Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu, Opatija Sveučilišni preddiplomski studij

“Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu” Nositelj kolegija: Prof. dr. sc. Suzana Marković

Asistent: Jelena Komšić Akademska godina: 2012./13.

Kolegij: STATISTIKA

Srednje vrijednosti numeričkog niza Seminar 4

numerički niz: definicija i vrste

srednje vrijednosti: definicija i vrste

srednje vrijednosti: formule i primjena

Sadržaj seminara

Numerički niz

Kako nastaje numerički niz?

Koje vrste numeričkog niza razlikujemo?

Numerički niz

• Negrupirani niz podataka

• Grupirani niz podataka

• Distribucija frekvencija s razredima

xi 7 3 8 6 2 5

xi 1 2 3 4 5

fi 0 9 22 9 5

Starost u godinama 20-27 27-32 32-42 42-51 51-61

Broj ispitanika 9 15 17 16 8

ZADATAK 1: Negrupirani niz podataka

Zadan je numerički niz:

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod, medijan.

xi: 7 3 8 6 2 5

RJEŠENJE ZADATKA 1: NEGRUPIRANI NIZ PODATAKA

17,56

31

N

xx

i

∑ = suma (zbroj)

N = broj članova u nizu

x

Prosječna srednja vrijednost u zadanom negrupiranom numeričkom nizu iznosi 5,17.

• Mod (Mo):

· Mod se ne može izračunati, jer postoje najmanje dva jednaka člana u nizu!

Aritmetička sredina ( )

RJEŠENJE ZADATKA 1: NEGRUPIRANI NIZ PODATAKA

42

31

21

5,32

7

2

16

2

1

32

6

2

5,5112

165

2

1

2

1

r

r

rr

XN

r

XN

r

XXMe

Xr3 Xr4

50% članova negrupiranog numeričkog niza ima vrijednost 5,5 i

manje, a ostalih 50% članova negrupiranog numeričkog niza ima

vrijednost 5,5 i više.

• Medijan (Me):

niz uređen po veličini: 2, 3, 5, 6, 7, 8

ZADATAK 2: GRUPIRANI NIZ PODATAKA

Broj članova obitelji 1 2 3 4 5 6

Broj anketiranih 10 13 24 35 30 14

Zadan je sljedeći numerički niz:

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan.

RJEŠENJE ZADATKA 2: GRUPIRANI NIZ PODATAKA

• Aritmetička sredina ( ) x

83,3126

482

i

ii

f

fxx

• Mod (Mo):

4Mo

Prosječan broj anketiranih članova obitelji iznosi 3,83.

Najčešći broj anketiranih članova obitelji iznosi 4.

RJEŠENJE ZADATKA 2: GRUPIRANI NIZ PODATAKA

POMOĆNA TABLICA:

fi

xifix

Br. članova obitelji xi

Br. Anketiranih fi

1 10 10

2 13 26

3 24 72

4 35 140

5 30 150

6 14 84

∑ N = ∑fi = 126 ∑fixi = 482

Mo =

obilježje

frekvencije

ii fx

RJEŠENJE ZADATKA 2: GRUPIRANI NIZ PODATAKA

• Medijan (Me) – N = paran broj

632

126

2

NMe

4Me

→ gledati kumulativni niz “manje od”

50% anketiranih obitelji broji 4 i manje člana, a ostalih 50% anketiranih obitelji broji 4 ili više člana.

RJEŠENJE ZADATKA 2: GRUPIRANI NIZ PODATAKA

POMOĆNA TABLICA:

fi

xifix

Br. članova obitelji

xi

Br. Anketiranih fi

Kumulativni niz “manje od”

1 10 10 10

2 13 26 23

3 24 72 47

4 35 140 82

5 30 150 112

6 14 84 126

∑ N = ∑fi = 126 ∑fixi = 482 ∕

+

+

+

+

=

=

=

=

=

=

+

obilježje

frekvencije

Me =

ii fx

+

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5 6

Bro

j an

keti

ran

ih

Broj članova obitelji

Poligon frekvencija

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5 6

Bro

j an

keti

ran

ih

Broj članova obitelji

Histogram

RJEŠENJE ZADATKA 2: GRUPIRANI NIZ PODATAKA

Zadatak 3 DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod, medijan

Utrošeno vrijeme u minutama

10-15 15-20 20-25 25-35 35-45 45-50

Broj dokumenata 7 15 28 30 10 10

Zadana je distribucija frekvencija:

RJEŠENJE ZADATKA 3: DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

min5,27100

2755

i

ii

f

xfx

icbab

abLM o

)()(

)(1

12 LLi

Prosječno utrošeno vrijeme po dokumentu je 27,5 min.

Veličina razreda (i)

Aritmetička sredina:

Mod:

RJEŠENJE ZADATKA 3: DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

POMOĆNA TABLICA:

∑fi

Utrošeno vrijeme u minutama

Broj dokumenata

fi

Xsi

Xi*fi Kumulativni

niz “manje od”

i fc

10-15 7 12,5 87,5 7 5 1,4

15-20 15 17,5 262,5 22 5 3

20-25 28 22,5 630 50 5 5,6

25-35 30 30 900 80 10 3

35-45 10 40 400 90 10 1

45-50 10 47,5 475 100 5 2

∑ 100 170 2755 - -

L1 L2

2

21 LLxi

12 LLi

i

ff i

c

←Mo

a

b

c

RJEŠENJE ZADATKA 3: Distribucija frekvencija s razredima

5,2255,02056,26,2

6,22010

)36,5()36,5(

)36,5(20

oM

S obzirom da imamo nejednake veličine razreda moramo ih korigirati kako bismo mogli izračunati MOD:

i

ff i

c

Najčešće utrošeno vrijeme po dokumentu je 22,5 min.

RJEŠENJE ZADATKA 3: DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

if

N

LMemed

1

12

25520528

28205

28

2250205

28

222

100

20

Me

Medijan:

Za 50% dokumenata potrebno je utrošiti 25 min. i manje, a za ostalih 50% dokumenata potrebno je utrošiti 25 min. i više.

RJEŠENJE ZADATKA 3: DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA S RAZREDIMA

Utrošeno vrijeme u minutama

Broj dokumenata

fi

Sxi

Xi*fi Kumulativni

niz “manje od”

i fc

10-15 7 12,5 87,5 7 5 1,4

15-20 15 17,5 262,5 22 5 3

20-25 28 22,5 630 50 5 5,6

25-35 30 30 900 80 10 3

35-45 10 40 400 90 10 1

45-50 10 47,5 475 100 5 2

∑ 100 170 2755 - -

L1 L2

2

21 LLxi

12 LLi

2

N←Me fmed

i

ff i

c

POMOĆNA TABLICA:

∑fi

ZADACI ZA VJEŽBU ARITMETIČKA SREDINA

• Koliko iznosi aritmetička sredina u sljedećem numeričkom nizu- xi:1, 1, 2, 3, 4, 37?

• Koliko iznosi aritmetička sredina u sljedećem numeričkom nizu- xi: 1, 2, 4, 5, 18?

• Koliko iznosi aritmetička sredina u sljedećem numeričkom nizu- xi: 2, 2, 4, 12?

ZADACI ZA VJEŽBU MOD

• Koliko iznosi mod (Mo) u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 1, 2, 2, 3, 4, 6?

• Koliko iznosi mod (Mo) u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 1, 5, 2, 8, 7?

• Koliko iznosi mod (Mo) u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6?

ZADACI ZA VJEŽBU MEDIJAN

• Koliko iznosi medijan (Me) u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 1, 5, 2, 8, 7?

•Koliko iznosi medijan (Me) u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 1, 11, 6, 2, 4?

• Koliko iznosi medijan (Me) u sljedećem negrupiranom numeričkom nizu – xi: 2, 2, 4, 12?

razreda trećeg kvartila

ZADACI ZA VJEŽBU IZRAČUNAJTE ARITMETIČKU SREDINU, MOD I MEDIJAN

Zadatak 2:

Xi: 20 14 22 20 35 17 23 24 15 30 18

Zadatak 1:

Broj djece 1 2 3 4 5

Broj obitelji 36 29 20 16 9

Zadatak 3:

Vrijeme u minutama

10-15 15-20 20-25 25-35 35-45 45-65

Br. dokumenata 7 15 28 30 10 10