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Espacio Vectorial
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Espacio vectorialSaltar a: navegación, búsqueda
Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector
Representación artística de un espacio vectorial.
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Historia
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.nota 1 Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.nota 2 Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.nota 3
La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.
El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).nota 4 Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.
En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.nota 5 En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.nota 6
Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920nota 7 y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Notación
Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen.
Los elementos de como:
se llaman vectores.
Caligrafias de otras obras
Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:
Los elementos de como:
se llaman escalares.
Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir
2) tenga la propiedad asociativa, es decir
3) tenga elemento neutro , es decir
4) tenga elemento opuesto, es decir
y la operación producto por un escalar:
operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:
6) sea elemento neutro del producto:
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
Véase también: Espacio euclídeo.
Véase también: Vector.
Véase también: Representación gráfica de vectores.
Observaciones
La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:
Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo y admiten una
redefinición del tipo y cumpliendo las 8 condiciones exigidas.
Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.
Si no se dice lo contrario:
.
Propiedades
Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:
Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:
supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:
Unicidad del elemento en el cuerpo :
supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:
Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:
Producto de un escalar por el vector neutro:
Producto del escalar 0 por un vector:
Si
Si es cierto.
Si entonces:
Notación
.
Observación
Si
Si
Primer ejemplo con demostración al detalle
Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre
Si juega el papel de y el de :
Los elementos:
son, de forma genérica:
es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente
En se define la operación suma:
donde:
y la suma de u y v sería:
donde:
esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.
La operación interna suma tiene las propiedades:
1) La propiedad conmutativa, es decir:
2) La propiedad asociativa:
3) tiene elemento neutro :
4) tenga elemento opuesto:
La operación producto por un escalar:
El producto de a y u será:
donde:
esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aún así está bien definida.
5) tenga la propiedad:
Esto es:
6) sea elemento neutro en el producto:
Que resulta:
Que tiene la propiedad distributiva:
7) distributiva por la izquierda:
En este caso tenemos:
8) distributiva por la derecha:
Que en este caso tenemos:
Queda demostrado que es espacio vectorial.
Ejemplos de espacios vectoriales
Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
es un espacio vectorial de dimensión uno sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre . es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre .
Sucesiones sobre un cuerpo
El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n -tuplas , es decir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones:
(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).
a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).
Las sucesiones infinitas de son espacios vectoriales con las operaciones:
(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).
a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).
El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:
También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , así por ejemplo tenemos las cajas
sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.
Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo
El conjunto de las aplicaciones , un cuerpo y un conjunto, también forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:
Los polinomios
Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.
El espacio vectorial K [x] formado por funciones polinómicas, veámoslo:
Expresión general: ,donde los
coeficientes , considérese .
, donde
y ,
.
Las series de potencias son similares, salvo que se permiten infinitos términos distintos de cero.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:
Expresión general:
,
.
Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneasArtículos principales: Ecuación lineal, Ecuación diferencial lineal y Sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables
o equivalentemente
simplificado como
Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que es
siempre una solución, es decir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones:
Si
Si .
Veamos que las ecuaciones en sí, filas de la matriz notadas como una matriz ,
es decir, , son también un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones:
Si
Si .
Definición de subespacio vectorial
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:
Consecuencias
hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .
Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.
Resultados internos
Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial.
Combinación lineal
Cada vector u es combinación lineal de forma única
Dado un espacio vectorial , diremos que un vector u es combinación lineal de los
vectores de si existen escalares tales que
Notaremos como el conjunto resultante de todas las combinaciones lineales de los vectores de .
Proposición 1
Dado un espacio vectorial y un conjunto de vectores, el conjunto
es el subespacio vectorial más pequeño contenido en y que contiene a .
[Mostrar] Demostración
Nota. En este caso diremos que es un sistema de generadores que genera a .
Independencia lineal
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no se puede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de , es decir:
Si.
Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.
Proposición 2
son linealmente dependientes
[Mostrar] Demostración
Base de un espacio vectorialArtículos principales: Base y Dimensión.
Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base
a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,
donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuación
a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0
sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.
Base formalmente
v1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencia lineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse
Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si son linealmente independientes.
Proposición 3. Dado un espacio vectorial es una
base .
Proposición 4. Dado un espacio vectorial linealmente
independiente y es linealmente independiente.
Teorema de la base de generadores
Todo sistema de generadores tiene una base.
Teorema Steinitz
Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.
Corolario. Si un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base posee vectores.
Observación
Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente del axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. Si el espacio es generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría de conjuntos.
Dimensión
Dado un espacio vectorial sobre :
Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base. Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.
Notación
Dado un espacio vectorial y un subespacio , tenemos que:
Si tiene dimensión lo indicaremos como .
Si tiene dimensión como subespacio de lo indicaremos como
.
Intersección de subespacios vectoriales
Dado dos subespacios vectoriales , la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lo notaremos como:
.
Observaciones. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.
La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.
Suma de subespacios vectoriales
Dado dos subespacios vectoriales , la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la notaremos como:
.
Observación. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.
Teorema Fórmula de Grassmann
Dado dos subespacios vectoriales de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:
.
Suma directa de subespacios vectoriales
Dado dos subespacios vectoriales , diremos que es una suma
directa si y lo notaremos como:
.
Cociente de espacios vectoriales
Dado un espacio vectorial y un subespacio vectorial .
Dados diremos que están relacionados modulo si .
La relación anterior es una relación de equivalencia.
Se nota por
a la clase de modulo .
Llamaremos conjunto cociente o espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior:
Se nota por a dicho espacio cociente.
El espacio es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:
Construcciones básicas
Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también se caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.
Suma directa de espacios vectoriales
Dado dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , llamaremos suma
directa al espacio vectorial , veamos que están bien definidas las dos operaciones:
,
.
Espacios vectoriales con estructura adicional
Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.
Espacios normadosArtículos principales: Espacio vectorial normado y Norma (matemáticas).
Un espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.
Espacio métrico
Un espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia.
Proposición 5. Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada por:
Toda distancia inducida por la norma es una distancia.
Espacios vectoriales topológicosArtículo principal: Espacio vectorial topológico.
Dada una topología sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones del espacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:
es una topología vectorial sobre , es un espacio vectorial topológico.
Proposición 6.. Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio normado.Proposición 7.. Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.
Espacios de BanachArtículo principal: Espacio de Banach.
Un espacio de Banach es un espacio normado y completo.
Espacios prehilbertianosArtículo principal: Espacio prehilbertiano.
Un espacio prehilbertiano es un par , donde es un espacio vectorial y
es un producto a escalar.
Espacios de HilbertArtículo principal: Espacio de Hilbert.
Un espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.
Morfismos entre espacios vectoriales
Son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir, conservan las dos operaciones y las propiedades de éstas de uno a otro de dichos espacios.
Aplicaciones linealesArtículo principal: Aplicación lineal.
Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación es lineal si:
,
.
Subespacio vectorialSaltar a: navegación, búsqueda
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V..
Contenido
1 Definición o 1.1 Consecuencias o 1.2 Criterio de verificación
2 Ejemplos 3 Operaciones con subespacios
o 3.1 Unión o 3.2 Intersección o 3.3 Suma
3.3.1 Suma directa 4 Dimensiones de subespacios
o 4.1 En la suma directa 5 Véase también 6 Referencias
Definición
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:
Consecuencias
Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es un espacio vectorial.
[Mostrar] Demostración
Notaciones
Dado un subespacio vectorial, se tiene:
Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
[Mostrar] Demostración
Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
[Mostrar] Demostración
Criterio de verificación
Es posible sintesizar i) y ii) en una condición única:
Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualquiera dos vectores v, w pertecientes a U y cualquier escalar r perteneciente al campo asociado, el vector es también un elemento de U.
Ejemplos
Dado el espacio vectorial , sus elementos son del tipo .
y están alineados, ,
y forman un paralelogramo si no están alineados,
El subconjunto
.
es un subespacio vectorial.
[Mostrar] Demostración
El subconjunto
no es un subespacio vectorial.
[Mostrar] Demostración
Operaciones con subespacios
Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:
Unión
En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.
Intersección
La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma directa
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".1
Es decir que si Lo que quiere decir también que todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.
Dimensiones de subespacios
Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios y será igual a la dimensión del subespacio más la dimensión del subespacio menos la dimensión de la intersección de ambos.
Por ejemplo, siendo y y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, .
En la suma directa
En el caso particular de la suma directa, como .La fórmula de Grassman resulta:
Entonces en el ejemplo anterior, resultaría .
Producto vectorialSaltar a: navegación, búsqueda
Esquema
En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).
Definición
Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
El módulo de está dado por
donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
Producto vectorial de dos vectores
Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:
En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]
Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:
Expandiendo el determinante:
Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).
Propiedades
Identidades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. , cancelación por ortogonalidad.
3. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
4. .
5. , conocida como regla de la expulsión.
6. , conocida como identidad de Jacobi.
7. , en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
8. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .
Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial . Se dice que es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano derecha.
Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un vector físico.
Dual de HodgeArtículo principal: Dual de Hodge.
En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto
de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:
Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
Generalización a n dimensiones
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede
generalizarse a dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado por:
Otros productos vectoriales
Dados dos vectores, se definen tres operaciones matemáticas de tipo producto entre ellos:
producto escalar producto vectorial producto tensorial
El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase operador norma) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado producto mixto de tres vectores.
En el espacio afín bidimensional, , el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo espacio vectorial, esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el espacio afín tridimensional, , el producto vectorial es una operación interna.
Producto escalarSaltar a: navegación, búsqueda
En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto (en inglés, dot product), es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite
explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
Contenido
1 Definición general 2 Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
o 2.1 Proyección de un vector sobre otro o 2.2 Ángulos entre dos vectores o 2.3 Vectores ortogonales o 2.4 Vectores paralelos o en una misma dirección
3 Propiedades del producto escalar 4 Expresión analítica del producto escalar 5 Norma o Módulo de un vector 6 Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales 7 Generalizaciones
o 7.1 Formas cuadráticas o 7.2 Tensores métricos
8 Véase también 9 Referencias
o 9.1 Bibliografía 10 Enlaces externos
Definición general
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una expresión
donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido B. debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad
conjugada por la derecha:
2. Hermiticidad : ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores de V, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:
.
Definición geométrica del producto escalar en un espacio euclídeo real
A • B = |A| |B| cos(θ).|A| cos(θ) es la proyección escalar de A en B.
El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
En los espacios euclídeos, la notación usual de producto escalar es
Esta definición de carácter geométrico es independiente del sistema de coordenadas elegido y por lo tanto de la base del espacio vectorial escogida.
Proyección de un vector sobre otro
Puesto que |A| cos θ representa el módulo de la proyección del vector A sobre la dirección del vector B, esto es |A| cos θ = proy AB, será
de modo que el producto escalar de dos vectores también puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.
ya que el .
Vectores paralelos o en una misma dirección
Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180 grados).
Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:
2. Distributiva respecto a la suma vectorial:
3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:
Expresión analítica del producto escalar
Si los vectores A y B se expresan en función de sus componentes cartesianas rectangulares, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i , j , k} tenemos:
El producto escalar se realiza como un producto matricial de la siguiente forma:
Norma o Módulo de un vector
Se define como la longitud del segmento orientado (vector) en el espacio métrico considerado.
Se calcula a través del producto interno del vector consigo mismo.
Efectuado el producto escalar, tenemos:
de modo que
Por componentes, tomando la base canónica en formada por los vectores unitarios {i, j, k}
de modo que
Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior (llamado, en este caso en concreto, producto punto) por:
En el espacio vectorial se suele definir el producto interior por:
Siendo el número complejo conjugado de
En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos reales
donde tr(A) es la traza de la matriz B y es la matriz traspuesta de A.
En el espacio vectorial de las matrices de m x n , con elementos complejos
donde tr(A) es la traza de la matriz B y es la matriz traspuesta conjugada de A.
En el espacio vectorial de las funciones continuas sobre el intervalo C[a, b], acotado por a y b:
En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n:
Dado tal que :
Generalizaciones
Formas cuadráticas
Dada una forma bilineal simétrica definida sobre un espacio vectorial puede definirse un producto escalar diferente del producto escalar euclídeo mediante la fórmula:
Donde:
es una base del espacio vectorial
Puede comprobarse que la operación anterior satisface todas las propiedades que debe satisfacer un producto escalar.
Tensores métricos
Se pueden definir y manejar espacio no-euclídeos o más exactamente variedades de Riemann, es decir, espacios no-planos con un tensor de curvatura diferente de cero, en los que también podemos definir longitudes, ángulos y volúmenes. En estos espacios más generales se adopta el concepto de geodésica en lugar del de segmento para definir las distancias más cortas en entre puntos y, también, se modifica ligeramente la definición operativa del producto escalar habitual introduciendo un tensor métrico
, tal que la restricción del tensor a un punto de la variedad de Riemann es una forma bilineal .
Así, dados dos vectores campos vectoriales y del espacio tangente a la variedad de Riemann se define su producto interno o escalar como:
La longitud de una curva rectificable C entre dos puntos A y B se puede definir a partir de su vector tangente de la siguiente manera:
Combinación linealSaltar a: navegación, búsqueda
Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores
si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , de forma que:
.
Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de .
Ejemplo: . Se dice que es combinación lineal de y de ,
porque podemos escribir sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector en cuestión.
Expansión lineal
Dado un conjunto de vectores , finito o infinito, se llama expansión lineal, denotada
como al conjunto:
Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de que contiene al conjunto .
Sistema generadorSaltar a: navegación, búsqueda
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En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema de generador s al conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo.
No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no es cierta. Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.
Cabe concluir pues, que para cualquier sistema generador V formado por n elementos, siempre podremos hallar una base B comprendida en V con un número de elementos estrictamente menor que n (de ser igual obtendríamos la base en sí y no hablaríamos de sistema generador).
Generalmente se emplea la siguiente notación:
Donde V es el espacio vectorial generado por el sistema S, el cual está compuesto por n vectores, siendo n mayor o igual a la dimensión del espacio V.
Dependencia e independencia lineal(Redirigido desde Independencia lineal)
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En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Contenido
1 Definición 2 Significación geométrica 3 Ejemplo
o 3.1 Método alternativo usando determinantes 4 Ejemplo II
o 4.1 Demostración 5 Ejemplo III
o 5.1 Demostración 6 Temas relacionados
Definición
Sea un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tal que:
Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre
las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.
3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será linealmente dependiente.
Significación geométrica
Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área.
Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.
El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).
Ejemplo
En el espacio tridimensional usual:
u y j son dependientes por tener la misma dirección. u y v son independientes y definen el plano P.
u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano. u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de
ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.
Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k
Ejemplo del uso de la fórmula f:
¿Son los tres vectores siguientes independientes?
Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:
Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:
Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.
Método alternativo usando determinantes
Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rn son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero.
Dados los vectores:
La matriz formada por éstos es:
El determinante de esta matriz es:
Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.
Ejemplo II
Sea V = Rn y consideremos los siguientes elementos en V:
Entonces e1, e2,..., en son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R.
Demostración
Supongamos que a1, a2,..., an son elementos de R tales que:
Sustituyendo e1, e2,..., en resulta:
Multiplicando:
Sumando coordenadas:
Por lo que se obtiene:
Así que:
Además:
Pero 0 es un vector, entonces:
Por lo que ai = 0 para todo i en {1,..., n}.
Entonces los vectores son linealmente independientes
Ejemplo III
Sea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones et y e2t en V son linealmente independientes.
Demostración
Supongamos que a y b son dos números reales tales que:
aet + be2t = 0
Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por et (que es un número real diferente de cero, sea cual sea t) y restando obtenemos:
bet = −a
En otras palabras, la función bet debe ser independiente de t, lo cual ocurre cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.
Base (álgebra)Saltar a: navegación, búsqueda
.
En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V. Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente. Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la
base B (es decir, B es un sistema generador de V).Nota 1
Lema de Zorn y existencia de bases
Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial posee una base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Por ser así, tal cardinalidad sera llamada como la dimensión del espacio vectorial.
Otras propiedades, consecuencias del lema de Zorn:
Todo sistema generador de un espacio vectorial contiene una base vectorial (de Hamel).
Todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial, puede ser extendido a una base.
Observaciones adicionales
1. Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales.
2. Dado un vector v y una base B de un espacio vectorial V, existe una única manera de escribir a v como combinación lineal de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector en una base es única.
3. De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mismo espacio vectorial. Por ejemplo, si
, una base muy sencilla de V es:
la cual es conocida como base canónica de . Otras bases de son:
En general, toda base de estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a . Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito.
1. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos.
2. No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los polinomios de una variable tienen infinitos elementos. Una
posible base es la formada por las potencias de X:
Espacios de dimensión infinita
En el caso de espacios vectoriales de dimensión infinita, como los que aparecen en análisis funcional existen algunas distinciones pertinentes que es importante señalar.
Bases de Hamel y de Hilbert
En un espacio vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de extender el concepto de combinación lineal finita. De un lado si consideramos únicamente combinaciones lineales finitas llegamos al concepto de base de Hamel o base lineal. Puede probarse que todas las bases de Hamel tienen el mismo número de elementos, este número o cardinal se llama dimensión lineal o dimensión de Hamel. Un conjunto constituye una base de Hamel si y solo si:
En un espacio de dimensión de Hamel finita, se puede encontrar solamente un número finito de vectores ortogonales dos a dos, en cambio, cuando la dimensión de Hamel es infinita, pueden introducirse en los espacios de Hilbert ciertas "combinaciones lineales infinitas" en términos de vectores ortogonales. En un espacio de Hilbert de dimensión infinita se dice que un conjunto es una base de Hilbert o base ortogonal, si y solo si:
Nuevamente sucede que todas las bases ortogonales tienen el mismo cardinal, por lo que se define el concepto de dimensión de Hilbert como el cardinal de cualquier base de Hilbert.
Dimensión vectorial
La dimensión de un espacio vectorial se define como el número de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión infinita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hamel, podemos definir la dimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert. Se tiene que para cualquier espacio vectorial V, la relación entre dimensión de Hammel y dimensión de Hilbert es la siguiente:
(1)
En espacios de dimensión finita también se pueden definir las bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonales. De hecho, para un espacio de dimensión finita, la dimensión de Hilbert es igual a la dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel es base de Hilbert y viceversa, por lo que para un espacio de dimensión finita en (1) se da siempre la igualdad.
Coordenadas cartesianasSaltar a: navegación, búsqueda
Tres ejemplos de coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus proyecciones ortogonales sobre los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas.
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos caracterizadas por la existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente.
Contenido
1 Historia 2 Recta euclídea 3 Plano euclídeo 4 Espacio euclídeo 5 Cambio del sistema de coordenadas
o 5.1 Traslación del origen o 5.2 Rotación alrededor del origen o 5.3 Escalado
6 Cálculo matricial 7 Véase también 8 Notas y referencias 9 Enlaces externos
Historia
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».
Recta euclídea
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de un punto O, y negativo si está a la izquierda. Dicho punto se llama origen de coordenadas O (letra O) y se asocia al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual se define un origen de coordenadas, simbolizado con la letra O (O de origen) y un vector unitario en la dirección positiva de las x: .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y se le pueden aplicar todas las operaciones correspondientes a espacios vectoriales. También se le llama recta real.
Un punto:
también puede representarse:
La distancia entre dos puntos A y B es:
Plano euclídeo
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.
Sistema de coordenadas cartesianas.
La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0).
Se denomina también eje de las abscisas al eje x, y eje de las ordenadas al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas).
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.
La posición del punto A será:
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.
Espacio euclídeo
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z), denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.
coordenadas cartesianas espaciales.
Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho cuadrantes en los que, como en el caso anterior, los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.
Las coordenadas del punto A serán:
y el B:
La distancia entre los puntos A y B será:
El segmento AB será:
Cambio del sistema de coordenadas
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse tres transformaciones elementales: traslación del origen, rotación alrededor de un eje y escalado.
Traslación del origen
Traslación del origen en coordenadas cartesianas.
Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y
y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:
dado un segundo sistema de referencia S2
Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:
Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores, que llamaremos:
Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:
despejando
Lo que es lo mismo que:
Separando los vectores por coordenadas:
y ampliándolo a tres dimensiones:
Rotación alrededor del origen
Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas.
Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:
y una base ortonormal de este sistema:
Un punto A del plano se representará en este sistema según sus coordenadas:
Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo , respecto al primero:
y con una base ortonormal:
Al cálculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, se llama rotación alrededor del origen, siendo su representación:
Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; se emplea una denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema, sí son diferentes, y es lo que se pretende calcular.
La representación de B1 en B2 es:
Dado que el punto A en B1 es:
con la transformación anterior tenemos:
Y, deshaciendo los paréntesis:
reordenando:
Como:
;
Tenemos que:
Como sabíamos:
Por identificación de términos:
Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1 y de .
Escalado
Sea un punto con coordenadas (x,y) en el plano. Si se cambia la escala de ambos ejes en un factor λ, las coordenadas de dicho punto en el nuevo sistema de coordenadas pasarán a ser:
El factor de escala λ no necesariamente debe ser el mismo para ambos ejes.
Cálculo matricial
Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.
Nota: Las magnitudes vectoriales están en negrita.
Triple producto escalar(Redirigido desde Producto mixto)
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El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.
Contenido
1 Producto punto y producto cruz 2 Triple producto escalar
o 2.1 Cálculo del triple producto escalar 3 Interpretación geométrica 4 Relaciones cíclicas 5 Véase también 6 Bibliografía
Producto punto y producto cruz
El producto punto es una operación entre dos vectores que da como resultado un número (un escalar) por lo que también se le conoce como producto escalar y está definido como
.
Entre sus principales propiedades se encuentra el resultado
donde es el ángulo que forman los dos vectores. Usando ese resultado es posible establecer el siguiente criterio para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):
Dos vectores son perpendiculares si y sólo si .
Cuando los vectores son tridimensionales (esto es, son vectores de ) es posible definir otra multiplicación de vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto cruz o producto vectorial, definido mediante el determinante
donde son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes .
El producto corresponde a un vector perpendicular a y cuya norma o módulo es
.
donde nuevamente, es el ángulo entre los vectores.
Del resultado anterior se deducen dos resultados:
El valor de es igual al área del paralelogramo determinado por y .
Los vectores y son paralelos (colineales) si y sólo si .
Observemos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto punto.
Triple producto escalar
Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores. Una expresión de la forma no tiene mucho sentido porque el resultado de el primer producto es un escalar
y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y un vector.
Sin embargo, cuando los vectores son elementos de , podemos combinar el producto punto con el producto cruz para definir una nueva operación entre tres vectores que se denomina triple producto escalar pues el resultado será una cantidad escalar. Es importante indicar escalar para diferenciarlo del triple producto vectorial que se obtiene al multiplicar tres vectores usando únicamente el producto cruz y cuyo resultado es, por tanto, un vector.
El triple producto escalar de los vectores se denota por y está definido como
Cálculo del triple producto escalar
Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del triple producto escalar a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la sustitución del producto cruz:
en donde hemos usado que
y .
Sin embargo, la última expresión obtenida es precisamente el desarrollo de un determinante, esto es:
Interpretación geométrica
La similitud que existe entre las fórmulas de determinantes para calcular el producto cruz y el triple producto escalar tienen su paralelo en el siguiente teorema:
Si son vectores tridimensionales, entonces es igual al volumen del paralelepípedo definido por
Paralelepípedo determinado por tres vectores
Así, la norma de un producto cruz representa el valor de un área, mientras que la norma de un triple producto escalar representa un volumen.
La demostración procede observando que
donde es el ángulo entre los dos vectores y .
Diagrama para demostrar la interpretación geométrica.
Por otro lado corresponde al área del paralelogramo que
forman los vectores y es el ángulo entre ellos.
Así, reordenando los factores el producto tenemos:
donde es la altura del paralelogramo, como indica la figura, es el área del paralelogramo de la base y es el volumen del paralelepípedo.
La intepretación geométrica anterior proporciona un tercer criterio geométrico de estilo similar a los señalados para los otros productos.
Tres vectores son coplanares si y sólo si
.
Lo anterior se sigue de que el volumen del paralelepípedo tendrá volumen cero si y sólo si los vectores que los definen están en un mismo plano (y por tanto tendrá altura cero).
Relaciones cíclicas
A partir de la fórmula de determinante podemos obtener el valor del triple producto escalar cuando los vectores aparecen en distinto orden.
Por ejemplo,
,
puesto que intercambiardos filas de un determinante corresponde a cambiar de signo el valor.
En general, intercambiar el orden de dos términos en el triple producto escalar corresponde a un cambio de signo. Realizando esta transposición de términos dos veces regresamos al valor original y así obtenemos la siguiente relación cíclica:
