Finitos, infinitos o nulos por qu no?Publicado el21 septiembre, 2014porAmadeo ArtachoImagina un polgono

Disculpame, creo que no he sido muy concreto, no quera decir un polgono industrial, me refera a una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una regin en el plano Vamos, un polgono de los de geometra de toda la vida.Te propongo yo uno si te parece bien. Vamos a suponer que tenemos un cuadrado de ladolcualquiera.

su rea y su permetro son:

Si ahora quieres obtener una figura que tenga ms permetro pero el mismo rea puedes, por ejemplo, dibujar un rectngulo de base 2l y altura l/2:

y su rea y permetro sern:

Puedes hacer algo parecido otra vez, para conseguir as otra figura de igual rea y permetro an mayor que la anterior:

Y otra vez ms:

Como puedes observar, el rea es siempre la misma y, sin embargo, el permetro va aumentando.Esto puedes hacerlonveces, llegando as a un rectngulo de basenly altural/n, de rea y permetro:

Si haces tenderna infinito, es decir, consideras un rectngulo de base infinitamente larga y altura casi cero (es inversamente proporcional a la base), seguir teniendo el mismo rea, y su permetro tender a infinito.

No est nada mal, has conseguido mantener el mismo rea que tena el cuadrado con un polgono de permetro infinito! (de acuerdo que es un abuso de lenguaje, en realidad es infinito en el lmite).Ahora, imagina que tienes que conseguir lo mismo, es decir, un polgono de permetro infinito que tenga un rea finita pero sin salirte del espacio de una hoja.Est claro que lo del rectngulo ya no te vale, porque de momento te sales de la hoja.Se puede dibujar un polgono de permetro infinito y rea finita y que, adems, est contenido en una hoja? As para empezar, lo del rea finita parece que s ayuda, pero lo del permetro infinito ya no parece ponrnoslo tan fcil.Si le damos vueltas a la pregunta, hay una cosa que podemos sacar como condicin bsica para poder encontrar un polgono de estas caractersticas que no se nos salga de la hoja, y es que no puede ser un polgono convexo; si intentamos imaginar cualquier polgono convexo que se nos ocurra aumentando su permetro (tringulo, cuadrado, rectngulo), llega un momento que se nos va a salir de los lmites que tenemos, como hemos visto con el ejemplo del rectngulo.As que nuestro polgono, de existir, tiene que sercncavo. Simplemente recordar que un polgono cncavo es aqul en el que al menos uno de sus ngulos interiores mide ms de 180 grados.

Ejemplo de polgono cncavoPues bien, la solucin a este acertijo ya est inventada. En 1904, el matemtico sueco Helge von Koch la describi en un artculo tituladoAcerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los mtodos de la geometra elemental. Esta curva cerrada continua se conoce comocopo de nieve de Kochoestrella de Koch.En lenguaje actual, diramos que es una curvafractal. Su construccin se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia con un tringulo equiltero en el que finalmente cada uno de sus lados queda sustituido por lo que se llama unacurva de Koch.Y en qu consiste una curva de Koch?Vamos a ver el proceso que lleva a sustituir cada lado por la llamada curva de Koch: Se toma un segmento, se divide en tres partes iguales, y se reemplaza la parte central por dos partes de igual longitud formando un ngulo de 60 grados.

Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos ms pequeos en la segunda iteracin.

Se vuelve a hacer lo mismo con cada uno de los 16 segmentos obtenidos:

Otra vez ms:

Y otra vez (quinta etapa):

Con esta quinta etapa ya se obtiene una buena aproximacin de cmo se ve la curva final.Y as sucesivamente.Ahora que ya sabemos cmo es una curva de Koch, nos vamos a ese tringulo equiltero del que hablbamos y vemos nuestrocopo de nieve de Kochoestrella de Koch:

Y, si hacemos zoom contnuamente sobre una parte de la figura, observamos que se repite una y otra vez la misma estructura sin que termine nunca.

Qu es lo que ha pasado con el permetro? Si consideramos de nuevo la primera figura, observamos que para pasar de una lnea a la siguiente se reemplaza tres segmentos por cuatro de igual longitud, es decir, que la longitud total se multiplica por 4/3. Despus denpasos iterativos en la construccin recursiva, la longitud de la curva es 3L(4/3)n, y el lmite de la sucesin geomtrica anterior de razn 4/3 es infinito, lo que significa que la figura final tiene una longitud infinita (a esto Mandelbrot lo denominainfinito interno).Y con el rea? El rea es finita, pues est claro que no nos salimos de los lmites de la hoja que tenamos.As es que, ya tenemos nuestro polgono de rea finita y permetro infinito que, como vemos, no se sale de la hoja. Y adems tiene todos sus lados iguales!Bien, no est nada mal lo que hemos logrado pero Y si te pido ahora que dibujes en esa hoja un polgono que tenga permetro infinito (porque la verdad es que me ha gustado esto del permetro infinito) pero que tenga rea nula?Vamos a intentarlo juntos.Si te parece bien, retomamos el cuadrado de ladolcon el que habamos empezado todo esto.

De momento tenemos permetro finito y rea finita (entre t y yo) no vamos muy bien.Vamos a dividir el cuadrado en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado del centro.

Est claro que ahora tenemos menos rea que antes, y tambin que el permetro ha aumentado, pues al permetro exterior tenemos que sumarle ahora el permetro interior.Hacemos lo mismo otra vez, pero ahora en cada uno de los 8 cuadrados que nos han quedado.El rea es an menor y el permetro es mayor. Bueno, al menos nos vamos acercando a lo que queramos, aunque la verdad es que estamos an muy lejos.Vamos a seguir con este mtodo que parece que funciona bien

Hagmoslo otra vez ms

Vaya! cada vez que eliminamos cuadraditos, el permetro es mayor y el rea menor (se va viendo cada vez ms negro). Como cada vez que lo hacemos nos van quedando siempre cuadraditos ms pequeos sobre los que volver a repetir este mtodo, si lo repitisemos una y otra vez y otra vez y otra vez en el lmite, tendramos un rea nula y un permetro infinito!Et voil! Tenemos nuestro polgono de permetro infinito y rea nula!Bueno, en esta vida hay que ser sinceros y, como adems muchas y muchos ya lo saban, os dir que esta idea tan fantstica no se me ha ocurrido a mi (qu ms quisiera yo!), pues se trata de laalfombra de Sierpiski, un conjunto fractal descrito por primera vez porWacaw Sierpiskien 1916. Se trata de una generalizacin a dos dimensiones delconjunto de Cantor.Y, ya para terminar, como cuando las cosas en 3D se ven ms espectaculares os imaginais cmo sera si en lugar de hacer esto con un cuadrado lo hicisemos con un cubo? Y si adems pudisemos visitarlo por dentro? Con las matemticas todo es posible y la imaginacin no tiene lmites.Como no quiero extender esto en exceso, si a alguien le apetece hacer ese viaje, slo tiene que pinchar en la siguiente imagen y dejarse llevar por la imaginacin

Esta entrada participa en laEdicin 5.6: Paul ErdsdelCarnaval de Matemticas,cuyo anfitrin es el blogCifras y Teclas.http://matematicascercanas.com/2014/09/21/finitos-infinitos-o-nulos-por-que-no/