Elastodinamika - Ceo Usmeni

7/28/2019 Elastodinamika - Ceo Usmeni

1/109

1=30=32=34=38

1. 2.

3.

4. ,

21. 2. 3. 4.

4=16=435.

6.

7. 8.

5=421. 2. 3.

4.

6=15=29=431.

2. 3.

.

4.

7=44

1. 2.

3. 4.

8=451. 2.

3. 4.

9=461.

2. 3.

4.

10=471. 2. 3.

4.

11=48

1.

2. 3.

4.

12=491. 2. 3.

4.

13=391. 2. 3. 4.

14=35=49

1.

2.

3. 4.

18.

1. 2. 3.

4.


2/109

19.1. , ,

2.

3. 4. ,

201.

2. 3.

4. -

21

1. 2. 3. 4. 23.1. 2.

3. 4.

25

1.

2. ,

3.

4.

26.1. , ,

2. .

,

3.

4.

28=41

1.

2. , ()

3.

4.

311. 2. 3.

4.

36

1. 2.

3.

4.


3/109

S. Koci} Teorija Elastinosti - usmeni

1

1. Naponske povri

{ }

=

=

z

yx

r

rr

nr

( ) { }

( ) { } 22

2/

crrr

rnn

n

n

==

=

N

N 2c

z

yx

=

N

( ) 2,, czyx = ( ) ( ) 2222 2,, cYzXzXyzyxzyx yzxzxyzyx =+++++=

( )

0,0,0,0

0,0,0,0

,,

2

321

2

321

22

3

2

2

2

1

>

=++=

c

c

c

( ) { } { } { } { } { } { } ( )zyxgradrpnkpprNnrrzyxgradN nnn ,,,,2,,,,**** =======

rrNN

=++ 12

3

2

2

2

2

2

1

2

Koijeva geometrijska interpretacija


4/109


2

2. Sent Venanovi uslovi kompatibilnosti deformacija

Ako Koi Rimanove uslove primenimo na sve faze odreivanja pomeranja oni moraju da zadovolje i:

=

=

=

y

u

zz

u

yy

u

xx

u

yx

u

zz

u

x

;;

Primenimo nay

u

:

=

+

=

yyxyxy

u

xyy

u

yx

xyxy

yxxy

xyyx

=

+

2

2

2

2

2

..........(1)

+

=

=

xyzxyzy

u

zxy

u

xz

yzxzxyx

2

1

+

=

xyzxzy

yzxzxyx2

2 ................(4)

+

=

=

zxzyyxzxy

u

yzy

u

zy

yxyxzyzxy

22

2

1

+

=

yxzyyx

xzyzxyy 2

2 ..............(5)

Primenimo naz

u

:

=

=

2

2

2

22

2

1

yxzxz

u

xzx

u

zx

xzzxy

zxxz

xzzx

=

+

2

2

2

2

2

................(2)

+

=

=

zyxzxyz

u

yzz

u

zy

xyxzyzz

2

1

+

=

zyxzyx

xyxzyzz2

2 ................(6)

=

z

u

xyz

u

yxdobija se ista relacija kao (4)

Moemo primeniti i naz

v

:

=

=

2

22

2

2

yzyzzv

zyzu

yx

zyzy zyyz

yzzy

=

+

2

2

2

2

2

................(3)

Ostali uslovi daju ve dobijene rezultate (relacije).


5/109


3

3. Dilatacija i klizanje linijskih elemenata

+

+

+

+

+

+

=

z

w

y

w

z

v

x

w

z

u

zv

yw

yv

xv

yu

z

u

x

w

y

u

x

v

x

u

2

1

2

1

21

21

2

1

2

1

Simetrini deo transformacione matrice

{ } { } { } { } { } defrotsk dsdsdrdrdrds +=+== SSS { } { }drdsdefs EE == ,S

{ } { } ndrrddsdr

defr

rr== ,

1

{ } { }nn E= --vektor totalne relativne deformacije u taki N za linijski element dr. { } { }npn N=

{ } { } { }

=

=

=

dz

drdydrdx

dr zyx 00

,

0

0,

0

0

{ } { }

=

==

xz

xy

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

x i

2

12

1

0

0

1

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

E

{ } { } { } { }

==

==

z

zy

zx

z

yz

y

yx

y kj

2

12

1

,

2

1

21

EE

dzz

ssddy

y

ssddx

x

ssd zyx

=

=

=

rr

rr

rr

,,x

s

rd

rdrddx

x

ssdrdrdsdrdrd

x

xx

xxxxxxx

=

=

==+=

r

r

rrrrrrrrr

jer je dxrdx =r

kx

wj

x

vi

x

u

x

s rrrr

+

+

=

z

w

y

v

x

u

x

u

x

s

zyx

=

=

=

,,

r

( ) klizanjaugao,, xyyxxy rdrd rr

( ) uglovemalezasin90coscos90 ==== xyxyxyxyxyxy oo

dyy

srddx

x

srd

dyy

srddx

x

srd

rdrd

rdrd

yx

yx

yx

yx

xy

+

+

+

+

=

= rr

rr

rr

rr

rr

cos

i

x

u

x

s rr


6/109


4

+

+

++

+

=

==y

u

x

v

dyy

vdx

x

u

dxy

udy

y

vdy

x

vdx

x

u

rdrd

rdrd

yx

yx

xyxy

11

11

cos

rr

+

=

=

+

=

=

+

=

=

z

v

y

w

z

wz

v

x

w

y

vy

u

x

v

x

u

yzz

xzy

xyx

,

,

,

Koijeve kinematske jednaine

4. Pravilo o konjugovanosti tangencijalnih napona

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0,,,,,0 =/ +++= dVFrdAprdAprdAprdApr VzzzyyyxxxnncFNirrrrrr

M

rx, ry, rz vektori poloaja povrinskih sila( ) ( ) ( ) ( )kdzjdyidxrjdyidxrkdzidxrkdzjdyr zyx

rrrrrrrrrrrrr++=+=+=+=

3

1,

3

1,

3

1,

3

10

= 3/003

10

3

10

3

1

3

1

zzyzxyzyyxxzxyxnznynx

dydx

kji

dzdx

kji

dzdy

kji

ppp

dzdydx

kjirrrrrrrrrrrr

0

0

0

=+

=+

=++

zxzyyxnxny

zyzyxxnznx

zyxyxznynz

dydxdxdydypdxp

dxdxdzdzdxpdzp

dydzdzdydzpdyp

zyyzzxxzyxxy === ,,

Komponentni tangecijalni naponi u dvema uzajamno normalnim ravnima su jednaki (pravilo okonjugovanosti tangencijalnih napona) pa je matrica tenzora napona simetrina.

5. Zapreminska dilatacija

U optem sluaju svaki linijski element trpi dilataciju i obrtanje. Nas interesuju tri pravca u kojima

linijski elementi trpe samo promenu duine zadravajui svoju orjentaciju. To znai da treba da nsr

bude

kolinearan sa snr

.

{ } { } { }sssns nn E== s skalar (uslov kolinearnosti). Na osnovu tematrine jednaine =>

{ } 0= ss nE to jest 0det = sE


7/109


5

0det

0

0

0

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

=

=

s

s

s

s

szzyzx

yzsyyx

xzxysx

E

( ) ( ) == 0det 32213 EEE ssss E sekularna jednaina

Iz ove sekularne jednaine se odreuju glavne deformacije 321 >> (za realno stanje ima ih uvek 3).

Veliine E123 su skalari matrice Ei pretstavljaju invarijante. Odreuju se isto kao invarijante tenzora napona

N.

constz

w

y

v

x

uzyx =++=

+

+

=++=

3211E

Ova invarijanta jezapreminska dilatacija a takoe i divergencija vektora pomeranja.

constsdivkwjvius vzyx ===++=++=

rrrrr1E

Druga invarijanta deformacije je zbir minora sa glavne dijagonale

3132212

2

12

1

2

12

1

2

12

1

++=++=

yyx

xyx

zzx

xzx

zzy

yzy

E

Trea invarijanta je (po Vijetovim formulama): 3213 det == EE

Kad smo dobili glavne dilatacije, zamenom s sa jednom od ovih vrednosti dobijamo po jedan pravac glavni

pravci dilatacije (3). Oni uvek postoje za realno stanje.

( ) ( ) ( ) 3,2,1,1

, 233

2

32

2

31333231

=++

=====skkkcconstckkk sss

sss

s

s

s

s

s

{ } =

==== 3,2,1,,, 333231 snckckck

s

s

s

s

s

ss

s

ss

s

s

glavni pravci dilatacija

Treba dokazati da je ( ) dxdydzrdrdrddVV

Vzyxv ==

==

rrr

1E

( )

dzz

wdz

z

vdz

z

u

dyywdy

yvdy

yu

dxx

wdx

x

vdx

x

u

rdrdrdVd zyx

+

+

+

==

1

1

1

rrr


8/109


6

Ako zanemarimo elemente van glavne dijagonale =>

( )1321

1111

E==++==

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+=

vsdiv

z

w

y

v

x

u

dV

dV

dV

dVVd

dxdydzz

w

y

v

x

udxdydz

z

w

y

v

x

uV

r

Dakle zapreminska dilatacija jednaka je:

- zbiru dilatacija u glavnim pravcima dijagonala- zbiru dilatacija u tri ortogonalna pravca- dilataciji vektora pomeranja sr .

6. Totalni i komponentni naponi

0,0

A

A

NM

r

=

s

N pA

F rr

srednji napon u taki N

===

=

n

Ns

A

N

An p

dA

Fdp

A

Fp

rr

rr

00limlim totalni napon u taki N

Stalni napon nije uvek kolinearan sa normalnim pa se moe razloiti na dve

komponente: u pravcu nn r

normalni napon

u pravcu tr

tangencijalni (smiui) napon

uvntnp nunvnnnnrrrrr

++=+=

( ){ } ( ){ }tpnp nnnn == ,

++=+= 222222 nvnunnnnp intenzitet totalnog napona

( ) ) ( ) nnnn pppprrrr

==+ 0

( ) ( ) ){ } ( ){ }

( ) ( )( ){ } ( ){ } nnnnnnnn

tptp

npnp

===

===


9/109


7

7. Koijeve naponske jednaine i Koijevi granini uslovi

( ) ( ) TnpzyxNdA

Fd

A

FpFF nnn

n

n

n

n

A

N

nmVn

rrrrr

rrr +==

=

,,;lim,

0

222222222

n ;; nvnunnnnnvnunvnnn pvunp ++==+=++=rrrr

( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnnnn pppp ====+ ,,,0rrrr

kjip

kjip

kjip

zzyzxz

yzyyxy

zxxyxx

rrrr

rrrr

rrrr

++=

++=

++=

{ }{ }{ }[ ]

==

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyx ppp

N

( )

( )

( )( )dzkdyjdxic

dyjdxic

dzkdxic

dzkdyjc

N

z

y

x

rrrr

rrr

rrr

rrr

++=

+=

+=

+=

3

1

3

1

3

1

3

1

( ) ( ) ( ) dxdydzdVdxdydAdxdzdAdydzdA zyx3

1,

2

1,

2

1,

2

1====

kjindA

AddAkdAjdAiAd

n

nzyxn

rrrrr

rrrr ++==++= ;


10/109


8

[ ] 0,,0,5

1

5

1

=== =

=

= iii

s

i

i

n

x FcFdA

dA rrr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

VzzyyxxnndA

dVFdApdApdApdAp1

/0 =+++++ rrrrr

0=+++m

VzyxndA

dVFpppp

rrrrr

1) zyxn pppp

rrrr

++ -- totalni napon (izraen preko normala)

{ } { }

==

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nz

ny

nx

n n

p

p

p

p N

2) { } { }npn N= 1), 2) Koijeve jednaine

{ } ( )kkkkk

k

k

kk zyxNnnn ,,,,

=

rr

{ } { }

=

++==

kkn

kkzkkykkxnkn

nF

pppFF

N

/// rrrrr

Koijevi granini uslovi

8. Glavni pravci naprezanja i glavni naponi

U sluaju kada je totalni napon nspr

kolinearan sa normalom snr

postoji samo normalna komponenta ns dok je

0=ns i ovakva ravan naziva se glavna ravan a napon = snsp glavni napon. Pravci normale glavne ravni

je glavni pravac napona: { } { } { }sssns nnp == N , ( ){ } 0= ss nN

s

intenzitet glavnog napona za glavnu ravan

( ) =

== 0

szyxzx

yzsyyx

xzxysx

ssf

N sekularna jednaina

( ) ( ) 032213 =+= NNN- ssssf zyx ++=1N

Ndet, 32 =++= NNyyx

xyx

zzx

xzx

zzy

yzy

321 ,, NNN naponske invarijante

{ },

=

s

s

s

sn

1coscoscos 222 =++sss

Sekularna jednaina je treeg stepena i ima tri korena 321 ,, tri normalna napona, gde je 321 >> .

Zamenom 3 sa 321 ,, dobijamo tri pravca napona i to su glavni pravci napona.

( ) ( ) ( ) 3,2,1333231

==== sckkk

ss

s

s

s

s

s

syyx

xysx

s

yzxy

xzsx

s

yzsy

xzxy

s

=

=


11/109


9

( ) ( ) ( ) ( ) 11,,, 2332322312222s333231 =++=++=== kkkckckckc ssssssssssss

++

=2

33

2

32

2

31

2 1

kkkcs { }

=

s

s

s

sn

glavni pravci s=1, 2, 3

Sva tri glavna pravca su meusobno ortogonalna

==

3

2

1

00

00

00

GN Tenzor glavnih napona

332132313221213211 ,, NNN ===++==++= GGG NAAGT=

Treba pokazati da su glavni pravci naprezanja ortogonalni.

rs nnrr

rsr

s

=

=

3,2,1

3,2,1

{ } { } { } ( )

{ } { } { } ( )( ){ } ( ){ } ( )( ){ }srrsnrsnsr

srrrnr

rsssnsnnGGpnpn

nnnp

nnnp==

==

==0

/

/

GN

GN

( ) { }{

( )

{ }

( )

{ }321444 3444 21

nn

n

n

pp

p

n

=

==

3

2

1

3

2

1

00

00

00

NG 222232

2

2

1 , nnnn p =++=

{ } { } ( ) { } 222,,, nnnnnT pnnnp ==== GGNAAG

9. Koijevi granini uslovi

Ako umesto take 0 u unutranjosti tela kuzmemo taku P vrlo blisku spoljnjojkonturi (omotau), onda je povrina dA izloena dejstvu jedininih spoljanjih

povrinskih sila nn pF = . nn pF =

kZjYiXFpppF nnnnzyxn

rrrrrrrrr++=++= ;

{ } { }nFZ

Y

X

n

zzyzx

yzyyx

xzxyx

n

n

n

N=

=

++=

++=

++=

zzyzxn

yzyyxn

xzxyxn

Z

Y

X

Koijevi granini uslovi

Pomou ovih uslova obuhvatamo spoljanje sile (tj. povrinsko optereenje) i povezujemo ih sa unutranjim

naponima.


12/109


10

10. Glavni pravci dilatacija i glavni naponi Glavne dilatacije i glavni pravci

dilatacija Potpuni i dovoljni uslovi za ravnoteu napregnutog tela

J,, = Nnndefnnndef JpE

{ } { } nnnnn Irdnnnp = ,,R,, n rrr

rN

( )3,2,1,2

1== sI ssnununu

xyxyxxIIIIIIIII 2

1,;

2

1,

2

1,

2

1,, ,,,321 ==

( ) ( ) 33221132213 ,,,0 =++= NNNNNNf ssss ( ) ( ) 32132213 ,0 >>=++= sssf

{ } { } { } ( ){ } ( ) snssnssnssnssndef nnnn ===== ,0; II -E

=

0

0

0

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

s

s

s

szyzxz

zysyxy

zxyxsx

Uslov: 1222 =++ sss ( ) ( ) 032213 =++== sssssf IE 321 >>

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] 1 233232231

333231

=++=== ssss

ss

s

s

s

s

s ckkkckkk

( )( ) ( )( ) ( )( )2332

32

2

31

1

ssss

kkk

c

++=

( ) ( ) ( )

syxy

yxsxs

zyxy

zxsxs

zysy

zxyxs kkk

==

=

2

12

1

,

2

1

2

12

1

,

2

12

1

2

1

333231

{ } { } { }{ }{ }[ ]3211

1

1

1 ,, nnnnn

s

s

s

s =

=

= A

=

321

321

321

A{ } { }

{ } { } 3,2,1 ==

=

r,snnnn

nnnn

srrrs

rsssr

r

r

E

E

( ) { } ( ){ } ( ) { } ( ){ } ( ) { }

( )( ){ } ( ){ } ( ){ } 00

,,

===

=== srrsrsrsrs

rrrsrrssrssr

nnnnnn

nnnnnnnnnn

EEEEE

3,2,1,0 == srnnnnsrsr

rrro

r

{ } { }sdefnn

s

E=

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) { } ( ){ } 02

1 ====== srssrdefnrnnssssdefnns nnnnnnnn srss E

( )AAANAN EEEE ==

=

00

00

00

,,

3

2

1

3,2,1zy,x, ,,,, zyx

g

Vzyx Sdiv ==++=++=r

3211E 3132212 ++=E E== 3213 E


13/109


11

11. Navijeove jednaine ravnotee Potrebni i dovoljni uslovi za ravnoteu

napregnutog tela

Ove jednaine povezuju spoljanje zapreminske sile sa unutranjim naponima.

0

0

=+

++

+

=

dVFdApdyy

ppdApdx

x

pp

F

Vyy

y

yxxx

x

i

rr

rrr

r

r

dVdVFdzdAz

pdydA

y

pdxdA

x

pVz

zy

y

xx :/0=+

+

+

rrr

=+

+

+

0V

zyx Fz

p

y

p

x

prrr

Navijeove jednaine ravnotee

( ) ( ) ( ) 0=+

+

+

Vzyx Fpzpypx

rrr

0=

+

+

+

V

V

V

z

zy

zx

yz

y

yx

xz

xy

x

Z

Y

X

zyx

Navijeove jednaine zajedno sa Koijevim su potpune jednaine za odreivanje uslova ravnotee.

0,0,0 =+

+

+

=+

+

+

=+

+

+

VzyzxzVzyyxyVzxyxx Z

zyxY

zyxX

zyx

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] 0,,

,,,,,;0

=+

+

++

++

+=

dVFrdAx

ppr

dAprdAy

pprdAprdA

x

pprdAprM

Vczz

zz

zzzy

y

yyyyyxx

xxxxx

F

ni

rr

rr

rrr

rrrrr

rrrrr

( )

( )

( ) ( )dzkdyjdxirdzkrrdzkrrdyjdxir

dyjrrdzkdxjr

dxirrdxirrdzkdyjr

czzzzz

yyy

xxxxx

rrrrrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrr

++=+==+=

=+=

+==+=

2

1,,

2

1

,2

1

,,2

1

[ ][ ]

{ }[ ] [ ]{ } [ ] 0,,,,,,, =/ ++++++++ dVFrdApdzkrprdApdyjrprdApdxirpr

Vczzzzzyyyyyxxxxx

rrrrrrrrrrrrrrrrr


14/109


12

02

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

1

2

10

=

+

+

+

z

zzyzxzzyzx

y

yzyyxyzyyx

x

xzxyxxzxyx

dAdzdydx

kji

dydx

kji

dAdzdydx

kji

dzdx

kji

dAdzdydx

kji

dzdy

kji

rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

[ ] [ ] 0,,, =++ zyx pkpjpirrrrrr

=

==+

==

=++

yxxy

xzzxzxxz

zyyzzyyz

zzyzxyzyyxxzxyx k

-j

ikjikjikji

)

0)

0)

0100010001r

r

rrrrrrrrrr

12. Boltrami Mielove jednaine

( ) vvvVk kEkGSdivG =+==+= 122 1Nr

IN E

xykx Gx

v

y

uGSdiv

x

uG =

+

=

+

= xy2

r

=++ 0VFSkgraddivsGrr

Lameova jednaina

+

=

+

+

=

+

+

0)2

0)1

2

2

x

Y

yxkv

xG

y

X

yxku

yG

vv

vv

=

+

+

+

=

+

+

+

+

+

02

0

2

22

x

Y

y

XSdiv

yxkG

x

Y

y

XSdiv

yxkSdiv

yxkv

xu

yG

vvxy

vv

r

rr

( )0

122

1, 1

2

1 =

+

+

+

+===

x

Y

y

X

kGyxkG

kESdivG vvxyvxyxy

NN

r

= + +++

=

+

+

++

=

+

+

++

01

1)3

01

1)2

01

1)1

3

2

2

2

1

2

yY

zX

zy

x

Y

z

X

zx

x

Y

y

X

yx

vvyz

vvxz

vvxy

N

N

N

Beltrami Mielove jednaine

Pomnoimo 1. Lameovu jednainu sa 2. i napravimox

0x

X222220

x

X22 V

2

2

V

2

2

=

+

+=

=

+

+

xGkkGkG

x

uG

xk

x

uG vvxvx

v

[ ]( ) vvV

FdivkG

SdivFdivSdivkSdivGdivgrad +

===++=1

10

rrrr


15/109


13

( ) ( )

=

+=

+

++

++

11

20

12

2

1

22

1

2

ky

X

xkG

GkFdiv

kG

G kvV

kx

N

=

+

+

++

=

+

+

+

+

=

+

+

++

0211

1)6

0211

1)5

0211

1)4

2

1

2

2

1

2

2

1

2

z

ZFdiv

z

yYFdiv

y

x

XFdiv

x

vVz

vVy

vVx

r

r

r

N

N

N

Beltrami Mielove jednaine

13. Odreivanje komponentnih pomeranja deformacionog tela Komponente pomeranja

1. ( ) ( ) ( ) ( )kzyxwjzyxvizyxuzyxSrrrr

,,,,,,,, ++=

Sdivzu

xw

zv

yw

xv

yu

zw

yv

xu

vxzyzxyxxx

r=+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

E

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ?,,?,,,?,,,?,,,,,,,,,,,,, ==== zyxwzyxvzyxuzyxSzyxfyzxzxyzyxr

E

{ } ( )RQ

rot

k

krz

wZ

y

vY

x

uXugradFzyxugradS

z

yx

pq

pvqv

w

vu

w

vu

S=

=

===

+

=

= ,,,,,,,

P0

0

0 r

y

R

z

Q

x

Q

y

P

y

P

x

R

=

=

=

,, ( ) ( ) ( ) CdzzyxRdyzyxQdxzyxPU

z

z

y

y

x

x

+++= 000

,,,,,,

?)2)1 =

=

y

u

x

ux

+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

yzxzxyxzxy

yxy

xy

x

xyzx

w

yx

u

zz

u

yy

u

zy

u

zR

xyx

v

yy

u

yQ

yy

u

xP

2

1

2

1

2

1

2

1.

.

.


16/109


14

1

0 00

0 002

1)2 Cdz

xyzdy

xydx

yy

uQ

z

yx

yzxzxyy

x

yxyx

x +

+

+

+

=

==

=

xzx

w

zz

v

zxyzz

v

yzz

u

x

zxzxz

yzxzxyx

=

=

+

=

=

,

2

1,

2

0 00

0 0021)3 Cdz

xzdy

xyzdx

zzuR

z

yx

zxzy

x

yzxzxyx

x +

+

+

+

=

==

=

( ) 30 0

00 00

,, Cdzz

udy

y

udxzyxu

z

yx

y

x

x

x +

+

+=

==

=

?.;.;. =

=

=

z

wR

y

vQ

y

u

x

uP yxy

zyzyz

y

xzxyyz

yzy

w

zz

v

zR

zz

v

yQ

yzxx

v

zz

v

xz

v

xP

=

=

=

+

=

+

=

.

.

2

1

2

1.

4

0 00

0 00

Cdzyz

dyz

dxyzxz

vz

yx

zyz

y

x

y

x

xzxyxz +

+

+

+

=

===

( ) ( ) 50 0

00

0

0

,, Cdzz

vdydx

y

uzyxv

z

yx

y

xy

x

xy +

++

=

===

( ) zyzxzz

wR

z

v

y

wQ

z

u

x

wPzyxv =

=

=

= .;.;.?,,,

( ) ( ) 60

00

0 00

,, Cdzdyz

vdx

z

uzyxw

z

yx

z

y

x

yz

x

xy ++

+

= ==

=

14. Homogena deformacija

( ) ( ) ( ) ( )kzyxwjzyxvizyxuzyxSrrrr

,,,,,,,, ++=

{ }

+

=

=

z

y

x

aaa

aaa

aaa

w

v

u

w

v

u

S

332313

322212

312111

0

0

0

kiikyzxyzyx aax

v

y

u=

=

===== ,,0,0,0

zayaxawzayaxavzayaxau 332313322212312111 ,, ++=++=++=


17/109


15

+

+

=

==

y

u

x

vk

x

w

z

uj

z

v

y

wi

wvuzyx

kji

Srotrrr

rrr

rr

2

1

2

1

2

1

[ ] 0;;,===++==

rqpkrjqiprdSd rot

rrrrrrr

=

0

0

0

pq

pr

qr

kosS 211213313223 ,;,;, aax

u

x

vaa

x

w

z

uaa

z

v

y

w=

=

=

=

=

=

( )zyxugradS ,,=r

15. Povr defopmacije Povrina deformacije

Dilatacija za neki pravac odreena je jedininim vektorom nr

( ) { } yzxzxyzyxnnn nn +++++===222

E Ako se od koordinatnog poetka u pravcu n

rprenese vektor r

r,

nrrrr

= , onda su mu pravougle koordinate: rrzrryrrx ====== cos,cos,cos

( ) { } 22 brnnr == E Funkcionalna zavisnost

( ) ( ) { } 22222,, byzxzxyzyxrnzyxF nryzxzxyzyx ==+++++== E i pretstavlja deformacijsku povr, to je geometrijsko mesto zavretaka

taaka vektora rr

modulan

br

=

Deformacijska povr moe biti:

- elipsoid- jednograni hioerboloid- dvograni hiperboloid( ) ,,n

r

( ) ( ) { } ( ) 2

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

,,,, r

z

y

x

zyxrnzyxF n

zyzxz

zyyxy

zxyxx

=

== E

( ) ( ) ( ){ } ( ) 2

3

2

1

,,,, rrnF ng

=

== E ( ) ,,2

1gradF

rn =

r

16. Devijator deformacija


18/109


16

( )

=

=

3

2

1

00

00

00

;

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

EE S

zyzxz

zyyxy

zxyxx

( ) ( )32113

1

3

1

2

1

3

1

3

1 ++====++= Sdivvzyxsrr

( )

( )

( ) ( ) 31

2

3

2

1

2

2

11

27

1

,3

1

3

13

,3

E

E

E

===

===

====

sr

vsr

vsr

S

S

SdivS

S

r

( )

srzyzxz

zysryxy

zxyxsrx

=

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

D ( ) ( ) ( ) DE +=== S,0,0 vD

( ) ( )

g

sr

sr

sr

g

sr

sr

sr

g

S

=

=

=

D

E

3

2

1

3

2

1

( )01 =

D

( )

( )( ) ( )( ) ( )( )srsrsrsrsrsr ++= 3231212

D ( )

( )( )( )srsrsr = 3213

D

17. Vektor pomeranja translacija, rotacija, deformacija (Helmutov stav)

Po Helmutovom stavu telo prelazi u stanje deformisanog tela

jednom translacijom, jednom rotacijom i jednom istom

deformacijom.

SdSSrrr

+= 0

Neka je ( ) ( ) ( ) ( )kzyxwjzyxvizyxuzyxSrrrr

,,,,,,,, ++=

dzz

Sdy

y

Sdx

x

SSd

+

+

=

rrrr

ili u matrinom obliku


19/109


17

{ } { }drdz

dy

dx

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

ds S=

= S funkcionalna matrica

( ) += SSS2

1s simetrini deo funkcionalne matrice

( )+= SSS2

1k kososimetrini deo funkcionalne matrice

=

+

+

+

+

+

+

= E

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

s

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

S matrica tenzora relativne deformacije

=

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

kS matrica tenzora rotacije

Tako se vektor Sdr

deli na dva dela:

{ } { } { } += defks dSdrdrdS ;SS

odgovara istoj deformaciji{ } { } { }+= rotrotdef dSdSdSdS ; odgovara istoj rotaciji

Potraimo Srotr

+

+

=

==

y

u

x

vk

x

w

z

uj

z

v

y

wi

wvuzyx

kji

SSrotrrr

rrr

rr

;2

1krjqipSrotrrrrr

++==

=

=

=

y

u

x

vr

x

w

z

uq

z

v

y

wp ,,

Sada je

=

0

0

0

pq

pr

qr

kS

=

=

rrr

rrr

dtdtv

dtv /

rd

dt

Sddtv rot

rr

rr

rr

=

=

=

rdSd rotrrr

=


20/109


18

{ } ( )rkrotqdzpdy

pdzrdx

rdyqdz

dzdydx

rqp

kji

dS S=

==

rrr

18.Veza izmeu devijatora napona i devijatora deformacija

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

DEED

ED

GGkkG

kGkG

vvv

vv

23

2313

12

312;3

2 11

=

=

++=

=+==

III

IISN NN

( ) ( ) DD G2=

=

srzyzxz

zysryxy

zxyxsrx

srzyzxz

zysryxy

zxyxsrx

G

2

1

2

1 2

1

2

12

1

2

1

2 ( )kk

+=

+=+ 1

21

32131

( ) vkv EkG =+= 11 ,12 NN ( )( )

+=

+= 12

12GE

EG

Drugi Hukov zakon: ( )IN vkG += E2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

Skdivz

w

y

w

z

v

x

w

z

uy

w

z

vSkdiv

y

v

x

v

y

u

x

w

z

u

x

v

y

uk

x

u

G

v

zyzxz

zyyxy

zxyxx

r

r

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

1

2 Sdivvr

=

zxxzz

zyyzy

yxxyx

x

w

z

uGSkdiv

z

wG

y

w

z

vGSkdiv

y

vG

x

v

y

uGSkdiv

x

uG

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

;2

;2

;2

r

r

r


21/109


19

19. Sverni tenzor napona i devijatorski deo

( ) ( ) max32113

1

3

1

3

1 ==++=++== srzyxp N

( )

=

p

pp

S ( )

=

p

pp

zyzxz

zyyxy

zxyxx

D ( ) ( ) D+= SN

3

1

23

3

2

1

2

12

2

32111

27

1

3

1

933

3

N

NN

N

===

===

++===

srpS

pS

pS

( ) ( )

DD ==

++=

=++=

det

0

3

2

1

D

D

D

pyxy

yxpx

pzxz

zxpx

pzyz

zypy

pzpypx

20. Morovi krugovi napona za prosto stanje naprezanja

( ) ( ) ( ) ++

++=

+++++=

++=+=

)3)2)1

///1)3

///)2

)1

213132

222

213132

22

3

22

2

22

1

22

3

22

2

22

1

222

n

nnnp

( ) ( )( )32321212323222 ++=+++ nnn


22/109


20

( )( )0

22

3121

2

2

32

2

32

2

+

+

=

nn

;321

2 10

>>

;

022

2

322

2

321

+

+

nnk

( ) ( )( )31312222313122 ++=+++ nnn

( )( )0

22

3212

2

2

31

2

31

2

+

+

=

nn

; 022

2

312

2

312

+

+

nnk

022

2

212

2

213

+

+

nnk

( )

( )

{ }

=

+>

dxdyy

w

x

wdx

x

w

xdy

x

wdyzd

2

2

=

+

=

dxdyy

wdy

y

w

yy

wdx

y

wdxzd

2

2

=

+

=

q

yw

xw =

+

2

2

2

2

(*) =>

cq

wqdxdydxdyy

w

x

w===+

+

0

2

2

2

2

Na konturi nema ugiba membrane pa je: 0),( =kw

Dakle primeujemo potpunu analogiju naponske funkcije uvijanja vratila (x,y) i ugiba membrane

w(x,y) kada je povrina membrane jednaka poprenom preseku vratila.

To znai merenjem ugiba, nagiba tangente i zapremine membrane u deformisanom poloaju, moemo

posredno nai naponsku funkciju, tangencijalne napone i moment uvijanja.


36/109


34

w(x,y) (x,y)

x

wtg

=

xzy

=

y

wtg

=

yzx

=

=A

dxdyyxwV ),(22 Mt= A

dxdyyx ),(2

Sen Venanov princip o lokalnim naprezanjima

Kada se raspodeljena sila zameni statiki

ekvivalentnim optereenjem (koncentrisana sila),

javljaju se lokalna naprezanja koja brzo opadaju sa

udaljenjem od zone kontakta.To znai, da ako nas interesuju naponi i

deformacije u zoni dovoljno udaljenoj od mesta gde

deluje optereenje, moemo slobodno to optereenjezameniti njegovim statikim ekvivalentom.

Sen Venanov princip glasi:

Kada se u ma kom delu deformabilnog tela

doda sistem suprotnih uravnoteenih sila ekvivalentan

datom sistemu podijim dejstvom posmatramo stanjenapona u telu, onda su u neposrednoj okolini tog

mesta izaziva totalno naprezanje iji naponi naglo

padaju udaljavanjem od mesta dodavanja sistemasuprotnih sila.


37/109


35

Teorija plastinosti

Usluvi plastinosti (teenja)Posmatrajmo primerPrantlovog tela to je telo koje se ponaa kao Hukovo idealno elastino telo sve

dok normalni napon ne pree granicu teenja t, a kada je >t, ponaa se kao Sen Venanov idealnoplastini materijal(normalni napon je konstantan u toku teenja).

Ukupna dilatacija jednaka je zbiru elastine

dilatacije ZH i dilatacije pri plastinom teenju ZSpa je

brzina totalne dilatacije ZZZSZHZE

+=+=1

Taku teenja odreuju napon teenja i dilatacija pr

kojoj poinje teenje. Napon teenja se odreuje

uvoenjem neke od hipoteza o plastinom teenju.

Uslovi koji karakteriu prelaz materijala iz stanja elastinosti u stanje plastinog teenja nazivaju seuslovi teenja ili uslovi plastinosti. Za izotropno telo ti uslovi u svakoj taki napregnutog tela moraju bit

simetrini funkciji glavnih napona f(1,2,3)=k=const

k konstanta materijala povezana sa granicom teenja materijala.

Ovaj uslov se moe izraziti preko invarijanti matriceNf(N1,N2,N3)=f(P,N2,N3)=k.Poznato je da je uticaj srednjeg pritiskaP=1/3N1 zanemarljiv i da utie samo na promenu zapremine

pa se uslovi teenja kojima se menja oblik mogu izraziti preko skalara matrice devijatora tenzora napona

f*(D

()2,D

()3)=k.

Ovako izraen uslov teenja, u sistemu koordinata koje odreuju glavne napone 1,2,3 pretstavlja

cilindrinu povr sa osom simetrije u oktaedarskom pravcu, zaklapa jednake uglove sa svim osama i normalaje oktaedarske ravni, koja se jo naziva i devijatorska ravan.

Trag te cilindrine povri na devijatorsku ravan je kriva teenja.

Ona mora biti:

1. Simetrina u odnosu na projekcije osa 1, 2, 3;2. Simetrina u odnosu na normale tih osa.???? b

se pri promeni znaka napona takoe ima isto

stanje teenja;

3. Ispupena kriva;4. Prolazi kroz est taaka na osama 1, 2, 3

A1,A2,....,A6 jer su glavni naponi u izotropnomtelu jednaki, a granice teenja pri istezanju i

kompresiji su iste.


38/109


36

Uslov postojanja najveeg tangencijalnog napona

- Uslov Treska Sen Venan Ispitujui teenje metala kroz otvore. Francuski inenjerTreska je izrekao pretpostavku da je u stanju

teenja, u svim takama sredine maksimalni tangencijalni napon konstantan i iznosi 1/2 sr. Sen Venan je

dao matematiku formulu ovog stava |2I|=|2-3|sr; |2II|=|3-1|sr; |2III|=|1-2|sr (*)

U stanju elastinosti svi ovi uslovi su zadovoljeni sa znakom


39/109


37

Fotoelastinost

Polarizacija svetlostiMonohromatska svetlost se sastoji od svetlosnih zraka koji osciluju u raznim ravnima, ali uvek

upravno na pravac prostiranja tog zraka.

Ako se na put takvog zraka postavi polarizator samojedna komponenta ovih oscilacija e se preneti, i to

ona paralelna sa osom polarizatora a intenzitet kroz

polarizatorIp=1/2I0.

Ako se iza polarizatora postavi analizator moese analizirati proputen svetlosni zrak

IA=Ipcos2.

Gaenje svetlosnog zraka nastaje kada su ose

polarizatora i analizatora ortogonalne.

Pri prolasku svetlosti kroz optiki anizotropan kristal (ili po prirodi izotropan providni materijal podoptereenjem), osim polarizacije svetlosti, nastaje i dvojno prelamanje.

Postoje tri stanja polarizovane svetlosti:

1. Linearno polarizovana svetlost ije se oscilacije izvode u jednoj ravni2. Eliptino polarizovana svetlost koja se moe pretstaviti dvema ortogonalno linearno polarizovanim

komponentama sa razliitim proizvoljnim fazama i amplitudama. Vrhovi vektora lee na cilindrinoj

povrini koja ima presek elipsu. U specijalnom sluaju, ako je, povr kruni cilindar svetlost je:

3. Kruno polarizovana (iste amplitude i faze, razlika 90)


40/109

S.Koci} Teorija elastinosti usmeni

- 38 -

Neka upadni zrak ima brzinu vu i indeks

prelamanja nu. Nakon prolaska kroz optiku

anizotropnu sredinu (izazvanu naprezanjem)

dobijaju se dva zraka:

1. Redovnivr=vu; nr=nu2. Neredovnivrvu; nrnu

Pri polarizaciji i dvojnom prelamanju vae zakoni:Kvalitativni Pravci glavnih normalnih napona 1 i 2

(tj.pravci (1) i (2)) se poklapaju sa trasama ravni oscilovanja

redovnog i neredovnog zraka v1 i v2.

Kvantitativni Promena indeksa prelamanja

propocionalna je razlici glavnih napona

odnosno glavnih dilatacija n1-n2=C(1-2)=K(1-2)

K koeficient optike dilatacije

C naponsko optiki koeficijent

Polariskop

Pod polariskopom podrazumevamo sistem ureaja koji sadri:

Polarizator Analizator Dve etvrttalasne ploice sa ureajima za okretanje kojima se odreuje dispozicija za kruno ili linearno

polarizovanu svetlost

Soiva za fiksiranje zraka na model Ureaje za pomeranje du ose apareture Naprave za registraciju fotoelastinog efekta

Polarizator je telo koje prevodi obinu svetlost u polarizovanu. Za posmatranje efekata polarizovane

svetlosti koristi se isto takvo telo analizator.

Neka jeI0 intenzitet izvora svetlosti. Kroz polarizator prolazi svetlost intenziteza 1/2I0, ovo je teorijski a

u stvarnosti se to teko postie. Zato se uvodi koeficijent redukcije k1=0.7-0.8. Ip=1/2k1I0

Kroz analizator prolazi svetlost iji intenzitet zavisi od ugla izmeu osa analizatora i polarizatora.

IA=k2Ipcos2

Prema vrsti polarizatora, polariskopi mogu biti:

1. Prolazni polariskop model je izmeu polarizatora i analizatora i prozraen je samo jedanput2. Refleksivni polariskop ogledalo je iza modela (polarizator je istovremeno analizator) a zrak se dva

puta proputa kroz model. Osetljivost je vea, ali se gubi na intenzitetu svetlosti pri refleksiji.


41/109


- 39 -

Linearni polariskop

Svetlost polazi iz izvora svetlosti i po prolasku kroz polarizator ona je linearno polarizovana

vp=a0sint

Nakon prolaska kroz providan model koji je napregnut (pravci glavnih napona 1 i 2 su (1) i (2)) vri se

dvojno prelamanje i izlazi eliptino polarizovana svetlost koja se sastoji iz dva ortogonalna talasna fronta (u

pravcima glavnih napona). v1=a0sinsin(t+) i v2=a0cossint koji se razlikuju u fazi za =2 (za =90

svetlost je kruno polarizovana). =R/=d/(nr-np)

Po prolasku kroz model, komponente v1 i v2 nailaze na analizatorija je osa zaokrenuta u odnosu na

polarizator za ugao 90-. Analizator proputa samo onaj deo komponenti v1 i v2 koji se poklapa sa pravcem ose

analizatora: vA=v1cos(-)-v2sin(-)

vA=a0[sincos(-)cos-cossin(-)]sint+a0[sincos(-)sin]costNajee su optike ose P i A ukrtene (pod uglom od 90) pa je =0

vA=a0[sincoscos-cossin]sint+a0[sincossin]cost

Ako doe do poklapanja osa polarizatora i analizatora sa pravcima glavnih normalnih napona (=0)

dolazi do gaenja svetlosti vA=0 => IA=0

U svim takama modela gde se pravci glavnih normalnih napona poklope sa pravcima osa P i A

intenzitet svetlosti I=0 tj. pojavljuju se tamne linije i tamna polja (bez obzira na ugao faznog kanjenja ).

Snopove ovih linija nazivamo izokline.

Izokline su geometrijsko mesto taaka modela gde su pravci glavnih napona u pravcima osa polarizatora

i analizatora.

Do zatamnjenja moe doi i kada je sin =sin2=0 je ceo broj, i tada se na polju analizatora

javljaju zatamnjenja u svim takama, ona se ne pomeraju obrtanjem osa P i A tj.promenom . To je onda kada

nema kanjenja u fazi.Obrtanjem (zajedno) P i A tj. promenom javljaju se nove tamne linije i zatamnjenja izokline se

pomeraju. Familije izoklina ine mapu izoklina. Iz mape izoklina mogu se dobiti dve familije ortogonalnih

krivih trajektorijeglavnih napona koje su pogodne za korienje jer su glavni naponi tangente.

Ako trajektorija pravi veliku krivinu tj. ima mali radijus (njoj odgovara prva izoklina), normalni napon,

upravan na nju se brzo menja.

Ako je trajektorija prava linija, normalni napon upravan na nju je konstantan.

Glavni normalni naponi padaju u pravcu tangente i normale na konturi pa za????????( svaku njenu

taku) koja i to: taki izlazi na ???????????????????????????????????????????????????????????????????.


42/109


- 40 -

Kroz singularne take prolazi vei broj izoklina jer su pravci 1 i 2 neodreeni (1=2=0). One se

prepoznaju po tome to se obrtanjem kruto spojenih P i A ukrtenih osa izoklina pomera, ali uvek prolazi kroz

tu taku. Singularne take su retko u unutranjosti najee na konturi.

Promena mapa izoklina (obrtanjem P i A) nastaje zbog toga to se gube jedne a, javljaju se druge

izokline jer se javljaju nove take gde su pravci 1 i 2 u pravcu osa P i A.

Oblik izokline kroz datu taku ne zavisi od intenziteta optereenja, ve od vrste optereenja i oblika

konture ploe.Ve je naglaeno da do gaenja svetlosti dolazi i kada je, pri ukrtenim osama sin=0. ovako dobijene

tamne linije su izohrome.

Za =0 (ukrtene ose) =2 (=m red izohrome) (kanjenje izraeno u talasnim duinama) zavisi

od razlike indeksa prelamanja nr-nn pa i od razlike glavnih napona.

=d/(nr-nn)=> =m=d/ s(1-2); =1,2,...,m

Za celobrojno => sin=0, cos=1 pa se u tim takama svetlost gasi.

Za =/2 (paralelne ose) uslov gaenja svetlosti je cos/2=cos=0 to se deava u svim takama kada

je neparni umnoak1/2 =1/2(2m+1)=m+1/2 m=0,1,2,....

Izohrome su geometrijsko mesto taaka u kojima je konstantna razlika glavnih napona reda (m ili

m+1/2).

Singularne take su one gde je m=0 1=2=0 Izotropne take su one gde je m=0 1-2=0 1,20 1=2.

Izohroma koja prolazi kroz ove take je nulta izohroma.

Izohrome dobijene od monohromatske svetlosti su otro razgraniene tamne linije. Ako se koristi bela

svetlost, nulta izohroma je tamna a ostale su spektralne.

Odredivi red izohroma (polazei od nulte) moemo odrediti granicu glavnih napona (na konturi je 2

koji je normalan na =0 ako je kontura neoptereena, pa iz toga odreujemo drugi normalni napon 2) ako

znamo naponsko optiku konstantu 1- 2=sm/d.

s konstanta; d debljina ploe. Ona se odreuje eksperimentalno.

Da li i kako utie intenzitet optereenja na mapu izoklina i izohroma ?

Promena intenziteta ne utie na mapu izoklina (ve samo promene tipa naprezanja), jer se glavni pravci

naprezanja ne menjaju.

To utie na mapu izohroma jer se menja broj izohroma sa promenom optereenja i one se pojavljuju na

izvorima izohroma a to su geometrijska mesta na konturi modela u kojima deluju sile.

Da li pomeranje para filtra analizatora i polarizatora u odnosu na model menja mapu izoklina iizohroma?

Obrtanjem uvrenog para polarizator analizator sa ortogonalnim optikim osama u odnosu na model

nastaju nove linije i zatamnjenja tj. izokline, to znai da se one pomeraju odnosno formiraju nove.

Mapa izohroma se ne menja, izohrome i singularne take na mapi izohroma se ne pomeraju.

Objasniti tri osnovna stanja polarizovane svetlosti.

Postoje tri stanja polarizovane svetlosti:

1. Linearno polarizovana svetlost ije se oscilacije izvode u jednoj ravni2. Eliptino polarizovana svetlost koja se moe pretstaviti dvema ortogonalno linearno

polarizovanim komponentama sa razliitim proizvoljnim fazama i amplitudama. Vrhovi vektora

lee na cilindrinoj povrini koja ima presek elipsu. U specijalnom sluaju, ako je, povr kruni

cilindar svetlost je:

3. Kruno polarizovana (iste amplitude i faze, razlika 90)


43/109


- 41 -

Osnovni zakon fotoelastinog efekta.

Osnovni zakon fotoelastinog efekta kae:

Relativna promena indeksa prelamanja proporcionalna je razlici glavnih dilatacija odnosno glavnih

napona. n1-n2=K(1-2)=C(1-2)

K dilatacijsko optiki element

C naponsko optiki elementPri prolasku svetlosnog zraka kroz optiki izotropni materijal za polarizaciju i dvijno prelamanje vae

dva zakona:

1. Kvantitativni: U nekoj taki optereenog optiki izotropnog materijala u prirodnom stanju pravciglavnih normalnih napona se poklapaju sa trasama ravni oscilovanja redovnog i neredovnog svetlosnog

talasnog kretanja usled prelamanja u toj taki.

2. Kvalitativni: U posmatranoj taki optereenog optiki izotroppnog materijala u prirodnom stanjurazlika indeksa prelamanja redovnog i neredovnog svetlosnog talasa je srazmerna razlici glavnih napona

(dilatacija) u toj taci. n1-n2=C(1-2)=K(1-2)

Kako se pomou fotoelastine metode vri analiza naponskog stanja?

Pomou ove analitike dobijamo dva podatka u svakoj taki optereenog modela: Pravce glavnih napona posretsvom izoklina i poloaja optikih osa analizatora i polarizatora i Razliku glavnih normalnih napona pomou reda izohrome koja prolazi kroz posmatranu taku optike

konstante ploe modela.

Za utvrivanje stanja napona ili deformacija potrbna su nam tri podatka za ravne probleme teorije

elastinosti. Jedan od moguih naina za dobijanje treeg podatka je odreivanje naponske invarijante pomou

????? dilatacije ili pomou merenja dilatacije u pravcu debljine ploe.

ta su izokline?

U svim takama modela u kojima se glavni pravci napona 1 i 2 poklapaju sa optikim osama

polarizatora i analizatora polariskopa (pri linearnoj polarizaciji) intenzitet promene svetlosti je jednak nuli.Javljaju se tamne linije. Snopove ovih linija nazivamo izokline.

Izokline su geometrijsko mesto taaka modela gde su pravci glavnih napona u pravcima osa polarizatora

i analizatora.

Polarizator i analizator mogu zajedno da se okreu ne menjajui meusobni poloaj.

Obrtanjem zajedno polarizatora i analizatora nastaju nove izokline koje se pomeraju.

Kroz izohromne i singularne take prolazi vei broj izoklina jer su glavni pravci naprezanja u tim

takama neodreeni.

Singularne take su one u kojima su glavni normalni naponi jednaki nuli 1=2=0.Izohromne take su one take u kojima su glavni naponi jednaki 1=2.Pomou mape izoklina moe se sastaviti mapa trajektorija napona. To su familije ortogonalnih krivih

ije su tangente glavni pravci naprezanja.

ta su izohrome?

Izohrome su geometrijska mesta taaka na modelu posmatrana u polju analizatora (tamno ili svetlo

polje) istih razlika glavnih napona. (1-2) reda m ili reda (2m+1)/2;


44/109


- 42 -

( ) ( ) ,...2,1,0,;

2

12

0;

2

21 =

=+

== m

m

d

s

md

s

Ako bi optike ose analozatora i polarizatora ukrtene pod pravim uglom (=0) dobija se tamno polje

analizatora i maksimalni intenzitet svetlosti je:

22

00maxsinaI =

=.

U svim takama u kojima je kanjenje svetlosti celobrojno i neparno =0, 1, 3, ..., m( ) m

s

d== 21 maksimalni intenzitet svetlosti je jednak nuli.

Ako su optike ose analizatora i polarizatora paralelne (=/2) dobija se svetlo polje analizatora i

maksimalni intenzitet svetlosti je:

22

02

max cosaI == .

U svim takama u kojima je zakanjenje neparan broj polovina +

=2

12,...,

2

5,

2

3,

2

1 m

( )2

1221

+==

m

s

d , maxIje jednako nuli.

Ako su u nekoj taki optereenog modela oba glavna napona jednaka nuli, tu taku nazivamosingularnom, m=0.

Ako oni imaju u nekoj taki iste vrednosti, razlika glavnih napona je jednaka nuli i m=0 tu takunazivamo izotropnom.

Kada se koristi bela svetlost izohrome su razliitih boja (prva je tamna).Kada se radi sa monohromatskom svetlou sve izohrome su iste.Izohrome i singularne take su uvek tamne i ne pomeraju se sa pokretanjem polarizacionih filtra.


45/109

Kombinacije ispitnih pitanja iz

Teorije oscilacija1.

1) Horizontalni i vertikalni oscilator

2) Horizontalna konzola AB poduprta je.....

3) Oscilacije reduktora

4) Koijeve funkcije

2.1) Fiziko klatno

2) Prinudne oscilacije sistema sa vie stepeni slobode

oscilovanja

3) Granini uslovi za sluaj malih transverzalnih

oscilacija

4) Trogubo fiziko klatno

3.

1) Slaganje ortogonalnih sinhronih oscilacija

2) Osobine inercijskih i kvazielastinih koeficijenata

sistema

3) Oscilacije vozila

4) Dalamberovo reenje problema treperenja ice

4.=34.

1) Sloiti oscilacijex=2cost y=2sin2t

2) Teorija stabilnisti

3) Male poprene oscilacije koncentrisanih masa na

lakoj homogenoj gredi

4) Longitudinalne oscilacije prizmatinih greda

5.

1) Slaganje sinhronih kolinearnih oscilacija

2) Torzijske oscilacije vratila sa dva diska

3) Male oscilacije sa suvim trenjem

4) Trogubo fiziko klatno sastavljeno od jednakoh

tapova. Napisati diferencijalnu jednainu i odrediti

glavne oblike oscilovanja

6.

1) Funkcija rasipanja

2) Frekfentna jednaina torzijskih oscilacija lakog vratila

sa diskovima

3) Dvogubo matematiko klatno

4) Dalamberovo reenje problema treperenja ice

7.

1) Horizontalni i vertikalni oscilator sa i bez podloge

2) Frekventna jednaina torzijskih oscilacija lakog

vratila sa diskovima ukljetenog na jednom i slobodnog

na drugom kraju

3) Oscilacije vozila4) Ortogonalnost sopstvenoh fuhkcija transverzalnih

oscilacija ice

8.

1) Uticaj male opruge na krunu frekvenciju oscilatora.

Redukcija masa i krutosti

2) Sloeno matematiko klatno

3) Uticaj iroskopskog efekta na kritine brzine

brzohodnih vratila

4) Transverzalne oscilacije homogene prizmatine grede

9.

1) Modulacija. Podrhtavanje i bijenje

2) Sloeno fiziko klatno

3) Kritine brzine horizontalnog brzohodnog vratila

4) Transverzalne oscilacije krunog vratila

10.

1) Kotrljajno klatno

2) Dinamiki apsorber

3) Oscilacije vozila

4) Frekventna jednaina torzijski oscilacija kontrolnogvratila sa diskom na slobodnom kraju

11.

1) Sloiti oscilacije tx 2sin21 = ,

+=

32cos42

tx ,

+=

3

22cos22

tx

2) Primena trigonometrijske metode na oscilacije

jednostrano vezanog lananog sistema

3) Kritina brzina horizontalnog vratila

4) Frekventna jednaina i sopstvena frekvencijatransverzalnih oscilacija obostrano ukljetene homogene

prizmatine grede

12.=13.

1) Harmonijsko pravolinijsko oscilovanje kinematike i

dinamike jednaine. Primena.....

2) Osobine inercijskih i kvazielastinih koeficijenata sistemsa vie stepeni slobode oscilovanja

3) Morijeva metida. Primena na sluaj proste grede koja no

5 jednakih tereta na meurastojanjima i rastojanjima od

oslonaca l/6

4) Jednaina transverzalnih oscilacija homogene ice14=?

15.=16.=33.

1) Male poprene oscilacije mase na struni

2) Primena trigonometrijske metode na torzijske oscilacije

lakog obostrano ukljetenog homogenog vratila sa jednakimdiskovima

3) Primena kompleksnih brojeva kod prinudnih oscilacija

4) Ortogonalnost normalnih funkcija za sluaj transverzaln

oscilacija homogene prizmatine grede

17.=35.

1) Masu konzole redukovati na njen slobodan kraj

2) Male oscilacije koncentrisanih masa na struni


4) Difer.j-na transverz.oscilacija homogene grede

18.

1) Poprene oscilacije na lakoj gredi AB raspona l

2) Inercijalni koeficijenti aii=4,3,2 aik=0 za ik c11=4, c22=

c33=2, c21=c12=c23=c32=1, c13=c31=0. Odrediti sopstvene

vrednosti, glavne oblike i koordinate

3) Sloeno klatno iz fizikog klatna oblika tapa mase 3M

matematikog mase M istih duina vezanih jedno za drugo

Odrediti oblike oscilovanja i sopstvene frekvencije

4) Longitudinalne oscilacije tankih tapova


46/109

19.=37.

1) Slaganje kolinearnih asinhronih oscilacija

2) Primena trigonometrijske metode kod obostrano

ukljetenog homogenog vratila sa jednakim diskovima

3) Oberbekovo simpatiko klatno sopstvene frekvencije

i glavni oblici oscilovanja. Zakon oscolovanja za date

poetne uslove 1=0, 2=1rad, 1= 2=0

4) Poetni i granini uslovi homogene prizmatine grede

sa jedne strane ukljetene a sa druge poduprte

20.=38.1) Sloena prinudna oscilacija, Furijeova metoda

2) Dvogubo fiziko klatno

3) Hurvicov kriterijum

4) Longitudinalne oscilacije obostrano ukljetenog

homogenog prizmatinog tapa

21.=39.

1) Prosta prinudna oscilacija sa otpornom silom

2) Frekventna jednaina obostrano vezanog lananog

sistema

3) Oberbekovo klatno sastavljeno od fizikog oblika

tapa i matematikog 3 puta manje mase ali iste duine

vezanih na krajevima oprugom krutosti c. Napisatifrekventnu jednainu i odrediti osnovne oblike

oscilovanja i frekvencija

4) Poetni i granini uslovi transverzalnih oscilacijahomogene prizmatine grede

22.=40.

1) Prosta prinudna oscilacija rezonanca i podrhtavanje.

Neka na materijalnu taku osim sile u opruzi deluje i

poremeajna sila po zakonu ( ) ( )= tFtF cos0 2) Male oscilacije koncentrisanih masa na struni

3) Oberbekovo simpatiko klatno

4) Diferencijalna jednaina longitudinalnih oscilacijahomogene grede

23.=41.

1) Prosta prinudna oscilacija bez otporne sile

2) Glavne i normalne koordinate3) Dvogubo fiziko klatno

4) Longitudinalne oscilacije tankih tapova

24.=42.

1) Amortizovano pravolinijsko oscilovanje

2) Glavne i normalne koordinate3) Oscilovanje masa na gredi kada su za njih pomou

opruga obeene druge mase

4) Kritina brzina vratila, Lavarov paradoks. Vertikalno

vratilo sa jednim diskom

25.=43.

1) Multifilarno klatno

2) Frekventna jednaina torzijskih oscilacija lakih vratila

sa diskovima


4) Jednaina transverzalnih oscilacija homogene ice

26.=44.

1) Torzijski (uvrtni) oscilator

2) Osobine inercijskih i kvazielastinih koeficijenata sistem

3) Oberbekovo simpatiko klatno

4) Primena Dinkerleove metode za nalaenje najnie

frekvence transverzalnih oscilacija homogenih nosaa

27.=45.

1) Matematiko kruno klatno

2) Male poprene oscilacije koncentrisanih masa na lakoj

homogenoj gredi, frekventna jednaina, matrica uticajnihkoeficijenata, dinamika matrica

3) Oberbekovo klatno sastavljeno od fizikog oblika tapa

matematikog 3 puta manje mase ali iste duine vezanih na

krajevima oprugom krutosti c. Napisati frekventnu jednain

i odrediti osnovne oblike oscilovanja i sopstvene frekvenci

4) Koijeve funkcije

28.=46.

1) Linearne oscilacije sistema sa vie stepeni slobode

oscilovanja nehomogeni lanci

2) Prosta prinudna oscilacija bez prinudne sile

3) Ispitati stabilnost polinomax3+5x3+10x2+10x+4=0

4) Koijeve funkcije29.

1) Sloene prinudne oscilacije. Lagraneva metoda varijaci

konstanti2) Frekventna jednaina jednostrano vezanog lananog

sistema

3) Oscilacija masa na gredi kada su za njih pomou opruga

obeene druge mase

4) Dalamberovo reenje problema treperenja ice30.

1) Rajzepova metoda energije

2) Male oscilacije homogenog konzervativnog sistema sa

vie stepeni slobode oscilovanja. Matrina metoda3) Sloeno matematiko klatno. Trogubo klatno

4) Ortogonalnost normi frekvencija ice

31.

1) Sprezanje opruga, vrste, krutosti ekvivalentne opruge

2) Ortogonalnost glavnih oscilacija

3) Sloeno matematiko klatno. Dvogubo klatno

4) Bernulijeva metoda parcijalnog integrala za problem

oscilacija homogene ice

32.

1) Prosta prinudna oscilacija, rezonanca i podrhtavanje

2) Male oscilacije koncentrisanih masa na struni

3) Oberbekovo simpatiko klatno4) Diferencijalna jednaina transverzalnih oscilacija

homogene grede


47/109

S. Koci} Oscilacije 1. pitanje

1

1. Horizontalni i vertikalni oscilator sa i bez podloge

Horizontalni oscilator

xc cF = ,2

2

1xmEk &= ,

2

2

1cxEp = , uAEp == ,

p

xx

c EcxcxxdxcdxFAd ===== 22

002

1

2

1, 0=

+

x

E

x

E

x

E

dt

d pkk&

, 022

102

2

1=+

xcxm

dt

d&

0:/0 =+=+ xm

cxmcxxm &&&& ,

m

c=2 , ( ) tBtAtx sincos += , ( ) ( ) 00 0,,,00 xxxxt && ===

( ) ( ) tBtAtx cossin +=& , ( ) 00/sincos0 xAtBtAx t =+= = ,

( ) 0

cossin0

x

BtBtAx

&

& =+= , t

x

txx sincos

0

0

&

+= --- Zakon oscilovanja

Smena: 00 cosRx = , 00 sin

Rx

=&

, ( )00 sinsincos ttcocRx = , ( )0cos += tRx ,

1

22

=

+

R

x

R

x &, Poto je kretanje konzervativno vai zakon o odranju mehanike energije:

00 pkpk EEEconstEE +===+ , constcxxmcxxmE =+=+=2

0

2

0

22

2

1

2

1

2

1

2

1&&

( ) ( ) 2222222 cos2

1sin

2

1cos

2

1sin

2

1cRmRRcRmE +=+=

mc=2 , c=const, 22222

21cos

21sin

21 cR

mccR

mcmRE =+=

constRmE == 222

1


48/109


2

Vertikalni oscilator2

2

1zmEk &= , mgzczEp +=

2

2

1,

dt

d0=

+

z

E

z

E

z

E pkk&

022

1022

1

=+

mgzczmdt

d, 0=+ mgczzm && , mmgczzm :/=+&&

gzm

cz =+&& --diferencijalna jednaina (nehomogena),

m

c=2

( )2

cos

g

tBsimtAtz ++= , ( ) ( ) 0,00 00 === zzt & ,

220cos

gA

gtBsimtA ==++

( ) ( ) 00cossin ==+= BtBtAzt&

( )tgg

t

g

z cos1cos 222=+=

, c

mg

m

c

gg

ys===

2

2

12

1zmEk &= , zyz s =+1 , ( ) 1

2

1

2

2

1mgzyzczE sp += ,

dt

d0

111

=

+

z

E

z

E

z

E pkk&

,

( ) 022

102

2

111 =++

mgyzczm

dt

ds

& , ( ) 011 =++ mgyzczm s&& , 011 =++ mgcyczzm s&&

011 =++ mgc

mgcczzm && , mczzm :/011 =+&&

011 =+ z

m

cz&& --Diferencijalna jednaina (homogena) (svodi se na horizontalni oscilator),

m

c=2

2.Fiziko klatno

SCO = , 202

1&JEk = , J0=Jc+Ms

2, ( )sMgmghEp cos1==

2

02

1&JEk = ,

2

2

1MgsEp =

02

=+ && , 20

2

MsJ

Mgs

J

Mgs

c+== , rc l

g

ss

i

g

=+

= 22

M

Jic

02 = , ss

il cr +=

2

-- redukovana duina klatna

0=ds

dlr , 012

2

=+s

ic , s=ic, lr min=2ic,ci

g

2

2 = ,g

iT c

22

min=


49/109


3

Ako nanesemo redukovanu duinu od 0 po pravcu CO dobijamoH. On pokazuje gde treba skupiti svu masu

Mda dobijemo matematiko klatno.

Nagnuto fiziko klatno2

2

1

&nk JE = ,

cos22

1 2

1 MgslMgEp == , l1=l1cos,

0cos =+ MgsJu && ,rl

g=2 ,

cosMs

Jl ur =

3. Slaganje ortogonalnih sinhronih oscilacija

( )1cos += tax , ( )2cos += tay , ( ) ( )111 sinsincoscoscos ttatax =+= ( ) ( )222 sinsincoscoscos ttbtay =+= , 11 cosaA = , 12 sinaA = ,

21 cosbB = , 22 sinbB =

=

=

t

t

sin

cos122 =+

221 / BAAx = , ( )221 / ABBy = ,

212122

22212

22212ABBAyAxB

BAAByA

BABAxB=+

+=

=,

1212

22

BAAB

yAxB

=

121 / BAAx=

, ( )121 / ABBy=

121211

12111

12111BAAByAxB

ABAByA

BABAxB=+

+=

=,

1221

11

BABA

yAxB

= , 122 =+

1

2

1221

11

2

1212

22 =

+

BABA

yAxB

BAAB

yAxB, ( ) ( ) ( )21221

2

11

2

22 BABAyAxByAxB =+ ,

2

1

2

22121

2

2

2

1

22

111

22

1

22

22

2

2 222 BABBAABAyAxyABxByAxyABxB +=+++ ,

( ) ( ) ( ) ( ) 02 2122122112222122221 =+++++ BABAxyBAAByAAxBB

0222 =+ DcxyByAx ,BA

ctg

=

22 ,

( )2

2

2

1

2

2

2

1

221122AABB

BABAtg

+

+= ,

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

22

1

22

2

22

2

22

2121

2

1

2

1

2

2

2

2

2121

sincossincos

sinsincoscos2

sincossincos

sinsincoscos22

aabb

ab

aabb

babatg

+

+=

=+

+=

( )22

21cos22ab

abtg

=

, 1

2

1

2

2

1

2

=+b

y

a

x-- elipsa.


50/109


4

4. Sloiti oscilacijex=2cost, y=2sin2t

2coscos2

xttx == , ttty cossin222sin2 =

( ) 2414coscos142

2 xx

tty == ,2

2

44

4

2 xxx

x

y =

=

( )ttyx 2222 cossin4 +=+ , 422 =+ yx -- krug

5.Slaganje sinhronih kolinearnih oscilacija

( )1111 cos += tAx , ( )2222 cos += tAx

( ) sinsincoscossinsincoscos21 tBtBtAtAxxx t +=+=

( ) [ ] [ ] tBAtBAx t sinsinsincoscoscos ++= coscoscos BAR += , sinsinsin BAR +=

( ) tRtRx t sinsincoscos = , ( ) ( )+= tRx t cos ,

coscos

sinsin

BA

BAtg

++=

( ) ( )222 sinsincoscos BABAR +++= , ( )++= cos2222 ABBAR Za sluaj n kolinearnih sinhronih oscilacija:

( )+= tAx ii cos , ( ) ( ) ( )iiitit ttAxx sinsincoscos == ,( ) = iiiit AtAtx sinsincoscos , ( ) ( )+= tRx t cos

= coscos RA ii , = sinsin RA ii , constA

Atg

ii

ii ==

cos

sin

( ) ( )222 sincos += iiii AAR , = =

+=n

i

n

i

jijijiji AAAAR1 1

2sinsincoscos

( )= =

=n

i

n

i

jijiAAR1 1

2 cos

6.Funkcija rasipanja

0=

+

q

E

q

E

q

E

dt

d pkk&

-- konzervativno kretanje, q generalisana koordinata,q

E

q

uQ

p

=

=

*Qq

Eq

Eq

Edtd pkk =

+

&--nekonzervativno kretanje

Q*

- generalisana nekonzervativna sila za koordinatu q

( )q

qqQ

&

&

=

,* , ( )qq &, --funkcija rasipanja po Relnu

0=

+

+

qq

E

q

E

q

E

dt

d pkk&&

-- Za sluaj slabe oscilacije


51/109


5

dtd

k xmE = /2

1 2& , 2

2

1cxEp = ,

2

2

1xb&= , xxm

x

Ek &&&

=

/ , xcx

x

Ep&=

/ , xxb

x&&

&=

/

kk Exm

x

Ex 2==

&

&& ,

dt

dExcx

x

Ex

pp ==

&& , ==

22xb

x

Ex

p&

&&

xxx

E

x

E

x

E

dt

d pkk &&&

=

+

+

/0 ,

xx

x

Ex

x

E

x

E

dt

dx

pkk

&

&&

&

&

=

+

( )kkkkk

E

k Edt

dx

x

Ex

x

E

x

E

dt

dx

x

Ex

x

Ex

dt

d

k

2/

2

=

+

+

=

&&

&&

&&&

43421&

&

( ) ( )

( ){

( ) kkkE

dt

d

k

kkk

kkk

Edt

dE

dt

dE

dt

dxmxE

dt

d

xmxEdt

dx

x

E

x

ExE

dt

dx

x

E

x

E

dt

dx

k

===

=

=

+

=

22

22

122

&&&

&&&&&

&&&&

&

dtdk xmE = /2

12& , xxmxxmE

dt

dk &&&&&& == 22

1

( ) ==+=+ 2Edt

dEE

dt

dE

dt

dE

dt

dpkpk --harmonijsko nekonzervativno kretanje

22

2

1mREk = , 0=

dt

dE, dtdxxxbcxxm &&&& /0=++ , 0=++ dtxxbcxdxdtx

dt

xdm &&&

&,

=+ /2dtxbcxdxxdxm &&& , =+

t t t

dtxbcxdxxdxm0 0 0

2&&& , 020


52/109


6

mfm

c

m

c

3

1*2

+== ,

c

mfm

T 3

1

22

+==

Redukcija masay=yk, .........

2

2

1

1 ====k

k

a

y

a

y

a

y, i

i

kk y

a

ay = , ik y

i

ky &&

=

2

2

2

111

2

2

1

2

1

2

1

2

1

ke

k

n

i

ik

n

i

i

n

i

iik

ym

yk

imy

k

imymE

&

&&&

=

=

=

==

===

2

2

1kp cyE = ,

mc

c=2 ,

=

=

n

i

ie mk

im

1

2

Redukcija opruga

n

n

k

k

a

y

a

y

a

y

a

y==== .....

2

2

1

1 , kk

iii

i

kk y

a

ayy

a

ay ==

i

i

kk y

a

ay && = , 2

2

1kk ymE &= ,

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

ycya

y

cycE e

n

ik

k

i

i

n

iiip

=

==

== , =

=

n

i k

i

ie a

a

cc 1

2

, m

ce=2

8. Modulacija. Podrhtavanje i bijenje

Harmonijsko oscilovanje moe biti sa promenljivom i konstantnom amplitudom.

1. sa promenljivom amplitudom:

AmplitudaR(t) moe biti opadajua ili rastua. Oscilacije e biti monotono opadajue (priguene) ili rastue(pojaane). R(t) period modulacije, m frekventna modulacija


53/109


7

( ) [ ]( )

ttbax stR

nt coscos 44 344 21+= ,

m

T

2= , s kruna frekvenca oscilacije, b prirataj modula,

=b/a stepen modulacije

( ) ( ) ( )[ ]444444 3444444 21

43421

oscilacijeDopunske

smnm

Osnovne

st ttb

tax

_

coscos2

cos +++=

2. sa konstantnom amplitudomPostoje monotono rastue i opadajue, frekventno su modularneako je s(t)oscilatorna funkcija.

Podrhtavanje i bijenjeUdari i podrhtavanje nastaje kada su krune frekvence 2

asinhronih kolinearnih oscilacija 12.

Njihov zbir jex(t)=R(t)cos(t).

( ) ( )dt tabbaR ++= 022 cos2 ,

m0t= 1-2, d=1- 2Amplituda se menja sa frekvencijom y to je vrlo malo.

2=T -- period udara je daleko vei od perioda oscilacije

( )tsrt ++

+=2

21 ,2

22

2R

bzdsr

+== & , ( )( )tRf= -- kruna frekvenca

Ovo su amplitudno i frekventno modularne oscilacije.

9. Kotrljajno klatno

x

co

x

e==cos , cosex = , 2

2

1ppk JE = ,

&=p , MpcJJ cp2+= , eRpc = ,

( ) MeRJJ cp2

+= , MghEp =

( )( ) ( )( ) 222222

1

2

1 && eRiMMeRJE cck +=+=

( )2

2

2

1

42cos1cos

eeeeeh ===

22

2

1

2

1 MgeeMgEp == , 0

2 =+ && , 0=

+

pkkEEE

dt

d

&

( )( ) 022

102

2

1 22 =++ MgeMeRJdt

dc

& , ( )( ) 02 =++ MgeMeRJc &&

( ) ( )22 /0 eRiMMgeeRiM cc +=++ && , ( )( )0

22=

++

eRiM

Mge

c

&&


54/109


8

( ) ( ) rcc lg

e

eRi

g

eRi

ge=

+=

+=

2222

2 -- kruna frekvenca, lr redukovana duina klatna

( )g

l

ge

eRiT rc

22

222

=+

== -- period oscilacije

Uopteno klatno2

2

1ppk JE = , vc=vc, ( ) prrR = & , &

r

rRp

=

MrJMcpJJ ccp22 =+= , ( ) 2

2

2

2

1&

+=

r

rRMrJE ck

Ep=Mgh, ( ) ( ) ( ) ( )22

2sin2cos

2 rRrRRRrRh ==

( ) 2

2

rRMgEp = , 0=

+

pkkEEE

dt

d

&

( ) ( ) 022

102

2

1 22

2 =+

+ rRMg

r

rRMrJ

dt

dc

&

( ) ( ) 02

12

2 =+

+ rRMg

r

rRMrJc && , 0

2 =+ &&

( )

( )

( )

( ) ( ) 222

2

22

2

2

2

1r

rRri

g

r

rRriM

rRMg

r

rRrJ

rRMg

ccc

+

=

+

=

++

= ,

( ) rcl

g

rRr

i

g=

+

=

12

2

2

g

lT r

2

2== , ( )

2

2

1,r

ikkrRl cr +==

10. Sloiti oscilacije x1=2sin2t, x2=4cos(2t+/3), x3=2cos(2t+2 /3)

( )32sin2cos22

32sin

2

12cos4

3sin2sin

3cos2cos4

32cos42 tttttttx =

=

=

+=

( )32sin2cos23

2sin2

12cos2

3

2sin2sin

3

2cos2cos2

3

22cos22 tttttttx =

=

=

+=

tttttxx 2cos42sin322cos22sin322cos22 23 =++=+ ,2

1 2sin2

1

= tx

( )1

4

2

22cos2

4

1

2sin4

2

32

2

1

22

32

22

1

=

+

+

=

=xxx

txx

tx


55/109


56/109


10

Za 00 cosRx = ( ) ( )000 cossin == tRtxR

x&.

Harmonijska oscilacija je zbr dve kolinearne harmonijske oscilacije istih razliitih amplituda (/2).

tRctRmxmEk 222222 sin

2

1sin

2

1

2

1=== & , ( ) 2

0 2

1cxdxcxAuEcxXF

x

pc =====

tRcEp 222 cos

2

1= , u funkcija sile, A izvreni rad, constcREEE pk ==+=

2

2

1

Primene kompleksnih brojeva za prikaz harmonijskih oscilacijaPoloajNu kompleksnoj ravni z=x+iy

( ) sincos iReRezz ii +=== , ( ) ( )iREziiE =+= sincos

( )dt

idERz

=& ,

( ) ( ) ( )

d

idE

dt

d

d

idE

dt

idE==

( )

+==+=

+

2cossin 2

iEei

iE i

( )( )( )

+=== iEeid

iEd isincos2

2

( )

+=

2

niE

d

iEdn

n

12. Male poprene oscilacije mase na struni

( ) 0coscos =

===

a

a

b

bFFxxm i &&

( ) ( ) yba

FtgtgFFyym i

+=+=+==

11sinsin &&

( )+= 1bb , ( )+= 1aa , tgsin , tgsin

0= yab

Flym &&

02 =+=+ ymyym

ly &&&& -- Harmonijsko oscilovanje sa

krunom frekvencom

ab

Flc = -- krutost opruge

gGab

Fl

m

c==2 ,

2=T


57/109


11

13. Masu konzole redukovati na njen slobodan kraj

( ) lzFzM Azf == M , ( ) zllzMfy ===B

( ) 12

2czlzdzlzy +== B

21

32

1

2

6

1

2

1

2czczlzdzc

zlzy ++=

+= B

000 2 === cyz , 000 1 === cyz

32

6

1

2

1zlzy =B ,

= 32

6

1

2

11zlzy

B,

BBBB

36

13

6

1

2

11 3332 lllllflz =

=

==

MMzz

ll

lll

M

dzzzlzzlll

M

dzl

zlz

l

M

dzf

y

M

lll

s

s

420

693

712

1

12

1

60

1

736

1

66

1

354

19

36

1

6

1

4

19

3

6

1

2

11

7652

6

3

0

63242

60

23

2

32

0

2

*

=

=

+

=

=

+=

=

= B

B

MM140

23* =

14. Sloena prinudna oscilacija, Furijerova metoda

Ako je silaF(t) periodina funkcija vremena (t), tada je razvijamo u Furijeov red.

( ) ( )

++=1

0 sincos2

tnbtnaa

tF nn , a0, an, bn koeficijenti,

=2

T --period promene sile

( ) ++=+ ntnhm

axx cos

2

11

02&& --diferencijalna jednaina bez otporne sile,m

bah

nn

n

22 +=

( )

+=1

2

0 cos2

nnp tncm

ax

--partikularno reenje

( )

++=

1

cossincos nn tnctBtAx --opti integral

( ) =++ ntnhxxx cos2 12&& -- diferencijalna jednaina sa otpornom silomOvo je diferencijalna jednainasloene prinudne oscilacije sa otpornom silom i prinudnom periodnom silom

perioda

=2

pT . ( )

=1

cos nnnp tnNx -- partikularno reenje


58/109


12

15. Slaganje kolinearnih asinhronih oscilacija

( ) ( ) 1111 coscos atax t =+= , ( ) ( ) 2222 coscos btbx t =+= ,22

babaa

+

+= ,

22

babab

+=

2221211

+

+= ; 22

21212

+= ; ( ) ( ) ( )212121 coscos2coscos2

++

+=+=

babaxxtx

2cos

2cos2

22cos

22coscoscos 21212121212121

+=

+

+

+=+

2sin

2sin2

22cos

22coscoscos 21212121212121

+=

+

+

+=

( ) ( ) ( )2

sin2

sin2

cos2

cos 21212121 +

+

+= babatx

( )2

coscos 21

+= baR , ( )2

sinsin 21

= baR ,

( )

++++=

++=

22cos

2cos 212121 tRRtx , sr=+

2

21 , ( ) ( )srsrtRtx += cos

22222

212121 dd tt

+=

+

=

, d= 21 , R=R(t),

( ) ( )

++=

+

+=

2sin

2cos2

2sin

2cos 21221222212

221222 abbababaR

( ) ( )ddabbaabbaR ++=++= cos2cos222

21

222 -- amplitude rezultujue oscilacije.

16. Prosta prinudna oscilacija sa otpornom silom

2

2

1xmEk &= ,

2

2

1cxEp = , ( )00 cos +=++ tFcxxbxm &&& ,

( )shqtBchqtAex th += , ( )ptBptAex th sincos +=

,

22 =q , 22 =p ,

( ) ( ) ( ) ( )+=+++= 000 cossincos tNtDtx tp ,

( ) cxxbxmxL ++= &&& , ( ) ( )00= tieFL , iyx += , { }eRx = , ( )

=z

NF

,

( ) ( ) ( ) ( )02 ++= icibimzi ,

m

Fh = ,

( ) ( ) ( ) 22222220

4 +=

+=

h

bmc

FN ,

( ){ }( ){ } 22

2

=

==

mc

barctg

zR

zIarctg

ie

im,

c

FhNs

0

2==

,

= ,

=

21

2

= arctg ,

( ) 2222 41 += s

NN ,


59/109


13

{ } ( ) == 0cos tNRx e ,( ) 220 41

1

++===

s

dd

N

N

N

N, ( ) ( ) 2222 41 += ,

( ) ( ) 02412, 222 =+= , 01 = , 22 21 = , 21 21 = ,

Za 021 2 > ,2

2 nema ekstremuma

( ) 222421/ 121

2144

12

=

+=

=d,

=

2pT ,

1

1/2

1

dd


60/109


14

17. Prosta prinudna oscilacija, rezonanca i podrhtavanje. Neka na

materijalnu taku osim sile u opruzi deluje i poremeajna sila po zakonu

F(t)=F0cos(t-)

Rezonanca( ) ( )( )00032 sinsincoscoscos +=+ tttcxx ,

= ,

Koristei Laplasovu teoremu:

( )( ) ( )[ ]

=

+

000

22

sinsincoscoscos tttd

d

dt

d

h

( )

=+ 0032 sinsin1

sin

2

ttth

xx

( )( )0020 sinsinsin2sincos +++= ttt

ht

xtxx

&

( ) ( )00 sinsin2

cos

=+= tQtth

tRx

2

22

10

2

4cos

lhRhRQ +++= --amplituda

2sin

cos

0

00 ht

R

Rtg

+= -- pomeranje faze

1


61/109


15

18. Prosta prinudna oscilacija bez otporne sile

( ) ( )

++=1

0 sincos2

1tnbtnaatf nn , ( )

t

ttf

sin

cosproste oscilacije

( ) ( )0cos = tFtF F- amplituda poremeajne sile kruna frekvenca

2

2

1xmEk &= ,

2

2

1cxEp = , ( ) ( )tFtx =

( )txx

E

x

E

x

E

dt

d pkk =

+

&, ( )txczxxm

dt

d=+

2

102

2

1&

( )m

tFcxxm1

/cos 0 =+&& , ( )0cos =+ tm

Fx

m

cx&& ,

m

c=2 ,

m

Fh = , ( )0

2 cos =+ thxx && ,

ph xxx += , tBtAxh sincos += , += sincos DCxp , 0= t ,

( ) ( )00 sincos += tDtCxp , ( )( ) ( )00 cossin += tDtCxp& ,

( ) ( )02

0

2 sincos = tDtCxp&& ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0002

0

2

0

2 cossincossincos =+ thtDtCtDtC ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0022022 cossincos =+ thtDtC ,

( ) ( )022 cos = thC 22 =

hc , ( ) 022 =D 0= D ,

( )0cossincos ++=+= tCtBtAxxx hp , tBtAxh sincos += ,

Za 00 xxt == -- rezonantno stanje, 0xx && = .

00sincos xAxtBtA ==+ , ( )

00cossinxBxtBtAx&&& ==+= ,

+=+=+=

2coscossincossincos 00

00

t

xtxt

xtxtBtAAh

&&,

smena: 00 cosRx = , 00 sin

Rx

=&

, tRtRxh sinsincoscos 00 += , ( )0cos = tRxh ,

x=xp+xh, ( ) ( )44 844 7644 844 76

aaoscilacijinudnSlobodna

tCRtRx

__Pr

00 coscos += ,

2=T ,

=

2pT

za 00 ,0 xxxxt && === , ( )0cossincos ++= tCtBtAx , += 00 cosAx 00 cos= xA

( ) ( )( )0sincossin ++= tCtBtAx& , 00 sin+= CBx& , 00 sin = CxB & ,

00 sin

=

CxB

&, ( ) ( )00

000 cossinsincoscos +

+= tCtC

xtCxx

&

( )0000

0 cossinsincoscossincos +

+++= tCttCt

xtxx

&,


62/109


16

( ) 32102200220

0 cossinsincoscossincos xxxth

tth

tx

txx +=

+

+

+=

&--

partikularno reenje. x1, x2 slobodne oscilacije, x3 prinudne oscilacije.

19. Amortizovano pravolinijsko oscilovanje

Kada u sistemu postoji generalisana konzervativna sila:

*Qq

Eq

Eq

Edtd pkk =

+

&, ( )

qqqQ

&

&

= ,* - funkcija rasipanja

0=

+

+

qq

E

q

E

q

E

dt

d pkk&&

, 2

2

1bx=

Primer:

2

2

1ymEk &= ,

2

2

2

1

2

1y

a

bccfE cp

== , 2

2

1yb&=

0=

+

+

yy

E

y

E

dt

dLgII

pk

&&,

myby

a

bcym 1

2

/0 =+

Documents

Elastodinamika - Ceo Usmeni