ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL - el blog de mate de … · La representación gráfica más usual para una distribución bidimensional es el diagrama de ... y la frecuencia absoluta

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ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL

La estadística bidimensional es la ciencia que se ocupa de determinar si existe relación o no entre dos

variables. Ejemplos:

- Horas de estudio y calificaciones negativas de los alumnos.

- Calificaciones en Matemáticas y Física.

- Dinero gastado en publicidad y dinero obtenido por ventas en una empresa.

Una variable estadística bidimensional es el conjunto de pares de valores de dos caracteres o variables

estadísticas unidimensionales X e Y sobre una misma población.

Se llama distribución bidimensional a la tabla estadística bidimensional formada por todas las

frecuencias absolutas de todos los posibles valores de la variable estadística bidimensional. Es decir,

para cada elemento de una población o muestra se consideran los valores correspondientes a dos

caracteres cuantitativos distintos.

TABLA BIDIMENSIONAL SIMPLE

1º.- Ésta es una tabla con dos variables que son la talla en cm y el peso en kg de una muestra de 12

alumnos de una clase:

Talla (cm) 164 166 168 170 172 174 175 176 176 178 180 182

Peso (kg) 68 72 75 68 75 76 73 72 80 75 80 79

Halla la media, varianza y desviación típica de ambas variables.

Solución:

Es cómodo construir la siguiente tabla para hacer los cálculos:

ix iy 2

ix 2

iy

164 68 26896 4624

166 72 27556 5184

168 75 28224 5625

170 68 28900 4624

172 75 29584 5625

174 76 30276 5776

175 73 30625 5329

176 72 30976 5184

176 80 30976 6400

178 75 31684 5625

180 80 32400 6400

182 79 33124 6241

2081 893 361221 66637

42,17312

2081·

N

fxx ii

41,2842,17312

361221 2222 xxS x

33,541,28 xS

42,7412

893·

N

fyy ii

24,1542,7412

66637 2222 yyS y

9,324,15 yS

TABLA BIDIMENSIONAL DE DOBLE ENTRADA

Los datos también pueden darse mediante una tabla de doble entrada de la cual es posible extraer una

tabla bidimensional y los datos de cada variable por separado, que son las llamadas distribuciones

marginales.


2º.- (ejercicio resuelto pág. 307):

En 35 familias que habitan en el mismo bloque de pisos hemos hecho un estudio sobre el número de

hijas e hijos que tienen cada una de ellas y hemos obtenido los resultados que figuran en la tabla

adjunta. La variable X indica el número de hijos y la variable Y, el número de hijas de las citadas

familias. Construye la tabla estadística bidimensional correspondiente. En las distribuciones marginales,

calcula la media y la desviación típica.

Y\X 0 1 2 3 Tot

0 0 2 3 1 6

1 3 6 4 1 14

2 4 2 3 0 9

3 3 1 1 1 6

Tot 10 11 11 3 35

Solución:

ix 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3

iy 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 3

if 3 4 3 2 6 2 1 3 4 3 1 1 1 1

ix if ii xf · 2· ii xf

0 10 0 0

1 11 11 11

2 11 22 44

3 3 9 27

35 42 82

iy if ii yf · 2· ii yf

0 6 0 0

1 14 14 14

2 9 18 36

3 6 18 54

35 50 104

2,1x ; 95,0xS ; 43,1y ; 96,0yS .

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN O NUBES DE PUNTOS

La representación gráfica más usual para una distribución bidimensional es el diagrama de dispersión o

nube de puntos. Se realiza fijando en un sistema de ejes cartesiano un carácter en cada uno de los

ejes y representando los puntos correspondientes a cada par.

1º: Para la tabla del ejercicio 1 de la página 1 se obtiene:



En una clase compuesta por 30 alumnos se ha hecho un estudio sobre el número de horas diarias de

estudios X y el número de suspensos Y, obteniéndose los siguientes resultados: (2,0) (2,2) (0,5) (2,1)

(1,2) (2,1) (3,1) (4,0) (0,4) (2,2) (2,1) (2,1) (4,0) (3,1) (2,4) (2,1) (1,2) (2,1) (2,0) (3,0) (3,2) (2,2) (2,2)

(2,1) (0,5) (1,3) (2,2) (2,1) (1,3) (1,4)

Construye la tabla estadística bidimensional en la que figure el recuento correspondiente. En las

distribuciones marginales correspondientes, halla la media y la desviación típica. Dibuja el diagrama de

dispersión correspondiente.

Solución: 9,1x ; 978,0xS ; 8,1y ; 424,1yS

Y\X 0 1 2 3 4 Total

0 0 0 2 1 2 5

1 0 0 8 2 0 10

2 0 2 5 1 0 8

3 0 2 0 0 0 2

4 1 1 1 0 0 3

5 2 0 0 0 0 2

Total 3 5 16 4 2 30


0 3 0 0

1 5 5 5

2 16 32 64

3 4 12 36

4 2 8 32

30 57 137


0 5 0 0

1 10 10 10

2 8 16 32

3 2 6 18

4 3 12 48

5 2 10 50

30 54 158

4º.- En la tabla siguiente se da el número de exámenes aprobados en Matemáticas (x) y el número de

exámenes aprobados en Historia (y) de un total de tres en cada asignatura. Los datos se refieren a un

colectivo de 30 alumnos.

xf representa las frecuencias absolutas marginales de x. yf representa las frecuencias absolutas

marginales de y.

Y (Hª)

X (Mat.)

1 2 3 xf

1 3 4 0 7

2 4 9 0 13

3 0 2 8 10

yf 7 15 8 30


A la vista de esta tabla podemos construir las siguientes tablas:

Distribución marginal de x:

ix if

1 7

2 13

3 10

30

Distribución marginal de y:

iy if

1 7

2 15

3 8

30

Distribución bidimensional:

ix 1 1 2 2 3 3

iy 1 2 1 2 2 3

if 3 4 4 9 2 8

5º.- Representa el diagrama de dispersión correspondiente a la variable bidimensional (x,y), donde x =

temperatura media (ºC), y = latitud de los países de la Unión Europea.

Capitales x y

Amsterdam 13 54

Atenas 24 37

Bonn 13 52

Bruselas 14 52

Copenhague 11 54

Dublín 13 53

Lisboa 19 39

Londres 14 53

Luxemburgo 14 50

Madrid 19 40

París 15 49

Roma 22 42

DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS

Fijado un valor 0x de una de las variables unidimensionales x, que forman la bidimensional (x,y), las

frecuencias condicionadas a 0x de los valores iy de y, son los cocientes entre las frecuencias

absolutas de los pares iyx ,0 y la frecuencia absoluta marginal de iy .

6º.- Se ha realizado una encuesta a 120 estudiantes universitarios sobre Aficiones, en sus

modalidades de Lectura, Viajes, Deportes y Maquetas, obteniéndose los resultados recogidos en la

siguiente tabla, en función de la Facultad o Escuela en la que estudian, con tres modalidades: Filologías,

Telecomunicaciones y Medicina.

a) Determina las frecuencias condicionadas a la afición Lectura de las distintas modalidades

de Carreras.

b) Determina las frecuencias condicionadas a la afición Viajes de las distintas modalidades de

Carreras.

c) Determina las frecuencias condicionadas a la afición Deportes de las distintas modalidades

de Carreras.

A/C Lectura Viajes Deportes Maquetas

Filologías 20 15 5 0

IST 5 10 15 10

Medicina 18 12 8 2

Total 43 37 28 12

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Estadística bidimensional. Pág. 5

Solución:

(X,Y) = (Afición/Carrera).

F (Lectura/Filologías) = 20/43 = 0,46 46 % el 46 % de los lectores estudian Filologías.

F (Lectura/Telecomunicaciones) = 5/43 = 0,12 12 % el 12 % de los lectores estudian

Telecomunicaciones.

F (Lectura/Medicina) = 18/43 = 0,42 42 % el 42 % de los lectores estudian Medicina.

Y así sucesivamente.

CÁLCULO DE PARÁMETROS: COVARIANZA

Al considerar las distribuciones de cada variable por separado se obtienen dos distribuciones

unidimensionales, llamadas marginales cuyos parámetros (media, varianza, desviación típica) ya sabemos

calcular.

N

fxx ii · ;

222xxS x ;

2

xx SS

El parámetro específico de una variable bidimensional es la covarianza.

Se llama covarianza de una variable bidimensional, con valores ii yx , , a la media aritmética de los

productos de las desviaciones de cada variable respecto a su media. Se representa por xyS y su

expresión es:

yx

N

fyx

N

fyyxxS iiiiii

xy ·····

La covarianza presenta el inconveniente de que su valor depende de las unidades de medida de las

variables y, por tanto, no permite comparar la relación entre dos variables medidas en diferentes

unidades.

EJERCICIOS


En 35 familias que habitan en el mismo bloque de pisos hemos hecho un estudio sobre el número de

hijas e hijos que tienen cada una de ellas y hemos obtenido los resultados que figuran en la página 2.

Calcula la covarianza. Dibuja el diagrama de dispersión correspondiente.

25,043,1·2,135

51xyS


En una clase compuesta por 30 alumnos se ha hecho un estudio sobre el número de horas diarias de

estudios X y el número de suspensos Y, obteniéndose los siguientes resultados: (2,0) (2,2) (0,5) (2,1)

(1,2) (2,1) (3,1) (4,0) (0,4) (2,2) (2,1) (2,1) (4,0) (3,1) (2,4) (2,1) (1,2) (2,1) (2,0) (3,0) (3,2) (2,2) (2,2)

(2,1) (0,5) (1,3) (2,2) (2,1) (1,3) (1,4)

Construye la tabla estadística bidimensional en la que figure el recuento correspondiente. Calcula la

covarianza. Dibuja el diagrama de dispersión correspondiente.

Solución:

Podemos construir una tabla bidimensional única, en lugar de las tablas de las distribuciones marginales:


ix iy if ii fx · ii fx ·

2 ii fy ·

ii fy ·2

iii fyx ··

2 0 2 4 8 0 0 0

2 2 5 10 20 10 20 20

0 5 2 0 0 10 50 0

2 1 8 16 32 8 8 16

1 2 2 2 2 4 8 4

3 1 2 6 18 2 2 6

4 0 2 8 32 0 0 0

0 4 1 0 0 4 16 0

2 4 1 2 4 4 16 8

3 0 1 3 4 0 0 0

3 2 1 3 9 2 4 6

1 3 2 2 2 6 18 6

1 4 1 1 1 4 16 4

SUMA 30 57 127 54 158 70

9,130

57·

N

fxx ii ; 78,062,09,1

30

127· 222

xN

xfS ii

x

8,130

54·

N

fyy

jj; 42,128,1

30

158·22

2

yN

yfS

jj

y

08,18,1·9,130

70·

··

yx

N

fyxS iii

xy

9º.- Halla la covarianza de la distribución bidimensional del ejercicio 1 (página 1).

Solución:

Completando la tabla de la página 1.

ix iy 2

ix 2

iy ii yx ·

164 68 26896 4624 11152

166 72 27556 5184 11952

168 75 28224 5625 12600

170 68 28900 4624 11560

172 75 29584 5625 12900

174 76 30276 5776 13224

175 73 30625 5329 12775

176 72 30976 5184 12672

176 80 30976 6400 14080

178 75 31684 5625 13350

180 80 32400 6400 14400

182 79 33124 6241 14378

2081 893 361221 66637 155043

29,1912

893·

12

2081

12

155043·

··

yx

N

fyxS iii

xy


10º.- Para establecer la relación entre la superficie en metros cuadrados de los pisos (x) y los

alquileres en euros (y), en una determinada población, se obtuvieron los siguientes datos:

Superficie (x) 50 70 56 80 110 80 90 90 80 67 60 110

Alquiler (y) 530 790 420 730 1220 740 960 860 790 540 470 1200

Calcula la covarianza.

Solución: La superficie media de las viviendas es 258,78 mx y el precio medio del alquiler es

eurosy 8,770 .

Por tanto, la covarianza es:

euromSxy ·53,44678,770·58,7812

1200·110...790·70530·50 2

11º.- Calcula la covarianza de la siguiente distribución llamada ECOSISTEMA y que nos da la

temperatura (en ºC) y la densidad de población (en %):

Temperatura Densidad

19,5 3

15 1,5

16,5 2,5

19 3

19 3

18 2

16 1,5

17 2

19 2,5

18 2

Solución:


2 ii fy ·

ii fy ·2

iii fyx ··

15 1,5 1 15 225 1,5 2,25 22,5

16 1,5 1 16 256 1,5 2,25 24

16,5 2,5 1 16,5 272,25 2,5 6,25 41,25

17 2 1 17 289 2 4 34

18 2 2 36 324·2 4 4·2 72

19 2,5 1 19 361 2,5 6,25 47,5

19 3 2 38 361·2 6 9·2 114

19,5 3 1 19,5 380,25 3 9 58,5

10 177 3153,5 56 413,75

Cx º7,1710

177 ; 06,27,17

10

5,3153 2222 xxS x ; 43,1xS ;

3,2y ; 31,03,210

56 2222 yyS y ; 55,0yS .

665,071,40375,413,2·7,1710

75,413xyS .


CORRELACIÓN

Se llama correlación a la teoría que intenta estudiar la relación o dependencia que existe entre las dos

variables que intervienen en una distribución bidimensional.

1.- La correlación es lineal o curvilínea cuando el diagrama de puntos se condensa en torno a una

línea recta o a una curva.

2.- La correlación es positiva o directa cuando a medida que crece una variable, la otra también

crece.

La correlación es negativa o inversa cuando a medida que crece una variable, la otra decrece.

La correlación es nula cuando no existe ninguna relación entre ambas variables.

3.- La correlación es de tipo funcional si existe una función que satisface todos los valores de la

distribución.

La correlación será tanto más fuerte o más débil, dependiendo de la mayor o menor tendencia de los

valores de la distribución a satisfacer una determinada función.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON

El coeficiente de correlación lineal de Pearson se define mediante la siguiente expresión:

yx

xy

ss

Sr

·

El signo del coeficiente r viene dado por el signo de la covarianza, ya que las desviaciones típicas son

siempre positivas. Es, por tanto, el signo de la covarianza el que decide el comportamiento de la

correlación:

- Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

- Si la covarianza es negativa, la correlación es inversa.

- Si la covarianza es nula, no existe correlación.

EJERCICIOS

13º.- Calcula el coeficiente de correlación lineal de la distribución del ejercicio 7 (pág. 7)

(ECOSISTEMA).

Solución: 665,03,2·7,1710

75,413·

··

yx

N

fyxS iii

xy ; 84,055,0·43,1

665,0r

ix iy 2

ix 2

iy ii yx ·

5 4,5 25 20,25 22,5

6,5 7 42,25 49 45,5

8 7,5 64 56,25 60

4 5 16 25 20

3 3,5 9 12,25 10,5

26,5 27,5 156,25 162,75 158,5


Se demuestra que el coeficiente de correlación lineal es un

número comprendido entre –1 y 1. Según el valor de r la

dependencia entre las variables x e y será del siguiente tipo:

1.- Si r = -1 todos los valores de la variable

bidimensional se encuentran situados sobre una recta;

satisfacen la ecuación de la recta. Se dice que entre

las variables x e y existe una dependencia funcional.

2.- Si –1 < r < 0, la correlación es negativa y será

tanto más fuerte a medida que r se acerque a –1, y

tanto más débil a medida que se aproxima a 0. En este

caso se dice que las variables x e y están en

dependencia aleatoria.

3.- Si r = 0, no existe ningún tipo de relación entre las

dos variables. Se dice que son aleatoriamente

independientes.

4.- Si 0 < r < 1, la correlación es positiva y será tanto

más fuerte a medida que r se acerque a 1, y tanto más

débil a medida que se aproxima a 0. En este caso se

dice que las variables x e y están en dependencia

aleatoria.

5.- Si r = 1, todos los valores de la variable

bidimensional se encuentran situados sobre una recta;

satisfacen la ecuación de la recta. Se dice que entre

las variables x e y existe una dependencia funcional.


EJERCICIOS

14º.- Las desviaciones típicas de las variables marginales de una distribución bidimensional son:

2,1xs y 1,3ys . La covarianza de (x,y) vale – 2,976. Halla el coeficiente de correlación lineal, y di si

se trata de una fuerte/débil correlación directa/inversa.

Solución: 2,1xS ; 1,3yS ; 976,2xyS ;

8,01,3·2,1

976,2r correlación negativa fuerte.

15º.- (ejercicio resuelto pág. 311): Las calificaciones obtenidas por los 40 alumnos de primer curso de

bachillerato en las asignaturas de matemáticas y física figuran en la siguiente tabla estadística

bidimensional. En ella, la variable X hace referencia a la calificación lograda en matemáticas e Y, a la de

física. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson y analiza el grado de dependencia entre las

calificaciones de ambas asignaturas.

Y\X 3 4 5 6 7 8 10 Tot

2 4 0 0 0 0 0 0 4

5 0 7 11 0 0 0 0 18

6 0 0 0 5 3 0 0 8

7 0 0 0 5 2 0 0 7

9 0 0 0 0 0 1 0 1

10 0 0 0 0 0 0 2 2

Tot 4 7 11 10 5 1 2 40

Solución:


3 4 12 36

4 7 28 112

5 11 55 275

6 10 60 360

7 5 35 245

8 1 8 64

10 2 20 200

Total 40 218 1292


2 4 8 16

5 18 90 450

6 8 48 288

7 7 49 343

9 1 9 81

10 2 20 200

Total 40 224 1378

ii yx , ijf jiij yxf ··

(3,2) 4 24

(4,5) 7 140

(5,5) 11 275

(6,6) 5 180

(6,7) 5 210

(7,6) 3 126

(7,7) 2 98

(8,9) 1 72

(10,10) 2 200

Total 40 1325

45,540

218·

N

fxx ii ; 612,145,5

40

1292· 222

xN

xfS ii

x

6,540

224·

N

fyy

jj; 758,16,5

40

1378·22

2

yN

yfS

jj

y

605,26,5·45,540

1325·

··

yx

N

fyxS iii

xy 919,0758,1·612,1

605,2

·

yx

xy

ss

Sr correlación

positiva y muy fuerte.


16º.- (ejercicio 4 pág. 320): Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número

de horas que dedica diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha

permitido elaborar la siguiente tabla:

Nº horas dormidas X 6 7 8 9 10

Nº horas televisión Y 4 3 3 2 1

Frec. Absolutas 3 16 20 10 1

Calcula: a) Realiza el diagrama de dispersión correspondiente.

b) Media y mediana del número de horas dedicadas a dormir.

c) Porcentaje de individuos que ven la televisión por encima de la media.

d) Coeficiente de correlación lineal. Interpretación.

Solución: a) Me = 8 horas.; 8,750

390x horas.

b) 82,250

141y ; porcentaje de individuos por encima de la media: 78,0

50

31620

78%.

c) 89,08,750

3082 2 xS ; 55,082,250

413 2 yS ; 436,082,2·8,750

1078xyS

891,055,0·89,0

436,0

·

yx

xy

ss

Sr correlación negativa y no muy fuerte.

18º.- (ejercicio 6 pág. 323): Diez alumnos han realizado durante el último mes dos ejercicios de

matemáticas. Las notas son las de la tabla.

Primer ejercicio 4 7 6 9 4 7 9 4 8 10

Segundo ejercicio 5 8 5 10 3 6 8 4 8 10

Dibuja la nube de puntos. Ajusta a ojo una recta a la nube de puntos y estima el valor que tendrá la

posible correlación.

Solución:

La recta ajustada a ojo puede ser

bisectriz del cuadrante: y = x. La

correlación será positiva y fuerte,

próxima a 1.


19º.- Se han hecho dos pruebas de historia a un grupo de diez alumnos de 3º de E.S.O. para valorar

sus conocimientos. Los resultados obtenidos son:

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A 14 12 15 12 13 12 17 7 9 14

B 14 13 17 15 16 12 22 10 14 20

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Existe dependencia entre ambas pruebas?

Solución:

5,12x ; 72,245,72

xx SS ; 3,15y ; 43,381,112

yy SS ;

65,73,15·5,1210

1989xyS 82,0

43,3·72,2

65,7r correlación positiva y débil.

20º.- En un experimento para estudiar la amplitud de la onda de choque producida por una explosión se

sitúan tres sensores a 5 m; otros tres, a 10 m; y otros tres, a 15 m de la carga. Las amplitudes

obtenidas por cada uno se describen en la siguiente tabla:

Distancia 5 5 5 10 10 10 15 15 15

Amplitud 8,6 8,2 8,1 5,8 6,2 6,1 5,2 4,8 4,7

Haz el diagrama que relacione las dos variables. Calcula el coeficiente de correlación e interpreta su

valor.

Solución:

109

90x ; 1,410

9

1050 2 xS ;

41,69

7,57y ; 43,141,6

9

27,388 2 yS ;

65,541,6·109

526xyS

96,043,1·1,4

65,5

r correlación negativa y muy

fuerte.

21º.- En un taller trabajan 12 operarios. La siguiente tabla da el tiempo empleado por cada uno de

ellos, durante la jornada de la mañana (X), y de la tarde (Y), en realizar determinado montaje (los

tiempos se miden en minutos):

X 12 11 9 13 10 11 12 14 10 9 11 12

Y 14 11 14 11 12 15 12 13 16 10 10 14

Halla el coeficiente de correlación entre ambas variables.


Solución:


2 ii fy ·

ii fy ·2

iii fyx ··

12 14 2 24 288 28 392 336

11 11 1 11 121 11 121 121

9 14 1 9 126 14 196 126

13 11 1 13 143 11 121 143

10 12 1 10 120 12 144 120

11 15 1 11 165 15 225 165

12 12 1 12 144 12 144 144

14 13 1 14 182 13 169 182

10 16 1 10 160 16 256 160

9 10 1 9 90 10 100 90

11 10 1 11 110 10 100 110

12 134 1522 152 1969 1697

17,1112

134x ; 51,117,11

12

1522 2 xS ; 67,1212

152y ; 93,167,12

12

1969 2 yS ;

1072,067,12·17,1112

1697xyS 036,0

93,1·51,1

1072,0

r variables independientes.

ESTUDIO ANALÍTICO DE LA REGRESIÓN LINEAL

Sobre el diagrama de dispersión de la variable bidimensional (x,y) se dibuja una recta llamada recta de

regresión de y sobre x, que es, en primera aproximación, la línea que más se ajusta a esa nube de

puntos.

El problema del mejor ajuste se resuelve obligando a que la suma de los cuadrados de las desviaciones

sea lo menor posible. Así se obtienen las llamadas rectas de regresión:

Recta de regresión de y sobre x: xxs

Syy

x

xy

2

Recta de regresión de x sobre y: yys

Sxx

y

xy

2

EJERCICIOS

22º.- (ejercicio resuelto pág. 313): Una empresa dedicada a la elaboración y venta de ropa para

jóvenes ha realizado los gastos en publicidad y ha obtenido las ventas que figuran en la siguiente tabla.

Los datos vienen expresados en miles de € y se refieren a los últimos diez años.

Publicidad 7,5 8 8,5 10 10,5 12 13 14 15 18

Ventas 200 205 230 240 250 270 280 300 310 325

Si llamamos X a la variable gastos en publicidad e Y a beneficios de ventas, halla:

a) El coeficiente de correlación lineal. Analiza la dependencia de ambas variables.

b) La recta de regresión de Y sobre X.

c) La empresa decide invertir el próximo año 25 miles de € en publicidad. Si se mantiene la

misma tendencia de los años anteriores, ¿cuál es el volumen de ventas esperado?

d) Si la empresa desea lograr 500 miles de € en ventas, ¿cuánto debe invertir en publicidad?


Solución:

ix 2

ix iy 2

iy ii yx ·

7,5 56,25 200 40000 1500

8 64 205 42025 1640

8,5 72,25 230 52900 1955

10 100 240 57600 2400

10,5 110,25 250 62500 2625

12 144 270 72900 3240

13 169 280 78400 3640

14 196 300 90000 4200

15 225 310 96100 4650

18 324 325 105625 5850

116,5 1460,75 2610 698050 31700

65,1110

5,116x ; 22,365,11

10

75,1460 2 xS ;

26110

2610y ; 04,41261

10

698050 2 yS ; 35,129261·65,1110

31700xyS

a) 98,004,41·22,3

35,129r grado de dependencia entre las dos variables bueno.

b) Recta de regresión de y sobre x: 65,1122,3

35,129261

2 xy 44,11549,12 xy

c) Si x = 25 miles de €, obtenemos una estimación de las ventas de y = 427,69 miles de €.

d) Si y = 500 miles de €, la empresa deberá invertir en publicidad, aproximadamente, 30,79 miles de €.

23º.- (ejercicio 6 pág. 321): La estadística de ingresos de determinadas empresas, en millones de €, y

de empleados, en miles, es la siguiente:

Ingresos 5,7 3,8 1,9 1 1

Empleados 16 29 17 6 9

a) Estudia la correlación existente entre ambas variables.

b) Determina la recta de regresión de: ingresos, en miles de millones; empleados, en miles.

Solución: 68,2x ; 82,1xS ; 4,15y ;

96,7yS ; 47,8xyS

a) 58,096,7·82,1

47,8r

b) Recta de regresión de y sobre x:

68,292,3

47,84,15 xy

Recta de regresión de x sobre y:

4,1513,068,2 yx x = 0,13 y + 0,68

ix iy 2

ix 2

iy ii yx ·

5,7 16 32,49 256 91,2

3,8 29 14,44 841 110,2

1,9 17 3,61 289 32,3

1 6 1 36 6

1 9 1 81 9

13,4 77 52,54 1503 248,7


24º.- (ejercicio 7 pág. 321): Una compañía discográfica ha recopilado la siguiente información sobre el

número de conciertos dados, durante el verano, por 15 grupos musicales y las ventas de discos de estos

grupos (expresadas en miles de CDs), obteniéndose los datos siguientes:

conciertos\CDs 10 - 30 30 - 40 40 – 80

1 – 5 3 0 0

5 – 10 1 4 1

10 – 20 0 1 5

a) Calcula el número medio de CDs vendidos por estos grupos.

b) ¿Cómo es el grado de dependencia lineal del número de conciertos dado por el grupo con

respecto al número de discos que ha vendido?

c) Obtén la recta de regresión que explica la dependencia anterior.

d) Si un grupo musical ha vendido 18000 CDs, ¿qué número de conciertos es previsible que dé?

Solución:

ix

conciertos

iy

CDs

(en miles)

if ii fx · ii fx ·

2 ii fy ·

ii fy ·2

iii fyx ··

3 20 3 9 27 60 1200 180

7,5 20 1 7,5 56,25 20 400 150

7,5 35 4 30 225 140 4900 1050

7,5 60 1 7,5 56,25 60 3600 450

15 35 1 15 225 35 1225 525

15 60 5 75 1125 300 1800 4500

144 1714,5 615 6855

6,9x ; 71,4xS ; 41y ; 55,16yS ; 6855·· iii fyx .

a) El número medio de elepés vendidos es 9600.

b) Para conocer el grado de dependencia que existe entre las dos variables, calculamos el coeficiente

de correlación lineal:

4,6341·6,915

6855xyS ; 81,0

55,16·7,4

4,63r correlación positiva y moderada.

c) Recta de regresión de y sobre x: 6,97,4

4,6341

2 xy 44,1387,2 xy .

d) Si un grupo musical ha vendido 18000 CDs, para saber el número de conciertos que estimamos que

dará sustituimos en la ecuación de la recta x = 18 y obtenemos: 6544,1318·87,2 y

conciertos.

25º.- (ejercicio 8 pág. 321): Se ha observado una variable estadística bidimensional y se ha obtenido la

siguiente tabla:

Y/X 100 50 25

14 1 1 _

18 2 3 _

22 _ 1 2


a) Calcula la covarianza.

b) Obtén e interpreta el coeficiente de correlación lineal.

c) Determina la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X.

Solución: En una tabla simple tendremos los siguientes valores:

X 100 100 50 50 50 25

Y 14 18 14 18 22 22

if 1 2 1 3 1 2


2 ii fy ·

ii fy ·2

iii fyx ··

100 14 1 100 10000 14 196 1400

100 18 2 200 20000 36 648 3600

50 14 1 50 2500 14 196 700

50 18 3 150 7500 54 972 2700

50 22 1 50 2500 22 484 1100

25 22 2 50 1250 44 968 1100

10 600 43750 184 3464 10600

60x ; 83,27xS ; 4,18y ; 8,2yS

a) 444,18·6010

10600xyS

b) 56,08,2·83,27

44

r correlación negativa y débil.

c) Recta de regresión de y sobre x: 6051,774

444,18

xy

26º.- (ejercicio 11 pág. 322): La siguiente tabla muestra las notas que 5 amigos de primer curso de

Bachillerato obtuvieron en la 1ª y 2ª evaluación en la asignatura de Inglés:

1ª evaluación (X) 5 6,5 8 4 3

2ª evaluación (Y) 4,5 7 7,5 5 3,5

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal, interpretando el resultado.

b) Determina las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

c) Halla el punto donde se cortan las dos rectas de regresión.

Solución: 3,5x ; 78,1xS ; 5,5y ; 52,1yS ; 55,2xyS

a) 94,052,1·78,1

55,2r

b) Rectas de regresión: de y sobre x: 3,517,3

55,25,5 xy ; De x sobre y: 5,5

31,2

55,23,5 yx

c) Ambas rectas se cortan en el punto de coordenadas: x = 5,3 e y = 5,5.

28º.- Calcula las ecuaciones y dibuja las rectas de regresión del ejercicio 7 de la página 7

(ECOSISTEMA).


Solución:

ix iy 2

ix 2

iy ii yx ·

5 4,5 25 20,25 22,5

6,5 7 42,25 49 45,5

8 7,5 64 56,25 60

4 5 16 25 20

3 3,5 9 12,25 10,5

26,5 27,5 156,25 162,75 158,5

7,17x ; 43,1xS ; 3,2y ; 55,0yS ; 665,0xyS .

Recta de y sobre x: 7,1743,1

665,03,2

2 xy 333,0 xy

Recta de x sobre y: 3,255,0

665,07,17

2 yx 6,122,2 yx .

29º.- La covarianza positiva de una distribución resulta ser los 4

3 del producto de las desviaciones

típicas marginales, y la pendiente de la recta de regresión de y sobre x vale 1. Halla el coeficiente de

correlación y la pendiente de la otra recta de regresión.

Solución:

xy

x

xy

y

xy

x

xy

x

x

xy

x

y

xy

yxxy

sss

S

s

S

s

Ss

s

S

ss

SssS

3

4

4

3

1

4

3·

4

3

2

. Entonces:

16

91·

16

9

16

9

3

42222

x

xy

x

xy

y

xy

s

S

s

S

s

Sm ;

4

3

·

yx

xy

ss

Sr

30º.- Un conjunto de personas tiene como media de sus pesos 60 kg, siendo la media de sus alturas de

168 cm, con desviaciones típicas respectivas de 4,8 kg y 8 cm. La covarianza de las dos variables es 38.

Calcula la recta de regresión de peso sobre altura, y el peso de una persona de 175 cm de estatura.

Solución:

kgx 60 ; 8,4xS ; cmy 168 ; cmS y 8 ; 38xyS .

Recta de x sobre y: 1688

3860

2 yx 12,9959,060 yx 12,3959,0 yx .

P(y=175 cm): x = 0,59 · 175 – 39,12 = 103,25 – 39,12 = 64,13 kg.

31º.- Cinco estudiantes han preparado una prueba durante las horas que se indican y han obtenido las

siguientes notas:

X (tiempo) 8 18 9 16 12

Y (nota) 6 9 5 8 6


a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.

b) Halla la ecuación de la recta de regresión de y sobre x.

c) Para obtener una nota de un 10, ¿qué tiempo se estima necesario?

Solución:

ix iy ii fx ·

2 ii fy ·

2 iii fyx ··

8 6 64 36 48

18 9 324 81 162

9 5 81 25 45

16 8 256 64 128

12 6 144 36 72

63 34 455

6,12x horas; 8,6y ; 04,152xS ; 878,3xS ; 16,2

2yS ; 47,1yS ; 32,5xyS .

a) 933,0470,1·878,3

32,5r

b) 6,1204,15

32,58,6 xy 3396,2354,0 xy .

c) 8,616,2

32,56,12 yx 15,446,2 yx el tiempo estimado para sacar un 10 es de

2,46·10-4,15=20,45 horas.

32º.- Una empresa que fabrica componentes eléctricos para automoción construye una determinada

pieza en fábricas que tiene en cuatro países distintos, P, Q, R y S. El departamento de verificación pasa

un control de calidad sobre 50 piezas producidas en cada uno de esos países, con los resultados que se

indican:

Países/piezas P Q R S

Defectuosas 30 20 10 40

Buenas 20 30 40 10

A) Establece la distribución de frecuencias relativas de D (defectuosas) y B (buenas) y sus

distribuciones marginales.

B) Halla la distribución de piezas defectuosas, según los países de donde proceden.

Solución:

a) Se divide cada frecuencia absoluta por el número total de piezas verificadas, es decir, 200.

b) 3,05,0

15,0/

D

DPDP

f

ff el 30 % de piezas defectuosas procede del país P.

2,05,0

10,0/

D

DQ

DQf

ff el 20 % de piezas defectuosas procede del país Q.

1,05,0

05,0/

D

DRDR

f

ff el 10 % de piezas defectuosas procede del país R.

4,05,0

20,0/

D

DS

DSf

ff el 40 % de piezas defectuosas procede del país S.


33º.- Las rectas de regresión de una

distribución bidimensional (x,y) son las de la

siguiente figura. Con esos datos y sabiendo,

además, que el producto de las desviaciones

típicas marginales vale 1,5, halla la covarianza.

Solución:

- x sobre y: 11º135tanº13522

y

xy

s

SmA

- y sobre x: 57,027,0º150tanº15021

x

xy

s

SmB

5,1· yx ss ; Resolviendo el sistema: 13,1xyS

34º.- La recta de regresión de y sobre x de una distribución bidimensional (x,y) de covarianza positiva

es una de las siguientes. Deduce razonadamente cuál de las siguientes puede ser:

a) y – 1 = 2 – x b) y = -x + 4 c) y + 2x – 1 = 0 d) y + 1 = x - 2

Solución:

a) 00321 xySmxyxy

b) NOSmxy xy 004

c) NOSmxy xy 0012

d) SISmxyxy xy 00321

35º.- El coeficiente de correlación lineal de una distribución estadística bidimensional (x,y) es r = -0,8.

Una de las cuatro ecuaciones de la recta de regresión de y sobre x que se facilita no puede ser de esta

regresión. Descúbrela y razona porqué.

a) y = – x + 1 b) y = 2 - x c) y + 2x – 1 = 0 d) y – 3x = 2

Solución: r = -0,8

a) 1xy si puede.

b) xy 2 si puede.

c) 12012 xyxy si puede.

d) 02323 mxyxy no puede.

36º.- Una asociación dedicada a la protección de la infancia desea estudiar la relación entre la

mortalidad infantil en cada país y el número de camas de hospital por cada mil habitantes. Para ello,

posee los siguientes datos sobre 10 países concretos que pueden considerarse representativos del

resto:

X 50 100 70 60 120 180 200 150 30 90

Y 5 2 2,5 3,75 4 1 1,25 0,75 7 3

de forma que X representa el número de camas por cada mil habitantes e Y el tanto por ciento de

mortalidad infantil en un país correspondiente.

a) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de X.


b) Calcula razonadamente la media y la desviación típica de Y.

c) ¿Qué distribución está más dispersa? Razona la respuesta.

d) Calcula el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.

e) Encuentra la recta de regresión de y sobre x y estima la mortalidad infantil en el caso de

existir 150 camas.

Solución:

a) 10510

1050x camas por cada 1000 hab.; 898,53105

10

139300 2 xS

b) 025,310

25,30y % de mortalidad infantil; 87,1025,3

10

44,126 2 yS

c) 37,82025,3·11510

5,2352xyS ; 51,0

x

SCV x

x y 62,0y

SCV

y

y : más dispersa la y.

d) 81,087,1·898,53

37,82

r correlación negativa y alta.

e) Recta de regresión de y sobre x: 105898,53

37,82025,3

2

xy 105028,0025,3 xy

Estimación para x = 150 camas: mortalidad infantil: y = 1,765 %.

37º.- Las rectas de regresión de 4 distribuciones bidimensionales son las siguientes:

a) y=x+2; x=4 b) y=(4/5)x+2; x=(5/6)y+2

c) y=3; x=2 d) y=x; x=(4/5)y+1

¿En qué casos es significativa la regresión lineal?

Solución:

Cuanto menor es el ángulo entre las rectas, mayor es el valor del coeficiente de correlación lineal, es

decir, representando gráficamente las rectas, se tiene que serían significativas las opciones de los

apartados “b” y “d”. El apartado “a” presenta correlación escasa y el apartado “c” correlación nula.

38º.- Se observaron las edades de 5 niños y sus pesos respectivos, obteniéndose los siguientes

resultados:

Edad, en años (x) 2 4,5 6 7,2 8

Peso, en kg (y) 15 19 25 33 34

a) Halla el coeficiente de correlación y las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

b) ¿Qué peso corresponderá a un niño de 5 años? ¿Qué edad corresponderá a un peso de 36

kg?

Solución:

ix iy if ii fx ·

2 ii fy ·

2 iii fyx ··

2 15 1 4 225 30

4,5 19 1 20,25 361 85,5

6 25 1 36 625 150

7,2 33 1 51,84 1089 237,6

8 34 1 64 156 272

27,7 126 5 176,09 3456 775,1


54,5x ; 13,2xS ; 2,25y ; 49,7yS ; 4,15xyS

a) 96,045,7·13,2

4,15r . Recta de regresión de y sobre x:

99,640,354,553,4

4,152,25 xyxy

De x sobre y: 04,427,02,2549,7

69,1554,5

2 yxyx

b) Si x = 5 años, obtenemos un peso de y = 23,99 kg.

Si y = 36 kg, la edad correspondiente será: x = 14,09 años.

39º.- En la siguiente tabla se indica la edad (en años) y la conducta agresiva (media en una escala de 1 a

10), de 10 niños.

Edad 6 6,4 6,7 7 7,4 7,9 8 8,2 8,5 8,9

Conducta agresiva 9 6 7 8 7 4 2 3 2 1

a) Obtén la recta de regresión de la conducta agresiva, en función de la edad.

b) A partir de dicha recta, obtén el valor de conducta agresiva que corresponderá a un niño de

7,2 años.

Solución:

75xf ; 72,5702 fx ; 49yf ; 3132 fy ; 2,345xyf .

5,7x ; 91,0xS ; 9,4y ; 7,2yS ; 23,2xyS

a) Recta: 5,772,29,4 xy y = -2,72 x + 25,3

b) Si x = 7,2 años, entonces: y = 5,72.

40º.- Las puntuaciones obtenidas por los alumnos de un curso en una batería de test que mide la

habilidad verbal (X) y el razonamiento abstracto (Y), son los siguientes:

X/Y 20 30 40 50

[25,35) 6 4 _ _

[35,45) 3 6 1 _

[45,55) _ 2 5 3

[55,65) _ 1 2 7

a) ¿Existe correlación entre ambas variables?

b) Según los datos de la tabla, si uno de estos alumnos obtiene una puntuación de 70 puntos en

razonamiento abstracto, ¿en cuánto se estimará su habilidad verbal?


X 30 30 40 40 40 50 50 50 60 60 60

Y 20 30 20 30 40 30 40 50 30 40 50

if 6 4 3 6 1 2 5 3 1 2 7

45x ; 18,11xS ; 75,34y ; 95,10yS ; 75,98xyS


a) 8,095,10·18,11

75,98r correlación positiva y moderada.

b) Recta de regresión de y sobre x: 4599,124

75,9875,34 xy

Recta de regresión de x sobre y: 8,079,045125

75,9875,34 yxxx

Si y = 70, la habilidad verbal es: x = 54,5.

41º.- La producción anual de aluminio en una fábrica, durante el período 1970-1981, ha sido, en

millones de kilos:

Años 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981

Producción 4 5 4 6 5 3 4 5 6 4 5 6

a) Determina la ecuación de la línea de tendencia de producción durante el citado período.

b) Suponiendo que se mantenga la anterior tendencia durante el período 1981-1989, estima la

producción para el año 1988.


X 1970 1971 1972 1973 1974 1075 1976 1977 1978 1979 1980 1981

Y 4 5 4 6 5 3 4 5 6 4 5 6

5,6x ; 45,3xS ; 75,4y ; 96,0yS

a) 5,653,12

96,075,4 xy

b) El año 1998 corresponde a x = 19. Entonces, la producción aproximada será: y = 5,71.

42º.- Una empresa dispone de los datos de la tabla:

Número de vendedores 3 4 5 8 10

Número de pedidos 90 110 140 190 235

Estima el número de pedidos que obtendrían 9 vendedores. Indica el método utilizado en el cálculo de la

estimación y la fiabilidad de esta estimación.

Solución: 6x ; 6,2xS ; 153y ; 1,53yS ; 138xyS ; 996,01,53·61,2

138r correlación

lineal muy fuerte. Recta de regresión: 681,6

138153 xy

Si x = 9, entonces el número de pedidos será: y = 213,78.

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