МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТНТ

ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

Часть 2

Учебное пособие

РПК «Политехник» Волгоград 2003

УДК 53(075.5)

Рецензенты: кафедра общей физики Волгоградского государственного педагогического университета; докт. физ-мат. наук, проф О.В. Бецкий.

Физический практикум. Часть 2: Учебное пособие /Под ред. А.Г. Шеина; ВолгГТУ. Волгоград, 2003. - 193 с.

ISBN

Учебное пособие содержит описания лабораторных работ, выполняемых по второй части общего курса физики в соответствии с программой физики для технических университетов (электричество и магнетизм, колебания и волны, оптика).

В каждом разделе кратко излагаются теоретические сведения, необхо-димые для выполнения относящихся к этому разделу лабораторных работ.

Предназначено для студентов второго курса технических специально-стей университетов.

Ил. 81. Табл. 56. Библиогр.: 15 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

ISBN © Волгоградский

государственный технический университет, 2003

2

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ………………………………………………………………...… 1. Электростатика. Постоянный ток ……………………………………. Электрический заряд. Электрическое поле ………………………………… Постоянный ток ………………………………………………………………. 1.1. Лабораторная работа №201 (303) Изучение распределения электрического поля …………………………………………………………. 1.2. Лабораторная работа №202 (306) Изучение законов постоянного тока …………………………………………………………………………….. 1.3. Лабораторная работа №203 (307) Определение мощности источни-ка тока………………………………………………………………………… 2. Электрическое поле в средах …………………………………………… Проводники в электрическом поле ………………………………………….. Электрическое поле в проводниках …………………………………………. Диэлектрики в электрическом поле. Сегнетоэлектрики …………………... 2.1. Лабораторная работа №204 (304) Определение электрической емкости конденсатора ………………………………………………………… 2.2. Лабораторная работа №205 (315) Определение удельного сопротивления проводника …………………………………………………… 2.3. Лабораторная работа №206 (305) Исследование температурной зависимости свойств сегнетоэлектриков ……………………………………. 3. Магнитное поле ………………………………………………………… Магнитное поле ………………………………………………………………. Вещество в магнитном поле ……………………………………………….. Электромагнитная индукция ………………………………………………… 3.1. Лабораторная работа №207 (309). Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли ……………………………………… 3.2. Лабораторная работа №208 (312). Изучение некоторых свойств ферромагнетиков ……………………………………………………………... 3.3. Лабораторная работа №209 (310) Определение баллистической постоянной гальванометра …………………………………………………… 3.4. Лабораторная работа №210 (317) Исследование работы трансформатора ………………………………………………………………. 4. Движение электронов в статических электрическом и магнитном полях ………………………………………………………… Движение заряженной частицы в однородном статическом электрическом поле …………………………………………………………... Движение электронов в постоянном магнитном поле ……………………... 4.1. Лабораторная работа №211 (311) Определение удельного заряда электрона с помощью вакуумного диода ……………………………………

5

77

12

17

22

29

34343841

46

52

54

60606468

70

76

81

86

97

98103

106

3

4.2. Лабораторная работа №212 (427). Определение удельного заряда электрона с помощью электронно – лучевой трубки ……………………… 5. Электрические колебания ………………………………………………..Колебания. Общие сведения …………………………………………………. Свободные электрические колебания ……………………………………….. Вынужденные колебания в электрическом контуре ……………………….. Сложение гармонических колебаний ………………………………….. 5.1. Лабораторная работа №213 (409) Свободные и затухающие электрическое колебания …………………………………………………….. 5.2. Лабораторная работа №214 (410). Вынужденные колебания в электрическом колебательном контуре …………………………………….. 5.3. Лабораторная работа №215 (402). Сложение гармонических колеба-ний……………………………………………………………………………… 6. Электромагнитные волны ……………………………………………. Плоская электромагнитная волна …………………………………………… Дифракция электромагнитных волн ………………………………………… 6.1. Лабораторная работа №216 (411). Определение скорости распространения электромагнитных волн ………………………………….. 6.1. Лабораторная работа №217 (421). Изучение дифракции Фраунгофера…………………………………………………………………..

7.Взаимодействие электромагнитных волн светового диапазона с веществом ………………………………………………………………… Дисперсия света ………………………………………………………………. Поляризация света …………………………………………………………… Поглощение света веществом ……………………………………………….. 7.1. Лабораторная работа №218 (417) Определение концентрации саха-ра в растворе по углу вращения плоскости поляризации ………………….. 7.2. Лабораторная работа №219 (419). Изучение поглощения света в окрашенных стеклах ……………………………………………………….. 7.3. Лабораторная работа №220 (420). Изучение поглощения света с помощью фотоэлектроколориметра ………………………………………..

110 116116117122127

133

137

143

148148152

157

161

165165166169

173

180

186

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие является последним изданием из серии трех книг, охватывающих лабораторный практикум по всему курсу общей физи-ки, преподаваемому в ВолгГТУ для всех технических специальностей. В нем объединены методические указания к 20 лабораторным работам по 2-ой части курса общей физики: «Электричество и магнетизм, колебания и волны, оптика», которые изучаются в третьем семестре. Хотя большинство методи-ческих указаний ранее неоднократно и издавались в виде отдельных брошюр, но имели разнородную нумерацию, неудобную для работы, а теоретические вопросы часто повторялись в различных материалах.

Пособие состоит из семи разделов, объединяющих работы по тематиче-ским признакам. Каждый раздел предваряется кратким изложением мини-мального теоретического материала, необходимого для выполнения только работ данного раздела, и не охватывающих, естественно, обширного мате-риала по смежным вопросам, которые достаточно подробно и полно изложе-ны в многочисленных учебниках и учебных пособиях. В пределах общей (теоретической) части каждого раздела применена сквозная нумерация фор-мул для данного раздела, однако нумерация формул и рисунков для кон-кретных лабораторных работ относится только к этим работам. Это сделано для удобства ознакомления с требованиями к отдельным работам. В отличии от предыдущих частей, в данном пособии введена нумерация, первая цифра которой (2) отражает номер раздела изучаемой дисциплины, а последующие номера – порядковый номер лабораторной работы.

Учитывая, что во введении к части 1 данной серии достаточно подробно излагаются правила оформления лабораторных работ, которых традиционно придерживается кафедра физики ВолгГТУ, а также необходимые сведения по математической обработке экспериментальных результатов, в данных мето-дических указаниях эти вопросы не излагаются.

Методические указания, вошедшие в данное пособие, переработаны и подготовлены к изданию сотрудниками кафедры физики ВолгГТУ. В приве-денной ниже таблице указаны авторы методических указаний, а также ста-рые номера лабораторных работ. Наименования некоторых работ изменены без ущерба для их содержания.

Номер работы

Авторы новых методических указаний

Номер работы

Авторы новых методиче-ских указаний

201 (303) Поляков И. В. 211 (316) Шеин А. Г. 202 (306) Грецов М. В. 212 (311) Герасименко В. А. 203 (307) Грецов М. В. 213 (409) Шеин А. Г. 204 (304) Поляков И. В. 214 (410) Шеин А. Г. 205 (315) Гусева Л. М. , Лепехин Г. И. 215 (402) Безбородов А. М. 206 (305) Гудилов С. М 216 (411) Шеин А. Г 207 (309) Евдокимов Р. А. 217 (421) Медников С. В. 208 (312) Луговской А. А. 218 (417) Гудилов С. М. 209 (310) Ермолаев А. В. 219 (419) Андреева И. В., Гусева Л. М.210 (317) Шалыгин В. В., Лепехин Г. И. 220 (420) Подопригора А. Г.

5

Как уже отмечалось ранее, тексты многих работ неоднократно, в течение

более чем 30 лет, изменялись при переизданиях, поэтому восстановить всех лиц, принимавших участие в их создании, сейчас не представляется возмож-ным.

Авторы Физического практикума выражают искреннюю признатель-ность всем, кто когда-либо принимал участие в создании и модернизации вошедших в него методических указаний. Редактор данного пособия выражает глубокую признательность Н. В. Кривонос, оказавшей большую помощь в подготовке данного издания к публикации.

А. Г. Шеин

6

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Электрический заряд. Электрическое поле В настоящее время ни для кого не является секретом, что все тела при-

роды состоят из мельчайших частиц, которые принято называть элементар-ными. Несмотря на то, что они называются элементарными, они обладают целым рядом свойств (или характеристик) и по-разному взаимодействуют с окружающим миром. В качестве одного из видов взаимодействия различают электромагнитное взаимодействие. Оно связано с наличием у элементарных частиц определенного свойства – электрического заряда. Всю совокупность электромагнитных явлений можно объяснить как проявление существования, движения и взаимодействия электрических зарядов. Элементарные частицы могут не иметь электрического заряда (тогда они не участвуют в электромаг-нитных взаимодействиях*), а могут иметь или отрицательный, или положи-тельный электрический заряд. Одноименно заряженные частицы отталкива-ются, разноименно заряженные частицы притягиваются.

Наличие у элементарных частиц электрического заряда, по современ-ным воззрениям, означает также, что во всем пространстве, окружающем данную частицу, существует электромагнитное поле, связанное с этим заря-дом, посредством которого данный заряд может взаимодействовать с други-ми зарядами. Любые изменения данного поля, связанные, например, с изме-нением положения данного заряда, распространяются в пространстве с ко-нечной скоростью.

Таким образом, электрический заряд является одновременно и свойст-вом элементарной частицы, определяющим ее участие в электромагнитных взаимодействиях, и источником электромагнитного поля, связанного с дан-ным зарядом, посредством которого осуществляется взаимодействие с дру-гими зарядами. Единицей заряда в системе единиц СИ является кулон [Кл].

Можно выделить следующие свойства электрического заряда: 1) невозможно существование заряда меньше определенного количества

(по величине равного заряду электрона); в силу этого от тела к телу заряд может передаваться только порциями, кратными заряду электрона: это свой-ство выражает дискретность заряда;

2) в любой электрически замкнутой системе алгебраическая сумма заря-дов не изменяется, это утверждение выражает закон сохранения заряда;

3) его величина не зависит от скорости движения заряда, это свойство выражает релятивистскую инвариантность заряда.

Электромагнитное поле – особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между электрически заряженными частица-ми. __________________________________________________________________ * На самом деле электрическая нейтральность не означает, что у тела отсутствуют электромагнитные свойства. В скрытой форме они всегда имеются. В частности, по своим электромагнитным свойствам нейтрон подобен маленькому магниту.

7

Чтобы лучше разобраться, что собой представляют электрический заряд и электромагнитное поле, необходимо изучить свойства электромагнитного поля и его основные отличия от других видов полей. Частным проявлением электромагнитного поля является электрическое поле, которое действует на заряды силами, не зависящими от скорости движения заряда. Электрическое поле создается как движущими, так и неподвижными зарядами, причем оно не зависит от скорости движения, создающего это поле заряда. Точечным за-рядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями от этого тела до других тел, несущих электри-ческий заряд.

По закону Кулона сила взаимодействия 12F двух неподвижных точеч-ных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов q1 и q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними r12. Она направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, и является силой притяжения, если знаки

Рис. 1.1. Направление действия силы взаимодействия двух зарядов

зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы (рис.1.1).

Закон Кулона записывается зом одинакового знака

следующим обра1 2q q

12 212

F K nr⋅

= ⋅ ⋅ , (1.1)

где 12

12

rnr

= – единичный вектор. Совпадающий по направлению с вектором

; К – коэффициент пропорциональности (коэффициент Кулона), в системе

ед

r

иниц СИ имеющий значение 0

1k4πεε 0

вакуума (ε0 =

= , ε – электрическая постоянная

91 10 Ф/м36π

−⋅ = 8,85·10-12 Ф/м) (Ф – фарад, единица емкости),

диэлектри оницаемоя является напря-

жен

ε – относительная ческая пр сть среды. Количественной характеристикой электрического полность электрического поля. Если в какую-либо точку электростатиче-

ского поля внести электрический заряд, то на него со стороны поля будет действовать сила F . Однако всякий заряд, внесенный в исследуемое поле, изменяет его. Для го чтобы эти изменения были минимальны, пользуются так называемым пробным точечным зарядом: это положительный заряд, ко-торый так мал, что своим действием не может изменить исследуемое поле.

Если в одну и ту же точку электрического поля помещать разные по в

то

е-личине пробные заряды, то сила, действующая на эти заряды, будет различ-ной. Однако отношение силы, действующей на пробный заряд, к величине

8

9

этого заряда q для данной точки поля есть величина постоянная и не зависит от величины пробного заряда. Эта величина получила название напряженно-сти электрического поля

FEq

= . (1.2)

Напряженность электрического поля – величина векторная. По направ-лени

ечным зарядом q, то напря-женн

ю вектор напряженности совпадает с направлением силы, действующей на пробный положительный заряд, помещенный в данную точку. Таким об-разом, напряженность является силовой характеристикой поля. За единицу напряженности электростатического поля в системе СИ принята напряжен-ность однородного электрического поля, при которой между точками, нахо-дящимися на расстоянии 1 м вдоль линии напряженности поля, создается разность потенциалов 1 вольт. Единица напряженности электрического поля называется «вольт на метр» и обозначается В/м.

Если электрическое поле создано одним точость поля получается непосредственно из закона Кулона

304

qE r=rπεε

. (1.3)

Здесь – радиус-вектор, проведенный из точки, в которой находится заря

Рис. 1.2. Направление точечных зарядов

Е яжен-ност

полей» (рис. 1.2): i

rд q, в точку, в которой мы определяем напряженность. Принято, что ес-

ли поле создается положительным зарядом, то вектор напряженности поля направлен от заряда, а в случае отрицательного заряда – направлен к заряду.

вектора напряженности поля двух

сли поле образуется несколькими точечными зарядами, то напрь результирующего поля в некоторой точке выражается геометрической

суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами. Это по-ложение носит название «принцип суперпозиции (наложения) электрических

n1 2 3

1n iE E E E E E

== + + + + = ∑… .

Электрическое поле удобно изображать графически с помощью силовых

линий напряженности. Силовой линией называется линия, проведенная в электрическом поле так, что касательная в любой ее точке совпадает по на -

правлению с вектором напряженности в этой точке (рис. 1.3) [1–5].

Рис. 1.3. Представление силовой линии электрического поля

Силовые линии электрического поля незамкнуты. Они имеют начало на по-ложительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах. На рис. 1.4 приведено графическое изображение полей, образованных одиночными заря-дами и системой двух зарядов. Так как напряженность поля является одно-значной функцией для каждой точки поля, то силовые линии не пересекают-ся, через любую точку поля может быть проведена только одна силовая ли-ния.

Рис. 1.4. Графическое представление силовых линий электрического поля

С помощью силовых линий можно отобразить графически величину на-пряженности. Для этого силовые линии проводят так, чтобы число линий, пронизывающих единичную площадку поверхности, расположенную к ним перпендикулярно, было пропорционально величине напряженности поля в данном месте. Тогда по густоте линий напряженности можно судить о вели-чине напряженности поля.

На про яд q, находящийся в электростатическом поле бный зар E , дейст-вует сила . При перемещении заряда q в поле эта сила будет совершать работу. Определим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда q

F qE=

0 при перемещении в этом поле пробного заряда q из не-которой точки 1 в точку 2. Неподвижный точечный заряд q0 создает в среде

электростатическое поле, для каждой точки которой 03

0

14

qE rrπε

= ⋅ ⋅ .

Работа, совершаемая силами поля при таком перемещении, выражается криволинейным интегралом [1]

10

2 2

1 1

012 3

04

r r

r r

qq rdrA qEdrrπε

= =∫ ∫ . (1.4)

Поскольку r dr drr

= , получаем

2

1

0 012 2

0 0 1

1 1 .4 4

r

r

qq dr qqAr rrπε πε

⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ −⎜

⎝ ⎠∫

2⎟ (1.5)

Из выражения (1.5) видно, что работа перемещения заряда q в поле, соз-даваемом точечным зарядом q0, не зависит от формы пути, а является функ-цией изменения положения заряда q относительно q0. Силовое поле, обла-дающее таким свойством, называется потенциальным полем.

Для потенциальных полей можно ввести понятие потенциала или, точ-нее, разности потенциалов. Разностью потенциалов φ1 – φ2 между точками 1 и 2 называется величина, численно равная работе, совершаемой силами поля при перемещении положительного единичного точечного заряда по произ-вольному пути из точки 1 в точку 2

A12 = q(φ1 – φ2). (1.6) В системе единиц СИ за единицу разности потенциалов принимается

вольт [В]. Вольт есть разность потенциалов между такими точками, когда при перемещении одного кулона электричества из одной точки в другую электрическое поле совершает работу в один джоуль.

Если электрическое поле создается системой зарядов, то потенциал ре-зультирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов полей, созда-ваемых каждым из зарядов в отдельности. Потенциал электрического поля представляет собой функцию, непрерывно меняющуюся от точки к точке. Однако во всяком поле можно выделить совокупность точек, потенциалы ко-торых одинаковы. Геометрическое место точек одинакового потенциала (во-ображаемые поверхности равного потенциала) называют эквипотенциальны-ми поверхностями. Пользуясь эквипотенциальными поверхностями, можно любое электрическое поле изобразить графически подобно тому, как это де-лается с помощью силовых линий.

Так как все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, то работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной линии равна нулю. Это значит, что электрические силы, действующие на заряд, все-гда направлены по нормали к поверхностям равного потенциала. Отсюда следует, что силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Работа, совершаемая при перемещении единичного пробного заряда, равна разности потенциалов между начальной и конечной точками переме-щения, как это следует из (1.6). Если же заряд перемещается в бесконеч-ность, то соотношение (1.6) определяет потенциал начальной точки, по-скольку потенциал поля на бесконечности принимается равным нулю.

11

Найдем связь потенциала с напряженностью электрического поля. Пусть 1 и 2 – бесконечно близкие точки, расположенные на оси Ox, так что x1 – x2 = dx. Работа при перемещении единицы заряда из точки 1 в точку 2, согласно (1), будет – Ex dx. Та же работа, согласно (1.6) равна φ1 – φ2 = – dφ. Приравни-вая оба выражения и аналогично рассуждая для осей Oy и Oz, получим

xdEdxϕ

= − ; dEy dy

ϕ= − ; z

dE

dzϕ

= − .

Эти соотношения можно объединить в одну векторную формулу

d d dE i jdx dy dxϕ ϕ ϕ⎛ ⎞

= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

k . (1.7)

Вектор, стоящий в скобках, называется градиентом скаляра φ и обозна-чается grad φ или ∇φ, т. е.

E gradϕ= − . (1.8) Градиент функции φ (x, y, z) есть вектор, направленный в сторону мак-

симального возрастания этой функции φ в том же направлении. Знак «минус» показывает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сто-рону убывания потенциала. Формула (1.8) позволяет по известным значени-ям потенциала φ найти напряженность поля в каждой точке пространства, а также решить обратную задачу.

Постоянный ток В природе существуют материалы, внутри которых находится много

свободных носителей заряда – электронов или ионов. Такие материалы назы-ваются проводящими. Если каким либо образом создать внутри таких ма-териалов условия, при которых появляется напряженность электрического поля, то электроны, имеющие отрицательный заряд, начинают свое движение в направлении, противоположном направлению вектора напряженности, а положительно заряженные ионы – по направлению вектора напряженности электрического поля.

Упорядоченное движение электрических зарядов называется электриче-ским током. За направление тока принимается направление движения поло-жительных зарядов.

Электрический ток, возникающий в проводящих средах в результате упорядоченного движения свободных зарядов под действием электрического поля, называется током проводимости. Например, ток проводимости в ме-таллах связан с упорядоченным движением электронов проводимости.

Если за малый промежуток времени dt через поперечное сечение про-водника переносится заряд dq, то скалярная физическая величина, равная отношению

dqIdt

= , (1.9)

называется силой тока.

12

13

Для постоянного тока сила тока и направление тока не изменяются со временем, и в этом случае

qIt

= , (1.10)

где q – заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность за конечный промежуток времени t.

В проводнике, по которому течет постоянный электрический ток, суще-ствует электрическое поле, называемое с т ационарным . Как и электроста-тическое поле, оно является потенциальным. Но в отличие от электростати-ческого поля напряженность стационарного поля внутри проводника отлична от нуля, что и обеспечивает направленное движение свободных электриче-ских зарядов. Пространственное распределение зарядов в стационарном по-ле, как и в электростатическом, со временем не изменяется, но сами заряды непрерывно сменяются: одни уходят из данной области проводника, другие туда приходят.

Для получения и поддержания постоянного тока на заряды в электриче-ской цепи помимо кулоновских сил, вызывающих соединение разноименных зарядов, выравнивающих потенциалы и приводящих к исчезновению элек-трического поля в проводнике, должны действовать силы, разделяющие раз-ноименные заряды и поддерживающие разность потенциалов на концах про-водника. Такие неэлектростатические по природе силы называются с то -ронними . Сторонние силы действуют на заряды внутри источника тока (гальванического элемента, аккумулятора, электрического генератора).

Источник тока (источник электрической энергии) в замкнутой цепи иг-рает роль насоса, создающего постоянную циркуляцию жидкости в замкну-той гидравлической системе. Под действием сторонних сил носители тока движутся внутри источника тока против сил электростатического поля так, что на концах внешней цепи поддерживается постоянная разность потенциа-лов и в цепи существует постоянный ток.

При перемещении заряда по неоднородному участку цепи 1 – 2 (рис. 1.5) работу совершают с т оронние силы [1, 2, 3] и силы стационарного элек-трического поля.

Рис. 1.5. Схема неоднородного участка цепи

Работа по перемещению по данному участку единичного положительно-го заряда (удельная работа) сторонними силами равна э л е к тродвижущей сил е (ЭДС), действующей в данном участке; а удельная работа, совершае-мая силами стационарного поля, равна разности потенциалов 1 2ϕ ϕ− . Зако-ном Ома для неоднородного участка цепи устанавливается, что сумма разно-сти потенциалов и ЭДС равна напряжению на данном участке [3] 12U

12 12 1 2U IR ϕ ϕ ε= = − + , где R1,2 – полное сопротивление участка, а I – сила тока в участке. Пользуясь этим законом, можно, например, определить силу тока в участке по извест-ным сопротивлениям участка, ЭДС и разности потенциалов.

Электрическая цепь состоит, как правило, из источника тока, подводя-щих проводов и потребителя электроэнергии (нагрузки) (рис.1.6). Каждый из этих элементов цепи обладает сопротивлением.

Рис. 1.6. Схема типичной электрической цепи

Согласно закону Ома сила тока в замкнутой цепи (рис. 1.6) равна

Ir Rε

=+

, (1.11)

где E – ЭДС источника тока; r0 – внутреннее сопротивление источника то-ка; R – сопротивление внешнего участка цепи.

Сила тока достигает наибольшего значения тогда, когда внешнее сопро-тивление равно нулю (источник замкнут накоротко). Возникающий при этом ток называется т оком коро тко г о з амыкания . Сила тока его равна

. .к зIr

= E . (1.12)

При увеличении внешнего сопротивления (при постоянном внутреннем) сила тока в цепи уменьшается (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Кривая зависимости величины постоянного тока

от сопротивления цепи

При внешнем сопротивлении равном бесконечности (цепь разомкнута), значение силы тока в цепи равно нулю.

Перемещая заряд q, сторонние силы совершают работу A q= E . Работой сторонних сил в единицу времени ( )tqε определяется полная мощность ис-точника тока E; она равна

2

P Ir R

= =+EE . (1.13)

14

Из этой мощности во внешней цепи будет выделяться мощность Pa, на-зываемая пол е зной мощнос т ью на а к тивной на г ру з к е и равная

( )

22

2aRP I R

r R= =

+

E . (1.14)

Когда источник работает на внешнюю цепь, то ток существует также и внутри источника и некоторая мощность P0 выделяется внутри источника, нагревая его. Эта мощность имеет значение

( )

22

0 2rP I r

r R= =

+

E . (1.15)

Из уравнения (1.13) следует, что полная мощность источника тока дос-тигает наибольшего значения при внешнем сопротивлении R = 0 (короткое замыкание)

2

max rP =

E , (1.16)

но в этом случае вся мощность выделяется в самом источнике и оказывается совершенно бесполезной. С ростом R полная мощность убывает, стремясь асимптотически к нулю при неограниченном увеличении R.

Проанализируем зависимость от сопротивления R мощности Pa, выде-ляемой во внешней цепи. При коротком замыкании (R = 0) мощность, выде-ляемая во внешней цепи, равна нулю. Значение R, соответствующее макси-мальной мощности во внешней цепи при данном источнике тока, можно по-лучить, дифференцируя выражение (1.14) по R и приравнивая первую произ-водную к нулю (условие экстремума функции)

( )( )

2 22

4 0ar RdP

dR r R

−= =

+E , (1.17)

откуда, учитывая, что r и R всегда положительны, получаем R = r. Следова-тельно, мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего зна-чения при сопротивлении внешней цепи, равном внутреннему сопротивле-нию источника. Подставив R = r в выражение (1.14), для наибольшего значе-ния мощности, выделяемой во внешней цепи, получим

2

max 4aPr

=E . (1.18)

При практическом использовании источника тока важна не только мощ-ность, но и его коэффициент полезного действия (КПД).

Коэффициен т пол е зно г о д ей с т ви я источника тока равен отно-шению мощности Pa, выделяемой во внешней цепи (на нагрузке), к полной мощности P источника

aP RP R r

η = =+

. (1.19)

15

При R = 0 имеем η = 0. С увеличением сопротивления внешней цепи КПД возрастает, стремясь к значению η = 1 при неограниченном увеличении R, но при этом выделяющаяся во внешней цепи мощность стремится к нулю, поэтому с практической точки зрения это максимальное значение КПД не интересно. При максимальной полезной мощности, когда R = r, КПД источ-ника, в соответствии с (1.19), равен 0,5.

На рис. 1.8 представлены зависимости мощности во внешней цепи Pa (кривая 1), полной мощности P (кривая 2) и КПД источника (кривая 3) от со-противления внешней цепи. Видно, что условия получения наибольшей по-лезной мощности Pa и наибольшего КПД несовместимы.

Рис. 1.8. Кривые зависимости мощности а активной нагрузке, полной мощности и кпд от

величины сопротивления нагрузки

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов. В 3-х т.– Т. 2.– М.: Наука, 1982.

2. Детлаф А. А., Яворский Б.М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1989.

3. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк.,1990.

4. Калашников С. Г. Электричество: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1970.

5. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов. – Т.2. – М.: Наука, 1974.

16

1.1. Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 201

ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

1.1.1. Цель работы Моделирование и экспериментальное исследование распределения элек-

тростатического поля между двумя заряженными проводниками и его графи-ческое представление.

1.1.2. Содержание работы Исследование электростатического поля представляет ряд эксперимен-

тальных трудностей. Внесение заряда в исследуемое поле вызывает перерас-пределение зарядов, создающих это поле, и, следовательно, искажает это по-ле. Поэтому часто для изучения свойств электрического поля используют различные способы, в частности, метод электролитической ванны.

Метод электролитической ванны основан на аналогии между распреде-лением электрического поля в вакууме и полем токов в однородной прово-дящей жидкости. Напряженность электрического поля и потенциал связаны соотношением (1.8) E gradU= − . Поскольку из уравнений Максвелла при отсутствии зарядов следует, что 0divE = , используя (1.8) и учитывая, что

, получаем уравнение, называемое уравнением Лапласа divgradU U= −∆ 0U∆ = . (1.1.1)

Оператор Лапласа в декартовой системе координат записывается в виде 2 2

2 2

2

2x y z∂ ∂ ∂

∆ = + +∂ ∂ ∂

.

Плотность тока в каждой точке однородного изотропного проводящего материала связана с напряженностью поля соотношением, выражающим за-кон Ома в его дифференциальной форме [1 – 3] j Eσ= , где σ – удельное сопротивление проводника. Следовательно, j E gradUσ σ= = − и, если в жидкости в межэлектродном пространстве, где протекают токи, нет источни-ков или стока тока, то, очевидно, 0divj = , или 0divgradU Uσ σ= ∆ = . (1.1.2)

Иными словами, поле токов в электролите описывается тем же уравне-нием (уравнение Лапласа), с теми же граничными условиями, что и электрическое поле в вакууме. Отсюда следует, что траектории движения носителей заряда в проводящей среде (линии тока) совпадают с силовыми линиями стационарного электрического поля, поддерживающего этот ток.

0U∆ =

Электрическое поле стационарного тока (постоянного во времени) в слабопроводящей среде является потенциальным. Все это позволяет исполь-зовать стационарный ток в листе электропроводной бумаги или в слабо-прoводящем растворе электролита в качестве моделей электрических полей. При его моделировании силовым линиям электростатического поля будут

17

соответствовать линии тока, а поверхностям равного потенциала – поверхно-сти равного потенциала [4]. Стационарные заряды, возникающие на поверх-ности электродов, соответствуют зарядам, создающим электростатическое поле. Их величину можно регулировать изменением силы тока.

1.1.3. Описание лабораторной установки Схема установки для исследования электростатического поля представ-

лена на рис. 1.1.1. Электроды A и B, электрическое поле которых исследует-ся, установлены в ванне CDNM с раствором электролита малой концентра-ции.

Рис. 1.1.1. Схематическое изображение электролитической ванны

На электроды через тумблер S подается напряжение от источника тока E. Для исследования распределения потенциала в стационарных электрических полях используется зонд Z, вводимый внутрь электролитической ванны. Зон-дом служит тонкий металлический стержень, изолированный по всей длине, кроме конца. Потенциометром R1 задается начальный потенциал зонда Z в точке О. При помощи микровольтметра определяется разность потенциалов между исследуемой точкой и точкой, потенциал которой условно принят за нуль (точка О). Подстроечный резистор R2 позволяет менять чувствитель-ность микровольтметра. Под прозрачным дном ванны расположена коорди-натная сетка с осями Ox и Oy.

Для зарисовки картины эквипотенциальных линий применяется панто-граф. При перемещении зонда вдоль ванны карандаш в держателе пантогра-фа тоже перемещается вдоль листа миллиметровой бумаги, лежащей на сто-лике пантографа. Необходимо помнить, что пантограф дает зеркальное изо-бражение точек межэлектродного пространства с масштабом в два раза меньше, чем масштаб координатной сетки, уложенной под прозрачным дном ванны.

18

1.1.4. Методика проведения эксперимента Используемый в работе раствор электролита обладает большим сопро-

тивлением, а на электроды подается малое напряжение. Цепь зонда имеет большое сопротивление. Поэтому введение его в любую точку межэлектрод-ного пространства не изменит заметно картины поля (тем более, что посто-янство потенциалов на электродах A и B поддерживается внешним источни-ком). Потенциал зонда будет равен потенциалу той точки поля, в которой он находился.

Микровольтметр V измеряет разность потенциалов между исследуемой точкой поля и точкой, потенциал которой принимаем за нуль (точка О коор-динатной сетки). Следовательно, его показание будет соответствовать потен-циалу исследуемой точки по отношению к потенциалу точки O.

Исследование поля производится в плоскости, совпадающей с поверхно-стью слабого электролита в ванне. Поэтому точки с одинаковым потенциа-лом будут находиться на линии пересечения эквипотенциальной поверхности с поверхностью электролита. Для получения эквипотенциальной линии не-обходимо перемещать зонд влево и вправо от оси Оy не только в пределах межэлектродного пространства, но и за его пределами, отмечая на миллимет-ровой бумаге на столе пантографа точки равного потенциала. Чтобы полу-чить семейство эквипотенциальных линий с различными потенциалами, не-обходимо проделать такие измерения для точек с различными ординатами.

Силовые линии электрического поля ортогональны эквипотенциальным линиям. Значение напряженности в заданной точке поля можно определить по формуле (1.8). Если поле между двумя эквипотенциальными линиями в первом приближении считать однородным, то соотношение (1.8) можно представить в виде

E ϕ∆=∆

, (1.1.3)

где ∆φ – разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными линиями; ∆ℓ – расстояние между двумя соседними эквипотенциальными ли-ниями, отсчитанное вдоль линии напряженности (отрезок силовой линии считайте прямой).

1.1.5. Порядок выполнения работы 1. Поместите на столик пантографа лист миллиметровой бумаги, поставьте зонд в начало координат на дно ванны и при этом сделайте отметку каранда-шом пантографа на листе бумаги. Проведите через эту точку оси координат, перемещая зонд вдоль осей Оx и Oу (поочередно), проверьте, будет ли каран-даш пантографа идти по проведенным осям на бумаге. В случае надобности измените положение листа бумаги. Закрепите лист при помощи защелки. В качестве электродов возьмите две длинные пластины и установите их парал-лельно и симметрично оси x на расстоянии 5 см от оси Оx. Изобразите на миллиметровой бумаге вертикальные проекции электродов. Для этого по-

19

ставьте зонд к концам пластины и отметьте положение зонда на миллиметро-вой бумаге карандашом пантографа. 2. Установите зонд в начало координат. Подайте напряжение на прибор. Тумблер S поставьте в положение «Вкл.», потенциал точки в начале коорди-нат условно принимаем за нуль. Потенциал зонда в этом случае также дол-жен быть равен нулю. Для этого ручкой потенциометра «R» установите стрелку милливольтметра на нуль. 3. Перемещая зонд от сети «Y» влево и вправо до дна края ванны, найдите другие точки с таким же значением потенциала, отмечая эти точки через один-два сантиметра карандашом пантографа на миллиметровой бумаге. Со-единив полученные точки плавной линией, получите эквипотенциальную линию с нулевым потенциалом. На миллиметровой бумаге запишите значе-ние потенциала этой линии. 4. Переместите зонд вдоль оси Oy в точку с другой ординатой (отличной от нуля). Запишите по показанию микровольтметра потенциал этой точки и по-стройте эквипотенциальную линию для этого случая (см. п. 4). Показания прибора справа от нуля считать положительными, слева – отрицательными. 5. Получите 5-7 эквипотенциальных линий (по 2-3 линии с каждой сторо-ны от нулевой эквипотенциальной линии), записывая при этом значение по-тенциала этих линий на миллиметровой бумаге по показанию микровольт-метра с учетом знака потенциала. 6. Выключить прибор тумблером S. 7. Смените одну из пластин на электрод-стержень. 8. Положите на столик пантографа новый лист миллиметровой бумаги и нанесите координатные оси Ox и Oy в соответствии с п. 1 предыдущего за-дания. Изобразите проекции электродов на бумаге. 9. Включите прибор тумблером S. 10. Получите семейство эквипотенциальных линий (5-7 линий), записывая потенциалы этих линий по показанию микровольтметра на линии миллимет-ровой бумаге (см. п. 4, 5, 6 предыдущего задания). 11. Выключите прибор тумблером S.

1.1.6. Обработка результатов измерений 1. Получив семейство линий равного потенциала, постройте семейство си-ловых линий поля карандашом другого цвета и укажите их направление. 2. По указанию преподавателя найдите значение напряженности 4-5 точек поля каждого задания, используя соотношение (1.1.3). Покажите направление вектора напряженности в этих точках. 3. Координаты точек и значение напряженности в этих точках занесите в табл. 1.1.1. Приведите пример расчета напряженности в одной из этих точек поля.

20

Таблица 1.1.1 Результаты расчета напряженности электрического поля

Координаты x, мм y, мм

Напряженность электростатического поля, В/м

1.1.7. Контрольные вопросы

1. Что называется электрическим полем и электрическим зарядом? Опишите их свойства.

2. Дайте определение потенциала и напряженности электрического поля. 3. Как связаны между собой основные характеристики электрического поля? 4. Каким образом можно изобразить электрическое поле на бумаге? 5. Какие преимущества, и какие недостатки имеет предложенное моделиро-

вание электрического поля стационарным током в растворе электролита? 6. Почему распределение электрического поля можно моделировать в элек-

тролитической ванне?

21

1.2. Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 202

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.2.1. Цель работы Знакомство со свойствами стационарного электрического поля, изуче-

ние закона Ома для неоднородного участка цепи и экспериментальная про-верка правил Кирхгофа.

1.2.2 Содержание работы Разветвленные цепи описываются правилами Кирхгофа. Первое правило является отражением стационарности (неизменности во

времени) электрического поля, существующего в проводниках. Если бы за-ряды могли накапливаться в точках цепи, потенциалы этих точек изменялись бы. Но в стационарном поле потенциалы всех точек остаются постоянными ( 1 2 constϕ ϕ− = ), в связи с чем в узлах сумма всех токов должна всегда быть равна нулю. Узлами называются точки, в которых имеется соединение более двух проводников (см. рис. 1.2.1).

Рис. 1.2.1. Схема электрической цепи

Токи, текущие по каждой из ветвей цепи (номера и направления то-ков проставляются произвольно) в узлах подчиняются правилу

10

N

nn

I=

=∑ , (1.2.1)

где N - количество проводников в узле. Для цепи, показанной на рис. 1.2.1, в узле 1 соотношение (1.2.1) принимает вид

1 2 3 0I I I− + = , (1.2.2а) а в узле 2: . Знак перед током с соответствующим индексом (см. рис. 1.2.1) определяется в соответствии со следующим правилом: знак «+» приписывается в том случае, если ток «входит» в узел, а знак «-» – если выходит из узла. Исходя из этого правила следует, что для данной схемы уравнения в узлах 1 и 2 отличаются только знаком и независимым является только одно уравнение из двух. Если в результате численного решения пе-ред значением величины тока с определенным индексом появляется знак

1 2 3 0I I I− + − =

22

минус (а величина тока – скалярная величина, определяемая всегда по абсо-лютному значению), то это просто означает, что выбор направления тока на схеме ошибочен и стрелку следует направить в противоположную сторону.

Второе правило – проявление закона сохранения энергии. Любая часть цепи, будучи заключенной в произвольную замкнутую поверхность, пред-ставляет собой электрически замкнутую систему. В ней происходят преобра-зования энергии: превращение какой-либо энергии в электрическую в источ-никах тока и электрической в другие виды энергии (в первую очередь во внутреннюю) в участках разветвленной цепи. Но эти превращения происхо-дят в равных количествах таким образом, что полная энергия системы оста-ется неизменной. Таким образом, если в предлагаемой цепи выбрать замк-нутый контур, то для него должно соблюдаться второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений на сопротивлениях должна быть равна сумме ЭДС, включенных в данный контур:

n k pp

I R =∑ ∑ E , (1.2.3)

где суммирование в правой части проводится по всем величинам падения на-пряжения, включенным в данный контур, при этом знак отдельных слагае-мых определяется из условия совпадения выбранного направления тока с на-правлением обхода – «+», и минус – если направления не совпадают (проти-воположны), а суммирование в правой части происходит по всем величинам источника ЭДС в данном контуре. Следует придерживаться определенных правил при выборе знака ЭДС. Обычно знак «плюс» приписывается в том случае, когда направление обхода контура совпадает с переходом от отрица-тельной к положительной обкладкам источника (напомним, что за направле-ние тока принимается направление движения положительных зарядов во внешнем контуре цепи, тогда внутри источника ЭДС ток должен течь от от-рицательной к положительной обкладке).

На рис. 1.2.1 показаны два таких контура – по номерами 1 и 2; контур, который можно получить, обходя всю цепь по внешнему контуру представ-ленной на рисунке цепи, здесь не приведен, поскольку он не является незави-симым, а представляет собой суперпозицию контуров 1 и 2. Для этих конту-ров (обход должен проходить по одному и тому же направлению – по или против часовой стрелки) соотношения (1.21) принимают вид:

для контура 1 ; (1.2.2б) 1 1 2 2 1 4 1I R I R I R+ + = Eдля контура 2 . (1.2.2в) 2 2 3 3 2I R I R− − = EСовокупность уравнений (1.2.2а, 1.2.2б и 1.2.2в) представляет собой

полную систему уравнений для данной цепи, позволяющую при заданных величинах Ri, Ik и Em находить токи в каждой ветви данной электрической цепи.

В данной лабораторной работе проводится проверка выполнимости правил Кирхгофа в разветвленной электрической цепи. С этой целью изме-ряются ЭДС и напряжения на всех однородных (не содержащих источников)

23

участках цепи, вычисляются силы токов, оцениваются погрешности измере-ний и делаются выводы о выполнимости правил Кирхгофа.

1.2.3. Описание лабораторной установки Изучаемая разветвленная электрическая цепь собрана из резисторов и двух источников тока по схеме, приведенной на рис. 1.2.2. Резисторы смон-тированы на панели, на лицевой стороне которой имеются клеммы для при-соединения источников тока и гнезда для подключения щупов электроизме-рительного прибора. Измерения напряжения производятся вольтметром с большим входным сопротивлением, так что подключение вольтметра к уча-сткам цепи практически не изменяет распределение токов в цепи.

Рис. 1.2.2. Принципиальная электрическая схема экспериментальной установки

1.2.4. Методика проведения эксперимента

Сопротивления участков цепи R1, R2, …, R7 и внутренние сопротивления источников r1 и r2 заданы. Их значения определены высокоточными электро-измерительными приборами.

Напряжения U1, U2, …, U7 на участках цепи с сопротивлениями R1, R2, …, R7 измеряются вольтметром. Одновременно по отклонению стрелки при-бора и полярности измерительных щупов определяются направления токов в участках.

ЭДС источников E1 и E2 измеряются как напряжения на зажимах, когда к источнику подключен т о л ько вольтметр.

Для пров ер ки выполнимости пер во го пра вил а Кирх гофа по значениям напряжений Ui и соответствующих сопротивлений Ri по закону Ома определяются силы токов Ii в участках. Для исследуемого узла находит-ся алгебраическая сумма сил токов i

iI∑ и сравнивается с максимальной

ошибкой определения силы тока в узле. Измеренные на участках цепи напряжения Ui (а следовательно, и вычис-

ленные силы токов Ii) будут содержать систематическую ошибку, связанную с погрешностью измерительного прибора и определяемую его классом точ-ности. По классу точности вольтметра находятся погрешности измерения на-

24

пряжения ∆Ui. По ним вычисляются погрешности определения сил токов ∆Ii, а затем находится максимальная ошибка определения силы тока в узле.

Для пров ер ки выполнимости в торо го пра вил а Кирх гофа в исследуемом замкнутом неразветвленном контуре выбирается направление обхода. Напряжения Ui на участках контура и падения напряжения на внут-ренних сопротивлениях источников Ii kr (находится как произведение силы

тока Ii в участке с источником на внутреннее сопротивление соответствую-щего источника rk) суммируются с определенными знаками (о выборе знаков слагаемых смотрите, например, [1, 2, 3]).

Отклонение алгебраической суммы ki ii

U I r+∑ от значения ЭДС ,

действующей в контуре, сравнивается с максимальной ошибкой измерений.

kE

В изучаемой разветвленной электрической цепи (рис. 1.2.2) могут быть выделены замкнутые контуры с двумя, одним источником тока или без ис-точников. Для контура с двумя источниками под i krI следует понимать ал-гебраическую сумму произведений соответствующих сил токов на внутрен-ние сопротивления источников и под – алгебраическую сумму дейст-вующих в контуре ЭДС. В контуре с одним источником будет одно алгеб-раическое слагаемое

kE

Ri kI и одна ЭДС . Для контура без источников ука-занные слагаемые в уравнениях второго правила Кирхгофа будут равны ну-лю.

kE

Максимальная ошибка измерений находится как арифметическая сумма всех ошибок измерений I kU r еi i

ik∆ + ∆ + ∆∑ ,

где – сумма ошибок измерения напряжений на всех участках иссле-

дуемого контура;

Uii∆∑

i kI r∆ – произведение ошибки определения силы тока в уча-стке с источником на внутреннее сопротивление этого источника, т. е. ошиб-ка определения падения напряжения на внутреннем сопротивлении источни-ка (в случае контура с двумя источниками арифметическая сумма указанных ошибок для каждого источника); k∆E – ошибка измерения ЭДС в контуре (для контура с двумя источниками сумма таких ошибок).

1.2.5. Порядок выполнения работы 1. Присоедините источники тока к электрической цепи. 2. Подготовьте к работе вольтметр (указания на лабораторном столе). 3. Произведите одиночные измерения напряжений на участках цепи, ис-пользуя наибольший предел вольтметра. Одновременно определите направ-ления токов в участках. Например, Вы измеряете напряжение на участке 1 – 4 и подключили щуп, соединенный с гнездом "+" вольтметра, к гнезду 1 схе-мы, а второй щуп к гнезду 4. Если при этом стрелка прибора отклонилась вправо, то ток направлен от 1 к 4. В противном случае – от 4 к 1 (на цифро-

25

вых приборах в этом случае будет появляться знак «-»). Определенные та-ким образом направления токов в участках укажите стрелками на схеме в протоколе работы. 4. Измерьте напряжения U1, U2, …, U7 на участках цепи с сопротивлениями R1, R2, …, R7. Значения сопротивлений участков (указаны на установке), ре-зультаты измерений напряжений на них запишите в табл. 1.2.1. 5. Измерьте ЭДС E1 и E2, подключив вольтметр к зажимам источников то-ка, отсоединенных от электрической цепи. Значения ЭДС и внутренних со-противлений источников тока (указаны на установке) запишите в табл. 1.2.2. 6. Получите у преподавателя задание, для какого узла и для какого контура надо провести проверку выполнимости правил Кирхгофа.

1.2.6. Обработка результатов измерений

1. Используя закон Ома, рассчитайте силы токов Ii в участках цепи. 2. Вычислите падения напряжения i kI r на внутренних сопротивлениях ис-точников тока в исследуемом контуре. 3. Определите максимальные ошибки iU∆ в измерениях напряжений на

участках по соотношению: ( ) 20,5 4 10 Вi iU U −∆ = + ⋅ . 4. Вычислите максимальные абсолютные ошибки определения сил токов в

участках по формуле ii

i

UIR∆

∆ = , полагая, что ошибками определения со-

противлений участков можно пренебречь, поскольку они измерены высокоточным омметром. 5. Результаты расчетов по п. 1, 3, 4 занесите в табл. 1.2.1, по п. 2 – в табл. 1.2.2. 6. При проверке пер во г о пр авил а Кирхгофа для заданного преподава-телем узла вычислите по данным табл. 1.2.1 и экспериментально найденным направлениям токов алгебраическую сумму токов i

iI∑ . Вычислите макси-

мальную ошибку определения силы тока в узле ii

I∆∑ (в этом случае ошибки

определения всех токов в узле складываются). Занесите в табл. 1.2.3. 7. Сравните отклонение суммы токов от нуля с максимальной ошибкой оп-ределения силы тока в узле и сделайте вывод. 8. При проверке второго правила Кирхгофа (табл. 1.2.4) для заданного преподавателем контура выберите направление обхода. По данным табл. 1.2.1 и табл. 1.2.2 составьте алгебраическую сумму ri i

iU I+ k∑ и найдите от-

клонение ее от значения ЭДС Ek, действующей в контуре. Вычислите максимальную ошибку определения напряжений и ЭДС в контуре

ri i ki

U I∆ + ∆ + ∆∑ Ek .

26

27

k9. Сравните отклонение суммы i ii

U I r+∑ от Ek с максимальной ошибкой

определения напряжений и ЭДС. Сделайте вывод. Таблица 1.2.1

Результаты измерения напряжения Ui, определения силы тока Ii на участках цепи и расчет ошибок их определения.

Максимальные абсолютные ошибки

Обозначение

участка

Сопротивление участка Ri, Ом

Ui, В

Ii, мА измерения

напряжения ∆Ui, В

определение силы тока ∆Ii, мА

Таблица 1.2.2 Параметры источников тока,

результаты однократных измерений и расчетов Максимальные

абсолютные ошибки

Номер источника

тока

ЭДС Ek , В

Внутреннее

сопротивление rk, Ом

Падение напряжения на внутренних

сопротивлениях i kI r , В

измерения ЭДС ∆Ek, В

определение падения

напряжения i kI r∆ , В

Таблица 1.2.3

Проверка выполнимости первого правила Кирхгофа Обозначение

узла Уравнение первого правила Кирхгофа

Экспериментальное значение алгебраической суммы сил токов в узле

ii

I∑ , мА

Максимальная ошиб-ка определения силы

тока в узле

ii

I∆∑ , мА

Таблица 1.2.4 Проверка выполнимости второго правила Кирхгофа

Обозначение контура

Уравнение

второго правила Кирхгофа

Отклонение алгебраической суммы

i ii

U I r+ k∑

от значения Ek, В

Максимальная ошибка определения напряжения

и ЭДС в контуре

i i ki

U I r kε∆ + ∆ + ∆∑ ,

В

1.2.7. Контрольные вопросы 1. Что называется электрическим током? Что такое сила тока и плотность

тока? Назовите их единицы в СИ. 2. Какая величина называется электродвижущей силой? Какая величина

называется напряжением? Назовите их единицы в СИ. 3. В чем отличие понятий напряжение и разность потенциалов? Для каких

участков электрической цепи разность потенциалов и напряжение равны друг другу?

4. Сформулируйте закон Ома для однородного участка цепи и запишите его в интегральной форме. Запишите аналогичную формулу для неодно-родного участка цепи.

5. Сформулируйте первое правило Кирхгофа. Запишите соответствующую формулу. Приведите пример.

6. Сформулируйте второе правило Кирхгофа. Запишите соответствующую формулу. Приведите пример.

7. Следствием каких физических закономерностей в цепях постоянного то-ка являются первое и второе правила Кирхгофа.

8. Как, зная класс точности вольтметра, можно рассчитать максимальную абсолютную погрешность измерения напряжения?

9. С какой целью в данной работе определяются ошибки измерения напря-жений, ЭДС и сил токов?

28

1.3. Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 203 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ ИСТОЧНИКА ТОКА

1.3.1. Цель работы

Изучение зависимостей силы тока, полной и полезной мощностей ис-

точника тока, коэффициента полезного действия источника тока от сопро-тивления внешней части цепи, определение полезной мощности батареи при параллельном и последовательном соединениях источников тока.

1.3.2. Содержание работы

В настоящей работе экспериментально исследуются зависимости силы тока, полной и полезной мощностей, коэффициента полезного действия источника тока от внешнего сопротивления в классической электрической цепи, содер-жащей один источник ЭДС и один известный по величине сопротивления Ri резистор нагрузки (рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1. Электрическая схема простой цепи

Рассчитываются: ЭДС источников тока, их внутренние сопротивления, максимальные полезные мощности.

Аналогичные экспериментальные исследования проводятся также и для батареи при последовательном (рис.1.3.2 а) и параллельном (рис.1.3.2 б) соединениях источников тока и рассчитываются все необходимые характери-стики.

Рис. 1.3.2. Электрические схемы цепей с последовательным (а)

и параллельным (б) соединением источников ЭДС

1.3.3. Описание лабораторной установки Электрическая цепь собирается из отдельных элементов, представленных на рис. 1.3.3. Резисторы (Ri), миллиамперметр (mA), два источника тока (Ek),

29

тумблер для замыкания и размыкания цепи смонтированы в едином корпусе, на лицевую панель которого выведены клеммы 1 – 7 и гнезда для сборки электрической цепи.

Рис.1.3.3. Элементы, используемые в экспериментальной установке (Номерами 1 – 7 указаны клеммы, к которым могут подсоединяться

проводники для компоновки требуемой электрической цепи)

1.3.4. Методика проведения эксперимента Собираются электрические цепи, типа представленной на рис. 1.3.1, с

одним источником тока, затем с другим, а также при их последовательном и параллельном соединениях (рис. 1.3.2). Величины сопротивлений резисто-ров R1, R2, … R10 заданы. Их значения определены высокоточными электро-измерительными приборами.

В каждой из цепей измеряются силы токов при поочередном включении резисторов. Измерения силы тока производятся миллиамперметром с верх-ним пределом измерения 1 мА. Систематическая погрешность этих измере-ний определяется по классу точности прибора.

По результатам измерений рассчитываются: ЭДС источников, их внут-ренние сопротивления, полная мощность и мощность во внешней цепи, КПД источников, максимальные значения мощности на внешнем участке цепи. Графически представляются зависимости измеренных и рассчитанных вели-чин от сопротивления внешней части цепи.

1.3.5. Порядок выполнения работы

1. Определите цену деления миллиамперметра Ca, учитывая, что верхний предел его шкалы Im = 1 мА. Запишите в табл.1.3.1 цену деления и класс точности γ (указан на шкале прибора). 2. Соберите цепь с одним из источников тока и одним резистором Ri (рис. 1.3.1) и предъявите ее для проверки преподавателю или лаборанту. 3. Включите установку в электрическую сеть.

30

4. Подключая поочередно все резисторы от R1 до R10, измерьте миллиам-перметром силы токов в цепи. Результаты запишите в табл. 1.3.2 в колонку, соответствующую включенному в цепь источнику тока. 5. Разомкните тумблером цепь. Соберите цепь со вторым источником тока, проделайте измерения в соответствии с п. 4. 6. Соберите цепь с последовательно соединенными источниками тока (рис. 1.3.2 а) и проведите измерения по п. 4. Измерения начинайте при включении в цепь резистора с наименьшим сопротивлением, при котором стрелка мил-лиамперметра перестает зашкаливать. 7. Соберите цепь с параллельно включенными источниками тока (рис.1.3.2б) и проведите измерения в соответствии с п. 4. 8. У преподавателя получите задание, для какой из исследованных Вами цепей (с каким из источников тока) провести расчеты P, Pa, η .

1.3.6 Обработка результатов измерений

1. Определите систематическую максимальную ошибку измерения силы тока по формуле

100%

mII γ∆ = , (1.3.1)

где γ – наибольшая приведенная погрешность измерений (класс точности прибора); Im – верхний предел шкалы прибора. Полученное значение ∆I за-пишите в табл. 1.3.1. 2. Для нахождения значений ЭДС и внутреннего сопротивления источника постройте для этого источника график зависимости

I1 от R. Из (1.11) следует

. ( )1 1 rf R RI= = +

E E . (1.3.2)

Соотношение (1.3.2) представляет собой уравнение прямой, по углу наклона этой прямой к оси абсцисс вычислите ЭДС. Затем найдите внутреннее сопро-тивление источника из пересечения прямой с осью ординат. Запишите полу-ченные значения E и r в таблицу 1.3.2. По указанию преподавателя такие расчеты проведите либо для одной из собираемых цепей, либо для двух - че-тырех. По значениям E и r с использованием формулы (1.16) опреде-лите Pa max и запишите в табл. 1.3.3. 3. Для указанного преподавателем источника тока при всех значениях внешнего сопротивления рассчитайте: полную мощность P источника по первой части формулы (1.13), используя E из табл. 1.3.3; мощность во

внешней цепи Pa по первой части формулы (1.14); коэффициент полезного действия источника тока η по формуле (1.19). Результаты вычислений запи-шите в табл. 1.3.2.

31

4. По результатам измерений и вычислений по п. 4 постройте графики за-висимостей силы тока I, мощностей P и Pa, коэффициента полезного дейст-

вия η от сопротивления внешнего участка цепи R. Учтите, что при построе-нии графиков по оси абсцисс необходимо откладывать значения сопротивле-ния, а по оси ординат названные выше величины. Графики удобно сопостав-лять, если они все будут построены на одном поле (т. е. с одной осью абс-цисс). 5. Графики зависимости силы тока I от R представьте с учетом погрешно-сти измерения ∆I (см. табл. 1.3.1). Для этого на каждом значении I, изобра-женном на графике точкой, в выбранном масштабе покажите вертикальной чертой значения силы тока от I-∆I до I+∆I.

Таблица 1.3.1 систематическая максимальная ошибка измерения силы тока

Im, А Ca, А/дел γ ∆I, А

1⋅10-3

Таблица 1.3.2 Результаты измерений

R, 103 Ом I, 10 -5 А

Рези-торыс

Вели-чина

Источ-ник 1

Источ-ник 2

Последова-тельное

соединение

Параллель-ное

соединение

P,

10-3 Вт

Pa,

10-3 Вт η

R1… R10

Таблица 1.3.3 Результаты расчета

Источник тока E , В r , 103 Ом Pa max, 10-3 Вт

E1

E2 Последовательное

соединение E1 и E2

Параллельное соединение E1 и E2

32

1.3.7 . Контрольные вопросы

1. Что называется электрическим током? Что такое сила тока и плотность тока? Назовите их единицы в СИ?

2. Какие силы называются сторонними? В каких участках замкнутой цепи они действуют на носители тока?

3. Какая величина называется электродвижущей силой? Какая величина называется напряжением? Назовите их единицы в СИ.

4. Сформулируйте и запишите закон Ома в интегральной форме для одно-родного участка цепи, для неоднородного участка цепи, в дифференци-альной форме, для замкнутой цепи.

5. Что такое полная мощность источника тока? Что такое мощность во внешней цепи? Запишите соответствующие формулы и поясните.

6. При каких условиях мощность, выделяющаяся во внешней цепи, макси-мальна? Ответ обосновать.

7. Чем определяется коэффициент полезного действия источника тока? Имеет ли смысл стремиться получить КПД близкий к единице?

8. Как, зная класс точности миллиамперметра, рассчитать максимальную погрешность измерения силы тока? Как учесть эту погрешность при по-строении графика зависимости I(R)?

33

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В СРЕДАХ

Проводники в электрическом поле Если поместить проводник (материал, в котором имеется большое ко-

личество свободных носителей заряда) в электрическое поле, произойдет перераспределение зарядов – явление, называемое электростатической ин-дукцией. Например, если это металл, в котором носителями зарядов являют-ся отрицательно заряженные частицы – электроны, то, в зависимости от на-правления вектора напряженности, с одной стороны металлического тела произойдет накопление отрицательных зарядов, которые мигрируют против направления 0E , а с другой стороны тела их будет мало и на поверхности появится положительный заряд (рис 2.1).

Рис. 2.1. Искажение электрических силовых линий при внесении проводника в однородное электрическое поле

Опыт показывает, что неодинаковые по форме проводники, помещае-мые в одну и ту же точку поля, имеют одинаковые потенциалы, соответст-вующие потенциалу этой точки поля, но заряжаются разными по величине зарядами. Справедливо и обратное утверждение, что различные проводни-ки, будучи заряжены одинаковым количеством электричества, имеют раз-личные потенциалы.

Для уединенного проводника, т.е. проводника, вблизи которого нет дру-гих тел, влияющих на распределение в нем зарядов, между сообщенным за-рядом Q и возникающим потенциалом ϕ существует определенное, постоян-ное для данного проводника соотношение

Q = Cϕ . (2.1)

Коэффициент пропорциональности С, выражающий линейную связь между потенциалом уединенного проводника и его зарядом, называют элек-трической емкостью (электроемкостью). Электроемкость уединенного про-водника численно равна заряду, который надо сообщить проводнику, чтобы потенциал его увеличить на единицу.

Электрическая емкость уединенного проводника зависит от его разме-ров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника, а напряжен-ность электрического поля внутри его равна нулю. Следует отметить, что электроемкость не зависит также ни от заряда проводника, ни от потенциала электрического поля.

34

Единица электрической емкости – фарад (Ф). 1 Ф – электроемкость та-кого уединенного проводника, потенциал которого возрастает на 1 В при со-общении ему заряда в 1 Кл.

Уединенные проводники обладают малой электрической емкостью. Так, потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося в вакууме, равен

R

Q

04πεϕ = . (2.2)

Используя формулу (2.1) получим, что электроемкость шара RC 04πε= . (2.3)

Отсюда следует, что электроемкостью в 1Ф обладает уединенный шар радиусом 9

0(4 ) 9 10R C πε= = ⋅ м, что примерно в 1500 раз больше радиуса Земли. Фарад – очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы – миллифарад (1 мФ = 10-3 Ф), микрофарад (1 = 10-6 Ф), на-нофарад (1 нФ =10-9 Ф), пикофарад (1пФ = 10-12 Ф).

Для практических целей, особенно в радиотехнике и областях, связан-ных с радиоэлектроникой, очень часто необходимы устройства, обладающие способностью при малых размерах и небольших потенциалах накапливать значительные электрические заряды. Этим требованиям могут удовлетворять неуединенные проводники.

Действительно, если проводник не уединенный, т.е. вблизи него имеют-ся другие тела, то его электроемкость больше, чем у такого же, но уединен-ного проводника. При этом электрическая емкость неуединенного проводни-ка будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это вызвано тем, что, если к заряженному проводнику приближать другие тела, на них возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводящему заряду Q будут за-ряды противоположного знака. Эти заряды, естественно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т.е. понижают потенциал проводника, что приводит к повышению его электрической емкости.

Наибольший практический интерес представляет система, состоящая из двух близко расположенных друг к другу проводящих плоскостей, разделен-ных диэлектриком. Такая система называется конденсатором. Образующие конденсатор плоскости называются обкладками.

Под электроемкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности по-тенциалов (ϕ1 − ϕ2) между обкладками:

21 ϕϕ −

=QC . (2.4)

Простейшим конденсатором является плоский конденсатор, состоящий из двух параллельных проводящих пластин, разделенных тонким слоем ди-электрика. Для определения его емкости рассмотрим две бесконечные парал-лельные плоскости, расположенные на расстоянии d друг от друга (рис. 2.2), заряженные с поверхностной плотностью зарядов + σ Кл/м2 и - σ Кл/м2.

35

Рис. 2.2. Система двух параллельных заряженных плоскостей

Поскольку величина напряженности электрического поля бесконечной

плоскости равна 02

E σε

= и не зависит от расстояния от плоскости [1,2], а на-

правление вектора E , согласно законам электродинамики, определяется знаком заряда (всегда направлен от положительного заряда к отрица-тельному), то между плоскостями напряженность поля равна 0

0E σ

ε= , при-

чем поле остается однородным, т. е одинаковым в любой точке. Напряженность поля связана с разностью потенциалов между плоско-

стью а и любой точкой, находящейся от нее на расстоянии х в пространстве между пластинами, простым соотношением ( ) 0U x E x= , а между пластина-ми (U0 0U E= d 0 b aϕ ϕ= − , ( )a bϕ ϕ− – разность потенци- алов между плос-костями). Если площадь пластин равна S, то заряд q, сосредоточенный на

каждой пластине, равен q Sσ= . В итоге находим 0

0

U qd Sε

= . Отсюда

следует, что емкость плоского конденсатора

0SCdε

= . (2.5)

Если между пластинами находится диэлектрик с относительной величи-ной диэлектрической проницаемости ε, то

0SCd

εε= . (2.6)

Помимо электрической емкости, каждый конденсатор характеризуется предельным напряжением Umax, которое можно прикладывать к обкладкам конденсатора, не опасаясь его пробоя. В случае превышения этого напряже-ния между обкладками проскакивает электрическая искра, приводящая к разрушению диэлектрика, и конденсатор выходит из строя.

Располагая некоторым набором конденсаторов, можно значительно расширить число возможных значений электрической емкости и рабочего

36

напряжения, если применить соединение конденсаторов в батареи. Рассмотрим два способа соединения конденсаторов: параллельное (рис.

2.3) и последовательное (рис. 2.4).

Рис. 2.3. Параллельное Рис. 2.4. Последовательное соединение конденсаторов соединение конденсаторов

При параллельном соединении конденсаторов,(см. рис. 2.3) точки А и В подключают к источнику постоянного напряжения, и разность потенциалов между обкладками одинакова для всех конденсаторов. Если электроемкость включенных конденсаторов C1, C2,…Cn, то заряд каждого конденсатора ра-вен Q1 = C1U1, Q2 = C2U2,… Qn = CnUn, и суммарный заряд всей батареи ра-вен

, (2.7) ( )1 21

n

nQ Q C C Ci

i== = + + +∑ ∑ U

а электрическую емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно, получим, разделив суммарный заряд Q на приложенное напряжение U:

(2.8) 1 21

.n

n

iC C C C Ci

== = + + +∑

При параллельном соединении конденсаторов их электрические емкости складываются, а предельное напряжение батареи равно наименьшему из зна-чений Umax для конденсаторов, включенных в батарею.

При последовательном соединении конденсаторов (см. рис. 2.4) отрица-тельно заряженная обкладка одного конденсатора соединена с обкладкой следующего конденсатора, несущего такой же по модулю положительный заряд. При этом заряды на обкладках любого из конденсаторов, соединенных последовательно, оказываются одинаковыми по модулю и равными Q.

Напряжения на конденсаторах, соединенных последовательно, будут различны

.i iU Q C= (2.9) Общее напряжение на последовательно соединенных конденсаторах

равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах:

37

1 1 1

1 .n n n

i ii i i

U U Q C Q C= = =

= = =∑ ∑ ∑ i (2.10)

Разделив левую и правую части последнего выражения на Q, получим

1 21

1 1 1 1 .n

i niC C C C C== = + + +∑ 1 (2.11)

Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов вели-чина, обратная общей электрической емкости батареи конденсаторов, равна сумме величин обратных электрической емкости отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении доля общего напряжения, приходя-щаяся на данный конденсатор, обратно пропорциональна его электрической емкости. При этом необходимо, чтобы ни для одного из конденсаторов Ui не превышало указанное для него значение Umax.

Если все конденсаторы одинаковы и имеют электрические емкости С и предельное напряжение Umax, то при последовательном соединении (Umax)бат = NUmax, где N – число конденсаторов, имеющих одинаковые элек-трические емкости.

Энергия электрического поля, запасаемая в конденсаторе, равна

2

2CUW = . (2.12)

Электрическое поле в проводниках Как уже указывалось ранее, при внесении проводника в электрическое

поле внутри проводника поле будет отсутствовать (напряженность поля равна нулю), а весь проводник принимает потенциал той точки поля, в кото-рой он расположен. Однако можно создать такие условия, когда внутри проводника появляется электрическое поле, которое заставляет свободные заряды двигаться в заданном направлении.

В замкнутой цепи для поддержания напряженности стационарного элек-трического поля (а вместе с ней и плотности тока) неизменной необходимо, чтобы в некоторых участках действовали силы, разделяющие разноименные заряда, поддерживающие неизменными разности потенциалов на участках. Эти силы не электростатического происхождения называются сторонними. Поле сторонних сил создается в цепях источниками электрической энергии (гальваническими элементами, аккумуляторами, генераторами и т.п.).

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется од-нородным. Участок, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называется неоднородным.

Электрический ток (упорядоченное движение заряженных частиц), возникающий в проводящих средах под действием электрического поля, на-зывается током проводимости. Ток проводимости в металлах связан с упо-рядоченным движением электронов проводимости.

38

Скалярная физическая величина, определяемая как отношение количе-ства зарядов, прошедших за бесконечно малый промежуток времени, к этому промежутку, называется силой тока и выражается соотношением

dqIdt

= . (2.13)

Для постоянного тока сила тока и направление тока не изменяются со временем, и в этом случае

qIt

= , (2.14)

где q – заряд, переносимый через рассматриваемую поверхность за конечный промежуток времени t.

Направление электрического тока и распределение силы тока по сече-нию проводника определяется плотностью тока. Плотностью тока называют вектор , совпадающий с направлением электрического тока в рассматри-jваемой точке сечения и численно равный отношению силы тока dI сквозь малый элемент поверхности, перпендикулярной направлению тока, к пло-щади dS⊥ этого элемента

dIjdS⊥

= . (2.15)

Сила тока через произвольную поверхность S связана с плотностью тока выражением

nI jdS j dS= =∫ ∫ , (2.16)

где dS – вектор, равный по модулю dS и направленный как нормаль к пло-щадке; Jn – проекция вектора j на направление нормали к площадке dS , со-ставляющей некоторый угол с вектором j .

Для постоянного тока I = jS. (2.17) В проводнике, в котором поддерживается постоянный электрический ток, плотность электрических зарядов в каждой точке не меняется во време-ни, но происходит их движение. Такие заряды создают в проводнике элек-трическое поле, которое называется стационарным. Оно, как и поле непод-вижных зарядов, является потенциальным.

Напряженность электрического поля неподвижных зарядов при равно-весии внутри проводника равна нулю. Напряженность же стационарного электрического поля внутри проводника отлична от нуля, и силы поля обес-печивают направленное движение свободных зарядов.

В каждой точке неоднородного проводника плотность тока j прямо пропорциональна сумме напряженностей стационарного поля и поля сторон-них сил в той же точке

( *j E E ) σ= + , (2.18)

39

где σ - удельная электрическая проводимость проводника; E – напряжен-ность стационарного электрического поля; E* – напряженность поля сто-ронних сил.

Формула (2.18) выражает обобщенный закон Ома в дифференциальной форме. Он устанавливает связь между величинами, относящимися к опреде-ленной точке.

Из выражения (2.18) путем интегрирования по участку цепи можно по-лучить уравнение обобщенного закона Ома для участка

1,2 1,2 1 2 12 ( - ) IR U j j E= = + , (2.19)

где I – постоянная во всех сечениях проводника сила тока; R12 – электрическое сопротивление участка от сечения 1 до сечения 2;

2*12

1( ) U E E dl= +∫ – напряжение на участке 1-2, физическая величина, чис-

ленно равная работе сил стационарного электрического поля и сторонних сил при перемещении положительного единичного заряда на участке;

2

1 21

E dlϕ ϕ− = ∫ – разность потенциалов между сечениями 1 и 2;

2

121

* E dl= ∫E – электродвижущая сила (ЭДС), величина численно равная

работе сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на участке 1-2.

Приведенная форма закона Ома (2.19) называется интегральной (пред-ставляет закон для конечного участка).

Напряжение на концах участка цепи совпадает с разностью потенциалов только в том случае, когда на участке не действуют сторонние силы. В этом случае

12 1 2 - , U j j= (2.20) и участок становится однородным.

Закон Ома для однородного участка принимает вид 12 1 2

12 12

UIR R

ϕ ϕ−= = . (2.21)

Согласно закону Ома (2.21) сила тока в однородном металлическом проводнике прямо пропорциональна напряжению на проводнике.

Обозначенная буквой R в формуле (2.21) величина называется элек-трическим сопротивлением проводника. Появление сопротивления связано с тем, что при движении электроны должны преодолевать действие поло-жительных ионов, сосредоточенных в узлах кристаллической решетки, взаимное отталкивание электронов вследствие закона Кулона, действие различных неоднородных включений.

40

Единицей сопротивления в системе единиц СИ является Ом, равный со-противлению такого проводника, в котором при напряжении 1 Вольт сила тока равна 1 Амперу (1 Ом – 1В/1А).

Сопротивление проводников зависит от их формы, размеров и от свойств материалов, из которых проводники изготовлены. Эта зависимость особенно проста, если проводник имеет форму цилиндра постоянного попе-речного сечения (проволоки). В этом случае

lRS

ρ= , (2.22)

где ρ - коэффициент пропорциональности, зависящий от рода вещества и его состояния и называемый удельным сопротивлением данного вещества; l - длина проводника; S - площадь его поперечного сечения.

Единица удельного сопротивления в системе единиц СИ имеет размер-ность Ом⋅метр (Ом⋅м).

Как уже отмечалось, удельное сопротивление зависит не только от рода вещества, но и от его состояния. В частности, удельное сопротивление зави-сит от температуры. Если интервал изменения температуры достаточно мал, то можно приближенно считать, что для большинства металлов ρ линейно изменяется с температурой с постоянным температурным коэффициентом

0 (1 ), r r at= + (2.23) где ρ0 – у дельное сопротивление при 0°С; α – температурный коэффици-ент; t – температура в градусах Цельсия.

Диэлектрики в электрическом поле. Сегнетоэлектрики Во внешнем электрическом поле состояние диэлектрика изменяется так,

что весь его объем приобретает электрический момент. Это явление называ-ется поляризацией диэлектрика. Механизм поляризации зависит от типа мо-лекул.

Есть диэлектрики с полярными молекулами, у которых центры тяжести положительных зарядов и центры тяжести отрицательных зарядов располо-жены на небольшом расстоянии друг от друга. Такую молекулу можно рас-сматривать как электрический диполь, характеризуемый электрическим мо-ментом:

eР ql= . (2.24) Здесь q – заряд, l – расстояние между зарядами в диполе. В отсутствие внешнего электрического поля молекулы – диполи ориен-

тированы хаотично, поэтому суммарный электрический момент полярного диэлектрика равен нулю.

В однородном электрическом поле полярные молекулы стремятся по-вернуться так, чтобы их электрические моменты были направлены вдоль по-ля. Тепловое движение стремится «разбросать» молекулы – диполи произ-вольно. В результате действия поля и теплового движения устанавливается некоторая преимущественная ориентация электрических моментов вдоль на-

41

правления электрического поля. Поляризация рассмотренного типа называ-ется ориентационной.

Есть диэлектрики с симметричными молекулами, у которых центры тя-жести положительных и отрицательных зарядов совпадают и электрический момент каждой молекулы, следовательно, и всего объема диэлектрика, в от-сутствие внешнего поля равен нулю. Такие молекулы называются неполяр-ными.

Во внешнем поле центр тяжести отрицательных зарядов молекулы сме-щается по отношению к центру тяжести положительных зарядов на некото-рое малое расстояние. Неполярная молекула приобретает электрический мо-мент за счет деформации электронных орбит [1]. Существенно, что электри-ческие моменты всех молекул наводятся в направлении действующего поля и не зависят от температуры. В результате таких изменений весь объем непо-лярного диэлектрика приобретает электрический момент. Такого типа поля-ризация называется электронной (или деформационной).

Количественной мерой поляризации диэлектрика является поляризован-ность : P

1

N

eii

PP

V==∆

∑, (2.25)

где – векторная сумма моментов всех N молекул в физически беско-

нечно малом объёме ∆V. 1

N

eii

P=∑

В формуле (2.25) объём ∆V должен быть настолько малым, чтобы полу-чалась характеристика поляризованного диэлектрика в точке, вокруг которой выделен объём. Кроме того, поле или диэлектрик (или оба они) могут быть неоднородными, поэтому объём должен быть настолько малым, чтобы поля-ризацию в его пределах можно было считать однородной.

Согласно формуле (2.25) находится сумма электрических моментов мо-лекул, заключённых в указанном объёме, и делится на объём. Следовательно, поляризованность есть электрический момент единицы объёма. У изотроп-ных диэлектриков поляризованность связана с напряжённостью поля в той же точке диэлектрика соотношением:

0eP Eχ ε= , (2.26) где χe - диэлектрическая восприимчивость – безразмерная величина, не зави-сящая у обычных диэлектриков от напряженности поляE ; ε0 - диэлектрическая постоянная, вводимая в системе единиц СИ для согла-сования единиц физических величин.

В случае неполярного диэлектрика диэлектрическая восприимчивость определяется концентрацией молекул и поляризуемостью отдельной молеку-лы. У полярных диэлектриков диэлектрическая восприимчивость зависит от

42

концентрации молекул и электрических моментов и обратно пропорциональ-на температуре.

При рассмотрении электрического поля в диэлектрике обычно вводят безразмерную величину, связанную с χe соотношением:

= 1 eε χ+ , (2.27) которую называют диэлектрической проницаемостью среды. Для большин-ства диэлектриков ε равна нескольким единицам.

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называют связанными, так как они могут под действием сил электрического поля смещаться только в пределах молекулы и не могут свободно перемещаться по всему объему ди-электрика. Поляризация диэлектрика сопровождается возникновением в тон-ком поверхностном слое диэлектрика избытка связанных зарядов одного зна-ка. Эти связанные заряды на поверхности поляризованного диэлектрика на-зывают поляризационными.

Между поверхностной плотностью σp поляризационных зарядов и по-ляризованностью диэлектрика существует простая связь: P

p nPσ = (2.28) В соответствии с формулой (2.28) единица поляризованности в СИ – ку-

лон на квадратный метр (Кл/м2). Некоторые диэлектрики в силу особенностей кристаллической структу-

ры могут быть в поляризованном состоянии в отсутствие внешнего электри-ческого поля. Такая поляризация называется спонтанной или самопроизволь-ной. Среди спонтанно поляризованных диэлектриков значительную группу составляют сегнетоэлектрики, направление спонтанной поляризованности которых может быть изменено внешним полем.

В спонтанно поляризованном состоянии сегнетоэлектрики находятся в определённом интервале температур. В этом состоянии однородная поляри-зация кристалла возникает в исключительных случаях; обычно кристалл раз-бит на множество малых областей – доменов. Домены – это области спон-танной поляризации. Внутри одного домена электрические моменты всех молекул ориентированы в одном направлении, поэтому домен имеет значи-тельный электрический момент. Без поля домены ориентированы хаотично, и электрический момент кристалла близок к нулю. Под влиянием внешнего поля в многодоменном кристалле происходит рост размеров благоприятно ориентированных доменов и переориентация электрических моментов доме-нов в направлении внешнего поля, что приводит к значительной поляризации кристалла. Если теперь убрать внешнее поле, то домены не смогут самопро-извольно приобрести хаотическую ориентацию, так как это относительно большие объекты и энергии теплового движения молекул недостаточно, что-бы их «разбросать». Поэтому поляризация полностью не исчезает, – имеется остаточная поляризация всего кристалла.

Спонтанная поляризованность существует в сегнетоэлектриках ниже не-которой определённой температуры, называемой точкой Кюри. Выше точки

43

Кюри домены разрушаются, и сегнетоэлектрики становятся обычными по-лярными диэлектриками.

Диэлектрическая проницаемость (и восприимчивость) сегнетоэлектри-ков зависит от напряжённости поля, температуры и имеет большие значения, что обусловлено особенностями процесса поляризации сегнетоэлектриков.

Как правило, изменение направления поляризованности (переполяриза-ция) изучается в периодически изменяющемся внешнем электрическом поле.

При первом увеличении напряжённости E поля поляризованность об-разца растёт нелинейно (участок 0 – 1 рис.2.5).

Рис. 2.5. Кривая гистерезиса сегнетоэлектрика Особенно интенсивен рост при полях, способных ориентировать доме-

ны. Когда все домены окажутся ориентированы по полю, поляризованность достигнет насыщения (точка 1), и дальнейшее увеличение напряжённости поля вызывает лишь незначительный рост P за счёт процессов электронного и ионного смещения в молекулах. Если после достижения состояния 2 уменьшать напряжённость поля, то поляризованность сегнетоэлектрика бу-дет изменяться не по первоначальной кривой, а по кривой 2 – 1 – 3, отставая от изменений E . Это явление называется диэлектрическим гистерезисом («гистерезис» в переводе с греческого языка – запаздывание).

При Е = 0 поляризованность достигнет значения Рr, называемого оста-точной поляризованностью. Чтобы Р уменьшить до нуля, на образец надо наложить поле противоположного направления с напряжённостью Еr, назы-ваемой коэрцитивным полем. При напряжённости поля больше Еr произой-дёт изменение направления вектора P (переполяризация). При дальнейшем увеличении напряжённости поля этого направления все домены ориентиру-ются преимущественно в направлении поля, и снова достигается насыщение.

44

Цикл изменения Р(Е) может быть завершен, если уменьшить напряжён-ность поля последнего направления до Е = 0 и затем изменить направление вектора Е , после чего увеличивать напряжённость поля до значения, соот-ветствующего точке 2.

Экстраполируя прямую 2 – 1 до пересечения с осью 0Р, можно опреде-лить спонтанную поляризованность РS. Это значение соответствует состоя-нию с полностью упорядоченными доменами, в которых отсутствует инду-цированная полем дополнительная поляризация молекул.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов. – В 3-х т. – Т.2. – М.: Наука, 1982.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1989.

3. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., пере-раб. и доп. – М.: Высш. шк. 1990.

4. Калашников С. Г. Электричество: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука. 1970.

5. Курс физики: Учебник для вузов в 2 – х т. – Т.1 / Под ред. В.Н. Лозов-ского. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001.

45

2.1 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 204

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ КОНДЕНСАТОРА

2.1.1. Цель работы Определение электрической емкости конденсаторов и эксперименталь-

ная проверка расчетных формул для определения электрической емкости ба-тареи при параллельном и последовательном соединении конденсаторов.

2.1.2. Содержание работы В настоящей работе определяются электрические емкости двух конден-

саторов, а затем батарей из этих конденсаторов при параллельном и последо-вательном их соединении.

2.1.3. Описание лабораторной установки

Схема установки представлена на рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1. Электрическая принципиальная схема экспериментальной установки

Электрический заряд, накопленный на обкладках конденсатора С, изме-ряется с помощью баллистического гальванометра G, представляющего со-бой прибор магнитоэлектрической системы c большим моментом инерции. Период колебаний рамки баллистического гальванометра должен быть та-ким, чтобы импульс тока при разряде конденсатора через гальванометр пре-кращался раньше, чем рамка заметно повернется на некоторый угол. В этом случае первый (максимальный) поворот рамки будет пропорционален элек-трическому заряду, протекшему через рамку.

Разность потенциалов (напряжение) на обкладках конденсатора изме-ряют вольтметром V постоянного тока.

В работе используются бумажные герметизированные конденсаторы ти-па КБГ-И, состоящие из двух длинных сложенных вместе лент фольги, меж-ду которыми находится диэлектрик – парафинированная бумага толщиной до 0,025 мм. Такие ленты сворачиваются в рулон и заключаются в металличе-

46

скую коробку. Применяемые конденсаторы обладают хорошими электроизо-ляционными свойствами (малым током утечки).

2.1.4. Методика проведения эксперимента

Конденсатор С (или батарея конденсаторов) присоединяется к клеммам 3 – 4 двойного переключателя S3 (см. рис. 2.1.1). При замыкании S3 на клеммы 1 − 2 конденсатор С заряжается. Напряжение на обкладках конден-сатора измеряется вольтметром V и может регулироваться с помощью потен-циометра R. При замыкании S3 на клеммы 5 – 6 конденсатор разряжается, через баллистический гальванометр G протекает кратковременный ток. Кнопка S2 предназначена для быстрого успокоения колебаний рамки гальва-нометра при ее замыкании.

При разряде конденсатора (батареи конденсаторов) на баллистический гальванометр световой зайчик сместится по шкале гальванометра на макси-мальное число делений n (первый отброс).

Электрический заряд Q, протекший через рамку гальванометра и вы-звавший отклонение светового зайчика на одно деление шкалы, называют баллистической постоянной гальванометра β, т.е.

.nQ

=β (2.1.1)

Для определения β через гальванометр пропускают известное количе-ство электричества, накопленное на эталонном конденсаторе с известной электрической емкостью : эmC

.UCQ эт= (2.1.2) С учетом формулы (2.1.2) определим баллистическую постоянную галь-

ванометра

.этC Un

β = (2.1.3)

Зная величину баллистической постоянной гальванометра, напряжение на конденсаторе (батарее конденсаторов) и число делений, на которое откло-нится световой зайчик при первом отбросе, можно определить неизвестную электрическую емкость конденсатора (батареи конденсаторов) по формуле

.Xi

i

nCUβ ⋅

= (2.1.4)

где i – порядковый номер опыта при различных напряжениях.

2.1.5. Порядок выполнения работы 1. Соберите электрическую цепь по схеме (см. рис. 2.1.1). К клеммам 3 – 4 переключателя S3 присоедините эталонный конденсатор Сэт. 2. Все характеристики вольтметра, указанные на шкале, занесите в прото-кол работы. Определите цену деления шкалы вольтметра.

47

3. Замкните ключ S1. С помощью движка потенциометра установите по вольтметру напряжение 1,2 В. 4. Зарядите конденсатор, установив переключатель S3 в положение 1 – 2. 5. Разрядите конденсатор через баллистический гальванометр, установив переключатель S3 в положение 5 – 6. Сделайте отсчет по шкале максималь-ного отклонения светового зайчика. 6. Опыт повторите три раза, изменяя напряжение на обкладках конденса-тора от 1,2 до 0,8 В. Результаты измерения занесите в табл. 2.1.1. 7. Подключите к клеммам 3 –4 вместо эталонного конденсатора Сэт кон-денсатор с неизвестной емкостью С1 и выполните измерения, указанные в пп. 3 – 6. 8. Подключите к клеммам 3 – 4 вместо конденсатора С1 конденсатор с не-известной электрической емкостью С2 и выполните все измерения, указан-ные в пп. 3 – 6. Результаты измерений по пп. 7 и 8 занесите в табл. 2.1.2. 9. Соедините конденсаторы с электрическими емкостями С1 и С2 сначала параллельно, а затем последовательно, подключите поочередно полученные батареи к клеммам 3 – 4 переключателя S3 и выполните все измерения, ука-занные в пп. 3 – 6. Результаты измерений занесите в табл. 2.1.3.

2.1.6. Обработка результатов измерений

1. По формуле (2.1.3) вычислите баллистическую постоянную β гальвано-метра для каждого опыта и вычислите среднее ее значение. 2. По формуле (2.1.4) вычислите электрические емкости конденсаторов С1 и С2 и электрические емкости батарей конденсаторов. 3. Используя найденные экспериментально значения электрических емко-стей конденсаторов С1 и С2, вычислите по формулам (2.8) и (2.11) электриче-ские емкости батарей конденсаторов. 4. Сравните расчетные значения электрических емкостей батарей конден-саторов с измеренными значениями. Сделайте вывод.

Таблица 2.1.1 Определение баллистической постоянной гальванометра

U, В п, дел β, Кл/дел <β>, Кл/дел

Таблица 2.1.2

Определение электрических емкостей конденсаторов С1 и С2

Конденсаторы U, В п, дел СХ, Ф <С>, Ф

С1

С2

48

Таблица 2.1.3 Определение электрической емкости батареи конденсаторов

при параллельном и последовательном их соединении

Батарея конденсаторов U, В п, дел Сэкс, Ф < С >,Ф Стеор, Ф

С1 и С2 соединены параллельно

С1 и С2 соединены последовательно

2.1.7. Контрольные вопросы

1. Что называют электрической емкостью уединенного проводника? Каков ее физический смысл? Дайте определение единицы измерения электри-ческой емкости в СИ.

2. От чего зависит электрическая емкость уединенного проводника? 3. Выведите соотношение для определения электрической емкости плоско-

го конденсатора. 4. Каков физический смысл баллистической постоянной гальванометра? 5. Как определить электрическую емкость конденсатора с помощью балли-

стического гальванометра? 6. Как определяется баллистическая постоянная гальванометра в данной

работе? 7. Выведите формулы для определения электрической емкости батареи

конденсаторов при параллельном их соединении. 8. Выведите формулы для определения электрической емкости батареи

конденсаторов при последовательном их соединении. 9. Объясните, как работает плоский конденсатор. Где запасается энергия

электрического поля? 10. Объясните, как работает сферический конденсатор. Где запасается энер-

гия электрического поля? Как изменяется емкость батареи сферических конденсаторов при их соединении с помощью одной проволочки?

49

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 205

2.2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРОВОДНИКА

2.2.1. Цель работы Изучение тока проводимости в металлических проводниках, ознакомле-

ние с методами измерения сопротивления проводника и экспериментальное определение удельного сопротивления нихрома.

2.2.2. Содержание работы В настоящей работе с использованием закона Ома для однородного уча-

стка цепи двумя методами экспериментально определяется сопротивление нихромовой проволоки (67,5% Ni, 15% Сr, 16% Fе, 1,5% Мn) и рассчитыва-ется ее удельное сопротивление.

2.2.3. Описание лабораторной установки Сопротивление проводника наиболее просто можно измерить при по-

мощи электрических цепей с амперметром и вольтметром. Такие цепи соб-раны и смонтированы в корпусе лабораторной установки. На лицевую панель корпуса выведены шкалы вольтметра (0-1,5 В), ампер-метра (0-260 мА), рукоятка потенциометра (регулятор тока), W3 – переклю-чатель для выбора вида работы, W2 – переключатель для выбора схемы изме-рений (рис. 2.2.1).

Рис. 2.2.1. Вид экспериментальной установки

К основанию прикреплена колонка со шкалой 2. На колонке смонтиро-ваны два неподвижных кронштейна, между которыми натянута исследуемая

50

проволока 3, и один подвижный кронштейн 4, на котором нанесена черта для определения длины измеряемого отрезка проволоки.

Установка позволяет использовать две цепи с разным подключением вольтметра и амперметра, а также позволяет непосредственно измерить со-противление проволоки с помощью подключения к клеммам 5 (см. рис.2.2.1) внешнего моста постоянного тока.

2.2.4. Методика проведения эксперимента В лабораторной работе используются первые два метода измерения

сопротивления. Метод первый (кнопка W2 отжата). Используется электрическая цепь

(рис.2.2.2), где миллиамперметр включен последовательно с исследуемой проволокой и с достаточной точностью (зависящей от амперметра) определя-ет силу тока I в проволоке. Вольтметр дает напряжение U не только на изме-ряемом участке проволоки, но и на амперметре (сопротивление амперметра RA = О.15 Ом).

Рис. 2.2.2. Первая схема измерений

Сопротивление R измеряемого отрезка проволоки в этом случае опреде-ляется выражением

(1 )U RaIRI U

= − (2.2.1)

Метод второй (кнопка W2 нажата).

Рис. 2.2.3. Вторая схема измерений

Используется электрическая цепь (рис. 2.2.3.), где вольтметр включен так, что с достаточной точностью (зависящей от вольтметра) определяет на- пряжение U на измеряемом отрезке проволоки, миллиамперметр при этом определяет силу тока, который затем ветвится на провод и вольтметр (сопро-

51

тивление вольтметра значительно больше, чем у отрезка провода, Rv = 2500 Ом).

Сопротивление R на измеряемом участке проволоки в этом случае оп-ределяется выражением (1 )

vU URI R I

= + . (2.2.2)

2.2.5. Порядок выполнения работы

1. Включите прибор в сеть и установите клавишей W3 вид работы. Отжа-тая клавиша обеспечивает соединение прибора с мостиком постоянного тока. Этот режим не используется. Нажатая клавиша W3 позволяет измерять со-противление отрезка проволоки по первому и второму методам, описанным в разделе 4.1. 2. Переключателем W2 сделайте выбор типа схемы измерений по методу первому (см. рис.2.2.2) – клавиша W2 отжата. 3. Установите подвижный кронштейн 4 (см. рис.2.2.1) на деление шкалы, соответствующее примерно 0, 7 длины проволоки от основания. 4. При помощи потенциометра (регулятора тока) установите такое значе-ние силы тока, чтобы вольтметр показывал 2/3 измерительного диапазона. 5. Измерение по первому методу проводите для 10 значений длины прово-локи от 0,3 l0 до l0, где l0 – полная длина проволоки. 6. Запишите в табл. 2.2.1 показания вольтметра и амперметра. 7. Клавишу W2 переключите на измерения по второму методу (рис.2.2.3) – клавиша нажата. 8. Проделайте измерения по пунктам 3 – 5. Результаты запишите в табл. 2.2.2.

2.2.6. Обработка результатов измерений Таблица 2.2.1

Результаты измерений и вычислений по первому методу l, см U, B I, мА R, Oм ρ <ρ> ∆ρ 10

измерений

Таблица 2.2.2 Результаты измерений и вычислений по второму методу

l, см U, B I, мА R, Oм ρ <ρ> ∆ρ

10 измерений

52

1. Для табл. 2.2.1 вычислить R по формуле (2.2.1).

2. Вычислите удельное сопротивление ρ по формуле

2

4dRl

πρ = (2.2.3)

где d – диаметр проволоки. 3. Найдите среднее значение удельного сопротивления <ρ>. 4. Рассчитайте абсолютную погрешность определения ρ по формуле

∆ρ=<ρ> * δρ (2.2.4) где δρ - относительная погрешность, определяемая выражением

2U I d lU I d l

δρ ∆ ∆ ∆ ∆= + + +

< > < > (2.2.5)

Расчет δρ проведите для одной любой строки табл. 2.2.1. Принять ∆l = 0,2 см, ∆d = 0,04мм, ∆U и ∆I определить по классу точности вольтметра и миллиамперметра. 5. а-Для табл. 2.2.2 вычислите R по формуле (2.2.2). Проведите расчеты, анлогичные указанным пунктам 2 – 4. 6. Запишите параметры установки в табл. 2.2.3.

Таблица 2.2.3 Параметры экспериментальной установки

Класс точности Ra, Ом

Rv, Ом γv γa

∆U, В

∆I ,А

d, мм

∆d, мм

∆l, см

2.2.7. Контрольные вопросы 1. Что называется электрическим током? Что такое сила тока и плотность

тока? Назовите их единицы в системе единиц СИ. 2. Какой ток называется током проводимости? Каковы условия его суще-

ствования? 3. Запишите закон Ома в дифференциальной и интегральной формах. Дай-

те соответствующие формулировки закона. 4. Какие физические величины называются напряжением, разностью по-

тенциалов, электродвижущей силой? 5. Что такое электрическое сопротивление проводника и от чего оно зави-

сит? Назовите единицы сопротивления и удельного сопротивления в системе единиц СИ.

6. Запишите и поясните формулу для сопротивления однородного провод-ника цилиндрической формы.

7. С помощью электрических схем поясните два метода экспериментально-го определения сопротивления с использованием вольтметра и ампер-метра.

53

2.3. Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 206

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СВОЙСТВ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКОВ

2.3.1. Цель работы Изучение поляризации сегнетоэлектриков; измерение спонтанной поля-

ризованности, коэрцитивного поля и исследование их температурных зави-симостей.

2.3.2. Содержание работы В работе исследуются зависимости изменения поляризованности образ-

ца РS от напряженности электрического поля Е0 при нагревании сегнетоэлек-трика триглицинсульфата в интервале от комнатной температуры до точки Кюри.

2.3.3. Описание лабораторной установки Специальная электрическая цепь (рис. 2.3.1) позволяет наблюдать петлю

гистерезиса на экране осциллографа.

Рис. 2.3.1. Принципиальная электрическая схема экспериментальной установки

От сети через трансформатор напряжение подаётся на делители напря-жения: резисторный R1, R2 и ёмкостной С, С0. Напряжение на делителях из-меряется вольтметром V. С потенциометра R1 напряжение подаётся на гори-зонтально отклоняющие пластины осциллографа. Амплитуду этого напряже-ния Ux можно изменять, вращая ручку потенциометра R1.

Исследуемый образец в виде пластины с электродами представляет со-бой сегнетоэлектрический конденсатор электрической ёмкостью С, много меньшей ёмкости вспомогательного конденсатора С0. Напряжение со вспо-

54

могательного конденсатора С0 подаётся на вертикально отклоняющие пла-стины осциллографа.

Сегнетоэлектрик помещён в нагреватель, температура в котором изме-ряется термометром.

Внимание ! Не прикасайтесь к токонесущим частям электрической це-пи. По достижении точки Кюри, когда петля гистерезиса превратится в слег-ка наклонную линию, немедленно отключите нагреватель.

2.3.4. Методика проведения эксперимента На горизонтально отклоняющие пластины осциллографа подаётся на-

пряжение Ux, прямо пропорциональное напряжению U, приложенному к ре-зисторному делителю,

URR

RU x21

1+

= . (2.3.1)

Так как С <<С0, практически всё напряжение U, приложенное к ёмкост-ному делителю, падает на сегнетоэлектрическом конденсаторе с расстоянием между электродами d, тогда напряжённость поля в нём будет:

dUE = . (2.3.2)

Таким образом, горизонтальное отклонение луча осциллографа, опреде-ляемое напряжением

ERRdRU x

21

1+

= , (2.3.3)

получается прямо пропорциональным напряжённости Е в сегнетоэлектрике. На вертикально отклоняющие пластины подаётся напряжение со вспо-

могательного конденсатора, пропорциональное его заряду q0

0

00 C

qUUY == . (2.3.4)

Так как сегнетоэлектрический и вспомогательный конденсаторы вклю-чены последовательно, заряды их одинаковы. Поэтому

0CqUY = , (2.3.5)

где q – заряд на сегнетоэлектрическом конденсаторе. Так как q равен произведению поверхностной плотности заряда σ на

площадь пластины конденсатора S, а σ равна электрическому смещению D, то

q = σS = DS. (2.3.6) Как известно, электрическое смещение в однородном изотропном ди-

электрике определяется выражением ED εε0= , (2.3.7)

55

а поляризованность выражением (2.26) и в соответствии с соотношением (2.27)

P

( ) EP 01 εε −= . (2.3.8) Поскольку для сегнетоэлектриков ε>>1, можно в формуле (2.3.6) за-

менить D на Р и, подставляя полученное в выражение (2.3.5), для UY име-ем

PCSUY0

= . (2.3.9)

Следовательно, вертикальное отклонение луча прямо пропорционально по-ляризованности Р сегнетоэлектрика.

Результирующее смещение электронного луча определяется напряже-ниями Uх и UY одновременно, поэтому в соответствии с формулами (2.3.3) и (2.3.9) он «выписывает» на экране в определённом масштабе графическую зависимость Р(Е) за цикл изменения напряжённости поля.

Рис. 2.3.2. Кривая гистерезиса сегнетоэлектрика

Определяя по графику на экране осциллографа длину отрезка lY (рис. 2.3.2) в делениях измерительной сетки и цену деления СY сетки по верти-кальной оси, на основании соотношения (2.3.9) для спонтанной поляризован-ности получим

SClC

P YYS 2

0= . (2.3.10)

Используя (2.3.2), определяя длину отрезка lx (рис.2.3.2) в делениях сет-ки и цену деления С, находим коэрцитивное поле по формуле

56

dlC

E xxC 2= . (2.3.11)

При исследовании температурных зависимостей РS и EC измерения отрезков lx и lY проводятся в интервале температур от комнатной до точки Кюри.

2.3.5. Порядок выполнения работы

1. Подготовьте осциллограф к работе так, как рекомендуется в описании, помещенном на лабораторном столе. 2. Включите электрическую цепь. Изменяя с помощью потенциометра R1 напряжение, подаваемое на вход X осциллографа, а также меняя усиления по X и Y, получите на экране петлю гистерезиса, типа представленной на рис. 3.3.1. 3. При комнатной температуре определите длины отрезков lx и lY в деле-ниях измерительной сетки. По термометру определите температуру в нагре-вателе. Запишите эти результаты в табл. 2.3.1. ВНИМАНИЕ !!! При последующих измерениях нельзя изменять поло-жения ручек на панели осциллографа и потенциометра R1, иначе все измере-ния придётся повторять сначала. 4. Тумблером, находящимся на нагревателе, включите нагреватель. Изме-ряйте длины отрезков lx и lY через каждые один – два градуса. Когда при температурах, близких к точке Кюри, петля начинает быстро и значительно изменяться, замеры проводите через один градус. 5. Окончив измерения по п. 4, отключите нагреватель. 6. Определите цену деления измерительной сетки по горизонтальной оси Сx. Для этого осторожно выньте штекер «Y» из гнезда «вход Y» осциллогра-фа. Положение ручек осциллографа и R1 менять всё ещё нельзя! Определите длину горизонтальной светящейся линии Lx в делениях сетки. По показаниям вольтметра определите соответствующее эффективное значение напряжения Uэфф. 7. Определите цену деления измерительной сетки по вертикальной оси СY.

На вход Y осциллографа подайте контрольный сигнал. Положение ручек ос-циллографа по-прежнему не изменяйте. Если контрольный сигнал надо осла-бить, то пользуйтесь для этого только делителем напряжения (положения 1:10 или 1:100) на панели осциллографа. Определите длину вертикальной светящейся линии LY, соответствующей контрольному сигналу, в делениях сетки. По показателям делителя осциллографа заметьте, во сколько раз ос-лаблен сигнал (в 1,10,100 раз, соответственно N= 1,10,100). 8. Все результаты по пп. 6 и 7 запишите в табл. 2.2.2. 9. Параметры установки, необходимые для расчетов (указаны на лабора-

торной установке), запишите в табл. 2.3.3.

57

7.2.1. Обработка результатов измерений 1. Определите цену деления измерительной сетки по вертикальной оси СY по формуле

KY

Y

UСL N

= , (2.3.12)

где UK – импульсное значение контрольного напряжения. 2. Определите цену деления сетки по горизонтальной оси Сx по формуле:

2 2эфф

xx

UС

L= . (2.3.13)

3. Используя полученные значения СY и Сx, по формулам (2.3.10) и (2.3.11) рассчитайте для каждой температуры спонтанную поляризованность РS и ко-эрцитивное поле ЕС. 4. Результаты расчетов по пп. 1 – 3 занесите в табл.2.3.1 и 2.3.2. 5. По результатам табл. 2.3.1 постройте графики зависимостей РS и ЕС от температуры. 6. Сделайте вывод о характере изменений спонтанной поляризованности при сегнетоэлектрическом фазовом переходе.

Таблица 2.3.1 Экспериментальные данные и результаты вычислений спонтанной

поляризованности РS и коэрцитивного поля ЕС

Длины отрезков по петле гистерезиса, делений сетки.

Температура, 0С

lY Lx

PS, мКл/м2

ЕС , кВ/м

Таблица 2.3.2 Определение цены деления сетки экрана по осям ОX и ОY

Входное напряжение Uэфф, В

Длина линии Lх, делений

Сx, В/дел

Контрольное напряжение

UK, В

Ослабление сигнала N

Длина линии LY, делений

СY, В/дел

Таблица 2.3.3 Параметры установки

Размеры сегнетоэлектрического конденсатора Электрическая ёмкость вспомогательного

конденсатора С0, Ф Площадь электрода S , м2

Расстояние между электродами d, м

58

2.3.7. Контрольные вопросы

1. В чём заключается явление поляризации диэлектрика? Охарактеризуйте

электронную и ориентационную поляризации. 2. Что такое поляризованность диэлектрика? 3. Какие заряды называют поляризационными? Какая связь существует

между поверхностной плотностью поляризационных зарядов и поляри-зованностью диэлектрика?

4. Что такое спонтанная поляризация? Чем отличается поляризация сегне-тоэлектрика от поляризации обычного диэлектрика?

5. Что такое домены в сегнетоэлектрике? 6. Что такое точка Кюри для сегнетоэлектрика? 7. Какое явление называется диэлектрическим гистерезисом? 8. Какие характеристики диэлектрика можно определить, изучая петлю ди-

электрического гистерезиса?

59

3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Магнитное поле. Основные сведения Магнитное поле – это одна из форм существования материи, которая от-

личается от вещества и передает с конечной скоростью магнитное действие от одних тел на другие.

Многочисленные опыты [1,2] показывают, что магнитное поле связано с электрическим током. Оно может быть обнаружено по силовому действию на движущиеся электрические заряды, проводники с током, магниты. Электри-ческий ток порождает в пространстве вокруг себя магнитное поле, а проходя в магнитном поле другого тока, испытывает со стороны последнего механи-ческие воздействия.

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось еще в прошлом веке. Результаты этих опытов обобщены в законе Био – Савара – Лапласа [3]: для проводника с током I , элемент которого создает в неко-торой точке А (рис. 309.2) магнитное поле, индукция dB

dl прямо пропорцио-

нальна силе тока I и элементу проводника и обратно пропорциональна квадрату расстояния от него.

dlr

Рис 3.1. Определение направления вектора магнитной индукции, создаваемого в точке А проводником с током

С учетом направления векторов dl и r вектор индукции определя-ется по соотношению:

dB

[ ]03

,

4

I dl rdB

r

µ µ

π= , (3.1)

где 0µ = π4 ·10-7 Г/м – магнитная постоянная, µ – магнитная проницаемость среды (для воздуха 1≈µ ), r - радиус-вектор, проведенный от элемента тока в точку A .

Направление перпендикулярно dB dl и r , т.е. перпендикулярно плос-кости, в которой они лежат. Это направление может быть найдено по прави-

60

лу правого винта: направление вращения головки винта дает направление dB , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе . dl Магнитное поле графически изображают с помощью линий магнитной индукции. Вектор магнитной индукции B в каждой точке такой линии на-правлен по касательной. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и ох-ватывают проводники с током. Им придают направление, связанное с на-правлением тока правилом правого винта [1 – 3].

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими токами, равно век-торной сумме магнитных полей, создаваемых каждым током.

Применение закона Био – Савара – Лапласа совместно с принципом су-перпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим в качестве примера магнитное поле в центре кругового про-водника с током. Все элементы кругового проводника с током (рис. 3.2) создают в центре магнитные поля

dldB одинакового направления – вдоль нор-

мали от витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как элементы dl перпендикулярны радиус - вектору (sin 1α = ), и расстояние всех элементов проводника от центра кругового тока одинаково и равно R , то, согласно (3.1),

024

Id B d

Rlµ µ

π= . (3.2)

Рис. 3.2. Магнитное поле кругового витка с током

Тогда

2

002

0 024

B RI IB dB dl

RR

πµ µµ µ

π= = =∫ ∫ . (3.3)

Аналогично закон Био – Савара – Лапласа может быть применен и для вычисления магнитного поля проводников с током другой формы. Единица магнитной индукции в системе единиц СИ – тесла (Тл). 1 Тл – магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой (сила Ампера) в 1Н на каждый метр длины прямолинейного про-водника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по это-му проводнику проходит ток в 1А.

61

Сила Ампера – это сила, действующая на элемент проводника dl , по которому протекает ток, помещенного в магнитное поле B . Она направлена перпендикулярно плоскости, в которой расположены вектор напряженности магнитного поля и вектор, соответствующий элементу длины проводника, и подчиняется соотношению dF I dl B⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦= ⋅ . (3.4)

Величина этой силы sindF I B dl α= ⋅ ⋅ ⋅ . (3.5) Подобно тому, как при исследовании электростатического поля исполь-зуется пробный электрический заряд, при исследовании магнитного поля можно применить замкнутый плоский контур с током (рамка с током). Ори-ентацию контура с током в пространстве принято характеризовать направле-нием положительной нормали n (рис.3.3), связанной с током правилом пра-вого винта, т.е. за положительное направление нормали принимается направ-ление поступательного движения винта, головка которого вращается в на-правлении тока в контуре.

Рис. 3.3. Контур с током в магнитном поле Основной характеристикой рамки с током является ее магнитный мо-мент . В системе единиц СИ модуль этого вектора mp mp IS= , (3.6) где I – сила тока в рамке; S – площадь поверхности, охватываемой контуром. Направлен вектор mp так же, как и положительная нормаль . Рамка с то-nком, используемая как пробный элемент, должна иметь малую площадь (что-бы получалась характеристика поля в точке), малую силу тока (чтобы не ис-кажать исследуемого поля). Магнитное поле в пределах рамки должно быть однородным. На рамку с током в магнитном поле действует механический момент сил M (вращающий момент сил), который зависит как от свойств магнитного поля в данном месте пространства, так и от магнитного момента рамки:

[ , ]mM p B= , (3.7) где B – вектор магнитной индукции, являющийся основной силовой харак-теристикой магнитного поля. Это дает возможность найти направление век-тора B , исходя из соображений, что векторы mp (или n ), B и M образуют правовинтовую систему. 62

В формуле (3.7) записано векторное произведение двух векторных вели-чин mp и B , при этом модуль М зависит от угла α между mp и B :

sin mM p B α= ⋅ . (3.8)

При 2πα = величина механического момента достигает максимального зна-

чения и равна max mM p B= . Отсюда следует, что

max

m

MBp

= . (3.9)

Таким образом, в данной точке однородного магнитного поля индукция B определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке пер-пендикулярна направлению поля. Направлен вектор B как положительная нормаль в положении устойчивого равновесия рамки.

С помощью пробной рамки с известным магнитным моментом mp мож-но изучать различные магнитные поля. Магнитным потоком (потоком вектора магнитной индукции B ) сквозь малую поверхность dS называется физическая величина, равная скалярному произведению вектора магнитной индукции на вектор площадки, через кото-рую он проходит: cosm nd BdS BdS B dS BdSα ⊥Φ = = = = , (3.10) где α − угол между вектором B и нормалью n к площадке dS (рис.3.4); Bn − проекция вектора B на направление нормали; BdS - скалярное произведение векторов B и dS , dS dScosα⊥ = . Под dS понимают вектор, по модулю рав-ный величине площади поверхности dS и направленный по нормали ( )dS n dS= ⋅ . Малая площадка должна быть плоской, а магнитное поле в ее пределах однородным. Единица магнитного потока в системе единиц СИ – вебер (1Вб = =1Тл⋅1м2). Потоку можно дать геометрическую интерпретацию. Магнитный поток численно равен числу пересечений силовых линий поля с площадкой dS⊥ = dS cosα (см. рис. 3.4), такое же число пересечений будет и с площад-кой dS. Густота силовых линий (число линий через единицу площади) есть число линий, пересекающих площадку dS⊥, деленное на величину dS⊥. В со-ответствии с формулой (3.8) густота линий получится равной магнитной ин-дукции В. Магнитный поток через произвольную поверхность S m n

S SB dS BdSΦ = =∫ ∫ . (3.11)

При вычислении этого интеграла векторы n нормалей к площадкам dS надо направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности. Например, если поверхность S замкнутая, чаще всего векторы n выбирают внешними, тогда выходящие силовые линии дают положительный поток, а входящие –

63

отрицательный поток.

Рис. 3.4. Пояснения к расчету потока магнитной индукции Поэтому магнитный поток (поток вектора B ) через любую замкнутую

поверхность равен нулю: 0m

SBdSΦ = =∫ .

Это оотношение выражает теорему Гаусса для вектора магнитной ин-сдукции B и означает отсутствие в природе магнитных «зарядов», источников магнитного поля, на которых начинались бы или заканчивались линии маг-нитной индукции. Вещество в магнитном поле При введении силовой характеристики магнитного поля в виде соотно-шения (3.9) не учитывалось влияние окружающей среды. Магнитные свойст-ва окружающей среды обусловлены микротоками как результат орби-тального движения электронов в атомах (молекулах), а также наличием соб-ственных магнитных моментов электронов и ядер.

При наличии внешнего магнитного поля 0B , созданного макротоками, магнитные моменты орбитальных микротоков в окружающей среде будут испытывать ориентирующее действие. С другой стороны, тепловое движение стремится дезориентировать магнитные моменты микротоков. В результате в веществе устанавливается лишь некоторая преимущественная ориентация магнитных моментов в том же направлении, что и внешнее магнитное поле

0B . Внешнее магнитное поле, кроме того, возмущает орбитальные микрото-ки в атомах (молекулах) таким образом, что возникают наведенные орби-тальные магнитные моменты, направленные строго против внешнего поля

0B . Наведенное магнитное поле B∗ в окружающей среде накладывается на

магнитное поле макротоков 0B , образуя результирующее магнитное поле в среде 0B B B∗= + . (3.12)

64

Вещество, способное под действием магнитного поля приобретать маг- нитный момент, т.е. намагничиваться, называют магнетиком.

Если наведенное магнитное поле B∗ совпадает по направлению с векто-ром 0B , то вещество называют парамагнетиком.

Если же магнитная индукция B∗ наведенного поля в веществе направ-лена противоположно вектору 0B , то такое вещество называют диамагнети-ком.

Для количественной характеристики намагниченности вещества исполь-зуют векторную величину – вектор намагниченности:

1m

VJ P

V ∆=∆ ∑ , (3.13)

где – векторная сумма магнитных моментов всех орбитальных микро- mV

P∆∑

токов, заключенных в некотором объеме V∆ ; J – вектор намагниченности, т.е. количественная мера интенсивности намагничения единицы объема ве-щества под действием намагничивающего поля 0B .

Два вектора B∗ и связаны между собой соотношением J 0B Jµ∗ = , (3.14) где µ0 = 74 10 ./Гн мπ − – магнитная постоянная.

Наряду с вектором магнитной индукции 0B для характеристики маг-нитного поля макротоков используется еще одна векторная величина H , на-зываемая вектором напряженности магнитного поля. Эти два вектора свя-заны соотношением 0 0B Hµ= . (3.15)

Подставив выражения (3.14) и (3.15) в (3.12), получаем ( )0B Hµ J= + . (3.16)

В относительно слабых магнитных полях выполняется линейная зави-симость J Hχ= , (3.17) где χ – безразмерная величина, которая называется магнитной восприимчи-востью вещества. Графическая зависимость (3.17) для парамагнетиков (1) и диамагнетиков (2) представлена на рис. 3.5. Из соотношений (3.16) и (3.17) следует: ( )0 1B Hµ χ= + . (3.18)

Безразмерная величина µ =1 +χ (3.19) называется относительной магнитной проницаемостью вещества.

Характеристики µ и χ для диамагнетиков и парамагнетиков не зависят от напряженности магнитного поля H .

65

Рис. 3.5. Зависимость изменения величины намагниченности

от напряженности магнитного поля

Особое место среди магнетиков занимают так называемые ферромагне-

тики, обладающие рядом особенностей: а) нелинейной зависимостью вектора и вектора J B от вектора напряженности H намагничивающего поля; б) на-

личием критической температуры , ниже которой ферромагнетик превра-щается в парамагнетик.

кТ

Согласно классической теории ферромагнетики при температуре Т< (где – температура Кюри) состоят из большого числа самопроизвольно намагниченных до насыщения микрообъемов (доменов). При отсутствии на-магничивающего поля магнитные моменты отдельных доменов в ферромаг-нетике ориентированы хаотически и компенсируют друг друга, т.е. результи-рующий вектор = 0.

кТкТ

J

Рис. 3.6. Кривая зависимости величины намагниченности ферромагнетика

от напряженности магнитного поля

Под действием внешнего намагничивающего поля ориентируются магнит-

ные моменты не отдельных молекулярных микротоков, а целых доменов. По-этому даже при слабых внешних полях намагниченность ферромагнетиков

резко возрастает по нелинейному закону. По мере усиления магнитного поля достигается насыщение намагниченности ферромагнетика (рис. 3.6), ко-гда все магнитные моменты его доменов ориентируются по направлению си-ловых линий внешнего поля. Ферромагнетик в этом состоянии становится однодоменным.

J

66

Зависимость магнитной индукции B от напряженности намагни-чивающего поля не достигает насыщения (рис. 3.7).

H

Рис. 3.7. Кривая зависимости ( )B H

Угол наклона кривой на графике определяется из соотношения: /tg dB dHα = , (3.20)

где − приращение магнитной индукции в ферромагнетике при изменении напряженности намагничивающего поля в интервале от Н до Н+dH.

dB

По мере уменьшения намагничивающего поля Н до нуля магнитная ин-дукция В будет уменьшаться по кривой остАВ (см. рис. 3.8), отличной от ос-новной кривой намагничивания ОА.

Рис. 3.8. Кривая гистерезиса

При напряженности магнитного поля Н=0 ферромагнетик оказывается на-магниченным, т.е. становится постоянным магнитом. Намагниченность со-храняется вследствие того, что при температуре < нет достаточного за-паса внутренней тепловой энергии для преодоления энергетических барьеров разориентации некоторой части доменов. Чтобы полностью размагнитить ферромагнетик, надо подействовать на него магнитным полем противопо-ложного направления. Напряженность

Т кT

кН размагничивающего поля (см. рис.

3.8), при которой магнитная индукция В в ферромагнетике становится равной нулю, называют коэрцитивной силой. При дальнейшем увеличении магнит-ного Н противоположного направления вновь достигается насыщение намаг-

67

ниченности ферромагнетика (точка D). Изменяя напряженность поля в пре-делах от АН до DН , можно построить график зависимости B=f(H), которую называют петлей магнитного гистерезиса.

Участок кривой намагничивания ОА (рис. 3.8) называют основной кри-вой намагничивания.

В процессе перемагничивания ферромагнетика затрачивается энергия. Энергия, затраченная на перемагничивание единицы объема ферромагнетика (плотность энергии), равна площади петли гистерезиса HBS в координатах Н и В:

HBw S= или . (3.21) A

D

H

H

w Bd= ∫ H

Эта энергия превращается в тепловую энергию.

Электромагнитная индукция

В 1831 г. английский физик М. Фарадей открыл явление электромагнит- ной индукции, заключающееся в том, что в замкнутом проводящем контуре при любом способе изменения магнитного потока через площадку, охваты-ваемую контуром, возникает электрический ток. Этот ток получил название индукционного.

Индукционный ток проводимости возникает в замкнутой цепи под дей-ствием сторонних сил. Соответствующая им ЭДС называется электродвижу-щей силой электромагнитной индукции

mi

ddtΦ=−E . (3.22)

Профессор Петербургского университета Э.Х. Ленц в 1833г. установил связь между направлением индукционного тока и характером изменения магнитного потока, вызвавшего индукционный ток. Правило Ленца гласит: индукционный ток возникает такого направления, что создаваемое им магнитное поле противодействует изменению магнитно-го потока, вызывавшего данный индукционный ток.

Рис. 3.9. Направление вектора магнитной индукции внешнего поля ( B ) и вектора магнитной индукции индукционного тока ( iB ).

Знак минус в формуле (3.13) есть математическое выражение правила Ленца. Например, если линии магнитной индукции (силовые линии B ) на-

68

правлены так, как показано на рис. З.9, и магнитный поток нарастает

( mddtΦ >0), то в контуре возникает индукционный ток Ii такого направления,

что создаваемое им магнитное поле (его силовые линии изображены пункти-ром) уменьшает нарастание магнитного потока, вызывающего ток. В этом случае Ei считают отрицательной (Ei < 0). Если магнитный поток для того же

контура в направления силовых линий убывает mddtΦ > 0, то Ei > 0.

Когда контур, в котором индуцируется ток, состоят не из одного витка, а из N витков, например, представляет собой соленоид, то витки соединяются последовательно и Ei будет равна сумме ЭДС, индуцируемых в каждом из витков отдельности:

mi

d ddt dt mΦ

= − = − Φ∑ ∑E . (3.23)

Величину mΨ = Φ∑ (3.24)

называют потокосцеплением и, если поток через все витки одинаков, то mNΨ = Φ . (3.25)

Возникновение индукционного тока вследствие изменения в электриче-ской цепи тока от внешнего источника (например, при замыкании и размы-кании цепи) называется самоиндукцией [1 – 4]. Взаимная индукция – это явление возникновения индукционного тока в од-ном контуре, если в другом близко расположенном контуре изменяется ток от внешнего источника [1 – 4]. Явление электромагнитной индукции широко применяется в физике и технике (генераторы, трансформаторы в т.д.). Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов. – В 3-х т.– Т. 2. – М.: Наука, 1982.

2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк. 1990.

3. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1989. – 608с.

4. Курс физики: Учебник для вузов в 2-х т. – Т.1 /Под ред. В. Н. Лозовско-го. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001.

69

3.1 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 207

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ

3.1.1. Цель работы

Практическое освоение метода измерения горизонтальной составляю-щей индукции магнитного поля Земли с помощью тангенс-буссоли.

3.2.2. Содержание работы

В данной работе следствие из закона Био – Савара – Лапласа использу-ется для измерения магнитной индукции поля Земли. Определяется горизон-тальная составляющая индукции магнитного поля Земли с помощью тангенс- буссоли.

Систематические измерения магнитной индукции поля Земли в задан-ных точках земной поверхности дали результаты, позволяющие в первом приближении изображать магнитное поле Земли как поле прямого магнита. Ось этого воображаемого магнита наклонена к оси суточного вращения Зем-ли, а полюса лежат около географических полюсов: вблизи северного гео-графического полюса расположен южный магнитный , а вблизи южного географического - северный магнитный (рис.3.1.1). В области магнит-ных полюсов вектор индукции

C SЮ N

B магнитного поля Земли направлен вертикально, а на экваторе – горизонтально.

Рис. 3.1.1. Изображение магнитного поля Земли

В остальных точках земной поверхности он направлен под некоторым углом к горизонту. Его можно разложить на две составляющие: горизонталь-

70

ную rB и вертикальную BB (рис. 3.1.2). Величину проекции вектора индук-ции земного магнитного поля на горизонтальную плоскость называют гори- зонтальной составляющей магнитного поля Земли. Направление этой состав-ляющей принимается за направление магнитного меридиана, а вертикальная плоскость, проходящая через него, называется плоскостью магнитного ме-ридиана.

Рис. 3.1.2. Разложение вектора индукции магнитного поля Земли на составляющие

Угол между направлением магнитной индукции поля Земли и горизон-тальной плоскостью называют углом отклонения γ .

Угол β между географическим и магнитным меридианами называют углом склонения.

Горизонтальная составляющая rB , магнитное склонение β и наклоне-ние γ называют элементами земного магнетизма. Все элементы земного магнетизма изменяются с течением времени, что свидетельствует об измене-ниях магнитного поля земли.

Изучение магнитного поля Земли – геомагнетизма – имеет важное прак-тическое и научное значение. Геомагнитные методы поиска и исследований месторождений железной руды в настоящее время нашли широкое примене-ние в практике.

3.1.3. Описание лабораторной установки

Схема установки, используемой в данной работе, приведена на рис. 3.1.3, где E – источник тока, – двухполюсный переключатель, S A – ампер-метр, R – реостат, ТБ – тангенс-буссоль.

Тангенс-буссоль состоит из кольцеобразного проводника или плоской катушки с некоторым числом витков большого радиуса. Плоскость витков расположена вертикально, и вращением около вертикальной оси ей можно придать любое положение. В центре витков в горизонтальной плоскости рас-положен компас с короткой магнитной стрелкой.

N

71

Рис. 3.1.3. Схема лабораторной установки

Сила тока в витках устанавливается реостатом R . При помощи двухпо-люсного переключателя можно изменять направление тока. Ток, проходя-щий по круговому проводнику, измеряется с помощью амперметра

SA .

3.1.4. Методика проведения эксперимента

При отсутствии тока в витках тангенс-буссоли на магнитную стрелку действует только магнитное поле Земли и стрелка устанавливается в плоско-сти магнитного меридиана. Поворачивая тангенс-буссоль около вертикаль-ной оси, можно добиться совмещения плоскости витков с плоскостью маг-нитного меридиана.

Рис. 3.1.4. Разрез тангес-буссоли. Вид сверху

Если после такой установки витков по ним пропустить ток, то магнитная стрелка повернется на некоторый угол α . Это объясняется тем, что на маг-нитную стрелку будут действовать теперь поля: горизонтальная составляю-щая индукции магнитного поля Земли rB и поле, созданное круговым током витков 1B . Под действием этих полей магнитная стрелка займет такое поло-

72

жение равновесия, при котором равнодействующая двух этих полей B будет совпадать с линией, соединяющей полюсы магнитной стрелки (рис. 3.1.4).

На рис.3.1.4 изображен вид сверху на сечение прибора горизонтальной плоскостью, проходящей через центр витков, где - проекция плоскости магнитного меридиана Земли; - магнитная стрелка компаса.

NSNS

Так как вектор индукции магнитного поля кругового тока в центре ка-тушки перпендикулярен плоскости ее витков, то в условиях совмещения вит-ков с плоскостью магнитного меридиана векторы rB и 1B взаимно перпен-дикулярны, поэтому

1 rB B tgα= или 1rB B tgα= . (3.1.1) Индукция магнитного поля в центре одного кругового витка определя-

ется на основании формулы (3.3). Поэтому индукция поля в центре катушки с небольшим числом витков определится по соотношению N

01 2

INBR

µµ= . (3.1.2)

Тогда с учетом (3.1.1) горизонтальная составляющая индукции будет равна

rB

02r

INBRtg

µµα

= , (3.1.3)

где I – сила тока, текущего в витках, R – радиус витка. Этой формулой и пользуются для опытного определения горизонталь-

ной составляющей индукции магнитного поля Земли. Оценим, при каком угле отклонения α наиболее рационально произво-

дить измерения. Для этого установим, при каком значении α относительная погрешность r rB Bε = ∆ как функция угла α будет минимальной.

Чтобы представить себе вид зависимости ( )ε ε α= , сначала прологариф-мируем, а затем продифференцируем формулу (3.1.3). После логарифмиче-ского дифференцирования получим:

2sin 2

r

r

B I RB I R

αεα

∆ ∆ ∆ ∆= = + + . (3.1.4)

Из этой формулы следует, что последний член полученного выражения имеет минимальное значение, когда α =45°, поэтому нужно подбирать такую силу тока в цепи, чтобы угол отклонения α был близок к 45°.

3.1.5. Порядок выполнения работы

1. Соберите схему в соответствии с рис. 3.1.3, располагая тангенс-буссоль и реостат как можно дальше друг от друга, чтобы магнитное поле рео-

стата не влияло на магнитную стрелку. 2. Поворачивая тангенс-буссоль, установите плоскость витков проводника

в плоскости меридиана, т.е. плоскость витков должна совпадать с на-правлением магнитной стрелки, пока в витках нет тока. Плоскость лим-

73

ба поверните так, чтобы один полюс стрелки стоял на 0°, а другой – на 180°.

3. Переключателем замкните цепь и при помощи реостата S R , изменяя силу тока I в катушке, добейтесь, чтобы угол α′отклонения стрелки от плоскости витков был равен 35°. Данные измерений I и α записывайте в табл. 3.1.1.

4. Не изменяя силы тока, измените его направление переключателем и измерьте угол

Sα′′ отклонения стрелки от плоскости витков. Если при пе-

реключении сила тока изменилась, установите реостатом R ее прежнюю величину.

5. Изменяя силу тока с помощью реостата R , повторите опыт 8 раз для уг-лов в интервале от 35° до 55°.

3.1.6. Обработка результатов измерений.

1. Используя полученные значения α′ и α ′′ , для каждого опыта определите среднее значение α :

2

α αα +′ ′′= . (3.1.5)

2. Также для каждого опыта по формуле (3.1.3) вычислите . Число вит-ков и радиус катушки указаны на приборе.

rB

3. Вычислите среднее значение rB . 4. Вычислите для одного из проделанных опытов относительную погреш-

ность ε по формуле 3.1.4. Величина α∆ берется равной половине цены деления шкалы лимба, выраженной в радианах. Величина I∆ определя-ет по классу точности прибора. Величину R∆ принять равной 0,2 см.

5. Найдите rB Brε∆ = для выбранного значения rB . Запишите окончатель-ный результат в виде (... )r rB B= ± ∆ .

Таблица 3.1.1 Результаты экспериментальных измерений

I , А α′ , град

α′′ , град

α , град

tgα rB , Тл rB , Тл

ε rB∆ , Тл

3.1.7. Контрольные вопросы

1. Какая величина является силовой характеристикой магнитного поля? Каков ее физический смысл? В каких единицах она измеряется?

2. Сформулируйте закон Био – Савара - Лапласа. Как определить направ-ление вектора B ?

6. Как с помощью закона Био – Савара - Лапласа вычислить магнитную индукцию в центре кругового тока?

7. Каков физический смысл теоремы Гаусса для магнитного поля?

74

8. Что такое вращающий момент и за счет чего происходит вращение рам-ки с током в магнитном поле?

9. Какие величины относятся к элементам земного магнетизма и как опре-делить каждую из них?

10. Какие поля действуют на магнитную стрелку при наличии тока в катуш-ке тангенс-буссоли? Как взаимно расположены эти поля?

75

3.2 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 208

ИЗУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВ ФЕРРОМАГНЕТИКОВ

3.2.1. Цель работы

Исследование зависимости индукции магнитного поля в ферромагнит-ном материале от напряженности намагничивающего поля. Количественная оценка магнитной проницаемости и энергии перемагничивания ферромагне-тика.

3.2.2. Содержание работы

В данной работе изучаются нелинейные свойства ферромагнетиков, зависимости изменения величины магнитной индукции и величины относи-тельной магнитной проницаемостью вещества от напряженности магнитного поля, определяются потери в материале .

3.2.3. Описание лабораторной установки

Петлю магнитного гистерезиса на экране осциллографа получают с по-мощью электрической схемы, изображенной на рис. 3.2.1.

Рис. 3.2.1. Электрическая схема лабораторной установки

Исследуемый образец ферромагнитного материала изготовлен в виде то-ра, на поверхность которого намотана обмотка, образуя тороид Т. На гори-зонтально отклоняющие пластины осциллографа (Вход «Х») подается пере-менное напряжение HU , а на вертикально отклоняющие пластины (Вход «Y») – напряжение . BU

76

3.2.4. Методика проведения эксперимента

Значение напряженности магнитного поля Н в объеме тора, созданного током 1I в витках тора Т, прямо пропорционально значению падения напря-жения на резисторе (см. рис. 3.2.1): 1R

x HH k U= . (3.2.1) Значение же магнитной индукции В в объеме ферромагнитного материа-

ла прямо пропорционально падению напряжения на конденсаторе y BB k U= , (3.2.2)

где xk и yk – постоянные, зависящие от параметров установки. Таким образом, отклонение электронного луча в осциллографе по гори-

зонтали будет пропорционально напряженности Н намагничивающего поля, а отклонение луча по вертикали – пропорционально магнитной индукции В поля в ферромагнитном материале тора. За период изменения тока в тороиде электронный луч опишет на экране петлю гистерезиса, а за каждый после-дующий период в точности повторит его. Поэтому на экране осциллографа будет изображена неподвижная фигура петли гистерезиса.

Для определения плотности энергии перемагничивания ферромагнетика необходимо знать площадь петли гистерезиса в координатах Н и В при известной ее площади на экране осциллографа в координатах X и Y

HBS

HBS = z XYS , (3.2.3) где z – коэффициент пропорциональности.

Коэффициент z можно определить, исходя из следующих соображений. Пусть на экране имеется петля гистерезиса в координатах X и Y с вершиной

и ей соответствует петля в координатах Н и В с вершиной ( , )i i iа x у( ,i i i )A H B (см. рис.3.2.2 а, b).

Рис. 3.2.2.

Отношение произведений координат вершин /( )i i i iz H B x y= (3.2.4) определяет значение коэффициента.

77

С учетом соотношений (3.21), (3.2.3) и (3.2.4) следует формула

,i i

x yi i

H Bw Sx y

= (3.2.5)

для расчета плотности энергии, приходящейся на один цикл перемагничива-ния ферромагнетика. Энергия, необходимая для перемагничивания единицы объема ферромагнетика в течение одной секунды, равна

W= ν w, (3.2.6) где ν – частота перемагничивания.

Для вычисления амплитудных значений напряжений и HU BU в форму-лах (3.2.1) и (3.2.2) необходимо определить цену деления шкалы экрана для выходов X и Y осциллографа (инструкция для определения цены деления шкалы на экране для данного типа осциллографа прилагается).

Определив цену деления XC и для выходов X и Y осциллографа, можно представить соотношения (3.2.1) и (3.2.2) в виде:

YC

;x XH k C x= y YB k C y= . (3.2.7) Используя значения Н и В, можно построить основную кривую намагни-

чивания. Промежуточные значения магнитной проницаемости рассчитыва-ются по формуле

10 /( )B Hµ µ−= ∆ ∆ , (3.2.8)

где B∆ и H∆ определяются графически, как показано на рис. 3.2.3.

Рис. 3.2.3. Графический метод определения зависимости µ(H)

3.2.5. Порядок выполнения работы 1. Подготовьте осциллограф к работе (необходимые указания находятся на лабораторном столе). 2. Включите питание осциллографа. 3. Сфокусируйте пятно на экране осциллографа и установите его в центре с

помощью ручек «смещ. Х» и «смещ. Y». 4. Подключите установку к осциллографу (см. рис. 3.1.1) и включите ее пи-

тание.

78

5. С помощью ручек «усиление» осциллографа (в некоторых типах осцил-лографа и «синхронизация») и 1R установки получите петлю гистерезиса в пределах экрана.

6. Скопируйте изображение на экране или постройте ее по координатам в масштабе 1:1. Положение ручек осциллографа «усиление» (где требуется и «синхронизация») не изменяйте до завершения работы.

7. Определите цену деления и для выходов X и Y осциллографа со-гласно дополнительным указаниям на рабочем столе. Внесите эти зна-чения и показание k делителя входного сигнала в табл. 3.2.2.

XC YC

8. Подключите оба сигнала и HU BU от установки к входам X и Y соответ-ственно. На экране появится изображение петли гистерезиса.

9. Произведите отсчет координат вершин для некоторого семей-ства петель гистерезиса, поворачивая ручку потенциометра

),( iii yxа1R . Получите

таким образом 8-10 петель гистерезиса, уменьшая до полного вырожде-ния петли в точку. Запишите координаты их вершин и . ix iy

10. Запишите параметры установки в табл. 3.2.3. 11. Отключите установку и осциллограф от сети. 3.2.6. Обработка результатов измерений 1. Определите площадь петли гистерезиса XYS . Результат запишите в

табл. 3.2.3. 2. По формулам (3.2.5) и (3.2.6) вычислите значение плотности энергии

перемагничивания за секунду w. 3. По известным координатам ix iy основной кривой намагничивания и

известным значениям XC и YC определите с помощью формул (3.2.7) значения iH и . iB

4. Постройте основную кривую намагничивания B=f(H). 5. Постройте семейство касательных на основной кривой намагничивания

(см. рис. 3.2.3) и определите с помощью формулы (3.2.8) несколько зна-чений магнитной проницаемости. Положения возможных касательных помечены на рис. 3.2.3 цифрами.

Таблица 3.2.1

Результаты расчета цены делений для шкалы экрана осциллографа kU , В

xl , дел

yl , дел

k XC , В/дел

YC , В/дел

79

Таблица 3.2.2 Результаты измерений и вычислений

для построения кривой намагничивания

iy , дел

iB , Тл

ix , дел

iH , А/м

µ

.

.

.

Всего 8 – 10 значений

Таблица 3.2.3 Параметры установки и результаты однократных измерений

ν ,

1с− xk ,

1 1м Ом− − yk ,

2ОмФм− XYS ,

2( )дел HBS ,

3Дж м− W,

3 1Дж м с− −

3.2.7. Контрольные вопросы 1. Объясните основную кривую намагничивания и природу ферромагнит - ного гистерезиса. 2. Основные характеристики пара-, диа- и ферромагнетиков. 3. Что роисходит в фе ромагнетике при дости ении критической темпе-

ратуры Кюри? п р ж

4. Какова причина рассеяния энергии в процессе перемагничивания ферро-магнетика?

5. Как осуществляется измерение напряжений HU и с помощью ос-циллографа?

BU

6. Чем обусловлено изменение магнитной проницаемости при изменении напряженности Н намагничивающего поля?

80

3.3 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 209

ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ ГАЛЬВАНОМЕТРА

1.1.2. Цель работы Изучение явления электромагнитной индукции, применение явления вза-имной индукции для определения постоянной баллистического гальваномет-ра.

1.1.3. Содержание работы В настоящей работе явление взаимной индукции применяется для опре-деления постоянной баллистического гальванометра. Гальванометр – это высокочувствительный электроизмерительный при-бор для измерения величин малых токов, напряжений и количеств элек-тричества. Часто гальванометры используются в мостовых схемах в качестве нуль-индикатора, т.е. указателя отсутствия тока (или напряжения). В гальванометрах магнитоэлектрической системы [2,4] рамка из не-скольких витков проволоки с током помещается в магнитное поле подково-образного магнита. Для измерения заряда, проходящего через цепь при кратковременном импульсе тока (например, при разрядке конденсатора или коротком импульсе индукционного тока в настоящей работе), используется баллистический гальванометр. В таком гальванометре искусственно увеличен момент инер-ции подвижной системы, и поэтому подвижная система имеет большой пери-од собственных колебаний, много больший продолжительности τ импульса тока. В этом случае, получив короткий толчок, рамка гальванометра повора-чивается, имея наибольший угол поворота ϕmax от нулевого положения про-порциональный не току, а количеству электричества Q

0

Q idτ

= t∫ , (3.3.1)

т. е. Q = β⋅ϕ max , (3.3.2) где β – баллистическая постоянная гальванометра, равная количеству элек-тричества, при протекании которого через рамку гальванометра она повер-нется на угол, равный одному радиану. В лабораторной практике при повороте подвижной системы гальвано-метра отсчеты снимаются по линейной шкале с перемещающимся световым указателем. Тогда

Qn

β =′ , (3.3.3)

где п – число делений шкалы, соответствующее максимальному отклонению указателя.

81

Величина, определяемая формулой (3.3.3), также называется баллистиче-ской постоянной гальванометра, она численно равна количеству электриче-ства, вызывающего отклонение указателя на одно деление шкалы (т. е. цена деления).

3.3.3. Описание лабораторной установки

Электрическая схема установки приведена на рис. 3.3.1.

Рис. 3.3.1. Принципиальная электрическая схема установки Она состоит из двух цепей. В первичной цепи катушка индуктивности L1 подключена к источнику постоянного тока E через реостат R, амперметр А и ключ К1. Во вторичной цепи катушка индуктивности L2 замкнyта на балли-стический гальванометр G. Ключ К2 служит для успокоения колебаний рам-ки гальванометра. Обе катушки из изолированного провода намотаны на общий сердечник. 3.3.4. Методика проведения эксперимента

После замыкания ключа К1 в первичной цепи реостатом R устанавлива-ется некоторая сила тока I1. При размыкании ключа К1 в первичной цепи происходит уменьшение силы тока до нуля. Это изменение приводит к уменьшению магнитного потока через каждый виток катушки L1, от Ф1 до нуля (а, следовательно, через витки катушки L2), что приводит к возникнове-нию ЭДС индукции во вторичной цепи (явление взаимоиндукции)

121 2

dNdtΦ= −E , (3.3.4)

где N2- число витков катушки L2. При последующем замыкании ключа К1 сила тока нарастает от нуля до I1, нарастает магнитный поток от нуля до Ф1 и возникает ЭДС индукции E2i, определяемая также выражением (3.3.4).

82

Во вторичной цепи, следовательно, вследствие явления взаимоиндукции возникает индукционный ток

22

0

iIR

= E , (3.3.5)

где R0 – сопротивление катушки во вторичной цепи. Из выражений (3.3.4) и (3.3.5) следует, что

2 12

0

N dIR dt

Φ= . (3.3.6)

Знак «минус» здесь опущен, т.к. он, в соответствии с правилом Ленца, оп-ределяет только направление тока.

Количество электричества, прошедшее через баллистический гальвано-метр, за продолжительность τ импульса индукционного тока

2 20

Q Iτ

= dt∫ (3.3.7)

и равно, как следует из выражений (3.3.6) и (3.3.7),

22

0

NQR 1= Φ . (3.3.8)

Магнитный поток Ф1 определяется силой тока в первичной цепи и пара-метрами катушки L1 [1 – 3]:

11 0 1

1

N1I S

lµµΦ = , (3.3.9)

где µ - магнитная проницаемость сердечника катушек; µ0 – магнитная посто-янная; µ0 = 4π⋅10–7 Гн/м; N1 – число витков в катушке L1; I1 – ток в ка-тушке; S1 – площадь сечения катушки L1. Подставив выражение (3.3.9) в формулу (3.3.8), получим

1 22 0 1

0 1

N NQ IR l

µµ= 1S . (3.3.10)

Тогда выражение (3.3.3) для баллистической постоянной β ′ с учетом того, что Q = Q2 из соотношения (3.3.10), имеет вид

1 11 2

00 1

N N I SR l n

β µµ′ = . (3.3.11)

В соответствии с этой формулой для определения баллистической посто-янной измеряются: ток в катушке I1 и максимальные отклонения светового указателя nр при размыкании первичной цепи и nЗ при замыкании це-пи для разных значений I1. 3.3.5. Порядок выполнения работы 1. Ознакомьтесь с электрической цепью установки. 2. Установите верхний предел измерений амперметра на 2А и определите цену деления амперметра СА. Запишите в табл. 3.3.1. 3. Включите в сеть гальванометр и блок питания установки.

83

4. При замкнутом ключе К1 реостатом R установите значение силы тока I1 = 1А. 5. Разомкните К1 и снимите по шкале гальванометра отсчет первого откло- нения светового указателя nр. 6. Замкните К2 и снимите отсчет первого отклонения светового указателя nЗ. Повторите измерения по пунктам 4–6 для 4–5 значений силы тока I1, уве- личивая силу тока от 1 до 2 А. 7. Запишите результаты измерений в табл. 3.3.1, а параметры и константы в табл. 3.3.2. 3.3.2. Обработка результатов эксперимента 1. Для каждого значения силы тока I1, вычислите средние значения <n> по формуле

2

р Зn nn

+= . (3.3.12)

2. По формуле (3.2.11) рассчитайте значение баллистической постоянной .β′ 3. Определите среднее значение β ′ . Запишите результаты в табл. 3.3.1. Таблица 3.3.1 Результаты измерений и вычислений I1, А nр, дел nЗ, дел <n>, дел ,β′ Кл/дел β ′ , Кл/дел5–6 значений Таблица 3.3.2 Параметры установки и константы СА, А/дел

N1, витков

N2, витков

R0, Ом

l, м

S1, м2

µ

3.3.7. Контрольные вопросы 1. Что такое индукция магнитного поля? Назовите ее единицы в системе единиц СИ. 2. Что такое магнитный момент контура с током? Как от него зависит меха- нический момент сил, действующий на рамку с током в магнитном поле? 3. Дайте определение магнитного потока, назовите его единицы в СИ. Ка - кова геометрическая интерпретация магнитного потока? 4. В чем заключается явление электромагнитной индукции? 5. Сформулируйте и запишите формулой закон Фарадея. Поясните запись. 6. Сформулируйте правило Ленца. Поясните его примерами. 7. Объясните, как работает первичная и вторичная электрические цепи ла- бораторной установки.

84

8. Объясните коротко принцип действия, особенности и назначение балли- стического гальванометра. 9. Что такое баллистическая постоянная гальванометра? Получите для нее расчетную формулу, используемую в данной работе. 10. Почему при замкнутой первичной цепи во вторичной нет тока? Почему световой указатель гальванометра при замыкании и размыкании первич- ной цепи отклоняется в разные стороны?

85

3.4 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 210

ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ ТРАНСФОРМАТОРА 3.4.1. Цель работы Изучение зависимостей коэффициента трансформации от соотношения числа витков первичной и вторичной обмоток, сопротивления нагрузки и частоты переменного тока.

3.4.2. Содержание работы

Трансформатор (дословно «преобразователь») служит для преобразова-ния переменных напряжений или силы тока. С энергетической точки зрения трансформатор можно определить как устройство для передачи энергии пе-ременного тока с помощью индуктивно связанных электрических цепей. Индуктивная связь наиболее эффективна в трансформаторе с сердечни-ками из ферромагнитных материалов в виде замкнутого ярма С, на которое намотаны первичная N1 и вторичная N2 обмотки (рис. 3.4.1).

Рис. 3.4.1. Схема трансформатора Принцип работы трансформатора основан на явлении электромагнит-ной индукции. Трансформатор – сложнейшая нелинейная электродинамиче-ская система, которую в общем случае невозможно рассчитать простыми ме-тодами, так как: 1. Между напряженностью магнитного поля Н и магнитной индукцией В в

ферромагнетиках существует нелинейная (из-за насыщения) и неоднознач-ная (благодаря гистерезису) зависимость.

2. На достаточно высоких частотах токи первичной и вторичной цепей частично замыкаются межвитковыми емкостями, и между этими цепями появляется так называемая паразитная связь (паразитная емкость зависит от размеров и расположения витков).

3. Часть подводимой к трансформатору энергии тратится на нагревание сердеч-ника (токи Фуко).

86

4. Структура магнитного поля трансформатора сложна и меняется во времени. В практических расчетах пользуются упрощенной моделью трансфор-матора, основанной на следующих предположениях: зависимость между Н и В однозначна и линейна; потерями энергии, связанными с токами Фуко и паразитными емкостями, можно пренебречь; полный магнитный поток трансформатора можно разбить на три потока: Ф0 – поток внутри сердечни-ка, охватывающий все обмотки (основной поток); Фр1 – поток охватываю-щий все витки только первичной обмотки; Фр2 – только вторичной обмотки (потоки рассеяния) (рис. 3.4.1). Эти допущения достаточно хорошо выпол-няются для ферромагнитных материалов с малой коэрцитивной силой, при отсутствии насыщения и соответствующем выборе конструкций трансфор-матора и способе намотки витков. Рассмотрим расчет упрощенной модели трансформатора. Вначале для про-стоты рассуждений будем считать, что активные сопротивления катушек (обмо-ток) r1 и r2 и потоки рассеяния Фр1 и Фр2 равны нулю. Подадим на первичную обмотку с числом витков N1 переменное напряже-ние

U1=U0 сos ωt . (3.4.1) Следовательно, разность потенциалов между точками 1 и 2 (см. рис. 3.4.2.) равна

ϕ 1 - ϕ 2 = U1 (3.4.2) Вторичную обмотку с числом витков N2 замкнем на активную нагрузку RH. В этом случае электрическая схема выглядит так, как показано на рис. 3.4.2.

Рис. 3.4.2. Электрическая схема трансформатора

В установившемся режиме по первичной обмотке течет ток I1 , а по вто-ричной I2. Поэтому магнитный поток через поперечное сечение сердечника как током I1 так и I2. Причем, в соответствии с правилом Ленца, магнитный поток Ф2 (тока I2) всегда направлен так, что он противодействуем изменению потока Ф1 (тока I1). Поэтому поток через поперечное сечение равен

1 21 2 0 1 0 2 0 1 1 2 2

1( )

I IN S N S S N I N I

l l lµµ µ µ µ µΦ = Φ − Φ = − = − , (3.4.3)

где S – поперечное сечение сердечника, l – длина средней линии сердечника.

87

Э.Д.С., возникающая в одном витке, равна

0 11 2(в

d S dI dIN N

dt l dt dtµ µε Φ

= − = − − 2 ) , (3.4.4)

а на каждой обмотке индуцируются Э.Д.С., соответственно, 11 N вε ε= , (3.4.5)

22 N вε ε= . (3.4.6)

Напишем закон Ома для участка I - N1 - 2 (см. рис.3.4.2): 11221 rI=+− εϕϕ . (3.4.7)

Для рассматриваемого случая r1=0 и, учитывая выражения (3.4.2), (3.4.4), (3.4.5), получаем

)( 22

11

101 dt

dIN

dtdI

NlSN

U −=µµ

. (3.4.8)

Напишем закон Ома для контура вторичной цепи . (3.4.9) 2 2 нI Rε =

Введём обозначение

2 2нI R U= , (3.4.10)

что является напряжением на активной нагрузке Rн , или напряжением на зажимах вторичной обмотки. Учитывая выражения (3.4.9), (3.4.6) и (3.4.4), после преобразования получим

)( 11

22

202 dt

dIN

dtdI

NlSN

U −=µµ

. (3.4.11)

Физическая величина, равная

1

2

UU

=κ , (3.4.12)

называется коэффициентом трансформации. Из выражений(3.4.11) и (3.4.8) следует, что

1

2

NN

=κ . (3.4.13)

Индуктивности первичной и вторичной обмоток, соответственно, равны

20 1

1N S

Ll

µ µ= ; (3.4.14)

20 2

2N S

Ll

µ µ= . (3.4.15)

Воспользовавшись выражениями (3.4.14), (3.4.10), (3.4.12.), (3.4.13) и проде-лав соответствующие математические выкладки, выражение (3.4.8) преобра-зуем к такому виду:

88

1 1

1 1 21

2

dI L dU1

dt dtNR

Nн

= −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1

U L . (3.4.16)

Это уравнение можно решить методом векторных диаграмм. Выражение 1 1( / ) LL dI dt U= есть напряжение на индуктивности L1, которое опережает

ток на ней на π/2. Кроме того, амплитуды напряжения и тока на индуктивно-сти связаны соотношением U L . (3.4.17) 0 1 1 01L Iω=

Учитывая выражение (3.4.1), из выражения (3.4.16) получаем

11 0 0

21

2

(2( )

Lн

L )cos t U cos tNRN

U U ω πω ω= + + . (3.4.18)

Сложение колебаний в правой части выражения (3.4.18) выполним методом векторных диаграмм (рис. 3.4.3).

Рис. 3.4.3. Векторная диаграмма для решения уравнения (3.4.18)

Из рис. 3.4.3 получаем

2 21

0 1 0 2 41 2

1( / )

Lн

LU U . (3.4.19)

R N N

ω= +

Из выражения (3.4.17), учитывая выражение (3.4.19), находим

01 0 2 2 2 41 1

1 1

( / )н 2L R N Nω= +I U . (3.4.20)

Отвлечемся от трансформатора и рассмотрим цепь, состоящую из парал-лельного соединения омического сопротивления Rэк и катушки с индуктив-ностью L1 (рис. 3.4.4). Напряжение U1 изменяется по закону (3.4.1), индуктивность L1 равна индук-тивности первичной обмотки трансформатора. Из решения этой задачи, ко-торую предоставляется выполнить самостоятельно, вытекает, что амплитуд-ное значение тока I оэк=U0/Rэк, тока I0L1= U0 / L1⋅ω , причем этот ток от-стает по фазе на π/2 от напряжения.

89

Рис. 3.4.4. Электрическая цепь

По методу векторных диаграмм (см. рис. 3.4.5) находим

01 0 2 2 21

1 1

экI U

L Rω= + . (3.4.21)

Эта формула совпадает с соотношением (3.4.20), если Rэк заменить на

. (3.4.22) 1 22( / )эк нR R N N=

Рис. 3.4.5. Векторная диаграмма напряжений

Следовательно, для рассматриваемого случая первичной цепи трансфор-матора (рис. 3.4.2) можно заменить схемой (рис. 3.4.4). Перейдем к более сложной модели трансформатора. С учетом индук-тивностей расстояния Lр1 и Lр2, активных сопротивлений обмоток r1 и r2 и формулы (3.4.6), эквивалентные схемы первичной и вторичной цепей могут быть представлены в виде, приведенном на рис. 3.4.6.

Рис. 3.4.6. Эквивалентная схема трансформатора

90

Приведенные схемы значительно упрощаются в случае низких 1( эк )L Rω << и высоких 1( эк )L Rω >> частот. В области низких частот схе-

мы имеют вид, приведенный на рис. 3.4.7.

Рис. 3.4.7. Эквивалентная схема трансформатора для низких частот

Векторная диаграмма для первичной цепи представлена на рис. 3.4.8, из которой следует

201 0 1 1 1/( 1 ( / ) )I U L r Lω= + ω .

Амплитудное значение напряжения на L1

0

0 1 01 12

1 11 ( / )L

UU I L

r Lω

ω= =

+. (3.4.23)

Рис. 3.4.8. Векторная диаграмма для первичной цепи

Следовательно, амплитудное значение ЭДС, возникающей в каждом вит-ке, равна

0 1 021 1 1 1

1

1 ( / )L

овU U

N N r Lω= − = −

+E . (3.4.24)

На основании выражения (3.4.6 ) амплитудное значение ЭДС

0202 2

1 1 11 ( / )UN

N r Lω= −

+E (3.4.25)

Для вторичной цепи (рис. 3.4.7) амплитудные значения силы тока и вы-ходного напряжения равны, соответственно,

2

02 021 21 1

1 1( )1 ( / ) н

NI U

N rr Lω=

++ R ; (3.4.26)

91

2

0 02 0 21 2 1 1

1 1(1 / ) 1 ( / )

вых нн

NU I R UN r R r Lω

= =+ +

. (3.4.27)

При частоте 1 /н r L1ω = амплитуда выходного напряжения составляет / 2I своего максимального значения. С уменьшением частоты ниже ωН

(которая называется нижней частотой) амплитуда выходного напряжения быстро уменьшается. В области высоких частот становится заметным влияние индуктивно-сти рассеяния Lр1 и Lр2, в то же время индуктивным сопротивлением первич-ной обмотки можно пренебречь по сравнению с эквивалентным сопротивле-нием. На рис. 3.4.9 представлены схемы цепей трансформатора для высоких частот.

Рис. 3.4.9. Эквивалентная схема трансформатора для высоких частот

Векторная диаграмма для первичной цепи представлена на рис. 3.4.10.

Рис. 3.4.10. Векторная диаграмма первичной цепи

Из нее мы получаем

( )( )0

0 211 1

1(1 / ) 1 /

Rээк

p эк

UUr R L r Rω

=+

+ +. (3.4.28)

На рис. 3.4.11 представлена векторная диаграмма для вторичной цепи. Из нее получаем

020 22 1 2

1(1 / ) 1 ( / ))

выхн p н

Ur R L r R

ε

ω=

+ + + . (3.4.29)

92

Рис. 3.4.11. Векторная диаграмма вторичной цепи

Аналогичные рассуждения приводят, что амплитудное значение выход-ного напряжения равно

( )( ) ( )( )

2

1 1 2

2 21 1 2 2

1 1(1 / ) (1 / )

1 1

1 / 1 /

овых oэк н

p эк p н

NU UN r R r R

L r R L r Rω ω

×

×

=+ +

+ + + +

. (3.4.30)

Как следует из (3.4.30), частотная зависимость в области верхних частот начинает проявляться, когда сопротивление индуктивности рассеяния пер-вичной обмотки становится сравнимым с Rэк или сопротивление индуктив-ности рассеяния вторичной обмотки становится сравнимым с Rн. При этом очевидно, что и верхняя граничная частота становится пропорциональной сопротивлению нагрузки. Однако даже при разрыве вторичной цепи (т.е. при Rн→ ∞) верхняя граничная частота остается конечной из-за ограничения свойств ферромагнетика со стороны верхних частот.

3.4.3. Описание лабораторной установки. Принципиальная схема установки показана на рис. 3.4.12.

Рис. 3.4.12. Принципиальная схема экспериментальной установки Первичная обмотка имеет N1 витков. На ней сделаны отводы от витков

93

N1/4 и N1/2. Вторичная обмотка имеет N2 витков. С помощью тумблера Т переменное сопротивление нагрузки Rн можно отключить от вторичной об-мотки.

3.4.4. Методика проведения эксперимента

Измерить значение переменного сопротивления нагрузки можно с по-мощью омметра, подключенного между точками F и G, в положении тумб-лера Т таком, что сопротивление нагрузки подключается к точке F (см. рис. 3.4.12). Для снятия частотной зависимости коэффициента трансформации ме-жду точкой D и одним из отводов первичной обмотки (А, В, С) подключается звуковой генератор так, что общий провод подключается к точке D. Общий провод прибора, измеряющего напряжение, подключается к Н, а его вход – к точке Е при измерении напряжения на вторичной обмотке или параллельно звуковому генератору (точки А,В,С) при измерении напряжения на первич-ной обмотке. Изменяя частоту звукового генератора и измеряя напряжение на первичной и вторичной обмотках, определяется коэффициент трансфор-мации по отношению напряжения на вторичной к напряжению на первичной обмотках для разных частот. Порядок выполнения работы: 1. Подключить омметр к точкам F и G. 2. Переключить тумблер Т в такое положение, чтобы сопротивление на-грузки подключилось к точке F. 3. Изменяя сопротивление нагрузки, определите его максимальное значе-ние и запишите в табл. 3.4.1. Измерения проведите три раза. 4. Контролируя величину сопротивления нагрузки омметром, установите его равным 0,25 от своего максимального значения. 5. Переключите тумблер Т в такое положение, чтобы сопротивление на-грузки подключилось к точке Е. 6. Подключите общий провод прибора, измеряющего напряжение, к точке G. 7. Общий привод звукового генератора подключить к точке D. Выходное напряжение с генератора (второй провод) подайте к точке А. 8. Изменяя частоту генератора (пределы изменения частоты см. на уста-новке) и поддерживая постоянное напряжение на первичной обмотке (кон-тролируя приборы, измеряющие напряжение в точке А), измерьте этим же прибором напряжение на вторичной обмотке (в точке Е) трансформатора в зависимости от частоты. Результаты измерений запишите в табл. 3.4.2. Примечание: интервалы изменения частоты генератора в начале и в конце предела изменения частоты должны быть малыми, а в середине могут быть довольно значительными. 9. Проделайте аналогичные измерения для других значений числа витков первичной обмотки, подавая выходное напряжение с генератора на точки В и С.

94

10. По указанию преподавателя подайте выходное напряжение с генератора на точку А или В, или С. 11. Выполните пункт 8 для значений сопротивления нагрузки 0,5 от макси-мального значения и равным максимальному значению (проделав пункты 1,2,4 с учетом новых значений).

3.4.6. Обработка результатов эксперимента 1. Для каждой серии измерений вычислите коэффициенты трансформации по формуле (3.4.13) и постройте графики зависимости коэффициента транс-формации от частоты. 2. По каждому графику определите значения нижней и верхней граничных частот по достижении коэффициента трансформации 0,7 своего максималь-ного значения. 3. Объясните полученные результаты. Таблица 3.4.1

Результаты измерения величины сопротивления нагрузки Rн(max), Ом 0,5Rн(max), Ом 0,25Rн(max), Ом

Таблица 3.4.2 Выходное напряжение генератора подано к точке… Rн = …..Ом, U1 = …..В

Частотная характеристика трансформатора ν, Гц U2, В

k

3.4.7 Контрольные вопросы 1. Что такое трансформатор с энергетической точки зрения? 2. На каком явлении основан принцип работы трансформатора? 3. Перечислите причины, которые затрудняют расчет трансформатора. 4. Выполните расчет упрощенной модели трансформатора. 5. Что называется коэффициентом трансформации? 6. Выполните расчет трансформатора с учетом индуктивностей рассеяния

и активных сопротивлений обмоток. 7. Что понимается под нижней в верхней граничными частотами? Чем

обусловлено их наличие? 8. Что можно сказать о коэффициенте трансформации между нижней и

верхней граничными частотами? 9. Назовите условия, при которых начинает проявляться частотная зави-

симость коэффициента трансформации в области высоких частот. 10. Почему при стремлении сопротивления нагрузки к бесконечности

верхняя граничная частота остается конечной?

95

4. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В СТАТИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

Траектории движения заряженных частиц в статических электрическом

и магнитном полях (или только в электрическом, или только в магнитном поле) определяются многими факторами. Это: ориентация вектора скорости частицы относительно направлений векторов напряженности электрического ( или вектора индукции магнитного) поля, пространственная структура полей (кривизна линий напряженности электрического поля или линий магнитной индукции, их изменение в пространстве (неоднородность полей)), заряд и масса заряженной частицы, величина ее скорости (близка ли она к релятиви-стской или нет), движется ли частица одна или в потоке заряженных частиц и т.п. Общая постановка задачи, хотя и имеет свой смысл, не позволяет понять особенности воздействия полей в отдельности (или в их совокупности) на траектории движения. Поэтому представляется целесообразным подход "от простого к сложному", когда, изучив движение частиц в простых по струк-туре полях, можно приходить к более сложным комбинациям полей. Исходя из этих предпосылок и строится материал данной главы.

Основой анализа является уравнение движения (второй закон Ньютона) для частицы [1]:

dp Fdt

= , (4.1)

где, в общем случае,

02

v

v1

mp

c

=⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

, (4.2)

m0 – ее масса, v – скорость; [v ]F qE q B= + (4.3)

– сила Лоренца. В (4.3.) напряженность поля E общем случае включает в себя как

внешнее поле (будем обозначать его в0E ) и поле, обусловленное взаимным

влиянием частиц (кулоновское взаимодействие), его будем называть полем пространственного заряда Eпз .

На первом этапе наибольший интерес будут представлять нерелятиви-стские потоки, когда . В этом случае c⟨⟨ v vp m= . Далее, если речь будет идти об электронах, то m0 = m, а если об ионах, то m0 = mi.

97

Движение заряженной частицы в однородном

статическом электрическом поле Рассмотрим наиболее простую, но тем не менее очень важную для по-

нимания и практики задачу о движении одной заряженной частицы с заря-дом q и массой m0, влетающей с начальной скоростью 0v в некоторую об-ласть, где существует однородное электрическое поле с напряженностью 0E . Ввиду произвольности ориентации векторов 0v и 0E , выберем систему от-счета так, чтобы частица влетала в точке с координатами [0,0,0], ось 0x сов-падала с направлением вектора начальной скорости, а вектор напряженности поля был ориентирован произвольно (рис.2.1):

0 0 0 0x y zE iE jE kE= + + . (4.4)

Рис. 4.1. Схема влета электрона в область действия электрического однородного поля

В этом случае уравнение (4.1) записывается в виде:

( )0 0 0v

0x y zdm q iE jE kEdt

= + + , (4.5)

поскольку 0 и 0пзB E= =

0

(нет кулоновского взаимодействия). Предполага-ется, что в области х >0 все величины E0x, E0y, E0z остаются постоянными.

Векторное уравнение (4.5) приводит к трем скалярным уравнениям 0 0 0 0 0x y zm (4.6) x qE ; m y qE ; m z qE= = =

(слева стоят вторые производные по времени 2

2ddt

), решения которых имеют

вид 2

00 2

q tE A t Bm ξ ξξ = + ξ+ , а коэффициенты Aξ и Bξ определяются из на-

чальных условий в точке ξ/t=0 = 0, 0v , 0, 0.dx dy dzdt dt dt

= = = Тогда

0y zB A Aξ = = = , , и движение частицы описывается совокупностью соотношений

0vxA =

98

20

0

20

20

v2

2

2

x

y

z

qE tx t

qE ty

qE tz

⎫= + ⎪

⎪⎪⎪= ⎬⎪⎪

= ⎪⎪⎭

. (4.7)

Без ущерба для общности анализа можно положить, что E0z = 0, т.е. час-тица движется только в плоскости x0y. В этом случае из (4.7) легко получить уравнение траектории, исключив явное время t:

00

0 0

2vx 0

y y

E m yx yE qE

= + . (4.8)

Траектория частицы в плоскости x0y представляет собой параболу (рис.4.2.), вид которой зависит от величины m0 и знака заряда q (при q > 0 частица летит "вниз", т.к. y должен быть всегда меньше нуля для рациональ-ности решения (4.8).

Рис. 4.2. Траектория частицы (q > 0) Рис. 4.3. Траектории движения частиц в однородном электрическом поле. в однородном электрическом поле при изменении знака Еу – составляющей

Очевидно, если изменить направление поля 0E так, чтобы 0yE было отрицательным (рис.4.3.), то частица с отрицательным зарядом пойдет "вверх", а с положительным - вниз (y < 0).

Рассмотрим два частных случая. Сначала положим, что E0y = 0. Тогда из (4.7) следует, что y = z= 0, т.е. частица движется с ускорением вдоль оси 0x, если q>0, и с замедлением – если q<0. Этот случай можно использовать для ускорения (замедления) движения частиц.

Если положить E0x = 0, то уравнение траектории (4.8) принимает вид

2

02

02 vyE xqy

m= (4.9)

– частица движется по параболе в плоскости x0y.

99

Однако когда в пространстве движется ансамбль заряженных частиц, то

необходимо учитывать кулоновское взаимодействие между ними. Рассмот-рим один из примеров.

Пусть с одного плоского электрода (катода) вылетают (эмиттируются) электроны, которые под действием ускоряющего напряжения, приложенного ко второму плоскому электроду (аноду), параллельному первому и располо-женному на расстоянии d от него (рис. 4.4), приобретают скорость и летят по прямолинейным траекториям, как это следует из ( 4.7), поскольку все со-ставляющие напряженности электрического поля, кроме одной, равны нулю.

Рис. 4.4. Схематическое изображение плоского диода

Через вакуумный промежуток между катодом и анодом течет ток Ia. Величина этого тока зависит от геометрических размеров электродов и от значения напряжения на аноде Uа.

Определим эту зависимость. Распределение потенциала в промежутке между катодом К и анодом А (см. рис. 4.4.) при наличии ансамбля электро-нов описывается уравнением Пуассона. Для плоской системы, в случае больших поперечных размеров электродов вдоль осей 0y и 0z, можно счи-тать, что распределения потенциала между электродами не зависит от коор-динат y и z, и уравнение Пуассона приобретает вид

2

20

d Udx

ρε

= − . (4.10)

Здесь ρ – объемная плотность пространственного заряда; 0ε – диэлектриче-ская проницаемость вакуума (свободного пространства).

Положим, что потенциал на катоде, расположенном в плоскости х=0,

равен нулю (Uk = 0), как и напряженность электрического поля 0

0x

dUdx =

= ,

а на аноде (при x = d) потенциал U = Ua. Плотность тока, протекающе-го через диод, J = - ρv, где v – скорость электрона, которая зависит от напряжения U и при нулевых скоростях вылета электронов из катода равна

100

v 2 e Um

= . (4.11)

В результате (4.4) преобразуется к виду

122

20

12

d U J m Uedx ε

−= . (4.12)

Можно найти решение этого уравнения. Для этого, умножив обе части

(4.12) на 12

dUdx

, увидим, что 22

21 12 4

dU d U d dUdx dx dxdx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, а

1 121

2dU dUdx dx

− ⎛ ⎞⎜=⎜ ⎟⎝ ⎠

2U ⎟ . Отсюда следует, (4.12) преобразуется в

122

0

142

d dU J m d Udx dx e dxε

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟ , (4.13)

решение которого 122dU AU

dx⎛ ⎞ C= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, где 0

4 12

J mAeε

= , С – постоян-

ная интегрирования. Поскольку, согласно начальным условиям, на ка-

тоде U = 0 и 0

0z

dUdx =

= , что означает, что все электроны вылетают с ну-

левыми скоростями, постоянная С = 0. Последнее дифференциальное

уравнение приводится к виду 12

14dU A U

dx= и решается совсем просто:

3 14 2 1

43

U A x C= + . (4.14)

Опять обращаясь к условиям на катоде при х = 0, находим, что и С1=0. Подставим в уравнение (4.14) вместо x и U величины xa = d и U = Ua, относящиеся к аноду, и получим уравнение для величины плотности тока, протекающего через диодный промежуток

320

24 29

ae UJm d

ε= . (4.15)

Это – уравнение Ленгмюра, справедливое для диодов с плоскими электро-дами. Поскольку сила тока I = ISa (Sa – площадь анода), из (4.15) можно определить удельный заряд электрона:

2 4

3 2 20

8132

a

a a

e I dm U Sε

= . (4.16)

101

На практике чаще всего используются другие конструкции диодов, когда цилиндрический анод окружает цилиндрический катод, располо-женный вдоль оси прибора (коаксиальные цилиндры). В этом случае для анализа процесса следует использовать цилиндрическую систему координат r,ϕ, z. В случае азимутальной симметрии диода и достаточно большой длины

анода и катода вдоль оси z можно положить 0U U

zϕ∂ ∂= =

∂∂, и уравнение

Пуассона принимает вид

0

1 Ur

r r rρε

∂ ∂= −

∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. (4.17)

Используя прием, примененный при анализе плоской системы, когда величина пространственого заряда определялась через плотность тока и напряжение, получаем

12

0

12

UU J er r

r r mε

−∂ ∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠. (4.18)

Вместо плотности тока J лучше ввести величину тока I = 2πrJℓ, по-скольку плотность тока зависит от радиуса, где определяется решение, а ток остается постоянным. Тогда, в результате подстановки в (316.9) значения то-ка и дифференцирования левой части уравнения, находим:

122

20

12 2

U U I err l mr πε

U−∂ ∂

+ =∂∂

. (4.19)

Если теперь, следуя Ленгмюру, вместо переменной U ввести перемен-ную β, получив ее из соотношения

3

2

2I UAl rβ

= , где 08 29

eAm

πε= ,

а вместо переменной r – независимую переменную ξ= ln(r/rk), то соотно-шение (4.19) преобразуется к виду

222

23 4d d dd dd

β β ββ βξ ξξ

⎛ ⎞ 1β+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= . (4.20)

Представляя решение полученного уравнения в виде степенного ряда по независимой переменной ξ, находим

2 3 4 .2 11 47 ...5 120 3300

β ξ ξ ξ ξ= − + − ± . (4.21)

В итоге величина тока, приходящаяся на единицу длины анода, равна

( )

30 2

2

8 29 a

a

a a

e UmI

l r r

πε

β

⋅= , (4.22)

102

где значение β вычисляется на аноде при r = ra. График зависимости

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

a

ka r

rfrβ приведен на рис. 4.5.

Рис. 4.5. График зависимости ln a

k

rfr

β⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Соотношение (4.22) также позволяет определить удельный заряд элек-трона по данным эксперимента и геометрическим размерам цилиндрическо-го диода:

22

30

98 2

a a

a

e I rm l U

βπ ε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 . (4.23)

Движение электронов в постоянном магнитном поле

На электрический заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Для случая движения электрона она равна

v,F e B⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ , (4.24)

где e – величина заряда электрона; – скорость его движения; v B – индукция магнитного поля. В соответствии с правилом векторного произведения сила Лоренца на-правлена перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и v B . Ес-ли заряд положителен, направление силы совпадает с направлением век-F

103

тора v, B⎡⎣

⎤⎦ (рис. 4.6). В случае отрицательного заряда направление век-

торов и F v, B⎡⎣

⎤⎦ противоположны.

Рис. 4.6. Направление действия силы при движении

зарядов с различными знаками Модуль силы Лоренца равен

v sinF e B= α , (4.25) где α – угол между векторами и v B . Из формулы (4.25) следует, что значение силы Лоренца определяется скоростью электрона и углом α между направлением векторов и v B . Если заряд покоится относительно постоянного магнитного поля или движется вдоль линии магнитной индукции , т.е. (v || )B α = 0 , то значение силы Ло-ренца равна нулю. При движении электрона перпендикулярно к линиям магнитной индук-ции сила Лоренца достигает максимального значения:

vF e B= . (4.26) Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно скорости движения электрона, поэтому работы она не совершает, и кинетическая энергия элек-трона в постоянном магнитном поле не изменяется. Под действием силы Ло-ренца происходит изменение вектора скорости только по направлению. Это значит, что сила Лоренца равна центробежной силе

2vv me BR

= , (4.27)

где m - масса электрона; R - радиус кривизны траектории. Из равенства (4.27) получаем

vmRe B

= ⋅ , (4.28)

откуда следует, что электрон будет двигаться по окружности, радиус которой пропорционален скорости электрона и обратно пропорционален произведе-нию его удельного заряда на индукцию поля B. /e m Если скорость электрона направлена под произвольным углом α к век-тору B (рис.4.7), то вектор скорости можно разложить на две составляю-щие, одна из которых перпендикулярна, а другая параллельна линиям маг-нитной индукции .

v

||v vsin , v vcos⊥ = α = α

104

Значение силы Лоренца в этом случае равно: vF eB ⊥= . (4.29)

Рис. 4.7. Траектория движения электрона в однородном магнитном поле

Вектор этой силы лежит в плоскости, перпендикулярной к вектору маг-нитной индукцииB . Составляющая силы Лоренца в направлении B равна нулю, поэтому скорость в магнитном поле не изменяется. Благодаря ско-рости частица будет двигаться по окружности, радиус которой в соответ-ствии с формулой (4.28) и (4.29) равен:

vv⊥

vmRe B

⊥= ⋅ . (4.30)

Таким образом, электрон одновременно участвует в двух движениях: он равномерно вращается со скоростью v⊥ по окружности радиусом R в плос-кости, перпендикулярной к B , и движется поступательно вдоль направления B с постоянной скоростью . В результате сложения обоих движений тра-ектория электрона представляет винтовую линию, ось которой совпадает с направлением

v

B . Период обращения (время одного оборота) электрона ра-вен:

2v

RT⊥

π= . (4.31)

Из формул (4.30) и (4.31) найдем

2 mTB eπ

= ⋅ , (4.32)

то есть период вращения электрона по окружности не зависит от его скоро-сти, а определяется величиной магнитной индукции поля и удельным заря-дом электрона. За время одного оборота электрон сместится вдоль магнитного поля на расстояние, равное шагу винтовой линии

2v vmh TB eπ cos= = ⋅ α . (4.33)

105

Когда углы α невелики, cos 1α ≈ , и формулу (4.33) можно упростить:

2 vmhB eπ

= ⋅ . (4.34)

Таким образом, шаг h винтовой траектории электрона в магнитном поле не зависит от угла (для малых углов). Из этого следует, что все электроны с равными кинетическими энергиями, вышедшие из одной точки под не-большими, но равными углами к вектору индукции магнитного поля, после одного оборота вновь соберутся в одной точке. В этом заключается принцип магнитной фокусировки электронов

α

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов. В 3-х т.- Т.2. – М.: Наука, 1982. - С. 209 – 226.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк.. 1989. – С. 247-258.

3. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие – 2 – е издание. – М.: Высш. шк., 1990. – С. 167 – 169.

4. Шимони К. Физическая электроника – М.: Энергия, 1977. – С. 329 – 332. 5. Шеин А. Г. Вакуумная и газоразрядная электроника: Учеб. пособие в

2-х т. Т. 1. – Волгоград: РПК «Политехник», 1999.

106

4.1 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 211

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНОВ С ПОМОЩЬЮ ВАКУУМНОГО ДИОДА

4.1.1. Цель работы

Цель работы – изучение законов прохождения тока в вакууме («закона степени 3/2»), характеристик вакуумного диода, и на этой основе – определе-ние удельного заряда электрона.

4.1.2. Содержание работы

Заряд электрона e и его масса m являются фундаментальными кон-стантами, т. е. они не вычисляются каким-либо способом, а определяются экспериментально. В этой связи определение заряда и массы электрона или

их отношения, называемого удельным зарядом электрона me , является необ-

ходимой задачей физики. Экспериментальное определение удельного заряда электрона можно про-водить различными способами. Один из них применяется в данной работе. Он основан на изучении закона протекания тока (закона Ленгмюра или зако-на «степени 3/2»в – соотношение (4.15) для плоского диода или (4.22) – для цилиндрического), обусловленного потоком электронов, через вакуумный диодный промежуток, и использования его для определения отношения em

(соотношения (4.16) или (4.23)).

4.1.3. Описание лабораторной установки

Рис. 4.1.1. Принципиальная электрическая схема измерительного блока лабораторной установки

В работе для определения удельного заряда электрона используется лабораторный стенд, состоящий из источника питания (выпрямителя),

107

который обеспечивает подачу стабилизированного напряжения постоянного напряжения Еа=15 В на анод диода (при величинах анодного тока до 300 мА) и переменного напряжения U ≈ 6,3 В на подогреватель катода диода, а также измерительного блока (рис. 4.1.1), позволяющего плавно изменять напряже-ние, подаваемое на анод вакуумного диода V2, в пределах от 0 В до 15 В.

4.1.4. Методика проведения эксперимента

Определение удельного заряда электрона производится на основе по-строения зависимости изменения величины анодного тока от значения анод-ного напряжения (падения напряжения на вакуумном диоде V2) между клеммами К3 и К4. Меняя положение движка потенциометра R0, можно из-менять величину напряжения, подаваемого на анод диода. В этом случае, из-меряя напряжение Еа между клеммами К3 – К5 и UR между клеммами К4 – К5, можно определить ток через диод:

Ra

UIR

= (4.1.1)

и падение напряжения на электронной лампе a aU E UR= − (4.1.2)

и, таким образом, построить вольт – амперную характеристику диода ( )a aI f U= . По формулам (4.16) и (4.23), с использованием графика, при-

веденного на рис. 4.5, определяется удельный заряд электрона.

4.1.5. Порядок выполнения работы

1. Подготовить к работе цифровой вольтметр, установив верхний предел до +15 В.

2. Подключить прибор к гнёздам К3 – К5 на плате. 3. Включить установку в сеть. Установить с помощью ручки потенциометра

наибольшее напряжение в цепи вакуумного диода между клеммами К3 – К5. Записать данные в таблицу.

4. Переключить вольтметр на клеммы К4 – К5 и определить величину паде-ния напряжения на резисторе R. Записать данные в таблицу.

5. Изменяя значение напряжения Еа (падение напряжения между клеммами 3 и 5 - U35) от максимальной величины до + 2 В, получить не менее 9 точек значений Еа (падение напряжения между клеммами 3 и 5 - U35) и значений величины напряжения UR между клеммами 4 и 5 (U45). Записать их в табл. 4.1.1.

4.1.6. Обработка результатов измерений

1. Определить по формуле (4.1.2) падение напряжения на диоде.

2. Вычислить силу тока, протекающего через диод (соотношение (4.1.1)),

108

зная величину сопротивления R. 3. Построить вольт-амперную характеристику диода Ia = f(Ua). Все данные,

необходимые для расчёта (R, d = ra – rk , Sa = ra⋅ l , ra/rk) находятся на ла-бораторном стенде.

4. Рассчитать значения удельного заряда электрона для каждой эксперимен-тальной точки. Занести результаты в таблицу 4.1.1.

5. Рассчитать погрешность определения величины удельного заряда элек-трона.

6. Сравнить результаты расчета величины удельного заряда электрона, по-лученные по соотношениям (4.16) и (4.23), и объяснить полученные ре-зультаты.

Таблица 4.1.1 Результаты экспериментальных измерений и расчета удельного заряда электрона

, e Клm кг

среднее значение

Еа, В

UR, В

Uа, В

Iа, мA

По уравнению

(4.16)

По уравнению

(4.23) (4.16) (4.23)

4.1.7. Контрольные вопросы

1. Что такое эмиссия электронов из катода и почему она происходит? 2. Объясните принцип работы вакуумного диода. 3. Каков закон изменения потенциала в плоском диоде при отсутствии

эмиссии электронов? 4. Какова зависимость изменения потенциала в цилиндрическом диоде от

радиуса при отсутствии эмиссии электронов? 5. Что такое пространственный заряд? Объясните его влияние на прохожде-

ние тока в диоде. 6. Как зависит величина тока, протекающего через диод, от величины анод-

ного напряжения? 7. Почему величина тока в диоде остается постоянной в любой плоскости

анализа (для плоского диода – при любом х, для цилиндрического – при любом r)?

8. Получите закон Ленгмюра для плоского диода.

9. Расскажите принцип работы лабораторной установки. С какой целью в цепь питания диода включен постоянный резистор?

109

4. 2 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 212

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОННО – ЛУЧЕВОЙ ТРУБКИ

4.2.1. Цель работы

Определение удельного заряда электрона методом магнитной фокуси-ровки.

4.2.2. Содержание работы

Явления электронной эмиссии и газовых разрядов позволяют получить поток электронов и ионов, движущихся практически без соударения. Попа-дая в электрические и магнитные поля, эти частицы оказываются под воздей-ствием определенных сил и изменяют свое первоначальное движение. Изучая движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, можно получить ценные сведения о природе этих частиц и о тех процессах, в ре-зультате которых они возникают. В частности в этой работе определяется удельный заряд электрона . /e m

Соотношение (4.34) используется в работе для определения удельного заряда электрона:

2 vem Bh

π= . (4.2.1)

Для осуществления эксперимента электроны разгоняются в электриче-ском поле с разностью потенциалов и приобретают кинетическую энер-гию

U

2v2

m eU= . (4.2.2)

Из соотношений (4.2.1) и (4.2.2) получаем

2

2 28e U

m B hπ

= . (4.2.3)

4.2.3. Описание лабораторной установки

Для получения электронов, сообщения им скорости и фокусировки ис-пользуется электронно-лучевая трубка с малым диаметром экрана. Схема ус-тановки представлена на рис.4.2.1.

Установка собрана на базе осциллографической схемы, при этом элек-тронно - лучевая трубка (ЭЛТ) расположена внутри соленоида L1, который создает магнитное поле. Концы соленоида L1 выведены на переднюю, панель блока ЭЛТ к клеммам с обозначением «~». Питание соленоида L1 осуществ-ляется от стабилизированного выпрямителя (СВ) с регулировкой выходного напряжения от 0 до 20 В.

110

Рис.4.2.1. Электрическая схема лабораторной установки

Питание (ЭЛТ) осуществляется от блока питания (БП). Регулировка яр-кости и фокусировка осуществляется по средствам потенциометров, ручки, управления которых выведены на переднюю панель блока питания. Допол-нительно на панели (БП) расположены клеммы (А и К), для подключения конденсаторного вольтметра V1, измеряющего ускоряющее напряжение, тумблер S1, для включения переменного напряжения на вертикально откло-няющих пластинах ЭЛТ и потенциометр « », для регулировки этого напря-жения. Горизонтально отклоняющие пластины ЭЛТ заземлены.

Внутри соленоида L1 находится катушка L2, которая имеет небольшое и заранее известное число витков N2 и называется измерительной катушкой. К клеймам измерительной катушки, находящимся на передней панели блока ЭЛТ и обозначенных значком «*», подключается баллистический гальвано-метр G.

Блок коммутации (БК) состоит из трех тумблеров S2, S3, S4 и конденса-тора С. Блок коммутации позволяет использовать СВ как источник тока для соленоида и как источник напряжения для зарядки конденсатора С при опре-делении баллистической постоянной гальванометра. Вольт метр V2 позволя-ет определить величину напряжения на обкладках конденсатора.

4.2.4 Методика проведения эксперимента Для определения удельного заряда электрона необходимо знать величи-

ну индукции магнитного поля соленоида. В работе используется методика,

основанная на явлении электромагнитной индукции.

111

При пропускании тока I через катушку L1 внутри нее образуется маг-нитное поле с индукцией В. Магнитный поток, пронизывающий площадь по-перечного сечения S катушки L2, равен

Ф BS= . (4.2.4) При включении или выключении тумблера S2 происходит нарастание

или уменьшение тока I , магнитный поток Ф также изменяется. В катушке L2 возникает э.д.с. индукции, величина которой может быть определена по ос-новному закону электромагнитной индукции

1 2dФ

Ndt

E = . (4.2.5)

В цепи катушки L2, замкнутой на гальванометр, потечет ток 1

2E

IR

= , (4.2.6)

где R – сопротивление цепи гальванометра. С учетом закона (4.2.5) формула (4.2.6) запишется в виде

22

N dФI

R dt= . (4.2.7)

Учитывая, что 2I dt dq= есть заряд, который проходит через гальвано-метр за время dt, получим

2Ndq dФR

= . (4.2.8)

Интегрируя это уравнение (левую часть от 0 до q, а правую от 0 до Ф), получим

2Nq ФR

= . (4.2.9)

Подставляя в формулу (4.2.9) значение Ф из (4.2.4), получаем следующее выражение

2Nq BSR

= , (4.2.10)

из которого следует, что:

2

qRBN S

= . (4.2.11)

Величину q можно определить, зная баллистическую постоянную гальванометра и число делений n максимального отклонения светового зай-чика на шкале гальванометра G, при включении или выключении тока в цепи соленоида

бC

бq C n= . (4.2.12) Подставив значение q из формулы (4.2.12) в (4.2.11), можно определить величину магнитной индукции магнитного поля внутри соленоида

2

бC nRBN S

= , (4.2.13)

112

с учетом которой из (4.2.3) получаем расчетную формулу для определения удельного заряда электрона

2 2 2

22 2

8

б

e UNm h C n R

π=

2

S. (4.2.14)

Баллистическая постоянная гальванометра определяется по следующей методике. Конденсатор известной емкости С заряжается до разности потенциалов U'. Заряд конденсатора в этом случае равен

' 'q CU= . (4.2.15) Разряжая его затем на гальванометр, замечают число делений n' шкалы галь-ванометра, на которое отклоняется световой «зайчик». Баллистическая по-стоянная Сб численно равна заряду, вызывающему отклонение светового «зайчика» на одно деление, т. е.:

' '' '

q CUCб n n= = . (4.2.16)

Шаг винтовой траектории h, определяемый по формуле (4.34), есть по-стоянная прибора, равная расстоянию от центра отклоняющих пластин до эк-рана ЭЛТ.

4.2.5. Порядок выполнения работы

1. Включите установку. 2. Включите тумблер «сеть» блоков БП и СВ.

Внимание!!! На клеммах АК блока БП напряжение порядка 1000 В. 3. На блоке БП поставьте тумблер S2 в правое, а S3 и S4 – в левое положе-

ние. 4. Ручкой «регулировка напряжения» блока СВ установите по вольтметру

V2 напряжение U’ на обкладках конденсатора С равным 10 В. Значение U’ запишите в табл. 4.2.1.

5. Тумблер S3 переключите в правое положение. Запишите в табл. 4.2.1 ве-личину максимального отклонения светового «зайчика» гальванометра n′.

6. Повторите измерения по пунктам 4 и 5 при напряжении U′ равном 15 В. 7. Поверните ручку «Регулировка напряжения» блока СВ против часовой

стрелки до упора, тумблер S2 переключите в левое, а S4 – в правое по-ложение.

8. Ручками «ярк» и «фок» блока БП произведите фокусировку луча ЭЛТ. Запишите показания вольтметра V1 (ускоряющее напряжение между катодом и анодом ЭЛТ) в табл. 4.2.2.

9. Подайте переменное напряжение на вертикально отклоняющие пласти-ны ЭЛТ, включив тумблер S1 на БП, и ручкой « » установите длину светящейся линии на экране равную 4 - 5 см.

10. Вращением ручки «Регулировка напряжения» блока СВ по часовой

113

стрелке восстановите фокусировку луча, то есть сведите светлящуюся линию в точку.

11. Разомкните цепь питания соленоида. Переключив тумблер S2 блока БК вправо, и сделайте отсчет максимального отклонения «зайчика» nр по шкале гальванометра.

12. Переключите тумблер S2 влево и сделайте отсчет максимального откло-

нения «зайчика» nз . Полученные результаты nр и nз запишите в табл. 4.2.2.

13. Значения параметров установки, приведенные в таблице на лаборатор-ном столе, занесите в табл. 4.2.3.

4.2.6. Обработка результатов измерений

1. Вычислите среднее значение 2

з рn nn =

+.

2. Вычислите постоянную гальванометра по формуле (4.2.16). 3. Вычислите удельный заряд электрона по формуле (4.2.14). Результаты

вычислений занесите в табл. 4.3.1 и 4.2.2. Таблица 4.2.1.

Результаты измерений для определения баллистической постоянной

U′, В n′, дел. Сб, Кл/дел <Cб>, Кл/дел10 15

Таблица 4.2..2.

Результаты измерений для определения удельного заряда

U′, В nр, дел. nз, дел <n>, дел. e/m, Кл/кг

Таблица 4.2.3

Параметры установки h, В N2, витков. R, Ом S, м2 С, Ф

4.2.7. Контрольные вопросы

1. Какой способ определения e/m Вы знаете? 2. Как определяется величина и направление силы, действующей на заряд,

движущейся в магнитном поле? 3. Как определяется радиус траектории и период обращения заряженной

частицы, движущийся в магнитном поле?

114

4. Как определяется направление закручивания и шаг траектории электро-на при движении в магнитном поле?

5. Как определяется величина скорости электрона в электроннолучевой трубке?

6. Как определить величину индукции магнитного поля катушки, исполь-зуя явление взаимной индукции?

7. Что такое баллистическая постоянная гальванометра и как её можно оп-ределить?

115

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Колебания. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степе-нью повторяемости во времени [1]. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, акустиче-ские, электрические и т. п.

Гармоническими называются колебания, при которых колеблющаяся ве-личина (например, ток, напряжение или заряд) изменяется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону, а сам процесс колебаний описывается дифференциальным уравнением

2

22 , , dx

dtd x x f t xdt

ω ⎛+ = ⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , (5.1)

где х - искомая колеблющаяся величина. Если правая часть уравнения (5.1) равна нулю, то уравнение описывает

свободные незатухающие колебания. При , , 2dxdt

dxf t xdt

β⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

колебания

называются затухающими, а параметр β характеризует степень затухания колебаний в системе и называется коэффициентом затухания.

В случае, когда правая часть

1, , 2 sindxdt

dxf t x U tdt

β ω⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

, (5.2)

причем ω1 не обязательно должна быть равна ω , уравнение (5.1) описы-вает вынужденные колебания, то есть колебания, совершаемые под действи-ем внешней возбуждающей силы.

При произвольном виде функции , , dxf t xdt

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ колебания называются не-

линейными. В случае свободных незатухающих колебаний решение уравнения (5.1)

может быть представлено в виде ( ) ( )0 0cosx t x t 0ω ϕ= + . (5.3)

Здесь введены величины: ω0 = ω – круговая (циклическая) частота свободных колебаний, х0 – амплитуда свободных колебаний, а ϕ0 – на-чальная фаза. Обе последние величины находятся из начальных условий, оп-ределяющих возникновение колебаний. Такими условиями должны быть

значения величины х(t) = х(0) и ее первой производной ( )dx tdt

= (0)dxdt

в

начальный момент времени при t = 0. Если воспользоваться этими условиями, можно получить, что

0 0(0) cosx x ϕ= , ( )0

0sin

dxx

dt 0ϕ= − , откуда определяются х0 и ϕ0 :

116

22

0(0)(0) dxx x

dt⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ; 0

(0)

(0)

dxdttg xϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − . (5.4)

В случае колебаний, происходящих в среде с потерями (в диссипативной среде), уравнение колебаний приобретает вид

2

202 2 d

dtd x x xdt

β ω+ 0+ = , (5.5)

решение которого ( )0( ) costx t x e t 0

β ω ϕ−= + . (5.6) Здесь, как в предыдущем случае, х0 и ϕ0 - начальные амплитуда и

фаз колебаний, а значение частоты зависит от величины потерь:

20

2ω ω β= − . (5.7) Аналогично можно представить решение не через косинус, а через sinωt или i te ω− , где 1i = − (мнимая единица), поскольку все эти функции

взаимосвязаны: sin ; cos ; cos sin2 2

ix ix ix ixixe e e ex x e x

ii x

− −− += = = + .

Свободные электрические колебания

Электрическими будем называть колебания, связанные с изменением электрических величин – токов, напряжений или зарядов. Они могут возни-кать в физических системах, содержащих индуктивность, емкость и сопро-тивление. Цепь, содержащая эти элементы, называется колебательным кон-туром. Электрический контур – устройство, содержащее последовательно или параллельно соединенные реактивные элементы L и C (катушку индуктивно-сти и конденсатор) и активный элемент – резистор R (рис.5.1).

Рис. 5.1. Схемы электрических контуров: а – последовательного, б - параллельного

Если колебательному контуру сообщить извне энергию, зарядив, напри-мер, конденсатор, зарядом q, или возбудив магнитное поле катушки, то в контуре возникнут электромагнитные колебания. В идеальном контуре, в ко-тором можно пренебречь активным сопротивлением (R=0), отсутствуют по-тери на нагревание соединительных проводников и нет излучения электро-

117

магнитной энергии в окружающее пространство, процесс периодического превращения электрической энергии конденсатора в энергию магнитного по-ля и обратно будет продолжаться неограниченно долго. Периодические из-менения электрических величин (заряда, напряжения, тока) в контуре в этом случае носят гармонический характер и называются свободными незатухаю-щими электрическими колебаниями. В реальном контуре (R≠0) из-за диссипации (рассеяния) энергии сво-бодные колебания в контуре всегда будут затухающими. Рассмотрим характер изменения тока, протекающего через контур, в слу-чае затухающих электрических колебаний для последовательного контура. Если q – заряд, сообщенный одной из обкладок конденсатора, то силу тока в контуре можно представить в виде:

dqIdt

= . (5.8)

При разряде конденсатора сила тока в контуре изменяется и, следова-тельно, в каждый момент времени на разных участках контура будет неоди-наковой. Однако если геометрические размеры контура не слишком велики, а L и C не слишком малы, то можно считать, что в любой момент времени на всех участках контура мгновенные значения тока практически одинаковыми (условие квазистационарности) [1] . При выполнении этого условия к элек-трической цепи переменного тока можно применять законы, установленные для цепи постоянного тока. Будем считать условие квазистационарности для рассматриваемого кон-тура выполненными и, обозначив через Uc разность потенциалов на обклад-ках конденсатора, применим второе правило Кирхгофа. Сумма падений на-пряжений ( CU IR)+ равна действующей в последовательном контуре ЭДС самоиндукции : iE

C iU IR+ = E . (5.9)

Учитывая [1 – 4], что dqIdt

= , т. е. q Idt 1c

qC C

= = ∫= ∫ U I , dt idILdt

= −E, ,

уравнение (5.9) можно записать в виде 1 0dIL RI Idt

dt C+ + =∫ . (5.10)

Продифференцировав (5.10) по времени, получаем уравнение колебательного контура

2

2 0d I R dI IL dt LCdt

+ + = , (5.11)

или, если ввести обозначения 2RL

β= ( β – коэффициент затухания) и

20

1LC

ω= ( 0ω - собственная круговая частота колебательного контура),

уравнению (5.11) можно придать вид

118

2202 2 0d I dI I

dtdtβ ω+ + = , (5.12)

аналогичный соотношению (5.5), где х заменен на I. Решение этого уравнения (при условии 2β < 2

0ω )

( )0 costI I e t 0β ω ϕ−= + , (5.13)

где 0I - ток, текущий в цепи в начальный момент времени (t= 0), 0ϕ - на-

чальная фаза колебаний, 20

2ω ω β= − - круговая частота затухающих коле-баний. График функции (5.13) приведён на рис 5.2. Пунктиром показано изме-нение амплитудного (максимального ) значения тока во времени.

Рис 5.2. График затухающих колебаний

Графики для напряжения и заряда в контуре от времени имеют анало-гичный вид. Затухающие колебания, строго говоря, не являются периодическими, так как амплитудные значения электрических величин изменяются со временем. Однако, если выполнено условие 2β < 2

0ω (условие малого затухания), то за период условно можно принять промежуток времени между двумя после-дующими амплитудными значениями тока (или заряда, или напряжения). В этом случае период затухающих колебаний можно рассчитать как

2

2

2 2

14

TR

LC L

π πω

= =

−

. (5.14)

Рассмотрим величины, характеризующие затухание колебаний в контуре. При этом будем считать условие 2β < 2

0ω выполненным. Затухание можно охарактеризовать временем релаксации τ, т. е. време-нем, в течение которого амплитудное значение тока (или заряда, или напря- жения) уменьшается в е раз, где е≈ 2,71 – натуральное число. Тогда

( )( ) ( )

0

0

t

tI t I e

eI t I e

β

β ττ

−

− +==

+, (5.15)

119

откуда следует, что 1βτ = и 1/β τ= . (5.16)

Таким образом, коэффициент затухания – величина, обратная времени τ, характеризует уменьшение амплитудного значения тока (или заряда, или напряжения) в е раз. Затухание колебаний может быть охарактеризовано другой величиной – логарифмическим декрементом затухания. Логарифмическим декрементом затухания λ называется натуральный логарифм отношения двух амплитудных значений тока (или заряда, или напряжения) через промежуток времени, равный периоду Т

( )( ) ( )

0

0ln ln

t

t TI t I e

TI t T I e

β

βλ β

−

− += =

+= . (5.17)

Тогда закон убывания амплитуды тока во времени можно записать в виде

0 TI I etλ−

= . За время τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз, ток

успевает совершить eNTτ

= колебаний. Следовательно, логарифмический

декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний , совер-шаемых за время τ, которая характеризует уменьшение амплитудного значе-ния тока (или напряжения, или заряда) в е раз.

eN

Для колебательного контура при малой величине затухания (т. е. при 0β ⇒ и 0ω ω⇒ )

0

R CR

L Lπ

λ πω

=≈ . (5.18)

Для количественной характеристики убыли энергии электрических коле-баний в контуре используется величина, называемая добротностью контура Q. Добротностью называется умноженное на π число колебаний Nе, совер-шаемых за время τ:

/eQ Nπ π λ= = (5.19) или, с учетом (5.18), для последовательного контура

CL

RQ 1

= . (5.20)

Из соотношения (5.18) следует, что с уменьшением затухания колебаний в контуре увеличивается его добротность. Следовательно, величина доброт- ности должна быть связана с величинами запасённой энергии и энергии по-терь. Действительно, величина запасённой энергии в последовательном ко-

лебательном контуре может быть определена как 2

2запLIW = , а энергия по-

терь за один период равна 2

02потRIW T= , где 0

0 0

1 2T πν ω

= = . Отсюда полу-

120

чаем выражение для добротности последовательного электрического конту-ра

0 12 зап

пот

W LQW R R

ωπ= = =LC

.

Величина, обратная добротности, 1Q

β = называется затуханием.

Кроме значений Q0 и ω0 колебательный контур характеризуется пара-

метром CL

=ρ , называемым характеристическим сопротивлением. При

этом выражение (5.20) может быть записано в виде R

Q ρ= .

Характер затухающих колебаний и значения величин Т, λ, и Q определя- ются величиной активного сопротивления R, включенного в контур, при по-стоянных величинах электрической ёмкости С конденсатора и индуктивно-сти L катушки. С увеличением R период затухающих колебаний (см. (5.14)) возрастает и при выполнении условия

LCL

R 14 2

2= (5.21)

обращается в бесконечность. Это означает, что периодические колебания прекращаются. При дальнейшем увеличении R период становится мнимой величиной и вместо колебаний наблюдается апериодический процесс (рис. 5.3). Величину сопротивления Rкр, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим. Его значение

2крLRС

= . (5.22)

Рис. 5.3. Картина изменения тока в контуре при апериодическом процессе

Вынужденные колебания в электрическом контуре

Наиболее простой колебательной цепью является одиночный контур, в котором все элементы (сопротивление R, индуктивность L и ёмкость С вклю-чены последовательно (рис.5.4) - последовательный колебательный контур. Описание процессов в таком контуре, где дополнительно включена внеш- няя ЭДС E(t) можно дать, используя условие квазистационарности [1,2],

121

применив второе правило Кирхгофа к данной цепи: ( ) ( ) ( ) ( )C LU t U t t i t R+ + =E . (5.23)

Здесь dt

tdUC

dtdqti C )(

)( −== , т. е. ∫−= dttiC

UС )(1 , ( )L

di tU Ldt

= − .

Рис. 5.4 . Последовательный колебательный контур

Подставляя эти соотношения в (5.23), получаем

( ) 1 ( ) ( )di tL Ri i t dt tdt C

+ + =∫ E . (5.24)

Если предположить, что электродвижущая сила E(t) изменяется по гармо-ническому закону и ограничиться рассмотрением установившегося режима, то уравнение (5.24) можно записать в виде:

*

* * *1dIRI L I ddt C

= + + t∫E , (5.25)

где *( ) j tt e ω= =E EE , *( ) j ti t Ie Iω= = - векторы напряжения и тока в симво-лической (комплексной) форме. Замечая, что

dI j Idt

ω∗

∗= , 1I dt Ijω

∗ ∗=∫ , (5.26)

соотношение (5.25) преобразуется к виду

1jI R j LI I R j L IC C

ω ωω ω

∗ ∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤⎛= + − = + +⎜⎞⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

E . (5.27)

Если в качестве реакции на воздействие внешнего сигнала рассматривать ко-лебания тока I(t), то контур характеризуется комплексным сопротивлением

1( ) ,Z R j L R jXCI

ω ωω

∗

∗⎛ ⎞= = + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠

E C

LXω

ω 1−= . (5.28)

Здесь Х – реактивное сопротивление контура. Можно записать

; 1( ) ,j jZ Z e Y eZI

ϕ ϕω −=∗

∗= =E 2 2Z R X= + , (5.29)

где ⎢Z ⎢– модуль (величина) сопротивления контура, ( )Y ω – величина, об-ратная сопротивлению и называемая проводимостью контура, а ϕ – сдвиг по фазе между напряжением ∗E на входе контура и током * I в контуре. Этот

122

фазовый угол

RXarctg=ϕ , или

RC

Lω

ωϕ

1

tg−

= . (5.30)

Соотношения (5.27) – (5.30) можно преобразовать, введя параметры

RL

Q 0ω= - добротность контура и

LC1

0 =ω - собственную частоту конту-

ра, к виду

0

0( ) 1вхZ R j ω ωω ω

ω ω⎡ ⎤⎛ ⎞

= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ωω

ωωω 0

0)( QRX ; (5.31)

2

2 0

0( ) 1вхZ R Q ω ωω

ω ω⎛ ⎞

= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

; ( )ωω

ZY 1)( = ; (5.32)

0

0arctg ω ωϕ

ω ω⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (5.33)

или

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

==ωω

ωωω

ωω

ωωω

ωω 0

00

0

arctgexp)(1

1)(

1)( QjYjR

ZY . (5.34)

Поскольку представляет интерес поведение падения напряжения на ка-ждом из элементов, входящих в последовательный контур, определим закон изменения UR (напряжение на резисторе), UC (на конденсаторе) и UL (на

катушке индуктивности). Ток, протекающий через все элементы, IZ

∗∗ = E .

Следовательно, комплексные величины падения напряжения на резисторе

; на конденсаторе RU RI∗ = ∗ 0C

IU I RC

ωω ω

Q∗

∗ ∗== ; на катушке индуктивности

0LU LI I R Qωω

ω∗ ∗ ∗== . Тогда реакция на входной сигнал, определяемый как

модуль отношения комплексной величины напряжения на соответствующем элементе к комплексной величине вынуждающего напряжения на входе, будет равна: на резисторе

( )2 2

2 2 0

0

1

11

RU RR Y

R L QC

ωω ωω

ω ω ω

∗

∗ = ⋅ = =⎛ ⎞ ⎛+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

E ⎞; (5.35)

123

на конденсаторе

( )0

2 22 2 0

0

1 1( )1

1

CC

QYU TC C

R L QC

ωω ωω

ω ω ω ωωω ω ω

∗

∗ = = =⎛ ⎞ ⎛+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=E ⎞

; (5.36)

на катушке индуктивности

( ) 02 2

2 2 0

0

( )1

1

LL

QLLY T

R L QC

Uω

ω ωω ω ωω ωω

ω ω ω

∗

∗ = =⎛ ⎞ ⎛+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =E ⎞

. (5.37)

График амплитудно - частотной характеристики (АЧХ), соответствую-щий соотношениям (5.34), (5.35), (5.36), приведен на рис. 5.5. Эти графики часто называют резонансными кривыми, т. к. они характеризуют явление ре-зонанса в контуре.

Рис. 5.5. Амплитудно - частотные характеристики последовательного колебательного контура

Из них следует, что в одной и той же цепи различные физические величины I(ω), UC(ω) и UL(ω) достигают максимальных величин при различной часто-те. Это обстоятельство обуславливает необходимость уточнения понятия «резонансная частота». Условились под резонансной частотой ω в цепи подразумевать такое зна-чение частоты, при котором входная функция (сопротивление или проводи-мость) принимает вещественное значение. При частоте, равной резонансной, входное сопротивление или входная проводимость цепи являются активны-ми. Условие, определяющее значение ωР, можно представить любым из вы-ражений:

{ } ( ){ } ( )

( ) 0, 0

( ) 0, 0вх P вх P

вх P вх P

Im Z arqZ

m Y arqY

ω ω

ω ω

= =

= =. (5.38)

124

В рассматриваемом контуре явление резонанса проявляется в резком на-растании амплитуд тока и напряжений на элементах цепи по мере приближе-ния частоты вынужденных колебаний к резонансной частоте, которая, на ос-новании условий (5.38), равна

01

Р LCω ω= = . (5.39)

При ω=ωР входная проводимость максимальна ( ( ) 1вх PY

Rω = ), а ампли-

туды напряжений на реактивных элементах цепи в Q раз превышают ампли-туду задающего напряжения источника (см.(5.36), (5.37)):

, ( )С L PТ Qω = ; C LU U Q= = E .

Строго говоря, это – условие, когда величина тока I в контуре достигает максимального значения. Поскольку комплексные проводимости TC (ω) и TL (ω) равны, соответственно,

0

0( ) ( ) exp arctg

2C CT T j Qπ ω ωω ωω ω

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

;

0

0( ) ( ) exp arctg

2L LT T j Qπ ω ωω ωω ω

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

− ,

то при ω = ω0 , когда ( ) ( )C LT Tω ω= , величины напряжений на реактив-ных элементах не максимальны, но равны по величине и противоположны по знаку, в результате чего суммарное напряжение на них равно нулю. Именно из этих соображений резонанс в рассматриваемом контуре называют резо-нансом напряжений. На рис. 5.6 изображен параллельный колебательный контур. Для него из первого правила Кирхгофа следует:

( ) ( ) ( ) ( ) 0C R Li t i t i t i t+ − + = . (5.40)

Здесь CdUi Cdt

= − , 1Li Udt R

UiR

=L

− ∫ , . (5.41)

Рис. 5.6. Параллельный колебательный контур

Воспользовавшись символической формой записи, находим:

125

1 1I U j CR L

ωω

∗ ∗ ⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦, или 0

01I U G jQ ω ω

ω ω∗ ∗ ⎡ ⎤⎛ ⎞

= + −⎢ ⎥⎜⎝ ⎠

⎟⎣ ⎦

(5.42)

1GR

= ; 00

R CQ CR RL L

ωω

= = = . (5.43)

Следует обратить внимание на иную форму записи величины добротно-сти. Это вызвано тем, что сопротивление, включаемое в параллельный кон-тур, должно иметь большую величину, чтобы не шунтировать его. При этом физическая суть добротности остается неизменной, поскольку в параллель-

ном контуре запасённая энергия определяется как 2

00

12 2запUW R

Lω

ω= = C ,

энергия потерь - 2

0

2

02потU UW T 0

02 зап

пот

W RQ СRW L

π ωω

= = =, R R

πω

= = , что

совпадает с (5.43). Входное сопротивление цепи

0

00

0

1 expвх вхZ Z jQG j

ω ωω ωω ω

ω ω

⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎜⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦

− ⎟⎟ ;

22 0

01

вхRZ

Q ω ωω ω

=⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

. (5.44)

Нетрудно убедиться, что величина полного тока, протекающего через кон-тур, равна

2

20 0

01UI Q

Rω ωω ω

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠,

в то время как амплитуды токов, протекающих через катушку индуктивности и конденсатор, по отношению к величине полного тока изменяются по зако-нам

02

2 0

01

CQ

II

Q

ωω

ω ωω ω

=⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2

0

0

2

0

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

ωω

ωω

ωω

Q

Q

II L . (5.45)

При ω = ω0 наступает резонанс, называемый резонансом токов, когда общий ток, протекающий через контур, минимален (рис. 5.7). Явление резонанса в рассматриваемых цепях проявляется в том, что они существенно реагируют на колебания в некотором диапазоне частот, кото-рый называется «полосой пропускания» контура.

126

Рис. 5.7. Кривая зависимости величины Рис. 5.8. Кривая зависимости тока от частоты величины напряжения от частоты

Обычно этот спектр частот заключен в рамках, ограниченных значения-ми тока или напряжения, равными I =0.707 Iрез (или U=0.707Uрез), что соот-ветствует значениям I = Iрез / 2 . В этом случае

2 2 2

2 20 02

0 0

( ) (1( )

0)ω ω ω ω ω ωω ω ωω

⎛ ⎞ − +− = =⎜ ⎟

⎝ ⎠Q Q .

Приближенно можно считать, что ω+ω0≈2ω0, ⏐ω-ω0⏐=∆ω, для расчёта ве-личины добротности использовать соотношение

02

Q ωω

=∆

(5.46)

и по резонансной кривой достаточно точно определить Q (см. рис. 5.8).

Сложение гармонических колебаний

Чисто синусоидальные колебания практически не встречаются ни в природе, ни в технике. Обычно колебательный процесс может быть пред-ставлен как результат сложения некоторого (возможно, бесконечного) числа гармонических (синусоидальных) колебательных процессов, у которых могут различаться частоты, начальные фазы, амплитуды, а также направление ко-лебаний. Основные закономерности сложения гармонических колебаний мо-гут быть рассмотрены уже на примере сложения двух колебаний. Для наглядного описания сложения одинаково направленных колеба-ний весьма удобно использовать метод векторных диаграмм. Он основан на двух общеизвестных математических фактах: 1) если вектор длины А (рис. 5.9) вращается в плоскости ху в положительном направлении (против часо-вой стрелки) с угловой скоростью ω, причем в начальный момент он состав-ляет угол α с осью х, то проекция вектора на ось Ох изменяется со временем по гармоническому закону x=A cos(ωt+α), (5.47)

127

где круговая частота колебания ω численно равна угловой скорости враще-ния вектора; 2) проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось.

Рис. 5.9. Схема вращения вектора

Чтобы рассмотреть сложение одинаково гармонических колебаний с одинаковой частотой (но, возможно, различающихся амплитудами и на-чальными фазами):

1 1 1

2 2 2

cos( ),cos( ),

x A tx A t

ω αω α

= +⎧⎨ = +⎩

(5.48)

сопоставим каждому из них вектор, как описано выше, и затем сложим век-торы 1 и 2A A по правилу параллелограмма. Поскольку длины векторов

1 и 2A A , а также угол между ними α2–α1 при вращении не изменяются, то и вектор A будет сохранять неизменной свою длину и расположение относи-тельно векторов 1 и 2A A . Это отражает тот факт, что сумма двух гармониче-ских колебаний с одинаковой частотой также является гармоническим коле-банием той же частоты. Вектор 1 2A A A= + и соответствует этому результи-рующему колебанию. Рассматривая рис. 5.10, нетрудно понять, что амплитуда А и фаза α ре-зультирующего колебания x(t)=x1(t)+x2(t) могут быть найдены из геометри-ческих соображений:

( )2 2 21 2 1 2 2 12 cosA A A A A α α= + + − (5.49)

(теорема косинусов для треугольника, образованного векторами 1 2, иA A A );

1 1 2

1 1 2

sin sintgcos cos

A AA A

2

2

α ααα α

+=

+ (5.50)

(по определению тангенса). Из рис. 5.10 и уравнения (5.49) следует неравенство для амплитуды ре-зультирующего колебания:

1 2 1 2A A A A A− ≤ ≤ + . (5.51)

128

Рис. 5.10. Сложение двух векторов

Если складываемые колебания будут иметь разные частоты, то изобра-жающие их векторы 1 и 2A A будут вращаться с разными угловыми скоро-стями, их относительное расположение будет периодически изменяться, и длина вектора A уже не будет постоянной, а его вращение не будет равно-мерным. Таким образом, при сложении колебаний с разными частотами ре-зультирующее колебание уже не будет гармоническим. Наиболее прост для рассмотрения и вместе с тем интересен случай, ко-гда частоты складываемых колебаний мало отличаются друг от друга:

2 1 1, 2ω ω ω ω− = ∆ << ω . (5.52)

Обозначим 112ω ω ω= − ∆ , 2

12ω ω ω= + ∆ ; дополнительно, для удобства рас-

смотрения, положим амплитуды складываемых колебаний одинаковыми, а начальные фазы — равными нулю. В этом случае

{ }1 21 1( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )2 2

2 cos( )cos( ).

x t x t x t A t t

A t t

ω ω ω ω

ω ω

= + = − ∆ + + ∆

= ∆

= (5.53)

В силу условия (5.52) первый (подчеркнутый) множитель изменяется го-раздо медленнее, чем второй. Это дает возможность рассматривать результат сложения колебаний как гармоническое колебание с частотой ω, амплитуда которого медленно изменяется со временем. Такой колебательный процесс носит название биениений. На рис.5. 11 сплошной линией показан график ре-зультирующего колебания, а штриховой —огибающая этого колебания (гра-фик медленно меняющейся амплитуды). Из условия (5.52) следует, что пери-

од биений 2Б

2TT π πω ω

= >> =∆

(см. рис. 5.11).

Явление биений удобно использовать для сравнения частоты некоторого сигнала с частотой, принимаемой за эталон (вы наверняка встречались с применением метода биений при настройке музыкальных инструментов!).

129

Рис. 5.11. Биение колебаний

Если точка одновременно участвует в двух колебательных движениях во взаимно перпендикулярных направлениях:

( )⎩⎨⎧

+==

),cos(,cos

2

1

αωω

tBytAx

(5.54)

где отношение частот выражается рациональным числом: ω1/ω2 = m/n, где m, n – целые числа (в этом случае говорят, что частоты ω1 и ω2 соизмеримы), траектория движения точки будет представлять собой замкнутую кривую, так как через определенный промежуток времени (равный общему периоду колебаний по х и по у) будут повторяться значения обеих координат. Эту кривую (их общее название – фигуры Лиссажу) мы можем наблюдать на эк-ране электронного осциллографа, если на две пары его пластин подать сиг-налы с соизмеримыми частотами. По форме этой фигуры легко определить отношение частот колебаний по осям х и у: оно равно отношению числа ка-саний кривой Лиссажу с вертикальными и горизонтальными сторонами опи-санного прямоугольника соответственно. Так, на рис. 5.12 первая кривая Лиссажу соответствует ω1 /ω2 = 3/1, вторая — ω1 /ω2 = 1/2. Обратите внима-ние, что, если кривая Лиссажу не замкнута (как на рис.5.12 а), то при подсче-те точек касания ее начало и конец учитываются с коэффициентом 1/2.

Рис. 5.12. Фигуры Лиссажу

130

Представляет интерес определение формы траектории из уравнений движения. Математическими «инструментами» для решения этой задачи служат: основное тригонометрическое тождество, формулы синуса/косинуса суммы, а также (при сложении колебаний с разными частотами) формулы тригонометрических функций кратного угла. Пусть складываемые колебания имеют одинаковую частоту, но различ-ные начальные фазы.

cos ;cos( ).

x A ty B t

ωω α

=⎧⎨ = +⎩

(5.55)

или

cos ;

cos( ) cos cos sin sin .

x tAy t t tB

ω

ω α ω α ω

⎧ =⎪⎪⎨⎪ = + = −⎪⎩

α (5.56)

Для нахождения формы траектории необходимо исключить из этих урав-нений время. Этого можно добиться, если возвести обе части уравнения (5.56) в квадрат и применить основное тригонометрическое тождество, соот-ветствующим образом группируя слагаемые в уравнениях. Получившееся уравнение

2 2

22 22 cos sinx xy y

ABA Bα α− + = (5.57)

задает эллипс, вписанный в прямоугольник размером 2А×2В и повернутый относительно осей координат на некоторый угол (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Кривая, описывающая сложение взаимно перпендикулярных колебаний

При некоторых значениях фазового сдвига α уравнение (5.57) принимает особенно простой вид: а) при α=πk (k=0, ±1, ±2 и т.д.) эллипс вырождается в отрезок прямой; б) при α=(2k+1)π/2 (k=0, ±1, ±2 и т.д.) оси эллипса совпадают с осями коор-динат. Если же периоды колебаний по х и у несоизмеримы, траектория колеб-лющейся точки будет постепенно заполнять весь прямоугольник 2А×2В. При

131

наблюдении сложения таких колебаний с помощью электронного осцилло-графа мы увидим на экране путаницу линий, поскольку след, оставляемый электронным лучом на экране, со временем затухает.

Литература 1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов. В 3-х т.–

Т. 2.– М.: Наука, 1982. 2. Детлаф А. А., Яворский Б.М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. –

М.: Высш. шк., 1989. 3. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш.

шк.,1990. 4. Калашников С. Г. Электричество: Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука,

1970. 5. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов.

В 2-х т.– Т.2. – М.: Наука. 1974.

132

5.1. Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 213

СВОБОДНЫЕ И ЗАТУХАЮЩИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1.1. Цель работы Изучение свободных и затухающих колебаний в электрических контурах, определение основных характеристик этих колебаний.

5.1.2. Содержание работы В настоящей работе определяются: период затухающих колебаний Т, ло-гарифмический декремент затухания λ, величина критического сопротивле-ния Rкр , добротность контура Q, а также исследуются зависимости указан-ных характеристик от параметров контура L, C и R.

5.1.3. Описание лабораторной установки Электрическая схема установки приведена на рис. 5.1.1.

Рис. 5.1.1. Принципиальная электрическая схема лабораторной установки

Исследуемый колебательный контур с помощью переключателя S1 мо-жет быть подключен к различным источникам внешнего напряжения: к гене-ратору развертки осциллографа (положение 1) или к звуковому генератору электрических сигналов 3Г (положение 2). При выполнении заданий в дан-ной работе подключение к звуковому генератору (положение 2) не использу-ется.

Значения параметров контура С, L и R могут изменяться переключени-

133

ем соответствующих рукояток S2, S3, S4, расположенных на панели установ-ки. Последовательно в контур включён дополнительный переменный рези-стор Rдоп, который можно подключать к омметру с помощью кнопки "КН". При установке переключателя S1 в положение 1 на контур подаются импуль-сы напряжения от генератора развёртки осциллографа. Запуск развёртки осциллографа и возбуждение колебаний в контуре про-исходит одновременно, поэтому изображение сигнала на экране осциллогра-фа будет устойчивым.

5.1.4. Методика проведения эксперимента Для определения логарифмического декремента затухания переключатель S1 устанавливается в положение 1. Затем получают на экране осциллографа кривую зависимости падения напряжения на конденсаторе от времени Uc=f(t), соответствующую 5 – 10 циклам колебаний. Далее производится измерение двух амплитудных значений напряжений Uс непосредственно по сетке экрана осциллографа. Чтобы произвести измерения с большей точно-стью, необходимо выбирать амплитуды сигнала на экране, отстоящие друг от друга не менее, чем на 5 циклов колебания. В этом случае формула (5.17) принимает вид

1 ln n

m

Um n U

λ =−

(5.1.1)

где m и n – порядковые номера амплитудных значений напряжения, Un и Um

– амплитудные значения напряжения для n и m – цикла, соответственно, причем (m - n) ≥ 5. Для тех же значений R, L и C, для которых определяется логарифмиче-ский декремент затухания, необходимо измерить период затухания Тэксп , ко-торый сравнивается с рассчитанным по формуле (5.14) Ттеор. Для определения Rкр с помощью переменного резистора Rдоп увеличи-вают активное сопротивление контура, добиваясь перехода колебательного процесса в апериодический (рис. 5.3), после чего, нажав кнопку "КН" оммет-ра "ИП" (рис. 5.1.1), определяют Rдоп.

5.1.5. Порядок выполнения работы 1. Подготовьте к измерениям лабораторную установку. Для этого устано-вите переключатель S1 в положение 1, а переключатели S2, S3 и S4 зафик-сируйте в определенных положениях (рис. 5.1.1). Значения выбранных для измерений параметров контура С, L и R запишите в табл. 5.1.1. 2. Включите в сеть осциллограф. Подготовьте осциллограф к измерениям, выполнив указания, находящиеся на лабораторном столе. 3. Получите на экране кривую затухающих колебаний, состоящую из 5 – 10 циклов сигнала. Максимальную амплитуду сигнала, равную 40 мм, установи- те по сетке осциллографа.

134

4. Измерьте амплитуды двух как можно более удаленных друг от друга циклов колебания в делениях сетки экрана. 5. Переключите S4 в положение Rдоп. Вращением рукоятки резистора Rдоп добейтесь перехода колебательного процесса в апериодический, увеличивая его сопротивление до тех пор, пока кривая сигнала на экране не примет вид кривой, изображенной на (рис. 5.3). 6. Нажав кнопку "КН", по омметру "ИП" определите значение критическо-

го сопротивления экскрR .

7. Установите переключатель S4 в первоначальное положение. Пользуясь указаниями на лабораторном столе, определите период затухающих колеба-ний сигнала Тэксп. 8. Изменив индуктивность контура L переключателем S4, выполните опе-рации, указанные в пп. 4 – 7. 9. Установите первоначальное значение индуктивности. Измените емкость контура переключателем S2 и выполните операции, указанные в пп. 4 – 7. 10. Результаты измерений запишите в табл. 5.1.1.

5.1.6. Обработка результатов измерений.

1. По формуле (5.14) вычислите период колебаний Ттеор для выбранных значений L, R и С. 2. По формулам (5.18) и (5.20) вычислите теоретические значения логарифмического декремента затухания и λтеор и добротности Qтеор.

Таблица 5.1.1 Результаты измерений и расчетов

Амплитуда сигнала Rкр , кОм. T, c. λ Q

Параметры контура Um Un m-n эксп теор эксп теор Эксп теор эксп теор

L1 =

C1 =

R1 =

L2 =

C2 =

R2 =

L3 =

C3 =

R3 =

135

3. По формулам (5.1.1) и (5.19) определите экспериментальные значения логарифмического декремента затухания λэксп и добротности Qэксп. 4. По формуле (5.22) вычислите значение критического сопротивления контура Rкр. Результаты вычислений запишите в табл. 5.1.1. 5. Проанализируйте, как влияет изменение параметров контура на Т, λ, Q и Rкр. Сделайте вывод.

5.1.7. Контрольные вопросы

1. Получите дифференциальное уравнение свободных незатухающих коле-баний. Как изменится уравнение при наличии затухания? 2. Перечислите параметры, характеризующие незатухающие колебания (частота, период, логарифмический декремент затухания, амплитуда и на-чальная фаза и др.) и раскройте их физический смысл. 3. Как определяется период колебаний? 4. В чём состоит аналогия между электрическими и механическими коле-баниями? 5. Что такое апериодический процесс? Какие условия характеризуют его наступление? 6. В чём состоит отличие последовательного и параллельного контуров? 7. Что такое добротность колебательного контура? Физический смысл добротности.

136

5.2. Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 214

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

5.2.1. Цель работы Экспериментальное исследование параллельного и последовательного резонансов (резонанса тока и резонанса напряжения) в простых колебатель-ных цепях.

5.2.2. Содержание работы

Вынужденные колебания в электрическом контуре – процессы, происхо-дящие под воздействием внешней возмущающей силы (внешней ЭДС), когда контуру «навязываются» колебания с частотой внешнего сигнала. В данной работе необходимо изучить изменение напряжения на активном и реактив-ных элементах в зависимости от частоты вынуждающего сигнала в случае параллельного и последовательного включения элементов контура, постро-ить амплитудно-частотную характеристику. Исследование зависимости ве-личины тока I, протекающего через контур, и амплитуды вынужденных ко-лебаний проводится в зависимости от частоты вынуждающего сигнала при неизменной его амплитуде. Для измерения сдвига фаз между током, протекающим через контур, и падением напряжения на контуре используется метод сложения взаимно пер-пендикулярных колебаний. Поскольку ток во внешней цепи совпадает по фа-зе с напряжением вынуждающего сигнала, подаваемого с генератора сигна-лов, то сдвиг фаз ∆ϕ можно определить по сдвигу фаз между входным и вы-ходным напряжением.

5.2.3. Описание лабораторной установки

Установка включает генератор, цифровой миллиамперметр, осцилло-граф и измерительный блок (рис. 5.2.1). С помощью переключателей S2, S3, S4 и S5 можно устанавливать произ-вольную комбинацию резисторов R1 – R3 для последовательного или R4 – R6 для параллельного контура, катушек индуктивностей L1 – L3 и конденсато-ров С1 – С3, а строенный переключатель S1 позволяет исследовать процессы в последовательном (положение выключателя соответствует рисунку) и па-раллельном контурах (при замыкании контактов с помощью переключателя S1). Миллиамперметр, включённый в цепь контура, а осциллограф служит для измерения амплитуды сигнала на конденсаторе при параллельном и по-следовательном соединениях элементов (гнездо К2) и на последовательно со- единённых реактивных элементах при последовательном включении индук-тивности и ёмкости (гнездо К3).

137

Рис. 5.2.. Принципиальная электрическая схема экспериментальной установки

На рис. 5.2.2 показана структурная схема всей экспериментальной уста-новки.

Рис. 5.2.2. Структурная схема лабораторной установки

5.2.4 Методика проведения эксперимента Для исследования последовательного контура переключатель S1 дол-

жен находиться в положении "выкл.", Y – пластины осциллографа подключе-ны к гнезду К2. Переключатели S2, S3, S4 и S5 находятся в положении, опре-деляемом преподавателем.

На экране осциллографа появляется вертикальная линия. Путём изме-нения частоты генератора добиваются максимальной амплитуды. Длина ли-

138

нии должна соответствовать максимальному размеру масштабной сетки на экране осциллографа. При повышении или недостаче сигнала амплитуду корректируют ручками "Усиление" ступенчатой и плавной регулировки уси-ления. Затем, изменяя частоту сигнала генератора в сторону увеличения или уменьшения частоты, изменяют амплитуду сигнала до тех пор, пока она не достигнет 1/3 амплитуды UCmax. Следует при этом следить за показаниями миллиамперметра, снимая зависимость I(ω). Затем, поставив частоту генера-тора на величину, соответствующую 1/3 UCmax, и записывают результаты из-мерений.

Для исследования параллельного контура выключатель S1 ставится в положение "вкл", не изменяя при этом положение выключателей S2, S3, S4 и S5. Y – пластины осциллографа должны быть подключены к гнезду К2. Ме-тодика измерений такая же, как и в случае последовательного контура. Па-раллельно с измерением амплитуды снимается зависимость I(ω).

Для измерения сдвига фаз между током, протекающим через контур, и падением напряжения на контуре Х – пластины осциллографа подключают-ся к клемме К1 и на них подаётся напряжение х(t)=U1cosωt. На Y – пласти-ны, подключенные к клемме К2, подаётся напряжение y(t)=U2ccos(ωt+ϕ). В результате на экране осциллографа появляется фигура Лиссажу, соответст-вующая подаваемым сигналам. Это эллипс. Действительно, из соотношений для х(t) и y(t) можно получить параметрическое уравнение кривой Лиссажу

2 2

22 2

1 21 2

( ) ( ) ( ) ( )2 cos sinx t y t x t y tU UU U

ϕ ϕ+ − = . (5.2.1)

Нетрудно заметить, что при y(t) = 0 ⏐sinϕ⏐=x/U1, и для определения сдви-га фаз достаточно измерить два отрезка (см. рис.5.2.3) х=вв и U=aa.

Рис. 5.2.3. Вид фигуры Лиссажу на экране осциллографа

При этом можно так отрегулировать усиление по оси Y, чтобы эллипс был достаточно большим и в то же время помещался на экране, а знак сдвига фаз можно получить по формуле (5.33). Если частота меньше резонансной, то угол сдвига фаз отрицательный (ωL<1/ωC), а если больше резонансной, то угол – положительный и стремится к π/2 при увеличении частоты. При резо-нансе ϕ = 0. Таким образом,

arcsin вваа

ϕ = . (5.2.2)

139

5.2.5. Порядок выполнения работы

1. Перед началом работы следует получить у преподавателя данные о том, какие R, L и С следует подключать. 2. Подготовить установку к работе. Для этого следует переключатель S1 поставить в положение " выкл.", отсоединить от клеммы К1 провод, идущий к Х-пластинам, Y-пластины соединить с клеммой К2. Переключатели S2, S3, S4 и S5 поставить в положение, соответствующее значениям элементов кон-тура (L,R.C), указанных преподавателем. 3. Включить в сеть генератор, осциллограф и миллиамперметр. Ознако-миться с основными правилами эксплуатации приборов, находящимися у ла-боранта. 4. Вращая ручку настройки генератора, добиться максимальной величины сигнала на экране осциллографа. Установить величину линии не менее 60 мм. 5. Изменяя частоту генератора в сторону её уменьшения, снять зависи-мость UC(v). Частота v определяется по шкале генератора (ω=2πv), а амплитуда – по размеру отрезка на экране осциллографа. Следует сначала изменять частоту с малым щагом, затем, после уменьшения амплитуды в 1,5 раза, – с большим шагом до получения значения UC =1/3UCmax. Кривая UC(v).должна содержать не менее 16 точек. Параллельно записывать значе-ния I(v). Все данные вносить в табл. 5.2.1. 6. Установить частоту сигнала, соответствующую амплитуде сигнала, рав-ного UC=1/3UCmax и переключить Y-пластины на клемму К3. Установить максимальную величину отрезка на экране, изменяя частоту сигнала генера-тора, и при тех же значениях U, как в пп. 4 и 5, снять зависимость UIm(x) от первого значения частоты, где выполняется условие UC =1/3U, до второго значения частоты, при котором это условие выполняется снова. Данные внести в табл. 5.2.1. 7. Подключить Y-пластины к клемме К2 и Х – пластины – к клемме К1. Частота генератора должна соответствовать точке, в которой UC =1/3UCmax. 8. Ручками усиления Х и Y установить максимальный размер эллипса на экране осциллографа. 9. Изменяя частоту генератора для тех же значений частот, что и в пп.5, 6, измерить отрезки 2а(аа) и 2в(вв). Данные внести в табл. 5.2.1. 10. Отключить провод от клеммы К1 и поставить S1 в положение "вкл." 11. Повторить измерения по пп. 5 и 6 для параллельного контура, не забы-вая записывать значения I(v).

5.2.6. Обработка результатов измерений 1. Используя данные эксперимента (значения отрезков 2а(аа) и 2в(вв)), по формуле (5.2.2) вычислить значения сдвига фаз ϕ, а по соотношению (5.46) – добротность контура Q.

140

2. По соотношениям (5.32) и (5.33) вычислить значения ⏐Y(ω)⏐ и ϕ(ω) для последовательного контура , а по соотношениям (5.44), (5.33) – ⏐Z(ω)⏐ и ϕ(ω) – для параллельного. Внести эти данные в табл. 5.2.2. 3. Построить графики экспериментальных зависимостей UC (v) для после-довательного и параллельного контуров. 4. Рассчитать величины добротности по данным величинам R, L, C ( соот-ношения (5.20) и (5.43)) для последовательного и параллельного контуров,. 5. Построить графики теоретических зависимостей ⏐Z(ω)⏐ и ⏐Y(ω)⏐.

Таблица 5.2.1 Амплитудно-частотные характеристики контуров (эксперимент)

Параллельный контур Последовательный контур

ν 2UC 2UL I(v) 2a (aa)

2в (вв)

ϕ ν 2UC I(v) 2a (aa)

2в (вв)

ϕ

Таблица 5.2.2 Амплитудно-частотные характеристики контуров (теория)

Последовательный контур Q=

Параллельный контур Q=

Y(ω) ϕ(ω) Z(ω) ϕ(ω)

5.2.7. Контрольные вопросы 1. Что такое последовательный и параллельный колебательные контуры? 2. Каким образом можно получить вынужденные электрические колебания

в контуре? 3. Напишите уравнения Кирхгофа для колебательного контура. 4. Что такое резонанс? 5. Как определяется условие резонанса в колебательном контуре? 6. В чем различие резонанса токов от резонанса напряжений? 7. Почему появляется разность фаз между током и напряжением в конту-

ре? 8. Что такое добротность контура? Как определяется добротность конту-

ра? 9. Почему не совпадают точки максимального напряжения при резонансе в

последовательном контуре при измерениях на резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности?

141

5.3 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 215

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

5.3.1. Цель работы Изучение сложения одинаково направленных колебаний и колебатель-ных движений во взаимно перпендикулярных направлениях с помощью фа-зовращателя и электронного осциллографа.

5.3.2. Содержание работы Сложение колебаний встречается в жизни значительно чаще, чем про-стой гармонический процесс. Любой процесс, протекающий во времени и имеющий определенный период, может быть представлен в виде суперпози-ции гармонических составляющих, имеющих различные частоты, фазы и на-чальные амплитуды. Однако основные закономерности сложения гармониче-ских колебаний могут быть рассмотрены уже на примере сложения двух ко-лебаний, что и является основной задачей данной работы. Сложение одинаково направленных колебаний, т. е. когда два колеба-тельных процесса ( )1 01 1 1( ) cos x t x tω ϕ= + и ( )2 02 2( ) cosx t x t 2ω ϕ= + проис-ходят относительно одного направления, приводит к появлению нового сложного колебания, описываемого при равенстве амплитуд соотношением

( ) ( )0

1 2 1 21 2 1 2( ) 2 sin cos2 2 2 2

x t x t tω ω ω ωϕ ϕ ϕ+ −⎡ ⎤ ⎡+ −

= + ⋅ +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

ϕ ⎤⎥⎦

.

Когда ω1 = ω2 , частота результирующего колебания совпадает с часто-той исходных процессов, а его значение определяется величинами началь-ных фаз ϕ1 и ϕ2. Выяснение вида результирующего колебания – первая часть работы. В случае, когда частоты колебаний отличаются на малую величину, на-

блюдаются биения с частотой, соответствующей разности ( )1 22

ω ω−. Дока-

зательство наличия такого процесса и изучение его – вторая задача работы. И, наконец, когда происходит сложение колебаний, совершаемых во вза-имно перпендикулярных направлениях, наблюдаются фигуры Лиссажу [1,2], о которых речь шла ранее. Исследование такого процесса – третья задача данной лабораторной работы.

5.3.3. Описание лабораторной установки Лабораторная установка (рис. 5.3.1) состоит из фазовращателя (1), двух-

лучевого осциллографа (2), однолучевого осциллографа (3) и звукового гене-ратора (4).

142

Рис. 5.3.1. Лабораторная установка для исследования сложения колебаний

На экране двухлучевого осциллографа наблюдаются складываемые ко-лебания, а на экране однолучевого осциллографа результат их сложения – сложное колебание.

Звуковой генератор (4) является источником переменного напряжения в звуковом и ультразвуковом диапазоне частот от 20 Гц до 200 кГц. Форма ко-лебаний – синусоидальная. Фазовращатель (1) позволяет менять разность фаз складываемых колебаний от 0 до 2π. На лицевой панели его находится ручка управления им с указанием разности фаз (0, π/2, π, 3/2π) и переключатели ро-да работы: «═» (равные частоты), «≠» (неравные частоты) «║», (колебания одинаково направленные), «⊥» (колебания взаимно перпендикулярные). Фа-зовращатель является источником переменного напряжения фиксированной частоты 50 Гц.

5.3.4. Методика проведения эксперимента 1. Для наблюдения сложения одинаково направленных колебаний переклю-чатель фазовращателя ставится в положение «║». При этом на вход Y одно-лучевого осциллографа подается сумма двух колебаний, а на горизонтально отклоняющие пластины подается пилообразное напряжение развертки, что позволяет наблюдать график временнóй зависимости результирующего коле-бания.

В случае сложения колебаний равных частот переключатель фазовра-щателя необходимо поставить в положение «═». Вращая регулятор, можно задавать желаемую разность фаз складываемых колебаний.

В случае сложения одинаково направленных колебаний с разными час-тотами (биения) переключатель фазовращателя должен стоять в положении «≠». При этом колебания напряжения, снимаемого с фазовращателя, склады-ваются с колебаниями напряжения на выходе звукового генератора. 2. Для наблюдения сложения взаимно перпендикулярно направленных коле-баний переключатель фазовращателя ставится в положение «⊥». При этом складываемые колебания подаются на различные входы однолучевого ос-циллографа. В этом случае электронный луч осциллографа колеблется одно-временно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, рисуя на экране фигуры Лиссажу.

143

В случае равных частот переключатель необходимо поставить в поло-жение «═». В этом случае на входы X и Y однолучевого осциллографа пода-ются два сигнала с фазовращателя, разность фаз между которыми задается поворотом регулятора.

В случае сложения взаимно перпендикулярных колебаний с разными частотами переключатель ставится в положение «≠». При этом на вход Y од-нолучевого осциллографа подается сигнал с фазовращателя, а на вход Х — сигнал со звукового генератора.

5.3.5. Порядок выполнения работы

1. Приготовьте разграфленную бумагу для зарисовки графиков. 2. Включите оба осциллографа, фазовращатель и генератор звуковой час-тоты. 3. Переключатели рода работ фазовращателя установите в положения «═» и «║». 4. При еобходимости отрегулируйте яркость и фоку ировку луча осцил-лографа ручками «ЯРКОСТЬ» и «ФОКУС».

н с

5. Ручку «ДИАПАЗОН ЧАСТОТ» на однолучевом осциллографе установи-те в положение «30». Ручку «ОСЛАБЛЕНИЕ» установите в положение 1:100. Если изображение на экране неустойчиво, добейтесь неподвижного изобра-жения результирующего колебания поворотом ручек «СИНХРОНИЗАЦИЯ» и «ЧАСТОТА ПЛАВНО». 6. Если изображение суммируемых колебаний на экране двухлучевого ос-циллографа неустойчиво, поворотом ручки «ПОДСТРОЙКА СИНХРОНИ-ЗАЦИИ» добейтесь неподвижного изображения обоих гармонических коле-баний. 7. Установите ручку фазовращателя в положение «0» (разность фаз скла-дываемых колебаний равна нулю). 8. Ручкой «УСИЛЕНИЕ Y» однолучевого осциллографа установите мак-симальный вертикальный размер графика. 9. Зарисуйте графики складываемых колебаний и их суммы, располагая их друг под другом. Запишите разность фаз. 10. Поворотом ручки фазовращателя получите на экране двухлучевого ос-циллографа изображения колебаний, сдвинутых по фазе на π/2 одно относи-тельно другого, а на экране однолучевого осциллографа – их сумму. Зари-суйте эти графики и запишите разность фаз. То же проделайте для сдвига фаз, равного π 11. Переключатель фазовращателя установите в положение «≠». 12. Включите звуковой генератор и дайте ему прогреться. Вращая лимб зву-кового генератора, установите частоту генерируемых колебаний около 50 Гц. 13. Пронаблюдайте сложение колебаний. Убедитесь, что получается коле-бание синусоидальной формы, амплитуда которого все время меняется вследствие изменения разности фаз суммируемых колебаний.

144

14. Поворотом лимба звукового генератора установите частоту колебаний, близкую к 50 Гц так, чтобы на экране однолучевого осциллографа умещалось чуть более одного периода биений. Зарисуйте графики складываемых коле-баний и график их суммы. Запишите частоты складываемых колебаний. 15. Установите частоту звукового генератора 100 Гц. Зарисуйте графики складываемых колебаний и их суммы. 16. Переключатели рода работ фазовращателя установите в положение «═» и «⊥». 17. Ручку «ДИАПАЗОН ЧАСТОТ» однолучевого осциллографа поставьте в положение «ВЫКЛ». 18. Последовательно устанавливая ручку фазовращателя в положения О; π/2; π, зарисуйте графики складываемых колебаний и траекторию результи-рующего колебания. Запишите на каждом эскизе соответствующую разность фаз. 19. Переключатель фазовращателя установите в положение «≠». 20. Установите частоту колебаний звукового генератора 50 Гц. Пронаблю-дайте, как будет меняться со временем траектория результирующего колеба-ния. 21. Изменяя частоту звукового генератора, получите на экране однолучево-го осциллографа траектории результирующих колебаний (фигуры Лиссажу) для следующих соотношений частот: ωх/ωу = 1:2; 2:1; 3:1; 3:1. Зарисуйте эти фигуры и подпишите отношения частот. 22. Выключите звуковой генератор, осциллографы и фазовращатель.

5.3.6. Обработка результатов измерений Все результаты измерений представляются в виде графиков, имеющих подписи, дешифрующие параметры колебаний.

5.3.7. Контрольные вопросы 1. Нарисуйте график гармонического колебания. Покажите на нем ампли-туду, период, начальную фазу колебаний. 2. Приведите примеры сложения колебаний, известные вам из повседнев-ной жизни. 3. Может ли при сложении двух колебаний с одинаковой частотой и ам-плитудой получиться колебание, амплитуда которого равна амплитуде каж-дого из слагаемых? 4. Как будет выглядеть результат сложения двух колебаний с различными, но близкими частотами и неравными амплитудами? 5. Является ли колебательный процесс, описываемый уравнением (5.53), периодическим в строгом значении этого слова? (Для ответа можно воспользоваться рис. 5.11). 6. Расскажите, как применить метод биений для настройки струнного му-зыкального инструмента. Как мы судим о том, что совпадение частот двух колебаний достигнуто?

145

7. Можно ли использовать метод векторных диаграмм для описания сло-жения перпендикулярно направленных колебаний? Объясните. 8. Как понимать словосочетание «общий период колебаний с неравными частотами»? 9. Определите соотношение частот колебаний по х и по у для фигуры Лис-сажу, показанной на рис. 5.12 в. 10. Исключив из уравнений движения (5.56) время, получите уравнение од-ной из полученных вами в эксперименте фигур Лиссажу (по указанию пре-подавателя).

146

6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Плоская электромагнитная волна

Электромагнитные волны – это электромагнитные поля, существующие даже при отсутствии зарядов. Они определяются частотой ν или длиной волны сλ

ν= ( с – скорость света в вакууме) и амплитудой. Математически

их можно представить в виде ( ) ( )0, sint r A t krξ ω= − , (6.1)

где 2kcω π

λ= = – волновое число, а k - волновой вектор, численно равный

волновому числу и направленный в сторону распространения волны, r - вектор, направленный из точки наблюдения в точку, где в данный момент времени рассматривается процесс. Если, например, волна распространяется вдоль оси х и наблюдатель также находится на этой оси, то

( ) ( )0, sint r A t kxξ ω= − . (6.2) Распространение электромагнитных волн описывается при помощи

уравнений Максвелла, которые при отсутствии свободных зарядов и токов имеют следующий вид

21 ErotB

tc∂

=∂

; (6.3)

21 BrotE

tc∂

= −∂

; (6.4)

0divE divB= = ; (6.5) Здесь E - вектор напряжённости электрического поля; B - вектор маг-

нитной индукции, 2

0 0

1cε µ

= .

Запишем уравнения (6.3) и (6.4) в декартовой системе координат

( )0 x y

x y z

i j k

rotB iE jE kEx y z t

B B B

ε∂ ∂ ∂ ∂= = +∂ ∂ ∂ ∂ z+ ; (6.6)

( )0 x y

x y z

i j k

rotE iB jB kBx y z t

E E E

µ∂ ∂ ∂ ∂= = − +∂ ∂ ∂ ∂ z+ . (6.7)

Здесь , ,i j k – орты вдоль осей 0x,0y,0z соответственно.

148

Рассмотрим одномерную задачу, предположив, что волна распространя-ется только вдоль оси 0x, а от других координат она не зависит. Иначе,

0y z∂ ∂= =∂ ∂

.

В соответствии с правилами векторного анализа равенство векторов приводит к равенству их проекций на соответствующие оси координат. По-лучаем

0

0

,z

,

0,x

y

yz

Et

E Bt x

BEt x

ε

ε

∂=

∂∂

∂ ∂∂∂

=∂ ∂

∂= − 0

0

,y z

.

0,x

yz

Bt

B Et x

EBt x

µ

µ

∂=

∂∂

∂ ∂∂∂

= −

∂=

149

∂ ∂

(6.8)

Поскольку из первых уравнений (6.8) следует, что Ех = const, Bx = cсове

onst, ршенно не изменяя сущности решения, можно положить, что Ех = Bx =0. Следующие четыре уравнения связаны попарно:

0

0

,

,

y zE

y z

Bt x

E Bx t

µ

∂ ∂∂ ∂

= −∂ ∂

ε

∂ ∂= − 0

0

,

.

yz

yz

BEt t

BEx t

µ

ε∂∂

=∂ ∂

∂∂=

∂ ∂

(6.9)

Продифференцировав вторые уравнения по t и используя первые урав-

нения (производные и t x∂ ∂

∂ ∂ переставимы), находим

2 2

2 2 21 0z zB B

x c t∂ ∂

− =∂ ∂

; 2 2

2 2 21 0y yB B

x c t

∂ ∂− =

∂ ∂. (6.10)

Вдоль направления 0x распространяется две пары волн с составляю-щими Еy и Вz; Еz и Вy. Без ущерба для анализа положим, что Вz=Еy = 0. Тогда решение волнового уравнения можно представить в виде

0 cos( );yВ B t kxω+ += − (6.11)

0 cos( )zЕ Е t kxω+ += .−ваются плоскими

(6.12) Такие волны назы .

ическая, и магнитная составляющая элек

Из (6.11) и (6.12) видно, что и электртромагнитной волны распространяются синфазно вдоль оси ОХ, т. е. они

достигают максимальных и минимальных значений при одном и том же зна-чении фазы Ф t kxω= − (6.13) (см. рис. (6.1)). При этом векторы E и B взаимно перпендикулярны друг к другу.

Электромагнитные волны охватывают широкий диапазон частот и ха-рактер их распространения в идеальных условиях (в вакууме) в принципе

одинаков. Например, световое электромагнитное излучение, падающее на Землю от Солнца, с достаточной степенью точности можно рассматривать как плоские волны.

150

Рис. 6.1. Плоская электромагнитная волна

Электромагнитн иком, на большом расс

если волну напр

В этом случае вдоль лна тока I(t) и напряже-ния

ектродинамики следует, что ток и напряжение могу

ая волна, излучаемая радиопередатчтоянии от него также представляется в виде плоской волны. Такая же картина распределения полей будет наблюдаться, авить вдоль двухпроводной линии, состоящей из двух параллельных

проводников малого диаметра, расположенных достаточно близко друг к другу (длина проводников значительно больше расстояния между ними) (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Двухпроводная линия

оси 0x распространяется воU(t), возбуждающая плоскую электромагнитную волну, также распро-

страняющуюся вдоль оси 0x. Из основных законов элт быть определены с помощью соотношений

∫−

=a

dytBtI 1 ; =a

tUa

)()(0µ a

dytE )()( . (6.14)

Электромагнитная волна, описываемая соотношениями (6.11) и (6.12), расп

оизойдёт от-раже

∫−

ространяется вдоль оси 0x в положительном направлении. Если ввести неоднородность в некоторой плоскости, то прние волны от неоднородности и появится волна, бегущая в отрицатель-

ном направлении вдоль оси 0x

151

1 0

0 2

cos( );

cos( ),

y

z

В B t kx

Е Е t kx

ω ϕ

ω ϕ

−

−

−

−

= − +

= − + (6.15)

где величины сдвига фаз ϕ1 и ϕ2 определяются конкретными условиями от-ражения.

Рассмотрим случай, когда длинная линия замкнута накоротко, т. е. оба проводника соединены между собой мостом с малым омическим сопротив-лением. В этом случае проводники оказываются закороченными, и падение

напряжения между ними равно нулю: ( ) 0a

za

U t E dy−

= =∫ , т. е. 0( , ) 0zE t l = , в то

время как ток достигает максимального значения. При наличии отраженной волны полное поле в системе является суперпозицией прямой и отраженной волн: ( ) 0 0, cos( ) cos(zЕ x t Е t kx Е t kx 2).ω ω ϕ+ −= − + + +

При 0x l= 0 0 0 0 2cos( ) cos( ) 0.zЕ Е t kl Е t klω ω− + −= − + + +ϕ =

0Если вся энергия отражается от неоднородности, то 0E E+ = − . Отсюда

находим, что 2 20cos cos 0,

2 2t klϕ ϕω⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= т. е. для любого произвольного

момента времени должно выполняться условие 2 02klϕ π= − + . (6.16)

Иначе, на короткозамкнутой границе линии происходит изменение фазы электрической составляющей отражённой волны на π. Ток в этой же точке достигает максимального значения, т. е.

0 0 00 0 0

1 2 4( ) ( , ) ( , ) cosa

a

a aI t B t l dy B t l B tωµ µ µ

+

−

= = =∫ ,

где ( ) ( ) 10 0 0 1 0 0( , ) cos cos 2 cos cos

2B t l B t kl t kl B t kl ϕω ω ϕ ω+ + ⎛ ⎞= − + + + =⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

+ .

Отсюда следует, что 10cos 1

2kl ϕ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

, т. е. 1 2kl0ϕ = − , (6.17)

– фаза магнитной составляющей отраженной волны не изменяется. Воспользовавшись соотношениями (6.16) и (6.17), определим закон

распределения волны вдоль линии:

( ) ( ) ( )( ) ( ) (

0 0

0 0

, 2 sin sin

, 2 cos cos )0

0

Е t x E t kl k x l

B t x B t kl k x l

ω

ω

+

+

= −

= −

−

− (6.18)

Это – стоячая волна, имеющая иное распределение амплитуд составля-ющих поля вдоль оси 0x: они оказываются сдвинутыми по фазе на 2/π (см. рис. 6.3). При этом расстояние между соседними точками ix и 1ix + , в кото-рых электрическая составляющая равна нулю (т. е. между соседними

узлами), соответствует значениям:

( ) ( )0 1 0i ik x l k x l π+− − − = 1i ikx kx π+− = , а поскольку 2k πλ

= , то

12( )i ix x λ+− = . (6.19) Рис. 6.3. Стоячая волна

Нетрудно заметить, что и разность между точками, где амплитуда маг-нитной составляющей обращается в нуль, также равна λ/2.

Следует отметить, что там, где электрическая составляющая равна нулю, магнитное поле максимально (пучности магнитной составляющей) и наобо-рот: в точке, где Е(x,t) максимально, В(x,t) обращается в нуль.

Аналогичные исследования можно провести для случая размыкания длинной линии. В этом случае в точке разрыва (x=l) ток равен нулю – маг-нитная составляющая электромагнитной волны изменяет фазу на π, в то вре-мя как Е - составляющая будет иметь максимальное значение.

Дифракция электромагнитных волн

При отсутствии препятствий электромагнитные волны распространяют-ся, как правило, по прямой линии. При больших длинах волн в пределах Земли, ввиду влияния атмосферы и окружающих предметов на распростра-нение волн, доказать это достаточно сложно. Однако если выбрать для изучения световой диапазон с длинами волн в пределах 700 – 500 нм ((7-5)⋅10-8м), то легко можно увидеть, как световой луч распространяется по прямой линии. Именно на этом явлении основана вся геометрическая опти-ка.

Однако при распространении световых волн в средах с резкими неодно-родностями (непрозрачные частицы, края экранов и т.д.) наблюдаются от-клонения от законов геометрической оптики. Возникающие при этом явления называются дифракционными [1,2].

В узком смысле дифракция света есть огибание световыми волнами препятствий, встречающихся на их пути, и проникновение волн в область геометрической тени. При этом отсутствует резкий переход от света к тени, а

152

возникает переходная область, в которой наблюдаются чередующиеся мак-симумы и минимумы интенсивности света.

Дифракция света может наблюдаться только при выполнении некоторых специальных условий. Это обусловлено тем, что масштабы дифракции силь-но зависят от соотношения размеров препятствия d, расстояния ℓ от препят-ствия до экрана, на котором осуществляется наблюдение дифракции, и дли-ны волны света λ. Как показывает расчет, при выполнении соотношения d2 ≤ λ.ℓ дифракция выражена очень сильно, если же d2 >> λ.ℓ, то дифракция почти не наблюдается и применимо приближение геометрической оптики.

Явление дифракции света объясняется с помощью принципа Гюйгенса – Френеля, согласно которому световая волна, приходящая в точку наблюде-ния от источника S, может быть представлена суперпозицией когерентных световых волн, излучаемых всеми элементами волновой поверхности (так на-зываемые вторичные волны), распространяющейся от этого источника. Учет амплитуд и фаз этих вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства, т. е. определить закономерность распространения дифрагирующего света [1 – 3].

Различают два вида дифракции. В том случае, когда дифракционная картина наблюдается на небольшом расстоянии от источника света до пре-пятствия, так что дифрагирует сферическая волна, то говорят о дифракции Френеля. Если же источник света находится от препятствия настолько дале-ко, что световые лучи можно считать параллельными, дифракция называется Фраунгоферовой (дифракция Фраунгофера).

Результатом дифракции, наблюдаемым на экране, установленном на не-котором расстоянии от препятствия, является появление дифракционной кар-тины из чередующихся максимумов и минимумов освещенности, располо-женных симметрично относительно центра дифракционной картины. В слу-чае дифракции Френеля в центре может наблюдаться как максимум, так и минимум освещенности экрана, в зависимости от соотношения расстояний от препятствия до источника и от препятствия до экрана. Это вызывает необхо-димость точной фиксации указанных размеров при проведении эксперимен-тов по дифракции Френеля, поскольку даже небольшие смещения любого из элементов экспериментальной установки (источника, препятствия или экра-на) приводят к изменению характера наблюдаемой картины.

В случае дифракции Фраунгофера в центре дифракционной картины всегда наблюдается максимум освещенности экрана. Экспериментальное на-блюдение дифракции Фраунгофера осуществляется более просто, т. к. рас-стояние от экрана до препятствия не влияет на общий характер распределе-ния освещенностей, а сказывается только на расстояниях между соседними максимумами и минимумами.

Целью расчета дифракционной картины является определение углов, в направлении которых на экране наблюдаются максимумы и минимумы. Для расчета применяется метод зон Френеля (рис. 6.4) [1,4].

153

Рис. 6.4. Иллюстрация расчета методом зон Френеля

Параллельный пучок света падает на непрозрачный экран с прямоуголь-ной щелью размерами d × ℓ (рис. 6.4 а). Обычно размеры щели выбираются так, чтобы ℓ >> d. После прохождения через щель пучок света становится расходящимся. Угловое положение элемента дифракционной картины (мак-симума или минимума) задается углом дифракции ϕ.

Для определения интенсивности света, падающего на экран под задан-ным углом ϕ, необходимо сложить излучение от всех точек волнового фрон-та в плоскости щели (с учетом их фаз) и проанализировать результат их вза-имной интерференции. Огюст Френель предложил изящный метод решения этой задачи.

Разобьем площадь щели на равные участки (зоны Френеля) таким обра-зом, чтобы разность хода лучей от краев каждой зоны (∆ = ВС на рис. 6.4.б) была равной λ/2. Для этого отложим отрезок АВ таким образом, чтобы в прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 90о) катет ВС = λ/2. Ширина ∆d зо-ны Френеля

/ 2 ,sin

d λϕ

∆ =

а число N зон Френеля, укладывающихся в площади щели 2 sin

/ 2d dN

dϕ

λ= =

∆.

154

Так как площади зон одинаковы, то в каждой из них имеется равное ко-личество вторичных точечных источников света. Таким образом, каждой точке волнового фронта, принадлежащей какой-либо зоне Френеля (напри-мер, первой зоне), соответствует одна точка в соседней зоне, такая, что раз-ность хода лучей от этой пары точек равна λ/2. Для всех лучей от двух смежных зон Френеля выполняются условия взаимного ослабления. Сле-довательно, если для заданного угла ϕ в результате построения площадь ще-ли разбивается на четное число зон Френеля, то все лучи взаимно погасят

друг друга, и в данном направлении на экране будет минимум освещенности. Направления, соответствующие дифракционным минимумам, выразятся, в общем виде соотношением

min

sin 2 , ( 1,2,3...)2

d m mλϕ = ± = . (6.20)

Если же для заданного угла ϕ в результате построения площадь щели разбивается на нечетное число зон Френеля, то излучение от одной зоны не ослабится, и в данном направлении на экране будет максимум осве-щенности.

maxsin (2 1) , ( 1,2,3...)

2.d m mλϕ = ± + = (6.21)

В направлении ϕ = 0о наблюдается центральный, или нулевой, дифрак-ционный максимум (рис. 6.5). Интенсивность нулевого максимума наиболее высокая. По мере увеличения номера максимума или, как их называют, по-рядка максимума, интенсивности максимумов уменьшаются. Расчеты пока-зывают, что интенсивности центрального и последующих дифракционных максимумов относятся как 1 : 0,047 : 0,017 : 0,008 …, т.е. основная часть све-товой энергии сосредоточена в центральном максимуме.

Если уменьшать ширину щели d, то в соответствии с (6.20) и (6.21) углы, под которыми наблюдаются максимумы (и минимумы), будут увеличивать-ся, т. е. ширина максимумов (и минимумов) также будет увеличиваться. Ин-тенсивности максимумов, наоборот, уменьшаются. При уменьшении щели до размера d = λ/2 на экране наблюдается только центральный максимум, при подстановке в (6.21) значения m = 0 получается sinϕ = 1, т. е. ϕ = 90о, весь экран освещен равномерно. Наоборот, при d >> λ в центре получается рез-кое изображение щели, т. е. свет распространяется прямолинейно, дифракция отсутствует.

Рис. 6.5. Дифракционная картина на экране

155

Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, если вместо щели взять уз-кий непрозрачный экран, например, тонкую нить. Такая замена не отражает-ся на расположении максимумов и минимумов, а влияет только на распреде-ление интенсивности в максимумах. Для рассмотрения дифракции Фраунго-фера на тонких непрозрачных экранах применяется понятие дополнитель-ных экранов. Два экрана называются дополнительными, если прозрачным участкам одного экрана соответствуют точно такие же по форме, размерам и взаимному расположению непрозрачные участки другого экрана. При этих условиях выполняется теорема Бабине: интенсивность дифрагированного света от экрана такая же, как и при дифракции на дополнительном экране, во всех направлениях, кроме направления с ϕ = 0.

Таким образом, дифракция на нити толщиной d проявляется так же, как и дифракция на щели шириной d в непрозрачном экране, и в обоих случаях выполняются соотношения (6.20) и (6.21).

Литература 1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов. В 3-х т.–

Т. 2.–М.: Наука, 1982. 2. Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш.

шк. 1990. 3. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. –

М.: Высш. шк., 1989. 4. Курс физики: Учебник для вузов в 2-х т. – Т.1 /Под ред. В. Н. Лозовско-

го. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001.

156

6.1 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 216

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

6.1.1. Цель работы Изучение характера распространения электромагнитных волн при отраже-нии их от неоднородности в длинной линии.

6.1.2. Содержание работы Для определения фазовой скорости волны достаточно найти расстояние между соседними узлами или пучностями электрической составляющей (ме-жду узлами или пучностями напряжения) или магнитной составляющей (ме-жду узлами или пучностями тока) волны. Это расстояние равно λ / 2, что позволяет, используя соотношение, определяющее связь между частотой ν, длиной волны λ и скоростью распространения электромагнитной волны в среде vф

vфλν

= , (6.1.1)

определить искомую скорость.

6.1.3. Описание лабораторной установки Определение фазовой скорости распространения электромагнитной

волны вдоль двухпроводной линии проводится на установке, состоящей из генератора гармонических колебаний, индуктивно связанного с двухпровод-ной линией (рис.6.1.1).

Рис. 6.1.1. Длинная линия с измерительным ползунком

Длина линии должна соответствовать условию ( ) 4/12 λ+= ml , т. е. в области связи с генератором должна находиться пучность электрической составляю-щей поля, а на короткозамкнутом конце – узел. Генератор настроен на часто- ту 150 МГц.

6.1.4. Методика проведения эксперимента. Используя тот факт, что неоновая лампочка загорается при подаче на

ее электроды соответствующей величины напряжения, пучности электриче-ской составляющей поля можно определить с помощью мостика, в цепь ко-

157

торого включена такая лампочка. Однако следует иметь в виду, что из-за достаточно плавного нарастания амплитуды Е(х) центральное положение (точку, где амплитуда максимальна) лучше определять как среднюю величи-ну тех значений ,1ix и ,2ix , при которых лампочка начинает гаснуть или за-жигаться (см. рис.6.1.2).

Лампочка накаливания зажигается в пучности магнитного поля, где ток достигает максимального значения. Из-за сильной нелинейности сопротив-ления лампочки в зависимости от температуры, там, где она не светится, ее сопротивление минимально, и условия резонанса системы «линия – генера-тор» нарушаются. При загорании лампочки сопротивление возрастает, и ус-ловия резонанса восстанавливаются.

Рис. 6.1.2. Способ определения положения пучности при измерениях

Этим же условиям неоднородности RЛ (Т) можно объяснить возникно-вение нарушения работы генератора, приводящее к росту второй гармоники рабочей частоты. При этом возможно получение ложных точек пучностей магнитной составляющей поля, которые можно отфильтровать, используя условия сдвига фаз между пучностями электрической и магнитной состав-ляющими, равное 4/λ .

6.1.5. Порядок выполнения работы 1. Включить генератор. 2. Подвесить на линию мостик с неоновой лампочкой к концу линии ( к месту нахождения короткозамыкающего моста) и, передвигая его по направ-лению к началу линии, определить точки, где находится пучность Е- состав-ляющей волны. Значения координат ,1ix и ,2ix занести в табл. 6.1.1. Снимать не менее 7-8 точек ix в каждом из направлений перемещения моста (к гене-ратору и от него). 3. Подвесить на линию мостик с лампочкой накаливания. Плавно переме-щая его, начиная от конца линии, определить координаты точек ,1ix и ,2ix , где загорается и гаснет лампочка. Результаты измерений занести в табл. 6.1.1 для прямого (к генератору) и обратного (к концу линии) хода мостика. Должно быть не менее 7-8 точек, в которых определяется пучность магнит-ной составляющей волны.

158

6.1.6. Обработка результатов измерений

1. Рассчитать значения координат ,1 ,22

i ii

x xx

+= и вычислить длину волны

( 12 i )ix xλ += − Отдельно для измеренных координат пучностей Е- и В- со-ставляющих. 2. Вычислить средние значения Bλ и Eλ и среднее значение длины

волны 2

E Bλ λλ

+= . Результаты занести в табл. 6.1.1.

3. Определить по формуле (6.1.1) фазовую скорость электромагнитной волны. 4. Рассчитать среднеквадратичную погрешность измерения длины волны и фазовой скорости.

Таблица 411.1

Результаты экспериментальных измерений и расчетов Е- составляюшая В- составляющая Вид

перемеще- ний

i xi1 xi2 λiE ⟨λE⟩ xi1 xi2 λiB ⟨λB⟩

⟨λ⟩

vф

1 2 3 4 5 6 7

Прямой ход

мостика

8 1 2 3 4 5 6 7

Обратный ход

мостика

8

6.1.7. Контрольные вопросы. 1. Опишите основные параметры электромагнитной волны. 2. Что такое волновое уравнение? Получите его.

159

3. Запишите уравнение бегущей плоской электромагнитной волны.

4. Каков физический смысл волнового числа k? 5. Причина возникновения стоячей волны. 6. В чем отличие стоячей волны от бегущей? 7. Что происходит при отражении электромагнитной волны от короткоза-

мыкающего поршня? 8. Что такое узел и пучность магнитной составляющей волны? 9. Что такое узел и пучность электрической составляющей волны? 10. Что такое групповая и фазовая скорости электромагнитной волны. Их

взаимосвязь.

160

6.2 Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 217

ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЦИИ ФРАУНГОФЕРА 6.2.1. Цель работы

Изучение дифракции параллельного пучка света (дифракции Фраунго-фера) на щели и на нити; определение ширины щели и толщины нити ди-фракционным способом с помощью гелий-неонового лазера.

6.2.2. Содержание работы В данной работе изучается дифракция на щели и нитях двух разных

диаметров пучка монохроматического лазерного излучения. Кроме того, ди-фракция Фраунгофера на нити применяется в качестве физического метода определения диаметра нити.

6.2.3. Описание лабораторной установки Установка для изучения дифракции Фраунгофера, определения ширины

щели и толщины нити представлена на рис. 6.1.1.

Рис. 6.2.1. Вид лабораторной установки

На оптической скамье 1 со шкалой 2 установлен рейтер 3 с закреплен-ным на нем подвижным горизонтальным столиком 4, на котором установлена диафрагма 5 со щелью и набором нитей разного диаметра. Столик 4 и диа-фрагму 5 можно свободно перемещать в горизонтальной плоскости руками. В вертикальной плоскости столик 4 можно фиксировать с помощью винта 6. Рейтер 3 свободно перемещается по скамье 1, на которой он может фиксиро-ваться винтом 7. На одном конце скамьи 1 установлен гелий-неоновый лазер 8, питание которого осуществляется от блока 9. На другом конце скамьи на-ходится экран 10, на котором с помощью зажимов можно закреплять мил-лиметровую бумагу.

Длина волны излучения используемого лазера λ = 632,8 нм.

161

6.2.4. Методика проведения эксперимента

Для получения дифракционной картины на экране необходимо помес-тить щель (или нить) на пути прохождения пучка лазера. Затем следует отме-тить на миллиметровой бумаге, закрепленной на экране, положения дифрак-ционных максимумов (рис. 6.2.2). Если принять за l расстояние от щели (или нити) до экрана, am - расстояния от середины нулевого максимума до середины максимума интенсивности m -го порядка, то из ∆ ВОМ имеем:

matgl

ϕ = . (6.2.1)

Для малых углов sintgϕ ϕ≈ , тогда с учетом выражения (6.21) имеем

( )2 12

mm ad l

λ+= . (6.2.2)

Отсюда можно получить конечную формулу для определения ширины ще-ли d (или диаметра нити d)

( )1 2

m

m ld

aλ +

= . (6.2.3)

Рис. 6.2.2. Схема эксперимента

6.2.5. Порядок выполнения работы Внимание! При работе с лазером помните, что прямое лазерное излуче-

ние опасно для зрения, а также то, что лазер питается высоким напряжением. 1. Включите вилку блока питания 9 лазера в сетевую розетку. 2. Включите тумблер "cеть" на блоке питания лазера. После появления из-лучения на экране 10 лазер готов к работе. 3. Винтом 6 и перемещением столика 4 подведите щель в диафрагме 5 в пучок лазерного излучения. 4. Освободите стопорный винт 7 рейтера 3 и, перемещая рейтер по скамье 1, добейтесь наиболее яркой дифракционной картины на экране 10 (в поле

162

зрения должны наблюдаться максимумы пяти-шести порядков дифракции, кроме нулевого (центрального). 5. Винтом 7 закрепите рейтер и по шкале 2 определите расстояние l от ще-ли до экрана. Результат занесите в табл. 6.2.1. 6. Закрепите на экране полоску миллиметровой бумаги так, чтобы на ней уместилась вся дифракционная картина. Отметьте на бумаге положения мак-симумов, начиная с третьего-четвертого порядка дифракции, а также цен-трального максимума. 7. Измерьте на полоске бумаги на экране 10 расстояния am от нулевого (центрального) до m-го максимума (m = 3,4,5,6). Результаты занесите в табл. 6.2.1 8. Повторите измерения, указанные в пунктах 3 – 7, последовательно для двух нитей в диафрагме 5, закрепленных на горизонтальном столике 4. Ре-зультаты занесите в табл. 6.2.2.

6.2.6. Обработка результатов измерений

1. Вычислите по формуле (6.2.3) ширину щели d. 2. Подсчитайте среднее арифметическое значение ширины щели <d>. 3. Подсчитайте абсолютную погрешность измерений ∆d (при данном чис-ле измерений ее можно принять равной среднеквадратичной погрешности) по формуле

( )

( )

2

01

n

mm

d dd

n n=

−

∆ =−

∑, (6.2.4)

где n – число измерений. 4. Окончательный результат дайте в форме d = (<d> ± ∆d ). 5. Сделайте вычисления по пунктам 1 – 4 также для двух исследованных нитей соответственно. 6) Полученные результаты занесите в табл. 6.2.1 и 6.2. 2.

Таблица 6.2.1 Результаты исследования дифракции на щели

l, мм Порядок спектра m

аm , мм dm , мм < d >, мм

∆ d , мм

3 4 5

6

163

Таблица 6.2.2 Результаты исследования дифракции на двух нитях разных диаметров

Нить l, мм Порядок спектра m

аm , мм dm , мм < d >, мм

∆ d , мм

3 4 5

1

6

3 4 5

2

6

6.2.7. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение явления дифракции. Поясните, в чем со-стоит различие между дифракцией Френеля и дифракцией Фраунгофера. 2. Объясните суть дифракции Фраунгофера на щели или на непрозрачном экране, дайте поясняющий рисунок. 3. Запишите условия максимумов и минимумов при дифракции на одной щели. 4. Что представляет собой распределение интенсивности в дифракционной картине и как оно изменяется при изменении ширины щели и расстояния до экрана? 5. В чем суть понятия дополнительных экранов и теоремы Бабине? 6. В чем состоит метод измерения малых диаметров нитей? 7. Объясните, как изменяется дифракционная картина с увеличением тол-щины нити и почему это происходит.

164