Upload
turbosmixer
View
253
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Elektropltár (Thevenin)
Citation preview
Elektrotechnika pldatr
Langer Ingrid
1
Tartalomjegyzk
Elsz ................................................................................................................................ 2
1. Egyenram hlzatok ................................................................................................ 3
1.1. Alapfogalmak ............................................................................................................. 3
1.2. Pldk passzv hlzatok ered ellenllsnak kiszmtsra ................................... 6
1.3. Impedanciah talaktsok ....................................................................................... 12
1.4. A feszltsg s az ramoszts trvnye ................................................................... 24
1.5. A Thvenin s a Norton ttel ................................................................................... 29
1.6. Mdszerek tbb genertort s fogyasztt tartalmaz
elgaz hlzatok gaiban foly ramok kiszmtsra .......................................... 50
2. Vltakoz ram hlzatok......................................................................................... 97
2.1. Alapfogalmak ........................................................................................................... 97
2.2. Kidolgozott s gyakorl pldk a vltakoz ram ramkrk szmtshoz ...... 102
2
Elsz
A pldatr az budai Egyetem Bnki Dont Gpsz s Biztonsgtechnikai mrnki
Karn a Mechatronikai mrnk BSc kpzsen oktatott Elektrotechnika trgy egyenram s
vltakoz ram hlzatok szmtsval kapcsolatos anyagnak elsajttshoz szeretne
segtsget nyjtani. A tantermi gyakorlatok nem mindig elegendek ahhoz, hogy a hallgatk
a szmtsi mdszereket els hallsra megrtsk, illetve levelez tagozaton id hinyban a
rszletes magyarzatok gyakran elmaradnak. A pldatr ezrt sok, rszletesen kidolgozott
feladatot is tartalmaz, amelyben a szmts menett lpsrl lpsre kvetni lehet, de
minden tmakrhz tartoznak olyan gyakorl feladatok is, amelyeket nllan kell
megoldani, segtsgknt csak a vgeredmny van megadva.
Remlem, hasznos segtsg lesz a zrthelyi dolgozatokra s a vizsgra val
felkszlsben.
2013. augusztus
A szerz
3
1. EGYENRAM HLZATOK
1.1. Alapfogalmak
1.1.1. Villamos ram (jele: I)
Egysgnyi felleten egysgnyi id alatt tahalad tltsmennyisget ramnak nevezzk:
[ ]
ahol Q tltsmennyisg [C]
t id [s]
1.1.2. Villamos feszltsg (jele: U)
A tr kt pontja kztti potencilklnbsg.
Elektromos potencil: egysgnyi tltsnek a tr egyik pontjbl a msikba mozgatshoz
szksges energia:
[
]
ahol WAB Q tltsmennyisg A pontbl B pontba mozgatshoz szksges munka [J]
E elektromos trerssg [N/C]
1.1.3. Ellenlls (jele: R)
Fm vezet ellenllsa:
[ ]
ahol a fajlagos ellenlls [
]
l a vezet hossza [m]
A a vezet keresztmetszete [mm2]
4
(A fajlagos ellenlls hmrskletfgg, a hmrsklet nvekedsvel a fm vezetk
ellenllsa n.)
Villamos ramkrkben az ellenllsok rama s feszltsge kztti kapcsolatot az
Ohm-trvny rja le:
(Az ellenlls reciprokt vezetkpessgnek hvjuk, jele G, mrtkegysge S (Siemens)
)
1.1.4. Villamos ramkrk
Az egyenram villamos ramkrk aktv elemekbl, azaz energiaforrsokbl
(feszltsg vagy ramgenertorokbl), passzv elemekbl, azaz fogyasztkbl
(ellenllsokbl) s az ket sszekt vezetkekbl llnak.
A genertorok villamos energia ellltsra alkalmas kszlkek. (Villamos energit
szmos energiafajta talaktsval elllthat, pl. vegyi energia (galvnelemek,
akkumultorok), fnyenergia (napelemek), mechanikai energia (egyen- s vltakoz
ram genertorok) talaktsval.
Idelis feszltsggenertor: Kapcsai kztt a feszltsg a r kapcsolt fogyasztktl
fggetlenl lland.
Idelis ramgenertor: rama a r kapcsolt fogyasztktl fggetlenl lland.
Jellsek:
1.1.5. Kirchhoff trvnyek a) Kirchhoff csomponti trvnye:
Csompont defincija a villamos hlzatban: Kettnl tbb vezetk tallkozsi pontja.
Villamos hlzat csompontjba befoly s kifoly ramok eljeles sszege nulla.
+ +
- -
Idelis ramgenertor
Ug Ig
Idelis feszltsggenertor
1-1. bra
5
1-2. bra
b) Kirchhoff hurok trvnye:
Hurok defincija a villamos hlzatban: A hlzat azon gainak sszessge, melyeken
vgighaladva gy rhetnk vissza a kiindulsi pontba, hogy minden gon csak egyszer
haladtunk vgig.
Villamos hlzatban brmely zrt hurokban a genertorok s fogyasztk
feszltsgeinek eljeles sszege nulla.
1-3. bra
1.1.6. Ellenllsok kapcsolsa
a. Ellenllsok soros kapcsolsa
1-4. bra
R1 R
2 R
e
Rn =
R1
R3
R2
R4
I1
I2 UR2
UR1
Ug1
I3
I4
UR4
Ug2
UR3
I1
I2
I3
I4
I5
6
b. Ellenllsok prhuzamos kapcsolsa
1-5. bra
1.2. Pldk passzv hlzatok ered ellenllsnak
kiszmtsra
1.2.1. A s B pontok kztt szmtsa ki az ered ellenllst!
1-6. bra
A megolds menete:
Keressnk sorba vagy prhuzamosan kapcsolt ellenllsokat s cserljk ki ezek
eredjvel az eredeti ellenllsokat!
R3 R5 R1
R8
R6
R4 R7 R2
R1=4 R2=3 R3=3,6 R4=4 R5=1,8 R6=3 R7=2 R8=3
A
B
R2
Re
jellsben:
(Az -szel jellt mvelet elnevezse replusz , jelentse:
reciprok rtkek sszegnek a reciproka)
R1
Rn
=
7
1-7. bra
1-8. bra
1.2.2. Szmtsa ki az ellenlls hlzat eredjt A s B pontok kztt!
R3 R1
R4 R2
R3 R1
R2 R5678
R45678
R1
R2 R345678
R1
R2345678
A A
A A
B B
B B
A R3 R
5 R
1
R8
R2
R6
R4 R
7 R
2
R3 R
5 R
1
R6
R4 R
2 R78
A
B B
8
1-9. bra
Megolds:
A C-D pontok s a B-E pontok egy-egy ellenlls nlkli vezetkdarabbal vannak
sszektve (rvidre vannak zrva), ezrt a kt csompont sszevonhat. gy lthat,
hogy az R5 R6 s R7 ellenllsok a B-D pontok kztt prhuzamosan vannak
kapcsolva. Ugyanez igaz az R2 s R3 ellenllsokra a D-F pontok kztt:
1-10. bra
Az R1 s az R23 ellenllsok egymssal sorban, ketten egytt az R4-gyel
prhuzamosan vannak kapcsolva. Eredjk pedig az R567-tel sorba kapcsoldik.
gy AB kztt az ered ellenlls:
{ [( ) ]} ( )
{ [( ) ]} ( ) [ (
)] (
)
1.2.3. A s B pontok kztt szmtsa ki az ered ellenllst!
R2R3
R4 A B
R1
R5R6R7
R7
R2 R5
R4 A B
R1 R6 R3
C
D
R7
E F
R1=1,8 R2=2 R3=3 R4=7 R5=3 R6=6 R7=2
9
R2 A B
R1
R3
1-11. bra
Megolds:
Vegyk szre, hogy a rvidre zr vezetkek miatt mindhrom ellenlls A s B
pontok kz van bektve, vagyis a hrom ellenlls A s B pontok kztt
prhuzamosan kapcsoldik egymshoz.
A kapcsols trajzolva:
1.2.4. A s B pontok kztt szmtsa ki az ered ellenllst!
1-13. bra
(Megolds: ({[( ) ] } ) ( )
A B
R7
R6 R4
R1
R2
R8
R5
R3
R1=20
R2=40
R3=30
R4=10
R5=60
R6=70
R7=30
R8=20
R1 R2 R3 A B
R1=8
R2=20
R3=30
1-12. bra
10
1.2.5. Szmtsa ki az ellenlls hlzat eredjt A s B pont kztt!
1-14. bra
(Megolds: ( { [ ( )]}) )
1.2.6. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered ellenllst!
1-15. bra
(Megolds: {[( ) ] } ( ) )
1.2.7. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered ellenllst!
R2
R1
R3
R6
R5
R4
A
B
R1= 2
R2= 4
R3= 6
R4= 3
R5= 5
R6= 7
A
B R2
R1
R3
R6
R4
R5
R7
R1= 1
R2= 6
R3= 3
R4= 3
R5= 5
R6= 2
R7= 4
11
R2 R6
R4
A B
R1 R7 R3
R9
R8
R5 R10
R1=15
R2=25
R3=20
R4=30
R5=60
R6=40
R7=60
R8=16
R9=40
R10=30
1-16. bra
(Megolds: [({[( ) ] } ) ( )]
1.2.8. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered ellenllst!
1-17. bra
(Megolds: )
1.2.9. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered ellenllst!
R2 R3 R4 B
R1=6
R2=30
R3=30
R4=30
R5=90
R1
R5
A
R4 R8
R2
B
R1 R7 R3
R6
R1=10
R2=30
R3=10
R4=12
R5=80
R6=40
R7=60
R8=60
A
R5
1-18. bra
12
(Megolds: [( ) ] {[( ) ] } )
1.2.10. Az brn az emberi test ellenllsnak egyszerstett modellje
lthat. Szmtsa ki 150 V egyenfeszltsg hatsra a testen
tfoly ramot, ha a feszltsg a(z)
a) A-B
b) B-C
c) B-E
d) A-E
pontok kztt hat.
1-19. bra
(Megolds: ) ( ( ))
) [( ) ( )]
) ( ( ))
) [ ) ( )] )
1.3. Impedanciah talaktsok
Nem minden kapcsols bonthat fel soros s prhuzamos kapcsolsok sorozatra. Ilyen esetben segtsget jelenthet a delta-csillag vagy a csillag-delta talakts: a
hlzat egy rszt kicserljk ms ellenlls-kombincira oly mdon, hogy a
hlzat tbbi rszben semmi vltozs ne trtnjen s az ered impedancia a hlzat
R1 R
2 R
3
R4 R
5
R6 R
7
R8
R9 R
10
A
B C
D E
R1=40
R2=35
R3=35
R4=120
R5=120
R6=480
R7=460
R8=20
R9=800
R10
=850
13
brmely kt pontja fell nzve vltozatlan maradjon. Ezt a hlzat impedanciah
talaktsnak nevezzk.
a. Delta-csillag talakts
Az 1-2-3 pontok kz n. delta () kapcsolsba kttt ellenllsokat cserljk ki
ugyanezen pontok kz csillag (Y) kapcsolsba kttt ellenllsokkal gy, hogy
brmely kt pont fell nzve az ered ellenlls a s a Y kapcsolsban
megegyezzen.
1-20. bra
Az 1-2 pontok kztt az ellenlls, ha a 3. pont nincs csatlakoztatva:
( ) ( )
Az 2-3. pontok kztt az ellenlls, ha az 1. pont nincs csatlakoztatva:
( ) ( )
Az 1-3. pontok kztt az ellenlls, ha a 2. pont nincs csatlakoztatva:
( ) ( )
Az (1) s (3) egyenletek sszegbl kivonva a (2) egyenletet:
( )
( )
( )
1. 1.
2. 3. 2. 3.
R2
R1
R3
R12
R13
R23
Delta kapcsols Csillag kapcsols
14
gy a Y kapcsols R1 ellenllsa:
Az (1) s (2) egyenletek sszegbl levonva a (3) egyenletet, megkapjuk a Y kapcsols
R2 ellenllst:
s vgl a (2) s (3) egyenletek sszegbl levonva az (1) egyenletet, megkapjuk a Y
kapcsols R3 ellenllst:
b. Csillag-delta talakts
Az 1-2-3 pontok kz csillag (Y) kapcsolsba kttt ellenllsokat cserljk ki
ugyanezek pontok kz delta () kapcsolsba kttt ellenllsokkal gy, hogy
brmely kt pont fell nzve az ered ellenlls a Y s a kapcsolsban
megegyezzen.
15
1-21. bra
Az talakts kpletnek levezetshez kpzeletben kssk ssze (zrjuk rvidre) a 2 s
3 pontot. Impedanciah talakts esetn a csillag kapcsolsban az 1 s a 2-3 pontok
kztti ered ellenlls meg kell, hogy egyezzen a delta kapcsolsban az 1. s a szintn
sszekttt 2-3 pontok kztti ellenllssal. Ez csillag kapcsolsban a R1 soros
kapcsolst jelenti R2 s R3 prhuzamos eredjvel. Delta kapcsolsban a rvidzr miatt
R23 ellenlls nem szl bele az ered ellenllsba, ami gy az R12 s R13 ellenllsok
prhuzamos eredjvel lesz egyenl:
( ) ( )
a replusz jellst kpletknt felrva:
( )
A fenti gondolatmenetet kvetve az 1 s a 3 pontok sszektsvel az ered ellenlls a 2 s
1-3 pontok kztt csillag s delta kapcsolsban:
( ) ( )
a replusz mveletet kpletben felrva:
( )
Vgl az 1 s a 2 pontok sszektsvel a 3 s az 1-2 pontok kztt az ered ellenlls
csillag s delta kapcsolsban:
( ) ( )
azaz
( )
1.
2. 3.
R2
R1
R3
Csillag kapcsols
1.
2. 3.
R12
R13
R23
Delta kapcsols
16
A fenti sszefggsekben az ellenllsokat cserljk ki reciprok rtkkkel, vezessk be
a jellst. (G a vezetkpessg jele, mrtkegysge Siemens, [S])
Az (1) egyenlet gy a kvetkezkppen rhat:
( )
( )
A fenti sszefggs formailag nagyon hasonlt a delta-csillag talaktsnl az ellenllsokra
felrt sszefggsre.
Az (1) egyenlet mintjra a (2) s a (3) egyenletek a kvetkezkppen rhatk:
( ) ( )
( ) ( )
Az (1) s (2) egyenletek sszegbl kivonva a (3) egyenletet:
( )
( )
( )
Visszarva R-eket a kpletbe:
(
)
17
A (2) s (3) egyenletek sszegbl kivonva a (1) egyenletet:
( )
( )
( )
Visszarva R-eket a kpletbe:
Vgl az (1) s (3) egyenletek sszegbl kivonva a (2) egyenletet:
( )
( )
( )
Visszarva R-eket a kpletbe:
1.3.1. Szmtsuk ki hrom azonos nagysg
a) deltba kapcsolt R ellenllssal egyenrtk csillag kapcsols
ellenllsainak rtkeit!
1-22. bra
Alkalmazzuk a delta-csillag talakts kplet hrom azonos nagysg
ellenllsra. Behelyettestve R-t mindhrom ellenlls helyre ltjuk, hogy elg a
csillag kapcsols egyetlen ellenllsnak kiszmolsa, hiszen az talakts utn is
mindhrom ellenlls azonos nagysg lesz:
?
?
?
R R
R
18
Teht egy R ellenllsokbl ll delta kapcsols R/3 nagysg ellenllsokbl ll
csillag kapcsolssal helyettesthet.
b) csillagba kapcsolt R ellenllssal egyenrtk delta kapcsols
ellenllsainak rtkeit!
1-23. bra
Teht egy R ellenllsokbl ll csillag kapcsols 3R nagysg ellenllsokbl ll
delta kapcsolssal helyettesthet.
1.3.2. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered
ellenllst!
1-24. bra
1.3.2.1. Megolds delta-csillag talaktssal
R1 R
4
R3
R2 R5
A B
C
D
R1=2
R2=3
R3=5
R4=4
R5=6
R
R
R
? ?
?
19
Cserljk ki ACD pontok kztt a delta kapcsols R1, R2, R3 ellenllsokat a velk
egyenrtk csillag kapcsols RA, RC, RD ellenllsokra!
1-25. bra
[( ) ( )] [( ) ( )]
1.3.2.2. Megolds csillag-delta talaktssal
Cserljk ki ADB pontok kztt a csillag kapcsols R1, R3, R3 ellenllsokat a velk
egyenrtk delta kapcsols RAB, RAD, RBD ellenllsokra! (Megjegyzs: C pont az
R1, R3, R3 ellenllsok csillagpontja, ami az talakts utn eltnik)
R1 R
4
R3
R2 R5
A
B
C
D
RD
R4 R
C
RA
R5
A
C
D
B
20
1-26. bra
[( ) ( )] [( ) ( )]
[
]
1.3.3. Szmtsa ki A s B pont kztt az ered ellenllst!
1-27. bra
R2 R3 R4 B
R1=1
R2=3
R3=4
R4=2,5
R5=4,5
R1
R5
A C
D
R1 R
4
R3
R2 R5
A
B
C
D
R2
RAB
R5
A
D
B
RAD
RBD
21
1.3.3.1. Megolds delta-csillag talaktssal
Az ACD pontok kztt R1 R2 R3 ellenllsok delta kapcsolsban vannak ktve.
Cserljk ki ezt a hrom ellenllst hrom csillag kapcsols ellenllsra!
1-28. bra
Az ered ellenlls A-B pontok kztt:
[( ) ( )] [( ) ( )]
1.3.3.2. Megolds csillag-delta talaktssal
1-29. bra
R4 B RAD
RAB
A D
RDB
R1
RA RD R4 B
R5
A
C
D
RC
22
Az R2, R3, R5 ellenllsok A-D-B pontok kztt csillagba vannak kapcsolva. Cserljk ki
ezeket RAD, RAB, RDB delta kapcsols ellenllsokra. A C pont (csillagpont) az
talakts sorn eltnik.
[( ) ( )] [( ) ( )]
[
]
1.3.4. Szmtsa ki A-B pontok kztt az ered ellenllst!
1.3.4.1. Megolds csillag-delta talaktssal
R1 s R2 ellenllsok prhuzamosan vannak kapcsolva, ezrt helyettesthetk egyetlen R12=R1R2 ellenllssal. Az gy kapott csillagba kapcsolt R12, R4, R5 ellenllsokat helyettestsk a deltba kapcsolta RAC, RBC, RAB, ellenllsokkal!
R7
R3
R1
R5
R2
R4
R6
A B
R1=6
R2=3
R3=3
R4=4
R5=8
R6=6
R7=12
1-30. bra
23
R4
R1 R2
R5
R3
R7 R6
A B
R7
R3
R5
R12
R4
R6
A B
C
R7
R3 RBC R
AC R6
B
C
RAB
A
1-31. bra
[ ] [( ) ( )] [ ] [( ) ( )]
( )
1.3.4.2. Oldja meg a feladatot delta-csillag talaktssal! (Pl. R12, R3, R4 delta kapcsols csillagg alaktsval.)
1.3.5. Szmtsa ki A-B pontok kztt az ered ellenllst!
R1=9
R2=9
R3=4,5
R4=1
R5=3
R6=6
R7=6
1-32. bra
24
R4
R2
R5
R13
R7 R6
A B R
C
RD
R2
RA R
4 A B C
R7
C
D D
1.3.5.1. Megolds delta-csillag talaktssal
R1 s R3 ellenllsok prhuzamosan vannak kapcsolva, ezrt helyettesthetk egyetlen R13=R1R3 ellenllssal. Az gy kapott deltba kapcsolt R13, R5, R6 ellenllsokat helyettestsk a csillagba kapcsolt RA, RC, RD, ellenllsokkal!
{ [( ) ( )]} { [( ) ( )]}
(
)
1.3.5.2. Oldja meg a feladatot csillag-delta talaktssal! (Pl. R13, R4, R6 delta kapcsols csillagg alaktsval.)
1-33. bra
25
R5
R2 R3
R6
R4
R8 R7
A B
R1
R1=3
R2=2
R3=6
R4=6
R5=12
R6=4
R7=2
R8=8
1.3.6. Szmtsa ki A-B pontok kztt az ered ellenllst!
(Megolds: Pl. R1 R2 R3 s R6 R7 R8 csillag kapcsolsok delta kapcsolss alaktsval RAB=4)
1.4. A feszltsg s az ramoszts trvnye a) A feszltsgoszts trvnye
Sorba kapcsolt ellenllslnc elemei a rjuk kapcsolt feszltsget az ellenllsok
arnyban osztjk le. A soros ellenllslnc minden tagjn ugyanaz az ram folyik
keresztl, ezrt:
1-35. bra
b) Az ramoszts trvnye
Egy ramkr prhuzamosan kapcsolt gainak ramai fordtottan arnyosak az egyes
gak ellenllsaival. A prhuzamos gakon es feszltsgek megegyeznek, ezrt:
R1
R2
R3
Ube
Uki UR3
UR2
UR1
I
1-34. bra
26
1-36. bra
Specilis eset: kt prhuzamosan kttt ellenlls esetn az ramoszts trvnye:
1-37. bra
1.4.1. Az ramoszts trvnynek segtsgvel szmtsa ki a
feszltsggenertor feszltsgt, ha az R5 ellenllson 1,8 A ram
folyik keresztl.
1-38. bra
Az ramoszts trvnyt I5 ramra s a csompontba befoly I3 ramra felrva:
R1=6
R2=60
R3=28
R4=30
R5=20
R1
R2
R4
R5
R3
U=?
I5=1,8 A
I1
I2
I3
I4
Ube
IR2 IR1
I
R2
R1
Rn Ube
IR3 IR2 IR1
I
R3 R
2
R1
IRn
.
27
I1 s I3 ramra felrva:
( )
R345 az R2 ellenllssal prhuzamosan kapcsolt g ered ellenllsa
( )
( )
A feszltsggenertor feszltsge:
Re az egsz ramkr ered ellenllsa:
[ ( ( ))] [ ( ( ))]
1.4.2. Szmtsa ki az albbi ramkr ellenllsain es feszltsgeket!
1-39. bra
A feszltsgoszts trvnyt felrva az egyes ellenllsokra:
( )
( )
(UR3(=UR4) rtkt termszetesen az sszefggsbl is megkaphattuk volna.)
R2
U
R1=2
R2=4
R3=6
R4=9
U=12V
U2=14V
U3=16V
R1
R4 R3
UR1 UR2
UR3 UR4
28
1.4.3. Szmtsa ki az albbi ramkr egyes gaiban foly ramokat!
1-40. bra
(Megolds: )
1.4.4. Szmtsa ki az albbi ramkr ramgenertornak s R3
ellenllsnak ramt, ha az R2 ellenlls rama 5 A.
1-41. bra
(Megolds: I=15,1 A, IR3=1,5 A)
1.4.5. Szmtsa ki a feszltsggenertor feszltsgt, ha az R3
ellenllson es feszltsg 18 V!
1-42. bra
(Megolds: U=42 V)
U
R1=3
R2=2
R3=6
R4=2
R5=3
UR3=18V
R5 R4 R1
R3
R2
I
R1=5
R2=8
R3=7
R4=3
IR2=5A
R4 R3 R1
R2
I
R1=1
R2=2
R3=3
R4=4
I=24A
U2=14V
U3=16V
R4 R3 R2 R1
29
1.4.6. Szmtsa ki az albbi ramkr feszltsggenertornak
feszltsgt, s R7 ellenllsnak ramt, ha az R2 ellenlls
rama 1,5 A!
1-43. bra
(Megolds: U=24 V, IR7=1 A)
1.4.7. Szmtsa ki az ramgenertor ramt, ha az R6 ellenlls rama
4 A!
1-44. bra
(Megolds: I=15 A)
R7
R8
R6 I
R4
R5
R3
R1
R2
R1=12
R2=4,8
R3=1,2
R4=1
R5=4
R6=1,8
R7=2
R8=3
IR6
=4 A
R1=6
R2=6
R3=4
R4=6
R5=2
R6=8
R7=5
IR2=1,5 A
R1
R4
U=? R2
R3
R6
R5
R7
30
1.4.8. Szmtsa ki a feszltsggenertor feszltsgt s az R6 ellenlls
ramt, ha az R1 ellenllson es feszltsg 21 V!
1-45. bra
(Megolds: U=30 V, IR6=0,24 A)
1.5. A Thvenin s a Norton ttel
A Thvenin ttel szerint minden, fogyasztkat s genertorokat tartalmaz villamos
hlzat brmely kt pontja fell helyettesthet egyetlen idelis feszltsggenertorral
(U0) s egy vele sorba kapcsolt bels ellenllssal (Rb).
A helyettest feszltsggenertor forrsfeszltsgt gy kapjuk, hogy a helyettestend
rszt levlasztva az eredeti hlzatbl kiszmoljuk a felnyitott kapcsok kztti
feszltsgt. A bels ellenllst megkapjuk, ha a helyettestend ramkr rsz minden
feszltsggenertort rvidre zrjuk, minden ramgenertornak ramkrt
megszaktjuk, majd az gy kapott passzv hlzat ered ellenllst a felnyitott kapcsok
fell kiszmtjuk. (1.47. bra)
A Norton ttel szerint minden, fogyasztkat s genertorokat tartalmaz villamos hlzat
brmely kt pontja fell helyettesthet egyetlen idelis ramgenertorral (I0) s egy
vele prhuzamosan kapcsolt bels ellenllssal (Rb).
Az helyettest ramgenertor forrsramt gy kapjuk, hogy a helyettestend rszt
levlasztva az eredeti hlzatbl kiszmoljuk a rvidre zrt kapcsok kztt foly ramot.
A bels ellenllst megkapjuk, ha a helyettestend ramkr rsz minden
feszltsggenertort rvidre zrjuk, minden ramgenertornak ramkrt
megszaktjuk, majd az gy kapott passzv hlzat ered ellenllst a felnyitott kapcsok
fell kiszmtjuk. (1.48. bra) (A Norton s a Thvenin genertor bels ellenllsa
megegyezik)
Az sszefggs a Norton s Thvenin genertor kztt (1.46. bra):
R6
R7 U
R4
R5
R1
R1=14
R2=2
R3=3
R4=10
R5=20
R6=30
R7=40
UR1
=21 V
R3
R2
31
1-46. bra
A
B
Uk
I
R
A
B
U0
A
B
R Rb
U0
Uk
I
A
B
Helyettestend hlzat rsz
A Thvenin genertor forrsfeszltsgnek meghatrozsa
A Thvenin genertor bels ellenllsnak meghatrozsa
Rb
A Thvenin-fle helyettest genertor
A
B
A
B
U0T
Rb
I0N Rb
A
B
= =
1-47. bra
32
Kidolgozott pldk a Thvenin s a Norton ttel alkalmazsra
Az albbi pldkat gyakorlsknt mindkt ttel alkalmazsval kiszmoljuk, br ltni
fogjuk, hogy a pldtl fggen hol az egyik, hol a msik ttel alkalmazsa ad egyerbb
megoldst. Ezrt a plda megoldsa eltt rdemes tgondolni, melyik mdszerrel lehet
egyszerbben, kevesebb szmolssal megkapni az eredmnyt.
A
B
Uk
I
R
A
B
I0
A
B
R Rb I
0 U
k
I
A
B
Helyettestend hlzat rsz
A Norton genertor forrsramnak meghatrozsa
A Norton genertor bels ellenllsnak
meghatrozsa
Rb
A Norton-fle helyettest genertor
33
1.5.1. A Thvenin s a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi
ramkr R1 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
1-49. bra
1.5.1.1. Megolds a Thvenin ttel segtsgvel
a) Elszr tvoltsuk el R1 ellenllst az ramkrbl, majd a visszamarad
hlzatrszben szmtsuk ki a feszltsget a felnyitott A-B kapcsok kztt. Ez a
feszltsg lesz a Thvenin genertor forrsfeszltsge:
R4
U
R1=10
R2=20
R3=30
R4=60
U=30V
U2=14V
U3=16V
R1
R2
R3
R4
U R2
R3
U0 A B
C=A
1-50. bra
34
A felnyitott g miatt R2 ellenllson nem folyik ram, gy rajta nem esik feszltsg,
ezrt U0 feszltsg megegyezik az R4 ellenllson es feszltsggel. (Ami pedig
egyenl U feszltsgforrs s az R3 ellenllson es feszltsg klnbsgvel. (ld.
Kirchhoff hurok tv.) A feszltsgoszts trvnyt felrva R4 ellenllsra:
b) Zrjuk rvidre U feszltsgforrst, majd szmtsuk ki A s B pontok kztt az
ered ellenllst. Ez lesz a Thvenin genertor bels ellenllsa:
( )
c) Rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk
R1 ellenllst, majd szmoljuk ki R1 ramt s feszltsgt:
R4
R2 R3
RAB=Rb A B
1-51. bra
35
1-52. bra
1.5.1.2. Megolds a Norton ttel segtsgvel
a) Elszr tvoltsuk el R1 ellenllst az ramkrbl, majd a visszamarad
hlzatrszben szmtsuk ki az ramot a rvidre zrt A-B kapcsok kztt. Ez az
ram lesz a Norton genertor forrsrama:
Az 1-53. ramkr ered ellenllsa:
( ) ( )
rama:
R1
U0
Rb
UR1
IR1
A
B
R4
U R2
R3
I0 A B
C=A
1-53. bra
36
I0 ramra az ramoszts trvnyt felrva:
b) A bels ellenlls kiszmtsa megegyezik a Thvenin genertor bels
ellenllsnak kiszmtsval. Zrjuk rvidre U feszltsgforrst, majd szmtsuk
ki A s B pontok kztt az ered ellenllst. Ez lesz a Norton genertor bels
ellenllsa (ld. 1-51. bra):
( )
c) Vgl rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-54.bra), a kapcsaira
csatlakoztassuk R1 ellenllst, majd szmoljuk ki R1 ramt s feszltsgt:
Az ramoszts trvnye IR1 ramra:
Vgl UR1 feszltsg:
1.5.2. A Thvenin s a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi
ramkr R2 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
R1 I0 UR1
IR1
Rb
A
B
1-54. bra
37
1-55. bra
1.5.2.1. Megolds a Thvenin ttel segtsgvel
1-56. bra
Az 1-56. ramkr ered ellenllsa:
( ( )) ( ( ))
Az 1-56. ramkr rama:
R1 s R3 ellenllsokon foly ram az ramoszts trvnybl:
A Thvenin genertor U0 forrsfeszltsge egyenl az R1 ellenllson es
feszltsggel, gy:
A Thvenin genertor bels ellenllst U feszltsgforrs rvidre zrsa utn az A-
R5
U
R3
R4 R1
A
B
U0
R5
U
R3
R4 R1 R2
R1=4
R2=6
R3=2
R4=3
R5=6
U=24V
R5 R3
R4 R1
A
B
RAB=R
b
1-57. bra
38
B pontok kztti ellenlls kiszmtsval kapjuk:
[ ( )] [ ( )]
Rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R2
ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:
1-58. bra
Mieltt megoldannk a feladatot a Norton ttel alkalmazsval, a Thvenin genertor
adataibl a Norton genertor adatai egyszeren kiszmthatak. A Norton genertor
forrsrama:
A belsellenlls mindkt helyettest genertornl ugyanaz.
1.5.2.2. Megolds a Norton ttel segtsgvel
1-59. bra
R5
U
R3
R4 R1
A
B
I0
R2
U0=4V
UR2
IR2
Rb=2
A
B
39
I0 forrsfeszltsg kiszmtshoz R2 ellenlls eltvoltsa utn rvidre zrjuk a
visszamarad ramkrt A s B pontok kztt. I0 egyenl az A s B pontok kztt
foly rammal. A rvidzr miatt R1 ellenllson nem folyik ram, az ramkr rama
a kt prhuzamosan kapcsolt R3 s R4 ellenlls kztt oszlik meg.
rjuk fel a feszltsgoszts trvnyt R5 s a kt prhuzamosan kapcsolt ellenlls,
R3 s R4 eredjre. A prhuzamos gak feszltsge:
( )
( )
R3 ellenlls rama:
A bels ellenlls kiszmtsa megegyezik a Thvenin genertornl lertakkal (1-57.
bra), gy Rb=2.
Rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-60.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk
R2 ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:
Az ramoszts trvnye IR2 ramra:
Vgl UR2 feszltsg:
1.5.3. A Thvenin s a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi
ramkr R3 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
R2 I0=2A UR2
IR2
A
B
Rb=2
1-60. bra
40
1-61. bra
1.5.3.1. Megolds a Thvenin ttel segtsgvel
1-62. bra
R3 eltvoltsa utn a visszamarad ramkr kt prhuzamos gat tartalmaz (1-62. bra). Az
egyik gban R1, a msikban a sorba kapcsolt R2, R4 s R5 tallhat. Az ramgenertor I
rama e kt g kztt az ramoszts trvnynek megfelelen oszlik meg:
A Thvenin genertor U0 forrsfeszltsge az R4 s R5 ellenllsokon es feszltsgek
sszegvel egyenl:
( ) ( )
A Thvenin genertor bels ellenllst az ramgenertor ramkrnek megszaktsval A
s B pontok kztti ellenlls kiszmtsval kapjuk (1-62. bra)
( ) ( ) ( ) ( )
Rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:
I
R2
R5 R
1
R4 R2
R5 R
1
R4
A A
B B
U0 R
b
R4
I
R2
R3 R5 R1
R1=60
R2=15
R3=50
R4=30
R5=20
I=5A
41
1-63. bra
1.5.3.2. Megolds a Norton ttel segtsgvel
1-64. bra
R3 ellenlls eltvoltsa utn a visszamarad ramkrt A s B pontok kztt rvidre
zrjuk. Az itt foly ram lesz a Norton genertor forrsrama. A rvidre zrs miatt R4
s R5 ellenllsokon nem folyik ram, ezrt I ram a prhuzamosan kapcsolt R1 s R2
kztt oszlik meg. I0 ram az R2 ellenlls ramval egyenl:
I
R2
R5 R
1
R4 R2
R5 R
1
R4
A A
B B
I0 R
b
R3
U0=120V
UR3
IR3
Rb=30
A
B
42
A bels ellenlls kiszmts a 1.5.3.1. pontban lerttal megegyez mdon trtnik, gy
Rb=30 .
Rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-65.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:
Az ramoszts trvnye IR3 ramra:
Vgl UR3 feszltsg:
1.5.4. A Thvenin s a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi
ramkr R2 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
1-66. bra
1.5.4.1. Megolds a Thvenin ttel segtsgvel
R2
U
R3
R6 R4
R1=6
R2=6
R3=2
R4=2
R5=2
R6=6
U=30 V
R5
R1
R3 I0=4A UR3
IR3
A
B
Rb=30
1-65. bra
43
1-67. bra
A Thvenin fle helyettest genertor U0 forrsfeszltsgt gy kapjuk, hogy az R2
ellenlls eltvoltsa utn a visszamarad ramkr felnyitott A s B pontjai kztt
kiszmtjuk a feszltsget. Az 1-67. brn mindkt rajz ugyanazt az ramkrt brzolja, csak
a jobb oldali bra jobban ttekinthet.
Az 1-67. brn lv ramkr ered ellenllsa:
( ( )) ( ( ))
Az ramkr rama:
I1 ramra az ramoszts trvnyt felrva:
Az 1-67. brn ltjuk, hogy A s B pontok kztti feszltsget, (ami egyben a Thvenin
genertor forrsfeszltsge), az albbi mdon tudjuk felrni:
A Thvenin genertor bels ellenllsnak kiszmtshoz az 1-67. bra ramkrnek
feszltsggenertort rvidre zrjuk, majd kiszmtjuk A s B pontok kztt az ellenllst.
U
R3
R6 R4
R5
R1
U0
A B
U
R3
R6
R4 R5
U0
A B
R1
C
C
D D
I1 I
2 I
44
1-68. bra
Az 1-68. brn mindkt rajz ugyanazt az ellenlls hlzatot brzolja. A jobboldali brbl
jl ltszik, hogy az ered ellenlls kiszmtshoz csillag-delta vagy delta-csillag
talaktsra van szksg. Pldul az R4, R5, R6 ellenllsok alkotta csillag kapcsolst
talaktsuk t delta kapcsolss.
1-69. bra
Most mr fel tudjuk rni A s B pontok kztt az ered ellenllst:
[( ) ( )] [( ) ( )]
Vgl rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R2 ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:
A B C
R1 R3
RAC RBC
RAB
R3
R6 R4 R5
R1
Rb A B
R6
A B
C
C
D D
R1 R3
R4 R5
45
1-70. bra
1.5.4.2. Megolds a Norton ttel segtsgvel
1-71. bra
Az 1-71. ramkr ered ellenllsa:
( [( ) ]) ( [( ) ]) Az ramkr rama:
Az 1-71. bra bal oldali ramkrnl az A pontra felrt Kirchhoff csomponti egyenletbl a
Norton genertor I0 forrsramra a kvetkez egyenletet kapjuk:
Ebbl IR4 ram:
U
R3
R6 R4
R5
R1 I0 A B
U
R3
R6 R
4
R5
A=B
R1
C C
D D
IR4
IR1
I IR3 IR4
IR1
R2
U0=18,462V
UR2
IR2
Rb=2,615
A
B
46
( )
( )
( )
( )
A maradk ram R1 s R3 ellenllsokon oszlik meg. Mivel R1 s R3 azonos nagysg, a
rajtuk tfoly ram is azonos nagysg lesz.
Az ramoszts trvnye IR1 ramra:
( )
A Norton genertor I0 forrsramra teht:
A Norton genertor bels ellenllsnak meghatrozsa a Thvenin tteles szmtsnl az
1.5.4.1. pontban megtallhat.
Vgl rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-72.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk R2 ellenllst, majd szmoljuk ki R2 ramt s feszltsgt:
Az ramoszts trvnye IR2 ramra:
Vgl UR2 feszltsg:
R2 I0=7,06A UR2
IR2
A
B
Rb=2,615
1-72. bra
47
1.5.5. Szmtsa ki az albbi ramkr R3 ellenllson kvli rsznek
Thvenin s Norton fle helyettest genertornak paramtereit,
majd ennek segtsgvel szmtsa ki R3 ellenlls feszltsgt s
ramt!
1-73. bra
1.5.5.1. Megolds a Thvenin ttel segtsgvel
R3 ellenlls eltvoltsa utn szmtsuk ki az A s B pontok kztti feszltsget, ami a
Thvenin genertor forrsfeszltsgvel lesz egyenl.
1-74. bra
rjuk fel Kirchhoff hurokegyenlett 1-74. brn lthat ramkr ramnak kiszmtshoz:
( )
A Thvenin genertor U0 forrsfeszltsge:
( ) ( )
A Thvenin genertor bels ellenllsnak meghatrozshoz mindkt feszltsggenertort
rvidre zrjuk, majd kiszmtjuk A s B pontok kztt az ered ellenllst:
R4
U1
U2 R1
R2
A
B
U0
I
R4
U1
U2
R1=2
R2=3
R3=8
R4=5
U1=120V
U2=90V
U2=14V
U3=16V
R2
R1
R3
48
1-75. bra
( ) ( )
Vgl rajzoljuk fel a Thvenin-fle feszltsggenertort, a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:
1-76. bra
1.5.5.2. Megolds a Norton ttel segtsgvel
Az R3 ellenlls eltvoltsa utn zrjuk rvidre az ramkrt A s B pontok kztt, majd
szmtsuk ki az A-B pontok kztt foly ramot:
R3
U0=105V
UR3
IR3
Rb=2,5
A
B
R4
R1
R2
A
B
I
49
1-77. bra
A rvidzr miatt U1 feszltsgforrs teljes feszltsge R1 s R2 ellenllsokon esik, U2
feszltsgforrs teljes feszltsge pedig R4 ellenllson.
Kirchhoff csomponti trvnyt felrva az A csompontra a Norton genertor I0 forrsrama:
A bels ellenlls kiszmtsa megegyezik az 1.5.5.1. pontban lertakkal, gy Rb=2,5.
Rajzoljuk fel a Norton-fle ramgenertort (1-78.bra), a kapcsaira csatlakoztassuk R3 ellenllst, majd szmoljuk ki R3 ramt s feszltsgt:
Az ramoszts trvnye IR3 ramra:
R4
U1
U2
R1
R2
A
B
I0
IR12 IR4
R3 I0=42A UR3
IR3
A
B
Rb=2,5
1-78. bra
50
Vgl UR3 feszltsg:
Gyakorl pldk a Thvenin s a Norton ttel alkalmazsra
1.5.6. A Thvenin vagy a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi
ramkr R4 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
1-79. bra
(Megolds: U0=15 V, I0=1 A, Rb=15 , UR4=12 V, IR4=0,2 A)
1.5.7. A Thvenin vagy a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi
ramkr R3 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
1-80. bra
(Megolds: U0=8 V, I0=1,818 A, Rb=4,4 , UR3=2,5 V, IR3=1,25 A)
R5
U
R3
R4 R1 R2
R1=4
R2=6
R3=2
R4=3
R5=6
U=24V
R4
U
R1=10
R2=20
R3=30
R4=60
U=30V
U2=14V
U3=16V
R1
R2
R3
51
1.5.8. A Thvenin vagy a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az
albbi ramkr R4 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
1-81. bra
(Megolds: U0=120 V, I0=4 A, Rb=50 , UR4=60 V, IR4=2 A)
1.5.9. A Thvenin vagy a Norton ttel segtsgvel szmtsa ki az albbi
ramkr R1 ellenllsnak ramt s feszltsgt!
1-82. bra
(Megolds: U0=10 V, I0=3 A, Rb=3,333 , UR1=6,429 V, IR1=1,071 A)
1.5.10. Szmtsa ki az albbi ramkr R2 ellenllson kvli rsznek
Thvenin vagy Norton fle helyettest genertornak
paramtereit, majd ennek segtsgvel szmtsa ki R2 ellenlls
feszltsgt s ramt!
R2
U
R3
R6 R4
R1=6
R2=6
R3=2
R4=2
R5=2
R6=6
U=30 V
R5
R1
R4
I
R2
R3 R5 R1
R1=60
R2=15
R3=50
R4=30
R5=20
I=5A
52
1-83. bra
(Megolds: U0=48 V, I0=13,33 A, Rb=3,6 , UR2=21,818 V, IR2=7,272 A)
1.6. Mdszerek tbb genertort s fogyasztt tartalmaz
elgaz hlzatok gaiban foly ramok
kiszmtsra
Az albbiakban ngy mdszer, a Kirchhoff-trvnyek, a szuperpozci ttel, a
csomponti potencilok s a hurokramok mdszere alkalmazsval ismerkednk
meg. A mdszerek ismertetse pldkon keresztl trtnik, az els hrom pldnl
mind a ngyfajta megolds bemutatsra kerl, hogy lssuk, hogy pldnknt
vltozik, hogy melyik megoldsi md vezet kevesebb szmolssal gyorsabb
eredmnyre.
1.6.1. Szmtsuk ki az albbi ramkr egyes gaiban foly ramokat!
R4
U3
U1
U2
R1=1
R2=2
R3=3
R4=4
U1=35V
U2=14V
U3=16V
I1 I3
I2 + +
R1
R2
R3
1-84. bra
R4
U1
U2
R1=2
R2=3
R3=8
R4=2
U1=120V
U2=90V
U2=14V
U3=16V
R2
R1
R3
53
1.6.1.1. Megolds Kirchhoff trvnyek segtsgvel
a) Jelljk be az gak ramait! (I1, I2, I3) Az ramirnyok felvtele nknyes, ha a vals
ramirny a felttelezettel ellenttes, eredmnyknt negatv rtket fogunk kapni.
b) Jelljk be a hurkokban a pozitv krljrs irnyt!
c) A hrom ismeretlen gram meghatrozshoz hrom fggetlen egyenletbl ll
egyenletrendszer felrsa szksges. Ez esetnkben kt hurok s egy csomponti
egyenletet jelent.
Hurok egyenletek (Az ellenllsokon es feszltsgek irnya a rajtuk tfoly ram irnyval
megegyez.):
(1)
(2)
Csomponti egyenlet:
(3)
Behelyettestve a megadott rtkeket:
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
(1) ( )
(2)
(1)
(2)
54
1.6.1.2. Megolds a csomponti potencilok mdszervel
1-85. bra
Az gak ramai az gak kt vgpontja kztti potencilklnbsgtl fggnek. Az brn
mindhrom g egyik vgpontja UA, msik vgpontja UB potencilon van. Mivel az ram
szempontjbl csak a kt potencil klnbsge szmt, az egyik rtkt tekinthetjk
nullnak. Legyen UB=0.
Az gramok a csomponti potencilok segtsgvel kifejezhetk:
(1)
(2)
(3)
gy mindhrom gram csak UA csomponti potenciltl fgg. UA kiszmtshoz pedig
elg egyetlen Kirchhoff csomponti egyenlet felrsa.
Behelyettestve a csomponti potencilokkal kifejezett ram rtkeket:
R4
U3
U1
U2
R1=1
R2=2
R3=3
R4=4
U1=35V
U2=14V
U3=16V
I1 I3
I2
R1
R2
R3
UA
UB=0
55
( ) ( ) ( )
Visszahelyettestve UA rtkt (1), (2), (3) egyenletekbe:
1.6.1.3. Megolds a hurokramok mdszervel
1-86. bra
A hurokramok mdszernl felttelezzk, hogy az gak ramait az ramkr egyes zrt
hurkaiban foly n. hurokramok eredje hozza ltre, vagyis azon gak ramai,
melyek kt hurokhoz is tartoznak, kiszmthatk a hurokramok eljeles sszegbl. Ez
ltal az ismeretlenek szma a fggetlen hurokegyenletek szmra cskken. Ez ennl a
pldnl azt jelenti, hogy kt Kirchhoff hurokegyenletbl ll ktismeretlenes
egyenletrendszert kell megoldani.
1. Jelljk be az gak ramait! (I1,I2,I3) Az ramirnyok felvtele nknyes, ha a vals
ramirny a felttelezettel ellenttes, eredmnyknt negatv rtket fogunk kapni.
2. Jelljk be a hurkokramok irnyt minden hurokban!
3. rjuk fel a vals gramok s a fiktv hurokramok kztti az sszefggseket!
Amelyik g csak egy hurokhoz tartozik, ott az gram s a hurokram nagysga
megegyezik, de az eljelre itt is figyelni kell!
I s2 I s1
R4
U3
U1
U2
R1=1
R2=2
R3=3
R4=4
U1=35V
U2=14V
U3=16V
I1 I3
I2
R1
R2
R3
56
4. rjuk fel Kirchhoff hurokegyenleteit Is1 s Is2 segtsgvel:
(1) ( )
(2) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(1)
(2)
gy a valdi gramok:
( ) ( )
1.6.1.4. Megolds a szuperpozci ttel segtsgvel
Tbb feszltsg s/vagy ramgenertort tartalmaz hlzat brmely gnak rama egyenl
azon ramok sszegvel, amelyet a csak egy-egy genertor hozna ltre, ha a tbbi ram-
s/vagy feszltsgforrst kiiktatnnk, vagyis a feszltsggenertorokat rvidre zrnnk, az
ramgenertorok ramkrt megszaktannk.
57
1-87. bra
1-88. bra
1-89. bra
1. Jelljk be az gak ramait! (I1,I2,I3) Az ramirnyok felvtele nknyes, ha a vals
ramirny a felttelezettel ellenttes, eredmnyknt negatv rtket fogunk kapni.
2. Rajzoljuk fel az egyenknt a hrom rsz ramkrt, melyeket egy feszltsggenertor
meghagysval, a kt msik kiiktatsval kapunk. Jelljk be az ramirnyokat!
Ezeknek az ramoknak az irnya mr nem vehet fel tetszlegesen, mert a
feszltsggenertorok feszltsgei ltal adottak!
3. Szmtsuk ki egyenknt a hrom ramkr gaiban foly ramokat!
U3
R4
I
1
I
3
I
2
R1
R
2
R3
R4
U1 I1 I
3
I2
R1
R2
R3
R4
U2
I1
I3
I2
R1
R2
R3
R4
U3
U1
U2
R1=1
R2=2
R3=3
R4=4
U1=35V
U2=14V
U3=16V
I1 I3
I2
R1
R2
R3
UA
UB
58
( )
a) [( ) ]
( )
b) [( ) ]
( )
4. A kapott eredmnyekbl rjuk fel az eredeti ramkr ramait!
59
1.6.2. Szmtsa ki az albbi ramkr egyes gaiban foly ramokat!
1-90. bra
1.6.2.1. Megolds a Kirchhoff trvnyek alkalmazsval
A kapcsolsi rajzon jelljk be az ismeretlen gramokat! Az ramok irnyt tetszlegesen felvehetjk, ha a szmtsok vgn negatv eljelet kapunk, az azt jelenti, hogy a tnyleges ramirny a felttelezettel ellenttes irny.
1-91. bra
Az brbl ltszik, hogy ngy ismeretlen gramot kell meghatrozni. Ehhez egy ngy egyenletbl ll ngy ismeretlenes egyenletrendszerre van szksg. (R3 s R5 ellenllsok ramai megegyeznek, hiszen a B s a D csompontba a befut gak kzl kett azonos, gy a harmadik g ramnak is azonosnak kell lenni.)
A ngy egyenlet kt csomponti s kt hurokegyenletet jelent. Csomponti egyenletet rhatunk fel pl. az A s a B csompontra, hurokegyenletet pl. az brn bejellt kt hurokra:
Hurok egyenletek:
(1)
(2)
+
R5
I0 U1
U2
I1 I3
I2 + R2
R1
R3
R4 I
4
I3
A B
C D
R5
I0 U1
U2 R1=10
R2=10
R3=5
R4=15
R5=20
U1=90V
U2=45V
I0=6A
R2
R1
R3
R4
60
Csomponti egyenletek:
(3)
(4)
(1)
(2) ( )
(3)
(4)
Az egyenletrendszer megoldsa tetszleges mdszerrel trtnhet, egyik lehetsg pl. a Gauss eliminci alkalmazsa.
Az egyenletrendszer mtrixos alakja:
[
( )
] [
] [
]
Behelyettestve a megadott rtkeket:
[
] [
] [
]
A bvtett mtrix:
[
]
A Gauss eliminci lpsei:
[
] [
]
[
]
61
Az utols lpsknt kapott mtrixbl felrhat:
1.6.2.2. Megolds a csomponti potencilok mdszervel
1-92. bra
Ha megnzzk az 1-92. brt, ltjuk, hogy ngy klnbz potencil csompont tallhat a kapcsolsban, amelyikbl egynek a potenciljt 0-nak vehetjk, de gy is marad 3 ismeretlen csomponti potencil. Az elzekben, amikor a Kirchhoff-trvnyek segtsgvel oldottuk meg a feladatot, lttuk, hogy csak 2 egymstl fggetlen csomponti egyenlet rhat fel, mrpedig a csomponti potencilok mdszernl a csomponti egyenletek szmval megegyez egyenletet tudunk felrni az ismeretlenek kiszmtshoz. A ltszlagos ellentmondst az okozza, hogy a kapcsols 2 gban is I3 ram folyik, vagyis I3 kifejezhet nemcsak UA s UB, hanem UC s UD csomponti potencilok segtsgvel is, vagyis ha UC-t nullnak vesszk, UD kifejezhet UA s UB segtsgvel.
Fejezzk ki az gramokat!
(1)
(2)
(3)
R5
I0 U1
U2
I1 I3
I2 R2
R1
R3
R4 I
4
I3
UA UB
UC=0 UD
62
(4)
(5)
A (3) s az (5) egyenletekbl UC kifejezhet:
UC behelyettestve a (4) egyenletbe I4 kifejezhet:
(4)
rjuk fel a csomponti egyenleteket A s B csompontra!
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
63
(B)
(A)+(B)
Az eredmnyeket behelyettestjk az gramokra felrt sszefggsekbe:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.6.2.3. Megolds a hurokramok mdszervel
1-93. bra
Elszr rjuk fel a hurokramok s a tnyleges gramok kztti sszefggseket!
(1)
(2)
(3)
(4)
Is1
1
R5
I0 U1
U2
I1 I3
I2 R2
R1
R3
R4 I
4
I3
A B
C D
Is2
1
64
A kt ismeretlen hurokram az 1-93. brn bejellt kt hurokra felrt hurokegyenletekbl kiszmthat:
(1) ( )
(2) ( ) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(1)
(2)
(1)+2(2):
( )
A fenti eredmnyek segtsgvel megkapjuk a vals gramokat
(1)
(2) ( )
(3) ( )
(4)
1.6.2.4. Megolds a szuperpozci ttelvel
Az ramkr kt feszltsg- s egy ramgenertort tartalmaz, a megoldshoz hrom rsz ramkrre bontjuk a kapcsolst.
65
A rsz ramkrk ramainak kiszmtsa:
a)
( ( )) ( ( )
b)
( ) ( )
c)
( )
( )
( )
( )
R5
I0 U1
U2
I1 I3
I2 R2
R1
R3
R4 I
4
R5
U1
I1
I3
I2
R
2
R1
R3
R4 I3
R5
I1
I3
I2
R2
R1
R3
R4 I
3
R5
I0
I1
I3
I2
R2
R1
R3
R4 I
4
U2
= +
+
a)
b) c)
1-94. bra
66
A rsz ramkrk ramainak sszegzsvel megkapjuk a valdi gramokat. Az sszegzs
sorn figyeljnk az ramirnyokra! (A feladatot a rossz eljelekkel lehet legknnyebben
elrontani, ezrt a vgn mindig rdemes a vgeredmnyt a Kirchhoff csomponti
egyenletekkel ellenrizni)
1.6.3. Szmtsa ki az albbi ramkr egyes gaiban foly ramokat!
1-95. bra
1.6.3.1. Megolds a Kirchhoff trvnyek alkalmazsval
Jelljk be az ramokat (az ramirnyok felvtele tetszleges, ha a vgn negatv rtket
kapunk, akkor az azt jelenti, hogy a berajzolttal ellenttes a valdi ramirny):
R6
U3
U1
U2
R1=2,5
R2=10
R3=3
R4=6
R5=8
R6=8
U1=25V
U2=40V
U3=64V
R2
R1
R5
R3
R4
67
1-96. bra
A hat ismeretlen gram kiszmtshoz a Kirchhoff trvnyek segtsgvel hat
egyenletet, 2 csomponti- s 4 hurokegyenletet lehet felrni:
Hurok egyenletek:
(1)
(2)
(3)
(4)
Csomponti egyenletek:
(5)
(6)
Mtrixos formba rendezve az egyenleteket:
[ ]
[ ]
[ ]
rjuk be a megadott rtkeket a paramterek helybe:
R6
U3
U1
U2
R2
R1
R5
R3
R4
I1
I2 I
5
I6
I3
I4
A B
+
+
+ +
68
[ ]
[ ]
[ ]
Ltjuk, hogy az egytthat mtrix ftljban a 4. sorban nulla van, ezrt cserljk fel a 4.
s az 5. sort s a Gauss eliminci elvgzshez a bvtett mtrixot mr gy rjuk fel. Ezek
utn vgezzk el a ftl alatti helyek kinullzst:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Az utols mtrix 6. sorbl felrhat:
Az 5. sorbl:
A 4. sorbl:
69
A 3. sorbl:
A 2. sorbl:
Az 1. sorbl:
Az I1-re negatv rtket kaptunk, teht az ram irnya az brba berajzolttal ellenttes. (A
tbbi ram irnyt jl vettk fel.)
1.6.3.2. Megolds a csomponti potencilok mdszervel
Az elz (1.6.3.1) megoldsnl lttuk, hogy az ramkrre kt csomponti egyenlet rhat
fel. Ez azt jelenti, hogy a csomponti potencilok mdszernek alkalmazsval a hat
ismeretlenes egyenletrendszer kt ismeretlenesre egyszersdik. gy ennl a pldnl
valsznleg ez a mdszer adja a legegyszerbb megoldst.
1-97. bra
Jelljk be a csomponti potencilokat! Az als kt csompont azonos potencilon van,
vlasszuk ennek az rtkt 0-nak.
R6
U3
U1
U2
R2
R1
R5
R3
R4
I1
I2 I
5
I6
I3
I4
UA UB
UC=0 UC=0
70
Fejezzk ki az gramokat a csomponti potencilok segtsgvel:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
rjuk fel a csomponti egyenleteket A s B csompontra!
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A) ( )
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)+(B)
71
3(A)+(B)
Az eredmnyeket behelyettestjk az gramokra felrt sszefggsekbe:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Az eredmnyek megegyeznek az 1.6.3.1. pontban kapott rtkekkel.
1.6.3.3. Megolds a hurokramok mdszervel
Ezzel a mdszerrel most ngy hurokegyenletbl ll ngy ismeretlenes
egyenletrendszert kell megoldanunk.
1-98. bra
R6
U3
U1
U2
R2
R1
R5
R3
R4
I1
I2 I
5
I6
I3
I4
Is
2
Is3
Is1 Is4
72
Elszr rjuk fel a hurokramok s a tnyleges gramok kztti sszefggseket! (Amelyik g csak egy hurokhoz tartozik, annak rama (figyelembe vve a berajzolt ramirnyokat) az hurokrammal megegyezik, amelyik g kt hurokhoz tartozik, annak rama a hurokramok eljeles sszegvel egyenl.)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
rjuk fel a hurokegyenleteket az 1-98. brn bejellt ngy hurokra:
(1) ( )
(2) ( ) ( ) ( )
(3) ( )
(4) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
Mtrixos alakba rva az egyenletrendszert:
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
[
] [
]
rjuk be a megadott rtkeket:
[
] [
] [
]
73
A Gauss- elimincihoz rjuk fel a bvtett mtrixot, majd vgezzk el az egytthat mtrix ftl alatti rtkeinek kinullzst!
[
] [
]
[
]
[
]
Az utols mtrix 4. sorbl felrhat:
A 3. sorbl:
( )
A 2. sorbl:
( ) ( )
Az 1. sorbl:
( )
A hurokramokbl felrhatjuk a valdi gramokat:
(1)
(2) ( )
(3)
(4) ( )
(5) ( )
(6)
74
Az eredmnyek megegyeznek az 1.6.3.1. s 1.6.3.2. pontban kapott rtkekkel.
1.6.3.4. Megolds a szuperpozci ttel hasznlatval
Ezzel a mdszerrel hrom, egy feszltsgforrssal rendelkez ramkr gaiban kell
meghatrozni, majd a vgn sszegezni az ramokat. Elny, hogy nem kell tbb
ismeretlenes egyenletrendszerek megoldsval bajldni, a hrom rsz ramkr ramai
nagyon hasonl, viszonylag egyszer szmolsi mveletekkel meghatrozhatk, htrny
viszont, hogy a 6 klnbz gramot hromszor is ki kell szmolni.
1-99. bra
A rsz ramkrk ramainak kiszmtsa:
a)
( [( ) ( )]) ( [( ) ( )])
Az ramoszts trvnyt I2 ramra felrva
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A csomponti trvny rtelmben
, s
, vagyis
ram oszlik meg az ramoszts trvnynek megfelel arnyban
valamint ellenllsok gai kztt.
R6
U3
U1
U2
R2
R1
R5
R3
R4
I1
I2 I
5
I6
I3
I4
R6
R2
R1
R5
R3
R4
I1
I2 I5
I6
I3
I4
R6
R2
R1
R5
R3
R4
I1 I
2
I5
I6
I3
I4
R6
R2
R1
R5
R3
R4
I1
I2 I
5
I6
I3
I4
U1
U2
U
3
= +
+ +
a)
b) c)
75
(
)
(
)
b)
( [( ) ( )]) ( [( ) ( )])
Az ramoszts trvnyt ramra felrva:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
A csomponti trvny rtelmben
, s
, vagyis
ram oszlik meg az ramoszts trvnynek megfelel
arnyban valamint ellenllsok gai kztt.
(
)
(
)
c)
( [( ) ( )]) ( [( ) ( )])
Az ramoszts trvnyt ramra felrva:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
76
A csomponti trvny rtelmben
, s
, vagyis
ram oszlik meg az ramoszts trvnynek megfelel
arnyban valamint ellenllsok gai kztt.
(
)
(
)
A rsz ramok sszegzsvel, a berajzolt ramirnyok figyelembe vtelvel szmoljuk ki a
teljes ramkr gramait:
Az eredmnyek megegyeznek az 1.6.3.1., 1.6.3.2. s 1.6.3.3. pontban kapott rtkekkel.
Gyakorl pldk
Az albbi pldk az elz pontokban bemutatott mdszerek mindegyikvel megoldhatk.
Minden pldnl egyfajta megolds ki van dolgozva, de ajnlott gyakorlsknt a tbbi
mdszerrel is elvgezni a szmtsokat.
1.6.4. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
77
1-100. bra
1.6.4.1. Megolds a Kirchhoff trvnyek segtsgvel
1-101. bra
Csomponti egyenlet:
(1)
Hurok egyenlet:
(2)
(1)
(2)
1.6.5. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
R2
U
R1
I
R1=30
R2=70
U=100 V
I=5 A
I1
I2
R2
U
R1
I
R1=30
R2=70
U=100 V
I=5 A
78
1-102. bra
1.6.5.1. Megolds a csomponti potencilok mdszervel
1-103. bra
Az ramkr hrom ismeretlen ramra kt hurok s egy csomponti egyenlet rhat fel. A
csomponti potencilok mdszervel elg UA-ra egyetlen egy ismeretlenes egyenletet
felrni, UA-bl mindhrom ismeretlen gram kiszmthat:
(1)
(2)
(3)
A csomponti egyenlet:
R2
U1
R1
I
I1 I
2
R3
I3
U2
UA
UB=0
R2
U1
R1
I
R1=20
R2=10
R3=15
U1=60 V
U2=10 V
I=2 A
R3
U2
79
UA-t behelyettestve megkapjuk az ramokat:
( )
1.6.6. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
1-104. bra
1.6.6.1. Megolds a hurokramok mdszervel
1-105. bra
U1
U2
R2
R1
R4
R3
I1
I2 I
4
I3
Is2
Is1
I
I
U1
U2
R2
R1
R4
R3
I
R
1=4
R2=10
R3=8
R4=2
U1=3 V
U2=4 V
I=1 A
80
A ngy ismeretlen ram kiszmtshoz kt hurok s kt csomponti egyenlet rhat fel.
A hurokegyenletek mdszervel a kt hurokegyenlettel egy kt ismeretlenes
egyenletrendszer megoldsval az ismeretlenek meghatrozhatk.
Az 1-103. brn berajzoltuk a hurokramokat. A hurokramok s a valdi gramok
kztti sszefggsek:
(1)
(2)
(3)
(4)
Hurokegyenletek Is1 s Is2 hurokramokkal:
(1) ( )
(2) ( ) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(1)
(2)
2(1)+(2):
Az gramok:
(1) =1 A
(2)
(3)
(4) =1,1 A
81
1.6.7. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
1-106. bra
1.6.7.1. Megolds a csomponti potencilok mdszervel
Az ramkr ngy ismeretlen ramra kt hurok s kt csomponti egyenlet rhat fel.
UA-bl s UB-bl mindhrom ismeretlen gram kiszmthat:
1-107. bra
U2
U1
R3
R4
R1
I
R2
I1
I3 I4
I2
UA U
B
UC=0
U2
U1
R3
R4
R1
I
R1=10
R2=20
R3=10
R4=5
U1=40 V
U2=20 V
I=2 A
R2
82
(1)
(2)
(3)
(4)
A csomponti egyenletek:
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
83
Vgl helyettestsk be UA s UB rtkeket az ramokra felrt sszefggsekbe:
1.6.8. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
1-108. bra
1.6.8.1. Megolds a hurokramok mdszervel
1-109. bra
Az t ismeretlen ramra kt hurok s hrom csomponti egyenlet rhat fel. A hurokramok
mdszervel egy kt ismeretlenes egyenletrendszerbl a hurokramok, a hurokramokbl az
gramok meghatrozhatk.
R1 R
2
R4 R
5
R3
U1 U
2
I
Is1
Is2 I2 I
1
I3
I4 I5 I
R1 R
2
R4 R
5
R3
U1 U
2
I
R1=10
R2=20
R3=30
R4=20
R5=10
U1=60 V
U2=90 V
I=5 A
84
sszefggsek a hurokramok s az gramok kztt:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Hurokegyenletek Is1 s Is2 hurokramokkal:
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(1)
(2)
85
1.6.9. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
1-110. bra
1.6.9.1. Megolds a szuperpozci ttellel
1-111/a. bra
U
R2
R3
R5
R1
R4
I1
I2
I3
I4
I5
R2
R3
R5
R1
R4
I1
I2
I3
I4
I4
a)
= +
I01
I01
I02
U
I01
R2
R3
R5
R1=4
R2=2
R3=2
R4=1
R5=5
U=10 V
I01
=3 A
I02
=6 A
R1
R4
I02
86
1-112/b. bra
a)
[ ( )]
[ ( )]
( )
( )
b)
[ ( )]
[ ( )]
( )
( )
R2
R3
R5
R1
R4
I02
I2
I2 I3
I4
I5
U
R2
R3
R5
R1
R4
I1
I3
I4
I4
I1
b) c)
+ +
87
c)
[( ) ( )] ( )
1.6.10. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
1-113. bra
1.6.10.1. Megolds a csomponti potencilok mdszervel
Az ramkrben t ismeretlen gramot kell kiszmtani. Az 1-111. brn lthat, hogy a
kapcsols ngy csompontjhoz ngy klnbz csomponti potencil tartozik. Ebbl
az egyiket vlaszthatjuk 0-nak. Ha UD-t 0-nak vesszk, UC csompont potencilja U2-vel
lesz egyenl, gy a kt ismeretlen, UA s UB kiszmtsval mind az 5 ismeretlen gram
kiszmthat:
R5
R4
R3
R2
U1
U2
R1=2
R2=4
R3=5
R4=3
R5=6
U1=15 V
U2=20 V
R1
88
1-114. bra
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
A csomponti egyenletek:
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
(A)
R5
R4
R3
R2
U1
U2
R1 I1
I2 I
3
I4
I5
UA
UB UC=U2 U
D=0
89
(B)
(A)
(B)
(A)
(B)
Vgl helyettestsk be UA s UB rtkeket az ramokra felrt sszefggsekbe:
1.6.11. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
90
1-115. bra
1.6.11.1. Megolds a hurokramok mdszervel
1-116. bra
Az t ismeretlen ram kiszmtshoz hrom hurok s kt csomponti egyenlet rhat
fel. A hurokegyenletek mdszervel, a hrom hurokegyenlettel egy hrom ismeretlenes
egyenletrendszer megoldsval az ismeretlenek meghatrozhatk.
Az 1-115. brn berajzoltuk a hurokramokat. A hurokramok s a valdi gramok
kztti sszefggsek:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
U2
U1
R3
R4
R1
R2
R5
I1
I2
I3
I4
I5
Is1
Is2
Is3
U2
U1
R3
R4
R1
R1=3
R2=6
R3=4
R4=2
R5=6
U1=60 V
U2=90 V
R2
R5
91
Hurokegyenletek Is1, Is2 s Is3 hurokramokkal:
(1) ( )
(2) ( ) ( )
(3) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
Az egyenletrendszert mtrixos alakba rendezve:
[
] [
] [
]
[
] [
] [ ]
Oldjuk meg az egyenletrendszert a Crammer-szably hasznlatval:
Az egytthat mtrix determinnsa:
|
|
Kpezzk Di determinnsokat az egytthat mtrix i. oszlopba az eredmnymtrixot
illesztve:
|
|
|
|
92
|
|
A Crammer-szably rtelmben az ismeretlen hurokramok:
Vgl rjuk fel a valdi gramokat:
(1) =2,889 A
(2) ( ) 8,556 A
(3)
(4) ( )
(5)
1.6.12. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere segtsgvel!
93
1-117. bra
1.6.12.1. Megolds a csomponti potencilok mdszervel
Az ramkr hat ismeretlen ramra hrom hurok s hrom csomponti egyenlet rhat
fel. A csomponti potencilok mdszervel a ngy klnbz potencil csompontbl
egynek az rtkt 0-nak vlasztva megmarad hrom ismeretlen csomponti potencillal
a hat ismeretlen gram kifejezhet, a hrom csomponti egyenlettel a hrom
csomponti potencil kiszmthat.
1-118. bra
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
U2
I0
R
R
R R=10
U1=10 V
U2=20 V
I0=2 A
R
R
R
U1 I1
I2 I
3
I4
I5 I6
UA U
B U
C
UD=0
U2
I0
R
R
R
R=5
U1=10 V
U2=20 V
R
R
R
U1
94
(6)
A csomponti egyenletek:
(A)
(B)
(C)
(A)
(B)
(C)
(A)
(B)
(C)
(A)
(B)
(C)
Az egyetlenrendszer mtrixos alakja:
[
] [
] [
]
Oldjuk meg az egyenletrendszert a Crammer-szably hasznlatval:
Az egytthat mtrix determinnsa:
95
|
|
Kpezzk Di determinnsokat az egytthat mtrix i. oszlopba az eredmnymtrixot
illesztve:
|
|
|
|
|
|
A Crammer-szably rtelmben az ismeretlen csomponti potencilok:
Vgl a kapott eredmnyekbl szmtsuk ki az gramokat:
96
1.6.13. Szmtsa ki az albbi ramkr gaiban foly ramokat a Kirchhoff
trvnyek, a szuperpozci ttel, a csomponti potencilok s a
hurokramok mdszere
segtsgvel!
1-119. bra
1.6.13.1. Megolds a hurokramok mdszervel
A 8 ismeretlen ram kiszmtshoz ngy hurok s ngy csomponti egyenlet rhat fel.
A hurokegyenletek mdszervel, a ngy hurokegyenlettel egy ngy ismeretlenes
egyenletrendszer megoldsval az ismeretlenek meghatrozhatk.
1-120. bra
Az 1-119. brn berajzoltuk a hurokramokat. A hurokramok s a valdi gramok
kztti sszefggsek:
(1)
(2)
R1
R5
U1 U
2
R4
R7
R3
R2
R6
R8
Is1
Is2
Is3
Is4
I1 I
2
I3
I4 I
5
I6
I7 I
8
R1
R5
U1 U
2
R4
R7
R3
R2
R6
R8
R1=2
R2=4
R3=8
R4=2
R5=4
R6=2
R7=4
R8=8
U1=102 V
U2=34 V
97
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Hurokegyenletek Is1, Is2 s Is3 hurokramokkal:
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( )
(3) ( ) ( )
(4) ( ) ( )
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
Az egyenletrendszer mtrixos alakja:
[
] [
] [
]
[
] [
] [
]
Az egyenletrendszer megoldsa Gauss-elimincival:
[
] [
]
[
]
98
[
]
Az utols mtrix utols sorbl felrhat:
A 3. sorbl:
A 2. sorbl:
( ) ( )
Az 1. sorbl:
( )
Vgl rjuk fel a valdi gramokat:
(1)
(2)
(3)
(4) ( )
(5) ( )
(6) ( )
(7)
(8)
99
2. VLTAKOZ RAM HLZATOK
2.1. Alapfogalmak
Ebben a fejezetben szinuszosan vltakoz ram/feszltsg genertorokbl s passzv
ramkri elemekbl (ellenlls, kondenztor s induktivits) ll egyszer villamos
hlzatok szmtsval foglalkozunk. A feladatok clja a vltakoz ram hlzatok
komplex mennyisgek hasznlatval trtn szmtsnak megismerse s gyakorlsa.
2.1.1. Szinuszos vltakoz feszltsg/ram megadsa
2-1. bra
Umax [V], Imax [A] a feszltsg/ram amplitdja (cscsrtke)
[1/s] krfrekvencia ( )
t [s] id
fzisszg, (fziseltrs)
2.1.2. Szinuszos mennyisgek kzprtkei
Effektv rtk (ngyzetes kzprtk)
A gyakorlatban a vltakoz ram/feszltsg nagysgnak megadsra ltalban nem az
amplitdt, hanem az effektv rtket, ms nven a ngyzetes kzprtket hasznljk.
Vltakoz ram/feszltsg effektv rtkn azt az egyenramot/feszltsget rtjk, amely ugyanakkora ellenllson ugyanannyi id alatt ugyanannyi ht fejleszt, mint a vltakoz ram. R ellenllson egysgnyi id alatt hv alakul teljestmny:
A keletkezett h az ram/feszltsg ngyzetvel arnyos, ennek tlagrtke egy peridus
alatt:
( ) ( )
( ) ( )
100
( )
( )
Az effektv rtk e mennyisgek ngyzetgyke:
( )
( )
( )
( )
2-2. bra
Abszolt kzprtk
Vltakoz ram/feszltsg abszolt kzprtkn azt az egyenramot/feszltsget rtjk,
amely egy adott id alatt ugyanannyi tltst szllt, mint a vltakoz ram. A
tltsmennyisg arnyos az rammal, de fggetlen az ram irnyval, ezrt az egy
peridus alatt szlltott tltsmennyisg az ram abszolt rtknek idbeli tlagval
arnyos.
2-3. bra
| ( )|
| |
| ( )|
i2(t)
i(t)
101
| ( )|
| |
sszefggs a szinuszos jel effektv s kzprtke kztt:
2.1.3. A vltakoz ram hlzatok passzv ramkri elemei
a) Ellenlls
Az sszefggst vltakoz ram ramkrbe kapcsolt ellenlls rama s feszltsge
kztt most is az Ohm-trvny adja:
( ) ( )
,
vagyis az ellenlls rama arnyos a feszltsggel s a kt mennyisg fzisban van
egymssal
b) Kondenztor
A kondenztor tltse arnyos a r kapcsolt feszltsggel, az arnyossgi tnyez a
kondenztor kapacitsa C [F, Farad]
[ ]
ahol Q a kondenztor tltse.
A kondenztor ramkri jele:
Az sszefggs a kondenztor rama s feszltsge kztt:
( ) ( )
( )
( )
( )
ahol
[ ] az n. kapacitv reaktancia
(A reaktancia reciprokt szuszceptancinak hvjk, jele: B [1/]
, kapacitv szuszceptancia)
102
A fenti sszefggsbl ltszik, hogy a kondenztor rama 900-kal siet a feszltsghez
kpest.
c) nindukcis tekercs, induktivits
Vltakoz ram tekercsben az ram hatsra kialakul vltakoz mgneses fluxus
feszltsget, n. nindukcis feszltsget hoz ltre. Az nindukcis feszltsg arnyos az
ram idbeli megvltozsval.
Az induktivits ramkri jele:
( ) ( )
( )
( )
ahol
[ ] az n. induktv reaktancia
(
[
], induktv szuszceptancia)
A fenti sszefggsbl ltszik, hogy az induktivits rama 900-kal ksik a feszltsghez
kpest.
2.1.4. Vltakoz ram teljestmny
A teljestmny pillanatnyi rtke, ha a feszltsg s az ram szinuszosan vltoz
mennyisgek, amik nincsenek fzisban egymssal:
( ) ( )( ( )) ( )
A teljestmny idbeli tlaga:
( )
( )
Ez a mennyisg az n. hatsos (wattos) teljestmny: [ ]
A medd teljestmny: [ ]
103
A ltszlagos teljestmny: [ ]
A
rtket, ami a feszltsg s az ram kztti fzisszg koszinusza,
teljestmnytnyeznek nevezzk.
2.1.5. Komplex mennyisgek bevezetse
Szinuszos vltakoz ram hlzatok szmtsnl a feszltsg s ramrtkeket
komplex mennyisgknt kezelve matematikailag lnyegesen egyszerbb sszefggseket
kapunk, mint ha az id tartomnyban szgfggvnyekkel vgeznnk a szmtsokat.
( ) [ ( )] [ ],
( ) ( ) [ ( ( ) ( )]
[ ( ],
ahol az imaginrius egysg
A komplex feszltsg s ram:
( )
( ) ( )
komplex idfggvnyek a komplex szmskon szgsebessggel forg nagysg forg vektorok, melyek egy adott pillanatban a vals tengellyel t illetve t+ szget zrnak be.
t=0 idpontban rgztve a komplex forg vektorokat a komplex feszltsg s a komplex
ram amplitdja a kvetkez sszefggssel definilhat:
A gyakorlatban az amplitd helyett az effektv rtkt hasznljuk, a komplex effektv
rtk gy:
,
Ezeket a komplex szmskon ll skvektor brzolja, amit fzornak hvunk.
2.1.6. A komplex impedancia
A feszltsghez hasonlan a vltakoz ram hlzatok passzv elemeinek paramtereit
is kezelhetjk komplex mennyisgekknt. Ezeket sszefoglal nven komplex
impedanciknak nevezzk. Jele: Z []
104
Rezisztv impedancia (ellenlls):
Kapacitv impedancia:
( )
Induktv impedancia:
( )
A fenti sszefggsekbl lthat, komplex mennyisgek hasznlatval az Ohm-trvny
kiterjeszthet az induktv s kapacitv impedancikra is.
Az ltalnos Ohm-trvny:
Komplex teljestmny
2.2. Kidolgozott s gyakorl pldk a vltakoz ram
ramkrk szmtshoz
A kvetkez rszben t rszletesen kidolgozott s tovbbi 13 gyakorl plda
tallhat.
2.2.1. 50 Hz-es szinuszosan vltakoz, 230 V effektv feszltsg
feszltsgforrsra kapcsolunk sorosan egy ellenllst s egy
indukcis tekercset. Szmtsa ki az ramkr ered komplex
105
impedancijt, ramt, az ellenlls s a tekercs feszltsgt, a
hatsos, a medd s a ltszlagos teljestmnyt. Rajzolja fel a
fzor brt!
2-4. bra
(Megjegyzs: A tovbbiakban az als index nlkl jellt feszltsg s ram rtk az
effektv rtket jelli.)
A induktv impedancia:
Ez egy olyan komplex mennyisg, melynek csak kpzetes koordintja van. A komplex
szmskon brzolva a kpzetes tengelyen helyezkedik el. Exponencilis alakban felrva:
A rezisztv impedancia:
Ez egy olyan komplex mennyisg, melynek csak vals koordintja van.
Exponencilis rsmddal:
Az ered impedancia kiszmtsra az egyenram hlzatoknl az ellenllsokra felrt
sszefggsek rvnyesek, de termszetesen itt a komplex mennyisgekre vonatkoz
szablyokat kell figyelembe venni. Vagyis sorba kapcsolt komplex impedancik eredje
az egyes impedancik sszegvel egyenl. Prhuzamos kapcsols esetn az ered
impedancia reciproka egyenl az egyes impedancik reciproknak sszegvel.
Az impedancik brzolsa a komplex szmskon:
~
L R
U
U=230 V
f=50 Hz
L=1,432 H
R=300
106
2-5. bra
Az ramkr rama:
(A szmtsoknl a feszltsgforrs feszltsgnek fzisszgt 0-nak vesszk, ehhez
viszonytjuk a tbbi mennyisg fzisszgt)
(
)
A fenti szmtsbl ltszik, hogy a komplex mennyisgekkel val szmolssal nemcsak
az ram effektv rtkt kaptuk meg (I=0,4252 A), hanem a feszltsg s az ram kztti
fzisszget is (= 56,30). A mnusz eljel azt jelenti, hogy az ram ksik a feszltsghez
kpest.
Az ellenllson es feszltsg:
( ) (
)
Az induktivitson es feszltsg:
( )
(
)
A feszltsgek s ramok nagysgt s fzis viszonyait az n. fzorbrn szemlltetjk.
A fzorbra a komplex szmskon brzolja a krdses mennyisgeket, gy, hogy a 0
fzisszg feszltsg effektv rtkt mrjk a fggleges tengelyre, ami ebben az
esetben a vals tengelyt jelenti. (Olyan, mintha a komplex szmsk vals s kpzetes
tengelyeit ramutat jrsval ellenttesen 90 fokkal elfordtannk.) A pozitv szgeket a
vals tengelytl ramutat jrsval ellenttesen, a negatv szgeket az ramutat
jrsval megegyez irnyban mrjk fel.
Re
Im
ZR
Zer ZL
( )
| | | | | |
( )
( )
107
2-6. bra
A hatsos teljestmny megegyezik az ellenlls teljestmnyvel:
A medd teljestmny megegyezik a tekercs teljestmnyvel:
A ltszlagos teljestmny:
2.2.2. 100 Hz-es szinuszosan vltakoz, 100 V effektv feszltsg
feszltsgforrsra kapcsolunk prhuzamosan egy ellenllst s
egy kondenztort. Szmtsa ki az ramkr ered komplex
impedancijt, ramt, az ellenlls s a kondenztor ramt, a
hatsos, a medd s a ltszlagos teljestmnyt. Rajzolja fel a
fzor brt!
2-7. bra
A kapacitv s a rezisztv impedancia:
~
C
R
U
U=100 V
f=100 Hz
C=9,947F
R=120
Re
Im
UR
U
UL
I
108
( )
Az ered impedancia:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2-8. bra
Az ramkr rama:
( )
Az ellenlls rama:
teht az ram s a feszltsg fzisban vannak egymssal
A kondenztor rama:
( )
teht az ram 900-kal siet a
feszltsghez kpest.
Az ramkr ramt Kirchoff csomponti trvnybl is megkaphatjuk:
Az ramkr fzorbrja:
Re
Im ZR
Zer ZC
109
2-9. bra
A hatsos teljestmny megegyezik az ellenlls teljestmnyvel:
A medd teljestmny megegyezik a kondenztor teljestmnyvel:
A ltszlagos teljestmny:
2.2.3. 150 Hz-es szinuszosan vltakoz, 15 V effektv feszltsg
feszltsgforrsra kapcsolunk sorosan egy ellenllst, egy
indukcis tekercset s egy kondenztort. Szmtsa ki az ramkr
ered komplex impedancijt, ramt, az ellenlls, a tekercs s a
kondenztor feszltsgt, a hatsos, a medd s a ltszlagos
teljestmnyt. Rajzolja fel a fzor brt! Szmtsa ki az ramkr
sajt frekvencijt!
2-10. bra
~
L R
U
U=15 V
f=150 Hz
L=26,53 mH
R=10
C=106 F
C
Re
Im
IR
U
I
IC
110
A induktv, a kapacitv s a rezisztv impedancia:
(
)
Az ered impedancia:
( )
2-11. bra
Az ramkr rama:
(
)
A tekercs, a kondenztor s az ellenlls feszltsge: