ELEMENTOS FINITOS
Nestor Abel Sanchez Goycochea
24 de mayo de 2015
Indice general
1. Introduccion 11.1. Un problema uni-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Metodo debil (Distribucional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Vuelta al problema unidimensional: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Espacios de Sobolev de orden 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional . . . . . . . . . . . . 7
2. Teoremas de Lax-Milgram 92.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Teorema de Lax Milgram generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Teorema de Lax-Milgram version simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Ejemplo unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Metodo de Galerkin 153.1. Existencia y unicidad de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. TLM Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2. TLM generalizado (discreto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Calculo de la solucion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3. Vuelta al problema unidimensional mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4. Estimacion de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5. Caso particular de a simetrica yHelptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6. Vuelta al problema unidimensional mas simple (2da Parte) . . . . . . . . . . 233.7. Propiedad de aproximacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Formulacion Mixta 274.1. Un Problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Vuelta al problema bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Formulacion mixta del problema de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4. Teorema de Babubska-Brezzi (Version mas conocida) . . . . . . . . . . . . . 324.5. Vuelta al problema bidimensional (2da) parte . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Captulo 1Introduccion
Fecha: 24 de marzo del 2015
1.1. Un problema uni-dimensional
(P ) =
8
1.2. Metodo debil (Distribucional)
Cn0 () := f' 2 Cn() : sop(') es compacto en gdonde
sop(') = f' 2 : '(x) 6= 0g
EJEMPLO.
1. =] 1; 1[ ' 2 C0(); sop(') = [12 ; 12 ]; ' =2 C10()
2. =]0; 1[ ' 2 C10(); '(13) = '(23) = 0; '0(13) = '0(23) = 0
Este tipo de funciones se pueden construir por intermedio del interpolante de Hermi-te (unico polinomio de grado 3 tal que '(1
3) = '(2
3) = 0; '0(1
3) = '0(2
3) = 0). En
general no es simple encontrar funciones en Cn0 ()). Una posibilidad es buscar polino-mios de grado conveniente que satisfagan las condiciones requeridas.
Definamos ademas el conjunto:
C10 () := f' 2 C1() : sop(') es compacto en g
' son llamadas funciones test.
EJEMPLO. La funcion
: R ! Rt 7! (t) =
e
1t ; t > 0
0; t 0
2 C1(R) ya que (n)(0) = 0;8 n 2 N.
Ahora dado x0 2 Rn y > 0, se define:
x0; : Rn ! Rx 7! x0;(x) =
1 jjxx0jj2
2
x0;(x) =
(e 2
2jjxx0jj2 ; si jjx x0jj < 0; si jjx x0jj
se sigue que sop( x0;) = B(x0; ). Notemos ademas que x0; = r con
r(x) = 1 jjx x0jj2
2
de donde x0; 2 C10 ();8 Rn abierto, tal que B(x0:) .
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Cap. 1: Introduccion
1.3. Vuelta al problema unidimensional:
(P )
u00 + u0 + u = f; en =]0; 1[u(0) = u(1) = 0
Multiplicando por ' 2 C10 () e integrando por partes, se tiene:1Z
0
f' =
1Z0
(u00 + u0 + u)'
= 1Z
0
u00'+
1Z0
u0'+
1Z0
u'
=
1Z0
u0'0 u0'10| {z }
0
+
1Z0
u0'+
1Z0
u'
Luego se verifica Z 10
(u0'0 + u0'+ u') =Z 10
f'; 8 ' 2 C10 ()
DEFINICION 1.1. Sea R abierto. Se define el siguiente espacio vectorial.
L2() =
v : ! R
.Z
jvj2 < +1
Este espacio es Hilbert, con el producto interno:
hu; vi0; = hu; viL2() =Z
uv; 8 u; v 2 L2()
y su correspondiente norma inducida esta dada por:
jjvjj0; = jjvjjL2() = hv; vi1=20; =Z
jvj21=2
En particular , la norma y el producto interno satisfacen
jhu; vij =Z
uv
jjujj0;jjvjj0;; 8 u; v 2 L2() (Cauchy-Schwarz)DEFINICION 1.2. Dada v 2 L2(), se dice que v0 2 L2() en el sentido distribucional(debil) si existe ! 2 L2() tal que:Z
v'0 = Z
!'; 8 ' 2 C10 ()
A la funcion ! se le llama derivada distribucional o derivada debil de v.
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1.3. Vuelta al problema unidimensional:
Note que si v 2 C1() Z
v'0 = Z
v0'+ v'@| {z }
0
; 8 ' 2 C10 ()
y luego Z
v'0 = Z
v0' ; 8 ' 2 C10 ()
es decir, si v 2 C1(), entonces la derivada distribucional o debil coincide con la derivadafuerte o en el sentido clasico.
EJEMPLO 1.1. =]0; 1[
v(x) =
8
Cap. 1: Introduccion
1.4. Espacios de Sobolev de orden 1DEFINICION 1.3.
H1() = fv 2 L2() : v0 2 L2()gSobre H1() se define el siguiente producto interior
hu; vi1; :=Z
uv +
Z
u0v0; 8 u; v 2 H1()
y se demuestra que (H1(); hi1;) es un espacio de Hilbert.DEFINICION 1.4.
H10 := C10 ()
jjjj1;
donde
jjvjj1; :[email protected]
(v2) +
Z
(v0)2
1A1=2
=kvk20; + kv0k20;
1=2= hv; vi21;
Equivalentemente,
v 2 H10 ()() v 2 H1() y 9 f'jgj2N C10 () : jjv 'jjj1; j!1! 0Es posible demostrar que:
H10 () = fv 2 H1() : v(0) = v(1) = 0gOBSERVACION 1.1. Esto solo es posible en 1D
H1() C()
1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)Recordemos que a partir de (P ) llegamos a la ecuacion integral:Z
u0'0 +Z
u0'+Z
u' =
Z
f'; 8 ' 2 C10 ()
De acuerdo a la definicion deH10 () podemos plantear un nuevo metodo para resolver el PVC(Problemas de valores de contorno) (P ), el cual consiste en hallar u 2 H10 () tal que:Z
u0v0 +Z
u0v +Z
uv =
Z
fv 8 v 2 C10 () (P )
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1.5. Vuelta al problema unidimensional (2da parte)
Por otro lado podemos plantear el siguiente problema alternativo: Hallar u 2 H10 () tal que,Z
u0v0 +Z
u0v +Z
uv =
Z
fv 8 v 2 H10 () (P0)
LEMA 1.1.P () P0
Demostracion.
P0 =) P : Esto es evidente ya que C10 () H10 ()
P =) P0 : Sea u solucion de P . Dado v 2 H10 (), por densidad existef'jgj2N C10 tal que:
jj'j vjj1; j!1! 0De aqu se sigue que:Z
u0'0j +Z
u0'j +Z
u'j =
Z
f'j ; 8 'j 2 N
Luego, Z
u0v0 Z
u0'0j
=Z
u0(v0 '0j)
jju0jj0;jjv0 '0jjj0;
= jju0jj0;jj(v 'j)0jj0;
jjujj1;jjv 'jjj1; j!1! 0
De la misma forma,Z
u0v Z
u0'j
j!1! 0; yZ
uv Z
u'j
j!1! 0y suponiendo que f 2 L2()
Z
fv Z
f'j
j!1! 0lo cual concluye el teorema.
z
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Cap. 1: Introduccion
1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensio-nal
Definamos H = H10 ()
F : H ! Rv 7! F (v) = R
Fv; 8 v 2 H
ya : H H ! R
(u; v) 7! a(u; v) = R
u0v0 +R
u0v +R
uv; 8 v 2 H
Entonces el problema P0 se puede escribir como: Hallar u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8 v 2 H (Pv)
Notar que:
F 2 H 0, pues
jF (v)j =Z
fv
jjf jj0;jjvjj0; jjf jj0;jjvjj1;
a es bilineal (Tarea) a es acotada
ja(u; v)j =Z
u0v0 +Z
u0v +Z
uv
Z
u0v0
+Z
u0v
+Z
uv
jju0jj0;jjv0jj0; + jju0jj0;jjvjj0; + jjujj0;jjvjj0;
Aplicando Cauchy-Schwarz en R3
ja(u; v)j
[email protected]; + jju0jj20; + jjujj20;| {z }jjujj21;
[email protected]; + jjvjj20;| {z }
jjvjj21;
+jjvjj20;
1CCA1=2
jjujj21; + jjujj21;1=2 jjvjj21; + jjvjj21;1=2= 2jjujj1;jjvjj1;
As,ja(u; v)j M jjujj1;jjvjj1;; 8 u; v 2 H10 ();M = 2
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1.6. Formulacion abstracta para el problema unidimensional
1. a es elptica (o fuertemente coerciva)
a(v; v) =
Z
(v0)2 +Z
v0v +Z
(v)2
= jjvjj21; +Z
v0v
jjvjj21; Z
v0v
jjvjj21; jjv0jj0;jjvjj0;
Aplicando la desigualdad 12(a2 + b2) ab para a = jjv0jj; b = jjvjj se tiene:
a(v; v) jjvjj21; 1
2
jjv0jj20; + jjvjj20;= jjvjj21;
1
2jjvjj21;
=1
2jjvjj21;
As, a(v; v) jjvjj21;; 8 v 2 H10 (); = 1=2De acuerdo a lo anterior, podemos aplicar el Teorema de Lax-Milgram para demostrar exis-tencia y unicidad del problema (PV).
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Captulo 2Teoremas de Lax-Milgram
2.1. Teorema de Lax-MilgramSea H un espacio de Hilbert y a(; ) una forma bilineal, acotada (con constante M > 0) yH-elptica (con > 0). Si:
1. ja(u; v)j M jjujjH jjvjjH ; 8 u; v 2 H2. a(v; v) jjvjj2H ; 8 v 2 H
Entonces, para todo F 2 H 0, existe un unico u 2 H tal que:a(u; v) = F (v); 8v 2 H
AdemasjjujjH 1
jjF jjH0 (*)
La desigualdad (*) es llamada dependencia continua de los datos o estabilidad
Fecha: 31 de marzo del 2015
OBSERVACION.
1. Dada F 2 H 0 y u 2 H (unica solucion del problema) tal que a(u; v) = F (v); 8 v 2 H .
jjF jjH0 = supv2Hv 6=
jF (v)jjjvjjH = supv2H
