Fأ­sica I – I_2014_C18.pdfآ  Ondas estacionarias Cuando las ondas estأ،n confinadas en el espacio,

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  • FÍSICA I – 2014

    CLASE 18

  • Ondas sonoras Están constituidas por ondas longitudinales de compresión y expansión en un medio gaseoso, líquido o sólido.

    Las funciones de onda pueden ser descriptas bien por el desplazamiento longitudinal: s(x±vt); o por ondas de presión p(x±vt)

    http://web.educastur.princast.es/

  • Ondas sonoras Un fluido de densidad d, que se comprime por la acción de un pistón. Sufre una variación de presión DP en un intervalo de tiempo Dt:

    Es la velocidad de propagación del sonido.

    En un gas:

    vDt uDt

    v

    u

    A

    ¿Cómo se genera el pulso?

    B V

    V PvuP

    tuAvtPA

    pI

    tuAvVumup

    tPAtFI

    D DD

    DDD

    D

    DDDD

    DDD

    ;d

    d

    dd d d

    d

    B vvuB

    v

    u

    B tAv

    tAu vuB

    V

    V

    

    D

    D 

    D 

    2

    M

    RT v

     

  • Ondas sonoras armónicas

    00

    0

    0

    )2/(

    )(

    vsp

    tkxsenss

    tkxsenpp

    d

    

    

    

    Si la excitación es tal que las partículas del aire se mueven son M.A.S.:

    Las ondas de presión y de desplazamiento están desfasadas en /2.

  • Ondas en tres dimensiones

    La intensidad es la potencia transmitida por unidad de área:

    Frente de onda

      2

    24

    m

    watts I

    R

    P

    A

    P I

     

    R

    La intensidad disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia a la fuente.

  • La superposición de ondas armónicas se denomina interferencia. La interferencia dependerá de la diferencia de fases entre las ondas.

    Superposición e interferencia de ondas armónicas

    Constructiva destructiva

    )()(),(),(

    )(),(

    )(),(

    21

    2

    1

    

    

    

    

    

    tkxAsentkxAsentxytxy

    tkxAsentxy

    tkxAsentxy

    0),(),(

    )(2),(),(;0

    21

    21

    

    

    txytxySi

    tkxAsentxytxySi

    

     Interferencia Constructiva

    Interferencia Destructiva

    )2/(2/cos2),(),(

    )(2/1)(2/1cos2

    ;

    21

    212121

    21

    

    

    

    

    

    

    tkxsenAtxytxy

    sensensen

    tkxtkx

    Para una diferencia de fase  cualquiera:

  • Ondas estacionarias Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como las cuerdas en un instrumento musical, se producen reflexiones en los extremos que dan lugar a fenómenos de interferencia.

    Existen ciertas frecuencias para las cuales la superposición da un esquema vibratorio estacionario, denominado onda estacionaria.

    Modo fundamental y armónicos

  • Ondas estacionarias Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio.

    )()(),(),(),(

    )(),(

    )(),(

    21

    2

    1

    tkxAsentkxAsentxytxytxy

    tkxAsentxy

    tkxAsentxy

    

    

    

    

    )()cos(2),(

    )(2/1)(2/1cos2

    ;

    212121

    21

    kxsentAtxy

    sensensen

    tkxtkx

    

    

    

    

    Renombrando variables y usando la identidad trigonométrica:

    Ecuación de onda estacionaria. Las variables x y t están separadas.

  •  No es una onda viajera, ya que no tiene el término (kx± t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular  y con una amplitud 2A sen(kx).

     La amplitud puede alcanzar distintos valores según la posición, x, del punto. Algunos puntos tendrán amplitud cero y no vibrarán nunca (puntos estacionarios): son los llamados nodos. Estos puntos tienen una amplitud mínima, 2A sen(kx)=0, por lo que kx=n siendo n =1, 2, 3, .... (k=2/l), o bien, x = l/2, l, 3 l/2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l/2.

     Los puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud igual a "2A" sólo pueden hacerlo cada cierto tiempo, cuando cos( t) sea igual a 1.

    Ondas estacionarias

    )()cos(2),( kxsentAtxy 

  • Ondas estacionarias Cuerda fija en ambos extremos:

    )()cos(2),( kxsentAtxy 

    Se deben cumplir las condiciones de contorno:

    ..3,2,1; 2

    22

    00)()cos(2),(

    0)0()cos(2),0(

    0),(0),0(

    

    

    

    

    

    n L

    nv f

    n LnLnLk

    senkLkLsentAtLy

    ksentAty

    tLyty

    n

    n

    n

    n l l

     

    Modo fundamental y armónicos

    Coincide con la condición de la onda de presión en un tubo abierto

  • Ondas estacionarias Cuerda fija en un solo extremo:

    )()cos(2),( kxsentAtxy 

    Se deben cumplir las condiciones de contorno:

    ..3,2,1,0; 4

    )12(

    )12( 4

    2 )12(

    2

    2 )12(

    1)cos(2)()cos(2),(

    0)0()cos(2),0(

    cos2),(0),0(

     

     

    

    

    

    n L

    vn f

    n LnLnLk

    senkLtAkLsentAtLy

    ksentAty

    tAtLyty

    n

    n

    n

    n l 

    l

    

    

    Modo fundamental y armónicos

    Coincide con la condición de la onda de presión en un tubo semi-abierto

  • Superposición de ondas estacionarias

    Em gral. un sistema vibrante no vibra con un solo armónico aislado, sino que lo hace con una superposición de todos. Con amplitudes diferentes. La expresión más general:

    )()cos(2),( xksentAtxy nnnn n

    d 

    Superposición del fundamental y tercer armónico

    Superposición del fundamental, segundo y tercer armónico

    Amplitudes, constantes Condiciones iniciales

  • Desde el punto de vista de la percepción del sonido por el ser humano los sonidos se caracterizan por su intensidad, tono y timbre.

    Intensidad La intensidad o el volumen es la cualidad que nos permite clasificar los sonidos en fuertes o débiles y esta relacionada directamente con la magnitud física Intensidad de la onda que es la cantidad de energía que transporta la onda por unidad de superficie y unidad de tiempo.

    Tono El tono es una cualidad del sonido que nos permite clasificar los sonidos en altos y graves y está relacionada principalmente con la frecuencia fundamental. Los sonidos graves son los de frecuencia baja y los sonidos altos son los de gran frecuencia.

    Timbre El timbre nos permite distinguir dos sonidos de la misma intensidad y la misma frecuencia. Por ejemplo nos permite distinguir el sonido de una trompeta y un violín aunque emitan la misma nota con la misma intensidad. Depende del número de armónicos y sus amplitudes.

    Características del sonido

    T

    LL

    v f

    2

    1

    2 0 

    Mayor T, mayor f0

    Longitud de la cuerda: violín, viola, violoncello, piano

    Rodear cuerdas con alambre

  • Efecto Doppler Cuando un foco sonoro, un observador o ambos están en movimiento respecto del aire, la frecuencia del sonido recibido por el observador es diferente al caso en que ambos se encuentren en reposo. Efecto Doppler

    Sea un foco que emite ondas sonoras con f0, consideremos un sistema de referencia fijo al que se refieren todas las velocidades.

    vm

    vR

    00

    0

    )(

    )(

    )(

    f

    vvV

    tf

    tvtvV

    tvtvV

    tfN

    tvV

    smsm

    sm

    m

     

     

    

    ll

    Distancia que avanza la onda en t.

    Número emitido de ondas en t

    Distancia entre dos frentes de onda.

    La velocidad de las ondas según el receptor

    Para la fuente emisora:

    Para el receptor:

    ´ ´

    f vvV

    vvV f

    v f

    vvV

    sm

    Rm

    Rm

    

     

    

    l La frecuencia percibida por el receptor

  • Sensación sonora y nivel de intensidad

    db

    db I

    I

    mwattsI

    I

    I

    12010log10 10

    1 log10

    0log10

    /10

    log10

    12

    12

    0

    0

    212

    0

    0

    

    

      2

    2

    0

    2 2

    1

    4

    m

    watts I

    v

    p

    R

    P

    A