1 O Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise Estrutural. Formulao
em deslocamentosCaptulo 3O Mtodo dos Elementos Finitosna Anlise
Estrutural. Formulaoem deslocamentos3. 3.1IntroduoA determinao do
campo de deslocamentos e da distribuio das extenses e das tensesem
estruturas de comportamento aproximadamente elstico um dos
problemas mais
comunsemEngenhariaCivil.AMecnicaEstruturalestabeleceasequaesdiferenciaisaquedevemsatisfazeroscamposdedeslocamentos,extensesetensesqueseinstalamnumaestruturaqualquerquandosubmetidaasolicitaesexteriores.Taisequaes(equilbrio,relaesde-formaes-deslocamentos
e relaes constitutivas), a respeitar em cada ponto, constituem
umsistema de 15 equaes a 15 incgnitas que podem ser expressas
apenas em termos de
deslo-camentos,reduzindo-seassimoproblemaaumsistemade3equaesa3incgnitas(equaes
de
Navier).Aobtenodesoluesanalticasdestasequaesdiferenciais,respeitandoascondiesdefronteira,spossvelparaproblemaselementares,oquelevouaodesenvolvimentodetcnicas
numricas que nos permitem obter solues aproximadas destas equaes.
De entre asvrias tcnicas numricas disponveis destaca-se pela sua
generalidade e versatilidade o Mto-do dos Elementos Finitos
(M.E.F.) o qual surgiu na sequncia do aperfeioamento de
trabalhosrealizadoscomoMtododasDiferenasFinitasnasdcadasde40e50,nombitodopro-grama
de desenvolvimento da indstria aeroespacial americana. Na dcada de
60, com o
apa-recimentodecomputadoressucessivamentemaispotentesoM.E.F.(1)foidesenvolvidoedi-
1 O M.E.F. baseia-se na transformao das equaes diferenciais que
governam os problemas de domni-os contnuos em sistemas de equaes
lineares.2 Captulo 3vulgado pelo Prof. O.C. Zienkiewicz, tendo sido
introduzido em Portugal pelo Eng. Jos Oli-veira Pedro (LNEC) e pelo
Prof. Eduardo Arantes e Oliveira (LNEC/IST).3.2Conceitos bsicos do
Mtodo dos Elementos Finitos. Elementos finitos e pontos no-dais.Na
anlise de estruturas em Engenharia Civil temos sempre, em rigor,
problemas de equil-brios tridimensionais, contudo, em face da
geometria de determinadas peas e dos
respectivoscarregamentospodem-seidentificardiversoscasosparticulares,comosejamproblemasapro-ximadamentecorrespondentesaequilbriosplanos(estadosplanosdetensooudedeforma-o),flexodelajesedecascas,etc..Emtodosestescasos,onmerodeligaesentrequalquerelemento
finitodefinidoporalgumasfronteirasimaginrias(Fig.3.1)eosseusele-mentosvizinhosinfinito.EstesproblemassoresolvidospeloMEFdeacordocomameto-dologia
e as aproximaes
seguintes:a)Omeioseparadoporlinhasousuperfciesimaginriasnumnmerodiscretodeele-mentos
finitos discretizao (Fig.3.2).b)Admite-se que os elementos se
encontram ligados num nmero discreto de pontos no-dais (ouns)
situados na sua fronteira. Os deslocamentos destes pontos nodais
(grausde liberdade de cada ponto nodal) sero as principais
incgnitas a determinar, tal comonos problemas discretos de anlise
estrutural como o caso da anlise de prticos pelomtodo dos
deslocamentos (2).x1x2Pontos nodaisu1u2Graus deliberdadeFig.3.1 -
Discretizao em elementos finitos. Conceito de elemento finito, de
ponto nodal ede graus de liberdade por ponto nodal. 2 No caso geral
tridimensional cada ponto tem apenas trs graus de liberdade que
coincidem com as
trscomponentesdedeslocamentonumsistemadeeixostridimensional.Emcasosparticularesemqueadoptemsimplicaescomoasdeviga,delajeoudecascadelgadaospontosnodaisnorepresentamverdadeirospontos
mas sim seces pelo que podem ter graus de liberdade de rotao
(deslocamentos generalizados).3 O Mtodo dos Elementos Finitos na
Anlise Estrutural. Formulao em deslocamentosa) b)Fig.3.2 - a)
Exemplos de estruturas discretizadas em elementos finitos. b)
Diferentes tiposde elementos finitos.4 Captulo 3c) Escolhe-se um
conjunto de funes funes de interpolao oufunes de forma
Niquedefinemunivocamente,deformaaproximada,ocampodedeslocamentosemcada
elemento a partir do valor dos deslocamentos dos pontos nodaisumei.
A equaoque traduz esta aproximao fundamental do Mtodo dos Elementos
Finitos (M.E.F.) u N um i mei
(3.1)d)Partindodasrelaesdeformaes-deslocamentospode-severificarqueestasfunesNi
permitemtambmdeterminarunivocamenteedeformaaproximadaoestadodedeformao
em qualquer ponto dum elemento finito a partir do valor dos
deslocamen-tos dos pontos
nodais.e)Conhecidasasleisconstitutivasdomaterialeasextensesficatambmdeterminadooestado
de tenso em todos os pontos do elemento, incluindo na sua
fronteira.f)Da equao de equilbrio obtida por intermdio do P.T.V.
aplicado a um elemento finitodetermina-se uma equao do tipoK u Fe e
e(3.2)em que Ke a matriz de rigidez elementar, ue corresponde aos
deslocamentos nodais eFe corresponde s foras nodais equivalentes s
solicitaes aplicadas no elemento.g)Aplicando o P.T.V. a toda a
estrutura verifica-se que possvel obter a equao de equi-lbrio
global na formaK u Fg g g(3.3)em que K a matriz de rigidez global e
F o vector global das foras nodais equivalentes. Amatriz K obtm-se
por sobreposio (assemblagem)das matrizes de rigidez elementares e
ovector F obtm-se por sobreposio dos vectores de foras nodais
elementares tal como nocaso de sistemas estruturais discretos.Nesta
metodologia introduzem-se algumas aproximaes comeando logo pela
aproxima-o do campo de deslocamentos no interior de cada elemento
finito por intermdio da escolhade funes de forma.Verifica-se, por
exemplo, que nem sempre fcil provar que as
funesdeformaescolhidassatisfazemorequisitodacontinuidadededeslocamentosentreelementosvizinhos.Almdisso,ascondiesdecompatibilidadepodemservioladasaolongodasfron-teiras(nointeriordoselementossosatisfeitasdevidorepresentaounvocadosdesloca-mentos
por uma funo contnua). Em segundo lugar, a considerao das aces
exteriores porforas concentradas nos pontos nodais, apenas garante
o equilbrio de foras na globalidade daestrutura. possvel ocorrerem
violaes locais das equaes de equilbrio, seja no interior
doselementos seja na sua fronteira.5 O Mtodo dos Elementos Finitos
na Anlise Estrutural. Formulao em deslocamentosA escolha da forma
do elemento e das funes de interpolao para casos especficos,
dei-xamuitoespaoparaaexperinciaeparaaintuioetalentodosengenheiros,peloque,ograu
de aproximao que pode ser atingido depende tambm bastante destes
factores.A metodologia aqui exposta conhecida como a formulao em
deslocamentos do Mto-do dos Elementos
Finitos.Ageneralidadedomtododoselementosfinitospermiteasuaextensoaoutrosproble-mas
de meios contnuos que seja possvel formular de acordo com uma
formulao
variacional.Defacto,existemactualmenteprocedimentosgenricosparaadiscretizaoemelementosfi-nitos
de qualquer tipo de problema que seja definido por um conjunto de
equaes diferenciais.Este texto, no entanto, refere-se,
essencialmente, a problemas de mecnica dos slidos.3.3Formulao do
Mtodo dos Elementos FinitosEmbora seja desejvel obter resultados
gerais, aplicveis em qualquer situao, para
evitaraintroduodedificuldadesconceptuais,apresenta-seemseguidaaformulaodoM.E.F.com
base num exemplo simples relativo anlise de uma placa fina, em
estado plano de tenso.Neste exemplo, o domnio do problema dividido
em elementos quadrangulares (Fig.3.3) comdois graus de liberdade
por
n.x1x2Fig.3.3-Domnioemestadoplanodetensodivididoemelementosfinitosquadrangularescom
dois graus de liberdade por n.3.3.1Aproximao fundamental do MEF.
Funes de forma ou de interpolao NiUm elemento finito tpico, e,
definido pelos seus ns, i, (no caso de elementos quadran-gulares de
quatro ns i=1,2,3,4) e pelas linhas que constituem as suas
fronteiras. Considere-se6 Captulo 3que o vector de deslocamentos,
um, em qualquer ponto dum elemento finito aproximado porum vector
coluna da seguinte formau N um i mei (3.4)sendo Nifunes previamente
definidas da posio do ponto no elemento eumei o vector
dosdeslocamentos dos pontos nodais. No caso plano de elementos
quadrangulares de placa admitindo que as duas componentesde
deslocamento de cada n so interpoladas da mesma forma a equao
anterior pode ser es-crita matricialmente comouuN N NN N
NNNuuuuuuuueeeeeeee121 2 31 2 344121212120 0 00 0 00011223344
1]1
1]1
1]11111111111 (3.5)AsfunesNi
sofunesdascoordenadasdospontos,emgeralcoordenadaslocaisynque variam
entre -1 e 1. Tais funesN N yi i n ( ) , designadas por funes de
forma ou
fun-esdeinterpolaosoescolhidasdemaneiraaquesejapossvelobteratravsdaequao(3.4)
os deslocamentos em cada ponto do elemento a partir do valor das
coordenadas locais yndo ponto. Estas coordenadas locais medem-se
num sistema de eixos local no ortonormado nocaso geral de elementos
distorcidos como se indica na Fig.3.4 onde se mostra tambm como
serelacionamascoordenadasgeraiseascoordenadaslocaisporintermdiodadenominadama-triz
Jacobiana cuja importncia na formulao do M.E.F. ser salientada mais
adiante.Obviamente, para um ponto nodal i de coordenadas locais( ,
)( ) ( )y yi i1 2 ter de serN y yii i( , )( ) ( )1 21 (3.6)e, para
um ponto nodalj i decoordenadaslocais( , )( ) ( )y yj j1
2amesmafunodeinterpola-o associada ao n i, Ni , tem que tomar o
valor nuloN y yij j( , )( ) ( )1 20 (3.7)a) Definio de matriz
Jacobiana7 O Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise Estrutural.
Formulao em deslocamentosx1x2Py1y2y = 12y = -12y = 0,522y =
-0,511J21J22J12JDefine-se em cada ponto P dum elemento finito uma
matriz J denominada matriz Jacobia-na que relaciona dxm com
dyn:x1x2y1y222JJ1112
3411PPJx12J1421y1x12213y2dxdxxyxyxyxydydydirecao doeixo local yem
Pdirecao doeixo local yem PJ1211211222121 2
1]1
1]1111
1]1. .( ) ( ) 123 1236 7 444 8 444b)Exemplos de matrizes
Jacobianas em elementos finitos planos Matriz Jacobiana no ponto P
Matriz Jacobiana no ponto PJdir y dir y
1]10 5000 51 2,,. .123123 Jdir y dir y
+ 1]100 50 501 2,,. .12312 4 3 4Fig.3.4 - a) Eixos gerais xm e
eixos locais yn num elemento finito quadrangular de 4 pontos
no-dais.Relaoentrecoordenadasgeraisecoordenadaslocais-matrizJacobiana.b)Exemplosde
matrizes Jacobianas.8 Captulo
3AformamaissimplesdeinterpolarlinearmenteosdeslocamentosemelementosfinitosquadrangularesconduzafunescomaformaindicadanaFig.3.5.NaFig.3.6eFig.3.7apresentam-se
as funes de forma de outros tipos de elementos finitos.(a)y1y212
34) 1 )( 1 (41) (2 2) (1 1i iiy y y y N + + N11231N3 N4N211122
2333441244(b)y1y2412 38567 ) 1 )( 1 )( 1 (41cantos dos Ns) (2 2) (1
1) (2 2) (1 1 + + + i i i iiy y y y y y y y N) 0 ( ) 1 )( 1 (21) 0
( ) 1 )( 1 (21meio do Ns) (222) (1 1) (1) (2 221 + + i iii iiy y y
y Ny y y y NNi (i=1,2,3,4) Ni
(i=5,6,7,8)Fig.3.5-Funesdeforma.a)Elementosfinitosdeplacaquadrangularescom4ns.b)Ele-mentos
finitos de placa, quadrangulares com 8 ns.9 O Mtodo dos Elementos
Finitos na Anlise Estrutural. Formulao em
deslocamentos1243u12u3u12uu11u104u6uu5u98uu7y1y2Fig.3.6 - Funes de
forma.. Elemento finito de laje, quadrangular com 4 ns.10 Captulo
381 92103197 156 135161720124111814 Coordenadas locais dos
nsNy1y2y3 Ny1y2y31 1 -1 -1 11 -1 0 -12 1 1 -1 12 0 -1 -13 -1 1 -1
13 1 0 14 -1 -1 -1 14 0 1 15 1 -1 1 15 -1 0 16 1 1 1 16 0 -1 17 -1
1 1 17 1 -1 08 -1 -1 1 18 1 1 09 1 0 -1 19 -1 1 010 0 1 -1 20 -1 -1
0FacesFaceyi1 y1 = 1 1 2 6 5 9 18 13 172 y2 = 1 2 3 7 6 10 19 14
183 y3 = 1 6 7 8 5 14 15 16 134 y1 = -1 3 4 8 7 11 20 15 195 y2 =
-1 4 1 5 8 12 17 16 206y3 = -14 3 2 1 11 10 9 12Pontos nodai s( ) (
) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ) 20 , 19 , 18 , 17 ( 1
1 141) 15 , 13 , 11 , 9 ( 1 1 141) 16 , 14 , 12 , 10 ( 1 1 141) 8 ,
, 2 , 1 ( 2 1 1 181) (2 2) (1 123) (1 1) (3 322) (3 3) (2 221) (3
3) (2 2) (1 1) (3 3) (2 2) (1 1 + + + + + + + + + + + i y y y y y
Ni y y y y y Ni y y y y y Ni y y y y y y y y y y y y Ni iii iii iii
i i i i iiLFunes de
interpolaoFig.3.7-Funesdeforma.Elementofinitotridimensional,isoparamtricotipocubocom20ns.11
O Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise Estrutural. Formulao em
deslocamentosQuantosfunesdeformaNiveremosemseguidaoimportantepapelquedesempe-nham
na anlise de estruturas pelo Mtodo dos Elementos Finitos. de
referir que muitas ve-zes se adoptam funes de interpolao para a
geometria iguais s funes de interpolao dedeslocamentos ou sejax N
xm i mei (3.8)nestes casos diz-se que temos elementos finitos
isoparamtricos. Nos casos em que se adoptampara a geometria funes
de interpolaoNi* de grau inferior ao grau das funes de
interpo-laodedeslocamentosNidiz-sequetemoselementosfinitossubparamtricos(comesteselementos
possvel ter boas solues com discretizaes mais
largas).3.3.2IntroduodaaproximaofundamentaldoM.E.F.nasrelaesdeformaes-deslocamentosAs
relaes deformaes-deslocamentos, a verificar em cada ponto do
interior dum slido,podem ser escritas em notao indicial, na hiptese
dos pequenos deslocamentos, comoijijjiuxux +
_,
12(3.9)Nocasobidimensionaldeequilbriodeplaca(duascomponentesdedeslocamentoporponto)
a anterior equao pode ser escrita na forma matricial
como11221211222112122 11200
1]111+
1]1111111
1]1111111
1]1uxuxuxuxxxx xuuL1 2 44 3 44(3.10)sendo L um operador
diferencial.Assim, podemos escrever Lu
(3.11)Substituindou,pelaequaoquetraduzaaproximaofundamentaldoMEF,equao(3.4)ou
(3.5), fica{ LNuBe(3.12)12 Captulo 3ou B ue (3.13)em que
BumamatrizcujostermoscorrespondemsderivadasdasfunesdeinterpolaoNi
em ordem s coordenadas gerais xm; esta equao mostra que as
deformaes em qualquerponto dum elemento finitopodem ser obtidas a
partir dos deslocamentos nodais ue e das de-rivadas das funes de
interpolao em ordem s coordenadas gerais
B.Paraocasobidimensionaldeplaca(elementode4ns),aequaoanteriortomaoseguinte
aspecto, na forma
desenvolvida112212112131411221314112112221323142410 0 0 00 0 0
0
1]111
1]1111111NxNxNxNxNxNxNxNxNxNxNxNxNxNxNxNxB1 2 444444444444 3
444444444444uuuuuuuueeeeeeee1212121211223344
1]1111111111111(3.14)Determinao da matriz
BComosepodeconstatarapartirdaequaoanterior,paradeterminaramatrizBnumdado
ponto dum elemento finito necessrio avaliar as derivadas das funes
de interpolaoem ordem s coordenadas gerais xm. Como as funes de
interpolao Ni so geralmente defi-nidas em coordenadas locais yn , a
avaliao dasderivadas de Ni em ordem a xm , N xi m/
,deveserefectuadatendoemcontaque,paraocasobidimensionalporexemplo,N
N y yi i ( , )1 2 e, portanto,NxNyyxNyyxNxNyyxNyyxi i ii i i1 111
2212 112 222 + +(3.15) ou, matricialmente,13 O Mtodo dos Elementos
Finitos na Anlise Estrutural. Formulao em
deslocamentosNxNxNyNyyxyxyxyxi i i i1 2 1 211122122
1]1
1]1
1]1111 (3.16)similarmente podemos tambm concluir
queNyNyNxNxxyxyxyxyi i i iJxymn1 2 1 211122122
1]1
1]1
1]11111 2 44 3 44
(3.17)emamatrizJajreferidamatrizJacobiana.Assimpodemosconcluirqueamatrizde2x2que
aparece em (3.16) e que nos interessa obter corresponde inversa da
matriz Jacobiana, ousejaNxNxNyNyyxyxyxyxNyNyJi i i iJi i1 2 1
2111221221 211
1]1
1]1
1]1111
1]11 2 44 3 44. (3.18)Assim para obtermos, como pretendido, as
derivadas N xi m/basta-nos obter as deri-vadas N yi n/ , a matriz
Jacobiana e a respectiva inversa e efectuar o produto matricial
in-dicado na anterior equao (3.18).Para obter a matriz Jacobiana em
cada ponto dum elemento finito basta conhecer as coor-denadas
gerais dos pontos nodaisxmei e as derivadas das funes de interpolao
da
geometria(quenoselementosisoparamtricossoiguaissfunesdeinterpolaodosdeslocamentosNi)emordemscoordenadaslocaisyn,ouseja,
N yi n/ .Defacto,introduzindo(3.8)naseguinte equao correspondente
definio de matriz JacobianaJxyxyxyxyxymnmn
1]111111122122(3.19)obtemos (3) 3 A definio de matriz Jacobiana
aqui adoptada idntica adoptada por Hughes, contudo, outros
au-tores, como Zienkiewicz por exemplo, definem como matriz
Jacobina a matriz transposta da matriz que aquiapresentada como a
matriz Jacobiana. Esta diferente definio no tem qualquer relevncia
implicando
ape-nasalgumastrocasnaordemdosprodutosmatriciaisqueincluamamatrizJacobiana.Odeterminantedamatriz
Jacobiana (de grande utilidade no M.E.F. como veremos adiante),
usualmente denominado Jacobiano,14 Captulo 3JN xyx x x xx x x
xNyNyNyNyNyNyNyNyNyxNyxNymni mene e e ee e e ei e i eiii i
1]11
1]111111111( )1 1 1 12 2 2 21112212231324142112111 2 3 41 2 3
4xNyxe i ei i222
1]1111(3.20)particularizando para o caso bidimensional de um
elemento de placa de 4 pontos nodais.3.3.3Introduo da aproximao
fundamental do MEF nas relaes
constitutivasAdmitindoquenoexistemdeformaesimpostas00
nemtensesiniciais00 aequao constitutiva da elasticidade linear toma
a conhecida forma D
(3.21)Introduzindo(3.13)naexpressoanteriorobtemosumaexpressoquenospermiteobteroestado
de tenso num ponto qualquer dum elemento finito a partir da matriz
de elasticidade De dos deslocamentos nodais ue , conhecida a matriz
B no ponto em anlise, ou seja DBue(3.22)No caso geral em que
existam deformaes impostas (variaes de temperatura por exem-plo) e
tenses iniciais, ou seja, + D( )0 0, a aproximao dos elementos
finitos con-duz-nos seguinte relao + DBu De 0 0(3.23)No caso
particular de estados planos de tenso em materiais isotrpicos o
estado de ten-so em cada ponto dum elemento finito e de 4 ns seria
dado pela seguinte expresso
exactamente o mesmo quer se adopte para matriz Jacobiana a
definio de Hughes ou a definio de Zienki-ewicz (o determinante duma
matriz igual ao determinante da correspondente transposta).15 O
Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise Estrutural. Formulao em
deslocamentos{11221223 8121212121020120102012011 01 00
01211223344
1]111
1]1111
1]1111111111111
1]111+
1]111EBuuuuuuuueeeeeeee(3.24)3.3.4Equaodeequilbriodumelementofinitoe.Introduodaaproximaofunda-mental
do MEF no PTV e obteno da equao de equilbrioK u Fe e e
.Oequilbrioglobaldumelementofinitopodeserexpressopeloprincpiodostrabalhosvirtuais
(P.T.V.). Segundo este princpio, condio necessria e suficiente para
que um
dadocorpo(ouporodumdadocorpo)estejaemequilbrioqueasomadostrabalhosvirtuaisdetodas
as foras actuantes sobre o corpo (ou sobre uma dada poro do corpo)
seja nula, paraquaisquer deslocamentos virtuais, ou seja
otrabalhodasforasinterioresdeveserigualaotrabalho das foras
exterioresW Wext int (3.25)Representando por Xm as foras mssicas e
por Sm as foras de superfcie num elemento finitode volume V
delimitado por um conjunto de faces de superfcie total S, sujeito a
um campo dedeformaesp(compatvelcomocampodedeslocamentosvirtuaisu
)eaumcampodetensesp (campos definidos em todos os pontos do
interior e da fronteira do elemento fini-to) a anterior expresso do
P.T.V. pode ser escrita na seguinte forma dV u X dV uS dSVWmVmSWext
+int12 4 3 4 1 2 4444 3
4444(3.26)Introduzindonaanteriorequao(3.26)aaproximaofundamentaldoMEF,eq.(3.1),eosresultados
traduzidos pelas equaes (3.13) e (3.22) obtemosB u DBu dV N u XdV N
u SdSe eVeVeS + (3.27)16 Captulo 3o que facilmente se comprova ser
equivalente seguinte equao (note-se que ue eue
podempassarparaforadosrespectivosintegraispoissovaloresnospontosnodais,constantes,eento
osue cortam)K u Fe e e (3.28)
emqueuecorrespondeaosdeslocamentosnodaisdoelemento,sendoamatrizderigidezelementarKe
e as foras nodais equivalentesFe dadas porK B D BdVe TV (3.29)F N X
dV N S dSe TVForas nodaisequivalentes aforas massicasTSForas
nodaisequivalentes aforas de erficie + 12 4 3 4 1 2 4 3 4sup(3.30)A
matriz de rigidez de cada elementoKe uma matriz quadrada, simtrica
e com um n-mero de linhas e colunas igual ao nmero total de graus
de liberdade do
elemento.3.3.5IntegraonumricapelomtododeGaussparaobtenodamatrizderigidezelementar.Transformaodointegraldevolumenumsomatrioestendidoaospontos
de
GaussAdeterminaodosintegraisqueaparecemnaequao(3.28)quetraduzoequilbriodeum
elemento finito para foras e deslocamentos nodais, , em geral,
efectuada
numericamenteemcoordenadaslocais,usandoomtododeGauss.EstemtodopermitecalcularovalordointegraltomandovaloresdointegrandoemapenasalgunspontosdodomniodenominadospontosdeGauss(Fig.3.8)aosquaisseassociamdeterminadospesosdenominadospesosdeGauss-omtododeGausspermite,portanto,transformarumaexpressointegralnumaex-pressodiscretacorrespondenteaumsomatrioestendidoaumreduzidonmerodepontosdo
domnio.A expresso do termo geral da matriz de rigidez
elementarKepode ser facilmente escritaem coordenadas locais tendo
em conta que17 O Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise Estrutural.
Formulao em deslocamentosdxdxxyxyxyxydydydx dx J dy
dyJ1211122122121 2 1 2
1]1
1]1111
1]1 1 2 44 3 44 (3.31)Assim, no caso bidimensional em anlise
teremosK B DB J dy dye T 1 21111 (3.32)sendo, no caso geral
tridimensionalK B DB J dy dy dye T 1 21111311(3.33)Para
comprendermos como se pode efectuar a avaliao numrica de expresses
integraiscomoasanterioresconvenienterelembrarcomosepodeavaliarnumericamenteointegralunidimensional
de uma dada funo (Fig.3.9).Como se referiu, a utilizao do mtodo de
Gauss permite, na prtica, transformar os ante-riores integrais em
somatrios estendidos aos pontos de Gauss, que so pontos cujas
coorde-nadaslocaisseapresentamnaFig.3.10,tendoemcontaqueacadapontocorrespondeumdado
peso tambm dado na referida tabela. Assim a anterior expresso pode
ser escrita na
for-madeumsomatriotriploestendidoaospontosdeGauss(NPGpontosdeGausspordirec-o)}{K
H H H B D B Jei j kPesosdeGaussTMatriz
deElasticidadekNPGjNPGiNPGJacobiano 12 4 3 4 1 1 1
(3.34)Paraocasobidimensionaldeelementosdeplacade4pontosnodaisdevemadoptar-se2pontos
de Gauss por direco (NPG=2) o que corresponde utilizao deNPG24
pontosde Gauss, como se mostra na Fig.3.8 ou seja, ficando,
portantoK H H B D B Jei jTj i 1212(3.35)18 Captulo 3CASO
BIDIMENSIONAL (n=2) ninjj ij iy y f H H dy dy y y f1 1) (2) (111112
1 2 1) , ( ) , (y1y21 24 30,577350,57735
Ponto deGaussy1y21 -0.577350 -0.5773502 +0.577350 -0.5773503
-0.577350 +0.5773504 +0.577350 +0.577350CASO TRIDIMENSIONAL
(n=3)12345 678y1y2y30,577350,577350,577350,57735
ninjnmm j im j iy y y f H H Hdy dy dy y y y f1 1 1) (3) (2)
(11111113 2 1 3 2 1) , , () , , (Ponto deGaussy1y2y31 +0.577350
-0.577350 -0.5773502 +0.577350 +0.577350 -0.5773503 -0.577350
-0.577350 -0.5773504 -0.577350 +0.577350 -0.5773505 +0.577350
-0.577350 +0.5773506 +0.577350 +0.577350 +0.5773507 -0.577350
-0.577350 +0.5773508 -0.577350 +0.577350 +0.577350Fig.3.8 -
Integrao numrica pelo mtodo de Gauss num elemento de placa
quadrangular
com4pontosnodaisenumelemntotridimensionaltipocubo.UtilizaodedoispontosdeGausspor
direco (NPG=2).19 O Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise
Estrutural. Formulao em deslocamentosConvm salientar que na
expresso anterior (3.35) a matriz B e o jacobianoJso avalia-dos nos
quatro pontos de Gauss de coordenadas locaisy y para i e jy y para
i e jy y para i e jy y para i e j1 21 21 21 20 57735 0 57735 1 10
57735 0 57735 1 20 57735 0 57735 2 10 57735 0 57735 2 2 , , ,, , ,,
, ,, ,
,(3.36)OnmeromnimodepontosdeGausspordireco(NPG)maisadequadoparaefectuarnumericamenteaintegraoquenospermiteobterasmatrizesderigidezelementaresdumdado
problema estrutural geralmente NPG=2 no caso de elementos lineares
(sem ns a meiodas arestas) e NPG=3 no caso de elementos do 2 grau
(com ns a meio das
arestas).Destaformanaintegraodumelementotridimensionaltipocubode8pontosnodaissuficiente
utilizar NPG=2 o que significa que suficiente utilizar no total
NPG3= 8 pontos deGauss; na integrao dum elemento tridimensional
tipo cubo de 20 pontos nodais (pontos no-dais nos vrtices e a meio
das arestas) conveniente utilizar NPG=3 o que significa que
con-veniente utilizar no total NPG3= 27 pontos de Gauss.20 Captulo
3xya)Regra dos rectngulos (Mtodo de Newton)-1 1f(x)Intervalos
iguaisxyb)Regra dos trapzios (Mtodo de Newton)-1 1f(x)Intervalos
iguaisxyc)Mtodo de Gauss (aprox. por funes polinomiais)-1
1f(x)Intervalos diferentesFig.3.9 - Tcnicas numricas de integrao de
funes: mtodo de Newton e mtodo de
Gau-ss.a)Subdivisododomnio(-1a1)emintervalosiguaiseaproximaodafunoporrec-tngulos;b)Subdivisododomnioemintervalosiguaiseaproximaodafunoportrap-zios;
c) Subdiviso do domnio em intervalos de comprimentos variveis
definidos
previamentedaformamaisconvenienteeaproximaodafunoporcurvaspolinomiais-mtododeGauss.21
O Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise Estrutural. Formulao em
deslocamentosABCISSAS E PESOS DE GAUSSniiiy f H dy y f1) (1111 1) (
) ( ninjj ij iy y f H H dy dy y y f1 1) (2) (111112 1 2 1) , ( ) ,
( ninjnmm j im j iy y y f H H H dy dy dy y y y f1 1 1) (3) (2)
(11111113 2 1 3 2 1) , , ( ) , , ( a Hn=10 2.00000 00000
00000n=20.57735 02691 89626 1.00000 00000 00000n=30.77459 66692
41483 0.55555 55555 555560.00000 00000 00000 0.88888 88888
88889n=40.86113 63115 94053 0.34785 48451 374540.33998 10435 84856
0.65214 51548 62546n=50.90617 98459 38664 0.23692 68850
561890.53846 93101 05683 0.47862 86704 993660.00000 00000 00000
0.56888 88888 88889n=60.93246 95142 03152 0.17132 44923
791700.66120 93864 66265 0.36076 15730 481390.23861 91860 83197
0.46791 39345 72691n=70.94910 79123 42759 0.12948 49661
688700.74153 11855 99394 0.27970 53914 892770.40584 51513 77397
0.38183 00505 051190.00000 00000 00000 0.41795 91836
73469n=80.96028 98564 97536 0.10122 85362 903760.79666 64774 13627
0.22238 10344 533740.52553 24099 16329 0.31370 66458 778870.18343
46424 95650 0.36268 37833 78362n=90.96816 02395 07626 0.08127 43883
615740.83603 11073 26636 0.18064 81606 948570.61337 14327 00590
0.26061 06964 029350.32425 34234 03809 0.31234 70770 400030.00000
00000 00000 0.33023 93550 01260n=100.97390 65285 17172 0.06667
13443 086880.86506 33666 88985 0.14945 13491 505810.67940 95682
99024 0.21908 63625 159820.43339 53941 29247 0.26926 67193
099960.14887 43389 81631 0.29552 42247 1475322 Captulo 3Fig.3.10 -
Integrao numrica de Gauss. Pontos e pesos de Gauss utilizando NPG
pontos deGauss por direco.3.3.6Anlise de uma estrutura. Matriz de
rigidez global e vector das foras
nodaisApartirdaequaesdeequilbrioestabelecidasparacadaumdoselementosfinitosemquesuposemosaestruturadividida,podemformar-seasequaesdeequilbriodetodaaes-trutura,paraforasedeslocamentosnospontosnodais.Paratalbastaqueseimponhamascondies
de compatibilidade e de equilbrio nos pontos nodais, ou seja, que
se admita a
iden-tidadeentreascomponentesdosdeslocamentosnospontosnodaiscomunsaosdiversosele-mentos
e somando a as componentes de todas as foras
nodais.Asobreposiodascontribuiesdecadaelementoconduzmatrizderigidezglobaldetoda
a estrutura K assim como aos vectores de foras nodais equivalentes
s solicitaes FKu F (3.37)sendo entoK Ke (3.38)F Fe (3.39)
