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Elem Finitos

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apuntes de clases

Text of Elem Finitos

  • ELEMENTOS FINITOS

    Nestor Abel Sanchez Goycochea

    24 de mayo de 2015

  • Indice general

    1. Introduccion 11.1. Un problema uni-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Metodo debil (Distribucional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Vuelta al problema unidimensional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Espacios de Sobolev de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional . . . . . . . . . . . . 7

    2. Teoremas de Lax-Milgram 92.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Teorema de Lax Milgram generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Teorema de Lax-Milgram version simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Ejemplo unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3. Metodo de Galerkin 153.1. Existencia y unicidad de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.1.1. TLM Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2. TLM generalizado (discreto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    3.2. Calculo de la solucion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. Estimacion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5. Caso particular de a simetrica yHelptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6. Vuelta al problema unidimensional mas simple (2da Parte) . . . . . . . . . . 233.7. Propiedad de aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4. Formulacion Mixta 274.1. Un Problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Vuelta al problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Formulacion mixta del problema de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida) . . . . . . . . . . . . . 324.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  • Captulo 1Introduccion

    Fecha: 24 de marzo del 2015

    1.1. Un problema uni-dimensional

    (P ) =

    8

  • 1.2. Metodo debil (Distribucional)

    Cn0 () := f' 2 Cn() : sop(') es compacto en gdonde

    sop(') = f' 2 : '(x) 6= 0g

    EJEMPLO.

    1. =] 1; 1[ ' 2 C0(); sop(') = [12 ; 12 ]; ' =2 C10()

    2. =]0; 1[ ' 2 C10(); '(13) = '(23) = 0; '0(13) = '0(23) = 0

    Este tipo de funciones se pueden construir por intermedio del interpolante de Hermi-te (unico polinomio de grado 3 tal que '(1

    3) = '(2

    3) = 0; '0(1

    3) = '0(2

    3) = 0). En

    general no es simple encontrar funciones en Cn0 ()). Una posibilidad es buscar polino-mios de grado conveniente que satisfagan las condiciones requeridas.

    Definamos ademas el conjunto:

    C10 () := f' 2 C1() : sop(') es compacto en g

    ' son llamadas funciones test.

    EJEMPLO. La funcion

    : R ! Rt 7! (t) =

    e

    1t ; t > 0

    0; t 0

    2 C1(R) ya que (n)(0) = 0;8 n 2 N.

    Ahora dado x0 2 Rn y > 0, se define:

    x0; : Rn ! Rx 7! x0;(x) =

    1 jjxx0jj2

    2

    x0;(x) =

    (e 2

    2jjxx0jj2 ; si jjx x0jj < 0; si jjx x0jj

    se sigue que sop( x0;) = B(x0; ). Notemos ademas que x0; = r con

    r(x) = 1 jjx x0jj2

    2

    de donde x0; 2 C10 ();8 Rn abierto, tal que B(x0:) .

    Nestor Abel Sanchez Goycochea 2

  • Cap. 1: Introduccion

    1.3. Vuelta al problema unidimensional:

    (P )

    u00 + u0 + u = f; en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0

    Multiplicando por ' 2 C10 () e integrando por partes, se tiene:1Z

    0

    f' =

    1Z0

    (u00 + u0 + u)'

    = 1Z

    0

    u00'+

    1Z0

    u0'+

    1Z0

    u'

    =

    1Z0

    u0'0 u0'10| {z }

    0

    +

    1Z0

    u0'+

    1Z0

    u'

    Luego se verifica Z 10

    (u0'0 + u0'+ u') =Z 10

    f'; 8 ' 2 C10 ()

    DEFINICION 1.1. Sea R abierto. Se define el siguiente espacio vectorial.

    L2() =

    v : ! R

    .Z

    jvj2 < +1

    Este espacio es Hilbert, con el producto interno:

    hu; vi0; = hu; viL2() =Z

    uv; 8 u; v 2 L2()

    y su correspondiente norma inducida esta dada por:

    jjvjj0; = jjvjjL2() = hv; vi1=20; =Z

    jvj21=2

    En particular , la norma y el producto interno satisfacen

    jhu; vij =Z

    uv

    jjujj0;jjvjj0;; 8 u; v 2 L2() (Cauchy-Schwarz)DEFINICION 1.2. Dada v 2 L2(), se dice que v0 2 L2() en el sentido distribucional(debil) si existe ! 2 L2() tal que:Z

    v'0 = Z

    !'; 8 ' 2 C10 ()

    A la funcion ! se le llama derivada distribucional o derivada debil de v.

    3 Nestor Abel Sanchez Goycochea

  • 1.3. Vuelta al problema unidimensional:

    Note que si v 2 C1() Z

    v'0 = Z

    v0'+ v'@| {z }

    0

    ; 8 ' 2 C10 ()

    y luego Z

    v'0 = Z

    v0' ; 8 ' 2 C10 ()

    es decir, si v 2 C1(), entonces la derivada distribucional o debil coincide con la derivadafuerte o en el sentido clasico.

    EJEMPLO 1.1. =]0; 1[

    v(x) =

    8

  • Cap. 1: Introduccion

    1.4. Espacios de Sobolev de orden 1DEFINICION 1.3.

    H1() = fv 2 L2() : v0 2 L2()gSobre H1() se define el siguiente producto interior

    hu; vi1; :=Z

    uv +

    Z

    u0v0; 8 u; v 2 H1()

    y se demuestra que (H1(); hi1;) es un espacio de Hilbert.DEFINICION 1.4.

    H10 := C10 ()

    jjjj1;

    donde

    jjvjj1; :[email protected]

    (v2) +

    Z

    (v0)2

    1A1=2

    =kvk20; + kv0k20;

    1=2= hv; vi21;

    Equivalentemente,

    v 2 H10 ()() v 2 H1() y 9 f'jgj2N C10 () : jjv 'jjj1; j!1! 0Es posible demostrar que:

    H10 () = fv 2 H1() : v(0) = v(1) = 0gOBSERVACION 1.1. Esto solo es posible en 1D

    H1() C()

    1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)Recordemos que a partir de (P ) llegamos a la ecuacion integral:Z

    u0'0 +Z

    u0'+Z

    u' =

    Z

    f'; 8 ' 2 C10 ()

    De acuerdo a la definicion deH10 () podemos plantear un nuevo metodo para resolver el PVC(Problemas de valores de contorno) (P ), el cual consiste en hallar u 2 H10 () tal que:Z

    u0v0 +Z

    u0v +Z

    uv =

    Z

    fv 8 v 2 C10 () (P )

    5 Nestor Abel Sanchez Goycochea

  • 1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)

    Por otro lado podemos plantear el siguiente problema alternativo: Hallar u 2 H10 () tal que,Z

    u0v0 +Z

    u0v +Z

    uv =

    Z

    fv 8 v 2 H10 () (P0)

    LEMA 1.1.P () P0

    Demostracion.

    P0 =) P : Esto es evidente ya que C10 () H10 ()

    P =) P0 : Sea u solucion de P . Dado v 2 H10 (), por densidad existef'jgj2N C10 tal que:

    jj'j vjj1; j!1! 0De aqu se sigue que:Z

    u0'0j +Z

    u0'j +Z

    u'j =

    Z

    f'j ; 8 'j 2 N

    Luego, Z

    u0v0 Z

    u0'0j

    =Z

    u0(v0 '0j)

    jju0jj0;jjv0 '0jjj0;

    = jju0jj0;jj(v 'j)0jj0;

    jjujj1;jjv 'jjj1; j!1! 0

    De la misma forma,Z

    u0v Z

    u0'j

    j!1! 0; yZ

    uv Z

    u'j

    j!1! 0y suponiendo que f 2 L2()

    Z

    fv Z

    f'j

    j!1! 0lo cual concluye el teorema.

    z

    Nestor Abel Sanchez Goycochea 6

  • Cap. 1: Introduccion

    1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensio-nal

    Definamos H = H10 ()

    F : H ! Rv 7! F (v) = R

    Fv; 8 v 2 H

    ya : H H ! R

    (u; v) 7! a(u; v) = R

    u0v0 +R

    u0v +R

    uv; 8 v 2 H

    Entonces el problema P0 se puede escribir como: Hallar u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8 v 2 H (Pv)

    Notar que:

    F 2 H 0, pues

    jF (v)j =Z

    fv

    jjf jj0;jjvjj0; jjf jj0;jjvjj1;

    a es bilineal (Tarea) a es acotada

    ja(u; v)j =Z

    u0v0 +Z

    u0v +Z

    uv

    Z

    u0v0

    +Z

    u0v

    +Z

    uv

    jju0jj0;jjv0jj0; + jju0jj0;jjvjj0; + jjujj0;jjvjj0;

    Aplicando Cauchy-Schwarz en R3

    ja(u; v)j

    [email protected]; + jju0jj20; + jjujj20;| {z }jjujj21;

    [email protected]; + jjvjj20;| {z }

    jjvjj21;

    +jjvjj20;

    1CCA1=2

    jjujj21; + jjujj21;1=2 jjvjj21; + jjvjj21;1=2= 2jjujj1;jjvjj1;

    As,ja(u; v)j M jjujj1;jjvjj1;; 8 u; v 2 H10 ();M = 2

    7 Nestor Abel Sanchez Goycochea

  • 1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional

    1. a es elptica (o fuertemente coerciva)

    a(v; v) =

    Z

    (v0)2 +Z

    v0v +Z

    (v)2

    = jjvjj21; +Z

    v0v

    jjvjj21; Z

    v0v

    jjvjj21; jjv0jj0;jjvjj0;

    Aplicando la desigualdad 12(a2 + b2) ab para a = jjv0jj; b = jjvjj se tiene:

    a(v; v) jjvjj21; 1

    2

    jjv0jj20; + jjvjj20;= jjvjj21;

    1

    2jjvjj21;

    =1

    2jjvjj21;

    As, a(v; v) jjvjj21;; 8 v 2 H10 (); = 1=2De acuerdo a lo anterior, podemos aplicar el Teorema de Lax-Milgram para demostrar exis-tencia y unicidad del problema (PV).

    Nestor Abel Sanchez Goycochea 8

  • Captulo 2Teoremas de Lax-Milgram

    2.1. Teorema de Lax-MilgramSea H un espacio de Hilbert y a(; ) una forma bilineal, acotada (con constante M > 0) yH-elptica (con > 0). Si:

    1. ja(u; v)j M jjujjH jjvjjH ; 8 u; v 2 H2. a(v; v) jjvjj2H ; 8 v 2 H

    Entonces, para todo F 2 H 0, existe un unico u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8v 2 H

    AdemasjjujjH 1

    jjF jjH0 (*)

    La desigualdad (*) es llamada dependencia continua de los datos o estabilidad

    Fecha: 31 de marzo del 2015

    OBSERVACION.

    1. Dada F 2 H 0 y u 2 H (unica solucion del problema) tal que a(u; v) = F (v); 8 v 2 H .

    jjF jjH0 = supv2Hv 6=

    jF (v)jjjvjjH = supv2H

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