ELECTROMAGNTISMO DE ALTA FRECUENCIA Grado en Física

Electromagnetismo de Alta Frecuencia 1

APÉNDICE.- REVISIÓN DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

ELECTROMAGNTISMO DE ALTA FRECUENCIA

Grado en Física

PROFESOR: José Represa Fernández. Dpto. Electricidad y Electrónica. e-mail: [email protected]


REVISIÓN DE LA TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA

Grado en Física

Ecuaciones de Maxwell. Descripción de los medios. Condiciones de contorno. La ecuación de ondas. Ondas planas. Energía y Potencia. Reflexión y refracción de ondas planas.

Bibliografía: POZAR D. M.- "Microwave Engineering". Wiley. 1997

MARSHALL, S.V. & SKITEK, G.G.- "Electromagnetic Concepts and Applications". Prentice Hall International Editions. 1990. PAUL, C. R. ,NASAR, S. A. & WHITES, K. V.- “Introduction to Electromagnetic Fields”. Mcraw-Hill. 1997.


TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

Revisión Ecuaciones de Maxwell



Revisión Relaciones constitutivas y condiciones de contorno

Ligan los vectores de campo tanto en medios materiales

como en el vacío

Necesarias en las superficies de separación de medios

diferentes

Existen condiciones de contorno “especiales”

Derivan de las propias ecuaciones de campo



Revisión Relaciones constitutivas

Los vectores eléctricos y los vectores magnéticos,

respectivamente, significan lo mismo (Solo un factor de

escala)

Carece de sentido la relación J ↔ E

Contribución de la materia



Revisión Relaciones constitutivas

Comportamiento estático Comportamiento dinámico

Relaciones

Diferentes comportamientos

Linealidad

Homegeneidad

Isotropía



Revisión Relaciones constitutivas. Caso estático.

Medios H. I. L.

Parámetros del medio



Revisión Relaciones constitutivas. Caso dinámico.

Descripción en el dominio del tiempo.

- PRINCIPIO DE CAUSALIDAD

- RETARDO DE LA RESPUESTA

Descripción en el dominio de la frecuencia.

- NOTACION COMPLEJA

- DISIPACION DE ENERGIA

Transformada de Fourier

Transf. inversa de Fourier




DESCRIPCION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO PRINCIPIO DE CAUSALIDAD:

La respuesta no puede ser anterior a la causa.

ε (t-τ ) = 0 , µ (t-τ ) = 0 �si �τ > t (Respuesta de impulso)




DESCRIPCION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

RELACION ENTRE DOMINIOS




DESCRIPCION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA SUPONE CAMPOS DE

VARIACION TEMPORAL ARMONICA

SUPONE REGIMEN ARMONICO ESTACIONARIO

SEÑALES MONOCROMATICAS

COMPONENTES DE FOURIER




DESCRIPCION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

PARA CADA FRECUENCIA ω"

Tangente de pérdidas

Relaciones de Kramers-Kronig



Revisión Condiciones de contorno.

DERIVADAS DE LAS PROPIAS ECUACIONES DE LOS CAMPOS



Revisión Condiciones de contorno.

DERIVADAS DE LAS PROPIAS ECUACIONES DE LOS CAMPOS



Revisión Condiciones de contorno. Casos particulares. Dieléctrico perfecto

“Conductor magnético”

Conductor perfecto

Condiciones de radiación (Problemas abiertos)

Los campos deben ser “salientes”



Revisión El dominio de la frecuencia.

NOTACION COMPLEJA

Consideramos campos de variación armónica en el tiempo

Tomamos:

Que es un VECTOR COMPLEJO dependiente de las variables ESPACIALES

El CAMPO FISICO es:



Revisión El dominio de la frecuencia.

NOTACION COMPLEJA

Para campos armónicos arbitrarios

Tomamos:

Que es un VECTOR COMPLEJO dependiente de las variables ESPACIALES



Revisión Las ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia.

Ecuaciones en divergencia




Derivación temporal

Ecuaciones rotacionales




Ecuación de continuidad

Ecuaciones rotacionales




Forma integral



Revisión El vector de Poynting

Forma real Forma compleja

Relaciones de interés (en régimen armónico)



Revisión El vector de Poynting. Valor medio temporal.

Forma real Forma compleja

Teorema de Poynting (forma real)

Energía del campo e.m. Flujo de potencia

Efecto Joule Potencia de los generadores



Revisión El vector de Poynting. Valor medio temporal.

Teorema de Poynting (forma compleja)

Energía del campo e.m. Flujo de potencia Efecto Joule Potencia de los generadores

Pérdidas dieléctricas y magnéticas



La ecuación de ondas

Término de atenuación

Fuera de las fuentes: ρ=0, Jg=0

Medio H. I. L. ε, µ, σ"

Tomar el rotacional de las ecuaciones rotacionales de Maxwell y usar las

divergencias

Para cada componente (i=x, y, z) del campo E (H) en el dominio del tiempo:

Término de propagación



La ecuación de ondas

Término de atenuación

Fuera de las fuentes: ρ=0, Jg=0

Medio H. I. L. ε, µ, σ"

Usar la notación compleja o hacer la transformada de Fourier de la

ecuación en el dominio del tiempo

Para cada componente (i=x, y, z) del campo E (H) en el dominio de la frecuencia:

Término de propagación



La ecuación de ondas Dos casos particulares

Medio con pérdidas conductoras altas: difusión

Medio sin pérdidas: onda no atenuada



La ecuación de ondas Un caso simple: Ondas planas uniformes.

Condiciones Características

Régimen armónico estacionario

Medio no conductor sin pérdidas

Campo Ex

Dependencia espacial con z

Ondas planas: Los vectores de campo están contenidos en un

plano

Ondas uniformes: los vectores de campo no cambian (módulo y fase)

con la posición en el plano

Ecuación de Helmholtz

con:



Ondas planas uniformes

con:

Número de onda

(Cte. Propagación)



Ondas planas

Solución a la ecuación de Helmholtz

con constantes complejas a determinar

que corresponde, en el dominio del tiempo, a:

Onda que avanza en z+ Onda que avanza en z-



Ondas planas

t0

z0

t1

z1



Ondas planas El campo magnético

Puede obtenerse de la ley de Faraday


OBSERVAR EL SIGNO -



Ondas planas Características de propagación

- Velocidad de fase

- Longitud de onda

- Constante de propagación (fase) o número de ondas

- Impedancia de onda (intrínseca) λ"



Ondas planas Transversalidad de los campos

Onda plana transversal electromagnética (TEM)



Ondas planas



La ecuación de ondas Medios con pérdidas

Condiciones

Fuera de las fuentes

Régimen armónico estacionario

Medio con conductividad finita

Campo Ex

Dependencia espacial con z



Ondas planas Medios con pérdidas

Cte. de propagación compleja Cte. de atenuación Cte. de fase

Con pérdidas dieléctricas (magnéticas), utilizamos ε (µ)"

y análogamente si tuviéramos µ’’"



Ondas planas. Medios con pérdidas

Solución a la ecuación de Helmholtz

con constantes complejas a determinar

corresponde, en el dominio del tiempo, a:


Como

Atenuándose a medida que avanzan en su sentido de propagación




El campo magnético Puede obtenerse de la ley de Faraday


OBSERVAR EL SIGNO -

Atenuadas en su sentido de propagación



Ondas planas. Medios con pérdidas Características de propagación

- Velocidad de fase

- Longitud de onda

- Constante de propagación

- Impedancia de onda (en general, compleja) λ"






Ondas planas. Buenos conductores

Domina la conductividad σ>>ωε

Corriente de conducción >>Corriente de desplazamiento

Profundidad de penetración

��

��

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Ondas planas. Buenos conductores

Profundidades de penetración a 10 GHz. �(' -�,(*� �(' -�,$.$ � ��/��&�� *("-' $ � ��/��&��%-&$'$(��%�� (�*!��-�� *(��-�� %�,��#��

Profundidades de penetración para el cobre

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Ondas planas. Caso general.

La ecuación de Helmholtz en coordenadas cartesianas.

con

Para cada componente de E (H)




Resolución mediante separación de variables.

Que llevado a la ecuación de Helmholtz:

Constantes de separación

Suponemos

donde cada sumando sólo depende de su variable, como mucho y,

puesto que k es una constante, los sumandos deben serlo también




Resolución mediante separación de variables.

Cada componente f, g, h obedece a una ecuación

de soluciones

cualquier componente del campo (i=x, y, z) será de la forma:

suma de dos ondas que avanzan en sentidos contrarios.




Dirección de propagación. Definimos un vector de onda Vector

unitario

Para cada onda (+ ó –) i= x, y , z

La condición

Solamente dos de las amplitudes son independientes

Los vectores y son perpendiculares




El campo magnético. Se obtiene, de nuevo, de la ley de Faraday.

Tanto para la onda + como para la onda -

H es perpendicular a E

y a k Las características de propagación

son idénticas a las ya vistas.









Reflexión y refracción.

Incidencia normal.

E i

H i

E t

H t

E r H r

ε 1 , µ 1 ε 2 , µ 2

z

x Onda incidente:

Onda reflejada:




Incidencia normal. Onda transmitida:

- Elección de sentidos de los campos.

- Coeficientes Γ, Τ, en general, complejos.

- Continuidad de Et, Ht.




Incidencia normal.

Condiciones de contorno en z=0



Reflexión y refracción. Incidencia normal. El vector de Poynting.

Potencia reactiva



Reflexión y refracción. Incidencia normal.

El vector de Poynting. Observaciones.

El flujo de potencia se conserva en la interfaz.




Formación de una onda estacionaria.

En la región z<0 se superponen dos ondas de la misma frecuencia, con distintas amplitudes:

y análogamente para H

que representan ondas de amplitud variable con z




Ondas estacionarias. Las amplitudes de los campos.




Ondas estacionarias. Las amplitudes de los campos.

Campo eléctrico

Campo magnético



Reflexión y refracción. Incidencia normal en un buen conductor.

Lo que hace cambiar los valores de Γ y Τ, que ahora serán complejos.

Cambian la constante de propagación y la impedancia de onda del segundo medio.

Los campos transmitidos son:




Campo eléctrico

Campo magnético




El vector de Poynting.

Para z<0:

Para z>0:

Resultando de nuevo:



Reflexión y refracción. Incidencia normal en un conductor perfecto.

Representa el caso límite cuando σ → ∞.

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Reactivo puro



Reflexión y refracción. Incidencia normal en un conductor perfecto.

Campo magnético

Campo eléctrico



Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Planteamiento general.



Reflexión y refracción. Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Onda incidente:

Onda reflejada:



Reflexión y refracción. Incidencia oblicua.

Onda transmitida:

Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

Dirección de los campos Dirección de propagación



Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.

En z=0 para todo x

La igualdad de fases: Leyes de Snell




Coeficientes de reflexión y de transmisión (Fresnel).

Obsérvese que para el que (Angulo de Brewster)

i.e. para medios no magnéticos:




Módulo del coeficiente de reflexión frente al ángulo de incidencia. Nótese el ángulo de Brewster.



Reflexión y refracción. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

Onda incidente:

Onda reflejada:



Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia.

Dirección de los campos Dirección de propagación

Onda transmitida:




En z=0 para todo x

La igualdad de fases: Leyes de Snell




Coeficientes de reflexión y de transmisión (Fresnel).

¿ para el que ?




Módulo del coeficiente de reflexión frente al ángulo de incidencia.



Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Reflexión total. Ondas de superficie.

De la ley de Snell:

conocido como ángulo crítico o de reflexión total.

¡La onda no pasa al medio 2!

Angulo crítico. Si la onda viaja de un medio más denso a uno menos denso (ε2<ε1)



Reflexión y refracción. Incidencia oblicua. Reflexión total. El ángulo crítico.

Para θi> θc sería

Llamamos :

Los campos transmitidos (pol. paralela):

Propagación en x Atenuación en z




El coeficiente de reflexión:

La onda transmitida:

-Se propaga en la dirección x.

-No se propaga en la dirección z, pero existen campos que decaen exponencialmente con z.

- Se conoce como ONDA DE SUPERFICIE.

- Es una onda plana NO UNIFORME (varía en la dirección transversal)




El vector de Poynting para la onda transmitida:

Potencia reactiva Potencia transmitida

Ambas decaen a medida que nos adentramos en el medio 2

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