor rectilinii (ipoteza lui Kirckoff, aplicabilă în teoria plăcilor subţiri), ipoteza nedeformabilităţii conturului, etc.

b. Ipoteze cu caracter local, valabile pentru porţiuni mai mici sau subdomenii, componente ale unei entităţi complexe. Ipotezele acceptate trebuie să asigure continuitatea dintre subdomenii. Metoda elementelor finite foloseşte ipoteze cu caracter local în elaborarea modelului aproximativ de calcul.

Metoda elementului finit a apărut ca o consecinţă a necesităţii de a calcula

structuri de rezistenţă complexe pentru care metodele analitice de calcul nu sunt operabile. Idea de bază este aceea că în cazul în care structura se împarte în mai multe părţi numite “elemente finite” pentru fiecare dintre acestea se pot aplica teoriile de calcul corespunzătoare schematizării adoptate (teoria de bară, placă sau masiv). Împărţirea întregului în părţi de dimensiuni mai mici, operaţie care poartă denumirea consacrată de ”discretizare” va avea drept efect obţinerea de forme simple pentru elementele finite componente ale structurii. Modelul de calcul utilizat în analiza cu elemente finite este un model aproximativ, obţinut prin asamblarea elementelor finite componente, ţinând cont de geometria structurii. Conectarea elementelor finite se realizează numai în anumite puncte numite puncte nodale sau “noduri”. Nodurile reprezintă punctele de intersecţie ale linilor de contur rectilinii sau curbe ale elementelor finite. Elementele finite pot fi uni, bi sau tridimensionale în funcţie de geometria structurii pe care o modelează.

Nodurile sunt plasate de obicei pe contururile elementului unde elementele adiacente sunt conectate între ele. Deoarece variaţia reală a variabilei de câmp (ca deplasarea, tensiunea, temperatura, presiunea sau viteza) în interiorul continuului nu este cunoscută, se admite că variaţia variabilei de câmp pe domeniul unui element finit

Generalităţi - 11

poate fi aproximată printr-o funcţie simplă. Aceste funcţii de aproximare (numite modele de interpolare) sunt definite în funcţie de valorile variabilelor de câmp în noduri.

Caracterul aproximativ al metodei elementului finit rezultă ca urmare a faptului că geometria reală este întotdeauna înlocuită cu o reţea de elemente finite care urmăreşte forma reală, dar nu o poate reda cu exactitate decât numai pentru anumite geometrii particulare, datorită numărului finit de elemente, iar mărimile necunoscute ale problemei sunt calculate numai în nodurile structurii. Rezultă de aici concluzia că precizia de calcul creşte o dată cu creşterea numărului de elemente finite. Continuitatea rezultatelor obţinute depinde de caracterul de continuitate pe care funcţiile de aproximare trebuie să-l asigure la nivelul zonelor interelemente.

Formularea metodei elementului finit se bazează pe exprimarea condiţiilor de extrem pe care unele mărimi care intervin în fenomenul studiat trebuie să le satisfacă. Metoda elementelor finite este o metodă cu un vast domeniu de aplicabilitate care se bucură de avantajul unei formulări relativ simple. Caracterul de generalitate al metodei îi conferă avantajul de a se adapta cu modificări simple celor mai complexe şi variate probleme cum sunt problemele liniare şi neliniare, solicitări statice şi dinamice structuri de bare, plăci plane sau curbe şi masive, solicitări de contact, probleme de mecanica ruperii, grupate în cele trei tipuri de probleme: probleme de echilibru, probleme de valori proprii şi probleme de propagare.

1.3 Scurt istoric

Metoda elementelor finite a apărut ca o necesitate de a studia starea de tensiune şi deformaţie pentru structuri de rezistenţă de mare complexitate geometrică pentru care calculul se face mai uşor în cazul în care întregul se împarte în domenii mai simple. Datorită caracterului de generalitate al acestei metode, ea s-a extins cu rapiditate aproape în toate domeniile calcului ingineresc care au la bază metodele fizico matematice de calcul. Deşi numele metodei elementului finit a fost introdus recent, conceptul a fost utilizat acum câteva secole în urmă. De exemplu matematicienii din antichitate au aflat circumferinţa cercului aproximându-l ca pe un poligon cum este prezentat în figura 1.2.1.

Aplicarea metodei elementelor finite sub forma actuală îşi are începuturile în fundamentarea următoarelor metode şi teorii cu aplicaţii deosebite în inginerie:

• reziduurilor ponderate (Gauss 1795, Galerkin 1915, Biezeno-Koch 1923); • metode variaţionale (Rayleigh 1870, Ritz 1909); • diferenţe finite (Richardson 1910, Liebman 1918, Southwell 1940); • diferenţe finite variaţionale (Varga 1962); • testarea continuităţii funcţiilor pe subdomenii (Courant 1947,

Prager - Synger 1947); • rezoluţia prin anologie structurală (Hreikoff 1941 McHenry1943, Mewark

1949);

- Capitolul 1 12

• Discretizarea în elemente finite a mediilor continue (Argyris 1959, Turner Clough, Martin şi Topp 1956);

• Introducerea noţiunii de element finit (Clough 1960). Se poate spune că metoda elementului finit aşa cum se cunoaşte ea astăzi a fost

prezentată în 1956 de către Turner, Clough, Martin şi Topp, într-o lucrare în care se prezintă aplicarea elementelor finite simple (bare cu articulaţii şi placă triunghiulară cu sarcini aplicate în plan) pentru analiza structurii aparatelor de zbor, fiind considerată una din contribuţiile cheie în dezvoltarea metodei elementului finit. Noţiunea de element finit a apărut pentru prima dată în lucrarea lui R.W.Clough în anul 1960, intitulată “Elementul finit în analiza stărilor plane de tensiune”. Zienkiewicz şi Cheung au dat o interpretarea largă metodei elementului finit şi practic semnalează aplicabilitatea ei la orice problemă inginerească. Cu această interpretare generală a metodei elementului finit, s-a constat că de fapt şi ecuaţiile metodei elementului finit pot fi de asemenea obţinute folosind metoda reziduurilor ponderate cum este de exemplu metoda Galerkin sau abordarea prin metoda celor mai mici pătrate. Toate acestea au condus la un interes larg răspândit printre specialişti în matematica aplicată în aplicare a metodei elementului finit pentru rezolvarea problemelor liniare şi neliniare. De-a lungul anilor au fost publicate diferite lucrări la conferinţe şi cărţi referitoare la această metodă.

Calculatoarele numerice au asigurat mijloace rapide de efectuare a unui volum mare de calcule implicate în analiza cu elemente finite şi a făcut practic ca metoda să fie aplicabilă. Se poate spune că metoda elementelor finite fără utilizarea calculatoarelor numerice de mare capacitate nu ar fi o metodă viabilă. O dată cu dezvoltarea calculatoarelor digitale de mare viteză, aplicarea metodei elementului finit a progresat cu o viteză impresionat de mare.

1.4 Caracterul de generalitate al metodei elementelor finite Deşi metoda a fost utilizată pe scară largă în domeniul mecanicii structurale ea

a fost aplicată cu succes şi pentru rezolvarea altor tipuri de probleme de inginerie ca de exemplu în domeniul conductibilităţii termice, dinamicii fluidelor, curgerilor de infiltraţie şi câmpurile electrico-magnetice. Aplicabilitatea generală a metodei a făcut ca această tehnică să fie folosită pentru soluţia unor valori de contur complicate şi pentru alte tipuri de probleme. Aplicabilitatea generală a metodei elementului finit se poate vedea observând similitudinile puternice între diferitele tipuri de probleme tehnice. Pentru ilustrate vom prezenta similitudinile aplicării metodei elementelor finite în domeniul ingineriei mecanice cu cele trei domenii distincte: analiza structurilor de rezistenţă, analiza transferului termic, analiza curgerilor de fluide.

1.4.1 Analiza structurilor de rezistenţă (Bară solicitată la sarcini

axiale) Considerăm o porţiune dintr-o bară dreaptă, figura 1.4.1, pentru care aria

secţiunii transversale variază continuu după legea A(x): Bara este realizată dintr-un

Generalităţi - 13

material cu proprietăţile elastice cunoscute, (modulul de elasticitate longitudinală E şi coeficientul de contracţie transversală ν), solicitată de sarcini axiale.

A(x)

F x O

x

Fig. 1.4.1

Într-o secţiune oarecare la distanţă x de origine se poate scrie relaţia fundamentală:

Forţa = (Aria) x (Tensiunea) =

= (Aria) x (Modulul de elast. long.) x (Def. Specifică liniară)=A(x) E x

)x(u∂

∂

(1.4.1) Admiţând că încărcarea dată de sarcina axială este constantă, rezultă că soluţia problemei se rezumă la rezolvarea ecuaţiei algebrice :

0x

)x(uEAx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

. (1.4.2)

1.4.2 Transferul unidimensional de căldură Se ia în considerare echilibrul termic al unui element unidimensional încălzit,

figura 1.4.2. Pentru un element de volum de lungime infinitezimală extras din corp viteza cu care căldura intră pe latura din stângă poate fi scrisă sub forma:

xTAkqx ∂

∂−= (1.4.3)

unde k reprezintă conductibilitatea termică a materialului, A este suprafaţa secţiunii transversale prin care se transferă căldura, (măsurată perpendicular pe direcţia de

curgere a căldurii) şi xT

∂∂

este gradientul temperaturii T în raport cu direcţia axială.

- Capitolul 1 14

Viteza cu care căldură părăseşte latura dreaptă poate fi exprimată (reţinând numai primii 2 termeni din dezvoltarea în serie Taylor) ca find:

Fig. 1.4.2

x dx

dx

qx qx+dx

dxxTAk

xTAkdx

xqqq x

xdxx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+∂∂

−=∂∂

+=+ (1.4.4)

Echilibrul energetic pentru elementul de volum considerat în timpul infinitezimal dt este dat de o ecuaţie de forma:

Modificarea energiei

interne în timpul dt

Admisia de căldură în

timp dt

Căldura generată prin sursele interne

în timpul dt

Emisia de căldură în timpul dt

+ +=

După înlocuiri se poate scrie:

dttTcdtqdtdxAqdtq dxxx ∂

∂ρ+=+ +

•

(1.4.5)

unde este viteza de generare a căldurii pe unitatea de volum (prin sursă de căldură),

c este căldura specifică ρ este densitatea şi

•

q

dttT

∂∂ =dT este schimbarea de temperatură

în timpul dt. După înlocuiri şi împărţire cu (dx dt), ecuaţia 1.4.5 devine:

Generalităţi - 15

tTcAq

xTAk

x ∂∂

ρ=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ •

(1.4.6)

Ecuaţia 1.4.6 poate fi particularizată după cum urmează:

1. Dacă sursa de căldură este este zero, obţinem ecuaţia Fourier: •

q

tTc

xTAk

x ∂∂

ρ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(1.4.7)

2. Dacă sistemul este în stare de repaus obţinem ecuaţia lui Poisson:

0AqxTAk

x=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ •

(1.4.8)

3. Dacă nu avem sursă de căldură şi sistemul este în stare de repaus obţinem ecuaţia lui Laplace:

0xTAk

x=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(1.4.9)

4. Dacă conductibilitatea termică şi suprafaţa secţiunii transversale sunt constante ecuaţia (1.4.9) se reduce la:

0xT2

2

=∂∂

(1.4.10)

1.4.3 Curgerea unidimensională a fluidului În cazul curgerii unidimensionale a unui fluid, fig. 1.4.3, avem continuitatea

curgerii masei nete pentru fiecare secţiune transversală, adică: (1.4.11) ttanconsuA =ρunde ρ este densitatea, A este suprafaţa secţiunii transversale, u viteza de curgere. Ec. (1.4.11) poate fi scrisă sub forma:

( ) 0uAdxd

=ρ (1.4.12)

Dacă fluidul este nevâscos, există o funcţie potenţială ( )xΦ care satisface relaţia:

dxdu Φ

= (1.4.13)

Şi de aici ec. (1.4.12) devine:

0dxdA

dxd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φρ (1.4.14)

Fig.1.4.3

u

A(x) x

- Capitolul 1 16

Analizând ec. 1.4.2, 1.4.9 şi 1.4.14, se poate trage concluzia că se poate aplica aceeaşi procedură în găsirea soluţiilor celor trei tipuri de probleme. Metoda elementelor permite aplicarea unor proceduri identice în rezolvarea acestora, prin impunerea unor condiţii pe contur specifice fiecărui tip de problemă în parte.

1.5 Aplicaţii inginereşti ale metodei elementului finit Aplicarea metodei elementelor finite s-a impus ca urmare a faptului că poate

rezolva cu uşurinţă probleme a căror complexitate este dată de configuraţii geometrice complicate, neomogenităţi de material, anizotropiei materialelor, materiale compozite, etc.

Caracterul general al metodei elementelor finite o face aplicabilă unei varietăţi largi de probleme cu soluţii pe contur în inginerie. O problemă cu soluţie pe contur este una în care soluţia este verificată pe conturul corpului pentru variabilele dependente sau derivatelor lor ca urmare a impunerii condiţiilor prescrise pe contur.

Sunt cunoscute trei categorii majore de problemele cu soluţii pe contur, şi

anume: a. Probleme de echilibru sau staţionare, sau problemele independente de

timp. În problemele de echilibru trebuie să găsim deplasarea în starea de echilibru sau distribuţia tensiunii dacă aceasta este o problemă de mecanica solidului, distribuţia temperaturii sau fluxului de căldură dacă aceasta este o problemă de transfer a căldurii, şi distribuţia presiuni sau vitezei dacă aceasta este o problemă de mecanica fluidului.

b. Probleme de valori proprii. În problemele de valori proprii timpul nu apare în mod explicit. Acest tip de probleme pot fi considerate ca extensii ale problemelor de echilibru. În plus faţă de configuraţiile corespunzătoare ale stării de echilibru în problemele de valori proprii este necesar să se determine valorile critice ale anumitor parametrii care intervin în formulările acestora. În aceste probleme trebuie să găsim frecvenţele naturale dacă este vorba de o problemă de mecanica solidului, studiul regimurilor curgerii laminare, dacă este vorba de o problemă de mecanica fluidului şi caracteristicile de rezonanţă dacă este o problemă de circuit electric.

c. Probleme de propagare sau de tranziţie. Problemele de propagare sau tranzitorii sunt probleme dependente de timp. Acest tip de probleme apar, de exemplu, ori de câte ori suntem interesaţi în găsirea răspunsului corpului care este supus sub sarcini variabile în timp în mecanica solidului deformabil, sau în cazul încălzirii sau răciri bruşte în cazul transferului de căldură.

Generalităţi - 17 Tab. 1. Aplicaţii inginereşti ale MEF Nr Crt

Dome-niul de studiu

Probleme de echilibru Probleme de valori proprii

Probleme de propagare

1 Inginerie mecanică

Probleme de analiza tensiunilor şi deformaţiilor din carcasele transmisiilor mecanice, roţi dinţate, concentratori de tensiune. Analiza tensiunilor din vasele sub presiune, organelor de maşini, materialelor compozite, mecanismelor cu pârghii şi angrenajelor, etc.

Frecvenţele naturale şi stabilitatea mecanismelor cu pârghii, angrenajelor şi maşinilor unelte.

Probleme de mecanica ruperii şi fisurări sub sarcini dinamice

2 Conduc-tibilitatea termică

Distribuţia temperaturii în starea de echilibru în solide şi fluide.

- Curgerea căldurii tranzitorii la ajustajele rachetelor, motoarelor cu combustie internă, paletelor de turbină, cârmele şi structurile construcţiilor.

3 Dome-niul structu-rilor de construc-ţii civile şi industri-ale.

Analiza statică a structurilor de bare articulate, a cadrelor a plăcilor ondulate, a învelitoarelor pentru acoperişuri, pereţi de forfecare, poduri, structuri de beton pretensionate.

Frecvenţe naturale şi modurile proprii ale structurilor. Stabilitatea structurilor.

Propagarea undelor de tensiune. Răspunsul structurilor la sarcinile aperiodice.

- Capitolul 1 18

Continuare Tab. 1

Nr Crt

Dome-niul de studiu



4 Geo-mecanică

Analiza escavaţiilor, zidurilor de sprijin, deschiderile subterane şi rosturilor de roci şi probleme de interacţiune a structurilor cu solul. Analiza tensiunii în soluri, baraje, piloni şi fundaţiilor construcţiilor sau fundaţiile maşinilor.

Frecvenţele şi modurile naturale a sistemelor baraje-rezervor, şi probleme de interacţiune structură sol.

Probleme de interacţiune structură sol dependente de timp şi infiltraţii tranzitorii în soluri şi roci. Propagarea undei de tensiune în soluri şi roci.

5 Ingineria resur-selor hidrau-lice şi a apelor. Hidro-dinamică

Analiza curgerii potenţiale, curgerii libere a suprafeţelor, curgerea pe contur a stratului, curgerea vâscoasă şi probleme de aerodinamică transonică. Analiza structurilor hidraulice şi a barajelor.

Perioadele şi modurile naturale ale bazinelor puţin adânci lacurilor şi porturilor. Deversarea lichidelor în containere rigide şi flexibile.

Analiza curgerii nestaţionare a fluidelor şi probleme de propagarea undei. Infiltraţii tranzitorii în medii acvifere şi poroase. Dinamica gazului rarefiat. Curgeri magneto-hidro dinamice.

6 Ingineria nucleară

Analiza vaselor nucleare sub presiune şi analiza structurilor recipientelor de siguranţă. Distribuţia temperaturii în starea de echilibru din componentele reactorului.

Frecvenţe naturale şi stabilitatea structurilor recipienţilor de siguranţă. Distribuţia fluxului de neutroni.

Răspunsul structurilor recipientului de siguranţă al reactorului la sarcinile dinamice. Distribuţia nestaţionară a temperaturii în componentele reactorului. Analiza termică şi vâsco-elastică a structurii reactorului.

Generalităţi - 19 Continuare Tab.1 Nr Crt

Dome-niul de studiu



7 Inginerie bio-medicală.

Analiza tensiunilor la nivelul protezelor oaselor, dinţilor, sistemului vascular, la nivelul globului ochilor. Mecanica valvelor inimii şi capacitatea portantă a implantului

- Analiza impactului craniului. Dinamica structurilor anatomice.

8 Structu-rile aero-nautice

Analiza statică a structurilor unor nave spaţiale, aripilor avioanelor, fuselajelor, cârmele şi stabilizatoarele, rachete, şi a structurilor de proiectile.

Frecvenţe naturale, vibraţia aripilor, (oscilaţii Flutter) şi stabilitatea navei spaţiale şi structurilor proiectilelor.

Răspunsul structurilor navei aeriene şi spaţiale la încărcările aleatorii, răspunsul dinamic al navei aeriene şi spaţiale şi la sarcini aperiodice.

1.6 Etape în aplicarea metodei elementelor finite

Aplicarea metodei elementelor finite presupune parcurgerea următoarelor

etape: 1. Studiul structurii în vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finite adecvate care să reproducă cât mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie. Alegerea tipurilor de elemente finite trebuie să se facă în concordanţă cu precizia şi calitatea rezultatelor pe care dorim să le obţinem. 2. Discretizarea structurii trebuie să se facă de aşa manieră încât în zonele de interes cum de exemplu sunt zonele cu concentratori de tensiune sau în alte zone în care dorim un calcul cât mai exact, dimensiunile elementelor finite să fie cât mai mici. Trecerea de la zonele cu elementele finite de dimensiuni mici la elementele finite de dimensiuni mari trebuie să se facă prin intermediul elementelor finite de trecere progresive în scopul eliminării distorsiunilor care se produc la trecerile bruşte, fig. 1.6.1.

La alegerea modului de discretizare se va avea în vedere ca elementele finite să nu fie distorsionate. Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1, iar în plus cazul elementelor finite de tip patrulater sau hexaedrale se va avea în vedere ca unghiurile dintre laturi să fie apropiate de 900. Distorsiunile care intervin în geometria elementelor finite poate conduce la distorsiuni severe ale rezultatelor obţinute.

- Capitolul 1 20

Menţionăm că pentru majoritatea programelor profesionale de analiză cu elemente finite există module de preprocesare a datelor de intrare cu ajutorul cărora se pot face discretizări parametrice sau automate. Şi în aceste cazuri verificarea configuraţiei elementelor finite folosite reprezintă o etapă importantă în rezolvarea cu erori minime a analizei propuse.

patru noduri zonă de trecere două noduri

Fig. 1.6.1 3. Studiul elementelor finite în vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite. Aceste ecuaţii care descriu comportarea mediului în cuprinsul unui element poartă denumirea de ecuaţii elementale. Necunoscute în aceste ecuaţii sunt gradele de libertate impuse pentru tipul de element utilizat. Constituirea ecuaţiilor elementale se poate face în mai multe moduri în funcţie de categoria din care face parte problema studiată.

3.1. Metoda directă a cărei aplicare este sugerată de metoda deplasărilor. Este o metodă simplă intuitivă şi uşor de aplicat, dar utilizarea ei se poate face doar la calculul structurilor alcătuite din bare.

În cazul structurilor de rezistenţă se ajunge la un sistem de ecuaţii de forma: { } [ ] ( ){ }eee UKP ⋅= (1.6.1)

unde: [ ]eK reprezintă matricea caracteristicilor fizico-geometrice a elementului finit, cunoscută sub denumirea de matricea de rigiditate a elementului. Această matrice se bucură de proprietăţi speciale dintre care

Generalităţi - 21 amintim faptul că este matrice pătrată, simetrică în raport cu diagonala principală. Diagonala principală conţine numai elemente pozitive. ( ){ }eU este o matrice coloană şi reprezintă vectorul deplasărilor nodale necunoscute pentru elementul finit. { }eP este o matrice coloană şi reprezintă vectorul forţelor nodale generalizate ale elementului finit. 3.2. Metode variaţionale. Aceste metode sunt cele mai utilizate în analiza

cu elemente finite a problemelor mecanice şi termice. Dintre acestea amintim principiul lucrului mecanic virtual şi teorema minimului energiei interne de deformaţie.

3.3. Metoda reziduurilor este o metodă generală care se foloseşte în cazul în care metodele variaţionale nu pot fi aplicate. Metoda reziduurilor permite o abordare unitară a problemelor liniare şi neliniare, de propagare şi de valori proprii. În cadrul acestei metode se înlocuieşte criteriul de minimizare a energiei interne de deformaţie cu minimizarea reziduului.

3.4. Formularea pe baza bilanţului energetic prin utilizarea primei legi a termodinamicii. Această formulare permite abordarea problemelor specifice mecanicii mediilor continue în domeniul liniar şi neliniar, ale câmpurilor electromagnetice, ale câmpurilor termice, etc.

4. Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de

coordonate local în sistemul de coordonate global al structurii. 5. Asamblarea ecuaţiilor elementale în sistemul de ecuaţii ataşat structurii sau asamblarea elementelor finite. În cadrul acestei etape se impune condiţia ca funcţiile necunoscute ale problemei să aibă aceleaşi valori în nodurile comune. Asamblarea ecuaţiilor elementale constă de fapt în asamblarea matricelor de rigiditate ale elementelor finite în matricea de rigiditate [ eK ] [ ]gK a structurii şi a

vectorilor forţelor nodale generalizate { }eP în vectorul forţelor nodale generalizate { }gP pentru întreaga structură. În urma operaţiei de asamblare se obţine un sistem de ecuaţii de forma: { } [ ]{ }ggg UKP = (1.6.2) unde { }gU reprezintă vectorul funcţiilor necunoscute pentru întreaga structură. Rezolvarea problemei se face luându-se în considerare condiţiile pe contur. Cum anumite deplasări sunt cunoscute în conformitate cu modul de rezemare al structurii şi de asemenea anumite forţe din noduri sunt date, numărul total de necunoscute ale problemei se vor reduce corespunzător. Rezultă un sistem redus de ecuaţii de forma: { } [ ]{ }rrr UKP = (1.6.3)

- Capitolul 1 22

Trebuie menţionat că în acest sistem de ecuaţii matricea de rigiditate redusă se obţine prin suprimarea în matricea de rigiditate

[ rK ][ ]gK a acelor linii şi coloane

corespunzătoare gradelor de libertate pentru care deplasările sunt nule, în conformitate cu modul de rezemare al întregii structuri. Matricea de rigiditate [ ]rK a structurii se bucură de aceleaşi proprietăţi ca şi matricea de rigiditate [ ]eK şi în plus este o matrice a căror elemente sunt dispuse în jurul diagonalei principale, celelalte elemente fiind nule. Această ultimă proprietate facilitează operaţia de inversare a ei cu necesităţi minime de memorie. 6. Rezolvarea sistemului de ecuaţii (1.6.3) se face prin unul din procedeele numerice cunoscute (metoda Gauss, metoda iterativă Jacobi, metoda Gauss-Siedel şi metoda relaxării). În acest mod se determină necunoscutele principale ale problemei care sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri. 7. Calculul necunoscutelor secundare ale problemei care în cazul structurilor de rezistenţă sunt deformaţiile specifice ε, γ şi componentele σ, τ ale tensorului tensiune. Programele profesionale moderne de analiză cu elemente finite sunt prevăzute cu module de postprocesare a datelor de ieşire, etapă în care se realizează o prelucrare superioară a mărimilor care caracterizează starea de tensiune şi deformaţie a corpului.

1.7 Algoritmul metodei elementului finit în problemele de analiza stării de tensiune şi deformaţie

În problemele de analiza stării de tensiune şi deformaţie formularea metodei

elementului finit se poate face alegând drept necunoscute fie deplasările fie eforturile sau o parte deplasări şi o parte eforturi. Formularea problemei conform acestor opţiuni se poate face deci în deplasări, eforturi sau mixtă. Cea mai utilizată dintre acestea este formularea în deplasări pe care o vom utiliza şi în cele ce urmează pentru a exemplifica algoritmul de calcul utilizat în metoda de analiză cu elemente finite in cazul structurilor de rezistenţă.

Considerăm o bară dreaptă de secţiune variabilă încărcată cu sarcini axiale q(x) repartizate de-a lungul axei geometrice, Fig. 1.7.1. Conform modului de rezemare se admite ipoteza că singurele deplasări diferite de zero sunt deplasările u(x) de-a lungul axei x a barei. Aplicarea metodei elementului finit presupune împărţirea barei în “n”elemente finite care în acest caz sunt elemnte finite de tip bară, sau elemente finite monoaxiale. Aceste elemente finite sunt unite între ele prin “n+1”noduri. O primă aproximaţie pe care o vom utiliza este aceea că elementele finite se vor considera de secţiune constantă de-a lungul fiecăruia în parte, iar aria secţinii transversale a fiecăruia

Generalităţi - 23 dintre elementele finite componente reprezintă o medie a mărimii ariei la cele

două capete a fiecărei trepte considerate. Bara se împarte în “n” domenii obţinându-se deci “n” elemente finite şi

“n+1” noduri. Drept necunoscute ale problemei se aleg deplasările u şi derivatelor sale din

nodurile 1,2,..n + 1, de abscise x1, x2, …,xn+1, (fig. 1.7.1). Pentru început vom considera că se cunosc atât deplasările u din noduri

precum şi valorile derivatelor acestora. Dorim să arătăm cum se procedează în acest caz pentru calculul aceloraşi mărimi în oricare punct aparţinând domeniului fiecărui

element finit în parte, ( )1i,i xxx +∈ , ( )1n,...,2,1i += . Foarte comod şi în acelaşi timp foarte adesea se utilizează interpolarea cu polinoame. Vom exemplifica interpolarea cu polinoame de gradul unu.

Fie ecuaţia dreptei de interpolare reprezentată de dreapta I în conformitate cu fig. 1.7.2. (1.7.1) ( ) xccxu 21I +=unde c1 şi c sunt parametrii care se determină din condiţiile : 2

iiIi u)x(uxx =⇒=

1i1iI1i u)x(uxx +++ =⇒= (1.7.2) Se obţine sistemul de ecuaţii:

i21i xccu +=

1i211i xccu ++ += (1.7.3) Din rezolvarea sistemului de ecuaţii (1.7.3), se obţine:

i

i1i

i

1ii1 a

xua

xuc ++ −=

i

i1i2 a

uuc −= + (1.7.4)

i1ii xxa −= +unde s-a folosit notaţia: . Înlocuind constantele c şi c1 2 date de relaţiile (1.7.4), în ecuaţia (1.7.1), se obţine:

axxu

axxu)x(u i

1i1i

iI−

+−

= ++ (1.7.5)

Curba dată de relaţia (1.7.5) are la capetele intervalului pante diferite de curba reală. În acelaşi timp sunt diferite pantele dreptelor de interpolare la dreapta şi la stânga nodurilor considerate. O aproximare mai bună se obţine în cazul în care în locul polinomului de interpolare de gradul unu se foloseşte un polinom de interpolare de grad superior, de exemplu de forma:

- Capitolul 1 24

1 2 3 4 n n+1

q(x)

L

q(x)

1 3 2 n

x2

x3

x4

xn

xn+1

u4 u3 u2

un u un+1

Fig.1.7.1

Noţiuni introductive - 25

Fig. 1.7.2

xi+1

ai = xi+1-xi

II

III

I

xi

( ) 34

2321II xcxcxccxu +++= (1.7.6)

Determinarea coeficienţilor c1, c2, c3 şi c4 se va face din condiţiile:

iiIIi u)x(uxx =⇒=

1i1iII1i u)x(uxx +++ =⇒= (1.7.7) şi din condiţiile care exprimă continuitatea pantelor la extremităţile intervalului:

⇒= ixxixx

II

dxdu

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= i'u

⇒= +1ixx1xx

II

idx

du

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= (1.7.8) 1i'u +

În cazul în care se măreşte gradul polinomului de interpolare procesul de aproximare se poate îmbunătăţi ca urmare a impunerii mai multor condiţii de continuitate în noduri. Rezultă că o dată aleasă forma funcţiei de interpolare, deplasarea u(x) a unui punct va fi exprimată prin intermediul valorilor funcţiei în noduri, ui, şi al valorilor

- Capitolul 1 26

derivatelor sale, u'i , u''i… . Rezultă că valorile funcţiei de interpolare şi derivatele sale în noduri pot fi interpretate ca şi grade de libertate care definesc în întregime funcţia pe domeniul considerat. Întrucât nodurile considerate sunt incluse într-un continuu ale cărui deplasări trebuie să le poată reprezenta, în sens generalizat vom înţelege prin grade de libertate a unui nod nu numai parametri care definesc poziţia punctului într-un sistem de referinţă dat, ci şi parametrii care definesc vecinătăţile lui diferenţiale. Vom considera în continuare mărimile care au semnificaţia de grade de libertate: ui, u'i , u''i, …,ca fiind deplasări nodale. Parametrii c1, c2, …cn care reprezintă combinaţii ale deplasărilor nodale poartă denumirea de deplasări generalizate. Întrucât necunoscutele problemei sunt deplasările nodale în cele ce urmează vom prezenta modul de calcul al acestora. Se constituie în acest sens un sistem de ecuaţii algebrice cu tot atâtea necunoscute, în care se impun condiţiile pe contur date de modul de rezemare şi modul de încărcare a structurii studiate. Constituirea sistemului de ecuaţii algebrice se face în acest caz fie prin aplicarea teoremei de minim a energiei potenţiale totale de deformaţie, sau prin aplicarea principiului lucrului mecanic virtual. Vom utiliza în cazul exemplului studiat principiul lucrului mecanic virtual. Deplasarea şi deformaţia virtuală într-un punct curent al unui element finit sunt date de relaţiile:

i

i1i

i

1ii a

xxua

xxu)x(u −δ+

−δ=δ +

+

i

i1i

auu)x( δ−δ

=δε + (1.7.9)

Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare q(x) care acţionează asupra elementului finit i va fi:

( ) ( )( )∫ ∫∫ ⋅

−δ+⋅

−δ=⋅δ⋅=δ +

+

i i i

i1i

i i

1ii dx)x(q

axx

udx)x(qa

xxudx)x(u)x(qL2

(1.7.10) Variaţia energiei potenţiale de deformaţie a elementului finit i în cazul în care se impun deplasările specifice virtuale )x(δε va fi:

( ) ( )=⋅

δ−δ⋅

−=⋅δε⋅σ=δ ∫∫∫∫∫∫ ++ dV

auu

auuEdVW2

i i

i1i

i

i1iix

ix

= ( )i1i2i uu

aE

i

−+( )∫∫∫ ⋅δ−δ⋅ +

ii1i dxdAuu (1.7.11)

Noţiuni introductive - 27 Pentru întreaga bară energia potenţială de deformaţie şi lucrul mecanic virtual se obţin însumând expresiile de forma (1.7.10) şi (1.7.11), pentru toate cele n elemente ale structurii considerate. Cum conform principiului lucrului mecanic virtual, , putem scrie:

WL δ=δ

( )( )( ) ( )

∑ ∫∫∑=

++

+=

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−δ+⋅⋅

−δ=δ−δ−

n

1i i i

i1i

i i

1iii1i

n

1ii1i

i

ii dx)x(qa

xxudx)x(q

axxuuuuu

aAE

(1.7.12) Cum deplasările sunt arbitrare, vom considera două elemente finite

învecinate j-1 şi j în conformitate cu figura 1.7.3, pentru care vom impune următoarele deplasări virtuale:

iuδ

-pentru elementul j-1 0u 1j =δ − 1u j =δ .

-pentru elementul j 1u j =δ ; 0u 1j =δ + (1.7.13)

aj-1 aj

j-1 j j-1 j j+1

xj-1

xj+1

xj

Fig 1.7.3 Vom aplica relaţia 1.7.12, pentru cele două elemente finite învecinate în

conformitate cu fig. 1.7.3, ţinând cont de deplasările virtuale impuse de relaţiile 1.7.13, şi vom obţine:

( )1j1j1j

1j1j uua

AE−

−

−− − - ( )j1jj

j1j uua

AE−+

− =

( ) ( )

dx)x(qa

xxdx)x(q

axx

j j

1j

1j 1j

1j ⋅⋅−

+⋅⋅−

= ∫∫ +

− −

− (1.7.14)

- Capitolul 1 28

În mod asemănător se vor scrie pentru toate perechile de elemente învecinate ecuaţii de forma (1.7.14), obţinându-se în final un sistem algebric de ecuaţii în care necunoscute sunt deplasările uj din nodurile structurii. La aceste ecuaţii se adaugă condiţiile de rezemare conform cărora se impun anumite deplasări care sunt cunoscute. Rezolvarea acestui sistem de ecuaţii permite calcul necunoscutelor primare reprezentate de deplasările din nodurile structurii şi apoi ţinând cont de funcţiile de interpolare de forma (1.7.1), se pot calcula deplasările în oricare punct situat între aceste noduri. Rezolvarea problemei de calcul a stării de tensiune se face în continuare ţinând cont de relaţiile fizice care fac legătura între deformaţiile specifice şi tensiuni. Deformaţiile specifice şi tensiunile reprezintă în acest caz necunoscutele secundare ale problemei. Se pot scrie următoarele relaţii:

( i1iii

1ii

iI

x uua1

a1u

a1u

xu

−=+−

=∂∂

=ε ++ ) (1.7.15)

=⋅ε=σ Exx ( i1ii

uuaE

−+ ) (1.7.16)

Din această scurtă prezentare se pot desprinde câteva concluzii imediate privind precizia de calcul în cazul metodei elementului finit:

- Precizia de calcul creşte în cazul în care dimensiunile elementelor finite sunt mai mici, deci în cazul în care structura de rezistenţă se împarte ( operaţia de împărţire în elemente finite fiind cunoscută sub denumirea de discretizare) într-un număr mai mare de elemente finite. Un număr prea mare de elemente finite poate conduce, din cauza tehnicii de calcul de care se dispune, fie la un volum prea mare de calcul şi implicit la un timp mare de calcul sau chiar la imposibilitatea rezolvării unor probleme de dimensiuni mari, din aceleaşi considerente.

- Se pot obţine rezultate mai apropiate de realitate dacă numărul de noduri este mai mare. De aici a apărut necesitatea de a introduce noduri suplimentare la nivelul elementelor finite fie pe laturi fie în interiorul elementelor. Aceste noduri suplimentare poartă denumirea de noduri secundare. Trebuie specificat faptul că prezenţa nodurilor secundare este impusă de necesitatea ca uneori elementele finite să poată modela corpuri cu laturile sau suprafeţele curbe.

- Creşterea preciziei de calcul se obţine în cazul când se utilizează funcţii de interpolare de grad superior. 1.8 Tipuri de elemente finite şi funcţii de interpolare O problemă deosebit de importantă în aplicarea metodei elementelor finite este legată de alegerea celei mai potrivite discretizări şi al celor mai potrivite tipuri de elemente finite care să conducă la elaborarea unui model de calcul care să asigure posibilitatea obţinerii unor rezultate cât mai apropiate de fenomenul real. Tipurile de elemente finite utilizate în elaborarea modelelor de calcul se deosebesc între ele prin forma lor geometrică, numărul şi tipul nodurilor sale, tipul

Noţiuni introductive - 29 variabilelor de nod (deplasări generalizate) precum şi tipul funcţiilor de interpolare folosite. Funcţiile de interpolare nu pot fi alese arbitrar întrucât ele trebuie să îndeplinească condiţiile de continuitate şi condiţiile de convergenţă a soluţiei aproximate. Continuitatea poate fi asigurată în anumite condiţii prin alegerea funcţiei de interpolare sub forma unui polinom algebric. Condiţiile de compatibilitate între elemente impune ca funcţia care descrie comportamentul necunoscutelor problemei pe domeniul elementului finit şi o parte din derivatele ei să fie continue. Astfel în cazul barelor solicitate numai de sarcini axiale este suficientă satisfacerea continuităţii funcţiei de deplasare u(x). În cazul barelor solicitate la încovoiere pe lângă funcţia de deplasare v(x) trebuie asigurată şi continuitatea derivatei dv/dx. La elementele finite din această categorie continuitatea poate fi satisfăcută dacă se aleg ca şi grade de libertate în noduri deplasările a căror continuitate este cerută. La elementele finite cu două sau trei dimensiuni, ca de exemplu în cazul stărilor plane de tensiune şi deformaţie, probleme de elasticitate tridimensionale, sau în cazul plăcilor, asigurarea continuităţii are un caracter diferit. Pentru exemplificare considerăm elementul finit triunghiular m, Fig.1.8.1.a), utilizat frecvent în formularea problemei plane.

i

k

j

m m

n

u(x,y) i

j

l

k

m

n

u(x,y)

i

j

l

k

a) b)

c)Fig. 1.8.1

Discontinuităţi interelemente

g

- Capitolul 1 30

Cea de-a treia dimensiune a sa, grosimea g, reprezentată cu linii întrerupte, întrucât este constantă pe întreg domeniul elementului finit, nu apare în reprezentările obişnuite ale acestui tip de element finit întrucât se asociază acestuia ca o constantă reală. De fapt în discretizările care se fac pentru placi, elementele finite sunt reprezentate prin suprafaţa lor mediană. În Fig. 1.8.1. b), s-a reprezentat pentru două elemente finite învecinate m şi n variaţia funcţiei de deplasare u(x,y), în cazul în care s-au utilizat polinoame de interpolare liniare. În acest caz continuitatea interelemente este satisfăcută în mod implicit prin impunerea continuităţii funcţiei în noduri. În cazul în care se utilizează polinoame de interpolare de ordin superior, condiţia de continuitate poate să nu fie satisfăcută la nivelul zonelor interelemente, Fig. 1.8.1. c). Elementele finite care conduc la o modelare în care ca o consecinţă a impunerii condiţiilor de continuitate pe direcţiile gradelor de libertate din noduri este satisfăcută în mod automat continuitatea la nivelul zonelor interelemente se numesc compatibile sau conforme. Privitor la continuitatea funcţiilor de interpolare în literatura de specialitate sunt prezentate notaţii unificate pentru diferitele clase existente, după cum urmează:

- În cazul în care se asigură continuitatea funcţiilor poartă denumirea de polinoame generalizate Lagrange şi fac parte din clasa C0.

- În cazul în care pe lângă continuitatea funcţiilor este asigurată şi continuitate derivatelor acesteia, polinoamele de interpolare poartă denumirea de polinoame Hermite şi fac parte din clasa C1 ,C2 ,..., Cn. În aceste notaţii la exponent apare ordinul maxim al derivatei pentru care este asigurată continuitatea.

În cazul metodei elementelor finite precizia de calcul depinde de numărul de elemente utilizate în discretizarea structurii. În cazul în care printr-o discretizare mai densă precizia de calcul creşte în raport cu o altă discretizare mai grosieră, atunci soluţia problemei este convergentă, fig. 1.2.3.

Condiţia de convergenţă este satisfăcută dacă funcţiile de interpolare sunt astfel alese încât sunt îndeplinite următoarele condiţii:

- să poată reprezenta corect deplasările de corp rigid, adică pentru astfel de deplasări tensiunile deduse pe baza funcţiilor de interpolare să rezulte cu valori nule;

- să conţină termeni care să conducă la expresii ale tensiunilor capabile să reprezinte starea de tensiune omogenă pe element;

Condiţiile de continuitate şi convergenţă pot fi satisfăcute integral dacă polinoamele de interpolare sunt polinoame complet de un grad cel puţin egal cu cel mai mare ordin de derivare care apare în relaţiile diferenţiale dintre deformaţii şi deplasări. De exemplu pentru problema plană se pot utiliza polinoame complete de gradul întâi, pentru plăci în care relaţiile curbură deplasare apar derivate de ordinul doi, este necesară utilizarea unui polinom de interpolare cu gradul cel puţin doi. În cazul în care polinomul astfel ales nu are un număr suficient de parametri pentru satisfacerea


condiţiei de egalitate cu numărul gradelor de libertate pe element atunci se adaugă termeni suplimentari de un grad mai mare. Elementele finite se împart din punct de vedere al principiilor care stau la baza formulării continuităţii lor în elemente finite structurale din care fac parte elementele finite de tip bară şi elementele de tip înveliş şi în elemente finite continue din care fac parte elementele finite de stare plană şi elementele finite tip masiv. După configuraţia geometrică elementele finite se împart în următoarele categorii:

1) Elemente finite unidimesionale, sunt cele mai simple şi au o configuraţie rectilinie sau curbilinie pentru care la capete sunt plasate nodurile externe sau principale prin intermediul cărora elementele finite se conectează cu elementele finite învecinate, fig. 1.8.2. Elementele finite unidimensionale pot avea unul sau două noduri suplimentare numite noduri secundare plasate echidistant faţă de extremităţile elementului, fig. 1.8.2. b).

43421 4421

Elementele finite unidimensionale pot aparţine unor structuri plane sau tridimensionale. Acestor elemente finite li se asociază ca şi constante reale caracteristicile geometrice care intervin în funcţie de numărul gradelor de libertate pe nod. Numărul gradelor de libertate poate varia de la 1 la 6 în funcţie de solicitările care intervin sau de care se ţine seama.

2) Elemente finite bidimensionale, sunt elemente la care configuraţia geometrică şi parametrii asociaţi se definesc în funcţie de două coordonate independente. Dintre elementele finite bidimensionale cel mai simplu este elementul finit triunghiular, fig. 1.8.3, pentru care sunt prezentate următoarele cazuri: a) element finit triunghiular cu trei noduri pe element; b) element finit triunghiular cu un secundar interior; c) element finit triunghiular cu noduri secundare externe, plasate pe laturile elementului finit; d) element finit triunghiular curbiliniu, cu noduri secundare externe şi un nod secundar intern. Conexiunile acestor tipuri de elemente finite cu elementele finite învecinate se realizează prin intermediul nodurilor externe. Nodurile secundare sunt necesare atunci

3

444444 3444444 21

Noduri principale

Element finit curbiliniu

Nod secundar

Elemente finite rectilinii

i

Noduri principale

i+1

a) b)Fig. 1.8.2

- Capitolul 1 32

când numărul coordonatelor generalizate depăşeşte numărul gradelor de libertate ale elementului finit.

Fig. 1.8.3

3) Elemente finite axial simetrice, fac parte din categoria elementelor finite uni sau bidimensionale şi prezintă un interes practic deosebit întrucât atunci când utilizarea lor devine posibilă se reduce considerabil volumul calculelor. Structurile tridimensionale axial simetrice se reduc la studiul unor probleme unidimensionale sau bidimensionale. Simetria axială trebuie satisfăcută din toate punctele de vedere şi anume geometric, al rigidităţii şi al condiţiilor pe contur. În figura 1.8.4, se prezintă câteva cazuri de încărcări axial simetrice.

Pentru ca o structură să fie încadrată în această categorie este necesar ca materialul din care este realizată structura să fie izotrop. Cazurile de anizotropie generală nu pot fi încadrate în categoria structurilor axial simetrice. În cazul în care structura de rezistenţă este un vas de revoluţie cu pereţi subţiri şi satisface şi celelalte condiţii de axial simetrie atunci studiul stării de tensiune şi deformaţie se poate face utilizând elemente finite unidimensionale, Fig. 1.8.5.

i

j

k

i

j

kk

i

j l

m

n

i

j

m

l d)

n o

k

l

b)a) c)

Fig. 1.8.4


y

x

e i

je

ui

uj

vj

vi

Vas de revoluţie cu pereţi subţiri

Fig. 1.8.5

În cazul în care structura de rezistenţă este un vas de revoluţie cu pereţi groşi, problema se reduce la studiul unei secţiuni plane a structurii, fig. 1.8.6.

x

y

vl

vk

vi vj uj

ui

ul

uk

x

y

ij

kl

Fig. 1.8.6

- Capitolul 1 34

4) Elementele finite tridimensionale reprezintă categoria elementelor finite utilizate pentru studiul structurilor de tip masiv sau altor structuri cu pereţi groşi care nu pot fi modelate cu elementele finite enumerate anterior. Elementele finite tridimensionale pot fi tetraedrale sau hexaedrale, Fig. 1.8.7.

Fig. 1.8.7

În cazul utilizării unor elemente finite pătratice sau cubice pe laturile muchiile tetraedrului sau hexaedrului mai apar câte un nod sau două noduri suplimentare plasate la mijlocul sau la o treime pe aceste muchii.

1.9 Consideraţii privind matricea de rigiditate a unui element

Considerăm cel mai simplu element sistem elastic, sub forma unui resort solicitat prin forţa F, Fig 1.9.1.

u

Fig. 1.9.1

a a’

F


Între forţa F şi deplasarea u poate fi scrisă relaţia: (1.9.1) ukF ⋅=

unde k reprezintă constanta elastică sau coeficientul de rigiditate. Dacă u = 1 rezultă k = F, deci rigiditatea resortului reprezintă forţa care produce o deplasare egală cu unitatea. În cele ce urmează vom prezenta metoda directă şi metoda indirectă de determinare a matricei de rigiditate. Metoda directă, are la bază impunerea unor deplasări pe direcţiile pe care acestea sunt posibile şi calculul pe această bază a recţiunilor care apar. Această metodă permite determinarea fără dificultăţi a matricelor de rigiditate pentru elementele de tip bară. Aplicarea acestei metode întâmpină mari dificultăţi pentru elementele bidimensionale şi pentru elementele tridimensionale. Pentru aceste ultime cazuri se recomandă aplicarea metodei indirecte, care este o metodă mai generală de determinare a matricelor de rigiditate a unui element. Metoda indirectă presupune parcurgerea următoarelor etape:

a. Definirea câmpului de deplasări a elementului. Câmpul de deplasări caracterizează deplasările oricărui punct aparţinând unui

element. În cazul general putem scrie o relaţie de forma:

(1.9.2) { } [ ] { }Uu x y zv x y zw x y z

f x y z a=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪=

( , , )( , , )( , , )

( , , ) ⋅

unde: { }U reprezintă matricea deplasărilor oricărui punct aparţinând

elementului şi care este o matrice coloană de ordinul 3 x 1. [ ]f x y z( , , ) reprezintă matricea variabilelor câmpului de deplasări şi

este o matrice dreptunghiulară de ordinul 3 x n. { }a este matricea coordonatelor generalizate care este o matrice de

ordinul n x 1.

b. Calculul deplasărilor nodale ( ){ }U e în funcţie de coordonatele generalizate

şi de caracteristicile geometrice { }a [ ]A ale elementului:

(1.9.3) ( ){ } [ ] { }U Ae = ⋅ a

}

Ecuaţia matriceală (1.9.3), se obţine scriind câmpul de deplasări pentru fiecare dintre nodurile elementului, unde:

reprezintă matricea coloană a deplasărilor nodurilor elementului finit. ( ){U e

- Capitolul 1 36

[ ]A reprezintă matricea care conţine coordonatele nodurilor elementului şi

care este denumită matricea caracteristicilor geometrice ale acestuia. reprezintă matricea coordonatelor generalizate sau a deplasărilor generalizate.

{ }a

c. Calculul coordonatelor generalizate în funcţie de deplasările nodale cu relaţia:

{ } [ ] ( ){ }a A U e= −1 (1.9.4)

În aceste condiţii deplasările unui punct aparţinând elementului devin:

{ } [ ] [ ] ( ){ }U f x y z A U e= ⋅ ⋅−( , , ) 1 (1.9.5)

sau { } [ ] ( ){ }eUNU ⋅= (1.9.6)

unde: [ ] [ ] [ ]1A)z,y,x(fN −⋅= , (1.9.7)

şi poartă denumirea de matricea de interpolare a deplasărilor pe domeniul elementului . d. Calculul deformaţiilor specifice a elementului în funcţie de deplasările

nodale . ( ){ }U e

Având cunoscut câmpul de deplasări precum şi relaţiile diferenţiale dintre deformaţiile specifice şi deplasări, utilizând relaţia 1.9.5, se obţine:

{ } [ ] [ ] ( ){ }e1' UA)z,y,x(f ⋅⋅=ε −

(1.9.8)

Făcând notaţia: [ ] [ ] [ ]BA)z,y,x(f 1' =⋅ − (1.9.9)

rezultă:

{ } [ ] ( ){ }ε = ⋅B U e (1.9.10)

[ ]f x y z( , , )Matricea se obţine prin diferenţierea matricei [ ')z,y,x(f ] în raport cu x, y, z în funcţie de deformaţiile specifice calculate.

( ){ }U e{ }σd. Calculul tensiunilor ]n funcţie de deplasările nodale .

Aplicând legea lui Hooke: { } [ ] { }ε⋅=σ D (1.9.11)

unde: [ ]D reprezintă matricea de elasticitate a materialului.

Având în vedere ecuaţia (1.9.10), se obţine:


{ } [ ] [ ] ( ){ }eUBD ⋅⋅=σ (1.9.12)

f. Stabilirea relaţiei dintre forţele nodale şi deplasările nodurilor elementului. Aplicând principiul lucrului mecanic virtual, se poate scrie:

{ } ( ){ } { } { }∫ ⋅σ⋅δε=⋅δV

Te

T dVFU (1.9.13)

Din ecuaţia 1.9.10 se obţine:

{ } [ ] ( ){ }eUB δ⋅=δε (1.9.14) de unde

{ } ( ){ } [ ]TTe

T BU ⋅δ=δε (1.9.15) Înlocuind relaţiile (1.9.12) şi (1.9.15), în ecuaţia (1.9.13), se obţine:

( ){ } ( ){ } ( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ){ }∫ ⋅⋅⋅⋅⋅δ=⋅δV

eTT

eeT

e dVUBDBUFU (1.9.16)

Întrucât matricele { } , ( ){ }eUTeUδ nu depind de coordonatele x, y, z se poate scrie:

( ){ } ( ){ } ( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ){ }eV

TTee

Te UdVBDBUFU ⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅⋅δ=⋅δ ∫ (1.9.17)

de unde rezultă:

( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ){ eV

Te UdVBDBF ⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⋅⋅= ∫ } (1.9.18)

Dacă folosim notaţia: [ ] [ ] [ ] [ ] dVBDBK

V

Te ⋅⋅⋅= ∫ (1.9.19)

atunci ecuaţia 1.9.17, devine:

( ){ } [ ] ( ){ }F K Ue e e= ⋅ (1.9.20)

unde:

este vectorul coloană al forţelor nodale aplicate elementului, ( ){ }F e

reprezintă vectorul coloană al deplasărilor nodale ale elementului, ( ){U e } reprezintă matricea de rigiditate a elementului. [ ]Ke

Capitolul 2 ELEMENTE FINITE UNIDIMENSIONALE

2.1 Elemente finite de tip bară cu un singur grad de libertate pe nod

a. Calculul matricei de rigiditate pentru elementul de tip bară articulată. (Elemente de tip TRUSS)

a.1. Metoda directă

Se consideră elementul finit i reprezentat de o bară articulată la capete, de rigiditate constantă pentru care sunt permise numai deplasările în lungul axei Ox, Fig.2.1.1.

F1

i 2

L

1

u1=1 u2 = 0

x

F2

Fig. 2.1.1

Presupunem că în nodul 1 elementul înregistrează o deplasare u1= 1 în timp ce în nodul 2 în conformitate cu modul de rezemare u2 = 0. Forţele axiale care acţionează la extremităţile elementului pot fi scrise sub forma:

L

SEKF 111⋅

== ; L

SEKF 212⋅

−== (2.1.1)

unde S reprezintă aria secţiunii transversale a elementului considerat. Întrucât din punct de vedere static se impune condiţia: F1 + F2 = 0 (2.1.2) Relaţiile (2.1.1) pot fi scrise sub formă matriceală sub forma:

(2.1.3) { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=01

KKKK

FF

F2221

1211

2

1

În mod analog dacă în nodul 2 se impune o deplasare u2 = 1, respectiv pentru nodul 1 se impune u1 = 0, Fig. 2.1.2, forţele care acţionează în noduri devin:

Elemente finite de tip bară - 39

LSEKF 222

⋅== ;

LSEKF 121

⋅−== (2.1.4)

În aceste condiţii matricea de rigiditate [ ]K a elementului i în raport cu sistemul de axe local se poate scrie sub forma:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1111

LSE

KKKK

K2221

1211i (2.1.5)

F2 F1

2 i

u2=1

L

1

u1=0 x

Fig. 2.1.2

a.2. Metoda indirectă Stabilirea matricei de rigiditate o vom face plecând de la metodologia expusă în prezentarea algoritmului metodei elementelor finite prezentat în paragraful 1.7. Se acceptă pentru deplasările pe domeniul elementului finit un polinom de interpolare de gradul unu. Deplasarea unui punct arbitrar M pe direcţia axei x, fig.2.1.2, poate fi aproximată printr-un polinom de interpolare de forma: 21 axa)x(U += (2.1.6) Ecuaţia (2.1.6) poate fi scrisă sub formă matriceală după cum urmează:

(2.1.7) [ ] [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=2

1

aa

1x)x(U

sau: [ ] [ ] { }af)x(U ⋅= (2.1.8)

- Capitolul 2 40

unde: ; { } . [ ] [ ]1xf =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

aa

a

Deplasările nodurilor constituite în matricea , numită matricea

deplasărilor nodale a elementului finit, le vom exprima în funcţie de coordonatele generalizate.

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1e u

uU

Având în vedere că pentru elementul finit analizat se cunosc coordonatele nodurilor, presupunând cunoscute deplasările u ale acestor noduri, se pot scrie condiţiile de forma U(xi)=ui, care ne conduc la ecuaţiile:

⎩⎨⎧

+==

212

21

aLauau

(2.1.9)

sau sub formă matriceală:

(2.1.10) { } [ ] { }aAaa

1L10

uu

U2

1

2

1e ⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

unde s-a făcut notaţia: . [ ]A1L10

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Din ecuaţia (2.1.10) rezultă coordonatele generalizate în funcţie de deplasările nodale: { } [ ] { }e

1 UAa ⋅= − (2.1.11) Inversând matricea [A] se obţine:

[ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−=−

01L1

L1

A 1 (2.1.12)

În aceste condiţii rezultă:

{ } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⋅=2

1

2

1

uu

Lx

Lx1

uu

01L1

L1

1x)x(U (2.1.13)

Sau: { } [ ]{ eUN)x(U = } (2.1.14) unde:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

Lx

Lx1N (2.1.15)

Elemente finite de tip bară - 41 poartă denumirea de matricea de interpolare a deplasărilor pe domeniul elementului finit.

Pentru calculul deformaţiilor specifice ale elementului în funcţie de deplasările

nodale , se pleacă de la expresia deformaţiei specifice liniare { }eUxU

x ∂∂

=ε .

Se poate scrie: { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

=ε2

1xx u

u

01L1

L1

01x

U.

Rezultă:

{ } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−=ε2

1x u

u11

L1

(2.1.16)

sau: { } [ ] { }ex UB ⋅=ε (2.1.17) unde:

[ ] [ 11L1B −= ] , (2.1.18)

poartă denumirea de matricea de interpolare a deformaţiilor specifice pe element.

Expresia finală pentru deformaţia specifică ( 12x uuL1

−=ε ) , este identică

cu expresia (1.7.15). Pentru calculul tensiunilor { }σ , admiţând valabiltatea legii lui Hooke, rezultă:

{ } { } [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−=ε⋅=σ2

1xx u

u11

LEE (2.1.19)

Sau: { } { } [ ] { }exx UBEE ⋅⋅=ε⋅=σ (2.1.20)

Sub formă desfăşurată: ( 12 uuLE

−=σ ) . (2.1.21)

Pentru calcul matricei de rigiditate [ ]eK a elementului folosim relaţia de definiţie (1.9.19).

În conformitate cu relaţia (1.9.19), se poate scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dV11L1E

11

L1dVBDBK

vV

Te ⋅−⋅⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅=⋅⋅⋅= ∫∫ (2.1.22)

- Capitolul 2 42

Ţinând cont că bara este de secţiune constantă S, se poate scrie:dV = S⋅dx. În aceste condiţii rezultă:

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅= ∫ 11

11L

SEdxS11L1E

11

L1K

L

0e (2.1.23)

2.2 Structuri plane de bare articulate

Pentru punerea în evidenţă a modului de aplicare al metodei elementului finit în cazul concret al structurilor de bare articulate, vom urmări etapele de rezolvare a problemei pe un exemplu de structură realizată din trei bare articulate, Fig. 2.2.1. Ne propunem ca pentru această structură să calculăm deplasările posibile ale nodurilor, precum şi tensiunile din barele componente. I. Discretizarea structurii în acest caz este foarte simplă întrucât fiecare bară articulată componentă, reprezintă de fapt un element finit cu câte două noduri fiecare. Numerotarea nodurilor s-a făcut de jos în sus şi de la stânga la dreapta. Pentru identificarea uşoară a nodurilor şi elementelor, nodurile s-au numerotat în pătrăţele iar elementele în cerculeţe. Aceeaşi regulă o vom păstra pe parcursul întregii lucrări. Pentru studiul structurii se acceptă pentru fiecare nod câte două grade de libertate, reprezentate de componentele deplasărilor liniare după cele două direcţii ale sistemului global de axe XOY. Deplasările nodale fiind în acest caz notate sub forma ui, sau vi , reprezentă deplasările liniare ale nodului i, (unde i=1,2,3), după direcţiile x sau y. II. Pentru fiecare element în parte se impune câte un sistem de axe propriu în care axa x este orientată de-a lungul barei, cu originea în nodul 1 având sensul pozitiv spre nodul 2. În aceste condiţii pe baza celor prezentate în paragraful anterior, pentru fiecare element în parte se scriu matricele de rigiditate în raport cu sistemul de axe propriu. Ţinând cont de datele problemei se poate scrie:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=

1111

LSEK *

1 ; [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⋅⋅

=1111

2LSEK *

2 ; [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=

1111

LSEK *

3

(2.2.1)


Fig. 2.2.1 S-a notat cu [ matricea de rigiditate a elementului i în raport cu sistemul de axe

propriu, (i=1,2,3). ]K i

*

III. Deteminarea matricelor de rigiditate ale fiecărui element în parte în raport cu sistemul de axe general. Pentru stabilirea acestor matrice este necesară utilizarea unei relaţii de transformare între deplasările { }*

eU determinate în raport cu sistemul de axe local şi

deplasările { determinate în raport cu sistemul de axe general. Se propune în acest sens o dependenţă de forma:

}eU

{ } [ ] { e*e UTU ⋅= }

]( o

(2.2.2) unde [ reprezintă matricea de transformare din sistemul global în sistemul local. T În cazul în care relaţia 2.2.2) vom transcrie în deplasări virtuale vom obţine:

{ } [ ] { }e*e UTU δ⋅=δ (2.2.3)

Întrucât lucrul mecanic virtual nu depinde de sistemul de axe, rezultă:

1

2 3

2 3

1

L

L

x

y

u1

v1

u2

v2 u3

P v3

2P

6 5 4 Nr. gradului

de libertate

3

{ }

654321

vuvuv⎪u

U

3

3

2

2

1

1

e

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

= 2

1

- Capitolul 2 44

{ } { } { } { }*e

T*ee

Te FUFU δ=δ (2.2.4)

unde: reprezintă matricea forţelor nodale raportată la sistemul de axe general,

corespunzător deplasărilor .

{ }eF{ }eU

{ }*eF este matricea forţelor nodale raportate la sistemul de axe local

corespunzător deplasărilor { }*eU .

Din ecuaţiile (2.2.3), şi (2.2.4), rezultă:

{ } { } { } [ ] { }*e

TTee

Te FTUFU δ=δ , (2.2.5)

respectiv:

{ } [ ] { }*e

Te FTF = (2.2.6)

Dar:

{ } [ ] { }*e

*e

*e UKF ⋅= (2.2.7)

din ecuaţiile (2.2.2), (2.2.6) şi (2.2.7) se poate scrie:

{ } [ ] [ ] [ ] { e*e

Te UTKTF ⋅⋅⋅= } (2.2.8)

Dacă în ecuaţia (2.2.8), se face notaţia:

[ ] =eK [ ] [ ] [ ]TKT *e

T ⋅⋅ (2.2.9)

unde [ reprezintă matricea de rigiditate a elementului în raport cu sistemul de axe global.

]eK

Rezultă ecuaţia finală:

{ } [ ] { }eee UKF ⋅= (2.2.10)

IV. Consideraţii privind matricea de transformare [ ]T .

În cele ce urmează se va arăta modul de constituire al matricei de transformare din relaţia (2.2.2), pentru un element de tip bară , înclinată cu unghiul

α faţă de orizontală, Fig. 2.2.2. [ ]T e


Fig. 2.2.2

În conformitate cu Fig. 2.2.2, sistemul de axe x*O y* reprezintă sistemul de axe local iar xOy reprezintă sistemul global de axe. De asemenea se fac următoarele notaţii:

Lxxl 12cos −

==α ; L

yym 12sin −==α (2.2.11)

Fig. 2.2.3

Conform figurii 2.2.3, se poate scrie:

α+α= sinvcosuu 11*1 (2.2.12)

În mod analog se poate arăta că: α+α= sinvcosuu 22

*2 (2.2.13)

Se pot scrie următoarele relaţii:

E, S, L

α

x*

u2

v2

x

2 ey*

y

O

u*1v1

u*2

u1 1

α

u1

u*1

α α

v1

- Capitolul 2 46

11

*1 vmulu ⋅+⋅=

(2.2.14) ⎩⎨⎧

22*2 vmulu ⋅+⋅=

Sistemul (2.2.14) scris sub formă matriceală devine:

(2.2.15)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

2

1

1

*2

*1

0000

vuvu

mlml

uu

Din relaţiile (2.2.2) şi (2.2.15) rezultă că matricea de transformare va avea următoarea formă:

(2.2.16) [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mlml

T00

00

Având în vedere expresiile matricei de transformare dată de relaţia (2.2.16) şi ale matricei de rigiditate a elementului, relaţia (2.2.9), se poate scrie:

[ ]eK =⋅E SL ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mlml

ml

ml

0000

1111

00

00

(2.2.17)

de unde rezultă:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

mlml

mmllmmll

0000

[ ]eKL

SE ⋅= (2.2.18)

respectiv:


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

22

22

22

22

mlmmlmlmllmlmlmmlmlmllml

LSE ⋅

=[ ]eK (2.2.19)

sau:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

αααα−αα−

ααααα−α−α−αα−ααα

αα−α−ααα

22

22

22

22

sinsincossinsincos

sincoscossincoscossinsincossinsincos

sincoscossincoscos

[ ]eKL

SE ⋅= (2.2.20)

V. Constituirea matricelor de rigiditate ale elementelor componente în raport cu sistemul glogal de axe. Datele problemei prezentată în figura 2.2.1, sunt trecute sub formă tabelară, Tab. 2.2.1. Tab. 2.2.1

l m Lun- Aria Coordonatele nodurilor în raport cu sistemul de axe global

Modulul Nr. Nodu-rile

α gimea de

i,j element

xi yi xj y [0] elasticitate j

1 2,3 L S 0 L L L 0 1

0 E

2 1,3 45

S 0 0 L L E 22

2L0

22

3 1,2 L S 0 0 0 L

90 0

1 E 0

În cazul barei 1 nodul i coincide cu nodul 2 şi nodul j cu nodul 3. În cazul barei 2 nodul i coincide cu nodul 1 şi nodul j cu nodul 3. În mod analog în cazul barei 3 nodul i coincide cu nodul 1 şi nodul j cu nodul 2.

Folosind tabelul 2.2.1 şi expresia generală a matricei de rigiditate dată de relaţia (2.2.20) vom scrie matricele de rigiditate ale fiecărei bare faţă de sistemul de axe global xOy:

[ eK ]

- Capitolul 2 48

grade de libertate

grade de libertate 6543

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅=

0000010100000101

LSEK1 (2.2.21)

3456

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

⋅=

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

2LSEK2 (2.2.22)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅=

101000001010

0000

LSEK3 (2.2.23)

Pentru cele trei matrice, numerotarea liniilor şi coloanelor s-a făcut în concordanţă cu gradele de libertate pentru nodurile i,j ale fiecărui element finit în parte. VI. Asamblarea matricelor de rigiditate în matricea de rigiditate [ ]gK a

structurii. Asamblarea o vom face aplicând procedeul superpoziţionării. Conform acestui procedeu matricele de rigiditatea a elementelor se “expandează” la dimensiunile matricei de rigiditate a structurii iar matricea de rigiditate a structurii se obţine prin însumarea matricelor de rigiditate expandate a elementelor.

Dimensiunile matricei de rigiditate a structurii sunt date de numărul total al gradelor de libertate pentru întreaga structură. Numărul gradelor de libertate ale structurii se calculează din produsul dintre numărul de noduri şi numărul gradelor de libertate pe nod. Astfel în cazul nostru vom avea: 3 (noduri / structură) x 2 (grade de libertate / nod)= 6 (grade de libertate /structură) .

6521

1

2

5

6

1 2 3 4

1234

grade de libertate


Procedeul superpoziţionării presupune “expandarea” matricelor de rigiditate ale elementelor la dimensiunile matricei de rigiditate ale structurii. Expandarea se face impunând valori nule pentru coloanele şi liniile din matricele de rigiditate ale elementelor cărora nu le sunt asociate grade de libertate. În aceste condiţii matricea de rigiditate expandată a elementului numărul 1, va fi:

Grade de libertate ale elementului finit numărul 1

6543

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅=

0000010100000101

1 LSEK

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅=

000000010100000000010100000000000000

LSEK e1 (2.2.24)

În mod asemănător se obţin matricele [K2]e şi [K3]e:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

⋅=

21

2100

21

21

21

2100

21

21

00000000000021

2100

21

21

21

2100

21

21

2LSEK e2 (2.2.25)

3456

1

654321

654321

Grade de libertate ale structurii

)1(3,3k

-1

)1(3,5k

0 0

Expandarea matricei [K1] 0

01

-1

- Capitolul 2 50

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅=

000000000000001010000000001010000000

LSEK e3 (2.2.26)

În aceste con iţii matricea de rigiditate se obţine prin însumarea : d

[ ] [ ] [ ] [ ]e3e2e1g KKKK ++= (2.2.27)

Ţinând cont că în suma din relaţia (2.2.27) unii termeni sunt nuli, ca o consecinţă a conexiunilor elementelor finite, expresia finală a matricei de rigiditate a structurii va fi de forma:

[ ]=gK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

+++

+++

6,6)1(

6,6)2(

6,5)2(

6,5)1(

5,5)1(

5,5)2(

6,4)1(

5,4)1(

4,4)1(

4,4)3(

6,3)1(

5,3)1(

4,3)1(

4,3)3(

3,3)3(

3,3)1(

6,2)2(

5,2)2(

4,2)3(

3,2)3(

2,2)3(

2,2)2(

6,1)2(

5,1)2(

4,1)3(

3,1)3(

2,1)3(

2,1)2(

1,1)3(

1,1)2(

KKKKKKMIS

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

(2.2.28) După înlocuiri se obţine matricea de rigiditate pentru sistemul format din cele trei bare articulate:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

−−−−−

⋅=

3536,03536,0003536,03536,03536,03536,1013536,03536,00010100101003536,03536,0103536,13536,03536,03536,0003536,03536,0

LSEKg (2.2.29)

VII. Impunerea condiţiilor de echilibru şi condiţiilor pe contur. Structura trebuie să satisfacă sistemul de ecuaţii de echilibru de forma: { } [ ] { }ggg UKF ⋅= (2.2.30)


Ţinând cont de datele problemei ecuaţia în (2.2.30) devine:

(2.2.31) [ ]

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

g

y3

x3

y2

x2

y1

x1

vuvuvu

K

FFFFFF

Prin impunerea condiţiilor pe contur în concordanţă cu datele problemei, F3x =

-2P; F3y = P şi u1= v1 = u2 = v2 = 0, ecuaţia (2.2.31), devine:

LSE

PP2

FFFF

y2

x2

y1

x1

⋅=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

−−−−−

3536,03536,0003536,03536,03536,03536,1013536,03536,00010100101003536,03536,0103536,13536,03536,03536,0003536,03536,0

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3vu0000

(2.2.32)

Utilizând regulile de înmulţire a matricelor, se poate realiza partiţionarea ecuaţiei matriceale (2.2.32), obţinându-se două sisteme de ecuaţii după cum urmează:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

3

3

y2

x2

y1

x1

vu

00013536,03536,03536,03536,0

LSE

FFFF

şi (2.2.33)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

3

3vu

3536.03536.03536.03536,1

LSE

PP2

(2.2.34)

- Capitolul 2 52

Din ultima ecuaţie rezultă:

SELP3u3 ⋅⋅

−= ; şi ( )SELP223

SELP8284,5v3 ⋅

⋅+=

⋅⋅

= ; (2.2.35)

Înlocuind cele două deplasări în ecuaţia (2.2.33), se obţin reacţiunile din nodurile 1 şi 2, după cum urmează:

F1x = - P; F1y = - P; F2x = 3 P; F2y = 0. (2.2.36) VIII. Întrucât deplasările au fost calculate anterior se pot determina şi tensiunile din barele sistemului şi vom obţine:

- bara 1SP3E

LuE

LuuE

LLE 32311 −=⋅=⋅

−=⋅

Δ=⋅ε=σ⇒ (2.2.37)

-bara 2, (în conformitate cu Fig. 2.2.4),

Fig. 2.2.4

u3

v3α

v1

u1

α

3

1

( )S

2PEL2

sinvcosusinvcosu 11332 =⋅α+α−α+α

=σ⇒ (2.2.38)

- bara 3 ( u03 =σ⇒ 1= u2 = u3 = u4 = 0) (2.2.39)


Aplicaţii

Aplicaţia A.2.2.1

Pentru structura de bare articulate din Fig. A.2.2.1.1, se cere să se calculeze reacţiunile şi deplasările din articulaţii. Se cunosc: P=500 KN; A1=300 mm2; A2=424 mm2; L=1 m; E=210000 MPa.

v2 x*

Elementele finite 1,2 şi 3 raportate la sistemul de axe global xOy, şi sistemele de axe locale x* O y*, sunt reprezentate în Fig. A.2..2.1.2. a, b, c. Remarcăm faptul că sistemele de axe locale au axa x* orientată de-a lungul elementului, cu originea în nodul i şi sensul pozitiv spre nodul j, iar axa y* complectează sistemul de axe cartezian drept.

α=450

1

2

3

2

1

y*v3

*3u*

3v

3

v1

u1

P u3

u2

y L

x

Fig. A.2.2.1.1

- Capitolul 2 54

Matricele de rigiditate ale elementelor finite raportate la sistemele de axe locale în conformitate cu relaţia (2.1.23), sunt date de relaţiile (A.2.2.1.1), iar în raport cu sistemul de axe global, în conformitate relaţia (2.2.19), sunt date de relaţiile (A.2.2.1.2).

y*=y

Tab. A.2.1 Nr. Nodu

-rile i,j

Lun- gimea

Aria Coordonatele nodurilor în raport cu sistemul de axe

global

Modulul

de

α l m

element

xi yi xj yj elasticitate [0]

cos(

α)

sin(

α)

1 1,2 L S1 0 0 0 L E 900 0 1 2 2,3 L S1 0 L L L E 00 1 0 3 1,3 L2 S2 0 0 L L E 450

22

22

1

x

x*

y*

y

O

2

1

2 32 x*|| x α=00

x*

O

x*

α=900

α=450

3

3

1

y

y*

x

b)

a) Fig. A.2.2.1.2


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=

1111

LSEK 1*

1 ; [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=

1111

LSEK 1*

2 ; [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⋅⋅

=1111

L2SEK 2*

3 .

(A.2.2.1.1)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅

⋅=

101000001010

0000

1000300210000K1 ; [ ]

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅⋅

=

0000010100000101

1000300210000K2 ;

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅

⋅=

101000001010

0000

21,1414424210000K3 (A.2.2.1.2)

Matricele de rigiditate expandate vor fi:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅⋅

=

000000000000001010000000001010000000

1000300210000K e1 (A.2.2.1.3)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅

⋅=

000000010100000000010100000000000000

1000300210000K e2 (A.2.2.1.4)

431

6521

Grade de libertate

65432

- Capitolul 2 56

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

⋅⋅

=

5,05,0005,05,05,05,0005,05,0

000000000000

5,05,0005,05,05,05,0005,05,0

1424424210000K e3 (A.2.2.1.5)

Matricea de rigiditate a structurii va fi:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

−−−−−

=

5,05,0005,05,05,05,1015,05,0

001010010100

5,05,0105,15,05,05,0005,05,0

188528Kg ; (N/mm). (A.2.2.1.6)

Condiţiile pe contur sunt: u1=v1= v2= =0. *

3v

F2x=P; =0. *x3F

Pentru condiţia =0, trebuie remarcat faptul că deplasarea nu este orientată după direcţiile gradelor de libertate ale structurii, ca urmare a faptului că reazemul

*3v *

3v

3

x*y* v3

u3

*3v

*3u

α

α

Fig. A.2.2.1.3

*y3F

x3F

y3F

*x3F

(A.2.2.1.7

Elemente finite de tip bară - 57 mobil din nodul 3 este înclinat cu unghiul α faţă de axa x.

Vom transforma deplasarea din sistemul de axe local în sistemul de axe global, Fig. A.2.2.1.3. Se poate scrie:

*3v

3333*3 cossin vmulvuv ⋅+⋅−=α⋅+α⋅−=

Întrucât , sinα=cosα=045=α22

, iar , obţinem condiţia: 0v*3 =

0vu 33 =+− . (A.2.2.1.8)

Această condiţie de forma ∑ =⋅i

ii 0uC , poartă denumirea de constrângere

multiplă de punct. În mod asemănător pentru reacţiunea se poate scrie: *

x3F

0)(22

3333*

3 =+=⋅+⋅= yxyxx FFFmFlF ,

sau: . (A.2.2.1.9) 0)( 33 =+ yx FF Pentru întreaga structură vectorii forţelor nodale exterioare şi al deplasărilor nodale după impunerea condiţiilor pe contur devin:

{ } { }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

3

3

2g

y3

x3

y2

y1

x1

g

vu0

u00

U;

FFFP

FF

F . (A.2.2.1.10)

În final se ajunge la următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

−−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

3

3

2

y3

x3

y2

5y1

x1

vu0

u00

5,05,0005,05,05,05,1015,05,0

001010010100

5,05,0105,15,05,05,0005,05,0

188528

FFF105

FF

(A.2.2.1.11)

- Capitolul 2 58

De aici se obţine sistemul:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

3

2

y3

x3vuu

5,05,005,05,11

011188528

FFP

(A.2.2.1.12)

la care se ataşează ecuaţiile (A.2.2.1.8) şi (A.2.2.1.9). După înlocuiri se obţine sistemul:

, (A.2.2.1.13) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− 3

3

2

x3

x3uuu

5,05,005,05,11

011188528

FFP

de unde se obţine:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

13

1885282P

vu

3

2 şi 2PF x3 −= . (A.2.2.1.14)

Înlocuind aceste soluţii în (A.2.2.1.11), vom obţine:

(A.2.2.1.15)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

−−−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

PP

P

FFF

FF

y

x

y

y

x

5,05,005,100

5,05,0005,05,05,05,1015,05,0

001010010100

5,05,0105,15,05,05,0005,05,0

105

3

3

2

51

1

(A.2.2.1.16) { } ).N(,

250000250000

0500000250000250000

P5,0P5,0

0P

P5,0P5,0

FFFP

FF

F

y3

x3

y2

y1

x1

g

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

Elemente finite de tip bară - 59 Aplicaţia A.2.2.2 Pentru structura de bare articulate din Fig. A.2.2.2.1, se cere să se calculeze reacţiunile şi deplasarea pe verticală a punctului de aplicaţie al forţei. Se cunosc: P=50 KN; S=300 mm2; L=0,7 m; E=210000 MPa.

Rezolvare: În rezolvarea problemei vom utiliza numerotarea nodurilor din figura A.2.2.2.2, iar datele de intrare necesare constituirii matricelor de rigiditate a elementelor sunt cuprinse în tabelul A.2.2.2.1

α=450v1

u1

y

x

Fig. A.2.2.2.2

L/2

LL

u3

u1v3

v2

v4

v5

u2

u5

u4

1

2 4

35

1

4

2

35

7

6

Fig. A.2.2.2.1

P

α=450

LL P

L/2

- Capitolul 2 60

Tab. A.2.2.2.1

Nr.

elem

ent

Nod

urile

i,j

Lung

imea

Aria

Coordonatele nodurilor în raport cu sistemul de axe

global

Mod

ulul

de

el

astic

itate α

[0]

l co

s(α

)

m

sin(

α)

xi yi xj yj

1 1,2 2/L2

S 0 0 L/2 L/2 E 4502/2 2/2

2 1,3 L S 0 0 L 0 E 00 1 0 3 3,2 2/L2

S L 0 L/2 L/2 E 1350 -2/2

2/2

4 2,4 L S L/2 L/2 3L/2 L/2 E 00 1 0

5 3,4 2/L2

S L 0 3L/2 L/2 E 4502/2 2/2

6 3,5 L S L 0 2L 0 E 00 1 0

7 5,4 2/L2

S 2L 0 3L/2 L/2 E 1350 -2/2

2/2

Matricele de rigiditate a elementelor în raport cu sistemul de axe global sunt:

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

⋅⋅

==

5,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,0

2L

SEKK 51 (A.2.2.2.1)

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⋅⋅

===

0000010100000101

LSEKKK 642 (A.2.2.2.2)

[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−

⋅⋅

==

5,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,05,0

5,05,05,05,0

2L

SEKK 73 (A.2.2.2.3)

Elemente finite de tip bară - 61 Matricele de rigiditate expandate sunt:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

⋅⋅

=

000000000000000000000000000707,00000000707,0000000707,0707,0707,0000000707,0707,0707,0707,0

LSEK e1

(A.2.2.2.4)

s i m e t r i c

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⋅⋅

=

0000000000000000000010000000000000000000000000000010001

LSEK e2

(A.2.2.2.5)

s i m e t r i c

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⋅⋅

=

00000000000000707,00000707,0707,00000707,0707,0707,00000707,0707,0707,0707,00000000000000000000000

LSEK e3

(A.2.2.2.6)

s i m e t r i c

- Capitolul 2 62

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⋅⋅

=

0000000001000000000000000000000100010000000000000000000

LSEK e4

(A.2.2.2.7)

s i m e t r i c

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

⋅⋅

=

00000707,000707,0707,000707,0707,0707,000707,0707,0707,0707,00000000000000000000000000000000000000

LSEK e5

(A.2.2.2.8)

s i m e t r i c

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅

⋅=

0010000000000000100010000000000000000000000000000000000

LSEK e6

(A.2.2.2.9)

s i m e t r i c s i m e t r i c


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⋅⋅

=

707,0707,0707,0707,0707,0707,0

707,0707,0707,0707,0000000000000000000000000000000000000000000000000

LSEK e7

(A.2.2.2.10)

s i m e t r i c

După asamblare şi impunerea condiţiilor pe contur se obţine următorul sistem

de ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

00

v0vuv000

707,0707,0707,0707,0000000707,0707,1707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00000

707,0707,00414,2707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00001707,0707,00414,3707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00001707,0707,00414,2707,0707,0000000707,0707,0707,0707,0000001707,0707,0707,0707,1

LSE

FF0

FP

00

FFF

4

3

3

2

y5

x5

x4

x2

y1

x1

(A.2.2.2.11)

Din acest sistem de ecuaţii se pot scrie următoarele sisteme de ecuaţii:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−

⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

4

3

3

2

vvuv

414,1707,0707,00707,0414,10707,0707,00414,3707,00707,0707,0414,1

LSE

0P

00

(A.2.2.2.12)

- Capitolul 2 64

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−−−

⋅=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

4

3

3

2

y5

x5

x4

x2

y1

x1

vvuv

707,0000707,00000707,0707,100707,0707,00000707,0001707,0

LSE

FFFFFF

(A.2.2.2.13)

Din sistemul de ecuaţii (A.2.2.2.12) se obţine:

(A.2.2.14)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

039,0079,00039,0

vvuv

4

3

3

2

Din sistemul de ecuaţii (A.2.2.2.13), cu soluţiile (A.2.2.2.14), se obţine:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅−

⋅⋅−

⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

4

4

4

4

4

4

y5

x5

x4

x2

y1

x1

10482,210482,2

10027,510027,5

10482,210482,2

FFFFFF

(A.2.2.2.15)

Aplicaţia A.2.2.3 Pentru structura din figura A.2.2.3.1, se cere să se calculeze reacţiunile şi

deplasările din noduri. Se cunosc: P=50 KN; q=100 KN/m; S=300 mm2; L=0,7 m; E=210000 MPa.

α=450

P (N) L

q (N/mm)

Elemente fini ă - 65 te de tip bar

Rezolvare: Fig. A.2.2.3.1

L

L/2

Întrucât sarcinile se pot aplica numai în noduri este necesar ca sarcina axială distribuită q, să fie înlocuită printr-o sarcină echivalentă. Schema de încărcare echivalentă este prezentată în figura A.2.2.3.2. Deoarece faţă de aplicaţia A.2.2.2 sunt diferite numai condiţiile pe contur, vom utiliza matricea de rigiditate a structurii din ecuaţia (A.2.2.2.11). Prin impunerea condiţiilor pe contur se obţine următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

00

vuvuvu00

707,0707,0707,0707,0000000707,0707,1707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00000

707,0707,00414,2707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00001707,0707,00414,3707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00001707,0707,00414,2707,0707,0000000707,0707,0707,0707,0000001707,0707,0707,0707,1

LSE

FF0

2/qlP

00

2/qlFF

4

4

3

3

2

2

y5

x5

y1

x1

(A.2.2.3.1) Din sistemul (A.2.2.3.1) se obţin:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−−−−−

−−−

⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

4

4

3

3

2

2

vuvuvu

414,10707,0707,0000414,2707,0707,001707,0707,0414,10707,0707,0707,0707,00414,3707,0707,000707,0707,0414,1001707,0707,00414,2

LSE

02/ql

P00

2/ql

α=450

ql/2

Fig. A.2.2.3.2

ql/2

L/2

P (N)L L

- Capitolul 2 66 (A.2.2.3.2)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

4

4

3

3

2

2

y5

x5

y1

x1

vuvuvu

0,707-0,70700000,7070,707-01-00

00000,707-0,707-0001-0,707-0,707-

LSE

FFFF

(A.2.2.3.3)

Din (A.2.2.3.2) şi (A.2.2.3.3) rezultă:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

573,0094,0341,1

194,0768,065,0

vuvuvu

4

4

3

3

2

2

, (mm); (N). (A.2.2.3.4)

,

1025,4106105,7101

FFFF

4

4

3

4

y5

x5

y1

x1

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅−⋅⋅−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Aplicaţia A.2.2.4

Pentru aceeaşi structură de bare articulate prezentată în aplicaţia A.2.2.3, pentru care însă reazemul din dreapta se transformă într-un reazem mobil, Fig.A.2.2.4.1, se cere să se calculeze deplasările nodurilor şi reacţiunile din reazeme.

Rezolvare: Matricea de rigiditate fiind aceeaşi ca în cazul aplicaţiei A.2.2.2, se modifică

condiţiile pe contur în conformitate cu modul de rezemare prezentat în Fig. A.2.2.4.1 şi se obţine următorul sistem de ecuaţii:

α=450 L/2

q (N/mm)

P (N)L L

Elemente finite de tip bară - 67 Fig. A.2.2.4.1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

0uvuvuvu00

707,0707,0707,0707,0000000707,0707,1707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00000

707,0707,00414,2707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00001707,0707,00414,3707,0707,0010000707,0707,0414,10707,0707,00001707,0707,00414,2707,0707,0000000707,0707,0707,0707,0000001707,0707,0707,0707,1

LSE

F00

2/qlP

00

2/qlFF

5

4

4

3

3

2

2

y5

y1

x1

(A.2.2.4.1) Din sistemul (A.2.2.4.1) se obţin:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−

⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

5

4

4

3

3

2

2

uvuvuvu

707,1707,0707,00100707,0414,10707,0707,000707,00414,2707,0707,0010707,0707,0414,10707,0707,01707,0707,00414.3707,0707,0

000707,0707,0414,10001707,0707,00414,2

LSE

00

2/qlP

00

2/ql

(A.2.2.4.2)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⋅

⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

5

4

4

3

3

2

2

y5

y1

x1

uvuvuvu

707,0-707,0-707,0000000000707,0-707,0-00001707,0-707,0-

LSE

FFF (A.2.2.4.3)

- Capitolul 2 68

Din (A.2.2.4.2) şi (A.2.2.4.3) rezultă:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

133,0124,0

076,0201,0

086,0143,0

132,0

uvuvuvu

5

4

4

3

3

2

2

, (mm); (N). (A.2.2.4.4)

,1025,4105,7

107

FFF

4

3

4

y5

y1

x1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⋅

⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

2.3 Structuri spaţiale de bare articulate

În cazul structurilor spaţiale de bare articulate se folosesc relaţiile prezentate în paragrafele 2.1 şi 2.2, cu observaţia că matricea de transformare [ ]T , dată de relaţia (2.2.16) trebuie modificată. Modificarea matricei de transformare [ ]T se face ţinând cont de faptul că în cazul structurilor spaţiale de bare articulate fiecare nod în sistemul de axe propriu x* y* z* , a elementului finit are un grad de libertate iar în sistemul de axe global x y z, al structurii va avea trei grade de libertate pe nod, Fig. 2.3.1.

x* (α, β, γ,)vj

uj

wj

ui

vi

*ju

j y

wi

x i

y*

*iu

z*z

Fig. 2.3.1

Elemente finite de tip bară - 69 Dacă α, β, γ, sunt unghiurile pe care le face axa x* a sistemului de axe local cu axele x, y şi z ale sistemului global de axe, cu notaţiile:

l1=cosα; m1=cosβ; n1=cosγ; (2.3.1)

rezultă: (2.3.2)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

j

j

j

i

i

i

111

111*j

*i

wvuwvu

nml000000nml

uu

sau: { } [ ] { }e

*e UTU ⋅= (2.3.3)

unde:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

111

111

nml000000nml

T (2.3.4)

Relaţia (2.2.9), de transformare a matricei de rigiditate a elementului din sistemul de axe local în sistemul de axe global va fi:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=111

111

1

1

1

1

1

1

e nml000000nml

LSE

n0m0l00n0m0l

K (2.3.5)

- Capitolul 2 70

[ ]

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅⋅−−⋅−

⋅⋅⋅−⋅−−−⋅−⋅−⋅⋅

⋅−−⋅−⋅⋅⋅−⋅−−⋅⋅

⋅⋅

=

211111

211111

112

111112

111

11112

111112

1

211111

211111

112

111112

111

11112

111112

1

e

nnmnlnnmnlnmmmlnmmml

nlmllnlmllnnmnlnnmnl

nmmmlnmmmlnlmllnlmll

LSEK

(2.3.6) În conformitate cu relaţia (2.2.6), forţele nodale exterioare aplicate elementului finit, raportat la sistemul de axe global, Fig. 2.3.2, vor fi:

{ } [ ] { }⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⋅=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

= *j

*i

1

1

1

1

1

1

*e

T

jz

jy

jx

iz

iy

ix

e FF

n0m0l00n0m0l

FT

FFFFFF

F (2.3.7)

x* (α, β, γ,)Fjy

Fjx

Fjz

Fix

Fiy

*ju

j y *

Fix

x i

y*

*iF

z*z

Fig. 2.3.2

Elemente finite de tip bară - 71 Aplicaţia A.2.4.1

Pentru structura de bare articulate din Fig. A.2.4.1, se cere să se calculeze reacţiunile şi deplasarea articulaţiei 2. Se cunosc:

P=20 KN; S=300 mm2; L=1 m;

E=210000 MPa y Rezolvare: Numerotarea nodurilor şi elementelor finite în conformitate cu modul de discretizarea a structurii este prezentată în Fig. A.2.4.2. Datele de intrare privitoare la geometria structurii sunt cuprinse în tabelul A.2.4.1. Tabelul A.2.4.1

Nr.

elem

. k

Nod

urile

i,j

Gra

de d

e lib

erta

te xi

yi zi

xj yj zj Lk cos α=

k

ij

Lxx −

cos β=

k

ij

Lyy −

cos γ=

k

ij

Lzz −

1 1,2 1,2,3,4,5,6

0 0 0 1L 3L 0,5L 3,20156L 0,3123 0,9374 0,156

2 3,2 7,8,9,4,5,6

3L 0 0 1L 3L 0,5L 3,64005L -0,5494 0,8241 0,1373

P

3L

x O

0,5L

CL

3L

z Fig. A.2.4.1

- Capitolul 2 72

F 2y Matricele de rigiditate ale elementelor raportate la sistemul de axe global xzy, în conformitate cu relaţia (2.3.6), sunt:

0.097

0.292

0.049

0.097

0.292

0.049

0.292

0.878

0.146

0.292

0.878

0.146

0.049

0.146

0.024

0.049

0.146

0.024

0.097

0.292

0.049

0.097

0.292

0.049

0.292

0.878

0.146

0.292

0.878

0.146

0.049

0.146

0.024

0.049

0.146

0.024

0.301

0.452

0.075

0.301

0.452

0.075

0.452

0.679

0.113

0.452

0.679

0.113

0.075

0.113

0.019

0.075

0.113

0.019

0.301

0.452

0.075

0.301

0.452

0.075

0.452

0.679

0.113

0.452

0.679

0.113

0.075

0.113

0.019

0.075

0.113

0.019

v2 y

u2 w2 2P

w1

u1

v1

x

z

O

Fig. A.2.4.2

v3

u3

w3

1 3

12 F3yF1y

F3x F1x

F1z F3z

[ ] ⋅⋅

=1

1 LSEK

[ ] ⋅⋅

=2

2 LSEK


Matricele de rigiditate expandate sunt:

0.097

0.292

0.049

0.097

0.292

0.049

0

0

0

0.292

0.878

0.146

0.292

0.878

0.146

0

0

0

0.049

0.146

0.024

0.049

0.146

0.024

0

0

0

0.097

0.292

0.049

0.097

0.292

0.049

0

0

0

0.292

0.878

0.146

0.292

0.878

0.146

0

0

0

0.049

0.146

0.024

0.049

0.146

0.024

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

[ ] ⋅⋅

=1

e1 LSEK

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0.301

0.452

0.075

0.301

0.452

0.075

0

0

0

0.452

0.679

0.113

0.452

0.679

0.113

0

0

0

0.075

0.113

0.019

0.075

0.113

0.019

0

0

0

0.301

0.452

0.075

0.301

0.452

0.075

0

0

0

0.452

0.679

0.113

0.452

0.679

0.113

0

0

0

0.075

0.113

0.019

0.075

0.113

0.019

[ ] ⋅⋅

=2

e2 LSEK

Matricea de rigiditate a structurii, după înlocuirea valorilor numerice, este:

1.909103.

5.746103.

964.217

1.909103.

5.746103.

964.217

0

0

0

5.746103.

1.728104.

2.873103.

5.746103.

1.728104.

2.873103.

0

0

0

964.217

2.873103.

472.27

964.217

2.873103.

472.27

0

0

0

1.909103.

5.746103.

964.217

7.118103.

2.077103.

333.842

5.21103.

7.823103.

1.298103.

5.746103.

1.728104.

2.873103.

2.077103.

2.903104.

4.829103.

7.823103.

1.175104.

1.956103.

964.217

2.873103.

472.27

333.842

4.829103.

801.111

1.298103.

1.956103.

328.842

0

0

0

5.21103.

7.823103.

1.298103.

5.21103.

7.823103.

1.298103.

0

0

0

7.823103.

1.175104.

1.956103.

7.823103.

1.175104.

1.956103.

0

0

0

1.298103.

1.956103.

328.842

1.298103.

1.956103.

328.842

[ ]=gK

- Capitolul 2 74

Din sistemul de ecuaţii global, prin impunerea condiţiilor pe contur se obţine următorul sistem de ecuaţii:

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

000

w0u000

K

FFF

PF0

FFF

2

2

g

z3

y3

x3

y2

z1

y1

x1

,

din care se obţin următoarele sisteme de ecuaţii:

; ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−⋅

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧− 2

23

wu

111,801842,333842,33310118,7

P0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−

−−⋅−⋅−

−⋅−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

2

2

3

33

33

33

43

3

z3

y3

x3

y2

z1

y1

x1

wu

842,32810298,110956,110823,710298,11021,510829,410077,227,472217,96410873,210746,5

217.96410909,1

FFFFFFF

Din care se obţin soluţiile:

2.683 104.

8.002 104.

1.318 104.

1.205 105.

2.683 104.

4.046 104.

6.823 103.

=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

z3

y3

x3

y2

z1

y1

x1

FFFFFFF

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

2

wu 1.194

25.463 (mm)

(N)

⎭⎩

Elemente finite de tip arc - 75

2.4 Elemente finite de tip arc E.F. de tip arc elicoidal are caracteristici comune E.F. de tip bară cu un singur

grad de libertate pe nod şi anume poate prelua numai sarcini de întindere sau compresiune. Constanta elastică a elementului elastic de tip arc elicoidal cu spire strânse este de forma:

nR64Gdk 3

4

= , (2.4.1)

unde: G- modulul de elasticitate transversal; d- diametrul sârmei din care este confecţionat arcul; 2R- diametrul mediu de înfăşurare al spirei, Fig. 2.4.1; n- numărul de spire active a arcului.

Fj

uj

D=2R

ui d

i j

Fi

Fig. 2.4.1

Prin analogie cu E.F. de tip bară cu articulaţii şi în conformitate cu relaţiile (2.1.1) la (2.1.5) şi Fig.2.4.1, se poate scrie:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

j

i3

4

j

i

uu

1111

nR64Gd

FF

(2.4.2)

sau { } [ ] { }eee UKF ⋅= (2.4.3)

unde:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

kkkk

1111

nR64GdK 3

4

e , este matricea de rigiditate a

elementului;

- Capitolul 2 76

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=j

ie F

FF şi { } , sunt matricele forţelor nodale exterioare

respectiv matricea deplasărilor nodale a elementului. ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=j

ie u

uu

Pentru structurile realizate din sisteme de arcuri, trebuie să se ţină cont de modul de aşezarea a arcurilor în cadrul structurii. Pentru 2 arcuri aşezate în serie, Fig.2.4.2, ne propunem să se stabilim ecuaţiile de echilibru şi apoi să calculăm deplasările nodurilor 2 şi 3 şi forţa din nodul 1 în următoarele condiţii pe contur: u1=0 şi F2=F3=P. Arcurile sunt de rigidităţi diferite, k1≠k2.

Pentru fiecare E.F se aplică relaţia (2.4.3) şi se obţine:

şi , (2.4.4) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

11

11

12

11

uu

kkkk

FF

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

3

2

22

22

23

22

uu

kkkk

FF

unde s-au făcut notaţiile: Fij - reacţiunea din nodul j pentru elementul finit i; uj - deplasarea u a nodului j : ki – constanta elastică a arcului i

Dimensiunile matricei de rigiditate ale structurii sunt date de numărul total al gradelor de libertate. În cazul nostru vom avea: 3 (noduri/structură) x 1 (grad de libertate/nod)= 3 (grade de libertate/structură) (2.4.5) Matricea de rigiditatea structurii de 2 arcuri aşezate în serie va fi deci o matrice 3x3.

Considerând echilibrul fiecărui nod se obţine: F 1 = F11 ; F 2 = F12 + F21 ; F = F (2.4.6) 3 23

Relaţiile (2.4.6) le von scrie ţinând cont de (2.4.4) şi vom obţine:

u1

1

u2 u3

k2

P

k1 2

2

1

3 x

P

2 3 1

Fig. 2.4.2


( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−==−++−=−++−=+=

−=−==

3222233

32221113222211122122

2112111111

ukukFFukukkukukukukukFFF

uukukukFF

Sub forma matriceală sistemul de ecuaţii devine:

gl

1 2 3

(2.4.7)

321

uuu

kk0kkkk0kk

FFF

3

1

22

2211

11

3

2

1

2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

Sau: { } [ ] { }ggg UKF ⋅= (2.4.8)

unde: [ ]gK - matricea de rigiditate a sistemului de arcuri;

{ }gF ;{ }gU , matricele forţelor nodale şi deplasărilor sistemului de arcuri. O alta metodă a obţinerii matricei de rigiditate a structurii o reprezintă metoda

asamblării prin procedeul superpoziţionării. Matricele de rigiditate expandate şi însumate conduc la expresia:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

3

2

1

22

2211

11

3

2

1

23

2212

11

22

2211

11

22

2211

11

uuu

kk0kkkk0kk

FFF

FFF

F

kk0kkkk0kk

kk0kk0000

0000kk0kk

(2.4.9)

În conformitate cu enunţul problemei, condiţiile pe contur sunt: u 1 =0 şi F =F 3 =P. (2.4.10) 2

În aceste condiţii obţinem următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

322

221

111

uu0

kk0kkkk0kk

PPF

21 (2.4.11)

Sistemul (2.4.11) se poate scrie sub forma:

- Capitolul 2 78

F 1 = - k 1 u (2.4.12) 2

(2.4.13) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

3

2

22

221

uu

kkkkk

PP

de unde rezultă:

u =21kP2

; u =32k

PkP2

1

+ ;

F1=-2P Aplicaţia A.2.4.1 Se cere să se calculeze: 1-matricea de rigiditate a sistemului de arcuri 2-deplasările nodurilor 2 şi 3 3-forţele de reacţie din 1 şi 4 4-forţa din arcul 2

P3

Se cunosc:

a) Constantele arcurilor, k1=100 N/mm; k2= 200 N/mm; k3= 100 N/mm;

b) Valoarea forţei P=500 N; c) Deplasările u1=u4=0.

Rezolvare:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

12

11

FF

= = ⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

2

1

uu

100100100100

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

0012

11

FF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

00uu

000000000010010000100100

2

1

x 1 2

1 2

4 3k k3 k1 2

u2 u3 u u4 1

2 34

1

Fig. 2.4.1


= = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

23

22

FF

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

200200200200

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

3

2

uu

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

0FF0

23

22

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

0uu0

000002002000020020000000

3

2

= = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

34

33

FF

⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

4

3

uu

100100100100

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

34

33

FF00

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

4

3

uu00

100100001001000000000000

Prin urmare rezultă:

= =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

4

3

2

1

FFFF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

34

3323

2212

11

FFFFF

F

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

4

3

2

1

uuuu

100100001003002000020030010000100100

Aplicând condiţiile pe contur = =0, şi =0 şi =P, obţinem: 1u 4u 2F 3F

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

4

1

FP0F

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

0uu0

100100001003002000020010010000100100

3

2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒P0

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−−=

0uu0

10030020000200100100

3

2

de unde se obţine: = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧P0

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

3

2

uu

300200200100

şi = 4F 43100 ⋅−

După rezolvare, se obţine:

u2=250P

= 2mm; u3=5003P

= 3mm;

- Capitolul 2 80

respectiv F1= - 100 U2 = - 200 N F4= - 100 U3 = - 300 N Forţa din arcul 2, o vom calcula, plecând de la ecuaţia

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

23

22

FF

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−32

200200200200

uu

200200200200

3

2

F22 = -F23 ( arcul se află în echilibru)

F22= 200⋅2-200⋅3= - 200 N

F23= -200⋅2+ 200⋅3= + 200 N

Aplicaţia A.2.4.2 Să se găsească matricea de rigiditate a sistemului de arcuri din figura A.2.4.2 şi

să se stabilească dacă aceasta este sau nu matrice singulară.

u4

k1 u1

1

F2

u3

u

Rezolvare Numerotarea nodurilor şi elementelor în conformitate cu Fig. A.2.4.2 este

arbitrară. Conexiunile elementelor şi sunt prezentate în tabelul A.2.4.2.

2

k3

F1 k4 4

1

2

3

4

5

k2

1

5 2 3

4 2 3

Fig. A.2.4.2

u5

Elemente finite de tip arc - 81 Tabelul A.2.4.2

Numărul elementului Nodurile i,j Grade de libertate 1 4,2 4,2 2 2,3 2,3 3 3,5 3,5 4 2,1 2,1

Matricele de rigiditate a elementelor raportate la sistemele de axe proprii sunt:

[ ]=1K ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

11

11

kkkk

24

; [ ]2K = ; 32

kkkk

22

22⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−2 3 4 2

[ ]3K = ; 53

kkkk

33

33⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

− [ ]4K = . ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

44

44

kkkk

12

2 1 3 5

Se expandează matricele de rigiditate a elementelor la dimensiunile 5 x 5 şi rearanjându-le după criteriul numerotări gradelor de libertate a sistemului, obţinem:

[ ]

54321

000000k0k0000000k0k000000

K

11

11

e1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−= ; ; [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

000000000000kk000kk000000

K 22

22

e2

1 2 3 4 5

- Capitolul 2 82

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

33

33e3

k0k0000000k0k000000000000

K ; [ ] ;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

000000000000000000kk000kk

K44

44

e4

După asamblare matricea de rigiditate a structurii este: 1 2 3 4 5

[ ]

54321

k0k000k0k0k0kkk00kkkkkk000kk

K

33

11

3322

124214

44

g

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+−−−++−

−

=

Aplicaţia A.2.4.3 Pentru sistemul de arcuri din figura A.2.4.3, se cere să se calculeze reacţiunile

şi deplasarea punctului de aplicaţie a forţei. Se cunosc: P=1500 N; k1=100 N/mm; k2=200 N/mm; k3=300 N/mm; k4=50 N/mm; α=450; β=300; γ=1250.

Elemente finite de tip arc - 83 Rezolvare Numerotarea nodurilor, elementelor şi gradelor de libertate este prezentată în

figura A.2.4.3.

k3k4γ=1250

α=450

β=300

P

k1

k2

Fig. A.2.4.3

Fig. A.2.4.4

α=450

β=300

P

k1

k3

k2

γ=1250k4

1

5 4

2

3

u1

u2

u3

v3

v4

u4 u5

v1 v2

1

2

3

4

v5

F5y

F4y

y

F1y

F4x

F3y

F1x

F3x

F5x

O x

- Capitolul 2 84

Matricele deplasărilor şi a forţelor nodale pentru întreaga structură sunt:

{ } ;

vuvuvuvuvu

U

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

g

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

= { } .

FFFFFFFFFF

F

y5

x5

x4

x4

y3

x3

y2

x2

y1

x1

g

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

Matricele de rigiditate a elementelor raportate la sistemul de axe global şi expandate sunt:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

000.mis0000000000000000000000000000000010000000000000000001000100

K e1

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

000.mis000000000001000000100100000010010010000001001001001000000000000000000000

K e2


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

000.mis007500130225000000000000075130007500130225001302250000000000000000000

K e3

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

95,816,1904,41.mis

00000000000000000095,816,19000095,816,1904,41000016,1904,41

0000000000000000000

K e4

După impunerea condiţiilor pe contur şi asamblarea matricelor de rigiditate a elementelor în matricea de rigiditate a structurii, se obţine sistemul:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−−

−−−−

−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

000000vu00

95,816,1904,41.miS

0075001302250000100000010010095,816,197513010010095,18316,1904,4113022510010084,1004,466

00000000000000001000100

FFFFFF0P

FF

2

2

y5

x5

x4

x4

y3

x3

y1

x1

- Capitolul 2 86

Din care rezultă următoarele soluţii:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

19,0223,3

vu

2

2 (mm);

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

453,63912,135749,40449,700296,341

296,3410303,322

FFFFFFFF

y5

x5

y4

x4

y3

x3

y1

x1

(N).


2.5. Elemente finite de tip bară cu noduri rigide cu două grade de libertate pe nod

2.5.1. Constituirea matricei de rigiditate. Metoda directă

În cele ce urmează prezentăm elementul finit cu noduri rigide capabil să modeleze grinzile solicitate la încovoiere plană. În acest caz sunt necesare 2 grade de libertate pe nod. Gradele de libertate sunt reprezentate de deplasarea liniară v(x) şi de deplasarea unghiulară

dx)x(dv)x( =ϕ a secţiunii

transversale ale barei, Fig. 2.5.1.1. Secţiunea transversală a barei este definită de aria A şi momentul de inerţie axial Iz. Lungimea elementului finit de bară este L, iar bara este realizată din acelaşi material având modulul de elasticitate longitudinal E. Pentru structurile plane din categoria din care face parte elementul finit cu două grade de libertate pe nod, când sunt aplicate forţe tăietoare şi momente încovoietoare, ecuaţia pentru elementul finit de forma:

vi

vj

y

ϕj

L

x

ϕi

E, Iz ,A Mzi

Tyi Mzj

Tyj

1

4

3 2

z

Fig.2.5.1.1

{ } [ ] { }eee UKF ⋅= (2.5.1.1) are pentru elementele sale următoarea în componenţă:

{ } { } [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ

ϕ=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

e

j

j

i

i

e

zj

yj

zi

yi

e

kkkkkkkkkkkkkkkk

K;v

v

U;

MTMT

F (2.5.1.2)

unde: Tyi, Tyj, sunt forţele tăietoare din nodurile i,j; Myi, Myj, sunt momentele încovoietoare din nodurile i,j; vi, ϕi, reprezintă deplasarea şi rotaţia secţiunii elementului de bară în nodul i în planul determinat de sistemul de axe propriu xOy. Axa z perpendiculară pe planul xOy completează sistemul de axe cartezian drept; vj, ϕj, idem pentru nodul j;

88 – Capitolul 2

kl,m reprezintă componentele matricei de rigiditate [ ]eK , a elementului finit cu l=1,2,3,4 şi m=1,2,3,4.

Semnificaţia componentelor matricei de rigiditate a elementului finit ne conduce la modul de calcul direct a acestora. Înlocuim în relaţia (2.5.1.1), expresiile (2.5.1.2), pentru care în matricea deplasărilor nodale a elementului se impun următoarele valori: vi=ϕi=ϕj=0 şi vj=1. Se obţine următorul sistem de ecuaţii:

4321

(2.5.1.3)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

0100

kkkkkkkkkkkkkkkk

MTMT

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

zj

yj

zi

yi

Numerotarea gradelor de libertate pe element

4321

De aici se obţine egalitatea:

(2.5.1.4)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

3,4

3,3

3,2

3,1

zj

yj

zi

yi

kkkk

MTMT

Rezultă concluzia că în cazul în care se impune o deplasare egală cu unitatea

pe direcţia gradului de libertate n a elementului finit iar celelalte grade de libertate sunt blocate, atunci elementele coloanei n din matricea de rigiditate reprezintă reacţiunile care apar în noduri. După această procedură prin aplicarea metodei eforturilor se vor calcula în continuare componentele matricei de rigiditate.

Pentru început vom impune următoarele deplasări, Fig. 2.5.1.2,: vj=ϕi=ϕj=0 şi vi=1, (2.5.1.5)

v1=1

k1,1

x y

k2,1 k3,1k4,1

L

E, A, Iz

Fig. 2.5.1.2

Elemente finite de tip bară - 89 Schema de calcul a reacţiunilor ki,j, aplicând metoda eforturilor, Fig. 2.5.1.3, ne conduce la următorul sistem de ecuaţii:

⎩⎨⎧

Δ=⋅δ+⋅δ+ΔΔ=⋅δ+⋅δ+Δ

222,211,20,2

122,111,10,1

XXXX

unde: X1=k1,1; X2=k2,1 sunt reacţiunile necunoscute care apar prin impunerea condiţilor (2.5.1.5).

0,1Δ , , sunt deplasările pe direcţia necunoscutelor X

0,2Δ

1 şi X2, datorită forţelor aplicate elementului. δi,j=δj,i este deplasarea pe direcţia gradului de libertate i a secţiunii j datorită unei sarcini egale cu unitatea aplicată pe direcţia gradului de libertate j. Δ1, Δ2 sunt deplasările impuse pe direcţia necunoscutelor X1, X2. În cazul nostru Δ1=1; Δ2= 0. Obţinem următorul sistem de ecuaţii:

⎩⎨⎧

=⋅δ+⋅δ=⋅δ+⋅δ

0XX1XX

22,211,2

22,111,1

Coeficienţii δi,j îi vom calcula aplicând metoda Mohr- Maxwell, regula de integrare Veresceaghin.

În conformitate cu schema din figura 2.5.1.3 rezultă:

v1=1

k1,1

x

y

k2,1 k3,1 k4,1

L

Fig. 2.5.1.3

k2,1=X2

k1,1=X1

x1=1

x2=1

m1

S.A.1

m2

S.A.2

Sistemul echivalent

1

2/3 L

2/3 L

L

L/2

z2,2

z

2

1,22,1z

3

1,1 EIL;

EI2L;

EI3L

=δ−=δ=δ=δ .

În aceste condiţii eforturile necunoscute sunt:

.LEI6kX;

LEI12kX 2

z1,223

z1,11 ==== (2.5.1.6)

90 – Capitolul 2 Reacţiunile K31 şi K41 le vom calcula din condiţiile de echilibru:

2z

1,41,41,21,1

3z

1,11,3

LEI6k0kkLk0M

;LEI12kk0V

=⇒=++⋅−⇒=

−=−=⇒=

∑

∑

(2.5.1.7)

Pentru calculul elementelor celei de-a doua coloane din matricea de rigiditate [ , rel. (2.5.1.2), impunem o deplasare egală cu unitatea pe direcţia celui de-al doilea grad de libertate, celelalte grade de libertate fiind blocate, Fig. 2.5.1.4.

]eK

ϕi=1, ϕj=vi=vj=0. (2.5.1.8)

k1,2 k4,2

k3,2

k2,2

ϕi=1

L

y

x

Fig. 2.5.1.4

Aplicând metoda eforturilor în mod asemănător cazului precedent se obţin

următoarele expresii:

;LEI2k;

LEI6k;

LEI4k;

LEI6k z

2,42z

2,3z

2,22z

2,1 =−=== (2.5.1.9)

În mod analog prin impunerea unor condiţii similare în nodul j, vom obţine elementele celei de-a treia şi a patra coloane din matricea de rigiditate care au următoarele expresii:

;LEI6k;

LEI12k;

LEI6k;

LEI12k 2

z3,43

z3,32

z3,23

z3,1 −==−=−= (2.5.1.10)

;LEI4k;

LEI6k;

LEI2k;

LEI6k z

4,42z

4,3z

4,22z

4,1 =−=== (2.5.1.11)

Expresia matricei de rigiditate a elementului finit considerat este:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

⋅⋅

=

22

22

3z

e

L4L6L2L6L612L612

L2L6L4L6L612L612

LIEK (2.5.1.12)

Elemente finite de tip bară - 91 Notă: În cazul în care încărcările sunt conţinute în planul xOz, (încovoierea

produce rotaţii în jurul axei y), calculul elementelor matricei de rigiditate a elementului se face se face în acelaşi mod. Sistemul de ecuaţii care defineşte legătura dintre forţe şi deplasări este:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ

ϕ⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

⋅⋅

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

j

j

i

i

22

22

3y

yj

zj

yi

zi

v

v

L4L6L2L6L612L612L2L6L4L6

L612L612

LIE

MTMT

(2.5.1.13)

2.5.2. Metoda indirectă în constituirea matricei de rigiditate Pentru calculul deplasărilor liniare v(x), pe domeniul elementului finit se acceptă un polinom de interpolare de forma: j4j3i2i1 (x)Nv(x)N(x)Nv(x)Nv(x) ϕ⋅+⋅+ϕ⋅+⋅= (2.5.2.1) sau:

(2.5.2.2) ( ){ } [ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ

ϕ⋅=

j

j

i

i

4321 v

v

)x(N)x(N)x(N)x(Nxv

unde Ni(x), (i=1,2,3,4), sunt funcţii de formă. Funcţiile de formă pentru cazul analizat au următoarele expresii:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

−=

+−=

+−=

2

32

4

3

3

2

2

3

2

32

2

3

3

2

2

1

Lx

Lx)x(N

Lx2

Lx3)x(N

Lx

Lx2x)x(N

Lx2

Lx31)x(N

(2.5.2.3)

Se remarcă că funcţiile de formă satisfac următoarele condiţii:

(2.5.2.4) N1(x)+ N3(x)=1 N2(x)+ L⋅N3(x)+ N4(x)=x Relaţiile (2.5.2.4) sunt valabile în ipoteza considerării deplasării de corp rigid

acceptând starea deformată a barei. Curbura barei poate fi scrisă sub forma:

92 – Capitolul 2

[ ] { } [ ] { ee22

2

UBUNdxd

dxvd

⋅=⋅= } (2.5.2.5)

unde [B] este matricea de interpolare a deformaţiilor specifice pe element. Matricea [B] poate fi scrisă sub forma:

[ ] [ ]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+−+−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

232232

42

2

32

2

22

2

12

2

2

2

Lx6

L2

Lx12

L6

Lx6

L4

Lx12

L6

NdxdN

dxdN

dxdN

dxdN

dxdB

(2.5.2.6)

Explicitând egalitatea dintre energia internă de deformaţie acumulată de

elementul finit şi lucrul mecanic al forţelor exterioare aplicate acestuia rezultă:

{ } { }

( ) dxdx

vdEIdx

vd21dxM

EI1M

21

dxdAyI

ME1y

IM

21dV

21W

2

2L

0z

T

2

2

z

L

0 z

Tz

z

z

TL

0 A z

z

V

T

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅⋅⋅=

=⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅ε⋅σ=

∫∫

∫ ∫∫

(2.5.2.7)

Înlocuind în (2.5.2.7), expresia (2.5.2.5), rezultă:

[ ] { }( ) [ ] { }( )

{ } [ ] [ ] { }ez

TL

0

Te

ez

TL

0e

UdxBEIBU21

dxUBEIUB21W

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

∫

∫ (2.5.2.8)

În acelaşi timp expresia lucrului mecanic al forţelor exterioare este:

{ } { } { } [ ] { eeT

eeT

e UKU21FU

21L ⋅⋅=⋅= } (2.5.2.9)

Comparând ultimele două relaţii rezultă:

[ ] [ ] [ ]∫ ⋅⋅⋅⋅=L

0z

Te dxBIEBK (2.5.2.10)

Elemente finite de tip bară - 93 După înlocuirea în relaţia precedentă a expresiei matricei [B] dată de (2.5.2.6)

şi după efectuarea integralei, se obţine aceeaşi expresie a matricei de rigiditate a elementului dată de (2.5.1.12).

Aplicaţia A.2.5.2.1 Pentru structura din Fig. A.2.5.2.1, se cere să se calculeze rotaţia punctului de

aplicaţie al momentului M, şi reacţiunile din reazeme. Se cunosc: M=15 KNm; Iz=3⋅106 mm4; L=0,7 m; E=2,1⋅105; (Se va neglija efectul produs de forşele axiale)

L

M

2L

EIz

Fig. A.2.5.2.1

Rezolvare: În Fig.A.2.5.2.2 este prezentată discretizarea structurii şi modul de numerotare

a nodurilor şi gradelor de libertate.

În conformitate cu rel. (2.5.1.12), matricele de rigiditate a celor două elemente

sunt:

5

55 5

5 5

1

v1

Fig. A.2.5.2.2

2 3

x

v2v3

ϕ1ϕ2 ϕ3

y

1 2

94 – Capitolul 2

După expandare şi asamblarea în matricea de rigiditate a structurii şi după impunerea condiţiilor pe contur se obţine următorul sistem de ecuaţii:

Rezultă: ϕ2=2,778⋅10-3 (rad)

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅−

⋅⋅−

⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

6

3

7

4

6

4

z3

y3

y2

z1

y1

105,210359,5

105,110607,1

10510143,2

MTMTMT

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

)Nmm()N(

)Nmm()N(

)Nmm()N(

,

2.204 104.

7.714 106.

2.204 104.

7.714 106.

7.714 106.

3.6 109.

7.714 106.

1.8 109.

2.204 104.

7.714 106.

2.204 104.

7.714 106.

7.714 106.

1.8 109.

7.714 106.

3.6 109.

[K1]=

2.755 103.

1.929 106.

2.755 103.

1.929 106.

1.929 106.

1.8 109.

1.929 106.

9 108.

2.755 103.

1.929 106.

2.755 103.

1.929 106.

1.929 106.

9 108.

1.929 106.

1.8 109.

[K2]=

2.204 104.

7.714 106.

2.204 104.

7.714 106.

0

0

7.714 106.

3.6 109.

7.714 106.

1.8 109.

0

0

2.204 104.

7.714 106.

2.48 104.

5.785 106.

2.755 103.

1.929 106.

7.714 106.

1.8 109.

5.785 106.

5.4 109.

1.929 106.

9 108.

0

0

2.755 103.

1.929 106.

2.755 103.

1.929 106.

0

0

1.929 106.

9 108.

1.929 106.

1.8 109.

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

z3

y3

y2

z1

y1

MTMTMT

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ⋅

00

000

2


2.6. Elemente finite de tip bară cu noduri rigide

cu trei grade de libertate pe nod 2.6.1. Cazul încovoierii în plan cu forţă axială

Un caz frecvent întâlnit pentru structurile plane este cazul solicitării date de prezenţa forţelor axiale, tăietoare şi momentului încovoietor. Considerăm extrasă dintr-o astfel de structură un element finit în a cărui noduri i şi j acţionează forţa axială N, forţa tăietoare Ty şi momentul Mz, Fig. 2.6.1.1.

Fig.2.6.1.1

6

5

41

2

3

y

x E, Iz ,A

Mzi Tyi Mzj

Tyj

z

vi

vj

ϕj

L

ϕi

ui uj

i

i’

j’

j

Ni Nji j

În total pe element vom avea 6 grade de libertate, a căror numerotare

corespunde celei prezentate în Fig. 2.6.1.1. Matricea forţelor nodale, { }eF , şi matricea

deplasărilor nodale { , a elementului finit de lungime L, cu aria secţiunii }eU

- Capitolul 2 96

transversale A, şi cu momentul de inerţie axial Iz, (axa z fiind axa normală pe planul structurii), vor avea câte şase componente cumulate în ordinea de numerotarea gradelor de libertate pe element. Matricea de rigiditate a elementului, { }eK , va avea dimensiunile 6x6. În constituirea matricei de rigiditate vom aplica metoda directă şi vom avea în vedere rezultatele obţinute pentru elementul finit cu un singur grad de libertate pe nod, (paragrafele 2.1.1 şi 2.5.1). Ecuaţia care defineşte relaţia dintre forţe şi deplasări pe domeniul elementului finit este:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

j

j

j

i

i

i

z2

zz2

z

2z

3z

2z

3z

z2

zz2

z

2z

3z

2z

3z

zj

yj

j

zi

yi

i

vu

vu

LEI4

LEI60

LEI2

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

ES00L

ESLEI2

LEI60

LEI4

LEI60

LEI6

LEI120

LEI6

LEI120

00L

ES00L

ES

MTNMTN

(2.6.1.1)

Cum pentru structurile plane elementele finite pot fi orientate diferit, în raport cu sistemul de axe global al structurii, este necesară găsirea relaţiilor de transformare care să permită abordarea unitară a vectorilor forţă şi deplasare precum şi a matricelor de rigiditate a elementelor componente.

Ca şi în cazul elementelor finite de tip bară cu un singur grad de libertate, paragraful 2.2, rel. (2.2.9), şi în acest caz matricea de rigiditate a elementului finit raportată la sistemul de axe global, Fig. 2.6.1.2, este dată de o relaţie de forma: [ ] [ ] [ ] [ ]TKTK *T

e e⋅⋅= (2.6.1.2)

unde: [ ]*

eK reprezintă matrice de rigiditate a elementului raportată la sistemul de axe

local; [T] reprezintă matricea de transformare din sistemul de axe local în sistemul de axe global.

Cu notaţiile: a=cosα; b=sinα; (2.6.1.3)

în condiţia în care axele z şi z* se suprapun, adică unghiul dintre ele, notat cu γ, este nul, Fig. 2.6.1.3, putem scrie pentru nodul i, următoarele relaţii de transformare din sistemul de axe global xyz, în sistemul local x* y* z*:


y

1cos

avbucosvsinuv

bvausinvcosuu

*

iiii*

iiii*

i

i

i

=γ⋅ϕ=ϕ

⋅+⋅−=α⋅+α⋅−=

⋅+⋅=α⋅+α⋅=

(2.6.1.4)

Sub formă matriceală se poate scrie:

i

j

x

x*

z=z*

y*

α

Fig. 2.6.1.2

i

x*

yy*

α

α

vi

ui

vi*

vi

ui

ui*

ϕi=ϕi*

x

z=z*

Fig. 2.6.1.3

- Capitolul 2 98

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ

jvu

vu

1000000ab0000ba0000001000000ab0000ba

vu

vu

j

j

i

i

i

*j

*j

*j

*i

*i

*i

(2.6.1.5)

Sau: { } [ ] { e

* UTUe

⋅= }, (2.6.1.6) unde:

{ }*e

U , este matricea deplasărilor nodale raportată la sistemul de axe local;

{ eU }, este matricea deplasărilor nodale raportată la sistemul de axe global;

[ ]T , este matricea de transformare a deplasărilor din sistemul de axe global în sistemul de axe local:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

1000000ab0000ba0000001000000ab0000ba

T (2.6.1.7)

Aplicaţia A.2.6.1 Pentru bara cotită din figura A.2.6.1.1 se cere să se calculeze reacţiunile şi

deplasarea punctului de aplicaţie a momentului M. Se cunosc: M=15 KNm; Iz=3⋅106 mm4; L=0,7 m; E=2,1⋅105 N/mm2

A=2000 mm2;


2L

L EIz

M

EIz

Fig.A.2.6.1.1

7

x 1

u3

EIz

y

2

1

6

5

4

3

2

8

9

v2

u1

ϕ2

u2

v1

ϕ3

ϕ1

v3

Fig.A.2.6.1.2

1

23

1

x*= y

2

xy* α=900

y*=y

2 3

x* x

1

2

Fig.A.2.6.1.3

- Capitolul 2 100

Modelul de calcul a fost elaborat în concordanţă cu modul de discretizare şi

numerotarea nodurilor şi gradelor de libertate, Fig. A.2.6.1.2. În Fig. A.2.6.1.3 se prezintă modul de orientare a sistemelor de axe locale (x* y* z*) ale elementelor finite în raport cu sistemul de axe global (xyz) al structurii.

În tabelul A.2.6.1.1 sunt prezentate datele de intrare necesare exprimării matricelor de rigiditate.

Tab. A.2.6.1.1

Nr.

elem

ent

Nod

urile

i,j

G

rade

de

liber

tate

pe

elem

ent

Lung

imea

E.

F M

omen

tul d

e in

erţie

axi

al Coordonatele

nodurilor în raport cu sistemul de axe

global Mod

ulul

de

el

astic

itate

α [0]

a co

s(α

)

b

sin(

α)

xi yi xj yj

1 1,2 1,2,3,4,5,6 L Iz 0 0 0 L E 900 0 1 2 2,3 4,5,6,7,8,9 2L Iz 0 L 2L L E 00 1 0

În conformitate cu rel. (2.6.1.2), expresiile matricelor de rigiditate a elementelor raportate la sistemul de axe global sunt:

[K1]=

[K2]=

22040.88

0

7714308.0

22040.88

0

7714308.0

0

0

0

0

0

0

7714308.0

0

3600010400.0

7714308.0

0

1800005200.0

22040.88

0

7714308.0

22040.88

0

7714308.0

0

0

0

0

0

0

7714308.0

0

1800005200.0

7714308.0

0

3600010400.0

3 105.

0

0

3 105.

0

0

0

2.755 103.

1.929 106.

0

2.755 103.

1.929 106.

0

1.929 106.

1.8 109.

0

1.929 106.

9 108.

3 105.

0

0

3 105.

0

0

0

2.755 103.

1.929 106.

0

2.755 103.

1.929 106.

0

1.929 106.

9 108.

0

1.929 106.

1.8 109.

Elemente finite de tip bară - 101 După asamblare şi impunerea condiţiilor pe contur, se obţine următorul sistem

de ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

000

vu000

2

2

2

După rezolvarea sistemului obţinem:

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫F

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

0

101500

M

y3

x3

6

z1

y1

x1

După rezolvare se obţine:

; ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⋅=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ )rad()mm()mm(

,102,88109,214-

0,069-vu

3-

3-

2

2

2

( )( )

( )

( )( )( )

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

++

++

+++

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

(Nmm)NN

Nmm(N)(N)

NmmNN

,

62.574E35.529E-

42.07E71.5E

00

64.652E35.528E42.07E-

0FF

101500

MFF

y3

x3

6

z1

y1

x1

.

FF

F2.204104.

0

7.714106.

2.204104.

0

7.714106.

0

0

0

6 105.

0

0

6

0

105.

0

0

0

0

7.714106.

0

3.6 109.

7.714106.

0

1.8 109.

0

0

0

2.204104.

0

7.714106.

3.22105.

0

7.714106.

3 105.

0

0

6

0

105.

0

0

6.028105.

1.929106.

0

2.755103.

1.929106.

7.714106.

0

1.8 109.

7.714106.

1.929106.

5.4 109.

0

1.929106.

9 108.

0

0

0

3 105.

0

0

3 105.

0

0

0

0

0

0

2.755103.

1.929106.

0

2.755103.

1.929106.

0

0

0

0

1.929106.

9 108.

0

1.929106.

1.8 109.

- Capitolul 2 102

Aplicaţia A.2.6.2 Pentru bara cotită din figura A.2.6.2.1 se cere să se calculeze reacţiunile şi

deplasarea punctului de aplicaţie a momentului M. Se cunosc: M=15 KNm; p=24 KN/m Iz=3⋅106 mm4; L=0,7 m; E=2,1⋅105 N/mm2 ; A=2000 mm2.

Rezolvare:

Faţă de aplicaţia A.2.6.1, structura păstrează aceleaşi caracteristici fiind diferite condiţiile pe contur. În metoda elementelor finite condiţiile pe contur pot fi introduse numai în noduri. De aceea sarcina distribuită aplicată pe toată lungimea elementului finit se va înlocui cu o sarcină echivalentă aplicată numai în noduri. Prin sarcini echivalente se înţelege acele sarcini care aplicate asupra barei dau acelaşi lucru mecanic ca şi sarcinile reale. Sarcinile nodale echivalente în cazul sarcinii uniform distribuite, sunt reprezentate în figura A.2.6.2.2.

2L

L EIz

EIz

p

M

Fig.A.2.6.2.1

Elemente finite de tip bară - 103 p

În aceste condiţii modelul de calcul utilizat este prezentat în Fig. A.2.6.2.3.

Matricea de rigiditate a structurii este identică cu matricea de rigiditate

de la problema A.2.6.1. Întrucât în practica curentă în reazeme nu se aplică forţe concentrate, forţele concentrate regăsindu-se în reacţiuni, în reazemul 3 nu s-a aplicat forţa verticală concentrată –pL/2 (provenind de la înlocuirea sarcinii distribuite cu o sarcina echivalentă), este necesar ca în calculul reacţiunilor să se ţină cont de prezenţa acestei sarcini. Rezultă deci că reacţiunea finală pe verticală în reazemul din dreapta va fi R3y=F3y-pL/2.

2L

L EIz

M+pL2/3=M2z

EIz

Fig.A.2.6.2.3

-pL=F2y

-pL2/3=M3z

1

2 3

F1y

F3y

F1x

F2x

M1z

F3x

L

pL/2 pL/2

pL2/12pL2/12

Fig. A.2.6.2.2

- Capitolul 2 104

În final se obţine următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ

ϕ

3

3

3

2

2

2

1

1

1

vu

vu

uu

Matricele forţelor şi deplasărilor nodale după impunerea condiţiilor pe

contur devin:

;

3pLFF

3pLM

pLFMFF

MFFMFFMFF

2y3

x3

2

x2

z1

y1

x1

z3

y3

x3

z2

y2

x2

z1

y1

x1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

+

−=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕ

ϕ

3

2

2

2

3

3

3

2

2

2

1

1

1

00

vu000

vu

vu

uu

2.204104.

0

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

z3

y3

x3

z2

y2

x2

z1

y1

x1

MFFMFFMFF

7.714106.

2.204104.

0

7.714106.

0

0

0

0

6 105.

0

0

6 105

0

0

0

0

.

7.714106.

0

3.6 109.

7.714106.

0

1.8 109.

0

0

0

2.204104.

0

7.714106.

3.22105.

0

7.714106.

3 105

0

0

0

.

6 105.

0

0

6.028105.

1.929106.

0

2.755103.

1.929106.

7.714106.

0

1.8 109.

7.714106.

1.929106.

5.4 109.

0

1.929106.

9 108.

0

0

0

3 105.

0

0

3 105.

0

0

0

0

0

0

2.755103.

1.929106.

0

2.755103.

1.929106.

0

0

0

0

1.929106.

9 108.

0

1.929106.

1.8 109.

Elemente finite de tip bară - 105 2.6.2. Cazul încovoierii simple cu moment de torsiune

Vom considera cazul încovoierii în planul xOz cu moment de torsiune. Admitem deci prezenţa forţelor tăietoare paralele cu axa z, a momentelor încovoietore care produc rotaţii în jurul axei y şi a momentelor de torsiune, care produc rotaţii în jurul axei x, Fig. 2.6.2.1. y Myi Myj

Mtj E, Iy , Ip, A

Pentru elementul finit astfel considerat matricele forţelor nodale şi

deplasărilor nodale sunt:

2

5

63

41

x

Tzi Tyj

z L

ϕyi

Mti

i j

y

ϕyj

x ϕxi i j

wi wj

ϕxj

z

Fig. 2.6.2.1

- Capitolul 2 106

(2.6.2.1) { } ;

MF

MMF

M

F

yj

zi

xj

yi

zi

xi

e

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

= { } .

w

w

U

yj

j

xj

yi

i

xi

e

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕ

ϕϕ

ϕ

=

Referindu-ne la torsiunea barelor circulare (Fig. 2.6.2.2), se poate scrie relaţia:

ϕΔ=⋅⋅

p

xi

IGLM

(2.6.2.2)

Pentru ϕΔ =1, rezultă expresia rigidităţii k la torsiune:

LIG

k p⋅= (2.6.2.3)

Mxi

Δϕ

L

x

Fig. 2.6.2.2 Matricea de rigiditate a elementului finit astfel considerat va fi:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

−

−

−

=

LEI4

LEI6

0LEI2

LEI6

0

LEI6

LEI12

0LEI6

LEI12

0

00L

GI00

LGI

LEI2

LEI6

0LEI4

LEI6

0

LEI6

LEI12

0LEI6

LEI12

0

00L

GI00

LGI

K

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

pp

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

pp

e

(2.6.2.3)


2.7. Elemente finite de tip bară cu şase grade de libertate pe nod. Starea

generală de solicitare

Vom studia cazul unui element de tip bară cu încărcări aplicate numai în noduri. De asemenea admitem că elementul de tip bară se află într-o stare triaxială de solicitare, deci la nivelul celor două noduri ale elementului finit sunt prezente cele şase componente ale eforturilor: Nx, Ty, Tz, Mz, My, Mx=Mt, (Fig. 2.7.1).

Pentru elementul finit studiat se cunoaşte forma secţiunii transversale şi de asemenea se cunosc caracteristicile geometrice ale secţiunii, ( S [mm2]; Iz [mm4]; Iy [mm4]; It = Ix [mm4] ), considerate constante pe lungimea L.

Fiecăreia din cele şase componente ale forţelor generalizate aplicate la capetele elementuli finit, îi corespunde câte o deplasare a cărui sens pozitiv coincide cu cel al axelor de coordonate ale sistemului local.

Starea de deformaţie este definită de cele şase componente ale deplasărilor la fiecare din cele două noduri ale sale, trei deplasări liniare u, v, w şi trei deplasări

Myj x

unghiulare ϕx, ϕy, ϕz, corespunzător celor trei direcţii rectangulare x,y,z, Fig. 2.7.2.

Mxj

Ni

Tyi

NjTyj

Tzi

Tzj

Mzj

Mxi

Mzi

Myi

i

j

y

e

z

Fig. 2.7.1

- Capitolul 2 108

12

ϕzj9

11

8

10

7

5

4 3

2

1

ui6

e jwj

ϕxj

ϕyj

vj uj

ϕyi

vi

ϕxi

i ϕzi

wi

x

y

z Matricea de rigiditate a elementului va fi o matrice pătrată cu dimensiunea

Fig. 2.7.2

12 x 12. Cumularea elementelor în matricele deplasărilor nodale şi a forţelor nodale ţine cont de numerotarea gradelor de libertate pe element, Fig. 2.7.1.

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ϕϕϕ

ϕϕϕ

=

zj

yj

xj

j

j

j

zi

yi

xi

i

i

i

*e

wvu

wvu

U ; şi { } ; (2.7.1)

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

zj

yj

xj

zj

yj

j

zi

yi

xi

zi

yi

i

*e

MMMTTNMMMTTN

F


În final ecuaţia matriceală de forma: { } [ ] { }*

e*e

*e UKF ⋅= , (2.7.2)

va avea în componenţa ei următoarea structură a matricei de rigiditate:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−−−

−

−

−

−

−−−

−

−

LEI4000

LEI60

LEI2000

LEI60

0LEI4

0LEI6

000LEI2

0LEI6

00

00L

GI00000L

GI000

0LEI6

0LEI12

000LEI6

0LEI12

00

LEI6000

LEI120

LEI6000

LEI120

00000LES00000

LES

LEI2000

LEI60

LEI4000

LEI60

0LEI2

0LEI6

000LEI4

0LEI6

00

00L

GI00000L

GI000

0LEI6

0LEI12

000LEI6

0LEI12

00

LEI6000

LEI120

LEI6000

LEI120

00000LES00000

LES

z2

zz2

z

y2

yy2

y

tt

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

z2

z2

z2

z

y2

yy2

y

tt

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

[ ]=eK

(2.7.3) Pentru obţinerea matricei de rigiditate a elementului finit raportată la sistemul

de axe global cu orientare diferită faţă de cea a sistemului de axe local se aplică o relaţie de forma (2.6.1.2). Poziţia sistemului de axe propriu în raport cu sistemul de axe global este definită de unghiurile αi , βi , γi , Fig. 2.7.3, (i=1,2,3). Pentru constituirea matricei de transformare [T], se fac următoarele notaţii:

ai=cosαi; bi=cosβi; ci=cosγi (2.7.4) unde:

α1 (x, x*); β1 (y, x*); γ1 (z, x*); α2 (x, y*); β2 (y, y*); γ2 (z, y*); α3 (x, z*); β3 (y, z*); γ3 (z, z*);

- Capitolul 2 110

Matricea de transformare [T] este o matrice 12x12, care are următoarea structură:

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

i

i

i

i

T0000T0000T0000T

T , (2.7.5)

y* α2, β2, γ2) ( y

unde:

, (2.7.6)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333

222

111

i

cbacbacba

T

. (2.7.7) [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000000000

0

i

j

x

x* (α1, β1, γ1)

z* (α3, β3, γ3) z

Fig. 2.7.3

Capitolul 3

3. Metoda elementului finit aplicată la probleme de elasticitate plană 3.1. Studiul problemei în coordonate carteziene

Presupunem o placă plană, (fig. 3.1.1), de grosime mică supusă încărcărilor exterioare date de forţele pe contur { } { }yx

Tc ppF = considerate constante pe

grosimea plăcii şi de forţele volumice { } { }YXF Tv = . Placa o considerăm astfel

fixată în spaţiu încât să fie împiedicată deplasarea ei ca şi corp rigid. Ne propunem să determinăm starea de tensiune şi deformaţie din placă aplicând metoda elementului finit, urmând o formulare a problemei în deplasări.

Fig. 3.1.1

Placa o vom discretiza utilizând elemente finite triunghiulare convenabil alese, astfel încât să acopere întregul domeniu sau mai exact precizia de acoperire a întregului domeniu al plăcii să fie cât mai bună. În final se obţin n elemente cu trei noduri pe element şi un număr total de N noduri a structurii.

h

O

py

ei

j

k

p1

p2 x

y y

p1

px

zO

- Capitolul 3 112

Considerăm elementul finit e, (Fig. 3.1.2), extras din placa prezentată anterior. Pentru elementul finit triunghiular studiat, pentru câmpul deplasărilor vom considera pe domeniul său funcţiile u = u(x,y) şi v = v(x,y), unde u şi v reprezintă componentele deplasărilor paralele cu axele de coordonate x respectiv y. Pentru un nod oarecare al elementului finit se pot alege drept grade de libertate următoarele mărimi:

i

- deplasările din noduri: ( );y,xuu iii = ( );y,xvv iii = (3.1.1)

- derivatele din noduri a deplasărilor:

( )iii

y,xxu

xu

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

; ( iii

y,xyu

yu

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ) (3.1.2)

Fig. 3.1.2 O

i

j

k

ui

vi

uj

vj uk

vk

e

xk

yj

xj

yk

yi

xi

x

y

( )iii

y,xxv

xv

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

; ( )iii

y,xyv

yv

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

(3.1.3)

În cazul nostru alegem drept grade de libertate numai deplasările u şi v din

noduri.

Elemente finite de stare plană - 113 Pentru calculul deplasărilor pe domeniul elementului finit vom utiliza

polinoame de interpolare de ordinul întâi, ca fiind cele mai simple forme de interpolare. Au avantajul de a se aplica cu uşurinţă reducând volumul de calcule, dar au dezavantajul că starea de deformaţie respectiv starea de tensiune obţinută în acest mod este constantă pe element, cu salturi la trecerea de la un element la altul. Utilizând polinoamele de interpolare de forma: ( ) ycxccy,xu 321 ++=

( ) ycxccy,xv 654 ++= (3.1.4) Conform relaţiilor (3.1.4), avem în total un număr de şase componete ale deplasărilor generalizate, ci , i = 1,2,…6. Cum pentru un nod am impus două grade de libertate şi în total avem trei noduri pe element rezultă în total şase grade de libertate pe element. Putem trage concluzia că polinoamele de gradul întâi reprezentate de relaţiile (3.1.4), sunt suficiente pentru formularea şi rezolvarea problemei. Cu deplasările nodului se alcătuieşte vectorul deplasărilor nodale care este un vector coloană având ca elemente componente deplasările nodului.

{ }iUi

(3.1.5) { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=i

ii v

uU

Vom alcătui în continuare vectorul deplasărilor nodale pe element ( ){ }eU , care include, într-o ordine prestabilită de către rezolvitor, vectorii deplasărilor nodale. Pentru elementul finit , (Fig 3.1.2), se poate alcătui vectorul deplasărilor nodale pe element în unul din următoarele moduri:

e

( ){ }eU

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

k

k

j

j

i

i

vuvuvu

; sau ( ){ }eU

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

k

j

i

k

j

i

vvvuuu

. (3.1.6)

Se defineşte în continuare funcţia matriceală a deplasărilor într-un punct curent aparţinând elementului sau mai simplu funcţia de deplasare pe element notată cu { , având ca elemente deplasările punctului de coordonate (x,y):

}U

- Capitolul 3 114

{ } ( )( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=y,xvy,xu

U (3.1.7)

Relaţia (3.1.4), scrisă matriceal ne conduce la expresia:

{ } ( )( )

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

6

5

4

3

2

1

654

321

cccccc

yx1000000yx1

ycxccycxcc

y,xvy,xu

U

(3.1.8) Cu notaţia :

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

6

5

4

3

2

1

cccccc

c (3.1.9)

relaţia (3.1.8) devine:

{ } { }cyx1000000yx1

U ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= (3.1.10)

Pentru a exprima funcţia matriceală a deplasărilor { }U în funcţie de vectorul deplasărilor nodale pe element ( ){ }eU este necesar să determinăm parametrii ci , (unde i=1,2,…6, în cazul nostru), în funcţie de deplasările din noduri pe care le considerăm cunoscute. Vom scrie condiţiile ca pentru x = xp, y = yp, valorile date de { trebuie să fie egale cu u

}Up , vp adică:

( ) ppp uy,xu = ; respectiv ( ) ppp vy,xv = . (3.1.11) Din impunerea acestor condiţii pentru deplasările nodale incluse în vectorul ( ){ }eU , rezultă următoarea ecuaţie matriceală:

Elemente finite de stare plană - 115

( ){ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

6

5

4

3

2

1

kk

jj

ii

ii

ii

ii

k

j

i

k

j

i

e

cccccc

yx1000yx1000yx1000000yx1000yx1000yx1

vvvuuu

U (3.1. 12)

Cu notaţia:

, (3.1.13) [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kk

jj

ii

ii

ii

ii

yx1000yx1000yx1000000yx1000yx1000yx1

A

relaţia (3.1.12), devine:

( ){ } [ ] { }cAU e ⋅= . (3.1.14) Ecuaţia matriceală de forma (3.1.14), alcătuieşte un sistem de ecuaţii algebrice

din a cărui rezolvare se obţin deplasările generalizate ci. { } [ ] ( ){ e

1 UAc ⋅= − }

}

(3.1.15) Înlocuind relaţia (3.1.15), în (3.1.8), se obţine:

{ } [ ] ( ){ e1 UA

yx1000000yx1

)y,x(vy,x(u

U ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= − (3.1.16)

Cu notaţia:

(3.1.17) [ ] [ ] 1Ayx1000000yx1

N −⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

obţinem: { } [ ] ( ){ }eUNU ⋅= (3.1.18)

Matricea definită de relaţia (3.1.17), reprezintă [ ]N matricea de interpolare a deplasărilor pe element. Această matrice dă regula de interpolare a deplasărilor pe element în funcţie de deplasările nodale. Ţinând cont de relaţiile scrise anterior

- Capitolul 3 116

matricea , care este o matrice de funcţii, se poate scrie sub forma: [ ]N

[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

y,xNy,xNy,xN000000y,xNy,xNy,xN

Nkji

kji (3.1.19)

unde:

( ) ( yaxbdS21y,xN iik,ji ++= ) (3.1.20)

(3.1.21) jkkjk,j yxyxd −=

kji yyb −= (3.1.22)

( )kji xxa −−= (3.1.23) S - aria triunghiului i, j, k. - coordonatele nodului . ;x j jjy

- se obţin prin permutarea circulară a indicilor în ordinea: i, j, k.

( ) ( y,xN;y,xN kj )

În acest mod se obţine pentru deplasarea pe element funcţia matriceală

sub forma: { }U

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

k

j

i

k

j

i

vvvuuu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

kji

kji

NNN000000NNN{ }=U , (3.1.24)

unde: N , Ni j, Nk sunt funcţii de variabile x şi y, exprimate de relaţii de forma (3.1.20). Vectorul deformaţiilor specifice{ }ε pe element pentru starea plană de tensiune este definit de relaţia:

{ }

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

γεε

=ε

xv

yu

yvxu

xy

y

x

(3.1.25)

Elemente finite de stare plană - 117 În aceste condiţii vectorul deformaţiilor specifice{ }ε poate fi determinat ţinând cont de expresiile u(x,y) şi v(x,y) calculate cu relaţia (3.1.16). Întrucât ( ){ }eU nu conţine variabilele x şi y se obţine:

{ } ( ){ e

kjikji

kji

kji

U

xN

xN

xN

yN

yN

yN

yN

yN

yN000

000x

Nx

Nx

N

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

=ε } (3.1.26)

Cu notaţia:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

=

xN

xN

xN

yN

yN

yN

yN

yN

yN000

000x

Nx

Nx

N

B

kjikji

kji

kji

(3.1.27)

se poate scrie: { } [ ] ( ){ }eUB ⋅=ε (3.1.28)

Matricea [ este o matrice de funcţii care leagă deformaţiile specifice de deplasările nodale. Poartă denumirea de matricea de interpolare a deformaţilor specifice pe element. Întrucât polinoamele de interpolare au fost de gradul întâi iar deformaţiile specifice se exprimă prin derivatele de ordinul întâi rezultă că deformaţiile specifice

]B

xyyx ;; γεε sunt constante pe element. Ţinând cont de relaţiile (3.1.20) la (3.1.23), afirmaţia anterioară poate fi uşor de verificat întrucât obţinem prin derivare următoarele expresii:

( ) .ctbyyS21

xN

ikii ==−=

∂∂

(3.1.29)

( ) .ctaxxS21

yN

ikii ==−−=

∂∂ (3.1.30)

Legea lui Hooke pentru starea plană de tensiune sub formă matriceală este:

{ } [ ] { }ε⋅=σ D (3.1.31)

- Capitolul 3 118

unde:

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

=σ

xy

y

x

; { } , (3.1.32) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

=ε

xy

y

x

şi

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−=

2100

0101

1ED 2

. (3.1.33)

Matricea [ dată de relaţia (3.1.33), este matricea de elasticitate a materialului cunoscută şi sub denumirea de matrice de rigiditate a materialului.

]D

Rezultă în final relaţia de calcul a tensiunilor. { } [ ] [ ] ( ){ }eUBD ⋅⋅=σ (3.1.34)

Prin urmare starea de deformaţie şi starea de tensiune sunt constante pe element. La nivelul interelemente vor fi continue numai componentele deplasărilor, iar componentele tensorului deformaţie specifică şi tensorului tensiune pot înregistra salturi. Pentru calculul deplasărilor nodale care sunt de fapt necunoscutele problemei se va aplica principiul lucrului mecanic virtual, WL δ=δ . În cazul în care se dă nodurilor elementului finit o deplasare virtuală ,

întrucât matricele şi [ nu depind de deplasări, vom putea scrie:

{ }eUδ[ ]B ]N

{ } [ ] { eUNU δ⋅= }δ (3.1.35)

{ } [ ] { eUB δ⋅= }δε (3.1.36) Lucrul mecanic virtual în condiţiile date când se ţine cont de prezenţa forţelor volumice şi a forţelor pe contur este:

(3.1.37) { } { } { } { }dAUFdVUFLT

AcC

T

VV δ+δ=δ ∫∫

După înlocuire şi efectuarea produsului celor două matrice de sub semnul integralei, se

obţine:

( ) ( )∫∫ δ⋅+δ⋅+δ⋅+δ⋅=δAc

yxV

dAvpupdVvYuXL (3.1. 38)

Elemente finite de stare plană - 119 unde V reprezintă volumul corpului iar Ac reprezintă aria conturului corpului egală cu aria laterală a plăcii.

În relaţia (3.1.37), dacă se înlocuieşte (3.1.35), se obţine:

= { } [ ]{ } { } [ ]{ }dAUNFdVUNFL e

T

ACe

T

VV

c

δ+δ=δ ∫∫

(3.1.39) { } [ ] { } [ ] { e

T

AC

T

VV UdANFdVNF

c

δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫∫ }

Ţinând cont de relaţia de definiţie a lucrului mecanic rezultă că termenul din paranteză are semnificaţia de forţă generalizată, pentru cazul în care se iau în consideraţie încărcările exterioare, fără a lua în calcul efectul termic. Întrucât

reprezintă lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare, sistemul de forţe componente ale

Lδvectorului forţelor nodale trebuie să fie echivalent cu:

{ ( )} { }TC

TV

Te FFF = (3.1.40)

Vectorul ( ){ }eF poartă denumirea de vectorul forţelor nodale echivalente. Ţinând cont de regulile de transpunere a unui produs de matrice, se poate scrie:

( ){ } [ ] { } [ ] { }dAFNdVFNFcA

CT

VV

Te ∫∫ += (3.1.41)

Se poate scrie:

(3.1.42) ( ){ } { eT

e UFL δ=δ }

}Cum este un scalar rezultă: Lδ (3.1.43) { } ( ){ e

Te FUL δ=δ

Pentru variaţia virtuală a energiei interne de deformaţie se poate scrie: { } { }∫ δεσ=δ

V

T dVW (3.1.44)

sau:

( ) [ ] [ ]{ }( ) [ ]{ }dVUBUBDdVW e

T

Ve

Vxyxyyyxx δ=δγτ+δεσ+δεσ=δ ∫∫ =

{ } [ ] [ ] [ ]{ } { } [ ] [ ][ ] { }eT

V

Tee

TT

V

Te UdVBDBUdVUBDBU δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=δ= ∫∫

(3.1.45)

- Capitolul 3 120

În scrierea relaţiei (3.1.45), s-a ţinut cont de faptul că matricea [ este o

matrice simetrică iar { şi

]D} { }eUδeU au elementele constante şi nu depind de

variabila de integrare. Expresia din paranteză în ultima parte a relaţiei (3.1.45), se notează cu

şi poartă denumirea de matricea de rigiditate a elementului. [ ]eK

[ ] [ ] [ ] [ ] dVBDBK T

Ve ⋅⋅⋅= ∫ (3.1.46)

Având în vedere expresia (3.1.46) rezultă că matricea de rigiditate [ , este o matrice simetrică, pătratică, pentru care dimensiunile sunt date de numărul de elemente pe care le conţine vectorul coloană al deplasărilor nodale a elementului.

]Ke

Cum energia internă de deformaţie este un scalar, se poate scrie:

{ } [ ] [ ][ ] { } { } [ ] { } { } [ ]{ }eeT

eeeT

eeT

V

Te UKUUKUUdVBDBUW δ=δ=δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=δ ∫

(3.1.47)

Se poate scrie: { } ( ){ }e

Te FUδ{ } [ ]{ } =δ=δ=δ LUKUW ee

Te (3.1.48)

sau: [ ]{ } ( ){ }eee FUK = (3.1.49)

Pentru a înţelege semnificaţia elementelor matricei de rigiditate vom

considera un element finit pentru care în noduri s-au introdus deplasările şi

forţele nodale { , Fig. 3.1.3.

[ eK ]}{ eU

}eFRelaţia (3.1.49) scrisă desfăşurat va avea forma:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ky

jy

iy

kx

jx

ix

k

j

i

k

j

i

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

FFFFFF

vvvuuu

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

(3.1.50)


Fky

Fig. 3.1.3

Admiţând ipoteza că toate deplasările nodale sunt nule, cu excepţia deplasării

vi pe care o presupunem că este egală cu unitatea, ( ui = uj = uk = vj= vk =0; vi = 1), rezultă că elementele celei de-a patra coloane din matricea de rigiditate reprezintă tocmai forţele nodale care apar prin impunerea acestor deplasări. Cu alte cuvinte în cazul în care se dă o deplasare egală cu unitatea pe direcţia gradului de libertate j deplasările după celelalte grade de libertate fiind blocate, în acest caz elementele coloanei j din matricea de rigiditate reprezintă forţele nodale care se produc datorită acestor deplasări.

O

i

j

k

ui

vi

Fjx

vj

uk

vk

e

y

x

Fix

Fjy

Fkx

Fiy uj

- Capitolul 3 122

3.2. Studiul stării plane de tensiune cu luarea în consideraţie şi a tensiunilor termice

Aşa cum s-a prezentat în paragraful 3.1, câmpul deplasărilor care caracterizează oricare punct aparţinând unui element finit aflat în starea plană de tensiune este definit de relaţia:

{ } [ ] ( ){ eUN)y,x(v)y,x(u

U ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= } (3.2.1)

unde: [ N ] - matricea de interpolare a deplasărilor pe element. {U(e)} - matricea deplasării nodurilor elementului. Deformaţiile specifice pentru starea plană de tensiune sunt reprezentate de relaţia matriceală: { } [ ] { }eUB ⋅=ε (3.2.2) unde matricea [B] de interpolare a deformaţiilor specifice pe element trebuie determinată pentru fiecare tip de element.

Aplicând legea lui Hooke generalizată se pot calcula tensiunile {σ}: {σ}= [D]{ε} (3.2.3) Matricea [D] de elasticitate a materialului, pentru starea plană de tensiune este

o matrice simetrică şi poate fi scrisă sub forma:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

33

22

1211

D0D0DD

D (3.2.4) sim.

unde: D11=D22= E/(1-ν2); D12 = νE/(1-ν2)=D21; D13 = D23= D31=D32= 0; D33 = E/2(1+ν). Dacă se ia în considerare şi tensiunile datorită variaţiei de temperatură atunci rel. (3.2.3) devine:

{ } [ ] { } { })(D 0ε−ε⋅=σ (3.2.5) {ε0} reprezintă matricea deformaţiilor specifice pentru starea plană de tensiune datorită variaţiilor de temperatură şi este de forma:

{ } (3.2.6) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧αα

=ε0TT

0

unde α este coeficientul de dilatare termică liniară. Am considerat că materialul este omogen şi izotrop. În caz contrar αx≠ αy. Pentru stabilirea matricei de rigiditate a elementului precum şi a matricei forţelor nodale aplicate acestuia vom utiliza ca în cazul paragrafului precedent, principiul lucrului mecanic virtual.


δW = L (3.2.7) δDupă înlocuire în rel. (3.2.7), a expresiilor energiei interne de deformaţie

virtuale şi a lucrului mecanic virtual, rezultă: { } { } { } { } { } { }∫ ∫ ∫ δ+δ=σδε

V V Ac

Tv

TT dsFUdvFUdvC

(3.2.8)

Dar: { } [ ] ( ){ } { } ( ){ } [ ]TT

eT

e BUUB δ=δε⇒δ=δε (3.2.9) În mod analog:

{ } [ ] ( ){ } { } ( ){ } [ ]TTe

Te NUUUNU δ=δ⇒δ=δ (3.2.10)

Înlocuind expresiile deformaţiilor specifice virtuale şi ale deplasărilor virtuale în ecuaţia de mai sus rezultă:

( ){ } [ ] [ ] { } { } ( ){ } [ ] { } ( ){ } [ ] { }∫ ∫ ∫ δ+δ=ε−εδV V A

cTT

evTT

e0TT

e

c

dsFNUdvFNUdv)(DBU

(3.2.11) Având în vedere expresia lui {ε} dată de rel. (3.1.28), şi trecând termenii din

partea dreaptă în partea stângă se obţine:

( ){ } [ ] [ ][ ]{ } ( ){ } [ ] [ ]{ }∫ ∫ =εδ−δV V

0TT

eTT

e dVDBUdVUBDBU

( ){ } [ ] { } ( ){ } [ ] { }∫ ∫ δ−δ=V A

cTT

evTT

e

c

dsFNUdVFNU (3.2.12)

Utilizând aceeaşi notaţie pentru matricea de rigiditate dată de rel. (3.1.46) şi cu notaţia ( ){ } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] { }∫ ∫ ∫+ε+=

V V Ac

T0

Tv

Te

c

dsFNdVDBdVFNF (3.2.13)

care reprezintă matricea forţelor nodale aplicate elementului. Ecuaţia (3.2.11) devine:

{ } [ ]{ } ( ){ }( 0FUKU eeeT

e =−δ ) (3.2.14)

În ecuaţia de mai sus s-a avut în vedere că {Ue} nu depinde de coordonatele x, y ale punctului considerat.

Întrucât fiind arbitrar, se impune: { }TeUδ

{ } [ ]{ } ( ){ }eee

Te FUK0U =⇒≠δ (3.2.15)

- Capitolul 3 124

3.3. Formularea în coordonate triangulare a matricei de rigiditate şi a matricei forţelor nodale

Întrucât elementul finit triunghiular este unul dintre elementele frecvent folosite pentru problemele de stare plană ca urmare a faptului că permite o discretizare raţională a suprafeţelor cu contur neregulat, în cele ce urmează vom prezenta o formulare eficientă a matricei de rigiditate şi matricei forţelor nodale în coordonate “triangulare”. Considerăm un element finit triunghiular, Fig. 3.3.1, având nodurile i, j, k, aflat în starea plană de tensiune, raportat la un sistem de axe cartezian xOy.

Z1

Sj

Sk

O

i

2

3

ui

vi

vjuk

vk

y

P(x,y)uj

Si

xi xk xj

yk

yj

H1

yi

x

Fig. 3.3.1

Fie P(x,y) un punct din interiorul acestui element, care unit cu vârfurile triunghiului determină alte trei triunghiuri având ariile: Si, Sj şi Sk. Rapoartele dintre ariile acestor triunghiuri şi aria elementului triunghiular determină coordonatele arie ale punctului P(x,y):

.S

SL;SS

L;SSL k

kj

ji

i === (3.3.1)

unde: Li + Lj + Lk = 1 (3.3.2)

Elemente finite de stare plană - 125 Conform relaţiei (3.3.2), două din rapoartele (3.3.1) sunt suficiente pentru a defini poziţia punctului în plan şi reprezintă noile coordonate ale sale. Coordonatele triangulare astfel definite reprezintă distanţele adimensionale de la punctul P la laturile elementului:

i

ii H

ZL = (3.3.3)

Noile coordonate ale vârfurilor sunt: -nodul i: (1, 0, 0) -nodul j: (0, 1, 0) (3.3.4) -nodul k: (0, 0, 1) Ecuaţiile laturilor triunghiului sunt: -latura i-j: 0L k = -latura j-k: 0Li = (3.3.5) -latura k-i: 0L j = Relaţiile care leagă coordonatele triangulare de coordonatele carteziene sunt de forma:

(3.3.6) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

k

j

i

kji

kji

LLL

111yyyxxx

1yx

Aria elementului triunghiular în raport cu sistemul de referinţă ales se exprimă prin determinantul:

kk

jj

ii

yx1yx1yx1

S2 = (3.3.7)

Procedând în mod analog, se determină şi ariile: Si, Sj şi Sk:

=+−=⇒=jjkkkk

jji

kk

jji yxyx

yxyx

yxyx

S2yx1yx1yx1

S2

)xx(y)yy(xyxyx jkkjjkkj −+−+−=

(3.3.8) Folosind notaţiile:

a = xi k – x ; b = yj i j – yk şi djk = xjyk – x y , (3.3.9) k j rezultă:

2Si = djk + b x + a y (3.3.10) i i

- Capitolul 3 126

În mod analog:

yaxbdS2yx1yx1yx1

S2 jjkij

ii

kkj ++=⇒= (3.3.11)

unde: ikjkiikki yyb;yxyxd −=−= kij xxa −= şi (3.3.12)

Respectiv:

yaxbdS2yx1yx1yx1

S2 kkijk

22

iik ++=⇒= (3.3.13)

unde: dij = x yi j – xjyi ; bk = yi – yj şi a = xk j – xi (3.3.14) În aceste condiţii coordonatele arie L , L1 2 şi L capătă forma: 3

S2yaxbd

L

S2yaxbd

L

S2yaxbd

L

kkijk

jjkij

iijki

++=

++=

++=

(3.3.15)

sau sub forma matriceală:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

yx1

.abdabdabd

LLL

kkij

jjki

iijk

k

j

i

(3.3.16)

Matricea deplasărilor nodale a elementului considerat, Fig.3.3.1, poate fi scrisă

sub forma:

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

k

j

i

k

j

i

e

vvvuuu

U (3.3.17)

Deplasările oricărui punct din interiorul elementului considerat respectiv câmpul de deplasări devine:


{ } [ ]{ }e

k

j

i

kji

kji

)y,x(

)y,x( UNLLL

.vvvuuu

vu

U =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= (3.3.18)

Din ecuaţia de mai sus rezultă:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

kji

kji

LLL000000LLL

N (3.3.19)

Câmpul de deplasări mai poate fi scris sub forma:

(3.3.20) { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=kkjjii

kkjjii

)y,x(

)y,x(

LvLvLvLuLuLu

vu

U

, L şi LÎnlocuind în ecuaţia de mai sus, coordonatele L1 2 3 rezultă:

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++++++++++++++++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=)yaxbd(v)yaxbd(v)yaxbd(v)yaxbd(u)yaxbd(u)yaxbd(u

S21

vu

Ukkijkjjkijiijki

kkijkjjkijiijki

)y,x(

)y,x(

(3.3.21) Deformaţiile specifice ale elementului devin:

{ } { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++++++++

=ε⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂

∂∂

∂∂

∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

=ε

kkjjiikkjjii

kkjjii

kkjjii

)y,x()y,x(

)y,x(

)y,x(

xy

y

x

vbvbvbuauauavavavaububub

S21

xv

yu

yv

xu

(3.3.22) sau sub formă generală:

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=ε

k

j

i

k

j

i

kjikji

kji

kji

vvvuuu

.bbbaaaaaa000000bbb

S21 (3.3.23)

de unde rezultă matricea [B]:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

kjikji

kji

kji

bbbaaaaaa000000bbb

S21B (3.3.24)

Rezultă: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] StBDBdVBDBK TT

Ve ⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫ (3.3.25)

După înmulţire se obţine următoarea expresie a matricei de rigiditate:

- Capitolul 3 128

Dacă în matricea deplasărilor nodale gradele de libertate sunt cumulate în ordinea: (3.3.26)

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

k

k

j

j

i

i

e

vuvuvu

U , (3.3.27)

bi ν. ak

. 12

ai. bk

. 12

ai. bk

. ν. bj ν. ak

. 12

aj. bk

. 12

aj. bk

. ν.12

bk. ν. ak

. 12

ak. bk

. ai ak. 1

2bi. bk

. 12

bi. bk

. ν. aj ak. 1

2bj. bk

. 12

bj. bk

. ν. ak2 1

2bk

2. 12

b.bi ν. ak

. 12

ai. bk

. 12

ai. bk

. ν. bj ν. ak

. 12

aj. bk

. 12

aj. bk

. ν.12

bk. ν. ak

. 12

ak. bk

. ai ak. 1

2bi. bk

. 12

bi. bk

. ν. aj ak. 1

2bj. bk

. 12

bj. bk

. ν. ak2 1

2bk

2. 12

b.bi2 1

2ai

2. 12

ai2. ν.

bi bj. 1

2ai. aj

. 12

ai. aj

. ν.

bi bk. 1

2ai. ak

. 12

ai. ak

. ν.

12

bi. ν. ai

. 12

ai. bi

.

bi ν. aj

. 12

ai. bj

. 12

ai. bj

. ν.

bi ν. ak

. 12

ai. bk

. 12

ai. bk

. ν.

bi bj. 1

2ai. aj

. 12

ai. aj

. ν.

bj2 1

2aj

2. 12

aj2. ν.

bj bk. 1

2aj. ak

. 12

aj. ak

. ν.

ai bj. ν.

12

aj. bi

. 12

bi. ν. aj

.

12

bj. ν. aj

. 12

aj. bj

.

bj ν. ak

. 12

aj. bk

. 12

aj. bk

. ν.

bi bk. 1

2ai. ak

. 12

ai. ak

. ν.

bj bk. 1

2aj. ak

. 12

aj. ak

. ν.

bk2 1

2ak

2. 12

ak2. ν.

ai bk. ν.

12

ak. bi

. 12

bi. ν. ak

.

aj bk. ν.

12

ak. bj

. 12

bj. ν. ak

.

12

bk. ν. ak

. 12

ak. bk

.

12

bi. ν. ai

. 12

ai. bi

.

ai bj. ν.

12

aj. bi

. 12

bi. ν. aj

.

ai bk. ν.

12

ak. bi

. 12

bi. ν. ak

.

ai2 1

2bi

2. 12

bi2. ν.

ai aj. 1

2bi. bj

. 12

bi. bj

. ν.

ai ak. 1

2bi. bk

. 12

bi. bk

. ν.

bi ν. aj

. 12

ai. bj

. 12

ai. bj

. ν.

12

bj. ν. aj

. 12

aj. bj

.

aj bk. ν.

12

ak. bj

. 12

bj. ν. ak

.

ai aj. 1

2bi. bj

. 12

bi. bj

. ν.

aj2 1

2bj

2. 12

bj2. ν.

aj ak. 1

2bj. bk

. 12

bj. bk

. ν.

bi ν. ak

. 12

ai. bk

. 12

ai. bk

. ν.

bj ν. ak

. 12

aj. bk

. 12

aj. bk

. ν.

12

bk. ν. ak

. 12

ak. bk

.

ai ak. 1

2bi. bk

. 12

bi. bk

. ν.

aj ak. 1

2bj. bk

. 12

bj. bk

. ν.

ak2 1

2bk

2. 12

bk2. ν.

[ ] ⋅ν−

⋅= 21E

S4tK

Elemente finite de tip bară - 129 atunci matricea [B] de interpolare a deformaţiilor specifice pe domeniul elementului finit va fi:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣ i

Matricea de rigiditate va fi:

⎡

=

kkjji

kji

kji

bababaa0a0a00b0b0b

S21B . (3.3.28)

bi2 1

2ai

2. 12

ai2. ν.

12

bi. ν. ai

. 12

ai. bi

.

bi bj. 1

2ai. aj

. 12

ai. aj

. ν.

bi ν. aj. 1

2ai. bj

. 12

ai. bj

. ν.

bi bk. 1

2ai. ak

. 12

ai. ak

. ν.

b ν. a. 1i k 2

a. b.i k12

a. b. ν.i k

12

bi. ν. ai

. 12

ai. bi

.

ai2 1

2bi

2. 12

bi2. ν.

ai bj. ν.

12

aj. bi

. 12

bi. ν. aj

.

ai aj. 1

2bi. bj

. 12

bi. bj

. ν.

ai bk. ν.

12

ak. bi

. 12

bi. ν. ak

.

a a. 1i k 2

b. b.i k12

b. b. ν.i k

bi bj. 1

2ai. aj

. 12

ai. aj

. ν.

ai bj. ν.

12

aj. bi

. 12

bi. ν. aj

.

bj2 1

2aj

2. 12

aj2. ν.

12

bj. ν. aj

. 12

aj. bj

.

bj bk. 1

2aj. ak

. 12

aj. ak

. ν.

b νj. ak

. 12

a. b.j k12

a. b. ν.j k

bi ν. aj. 1

2ai. bj

. 12

ai. bj

. ν.

ai aj. 1

2bi. bj

. 12

bi. bj

. ν.

12

bj. ν. aj

. 12

aj. bj

.

aj2 1

2bj

2. 12

bj2. ν.

aj bk. ν.

12

ak. bj

. 12

bj. ν. ak

.

a aj k. 1

2b. b.j k

12

b. b. ν.j k

bi bk. 1

2ai. ak

. 12

ai. ak

. ν.

ai bk. ν.

12

ak. bi

. 12

bi. ν. ak

.

bj bk. 1

2aj. ak

. 12

aj. ak

. ν.

aj bk. ν.

12

ak. bj

. 12

bj. ν. ak

.

bk2 1

2ak

2. 12

ak2. ν.

12

b. ν. a. 1k k 2

a. b.k k

bi ν. ak

. 12

ai. bk

. 12

ai. bk

. ν.

ai ak. 1

2bi. bk

. 12

bi. bk

. ν.

bj ν. ak

. 12

aj. bk

. 12

aj. bk

. ν.

aj ak. 1

2bj. bk

. 12

bj. bk

. ν.

12

bk. ν. ak

. 12

ak. bk

.

ak2 1

2bk

2. 12

bk2. ν.

[ ] ⋅ν−

⋅= 21E

S4tK

(3.3.29)


3.4. Starea plană de deformaţie

O structură de rezistenţă se află în starea plană de deformaţie, în cazul în care când deformaţiile care apar sub acţiunea încărcărilor exterioare sunt paralele cu un acelaşi plan sau dacă deplasările după o anumită direcţie sunt împiedicate să se producă.

Considerăm un element de rezistenţă prismatic aşezat între două platouri rigide solicitat lateral pe ambele feţe după direcţia axei y la presiunea py şi -py, Fig. 3.4.1.

Platouri rigide şi fixate

astfel încât să nu permită nici un fel de

deplasare

py y

z

-py

x

Fig. 3.4.1 Întrucât deformaţiile sunt împiedicate după direcţia axei z, elementul de rezistenţă se află într-o stare plană de deformaţie. În aceste condiţii starea de deformaţie a corpului este definită de funcţiile:

u=f1 (x,y); v=f2 (x,y); şi w=0. (3.4.1) Corpuri aflate în starea plană de deformaţie apar în cazul corpurilor lungi

solicitate la sarcini aplicate pe contur, în plane normale pe axa corpului, sau plane paralele cu axa corpului. În aceste cazuri, un element de volum situat la distanţă suficient de mare de capetele corpului, se află în stare plană de deformaţie, întrucât deplasările de-a lungul structurii sunt împiedicate de elementele învecinate. Din această categorie fac parte rolele lungi, bolţurile cilindrice, plăcile lungi, zidurile de

- Capitolul 3 134

sprijin, tunelele, galeriile subterane, canalele subterane, terenul de fundaţie în cazul fundaţiilor liniare ale zidurilor, Fig. 3.4.2.

p

1

p

1

p

Placă plană lungă Rolă de sprijin Zid şi fundaţie liniară Fig. 3.4.2 Admiţând pentru aceste cazuri că axa z este axa după care sunt împiedicate

deplasările, w=0, rezultă:

0;0;0zw

yzxzz =γ=γ=∂∂

=ε , (3.4.2)

iar rezolvarea problemei presupune cunoaşterea următoarelor funcţii necunoscute: ).y,x(f);y,x(f);y,x(f 3xy2y1x =γ=ε=ε (3.4.3) Remarcăm că deşi starea de deformaţie este plană, starea de tensiune este spaţială. Conform legii lui Hooke în spaţiu, se poate scrie:

0)(0)]([E1

yxzyxzz ≠σ+σν=σ⇒=σ+σν−σ=ε (3.4.4)

În acest caz grupul ecuaţiilor fundamentale ale teoriei elasticităţii se simplifică foarte mult. Vom obţine:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ν−ν

−σν−

=ε yx

2

x 1E1

(3.4.5) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ σ

ν−ν

−σν−

=ε xy

2

y 1E1

Cu notaţiile:


ν−ν

=νν−

=1

;1

EE 121 , (3.4.6)

relaţiile (3.4.5) devin:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

σν−σ=ε

σν−σ=ε

x1y1

y

y1x1

x

E1E1

(3.4.7)

De asemenea conform legii generalizate a lui Hooke se poate scrie:

xyxyxy E)1(2G τν+

=τ=γ (3.4.8)

Dacă se ţine cont de identitatea:

E)1(2

E)1(2

1

1 ν+=

ν+ (3.4.9)

În consecinţă relaţia (3.4.8), poate fi scrisă sub forma:

xy1

1xy E

)1(2τ

ν+=γ (3.4.10)

Relaţiile (3.4.7) şi (3.4.10), reprezintă legea lui Hooke pentru starea plană de deformaţie. Matriceal legea lui Hooke este:

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

τσσ

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν+ν−

ν−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

=ε

xy

y

x

1

1

1

1xy

x

x

)1(2000101

E1 (3.4.11)

Tragem concluzia că pentru starea plană de deformaţie în elaborarea ecuaţiilor elementale se folosesc acelaşi relaţii ca în cazul stării plane de tensiune. Evident acest lucru devine posibil prin înlocuirea modului de elasticitate longitudinal E şi a coeficientului de contracţie transversală cu valorile E1 şi ν1 date de relaţiile (3.4.6). În cazul stării plane de deformaţie în toate cazurile grosimea elementului finit este egală cu unitatea. Matricea [B] de interpolare a deformaţiilor specifice pe element, în cazul cumulării gradelor de libertate în ordinea data de relaţia (3.3.27), va fi:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xN

yN

xN

yN

xN

yN

yN0

yN

0y

N0

0x

N0x

N0

xN

B

kkjjii

kji

kji

(3.4.11)

- Capitolul 3 136

De asemenea vom avea: { } [ ] { }ε⋅=σ 1D (3.4.12) unde:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν

ν−=

2100

0101

1ED

1

1

1

21

11 (3.4.13)

Matricea de rigiditate a elementului finit raportat la sistemul de axe propriu, în ipoteza cumulării gradelor de libertate în conformitate cu relaţia (3.3.27) şi în ipoteza acceptării unor polinoame de interpolare de gradul 1 de forma (3.1.4) va fi:

[ ] [ ] [ ] [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−ν

ν⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅ν−

⋅⋅

=

=⋅⋅⋅= ∫

kkjjii

kji

kji

1

1

1

kk

kk

jj

jj

ii

ii

21

1

1

T

Ve

bababaa0a0a00b0b0b

2100

0101

ba0a0bba0a0bba0a0b

1E

S41

dVBDBK

(3.4.14)


Aplicaţia A.3.4.1 Pentru structura de rezistenţă din Fig. A.3.4.1.1, în a cărei componenţă intră o

bară articulată la capete şi o placă plană, se cere să se calculeze deplasările corespunzătore punctului de aplicaţie al forţei şi reacţiunile din reazeme.

Se dau: t= 30 mm E=2,1⋅105 MPa ν=0,3 L=100 mm A1=1800 mm2

F=5000 N

grosime t

A1

F

1,2L

2L L

2L

Fig. A.3.4.1.1

- Capitolul 3 138

Rezolvare: În modelul de calcul vom utiliza elemente finite de tip bară cu un singur grad

libertate pe nod şi elemente finite de stare plană de tensiune, Fig. A.3.4.1.2. În total în urma discretizării avem 3 elemente finite şi 5 noduri, cu un număr total de 10 grade de libertate.

10 u5

9

8

7

4v2

3

6v3

5u3

1

2

5

4

3v5

v1

F3

O

2v4

1u1

u2

1

2

y

u4 x

Fig. A.3.4.1.2 Datele de intrare pentru elementele finite 1 şi 2 care sunt elemente specifice

stării plane de tensiune sunt cuprinse în tabelul A.3.4.1.1.

Elemente finite de stare plană - 139 Tabelul A.3.4.1.1

Num

ăr

elem

ent

Nod

urile

i,j,k

xi xj xk yi yj yk

b i=

y j- y

k

b j=

y k- y

i

b k=

y i- y

j

a i= x

k- x j

a j= x

i- x k

a k=

x j- x

i

1 1,3,2 0 200 0 0 200 200 0 200 -200 -200 0 200 2 1,4,3 0 200 200 0 0 200 -200 200 0 0 -200 200

Matricele de rigiditate ale elementelor finite 1 şi 2 în raport cu sistemul de axe propriu le calculăm cu relaţia (3.4.14) şi obţinem:

g.l

1 2 5 6 3 4

1

2 1 2 6 5 3 45

4 3 6

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅

=

666666

666666

6666

6666

666

6666

1

10673.41025.210212.110038.110462.310212.11025.210673.610212.110462.310038.110212.110212.110212.110212.10010212.1

10038.110462.3010462.310038.1010462.10038.10038.110462.30

10212.110212.1102120010212.1

K

−−⋅ 6 310

g.l

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅−

⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−

⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅

=

6666

6666

666666

666666

6666

6666

2

10462.3010462.310038.1010038.1010212.110212.110212.110212.10

10462.310212.110673.41025.210212.110038.110038.110212.11025.210673.410212.110462.3

010212.110212.110212.110212.1010038.1010038.110462.3010462.

K

3

1 2 7

6 5 8

1 2 7 8 5 6

- Capitolul 3 140

Matricele [K1] şi [K2] expandate la dimensiunile matricei de rigiditate a structurii sunt:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅−

⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−

⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅

=

0000000000000000000000000000000000000000000010212.1010212.110212.1010212.10000010462.310038.110462.310038.10000010212.110038.110673.41025.210462.310212.1000010212.110462.31025.210673.410038.110212.10000010038.110462.310038.110462.30000010212.1010212.110212.1010212.1

K 6666

6666

666666

666666

6666

6666

e1

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−

⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅

=

000000000000000000000010673.41025.210462.310212.10010212.110038.1001025.210673.410038.110212.10010212.110462.30010462.310038.110462.3000010038.10010212.110212.1010212.10010212.10000000000000000000000010212.110212.1010212.10010212.100010038.110462.310038.1000010462.3

K

666666

666666

6666

6666

6666

6666

e2

Matricea de rigiditate pentru elementul finit numărul 3, reprezentând bara articulată la capete, se constituie utilizând relaţia (2.2.17). Se are în vedere de asemenea orientarea sistemului de axe propriu în raport cu sistemul de axe global, Fig. A.3.4.1.3.

Rezultă:

.L562,1

0L2,1L

yysin;

L562,1L2L3

Lxx

cos3

ij

3

ij −−=

−=α

−=

−=α

Elemente finite de stare plană - 141 Matricea de rigiditate a elementului finit numărul 3, în raport cu sitemul de axe

global este: După expandare se obţine:

Fig. A.3.4.1.3

y y*

i=4Ox

α-1,2L

3j=5

2L

x*3L

7 8 9 10 g.l

7

8 9

10

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅−⋅

=

8888

8787

8888

8787

3

10428.11019.110428.11019.11019.110919.91019.110919.910428.11019.110428.11019.1

1019.110919.91019.110919.9

K

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅−⋅

=

8888

8787

8888

8787

e3

10428.11019.110428.11019.10000001019.110919.91019.110919.900000010428.11019.110428.11019.1000000

1019.110919.91019.110919.9000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

K

- Capitolul 3 142

După asamblare şi impunerea condiţiilor pe contur se obţine următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

00

v0vu0

u00

10428.11019.110428.11019.10000001019.110919.91019.110919.900000010428.11019.110475.110212.110462.310212.10010212.110038.11019.110919.910212.110039.110038.110212.10010212.110462.3

0010462.310038.110674.4010212.110212.101025.0010212.110212.1010674.410038.110462.31025.20000010212.110038.110673.41025.210462.310212.1000010212.110462.31025.210673.410038.110212.10010212.110212.101025.210462.310038.110674.400010038.110462.31025.2010212.110212.1010674.4

FF0

F0

5000F0

FF

4

3

3

2

8888

8787

88866666

87886666

666666

66666

666666

666666

666666

666666

y5

x5

y4

y2

ly

lx

După separarea variabelelor se obţine sistemul:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧−

4

3

3

2

866

666

666

666

vvuu

10475.110462.310212.1010462.310674.4010212.1

10212.1010674.410462.3010212.110462.310673.4

00

50000

De unde rezultă deplasările necunoscute:

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

4

3

3

2

vvuu 2.099− 10 3−×

2.633− 10 3−×

5.702 10 4−×

3.502 10 5−×

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(mm)

Revenind la sistemul iniţial de ecuaţii se obţine:

).N(,

10001,510167,4

724,0111,463

112,0

FFFFF

);N(,

10997,410299,1

099,210703,310297,1

FFFFF

3

3

y5

x5

y4

x4

y3

3

3

3

3

x3

y2

x2

y1

x1

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅−⋅

−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅−⋅

−⋅⋅

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

Aceste soluţii verifică condiţiile iniţiale impuse pe contur, cu un grad de precizie satisfăcător.

Capitolul 4 4. Elemente finite tridimensionale

4.1. Elemente finite tetraedrice Dacă în problemele de elasticitate plană cele mai simple elemente finite sunt elementele triunghiulare, în problemele de elasticitate spaţială similar acestora sunt elementele finite de tip tetraedru cu patru noduri Fig.4.1.1.

y(v) j

ui

i wi

wj

wl

l

vl

ulvk

ukvi

k

vj

O

z(w)

uj

wk

x(u)

Fig. 4.1.1

Se impun drept grade de libertate în noduri componentele deplasărilor u, v, w, după cele trei axe ale sistemului cartezian x, y, z. Dacă se admite pentru aproximarea deplasărilor pe domeniul elementului finit polinoame de gradul întâi de forma: zcycxccu 4321 +++= (4.1.1) zcycxccv 8765 +++= zcycxccw 1211109 +++=coeficienţii c1, c2, …c12, se determină punând următoarele condiţii: u(xi,yi,zi) = ui v(xi,yi,zi) = vi (4.1.2) w(xi,yi,zi) =wi, unde (xi,yi,zi) reprezintă coordonatele nodului i. Se obţine următorul sistem de ecuaţii:

- Capitolul 4 144

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=+++=+++=

+++=

+++=+++=+++=+++=+++=

l12l11l109l

k12k11k109k

j12j11j109j

i12i11i109i

i8i7i65i

l4l3l21l

k4k3k21k

j4j3j21j

i4i3i21i

zcycxccwzcycxccwzcycxccw

zcycxccw...

zcycxccvzcycxccuzcycxccuzcycxccuzcycxccu

(4.1.3)

Cu notaţiile:

{ } ; ; (4.1.4)

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

l

l

k

j

i

e

w...

uuuu

U { }

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

12

4

3

2

1

c...

cccc

c

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

lll

kkk

jjj

iii

lll

kkk

jjj

iii

lll

kkk

jjj

iii

zyx100000000zyx100000000zyx100000000zyx1000000000000zyx100000000zyx100000000zyx100000000zyx1000000000000zyx100000000zyx100000000zyx100000000zyx1

A

, (4.1.5)

Elemente finite tridimensionale - 145 se obţine ecuaţia matriceală cunoscută: { } [ ] { }cAUe ⋅= (4.1.6)

Putem scrie: { } [ ] { }e

1 UAc ⋅= − (4.1.7) Rezolvarea ecuaţiei matriceale de forma (4.1.7) este dificilă mai ales în cazul elementelor finite cu un număr mare de noduri. Conform relaţiilor (4.1.1) pentru calculul deplasărilor pe domeniul elementului finit sau folosit polinoame de interpolare de gradul unu de forma: ( ) zcycxccz,y,xf 4321 +++= (4.1.8) Presupunând cunoscute deplasările din noduri se pot scrie condiţii de forma fi = f(xi,yi,zi). Se obţine următorul sistem de ecuaţii: i4i3i21i zcycxccf +++=

j4j3j21j zcycxccf +++=

k4k3k21k zcycxccf +++= (4.1.9)

l4l3l21l zcycxccf +++= Din rezolvarea sistemului de ecuaţii (4.1.9) se obţin coeficienţii ci unde i=1,2,3,4, ai polinomului (4.1.8) sub forma:

)ffff(V61c llkkjjii1 α+α+α+α=

)ffff(V61c llkkjjii2 β+β+β+β=

)ffff(V61c llkkjjii3 γ+γ+γ+γ= (4.1.10)

)ffff(V61c llkkjjii4 μ+μ+μ+μ=

unde:

lll

kkk

jjj

iii

zyx1zyx1zyx1zyx1

61V = (4.1.11)

- Capitolul 4 146

lll

kkk

jjj

i

zyxzyxzyx

=α ;

ll

kk

jj

i

zy1zy1zy1

−=β

(4.1.12)

;z1xz1xz1x

ll

kk

jj

i −=γ

1yx1yx1yx

ll

kk

jj

i =μ

Prin permutări circulare se obţin ceilalţi coeficienţi din relaţiile (4.1.10). Înlocuind soluţiile (4.1.10), în relaţia (4.1.8) se obţine următoarea expresie a

funcţiei de interpolare:

llkkjjii f)z,y,x(Nf)z,y,x(Nf)z,y,x(Nf)z,y,x(N)z,y,x(f ⋅+⋅+⋅+⋅= (4.1.13)

unde:

)zyx(V61N iiiii μ+γ+β+α=

)zyx(V61N jjjjj μ+γ+β+α=

(4.1.14) )zyx(

V61N kkkkk μ+γ+β+α=

)zyx(V61N lllll μ+γ+β+α=

Utilizând relaţia (4.1.13), putem obţine expresiile finale ale funcţiilor de deplasare date de rel. (4.1.1), care vor fi: llkkjjii uNuNuNuN)z,y,x(u +++=

llkkjjii vNvNvNvN)z,y,x(v +++= (4.1.15) llkkjjii wNwNwNwN)z,y,x(w +++= Vectorul funcţiilor de deplasare pe element,{ }U , este:

{ } [ ] { }eUN)z,y,x(w)z,y,x(v)z,y,x(u

U ⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

Elemente finite tridimensionale - 147

După înlocuiri obţinem:

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

l

i

l

k

j

i

lkji

lkji

lkji

w...

vuuuu

NNNN000000000000NNNN000000000000NNNN

U

(4.1.16)

Pentru problemele de elasticitate spaţială vectorul deformaţie specifică şi vectorul tensiune sunt de forma:

{ }ε

εεεγγγ

∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

=+

+

+

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x

y

z

xy

yz

zx

uxvywz

uy

vx

vz

wy

wx

uz

; { } (4.1.17) σ

σσστττ

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

x

y

z

xy

yz

zx

.

Ţinând cont că funcţiile Ni date de relaţiile (4.1.14) sunt funcţii de variabilele x,y,z, iar vectorul { nu depinde de aceste variabile, rezultă: }eU { } [ ] { }eUB ⋅=ε (4.1.18)

- Capitolul 4 148

unde:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

xN

xN

xN

xN0000

zN

zN

zN

zN

xN

xN

xN

xN

zN

zN

zN

zN0000

0000x

Nx

Nx

NxN

yN

yN

yN

yN

zN

zN

zN

zN00000000

0000y

Ny

Ny

NyN0000

00000000x

Nx

Nx

NxN

B

43214321

43214321

43214321

4321

4321

4321

(4.1.19)

reprezintă matricea de interpolare a deformaţiilor specifice pe element. Matricea [Ke] de rigiditate a elementului se calculează cu relaţia cunoscută: [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ⋅⋅⋅=

V

T dVBDBK (4.1.20)

iar tensiunile vor fi: { } [ ] { } [ ] [ ] { }eUBDD ⋅⋅=ε⋅=σ (4.1.21) unde matricea [D], reprezintă matricea de elasticitate a materialului pentru starea de tensiune triaxială, sau matricea de rigiditate a materialului, care este dată de relaţia:

[ ] ( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ν−

ν−

ν−ν−νν

νν−νννν−

ν−ν+=

22100000

02210000

00221000

000100010001

211ED (4.1.22).

Elemente finite tridimensionale - 149

4.2. Elemente finite hexaedrice

În cazul în care elementul finit este paralelipipedic cu opt noduri, Fig. 4.2.1, pentru câmpul deplasărilor se pot folosi polinoame de interpolare de forma:

xyzczxcyzcxyczcycxccu 87654321 +++++++=xyzczxcyzcxyczcycxccv 161514131211109 +++++++=

xyzczxcyzcxyczcycxccw 2423222120191817 +++++++=

(4.2.1)

Coeficienţii ci (i=1,2,3,…,24) din relaţiile (4.2.1) se determină din condiţii de forma (4.1.2). În acelaşi mod se abordează rezolvarea ecuaţiilor elementale pentru elemente finite tridimensionale cu un număr de “n” noduri.

x(u)

z(w)

y(v)

wm

un

wm

uo

wo

up

vo

m n

o

u5

vi vj

uk

vk

wk

wl

vl

ul

p

i

l k

O j

ujwi

wj

ui

um

vm vn

vo

wp

Fig. 4.2.1

- Capitolul 4 150

Dacă de exemplu vectorul deplasărilor nodale { }U e , care cumulează deplasările din noduri într-o anumită ordine impusă de către analist, are forma: { } { }nnn222111

Te wvu...wvuwvuU = , (4.2.2)

atunci matricea [ ]B de interpolare a deformaţiilor specifice pe element va fi:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

nN0

zN...

xN0

zN

xN0

zN

yN

zN0...

yN

zN0

yN

zN0

0x

Ny

N...0x

Ny

N0x

Ny

Nz

N00...z

N00z

N00

0y

N0...0y

N00y

N0

00x

N...00x

N00x

N

B

nn2211

nn2211

nn2211

n21

n21

n21

(4.2.3) Rezolvarea problemelor din această categorie în continuare se face după aceleaşi reguli prezentate în capitolul 3.

Funcţii de interpolare- 151

5. Funcţii de interpolare

Aşa cum s-a văzut în capitolele anterioare aplicarea principului lucrului mecanic virtual sau a energiei potenţiale de deformaţie, presupun cunoaşterea câmpurilor de deplasări. Pentru aproximarea câmpului de deplasări se folosesc funcţiile de interpolare alese în mod convenabil.

Vom prezenta modul de rezolvare a problemei după cerinţele de continuitate pe care polinoamele de interpolare trebuie să le satisfacă.

5.1. Polinoame de interpolare din clasa C0

Aceste polinoame trebuie să asigure numai continuitatea deplasărilor pe domeniul elementului. Din această categorie fac parte elementele finite de tip bară cu un singur grad de libertate pe nod, (capabile să preia solicitări de întindere-compresiune, sau torsiune), elemente de stare plană de tensiune sau stare plană de deformaţie şi elemente finite tridimensionale specifice elasticităţii tridimensionale. Elementele finite pentru care această categorie de funcţii de interpolare sunt suficiente poartă denumirea de elemente continue.

Element de tip bară solicitat la întindere-compresiune sau torsiune. Considerăm un element de tip bară de lungime L, pentru care în nodurile 1 şi

2, cunoaştem valorile deplasărilor nodale u1 şi u2, Fig. 5.1.1.

E,S sau G,Ip 2 1

L

N1 N2

x Fig. 5.1.1 Pentru câmpul deplasărilor se poate utiliza un polinom de interpolare de gradul

unu de forma: u(x)= c2x+ c1 (5.1.1) Pentru polinomul de interpolare se acceptă următoarele expresii:

Capitolul 5 152

- întindere compresiune ⇒ u(x)=N1 u1+ N2 u2 (5.1.2) - torsiune ⇒ ϕ(x)= N1 ϕ1+ N2 ϕ2 (5.1.3)

unde sunt nişte funcţii care satisfac condiţiile: Ni=1 în nodul i, Ni=0 în celelalte noduri

şi , în oricare punct aparţinând domeniul său de definiţie. Aceste funcţii

poartă denumirea de funcţii de formă.

∑=

=n

1ii 1N

Condiţiile pe contur pentru polinomul de forma (5.1.1), sunt: Pentru:

x=0, ⇒u=u1 (ϕ=ϕ1), şi x=L, ⇒u=u2, (ϕ=ϕ2). (5.1.4)

Impunând condiţiile (5.1.4), rezultă:

(5.1.5) ⎩⎨⎧

+==

212

11

cLcucu

Rezolvând (6.1.5) în funcţie de coeficienţii c1 şi c2, obţinem

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

12

121

ucLu

Luc (5.1.6)

Înlocuind (5.1.6) în (5.1.1), obţinem:

21

112

uLxu

Lx1

uxLu

Lu)x(u

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

(5.1.7)

Comparând (5.1.7) cu (5.1.2), rezultă:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

LxN

Lx1N

2

1 (5.1.8)

Analizând etapele parcurse rezultatele pot fi generalizate pentru orice tip de

element care foloseşte funcţii de interpolare din aceeaşi clasă. Astfel relaţia (5.1.1) poate fi scrisă sub forma:

u(x)= c2x+ c1 [ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅=

2

1

cc

1x , (5.1.9)

Funcţii de interpolare- 153 unde: [ ] [ ]1xp = , reprezintă matricea polinomului de interpolare,

, reprezintă vectorul coeficienţilor polinomului de

interpolare.

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

cc

c

Condiţiile pe contur (5.1.4) impuse pentru forma (5.1.9) ne conduc la

următorul sistem de ecuaţii:

, (5.1.10)

{ }{

[ ] { }{

c

2

1

AU

2

1

cc

1L10

uu

e

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

321

de unde rezultă:

{ } [ ] { }e1 UAc ⋅= − (5.1.11)

sau:

{ }{

[ ] { }{

u

2

1

Ac

2

1

uu

0L11

L1

cc

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−43421

(5.1.12)

Înlocuind (5.1.11) în (5.1.9), rezultă: [ ] [ ] { }e

1 UAp)x(u ⋅⋅= − (5.1.13) sau:

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2

121

2

1

uu

NNuu

Lx

Lx1)x(u (5.1.14)

Analizând relaţiile (5.1.13) şi (5.1.14), rezultă că matricea [N] de interpolare a deplasărilor pe domeniul elementului finit este: [ ] [ ] [ ] 1ApN −⋅= (5.1.15)

Rezultă că matricea [N] de interpolare a deplasărilor pe element are în componeţa ei funcţiile de formă Ni, cumulate într-o ordine impusă de cumularea gradelor de libertate în matricea {Ue} a deplasărilor nodale.

Capitolul 5 154

Aplicaţie: Să se găsească matricea funcţiile de formă [N], pentru un element finit

triunghiular cu deformaţii constante.

y1 x1 x2u1

v1 x 1

3

2

y

y3

v2

x3 u2

u3

v3

Fig. 5.1.2 Aplicarea relaţiei (5.1.15) poate fi dificilă pentru geometrii oarecare ale

elementelor finite. Folosim pentru aproximarea deplasărilor pe element polinoame de forma

(3.1.4). Rezultă:

(5.1.16) [ ][ ]

{ }{

c

3

2

1

p ccc

yx1u⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅=

43421

Impunând condiţiile pe contur de forma: u(xi,yi)=ui (5.1.17) unde: i (i=1,2,3), reprezintă nodurile elementului, Fig.5.1.3,

obţinem:

(5.1.18)

{ }{

[ ]{

c

3

2

1

A

33

22

u

3

2

1

ccc

yx1yx1001

uuu

e

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

4434421

0

(5.1.19)

(5.1.20)

Funcţii de interpolare- 155 Rezultă:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=−

332

3

32

23

22

1

y1

yxx

yxxx

0x1

x1

001

A

0

şi

[ ] [ ] [ ] [ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+−=

=⋅== −

332

33

32

23332

1221

yy

yxyxxy

yxyxyxxyyx

ApNNNN

În mod analog obţinem matricea funcţiilor de formă pentru câmpul deplasărilor v(x,y). Obţinem în final pentru matricea funcţiilor de deplasare pe element o expresie identică cu relaţia (3.1.24). Observaţie

Funcţiile de interpolare se obţin, în conformitate cu relaţiile (5.1.1) la (5.1.15), acceptând un polinom de interpolare cu un grad corespunzător numărului de grade de libertate pe nod şi impunând condiţiile de continuitate pe contur.

Ţinând cont de faptul că interpolarea Lagrange permite calculul coeficienţilor unei serii polinomiale reprezentând o funcţie definită prin valorile sale în puncte discrete, vom putea obţine funcţiile de formă Ni printr-o astfel de interpolare. Punctele discrete sunt reprezentate de nodurile situate pe una din laturile a elementului.

Conform interpolării Lagrange funcţiile de formă Ni sunt:

( )( )ji

1m,ji,1j

j1m

,ji,1ji xx

xxN

−Π

−Π= +

≠=

+≠= (5.1.21)

unde m reprezintă gradul polinomului de interpolare. Dezvoltând relaţia (5.1.21),vom obţine:

( )( ) ( )

( )( ) ( )1m13121

1m321 xx...xxxx

xx...xxxxN+

+

−−−−−−

=

( )( ) ( )( )( ) ( )1m23212

1m211 xx...xxxx

xx...xxxxN+

+

−−−−−−

= (5.1.22)

.

( )( ) ( )

( )( ) ( )m1m21m11m

m321m xx...xxxx

xx...xxxxN−−−

−−−=

++++

Capitolul 5 156

Astfel pentru elementul finit unidimensional, considerând valorile funcţiei liniare u(x), (m=1), după cum urmează:

-pentru x1=0 ⇒u(x1)=u1

-pentru x2=L ⇒u(x2)=u2, obţinem:

( ) ( ){

2

N

1

N

21 uLxu

Lx1u

Lxu

LLxxu

21

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

−−

=321

(5.1.23)

Acest rezultat coincide cu relaţia (5.1.7). Pentru elementul finit dreptunghiular biliniar, Fig. 5.1.3, vom aplica

dezvoltarea (5.1.21) după axa x pe laturile orizontale şi apoi după axa y între limitele date funcţiile de interpolare obţinute anterior.

Utilizând dezvoltarea (5.1.21) pentru un polinom de gradul unu, m=1, pe latura inferioară între nodurile 1 şi 2, în care :

-pentru x1=-a⇒u(x1)=u1 -pentru x2=a ⇒u(x2)=u2

obţinem:

21221

11

12

22,1 u

a2axu

a2xau

xxxxu

xxxx)x(u +

+−

=−−

+−−

=

(5.1.24)

a 1 2

3 4 y

a

b

b x

o

Fig. 5.1.3

Pe latura superioară între nodurile 3 şi 4, în care :

-pentru x1=-a⇒u(x1)=u4

Funcţii de interpolare- 157 -pentru x2=a ⇒u(x2)=u3

obţinem:

34321

14

12

23,4 u

a2axu

a2xau

xxxxu

xxxx)x(u +

+−

=−−

+−−

=

(5.1.25) Interpolând după direcţia y pe laturile 1-4 şi 2-3, între limitele u(x)1,2 şi u(x)4,3,

obţinem:

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )4321

3421

3,421

12,1

12

2

uab4

ybxauab4

ybxauab4

ybxauab4

ybxa

ua2ax

b2byu

a2xa

b2byu

a2ax

b2ybu

a2xa

b2yb

uyyyyu

yyyyy,xu

+−+

+++

−++

−−=

=++

+−+

++−

+−−

=

=−−

+−−

=

(5.1.26) Prin identificare cu relaţia: ( ) 44332211 uNuNuNuNy,xu +++= (5.1.27)

rezultă:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

++=

−+=

−−=

ab4ybxaN

ab4ybxaN

ab4ybxaN

ab4ybxaN

4

3

2

1

(5.1.28)

Se remarcă faptul că funcţiile date de relaţiile (5.1.28) satisfac condiţiile funcţiilor de formă. Pentru funcţia v(x,y) obţinem o expresie similară relaţie (5.1.27) şi rezultă că vectorul deplasărilor nodale pe element este:

Capitolul 5 158

{ } ( )( ) ⎩

⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=4321

4321

NNNN00000000NNNN

y,xvy,xu

U

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎭⎬⎫

4

4

3

3

2

2

1

1

vuvuvuvu

(5.1.29)

Pentru elementul finit solid rectangular triliniar, Fig. 5.1.4, aplicând procedeele expuse anterior, obţinem:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

abc8zzsigncyysignbxxsignaNi⋅+⋅⋅+⋅⋅+

= , (5.1.30)

unde: i=1,2,…,8 reprezintă numărul nodului;

- sign(x), sign(y) şi sign(z), reprezintă semnul coordonatelor x, y, z, în

cadranele în care sunt plasate nodurile.

y(v)

1 2

34

5 6

8 7

Fig. 5.1.4

z(w)

2a

2b

2c

x(u)

Funcţii de interpolare- 159

În aceste condiţii funcţiile de interpolare pentru componentele vectorului deplasare sunt:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

4321

4321

4321

wvuwvuwvuwvu

N00N00N00N000N00N00N00N000N00N00N00N

)z,y,x(w)z,y,x(v)z,y,x(u

(5.1.30)

6.2. Polinoame de interpolare din clasa C1

Un caz frecvent întâlnit în analiza structurală îl reprezintă cazul în care pe lângă continuitatea funcţiilor se impune să se asigure şi continuitatea derivatelor de ordinul unu. Cel mai simplu exemplu în acest sens îl reprezintă elementul de tip bară, Fig. 2.5.1.1, capabil să preia şi sarcini de încovoiere. În conformitate cu relaţiile (2.5.1.2), pentru elementul de tip bară în plan, la care se consideră încărcările date de forţele tăietoare şi momentele încovoietoare din noduri, avem 4 grade de libertate pe element. Vom utiliza prin urmare pentru deplasarea liniară v(x) un polinom de gradul 3: (5.2.1) ( ) 43

22

31 cxcxcxcxv +++=

Pentru funcţia deplasărilor unghiulare (rotaţiilor), rezultă:

( ) 322

1 cxc2xc3dxdvx ++==ϕ (5.2.2)

Relaţia (6.2.1) o vom scrie sub forma:

(5.2.4) ( ) [ ][ ]

{ }{

c

4

3

2

1

p

23

cccc

1xxxxv

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=44 344 21

Capitolul 5 160

Condiţiile pe contur sunt:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=ϕ=ϕ=

=ϕ=ϕ=

====

.dxdv,Lxpentru

;dxdv,0xpentru

;vv,Lxpentru;vv,0xpentru

2

1

2

1

(5.2.5)

După impunerea condiţiilor (5.2.5), obţinem:

{ }{

[ ]{

c

4

3

2

1

A

2

23

U

2

2

1

1

cccc

01L2L31LLL01001000

v

v

e

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ

ϕ

444 3444 21

(5.2.6)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

−

=−

000L00L0LL3L2L3L2L2

L1A

3

2

22

31 (5.2.7)

Conform relaţiei (5.1.15), cu notaţia: Lx

=ξ , obţinem:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) (⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ξ−ξξ−ξξ−ξ−ξ+= )

==

321434214342144344214321 N

2

N

32

N

2

N

23

4321

231x321

NNNNN

(5.2.8)

În cazul problemelor la care se impune continuitatea atât a funcţiilor de

deplasare cât şi a derivatelor sale, nu se mai folosesc polinoamele de interpolare Lagrange. În aceste cazuri se recomandă utilizarea polinoamelor de interpolare Hermite.

Funcţii de interpolare- 161 5.3. Funcţii de interpolare pentru elementul finit triunghiular În paragraful 3.3 s-a prezentat elementul finit triunghiular în coordonate

naturale triangulare, pentru starea plană, în condiţiile unei distribuţii constante a tensiunii şi deformaţiilor pe domeniul elementului finit.

Pentru elementul triunghiular vom pune în evidenţă o funcţie de interpolare de forma:

(5.3.1) ∑ Φ=Φ iiNunde: este deplasarea nodală pe direcţia gradului de libertate i; iΦ ( )3,2,1ii LLLNN = , funcţiile de formă;

sunt coordonatele triangulare definite de relaţiile (3.3.1). Funcţiile de interpolare căutate se acceptă sub forma:

3,2,1 LLL

(5.3.2) (∑=

=Φn

1i

s3

r2

q1i L,L,Lc )

unde: q, r, s, sunt aranjamente pentru n combinaţii posibile care respectă condiţia q+r+s=p, iar p reprezintă gradul polinomului de interpolare; ci reprezintă coeficienţii polinomului.

Relaţia (5.3.2) devine: Pentru elementul liniar

ycxccLcLcLc '3

'2

'1332211 ++=++=Φ (5.3.3)

Pentru elementul pătratic: 2'

6'5

2'4

'3

'2

'1136325214

233

222

211 ycxycxcycxccLLcLLcLLcLcLcLc +++++=+++++=Φ

(5.3.4) Funcţiile de formă pentru elementul triunghiular liniar, sunt coordonatele triangulare: N1=L1, N2=L2, N3=L3. Pentru elementele finite pentru care se impun funcţii de interpolare cu grad mai mare de unu, funcţiile de formă se determină utilizând funcţiile de interpolarea Lagrange:

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )nk1kk1kk1k0k

n1k1k10

ikn

,ji,0i

in

,ki,0ink

LL...LLLL...LLLLLL...LLLL...LLLL

LLLL

l

−−−−−−−−−−

=

=−Π−Π

=

+−

+−

≠=

≠=

(5.3.5)

Capitolul 5 162

Funcţiile de formă vor avea următoarea expresie: ( ) ( ) ( )3

ss2

rr1

qqi LlLlLlN = (5.3.6)

În acest fel pentru elementul triunghiular de ordin superior, vom avea:

- Element pătratic ( )1L2LN iii −= ; Pentru nodurile reprezentând colţurile

elementului. kii LL4N = ; Pentru nodurile situate la mijlocul laturilor

elementului.

- Elementul cubic

( )( ;2L31L3L21N iiii −−= ) Pentru nodurile reprezentând

colţurile elementului.

( ;1L3LL29N ikij −= ) Pentru nodurile situate pe laturile

elementului. ;LLL27N 32110 = Pentru nodul interior.

Sisteme de coordonate naturale- 163

6. Sisteme de coordonate naturale şi funcţii de aproximare în coordonate naturale. Funcţii de formă

Elementele finite în analiza cu elemente finite se raportează la sisteme de axe proprii şi sisteme de axe globale. Sistemele de coordonate proprii pot fi sisteme de axe carteziene, polare, cilindrice, sau sisteme de axe naturale. Sistemele de coordonate naturale sunt adimensionale iar utilizarea lor conduce la reducerea considerabilă a volumului de calcul. Vom prezenta modul de definire al sistemelor de coordonate adimensionale pentru elemente finite uni, bi şi tridimensionale.

6.1. Coordonate naturale unidimensionale. Considerăm un element finit unidimensional de lungime a raportat la axa Ox,

în raport cu care poziţia celor două noduri ale sale 1 şi 2 este cunoscută, Fig. 6.1.1.

x

a x1

x2

1 M

(1,0) (L1 , L2)

a

a1a2

1 2

O

(0,1)

2

Fig. 5.1.1.

Coordonatele naturale se bucură de proprietăţi deosebite. În sistemul de axe natural nodurile vor avea coordonatele (1,0) şi (0,1) pentru nodul 1 respectiv pentru nodul 2, iar un punct M situat între nodurile 1 şi 2, va avea coordonatele L1 şi L2 , definite de relaţiile:

Capitolul 6 164

12

211 xx

xxaaL

−−

==

12

122 xx

xxaaL

−

−==

(6.1.1)

Cele două coordonate naturale care definesc poziţia punctului M nu sunt

independente, între ele existând relaţia evidentă: L1 + L2 =1 (6.1.2) Comparând aceste coordonate naturale cu polinomul liniar de interpolare dat de relaţia (1.7.5), se poate scrie: 2211 LxLxx ⋅+⋅= (6.1.3)

Această relaţie reprezintă relaţia care leagă coordonatele din cele sisteme de referinţă. Sub formă matriceală relaţia (6.1.3), poate fi scrisă după cum urmează:

(6.1.4) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

21 LL

xx11

x1

Sau se poate scrie:

(6.1.5) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

x1

xx11

LL 1

212

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

x1

1x1x

a1

x1

1x1x

xx1

LL

1

2

1

2

122

1 (6.1.6)

În cazul în care originea sistemului de axe cartezian coincide cu nodul 1 al elementului finit (x1 = 0), Fig. 6.1.2 a), şi se face o translaţie a acestuia la mijlocul elementului, coordonatele nodurilor în raport cu noul sistem vor fi: x1 = -a/2; x2 = a/2. Translaţia

2ax −=ξ are ca efect modificarea coordonatelor nodurilor, care

devin echidistante în raport cu originea sistemului de axe.


Fig. 6.1.2

c) b) a)

s

x1= 0 x2=a

x

x1= -a/2 x2=a/2

s = -1 s = 1 ξ a

2 1

a/2-a/2

2 10 0

dreapta: s - 1 = 0

dreapta: s + 1 = 0

12

Se defineşte coordonata naturală adimensională s:

2/a

s ξ= (6.1.7)

În acest fel limitele domeniului elementului finit vor fi cuprinse între -1 respectiv 1. Funcţiile de formă Nn se definesc ca fiind produsul dintre o constantă Kn şi funcţia P corespunzătoare dreptei care nu trece prin nodul n. Vom avea în aceste condiţii următoarele funcţii de formă:

( )s1KPKN 1211 −⋅=⋅= ( )s1KPKN 2122 +⋅=⋅= (6.1.8)

Din condiţiile: s = -1; N = 1; rezultă: N = (1 - s)/2; K1 1 1 = 2; s = 1; N2= 1; rezultă: N = (1 + s)/2; K2 2 = 2; (6.1.9) Sub formă generalizată se poate scrie:

( ii ss121N ⋅−= ) (6.1.10)

unde si reprezintă coordonatele nodului i în sistemul natural de axe. Trecerea de la sistemul de axe cartezian la sistemul de axe natural se face conform relaţiei (6.1.3), cu o relaţie de forma:

( ) ( )[ 21 xs1xs121x ++−= ] (6.1.11)

Capitolul 6 166

sau:

i

2

1ii xNx ⋅= ∑

=

(6.1.12)

unde xi reprezintă coordonatele nodului i în sistemul de axe cartezian.

6.2.Coordonate naturale bidimensionale În paragraful 3.3, sunt prezentate funcţiile de interpolare liniară în coordonate naturale "triangulare" pentru un element finit bidimensional de tip triunghiular. În cele ce urmează vom prezenta funcţiile de aproximare în coordonate naturale în cazul elementelor finite de tip patrulater.

Trecerea de la sistemul de axe cartezian la sistemul de axe natural se face urmând acelaşi procedeu prezentat în cazul elementelor finite unidimensionale. În principiu această transformare presupune translaţia sistemului cartezian local în centrul patrulaterului, după care se efectuează transformarea coordonatelor în mărimi adimensionale prin împărţirea lor cu fracţiuni din lungimile laturilor Fig. 6.1.3. şi 6.1.4.

1 b/2

h/2

h/2

3

2

η=y-h/2

ξ=x-b/2

x

(-1,-1) (1,-1)

s

t

dreapta 1-s =0 dreapta

1+s =0

dreapta

4

2 1

3

(-1,1)

1+t = 0

dreapta 1-t = 0

b

b/2

y

4

h

Fig. 6.1.3 Fig. 6.1.4 În urma translaţiei în centrul dreptunghiului între cele două sisteme de coordonate paralele se pot scrie relaţiile:


2hy −=η

2bx −=ξ ; . (6.1.13)

Coordonatele naturale s, t, sunt definite de raportul dintre variabilele date de relaţiile (1.13) la semilungimile laturilor patrulaterului:

2h

2hy

t−

=

2b

2bx

s−

= ; . (6.1.14)

Domeniul de variaţia al coordonatelor naturale date de relaţiile (6.1.14), este cuprins între limitele -1 şi 1. Rezultă că patrulaterul considerat un dreptunghi, în cazul studiat, raportat la sistemul de coordonate naturale se transformă într-un pătrat, Fig. 6.1.4. Funcţiile de formă N se obţin din produsul coeficientului Kn n ecuaţiile celor două drepte care nu trec prin nodul n:

( )( )t1s1KPPKN 1342311 −−=⋅⋅= ( )( )t1s1KPPKN 1413422 −+=⋅⋅=

( )( )t1s1KPPKN 1124133 ++=⋅⋅=

(5.1.15)

( )( )t1s1KPPKN 1231244 +−=⋅⋅= Pentru nodul 1de coordonate: s = -1; t = -1; din condiţia N1 = 1, rezultă K1 = 1/4. Din condiţii similare impuse pentru celelalte noduri se obţine : K = K2 3 = K = 1/4. 4 În general considerând un patrulater oarecare, Fig. 6.1.5, (cazul problemelor bidimensionale), relaţiile dintre coordonatele globale (x, y) şi coordonatele naturale (s,t) sunt date de expresiile:

y

(x4,y4)

s 4

1(-1,1)

2

3

(-1,-1)

t (1,1) 4

2 (x1, y1) 1

3

η

ξ

(x3,y3)

(-1,1)

(x2, y2) x

Fig. 6.1.5

Capitolul 6 168

]x)t1)(s1(x)t1)(s1(x)t1)(s1(x)t1)(s1[(41x 4321 +−++++−++−−=

]y)t1)(s1(y)t1)(s1(y)t1)(s1(y)t1)(s1[(41y 4321 +−++++−++−−=

(6.1.16) sau

(6.1.17) ∑ ∑= =

==4

1i

4

1iiiii yNy;xNx

unde:

)tt1)(ss1(41N iii ++= (6.1.18)

xi , y - sunt coordonatele nodului i în sistemul de axe x, y; i , t - sunt coordonatele nodului i în sistemul de axe s, t. si i

6.3.Coordonate naturale tridimensionale.

Considerând elementul finit paralelipipedic, raportat la sistemul cartezian x, y, z, cu originea în nodul 5, Fig. 6.1.6, trecerea la coordonatele naturale s, t, q se face respectând etapele utilizate la transformările de coordonate pentru elementele uni şi bidimensionale prezentate anterior.

1

2

3

4 56

7 8

x

z

y

ξ

η

χ

h/2

b/2 b/2

g/2

g/2

7

6 5

4

2 1

(-1,-1,1) (1,-1,1)

(1,-1,-1)

(-1,-1,1)

(-1,1,-1)8

(1,1,-1) t

s (-1,-1,-1)

(1,1,1) 3

q

h/2

Fig. 6.1.6. Fig. 6.1.7.

Sisteme de coordonate naturale- 169 După translaţia în centrul de greutate al paralelipipedului se pot scrie relaţiile:

2gz −=χ

2hy −=η

2bx −=ξ ; ; . (6.1.19)

Coordonatele naturale s, t, q, sunt definite de relaţiile:

2g

2gy

q−

=

2h

2hy

t−

=

2b

2bx

s−

= ; ; . (6.1.20)

În acest mod în raport cu sistemul de axe natural s, t, q, se obţine un cub, Fig. 6.1.7, a cărui feţe laterale reprezintă nişte plane paralele cu planele sistemului de coordonate, iar nodurile sale au coordonatele cu valori de -1 sau 1, în funcţie de poziţia pe care o ocupă. De exemplu planul determinat de nodurile 2-3-7-6, va avea ecuaţia: 1 - s = 0. La fel planul determinat de nodurile 1-4-8-5, va avea ecuaţia : 1 + s = 0.

12

3

4

5 6

7 8

x

z

y

ζ

η

χ

s

t

q

(1,1,1)

(1,1,-1) (-1,1,-1)

(-1,-1,1)

(1,-1,-1)

(1,-1,1)(-1,-1,1)

(-1,-1,-1)

Fig. 6.1.8

Capitolul 6 170

se obţin din produsul coeficientului KFuncţiile de formă Nn n ecuaţiile celor trei plane care nu trec prin nodul n. De exemplu pentru nodul 5 se poate scrie:

( )( )( )q1t1s1KPPPKN 534872376123455 −−−=⋅⋅= (6.1.21)

unde Pijkl reprezintă planul care determinat de nodurile i, j, k, l. Impunându-se coordonatele nodului 5: s = -1; t = -1; q = -1 pentru N5 = 1, se obţine K = 1/8. 5 În mod similar se obţine: K = K1 2 = K3 = K = K = K = K4 6 7 8 = 1/8. În general pentru elementele finite tridimensionale hexaedrale, Fig.6.1.8, relaţiile de legătură dintre cele două sisteme de axe, se pot scrie sub forma:

∑=

=8

1iiixNx ; ; (6.1.22) ∑

=

=8

1iiiyNy ∑

=

=8

1iiizNz

unde:

)qq1)(tt1)(ss1(81N iiii +++= (6.1.23)

xi , y , zi i - sunt coordonatele nodului i în sistemul de axe x, y, z, iar s , t , qi i i, sunt coordonatele aceluiaşi nod în sistemul s, t, q.

Funcţii de interpolare în coordonate naturale- 171

7. Funcţii de interpolare în coordonate naturale 7.1. Prezentare generală

Utilizarea sistemelor de coordonate naturale conferă multiple avantaje în analiza cu elemente finite. Dintre aceste avantaje amintim uşurinţa cu care se pot deduce legile de aproximaţie pentru câmpul deplasărilor pe domeniul elementului finit, posibilitatea modelării unor elemente cu laturi sau suprafeţe curbe şi facilitarea aplicării metodelor de integrare numerică.

Pentru elemente cu n noduri, funcţiile de interpolare pe domeniul elementului finit sunt de forma:

- Elemente unidimensionale

; (7.1.1) ( ) ( ) ∑∑==

⋅=⋅=n

1iii

n

1iii fNsfNsf

- Elemente bidimensionale

; (7.1.2) ( ) ( ) ∑∑==

⋅=⋅=n

1iii

n

1iiii fNt,sfNt,sf

- Elemente tridimensionale

; (7.1.3) ( ) ( ) ∑∑==

⋅=⋅=n

1iii

n

1iiiii fNq,t,sfNq,t,sf

unde: Ni sunt funcţiile de formă care îndeplinesc condiţiile: Ni = 1 pentru nodul i şi

Ni = 0 pentru celelalte noduri. fi reprezintă valoarea funcţiei de interpolare în nodul i. Pentru trecerea din sistemul de coordonate natural în sistemul de coordonate

iniţial se folosesc relaţii similare: - Elemente unidimensionale

; (7.1.4) ( ) ∑=

⋅=n

1iii xNsx

- Elemente bidimensionale

(7.1.5) ( )

( ) ∑

∑

=

=

⋅=

⋅=

n

1iii

n

1iii

;yNt,sy

;xNt,sx

- Elemente tridimensionale

Capitolul 7 172

(7.1.6)

( )

( )

( ) ;zNq,t,sz

;yNq,t,sy

;xNq,t,sx

n

1iii

n

1iii

n

1iii

∑

∑

∑

=

=

=

⋅=

⋅=

⋅=

unde xi, yi, zi - sunt coordonatele nodurilor în sistemul cartezian.

7.2. Elemente unidimensionale Funcţii de interpolare liniare Pentru elementul unidimensional, Fig. 6.1.2. c), conform relaţiei (7.1.1),

putem scrie:

( ) i

2

1ii uNsu ⋅= ∑

=

(7.2.1)

unde Ni este dată de relaţia (6.1.10). Funcţii de interpolare pătratice Considerăm elementul unidimensional cu trei noduri, raportat la coordonatele naturale, Fig. 7.2.1.

1 3 2

Lo

x2x3

x1

s = +1s = 0s = -1 s

x Fig. 7.2.1 Pentru determinarea funcţiilor de formă vom utiliza funcţia de interpolare

Lagrange, (5.1.21), după cu urmează:

( )( )ji

1m,ji,1j

j1m

,ji,1ji ss

ssN

−Π

−Π= +

≠=

+≠= , (7.2.2)

sau pentru ultimul nod: ( )( ) ( )

( )( ) ( )m1m21m11m

m321m ss...ssss

ss...ssssN−−−

−−−=

++++ (7.2.3)

Ţinând cont de valorile coordonatelor naturale în nodurile s1= -1, s2=+1, s3= 0, şi gradul polinomului m=2, rezultă:


( ) ( )( )( )( ) ( )

( ) ( )( )( )( ) (

( ) ( )( )( )( )

)

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=−−−−

=

+=−−−−

=

−=−−−−

=

2

2313

213

2

3212

312

2

3121

321

s1ssss

sssssN

ss21

sssssssssN

ss21

sssssssssN

(7.2.4)

Rezultă că matricea [N], de interpolare a deplasărilor pe element este:

[ ] ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−−= 222 s1ss

21ss

21N (7.2.5)

În consecinţă obţinem relaţia de transformare din sistemul de coordonate natural în sistemul de coordonate iniţial:

( ) [ ] [ ]T321 xxxNsx ⋅= , (7.2.6)

şi funcţia de interpolare pătratică: ( ) [ ] [ ]T

321 uuuNsu ⋅= . (7.2.6)

7.3. Elemente bidimensionale Funcţii de interpolare pentru elemente liniare Pentru elementul bidimensional, Fig. 6.1.4, conform relaţiei (7.1.1), putem

scrie:

( ) i

4

1ii uNt,su ⋅= ∑

=

(7.3.1) ( ) i

4

1ii vNt,sv ⋅= ∑

=

unde Ni sunt date de relaţiile (6.1.15). Funcţii de interpolare pentru elemente pătratice

Considerăm elementul bidimensional cu 8 noduri, raportat la coordonatele naturale s, t, Fig. 7.3.1. În definirea funcţiilor de formă vom utiliza metodologia prezentată în paragraful 6.2. Funcţiile de formă pentru nodul i sunt date de produsul dintre coeficientul Ki determinat din condiţia ca Ni =1 în nodul i, şi ecuaţiile dreptelor pe care sunt plasate nodurile elementului, cu excepţia dreptelor care trec prin nodul i. În tabelul 7.3.1, sunt prezentate ecuaţiile dreptelor pe care sunt plasate nodurile elementului pătratic, Fig. 7.3.1. b).

Capitolul 7 174

y t

(-1,-1) (1,-1)

(1,1) (-1,1)

1 2

4

5

7

8

3

t

s 6

s x o b) a)

Fig. 7.3.1 Tabelul 7.3.1 Specificarea nodurile care sunt plasate pe

dreptele care intervin în expresiile funcţiilor de formă

Ecuaţiile dreptelor care intervin în expresiile funcţiilor de formă

1,5,2 s-1=0 2,6,3 t+1=0 3,7,4 s+1=0 4,8,1 t-1=0 5,6 s-r+1=0 6,7 s+r+1=0 7,8 -s+r+1=0 8,5 -s-r+1=0

Pentru nodul 1, care este nod de colţ, funcţia de formă este:

( ) ( ) ( )1ts1s1tKPPPKN 15,84,7,33,6,211 −+⋅+⋅+⋅=⋅⋅⋅= (7.3.2) Din condiţiile funcţiei de formă pentru nodul 1, pentru care: s=1; t=1; N1=1; rezultă:

( ) ( ) ( )41K1111111K1 11 =⇒−+⋅+⋅+= (7.3.3)

În mod asemănător se obţin funcţiile de formă pentru celelalte noduri din colţurile elementului, care se pot scrie sub forma:

( ) ( ) ( 1ttss1ss1tt41N iiiii −+⋅+⋅+= ) (7.3.4)

Funcţii de interpolare în coordonate naturale- 175 unde:

i=1,2,3,4 reprezintă nodurile plasate în colţurile elementului; ;1t;1s ii ±=±= reprezintă coordonatele nodului i.

Pentru nodul 5, care este nod plasat la mijlocul laturii superioare, funcţia de pătratică de formă este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1s1tK1s1s1tKPPPKN 2552,5,14,7,33,6,255 −⋅+⋅=−⋅+⋅+⋅=⋅⋅⋅=

(7.3.5) Din condiţiile funcţiei de formă pentru nodul 5, pentru care:

s=1; t=0; N5=1; rezultă:

( ) ( )21K1110K1 55 =⇒+⋅+= (7.3.6)

Pentru nodul 5 obţinem:

( ) ( 1s1t21N 2

5 −⋅+= ) (7.3.7)

În mod asemănător pentru nodul 7 obţinem:

( ) ( 1s1t21N 2

7 −⋅−= ) (7.3.8)

Pentru nodurile 6 şi 8, plasate la mijlocul laturilor 2-3 şi 1-4, obţinem:

( ) ( 1s1t21N 2

6 −⋅−= ) (7.3.9)

( ) ( 1s1t21N 2

8 +⋅−= ) (7.3.10)

În consecinţă pentru elementul bidimensional pătratic, Fig. 7.3.2, funcţiile de

interpolare în coordonate naturale sunt:

( ) i

8

1ii uNt,su ⋅= ∑

=

(7.3.11) ( ) i

8

1ii vNt,sv ⋅= ∑

=

unde funcţiile de formă Ni este date de relaţiile (7.3.4) şi (7.3.7) la (7.3.10). Funcţii de interpolare pentru elemente cubice Acest element are 12 noduri, cu câte 2 noduri echidistante pe fiecare latură numite noduri intermediare, Fig. 7.3.2. Pentru nodurile intermediare, coordonatele si şi

ti vor fi o combinaţie între ±13

şi 1± după poziţia pe care o ocupă.

Capitolul 7 176

(-1/3,-1)

t

(1/3,-1) 10

(-1,-1/3)

(-1,1/3)

2

(-1/3,1) 6

7

8

4

12

11

5 (1/3,1) 1

(-1,1) (1,1)

(1,-1) (-1,-1)

3

s

(1,1/3) (1,-1/3)

9 Fig. 7.3.2

Pentru determinarea funcţiile de formă utilizăm metodologia prezentată la

funcţiile de interpolare pătratice. Astfel pentru nodurile din colţuri, adică nodurile i = 1...4, pentru care si, ti = ± 1, la ecuaţiilor laturilor care nu trec prin noduri se adaugă ecuaţiile laturilor pătratelor 5,7,9,11 şi 6,8,10,12, Fig. 7.3.3. a), sau ecuaţia cercului care trece prin punctele 5,6,7,8,9,10,11,12, Fig. 7.3.3. b). Vom utiliza ecuaţia cercului care are raza:

9

10311R

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= (7.3.12)

9

R

62

3 4

12

11

5 1 1

5

11

12

49

2 6

7

3

t t

7s

88 s

10 10

b) a)

Fig. 7.3.3

Funcţii de interpolare în coordonate naturale- 177 Ecuaţia cercului va fi:

09

10ts 22 =−+ (7.3.13)

Funcţia de formă pentru nodul 1 este:

( )( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++=

910ts1t1sKN 22

11 (7.3.14)

Din condiţiile: N1=1, s = 1, t = 1, rezultă K1=10/9. Prin urmare pentru nodurile i = 1...4, cu si, ti = ± 1:

]9

10)ts)[(t.t1)(s.s1(329N 22

iii −+++= (7.3.15)

Pentru nodurile 5,6,9 şi 10, cu ti = ± 1 şi si = ± 13

, aplicăm o metodologie

similară. Pentru exemplificare considerăm funcţia de formă pentru nodul 9: 101,12,11,43,8,7,22,6,5,199 PPPPKN ⋅⋅⋅⋅= (7.3.16)

Remarcăm că în relaţia (7.3.16) intervine şi ecuaţia dreptei 031tP10 =−⇒ ,

punctul 10 fiind singurul punct prin care cu excepţia punctului 9, nu trec dreptele . P;P;P 1,12,11,43,8,7,22,6,5,1

Din condiţiile: N9=1, s = -1/3, t = - 1, rezultă K9= -27/32. În final pentru nodurile 5,6,9 şi 10, obţinem:

)s.s91)(s1)(t.t1(329N i

2ii +−+= (7.3.17)

Pentru nodurile 7,8,11 şi 12, cu si = ± 1 şi ti = ± 13

:

)t.t91)(t1)(s.s1(329N i

2ii +−+= (7.3.18)

Capitolul 7 178

7.4. Elemente tridimensionale

Funcţii de interpolare pentru elemente liniare Pentru elementul tridimensional cu 8 noduri, Fig. 6.1.7, conform relaţiei

(7.1.3), putem scrie:

( ) i

8

1ii uNq,t,su ⋅= ∑

=

( ) i

8

1ii vNq,t,sv ⋅= ∑

=

(7.4.1)

( ) i

8

1ii wNq,t,sw ⋅= ∑

=

unde Ni sunt date de relaţiile (6.1.23). Funcţii de interpolare pentru elemente pătratice

Considerăm elementul tridimensional cu 20 de noduri, Fig. 7.4.1, raportat la sistemul natural s, t, q.

6 5

s

13

1

2

7 8

1912

15

9

14

17

16

20

18

10

t 4 11 3

q Fig. 7.4.1


În funcţie de poziţiile ocupate de noduri vom avea următoarele funcţii formă:

- pentru nodurile si = ± 1, ti = ± 1, ri = ± 1:

)2r.rt.ts.s)(r.r1)(t.t1)(s.s1(81N iiiiiii −+++++= (7.4.2)

- pentru nodurile care se situează în planul de coordonate, si = 0, ti = ± 1, ri = ± 1:

)r.r1)(t.t1)(s1(41N ii

2i ++−= (7.4.3)

Pentru restul nodurilor de mijloc, din planurile ti = 0, si = ± 1, ri = ± 1;şi respectiv ri = 0, si = ± 1, ti = ± 1, funcţiile de formă sunt asemănătoare cu cele date de relaţia (7.4.3), obţinându-se prin permutări circulare.

Funcţiile de interpolare pătratice sunt de forma (7.4.1), unde Ni sunt date de relaţii de forma (7.4.2), (7.4.3).

Funcţii de interpolare pentru elemente cubice Considerăm elementul tridimensional cu 32 de noduri, Fig. 7.4.2, raportat la sistemul natural s, t, q.

r

1

7

8

3

2

t 4 s 6 5 Fig. 7.4.2

Capitolul 7 180

Pentru acest tip de element intervin nodurile intermediare, pentru care una din

coordonate si ,ti sau ri, după poziţia pe care o ocupă, vor avea valoarea ±13

. Funcţiile

de aproximare vor fi: - Pentru nodurile de colţ, si = ± 1, ti = ± 1, ri = ± 1.

]19)rts(9)[r.r1)(t.t1)(s.s1(641N 222

iiii −+++++= (7.4.4)

- Pentru nodurile de coordonate: si = ± 13

, ti = ± 1, ri = ± 1

)r.r1)(t.t1)(s.s91)(s1(649N iii

2i +++−= (7.4.5)

- Pentru restul nodurilor intermediare, din planurile ti = ± 13

,

si 1±= , ri = ± 1şi respectiv ri = ± 13

, si= ±1, ti = ± 1, funcţiile de formă se obţin prin

permutări circulare. Funcţiile de interpolare cubice sunt de forma (7.4.1), unde Ni sunt date de relaţii de forma (7.4.4), (7.4.5).

Elemente izoparametrice- 181

8. Elemente izoparametrice

8.1. Generalităţi În cazul în care se utilizează sistemul de coordonate natural, iar pentru funcţiile de aproximare se utilizează expresii identice cu cele de la transformarea de coordonate, elementele finite se numesc elemente finite izoparametrice. Utilizarea elementelor finite izoparametrice prezintă avantajul cunoaşterii funcţiilor de interpolare iar coordonatele naturale la care se raportează elementele izoparametrice asigură posibilitatea unei integrării numerice rapide datorită schimbării limitelor de integrare la valorile –1 şi 1.

Pentru trecerea de la sistemul de axe natural s, t, r, la sistemul cartezian de coordonate x, y, z, se folosesc relaţiile de transformare (6.1.12), (6.1.17), şi (6.1.22).

Dacă funcţiile interpolare sunt diferite de relaţiile de transformare din sistemul cartezian de coordonate în sistemul natural, atunci elementele pot fi subparametrice sau supraparametrice. În cazul în care funcţiile de interpolare au un grad superior funcţiilor de transformare elementele poartă denumirea de elemente subparametrice iar dacă au un grad inferior poartă denumirea de elemente supraparametrice, tabelul 8.1.1.

Tabelul 8.1.1

Element izoparametric

Element subparametric

Element supraparametric

Configuraţia

geometrică nodală

Configuraţia

deplasărilor nodale

8.2. Element de bară izoparametric

Considerăm cazul elementului unidimensional pătratic, Fig. 7.2.1, cu trei noduri pe element. Funcţiile de formă, funcţiile de transformare din sistemul de coordonate natural în sistemul de coordonate cartezian şi funcţiile de interpolare pătratice sunt date de (7.2.5), (7.2.6) şi (7.2.7). Pentru elementul unidimensional cu un singur grad de libertate pe nod, reprezentat de deplasarea liniară u(x), deformaţiile specifice liniare sunt date de relaţia:

Capitolul 8 182

dxdu

x =ε (8.1.1)

În acelaşi timp vectorul deformaţie specifică pe element este dat de relaţia:

(8.1.2) { } [ ] { } [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅=⋅=ε

3

2

1

e

uuu

BUB

Matricea [B] de interpolare a deformaţiilor specifice pe element o vom obţine aplicând un operatorul diferenţial matricei [N] de interpolare a deplasărilor pe element, operator rezultat din relaţiile diferenţiale ale lui Cauchy între deplasări şi deformaţii specifice.

Având în vedere că funcţiile de formă sunt exprimate în coordonata naturală s(x), rezultă:

[ ] [ ]dxds

dsdNN

dxdB ⋅== (8.1.3)

Întrucât de obicei cunoaştem relaţiile de transformare x(s) din sistemul de coordonate natural în sistemul cartezian, este mai comod să exprimăm inversa

raportului dxds

adică dsdxJ = , unde J este numit operatorul Jacobian. Operatorul

Jacobian reprezintă un factor de scară obţinut la trecerea din sistemul cartezian în cel natural, dx=J⋅ds.

Ţinând cont de relaţia (7.2.6), putem scrie:

( ) [ ] ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅==

3

2

1

3

2

1

xxx

s21s2211s2

21

xxx

Ndsd

dsdxsJ (8.1.4)

Relaţia (8.1.3) se poate scrie sub forma:

[ ]dsdNJ

dsdN

J1

dsdN

dxdsB 1−=== (8.1.5)

Rezultă că matricea [B] poate fi scrisă sub forma:

[ ] ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+−⋅= −

3

2

11

xxx

s21s2211s2

21JB (8.1.6)

Ţinând cont că se admite secţiune constantă pe domeniul elementului de lungime L, un element de volum infinitezimal este dat de relaţia: dV=A⋅dx=A⋅J⋅ds Matricea de rigiditate a elementului va fi:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫∫∫ −===

1

1

TL

0

T

V

Te JdsBAEBdxBAEBdVBDBK (8.1.7)

Elemente izoparametrice- 183 Remarcăm că integrarea analitică a expresiei matricei de rigiditate este foarte dificilă ca urmare prezenţei variabilei s atât la numărător cât şi la numitor. Având în vedere că utilizarea sistemului de coordonate naturale conduce la limitele de integrare –1 şi +1, integrarea numerică se poate face cu multă uşurinţă.

8.3. Element biliniar izoparametric de stare plană de tensiune Considerăm cazul elementului bidimensional liniar, Fig. 6.1.5, cu patru noduri pe element. Funcţiile de formă, funcţiile de transformare din sistemul de coordonate natural în sistemul de coordonate cartezian şi funcţiile de interpolare liniare sunt date de (6.1.15), (6.1.17) şi (7.3.1).

Pentru elementul considerat avem 4 noduri cu câte 2 grade de libertate pe nod, deci cu 8 grade de libertate pe element. În sistemul de coordonate natural s, t, vectorul funcţiilor liniare de deplasare pe element este:

{U}= , (8.3.1) ( )( )⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

t,svt,su

unde funcţiile de deplasare sunt date de relaţiile: 44332211 uNuNuNuN)t,s(u +++=

44332211 vNvNvNvN)t,s(v +++= , (8.3.2)

sau,

(8.3.3) { }

[ ]

{ }321

44444 344444 21

eU

4

3

2

1

4

3

2

1

N

4321

4321

vvvvuuuu

N0

N0

N0

N0

0N

0N

0N

0N

vu

U

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

În conformitate cu relaţiile (6.1.17) trecerea la sistemul de coordonate cartezian este dată de relaţiile: 44332211 xNxNxNxNx +++=

44332211 yNyNyNyNy +++= (8.3.4)

Relaţiile (8.3.4) se pot scrie sub formă:

Capitolul 8 184

(8.3.5)

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

4

3

2

1

4

3

2

1

4321

4321

yyyyxxxx

N0

N0

N0

N0

0N

0N

0N

0N

)t,s(y)t,s(x

În cele ce urmează vom exprima matricea [B] de interpolare a deformaţiilor specifice pe element, în sistemul natural de coordonate (s, t).

Întrucât pentru starea plană de tensiune avem relaţiile diferenţiale:

,xv

yu;

yv;

xu

xyyx ∂∂

+∂∂

=γ∂∂

=ε∂∂

=ε

iar x şi y sunt funcţii de variabilele s şi t, x = f1(s,t); y = f2(s,t), rezultă:

;

tu

yu

tx

xu

tu

sy

yu

sx

xu

su

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

şi

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

ty

yv

tx

xv

tv

sy

yv

sx

xv

sv

(8.3.6)

Operatorii de derivare (8.3.6), se pot scrie matriceal sub forma:

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

y

xJ

y

x

ty

tx

sy

sx

t

s (8.3.7)

unde: [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ty

tx

sy

sx

J (8.3.8)

este matricea Jacobianului transformării. Ţinând seama de relaţiile (8.3.4), Jacobianul transformării poate fi scris sub forma:


[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4

4

3

3

2

2

1

1

yyyy

xxxx

tNs

N

tNs

N

tNs

N

tNs

N

)t,s(J (8.3.9)

Întrucât Ni pentru nodurile i=1,2,3,4, sunt cunoscute, conform relaţiilor (6.1.15), rezultă că explicitarea relaţiei (8.3.9) se poate face cu uşurinţă. Din relaţia (8.3.7), se obţine:

[ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

−

t

sJ

t

sJ

z

x 1 (8.3.10)

unde s-a făcut notaţia: [ ] [ ]JJ 1 =− . Derivatele funcţiilor de deplasare u şi v în raport cu x şi y, în funcţie de derivatele u şi v în raport cu s şi t:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

tvsvtusu

jj00jj0000jj00jj

yvxvyuxu

2221

1211

2221

1211

(8.3.11)

unde n,mj , reprezintă elementul din linia m şi coloana n din matricea . ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−J

Derivatele su∂∂ se pot calcula cu uşurinţă ţinând cont de expresiile (8.3.3).

Acestea vor fi sub forma:

Capitolul 8 186

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

4

3

2

1

4

3

2

1

4321

4321

4321

4321

vvvvuuuu

tN

tN

tN

tN0000

sN

sN

sN

sN0000

0000t

Nt

Nt

Nt

N

0000s

Ns

Ns

Ns

N

tvsvtusu

(8.3.12)

Ţinând cont de expresiile deformaţiilor specifice, scrise matriceal sub forma:

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

=ε

yvxvyuxu

010

100

100

001

xy

y

x

(8.3.13)

În aceste condiţii matricea de interpolare a deformaţiilor specifice pe element

[B(s,t)], rezultă din înlocuirea relaţiilor (8.3.11) şi (8.3.12) în (8.3.13), din care obţinem:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

tN

tN

tN

tN0000

sN

sN

sN

sN0000

0000t

Nt

Nt

Nt

N

0000s

Ns

Ns

Ns

N

jj00jj0000jj00jj

010

100

100

001

B

4321

4321

4321

4321

2221

1211

2221

1211

(8.3.14) şi ţinând cont că {ε} = [Β]{U(e)}se poate scrie:


[ ]

[ ]{ }321

4444444444444444 34444444444444444 21

eU

4

3

2

1

4

3

2

1

B

4321

4321

4321

4321

2221

1211

2221

1211

vvvvuuuu

tN

tN

tN

tN0000

sN

sN

sN

sN0000

0000t

Nt

Nt

Nt

N

0000s

Ns

Ns

Ns

N

jj00jj0000jj00jj

010

100

100

001

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=ε

(8.3.15)

Exprimarea matricei de interpolare a deformaţiilor specifice pe element, [B(s,t)], (în coordonate naturale s, t), se poate face plecând de la expresia de (3.4.11), care reprezintă matricea de interpolare a deformaţilor specifice pe element, [B(x,y)], (în coordonate carteziene x, y), pentru un element triunghiular cu 3 noduri. Relaţia (3.4.11) extinsă pentru un element cu 4 noduri, devine:

( )[ ]

( )

( )

( ) ( )∑=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=4

1i

ii

i

i

xy,xN

yy,xN

yy,xN0

0x

y,xN

y,xB (8.3.16)

Cum în coordonate naturale funcţiile de formă Ni(s,t) depind de variabilele s şi

t, vom exprima derivatele de forma ( )s

t,sNi

∂∂

şi ( )t

t,sNi

∂∂

, aplicând operatorul (8.3.7)

asupra funcţiilor Ni(s,t):

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

yNx

N

J

yNx

N

ty

tx

sy

sx

tNs

N

i

i

i

i

i

i

, (8.3.17)

de unde se obţine:

Capitolul 8 188

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

−

tNs

N

J

yNx

N

i

i

1

i

i

(8.3.18)

În aceste condiţii matricea de interpolare a deformaţiilor specifice pe element în coordonate naturale este de forma:

( )[ ]

( )

( )

( ) ( )[ ]

( )

( )

( ) ( )∑∑=

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=4

1i

ii

i

i

14

1i

ii

i

i

st,sN

tt,sN

tt,sN0

0s

t,sN

J

xt,sN

yt,sN

yt,sN0

0x

t,sN

t,sB

(8.3.19) Ţinând cont de relaţiile (6.1.17) şi (6.1.18), Jacobianul transformării de coordonate este:

[ ] ,

yxyxyxyx

tN

tN

tN

tN

sN

sN

sN

sN

yt

Nxt

N

ys

Nxs

N

ty

tx

sy

sx

J

44

33

22

11

4321

22214

1ii

ii

i

ii

ii

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅∂∂

⋅∂∂

⋅∂∂

⋅∂∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= ∑=

(8.3.20) sau:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−−−+−+−−−

=

44

33

22

11

yxyxyxyx

s1s1s1s1t1t1t1t1

41J (8.3.21)

Matricea inversă Jacobianului transformării [J]-1, se poate se poate scrie sub forma:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=−

yt

ys

xt

xs

J 1 (8.3.22)

Elemente izoparametrice- 189 sau se poate calcula cu relaţia:

[ ] [ ] [ ] ∑=−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅∂∂

⋅∂∂

−

⋅∂∂

−⋅∂∂

⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−

∂∂

−∂∂

⋅=4

1ii

ii

i

ii

ii

1

xs

Nxt

N

ys

Nyt

N

Jdet1

sx

tx

sy

ty

Jdet1J (8.3.23)

În cazul în care s şi t sunt coordonate curbilinii oarecare, conform Fig. 8.3.1, putem scrie:

;dt

tytx

dnşi;ds

sysx

dm ⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

=⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∂∂∂∂

= (8.3.24)

dn

dm

dA

dssy∂∂

dtty∂∂

dttx∂∂

dssx∂∂

G

H

D

t

s

y

O x

Fig. 8.3.1

Produsul vectorial a doi vectori A şi B, cuprinşi în planul x-y, Fig. 8.3.2, este:

Capitolul 8 190

( −

−−−

−

⋅−==⋅θ⋅⋅== kBABA0BB0AAkji

ksinBABxACaria

xyyx

yx

yx 44 344 21) (8.3.25)

B θ

C A Fig. 8.3.2 şi modulul produsului este:

θ⋅⋅= sinBAC . (8.3.26) Rezultă că aria infinitezimală dA=dxdy, este egală cu lungimea vectorului rezultat din produsul dmdn:

[ ]

dsdt

ty

tx

sy

sx

detdxdydA

J43421

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

== (8.3.27)

Cu aceste consideraţii, matricea de rigiditate a elementului considerat de grosime constantă, t=ct, unde dV=t⋅dA=t⋅dx⋅dy=t⋅det[J]⋅ds⋅dt este:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dtdsJdetBDBtdVBDBK1

1

1

1

T

V

Te ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫ ∫∫

− −

(8.3.28)

Notă: Scrierea matricei de rigiditate a elementului presupune evaluarea ariei infinitezimale dA. În conformitate cu relaţia (8.3.26), se poate scrie: θ⋅⋅= sindydxdA În acelaşi timp conform relaţiei (8.3.27), avem: [ ] dtdsJdetdA ⋅⋅=


Rezultă:

[ ] θ⋅⋅

= sindtdsdydxJdet (8.3.29)

Conform relaţiei (8.3.29), dacă unghiul θ este mult mai mic decât 1800, atunci det[J] este foarte mic, ceea ce va conduce implicit la erori în calculul matricei de rigiditate elementului. În acelaşi timp remarcăm că dacă unghiul θ este mai mare decât 1800, atunci matricea de rigiditate a elementului avea semnul – ca factor comun, ceea ce conduce la imposibilitatea rezolvării problemei, întrucât vor apare valori negative pe diagonala principală a acesteia.

Pentru evitarea distorsiunilor se recomandă respectarea condiţiei: (8.3.30) 00 15030 <θ<Menţionăm că Jacobianul transformării de coordonate este o constantă pentru

elemente de tip paralelogram, iar pentru elemente patrulatere care nu sunt paralelograme Jacobianul este o matrice de funcţii.

Aplicaţia A.8.3.1 Să se determine matricea Jacobianului transformării pentru elementele

patrulatere prezentate în Fig. A.8.3.1.1.

x2

7

4

2x

2 1

y

o450

33

7

3 y

o3

3

4 3

2 1 4 4

a) b)

Fig. A.8.3.1.1

Capitolul 8 192

Coordonatele nodurile în sistemul de coordonate x, y, rezultă din modul de

cotare, Fig. A.8.3.1.1. Relaţiile de trecere din sistemul natural în sistemul cartezian, sunt date de relaţiile (6.1.16).

Pentru elementul A.8.3.1.1. a), obţinem:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )([ ]4t1s14t1s14t1s14t1s141

xt1s1xt1s1xt1s1xt1s141x 4321

−+−++++−++−−−=

=+−++++−++−−=

)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )([ ]3t1s13t1s13t1s13t1s141

yt1s1yt1s1yt1s1yt1s141y 4321

+−++++−−++−−−=

=+−++++−++−−=

)

Rezultă:

. [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3004

J

Pentru elementul A.8.3.1.1. b), obţinem:

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )([ ]3t1s17t1s13t1s17t1s141x −+−++++−++−−−= )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]2t1s12t1s12t1s12t1s141y +−++++−−++−−−=

Rezultă:

. [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2205

J


8.4. Element finit izoparametric bidimensional pătratic.

În acest caz se utilizează funcţii de aproximare de gradul doi, ceea ce permite utilizarea nodurilor intermediare pe laturile elementului şi deci curbarea acestora, Fig. 8.4.1. Este un element patrulater cu 8 noduri, având 16 grade de libertate.

v4

y(v)

(x4,y4) u4

4

Fig. 8.4.1 Funcţiile de formă şi funcţiile de interpolare liniare sunt date de relaţiile (7.3.2)

la (7.3.10), şi (7.3.11). Pentru elementul considerat avem 4 noduri cu câte 2 grade de libertate pe nod,

deci cu 8 grade de libertate pe element. Vectorul funcţiilor de deplasare { }U în coordonate naturale este:

(8.4.1) { }

[ ]

{ }{

eU

8

8

1

1

N

8

8

2

2

1

1

vu...

vu

N0

0N

...N...0

0N

N0

0N

)t,s(v)t,s(u

U

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=4444 34444 21

86

7 3

(-1,1) (1,1)

(-1,-1) 5 (1,-1) 2

s

t 7

t 4

(x3,y3)

v3

3

8 v1

(x1, y1) O1 u3u1 s v2

61

1u2 5 2 (x2, y2)

x(u) O

Capitolul 8 194

Conform relaţiei (8.4.1), în matricea deplasărilor nodale { }eU , s-a făcut

cumularea gradelor de libertate în prima formă dată de relaţiile (3.1.6). Transformarea de coordonate este dată de relaţia:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

8

8

1

1

8

8

2

2

1

1

yx...yx

N0

0N

...N...0

0N

N0

0N

)t,s(y)t,s(x

(8.4.2)

În constituirea matricei [B(s,t)] de interpolare a deformaţiilor specifice în sistemul de coordonate natural s, t o vom face utilizând metodologia prezentată la elementul finit izoparametric liniar. Jacobinul transformării în acest caz este:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

=

88

88

22

11

8

8

2

2

1

1

yxyx......

yxyx

.00

tNs

N

...

...00

tNs

N

00

tNs

N

)t,s(J (8.4.3)

Derivatele parţiale ale deplasărilor în funcţie de coordonatele naturale s, t sunt:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

8

8

2

2

1

1

8

88

8

2

22

2

1

11

1

vu.

vuvu

.

tNs

N00

00t

Ns

N

t...N

s...N

...0

...0

00t

Ns

N

tNs

N00

00t

Ns

N

tvsvtusu

(8.4.4)


Cum {ε}=[Β]{Ue},

iar:

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γεε

=ε

yvxvyuxu

.010

100

100

001

xy

y

x

, (8.4.5)

şi cu aceleaşi notaţii pentru matricea inversă a Jacobianui utilizată în relaţia (8.3.11), se obţine expresia finală pentru vectorul deformaţie specifică { }ε :

{ }

[ ]

{ }{

eU

8

8

2

2

1

1

B

8

88

8

2

22

2

1

11

1

2221

1211

2221

1211

vu.

vuvu

.

tNs

N00

00t

Ns

N

t...N

s...N

...0

...0

00t

Ns

N

tNs

N00

00t

Ns

N

jj00jj0000jj00jj

.010

100

100

001

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=ε

444444444444 3444444444444 21

(8.4.6)

Remarcăm că matricea [B] definită în relaţia (8.4.6) are dimensiunile (3 x 16). Pentru calculul matricei de rigiditate sunt valabile concluziile prezentate în paragraful precedent.

8.5. Elemente finite izoparametrice tridimensionale Pentru elementele hexaedrice liniare, pătratice şi cubice, cu câte trei grade de libertate pe nod (ui, vi, wi ), Fig. 6.1.7, Fig.7.4.1, şi Fig. 7.4.2, avem 8 x 3 = 24 grade de libertate pentru elementul liniar şi 20 x 3 = 60 grade de libertate în cazul celui pătratic, respectiv 32 x 3=96 grade de libertate în cazul elementului cubic. Cu observaţia că diferă doar expresiile funcţiilor de formă pentru elementele tridimensionale liniare pătratice sau cubice, relaţiile (6.1.23), (7.4.3) (7.4.4) şi (7.4.5), în cele ce urmează ne vom referi la un element cu n noduri, (n=8,20,32).

Capitolul 8 196

Pentru aceste cazuri câmpul deplasărilor este de forma:

[ ]

{ }321

444444 3444444 21

eU

n

n

n

2

2

2

1

1

1

N

n

n

n

2

2

2

1

1

1

wvu.

wvuwvu

.N00

0N0

00

N

...N...0...0

0N0

00

N

N00

0N0

00

N

)q,t,s(w)q,t,s(v)q,t,s(u

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ (8.5.1)

Relaţiile dintre cele două sisteme de coordonate x, y, z şi s, t, r se exprimă sub forma:

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

n

n

n

2

1

1

1

N

n

n

n

2

2

2

1

1

1

zyx...

xzyx

.N00

0N0

00

N

...N...0...0

0N0

00

N

N00

0N0

00

N

)q,t,s(z)q,t,s(y)q,t,s(x

444444 3444444 21

(8.5.2)

Ţinând cont de cele stabilite în paragraful 8.3, relaţia (8.3.7), pentru elementele

bidimensionale, trecerea diferenţială din sistemul de coordonate natural la cel cartezian se face cu o relaţie de forma:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

)z,y,x()w,v,u(J

)q,t,s()w,v,u( , (8.5.3)


unde Jacobianul transformării este:

[ ]

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

qz

qy

qx

tz

ty

tx

sz

sy

sx

J (8.5.4)

sau:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

nnn

222

111

n21

n11

n21

zyx.........

zyxzyx

qN...

qN

qN

tN...

tN

tN

sN...

sN

sN

J (8.5.5)

Din relaţia (8.5.3) rezultă:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂ −

)q,t,s()w,v,u(J

)z,y,x()w,v,u( 1 (8.5.6)

Matricea inversă Jacobianului transformării este:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=−

zq

zt

zs

yq

yt

ys

xq

xt

xs

J 1 (8.5.7)

Elementele matricei se determină cu o relaţie de forma: [ ] 1J −

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂

=∂∂

tz

qy

qz

ty

Jdet1

xs

(8.5.8)

În conformitate cu relaţiile (6.1.22), funcţiile x(s,t,q), y(s,t,q), z(s,t,q) sunt

cunoscute, evaluarea expresiei (8.5.8) poate fi făcută cu uşurinţă. Prin permutări circulare se obţin celelalte elemente din matricea (8.5.7).

Capitolul 8 198

Pentru obţinerea matricei [B], plecăm de la expresia vectorului deformaţie specifică pentru probleme de elasticitate spaţială:

{ }

[ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

γγγεεε

=ε

zwywxwzvyvxvzuyuxu

.

001000100010100000000001010100000000000010000000000001

t

zx

yz

xy

z

y

x

44444 344444 21

(8.5.9)

Relaţia (8.5.6), se poate scrie sub forma:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

−

−

−

qwtwswqvtvsvqutusu

J000J000J

zwywxwzvyvxvzuyuxu

1

1

1

444 3444 21

(8.5.10)

[ ]1transfJ−

unde s-a mai făcut notaţia: . [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000000000

0

Elemente izoparametrice- 199 În acelaşi timp se poate scrie:

[ ] ⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

∂ n

2

1

1

1

N

n21

21

21

w..

uwvu

qN...

qN00

qN00

0...0t

N00t

N0

0...00s

N00s

N

qwtwswqvtvsvqutusu

4444444444 34444444444 21

(8.5.11)

[ ]N∂

Cu notaţiile făcute în (8.5.9) şi (8.5.10), şi (8.5.11), şi ţinând cont că , rezultă: { } [ ] { }eUB ⋅=ε

[ ] [ ] [ ] [ ] { }e1

transf UNJtB ⋅∂⋅⋅= − (8.5.12) În aceste condiţii rezultă expresia de calcul a matricei de rigiditate a

elementului:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] dqdtdsJdetBDBdVBDBK1

1

1

1

T1

1V

Te ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫ ∫ ∫∫

− − −

(8.5.13)

unde: [ ] dqdtdsJdetdzdydxdV ⋅⋅⋅=⋅⋅= (8.5.14)

Calculul matricei de rigiditate a elementului [Ke], în conformitate cu relaţia

(8.5.13), se poate realiza eficient pe cale numerică utilizând integrarea Gauss. Evaluarea matricelor forţelor nodale { }eF , se face pornind de la relaţie de

definiţie (3.1.41) care poate fi extinsă asupra elementelor tridimensionale, cu observaţia că matricele forţelor volumice şi de suprafaţă sunt:

; { } (8.5.15) { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ZYX

Fv⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

z

y

x

c

ppp

F

unde X,Y, Z sunt componentele sarcinilor volumice şi px, py, pz, sunt componentele sarcinilor de suprafaţă după axele x,y,z. Pentru calculul integralelor de suprafaţă în coordonate tridimensionale naturale, se consideră elementul de arie dS=dxdy, ca un vector orientat după normala la suprafaţă. În acest mod în probleme tridimensionale elementul de arie dS, pentru variabila q=constant, se scrie sub forma unui produs vectorial de forma:

Capitolul 8 200

dtds

tztytx

x

szsysx

dxdydA ⋅⋅

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

== (8.5.16)

Prin permutări circulare, se obţin relaţii similare pentru s=constant, şi t=constant.

Astfel integrala de forma: ( ){ } [ ] { } [ ] { } dAFNdVFNF

AlC

T

VV

Te ∫∫ += , utilizată în

calculul forţelor nodale devine de forma:

{ } [ ] { } [ ] [ ] { }∫ ∫∫ ∫ ∫− −− − −

+⋅⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=1

1

1

1c

T1

1

1

1V

T1

1e dtds

tztytx

x

szsysx

FNdqdtdsJdetFNF

[ ] { } [ ] { }∫ ∫∫ ∫− −− −

⋅⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⋅⋅++⋅⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⋅⋅+1

1

1

1c

T1

1

1

1c

T dsdq

szsysx

x

qzqyqx

FNdqdt

qzqyqx

x

tztytx

FN

(8.5.17)

Produsele vectoriale din relaţia (8.5.16) ne conduc la rezultatul:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

tx

sy

ty

sx

tz

sx

tx

sz

ty

sz

tz

sy

tztytx

x

szsysx

(8.5.18)

În mod asemănător prin permutări circulare se obţin expresiile celorlalte produse. Remarcăm că în mod asemănător relaţiei (8.5.15), în cazul problemelor bidimensionale s,t, obţinem un element de arc care se poate scrie sub forma:

ds

szsysx

dS

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂

= (8.5.19)

pe suprafaţa t=constant.

Elemente axial simetrice- 201

9. Elemente finite de tip axial simetric

Structurile axial simetrice sunt corpuri de revoluţie pentru care atât rigiditatea precum şi încărcarea prezintă simetrie în raport cu axa de revoluţie. Datorită unor proprietăţi care decurg din simetria axială a structurilor, acestea pot fi reduse la cazul problemelor bidimensionale în cazul corpurilor cu pereţi groşi sau cu probleme unidimensionale în cazul unor structuri cu pereţi subţiri.

Discretizarea se face utilizând elemente finite de tip special de forma unor sectoare de inel cu deschiderea la centru de un radian, Fig. 9.1, de secţiune constantă. În acest caz pentru studiul structurii este suficient studiul unei secţiuni care conţine axa de simetrie y, reprezentarea făcându-se în sistemul de axe y, x, Fig. 9.2.

Fig. 9.1

Întrucât deplasările pe direcţie circumferenţială sunt nule ca o consecinţă a simetriei structurii, vectorul deplasare { }U are numai două componente, componentele

r = x

y

rad1=θ

p2

p1

θ = 0

Capitolul 9 202

u şi v, pe direcţiile x şi y, Fig.9.2.

y

dyy

yy ∂

∂σ+σ

Fig. 9.2

x

y

σθ

σθ

dxx

xx ∂

∂σ+σ

σ r

yxτ

σ y

θ

uj

vl vk

ul uk lkvi

e vj

j ui i

x ( r )

O

xyτ

Fig. 9.3

Elemente axial simetrice- 203 Tensorul deformaţie specifică are următoarea structură:

{ }

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γεεε

=εθ

xv

yu

xuyvxu

xy

y

x

(9.1)

Sau sub formă matriceală relaţia (9.1), se poate scrie:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

γεεε

θ

uyvxvyuxu

.

0r100

0010

1000

1000

0001

xy

y

x

(9.2)

Pentru elementul axial simetric izoparametric liniar utilizăm Pentru aproximarea deplasărilor pe domeniul elementului finit, este necesar să se găsească nişte funcţii de interpolare, care să satisfacă relaţia:

(3.12.3)

În cazul elementelor finite izoparametrice şi a coordonatelor naturale s,t, pentru câmpul deplasărilor se obţine o relaţie de forma:

u s tv s t

NN

NN

NN

uv

uv

n

n

n

n

( , )( , )

. . .. . .

....

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

1

1

2

2

1

1

00

00

00

(3.12.4)

Capitolul 9 204 Funcţiile Ni sunt date de relaţiile (3.10.2.1), pentru elemente finite liniare

sau de relaţiile (3.10.1.2), (3.10.2.3), (3.10.2.4), pentru elemente finite pătratice. Legea lui Hooke transcrisă pentru starea axial simetrică va fi:

σσστ

υ υ

υυυ

υυυ

υυυ

υ

εεεγ

θ θ

r

z

rz

r

z

rz

E⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=+ −

−−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

(1 )(1 ).

2

1

0

1

01

0

000

1 22

(3.12.5)

Ţinând cont de aceste relaţii, constituirea matricelor şi a vectorilor caracteristici urmează acelaşi procedeu descris în paragrafele anterioare. Dacă notăm cu [J] matricea Jacobianului transformării şi [⎯J] inversa acesteia, atunci se pot scrie relaţiile:

∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂∂∂∂∂

uxuyvxvy

u

jj

jj

jj

jj

usutvsvt

u

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

11

21

12

22

11

21

12

22

000

000

00

0

00

0

00001

.

(3.12.6)

unde jm n, , reprezintă elementul din linia m şi coloana n din matricea [J ] şi:

Elemente axial simetrice- 205 ∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

usutvsvt

u

Ns

Ns

Ns

Nt

Nt

Nt

Ns

Ns

Ns

Nt

Nt

Nt

N N N

uv

uv

n

n

n

nn

n

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1

1

1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

....

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

(3.12.7)

În relaţia (3.12.7) n = 4 pentru elemente finite liniare şi n = 8 pentru elemente finite pătratice. Cu relaţiile anterioare se poate pune în evidenţă matricea de rigiditate a elementului finit de tip axial simetric care păstrează forma generală cunoscută:

(3.12.8)

[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]K B D B dV B D B dT

v

= =− −−∫ ∫∫∫1

1

1

1

1

1

V

Limitele de integtrare [-1,1] se obţin prin trecerea de la sistemul de coordonate carteziene la coordonatele naturale s, t. Elementul de volum va fi dV = r.dθ.dr.dz, care în sistemul natural devine dV = r.dθ.det [J]ds.dt, unde det [J] reprezintă determinantul Jacobianului la transformarea de coordonate din sistemul x, y în sistemul natural s,t. Ca o consecinţă a simetriei structurii, integrarea se va face pentru un segment cu deschiderea la centru de un radian, astfel încât dV = r.dx.dy şi respectiv dV = r.det [J]ds.dt. Cum {ε} = [B]{U },după înlocuiri se obţine: e

Capitolul 9 206

εεεγ

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂

θ

r

z

rz

r

jj

jj

jj

jj

Ns

Nt

N

Ns

Nt

Ns

Nt

N

Ns

Nt

Ns

Nt

N

N⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1000

0001

0001

0100

001

0

000

000

00

0

00

0

00001

00

00

0

00

00

0

00

0011

21

12

22

11

21

12

22

1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

. .3

3

4

4

4

4

4

1

1

2

2

3

3

4

4

0

00

00

0

∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

sNt

Ns

Nt

N

Ns

Nt

uvuvuvuv

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

.

(3.12.9) Matricea [B] este dată de produsul matriceal:

[ ]Br

jj

jj

jj

jj

Ns

Nt

N

Ns

Nt

Ns

Nt

N

Ns

Nt

Ns

Nt

N

Ns

Nt

Ns

Nt=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1000

0001

0001

0100

001

0

000

000

00

0

00

0

00001

00

00

0

00

00

0

00

00

0

00

11

21

12

22

11

21

12

22

1

2

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

. .

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

N

Ns

Nt

4

4

4

00

0

∂∂∂∂

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(3.12.10) Integrarea relaţiei (3.12.8) se face pe cale numerică (cap.4).

Bibliografie 1 Barson, J. M., Rolfe,S.T., Fracture & Fatigue Control in Structures, Secon

Edition, Pretince-Hall, (Fondul Prof. Dr. Ing. Mircea Raţiu - REZMAT)

2 Bathe, K. I., Wilson, F. L., Numerical Methods in Finite Element Analysis. Prentice - Hall, INC, Enghwood, New,Jersy, 1976.

3 Berbente, C., Zancu, S., Mitran, S., Pleter, O., Tăranu, C.,

Metode numerice de calcul şi aplicaţii. Bucureşti, Ed. I.P.B., 1992.

4 Bia, C., lle, V., Soare, M. V.,

Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii, Bucureşti, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1983.

5 Blumenfeld, M., Introducere în metoda elementelor finite, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1995.

6 Blumenfeld, M., Ioniţă, A., Mares, C.,

Metoda elementelor finite. (Aplicaţii şi programe introductive). Bucureşti, Ed. I.P.B., 1992.

7 Brătianu, C., Metode cu elemente finite în dinamica fluidelor, Editura Academiei R. S. România, Bucureşti, 1983.

8 Budynas, R. G., Advanced Strength and Applied Stress Analysis, Mc Grow-Hill, N.Y 1977.

9 Buzdugan, Gh., Rezistenţa materialelor, Bucureşti, Ed. Academiei, 1986.

10 Ciarlet, P. G., The Finite Element Method, North-Holland, Amsterdam, 1978.

11 Constantinescu, I., Dăneţ, N.,

Metode noi pentru calcule de rezistenţă, Bucureşti, Ed.Tehnică, 1989.

12 Constantinescu, I. N., Munteanu, M. Gh., Golumbovici, D. C.,

Calcule de rezistenţă a structurilor de maşini şi utilaje, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1984.

13 Cuteanu, E., Marinov, A.,

Metoda elementelor finite în proiectarea structurilor, Timişoara, Ed. Facla, 1980.

14 Dally, J. W., Riley, W. F.,

Experimental Stress Analysis,Third Edition, McGraw-Hill,1991, (Fondul Prof. Dr. Ing. Mircea Raţiu- REZMAT)

15 Demidovitch, B., Maron, I.,

Elements de calcul numerique. Moscove, Ed.Mir, 1973.

16 Dumitru, I., Faur, N.,

Elemente de calcul şi aplicaţii în rezistenţa materialelor, Timişoara, Ed. Politehnica, 1999

- Bibliografie 208

17 Dumitru, I., Faur, N.,

Rezistenţa materialelor -Bazele teoretice în oboseala materialelor, mecanica ruperii, compozite, metode de analiză numerică, Lito. Univ. Politehnica Timişoara, 1997.

18 Erjanov, J. S., Karimbaev, T. D.,

Metod Konecinih elementev v zadaciah mehaniki gornih porod, Alma-Ata Nauka 1975.

19 Faur, N., Dumitru, I.,

Diferenţe finite şi elemente finite, Timişoara, Ed. Mirton, 1997

20 Faur, N., Dumitru, I.,

Metode numerice în rezistenţa materialelor, Lito. Univ. Politehnica Timişoara, 1997.

21 Gafiteanu, M., Poteraşu, V. F., Mihalache, N.,

Elemente finite şi de frontieră cu aplicaţii la calculul organelor de maşini, Bucureşti, Ed.Tehnică, 1987.

22 Gârbea, D., Analiza cu elemente finite. Bucureşti, Ed. Tehnică, 1990.

23 Gere, J. M., & Timoşenco, S. P.,

Mechanics of Materials, Second Edition, Books/Cole Engineering Division Monterey, California, (Fondul Prof. Dr. Ing. Mircea Raţiu- REZMAT)

24 Gheorghiu, Al., Concepţii moderne în calculul structurilor, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1975

25 Hărdău, M., Metoda elementelor finite (curs),Cluj-Napoca Ed. Univ. Tehnică, 1995.

26 Heubner, K. H., The Finite Element Method for Engineers, Tohn Wiley and Sons, N.Y - Toronto, 1975.

27 Hughes, T. J. R., The Finite Element Method, Prentice - Hall, Enghvood Cliffs, N. J, 1987.

28 Ivan, M., Bazele calculului liniar al structurilor. Ed. Facla, Timişoara, 1985.

29 Maklei, P., Spaţialimîi variaţionnîi prinţip dlia metode Konecinih elementov B.Kn., Raketnaia tehnika i Kosmonartik, Nr. 3, 1969.

30 Massonnet, Ch., Deprez, G., Maquoi, R., Muller, R., Fander, G.,

Calculul structurilor la calculatoare electronice. Bucureşti, Ed. Tehnică, 1974.

31 Mocanu, D. R., Analiza experimentală a tensiunilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1977.

32 Munteanu, I. Ioan, Calculul structurilor spaţiale în formulare matriaceală. Timişoara, Ed. Facla, 1973.

Bibliografie- 209

33 Nemcinov, Iu. I., Rascet tonkostennih prostranstvennîh sistem metodom konecinih elementov. Stroitelinaia mehanika i rascet soorujenii 1976 Nr.5.

34 Nemcinov, Iu. I., Rascet Prostranstvennîh Konstrukţii (metod konecinîh elementov), Kiev 1980.

35 Novaţkii V., Teoria uprugosti M. Mir 1975. 36 Oden, I. T., Reddy, N. I., An Introduction to the Mathematical Theory of

Finite Elements, Wily- Interscience N.Y. 1982. 37 Olariu, V., Brătianu,C., Olariu, V., Brătianu, C., Modelarea numerică cu

elemente finite Ed.Tehnică, Bucureşti, 1986. 38 Pascariu, I., Elemente finite (Concepţii - Aplicaţii), Bucureşti,

Ed. Militară, 1985. 39 Ping - Chun Wang., Metode numerice şi matriciale în mecanica

construcţiilor, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1970 40 Przemieniecki, I. S., Theory of Matrix Structural Analysis. Mc. Graw -

Hill - Sydney, 1968. 41 Rao, S. S., The Finite Element Method în Engineering,

Oxford, Ed. Pergamon Press, 1982. 42 Reddy, I. N., An introduction to the FINITE ELEMENT

METHOD Mc.Grow - Hill, 1993. 43 Rozin, L. A., Metod konecinih elementov v primenenii k

uprughim sistemom, Stroinzdat, 1977. 44 Segerling, L. I., Applied Finite Element Analysis, Iohn Wiley,

New York, 1976. 45 Souma, V. E., Lecture Notes in Finite Element, CVEN 6525,

SPRING1996 46 Stematiu, D., Calculul structurilor hidrotehnice prin metoda

elementelor finite, Bucureşti, Ed. Tehnică, 1988. 47 Streng, G.,

Iiks, Dj., Teoria metoda konecnih elementov, M. Mir 1977.

48 Timoşhenko, S. P., Gudier, Dj.,

Teoria uprugosti M. Nauka 1975.

49 Timoşhenko, S. P., Woinowsky - Krieger, S.,

Teoria plăcilor plane şi curbe. Ed. Tehnică Bucureşti, 1968.

50 Tripa, P., Faur, N.,

Metode teoretice şi experimentale pentru determinarea stării de tensiune şi deformaţie, Timişoara, Lito U.T.T., 1994.

- Bibliografie 210

51 Ugural, A. C., Fenster, S. K.,

Advanced Strength and Applied Elasticity, Elsevier 1987.

52 Uhov, S. B., Rascet soorujenii i osnovanii metodom konecinih elementov M, Misi, 1973.

53 Voinea, P. R., Voiculescu, C. V., Simion, Fl. P.,

Introducere în mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Bucureşti, Ed. Academiei, 1989.

54 Wait, R., Mitchell, A. R.,

Finite Element Analysis and Applications, John, Wiley, NY 1985.

55 Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L.,

La méthode des eléments finis, AFNOR - Paris, 1991.

Documents

Elemente Finite Fundamente