Elasticidad Bidimensional

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Teoria sobre la solucion de problemas elasticos bidimencionales

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  • 2 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL (ESFUERZO PLANO Y DEFORMACION PLANA).

    2.1 INTRODUCCIN

    Si un cuerpo consiste de dos planos paralelos que estn separados por un espesor constante y limitados por cualquier superficie cerrada, ver figura, se dice que se tiene un cuerpo plano.

    Este tipo de cuerpo tiene asociado un caso particular de problemas dentro de la teora general de elasticidad, mismos que se denominan problemas elsticas planos, los cuales permiten diversas suposiciones de simplificacin para su anlisis.

    Sin embargo, con el objeto de simplificar estas simplificaciones, son necesarias ciertas restricciones respecto al sistema de carga aplicado:

    1. Ninguna carga puede aplicarse en las superficies planas superior e inferior. 2. Las cargas generadas en los lmites laterales y los esfuerzos cortantes en la

    superficie deben encontrarse en el plano del cuerpo y deben distribuirse en forma uniforme en todo el espesor.

  • 3. De forma similar, las fuerzas de cuerpo en las direcciones X y Z deben ser uniformes en todo el espesor, y la fuerza de cuerpo en la direccin Y debe ser igual a 0.

    No hay limitacin en cuanto al espesor del cuerpo plano y, en realidad, el espesor funciona como un medio de clasificacin, dentro del tipo general del problema. Normalmente se aplica un mtodo de esfuerzo plano a los miembros que son relativamente delgados respecto a sus dems dimensiones, mientras que se emplean mtodos de deformacin plana para miembros con espesor relativamente grandes.

    El tipo elstico plano de este problema puede definirse como aquel en el cual los esfuerzos y las deformaciones no varan en la direccin y. Adems, las lneas paralelas al eje y permanecen rectas y paralelas a este eje durante la carga.

    Esta simplificacin en dos dimensiones permite tener soluciones exactas para diversos problemas de ingeniera y se comentara, las aplicaciones fsicas de estos dos estados. El mtodo de Airy nos permitir obtener la solucin de las ecuaciones generales y sus funciones de esfuerzo.

    2.2 ESTADO DE ESFUERZO PLANO (EEP).

    Se define un EEP cuando los esfuerzos satisfacen las condiciones siguientes:

    El tensor de esfuerzo se reduce a:

  • Este estado puede ser representado, con pocos errores, en una placa delgada la cual est sujeta a fuerzas aplicadas en la frontera, paralelas al plano de la placa y uniformemente distribuidos sobre el espesor.

    x, y y xy son independientes de Z, es decir, no varan con el espesor.

    Aplicaciones:

    Problema de Kirsh Problema de Hertz.

    Para esfuerzo plano, las ecuaciones de equilibrio, se reducen a:

    Y las ecuaciones de compatibilidad se reducen a:

    De la ley de Hooke:

    Las ecuaciones de Chauchy se reducen:

    y las ecuaciones de Beltrami-Mitchell, se reducen a:

  • CIRCULO DE MOHR.

    Introduccin

    El Crculo de Mohr para un estado de esfuerzos en un punto fue construido primero por el ingeniero alemn Otto Mohr [1914], quien se dio cuenta que las ecuaciones de transformacin definen un crculo en el plano s-t . Por lo tanto el crculo de Mohr es una representacin grafica de las ecuaciones de transformacin de esfuerzo, tambin se puede utilizar para determinar las componentes de los esfuerzos normal y cortante s x y txy que acta en cualquier plano arbitrario.

    Teora.

    Considere un cuerpo sobre el cul acta un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposicin se hace con el fin de no complicar por dems la matemtica siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemtico a fin de ser asociado con el modelo fsico:

    Figura 1

    En la figura 1, adems de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales han sido rotados un ngulo respecto del eje z (normal al plano), el par de ejes x1 e y1 son normal y tangente al plano A respectivamente.

  • Queremos obtener una relacin entre las tensiones en las reas Ax , Ay y A.

    Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la direccin del eje x:

    Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la direccin del eje y:

    Considerando que Ax

    =A.cos y que A

    y =A

    .sen, re escribimos las ecuaciones 1

    y 2:

    Multiplicando la ecuacin (1-1) por cos, la (2-2) por sen y sumando ambas se llega a:

    Y considerando las relaciones trigonomtricas:

    Se llega a:

  • Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano :

    Multiplicando la ecuacin (1-1) por sen, la (2-2) por cos, sumando ambas y considerando las relaciones trigonomtricas (4) se llega a:

    Obsrvese que las ecuaciones (5) y (6) no son ms que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuacin de la circunferencia se obtiene considerando la relacin trigonomtrica sen2 + cos2 = 1 , entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

    Componentes de esfuerzo en un plano arbitrario.

    a continuacin se muestra la correlacin de este plano arbitrario en un circulo de Mohr

  • Las componentes de los esfuerzos normal y cortante sx y t xy que actan en cualquier plano especificado definido por el eje x y orientado a un ngulo q del eje x, pueden ser encontradas con las coordenadas del punto P en el crculo, el cual est orientado a un ngulo 2 medido desde la lnea de referencia CA ( =0) hasta la lnea CP.

  • Esfuerzos principales.

    A continuacin se muestra la localizacin de los esfuerzos principales dentro del circulo de Mohr.

  • Esfuerzo cortante mximo en el plano.

    El esfuerzo cortante mximo se ubicara en el punto de la lnea vertical que pase por el centro y alcanza la circunferencia por la parte de abajo del crculo de Mohr como se muestra a continuacin.

  • Pasos para construir el crculo de Mohr.

    1.- Calcule el estado de esfuerzos planos para cualquier sistema de coordenadas x-y de manera que x, y y xy sean conocidos.

    2.- El centro del crculo se coloca en

    [(x+y)/2 ,0 ]

    3.- Dos puntos opuestos diametralmente uno de otro sobre el crculo corresponde a los puntos (x, xy) y (y, - xy). Usando el centro y cualquiera de estos dos puntos se forma el crculo.

    4.- El radio del crculo se puede calcular por medio de la geometra del crculo, usando el centro y un punto sobre el crculo, el cual puede ser ( x, xy) (y, - xy ).

    5.- Los esfuerzos principales tiene los valores

  • 6.- El esfuerzo cortante mximo es igual al radio

    7.- Los ejes principales se pueden encontrar calculando el ngulo entre el eje x y el punto (sx, t xy) y el ngulo entre las lneas CA y CE en el plano del crculo de Mohr.

  • 8.- Los esfuerzos en una orientacin girada q del eje x en el plano real se pueden leer trazando un arco de 2q en la misma direccin sobre el crculo de Mohr, desde los puntos de referencia ( x, xy) y (y , - xy). Los nuevos puntos sobre el crculo corresponden a los nuevos esfuerzos (x , xy ) y( y , xy ), respectivamente.

  • Ejemplos.

    Ejemplo 1.

    El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra en el elemento de la figura. Determine los esfuerzos principales y la orientacin del elemento en el punto. Adems, determine los esfuerzos cortantes mximos en el plano y la orientacin del elemento en el cual actan.

    Construccin del crculo:

    El centro C del crculo se localiza en el eje s, en el punto

    Las componentes de esfuerzo en la cara derecha del elemento son las coordenadas del punto de referencia A(-20 , 60), = 0.

    El Radio del crculo es

  • Los esfuerzos principales son:

    El crculo quedara dibujado de la siguiente manera:

    El ngulo s1 en el sentido antihorario se puede calcular en crculo, identificado como 21. Con el resultado de = 47.5, se obtiene

  • Ejemplo 2.

  • El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra en el elemento de la figura. Represente este estado de esfuerzo en un elemento orientado en el sentido antihorario a 30 de la posicin mostrada.

    Construccin del crculo:

    El centro C del crculo se localiza en el eje , en el punto

    El punto inicial cuando = 0 tiene las coordenadas A(-8,-6). Por consiguiente el radio CA es

    Como el elemento ha de ser girado 30 en el sentido antihorario, se debe construir una lnea CP, a 2(30)=60 en el mismo sentido, desde CA (q=0). Ahora deben obtenerse las coordenadas del punto P. Por la geometra del crculo,

  • Ejemplo 3.

  • Este ejemplo es un ejercicio del libro Mechanics of Materials, de James M. Gere.

    Es interesante ya que pide lo mismo que los otros ejemplos pero al revs.

    Dados los esfuerzos del problema se hace un dibujo aproximado del crculo de Mohr, ubicando los puntos A y B, como se muestra en la figura:

  • De la geometra del crculo se puede calcular el prom , de la siguiente manera

    Igualmente, de la geometra del crculo se pueden encontrar los valores de y , de la siguiente manera:

    tan = 2360/5520 , por lo tanto =23.15

    15220-4180 = 11040 Distancia entre A y B

    11040/2 = 5520

    15220-5520= 9700

    4180+5520= 9700 por lo tanto, av = -9700

  • = 60 - 23.15 = 36.85

    Con el valor de , se puede encontrar el valor del cateto a