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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICERRECTORADO ACADÉMICO COORDINACIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
EVOLUCIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE LOS DOCENTES SOBRE OBJETOS MATEMÁTICOS ARITMÉTICOS
Trabajo presentado como requisito parcial para optar al Grado de Magister en Ciencias de la Educación mención Enseñanza de la
Matemática
Autor: Lic. Daniel A. Ruiz C Tutor: Cecilia Tirapegui
Ciudad Guayana, Marzo de 2007
ii
DEDICATORIA
A mi esposa y compañera Raiza, por su afecto, paciencia y comprensión en
todo momento.
A mis hijas Raiza, Lays y Daniela, para que esta meta alcanzada sirva de
inspiración y ejemplo en el transitar de sus vidas.
A mi madre Baudilia por su afecto incondicional y ejemplo de superación.
En memoria de mi padre Antonio, forjador de mi amor hacia las
matemáticas.
A mis hermanos Antonio, Katherine, Juan, César y Neyla por su cariño
infinito.
A mi querida suegra Carmita y a mis cuñados Dacman y Enrique por su
afecto y consideración.
A mis amigos Humberto, Rafael Solano, Eduardo, Rafael Posada y Josbel
por su amistad incondicional, y en general a todos mis amigos, por que creo en la
amistad.
A mi querido pueblo de Upata terruño de mis afectos.
iii
AGRADECIMIENTOS
A mi tutora por motivarme a terminar lo que había comenzado, tu valiosa
colaboración y aporte en la culminación de este trabajo ha sido imprescindible,
gracias por tu incondicionalidad en tiempo y esfuerzo… eternamente agradecido
Cecilia.
A Benigno por su afecto y atenciones en el seno de su hogar… Gracias.
A Delisa por su valiosa asesoría… Gracias por dedicarme un espacio de tu tiempo
A mis compañeros Jesús Rodríguez y Edward Guzmán, por sus opiniones y
comentarios… Gracias
Al profesor Cipriano Cruz por estar pendiente del trabajo y sus comentarios…
Gracias
A los docentes de la Escuela Básica Simón Rodríguez que participaron en esta
investigación, por su valiosa colaboración y aporte… Gracias por su valentía
iv
INDICE
INDICE DE CUADROS
INDICE DE FIGURAS vi
viii RESUMEN ix INTRODUCCIÓN 1 CAPÍTULOS I EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 3 Planteamiento del Problema 3 Objetivos de la Investigación
Objetivo General Objetivos Específicos
8 8 8
Justificación 8 Limitaciones 9 Alcance 10
II MARCO TEÓRICO 11 Currículo Básico Nacional 11 Concepciones y Cambio Conceptual 13 Investigaciones Preliminares sobre Concepciones 15 Análisis Semiótico 19 Entidades Primarias 20 Facetas del Objeto Matemático 21 Resolución de Problemas 22 Banco de Problemas de Tercer Grado de la Primera Etapa de la
Educación Básica 25
Diagrama Heurístico V de Gowin 27 Significado Institucional de Referencia para esta Investigación 29 El Modelo de Aprendizaje Alostérico 33
III MARCO METODOLÓGICO 36 Diseño de la Investigación 36 Unidades de Observación 37 Unidades de Análisis 37 Técnicas e Instrumentos 38 Procedimiento y Etapas del Estudio 42 Validez 44 Confiabilidad 45
v
IV RESULTADOS Etapa 1 de la Investigación: Caracterización del Significado Personal
Resultados de la Actividad de Inicio (Diagnóstico) Síntesis de los Significados Personales Determinación de los Conflictos Semióticos
Etapa 2 de la Investigación: Diseño y Aplicación del Entrenamiento Alostérico
Aplicación del Entrenamiento Alostérico Encuentro 1(07-10-06) Encuentro 2 (14-10-06) Encuentros 3 y 4 (21-10-06 y 28-10-06) Encuentros 5 y 6 (4-11-06 y 11-11-06) Encuentros 7 y 8 (25-11- 06 y 9-12-06)
Etapa 3 de la Investigación: Caracterización del Significado Personal después del Entrenamiento Alostérico
Resultados de la Actividad de Cierre Síntesis de los Significados Personales (cierre)
Etapa 4 de la Investigación: Análisis de la Evolución de las Concepciones de los Docentes
47 47 48 65 72
73 75 78 78 82 85 87
91 97 108
115
V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 124 Conclusiones 124 Recomendaciones 126 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 129 ANEXO A: CAMPO DE PROBLEMAS Y V DE GOWIN DE
PROBLEMAS SELECIONADOS Anexo A-1 CAMPO DE PROBLEMAS (CENAMEC) Anexo A-2 V de Gowin del Campo de Problemas:Problema 1 Anexo A-3 V de Gowin del Campo de Problemas:Problema 2 Anexo A-4 V de Gowin del Campo de Problemas:Problema 5
132133137 138 139
ANEXO B: CONFIGURACIÓN COGNITIVA SIGNIFICADO INSTITUCIONAL DE REFERENCIA
Anexo B-1 Configuración Cognitiva del Objeto Matemático Operaciones Aritméticas
ANEXO C: PROGRAMA DEL TALLER Anexo C-1 Taller: Cuestionamiento, Elaboración y Movilización del Contenido Matemático en Resolución de Problemas
ANEXO D: REPORTE DE ACTIVIDADES Anexo D-1 Asignación 1 realizada por dos docentes (Encuentro 2) Anexo D-2 Actividad realizada por el docente 1 (Encuentro 3) Anexo D-3 Actividad realizada por el docente 2 (Encuentro 3) Anexo D-4 Actividad realizada por el docente 3 (Encuentro 3) Anexo D-5 Actividad realizada por el docente 4 (Encuentro 3) Anexo D-6 Actividad realizada por el docente 1 (Encuentro 6)
140
141147 148 149 150 151 152 153 154 155
vi
INDICE DE CUADROS
Cuadro 1: ASOMA para el análisis semiótico de un problema resuelto por un maestro 39 Cuadro 2: ASOMA del problema 1 para maestro 1 54 Cuadro 3: ASOMA del problema 2 para maestro 1 56 Cuadro 4: ASOMA del problema 3 para maestro 1 57 Cuadro 5: ASOMA del problema 1 para maestro 2 58 Cuadro 6: ASOMA del problema 2 para maestro 2 59 Cuadro 7: ASOMA del problema 1 para maestro 3 60 Cuadro 8: ASOMA del problema 2 para maestro 3 61 Cuadro 9: ASOMA del problema 1 para maestro 4 62 Cuadro 10:ASOMA del problema 2 para maestro 4 63 Cuadro 11:ASOMA del problema 3 para maestro 4 64 Cuadro 12: Significado personal del docente 1 respecto a las operaciones aritméticas (Diagnóstico)
66
Cuadro 13: Significado personal del docente 2 respecto a las operaciones aritméticas (Diagnóstico)
68
Cuadro 14: Significado personal del docente 3 respecto a las operaciones aritméticas (Diagnóstico)
70
Cuadro 15: Significado personal del docente 4 respecto a las operaciones aritméticas (Diagnóstico)
71
Cuadro 16: Conflictos semióticos de los docentes develados en situaciones contextualizadas
72
Cuadro 17: Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 1 y 2
82
Cuadro 18: Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 3 y 4
85
Cuadro 19: Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 5 y 6
87
Cuadro 20: Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 7 y 8
89
Cuadro 21: Resultados con respecto al uso de la V de Gowin durante el entrenamiento
90
vii
Cuadro 22: Resultados de las observaciones en los encuentros 91 Cuadro 23: ASOMA del problema 1 para el maestro 1
99
Cuadro 24: ASOMA del problema 2 para el maestro 1
100
Cuadro 25: ASOMA del problema 3 para el maestro 1
102
Cuadro 26: ASOMA del problema 1 para el maestro 2
103
Cuadro 27: ASOMA del problema 2 para el maestro 2
104
Cuadro 28: ASOMA del problema 3 para el maestro 2
105
Cuadro 29: ASOMA del problema 1 por el maestro 3
106
Cuadro 30: ASOMA del problema 1 por el maestro 4
107
Cuadro 31: ASOMA del problema 3 por el maestro 4
108
Cuadro 32: Significado personal del docente 1(D1) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
110
Cuadro 33: Significado personal del docente 2(D2) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
112
Cuadro 34: Significado personal del docente 3 (D3) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
114
Cuadro 35: Significado personal del docente 4 (D4) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
115
Cuadro 36: Resultado de la aplicación de las fases del entrenamiento
122
viii
INDICE DE FIGURAS
Figura 1: V Heurística de Gowin 27 Figura 2: Ubicación de las Entidades Elementales en la V de Gowin
28
Figura 3: Mapa Mental del Significado Institucional de Referencia para la Adición y Sustracción de Números Naturales, en Primera Etapa de E. B.
31
Figura 4: Mapa Mental del Significado Institucional de Referencia para la Multiplicación y División de Números Naturales, en Primera Etapa de E.B 32
Figura 5: Modelo Alostérico: Entorno Didáctico
35
Figura 6: Procedimientos y Etapas de la Investigación 43 Figura 7: Entidades Elementales que Caracterizan el Significado Personal 47 Figura 8: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 1 (Diagnóstico) 49
Figura 9: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 2 (Diagnóstico) 51
Figura 10: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 3 (Diagnóstico) 53
Figura 11: Entrenamiento Alostérico: Entorno Didáctico 74 Figura12: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 1 (Cierre)
93
Figura13: V de Gowin deel Significado Institucional de Referencia del Problema 2 (Cierre)
95
Figura14: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 3 (Cierre)
97
Figura15: Resultado Cualitativo de la Resolución de los Problemas del Diagnóstico y del Cierre 118
Figura 16: Página de un Cuaderno de Apuntes, con Problemas Resueltos por una Alumna de Tercer Grado de la U.E.. Simón Rodríguez
120
Figura 17: Criterio de Idoneidad del Entrenamiento Alostérico
124
ix
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA COORDINACIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
EVOLUCIÓN DE LAS CONCEPCIONES DE LOS DOCENTES SOBRE
OBJETOS MATEMÁTICOS ARITMÉTICOS Autor: Daniel Ruiz
Tutor: Cecilia Tirapegui Año: 2007
RESUMEN Durante el año escolar 2003-2004, se realizó una experiencia con docentes de la Escuela Básica “Simón Rodríguez” de Upata, que permitió identificar un problema: las clases siguen siendo netamente expositivas y los contenidos matemáticos se presentan en forma descontextualizada, a través de prácticas memorísticas y mecanicistas (Ruiz, 2004). Dado que los maestros de esa escuela participaron en diferentes cursos y talleres en el marco de la reforma educativa implementada desde el año 1997, los resultados de esta experiencia preliminar son preocupantes. Estudiosos como Baena (1993), Carrillo y Contreras (1998), entre otros, afirman que los conocimientos matemáticos puestos en práctica por los docentes, con sus estudiantes, están supeditados a sus concepciones sobre los contenidos u objetos matemáticos tratados. De ahí la importancia de realizar una investigación con el propósito de develar las concepciones de los docentes de 1ª etapa de la escuela en cuestión con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, para promover la modificación de ellas mediante la aplicación del modelo alostérico de Giordan (1995). Este método esta enmarcado dentro de las teorías implícitas y, particularmente, orienta sus bases acerca de las concepciones y el cambio conceptual, identificando el cambio conceptual con el desplazamiento de una idea por otra. Se planteó un trabajo ubicado en el paradigma cualitativo de investigación y su diseño es del tipo estudio de casos. Las unidades de observación fueron cuatro (4) docentes de tercer grado de dicha institución. Cómo técnicas generales de investigación se utilizaron: (a) el análisis semiótico de Godino, (b) la observación participante y (c) grupos de discusión. En cuanto a los instrumentos de recolección de información se usaron: (a) el cuaderno de notas, (b) grabaciones magnetofónicas y video y (c) reproducciones escritas de los docentes cuando resuelven problemas aritméticos, planteados en una actividad de inicio y una de cierre. Los resultados obtenidos permitieron aproximar las concepciones de los docentes con respecto a las operaciones aritméticas, a través del análisis semiótico de sus reproducciones escritas, pero la aplicación del modelo alostérico resultó muy accidentada, con interrupciones durante su aplicación, y falta de apoyo institucional, lo que impidió indagar si favorece una evolución significativa de las concepciones de los sujetos en estudio.
1
INTRODUCCIÓN
En el marco de la implementación de un nuevo diseño curricular para la
educación básica en Venezuela, en el año de 1997 se inició un programa de
capacitación docente con la finalidad de actualizar a los docentes particularmente en
el área de matemáticas. Este programa de capacitación fue implementado a los
maestros de la Escuela Básica Simón Rodríguez de Upata. A pesar de dicha
implementación, el desempeño de maestros y alumnos no ha sido satisfactorio:
todavía se observan clases en las cuales se privilegia lo algorítmico y lo mecánico, en
situaciones descontextualizadas que difícilmente promueven el razonamiento
reflexivo ni el interés de los niños por la matemática y la ciencia.
La literatura consultada destaca que es fundamental considerar el conocimiento
matemático del maestro y sus concepciones sobre objetos matemáticos, entre los
cuales son importantes las operaciones aritméticas en la primera etapa de educación
básica, ya que mediante ellas se desenvuelve la actividad de resolución de problemas
que permite contextualizar la matemática escolar. A partir de las concepciones del
maestro, se pueden establecer modelos formativos para analizar el quehacer docente y
los ajustes a que haya lugar para responder a los lineamientos curriculares oficiales,
en un mundo en constante evolución y cambios. Por tanto, si en los procesos de
capacitación no se consideran estas concepciones como punto de partida para un
eventual cambio conceptual, se hace difícil que el maestro asuma los principios y
normativas de las reformas requeridas para este siglo XXI (Porlán y Rivero, 1998).
Diversas investigaciones teóricas y prácticas vinculadas con las concepciones
de los educadores, se han propuesto explicitar para visualizar los marcos de referencia
que orientan sus acciones. La descripción de las concepciones es compleja, debido a
su carácter implícito, de ahí que diversos autores han creado diferentes técnicas,
instrumentos e hipótesis de trabajo para aproximarlas.
2
La importancia de estudiar las concepciones de los docentes radica en que a
veces ellos tienen teorías personales sobre contenidos matemáticos, lo que algunos
estudiosos llaman ideas previas, generalmente alejadas del conocimiento matemático
propiamente tal, resultando fundamental modificarlas para adecuarlas al
conocimiento académico, didáctico y tecnológico actuales, así como a las propuestas
curriculares vigentes. Esta modificación se conoce como cambio conceptual. A su
vez, el desplazamiento de una concepción por otra no se puede realizar directamente,
ya que ellas son estables y resistentes al cambio, de ahí que Giordan ha creado un
modelo alostérico que permite desconstruir y modificar las concepciones por otras,
mediante la implementación de un entorno didáctico caracterizado por tres fases:
cuestionamiento, elaboración y movilización.
La investigación que se reporta se propuso implementar el método alostérico de
Giordan, a docentes de primera etapa de la Escuela Básica “Simón Rodríguez” del
Municipio Piar de Upata, con el propósito de propiciar una evolución de sus
concepciones con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas cuando
desarrollan actividades de resolución de problemas. Los resultados de este estudio
proporcionaron información sobre las concepciones de los docentes sobre las
operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división de números naturales,
las prácticas prototípicas de los maestros cuando desarrollan una actividad
matemática de resolución de problemas, y la evolución de las concepciones de esos
docentes luego de un entrenamiento alostérico.
Este reporte tiene cinco capítulos. El capítulo I presenta la formulación del
problema de investigación, el segundo recoge las principales fuentes teóricas que
avalaron el estudio, como lo son el análisis semiótico de Godino para aproximar las
concepciones de los docentes a través del significado personal, además del modelo
alostérico de aprendizaje y la revisión de literatura. El capítulo III presenta la
metodología con que se trabajó: el tipo de estudio, unidades de observación y análisis,
procedimientos y análisis de los datos. Los resultados se presentan en el capítulo IV.
Las conclusiones y recomendaciones aparecen en el capítulo V.
3
CAPITULO I
EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
En este capítulo se realiza una exposición de la problemática que inquieta al
investigador. Se trata inicialmente de contextualizar el problema en una institución
escolar de Upata, la Escuela Básica Simón Rodríguez y sus docentes de la primera
etapa, para luego ir considerando aspectos teóricos generales en el ámbito de la
formación docente y su desarrollo profesional dentro del campo de la educación
matemática, para así formular la pregunta de investigación.
Planteamiento del Problema
La reforma educativa propuesta por el Ministerio de Educación para la
educación básica, partió de la formulación del Currículo Básico Nacional en el año
1997. Se diseñó un Programa General de Capacitación y Actualización de Docentes
en Servicio, contemplando dos modalidades: una capacitación nacional, centralizada,
prescriptiva y estratégica, y otra capacitación regional, descentralizada, y centrada en
la escuela, con el propósito de fortalecer a los maestros en su contexto, partiendo de
las necesidades y realidades del espacio donde desarrollan su acción pedagógica
(Odremán, 1997). El programa de capacitación tuvo por finalidad organizar y
sistematizar los distintos cursos y talleres para evitar la dispersión de los esfuerzos,
por parte de las diferentes universidades del país. Para ello se estableció una política
nacional, que propició la unificación de criterios y esfuerzos entre todos los órganos
encargados de la formación docente a nivel nacional; se racionalizaron recursos
4
humanos y materiales disponibles en el país para el desarrollo de un proceso de
capacitación y actualización.
Los programas incluyeron capacitación en Matemáticas, Lengua y Comprensión
Lectora, Autoestima y Motivación al Logro, además de entrenamientos sobre Uso y
Manejo de Materiales Educativos no Impresos, Biblioteca de Aula y el Sistema
Nacional de Medición y Evaluación del Aprendizaje, SINEA. Se consideró la
capacitación en Matemáticas, por ser uno de los componentes principales del
aprendizaje en la Educación Básica, debido a que permite interpretar y resolver
problemas de la vida diaria y académicos; además de promover el desarrollo de
habilidades del pensamiento, que es uno de los ejes transversales del nuevo diseño
curricular.
A partir del año 1997, en Upata (Estado Bolívar), se realizaron diferentes
cursos y talleres inmersos en el programa de capacitación docente, tanto para la
primera como para la segunda etapa de la educación básica, proceso en el cual el
investigador participó. Relacionado con el área de matemática se dictaron talleres
sobre: “Matemática Interactiva”, “Elaboración de Guiones Didácticos”, “Resolución
de Problemas” entre otros. En agosto de 1998, se organizó el taller “Capacitación de
docentes en servicio de educación básica” con una duración de 72 horas, con la
facilitación de profesores de la Universidad Nacional Experimental José Antonio
Sucre de Puerto Ordaz. El propósito de este taller era el de motivar y orientar a los
docentes en cuanto a la nueva reforma curricular que había comenzado en 1997. En
la sede UNEG de Upata, el investigador sirvió de enlace entre la Sede y el Proyecto
de Carrera Educación Integral, en jornadas de extensión, como la exposición de
textos del CENAMEC y de juegos instruccionales y la celebración del Día Mundial
de la Simetría el 20.02.2002. Alumnos y docentes de la escuela básica “Simón
Rodríguez” participaron en estas actividades.
A pesar de la implementación del proceso de capacitación docente, los
responsables del Proyecto Educativo Nacional (PEN, Ministerio de Educación,
1999) previeron que la práctica en el aula sigue siendo repetitiva y mecanicista, lo
que indica que el docente no ha asumido su rol de mediador de aprendizajes según la
5
nueva reforma curricular. Esta situación también es manifestada en el Plan
Educativo del Estado Bolívar (Ministerio de Educación, Cultura y Deportes, 2002),
donde se afirma “que existe una escasa formación del docente en la zona y por tanto
es prioritario establecer un programa continuo de formación del maestro, para
enriquecer la práctica diaria del docente” (p. 4).
Estudiosos como Gil (1992) y Porlán y Rivero (1998), entre otros, sostienen que
no es condición suficiente el dictar cursos y talleres para garantizar la comprensión,
aceptación y aplicación de los principios y normativa de las reformas educativas,
como es el caso venezolano, al decretar el Currículo Básico Nacional en 1997: la
situación es más compleja.
En tal sentido, Carrillo y Nuria (2003) destacan que dentro de la formación del
profesor se deben considerar aspectos como: (a) la no diferenciación entre la
formación inicial del maestro y su formación permanente, es decir, temas y
características de la formación inicial deberían formar parte de la formación
permanente y viceversa, (b) la formación del docente debe ser un proceso interactivo
que considere la formación como un entorno de aprendizaje para todos los
involucrados en dicha interacción y (c) es fundamental considerar el conocimiento del
profesor y sus componentes, entre los que se incluyen las concepciones del maestro
sobre los objetos matemáticos. Estos estudiosos esgrimen que a partir de la
consideración de estos aspectos se puedan establecer conclusiones sobre modelos
formativos para los docentes. Si en los talleres y cursos no se considera el
conocimiento del profesor y particularmente sus concepciones acerca de los objetos
matemáticos como punto de partida para un eventual cambio conceptual será muy
difícil que éste incorpore en sus procesos de aula, los principios y normativas de la
reforma curricular, como plantean Porlán y Rivero (1998).
Según Artigue (1990), la noción de concepción no se diferencia en la bibliografía
de otras nociones como la de representación interna, modelo implícito. Esta noción se
usa frecuentemente en el estudio cognitivo de educación matemática. Ella sostiene
que las concepciones “tratan de mostrar la diversidad de ideas sobre un objeto
matemático, diferenciar las representaciones y diferentes métodos que se le asocian,
6
así como también constatar su adaptación a la resolución de diferentes problemas”
(p.265) y sugiere dos ideas complementarias para el término concepción: el punto de
vista epistémico dado por la naturaleza compleja de los objetos matemáticos y de su
funcionamiento y otra, el punto de vista cognitivo caracterizado por los
conocimientos del sujeto en relación a un objeto matemático particular. Se entiende
por objeto matemático aquellos conceptos, nociones, formas de actuación, que
emergen cuando un docente realiza una actividad matemática, como la resolución de
problemas (Godino, 2002). Se destacan dos tipos de objeto: (a) institucionales,
formados por conceptos e ideas matemáticas científicas que constituyen la base del
conocimiento matemático formal, y (b) personales (o mentales), cuyo sistema
configura el conocimiento subjetivo y proporciona una interpretación útil a la noción
de concepción del docente (Artigue, 1990).
Particularmente, se considera que el aprendizaje de los números y la aritmética
constituyen una parte fundamental del diseño curricular y que los conceptos
numéricos representan la base sobre la cual pueden desarrollarse elevadas
competencias numéricas. Las habilidades numéricas básicas que se adquieren en la
primera infancia actúan como base para el aprendizaje de las matemáticas de orden
superior. Las dificultades en la comprensión de los conceptos numéricos y los
problemas en el cálculo en los primeros años pueden interferir en la adquisición de
las habilidades matemáticas posteriores.
De ahí la importancia de trabajar con el objeto matemático operaciones
aritméticas, puesto que su estudio y aplicación en diversas situaciones de la vida
cotidiana, ha sido históricamente una parte fundamental de la educación matemática
desde los primeros niveles de escolaridad. Por ejemplo, las medidas de magnitud:
peso, longitud, etc. no son otra cosa que números y los datos estadísticos son
información numérica contextualizada. Esto explica que la comprensión de los
números, de las operaciones aritméticas y la adquisición de las destrezas de cálculo
formen el núcleo de la enseñanza de las matemáticas en la educación básica.
Ahora bien, los docentes tienen verdaderas teorías personales o ideas
matemáticas que no siempre coinciden con el objeto institucional que está
7
caracterizado por el conocimiento matemático formal sobre las operaciones
aritméticas. De ahí que se hace necesario establecer acciones para modificar estas
concepciones, de modo que el maestro logre una cabal comprensión de los contenidos
matemáticos, o lo que es lo mismo, se aproxime al objeto institucional, propugnado
por el Currículo Básico Nacional (CBN). Estudiosos como Baena (1993), Carrillo y
Contreras (1998), Contreras (1998) y Blanco y Barrantes (2003), advierten que las
concepciones del docente acerca de los objetos matemáticos operaciones aritméticas,
inciden en la forma de abordar dicha disciplina en el aula. Debido al carácter
implícito de estas concepciones, el profesorado no siempre es consciente de ello y
por tanto, difícilmente estarían dispuestos a cambiar.
Para que ocurra un cambio conceptual, es decir, una modificación de las
concepciones, Giordan (2003) sostiene que es necesario “contar con ellas para ir en
su contra”. Este proceso se da indirectamente, pues las concepciones son resistentes
por ser las únicas herramientas que posee el individuo para comprender. Este autor
define un ambiente didáctico llamado “Modelo de Aprendizaje Alostérico” que
permite indirectamente “desconstruir” las concepciones. Este modelo concibe seis
elementos específicos tomados de manera interactiva: (a) inducir desequilibrios
conceptuales, (b) confrontar ideas, (c) esquematizar los mensajes, (d) integrar el saber
sobre conocimientos estructurantes, (e) movilizar el conocimiento, y (f) trabajar el
saber sobre el saber. En la actualidad, aunque el modelo de aprendizaje alostérico fue
desarrollado por Giordan (2003) para los alumnos, las propuestas basadas en el
cambio de las concepciones de los estudiantes se están extrapolando al estudio del
pensamiento del docente entendido como aprendiz de la ciencia de enseñar ciencia.
Surge así la inquietud del investigador, sobre la posibilidad de aplicar esta
metodología alostérica a los maestros de primera etapa de la escuela básica “Simón
Rodríguez” de Upata, con la finalidad de dar respuesta a la siguiente interrogante:
Mediante un entrenamiento basado en el método alostérico de Giordan, ¿se
logran modificar las concepciones sobre objetos matemáticos aritméticos de los
docentes de primera etapa de la Escuela Básica “Simón Rodríguez”?
8
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Analizar la evolución de las concepciones de algunos docentes de la primera
etapa de la Escuela Básica “Simón Rodríguez”, acerca del objeto matemático
operaciones aritméticas que surge cuando resuelven problemas, como resultado
de la implementación del Método Alostérico de Giordan.
Objetivos Específicos
1. Caracterizar las concepciones de los docentes acerca de los objetos
matemáticos aritméticos que emergen cuando realizan una actividad
matemática.
2. Diseñar un entrenamiento alostérico para los docentes al contextualizar
contenidos matemáticos aritméticos, partiendo de las concepciones
originales detectadas en esos docentes.
3. Caracterizar las concepciones de los docentes acerca de los objetos
matemáticos aritméticos al final del entrenamiento alostérico a que fueron
expuestos.
4. Analizar la evolución de las concepciones como resultado del proceso de
entrenamiento según el modelo alostérico.
Justificación
En la sesión de preguntas posterior al lanzamiento en Venezuela del libro “El
Aprendizaje estratégico” (UCV, Caracas, 2000) en respuesta a la pregunta ¿cómo
aproximarse al conocimiento de las concepciones de los docentes, sobre algún
9
aspecto propio de su quehacer?, el investigador español José Ignacio Pozo afirmó que
mediante encuestas o entrevistas no es posible hacerlas aflorar, pues es necesario
enfrentar a los docentes a actuaciones en situaciones didácticas específicas.
Por ello, este estudio plantea enfrentar a los maestros de la Escuela Simón
Rodríguez de Upata a una actividad práctica, como lo es la resolución de problemas,
para hacer emerger sus concepciones sobre el objeto matemático operaciones
aritméticas. Se espera detectar posibles conflictos o ausencias conceptuales (o lo que
algunos teóricos llaman concepciones alternativas) del docente con respecto a este
objeto matemático institucionalizado.
En este trabajo de investigación se pretende promover un cambio de las
concepciones del docente en cuanto al objeto matemático operaciones aritméticas, es
decir, un desplazamiento de sus concepciones por otras más coherentes con la
naturaleza de los contenidos matemáticos y los principios curriculares que pauta
actualmente el Currículo Básico Nacional.
Esta evolución se justifica en los cambios que implican la reforma curricular de
1997, cambios que han seguido profundizándose, producto de los lineamientos
políticos actuales, que en el caso de la matemática escolar plantean la necesidad de
desarrollar una matemática contextualizada en la problemática de la sociedad actual,
con énfasis en la resolución de problemas propios de las vivencias de los alumnos.
Así, los objetos matemáticos aritméticos hoy tienen un significado institucional
diferente que el que tuvo cuando esos docentes cursaron su educación básica y su
formación docente, de modo que habría que modificarlo.
Limitaciones
Uno de los problemas con que se enfrentó el investigador cuando abordó
problemas relacionados con las concepciones, es el carácter implícito que las
caracteriza. Tal como expresan Carrillo y Contreras (1998), “las concepciones son
bastante difíciles de estudiar, puesto que son normalmente: subconscientes y
bastantes huidizas” (p.81).
10
Esto significa que fue preciso definir técnicas e instrumentos de recogida de
información verbalizables y explicitables, para así obtener información que permitió
aproximarse a las concepciones.
Por otra parte, la aplicación del entrenamiento alostérico resultó muy
accidentada, con interrupciones durante su aplicación, además de la falta de apoyo
institucional por parte de la dirección de la escuela y de la coordinación del distrito
escolar a pesar de haberse comprometido a colaborar con el desarrollo de esta
investigación.
Alcance
Esta investigación pretendió promover el cambio conceptual acerca de los
objetos matemáticos aritméticos de docentes de primera etapa como resultado de un
entrenamiento alostérico. Sin embargo, los resultados aquí obtenidos no son
generalizables, dado la naturaleza de las concepciones. Se recomienda que las
actividades de actualización de docentes en servicio sean diseñadas en función de las
necesidades y requerimientos propios de cada grupo.
11
CAPITULO II
MARCO TEORICO
El propósito de este capítulo es establecer las bases teórico conceptuales que
sustentan la investigación, las cuales se apoyan en: (a) Currículo Básico Nacional;
(b) Concepciones y cambio conceptual; (c) Investigaciones preliminares sobre
concepciones; (d) Análisis semiótico; (e) Resolución de problemas; (f) Banco de
problemas; (g) Diagrama heurístico V de Gowin; (h) Significado institucional de
referencia sobre objetos matemáticos aritméticos para valorar o dimensionar el
significado personal; y (f) Modelo alostérico de Giordan.
Currículo Básico Nacional
El Currículo Básico Nacional (CBN) sirvió de soporte conceptual general del
significado institucional de referencia construido por el investigador, ya que
proporcionó orientaciones curriculares puestas de manifiesto en el programa de
estudio de Educación Básica para el área de matemática, a través de los bloques de
contenidos, orientaciones generales y el desarrollo de los contenidos, que permitieron
establecer las prácticas operativas y discursivas inherentes al objeto matemático
operaciones aritméticas.
El diseño curricular es abierto y flexible, característica que permitió
incorporar los aportes de investigadores nacionales, como es el caso de Andonegui
(2005) con respecto a la diversidad de la disciplina matemática. Específicamente en
las orientaciones generales para la aplicación del programa de matemática del CBN
se recalca “la necesidad de percibir cómo se llega a una misma solución a partir de
razonamientos distintos y cómo se pueden ofrecer alternativas diferentes de
respuestas a una situación problemática”. Como soporte conceptual, el CBN se
12
traduce en un proceso de mejoramiento permanente y progresivo de la labor docente.
Por ejemplo, permite realizar contextualizaciones curriculares tales como la
incorporación de resolución de problemas mediante el uso de diversas heurísticas
(como la V de Gowin), la aplicación de metodologías innovadoras, como el
entrenamiento alostérico, extrapolado a los maestros y otras que se concreten en los
proyectos de aprendizajes (PA) en la unidad educativa “Simón Rodríguez”. Además,
el CBN proporciona unos propósitos educativos para el área matemática que
fomentan: (a) el desarrollo de destrezas cognitivas que favorecen la adquisición del
conocimiento matemático y al mismo tiempo contribuyen al desarrollo del
Pensamiento, (b) la aplicación del saber matemático fuera del ámbito escolar y (c) un
valor instrumental o de aplicabilidad de la matemática que contribuya al desarrollo
del conocimiento científico y social.
El programa de Matemática de la Primera Etapa de Educación Básica del
Ministerio de Educación (1997), concibe a la Matemática como:
Un medio para el mejor entendimiento del individuo, su realidad y sus relaciones con sus semejantes. En tal sentido, es una herramienta más en el proceso del construirnos a nosotros mismos, de prepararnos para la vida en sociedad y poder generar riqueza (entendida en un sentido amplio: económico, social y humana) (p.50).
En su fundamentación filosófica, el CBN concibe al docente como un
mediador que propicia ambientes y situaciones de aprendizaje, que considera al
alumno bajo una actitud ética valorando sus sentimientos y esfuerzo en su quehacer,
lo que Esté (1999) llama “La dignificación del ser” base fundamental de la reforma
curricular. En este sentido, afirmaba Odremán (1997) “... el sujeto es reivindicado en
el ser, privilegiando su capacidad para crear, conocer, hacer y proponer cambios en la
estructura de la vida actual” (p.6) Así, el CBN orienta el aprendizaje del alumno, al
intervenir oportunamente para introducir información en el contexto de la resolución
de problemas, seleccionar fuentes de información y motivar el intercambio de
experiencias. Así, es tarea del docente ocuparse de promover la reflexión y la
confrontación bajo análisis crítico que favorece la construcción del conocimiento por
parte del alumno.
13
Concepciones y Cambio Conceptual
En este apartado se hacen algunas consideraciones propuestas por diversos
autores en cuanto a las concepciones y el cambio conceptual, y que sirven de
sustento a esta investigación.
Ponte (1999) sostiene que las concepciones pueden verse como una base
conceptual que desempeña un rol fundamental entre lo que se piensa y lo que se hace
(pensamiento-acción), que permite obtener una idea del mundo a modo de
organizadores de conceptos, es decir, son una especie de lentes o filtros que los
docentes utilizan consciente o inconscientemente, para filtrar, y en ocasiones
bloquear, los contenidos de la didáctica de las matemáticas que propugna el Currículo
Básico Nacional, los cursos de formación e interpretar su propio proceso de
capacitación docente. Este autor considera las concepciones como estructurantes del
conocimiento y parte del mismo, visión que asume el investigador como supuesto
teórico, dado que la investigación aborda las concepciones de los maestros sobre
objetos matemáticos aritméticos, en sus aspectos cognitivos.
Las concepciones pueden considerarse como “una estructura mental general
que engloba creencias, los significados, conceptos, las proposiciones, reglas, las
imágenes mentales, preferencias y gustos” (Thompson, 1992, p. 131).
En términos funcionales, Giordan (2003) expresa que las concepciones,
concebidas como una explicación, orientan la forma en que el sujeto decodifica las
informaciones. De esta manera, todo saber depende de las concepciones movilizadas.
Es a través de ellas, que quien aprende interpreta los datos recogidos del entorno y
produce eventualmente un nuevo conocimiento. Cada vez que hay comprensión de un
modelo o movilización de un concepto, su estructura mental se reorganiza
completamente, lo que se denomina cambio conceptual. Se considera que las
concepciones intervienen en: (a) la identificación de los hechos; (b) la extracción de
la información pertinente; (c) el tratamiento de esa información; y (d) la
incorporación de sentido. Según Giordan (2003), estas concepciones aparecen como
"herramientas", "registros de funcionamiento" y "estrategias de pensamiento" que
permiten al individuo aprehender la realidad, los objetos de enseñanza o los
14
contenidos informativos. Pueden ser vistas como un “decodificador” que permite al
sujeto entender el mundo que lo circunda. Este autor afirma que:
Las concepciones ocupan un puesto importante en la enseñanza o en la divulgación, dado que a partir de ellas es como se pueden abordar nuevas cuestiones, interpretar situaciones, resolver problemas, dar respuestas explicativas y hacer previsiones. A través de ellas, el sujeto seleccionará informaciones, les dará un significado, eventualmente conforme a los saberes científicos de referencia, las comprenderá, las integrará y así... comprenderá, aprenderá y movilizará saberes (p.5).
En este estudio, se considera el aspecto funcional de las concepciones ya que
fundamentan teóricamente el modelo alostérico de Giordan, el cual se extrapolará
a los docentes de la escuela básica “Simón Rodríguez”.
En otro orden de ideas, en el campo de la didáctica de las ciencias y
específicamente, en la Didáctica de la Matemática, hay una tendencia a hacer más
efectivos los procesos de enseñanza mediante un ajuste de éstos a las características
del que aprende. Incluso se aprecia una notable convergencia en considerar las
concepciones que poseen los sujetos, en este caso con respecto al objeto matemático
operaciones aritméticas, como información básica para llevar a cabo dicha
adaptación (Marín y Jiménez Gómez, 1992).
Esta adaptación se puede lograr, según Giordan, con la aplicación de la
metodología alostérica fundamentada en el paradigma del cambio conceptual. Se
identifica el cambio conceptual con el desplazamiento de una concepción intuitiva
(conocimientos previos) por otra concepción científica. Este autor señala que en el
cambio conceptual existen varios aspectos clave, entre los que destaca la necesidad de
que el aprendiz se sienta insatisfecho con sus concepciones.
Ahora bien, en esta investigación se pretende promover un cambio en las
concepciones de un grupo de docentes de primera etapa de educación básica, en
cuanto a los contenidos matemáticos aritméticos, es decir, provocar una
reestructuración de sus concepciones originales, a través de una deconstrucción y una
elaboración de otras concepciones extrapolando la teoría alostérica de Giordan. Este
desaprender se inicia a partir de un cuestionamiento de sus concepciones, es decir,
15
creando un conflicto de tal forma que ocurra una sustitución gradual de una idea por
la otra, lo que se conoce por desplazamiento de ideas.
Esta investigación se centra en el aspecto cognitivo de las concepciones, de tal
manera que adopta la definición que Godino (2002) hace de ellas como “el
significado personal que el docente atribuye a los objetos matemáticos aritméticos
cuando realiza una actividad matemática de resolución de problemas” Este
significado personal esta caracterizado por las prácticas operativas (acciones y
situaciones) y prácticas discursivas (conceptos, proposiciones y reglas) articuladas
por el lenguaje. A partir de esta caracterización del significado de los docentes se
pueden describir los aspectos observables de las concepciones desde el punto de vista
cognitivo, descripción fundamental para el estudio.
Investigaciones Preliminares sobre Concepciones
Antes de comentar algunos trabajos de investigación relacionados con la
formación del profesor -específicamente con sus concepciones- tanto en el ámbito
internacional como local, es pertinente presentar algunos datos sobre la frecuencia de
trabajos aparecidos en diferentes publicaciones iberoamericanas de educación
matemática. En relación con el tema de formación del profesor, Valdés, Fernández y
Rothen (2004) hallaron un 42,60 % del total artículos aparecidos, entre 1993 y 2002
en la Revista Interuniversitaria de Formación del Profesor (RIFOP). Sin embargo, en
Venezuela, tan solo 5 de 77 artículos publicados en la revista Acción Pedagógica
(1999-2002) se refieren a aspectos relacionados con la formación de profesores (6,4
%), y en Educare, Revista Venezolana de Educación (1997-2003) de 63 artículos solo
6 se refieren a este tema (9,52 %). Esta información muestra que esta temática es
abordada muy poco por las revistas iberoamericanas especializadas en educación, a
excepción de RIFOP. La revisión de publicaciones ha permitido analizar diferentes
trabajos de investigaciones teóricas, prácticas y empíricas relacionadas con las
concepciones de los profesores. La finalidad de esas investigaciones ha sido la de
convertir en explícitos y visibles los marcos de referencia que orientan las acciones de
los docentes.
16
De la Cruz (1998) sintetiza las orientaciones de los trabajos relacionados con las
concepciones de los profesores. Según él, en esos estudios se describen e interpretan
tendencias de formación que caracterizan las concepciones del docente y los procesos
de construcción de significados que determinan el valor del alumno, el profesor y su
interacción. De manera general, algunas de las características que halló son:
• La dimensión del saber y saber hacer.
• La dimensión racional lógica (acción humana)
• El aprendizaje de la práctica para la práctica y a partir de la práctica.
• La constitución de competencias acompañadas de actividades reflexivas.
• El proceso de desarrollo vinculado al Cambio Curricular.
• La dimensión creativa – Intuitiva.
• El análisis de experiencias a través de problemas (Estudio de casos).
• El intercambio horizontal de experiencias.
• El educador como investigador y generador de conocimientos.
• La formación permanente de docentes y equipos de docentes.
Particularmente, Guevara, Carrillo y Contreras (1999) en su trabajo desarrollan
instrumentos para el análisis cualitativo detallado de las concepciones y los modos de
resolver problemas de los profesores, e incluso estudian posibles relaciones entre
ambos, desde una perspectiva compleja del fenómeno educativo; el propósito de su
investigación es desarrollar un proceso de formación (desarrollo profesional y
eventual cambio de concepciones), basado en la resolución de problemas, donde los
profesores se conviertan en investigadores.
La investigación de Blanco y Barrantes (2003) tuvo como objetivo describir y
analizar las concepciones sobre la geometría escolar y su enseñanza de los estudiantes
para maestros, considerando como hipótesis que los recuerdos y las expectativas de
los estudiantes dan información para caracterizar sus concepciones en el campo de la
geometría y sus procesos de aprendizaje en primaria. Una de las conclusiones a que
llegan estos autores, al caracterizar sus concepciones con base en recuerdos y
expectativas, es que hay una disociación entre la cultura de tendencia clásica, de la
que preceden los estudiantes para maestros y la cultura constructivista actual. De ahí
17
la importancia de revalorizar el proceso de formación inicial y permanente como un
paso necesario para iniciar procesos de cambio hacia los objetivos que se plantean en
las propuestas curriculares actuales.
Por su parte, Flores, Bello y Albarran (2002) investigan las concepciones
alternativas sobre las gráficas cartesianas del movimiento: el caso de la velocidad y la
trayectoria, que se desprenden de la lectura de gráficas cartesianas de coordenadas
tiempo-distancia. En dicha investigación participaron estudiantes de secundaria, de
preparatoria, universitarios y profesores de secundarias, los autores recabaron
evidencias de que las interpretaciones que hacen los estudiantes no son las que
comparten los expertos y textos. Sin embargo, respecto a los profesores, los
resultados que se exponen parecen mostrar que no hay diferencias entre sus
interpretaciones y la de los estudiantes.
Ávila (2004) investiga sobre los profesores y sus representaciones sobre la
reforma de la matemática escolar, concluyendo que la resolución de problemas, la
confrontación de resultados y la elaboración de hipótesis tienen escasa presencia,
mientras que la formalización del saber no ocupa lugar en el discurso de los
profesores. Solo quien parece asumir con más convicción a la vez que con más
conocimiento el nuevo modelo parece haberla hecho parte de sus representaciones.
Martínez y Gorgorió (2004) realizaron un estudio con un grupo de profesores
de educación primaria pública en una zona conurbana de la ciudad de Monterrey,
México, cuyo objetivo fue estudiar las concepciones de los profesores sobre la
enseñanza de la resta y en particular, el papel que asignan a la contextualización en
este proceso. Algunos resultados arrojados en la investigación fueron:
1. Todas las situaciones propuestas por los profesores para enseñar a los niños el
tema de resta son referidas a problemas de enunciado escrito y ejercicios
numéricos. El planteamiento de problemas y ejercicios a través de otras vías de
representación –oral, gráfica, con dibujos o de manera concreta- está ausente.
2. Aunque la representación juega un rol fundamental en el proceso de resolución
de problemas, los maestros no utilizan otras formas de representación para el
planteamiento de situaciones matemáticas.
18
3. De forma general, hallaron inconsistencias en las concepciones de los
profesores, por ejemplo, entre la importancia que otorgan a la contextualización
y el tipo de situaciones de intervención didáctica que se proponen. Entre otras,
estas inconsistencias son: (a) los profesores no poseen las destrezas y el
conocimiento necesarios para implantar los cambios y reformas al currículo de
matemáticas y (b) los profesores se adhieren a ideales de enseñanza que no
pueden alcanzar.
En consecuencia, Martínez y Gorgorió (2004) consideran que la tarea de
modificar las concepciones y la práctica de la enseñanza de las matemáticas
permanece como principal problema en la educación de los profesores.
Específicamente en Ciudad Guayana, se reporta una investigación (Infante,
2004) cuyo objetivo fue el análisis de las concepciones académicas del Técnico
Superior Universitario en Educación Integral en escuelas oficiales de la Parroquia
Unare de Puerto Ordaz. Algunas conclusiones, de esta investigadora, relacionadas
con las concepciones académicas de los docentes fueron: (a) se manifestaron
deficiencias en los conocimientos matemáticos, que revelan baja motivación, (b) los
argumentos relacionados a los conocimientos adquiridos en su formación profesional
fueron confusos, se evadieron respuestas y omitieron detalles, (c) la información que
tienen sobre los principios filosóficos, pedagógicos y didácticos que sustentan el
proceso de enseñanza y aprendizaje en el marco de los proyectos pedagógicos de
aprendizaje fue adquirida en cursos (Ministerio de Educación y Centro Nacional para
el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia, CENAMEC) no en su educación
profesional y (d) en las respuestas de este grupo de docentes (técnicos superiores en
Educación Integral), aparecen elementos de procesos centrados en el docente bajo
una planificación tradicional de transmisión verbal de contenidos disciplinares.
Otra investigación local, Fernández (2005) se propuso establecer la
concordancia entre las concepciones curriculares y didácticas de los docentes de las
tres etapas de Educación Básica del Municipio Autónomo Roscio, y las políticas
educativas establecidas en el Currículo Básico Nacional. Este estudio reveló que no
existe una concordancia entre las concepciones de los docentes y los requerimientos
19
de los cambios propuestos por el CBN, por lo que no se vislumbra el proceso de
reflexión sobre los cambios, que garanticen el reaprendizaje que se requiere para la
operacionalización del CBN.
Análisis Semiótico
Existe un enfoque semiótico de la cognición matemática, liderado por Godino
(2003) configurado por un sistema de nociones teóricas, que incorpora supuestos
pragmáticos y antropológicos sobre la actividad matemática, que denomina análisis
semiótico, útil para describir y explicar las dificultades del proceso de resolución
problemas, particularmente sobre el objeto matemático operaciones aritméticas,
propósito de este estudio.
Según este enfoque, objeto matemático es todo aquello que puede indicarse,
todo lo que puede señalarse o a lo cual puede hacerse referencia, cuando se hace, se
comunica o se aprende matemática.
El objeto matemático emerge cuando se realiza una actividad matemática,
entendiéndose por ella toda actuación o expresión (verbal, simbólica, gráfica)
realizada por alguien para: (a) resolver problemas matemáticos; (b) comunicar a otros
la solución obtenida; (c) validarla; o (d) generalizarla a otros contextos y problemas
(Godino y Batanero, 1994).
Esta teoría atribuye un papel central a la actividad de resolución de problemas
ya que la considera como el origen genético del conocimiento matemático, aspecto
compartido por el investigador.
A su vez, el objeto matemático es caracterizado por su carácter dual:
institucional y personal. Así, para este estudio, el investigador define un campo de
problemas, de cuya actividad matemática emergerá el objeto matemático operaciones
aritméticas. El significado de este objeto matemático viene dado por las prácticas que
realiza una persona (en este caso, es un maestro de primera etapa de educación
básica) para resolver cierto tipo de problemas aritméticos, entendiendo esas prácticas
como acciones o manifestaciones operatorias y discursivas que son características de
un sujeto individual, en cuyo caso se habla de significado personal del objeto. Pero,
20
si las prácticas operativas y discursivas son compartidas en el seno de una institución
(por ejemplo, escuela, textos, currículo, etc.) se habla del significado institucional de
dicho objeto.
En esta investigación el objeto matemático operaciones aritméticas es un ente
abstracto que emerge progresivamente del sistema de prácticas socialmente
compartidas (objeto institucional de referencia construido por el investigador),
ligadas a la resolución de un campo de problemas. En tal sentido, del campo de
problemas emergen las operaciones aritméticas de adición, sustracción,
multiplicación y división de números naturales.
De igual forma, un objeto personal es un emergente del sistema de prácticas
personales significativas asociadas al mismo campo de problemas, es decir, un
sistema de prácticas que el docente pone de manifiesto en su intento de resolver
dicho campo de problemas.
La emergencia del objeto matemático operaciones aritméticas es progresiva a
lo largo de la historia del sujeto, como consecuencia de la experiencia y el
aprendizaje. Este objeto es el constituyentes del conocimiento subjetivo.
La teoría de Godino del análisis semiótico propone como instrumento analítico
y explicativo seis tipos entidades primarias y cinco facetas duales, desde las cuales
se puede contemplar el objeto matemático operaciones aritméticas. Se describen a
continuación:
Entidades Primarias
1. Lenguaje (términos, expresiones, notaciones, gráficos).
2. Situaciones (problemas más o menos abiertos, aplicaciones extramatemáticas
o intramatemáticas, ejercicios, etc).
3. Acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algoritmos,
técnicas de cálculo, procedimientos).
4. Conceptos, dados mediante definiciones o descripciones (número, valor de
posición, adición, sustracción, etc ...)
21
5. Propiedades o atributos de los objetos mencionados, que suelen darse como
enunciados o proposiciones.
6. Argumentaciones que se usan para validar y explicar las proposiciones (sean
deductivas o de otro tipo).
Facetas del Objeto Matemático
Las entidades matemáticas, según las circunstancias contextuales y del juego de
lenguaje en que participan, pueden ser consideradas desde las siguientes facetas o
dimensiones duales:
• personal – institucional, referido a los sistemas de prácticas compartidos en una
institución (establecido por el investigador), y los sistemas de prácticas propios
de cada persona, dialécticamente relacionados facilitando la detección de
posibles conflictos semióticos
• ostensivo - no ostensivo, el primero referido a que el objeto matemático
operaciones aritméticas puede ser representado o mostrado a otro directamente,
y el segundo cuando el objeto no es mostrado directamente, solamente aparece
por medio de otra representación que es mostrada directamente
• extensivo – intensivo, cuando el objeto matemático operaciones aritméticas
aparece en un juego de lenguaje como un caso particular o concreto, y cuando
aparece de forma general o abstracta
• unitario – sistémica, cuando el objeto matemático ya mencionado participa
como una entidad unitaria (elemental, conocida previamente), y cuando
interviene como sistema que se debe descomponer para su estudio
• expresión – contenido, el primero asociado con las representaciones puestas en
el lugar de algo, asociado con el signo, y el segundo asociado con el significado
que alguien atribuye a dichas representaciones (significante)
En lo que respecta a esta investigación: (a) el análisis semiótico se adoptó como
técnica para describir el significado personal del docente como indicador empírico de
sus concepciones sobre objetos matemáticos aritméticos pues, si bien Godino
sustituyó la designación de concepciones por el concepto de significado personal,
22
Artigue (1990) asocia la parte cognitiva observable de las concepciones, con el
significado personal, dado que presentan rasgos característicos que las vinculan; (b)
el conocimiento matemático formalizado se asoció con el significado institucional de
referencia; y (c) los conflictos semióticos o errores se identificaron con las
concepciones alternativas de los docentes y por ende, sujetas a modificación mediante
el método alostérico de Giordan.
Resolución de Problemas
La resolución de problemas es considerada una actividad matemática
fundamental, siendo un factor importante dentro del aprendizaje significativo además
de incidir en la apropiación del conocimiento.
El proceso de resolver un problema se concibe como una secuencia de
operaciones que el individuo realiza a partir de la información disponible con el
objeto de encontrar un camino que le permita transitar hacia la consecución de una
meta. (Newell y Simon, 1972).
Uno de los aportes teóricos relacionado con esta actividad matemática, de
resolución de problemas, se debe a Polya quien orienta sus investigaciones en la
descripción de la forma de actuar de un resolutor ideal, por lo que define cuatro
fases: (a) comprender el problema; (b) concebir un plan; (c) ejecutar un plan; y (d)
examinar la solución obtenida.
En cambio, Schoenfeld se centra en el análisis de la complejidad del
comportamiento en la resolución de problemas, enmarcado en cuatro componentes a
saber: 1) Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del
resolutor; 2) Heurísticas: reglas para progresar en situaciones difíciles; 3) Control:
aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles; y 4) Sistema de
creencias: nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y cómo
trabajar en ella. La manifestación de las acciones con que un individuo responde a
una actividad de resolución de problemas puede caracterizarse por: (a) la
direccionalidad (hacia una meta que el individuo conoce), (b) la planificación
(conjunto de operaciones que guían al individuo hacia la meta) y (c) una planificación
23
cognoscitiva (realización de acciones que activan la memoria, la reestructuración de
la experiencia, el análisis de varias opciones posibles y, en definitiva, el uso de
estrategias aprendidas anteriormente) (Anderson, 1980).
Con relación al aspecto cognoscitivo, González (1995) dice que permiten:
(a) explorar la situación problemática para comprenderla más cabalmente (elaborar una representación gráfica del problema); (b) utilizar eficientemente los conocimientos previos (reformular el problema, compararlo con un problema análogo cuya solución se conoce); (c) sacar provecho de los conocimientos generales que se poseen acerca de la resolución de problemas (relacionar datos, incógnitas y condiciones; simplificar el problema recurriendo a casos particulares; descomponer el problema en subproblemas); (d) mantener un control sobre el proceso como un todo (evaluar cada uno de los pasos dados hacia la solución; tomar decisiones de cambios de rumbo cuando el camino escogido parezca no estar conduciéndonos hacia la solución); (e) sacarle provecho a la participación en el proceso de resolución de problemas (transferir lo aprendido: qué otro tipo de problemas puedo resolver con el mismo método que apliqué para resolver el problema actual; a qué familia de problemas corresponde el que acabo de resolver, intentar diferentes vías para resolver un mismo problema; extrapolar la solución obtenida hacia otros ámbitos) (pp. 90-91).
Por otra parte el CBN concibe la aplicación de la matemática en la vida
cotidiana a través de la resolución de problemas, ya que proporciona la base necesaria
para la valoración de la misma, dentro de la cultura de su comunidad, de su región y
de su país. Dominar la matemática y, más aún, poder enseñarla, constituye una de las
metas más elevadas y más transcendentales de todo plan de formación vital, donde el
docente es parte fundamental de la consecución de estas metas.
De ahí que se hace necesario que el maestro encare la resolución de problemas
no sólo como una estrategia de enseñanza que pondrá en práctica con sus alumnos,
más como una actividad auténticamente matemática y didáctica, para su propia
formación y desarrollo, tanto por la ganancia que puede obtener del conocerse a si
mismo como resolvedor de problemas, como por la que puede derivar de establecer
una comunicación efectiva, de dos vías, con sus estudiantes (Vívenes, 1993).
La resolución de problemas, para el CBN, es la estrategia básica para el
aprendizaje de la matemática, es constructivista por naturaleza, se plantean posibles
24
soluciones, se ensayan, construyen y reconstruyen sobre nuevas hipótesis hasta
alcanzar una solución válida. La resolución de problemas contribuye a la integración
de áreas y ejes curriculares. Por su naturaleza, los problemas pueden tratar sobre
cualquier tema o bloque, logrando con sus enunciados cualquier globalización que
pueda considerarse lógica. En tal sentido, la transversalidad caracterizada por 4 ejes
que interactúan de manera permanente en el proceso educativo y por ello se integran
al desarrollo de todos los contenidos procedimentales y actidudinales presentes en el
programa del área de matemáticas para la primera etapa. El eje transversal lenguaje
se manifiesta mediante la expresión oral y escrita de las ideas, la comprensión y
producción de respuesta a los problemas, así como también en el uso adecuado de
términos y símbolos propios del lenguaje matemático a situaciones cotidianas. El eje
de desarrollo del pensamiento encuentra en el área de matemática un campo propicio
para desarrollar procesos como : observar características, propiedades y relaciones
entre elementos, regularidades y conceptos, secuenciar eventos, establecer
prioridades, usar la inducción, la deducción e inferencia, aplicar la reversalidad, entre
otros, que permiten al niño razonar, evaluar, tomar decisiones adecuadas y resolver
problemas. El eje transversal trabajo se hace presente en la realización de procesos
tales como: cortar, pegar, construir, medir, resolver problemas usando adecuadamente
los instrumentos y operaciones, así como también en el mejoramiento del logro, la
calidad del trabajo, la búsqueda de significación a lo que se hace y aprende, y la
satisfacción por el trabajo cumplido.
En lo que respecta a esta investigación el interés se centra en situaciones-
problemas que inducen la actividad matemática de resolución de problemas y a partir
de las cuales emergen los objetos matemáticos operaciones aritméticas cuyo
significado personal (concepciones) esta caracterizado por las prácticas operativas y
discursivas articuladas por el lenguaje, dichas situaciones pertenecen a un campo de
problemas, que en este caso, viene dado por el “banco de problemas del CENAMEC
para tercer grado de la Educación básica”.
25
Particularmente del campo de problemas se seleccionaron tres problemas para el
diagnóstico (aproximación de las concepciones iniciales) y para el cierre
(aproximación de las concepciones después del entrenamiento).
Banco de Problemas de Tercer Grado de Primera Etapa de la Educación Básica
El sistema de prácticas operativas y discursivas en articulación con el lenguaje,
que caracterizan el significado institucional de referencia del objeto matemático
operaciones aritméticas, está asociado a un campo de problemas que se estableció en
correspondencia al contexto cultural de dicha institución.
El campo de problemas se conformó por la escogencia de 32 de 218 problemas,
de la primera etapa de Educación Básica, del “Banco de Problemas” del CENAMEC.
Los problemas seleccionados pertenecen al fichero de tercer grado y su escogencia se
realizó considerando su similitud con el entorno y el contexto de la escuela básica
Simón Rodríguez. El banco de problemas se establece como una estrategia de apoyo
a la escuela básica, supeditada a una normativa que orienta su organización y
funcionamiento. Se considera una fuente de recursos para el aprendizaje de la
matemática, constituida por buenos problemas para resolver (sus principales
elementos son los datos, la incógnita y la condición), enriqueciéndose mediante el
trabajo en el aula (formulación, resolución y evaluación de estos por docentes y
alumnos).
Los objetivos que se propuso el CENAMEC con la creación del banco de
problemas fueron: (a) obtener colecciones de buenos problemas que impliquen
mejoras al razonamiento matemático, dentro del componente afectivo que hacen
agradable los problemas y apoya un elemento de desarrollo integral, (b) lograr que al
resolver un buen problema el individuo: enriquezca su vocabulario, desarrolle la
intuición, la capacidad de explorar y de transferir el conocimiento matemático, utilice
bien la información.
El banco de problemas constantemente se alimenta de problemas formulados
por los alumnos en el aula o por los docentes de las escuelas básicas inscritas en el
26
banco de problemas; deben llegar al CENAMEC escritos en tarjeta azul cuando son
problemas originales inventados por los alumnos y en tarjeta amarilla cuando los
formula un docente.
En cuanto a su estructura y funcionamiento, este busca que el banco de
problemas a la vez que funcione como un organismo técnico de comunicación, pueda
mantener su consistencia como institución escolar, ajustándose a las normas:
Independencia, que mantiene separadas el área académica encargada de la
organización interna (CENAMEC) y el área de trabajo de los usuarios.
Integridad, un alto grado de calidad de los problemas incorporados al banco
de problemas.
Flexibilidad en el acceso, que garantice el fácil acceso a los usuarios,
mediante un lenguaje claro y un flujograma fácil de cumplir.
Seguridad, para la necesaria protección de cada uno de los problemas y
ficheros, con lo cual se evita la alteración de los problemas.
Rendimiento y eficiencia, de aquí depende su viabilidad y alta credibilidad y
están determinados por la relación entre el número de usuarios y la cantidad
de problemas que incorporen periódicamente a los ficheros.
Administración y control.
Para esta investigación, el campo de problemas asociado al significado
institucional de referencia del objeto matemático operaciones aritméticas, está
constituido por problemas de una o varias etapas que se originan de situaciones
problemáticas contextualizadas (banco de problemas) donde están involucradas una o
más de una operación aritmética o combinación de ellas.
Con respecto a las restricciones o condiciones de los problemas, se tienen
situaciones problemáticas con una condición de realización y con dos condiciones de
realización de la acción. (Véase anexo A, p.126)
27
Diagrama Heurístico V de Gowin
La estrategia heurística V de Gowin (Novak y Gowin, 1988) se sustenta en la
idea que una determinada fuente de conocimientos, como un texto de estudio, un
artículo de investigación, un experimento de laboratorio, un problema, etc., puede
descomponerse en cuatro partes esenciales: (a) los objetos, eventos o
acontecimientos, que son la fuente de las evidencias de donde se extrae el
conocimiento; (b) el sistema conceptual en el cual se apoya el proceso de
presentación de resultados; (c) el método que se utiliza para producir el
conocimiento; y (d) una o más preguntas centrales o focalizadoras, a las cuales el
conocimiento da una respuesta. La disposición de estos cuatro elementos se observa
en la figura 1.
Figura 1: V Heurística de Gowin.
La V de Gowin se usa en los procesos de estructuración, búsqueda y
verificación de soluciones para un problema, en donde los acontecimientos vienen
dados por el enunciado del problema, los conceptos definen los conocimientos
previos que permiten abordar el proceso de resolución del problema, las preguntas
centrales hacen referencia a las metas del problema y a las estrategias para buscar
soluciones y la metodología se relaciona con las estrategias de búsqueda de
soluciones. Además permite visualizar los elementos conceptuales y metodológicos
METODOLOGIPREGUNTAS CENTRALES
INTERACCIONES
Teorías
Estructuras conceptuales
Afirmaciones sobre Conocimientos
Transformaciones de la información
OBJETOS / EVENTOS / ACONTECIMIENTOS
CONCEPTUAL
28
que intervienen en el proceso de construcción del conocimiento, ya sea para ayudar a
resolver un problema o a entender un procedimiento. Este recurso heurístico,
contribuye a reconocer la interacción existente entre lo que el individuo conoce y los
nuevos conocimientos que se están produciendo y que trata de comprender. En tal
sentido, esta técnica estimula el aprendizaje significativo, además de ayudar a
comprender el proceso mediante el cual las personas producen el conocimiento.
(Morales, 1998).
La V de Gowin se utilizó como técnica heurística para el procesamiento de la
información en la resolución de problemas, ya que permite visualizar de forma
ostensiva las prácticas operativas y discursivas articuladas por el lenguaje. La figura 2
muestra donde se ubican en la V de Gowin las entidades elementales que
caracterizan el significado institucional de referencia. De igual forma esta
herramienta se utilizó en el proceso de resolución de problemas durante la aplicación
del entrenamiento alostérico.
Figura 2: Ubicación de las Entidades Elementales en la V de Gowin
METODOLOGICPREGUNTAS CENTRALES
Situación Problema
Conceptos
Propiedades Acciones
Propiedades
Argumentos
EVENTOS /
CONCEPTUAL
Lenguaje: Verbal, Matemático Simbólico, Matemático Mixto y Gráfico
29
Significado Institucional de Referencia para esta Investigación
El investigador construyó un sistema de prácticas operativas y discursivas,
articuladas por el lenguaje, que definen el significado institucional de referencia, para
el objeto matemático operaciones aritméticas, que se trabajó en dos vertientes: una
abarcando las operaciones adición y sustracción, y la otra para multiplicación y
división. En esta construcción se consideraron:
1. El diseño curricular como el deber ser de los conocimientos matemáticos
aritméticos para los docentes de la primera etapa de Educación Básica de la
escuela “Simón Rodríguez”.
2. La percepción de la matemática como “una unidad en la diversidad”, según
Andonegui (2005) esto significa que pueden existir diversos sistemas para
representar un concepto, diversos procedimientos o algoritmos para hacer
operaciones y diversas formas de resolver un mismo problema, percepción que
permite enriquecer el Currículo Básico Nacional. Este autor ratifica la
importancia de que el docente conozca y maneje con solvencia los diferentes
sistemas de representación de conceptos, ya que esta diversidad está inserta en
la matemática que se aprende, en la que se enseña y por sobre todo, en la que se
usa. Para dominar un objeto matemático, en este caso las operaciones
aritméticas, el docente precisa: (a) conocer los diversos procedimientos
operativos y su utilización; y (b) tener la capacidad de discernir cuál es el que
puede servir en un momento concreto.
3. El Banco de Problemas, obra del Centro Nacional para el Mejoramiento de la
Enseñanza de la Ciencia, CENAMEC, que proporciona 218 problemas para la
primera etapa de educación básica. Se eligieron 32 problemas del tercer grado.
4. La V de Gowin como heurística para representar ostensivamente el proceso de
resolución de problemas matemáticos, pues constituye una técnica que se utiliza
como ayuda para resolver un problema o para entender su procedimiento. Esta
heurística permitió registrar de forma ostensiva las prácticas operativas y
discursivas, articuladas por el lenguaje. Los problemas seleccionados y detalles
de su resolución representados en V de Gowin se presentan en el anexo A. Para
30
las resoluciones de estos problemas a través de la V de Gowin, que representan
el significado institucional de referencia, se solicitó juicio de expertos.
5. Para representar el significado institucional de referencia se eligió como
esquema gráfico, los mapas mentales, herramienta que permite la organización
y representación de información con el propósito de facilitar procesos de
aprendizaje y la toma de decisiones. Constituyen una forma de generar,
registrar, organizar y asociar los criterios generales que definen el significado
institucional de referencia del objeto matemático operaciones aritméticas, para
plasmarlas en un papel. Estos mapas se realizaron respetando el diseño
curricular y presentan las prácticas discursivas (conceptos, proposiciones y
argumentos) y las prácticas operativas dadas por las situaciones y acciones
articuladas por el lenguaje, en concordancia con la teoría de Godino, marco
conceptual del trabajo.
Las figuras 3 y 4 de las páginas siguientes presentan mapas mentales del
significado institucional de referencia para el objeto operaciones aritméticas (adición
y sustracción, el primer mapa, multiplicación y división el segundo), adaptados a la
primera etapa de educación básica.
En ellas se representan las seis entidades elementales (lenguaje, situaciones,
acciones, conceptos, propiedades y argumentos) que describen las prácticas
discursivas y operativas que caracterizan el significado institucional de referencia, y
la diversidad como orientación curricular, en sus tres vertientes:
Diversidad en la representación de conceptos
Diversidad en los procedimientos operatorios
En las diversas formas de resolver problemas, según Andonegui (2005).
La configuración cognitiva que caracteriza el significado institucional de
referencia aparece detallada en el anexo B.
31
Figura 3:.Mapa Mental del Significado Institucional de Referencia para la Adición y Sustracción de Números Naturales, en Primera Etapa de EB.
32
Figura 4:.Mapa Mental del Significado Institucional de Referencia para la Multiplicación y División de Números Naturales, en Primera Etapa de EB.
33
El Modelo de Aprendizaje Alostérico
Giordan y De Vechi (1988) concibieron un modelo de aprendizaje (fue
desarrollado por el primero) que ha generado notable atención a nivel internacional.
Proponen el establecimiento de un entorno didáctico que proporcione un escenario
adecuado para generar aprendizajes, considerando la necesidad de identificar posibles
concepciones que no coinciden con el conocimiento formal.
Aunque este es un modelo desarrollado para el estudiante, ha sido llevado por
Giordan a otros escenarios diferentes de las aulas de clases tales como museos,
espacios de ciencias y matemáticas.
El proceso de aprendizaje que introduce el modelo alostérico según Giordan
(2003) se sustenta en tres elementos que se describen a continuación:
1. El educando. El modelo supone que: (a) dispone de saberes que él puede
movilizar; y (b) no recibe los nuevos saberes sino que los elabora a su manera,
a su tiempo, para contestar sus interrogantes o a sus intereses.
2. Los saberes que, por lo general, no son el producto de una simple transmisión,
sino: (a) son el resultado de una transformación de cuestiones, de ideas
previas o concepciones, asociadas a formas de comportamiento del sujeto; (b)
resultan de un proceso personal del sujeto, se produce un cambio conceptual;
y (c) la modificación de las concepciones tiene sentido a partir de los
conceptos movilizados y en relación a las situaciones o actividades
desplegadas, y de las informaciones recogidas.
3. El medio didáctico, que debe propiciar un cóctel de elementos interactivos que
permitan perturbar la estructura del comportamiento y las concepciones del
sujeto para modificarla.
Esta mezcla de parámetros interactivos, a su disposición, esta agrupado en lo
que se denomina entorno didáctico para favorecer una aproximación al saber.
Las características del entorno didáctico son:
• Crea un sistema de interrelaciones entre el sujeto y el objeto de conocimiento.
34
• Al inicio del aprendizaje, el mediador debe introducir disonancias que
desequilibren la red cognitiva del sujeto. Estas disonancias o cuestionamientos
facilitan la modificación de las concepciones; si no hay cuestionamiento el
sujeto no tiene ninguna necesidad de cambiar de idea o de conducta. Además,
debe sentirse involucrado y motivado por la situación pedagógica.
• El sujeto interactúa con diversos elementos significativos tales como:
documentos, experimentos y argumentos de utilidad para distanciarse,
reformular sus ideas o argumentos.
• También requiere de diversos formalismos: simbolizaciones, gráficos, esquemas
o modelos que le faciliten el pensar.
• Para que una nueva formulación del saber sustituya a la anterior el sujeto debe
conseguir en ella un interés y aprender a hacerla funcionar.
• Crea confrontaciones con situaciones adaptadas y con informaciones escogidas
que favorezcan una movilización del saber.
• Propicia un saber sobre el saber, que permite al sujeto evaluar los avances,
mantenerse al margen, es decir, autorregularse.
Para esta investigación, se realizó una adaptación del modelo alostérico
manteniendo los fundamentos teóricos y supuestos que lo sustentan, centrada en la
actividad de resolver problemas matemáticos aritméticos, para realizar un
entrenamiento de los maestros.
De existir conflictos semióticos, se debe implementar la transformación de la
concepción mediante las tres fases del entorno didáctico: (a) cuestionamiento, (b)
elaboración, y (c) movilización para propiciar la modificación de la concepción, y así
encontrar otra solución adaptada a la nueva concepción.
La figura 5 próxima página, tomada de Giordan (2005), permite visualizar el
entorno didáctico que favorece el acto de aprendizaje por parte del sujeto; como se
observa se parte de una situación problema cuya solución obtenida es producto de su
concepción inicial.
35
Figura 5: Modelo Alostérico: Entorno Didáctico
Elementos Significativos: -documentos -materiales concretos -argumentos que lo atraigan
Entorno didáctico
Cuestionamiento Elaboración Movilización
Formalismos: -simbolizaciones -gráficos -esquemas -modelos
Solución adaptada a la
concepción
Problema
Concepción inicial
Solución encontrada adaptada a la nueva
concepción
Concepción modificada
Transformación de la concepción
36
CAPITULO III
MARCO METODOLOGICO
Este capítulo tiene como propósito describir la metodología que se utilizó para
desarrollar la investigación. En ella se incluyen los siguientes aspectos: (a) diseño de
la investigación; (b) unidades de observación y análisis; (c) técnicas e instrumentos
requeridos; (d) procedimientos y etapas del estudio; (e) validez; y (f) Confiabilidad
Diseño de la Investigación
El diseño de la investigación tiene como propósito mostrar un panorama
general de la estructuración lógica por etapas, en el marco de los eventos y de las
teorías aceptadas, que conducen a las transformaciones de la información y los datos
que se recopilan para dar respuesta a la pregunta central del estudio: Mediante un
entrenamiento basado en el método alostérico de Giordan, ¿se logran modificar las
concepciones sobre objetos matemáticos aritméticos de los docentes de primera
etapa de la Escuela Básica “Simón Rodríguez”?
Tomando en cuenta la naturaleza de esta investigación, el modelo elegido fue
el estudio de casos, de tipo cualitativo, considerándose éste apropiado, ya que
permitió la realización de un “análisis intensivo y profundo de uno o pocos ejemplos
de ciertos fenómenos” (Goetz y LeCompte,1988, p.69).
Se escogió el enfoque cualitativo porque permite el uso de diversos abordajes
metodológicos (pluralidad metodológica), además de “asignar valor como fuente
legitima del conocimiento, a los significados que los docentes asignan a las acciones
que protagonizan” (González, 1995, p.57) cuando realizan una actividad matemática
de resolución de problemas. No se pretende generalizar los hallazgos, solo se
identificaron las concepciones iniciales de los docentes, con respecto a las
37
operaciones aritméticas, que laboran en la primera etapa de la Escuela Básica
“Simón Rodríguez”, para posteriormente intentar modificarlas mediante la aplicación
del método alostérico de Giordan.
Según el alcance y los objetivos propuestos, la investigación es descriptiva e
interpretativa, ya que se hizo una descripción, registro, análisis e interpretación de la
naturaleza actual de las concepciones en dos momentos: (a) antes del entrenamiento
y (b) después del entrenamiento, con la finalidad de contrastar si hubo una
modificación de sus concepciones con respecto a los objetos matemáticos
operaciones aritméticas.
El diseño de investigación del tipo estudio de casos, se abordó considerando
cuatro (4) docentes de la primera etapa para el período del 2005-2006 de la Escuela
Básica “Simón Rodríguez” de Upata, Estado Bolívar. Con la finalidad de:(a) describir
las concepciones de los docentes con respecto a los objetos matemáticos operaciones
aritméticas; (b) realizar el entrenamiento alostérico a los docentes; y (c) analizar la
evolución de las concepciones de los docentes con respecto a los objetos matemáticos
operaciones aritméticas.
Unidades de Observación
Las unidades de observación son las realidades que se pretende observar,
constituyen el objeto global de estudio de donde se obtienen los datos empíricos
(Sierra, 1991). Por esto, en la investigación a realizar, las unidades de observación
son 4 docentes de la primera etapa de la unidad educativa “Simón Rodríguez” de
Upata.
Unidades de Análisis
Las unidades de análisis serán las producciones escritas de los maestros,
desglosadas en entidades primarias: lenguaje, conceptos, propiedades, argumentos y
situaciones. Ellas caracterizan el significado personal (concepciones) de los docentes
con respecto al objeto matemático: operaciones aritméticas.
38
Técnicas e Instrumentos
Como técnicas generales de investigación se utilizaron: (a) análisis semiótico
para caracterizar significados (concepciones); (b) grupos de discusión; y (c) la
observación participante.
El análisis semiótico de Godino (2003) es una técnica que permite:
caracterizar tanto los significados sistémicos de un objeto matemático como los significados elementales puesto en juego en un acto de comunicación matemática. Así mismo, dicho análisis proporciona una herramienta para identificar conflictos semióticos potenciales en la interpretación de un texto usado en un proceso de estudio, o conflictos que tienen lugar en la realización efectiva de una interacción didáctica (p.156)
En esta investigación, el análisis semiótico permite determinar significados
sobre el objeto matemático operaciones aritméticas, mediante un enfoque
antropológico de la cognición a través de la descripción de las prácticas discursivas y
operativas articuladas por el lenguaje, cuando se realiza una actividad matemática de
resolución de problemas ya sea en cualquiera de sus facetas duales: institucional o
personal.
Se aplicó esta técnica a las reproducciones escritas de los problemas resueltos
por los docentes, porque estas son susceptibles de ser descompuestas en “unidades
semióticas” donde están presentes las unidades elementales: Lenguaje Escrito
(verbal, matemático simbólico, matemático mixto, y gráfico), Situación-Problema (de
tipo aditivo y multiplicativo), Acciones (operaciones, algoritmos, procedimientos,
técnicas), Conceptos (definiciones), Propiedades (proposiciones) y Argumentos
(justificaciones, validaciones).
Se construyó el esquema ASOMA (Análisis Semiótico de Objetos Matemáticos
Aritméticos) a través del cual, para cada problema, se descompusieron las
producciones escritas de los docentes, en unidades elementales y su respectivo
análisis semiótico. Este esquema fue sometido a juicio de expertos, para verificar si
permite describir las prácticas discursivas y operativas, así como la naturaleza del
leguaje empleado por el docente y si favorece la detección de conflictos semióticos.
El cuadro 1 muestra el esquema ASOMA.
39
Cuadro 1 ASOMA para el análisis semiótico de un problema resuelto por un maestro Problema propuesto: Enunciado
Maestro U1 Unidad semiótica 1
U2 Unidad semiótica 2
U3
Unidad semiótica 3 U4
Unidad semiótica 4
1 Descomposición de la reproducción escrita
Descomposición de la reproducción escrita
Descomposición de la reproducción escrita
Descomposición de la reproducción escrita
Análisis Semiótico (Técnica para determinar el significado personal del docente cuando resuelve un problema )
Prácticas operativas Caracterizada por la situación-problema y las acciones desplegadas por el maestro para solucionar el problema planteado
Lenguaje (es el articulador de las prácticas discursivas y operativas)
Prácticas discursivas Caracterizada por los conceptos, propiedades y argumentos que el maestro muestra de forma ostensiva, cuando resuelve el problema.
Situaciones: Aritméticas contextualizadas de varias etapas Acciones:
Términos y Expresiones: Notaciones: Representaciones:
Conceptos: Propiedades: Argumentos:
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos U1
U2 U3 U4
Se describe la información suministrada por esta unidad semiótica
Se describen las discrepancias que hay entre el significado institucional de referencia y el significado personal del maestro para esta unidad semiótica
En relación a los grupos de discusión Gil (1992) expresa que son “una técnica
no directiva que tiene por finalidad la producción controlada de un discurso por parte
de un grupo de sujetos que son reunidos, durante un espacio de tiempo limitado, a fin
de debatir sobre determinado tópico propuesto por el investigador” (p.201). En este
caso, se discutió con respecto a las producciones escritas desarrolladas por los
maestros, en torno a las situaciones problemáticas planteadas (diagnóstico), pues
había elementos que no se hicieron ostensivos, sobre todo en lo que respecta a las
prácticas discursivas (conceptos, propiedades y argumentos). Se hizo necesaria esta
actividad para ahondar y escudriñar sobre los elementos semióticos ausentes en sus
producciones escritas y lograr mayor precisión del significado personal.
40
La reunión del grupo de discusión fue dirigida por el investigador dentro de un
ambiente de distensión, procurando una mínima aprensión, para contribuir a una
mejor aproximación de las concepciones iniciales de los docentes.
Con respecto a la observación participante, se asumió su dualidad expresada
por Poblete (1999), donde “participar” implica incorporarse dentro del contexto de
estudio y “observar”, conlleva a alejarse mentalmente del contexto y reflexionar
acerca de las situaciones que ocurren en el mismo. La observación se llevó a cabo
dentro del contexto del aula donde se impartió el entrenamiento alostérico, en este
caso en la sede de la UNEG de Upata, con la finalidad de registrar las actividades de
resolución de problemas desarrollada por los docentes, sus opiniones y comentarios
con respecto al desarrollo del curso.
De acuerdo a su dualidad interna, dentro del contexto del aula donde se realizó
el entrenamiento alostérico, el observador fue recabando información a medida que
los docentes realizaban actividades de resolución de problemas (de una o dos
condiciones de realización de la acción), ya sea como actividad iniciadora para la
fase de cuestionamiento como para la fase de movilización, esta información se
plasmaba en el cuaderno de notas. Este proceso se centró fundamentalmente en
chequear las dificultades que presentaron los docentes para su solución, uso de
diferentes vías de resolución (diversidad) y la incorporación de la V de Gowin como
técnica heurística. Esta actividad de chequear los procesos de resolución de
problemas por los maestros e inmediatamente transcribir en el cuaderno de notas se
facilitaba por tratarse de solo cuatro unidades de observación. Durante la fase de
cuestionamiento y de elaboración el observador utilizaba la grabadora para recabar
precisiones o comentarios de los participantes relacionados con sus inquietudes con
respecto a la temática que se estaba presentado (carácter sistémico del objeto
matemático operaciones aritméticas), y con respecto al entrenamiento en general. De
tal forma, que las anotaciones en el cuaderno de notas y la información recabada por
la grabadora se complementaban, lo que permitiría obtener una mejor aproximación
de los hechos que estaban ocurriendo durante la aplicación del entrenamiento
alostérico. Las grabaciones de video no arrojaron información significativa en los dos
41
encuentros utilizados ya que los docentes se sentían incómodos, por lo que tuvieron
que ser suspendidas.
De acuerdo a su dualidad externa, el observador se alejó mentalmente del
contexto y reflexionó acerca de situaciones que ocurren en el mismo. En tal sentido al
final de cada encuentro el observador revisaba las notas y las grabaciones, y filtraba
las informaciones relevantes de los docentes que conformarían la columna del cuadro
de comentarios de los participantes; igualmente lo hacía en torno a las actividades
realizadas por ellos y trascribía su impresión y reflexión en la columna comentarios
del investigador (observador). Particularmente, después del encuentro 4, el
observador realizó una serie de cometarios, reflexiones sobre la marcha del
entrenamiento, cómo había transcurrido hasta el momento, su opinión sobre la
disposición y motivación de los docentes con respecto al mismo, y al final, durante el
encuentro 8 el observador realizó unos comentarios finales relacionados con su estado
de animo y reflexionó sobre las expectativas alcanzadas en el entrenamiento.
En cuanto a los instrumentos de recolección de información se tienen: (a) el
cuaderno de notas; (b) grabaciones magnetofónicas y video; y (c) reproducciones
escritas de los docentes cuando resuelven problemas aritméticos, planteados en una
actividad de inicio (diagnóstico) y una de cierre.
En el cuaderno de notas se registraron las diversas situaciones de interés que
ocurrieron durante la investigación, como descripciones durante el entrenamiento
alostérico y opiniones de los sujetos sobre la evolución del entrenamiento. Los
comentarios de los sujetos se revisaron después de cada sesión y se emplearon en las
siguientes para reforzar o complementar aquellas situaciones que lo ameritaban.
Junto al cuaderno de notas, las grabaciones magnetofónicas de audio
constituyeron los instrumentos de registro más frecuentemente usados. Las
filmaciones fueron realizadas en dos oportunidades, en la segunda, y octava sesión
del entrenamiento, pero la primera fue suspendida a pedido de los participantes, solo
la actividad de cierre del entrenamiento fue grabada pero la información recabada no
fue relevante para el objetivo de esta investigación.
Las reproducciones escritas de los problemas resueltos por los docentes,
42
permitieron realizar un análisis semiótico para aproximar el significado personal de
los docentes con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, tanto para el
inicio o diagnóstico y para el cierre.
Procedimiento y Etapas del Estudio
El procedimiento general de la investigación sobre la evolución de las
concepciones de los docentes de la primera etapa de la UE Simón Rodríguez de
Upata acerca de los objetos matemáticos operaciones aritméticas, se dividió en
cuatro etapas:
1. Este significado institucional de referencia se asoció a un campo de problemas
seleccionado del “Banco de problemas” del Centro Nacional para el
Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia, CENAMEC. Para cada uno de
treinta y dos problemas de tercer grado de dicho Banco de Problemas, el
investigador construyó un sistema de prácticas operativas y discursivas
articuladas por el lenguaje, que definen el significado institucional de referencia
descrito en el marco teórico, para los objetos matemáticos operaciones
aritméticas: adición y sustracción, así como multiplicación y división de
números naturales. Las construcciones se realizaron de forma ostensiva
mediante el esquema V de Gowin, para cada problema, solicitándose a dos
expertos, la discusión en detalle de esos esquemas, para conjuntamente con el
investigador, garantizar que se ajusten al significado institucional de referencia.
(Véase Anexo A, P. 134-140).
2. En una actividad inicial con los docentes, se propusieron 3 problemas (dos de
tipo aditivo y uno de tipo multiplicativo) del campo de Problemas, para ser
desarrollados por ellos individualmente, en forma escrita (valiéndose de
gráficos, u otros medios). Las producciones escritas resultantes, fueron
analizadas posteriormente, con la finalidad de procesarlas mediante el análisis
semiótico, se generó una discusión grupal entre los docentes lo que permitió
describir sus concepciones mediante las 6 entidades primarias que caracterizan
su significado personal (Godino, 2003), que son: (a) lenguaje, (b) conceptos,
43
(c) propiedades, (d) argumentos, (e) acciones y (f) situaciones. Esto fue el punto
de partida que permitió aproximar las concepciones iniciales y programar el
entrenamiento alostérico para una eventual modificación de ellas.
3. Se diseñó el entorno didáctico que caracteriza al método alostérico, partiendo de
las concepciones determinadas en la etapa anterior, y se aplicó el entrenamiento
a los maestros.
4. Se procedió a analizar la evolución de las concepciones de los docentes, con
respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, después de haber
recibido el entrenamiento alostérico, para esto se realizó el mismo
procedimiento de la etapa 2. Para analizar la evolución de las concepciones, se
procedió a comparar el significado personal (antes del entrenamiento) y el
significado personal (al final del entrenamiento) con el significado institucional
de referencia para constatar si los conflictos semióticos (errores conceptuales)
disminuyeron después de aplicar el entrenamiento alostérico.
La figura 6 muestra un esquema que ejemplifica el procedimiento y sus etapas
Figura 6: Procedimientos y Etapas de la Investigación
Construcción del Significado Institucional de Referencia
Etapa 1
Determinación del Significado Personal o Concepciones (Análisis Semiótico)
Etapa 2
Diseño y Aplicación del Método Alostérico
Etapa 3
Análisis de la Evolución de las Concepciones de los Docentes Etapa 4
44
Validez
Para establecer la validez de un estudio es necesario dar información y
argumentos coherentes que demuestren que las conclusiones que se generan, las
teorías que se corroboren o que se rectifiquen, se ajusten a las condiciones del
contexto en el cual se realiza el estudio.
La búsqueda de coherencia entre las explicaciones científicas y el contexto en el
cual ocurren los acontecimientos está supeditada a dos cuestiones fundamentales:
la primera se refiere a si los investigadores observan o miden realmente lo que creen
observar o medir, y la segunda inquiere en que grado las categorías conceptuales
creadas, perfeccionadas o comprobadas por los investigadores son generalizables. La
primera de estas interrogantes genera el concepto de validez interna y la segunda el
de validez externa (Goetz y LeCompte, 1988).
Dada la naturaleza del presente estudio, para garantizar la validez interna, fue
necesario tomar una serie de previsiones, tales como:
Definición lo más precisa posible de cada uno de los constructos utilizados, lo
cual está garantizado ya que el significado personal como indicador empírico de
las concepciones de los docentes con respecto al objeto matemático operaciones
aritméticas, está caracterizado por categorías conceptuales establecidas
anteriormente como parte de una técnica semiótica validada en investigaciones
previas
Analizar la congruencia entre los resultados obtenidos y la realidad observada. En
este sentido el investigador observó, evaluó y apreció la realidad tal y como se lo
permitió el contacto directo con los docentes y el ambiente natural del aula donde
se desarrollo el entrenamiento alostérico, en la cual ocurrieron hechos,
presentando, en consecuencia, los resultados según la realidad vivida
Uso de comparaciones sistemáticas y fuentes de obtención de la información
(triangulación de fuentes). La primera consideración se realizó para minimizar los
efectos del tiempo a medida que transcurría el entrenamiento alostérico, y la
segunda para contrarrestar los efectos del observador a través de un diagnóstico
45
(resolución de problemas inicial), los grupos de discusión, problemas resueltos
durante el entrenamiento, comentarios y opiniones de los participantes coherentes
con las actividades realizadas por ellos, y el cierre (resolución de problemas
final).
Recopilación de opiniones dadas por otros investigadores (triangulación de
opiniones), en tal sentido el investigador interactuó con la tutora del trabajo, con
una tesista doctoral experta en análisis semiótico y con dos investigadores en el
área de la formación de profesores y particularmente con las concepciones; con
ellos se discutieron los instrumentos de investigación y las interpretaciones
producto de la investigación realizada. La validez externa se refiere a las previsiones que tomó el investigador para
garantizar la comparabilidad con otros estudios afines y su posibilidad de traducir
un determinado estudio (incluyendo su marco teórico-metodológico) para la
comprensión de otros investigadores del área o de disciplinas relacionadas.
De tal forma que para garantizar la validez externa se tomaron las siguientes
precauciones:
No se introdujo elementos excepcionales en el escenario natural del estudio (aula
del entrenamiento en la sede de la UNEG de Upata).
Uso de constructos que son aplicables en cualquier contexto académico de
condiciones similares a las existentes en el que se realizó esta investigación.
Confiabilidad
Como en el caso de la validez puede hablarse de: (a) confiabilidad interna, o
grado en que un investigador, a partir de un conjunto de constructor elaborados
previamente, ajustaría a ellos sus datos, como se hizo en la investigación original, y
b) de confiabilidad externa, que se refiere a la posibilidad de que un investigador
independiente descubra los mismos fenómenos o elabore los mismos constructos en
el mismo escenario u otro similar (Goetz y LeCompte, 1988).
46
De acuerdo con las características del estudio, para lograr confiabilidad interna
se tomaron las siguientes previsiones: (a) se usaron registros concretos (cuaderno de
notas, discusión grupal, observaciones, reproducción escrita de problemas, filmación
de videos), y (b) se tomó en cuenta las opiniones de otros investigadores.
Para obtener confiabilidad externa, se consideró: (a) la construcción rigurosa de
instrumentos de obtención de datos, y (b) la precisión y exhaustividad de los métodos
de recolección de datos.
47
CAPÍTULO IV
RESULTADOS
Para la mejor comprensión de los resultados, se presentan detallados, por etapas
(a) la caracterización del significado personal o concepciones de los sujetos del
estudio; (b) el diseño y aplicación del entrenamiento alostérico; (c) la caracterización
del significado personal luego del entrenamiento alostérico; y (d) el análisis de la
evolución de las concepciones de los docentes.
Etapa 1 de la Investigación: Caracterización del Significado Personal El primer objetivo específico fue: “caracterizar las concepciones de los docentes
acerca de los objetos aritméticos que emergen cuando realizan una actividad
matemática”. La actividad matemática elegida, fue la resolución de problemas. En
este trabajo se asocian los aspectos cognitivos de las concepciones de los sujetos en
estudio cuando resuelven problemas, con el significado personal, según la teoría de
Godino (2003), que propone entidades elementales a través de las prácticas operativas
y las prácticas discursivas articuladas por el lenguaje. Ver esquema de la figura 7.
Figura 7: Entidades Elementales que Caracterizan el Significado Personal
Lenguaje
Situación problema
Conceptos Propiedades
Acciones
Prácticas discursivas
Prácticas operativas
Verbal Matemático simbólico Matemático mixto Gráfico
Argumentos
48
Resultados de la Actividad de Inicio (Diagnóstico)
La actividad de resolver problemas estuvo constituida por una prueba
diagnóstico, aplicada a dieciséis docentes de la primera etapa de educación básica de
la Unidad Educativa “Simón Rodríguez” de Upata. De estos 16 educadores, sólo
cuatro se comprometieron a participar en el entrenamiento, de allí que fueron los
estudiados.
Antes de proceder a describir el significado personal de los docentes con
respecto a los tres problemas del diagnóstico, es importante mostrar por medio de la V
de Gowin el significado institucional de referencia para cada problema, ya que ello
facilita su comparación con el significado personal de los docentes y la determinación
de posibles conflictos semióticos. La importancia de resolver los problemas mediante
la V de Gowin, es que permite identificar de forma ostensiva las entidades
elementales: conceptos, propiedades, argumentos, situaciones y acciones que
caracterizan las prácticas discursivas y operativas articuladas por el lenguaje cuando se
realiza una actividad matemática de resolución de problemas. Por tanto, esta técnica
heurística permite representar el significado institucional de referencia.
La figura 8, de la próxima página, presenta la V de Gowin del problema que
muestra de forma ostensiva la solución de este problema considerando la diversidad
tanto en la representación conceptual, como en lo procedimental y en la resolución de
problemas. A continuación se procede a describir las prácticas discursivas y
operativas articuladas por el lenguaje para este problema. Con respecto a las prácticas
discursivas, el problema emplea conceptos concretos relacionados con el contexto
salón de clases, y conceptos aritméticos como las operaciones de suma y resta de
números naturales, así como las propiedades de conmutatividad y no conmutatividad
que condicionan la realización de las acciones. Estas entidades elementales se ubican
en la parte conceptual de la V. Los argumentos, que se ubican en la parte
metodológica, fundamentalmente son deductivos (al relacionar unívocamente total de
asientos ocupados con cantidad de estudiantes que asistieron, y el número de asientos
desocupados con el total de alumnos que faltaron) y de comprobación, ya que el
problema es resuelto de tres formas diferentes lo que permite verificar que la
respuesta obtenida es la esperada.
49
Conceptos
Propiedades
Situación-Problema
Matemático Simbólico Matemático Mixto (Simbólco – Verbal) Verbal, Gráfico
Lenguaje
Problema 1: En el tercer grado hay 42 alumnos y 46 asientos. Un día la maestra entra y ve que en la primera fila hay 5
asientos vacíos, en la tercera fila 4 y en la quinta fila 7 ¿Cuántos alumnos faltaron ese día?
CONCEPTUAL METODOLOGÍA
¿Cuántos alumnos faltaron ese día?
- Hay 42 alumnos y 46 asientos - En la primera fila hay 5 asientos vacíos - En la tercera hay 4 asientos vacíos - En la quinta fila hay 7 asientos vacíos
*Asientos
*vacíos, ocupados, desocupados
* Filas
* total
*Adición y sustracción de números naturales
*Propiedad conmutativa y asociativa de la adición de números naturales
Relaciones: 1era fila hay 5 asientos vacíos, 3era fila hay 4 asientos vacíos 5ta fila 7 asientos vacíos. ( 1 asiento para 1 alumno) Alternativa 1 : Total de asientos vacíos = 5 asientos + 4 asientos + 7 asientos = 16 asientos vacíos Total de asientos ocupados = total de asientos – total de asientos vacíos 46 – 16 = 30 asientos ocupados Ese día asistieron a clases 30 alumnos de los 42. (Argumento) Faltaron: 42 alumnos - 30 alumnos = 12 alumnos Alternativa 2 : Total de asientos vacíos = 16 asientos vacíos Asientos sobrantes = total de asientos – total de asientos ocupados = 46 – 42 = 4 Total de asientos desocupados = 16 asientos vacíos – 4 asientos sobrantes = 12 Lo que permite concluir que faltaron 12 alumnos. (Argumento) Alternativa 3 : x x x x x • • x = asientos vacíos • • • • • • • • = asientos ocupados x x x x • • • • • • • • • • x x x x x x x • • • • • • • • • • • Total de asientos desocupados = 16 asientos vacíos – 4 asientos sobrantes = 12 Faltaron 12 alumnos
Acciones
Figura 8: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 1 (Diagnóstico)
50
En relación con las prácticas operativas, la situación-problema es
aritmética de de varias etapas ubicada entre los eventos-acontecimientos (parte
inferior de la V), y en la pregunta central, como se observa en la figura 8. Las
acciones se ubican en la parte metodológica.
La alternativa 1 se refiere a procedimientos de suma y resta de números
naturales concretos: cantidad de asientos vacíos, total de asientos ocupados que
permiten deducir el total de alumnos que asistieron a clases y por tanto la
cantidad de alumnos que faltaron. Para la alternativa 2, se restó la cantidad de
asientos vacíos y de asientos sobrantes que son cuatro (4), obteniéndose el total
de asientos desocupados, lo que permite deducir que faltaron doce (12) alumnos
a clases. En lo que respecta a la alternativa 3, la acción se manifiesta en lenguaje
gráfico, es decir, en este caso la función instrumental del gráfico permite llegar a
la respuesta.
Por último, con respecto al lenguaje, la figura 8 muestra que la V de Gowin
de la solución del problema 1 permite identificar que los cuatro tipos de lenguaje
están presentes en este problema.
La figura 9 corresponde a la V de Gowin del problema 2, que revela el
significado institucional de referencia de este problema. El esquema permite
identificar la diversidad en lo conceptual, procedimental y en las formas de
resolución del problema. Con respecto a las prácticas discursivas, están presentes
conceptos cotidianos categóricos e inclusivos como: frutas, mangos, naranjas y
mandarinas; conceptos aritméticos como conversión de unidades a docenas,
división de números naturales expresada por su cociente y su resto, adición y
multiplicación de números naturales. De igual forma, la propiedad asociativa y
conmutativa para la adición y la multiplicación están presentes en la resolución
de este problema, conjuntamente con la propiedad distributiva de esta última
operación respecto a la primera. En este problema, las prácticas operativas están
centradas en la interpretación del denominador común (frutas) requerido por la
pregunta, así como la conversión de unidades a docenas (dividiendo las unidades
entre doce y expresando ese resultado como suma del cociente y el resto), la
agrupación de los restos para obtener la respuesta en docenas.
51
* Frutas: mangos, naranjas, mandarinas
* Conversión, unidades, cientos, docenas
* División de números naturales: cociente, resto
* Adición de números naturales
* Multiplicación de números naturales
* Propiedad asociativa y conmutativa de la adición y multiplicación de números naturales
* Propiedad distributiva de la
Problema 2: Manuel fue al fundo y trajo un ciento de mangos, 4 docenas de mandarinas y una bolsa con 200 naranjas. ¿Cuántas
docenas de frutas trajo?
CONCEPTUAL METODOLOGÍA
Lenguaje
Manuel trajo: un ciento de naranja cuatro docenas de mandarinas una bolsa con 200 naranjas
¿Cuántas docenas de frutas trajo Manuel?
Relación: 1 ciento de mangos = 100 mangos, 1 docena = 12 unidades Alternativa 1 : Conversión de unidades a docenas: (Argumento)
frutas de docenas 29 trajoManueldoc 29 doc 4 1 16 doc 8 frutas de docenas de Total
doc 1 frutas 12 naranjas 8 mangos 4
resto) el 8y cociente el es (16 naranjas 8 naranjas de 1612
200
resto) el es 4y cociente el es (8 mangos 4 mangos de doc 812
100
=+++===+
+=
+=
docdoc
doc
Alternativa 2 : Conversión de docenas a unidades: (Argumento) 4 docenas de mandarinas = 4 x 12 = 48 mandarinas Total de frutas = 100 mangos + 200 naranjas + 48 mandarinas = 348 frutas Conversión de unidades a docenas: 348 frutas / 12 = 29 docenas de frutas Manuel trajo 29 docenas de frutas Alternativa 3: (tanteo) Si un ciento de mangos equivale a 8 docenas y 4 mangos, entonces 200 naranjas equivalen a 16 docenas y 8 naranjas. Sumando las docenas se tiene 8 doc + 16 doc + 4 doc = 28 doc. Al sumar los 4 mangos con las 8 naranjas se obtiene otra docena. Por tanto, Manuel trajo 29 docenas de frutas.
Conceptos
Propiedades
Situación-problema
Matemático Simbólico Matemático Mixto (Simbólco – Verbal) Verbal, Gráfico
Figura 9: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del problema 2 (Diagnóstico)
Acciones
52
Otra posible resolución requiere de acciones realizadas de forma inversa, es
decir, conversiones de docenas y cientos a unidades, para luego sumarlas y
convertir ese total (348 frutas) a docenas. También cabe una tercera alternativa,
donde la acción se transforma en operaciones de tanteo y cálculo mental.
El lenguaje que articula estas prácticas, se expresa de diferentes maneras a
saber: lenguaje matemático simbólico, mixto y verbal, si bien una solución
gráfica también puede adoptarse.
Por último, la figura 10 representa la V de Gowin del significado
institucional de referencia para el problema tres (3) del diagnóstico, y permite
identificar la diversidad en lo conceptual, lo procedimental y en el proceso de
resolución de este problema. En las prácticas discursivas, están contextualizados
conceptos como cangrejos y chicharras (dos tipos de artrópodos con diferente
número de patas, propios de las vivencias de los niños, por estar presentes en la
naturaleza), pedazos de alambre (también conocido por la generalidad de las
personas) para construir las patas. Además, están presentes los conceptos
asociados a operaciones como adición y multiplicación de números naturales.
En cuanto a propiedades, es posible identificar la razón entre cangrejos y
patas con fracciones equivalentes, si bien esta no sería una resolución indicada
para primera etapa de educación básica. El argumento, como tanteo sistemático,
es de tipo inductivo y de comprobación.
Con respecto a las prácticas operativas, las acciones se manifiestan
mediante procedimientos de multiplicación y de suma para la alternativa 1. Para
la alternativa 2 se identificaron conjuntos de fracciones equivalentes, se ubicó
cuales de ellas representaban el total de patas de acuerdo a la cantidad de trozos
de alambre, y se suma. Para la alternativa 3 las acciones vienen dadas a través de
un gráfico, el cual cumple una función instrumental que permite visualizar la
obtención de la respuesta.
Como se observa en la figura 10, el lenguaje matemático simbólico y
mixto, verbal y gráfico engloban el lenguaje articulador de las prácticas
discursivas y operativas presentes en el problema tres (3) del diagnóstico.
53
Figura 10: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del problema 3 (Diagnóstico)
54
Se describen a continuación en los cuadros 2 a 11 las unidades de acción sobre
los objetos aritméticos de los cuatro docentes en los que se presenta el análisis
semiótico (ASOMA) realizado a las respuestas de esos sujetos a tres problemas
aritméticos que requerían aplicar las operaciones adición, sustracción,
multiplicación y división de números naturales. El ASOMA de las reproducciones
escritas del maestro 1 para los tres (3) problemas planteados, está en los cuadros 2,
3 y 4. Cuadro 2 ASOMA del problema 1 para maestro 1
Problema 1. En tercer grado hay 42 alumnos y 46 asientos. Un día la maestra entra y ve que en la primera fila hay 5 asientos vacíos, en la tercera fila 4 y en la quinta fila 7. ¿Cuántos alumnos faltaron ese día?
Maestro U1 U2 U3 U4
1
42 Alumnos 46 asientos
(5+4+7) – 46 = 16 – 46 = 30
La asistencia del día fue de 30 alumnos.
Motivado a la observación de la docente, la falta fue de 12 alumnos.
Análisis Semiótico Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: Identificación de problema contextualizado de varias etapas (No ostensivo) Acciones: Operación de adición y sustracción combinadas (Ostensivo). Uso de signo de agrupación (Ostensivo). Uso de cálculo mental (No ostensivo).
Términos y Expresiones: Alumnos, asientos, asistencia, motivado, observación, docente y falta. Notaciones: Números naturales, +, -, ( ), = Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones (Ostensivo) Lenguaje mixto para expresar la respuesta (Ostensivo).
Conceptos: Noción instrumental y elemental del objeto aritmético: adición y sustracción de números naturales. (No ostensivo) Propiedades: Asume conmutatividad de la sustracción de números naturales. (No ostensivo). Argumentos: deducción empírica (No ostensivo).
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos
U1
U2
U3
U4
Explicita de forma incompleta la información (datos) Jerarquiza el cálculo de la suma por medio de paréntesis y realiza la sustracción.
Expresa la cantidad de alumnos que asistieron. Responde correctamente la cantidad de alumnos faltantes deduciéndola de la unidad U3 y de la cantidad de asientos 46 (datos).
El docente no identifica las condiciones de realización de la acción. La operación de sustracción esta mal escrita, hay inversión del minuendo y del sustraendo. Contradice el hecho que la sustracción de números naturales no conmuta. Resultado correcto, escritura incorrecta.
55
En el cuadro 2 (de la página anterior) se observa que el docente 1 emplea el
lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones de adición y
sustracción de números naturales, y el lenguaje matemático mixto (combinación
del verbal y simbólico) solo para explicitar la respuesta.
En cuanto a las prácticas operativas, identifica una situación de tipo aditivo
de forma no ostensiva, y la resolvió correctamente; con respecto a las acciones,
aplica el algoritmo tradicional para la adición y sustracción. Las prácticas
discursivas, se manifiestan en la respuesta de forma no ostensiva.
El cuadro 3, que aparece en la próxima página, presenta los objetos
matemáticos adición y división de números naturales que emergen durante el
proceso de resolución del problema 2, por parte del docente 1. Como en el
problema anterior, se observa que este docente se ubica en el lenguaje matemático
simbólico para realizar las operaciones, aunque en la unidad 4 (U4) utiliza el
lenguaje matemático mixto. Además, realiza un mayor énfasis en las prácticas
operativas que están caracterizadas por la situación problema y las acciones.
Con respecto a la situación problema, logró identificar de forma no ostensiva
el tipo de problema, lo resolvió correctamente y aplicó el algoritmo para la división
y adición de números naturales. Este cuadro muestra, además, que el docente 1
usa poco las prácticas discursivas: al identificar conceptos, propiedades y
argumentos.
El cuadro 4, relacionado con el problema 3, muestra que el lenguaje, las
prácticas operativas y discursivas empleadas por el maestro 1, para resolver un
problema aritmético contextualizado de varias etapas, son análogas a las realizadas
en los problemas anteriores, aunque en este caso no identificó correctamente las
condiciones de realización, y desconoció las condiciones de aplicación de la
información proporcionada en el enunciado del problema, lo que impidió que lo
resolviera correctamente. Es decir, al no identificar de manera correcta la relación
existente entre pares y patas (de cangrejos y chicharras), la acción que emprendió
no fue acertada. Es bueno señalar que a pesar de no interpretar correctamente el
problema, el docente construye una respuesta, sin considerar las condiciones y
restricciones del mismo, lo que indica la ausencia de reflexión.
56
Cuadro 3 ASOMA del problema 2 para maestro 1
Problema 2. Manuel fue al fundo y trajo un ciento de mangos, 4 docenas de mandarinas y una bolsa con 200 naranjas. ¿Cuántas docenas de frutas trajo?
Maestro U1 U2 U3 U4
1
100 – mangos mandarina → 4 48 – mandarinas mangos → 200 – naranjas naranjas →
348 |_12__ 108 29 00
1 0 0
4 8 + 2 0 0 3 4 8
Total trajo 29 docenas de frutas. 8 doc de mangos + 4 mangos (96 + 4) 4 doc de mandarinas (48) 16 doc de naranjas + 8 naranjas (192 + 8)
Análisis Semiótico
Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas Situaciones: Identificación de problema combinado de suma y división. (No Ostensivo) Acciones: Estructuración del problema en: datos (Ostensivo). Conversión de unidades a docenas (Ostensivo) División entera de números naturales (Ostensivo). Adición en columnas de números naturales (Ostensivo). Verificación de la respuesta (Ostensivo).
Términos y Expresiones: Mangos, mandarinas, naranjas, frutas, total, docenas Notaciones: Números naturales, -, →, |____ , + , ( ) Representaciones: Lenguaje matemático Simbólico para realizar operaciones (Ostensivo)
Lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta. (Ostensivo)
Conceptos: Noción instrumental y elemental del objeto aritmético: adición y división de números naturales (No Ostensivo) Propiedades: Disociación de la adición de números naturales (Ostensivo, sólo en lenguaje simbólico).
Argumentación: (No ostensivo)
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos
U1
U2
U3
U3
En la estructuración del problema, el docente lleva las cantidades a un mismo orden (unidades), así como se plantea (implícitamente) la necesidad de convertir las unidades a docenas. Aplicando algoritmo tradicional, divide 348 entre 12 y obtiene como cociente 29 y resto 0. Simbólicamente, adiciona los números 100, 48 y 200, obtiene 348. Concluye que trajo 29 docenas de frutas. Verifica mediante otro procedimiento la veracidad de su respuesta, disociando la suma en docenas y unidades.
57
Cuadro 4 ASOMA del problema 3 para maestro 1
Problema 3. Antonio quiere armar cangrejos y chicharras con alambre. Un cangrejo tiene 5 pares de patas y una chicharra 3 pares, y Antonio tiene para hacer patas 80 pedacitos de alambre. Si hace con cada pedacito una pata. ¿a cuántos cangrejos y a cuántas chicharras les puede poner patas sin que sobren pedacitos de alambre?
Maestro U1 U2 U3
1
5 pares igual a 10 patas – cangrejo (2x5) 3 pares igual a 6 patas – chicharra (3x6)
Puede hacer 25 pares de cangre-jo que sería 50 patas 25x 2 ⇒ 50
Puede hacer 10 pares chicharra Que sería 30 patas 10 x 3 ⇒ 30
Análisis Semiótico
Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas Situaciones: No identifica el tipo de problema (No ostensivo). Acciones: Estructuración del problema en: datos ( Ostensivo). Conversión de pares a patas (Ostensivo). Multiplicación de números naturales (Ostensivo).
Términos y Expresiones: pares, cangrejo, igual, patas, chicharra Notaciones: Números naturales, x, ( ), ⇒ Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones (Ostensivo).
Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta (Ostensivo).
Conceptos: Noción instrumental y elemental de la multiplicación de números naturales. (No ostensivo) Propiedades: Ausentes
Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
El docente en la estructuración de los datos del problema establece la relación entre pares y patas.
Multiplica 25 pares relacionado con los cangrejos por 2 y señala que es 50 patas. Expresa que puede hacer 10 pares de chicharras, que al multiplicar por 3 obtiene 30 patas.
Aunque específica correctamente la relación entre pares y patas, cuando simboliza la misma con relación a la chicharra hay una ambigüedad (3 pares igual a 6 patas – 3 x 6. Presenta problemas en la escritura matemática. Razonamiento incorrecto. No utiliza la información relevante entre cantidad de pares y número de patas. Utiliza una relación incorrecta que es 1 par equivale a 2 patas. Asume que cada cangrejo tiene un par de patas. No usa la relación entre pares y número de patas suministrada en los datos del problema. No hay comprensión de la información, no comprende el problema. Usa los datos de forma mecánica sin comprender lo que esta haciendo, pareciera que trató de construir una respuesta (sin usar razonamiento) que le permitiera verificar que 50 + 30 = 80.
58
Los cuadros 5 y 6 muestran el análisis semiótico de las reproducciones
escritas del maestro 2 para los dos primeros problemas, se destaca que este docente
no resolvió el problema 3. En ambos cuadros, el maestro se limita a escribir las
respuestas, sin representar las operaciones que le permitieron obtenerlas. Esto
indica que la resolución de los problemas se efectúa de manera no ostensiva, lo que
dificulta el análisis semiótico que se pretende realizar, para describir su significado
personal. Con respecto al problema 1 del cuadro 5, la respuesta expresada por el
docente es incorrecta, pareciera que relaciona la suma de los asientos vacíos con
la cantidad de alumnos faltantes, sin considerar que siempre sobran 4 asientos. Para
el problema del cuadro 6, si bien la respuesta es correcta, el docente no explicitó la
forma de resolución, se infiere que lo resolvió mediante el uso del cálculo mental.
Cuadro 5 ASOMA del problema 1 para maestro 2
Problema 1. En tercer grado hay 42 alumnos y 46 asientos. Un día la maestra entra y ve que en la primera fila hay 5 asientos vacíos, en la tercera fila 4 y en la quinta fila 7. ¿Cuántos alumnos faltaron ese día?
Maestro U1 U2 U3
2 Faltaron 16 alumnos y sobraron 30 asientos
Análisis Semiótico
Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: No identifica el tipo de problema (No ostensivo) Acciones: (No ostensivas)
Términos y Expresiones: faltaron, alumnos, sobraron, asientos Notaciones: Números naturales Representaciones: Lenguaje matemático mixto para manifestar la respuesta (Ostensivo).
Conceptos: (No ostensivo) Propiedades: Ausentes Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos
U1
Concluye con una respuesta que es incorrecta.
No hay interpretación del problema, no hay argumentaciones que permitan observar como procedió a obtener estos resultados.
59
Cuadro 6 ASOMA del problema 2 para maestro 2
Problema 2. Manuel fue al fundo y trajo un ciento de mangos, 4 docenas de mandarinas y una bolsa con 200 naranjas. ¿Cuántas docenas de frutas trajo?
Maestro U1 U2 U3
2 Manuel trajo 29 docenas de frutas en total
Análisis Semiótico
Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: Identifica el tipo de problema (No ostensivo). Acciones: Cálculo mental (No ostensivo).
Términos y Expresiones: Manuel, trajo, docenas, frutas, total. Notaciones: Número natural Representaciones: Lenguaje matemático mixto para manifestar la respuesta (Ostensivo).
Conceptos: (No ostensivo) Propiedades: Ausentes Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos
U1
El docente expresa que trajo 29 docenas de frutas.
Respuesta correcta. No hay explicitación de la forma como obtuvo la respuesta.
Los cuadros 7 y 8 muestran el análisis semiótico de las reproducciones
escritas del maestro 3 para los dos primeros problemas, (el problema 3 no fue
resuelto).
El cuadro 7 muestra que el docente 3 utiliza el lenguaje matemático simbólico
para realizar las operaciones, el lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta
a este problema 1.
Además, se visualiza que este docente no articula, por medio del lenguaje, las
prácticas operativas con las prácticas discursivas. De igual forma, aunque el docente
identifica la situación problema, de forma no ostensiva, no resuelve correctamente
este primer problema.
60
Cuadro 7 ASOMA del problema 1 para maestro 3 Problema 1. En tercer grado hay 42 alumnos y 46 asientos. Un día la maestra entra y ve que en la primera fila hay 5 asientos vacíos, en la tercera fila 4 y en la quinta fila 7. ¿Cuántos alumnos faltaron ese día?
Maestro U1 U2 U3 U4 3
4 2 + 4 6 8 8
5 + 4 7 1 6
8 8 - 1 6 7 2
Faltaron 16 alumnos y asistieron 72 alumnos.
Análisis Semiótico Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: Identificación de problema aditivo (No ostensivo). Acciones: Operación de adición en columnas de números naturales (No ostensivo). Operación de sustracción en columnas de números naturales (No ostensivo).
Términos y Expresiones: Faltaron , alumnos y asistieron Notaciones: Números naturales, +, -, Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones (No ostensivo) Lenguaje Matemático mixto para manifestar la respuesta (No ostensivo)
Conceptos: Noción instrumental y elemental del Objeto aritmético (adición y sustracción de números naturales) (No ostensivo). Propiedades: Ausentes Argumentos: Ausentes
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
U4
Adiciona cantidades con diferentes unidades (número de alumnos con cantidad de asientos vacíos) Ordena en columnas los elementos a sumar. Coloca el signo de adición + a la derecha del primer número ordenado. Resta el resultado obtenido en la unidad U1 (88) con el número de asientos vacíos (16) obteniendo 72.
Expresa la cantidad de alumnos que faltaron (16) y la cantidad de alumnos que asistieron (72).
Interpretación incorrecta de los datos del problema. Suma cantidades que representan diferentes entidades. Lo que violenta el hecho de que para realizar la adición los sumandos deben representar objetos de la misma naturaleza. Fijación de sumar números en columnas, hasta los de una cifra (técnica arraigada). En la unidad U1 coloca el signo de operación + a la izquierda (como tradicionalmente se hace) y luego en esta unidad lo coloca a la derecha. Hay ambiguedad donde debe escribirse la operación de adición., lo cual puede originar confusión. Ejecuta el algoritmo de sustracción correctamente, pero la interpretación es errónea. Resta incorrectamente entidades de naturaleza diferentes. La interpretación incorrecta de los datos conduce a una solución errónea. Ya que la cantidad 16 representa el número de asientos vacíos y no la cantidad de alumnos faltantes. De igual forma, si inicialmente hay 42 alumnos en el curso es imposible que al curso hayan asistido 72 alumnos. Lo que indica que el docente no realiza una verificación del resultado. Prevalece lo algorítmico sobre la comprensión del problema.
61
Con respecto al cuadro 8, se presenta un análisis semiótico análogo al
anterior. La actividad del docente se centra en realizar las operaciones de suma,
multiplicación y división de números naturales en forma simbólica, no se observa
una articulación de las prácticas discursivas por medio del lenguaje.
Cuadro 8 ASOMA del problema 2 para maestro 3
Problema 2. Manuel fue al fundo y trajo un ciento de mangos, 4 docenas de mandarinas y una bolsa con 200 naranjas. ¿Cuántas docenas de frutas trajo?
Maestro U1 U2 U4
3
3480 8 4 48
29 108 4 200
12 843 x 2 1 100
=
+ &&
Trajo 29 docenas de frutas
Análisis Semiótico Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: Identificación del problema (No ostensivo). Acciones: Adición en columnas de números naturales (Ostensivo). Conversión de unidades a docenas (multiplicación) (Ostensivo). División entera de números naturales (Ostensivo).
Términos y Expresiones: Trajo, docenas, frutas. Notaciones: Números naturales, +, x, =, ´, |___ Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones (Ostensivo). Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta (Ostensivo) .
Conceptos: Noción instrumental y elemental del Objeto aritmético: adición, multiplicación y división de números naturales ( No ostensivo). Propiedades: Ausentes
Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos
U1
U2
Suma simbólicamente la cantidad de mangos, naranjas y mandarinas (previa conversión de docenas a unidades). Conversión de las unidades a docenas (mediante división entera).
Concluye que trajo 29 docenas de frutas lo cual es correcto.
Las operaciones son realizadas sin considerar las entidades, en forma simbólica.
No hay verificación de la respuesta. Utiliza la categoría frutas dándola por sobreentendida en la Unidad U1.
62
Los cuadros 9, 10 y 11 muestran el análisis semiótico de las
reproducciones escritas del maestro 4 para los tres (3) problemas planteados. En
el cuadro 9 se observa que el docente identifica la situación problemática, y la
resuelve correctamente mediante la aplicación del algoritmo tradicional. La
representación simbólica prevalece en la realización de las operaciones de suma y
resta, y el lenguaje no articula las prácticas operativas con las discursivas (que por
lo general son de carácter no ostensivo para la entidad conceptos).
Cuadro 9
ASOMA del problema 1 para maestro 4
Problema 1. En tercer grado hay 42 alumnos y 46 asientos. Un día la maestra entra y ve que en la primera fila hay 5 asientos vacíos, en la tercera fila 4 y en la quinta fila 7. ¿Cuántos alumnos faltaron ese día?
Maestro U1 U2 U3 U4 4
Datos 42 alumnos 46 asientos Sobran 4 asientos
Faltaron ese día : 5 4 7 16 4 - 12
Análisis Semiótico Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: Identificación del problema aditivo Acciones: Estructuración de los datos del problema (No Ostensivo). Operación de adición y sustracción combinadas de números naturales, dispuestas en columnas (Ostensivo)
Términos y Expresiones: Datos, alumnos, asientos, sobran, faltaron ese día. Notaciones: Números naturales, + -, ___ Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones (No ostensivo) Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta (No ostensivo)
Conceptos: Noción instrumental y elemental del Objeto aritmético (adición y sustracción de números naturales)(No ostensivo). Propiedades: Ausentes Argumentos: Ausente
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos U1
U2
Explicitación de información (datos) no completa Suma y resta combinadas dispuesta en columnas, obteniendo la cantidad de alumnos que faltaron 12.
No hay estructuración del problema. No se especifica el signo de la operación de suma. El signo de operación de resta esta colocado violando las normas. Para hallar la respuesta correcta le fue suficiente usar parte de la información suministrada por los datos.
63
El análisis semiótico de las reproducciones escritas correspondientes a la
solución del problema 2, mostrado en el cuadro 10, permite identificar que el
maestro 4 manifiesta limitaciones en el lenguaje para representar de forma
ostensiva el proceso de resolución de problemas, además de no identificar la
situación problemática planteada explicitando por ende una respuesta incorrecta.
Debido a este hecho la acción no está articulada con la práctica discursiva ya que no
esta presente en la reproducción escrita.
Cuadro 10 ASOMA del problema 2 para maestro 4
Problema 2. Manuel fue al fundo y trajo un ciento de mangos, 4 docenas de mandarinas y una bolsa con 200 naranjas. ¿Cuántas docenas de frutas trajo?
Maestro U1 U2 U4
4 Trajo 22 docenas x 12
Análisis Semiótico Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: Identificación del problema Acciones: Multiplicación de números naturales, sugerida (Ostensivo)
Términos y Expresiones: Trajo, docenas Notaciones: Números naturales, x, ____ Representaciones: Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta (Ostensivo).
Conceptos: Noción instrumental y elemental del Objeto aritmético: multiplicación de números naturales (No ostensivo) Propiedades: Ausentes Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos
U1
Específica una respuesta 22 docenas y simboliza su producto por 12.
No explicita como llego a este resultado, respuesta incorrecta. Pareciera que tratará de justificar al simbolizar la multiplicación, si hubiera realizado la misma se podría percatar de lo incorrecto de su deducción.
64
El análisis semiótico efectuado a la resolución del problema 3, mostrado en
el cuadro 11, permite identificar que el maestro 4 presentó limitaciones en el
lenguaje para representar de forma ostensiva el proceso. De igual forma, logró
identificar la situación problemática planteada (aritmética de varias etapas),
expresando correctamente una de las posibles soluciones, si bien se observa que la
acción no está articulada con la práctica discursiva, que no está presente en la
reproducción escrita.
Cuadro 11 ASOMA del problema 3 para maestro 4
Problema 3. Antonio quiere armar cangrejos y chicharras con alambre. Un cangrejo tiene 5 pares de patas y una chicharra 3 pares, y Antonio tiene para hacer patas 80 pedacitos de alambre. Si hace con cada pedacito una pata. ¿a cuántos cangrejos y a cuántas chicharras les puede poner patas sin que sobren pedacitos de alambre?
Maestro U1 U2 U3
4
Cada cangrejo tiene 10 patas puede amarrar 5 cangrejos y 5 chicharras
Análisis Semiótico
Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas
Situaciones: Identifica el tipo de problema (No ostensivo). Acciones: Conversión de pares a patas Multiplicación y adición de números naturales. ( No ostensivo)
Términos y Expresiones: Cada, cangrejo, tiene, patas, puede, amarrar, chicharras Notaciones: Números naturales Representaciones. Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta. Ostensivo.
Conceptos: No ostensivo Propiedades: Ausentes Argumentación: De comprobación. No ostensivo.
Unidades Descripción de las unidades Conflictos semióticos
U1
Manifiesta que cada cangrejo tiene 10 patas, y que se pueden amarrar 5 cangrejos y 5 chicharras.
Resultado correcto. No explícita como llego a este resultado. (Podría haber llegado mediante ensayo y error por medio del cálculo mental). De igual forma, no se responde adecuadamente ya que no se trata de amarrar cangrejos y chicharras sino de ponerles patas.
65
Síntesis de los Significados Personales La información recogida del ASOMA de las reproducciones escritas de los
cuatro sujetos en estudio, al resolver tres problemas del diagnóstico, fue limitada
respecto a las prácticas discursivas (referidas a conceptos, propiedades y
argumentaciones en torno a las operaciones aritméticas), por lo que se hizo
necesario obtener información complementaria mediante una discusión grupal,
entre los sujetos de la investigación, propiciada por el investigador. Esta discusión
permitió indagar que efectivamente los docentes conocen algunas propiedades de
las operaciones aritméticas, pero no asocian su uso con los procesos de resolución
de problemas, solamente el maestro 1 la usa como práctica no significativa. Con
respecto a las argumentaciones, los docentes expresaron que solo quieren dar una
respuesta al problema planteado, que ellos no están acostumbrados a argumentar o
justificar algún procedimiento (simplemente lo aplican), entre otros aspectos porque
no interpretan las propiedades del sistema de numeración decimal. A pesar que el
maestro 1 realizó otro procedimiento de cálculo en el problema 2, a modo de
comprobación, la argumentación no es una práctica significativa para él.
La información recogida en los cuadros 2 al 11 (por maestro y por
problema), permitió esquematizar los cuadros 12, 13, 14 y 15 que se presentan en
las páginas siguientes. En ellos se muestra una síntesis del significado personal de
los sujetos de la investigación con respecto al objeto matemático operaciones
aritméticas, obtenido del sistema de prácticas discursivas y operativas
(configuración cognitiva), puestas de manifiesto por los docentes en su actuación
ante situaciones problemáticas aritméticas, y sus cinco facetas duales o atributos
contextuales, según el juego de lenguaje en que participan, (personal-institucional;
expresión-contenido; ostensivo-no ostensivo; extensivo-intensivo; unitario-
sistémico). (Godino y Bencomo, 2006).
En la primera columna de los cuadros aparece la configuración cognitiva
caracterizada por el sistema de prácticas puestas de manifiesto, y en la segunda
columna aparecen los atributos contextuales que caracterizan el objeto matemático
operaciones aritméticas, y son los que permiten identificar los conflictos semióticos.
66
Cuadro 12 Significado personal del docente 1 respecto a las operaciones aritméticas (Diagnóstico)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje
Usa el lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones, y el lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta.
Prácticas Operativas Situaciones: Identifica las situaciones problemáticas contextualizadas Acciones: • Interpretación correcta de los problemas 1 y 2. • Estructuración de los problemas en datos y a
través del cálculo. • Identificación de las condiciones de realización
de los problemas. • Reconocimiento de las condiciones de aplicación • Aplicación de los algoritmos tradicionales. • En los procedimientos de cálculo, se percibe que
empleó la propiedad de la disociación de la adición.
• Deducción de algún resultado mediante cálculo mental.
• Verificación informal de la repuesta, manifiesta en el problema 2.
Prácticas Discursivas
Conceptos: Manifiesta una noción de las operaciones aritméticas de tipo elemental e instrumental. Propiedades: Aplica eventualmente las propiedades de las operaciones, en la resolución de problemas. Argumentos: Eventualmente Justifica informalmente la respuesta, a modo de comprobación.
Personal – Institucional Para el problema 1, se manifiesta desajustes entre el significado atribuido por el docente con respecto a la operación de sustracción y el significado institucional correspondiente: ya que contradice la no conmutatividad de la misma, aunque obtiene un resultado correcto. Con respecto al problema 2, lo resolvió de forma correcta acercándose al significado institucional descrito para este problema. Con respecto al problema 3, Presentó dificultad al simbolizar una condición de realización del problema mediante la escritura matemática. Al no comprender el problema, realizó cálculos de forma mecánica. Por ello el resultado no coincide con la respuesta expresada en el significado institucional. Expresión – Contenido El docente ha atribuido significado a los tres problemas planteados. Interpretó correctamente los dos primeros estructurándolos en datos y cálculos, sin embargo, para el problema 1 representa la operación (5+4+7) – 46 = 16 – 46 = 30 en la que atribuye de forma no ostensiva el significado que 16-46 = 46-16 = 30 (conmutatividad de la sustracción) lo que no es válido. Para el problema 3, no interpretó correctamente la relación entre pares y el número de patas por chicharras y cangrejos, obtuvo una respuesta incorrecta. En relación con el lenguaje, este docente no utiliza el lenguaje gráfico. Ostensivo – No ostensivo Las entidades conceptuales como adición, sustracción, multiplicación y división, han sido expresadas no ostensivamente por este maestro, sólo emplea los signos aritméticos (+, -, x, ∟) y algoritmos de cálculo tradicionales. En el problema 2 utilizó de forma no ostensiva la disociación de la suma en docenas y unidades, así como también argumento como comprobación la respuesta. Las prácticas discursivas propiedades y argumentos aparecen de forma no ostensiva. Extensivo –Intensivo El maestro reconoce e identifica las operaciones aritméticas como algoritmos que hay que aplicar para obtener una respuesta determinada, las identifica con acciones, pero sin vincular lo conceptual con lo procedimental. El docente no generaliza extensivamente un procedimiento de cálculo, es decir, las operaciones aritméticas puestas en evidencia mediante su sistema de prácticas se limitan a operaraciones con valores particulares correspondientes al contexto de los problemas propuestos. No hay presencia de objetos intensivos o abstractos. Unitario –Sistémico El docente presenta una noción elemental o unitaria de los objetos matemáticos operaciones aritméticas, ya que no manifiesta el aspecto formal de ellas, así como sus bases conceptuales. De igual forma, tiene una noción instrumental de este objeto matemático porque lo asocia con procedimientos algorítmicos, aunque no hay diversidad en los procedimientos de cálculo y en general, en la resolución de problemas. Igualmente no emplea heurísticas en la resolución de problemas.
67
La información mostrada en el cuadro 12 de la página anterior, describe el
significado personal del maestro 1 cuando este realiza una actividad de resolución
de problemas aritméticos contextualizados, con dos o más combinaciones de
operaciones. En la primera columna aparece su configuración cognitiva,
caracterizada por el uso del lenguaje matemático simbólico en procedimientos
algorítmicos y el verbal para expresar el resultado. En sus reproducciones escritas el
lenguaje gráfico está ausente.
Con respecto a las prácticas operativas significativas se tiene que el docente
1 identifica la situación problema, independientemente del resultado que obtenga.
Las acciones realizadas, se estructuran en dos elementos: (a) la resolución de
problemas y (b) la diversidad en los procedimientos de cálculo.
En relación al primero, la información mostrada permite inferir que el
docente estructura la información en datos y a través de los cálculos (siendo ésta su
acción inicial), reconoce las condiciones de realización y aplicación del problema.
En su configuración cognitiva no existe un plan previo a la acción ni
posibles estrategias de búsqueda, además de no utilizar técnicas heurísticas en los
procesos de resolución.
En cuanto al segundo elemento, se tiene que el maestro 1 centra su atención
en la aplicación de algoritmos aritméticos tradicionales, con escasa diversidad en
procedimientos de cálculo.
Las prácticas discursivas revelan que la noción conceptual de las
operaciones aritméticas es de tipo instrumental y elemental, usando a veces las
propiedades y argumentos.
La configuración cognitiva del maestro 2, aparece en el cuadro 13, de la
próxima página, presenta: el docente resuelve los problemas de forma no ostensiva,
de ahí que se hace imposible describir las prácticas significativas puestas en juego
durante el proceso de resolución de problemas. Se infiere que el docente identificó
parcialmente las situaciones problemáticas contextualizadas de varias etapas
(combinación de dos o más operaciones) y realizó las operaciones mediante el
cálculo mental.
68
Cuadro 13 Significado personal del docente 2 respecto a las operaciones aritméticas ( Diagnóstico)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje Usa el lenguaje matemático mixto (verbal y simbólico) para expresar la respuesta. No hay representación escrita del proceso de resolución.
Prácticas Operativas Situaciones: Identifica parcialmente las situaciones problemáticas contextualizadas
Acciones: • Interpretación correcta del problema 2,
incorrecta del problema 1, no resolvió el problema 3.
• Estructuración de los problemas ausente. • Escasa familiarización con actividades de
resolución de problemas, dado que no se estructura la información y condiciones del problema.
• Utilización del cálculo mental en proceso de resolución de problema.
Prácticas Discursivas Las prácticas discursivas están ausentes
Personal – Institucional Para el problema 1, la respuesta esgrimida por el docente no se ajusta al resultado develado en el significado institucional de referencia. Con respecto al problema 2 el docente se limita a expresar el resultado correcto, pareciera que lo resolvió mediante el uso del cálculo mental. El problema 3 no fue resuelto por este maestro. La resolución de los problemas se efectuó de manera no ostensiva, lo que dificultó el análisis semiótico que se pretendió realizar para describir el significado personal de este docente. Expresión – Contenido El docente ha atribuido significado a los problemas 1 y 2, sin embargo, la estructuración de ellos está ausente. La respuesta al problema 1 revela que el docente no reconoce una condición de realización de la acción (manifiesta que faltaron 16 alumnos y asistieron 30 alumnos, contradiciendo el hecho de que son 42 alumnos). Atribuye el mismo significado a la cantidad de asientos vacíos y la cantidad de alumnos faltantes, lo cual no es válido. Para el problema 2, simplemente expresa que hay 29 docenas de frutas, atribuyéndole no ostensivamente un significado a la equivalencia de 348 frutas, con 29 docenas. Con relación al lenguaje, no hay presencia del lenguaje matemático simbólico ni gráfico. Ostensivo – No ostensivo No hay representación del proceso de resolución, tan solo la respuesta de los problemas 1 y 2 aparecen de forma ostensiva. Extensivo –Intensivo Las operaciones aritméticas dentro del contexto de la situación problemática, las operaciones aritméticas tienen carácter concreto (extensivo), limitándose solo se limita a la aplicación del cálculo mental con los datos particulares del problema. No se manifiesta generalización o abstracción en el manejo del objeto matemático operaciones aritméticas, de ahí, la ausencia de vinculación de lo coneptual con lo procedimental. Unitario –Sistémico El docente presenta una noción elemental o unitaria de los objetos matemáticos operaciones aritméticas, ya que no esta presente el aspecto formal de las operaciones y las bases conceptuales. De igual forma, tiene una noción instrumental de este objeto matemático porque lo asocia con procedimientos algorítmicos de tipo de cálculo mental. Ausencia de diversidad en los procedimientos de cálculo, en la resolución de problemas. Además de no emplear el uso de heurísticas en resolución de problemas.
69
La información mostrada en el cuadro 14 de la próxima página, describe
el significado personal del maestro 3 cuando realiza una actividad de resolución
de problemas aritméticos contextualizados de varias etapas, es decir, con dos o
más combinaciones de operaciones.
En la primera columna aparece la configuración cognitiva de este
maestro, caracterizada por el uso del lenguaje matemático simbólico en
procedimientos algorítmicos y el verbal para expresar el resultado. En sus
reproducciones escritas no esta presente el lenguaje gráfico.
Con respecto a las prácticas operativas significativas, este docente
identifica parcialmente las situaciones problema. Las acciones realizadas
revelan que el docente enfatiza en las prácticas operativas y fundamentalmente
en los procedimientos algorítmicos, usa poco la diversidad en la representación
conceptual, en los procedimientos de cálculo y en la resolución del problema.
En cuanto a las prácticas discursivas la noción conceptual de las
operaciones aritméticas es de tipo instrumental y elemental: este maestro no
vincula las propiedades y argumentos con los procesos de resolución de
problemas, aunque manifiesta conocer algunas propiedades.
Por último, en el cuadro 15, se muestra la configuración cognitiva y los
atributos contextuales del maestro 4, que caracterizan su significado personal.
En relación con el lenguaje, se manifiesta un escaso empleo del
lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones, usa el lenguaje
matemático mixto para expresar la respuesta.
Con respecto a las prácticas operativas, se tiene que: (a) manifiesta
dificultad para identificar las situaciones contextualizadas de varias etapas, (b)
estructura parcialmente la resolución de los problemas en datos y a través de
cálculos, (c) se centra en la acción de aplicar el cálculo mental, usa de forma no
significativa los algoritmos tradicionales, (d) no se vislumbra una relación entre
lo conceptual y lo procedimental, ni que este maestro emplee las propiedades de
las operaciones en procedimientos de cálculo. (e) no emplea heurísticas para
resolver problemas.
70
Cuadro 14 Significado personal del docente 3 respecto a las operaciones aritméticas ( Diagnóstico)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje Usa el lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones. Usa el lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta.
Prácticas Operativas
Situaciones: Identifica parcialmente las situaciones problemáticas contextualizadas
Acciones: • Interpretación correcta del problema 2, incorrecta
del problema 1, no resolvió el problema 3. • Estructuración de los problemas, mediante la
aplicación directa de cálculos. • Identificación de las condiciones de realización
de los problemas. • Reconocimiento de las condiciones de aplicación • Aplicación de los algoritmos tradicionales.
Prácticas Discursivas Conceptos: Las nociones de las operaciones aritméticas son de tipo elemental e instrumental. Propiedades: Ausentes
Argumentos: Ausentes
Personal – Institucional Para el problema 1, la respuesta esgrimida por este docente no se ajusta al resultado develado en el significado institucional de referencia, debido a que interpreta incorrectamente los datos del problema. Además de sumar y restar cantidades de diferentes naturalezas. Con respecto al problema 2, el docente realiza las operaciones aritméticas simbólicamente, sin considerar las entidades que representan, obtuvo un resultado ajustado al significado institucional de referencia, es decir, correcto. El problema 3 no fue resuelto por este maestro. Expresión – Contenido Este docente ha atribuido significado a los problemas 1 y 2, sin embargo, no explícita las condiciones de realización y de aplicación de las acciones. Para el problema 1, atribuye significados incorrectos a sus representaciones escritas, la interpretación de los datos de forma incorrecta conducen a una solución errónea, ya que la cantidad 16 representa el número de asientos vacíos y no la cantidad de alumnos faltantes. De igual forma, si inicialmente hay 42 alumnos en el curso es imposible que hayan asistido 72 alumnos. Lo que indica que el docente no realiza una verificación del resultado. Prevalece lo algorítmico sobre la comprensión del problema. De igual forma, hay fijación de sumar números en columnas, hasta los de una cifra (técnica arraigada) y existe ambigüedad al escribir la operación de adición., lo cual puede originar confusión. Con respecto al problema 2, el docente se limitó a realizar las conversiones de cientos y docenas a unidades y luego de unidades a docenas, de forma simbólica sin especificar las entidades que representan (mangos, mandarinas, naranjas y frutas) obteniendo un resultado correcto. Ostensivo – No ostensivo Las entidades conceptuales no ostensivas como adición, sustracción, multiplicación y división, han sido expresadas ostensivamente por el maestro mediante signos aritméticos (+, -, x, ∟) y algoritmos de cálculos tradicionales. Extensivo –Intensivo Dentro del contexto de la situación problemática, las operaciones aritméticas tienen carácter concreto (extensivo), este docente solo se limita a la aplicación de los algoritmos tradicionales considerando los datos particulares del problema. No generaliza ni abstrae en el manejo del objeto matemático operaciones aritméticas, de ahí, que no vincula lo conceptual con lo procedimental. No hay vinculación de lo conceptual con lo rocedimental. Unitario –Sistémico Presenta una noción elemental o unitaria del objeto matemático operaciones aritméticas, ya que no manifiesta el aspecto formal de ellas, así como sus bases conceptuales. De igual forma, tiene una noción instrumental de este objeto matemático porque lo asocia con procedimientos algorítmicos. Aunque hay ausencia de diversidad en los procedimientos de cálculos y en las formas de resolución de problemas. N o emplea la heurística en los procesos de resolución.
71
Cuadro 15 Significado personal del docente 4 respecto a las operaciones aritméticas ( Diagnóstico)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje Emplea escasamente el lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones. Usa el lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta. Prácticas Operativas
Situaciones: Identifica parcialmente las situaciones problemáticas contextualizadas
Acciones: • Interpretación correcta del problema 1,
parcialmente correcta del problema 3, no resolvió el problema 2.
• Estructuración parcial de los problemas en datos y cálculos.
• Identificación de las condiciones de realización de los problemas.
• Reconocimiento de las condiciones de aplicación
• Aplicación del cálculo mental y eventualmente los algoritmos tradicionales.
Prácticas Discursivas Conceptos: Manifiesta una noción de las operaciones aritméticas de tipo elemental e instrumental. Propiedades: No se manifiestan en la resolución de problemas. Argumentos: No se manifiestan en la resolución de problemas.
Personal – Institucional Para el problema 1, la respuesta esgrimida por este docente se ajusta al resultado develado en el significado institucional de referencia. Sin embargo, presenta desajustes en la representación de los signos de las operaciones de suma (no los coloca) y la resta (viola las normas). Respecto al problema 2, D4 no representa como llegó a este resultado incorrecto, sin embargo sugiere su verificación mediante la multiplicación de su respuesta por 12. Para el problema 3 su resultado se ajusta parcialmente con una de las soluciones del significado institucional de referencia, a pesar de no responder adecuadamente ya que no se trata de amarrar cangrejos y chicharras sino de armar patas. No hay explicitación del procedimiento de cálculo, al parecer obtuvo esta respuesta mediante el uso del cálculo mental. Expresión – Contenido D4 ha atribuido significado a los problemas 1, 2 y 3, sin embargo, no explícita las condiciones de realización y de aplicación de las acciones. Para el problema 1, D4 atribuye significados correctos a sus representaciones escritas, la interpretación de los datos de forma correcta conducen a una solución ajustada al significado institucional de referencia. En el problema 2, se limitó a expresar una respuesta incorrecta 22, sin especificar la identidad que representa (docenas de frutas), además de sugerir una comprobación mediante la representación escrita 22 x 12, si el hubiera realizado este producto comprobaría que el resultado obtenido 264 no concuerda con la cantidad real de frutas 348. Caso: problema 3, D4 obtuvo una de las soluciones (cada cangrejo tiene 10 patas puede amarrar 5 cangrejos y 5 chicharras) mediante el cálculo mental. Es importante destacar que D4 sugiere una forma de comprobación, si 1 cangrejo tiene 10 patas entonces 5 cangrejos tienen 50 patas (no ostensivo), y 1 chicharra tiene 6 patas entonces 5 chicharras tienen 30 patas (no ostensivo). Ostensivo – No ostensivo No hay representación del proceso de resolución para los problemas 2 y 3, tan solo los procedimientos del problema 1 aparecen de forma ostensiva. Extensivo –Intensivo Las operaciones aritméticas dentro del contexto de la situación problemática tienen carácter concreto (extensivo), se limitan fundamentalmente a la aplicación del cálculo mental, considerando poco los algoritmos tradicionales. D4 no generaliza ni abstrae al manejar las operaciones aritméticas. No hay vinculación de lo conceptual con lo procedimental. Unitario –Sistémico D4 manifiesta una noción elemental o unitaria de los objetos matemáticos operaciones aritméticas, ya que no está presente el aspecto formal de las operaciones y las bases conceptuales.. De igual forma, tiene una noción instrumental de este objeto matemático porque lo asocia con procedimientos algorítmicos. del tipo de cálculo mental. Ausencia de diversidad en los procedimientos de cálculos y en las formas de resolver problemas. Además de no emplear el uso de heurísticas en resolución de problemas.
72
Determinación de los Conflictos Semióticos De la información obtenida en la sección anterior (cuadros 12 al 15) se pudo
identificar ciertas constancias o invariantes, en los significados personales de los
cuatro maestros del estudio. Estas constancias son: (a) identificación no ostensiva de
las condiciones de realización del problema, (b) reconocimiento no ostensivo de las
condiciones de aplicación, (c) limitada estructuración de los problemas, se prefiriere
una aplicación directa de operaciones, y (d) aplicación inicial de una acción sin llegar
hasta el final, ni verificar la solución como respuesta a la pregunta.
Como se afirmó en el marco teórico, estos significados permiten describir los
aspectos cognitivos de las concepciones de los maestros en estudio. Estos aspectos
permitieron diseñar el cuadro 16, en el cual se resumen los atributos contextuales que
permiten identificar los conflictos semióticos entre el significado personal y el
significado institucional de referencia (ver p.58, Cap II). Los conflictos cognitivos son
susceptibles de ser modificados. Esta investigación promovió la modificación
mediante un entrenamiento alostérico, cuyo diseño se presenta a continuación.
Cuadro 16 Conflictos semióticos de los docentes develados en situaciones contextualizadas
Maestros Conflictos 1 2 3 4
El lenguaje gráfico esta ausente en sus reproducciones escritas x x x x Escaso uso del lenguaje matemático simbólico x x Resuelve de forma no ostensiva los problemas x x Escasa diversidad en la representación de conceptos x x x x Interpretación incorrecta de dos o más problemas x x Escasa estructuración de la información y las condiciones del problema x x x x Ausencia de diversidad para realizar las operaciones aritméticas ( algoritmos tradicionales) x x Ausencia de diversidad para realizar las operaciones solo se limita a usar el cálculo mental x x Resuelven los problemas de una sola forma (escasa diversidad en la resolución de problemas) x x x x No se verifica la solución, ni se cuestiona la coherencia del resultado con las condiciones. x x x x Escasa vinculación de lo conceptual con lo procedimental. x x x x Desconoce modelos y técnicas heurísticas para la resolución de problemas x x x x Escasa presencia de las prácticas discursivas x x x x Noción instrumental y elemental del objeto matemático operaciones aritméticas x x x x Limitado uso de las propiedades de los números naturales en procesos de resolución x x x x Escasa manifestación de la argumentación en los procedimientos operatorios x x x x
73
Etapa 2 de la Investigación: Diseño y Aplicación del Entrenamiento Alostérico
En este capítulo se presenta la información recogida en función de satisfacer
el segundo objetivo planteado “diseñar y aplicar el entrenamiento alostérico para
los docentes de la primera etapa de educación básica, al contextualizar contenidos
matemáticos aritméticos, partiendo de las concepciones originales detectadas en
esos docentes.
Para el diseño y aplicación del entrenamiento alostérico fueron considerados
los conflictos semióticos, detectados en el capítulo anterior, presentes en el
significado personal de los maestros con respecto a las operaciones aritméticas.
Para la estructuración del entorno didáctico que caracteriza el entrenamiento
alostérico según Giordan, se consideraron las tres fases: cuestionamiento,
elaboración y movilización, caracterizadas por la diversidad en las representaciones
conceptuales, en los procedimientos operatorios y en la resolución de problemas
que describen, según Andonegui (2005), la matemática como una disciplina donde
hay “unidad en la diversidad” (p.14).
La figura 11 (próxima página) presenta a través de un mapa mental el diseño
del entrenamiento. En primer lugar se observan las tres fases que lo caracterizan y
que permiten promover una modificación del significado personal o concepciones.
La fase de cuestionamiento se centra en crear disonancias o conflictos que
perturben las concepciones del sujeto propiciando la insatisfacción y promoviendo
su necesidad de modificarlas. Este cuestionamiento se enfoca en la ausencia de
diversidad: (a) en la representación conceptual; (b) en lo procedimental; y (c) en las
formas de resolver, tres aspectos que limitan el desempeño de los sujetos de la
investigación en cuanto al proceso de solución de problemas aritméticos.
La fase de elaboración permite a los docentes organizar la información de
diferente naturaleza que será útil como punto de anclaje para producir una nueva
estructuración del saber, es decir, para elaborar una nueva trama conceptual que
permita estructurar y contextualizar los conocimientos de tal forma que propicie la
reflexión.
74
Figura 11: Entrenamiento Alostérico: Entorno Didáctico
75
La fase de movilización, requiere que los conceptos u objetos matemáticos
en proceso de elaboración, para volverse operativos, deben ser diferenciados y
delimitados dentro de su campo de aplicación (campo de problemas) en el
transcurso del entrenamiento alostérico, para después ser consolidados por una
movilización del saber dentro de otras situaciones donde sean aplicados.
En el caso particular de esta investigación la movilización se realizó en dos
ámbitos y en momentos diferentes:
• Problemas planteados durante el entrenamiento, es decir, una vez cubiertas
las fases previas de cuestionamiento y elaboración para cada encuentro se
plantearon situaciones contextualizadas tomadas del campo de problemas
con el objeto de que el docente movilizirá sus concepciones.
• Después del entrenamiento alostérico, mediante la aplicación de una
actividad de resolución de problemas (cierre) que permitió a posteriori
analizar si hubo una eventual modificación de sus concepciones.
Una vez estructurado el entrenamiento se procedió a diseñar, en función de
este, el programa del taller para ser aplicado a las unidades de observación (véase
Anexo C, p.155).
Aunque para los efectos de este trabajo se consideró solamente las
operaciones aritméticas, en el taller se agregaron las propiedades del sistema de
numeración decimal debido a que la discusión posterior a la aplicación de la prueba
diagnóstica reveló que los docentes a pesar de aplicar correctamente los algoritmos,
no lo comprenden ni pueden argumentarlos adecuadamente, situación relacionada
con el valor de posición y en general, con este tópico.
Aplicación del Entrenamiento Alostérico
El entrenamiento se desarrollaría mediante un taller pautado para ser realizado
los viernes en ocho (8) reuniones de cuatro horas. Sin embargo, la directora del distrito
escolar del Municipio Piar expresó que la dirección estadal prohibió la realización de
cursos en horas laborables.
76
La autoridad educativa local planteó la necesidad de realizarlo los días sábado,
hecho que suscitó que los docentes de la primera etapa de la escuela Simón
Rodríguez manifestaran su escasa disposición a realizar el curso en día “no
laborable” (consideran el sábado como día consagrado a la familia, a las tareas
domésticas semanales) .
A pesar de ello, al no tener la aprobación del distrito escolar, el Taller se
planificó para desarrollarse los días sábado en horas de la mañana (8 semanas
consecutivas).
Tanto la dirección de la escuela, como el distrito escolar, se comprometieron a
brindar el apoyo institucional, de modo que los 16 docentes de la primera etapa, de
la escuela asistirían regularmente durante 8 semanas, entre las 8:00 am y la 12 m.
El taller se dictó en la sede UNEG de Upata, en un ambiente con todos los
recursos tecnológicos (buena iluminación, computador, Video Beam,
retroproyector, pizarra magnética, marcadores, papelería y refrigerios a mitad de
jornada).
Sin embargo, solo 4 de los 16 participantes asistieron (se incorporaron 3
docentes suplentes que quisieron participar).
Las actividades que conformaron las diversas fases a través de las cuales se
desarrolló el entrenamiento, relativo a la recolección de los datos, se llevaron a cabo
desde octubre de 2005 a febrero 2006.
Las previsiones consideradas para la realización del entrenamiento fueron:
Se creó un sistema de interrelación entre las unidades de observación y el objeto
de conocimiento (objeto matemático operaciones aritméticas) a partir de la
realización de una actividad matemática de resolución de problemas, siendo esta
actividad considerada como el origen genético del conocimiento matemático. En
tal sentido durante el entrenamiento para la implementación de las tres fases que
caracterizan el entorno didáctico la acción inicial consistió en la formulación de
una situación problemática escogida del campo de problemas establecido
anteriormente.
77
De esta actividad inicial de resolución de problemas realizada a los docentes, el
mediador (investigador) introdujo disonancias o cuestionamientos caracterizados
por los conflictos semióticos develados en la etapa anterior (ver cuadro 16) y que
han sido sintetizados en tres aspectos siguientes: escasa diversidad en la
representación conceptual, en lo procedimental y en las formas de resolver
problemas. De tal forma que el docente se convenza que sus concepciones no
son lo suficientemente adecuadas o son incompletas con relación al problema
tratado, y eventualmente que existen otras concepciones más operativas.
Después de la fase de cuestionamiento, se implementó la fase de elaboración
donde el docente interactuó con diversos elementos tales como: (a) V de Gowin
del significado institucional de referencia de los problemas iniciadores de las
actividades, (b) presentaciones en Power Point relacionadas con la teorización
de la resolución de problemas, (c) materiales didácticos relacionados con el
carácter sistémico del objeto matemático operaciones aritméticas: adición,
sustracción, multiplicación y división de números naturales, y (d) argumentos de
utilidades para distanciarse y reformular sus ideas. Así como también el acceso a
cierto simbolismo de fácil manipulación, que le permita organizar las
informaciones suministradas durante el entrenamiento y le sea de utilidad como
punto de anclaje para producir una nueva estructuración del saber.
Después de la fase de elaboración, se procedió a movilizar el saber dentro de
otras situaciones donde pueden ser aplicados, es decir, otros problemas que le
permitieran reagrupar de manera diferentes las informaciones articuladas,
principalmente apoyándose sobre modelos organizadores que le permitan
estructurar los conocimientos de otra forma. Estas actividades son indispensables
para mostrar a los docentes que las informaciones nuevas pueden ser aprendidas
más fácilmente cuando se integran dentro de estructuras de recepción o cuando
están en uso.
Esta secuencia de actividades se realizó durante la aplicación del entrenamiento
alostérico, específicamente en los encuentros 2 al 7 ya que el encuentro 1 fue
introductorio con respecto al taller y el 8 fue el cierre del mismo.
78
Encuentro 1 (07-10-06)
El investigador:
• Negoció la estructuración, la duración y el horario de las reuniones. Se
notificó que la temática del taller y las actividades a realizar estaban en
función del diagnóstico que habían realizado, y que la metodología se
basaba en un enfoque teórico de Giordan llamado entrenamiento alostérico,
que consistía en definir un entorno didáctico caracterizado por tres aspectos
fundamentales: cuestionamiento, elaboración y movilización que favorecen
la modificación de las concepciones de los docentes, enmarcado en la
actividad matemática de resolución de problemas aritméticos.
• Compartió y discutió con los docentes, los resultados del diagnóstico (en
cuanto a las acciones desplegadas por ellos al resolverlos).
• Abordó el enfoque cultural de la matemática, así como la importancia de
concebirla como una “diversidad en la unidad” según Andonegui (2005), de
tal manera que el taller se abordaría bajo esta perspectiva.
• Presentó y discutió la presentación en Power Point “Solución de Problemas”
(material cedido por el Prof. Cipriano Cruz, con algunas modificaciones
pertinentes), sobre los procesos y estrategias heurísticas, con énfasis en la
V de Gowin.
• Asignó dos problemas relacionados con el sistema de numeración para
ser desarrollados en forma individual por cada participante, que serían
discutidos en el segundo encuentro.
Encuentro 2 (14-10-06)
Los problemas asignados en el encuentro 1 permitieron introducir la fase de
cuestionamiento, relacionado con el tópico sistema de numeración, aunque
solamente dos maestros lo presentaron. En el anexo D-1 se muestra el proceso de
resolución, para un problema de la asignación, desarrollado por los docentes 1 y 3.
A continuación se detalla el proceso de resolución desplegado por el
maestro 1:
79
• El maestro completó la secuencia de símbolos añadiendo muecas o rayas a
partir del cuatro, cinco,…, nueve.
• Estableció una correspondencia entre los 10 dígitos que caracterizan nuestro
sistema de numeración decimal (0, 1, 2,…,9) y la secuencia de símbolos
creadas por él.
• Para representar las cantidades en el sistema de numeración del extra-terrestre
sustituyó unos símbolos por otros, por lo que el nueve (9), de acuerdo a su
respuesta , lo representó por:
Con respecto al proceso desarrollado por el maestro 3:
• Asumió que el sistema es de tipo aditivo, es decir, agregó tanto símbolos como
quiso, de tal forma que al sumarlos obtuvo el número pedido, en este caso el
nueve. ( no hay reglas para este procedimiento)
• Este procedimiento llevó al maestro a obtener diferentes formas de representar
un mismo número.
De estas acciones desarrolladas en el proceso de resolución, por los docentes 1
y 3, se desprende una serie de errores conceptuales con respecto a la noción de sistema
de numeración, errores que contribuyeron a realizar procedimientos incorrectos tales
como: (a) inadecuada representación, en ambos casos, del nueve (9) en el sistema de
numeración del extra-terrestre, (b) no se consideró que el sistema de numeración
decimal al igual que el del extra-.terrestre son posicionales, por tanto, había que
identificar las bases, (c) en el caso del maestro 1, este agregó nuevos signos en el
sistema de numeración del extra-terrestre (violentando el hecho de que en ese sistema
solo se requieren de los 4 signos dado para representar cualquier cantidad), (d) el
docente 3 consideró que el sistema de numeración del extra-terrestre es aditivo (lo
que contradice su equivalencia con nuestro sistema de numeración decimal), además
contradice el hecho de que las representaciones de los números en un sistema de
numeración pasional es única.
Esta situación permitió plantearle a los docentes una serie de interrogantes
que permitieron desarrollar la fase de cuestionamiento (c), a saber:
80
• ¿Qué aspectos teóricos se requieren para obtener una respuesta adecuada a la
situación problemática planteada?
• ¿Qué es un sistema de numeración?
• ¿Qué es un sistema de numeración posicional?
• ¿Qué elementos caracterizan un sistema de numeración posicional?
• ¿Cuál es el significado de signos, base y reglas de un sistema de numeración
posicional?
• ¿Por qué nuestro sistema de numeración decimal es posicional?
• ¿Qué características definen nuestro sistema de numeración decimal?
• ¿Qué significado tiene que el sistema de numeración decimal es de base 10?
• ¿Cómo se identifica que el sistema de numeración del extra-terrestre es de base
4 y qué significado tiene?
Esta fase permitió que los docentes 1 y 3 se percataran de lo inadecuado de su
respuesta, conjuntamente con los docentes que no realizaron la asignación y que
durante el transcurso de esta fase mostraron los mismos conflictos. De tal manera que
los docentes reconocieron que para poder obtener una respuesta adecuada, era
fundamental conocer los aspectos conceptuales que definen los istemas de numeración
posicional y, en particular, el sistema de numeración decimal como base fundamental
para la comprensión de los diferentes algoritmos que caracterizan a las operaciones
aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división de números naturales.
Luego se desarrolló la fase de elaboración, donde el investigador realizó las
siguientes actividades:
• Establecimiento de diferencias entre la serie hablada y su representación
escrita, centrándose en el concepto de número.
• Precisión de las características de un sistema de numeración posicional en
especial, del sistema decimal posicional
• Planteamiento de las características de sistemas de numeración posicionales
con bases diferentes de 10, y la necesidad de recurrir a ellas en diferentes
contextos, así como los procedimientos para expresar números en sistemas
posicionales de otras bases.
• Representación de un número decimal en cualquier orden.
81
• Planteamiento de algunos problemas con la intención de que los docentes,
mientras comparten en pequeños grupos diferentes procesos de resolución,
manifiesten sus concepciones para proceder a movilizarlas (el investigador
se desplazaba entre ellos para ir observando acciones, representaciones, y
reflexiones, así como proporcionar retroalimentación a los participantes.
El cuadro 17, de la próxima página, presenta los comentarios realizados por
los participantes y por el investigador, durante los encuentros 1 y 2.
Cuadro 17 Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 1 y 2 Comentarios de los Participantes Comentarios del Investigador • El maestro 1 expresó su inconformidad
ante la ausencia de la directora del plantel y de las autoridades del distrito escolar en el inicio del curso, expresando la importancia de este tipo de actividades, y la necesidad de participación de todos los docentes si realmente se quería mejorar la enseñanza de las matemáticas en la institución.
• Algunos participantes solicitaron realizar el taller los viernes y los sábados para terminar más rápido.
• Con respecto al diagnóstico manifestaron que el problema de los cangrejos y chicharras les había resultado el más difícil de resolver.
• Por otra parte, expresaron que no estaban acostumbrados a trabajar con este tipo de problemas y que conocían por referencias los mapas conceptuales y la V de Gowin, ya que una colega de ellos (que no asistió al taller) la trabaja con sus alumnos.
• El maestro 1 manifestó que solamente él conocía el sistema de numeración decimal y los números romanos.
• El maestro 3 expresó que nunca había trabajado con sistemas de numeración diferente al decimal y a los números romanos. Los demás docentes opinaron de manera semejante.
• El taller comenzó con algunos inconvenientes: (a) retraso en su implementación y (b) algunos docentes querían que el taller se diera los viernes y sábados, en vez de los sábados como se había dispuesto institucionalmente.
• Se generaron comentarios adversos por parte de algunos docentes que no participarían en el mismo, con respecto a que ellos no iban a sacrificar “su sábado” por la tesis de un profesor, de ahí la necesidad de aclararle que este curso no era una imposición del investigador ya que el entrenamiento era respaldado por la directora de la escuela y la dirección del distrito escolar del municipio.
• Finalmente permanecieron en el curso siete (7) docentes de los cuales solo cuatro (4) habían realizado el diagnóstico.
• Toda esta situación conlleva a reflexionar sobre “lo complicado de trabajar con docentes”, y el hecho ” de dedicar horas extras” es considerado un sacrificio que muy pocos están dispuesto a realizar.
• Solo dos maestros trajeron los problemas asignados, aunque incorrectos.
• Las asignaciones iniciales (encuentro 1), permiten deducir que se desconocen las características que definen un sistema de numeración posicional (existencia de una base, valor posicional y reglas), lo que impidió que resolvieran correctamente los problemas asignados.
• Cuando se les planteó que representarán una cantidad de un orden a otro, no supieron hacerlo.
• Cuando se les preguntó ¿cuántas decenas había en la cantidad 269? Respondieron que 6, lo que denota que confunden la representación en cualquier orden el valor posicional.
• A los docentes se les hizo difícil representar cantidades de base 10 (decimal) a otra base 2, 3,4, etc.
82
Encuentros 3 y 4 (21-10-06 y 28-10-06)
Se inició el tercer encuentro con una introducción de la temática a tratar:
adición y sustracción de números naturales. Para provocar disonancias, se planteó
una actividad matemática, tomada del Banco de Problemas del CENAMEC
(problema 1, tercer grado), como iniciador del proceso de cuestionamiento. En el
Anexo D (P.158-161) se muestran las V de Gowin correspondientes al problema 1,
con las respuestas desarrolladas por los maestros 1, 2, 3 y 4 respectivamente.
Tal como se observa, el docente 1 fue el único que resolvió el problema de
dos formas distintas, los demás maestros presentaron inicialmente dificultad para
resolver el problema, después con la intervención de su compañero (maestro 1) se
percataron de la forma como debían abordar su solución y obtuvieron su respuesta
correcta. La representación de su respuesta en la V de Gowin también permite
apreciar la concepción que tienen los docentes sobre “los aspectos conceptuales en
los procesos de resolución de problemas no son importantes”: pareciera que
resultaran innecesarios, a pesar de haberse enfatizado (en la asignación anterior)
que el empleo de estos aspectos proporciona mayor seguridad en el proceso a
seguir, y en la obtención de la respuesta adecuada. Esto reafirma lo estable y difícil
que es modificar una concepción ya arraigada como pareciera que es la no
consideración de los aspectos teóricos en procesos de resolución de problemas (“la
matemática no se estudia, solo se practica, forma parte del refranero estudiantil
local”).
De este proceso de resolución del problema 1 desarrollado por los docentes, se
tomaron insumos para iniciar con la fase de cuestionamiento, enfocado en los
criterios de diversidad establecidos anteriormente: (a) en la representación de
conceptos, (b) en los procesos procedimentales y (c) en las forma de resolver
problemas.
Para la fase de cuestionamiento, se plantearon las siguientes interrogantes:
• ¿Qué objetos matemáticos aritméticos están presentes en su actividad de
resolución?
• ¿Qué tipo de problema aritmético es?, de una sola etapa o de varias etapas
(con dos condiciones de realización de la acción)
• ¿Existe otra manera de resolver las operaciones presente?
83
• Las propiedades de las operaciones aritméticas las podemos involucrar en el
proceso de resolución, ¿de qué manera y para qué?
• ¿Cómo podemos realizar otro tipo de representación?, por ejemplo, el uso
del lenguaje gráfico
• ¿Existen otras formas de resolver el problema?
• ¿Cómo podemos estar seguro que la respuesta de nuestro problema es la
adecuada?
• ¿Es importante argumentar las acciones realizadas?
Para las fases de elaboración (e) y movilización (m), en estos encuentros:
• Se promovió en los docentes la técnica heurística V de Gowin, para la
resolución de problemas, en por lo menos dos formas diferentes.
• Se presentaron diversas formas de representación para las operaciones de
suma y resta de números naturales: matemático-mixto, verbal y gráfico (e).
• Se plantearon y discutieron diversos procedimientos de cálculo para estas
operaciones: algoritmo tradicional, cálculos por disociación, cálculo mental,
tabla de cien, etc (e).
• Se suministró información sobre problemas de varias etapas, que Godino
(2003) define como situaciones problemáticas contextualizadas donde están
involucradas más de una operación aritmética o combinaciones de ellas.
• Se discutieron diversas estrategias y procedimientos de búsqueda
sistemática de vías para acceder a soluciones, y la selección de procesos
que conduzcan a ellas (e).
En la próxima página, aparece el cuadro 18 que muestra algunos
comentarios y opiniones emitidas por los participantes, durante los encuentros 3 y
4; que también recoge las observaciones del investigador después de finalizados los
encuentros.
Transcurridos los cuatro (4) primeros encuentros del entrenamiento, se
realizaron algunas reflexiones. En primer lugar, la asistencia de los participantes fue
irregular (la dirección de la escuela y la jefatura del distrito escolar se
desentendieron del taller, a pesar de que hubo un compromiso previo). De igual
forma, la negativa de muchos docentes de “sacrificar su día sábado” por asistir al
taller de matemáticas, generó mucha discusión y malos entendidos que el
84
investigador se vio en la necesidad de aclarar. No obstante a pesar de este tropiezo
inicial, se desarrollaron las cuatro reuniones de cuatro horas cada una, equivalente a
16 horas de entrenamiento. Durante ellas, la participación de los maestros no fue
activa, pareciera que tuvieran temor a equivocarse en sus apreciaciones o a mostrar
algunas carencias. A pesar de que el investigador procuró motivarlos en todo
momento, reiterando que este entrenamiento parte precisamente de los conflictos
semióticos, para tratar de propiciar una modificación de sus concepciones en
función de no cometerlos y proyectar mejores aprendizajes en sus alumnos.
Cuadro 18 Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 3 y 4
Comentarios de los Participantes Comentarios del Investigador
El maestro 1 vuelve a reflexionar en torno a la escasa participación de los colegas, entre otras cosas expresó que para poder implementar cambios en la enseñanza de las matemáticas en la escuela era necesaria su presencia, lamenta que la directora del plantel no haya podido ejercer el liderazgo. Él piensa que los cambios no se pueden dar de forma puntual o aislada.
En este sentido los demás docentes comentan que ellos están realizando el taller porque les interesa corregir ciertas fallas, pero como ellos trabajan por objetivos y son supervisados, es difícil implementar cambios por si solos.
Una vez finalizada la sesión 4, la maestra 3 le expresa al investigador que la clase anterior se le hizo difícil, que le agradó más lo relacionado con las operaciones de suma y resta.
El maestro 1 comenta al investigador “que los docentes no quisieron hacer el curso por temor a mostrar sus deficiencias, que si hubiera sido un curso de corte y costura el salón estuviera lleno”.
El encuentro anterior permitió corroborar por que los docentes se apoyan ciegamente en los algoritmos tradicionales para la suma y resta, sin necesariamente comprender el sistema de numeración decimal y sus principios.
Cuando se planteó los problemas de varias etapas para resolverlos en clases, los sujetos a excepción del maestro 1, se mostraron inseguros (no se sentían a gusto cuando se les pedía que lo resolvieran por diferentes vías), al parecer les costaba pensar en otras formas de obtener la solución.
Se observó que, ante la demanda de resolver problemas usando la V de Gowin, les costaba mucho considerar los aspectos conceptuales, como si no fuesen necesarios.
La falta de respaldo por parte de la dirección del plantel obligó al investigador a reajustar el entrenamiento, entre otras decisiones, no se asignó tareas para la casa ya que no se cumplían.
85
Sin embargo, el maestro 1 ha sido el más activo con diversas intervenciones, y
diligente en cuanto a la realización de los problemas planteados. Por último, es
claro que exista aprensión por parte de ellos debido a que no están familiarizados
con actividades de aprendizaje activas, menos aún de participar en grupos de
aprendizaje colaborativo, además de no haber desarrollado habilidades y destrezas
en la resolución de problemas en su formación básica, media y profesional.
Encuentro 5 y 6 (4-11-06 y 11-11-06)
Se iniciaron estos encuentros con una introducción de la temática a tratar:
multiplicación y división de números naturales. Se planteó el problema 26, como
actividad iniciadora de la fase de cuestionamiento, del campo de problemas
asociado al significado institucional de referencia (Banco de problemas
CENAMEC).
En el Anexo D-6 (p.162) se muestra la V de Gowin del problema 26,
realizada por el maestro1, que permite observar las prácticas discursivas y
operativas puestas de manifiesto en la resolución de problemas aritméticos de varias
etapas (con dos condiciones de realización de la acción), sin embargo, se observa
que la respuesta no es adecuada ya que el docente considera solo una condición de
realización de la acción (paquetes de 100 hojas).
De igual forma, se sigue manifestando el escaso uso de la diversidad en la
representación de conceptos, en los procedimientos de cálculo y en las formas de
resolver problemas. Así como también el maestro1 no considera el elemento
conceptual en el desarrollo de la V de Gowin.
De manera análoga los restantes docentes presentaron los mismos
conflictos. Esta situación, ha obligado al investigador a centrarse fundamentalmente
en las fases de cuestionamiento y elaboración.
Por tanto, para la fase de cuestionamiento se sigue manteniendo el mismo
esquema de interrogantes utilizadas en los encuentros 3 y 4 pero adaptadas a las
operaciones de multiplicación y división de números naturales.
86
A continuación se presentan las actividades realizadas en estos dos
encuentros (fase de elaboración):
• Discusión entre participantes y facilitador, relacionado con la diversidad en
las representaciones de los objetos matemáticos multiplicación y división de
números naturales (e).
• Intercambio de ideas en relación con la diversidad en los procedimientos de
cálculo: algorítmico tradicional, por disociación, mental, u otros (e), así
como las múltiples estrategias de búsqueda que pueden emplearse.
Estas actividades aparecen comentadas en los cuatros respectivos. Sin
embargo, se puede notar que los procesos de resolución de los problemas y sus
conflictos semióticos se siguen manteniendo en el tiempo.
Cuadro 19 Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 5 y 6
Comentarios de Participantes Comentarios del Investigador
Dos docentes comentaron que cuando estaban entrando a la escuela escucharon “la cantaleta” de sus colegas cuando enseñan a sus alumnos las operaciones aritméticas. Por ejemplo, “siete más ocho son quince, pongo el cinco y llevo uno”, etc. La maestra 3 expresó una inquietud en cuanto a su quehacer docente y la resolución de problemas: “no se como discriminar los problemas aritméticos acordes con el nivel de primer grado”.
El maestro 1 trata de resolver los problemas por diversas vías, usa la V de Gowin aunque no enfatiza el aspecto conceptual.
Los maestros 2 y 3, se centran en obtener una sola respuesta, les cuesta plantearse otra alternativa de solución. No usan la V de Gowin de forma espontánea sino por pedido del investigador.
El maestro 4 trata de resolver los problemas, espera la intervención de sus compañeros para orientarse en la búsqueda de una respuesta.
Una maestra que no forma parte de las unidades de observación mostró interés por el uso de la V de Gowin, y siempre recordaba la importancia de ver las matemáticas como una diversidad en la unidad, tal como se había señalado en el primer encuentro.
• Se planteó la necesidad de utilizar la V de Gowin como técnica heurística para
la resolución de problemas de tipo multiplicativo.
87
Encuentros 7 y 8 (25-11-06 y 9-12-06)
Los encuentros se iniciaron con una introducción de la temática a tratar:
resolución de problemas multiplicativos aplicando otros recursos aritméticos, como las
fracciones equivalentes, para enfocar la diversidad en los procesos de resolución de
problemas, aplicando diferentes elementos conceptuales y operadores. Se emplearon
elementos concretos y juegos, siempre en el contexto de problemas por resolver. Se
generó una reflexión final entre de los participantes y el investigador, respecto a la
resolución de problemas, su enseñanza en el aula y la necesidad de promover el
desarrollo de la habilidad para resolverlos. Se plantearon los problemas 17 y 28 del
campo de problemas asociados al significado institucional de referencia. Como
iniciador de disonancias en el proceso de cuestionamiento (c) y movilización (m), se
realizaron las actividades:
• Empleo de la V de Gowin y diferentes estrategias de búsqueda, resolución de
los problemas escogidos.
• Análisis de la diversidad conceptual, la diversidad en los procedimientos de
cálculo y en la resolución de problemas, con el objeto de valerse de diferentes
formas de representar objetos matemáticos.
• Ejercitación de esta diversidad mediante juegos matemáticos (memoria y
rompecabezas) con contenidos relacionados con las operaciones aritméticas
multiplicación, división y fracciones. Esta actividad respondió al
planteamiento de los docentes de la posibilidad de realizar un pequeño
entrenamiento en cuanto al manejo de juegos matemáticos (a pesar de que esta
actividad no estaba estipulada en el taller), por lo que se manejaron, siempre
enfocados como problemas.
• Cierre del taller, con la intervención del investigador y de los participantes. El
escaso compromiso de los docentes con respecto al entrenamiento, alentado
por el bajo número de participantes y la ausencia de colaboración de la
dirección de la escuela y la jefatura escolar, contribuyó a que algunos
encuentros se difirieran por la inasistencia de ellos. De tal forma, que el cierre
produjo comentarios poco significativos para los objetivos de esta
investigación. El cuadro 20 complementa esta información con algunos
comentarios y opiniones del investigador.
88
Cuadro N° 20 Comentarios relacionados con las actividades realizadas en los encuentros 7 y 8
Comentarios del Investigador La semana pasada solamente asistió la docente que no pertenece a las unidades de observación que se menciona anteriormente. De tal manera que no se pudo dar el encuentro.
De nuevo vuelven los temores en cuanto a la continuidad del curso, esto realmente es decepcionante. Se siente que los docentes no los mueve el deseo de aprender, de adquirir conocimientos más sólidos que le permitan mejorar la enseñanza de las matemáticas en su salón de clases.
Parece ser que los maestros conciben el taller como una actividad más, simplemente se trata de asistir pero sin una actitud para aprender.
En vista de esto, no se planteó problemas para resolverse, se decidió mostrar información y cuestionar algunos procedimientos típicos en que incurren los docentes. Se trató de motivarlos y de crear conciencia en cuanto a la necesidad de mejorar sus conocimientos, y por ende su labor docente.
La última reunión no se dio la semana pasada debido a la ausencia de los docentes. Solamente asistió la misma maestra ya mencionada. Fue necesario reprogramarla.
A estas altura ya no se podía esperar más nada, el animo esta por el suelo. Se Siente que el entrenamiento alostérico no se ha realizado como se diseñó, demasiados obstáculos se han presentado. No había disposición por parte de los sujetos de la investigación para comprometerse con el taller. Sin embargo, en la despedida, hubo agradecimientos por parte de los participantes y del investigador. Ha quedado un sabor amargo de la experiencia.
Se les solicitó un último compromiso de su parte, a mediados de enero, después de vacaciones, se realizará el cierre
Al final, se les entregó un CD con todas las disertaciones, un programa para elaborar mapas conceptuales, el material de didáctica para maestros de Godino y el campo de problemas de tercer grado del CENAMEC resueltos mediante la V de Gowin.
Por último, los cuadros 21 y 22 resumen en categorías con su respectiva
interpretación, información relacionada con el uso de la herramienta heurística V de
Gowin y el resultado de las observaciones de los encuentros respectivamente, durante
el entrenamiento alostérico.
89
Cuadro 21. Resultados con respecto al uso de la V de Gowin durante el entrenamiento
Categorías Interpretación
Concepción Previa Aceptación de esta herramienta Motivación
Ausente, no han trabajado herramientas heurísticas o esquemas que favorezcan la resolución de problemas. El docente 1 ha tenido referencias de la V de Gowin. Los docentes utilizan la V a petición del investigador, pero sin tomar en cuenta los aspectos conceptuales, ellos están interesados en los procesos algorítmicos y la obtención de resultados, más que en el proceso estructurante de la herramienta. Tienden a considerarla de poca utilidad práctica para los procesos de resolución de problemas ya que no proporciona estrategias que ayuden a obtener una respuesta. Quizás por esto no se sienten motivados a usarla de manera espontánea
Las conclusiones que se desprenden de la categorización anterior son las siguientes:
1. La aceptación y uso, por parte de los docentes, de la herramienta heurística V de
Gowin en la resolución de problemas, requiere de la toma de conciencia de la
importancia de conceptos, relaciones en las operaciones involucradas, de modo
que se dé un proceso reflexivo de incorporar los aspectos conceptuales a las
operaciones. Es decir, para que se desarrollen las habilidades para resolver
problemas en los maestros, necesariamente han de considerarse los conceptos y
relaciones que avalan un procedimiento de cálculo.
2. El docente reconoce la ubicación de los elementos constitutivos (pregunta central,
acontecimientos, ala teórica y ala metodología), sin embargo, tiende a ubicarse en
el ala metodológica (descuidando los aspectos conceptuales). Además se le
dificulta realizar transformaciones de la información fundamentalmente cuando se
trata de problemas con dos condiciones de realización de la acción.
90
Cuadro 22
Resultados de las observaciones durante el entrenamiento
Categorías Interpretación
Ambiente de las actividades Interés por la tarea Uso de la V de Gowin Resolución de problemas aritméticos
Significado Personal (Concepciones)
Propicio para desarrollar el taller, ambiente agradable, recursos tecnológicos disponibles, buena iluminación. Por ser docentes de la misma institución, buen trato con el investigador (facilitador) existió buen ambiente afectivo El docente 1 se mostró más proactivo, los demás esperaban las sugerencias de este maestro o la del facilitador para tratar de resolver el problema planteado. Bajo el requerimiento del facilitador, no de forma natural a excepción del docente 1. Dificultad para trasformar información matemática: (a) concepciones previas memorísticas y mecanizadas, (b) débil estructura conceptual, (c) escasa diversidad en procedimientos de cálculo, (d) ausencia de estrategias para el procesamiento de la información, y (e) poco habituado a buscar explicaciones con el marco teórico referencial lo que redunda en ausencia de argumentaciones. El lenguaje es de tipo matemático simbólico y mixto, es decir, simbólico para los procedimientos de cálculo y verbal para expresar la respuesta. Hay ausencia del lenguaje Gráfico. Con respecto, a las prácticas operativas, los docentes presentaron dificultad para resolver problemas aritméticos contextualizados de varias etapas, con dos condiciones de realización; las acciones desarrolladas por los docentes se enfocan en la obtención de un resultado a través de un proceso algorítmico tradicional. Con respecto a las prácticas discursivas, hay escasa presencia de las mismas ya que los docentes se centran en los procedimientos de cálculos.
En la próxima etapa de la investigación, se procederá a caracterizar el
significado personal de los docentes en un segundo momento de la fase de
movilización, mediante una actividad de cierre de resolución de problemas que
permita aproximar sus concepciones sobre el objeto matemático operaciones
aritméticas.
91
Etapa 3 de la Investigación: Caracterización del Significado Personal al final del Entrenamiento Alostérico
En esta sección se presenta la información recogida en función de satisfacer el
tercer objetivo planteado “Caracterizar las concepciones de los docentes acerca de
los objetos matemáticos aritméticos al final del entrenamiento alostérico a que
fueron expuestos”. Para esta caracterización, se detallan, apoyándose en diferentes
cuadros, las categorías establecidas en el marco teórico para describir el significado
personal, como indicador empírico de las concepciones, de los docentes en estudio
con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas.
Para ello se utilizó el mismo procedimiento que en la etapa 1, es decir, se
realizó un ASOMA a las producciones escritas de los maestros, obtenidas cuando
realizaron una actividad final (cierre) de resolución de problemas. En este caso se
plantearon tres (3) ejercicios: 14, 31 y 36, seleccionados del “Campo de
problemas” asociado al significado institucional de referencia. Se hizo énfasis en
problemas aritméticos de varias etapas con dos condiciones de realización de la
acción, ya que se detectó en el diagnóstico y durante el entrenamiento que los
docentes presentaban mayores dificultades para resolverlos. La actividad de cierre
estaba pautada para realizarla la segunda semana de enero, pero esta se fue
aplazando varias veces, ya que los sujetos de la investigación alegaban diferentes
causas que impedían su realización, finalmente se realizó el miércoles 22-02-06 a
las 9:00 a.m., en una novena reunión concertada con anticipación.
Antes de proceder a describir el significado personal de los docentes con
respecto a los tres problemas de la actividad final (cierre), las figuras 12, 13 y 14
muestran por medio de la V de Gowin el significado institucional de referencia
asociado a ellos La figura 12 muestra el significado institucional de referencia del
problema 1, la representación de la solución mediante la V de Gowin permite
describir las prácticas discursivas y operativas articuladas por el lenguaje en
consonancia con la diversidad en lo conceptual, procedimental y en el proceso de
resolución de problemas.
92
Problema 1: En el patio de la escuela juegan 480 niños; al sonar el timbre se colocan en fila de a 20. Si las niñas se colocan en 8 filas, ¿Cuántas filas hay de varones?
CONCEPTUAL METODOLOGÍA
Matemático Simbólico Matemático Mixto (Simbólco – Verbal) Verbal, Gráfico
Lenguaje
- 480 niños - fila de a 20 - 8 filas de niñas
¿Cuántas filas hay de varones?
* Patio, juegan * Género: Hembras, varones * timbre, sonido * Filas * Adición de números naturales * Sustracción de números naturales *División de números naturales * Multiplicación de números naturales * Propiedad conmutativa para la adición Y el product
* No conmutatividad para la sustracción
filas de a 20 8 filas de niñas Alternativa 1 : Como cada fila de las 8 filas de niñas , está formada por 20 niñas Se tiene que: 20 niñas + 20 niñas + 20 niñas + 20 niñas + 20 niñas + 20 niñas +20 niñas + 20 niñas = 160 niñas en total. Como en la escuela hay 480 niños de ambos sexos, entonces restándole la cantidad de niñas Se obtiene la cantidad de niños varones: 480 niños – 160 niñas = 320 varones. (Argumento) Repartiendo la cantidad de varones entre el número de niños por fila se obtiene: 320 varones / 20 varones por filas = 16 filas Alternativa 2: Se quiere agrupar 480 niños en filas de a 20, para esto dividimos: 480 / 20 = 24 filas Ahora como hay 8 filas de hembras, restando el total de filas con el número de filas de hembras se obtiene La cantidad de filas de varones: (Argumento) Total de filas de varones = total de filas – número de filas de hembras = 24 – 8 = 16 Hay 16 filas de varones. Alternativa 3: Usando fracciones parciales
48024...
40010
1809
1608
1407
1206
1005
804
603
402
201
==========
En 8 filas hay 160 niñas, en 16 filas hay 320 varones. Ya que 160 hembras + 320 varones = 480 niños Por tanto, hay 16 filas de varones. Otra forma, restando el total de filas de y el número de filas de hembras Total de filas de varones = 24 filas de niños – 8 filas de hembras = 16 filas de varones
Conceptos
Propiedades
Situación-Problema
Acciones
Figura 12: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 1 (Cierre)
93
Con respecto a las prácticas discursivas, se tienen las siguientes
consideraciones: (a) se observan conceptos concretos relacionados al ámbito escolar
como patio, juegan, niños, hembras, varones y timbre; conceptos aritméticos como
suma, resta, multiplicación y división de números naturales, (b) en cuanto a las
propiedades, se tiene el uso de fracciones equivalentes, las propiedades conmutativa
para la suma y multiplicación de números naturales y la no conmutatividad para la
resta, (c) los argumentos presentes en dicha resolución son inductivos y de
comprobación. Relacionado con las prácticas operativas, la situación problemática
es de combinación de dos o más operaciones (varias etapas). Para las acciones, la
alternativa 1 se orienta en calcular mediante sumas el total de niñas que hay en 8
filas (160 niñas), para luego determinar el número de varones (320 varones) y
dividir entre 20, lo que permite obtener la cantidad de filas de varones. Para la
alternativa 2 el procedimiento consiste el dividir la cantidad de niños (480 niños)
entre el número de niños por filas (20 niños) para obtener el total de filas de a 20, en
este caso son 24 filas, para luego restar este resultado con el número de filas de
hembras y así obtener el número de filas de varones. Para la alternativa 3 se partió
de la fracción 1/20 (1 fila tiene 20 niños) generando fracciones equivalentes (al
multiplicar por 2, 3,…,24). Se deduce, restando 24-8 o contando desde 9 hasta 24,
que el número de filas de varones que hay es de 16. Respecto al lenguaje, la figura
12 muestra que la V de Gowin está impregnada del lenguaje matemático simbólico
(notaciones), matemático mixto (términos y expresiones aritméticas) y verbal
(expresiones contextualizadas).
La figura 13, de la próxima página, presenta el significado institucional del
problema 2, mediante la V de Gowin, en ella se manifiesta la diversidad tanto en lo
conceptual, procedimental y en la resolución del problema. Las prácticas
discursivas, vienen dadas por: (a) conceptos contextualizados como lápices de
colores o creyones y cajas de lápices; conceptos aritméticos como suma, resta y
multiplicación de números naturales, y fracciones equivalentes, (b) propiedades
como la generación de fracciones equivalentes a partir de la fracción 1/12 (1 caja de
12 lápices) y 1/18 (1 caja de 18 lápices), (c) argumentos de tipo inductivo y de
comprobación.
94
Problema 2: Carlos necesita guardar sus lápices de color, que son menos de 100, en cajas donde caben 12 y 18 creyones. Prueba con
las cajas de 12 y le quedan 6 creyones fuera. Intenta con las cajas de 18 y logra colocarlos todos.¿Cuántos creyones tiene Carlos?
Conceptual Metodología
Situación-Problema
Figura 13: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 2 (Cierre)
Lenguaje
- Los creyones son menos de 100 - Cajas de 12 y 18 creyones - Con cajas de 12 le sobran 6 - Con cajas de 18 no sobran
¿Cuántos creyones tiene Carlos?
*Lápices de color, creyones, cajas *Adición y sustracción de números naturales * Multiplicación de números naturales *Fracciones equivalentes (Propiedades)
Alternativa 1:
907254361818 de creyones de N 968478604836241212 87654321
°° decreyonesdeN
Cajas :
36 –12 = 24 no cumple la condición 36 – 24 = 12 no cumple la condición 36 – 36 = 0 creyones. No cumple la condición 54 – 12 = 42 creyones. No cumple la condición 54 – 24 = 30 “ “ 54 – 36 = 18 “ “ 54 – 48 = 6 creyones. Cumple las condiciones. Es decir, con 3 cajas de creyones de 18 no sobran y con 4 cajas de creyones de 12 sobran 6. Esto significa que Carlos tiene 54 creyones. 90 - 84 = 6 creyones. Cumple las condiciones. Es decir, con 5 cajas de 18 no sobran y con 7 cajas de 12 sobran 6 creyones (Argumento). Por tanto, se tienen dos soluciones que cumplen las condiciones: Carlos tiene 54 creyones o Carlos tiene 90 creyones. Alternativa 2: Procediendo de forma opuesta, partiendo de las cajas de 12: (Argumento) 7 cajas de 12 ⇒ 84 + 6 =90, lo que equivale a 5 cajas de 18 creyones. Por tanto, Carlos tiene 90 creyones. 4 cajas de 12⇒ 48 + 6 = 54, lo que equivale a 3 cajas de 18 creyones. Por tanto, Carlos tiene 54 creyones. Alternativa 3: Por fracciones equivalentes
Cajas de 12: 968
847
726
605
484
363
242
121
=======
Cajas de 18: 905
724
543
362
181
====
Conceptos
Acciones
Matemático Simbólico Matemático Mixto (Simbólco – Verbal) Verbal, Gráfico
95
Las prácticas operativas, figura 13, caracterizada por situación problema de
varias etapas con dos condiciones de realización de la acción, y las acciones que se
describen a continuación. Para la alternativa 1 se ordena en forma de tabla, en
columnas para el número de cajas y en filas para la cantidad de lápices de 12 y 18.
Se chequea la diferencia entre la cantidad de lápices de 18 y 12, si esta diferencia
es de 6 y el total de lápices es menor que 100 entonces el número de cajas de 18 y
12 cumplen las condiciones de realización de la acción. En la alternativa 2, contraria
a la alternativa 1, a la cantidad de lápices para el número de cajas de 12 se le suma 6
y si el resultado coincide con la cantidad de lápices para el número de cajas de 18,
entonces se cumple las condiciones de realización de la acción. Relacionado con la
alternativa 3, se procedió a generar las fracciones equivalentes de las fracciones
1/12 y 1/18 para las cajas de 12 y 18 creyones respectivamente, para
posteriormente chequear las condiciones de realización de la acción. Con respecto
al lenguaje, la figura 13 muestra que la V de Gowin de la solución del problema 2
está impregnada del lenguaje matemático simbólico (notaciones), matemático mixto
(términos y expresiones aritméticas), verbal (expresiones contextualizadas) y
gráfico mediante la presentación de una tabla que cumple una función instrumental
ya que a partir de ella se pueden deducir las respuestas correctas.
La figura 14 presenta el significado institucional de referencia para el
problema 3. Con respecto a las prácticas discursivas, se observa que hay conceptos
concretos relacionados con la jardinería: jardinero, plantas, abono y bolsas;
conceptos aritméticos como medidas de peso en kilogramos, multiplicación y suma
de números naturales. Esta presente, de manera implícita, la propiedad conmutativa
para la suma de números naturales cuando se suma, indistintamente el orden, la
cantidad de kilogramos para el número de bolsas respectivo. Con respecto a los
argumentos, estos son de tipo inductivo y de comprobación. En cuanto a las
prácticas operativas, las acciones, la alternativa 1 se centran en la construcción de
una tabla en columnas para el número de bolsas y sus respectivos pesos en
kilogramos, permitiendo chequear las respuestas que satisfacen las condiciones de
realización de la acción (12 bolsas de 10 kg y 15 kg para un peso total de 145 kg).
96
Problema 3: Aníbal, el jardinero, necesita 145 kilogramos de abono para las plantas. Compra 12 bolsas, algunas contienen 15
kilogramos, las otras contienen 10 kilogramos, ¿cuántas bolsas de cada tipo compra Aníbal?
CONCEPTUAL METODOLOGICA
Lenguaje
¿Cuántas bolsas de cada tipo compra Aníbal?
*Jardinero, abono, plantas *Medidas de peso (kilogramos) *Bolsas *Adición de números naturales *Multiplicación de números naturales *Propiedad conmutativa de la adición
Alternativa 1: Por tanteo, supongamos que se tienen: Argumento
Bolsas (10 kj) (15 kg) 1 10 15
2 20 30 3 30 45
4 40 60 5 50 75 6 60 90 7 70 105 8 80 120 9 90 135 10 100 150 Alternativa 2: Partiendo de las bolsas de 15 kg (considerando los múltiplos de 5): 135 + 10 = 145, 105 + 40 = 145, 75 + 70 = 145, 45 + 100 = 145, 15 + 130 = 145 Por tanto, hay diferentes opciones que satisfacen la condición de 145 kg son: (9, 1), (7, 4), (5, 7), (3, 10) y (1, 13) bolsas de 15 kg y 10 kg respectivamente. De estas alternativas hay una que solo satisface la otra condición de que sean 12 bolsas. Por lo que la solución viene dada por: 5 bolsas de 15 kg y 7 bolsas de 10 kg. Alternativa 3:
Anibal compra 7 bolsas de 10 kg y 5 bolsas de 15 kg
- Necesita 145 kilogramos de abono - Compra 12 bolsas que contienen - algunas 12 y 10 kilogramos
Hay algunas alternativas que cumplen la condición de 145 kg: 1 bolsa de 10 kg y 9 bolsas de 15 kg (10 kg + 135 kg = 145 kg) 4 bolsas de 10 kg y 7 bolsas de 15 kg (40 kg + 105 kg = 145 kg) 7 bolsas de 10 kg y 5 bolsas de 15 kg (70 kg + 75 kg = 145 kg) 10 bolas de 10 kg y 3 bolsas de 15 kg (100 kg + 45 kg = 145
Conceptos
Propiedades
Acciones
Matemático Simbólico Matemático Mixto (Simbólco – Verbal) Verbal, Gráfico
Figura 14: V de Gowin del Significado Institucional de Referencia del Problema 3 (Cierre)
Situación-Problema
97
Para la alternativa 2, figura 14, las acciones se inician seleccionando las bolsas
de 15 kg cuyo peso total termine en cinco 5, ya que se puede determinar la cantidad
de bolsas de 10 que al sumarse con estas se satisface una de las dos condiciones de
realización de la acción (145 kg), de aquí es fácil chequear la respuesta que satisface la
otra condición de realización (12 bolsas). Para la alternativa 3 las acciones vienen
dadas por el carácter instrumental de la tabla que permite chequear de manera visual la
respuesta que satisface las dos condiciones de realización de la acción.
Por último el lenguaje presente y que articula las prácticas discursivas y
operativas está caracterizado por el lenguaje matemático simbólico y mixto, verbal y
gráfico.
Resultados de la Actividad de Cierre
A continuación se muestran los cuadros desde el 23 hasta el 31, que recogen el
ASOMA realizado a las producciones escritas de los maestros como resultado de la
aplicación del postest, acerca del objeto matemático operaciones aritméticas.
El cuadro 23 relacionado con el primer problema, muestra que el maestro 1 usa
el lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones de sustracción,
multiplicación y división de números naturales, el lenguaje matemático mixto
(simbólico y verbal) lo utiliza para escribir las relaciones y las restricciones del
problema a resolver.
Es importante destacar que este docente trata de representar la V de Gowin, pero
sin considerar correctamente su estructura y elementos que la conforman.
En relación, con las prácticas operativas, el maestro 1 presentó dificultad para
resolver el problema, al no aplicar correctamente los algoritmos de la división y
sustracción de números naturales.
Las prácticas discursivas, no se manifiestan en su reproducción escrita, es decir,
no están presentes de forma ostensiva los conceptos, propiedades y argumentos.
98
Cuadro 23. ASOMA del problema 1 para el maestro 1
Problema 1. En el patio de la escuela juegan 480 niños; al sonar el timbre se colocan en fila de a 20. Si las niñas se colocan en 8 filas. ¿Cuántas filas hay de varones?
Maestro 1
Análisis Semiótico
Prácticas operativas Lenguaje Prácticas discursivas Situaciones: No identifica el tipo de problema Acciones: Estructuración de los datos del problema. Multiplicación de números naturales. Resta de números naturales División de números naturales
Términos y Expresiones: Niños, fila, filas, varones. Notaciones: Números naturales, -,=, ÷, x Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones (Ostensivo) Lenguaje Matemático mixto para expresar las relaciones y restricciones (Ostensivo)
Conceptos: Noción elemental e instrumental de la sustracción, multiplicación y división de números naturales (No ostensivo) Propiedades: Ausente
Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
U4
U5
Representa la información suministrada por el problema (datos). Escritura de conceptos cotidianos. Divide el total de niños 480 entre 20 y obtiene 240. Luego divide este resultado entre 8 y obtiene 30. Específica que el resultado incorrecto 240, se refiere a la cantidad de filas de 20 que forman los 480 niños. Además de determinar la cantidad de niñas que conforman las 8 filas. Resta la cantidad de filas 240 y la cantidad de niñas, obteniendo 80.
Estructuración completa. Las 8 filas son niñas no de niños.(hay cierta confusión con esta información) El resultado de la división es incorrecto, es 24 .El otro resultado obtenido es correcto, pero el valor obtenido 30 no reseña a que entidad representa (niñas, niños, filas). Hay dificultad para identificar el tipo de situación. No específica que representa el número 30 que obtuvo en la unidad U3 Operación incorrecta ya que resta entidades de diferente naturaleza. Razonamiento incorrecto.
99
Cuadro 24
ASOMA del problema 2 para el maestro 1
.
Problema 2. Carlos necesita guardar sus lápices de color, que son menos de 100, en cajas donde caben 12 y 18 creyones. Prueba con las cajas de 12 y le quedan 6 creyones fuera. Intenta con las cajas de 18 y logra colocarlos todos ¿cuántos creyones tiene Carlos?
Maestro
1
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas
Situaciones: Identifica el tipo de problema Acciones: Estructuración de los datos del problema. Adición de números naturales. División de números naturales.
Términos y Expresiones: Lápices, cajas, docenas, docenas y media, sobran, todos, creyones, colores Notaciones: Números naturales, +, -, =, ÷ Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta.
Conceptos: Noción elemental e instrumental de la adición de números naturales. (No ostensivo) Propiedades: Ausente
Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
U4
U5
Representa la información suministrada por el problema Escritura de conceptos cotidianos. Asocia las relaciones 12 lápices con una docena, 18 lápices con docena y media (No Ostensivo) Representa la división de 100 entre 18 sin colocar el resultado. Esta división no es exacta. Representa en filas la relación entre cajas de 18 y cantidad de lápices, obteniendo que 5 cajas tienen 90 lápices. Expresa que hay 5 cajas de 18 creyones y un total de 90 colores.
El docente estima la mayor cantidad de lápices, no mayor que 100, que entran en cajas de 18. Para esto determina de manera implícita, en primer lugar el número de cajas 5 (parte entera de 5,5). De igual forma, multiplica implícitamente número de cajas por colores y luego verifica el resultado mediante la suma. Solución correcta. Pero no verifica que para las cajas de 12 colores sobran 6 creyones, ni considera otra posible solución.
100
El cuadro 24, página anterior, presenta el análisis semiótico del problema 2
realizado a las reproducciones escritas del maestro 1, donde emergen los objetos
matemáticos suma, multiplicación y división de números naturales. El docente utiliza
el lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones y el lenguaje
matemático mixto para explicitar las relaciones y la respuesta. Como en el problema
anterior hace una representación incorrecta de la V de Gowin.
Este maestro realiza un mayor énfasis en las prácticas operativas caracterizadas
por las situaciones y las acciones. Identificó las situaciones y resolvió el problema. Las
acciones se limitaron fundamentalmente a la aplicación de algoritmos; no verificó la
respuesta, la faltó chequear si efectivamente para las cajas de 12 creyones sobran 6
lápices. Este problema presenta otras posibles soluciones, por ejemplo, la respuesta
trivial 1 caja de 18 con 1 caja de 12, 3 cajas de 18 con 4 cajas de 12, y 5 cajas de 18
con 7 cajas de 12 colores respectivamente, ya que no exceden de 100 colores, para las
cajas de 18 creyones no sobran lápices y para las cajas de 12 sobran 6. Como se
plantea la solución de este problema pareciera que determina la mayor cantidad de
cajas de 18 colores que no exceden de 100, pero sin considerar la condición que para
las cajas de 12 sobran 6. El docente utiliza de forma no ostensiva los conceptos,
propiedades y argumentos que caracterizan sus prácticas discursivas.
El cuadro 25 presentado en la próxima página muestra el ASOMA realizado a
la producción escrita del maestro 1 con respecto al problema 3. En él se observa
que el lenguaje, las prácticas operativas y discursivas, que caracterizan el significado
personal (concepciones) del maestro 1 son análogas a las realizadas a los problemas
anteriores.
El docente resuelve el problema de forma equivocada, ya que utiliza sólo una
de las condiciones dadas en el enunciado. Se enfoca en vincular las bolsas de 10 y 15
kilogramos con el peso de 145 kg, obteniendo 10 bolsas de 10 kg y 3 bolsas de 15 kg
lo que da un total de 13 bolsas para un peso de 145 kg.
Esta respuesta vulnera la condición que deben ser 12 bolsas. Se observa que
hay ausencia de verificación de la respuesta, se centra en obtener el peso total sin
considerar el número de bolsas.
101
Cuadro 25.
ASOMA del problema 3 para el maestro 1
Problema 3. Anibal el jardinero, necesita 145 kilogramos de abono para las plantas. Compra 12 bolsas, algunas contienen 15 kilogramos, las otras contienen 10 kilogramos, ¿cuántas bolsas de cada tipo compra Anibal?
Maestro
1
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas Situaciones: identifica el tipo de problema (no ostensivo) Acciones: Estructuración de los datos del problema. Cálculo mental Multiplicación de números naturales Adición de números naturales
Términos y Expresiones: Docena, abono, bolsa, bolsas Notaciones: Números naturales:, x, -, Kgr, = Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta.
Conceptos: Noción elemental e instrumental de la adición y multiplicación de números naturales. No ostensivo Propiedades: Ausente
Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
U4
Representa la información suministrada por el problema (datos). Multiplicación implícita para obtener el total de kilos que hay en 10 bolsas de 10 kilogramos. De igual forma lo sugiere para 3 bolsas de 15 kilogramos. . Expresa que Anibal compró 10 bolsas de 10 Kgr y 3 bolsas de 15 Kgr. . Verifica su respuesta, mediante operaciones de multiplicación y suma.
Estructuración completa. Pero dispersa. Respuesta incorrecta ya que no considera la condición de que el número de bolsas es 12. Aunque emplea las operaciones para verificar su resultado. No verifica si su respuesta cumple las dos condiciones. Simbolza incorrectamente la unidad de masa: kilogramos (kg)
102
Cuadro 26.
ASOMA del problema 1 para el maestro 2
Problema 1. En el patio de la escuela juegan 480 niños; al sonar el timbre se colocan en fila de a 20. Si las niñas se colocan en 8 filas. ¿Cuántas filas hay de varones?
Maestro
2
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas
Situaciones: identifica el tipo de problema (no ostensivo) Acciones: Semi-estructuración de los datos del problema. Multiplicación de números naturales. Sustracción de números naturales. División de números naturales
Términos y Expresiones: Patio, juegan, fila, niñas, niños, sonar, timbre, colocan. Notaciones: Números naturales: representaciones concretas y simbólicas, x, =, -, ___, |____ Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta.
Conceptos: Noción elemental e instrumental de la sustracción, multiplicación y división de números naturales. No ostensivo Propiedades: Ausente
Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos
U1
U2
U3
De la información suministrada por el problema el docente explicita el total de alumnos. Inmediatamente procede a utilizar la otra parte de la información, para obtener la cantidad de niñas. En esta unidad el docente expresa que va a determinar el número de filas de varones. Para esto resta del total de alumnos la cantidad de niñas obteniendo 320 varones lo cual es correcto. Luego divide 320 entre 8. Expresa que el número de filas de varones es de 16.
Determina (de forma simbólica) el total de niños 320. Correcto. Pero al dividir 320 entre 8, el resultado de esta operación es incorrecto. El docente no utiliza correctamente la información suministrada en el problema, ya que las filas son de 20 estudiantes y no de ocho. Es correcto. Sin embargo, la representación de los cálculos no permitieron llegar a esta respuesta. Por lo que el docente mentalmente, realizó el cálculo correcto, más no pudo representar correctamente el proceso de obtención del mismo.
103
El cuadro 26, página anterior, presenta el ASOMA realizado a la solución del
problema 1 efectuado por el docente 2. Se observa un mayor énfasis en las prácticas
operativas relacionadas con la multiplicación, resta y división de números naturales, y
en el lenguaje matemático simbólico. No aparecen de manera ostensiva las prácticas
discursivas.
A continuación el cuadro 27 presenta el ASOMA del problema 2 atribuido al
maestro 2. En el mismo se observa que el sujeto de la investigación no representa de
manera explicita las acciones realizadas, lo que hace imposible obtener información
en cuanto a las prácticas operativas y discursivas, así como también con respecto al
lenguaje.
Cuadro 27. ASOMA del problema 2 para el maestro 2
Problema 2. Carlos necesita guardar sus lápices de color, que son menos de 100, en cajas donde caben 12 y 18 creyones. Prueba con las cajas de 12 y le quedan 6 creyones fuera. Intenta con las cajas de 18 y logra colocarlos todos ¿cuántos creyones tiene Carlos?
Maestro 2
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas
Situaciones: identifica el tipo de problema (no ostensivo) Acciones: Estructuración de los datos del problema. Cálculo mental
Términos y Expresiones: Menos, creyones, cajas, tiene. Notaciones: Números naturales: Representaciones: Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta.
Conceptos: Ausente Propiedades: Ausente
Argumentación: Ausente
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos
U1
U2
Representa la información suministrada por el problema (datos). Respuesta correcta.
No hay representación escrita que permita chequear como obtuvo la respuesta.
104
Con respecto al problema 3 resuelto por el maestro 2, el cuadro 28 muestra
que las representaciones se centran en el lenguaje matemático mixto pero con mayor
énfasis en el verbal, ya que describe el procedimiento de cálculo con palabras. Las
prácticas discursivas con respecto a las entidades conceptos, propiedades y
argumentos están ausentes.
Cuadro 28.
ASOMA del problema 3 para el maestro 2
Problema 3. Anibal el jardinero, necesita 145 kilogramos de abono para las plantas. Compra 12 bolsas, algunas contienen 15 kilogramos, las otras contienen 10 kilogramos, ¿cuántas bolsas de cada tipo compra Anibal?
Maestro 2
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas
Situaciones: identifica el tipo de problema (no ostensivo) Acciones: Estructuración de los datos del problema. Cálculo mental Multiplicación de números naturales (implícita)
Términos y Expresiones: Kilogramos, abono, bolsas, compra Notaciones: Números naturales, = Representaciones: Lenguaje Matemático mixto para expresar relaciones y respuesta.
Conceptos: No ostensivo Propiedades: No ostensivo
Argumentación: No ostensivo
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos U1
U2
Representa la información suministrada por el problema (datos). Expresa que compra 4 bolsas de 10 que es igual a 40. Y que 7 de 15 es igual a 105. .
A veces identifica las entidades, en el caso de bolsas; pero cuando se refiere al peso (kilogramos) no lo hace. Lo da sobreentendido. Lo cual puede generar confusión. 40 y 105 ¿qué?
Respuesta incorrecta. Ya que verifica de forma implícita una de las condiciones del problema (si sumamos 40+105 se obtiene 145). Pero obtiene de manera implícita que el total de bolsas es de 11 lo que viola la condición de que son 12 bolsas.
105
Cuadro 29 ASOMA del problema 1 por parte del maestro 3 Problema 1. En el patio de la escuela juegan 480 niños; al sonar el timbre se colocan en fila de a 20. Si las niñas se colocan en 8 filas. ¿Cuántas filas hay de varones?
Maestro 3
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas
Situaciones: identifica el tipo de problema (No ostensivo) Acciones: Estructuración de los datos del problema. Multiplicación de números naturales. Resta de números naturales. División de números naturales
Términos y Expresiones: Patio, juegan, fila, niñas, niños, sonar, timbre, colocan. Notaciones: Números naturales, x, =, , -, ___, Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta.
Conceptos: No ostensivo Propiedades: No ostensivo Argumentación: No ostensivo
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
Representa la información suministrada por el problema (datos). Realiza de forma simbólica las operaciones de multiplicación, resta y división de números naturales. Con la operación de multiplicación obtiene la cantidad de niñas (120). Con la resta obtiene la cantidad de varones al restar el total de niños menos la cantidad de niñas (320).Lo cual es correcto. Divide el total de niños entre 8, luego entre 2, restando el resultado con 8 obteniendo 12. Manifiesta que el número de filas de varones es de 12.
De la forma que está representada la información pareciera que hay 20 filas. Lo cual pudiera generar confusión. Al dividir 320 entre 8, el resultado de esta operación es incorrecto. El docente no utiliza correctamente la información suministrada en el problema, ya que las filas son de 20 estudiantes y no de ocho. Es incorrecto. Sin embargo, la representación de los cálculos no permitió llegar a esta respuesta. Por lo que el docente mentalmente, realizó el cálculo correcto, más no pudo representar correctamente el proceso de obtención del mismo.
106
El ASOMA del maestro 3 para el problema uno se muestra en el cuadro 29, de
la página anterior. La respuesta obtenida es incorrecta, la acción de dividir (numero de
niños varones / el número de filas de hembras ) no fue adecuada. Es importante
destacar que el maestro no resolvió los problema dos (2) y tres (3).
Cuadro 30 ASOMA del problema 1 por parte del docente 4 Problema 1. En el patio de la escuela juegan 480 niños; al sonar el timbre se colocan en fila de a 20. Si las niñas se colocan en 8 filas. ¿Cuántas filas hay de varones?
Maestro 4
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas
Situaciones: identifica el tipo de problema (no ostensivo) Acciones: Estructuración de los datos del problema. Multiplicación de números naturales. Fracciones equivalentes
Términos y Expresiones: Niñas, filas, hembras, varones.
Notaciones: Números naturales: (fracciones) Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones
Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta.
Conceptos: No ostensivo Propiedades: No ostensivo
Argumentación: No ostensivo
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
Representa la información suministrada por el problema (datos). Representa en forma fraccionaria la razón entre filas y cantidad de niñas y varones (fracciones equivalentes). Resaltando en corchetes, la cantidad de niñas que hay en 8 filas y la cantidad de varones que hay en 16 filas. Expresa que hay 8 filas de niñas que dan un total de 160 niñas, y que hay 16 filas de varones.
Procedimiento correcto, que permite corroborar al mismo tiempo las informaciones iniciales. Es decir, este procedimiento permite en cierta forma verificar la respuesta. La solución es correcta.
107
El cuadro 30, página anterior, muestra que el maestro 4 abordó la resolución
del problema 1 mediante fracciones equivalentes, esta metodología fue implementada
en el entrenamiento, lo que proporciona indicios de una modificación en las acciones
del maestro para resolver este tipo de problemas.
Cuadro 31 ASOMA del problema 3 por parte del maestro 4
Problema 3. Anibal el jardinero, necesita 145 kilogramos de abono para las plantas. Compra 12 bolsas, algunas contienen 15 kilogramos, las otras contienen 10 kilogramos, ¿cuántas bolsas de cada tipo compra Anibal?
Maestro
4
Análisis Semiótico Practicas operativas Lenguaje Practicas discursivas Situaciones: identifica el tipo de problema (no ostensivo) Acciones: Estructuración de los datos del problema. Multiplicación de números naturales (implícita) Suma de números naturales (implícita)
Términos y Expresiones: Kilogramos, abono, bolsas, compró, kilos, total Notaciones: Números naturales: x, ___ Representaciones: Lenguaje Matemático Simbólico para realizar operaciones Lenguaje Matemático mixto para expresar la respuesta.
Conceptos: No ostensivo Propiedades: No ostensivo
Argumentación: No ostensivo
Unidades Descripción de unidades Conflictos semióticos U1
U2
U3
Representa la información suministrada por el problema (datos). Multiplica en forma de columnas, 15 por 9 es igual a 135, y 10 por 1 es igual a 10. Respuesta correcta.
Estructuración incompleta. No representa las relaciones. Realiza la multiplicación de forma simbólica. A veces coloca el signo de multiplicación adelante y otras veces detrás. Explicita de forma concreta las operaciones realizadas en la unidad U2
108
Por último, el cuadro 31, página anterior, presenta el análisis semiótico
realizado a las producciones escritas del maestro 4 para el problema 3. En este cuadro
se observa que el docente resuelve el problema de forma incorrecta ya que solo usa
una parte de las condiciones relacionada con el peso total, que debe ser de 145
kilogramos. No considera la otra restricción que deben ser 12 bolsas. En este caso su
respuesta cumple la primera condición pero viola la segunda ya que obtuvo 11 bolsas.
Es importante destacar que el docente no resolvió el problema 2
Síntesis de los Significados Personales (cierre)
La información recogida en los cuadros 23 al 31 (por maestro y por problema),
permitió esquematizar los cuadros 32, 33, 34 y 35 que se presentan en las páginas
siguientes. En ellos se muestra una síntesis del significado personal de los sujetos de
la investigación con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, obtenido
del sistema de prácticas discursivas y operativas (configuración cognitiva), puestas de
manifiesto por los docentes en su actuación ante situaciones problemáticas aritméticas,
y sus cinco facetas duales o atributos contextuales, según el juego de lenguaje en que
participan, (personal-institucional; expresión-contenido; ostensivo-no ostensivo;
extensivo-intensivo; unitario-sistémico). (Godino y Bencomo, 2006).
En la primera columna de los cuadros aparece la configuración cognitiva,
caracterizada por las prácticas operativas y discursivas, articuladas por el lenguaje,
puestas de manifiesto para este tipo de situaciones aritméticas. En la segunda columna
aparecen los atributos contextuales que caracterizan el objeto matemático operaciones
aritméticas, y son los que permiten identificar los conflictos semióticos.
La información mostrada en el cuadro 32, próxima página, describe el
significado personal del maestro 1 cuando este realiza una actividad de resolución de
problemas aritméticos contextualizados, con dos o más combinaciones de operaciones.
En la primera columna aparece su configuración cognitiva, caracterizada por el uso del
lenguaje matemático simbólico en procedimientos algorítmicos y el verbal para
expresar el resultado
109
Cuadro 32 Significado personal del docente 1 (D1) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje Usa el lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones, y el lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta. No utiliza el lenguaje gráfico Prácticas Operativas Situaciones: Identifica las situaciones problemáticas contextualizadas Acciones: • Interpretó correctamente el problema 2, no
interpretó los problemas 1 y 3. • Estructuración de los problemas en datos,
relaciones y cálculos. • Identificó de forma ostensiva las condiciones de
realización de los problemas. • No considera una de las dos condiciones de
aplicación • Se centra en la acción de aplicar los algoritmos
tradicionales correspondientes, no usa la diversidad en los procedimientos de cálculos y en la resolución de problemas.
• No usa las propiedades de las operaciones en los procedimientos de cálculos
• Intenta usar la V de Gowin como heurística para la resolución de problemas, sin considerar todos los elementos que la conforman, ni su estructuración.
Prácticas Discursivas Conceptos: Las nociones de las operaciones aritméticas son de tipo elemental e instrumental. (N o ostensivo) Propiedades: Conoce las propiedades de las operaciones, ausentes en la resolución de problemas del postest. Argumentos: Ausentes.
Personal – Institucional Para el problema 1, D1 manifestó desajustes entre su significado personal y el significado institucional correspondiente: ya que confunde las filas de niñas con filas de niños, realiza la operación de división de forma incorrecta y no específica la entidad o naturaleza que representa la respuesta. Con respecto al problema 2, lo resolvió de forma correcta pero no verificó que cumple otra condición de aplicación. Para el problema 3, el resultado no coincide con una de las respuestas del significado institucional de referencia, al no considerar una condición de realización de la acción. Expresión – Contenido D1 ha atribuido significado a los tres problemas planteados. Interpretando correctamente el problema 2. Para el problema 1 al representar la operación 480 |20 (total de niños entre número de estudiantes por filas), el se plantea un procedimiento correcto ya que quiere determinar la cantidad de filas de 20 niños, pero ejecuta el algoritmo de división de forma incorrecta al obtener una cantidad de 240 filas, resultado no ajustado con las condiciones del problema. De haber verificado su respuesta, se hubiera dado cuenta del error. Para el problema 2, D1 efectúa los procedimientos de cálculo de forma correcta, pero no considera la otra condición de aplicación de la acción para las cajas de 12 colores. Para el problema 3, no consideró la condición de que el número de bolsas es 12, resultado incorrecto. No verifica sus respuestas en el contexto de las situaciones planteadas y sus condiciones. Ostensivo – No ostensivo Las entidades conceptuales no ostensivas, como adición, sustracción, multiplicación y división, han sido expresadas ostensivamente por el maestro mediante signos aritméticos (+, -, x, ∟) y los algoritmos tradicionales. Las prácticas discursivas propiedades y argumentos están ausentes, solamente aparece de forma no ostensiva la nociones conceptuales de las operaciones aritméticas. Extensivo –Intensivo D1 emplea las operaciones aritméticas como algoritmos (hay que aplicarlos para obtener una respuesta determinada), las identifica con acciones, sin vincularlos con lo conceptual. No generaliza ningún procedimiento de cálculo (extensivo), es decir, las operaciones aritméticas puestas en evidencia mediante su sistema de prácticas son de tipo concreto, se limita a operar con valores particulares dados en el contexto de los problemas propuestos. No hay presencia de objetos intensivos o abstractos. Unitario –Sistémico D1 presenta una noción elemental o unitaria del objeto matemático operaciones aritméticas, ya que no expresa aspectos formales de las operaciones ni sus bases conceptuales. De igual forma, tiene una noción instrumental de este objeto matemático: lo asocia con procedimientos algorítmicos, calculando sin considerar la pertinencia de sus resultados ni soluciones al problema.
110
En sus reproducciones escritas no está presente el lenguaje gráfico. Con
respecto a las prácticas operativas significativas se tiene que el docente 1 identifica las
situaciones problemas contextualizadas. Para las acciones, en relación al proceso de
resolución de problemas, la información mostrada permite inferir que el docente
estructura la información en datos y a través de los cálculos, reconoce las condiciones
de realización y no considera una de las dos condiciones de aplicación del problema.
En su configuración cognitiva no existe un plan previo a la acción ni posibles
estrategias de búsqueda, intenta usar la V de Gowin como técnica heurística en los
procesos de resolución, pero lo hace inadecuadamente. En cuanto al segundo
elemento, se tiene que el maestro 1 centra su atención en la aplicación de algoritmos
aritméticos tradicionales, sin diversidad en procedimientos de cálculos. En cuanto a
las prácticas discursivas la noción conceptual de las operaciones aritméticas es de tipo
instrumental y elemental, no usa las propiedades y argumentos. Los atributos
contextuales mostrados en la segunda columna del cuadro muestran, que hay
desajustes o conflictos semióticos después de haber realizado el entrenamiento.
La configuración cognitiva del maestro 2, mostrada en el cuadro 33, próxima
página, presenta que prevalece el uso del cálculo mental en la resolución de
problemas, solamente la representación de la solución del problema 1 se realizó
usando el lenguaje matemático simbólico y el mixto, es decir, prevalece como práctica
significativa la primera acción mencionada. Esta situación se puso de manifiesto
cuando el docente 2 no pudo llegar a la respuesta mediante la aplicación del lenguaje
escrito, a pesar de haberlo resuelto correctamente mediante el cálculo mental. Por
tanto, se tiene que no hay diversidad en la representación de concepto, en los
procedimientos y en la resolución de problemas. De igual forma, no hay verificación,
por parte del maestro 2, de la respuesta ni vinculación de lo conceptual con lo
procedimental. El docente no utiliza la V de Gowin como técnica heurística para la
resolución de problemas, a pesar de que su uso fue incorporado al entrenamiento
alostérico. Los atributos contextuales permiten identifican los posibles conflictos
semióticos, desajustes entre el significado personal y el institucional de referencia,
después de realizado el entrenamiento alostérico.
111
Cuadro 33 Significado personal del docente 2 (D2) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje Escaso uso del lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones. Usa el lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta. No utiliza el lenguaje gráfico. Prácticas Operativas
Situaciones: Identifica las situaciones problemáticas contextualizadas
Acciones: • Interpretó correctamente el problema 1 y 2, mas no
el problema 3. • Estructura los problemas en datos y relaciones
(incompletas), con menor énfasis en los cálculos. • Identificó de forma ostensiva las condiciones de
realización de los problemas. • No considera todas las condiciones de aplicación. • Se centra en la acción de utilizar el cálculo mental. • No usa la diversidad en los procedimientos de
resolución de problemas. • No usa las propiedades de las operaciones en los
procedimientos de cálculos. • No utiliza técnicas heurísticas para la resolución
de problemas. Prácticas Discursivas Conceptos: Las nociones de las operaciones aritméticas son de tipo elemental e instrumental. (N o ostensivo) Propiedades: Conoce las propiedades de las operaciones, ausentes en la resolución de problemas del postest. Argumentos: Ausentes.
Personal – Institucional Para el problema 1, la respuesta del maestro 2 coincide con el resultado develado en el significado institucional de referencia, no obstante, la representación de los cálculos no permitieron llegar a esta respuesta. Con respecto al problema 2, la respuesta se ajusta al significado institucional de referencia, sin embargo, no hay representación escrita que permita chequear como obtuvo la respuesta. Para el problema 3, el resultado no coincide con una de las respuestas del significado institucional de referencia, al no considerar una condición de realización de la acción (12 bolsas). Expresión – Contenido D2 ha atribuido significado a los tres problemas planteados. Para el problema 1 las dos primeras representaciones (20 x 8 = 160 niñas y 480 – 160 = 320) son correctas, pero la representación (320|8 ) arroja un resultado incorrecto, además de no tener sentido el dividir el total de niños varones entre las filas de niñas. Para el problema 2, D2 simplemente representa los datos y la respuesta a la pregunta, no hay una representación escrita de la resolución. Para el problema 3, no consideró la condición de que el número de bolsas es 12, resultado incorrecto ya que obtiene 11 bolsas que satisfacen lasegunda condición. No verifica sus respuestas en el contexto de las situaciones planteadas y sus condiciones. Ostensivo – No ostensivo D2 expresa simbólicamente las entidades conceptuales sustracción, multiplicación y división, en el problema 1, mediante sus signos (-, x, ∟) y realiza cálculos tradicionales. Para lo restantes problemas D2 efectúa cálculos mentales (No ostensivo).Las prácticas discursivas propiedades y argumentos están ausentes, solamente aparece de forma no ostensiva la nociones conceptuales de las operaciones aritméticas. Extensivo –Intensivo D2 reconoce e identifica las operaciones aritméticas como algoritmos que hay que aplicar para obtener una respuesta determinada, las identifica con acciones, no vincula lo procedimental con lo conceptual. No generaliza ningún procedimiento de cálculo (extensivo), es decir, las operaciones aritméticas puestas en evidencia mediante su sistema de prácticas es de tipo concreto, se limita a operar con valores particulares dados en el contexto de los problemas propuestos. No hay presencia de objetos intensivos o abstractos. Unitario –Sistémico D2 presenta una noción elemental o unitaria de los objetos matemáticos operaciones aritméticas, ya que el aspecto formal de las operaciones y las bases conceptuales le son desconocidos. De igual forma, tiene una noción instrumental de este objeto matemático porque lo asocia con procedimientos algorítmicos, fundamentalmente de cálculo mental.
112
La información mostrada en el cuadro 34 de la próxima página, describe el
significado personal del maestro 3 cuando realiza una actividad de resolución de
problemas aritméticos contextualizados de varias etapas, es decir, con dos o más
combinaciones de operaciones. En la primera columna aparece su configuración
cognitiva, caracterizada por el uso del lenguaje matemático simbólico en
procedimientos algorítmicos y el verbal para expresar el resultado. En sus
reproducciones escritas no esta presente el lenguaje gráfico.
Con respecto a las prácticas operativas significativas se tiene que el docente
identifica parcialmente las situaciones problemas. En cuanto a las acciones realizadas,
el docente realiza un mayor énfasis en las prácticas operativas y fundamentalmente en
los procedimientos algorítmicos, usa poco la diversidad en la representación
conceptual, en los procedimientos de cálculos y en la resolución del problema, además
de no ser una práctica significativa la verificación del resultado. En cuanto a las
prácticas discursivas la noción conceptual de las operaciones aritméticas es de tipo
instrumental y elemental, no vincula las propiedades y argumentos con los procesos de
resolución de problemas. Los atributos contextuales mostrados en la segunda columna
del cuadro muestran, que hay desajustes o conflictos semióticos después de aplicado
el entrenamiento alostérico.
Por último, en el cuadro 35, se muestra la configuración cognitiva y los
atributos contextuales del maestro 4, que caracterizan su significado personal. En
relación con el lenguaje, utiliza el lenguaje matemático simbólico para realizar las
operaciones, y el lenguaje matemático mixto para expresar la respuesta. Con respecto
a las prácticas operativas, el docente interpretó parcialmente las situaciones
contextualizadas de varias etapas. En cuanto a las acciones, hay escasa diversidad en
las representaciones conceptuales, en los procedimientos, y en la resolución de
problemas. El docente no verifica la respuesta y no vincula lo conceptual con lo
procedimental, y no utiliza la V de Gowin como técnica heurística. Los atributos
contextuales presentan que hay conflictos semióticos, después del entrenamiento,
entre el significado personal del maestro 4 y el significado institucional de referencia.
113
Cuadro 34 Significado personal del docente 3 (D3) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje Emplea escasamente el lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones. Usa el lenguaje matemático mixto sólo para expresar la respuesta. No utiliza el lenguaje gráfico. Prácticas Operativas
Situaciones: Identifica parcialmente las situaciones problemáticas contextualizadas
Acciones: • No interpretó de manera correcta el problema 1. No
resolvió los problemas 2 y 3. • Estructuró los problemas en datos sin considerar
relaciones ni condiciones. • Identificó de forma ostensiva las condiciones de
realización de los problemas. • Centró su acción de aplicar los algoritmos
tradicionales correspondientes, sin considerar la diversidad en los procedimientos de cálculo ni en los procedimientos de resolución de problemas.
• No usa las propiedades de las operaciones en los procedimientos de cálculo.
• No utiliza técnicas heurísticas para la resolución de problemas.
Prácticas Discursivas Conceptos: Las nociones de las operaciones aritméticas son de tipo elemental e instrumental. (No ostensivo) Propiedades: Ausentes en la resolución del postest. Argumentos: Ausentes.
Personal – Institucional Se presenta un desajuste entre el significado personal atribuido por D3 a la resolución del problema 1 y el significado institucional de referencia correspondiente, ya que los cálculos realizados por D3 indican que hay 12 filas de varones lo cual es incorrecto. D3 no atribuyó significado a los problemas 2 y 3, puesto que no los resolvió. Expresión – Contenido D2 ha atribuido significado incorrecto al problema 1. Para el problema 1 las dos primeras representaciones (20 x 8 = 160 niñas y 480 – 160 = 320) son correctas, la representación (320|8 ) arroja un resultado correcto pero no tiene sentido el dividir el total de niños varones entre las filas de niñas, por lo que la división de 40 /2 = 20 y luego la resta de 20 – 8 = 12 tampoco tiene coherencia. No verifica sus respuestas en el contexto de las situaciones planteadas y sus condiciones. Ostensivo – No ostensivo Las entidades no ostensivas (si se prefiere, conceptuales) como adición, sustracción, multiplicación y división, han sido expresadas ostensivamente, en el problema 1, por el maestro mediante signos aritméticos (-, x, ∟) y algoritmos de cálculos tradicionales. Las prácticas discursivas propiedades y argumentos están ausentes, solamente aparece de forma no ostensiva la nociones conceptuales de las operaciones aritméticas. Extensivo –Intensivo D3 reconoce e identifica las operaciones aritméticas como algoritmos que hay que aplicar para obtener una respuesta determinada, las identifica con acciones, no vincula lo procedimental con lo conceptual. No generaliza ningún procedimiento de cálculo (extensivo), es decir, las operaciones aritméticas puestas en evidencia mediante su sistema de prácticas es de tipo concreto, se limita a operar con valores particulares dados en el contexto de los problemas propuestos. No hay presencia de objetos intensivos o abstractos. Unitario –Sistémico D3 presenta una noción elemental o unitaria de los objetos matemáticos operaciones aritméticas, ya que el aspecto formal de las operaciones y las bases conceptuales le son desconocidos. De igual forma, tiene una noción instrumental de este objeto matemático porque lo asocia con procedimientos algorítmicos, fundamentalmente de cálculo mental.
114
Cuadro 35 Significado personal del docente 4 (D4) con respecto a las operaciones aritméticas (Cierre)
Configuración Cognitiva Atributos Contextuales Lenguaje Uso del lenguaje matemático simbólico para realizar las operaciones y el lenguaje matemático mixto para insinuar la respuesta. No utiliza el lenguaje gráfico. Prácticas Operativas Situaciones: Identifica parcialmente las situaciones problemáticas contextualizadas Acciones: • interpretó de manera correcta el problema 1. No
resolvió el problema 2. Interpretó de forma incorrecta el problema 3.
• Estructuró los problemas en datos sin registrar todas las condiciones, y procedió a realizar cálculos.
• Utiliza una sola condición de aplicación de la acción, a pesar de haber dos.
• Mostró cierta diversidad en los procedimientos de cálculos, para el problema 1 utilizó un procedimiento no convencional (generación de fracciones equivalentes) y cálculos mentales. Para el problema 3 utilizó algoritmos tradicionales para la suma y multiplicación de números naturales.
• No está presente la diversidad en la resolución de problemas.
• No usa las propiedades de las operaciones en los procedimientos de cálculos
• No utiliza técnicas heurísticas para la resolución de problemas.
Prácticas Discursivas Conceptos: Las nociones de las operaciones aritméticas son de tipo elemental e instrumental. (No ostensivo) Propiedades: Conoce las propiedades de las operaciones, ausentes en la resolución de problemas del postest. Argumentos: Ausentes.
Personal – Institucional Para el problema 1 la respuesta se ajusta al resultado develado en el significado institucional de referencia, aunque utilizó un procedimiento que escapa del ámbito de la primera etapa permite en cierta forma verificar la respuesta. El D4 no atribuye significado al problema 2, ya que no lo resolvió. Para el problema 3 se manifestó desajustes entre el significado personal de D4 y el significado institucional de referencia con respecto a la cantidad de bolsas. Expresión – Contenido D4 ha atribuido un significado correcto al problema 1, generando fracciones equivalentes tomando como punto de partida la razón entre números de filas y cantidad de niños 1/20, precisando las dos fracciones equivalentes 8 / 160 y 24/ 480 , entonces deduce, usando cálculo mental, que la cantidad de filas de varones es de 16. D4 resuelve el problema 3 de forma incorrecta ya que sólo usa una parte de las condiciones relacionada con el peso total, que debe ser de 145 kilogramos. No considera la otra restricción que deben ser 12 bolsas. En este caso su respuesta cumple la primera condición pero viola la segunda ya que obtuvo 11 bolsas. No verifica sus respuestas en el contexto de las situaciones planteadas y sus condiciones. Ostensivo – No ostensivo Para el problema 1 aparece de forma no ostensiva la entidad conceptual fracción equivalente, a través de igualdades sucesivas de fracciones generadas al multiplicar el numerador y denominador por un mismo número natural n = 2, 3, 4, … Las entidades no ostensivas (si se prefiere, conceptuales) como adición y multiplicación, han sido expresadas ostensivamente, en el problema 3, por el maestro mediante signos aritméticos (+, x) y algoritmos de cálculos tradicionales. Las prácticas discursivas propiedades y argumentos están ausentes, solamente aparecen de forma no ostensiva la nociones conceptuales de las operaciones aritméticas. Extensivo –Intensivo D4 reconoce e identifica las operaciones aritméticas como algoritmos que hay que aplicar para obtener una respuesta determinada, las identifica con acciones, no vincula lo procedimental con lo conceptual. No generaliza ningún procedimiento de cálculo (extensivo), es decir, las operaciones aritméticas puestas en evidencia mediante su sistema de prácticas es de tipo concreto, se limita a operar con valores particulares dados en el contexto de los problemas propuestos. No hay presencia de objetos intensivos o abstractos. Unitario –Sistémico D4 presenta una noción elemental o unitaria del objeto matemáticos operaciones aritméticas, ya que no explicita las bases conceptuales y propiedades de las operaciones. Se manifiesta una noción instrumental de este objeto matemático, ya que lo asocia con procedimientos algorítmicos.
115
Etapa 4 de la Investigación: Análisis de la Evolución de las Concepciones de los Docentes
En esta sección se presenta la información recogida en función de satisfacer el
cuarto objetivo planteado “Analizar la evolución de las concepciones como resultado
del proceso de entrenamiento según el modelo “alostérico de Giordan”.
Con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, las concepciones
caracterizadas en el cierre mediante el significado personal, al final del entrenamiento
alostérico, al ser comparadas con el significado personal develado en el diagnóstico no
arrojaron evidencia que permitiera inferir que hubo un cambio conceptual o evolución
en las concepciones iniciales de los maestros. Es decir, aún persisten en las unidades
de observación los mismos conflictos semióticos, y en consecuencia la misma brecha
entre el significado personal y el significado institucional de referencia.
Por ejemplo, al comparar las reproducciones escritas en ambas actividades,
con respecto a las prácticas operativas, se observó que en el cierre:
• Se siguen manteniendo los mismos invariantes operatorios o prácticas
significativas desplegadas por los docentes cuando resuelven problemas
aritméticos contextualizados, es decir, prácticas arraigadas puestas de
manifiesto cada vez que se resuelve un problema planteado.
• No se utilizan técnicas heurísticas como la V de Gowin, solamente el docente 1
trató de hacerlo (si bien la representó de forma inapropiada).
• No se utiliza toda la información relevante para la resolución de problemas,
por ejemplo, tienden a considerar una sola condición del problema.
• No se verifica la respuesta, se concibe la solución como única y que existe una
sola vía de resolución.
Además, en el cierre, las prácticas discursivas no están presentes de forma
ostensiva en las producciones escritas de este grupo de docentes, lo que imposibilita
detectar el manejo de conceptos, propiedades y argumentaciones en la resolución de
problemas. Por tanto, en esta entidad tampoco se manifiesta una evolución
significativa de los significados personales de estos maestros. Esta situación incide en
su labor docente debido a que impide establecer la vinculación entre lo conceptual y lo
116
procedimental ante sus alumnos, además de no propiciar la argumentación de las
diferentes acciones requeridas, convirtiendo el proceso de resolución de problemas en
una simple actividad algorítmica desprovista de sentido.
Respecto al lenguaje y particularmente a sus representaciones, se observó que
los docentes emplean fundamentalmente el lenguaje matemático simbólico
(restringido a operaciones algorítmicas) y el matemático mixto (para expresar las
respuestas). Sin embargo, el maestro 2 presenta una marcada tendencia al uso del
cálculo mental en procesos de resolución de problemas, sin representar el proceso que
sigue en su búsqueda de soluciones a los problemas. El lenguaje gráfico en la
resolución de problemas, en cambio, está ausente, lo que representa una debilidad
para su quehacer docente ya que en esta primera etapa de educación básica, el aspecto
representacional e instrumental facilita el proceso de comprensión por parte del
educando.
En términos generales, los docentes presentan dificultades para reproducir por
escrito los procesos que conducen a la resolución de los problemas. Este aspecto
repercute directamente en las prácticas operativas y discursivas, ya que el lenguaje es
el articulador de ellas. Esta complicación contribuye a que se centre la atención y labor
docente en la escritura y ejecución de los algoritmos tradicionales para la operaciones
aritméticas entre números naturales, en detrimento de los procesos y habilidades
cognoscitivas de la resolución de problemas contextualizados que aproximen al niño a
su mundo experiencial como propugna el modelo educativo actualmente vigente.
Otro aspecto observado en las reproducciones escritas de estos maestros, es
que no se observa que ellos consideren la actividad matemática como fuente de
diversidad. Andonegui (2005) advierte que todo desarrollo o evolución del
pensamiento matemático involucra la adquisición de esa perspectiva de diversidad, la
que favorece el desarrollo: (a) del lenguaje, al representar de diversas formas los
conceptos, relaciones y propiedades de las operaciones aritméticas, (b) de los procesos
de pensamiento tanto cognitivos como metacognitivos. La diversidad en los
procedimientos operacionales y en las formas de resolver problemas obliga a
establecer conjeturas, a tomar decisiones, al autocontrol y la regulación.
117
Al enfrentarse a la resolución de problemas con dos condiciones de aplicación,
los docentes presentaron mayor dificultad. Antes del entrenamiento (diagnóstico) se
colocó un sólo problema de este tipo, en cambio después del entrenamiento (cierre) se
colocaron dos problemas, que no fueron resueltos satisfactoriamente.
A continuación la Figura 15 permite visualizar de forma cualitativa, los
resultados del diagnóstico y la actividad de cierre bajo tres categorías: correcto,
parcialmente correcto e incorrecto (leyenda). Se aclara que un problema se considera
parcialmente correcto, cuando el docente encuentra una respuesta posible, pero con
errores en la representación de los procedimientos de cálculo.
No resolv ióIncorrectoParcialmente correctoCorrecto
resultadMaestro 1
Maestro 2
Maestro 3
Maestro 4
Diagnóstico Problema 1 Cierre Problema 1
Diagnóstico Problema 2 Cierre Problema 2
Diagnóstico Problema 3 Cierre Problema 3
Maestro 1
Maestro 2
Maestro 3
Maestro 4
Maestro 1
Maestro 2
Maestro 3
Maestro 4
Maestro 1
Maestro 2
Maestro 3
Maestro 4
Maestro 1
Maestro 2
Maestro 3
Maestro 4
Maestro 1
Maestro 2
Maestro 3
Maestro 4
Figura 15: Resultado Cualitativo de la Resolución de los Problemas del Diagnóstico y del Cierre
118
Nótese en la Figura 15, que los resultados permanecieron homogéneos para el
problema 1 (una sola condición de aplicación) antes y después del entrenamiento, sin
embargo, para los problemas 2 y 3 los docentes presentaron mayor dificultad al hallar
la solución de la actividad de cierre: para el problema 2 solamente el maestro 2 obtuvo
la respuesta correcta e incluso los maestros 3 y 4 no los abordaron. Con relación al
problema 3 los maestros 1, 2 y 4 lo resolvieron incorrectamente, el maestro 3 no lo
abordó.
Una serie de hechos permiten exponer los posibles factores que incidieron en
que las concepciones de los docentes con respecto al objeto matemático operaciones
aritméticas no se modificaran. En primer lugar, la falta de apoyo institucional por parte
de la dirección de la escuela “Simón Rodríguez” y de la dirección del distrito escolar,
pues un curso que estaba destinado a 16 maestros que habían presentado el
diagnóstico, se redujo a 7 participantes entre los cuales sólo cuatro (4) unidades de
observación. Este hecho contribuyó a que los sujetos de la investigación no se
involucraran de manera pro-activa a la realización del taller, factor fundamental en la
consolidación de un entorno didáctico interactivo. Incluso, durante el entrenamiento,
los participantes expresaron que era necesaria la participación de todos los docentes
de la primera etapa, si se pretendía realizar una transformación en los aprendizajes
matemáticos ya que era imposible implementar los cambios de manera puntual. Así,
ellos no estuvieron motivados para modificar su significado personal en función de un
significado institucional de referencia que les era ajeno.
El significado personal de los sujetos de la investigación era semejante al de
los restantes doce (12) maestros que no participaron en el entrenamiento, pero si
presentaron el diagnóstico. Esto se afirma, pues aunque se han detallado (al comienzo
de este capítulo) los resultados en esa prueba de los 4 sujetos que realizaron el
entrenamiento, la revisión de las producciones escritas de los demás maestros de la
escuela Simón Rodríguez de Upata, doce en total, reveló una situación semejante a los
significados personales de los primeros sujetos. Estas concepciones inciden en su
labor docente, que va conformando y modelando el significado institucional
implementado en dicha institución.
119
Por ejemplo, la figura 16 muestra una clase con problemas de suma y resta de
números naturales, implementada por un docente que no participó en el entrenamiento
(sí presentó la prueba diagnóstica). El enunciado sugiere ya la operación que hay que
realizar, sin requerir que el educando desarrolle una estrategia de búsqueda y ningún
proceso de pensamiento diferente al de ordenar las cantidades en forma de columnas,
sumarlas o restarlas sea este el caso. Esta información tomada de la libreta de una
alumna de tercer grado, también permite mostrar que de ciento siete páginas de
apuntes (desde el 20-09-04 hasta el 04-04-05) en tan solo diez páginas (10 %) se tratan
tópicos relacionados con la asignatura de matemática y en 2 de estas páginas se
plantean problemas aditivos cuya resolución es directa, a pesar que el PPA se refiere a
operaciones matemáticas.
Figura 16: Página de un Cuaderno de Apuntes, con Problemas Resueltos por una Alumna de Tercer Grado de la U.E. Simón Rodríguez.
En esta figura se observa que los problemas planteados no requieren ningún
esfuerzo, desde el punto de vista del manejo de procesos cognoscitivos por parte del
120
estudiante, hay expresiones como “¿cuántos hay?” o “¿cuánto gastó” que sugieren la
operación que se necesita realizar es suma o resta respectivamente. Este es el tipo de
problemas con que los docentes de esta institución están familiarizados.
En cuanto al entrenamiento alostérico, el investigador se vio en la necesidad de
reestructurar algunas actividades debido a diferentes situaciones que se presentaron
durante su desarrollo. Por ejemplo, en el primer encuentro se asignó una tarea para la
próxima reunión y tan solo dos (2) docentes la realizaron; se tomó la decisión de no
asignar más tareas y concentrar el trabajo en las reuniones presenciales.
Otro inconveniente que se presentó fue la inasistencia de los docentes (faltaron
a dos reuniones, que debieron ser re-programadas). De igual forma, el investigador se
centró en las fases de cuestionamiento y elaboración ya que había muchos conflictos
semióticos relacionados con el aspecto cognoscente de las operaciones aritméticas, la
fase de movilización se realizó con menor intensidad debido a que los sujetos de la
investigación no realizaban las actividades que se asignaban. El investigador necesitó
enfatizar las dos primeras fases, aspirando que los ejercicios realizados en los
encuentros motiven a los educadores y propicien la movilización de sus significados
personales iniciales. El cuadro 36 mostrado en la próxima página resume el resultado
de la aplicación de las fases durante el entrenamiento.
Además, al inicio del taller, se suministró un CD con todo su material de
apoyo: las presentaciones Power Point, el texto digital “Fundamentos para la
Enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas para Maestros” de Godino, Batanero y
Font (2003), el campo de problemas del significado institucional de referencia y sus
respectivas soluciones mediante la heurística V de Gowin. Este material no fue
revisado por los maestros, ni siquiera los problemas que estaban todos resueltos en sus
respectivas V de Gowin, de los cuales se seleccionaron tres para el cierre.
Realmente el entorno didáctico que caracteriza el entrenamiento alostérico se
fue desviando del diseño original, pues, al no estar involucrados concientemente, la
actitud de los maestros fue sesgando el entrenamiento transformándolo en un taller
más de los que están acostumbrados a participar.
121
Cuadro 36 Resultado de la aplicación de las fases del entrenamiento
Categorías Interpretación
Cuestionamiento
Elaboración
Movilización
Al consolidarse esta fase, los docentes tomaron conciencia de sus limitaciones para resolver problemas contextualizados. Desde el punto de vista de interacción entre los aspectos teóricos y los metodológicos, se observó una escasa presencia de diversidad tanto en la representación de conceptos, como en los procedimientos realizados y en las formas de abordar y resolver los problemas. Debido a los diferentes inconvenientes ya reseñados esta fase no se consolidó durante el entrenamiento. Es decir, el facilitador presentó elementos significativos: documentos, elementos que lo atraigan, mediante simbolizaciones, gráficos, esquemas y modelos, etc. Pero el proceso de búsqueda de soluciones y elaboración por parte de los docentes se redujo a resolver los problemas abordados como actividad del taller, en el aula, con escasa proactividad e interés por dar vida a las ideas y los enfoques presentados. Esta fase se hizo más difícil, por la limitada disposición de los docentes a enfocar los problemas planteados desde diversos razonamientos, no centrando las acciones sólo en las operaciones efectuadas. Tanto durante el entrenamiento como en la actividad de cierre, se hizo difícil lograr discusiones enriquecedoras sobre la significatividad del objeto matemático operaciones aritméticas, en la interpretación y resolución de problemas contextualizados que promuevan en los alumnos el desarrollo de sus habilidades y razonamiento matemático.
122
El entrenamiento alostérico y su limitado resultado, puede ser resumido y
representado mediante los criterios de idoneidad didáctica (Godino y Bencomo, 2006),
definido como la articulación coherente y sistémica de las seis componentes
siguientes:
• Idoneidad epistémica, se refiere al grado de representatividad de los
significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un
significado de referencia, para el objeto matemático operaciones aritméticas.
• Idoneidad cognitiva, referida al grado en que los significados pretendidos/
implementados estén en la zona de desarrollo próximo del individuo, así como
la proximidad de los significados personales logrados a los significados
pretendidos/ implementados.
• Idoneidad interaccional, referida a procesos didácticos que permitan
identificar conflictos semióticos a priori, para resolverlos a posteriori mediante
un entrenamiento adecuado, en este caso el método alostérico.
• Idoneidad mediacional, se refiere al grado de disponibilidad y adecuación de
los recursos materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso
de enseñanza-aprendizaje.
• Idoneidad emocional, consiste en el grado de implicación (interés, motivación,
sensibilización) del individuo, en ete caso el docente, durante el entrenamiento.
• Idoneidad ecológica, nivel en que el proceso del taller (entrenamiento
alostérico), se ajusta al proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad
y a los condicionamientos del entorno en que se desarrolla.
Un proceso de instrucción o entrenamiento es sistemático y complejo, puede
ser analizado bajo los 6 criterios nombrados, de tal forma que permita observar en qué
criterio existe una idoneidad alta, media o baja, si se alcanzó o no una alta idoneidad
global, en otras palabras dónde hay debilidad o dónde falló el entrenamiento con
relación a la alta idoneidad a priori establecida por el entrenador, en este caso el
investigador.
123
Epistémica Referido al grado de representatividad del significado institucional de referencia respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, se consideró diferentes tipos de situaciones aritméticas contextualizadas, la diversidad en la representación conceptual, procedimental y en la resolución de problemas, el uso de las propiedades y la justificación de los algoritmos. idoneidad pretendida alta. Los docentes presentan una noción elemental e instrumental del objeto matemático operaciones aritméticas. Idoneidad lograda baja.
Mediacional Se contó con recursos mediacionales, tales como: video beam, diapositivas sobre contenidos didácticos, recursos instruccionales, Serie desarrollo del pensamiento matemático de Fé y Alegría y didáctica para maestros EDUMAT. Idoneidad pretendida alta A pesar de contar con recursos materiales, hubo dificultad temporal, los docentes no asistieron a 2 reuniones y las actividades tuvieron que ser reprogramadas. El tiempo de 32 horas, 4 por semanas no fue suficiente para garantizar la buena marcha del entrenamiento. Idoneidad lograda baja
Emocional El entrenamiento se realizó en la UNEG sede Upata, aula con aire acondicionado, refrigerios y el taller fue dictado por el investigador. El investigador había realizado experiencias previas con docentes de esta institución, lo que sin duda alguna sería una ventaja. Idoneidad pretendida alta. Los docentes no se involucraron con las actividades planteadas, se quejaron de la ausencia del personal directivo de la institución, escasa motivación al logró por parte de los docentes, faltaron a encuentros. Idoneidad lograda baja
Cognitiva Se pretendió modificar las concepciones de los docentes con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, desde la perspectiva de la diversidad en la representación de conceptos, en los procedimientos operacionales y en las formas de resolver problemas. Idoneidad pretendida alta. Se mantienen las mismas prácticas operativas y discursivas articuladas por el lenguaje, además de que los docentes no asumieron la perspectiva de la diversidad. Idoneidad lograda baja
Interaccional El ASOMA permitiría caracterizar las concepciones de los docentes a través de su significado personal, y detectar los conflictos semióticos. El entrenamiento alostérico caracterizado por un entorno didáctico, tiene como objetivo el de propiciar una modificación de sus concepciones. Idoneidad pretendida alta. El entorno didáctico se desvió del diseño original y al final solo logró añadir algunos elementos del mismo, por lo que no se propicio una evolución de las concepciones de los docentes. Idoneidad lograda baja.
Ecológica El entrenamiento se ajusta al diseño curricular propugnado por el CBN para la primera etapa de le educación básica, las situaciones problemas se ajustan a las condiciones del entorno en que se desarrolla. Idoneidad pretendida alta. La falta de apoyo institucional por parte de la dirección de la escuela “Simón Rodríguez” y de la dirección del distrito escolar contribuyó a que los sujetos de la investigación no se involucraran de manera pro-activa en el taller. Idoneidad lograda media.
Figura 17: Criterio de Idoneidad del Entrenamiento Alostérico
124
CAPITULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo se presentan las conclusiones y recomendaciones que se
desprenden de los resultados obtenidos y que pretendieron responder la pregunta de
investigación: el modelo alostérico de Giordan ¿propicia en los docentes una eventual
modificación de sus concepciones sobre los objetos matemáticos: operaciones
aritméticas?
Conclusiones
Para responder al objetivo específico Nº 1, la caracterización de las
concepciones de los cuatro (4) docentes de primera etapa, de la escuela básica “Simón
Rodríguez”, con respecto al objeto matemático operaciones aritméticas, al realizar el
análisis semiótico a sus producciones escritas, evidenció que en general, este grupo de
docentes no concibe un plan o una estrategia de búsqueda de las resoluciones que
hicieron a los tres problemas del diagnóstico. En cambio, todos ellos pasan de la
identificación de los datos y la incógnita, al planteamiento de una operación cuyo
resultado se espera proporcione la solución. Esa respuesta no se verifica ni se
confronta con las condiciones iniciales del problema ni con su pregunta. La revisión
de estas resoluciones revela que los elementos discursivos están ausentes: ninguna
mención a conceptos, propiedades o argumentos matemáticos aplicados. Además no
esta presente una diversidad en la representación de los objetos matemáticos
aritméticos, no hay una interacción entre el lenguaje simbólico y el lenguaje verbal,
además no esta presente el lenguaje gráfico, que es tan fundamental en esta primera
etapa de la educación básica.
125
Con relación al objetivo Nº2 se diseño y aplicó el entrenamiento alostérico a los
maestros, este entrenamiento consistió en la realización de un taller de ocho (8)
encuentros. Durante su desarrollo se observó una serie de situaciones, respecto a:
• La asistencia al taller por parte de los docentes, presentó algunos
inconvenientes: (a) retraso en su implementación, ya que la falta de respaldo
por parte de la dirección del plantel obligó al investigador a reajustar el
entrenamiento y (b) durante el transcurso y el final del entrenamiento, en dos
oportunidades los participantes no asistieron por lo que los encuentros se
debieron reprogramar.
• La participación de los docentes en la dinámica del taller, no ocurrió de forma
activa, pareciera que tuvieran temor a equivocarse en sus apreciaciones o a
mostrar algunas deficiencias.
• Ante la demanda de resolver problemas usando la V de Gowin, los maestros no
se sintieron cómodos al emplearla, se resistían a considerar los aspectos
conceptuales (como si no fuesen necesarios).
• El entorno didáctico que caracteriza al entrenamiento alostérico de Giordan, no
pudo implementarse de manera apropiada, fundamentalmente en la fase de
movilización, se presentaron demasiados obstáculos. No había disposición por
parte de los sujetos de la investigación para comprometerse con un proceso de
esa naturaleza.
Respecto a los dos últimos objetivos, la caracterización de los significados
personales luego de la prueba de cierre, y su posterior análisis, se pueden establecer
las siguientes consideraciones:
Al contrastar las concepciones detectadas en el cierre después del
entrenamiento alostérico, con el significado personal develado en el
diagnóstico, se determinó que no hubo una evolución significativa de sus
concepciones. Es decir, aún persisten en las unidades de observación los
mismos conflictos semióticos, y en consecuencia la misma brecha entre el
significado personal y el significado institucional de referencia.
126
Al comparar las producciones escritas, para ambas pruebas, con respecto a las
prácticas operativas, se observó que se siguen manteniendo los mismos
invariantes operatorios o prácticas prototípicas.
No utilizan técnicas heurísticas como la V de Gowin para la resolución de
problemas
Las prácticas discursivas, no están presentes de forma ostensiva en sus
producciones escritas, lo que imposibilita detectar el manejo de conceptos,
propiedades y argumentaciones en la resolución de problemas. Por tanto, en
esta entidad tampoco se manifiesta una evolución significativa.
Con respecto lenguaje y de forma particular con sus representaciones, se
observó que los docentes se enfocan en el lenguaje matemático simbólico y el
matemático mixto, el primero se restringe a operaciones algorítmicas y el
segundo para expresar las relaciones y respuesta. Existe ausencia del lenguaje
gráfico en la resolución de problemas
En términos generales los docentes presentan dificultades para representar las
producciones escritas de los problemas, esta problemática incide directamente
en las prácticas operativas y discursiva ya que el lenguaje es el articulador de
las mismas. Esta complicación contribuye a que centren su atención y labor
docente en la escritura y ejecución de los algoritmos tradicionales para la
suma, resta, multiplicación y división de números naturales; en detrimento de
la resolución de problemas contextualizados como propugna el currículo
básico nacional.
Recomendaciones
Se había propuesto la implementación de la metodología alostérica para
propiciar un cambio de las concepciones de los docentes de la escuela básica Simón
Rodríguez, con respecto a las operaciones aritméticas, con el propósito de
proporcionar al educador un andamiaje conceptual, operacional y representacional,
caracterizado por la diversidad, que le permitiera reflexionar acerca de los procesos de
aprendizaje de la matemática escolar en primera etapa de educación básica.
127
Se procuró que el entrenamiento fuera la punta de lanza para transformar una
concepción mecanicista y algorítmica de las operaciones aritméticas, en una más
ajustada a los principios educativos actuales, centrada en la contextualización de las
situaciones de aprendizaje y en la diversidad en la representación de conceptos,
procedimientos y en la resolución de problemas. Todo ello, persiguiendo un
mejoramiento de su labor docente que se revertiría en mejores aprendizajes por parte
de sus alumnos.
Ahora bien, la tarea o misión de promover el cambio conceptual o
modificación de las concepciones de los docentes, está sujeto a que él identifique que
sus concepciones no le permiten dar respuestas a ciertas situaciones y esté motivado a
cambiarlas. Esto sólo es posible si, dentro del entorno donde se desenvuelven,
perciben la utilidad de modificar su estructura mental (elaboración) con nuevos
saberes, que le permiten tomar conciencia (metacognición) sobre procesos
explicativos, acciones o reflexiones compartidas. Si el docente no está dispuesto,
independientemente del entrenamiento, dicho cambio no se logrará, como ocurrió en
esta investigación.
Se recomienda:
• Replicar esta investigación seleccionando docentes de la primera etapa de
educación básica, de diferentes instituciones educativas (estadales y
nacionales) de la localidad de Upata, Municipio Piar. Para la selección de los
sujetos de la investigación se debería aplicar un instrumento que permita
recabar información sobre aspectos afectivos, como la necesidad de logro,
sensibilización, motivación, etc. ya que ello permitiría aplicar el entrenamiento
alostérico según un cuidadoso diseño que recoja todo el modelo de Giordan.
• Desarrollar el entrenamiento en un lapso mayor de tiempo, en lo posible
durante todo un año escolar. Esto es, complementar las actividades propias del
taller, con un proceso de acompañamiento a los docentes en su labor escolar,
reflexionando sobre los procesos que los participantes desarrollan junto a sus
alumnos. Además, la asistencia y supervisión de los maestros necesitan estar
condicionada a informes de avance, en los que el docente desarrolle un trabajo
128
final producto de su entrenamiento y de sus propios procesos de investigación
en su aula, inmenso dentro de una metodología de investigación acción.
• A medida que avanza el entrenamiento, es preciso ir contrastando las
concepciones iniciales con las que se van manifestando durante el proceso.
• Una colaboración efectiva de las autoridades educativas para que estas
actividades sean consideradas parte de su crecimiento profesional y bienestar
académico. Los procesos de reforma en educación matemática suponen una
conexión estrecha entre el trabajo de la administración escolar y los profesores
como grupo y como individuos, para transformar las prácticas existentes. De
ahí la necesidad de que los directores y autoridades educativas se involucren y
brinden un total respaldo a la investigación relacionada con las concepciones
de sus docentes.
• Ampliar el estudio de las concepciones de los docentes con respecto a objetos
matemáticos presentes en los programas de matemáticas de las diferentes
etapas de la educación básica, de tal manera que sean el punto de partida de un
eventual cambio conceptual.
• Considerar el empleo de las herramientas heurísticas, la V de Gowin u otras,
como instrumentos que faciliten el enriquecimiento de los procesos
comunicativos, tanto entre docentes como entre ellos y sus alumnos.
• Perseguir, tanto la caracterización de las concepciones de los docentes, como
su movilización por otras más acordes con la realidad educativa actual y con
las propuestas que los organismos internacionales han venido haciendo para
garantizar que la educación satisfaga los requerimientos de la sociedad.
129
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132
ANEXO A
CAMPO DE PROBLEMAS Y V DE GOWIN
DE PROBLEMAS SELECCIONADOS
133
Anexo A-1.
CAMPO DE PROBLEMAS (CENAMEC)
1. En la clase de cocina necesitamos medir la harina para una torta y sólo se
tienen cucharas que contienen 15 gramos. ¿Cada alumno de los 5 del
equipo, mide 6 cucharas para completar la harina necesaria.¿Qué
cantidad de harina lleva la torta?
2. En un aula de tercer grado hay tres niñas por cada dos niños. Si hay 18
niñas en el aula.¿Cuántos niños hay?
3. En un álbum de 72 barajitas, repartidas en 8 páginas, José encuentra que
en la tercera página hay 6, en la quinta 4 y en la octava 7. Si las demás
páginas están llenas, ¿cuántas barajitas deben colocar en cada una de las
páginas incompletas?
4. El tanque de la casa de Olga se llena con 2000 litros de agua, al de mi
casa le caben 1500 litros más que al de mi vecina, que contiene sólo 350
litros, ¿cuántos litros de agua hay cuando los tres tanques están llenos?
5. Manuel necesita llegar antes de tres horas al pueblo vecino, que está a
200 Km. y Luís ofrece llevarlo en su automóvil que corre a una
velocidad constante de 50 kilómetros por hora. ¿Con cuánto tiempo de
retardo llegaría Manuel si se va con Luís?
6. Para bailar el “Sebucán” se necesita cintas de color de 4,50 metros de
largo cada una; las cintas que tienen, a unas le faltan 0,25 metros y a
otras le sobran 9 centímetros. ¿Cuáles cintas se deben elegir para tener
las de longitud más a la que se necesitan?
7. ¿Cuál es la diferencia entre tu estatura y la de tu maestra, si ella mide
1,67 m cuando usa tacones de 7 cm.?
134
8. En mi salón hay 5 filas de pupitres, con 7 pupitres cada una. Si al
comenzar el año escolar hay 43 alumnos inscritos, ¿alcanzarán los
pupitres, sobrarán algunos?¿cuántos?.
9. En la casa de un vecino nace una niña el lunes a las 7:30 p.m. y su
abuela, que vive fuera del lugar, llega a conocerla el miércoles a las 9:00
a.m. ¿A cuántas horas de nacida conoció la abuela a la nieta?.
10. La maestra de tercer grado, llega al acuerdo con sus alumnos, que el
receso aumentaría progresivamente cada día de la semana escolar así: el
primer día tendrían sólo 2 minutos de receso; el segundo día, 4 minutos;
el tercer día, 8 minutos y así en adelante hasta el último día. ¿cuánto
tiempo de receso tuvieron en la semana escolar?
11. En el tercer grado hay 42 alumnos y 46 asientos. Un día la maestra entra
y ve que en la primera fila hay 5 asientos vacíos, en la tercera fila 4 y en
la quinta fila 7.¿Cuántos alumnos faltaron ese día?
12. En el patio de la escuela juegan 480 niños; al sonar el timbre se colocan
en fila de a 20. Si las niñas se colocan en 8 filas, ¿Cuántas filas hay de
varones?
13. Juan corre 2 kilómetros de lunes a sábado y el domingo corre 1 kilómetro
más, ¿Cuántos metros corre Juan en la semana?.
14. Un campesino siembra 34 hileras de maíz, en cada hilera hay 15 huecos
y en cada hueco coloca tres granos o semillas, si sólo germinó la mitad
de las semillas sembradas, ¡Cuántas plantas de maíz obtiene el
campesino?
15. Doña Josefa mandó a sus hijos de compra: a Julio le dio Bs. 96, a José le
dio Bs. 16 más que a Julio y a María le dio Bs. 20 más que el dinero de
Julio y José juntos.¿Cuánto dinero le dio doña Josefa a sus hijos?
16. Manuel fue al fundo y trajo un ciento de mangos, 4 docenas de
mandarinas y una bolsa con 200 naranjas. ¿Cuántas docenas de frutas
trajo?.
17. Un granjero tiene tres sacos de naranjas que contienen 220 naranjas cada
uno. Necesita colocar naranjas en otro saco, de manera que los cuatros
135
sacos queden con la misma cantidad de naranjas. ¿cuántas naranjas
colocará en cada saco?
18. Luisa tiene 36 metras y Juan 10. Juegan juntos y al finalizar, cada uno
tiene la misma cantidad de metras . ¿Quién ganó y cuántas metras ganó?
19. Miguel quiere hacer la tarea escolar y terminarla 10 minutos antes de
cenar; se tarda haciéndola 1 hora y 40 minutos. Si cena a las 7:30 p.m. ¿a
qué hora debe comenzar la tarea?
20. De mi casa a la escuela hay 5 kilómetros, que recorro a pie. Dos días en
esta semana mi tío me encontró; el martes a dos kilómetros de la escuela
y el viernes a kilómetro y medio de la escuela y me llevo en su carro.
¿cuántos kilómetros caminé en la semana?.
21. Antonio quiere armar cangrejos y chicharras con alambre. Un cangrejo
tiene 5 pares de patas y una chicharra 3 pares, y Antonio tiene para hacer
patas 80 pedacitos de alambre. Si hace con cada pedacito una pata. ¿a
cuántos cangrejos y a cuántas chicharras les puede poner patas sin que
sobren pedacitos de alambre?
22. La maestra luisa decide dar clases especiales de lectura a la tercera parte
de sus 36 alumnos y dedica un cuarto de hora dos veces por semana. ¿ a
cuántos alumnos les da clases especiales y cuánto tiempo les dedica en 6
semanas?
23. Se ha decidido que en un grado de 30 alumnos, a cada equipo de cinco le
corresponde una caja de 20 galletas. Se hace el reparto y sólo en tres
equipos ni sobran, ni faltan galletas, ¿Cómo se deben repartir para que
todos tuvieran igual número de galletas?
24. En una caja hay dos piezas de tela, una blanca y una azul. El largo de la
tela azul es la cuarta parte del largo total de las dos piezas juntas, que es
240 m, ¿cuántos metros mide cada pieza?
25. Con los 40 alumnos del aula, se deben formar equipos que tengan igual
número de alumnos y que este número sea mayor que 2 y menor que 8
¿cuántos equipos se pudieron formar?
136
26. El papel de computadora viene en paquetes de 100 hojas y en cajas de 10
paquetes. Luís tiene en su oficina 3 cajas y 5 paquetes.¿Cuántas hojas de
papel de computadora tiene Luís?
27. Cuatro maestras de mi escuela donaron libros a la biblioteca escolar de la
manera siguiente: el primer día donaron dos libros cada una y cada día
siguiente donaron un libro más que el día anterior, ¿cuántos libros
donaron en total las cuatro maestras a los 10 días?.
28. Una vendedora compró en una zapatería 59 pares de zapatos de niñas y
varones, 17 pares son de niñas y entre los de los varones la mitad tiene
defectos de fábrica y la vendedora los devolvió. ¿Cuántos pares de
zapatos le quedaron para la venta?
29. Carlos necesita guardar sus lápices de color, que son menos de 100, en
cajas donde caben 12 y 18 creyones. Prueba con las cajas de 12 y le
quedan 6 creyones fuera. Intenta con las cajas de 18 y logra colocarlos
todos.¿Cuántos creyones tiene Carlos?
30. Miriam compra dos envases de leche que contienen un litro cada uno,
para el consumo de 7 personas. Si cada persona se tomó un cuarto de
litro, ¿le alcanzó la leche a Miriam, le sobró leche?¿cuánta?
31. Víctor compró 20 naranjas para preparar 3 litros de jugo; de cada dos
naranjas obtuvo un cuarto de litro de jugo, ¿le sobró jugo, le faltó jugo?
¿Con cuántas naranjas obtiene los tres litros de jugo
32. Aníbal, el jardinero, necesita 145 kilogramos de abono para las plantas.
Compra 12 bolsas, algunas contienen 15 kilogramos, las otras contienen
10 kilogramos, ¿cuántas bolsas de cada tipo compra Aníbal?
137
Anexo A-2.
V de Gowin del Campo de Problemas: Problema 1
Problema 1: En la clase de cocina necesitamos medir la harina para una torta y sólo se tienen cucharas que contienen 15 gramos. ¿Cada alumno de los 5 del equipo, mide 6 cucharas para completar la harina necesaria.¿Qué cantidad de harina lleva la torta?
CONCEPTUAL METODOLOGICA - Se cuenta con cucharas que contienen 15
gramos. - Cada alumno del equipo (de cinco) mide 6
cucharas necesaria para completar la harina
¿Qué cantidad de harina lleva la torta? * Cocina, harina, torta y
cuchara * Unidad de masa (gramos) * Equipo * Completar * Cantidad * Adicción de números naturales * Multiplicación de números naturales * Fracciones equivalentes
Condiciones:
1 cuchara contiene 15 gramos de harina equipo de 5 niños cada niño mide 6 cucharas Alternativa 1 : Cálculo de los gramos de harina por niño: si cada niño mide 6 cucharas y cada cuchara contiene 15 gramos, entonces adicionando 15 gramos por cada cuchara se tiene: 15 gr + 15 gr + 15 gr + 15 gr +15 gr + 15 gr = 15 gr . 6 = 90 gramos por niño. Cálculo de los gramos de harina por equipo: Si un equipo está formado por 5 niños y un niño mide 90 gramos de harina, entonces adicionando 90 gramos por cada niño se tiene: 90 gr + 90 gr + 90 gr + 90 gr + 90 gr = 90 gr.5 = 450 gramos. La cantidad de harina que lleva la torta es: 450 gramos. Alternativa 2: Por fracciones equivalentes Relación (niños a gramos): ¿Si un 1 niño es a 90 gramos entonces 5 niños a cuantos gramos es?
1 cuchara contiene 15 gramos 450
5360
4270
3180
2901
====
2 cucharas contienen 30 gramos . Por lo tanto, para completar la torta se requieren 450 gramos de harina. . . 6 cucharas contienen 90 gramos Relación (cucharas y gramos):
906
755
604
453
302
151
=====
Es decir 1 niño mide 90 gramos de harina (porque cada uno mide 6 cucharas)
138
Anexo A-3.
V de Gowin del Campo de Problemas: Problema 2
Problema 2: En un aula de tercer grado hay tres niñas por cada dos niños. Si hay 18 niñas en el aula.¿Cuántos niños ahí?
CONCEPTUAL METODOLOGICA
- Se tienen tres niñas por cada dos niños - Hay 18 niñas en el aula
¿Cuántos niños ahi?
* Géneros: niñas y niños * Trios * Conteo * Suma de números naturales * Multiplicación de números * División de números naturales
Condiciones: 3 niñas por cada 2 niños Hay 18 niñas Alternativa 1:
[ ]
niños 12 niñas 18: :
niños 12Hay : :
niños 12 6 x niños 2 : niñas 18 6 x niñas 3 :
→→∴→∴→∴→∴
=→∴=→∴
Alternativa 2 : Como hay 18 niñas se reparten(dividen) en grupo de a 3: 18/3 = 6 grupos de tres (6 tríos de niñas). Entonces por cada 6 tríos de niñas hay, 2 niños x 6 = 12 niños. Alternativa 3: (fracciones equivalentes) 2 niños es a 3 niñas como ( ) niños es a 18 niñas
1812
1510
128
96
64
32
=====
( ) = 12 niños
139
Anexo A-4
V de Gowin del Campo de Problemas: Problema 5
Problema 5: Manuel necesita llegar antes de tres horas al pueblo vecino, que está a 200 Km. y Luís ofrece llevarlo en su automóvil que corre a una velocidad constante de 50 kilómetros por hora. ¿Con cuánto tiempo de retardo llegaría Manuel si se va con Luís?
CONCEPTUAL METODOLOGICA
- Llegar antes de tres horas - A una distancia de 200 km - Velocidad constante de 50 kilometros
por hora A B 200 Km
¿Con cuánto
tiempo de retardo * Medidas de longitud, de tiempo y velocidad *División de números naturales * Suma de números naturales
Relaciones: La distancia al pueblo es de 200 Km El carro de Luis viaja con una velocidad de 50 Km/h Alternativa 1: Esto significa que por cada hora que transcurre el carro recorre 50 Km. Dividiendo 200 Km entre 50 Km/h se obtiene el tiempo que tarda en llegar Manuel, 200 /50 = 4 horas. Como el quiere llegar antes de 3 horas este llegará con un retraso de 1 hora. Alternativa 2: 1 h 1 h 1 h 1 h 50 Km 50 Km 50 Km 50 Km 200 Km De acuerdo al gráfico Manuel tardaría 4 horas en llegar, por lo que llegaría con 1 hora de retraso. Alternativa 3: Como 1 hora es a 50 km, obtengamos las fracciones equivalentes a 1/50:
2004
1503
1002
501
=== Se observa claramente que cuando han transcurrido
4 horas, Manuel llega al pueblo. Por lo que llega con una hora de retraso.
140
ANEXO B
CONFIGURACIÓN COGNITIVA SIGNIFICADO
INSTITUCIONAL DE REFERENCIA
141
Anexo B-1 Configuración Cognitiva del Objeto Matemático Operaciones Aritméticas
SITUACIONES PROBLEMAS Problemas de varias etapas: Se originan de situaciones problemáticas contextualizadas donde están involucradas más de una operación aritmética o combinaciones de ellas. Para su resolución se debe decidir en cuanto a que operación hay que realizar, entre que datos y en que orden, se debe relacionar la información que se da (datos) con lo que se pide (incógnitas). Cuando se transita desde las incógnitas hacia los datos se denomina análisis y cuando se da el proceso inverso desde los datos hacia las incógnitas se llama síntesis. Por lo general el método de resolución de problemas aritméticos es mixto de Análisis-síntesis, el primero proporciona un plan de solución y el segundo permite ejecutar dicho plan, obteniendo la solución del mismo
LENGUAJE ESCRITO: Matemático Simbólico: Configuración que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas aritméticos. Caracterizado por expresiones aritméticas simbólicas que involucran operaciones de adicción, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Lenguaje Verbal: Expresión cotidiana para comunicar ideas por medio de la oración. Matemático Mixto: combina el lenguaje materno o verbal con términos y expresiones aritméticas propias del lenguaje simbólico. Lenguaje Gráfico: Otra forma de comunicar ideas o procesos del pensamiento matemático, puede tener un carácter representacional o instrumental de los objetos matemáticos aritméticos.
ACCIONES Resolución del campo de problemas: Uso de la V heurística de Gowin Interpretación del problema Identificar las condiciones de realización del problema Reconocer las condiciones de aplicación Vincular lo conceptual con lo procedimental Concebir un plan de resolución Diversidad en la resolución Verificación DIVERSIDAD EN LOS PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULOS 1. Adición y Sustracción de Números naturales: Algoritmo de adición con llevada: Cuando la suma de dos dígitos correspondientes al mismo orden de unidades sobrepasa el valor de 9, se recurre al proceso de llevada , su esencia consiste precisamente en que al llegar a tener 10 unidades de un orden, estas se convierten en 1 unidad del orden inmediatamente superior. La llevada se escribe al comienzo de la columna siguiente. Algoritmo de sustracción de "tomar o quitar prestado": Cuando en la resta de dos dígitos correspondientes al mismo orden, el valor del minuendo es menor que el del sustraendo entonces se recurre al proceso de tomar prestada una unidad del minuendo de orden inmediatamente superior, su esencia consiste en que al tomar una unidad prestada esta se convierte en 10 unidades del orden inmediatamente inferior. Uso de propiedades: Se usan para facilitar las operaciones de adición y sustracción de números naturales, para darnos mayor libertad a la hora de realizar los cálculos. Otros algoritmos: Algoritmo extendido para la suma, no es necesario la llevada ni por donde comenzar. Ejemplo: 1 2 9 + 9 5 7 1 0 (1 + 9 =10) 7 (2 + 5 = 7 ) 1 6 ( 9 + 7 = 16) 1 0 8 6
142
LENGUAJE ESCRITO: Matemático Simbólico: Configuración que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas aritméticos. Caracterizado por expresiones aritméticas simbólicas que involucran operaciones de adicción, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Lenguaje Verbal: Expresión cotidiana para comunicar ideas por medio de la oración. Matemático Mixto : combina el lenguaje materno o verbal con términos y expresiones aritméticas propias del lenguaje simbólico. Lenguaje Gráfico: Otra forma de comunicar ideas o procesos del pensamiento matemático, puede tener un carácter representacional o instrumental de los objetos matemáticos aritméticos.
Uso de la tabla de cien:
Uso de la recta numérica:
Calculo mental: Se hace sin herramientas tales como calculadoras o algoritmos escritos, mediante esta técnica se pueden introducir e interpretar conceptos y propiedades de las operaciones. 2. Multiplicación y División de Números Naturales: Algoritmo tradicional de la multiplicación: Supongamos que queremos multiplicar 524 por 45. Haremos los pasos siguientes:
Algoritmo tradicional de la división: Se escribe el dividendo y a su derecha el divisor encuadrado por una línea vertical y otra horizontal. Ejemplo: 5 6` 8` |25 ( 2 x 5 = 10 al 16 son 6, se lleva 1) 0 6 8 22 (2 x 2 = 4 más 1 es 5, al 5 es 0) 1 8 (2 x 5 =10 al 18 son 8, se lleva 1) (2 x 2 = 4 más 1 son 5, al 6 es 1) Dividendo = 568, Divisor = 25, Cociente = 22 y Resto = 18 Dividendo = Cociente x Divisor + Resto 22 x 25 + 18 = 550 + 18 = 568
524 (5 x 4 = 20 u, lo que equivale a escribir 0 u y llevar 2 d) X45 (5 x 2 = 10 d, más 2 d son 12 d, se escribe 2 d y se lleva 1c) ______ (5 x 5 = 25 centenas, más 1 centena son 26 centenas) 2620 (4 x 4 = 16 u, equivale a 1 d + 6 u, se escribe 6 u debajo de la + 2096 columna de la cifra de las d del primer resultado, y se lleva 1 d) 23580 (4 x 2 = 8 decenas, más 1 decena son 9 decenas) (4 x 5 = 20 centenas, equivale a 0 c y 2 unidades de mil).
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LENGUAJE ESCRITO: Matemático Simbólico: Configuración que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas aritméticos. Caracterizado por expresiones aritméticas simbólicas que involucran operaciones de adicción, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Lenguaje Verbal: Expresión cotidiana para comunicar ideas por medio de la oración. Matemático Mixto : combina el lenguaje materno o verbal con términos y expresiones aritméticas propias del lenguaje simbólico. Lenguaje Gráfico: Otra forma de comunicar ideas o procesos del pensamiento matemático, puede tener un carácter representacional o instrumental de los objetos matemáticos aritméticos.
Algoritmo extendido de multiplicación: Evita el problema de las llevadas pero resulta muy largo de escribir por lo que se usa poco. Además, resulta difícil decidir en qué columna debe colocarse cada uno de los productos parciales. Veamos el siguiente ejemplo: 758 x 48 6 4 4 0 5 6 3 2 2 0 2 8_________ 3 6 3 8 4 Algoritmo extendido de división: En este caso las llevadas se le restan al minuendo en vez de sumárselas al sustraendo. Ejemplo: 5 6’ 8’ |2 5 1 x 25 = 25 - 5 0 2 2 2 x 25 = 50 6 8 3 x 25 = 75 - 5 0 1 8 Multiplicación y división por duplicación: Se trata de un algoritmo histórico usado en muchas culturas; hoy en día ha caído en desuso, pero sirve para ilustrar el uso de la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. Para multiplicar 524 x 45 se escribe en una columna el número 524 y en otra el número 1 y se duplican sucesivamente esos números hasta que en la segunda columna nos acercamos lo más posible a 45. Finalmente se suman los términos de la primera columna que corresponden a términos de la segunda columna cuya suma sea 45. Para dividir 568: 25 se coloca en una columna el divisor 25 y en otra el número 1. Se duplican sucesivamente los números hasta que en la primera columna nos acercamos lo más posible al dividendo. Después se suman todos los términos de la primera columna cuya suma no sobrepase el dividendo. La suma de los términos correspondientes de la segunda columna nos da el cociente. El resto es 568- 550= 18.
25 50 100 200 400
1 2 4 8 16
550 Cociente= 22
524 1048 2096 4192 8384 16768
1 2 4 8 16 32
23580
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LENGUAJE ESCRITO: Matemático Simbólico: Configuración que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas aritméticos. Caracterizado por expresiones aritméticas simbólicas que involucran operaciones de adicción, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Lenguaje Verbal: Expresión cotidiana para comunicar ideas por medio de la oración. Matemático Mixto : combina el lenguaje materno o verbal con términos y expresiones aritméticas propias del lenguaje simbólico. Lenguaje Gráfico: Otra forma de comunicar ideas o procesos del pensamiento matemático, puede tener un carácter representacional o instrumental de los objetos matemáticos aritméticos.
Otros Algoritmos: ver Godino (2003) Multiplicación por doble y mitad Multiplicación en "celosía" División en "galera" Técnicas orales y de cálculo mental de multiplicación y división entera El objetivo de las técnicas orales es redondear, obtener números sencillos, y son las siguientes: • Intercambio de términos. Consiste en intercambiar el orden de los factores. Por ejemplo, dicen 15 x 45 y se piensa en 45 x 12. • Supresión o añadido de ceros. Se prescinde de los ceros finales de los números y se añaden después de efectuada la operación. Ejemplo: 600 x 40; 6 x 4 = 24; 24000. • Distribución. Se descompone uno de los números en sumandos o sustraendos y se aplica la propiedad distributiva. En el caso de la división sólo se puede descomponer el dividendo. Ejemplos: 15 x 125 =(15 x 100 + 15 x 20 + 15 x 5)= 1500 + 300 + 75 = 1875. 16 x 17 = 16 x (20 -3) = 320 – 48 = 272 568 / 25 = (500 + 50 + 18) / 25 = 500 / 25 + 50 / 25 + 18 / 25 = 20 + 2 + 18 / 25 = 22 + 18 / 25 • Factorización. Consiste en descomponer en factores uno o los dos términos de la operación. Ejemplos: 15 x 32 = 3 x 5 x 8 x 4 = 3 x 8 x 20 = 24 x 20 = 480 270 / 15 = (27 x 10 )/ (3 x 5) =( 27 / 3) x (10 / 5) = 9 x 2 = 18 • Compensación. En el producto se multiplica un término por un número mientras el otro se divide por el mismo número. En la división entera se multiplican o dividen los dos términos por un mismo número. Ejemplos: 64 x 36 = 128 x 18 = 256 x 9 = 2304 320 / 25 = (320 / 5 ) / (25/ 5) = 64 / 5
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Conceptos Las situaciones que dan sentido a la multiplicación y división entera (situaciones multiplicativas de una sola operación) se puede clasificar atendiendo al papel que juegan los números que intervienen en ellas que pueden ser: • estado, cuando expresan el cardinal de un conjunto, el ordinal de un elemento o la medida de una cantidad de magnitud; • razón, cuando expresan un cociente entre cantidades de magnitudes diferentes; • comparación, cuando indican el número de veces que una cantidad de magnitud está contenida en otra cantidad de la misma magnitud. Los términos de un producto se llaman factores. El primer término se llama también multiplicando y el segundo término multiplicador. Los términos de una división entera son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. Cuando en una división el resto es cero se dice que la división es exacta. Propiedades Para la multiplicación: - Clausura: el producto de dos números naturales es otro número natural. - Asociativa: (a x b)x c = a x(b x c) - Conmutativa: a x b = b x a - Existencia de elemento neutro: el natural 1; a x 1=1 x a = a -Disociativa (es decir, la misma propiedad asociativa, pero al revés): Todo factor puede descomponerse en partes o factores menores de la forma que se quiera, siempre que su “asociación” equivalga al factor inicial. - Distributiva: con respecto a la adición y sustracción tanto por la izuierda como por la derecha a x (b ± c ± d ) = a x b ± a x c ± a x d = (b ± c ± d ) x a Para la división: No cumple la propiedad de clausura en N, es decir, la división de dos números naturales no es siempre un número natural. Si se multiplica el dividendo y el divisor de una división por un mismo número n, no se modifica el cociente de la división, pero cambia el resto, que queda también multiplicado por n.
LENGUAJE ESCRITO: Matemático Simbólico: Configuración que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas aritméticos. Caracterizado por expresiones aritméticas simbólicas que involucran operaciones de adicción, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Lenguaje Verbal: Expresión cotidiana para comunicar ideas por medio de la oración. Matemático Mixto : combina el lenguaje materno o verbal con términos y expresiones aritméticas propias del lenguaje simbólico. Lenguaje Gráfico: Otra forma de comunicar ideas o procesos del pensamiento matemático, puede tener un carácter representacional o instrumental de los objetos matemáticos aritméticos.
Argumentos La justificación de los algoritmos escritos se basa en propiedades de la suma y resta de números naturales y del sistema de numeración escrito. Los argumentos esgrimidos en el proceso de resolución de problemas son de carácter Inductivos, deductivos, inferencias empíricas y de comprobación. Justificación del algoritmo de multiplicación El algoritmo se justifica por la posibilidad de descomponer los números en sus unidades y por las propiedades distributiva del producto respecto a la suma y asociativa y conmutativa de suma y producto. Por ejemplo, multiplicar 346 x 38 es lo mismo que multiplicar (300 + 40 + 6)(30 + 8) y teniendo en cuenta las propiedades asociativa, distributiva y conmutativa de sumas y productos, eso es lo mismo que (300 x 8 + 40 x 8 + 6 x 8) + (300 x 30 + 40 x 30 + 6 x 30). Si prescindimos de los ceros, esta expresión refleja el producto de cada una de las cifras del multiplicando por cada una de las cifras del multiplicador y la suma posterior de los resultados obtenidos, que es precisamente lo que se hace en el algoritmo. Justificación de la técnica de división La justificación del algoritmo se basa en la posibilidad de descomponer los dividendos en suma de números divisibles por el divisor y en la existencia de la propiedad fundamental de la división entera (n = dq + r), la distributiva a derecha de la división respecto a la suma y la conmutatividad de producto y cociente (a. b / c = a / c. b).
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Conceptos: Adición, orden, signos, algoritmo, sumando, sustracción, minuendo, sustraendo, propiedades: conmutativa, asociativa, disociación, elemento neutro Propiedades: - Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural. - Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) - Commutativa: a+b = b+a - Existencia de elemento neutro: el natural 0; a + 0 = 0 + a = a -Disociativa (es decir, la misma propiedad asociativa, pero al revés): Todo sumando puede descomponerse en partes o sumandos menores de la forma que se quiera, siempre que su “asociación” equivalga al sumando inicial. Para la sustracción: a) Cualesquiera que sean los naturales a, b, c, siempre que a >b+c se tiene siempre que: a - (b+c) = (a-b )- c. Es decir que para restar una suma a un número, se puede restar sucesivamente al número cada término de esta suma. Ejemplo: 38-16 = (38 – 6) – 10 = 32-10 =22. b) Cualquiera que sean los naturales a, b, c, si a > b se cumple siempre: (a+c) – (b+c) = a-b; Y siempre que a>b>c, se tiene también: (a-c) – (b-c) = a-b. Esto se puede enunciar diciendo que una diferencia no cambia si se suma, o bien se resta, un mismo número a cada uno de sus términos.
LENGUAJE ESCRITO: Matemático Simbólico: Configuración que describe algunos aspectos de los procesos del pensamiento matemático y la resolución de problemas aritméticos. Caracterizado por expresiones aritméticas simbólicas que involucran operaciones de adicción, sustracción, multiplicación y división de números naturales. Lenguaje Verbal: Expresión cotidiana para comunicar ideas por medio de la oración. Matemático Mixto: combina el lenguaje materno o verbal con términos y expresiones aritméticas propias del lenguaje simbólico. Lenguaje Gráfico: Otra forma de comunicar ideas o procesos del pensamiento matemático, puede tener un carácter representacional o instrumental de los objetos matemáticos aritméticos.
Argumentos: La justificación de los algoritmos escritos se basa en propiedades de la suma y resta de números naturales y del sistema de numeración escrito. Los argumentos esgrimidos en el proceso de resolución de problemas son de carácter Inductivos, deductivos, inferencias empíricas y de comprobación
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ANEXO C
PROGRAMA DEL TALLER
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Anexo C-1 Taller: Cuestionamiento, Elaboración y Movilización del Contenido Matemático en Resolución de Problemas
Contenidos Conceptuales Contenidos Procedimentales Contenidos Actitudinales Solución de problemas Metacognición
Técnicas heurísticas en el aula - V de Gowin
Número y Sistemas de Numeración. - Tipos de sistema de numeración y
aspectos históricos. - Números naturales. - Números decimales
Adición y sustracción de números naturales. Multiplicación y división de números naturales.
Estructuración de un problema: cuatro tipos de análisis y las estrategias de búsqueda. Análisis de la metacognición como toma de conciencia sobre los procesos del conocimiento. Análisis de los organizadores avanzados de información. Uso estratégico del organizador: V de Gowin. Implementación del entorno didáctico: fase de cuestionamiento, de elaboración y movilización del contenido matemático (IED 1, 2, 3). Técnicas de recuento. Conversión de cantidades en diferentes unidades Resolución de problemas que involucran el uso del cartel de posición y del orden de los números.. Uso de la V Heurística de Gowin en el proceso de solución de problemas. Resolución de problemas relacionados con la adición y sustracción de números naturales (IED 1, 2, 3). Uso de la V Heurística de Gowin en el proceso de solución de problemas (IED 1, 2, 3). Solución de problemas relacionados con la multiplicación y división de números naturales: Formalización de las operaciones, técnicas de cálculo y ejemplificación en situaciones reales.
Manifestación de interés por la búsqueda sistemática de soluciones a problemas y por la selección de los procesos que llevan a esa solución. Importancia de la toma de conciencia de los procesos cognitivos que desarrollamos al resolver problemas. Valoración de la importancia didáctica de las técnicas heurísticas. Valoración de la historia, origen y las virtudes del sistema de numeración decimal. Valoración del sistema de numeración decimal como lenguaje actual universal de la humanidad. Reflexión acerca del uso de las matemáticas en la resolución de problemas humanos. Valoración del proceso histórico las múltiples situaciones de la cotidianidad que se pueden analizar como problemas. Valoración de las estrategias más recomendadas para los primeros grados de la educación básica. Importancia de la verificación de la solución de un problema. Toma de conciencia de la resolución de problemas como vía primordial para desarrollar el conocimiento matemático. Reconocimiento de la diversidad en los sistemas de representación de un concepto matemático, en las relaciones involucradas entre ellos, en los procedimientos operacionales y en las formas de resolución de un problema.
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ANEXO D REPORTE DE ACTIVIDADES
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Anexo D-1
Asignación 1 realizada por dos docentes (Encuentro 2)
Problema adaptado del texto “Matemática y su Didáctica para Maestros” de Cid, Godino y Batanero (2003).
1. Un extraterrestre llega a la Tierra. Viene de una galaxia lejana y su misión es contactar con los terrícolas e intercambiar información. Una vez superadas las dificultades de idioma el extraterrestre se interesa por el sistema de numeración escrito que se usa en la Tierra. Los hombres de la Nasa se lo explican y él comenta: "Ah! Es el mismo sistema que utilizamos nosotros, pero nosotros usamos solamente cuatro símbolos, el del cero ( ), el del uno (⊥ ), el del dos (L) y el del tres (Τ)". ¿Cómo escribe el extraterrestre el número 9?
Resolución presentada por el Maestro 1:
Resolución Presentada por el maestro 3:
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Anexo D-2 Actividad realizada por docente 1 (Encuentro 3)
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Anexo D-3
Actividad realizada por el docente 2 (Encuentro 3)
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Anexo D-4
Actividad realizada por el docente 3 (Encuentro 3)
154
Anexo D-5
Actividad realizada por el docente 4 (Encuentro 3)
155
Anexo D-6
Actividad realizada por el docente 1 (Encuentro 6)
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